3.1.1平均变化率

1/21高一上必修一第三章《函数》知识点梳理

3.1.1函数及其表示方法

学习目标：

（1）在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立

完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；

（2）了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域；

（3）通过具体问题情境总结共性，抽象出函数概念，积累从具体到抽象的活动经验，发展数学

抽象的核心素养。

【重点】

1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.

3.了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.

【难点】

1、求函数的定义域和值域

回顾初中所学的函数，在情境与问题中感受高中函数表达方式与初中的不同。

一、函数的概念

我们已经学习过一些函数的知识，例如已经总结出：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为

变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定

的值与其对应，那么就称y是x的函数.

再例如，我们知道y=2x是正比例函数，y=-3x-1是一次函数，y=-2是反比例函数，y=x2+2x-3

是二次函数，等等。

2/

21x2【情境与问题】

（1）国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示。

以y表示年度值，i表示中国创新指数的取值，则i是y的的函数吗？如果是，这个函数用数学符

号可以怎样表示？

（2）利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如下图所示。医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果（如根据两个峰值的间距来得出心率等）.

如果用t表示测量的时间，v表示测量的指标值，则v是t的函数吗？如果是，这个函数用数学符

号可以怎样表示？

初中实际上是用变量的观点和解析式来描述函数的，但从情境与问题中的两个实例可知，初中的

高中数学-打印版

精心校对 第三章 导数及其应用

3.1 变化率与导数

3.1.1 变化率问题

3.1.2 导数的概念

A级 基础巩固

一、选择题

1．如果函数y＝ax＋b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a＝(

)

A．－3 B．2 C．3 D．－2

解析：根据平均变化率的定义，可知ΔyΔx＝（2a＋b）－（a＋b）2－1＝a＝3.

答案：C

2．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则ΔyΔx等于( )

A．4 B．4x

C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2

解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－1＝

2(Δx)2＋4Δx，所以 ΔyΔx＝2Δx＋4.

答案：C 高中数学-打印版

精心校对 3．一直线运动的物体，从时间t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，则 ΔsΔt为( )

A. 从时间t到t＋Δt一段时间内物体的平均速度

B．在t时刻时该物体的瞬时速度

C．当时间为Δt时物体的速度

D．在时间t＋Δt时刻物体的瞬时速度

解析：由瞬时速度的求法可知， ΔsΔt表示在t时刻时该物体的瞬时速度．

答案：B

4．函数f(x)在x0处可导，则 f（x0＋h）－f（x0）h( )

A．与x0、h都有关

B．仅与x0有关，而与h无关

C．仅与h有关，而与x0无关

D．与x0、h均无关

解析：因为f′(x0)＝ f（x0＋h）－f（x0）h，

所以 f′(x0)仅与x0有关，与h无关．

答案：B

5．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝( )

A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx

C．－3 D．0

解析：f′(0)＝ f（0＋Δx）－f（0）Δx＝ （Δx）2－3ΔxΔx高中数学-打印版

精心校对 ＝

(Δx－3)＝－3.

答案：C

二、填空题

6．如图，函数f(x)在A，B两点间的平均变化率是________．

I 2017-2018学年苏教版高中

数学选修1-1学案

目 录

1.1.1 四种命题

1.2 简单的逻辑联结词

1.3.1 量词

1疑难规律方法

1章末复习课

2.1 圆锥曲线

2.2.1 椭圆的标准方程

2.2.2 椭圆的几何性质（一）

2.2.2 椭圆的几何性质（二）

2.3.1 双曲线的标准方程

2.3.2 双曲线的几何性质

2.4.1 抛物线的标准方程

2.4.2 抛物线的几何性质（一）

2.4.2 抛物线的几何性质（二）

2.5 圆锥曲线的共同性质

2疑难规律方法 2章末复习课

3.1.1 平均变化率

3.1.2 瞬时变化率——导数（一）

3.1.2 瞬时变化率——导数（二）

3.2.1 常见函数的导数

3.3.1 单调性

3.3.2 极大值与极小值

3.3.3 最大值与最小值

3.4 导数在实际生活中的应用

3疑难规律方法

3章末复习课2017-2018学年苏教版高中数学选修1-1学案

1

1．1.1 四种命题

学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．

知识点一 命题的概念

思考 给出下列语句：

(1)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；

(2)3＋6＝7；

(3)偶函数的图象关于y轴对称；

(4)5能被4整除．

请你找出上述语句的特点．

梳理 (1)定义：能够判断________的语句．

(2)分类

①真命题：判断为________的语句．

②假命题：判断为________的语句．

(3)形式：____________.

知识点二 四种命题的概念

思考 给出以下四个命题：

(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0； 2017-2018学年苏教版高中数学选修1-1学案

2 (2)若x2－3x＋2＝0，则x＝2；

(3)若x≠2，则x2－3x＋2≠0；

(4)若x2－3x＋2≠0，则x≠2.

描述：

例题：高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案

第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数

一、学习任务

1. 了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义．

2. 了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵．

二、知识清单

数列极限与函数极限 变化率与导数

三、知识讲解

1.数列极限与函数极限

数列极限

设 为实数数列， 为常数．若对任意给定的正数 ，总存在正整数 ，使得当 时，有 ，则称

数列 收敛于 ，常数 称为数列 的极限．并记作

读作 “ 当 趋于无穷大时，的极限等于 ”．

若数列 没有极限，则称 不收敛，或称 为发散数列．

对于收敛数列有以下两个基本性质，即收敛数列的唯一性和有界性：

定理1：如果数列 收敛，则其极限是唯一的；

定理2：如果数列 收敛，则其一定是有界的，即对于一切 ，总可以找到一个正数 ，使得

．

函数极限

函数极限可以分成 三种．

设函数 在点 的某一去心邻域，即 内有定义，如果存在常数 ，对于任意给

定的正数 (无论它多么小），总存在正数 ，使得当 满足不等式 时，对应的函数值 都满足

不等式 ，那么常数 就叫做函数 当 时的极限，记作

设 为定义在 上的函数， 为常数．若对于任意给定的正数 ，存在正数 ，使得当 时，有

，则称函数 当 趋于正无穷时以 为极限，记作

与此类似．{}xnaεNn>N|−a|

{}xnaa{}xn

=a或→a(n→∞),lim

n→+∞xnxn

n{}xna

{}xn{}xn{}xn

{}xn

{}xnn(n=1,2,⋯)M

||⩽Mxn

x→,x→+∞,x→−∞x0

x→:x0

f(x)x0(−δ,)∪(,+δ)(δ>0)x0x0x0x0A

εδx0<|x−|

|f(x)−A|

f(x)=A.lim

x→x0

x→+∞:

f(x)[a,+∞)AεMx>M

|f(x)−A|

f(x)=A或f(x)→A(x→+∞),lim

x→+∞

x→−∞

______．

解：

．=lim

n→+∞n+2

1+2+⋯+n