工程电磁场课后习题答案

Ｅ2-9 在中心点位于原点，边长为Ｌ的媒质立方体内的极化强度矢量为

0exyzPPexeyez，

(a) 计算面和体束缚电荷密度；

(b) 证明总束缚电荷为零。

解：据题，体束缚电荷密度为：03vePP （公式yxzEEEExyz）

在2Lx的面002sxeLePPxP

在2Lx的面00()2sxeLePPxP

同理，在2Ly和2Ly的面，02sLP

在2Lz和2Lz的面，02sLP

（a）六个面上的面束缚电荷密度均为：0/2PLs

体束缚电荷密度为：03vP

 (b) 总束缚电荷为：23006()302svLQQQLPPL

Ｅ2-13 半径为a 的球内充满体电荷密度为f的电荷。已知球内外的电场强度是

)()()(24523arrAaaarArrEr

求体电荷密度（全部空间的介电常数均为0）。

解：0fE

（1）在ra的区域内：23221[()]ErrArrr

254rAr

20(54)frAr

（2）在ra的区域内：254221[()]EraAarrr

= 0

0f

体电荷密度为：20(54),()0,()frArrara Ｅ2-17 两媒质分界面为z=0面，已知1223rr和，如果已知区域1中的

123(5)xyzEeyexez

我们能求出区域２中哪些地方的2E和2D呢？能求出区域２中任意点的2E和2D 吗？

解：（1）在两种媒质的分解面z=0上，由于没有电荷的存在，电位移矢量的法线方向连续。12zzDD。

10023(5)rrxyzDEeyexez，10125zrzDD

在媒质分解面上媒质2的一侧，2010zzDe，同时202103zzrDEe

（2）在两种媒质的分解面z=0上，电场强度的切线方向连续。12ttEE。

222,3xxyyEyeExe

所以分界面z=0上：210233xyzEeyexe

2001032369103xyzxyzDeyexeeyexe

其他媒质2区域中的电场强度和电位移矢量求不出来。

Ｅ2-20 有一半径为a，带电量为q的导体球，其球心位于两种媒质的分界在上，此两种媒质的电容率分别为1和2，分界面可视为无限大平面。求(a)球的电容；(b)总静电能。

解：根据题意，我们以球心为原点，分界面为XOY平面，建立如图所示的球坐标系，设上球面和下球面的面电荷密度分别为1s和2s则有：

221222..........(1)ssaaq

分别在上球面和下球面取如图所示的高斯面

和

则2221111222rsrseaDeraDr：

同理：2222rseaDr

2111211rseaDEr 2222222rseaDEr z

y

x o

s1

ε1

ε2 ρs1

ρs2

图E 2-20 在媒质分解面上，电场强度的切向分量是连续的：12ttEE，即 1212...........(2)ss

联立（1）、（2）可得

112122sqa ；222122sqa；

122122()rqEEer；

以无穷远处为零电位参考点，导体球上的电位为：122()aqEdla；

122()qCa；

2221122121211224()evvqWEdvEdva

E3-2 设很长的同轴圆柱的内外导体之间的空气填以电子云，其电荷体密度fAr

arb，其中a、b分别为内、外导体的半径。内导体的电压为0，而外导体接地。用泊松方程的方法求解区域arb内的电位函数。

解：解：由泊松方程：2f，建立圆柱坐标系，由于对称性，电位仅于矢径有关而与Z和方位角无关，

即1ddArrdrdrr

两边积分得：

1CdAdrr

因为0r处不可能为无穷大，所以10C

两边再积分得：2ArC 代入边界条件0()0()rarb得：002AbabCba，所以：00rbbaba

E3-3 图3.19表示一个长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽绝缘的盖

板。槽的电压为0，而盖板的电压为0，求槽内的电位函数。

解：

边界条件为：

(1) 00x

(2) 0xa

(3) 0,0xa

因为槽内没有自由电荷存在，满足拉普拉斯方程：

22220xy

设(,)()()xyXxYy

得：22221()1()0()()dXxdYyXxYydxdy

令2221()()dXxkXxdx

由222()0dXxkXdx得：()shchXxAkxBkx；

由222()0dYykYdy得：()sincosYyCkyDky

将边界条件（3）代入，得：0,mDkb；由边界条件（1）知，0B，这样，电位函数的通解的形式为：

'(,)sinshmmmmxyAyxbb

对边界条件（2）来说，必须构造一个傅立叶级数'1sinshmmmmAyxbb才能得到满足。由边界条件（2）得：

'01sinshmmmmaAybb

两边乘以sinmyb两边对y求积分，得：

'2000sinshsinbbmmmamAydyybbb xy图 3.3 Oab0000由20sin2bmbydyb，0sin1cosbmbymbm得：

'02(1cos)shmAmmamb

由此可写出槽内的电位函数为：01sinsh2(,)(1cos)shmmymxbbxymmamb

E4-7 已知某一电流在空间产生的矢量磁位xyexyeyxeAxyx422，求磁感应强度。

解：利用旋度公式得：

2222224(40)(04)()44()xyzxyzxzBAeeexyzxyxyxyexeyeyxxeyeyxe

E4-12 半径为a，通有电流I的圆形线圈在远区任一点的矢量磁位（球坐标表示式）是

sin420rISeA，其中2aS，求磁感应强度B。

解：2202sin1sinsin004rrereeBArrISrr

320022200311(2sincossin())sin44cossin24rrISISerrerrrISISeerr

E4-14 一个带电荷q的质子以角速绕半径a作圆周运动，如果用磁矩表示它的磁场时，求它的磁矩。

解：建立圆柱坐标系，设质子运动中心在原点，圆周在XOY平面上，设运动方向为逆时钟方向，则质子运动形成的环形电流为：

22qqqvqaqIltlav

故它的磁矩为：

22zzqaPeIse

E4-15 均匀分布面电荷s的球，半径为a，以角速度绕其一直径旋转，求磁矩。

解: 建立球面坐标系:

meISemzz

mdmSdI 同时有：2sin222ssdsadddqdI

24324230044sinsinsin22sin2442233ssSSsssaddaddmaaddaa

443szame

E4-17 半径为a的磁介质球，具有磁化强度为：2()zMeAzB，求磁化电流和磁荷。

解：体电流密度 0)(2BAZeMJzm

面电流密度 2()msrzrJMeeAZBe

cossincoszreeezr

2222()()cossin(cos)sinmszrrrJeAZBeAZBeeeArBe

222cossinsinsinmsrsIJdsArBdeerdderderdrd 22(cos)sinsArBrdrd

32003042(cossinsin)2236aaArBrddrArBrdrAaBa

E5-1 有一导体滑片在两根平行的导体轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场中5coszBetT之中，如图5.14所示。滑片的位置由0.351cosxtm确定，轨道终端接有电阻0.2R，试求电流i。

解：穿过导轨与滑片围成的框中，

()()ctBdsBtxl

25cos0.20.35(1cos)77coscos()2020tttt

回路中，77in()in()cos()2010dststtdt

电流， 77in()in()cos()42iststtR

E5-5 一圆柱电容器，内导体半径和外导体半径分别为a和b，长为l，设外加电压0sint,试计算电容器极板间的总位移电流，试证明它等于电容器的电流。

解：建立圆柱坐标系，设线电荷密度为l，则：

（1） 2lEe

（2）

0ln22bbllaabEdlda ......0.2m

0.7m

图5.1 在时变磁场中，一根导体棒

在平行轨道上滑动