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平均变化率教案

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平均变化率教案

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高中数学选修2—2

1.1.1 平均变化率（教案） 高中数学选修2—2 1.1.1 平均变化率（教学设计）

一、教学目标

知识与技能：

1、理解平均变化率的概念；

2、通过具体事例，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述刻画现实世界的过程。

过程与方法：

1、通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；

2、 通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。

情感、态度与价值观：

感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。体会数学的博大精深以及学习数学的意义。

二、教学重点、难点

重点：平均变化率的概念的归纳得出；求函数在某个区间的平均变化率。

难点：从实际例子归纳出函数的平均变化率的过程。

三、教学方法

引导学生通过由特殊到一般的思想方法得到平均变化率的概念；引导学生通过积极探究、讨论，逐步理解如何求函数的平均变化率。

四、 教学基本流程

创设情境，引导探索 分析归纳，建立概念

例题讲解，尝试应用 回顾反思，感悟升华

五、 教学过程（具体如下表） 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 备注

创设情景

、

引入新课

问题一：速率问题

汽车在启动后的0--10秒内，行驶了200米，那么它行驶的平均速率是多少？

问题二：高台跳水

播放郭晶晶跳水视频,让学生看高台跳水情形，然后提出问题：

在高台跳水运动中,给出运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10. 思考，我们可以用什么物理量来描述运动员在某段时间内的运动快慢情况（

平均速度），然后给出平均速度的实质：

平均速度实质就是运动员在某段时间内的位移对于时间的平均变化率，在物理上叫平均速度，又把这个问题引导平均变化率上。使平均变化率再次体现变化的快慢.

让学生操作验证：

计算：5.00t和21t的平均速度v

在5.00t这段时间里，

)/(05.405.0)0()5.0(smhhv；

在21t这段时间里，

)/(2.812)1()2(smhhv

然后比较快慢，体现可以用平均速度描述运动的快慢。 给出问题激发学生的求知欲，组织学生讨论、交流，引导学生得到结果。

给学生提出问题，引导学生通过所学的物理知识回答问题，最终引导学生意识到平均速度就是平均变化率，所描述的运动的快慢就是变化的快慢。

利用学生很熟悉的物理问题并从简单的背景出发，有利于学生利用原有的知识解决我们所设置的问题，符合学生的认知规律。，让学生意识到可以用变化率体现事物变化的快慢情况。

平均速度的变化学生们能感同身受，对这个问题的研究能使他们有很好的接受感，从而进一步激发他们强烈的求知欲。 h

t o

创设情景

引入新课

问题三：气球膨胀率

让学生吹气球。

提出问题一：细细体会气球膨胀的过程，你有什么发现？归纳出：

随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.

提出问题二：怎样从数学的角度描述这种现象

 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是334)(rrV

 如果将半径r表示为体积V的函数,那么343)(VVr

操作实践：343)(VVr，

（1） 当V从0增加到1时,气球半径增加了

)(62.0)0()1(dmrr

气球的平均膨胀率为

)/(62.001)0()1(Ldmrr

（2）当V从1增加到2时,气球半径增加了

)(16.0)1()2(dmrr

气球的平均膨胀率为

)/(16.012)1()2(Ldmrr

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

1212)()(VVVrVr

给学生充分的时间探讨、交流、归纳，得出结论，老师做好引导。 让学生用日常生活中切身感知的事物作为研究对象，有助于提高他们的研究兴趣，激发他们探究的积极性，从而达到我们所要达到的目标。 “随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢”，这句话的归纳得出是这个问题的难点之一，在这儿教师可以做一些引导；其次这个问题的难点是“从数学的角度如何描述这种现象？”。可引导学生类比第一个问题来理解这句话，从而解决问题。

分析归纳

建立概念

让学生回顾上述的三个问题，找出它们的共同特征，把问题一般化，归纳得到函数的平均变化率的概念。

2121211221,,,,fxfxfxxxxxxxfxxxxx如果上述三个问题中的函数关系用表示那么问题中变化率可用式子表示我们函数从到的把这个式子称为习惯上用表示即平均变化率，

11221"",;,.xxxxxyfxfx可把看作是相对于的一增量个可用代替类似地

,于是平均变化率可表示为yx

2121fxfxyxxx即平均变化率：

引导学生自己把问题一般化，归纳出函数的平均变化率的概念，并明确它的实际意义；引导学生继续观察平均变化率的表达式，观察他的结构特征，得到平均变化率的几何意义。

通过生活中的实例，引导学生分析和归纳，让学生在已有认知结构的基础上建构新知识，从而达到概念的自然形成，并建立数学概念。从而达到充分发挥学生的学习主动性，经历和体验概念的建立过程的目的。

让学生积极思考，充分的参与进去，教师做好引导即可。

例题讲解

尝试应用 1、质点运动规律s=t2+3,则在时间（3,4）中相应的平均速度是多少？

2、

3、质点运动规律s=t2+3,则在时间（3,3+△t）中相应的平均速度

4、求f(x)=x2在x=2附近的平均速度

4、物体按照s(t)=3 t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率. 学生亲自利用定义时间操作，独立完成。巩固所学知识。

数学概念形成之后，通过具体例子对公式的应用，巩固概念提高运用能力。

注意解题过程和步骤的引导 探

究 2()4.96.51065049,:htttt回顾刚才运动员高台跳水问题，计算运动员在这段时间里的平均速度并思考下面的问题

1?2?运动员在这段时间里是静止的吗你认为用平均速度描述运动员运动状态有什么问题吗 学生通过操作，根据结论思考思考，交流，得到结论：平均速度不能精确的描述运动员的运动状态。并引出瞬时速度。 为下一节课建立导数的概念创造一个良好的问题情境。

回顾反思 1、三个实际变化率问题（体会变化率问题生活中处处可见）——平均变化率——平均变化率的表示

2、思想方法：类比、从特殊到一般

3、课下探究：瞬时速度的求法。 引导学生进行回顾，重温本节课的内容以及平均变化率概念形成的过程。

引导学生小结，不仅仅总结知识，更重要地是让他们再次体会从特殊到一般的数学概念形成的过程。 帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络。

布置作业 练习：1、2

板书设计:

1.1.1 平均变化率

2121211221,,,,fxfxfxxxxxxxfxxxxx如果上述三个问题中的函数关系用表示那么问题中变化率可用式子表示我们函数从到的把这个式子称为习惯上用表示即平均变化率， 2121fxfxyxxx即平均变化率：

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《平均变化率》教案及教案说明

《平均变化率》教案及教案说明

《平均变化率》教案及教案说明

一、教学目标

1. 让学生理解平均变化率的定义及其几何意义。

2. 培养学生运用导数概念理解实际问题中的变化率。

3. 训练学生运用极限思想分析问题，提高解决问题的能力。

二、教学内容

1. 平均变化率的定义：引入变化率的概念，解释平均变化率的含义。

2. 平均变化率的计算：讲解如何计算函数在某一区间的平均变化率。

3. 平均变化率与导数的关系：阐述导数的几何意义，引导学生理解导数与平均变化率之间的联系。

三、教学重点与难点

1. 教学重点：平均变化率的定义及其计算方法。

2. 教学难点：导数与平均变化率之间的关系。

四、教学方法与手段

1. 教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、讨论法等，引导学生主动探究、合作学习。

2. 教学手段：利用多媒体课件、板书、图形等辅助教学。

五、教学过程

1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生关注变化率的概念。

2. 讲解平均变化率：给出平均变化率的定义，解释其几何意义。

3. 演示计算平均变化率：利用多媒体课件，展示计算过程。

4. 分析导数与平均变化率的关系：引导学生理解导数与平均变化率的联系。 5. 巩固练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。

7. 布置作业：设计课后作业，巩固所学知识。

教案说明：

本教案以学生为主体，注重培养学生的动手操作能力、思考能力和合作精神。在教学过程中，教师应关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，引导学生运用所学知识解决实际问题。通过案例分析、讨论等形式，激发学生的学习兴趣，提高课堂参与度。在教学内容上，重点讲解平均变化率的定义和计算方法，引导学生理解导数与平均变化率之间的关系。在教学手段上，充分利用多媒体课件和板书，直观展示概念和计算过程，有助于学生更好地理解和掌握知识。

六、教学拓展

1. 引导学生思考实际生活中的其他例子，运用平均变化率解释。

2. 探讨平均变化率在物理学、经济学等领域的应用。

《平均变化率》教案及教案说明 2

《平均变化率》教案及教案说明 2

《平均变化率》教案及教案说明

教案说明：

本教案旨在帮助学生理解平均变化率的概念，掌握平均变化率的计算方法，并能应用于实际问题中。通过本教案的学习，学生将能够：

1. 理解平均变化率的定义和意义；

2. 掌握平均变化率的计算公式；

3. 应用平均变化率解决实际问题。

教案内容：

一、导入

1. 引导学生回顾函数的定义，强调函数的输入输出关系；

2. 引入“变化率”的概念，引导学生思考函数在某一点处的变化率是什么；

3. 提问：如何描述函数在某一段区间内的变化情况？

二、平均变化率的定义

1. 给出平均变化率的定义：函数在区间[a, b]上的平均变化率定义为 (f(b) f(a)) /

(b a)；

2. 解释平均变化率的含义：平均变化率表示函数在区间[a, b]上的平均变化速度；

3. 强调平均变化率是对函数变化情况的宏观描述。

三、平均变化率的计算

1. 引导学生思考如何计算函数在某一段区间上的平均变化率；

2. 给出计算公式：函数在区间[a, b]上的平均变化率 = (f(b) f(a)) / (b a)；

3. 举例说明如何计算具体函数的平均变化率。 四、应用

1. 引导学生思考平均变化率在实际问题中的应用；

2. 举例说明如何利用平均变化率解决实际问题，如物体运动的速度变化、物价变化的分析等；

3. 引导学生尝试自己解决一个实际问题，如计算某商品价格在一段时间内的平均变化率。

五、总结与评价

1. 总结本节课的重点内容：平均变化率的定义、计算方法和实际应用；

2. 强调平均变化率的概念在实际问题中的重要性；

3. 鼓励学生课后思考更多与平均变化率相关的问题，拓展思维。

教学评价：

本教案通过导入、讲解、应用和总结等环节，引导学生逐步理解平均变化率的概念，掌握计算方法，并应用于实际问题中。在教学过程中，教师应关注学生的理解情况，及时解答学生的疑问，并通过举例和练习等方式巩固学生的知识。通过本教案的实施，学生将能够掌握平均变化率的基本概念和应用方法。

《平均变化率与瞬时变化率》示范公开课教案【高中数学北师大】

《平均变化率与瞬时变化率》示范公开课教案【高中数学北师大】

第二章 导数及其应用

2.1 平均变化率与瞬时变化率

1. 从实例分析中理解平均变化率和瞬时变化率的意义，会求简单函数在某一区间的平均变化率和在某一点处的瞬时变化率；

2. 领会从平均变化率到瞬时变化率的逼近过程，使学生体会、理解平均变化率与瞬时变化率的联系．

重点：函数在某一点处的瞬时变化率．

难点：从平均变化率到瞬时变化率的逼近．

一、新课导入

问题1：某病人吃完退烧药，他的体温变化如图：

比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？

答案：①根据图象可以看出在这两段时间下降的体温一样多；②这两段时间的长度不一样，因此在20 min到30 min这段时间内，体温变化较快．

我们可以用单位时间内的变化情况来刻画快慢；如，在0 min到20 min这段时间内，单位时间体温变化为：38.5−3920−0=−0.520=−0.025(℃/min)，在20 min到30 min这段时间内，单位时间体温变化为：38−38.530−20=−0.510=−0.05(℃/min)，单位时间里，20 min到30 min这段时间内提问变化量大，这段时间内的体温变化就快．

二、新知探究

平均变化率：

对一般的函数𝑦=𝑓(𝑥)来说，当自变量x从𝑥1变为𝑥2时，函数值从𝑓(𝑥1)变为 𝑓(𝑥2)，它在◆教学目标

◆教学过程 ◆教学重难点

◆ 区间[𝑥1，𝑥2]的平均变化率=𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)𝑥2−𝑥1．

通常我们把自变量的变化𝑥2−𝑥1称作自变量x的改变量，记作Δ𝑥，函数值的变化𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)称作函数值y的改变量，记作Δ𝑦．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即

Δ𝑦Δ𝑥=𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)𝑥2−𝑥1

用它来刻画函数值在区间[𝑥1，𝑥2]上变化的快慢．

函数的平均变化率教案

函数的平均变化率教案

函数的平均变化率教案

教学目标：

1. 理解函数的平均变化率的定义和意义；

2. 学会计算函数的平均变化率；

3. 能够应用函数的平均变化率解决实际问题。

教学内容：

第一章：函数的平均变化率的概念

1.1 引入函数的平均变化率的概念

1.2 解释函数的平均变化率的含义

1.3 举例说明函数的平均变化率的应用

第二章：函数的平均变化率的计算

2.1 引入计算函数的平均变化率的方法

2.2 讲解如何计算函数的平均变化率

2.3 给出计算函数的平均变化率的例题

第三章：函数的平均变化率的性质

3.1 引入函数的平均变化率的性质

3.2 讲解函数的平均变化率的性质

3.3 给出函数的平均变化率的性质的证明

第四章：应用函数的平均变化率解决实际问题

4.1 引入应用函数的平均变化率解决实际问题的方法

4.2 讲解如何应用函数的平均变化率解决实际问题

4.3 给出应用函数的平均变化率解决实际问题的例题 第五章：巩固练习

5.1 给出巩固练习的题目

5.2 讲解巩固练习的解法

5.3 给出巩固练习的答案

教学资源：

1. 教学PPT；

2. 教材或教案；

3. 练习题。

教学评估：

1. 课堂参与度；

2. 练习题的完成情况；

3. 学生对函数的平均变化率的理解程度。

教学步骤：

Step 1：引入函数的平均变化率的概念（10分钟）

1. 讲解函数的平均变化率的定义；

2. 举例说明函数的平均变化率的应用。

Step 2：讲解计算函数的平均变化率的方法（15分钟）

1. 讲解如何计算函数的平均变化率；

2. 给出计算函数的平均变化率的例题。

Step 3：讲解函数的平均变化率的性质（15分钟）

1. 讲解函数的平均变化率的性质；

2. 给出函数的平均变化率的性质的证明。 Step 4：应用函数的平均变化率解决实际问题（10分钟）

1. 讲解如何应用函数的平均变化率解决实际问题；

2. 给出应用函数的平均变化率解决实际问题的例题。