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课题：立体几何的向量法（四）——求点到面的距离 新课 课时：二
【学习目标】
1、能理解点到面距离的向量公式
2、能在不同图形中用向量法求点到面的距离
【学习过程】
一、自学理解
一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离．
两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离．
因为直线到平面的距离、平行平面的距离一般都转化为点到平面的距离来求，所以我们重点研究点到平面的距离。
一．点到平面的距离：
1.定义： 叫做这一点到这个平面的距离．
2.求解方法：
（1）几何法：
①找到(或作出)表示距离的线段；抓住线段(所求距离)所在三角形解之.
②等体积法。
（2）向量法：
已知平面外一点P，平面。先求出平面的法向量n，在平面内任取一定点A，则点P到平面的距离d等于AP在n上的射影长，
即d=nnAP
二、问题探究
1：在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E是线段AB上的点，且EB=1，求点C到面1DEC的距离.
2：在三棱锥D—ABC中，DA平面ABC，且AB=BC=AD=1，ABC=900， （教师“复备”栏或学生笔记栏）
提示：
提示：
此题能否用两种方法求解
E 1B
1A1C1DD C
B A
求点A到面BCD的距离。
课后练习：
1.如图，四棱锥PABCD的底面为直角梯形，90ADCDCB，
1AD，3BC，2PCCD，PC底面ABCD,E为AB的中点.
1 5．求空间距离的方法
(1)几何方法
①找出或作出有关距离的图形；
②证明它符合定义；
③在平面图形内计算．
空间中各种距离的计算，最终都要转化为线段长度，特殊情况也可以利用等积法．
(2)向量法
①求点到平面的距离
如图所示，已知点B(x0，y0，z0),
平面α内一点A(x1，y1，z1),平面
α的一个法向量n,直线AB与平面
α所成的角为φ，θ＝〈n，AB→〉，则sin φ＝|cos〈n，AB→〉|＝|cos θ|.由数量积的定义知，n·AB→＝|n||AB→|cos θ，∴点B到平面α的距离d＝|AB→|·sin φ＝|AB→|·|cos θ|＝|n·AB→||n|.
②求直线到平面的距离
设直线a∥平面α，A∈a，B∈α，n是平面α的法向量，过A作AC⊥α，垂足为C，则AC→∥n，
∵AB→·n＝(AC→＋CB→)·n＝AC→·n，
∴|AB→·n|＝|AC→|·|n|.
∴直线a到平面α的距离d＝|AC→|＝|AB→·n||n|.
③求两平行平面间的距离
(i)用公式d＝|AB→·n||n|求，n为两平行平面的一个
法向量，A、B分别为两平面上的任意两点．
(ii)转化为点面距或线面距求解．
2
考点五：求空间距离
(1)(2013·高考北京卷)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为________．
(2)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则点C1到平面A1ED的距离是__________．
[解析] (1) 如图，过点E作EE1⊥平面
A1B1C1D1，交直线B1C1于点E1，连接
D1E1，DE，在平面D1DEE1内过点P作
PH∥EE1交D1E1于点H，连接C1H，则C1H即为点P到直线CC1的距离．当点P在线段D1E上运动时，点P到直线CC1的距离的最小值为点C1到线段D1E1的距离，即为△C1D1E1的边D1E1上的高h.∵C1D1＝2，C1E1＝1，∴D1E1＝5，∴h＝25＝255.
第 1 页 共 4 页 向量方法求点到直线的距离
（最新版4篇）
《向量方法求点到直线的距离》篇1
假设点 P(x0, y0) 和直线 L: Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 是常数。
点 P 到直线 L 的距离可以用以下向量方法求解:
1. 计算向量 OP，其中 O 是坐标原点，P 是点 P 的坐标。
OP =
2. 计算直线 L 的法向量 N。法向量 N 与直线 L 垂直，因此它的方向与直线 L 的方向相同，但长度为 1。
N =
3. 计算向量 DP，其中 D 是点 P 到直线 L 的垂足。
DP =投影向量 (OP) 在 N 上的投影
其中，投影向量 (OP) 在 N 上的投影长度为|OP|*cos(θ),其中θ是向量 OP 和向量 N 之间的夹角。
由于 N 是单位向量，因此有:
cos(θ) = (OP·N) / (|OP|*|N|)
其中，(OP·N) 是向量 OP 和向量 N 之间的点积。
《向量方法求点到直线的距离》篇2
假设点 $P$ 的坐标为 $(x_0, y_0)$,直线 $L$ 的一般式方程为
$Ax + By + C = 0$,其中 $A, B, C$ 不全为 $0$。 第 2 页 共 4 页 点 $P$ 到直线 $L$ 的距离 $d$ 可以用以下向量方法计算:
1. 计算向量 $overrightarrow{n} = begin{pmatrix} A B
end{pmatrix}$。
2. 计算向量 $overrightarrow{p} = begin{pmatrix} x_0 y_0
end{pmatrix}$。
3. 计算向量 $overrightarrow{d} = overrightarrow{p} -
overrightarrow{n}t$,其中 $t$ 是 $overrightarrow{p}$ 在
$overrightarrow{n}$ 方向上的投影长度。
点到直线的距离公式向量方法
点到直线的距离公式向向量法：
1、定义：给定一点P(x0, y0, z0)，以及由向量A(a, b, c)，B(u, v, w)构建的直线，直线的单位法向量N=(a, b, c)，那么点P到直线的距离dist：
2、公式：
dist = |(a * x0 + b * y0 + c * z0 - a * x1 - b * y1 - c * z1) / sqrt(a2 + b2 + c2) |
3、说明：dist为点P到直线的距离；a∗x0+b∗y0+c∗z0表示直线上点P到原点的距离；a∗x1+b∗y1+c∗z1表示直线上任意一点到原点的距离；a2+b2+c2表示直线的单位向量N的点乘。
4、应用：点到直线的距离公式向量法，可用于计算物体和平面的垂线距离，亦可用于计算直线和平面的交点、线段的中点等几何计算或图形应用中。此方法对不在原空间内的点P，也可以计算出距离，从而非常方便。
