教学设计3：平均变化率

函数的平均变化率

本节课是普通高中课程标准实验教科书人教B版选修（文）1－1第三章导数及其应用中的内容，（理）2-2第一章中的内容，《平均变化率》。为更好地把握这一课时内容，便于学生学习和理解，对本课时教学设计给予如下说明：

一、 教学内容分析：

平均变化率主要通过大量的生活实例借助直观图形逐步引入“平均变化率”的概念，并在此基础上给出了它的两种应用——在生活中的应用以及在数学内部的应用。本节课应着力渗透“局部以直代曲”思想、“数形结合”思想以及“极限（逼近）”思想，以便更好地为研究、学习后续的“瞬时变化率”乃至“导数的概念”奠定基础。这节课是在学生在学习了函数、指、对数函数、幂函数、三角函数等知识后安排的一节内容，学生已经具备了一定的函数知识的素养。本节课目的是在为导数的引出作必要的铺垫,在导数教学中起着承上启下的作用。学好这一节，学生将会为以后理解导数的概念等知识打下一个良好的基础，同时学生对函数也有了更为完整的知识结构。

二、学生情况分析：

同学们在物理中已经充分理解平均速度的概念，为函数的平均变化率打下了良好的基础。且在之前的学习中，具备一定的用数形结合思想解决问题的能力，这为从数与形两方面考察函数的平均变化率提供了知识准备。而平均变化率来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法．但学生仅是比较熟悉平均速度，对于变量变化的快慢的认识以及表示比较模糊，还有，由实际问题抽象成函数表示，这些都给学生学习本节内容造成一定困难。

三、 教学目标：

知识与技能：

(1)了解平均变化变化率的概念；

(2)会求函数在指定区间上的平均变化率；

(3)能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题。

情感、态度与价值观：

(1)以实际生活为背景，引出平均变化率的相关内容，让学生感受到事物相联系的观点；

(2)通过数形结合的手段解决问题，让学生体会到“无形不直观，无数不入微”的辩证思想；

第五章 一元函数的导数及其应用

《5.1.1变化率问题》教学设计

第2课时

1．通过求曲线上某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.

2. 理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．

教学重点：理解曲线上某点处切线斜率的概念及算法

教学难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念

PPT课件．

【新课导入】

问题1：阅读课本第62~64页，回答下列问题：

（1）本节将要探究哪类问题？

（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？

师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．

预设的答案：

（1）本节课主要学习变化率问题：曲线上某点处切线斜率的问题．

（2）总结归纳出一般函数的平均变化率概念和瞬时变化率的概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率和瞬时变化率解法的一般步骤．平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础．在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透．一般曲线的切线的概念与学生熟悉的圆的切线的定义方式不同，学生不易理解，因此曲线的切线概念是本节的教学难点．通过本节的学习，学生的数学抽象和直观想象素养将得以提升．

设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．

问题2：什么叫直线与圆相切？

师生活动：学生回顾并回答．

预设的答案：如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切．对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？

设计意图：通过复习直线与圆相切，引出问题，进入新课． ◆ 教学过程 ◆ 课前准备 ◆ 教学重难点

◆ ◆ 教学目标 【探究新知】

知识点1：曲线在某点处的切线

我们以抛物线f（x）=x2为例进行研究．

问题3：如何定义抛物线2()fxx在点0(11)P，处的切线？

师生活动：学生思考，尝试回答，教师讲解．

与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线2()fxx在点0(11)P，处的切线，我们通常在点0(11)P，的附近任取一点2()Pxx，，考察抛物线2()fxx的割线0PP的变化情况.

变化率问题

一、教学设计意图

客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着，因此，在数学中引入变量的概念（函数）后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了.

随着对函数的研究的不断深化，产生了微积分，它是数学发展史上重要的里程碑，导数是微积分的核心概念之一，导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度。变化率问题的发展具有丰富的历史背景，涉及类比、抽象、符号化等重要的数学思想，是典型的数学抽象过程.

1.教材分析

“变化率问题”是高中导数教学的开始，是导数概念建立的核心，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础，在整个导数学习中占有极其重要的地位.教材通过研究学生熟悉的 “气球膨胀率”、“高台跳水”这两个生活实例，归纳出它们的共同特征，抽象出一般函数平均变化率概念，使学生理解平均变化率刻画了函数在某一区间上的变化情况，并掌握求平均变化率的一般步骤，在这一过程中，渗透从特殊到一般的化归思想，数形结合思想，让学生体会数学抽象的过程.

2.学情分析

学习本节内容之前，学生具备了一定的函数知识，可以通过表格、图像、关系式三种不同的函数表现形式，求解函数在某一区间内“因变量的增量与自变量的增量的比值，并能从图像中看出函数变化的快与慢.同时学生已在物理中学习了平均速度、瞬时速度、加速度等概念，比较容易理解可以用“平均速度”刻画物体在一段时间内的速度.

3.教学任务

教学目标：（1）知识与技能

通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型.

（2）过程与方法

理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率.

（3）情感、态度与价值观

感受数学模型刻画客观世界的作用，体会数学抽象的过程，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力.

教学重点：函数平均变化率的概念.

教学难点：函数平均变化率的概念形成过程的抽象.

《变化率问题》教学设计

宁夏回族自治区银川市第九中学 王占军

教材版本：普通高中数学教材人教A版《选修2-2》“1.1.1变化率问题”，

一、 教学内容分析

导数是微积分的核心概念之一，是研究函数增减、变化快慢、最值问题的最一般、最有效的工具。教材按照“平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义”的顺序安排，采用“逼近”的方法，从数形结合的角度定义导数，使导数概念的建立形象、直观而又容易理解，突出了导数概念的本质。

平均变化率是导数概念建立的核心，教材通过研究学生熟悉的 “气球膨胀率”、“高台跳水”这两个生活实例，归纳出它们的共同特征，总结出一般函数平均变化率概念，使学生理解平均变化率刻画了函数在某一区间上的变化情况，并掌握平均变化率解法的一般步骤。

从知识形成的先后顺序来看，平均变化率是本章内容学习的核心概念，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础，在整个导数学习中占有极其重要的地位。在概念的形成过程中，将进一步渗透从特殊到一般的化归思想，数形结合思想。

基于上述分析 ，我将本节课的教学重点确定为：理解平均变化率的概念，掌握平均变化率解法的一般步骤，了解平均变化率的几何意义。

二、 学生情况分析

（一）、学生已有的认知基础

1、学生具备了一定的函数知识，可以通过表格、图像、关系式三种不同的函数表现形式，求解函数在某一区间内“因变量的增量与自变量的增量的比值。并能从图像中看出函数变化的快与慢。

2、学生已在物理中学习了平均速度、瞬时速度、加速度等概念，比较容易理解可以用“平均速度”刻画物体在一段时间内的速度。

（二）可能存在的认知困难

1、“吹气球”与“高台跳水”是学生非常熟悉的生活实例，如何从具体实例中抽象出共同的数学本质，能够用“平均变化率”对生活中的变化快慢现象进行合理的数学解释是本节课教学的关键，也是难点所在。

2、利用变化率的有关知识解释生活的中一些现象，需要学生具有一定抽象概括能力和应用数学数学语言表达问题的能力。对高中生而言，抽象概括能力和应用数学语言的能力还有待进一步的提高。