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巧用向量法求空间距离

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巧用向量法求空间距离

重点 点到平面距离的求法

难点 理解各种距离之间的转化思路

考试要求 考试

➢

题型 选择题、填空题、解答题

➢ 难度 中等

核心知识点：点到平面距离的向量求法

如图点P为平面外一点，点A为平面内的任一点，平面的法向量为n，过点P作平面的垂线PO，记PA和平面所成的角为，则点P到平面的距离

||||||||sin||||||||nPAnPAdPOPAPAnPAn••

说明：（1）运用向量法求解空间距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对应的向量，然后计算这个向量的模。

（2）对空间中的两种距离的认识

a 面面距。与两平行平面同时垂直的直线叫做两个平面的公垂线。公垂线夹在两平行平面之间的部分叫两个平面的公垂线段。两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面之间的距离。

b 空间中两条异面直线的距离、直线到平面的距离、两个平面的距离都可转化为点面距。

类型一：求空间的两点间距离

例题1 已知AB，BC，CD为两两垂直的三条线段，且它们的长都为2，则AD的长为（ ）

A 4 B 2 C 3 D 23

【答案】D

【解析】方法一：建立如图所示的坐标系，据题意知，A（2，0，0），D（0，2，2），

222AD(222)AD22223，，

方法二：AD=AB+BC+CD∵， θP AOnα2222()2+2+2122222AD=AB+BC+CD+ABBC+ABCD+BCCD=＝，∴||23AD=

方法三：如图所示，把AB，BC，CD看成为一个正方体的三条棱，由勾股定理得：

222AD=AB+BC+CD=23.

总结提升：求空间两点间距离的方法

类型二：求空间点到直线距离

例题2 三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥AC，且AS=AB=AC=2，D是SA的中点，则点D到BC的距离为____________。

【答案】3

【解析】如图所示，建立空间直角坐标系A，则D（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），BD201BC220，，，，，，

∴BD在BC上的投影长为|BCBD|4222BC，

故D到BC的距离为 22BD23.

总结提升：

1 点到直线距离的求法

如图，PB⊥，垂足为B，则PB的长度即为P到的距离，在不易确定垂足B的情况下，可在上另取一点A，则AB为AP在AB上的投影，故|APAB|AB.AB

在Rt△PAB中，有22BPAPAB，即P到的距离d=22APABAP||.AB

2

因此求点P到直线的距离可分以下几步完成：

（1）在直线上取一点A，同时确定直线的方向向量n.，并求0nn.n

（2）计算直线上点A与已知点P对应的向量AP.

（3）计算AP在0n的投影

（4）由公式220dAP|APn| 求距离。

类型三：求空间点、直线、平面到平面距离

例题3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题： BAPl

（1）求B1到面A1BE的距离；

（2）求D1C到面A1BE的距离；

（3）求面A1DB与面D1CB1的距离

【解析】（1）如图所示建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），

A1（1，0，1），D1（0，0，1），C1（0，1，1），B1（1，1，1），1(0,,1)2E。

111(-1,,0),(0,1,-1)2AEAB，设(,,)nxyz为面A1BE的法向量，则

110,0,nAEnAB即10,20,xyyz即2,2,yxzx取=1，得平面A1BE的一个法向量(1,2,2)n。

11BABE选点到面的斜向量为110,1,0,AB

111123ABnBABEdn得到面的距离为。 B1C1D1A1EDCBA

（2）∵D1C∥面A1BE，∴ D1到面A1BE的距离即为D1C到面A1BE的距离，

仿上法求得D1到平面A1BE的距离1311DAnd==n。

（3）∵面D1CB1∥面A1BD，∴ D1到面A1BD的距离即为面D1CB1到面A1BD的距离。

易得平面A1BD的一法向量(-1,1,1)n，且11DA=(1,0,0)。D1到平面A1BD的距离

1133DAndn。 B1C1D1A1EDCBAzyxB1C1D1A1EDCBAzyx

总结提升：点到平面的距离的三种求法

（1）定义法：这是常规方法，首先过点向平面作垂线，确定垂足的位置，然后将该线段放到一个直角三角形中，最后通过解三角形求得点到平面的距离。

（2）等体积法：把点到平面的距离视为一个三棱锥的高，利用三棱锥转化底面求体积，从而求得点到平面的距离。

（3）向量法：这是我们常用的方法，利用向量法求点到平面的距离的一般步骤为：①求出该平面的一个法向量；②找到从该点出发到平面的任意一条斜线段所对应的向量；③求出法向量与斜线段所对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求得点到平面的距离。

1 利用法向量来解决立体几何题目，最大的优点就是不用像在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题。但是也有局限性，用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正（长）方体、直棱柱、正棱锥等。

2 防范措施：（1）提高运算能力

应用向量法解题，计算结果的正确性至关重要，在向量的运算，法向量的求解过程中，运算的快捷准确是解题的关键。

（2）转化思想的应用

在求空间的各种距离时，要有转化的意识，求解的过程往往就是转化的过程，如本例中利用向量法求点面距等均体现了转化的思想。 B1C1D1A1DCBAzyx

（答题时间：30分钟）

一、选择题

1 已知1AB312AC031BGBC3，，，，，，， 则点A与G之间的距离为（ ）

A 863 B 86 C 2433 D 4213

2 已知A（1，0，0），B（1，-2，3），C（-1，2，1），则点A到直线BC的距离为（ ）

A 6129 B 6174 C 6129 D 617

3 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离是（ ）

A 332 B 322 C 32 D 34

二、填空题

4 已知直三棱柱的各棱长都是2，且AB⊥AC，则点A1到直线BC1的距离为______。

5 空间四边形ABCD的各顶点坐标分别是A（0，1，3），B（2，0，2），C（1，-1，2），D（-1，3，1），E，F分别是AB与CD的中点，则EF的长为______。

三、解答题

6 四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点。

（1）证明：DE∥平面PFB；

（2）求点E到平面PFB的距离。

FEDCBAP

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向量法求空间距离教案

向量法求空间距离教案

A B C D O S

xyz图2 A

B C

D  n a

b

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龙文学校个性化辅导教案提纲

教师：_______ 学生：_______ 年级：______ 授课时间：_____年___月___日_____——_____段

一、授课目的与考点分析：向量法求空间距离

能用向量方法解决空间距离问题，了解向量方法在研究集合问题中的应用.

二、授课内容及过程：

1、点到平面的距离

方法：已知AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，

则A到平面的距离d=ABnn.

2、两条异面直线距离：

方法：a、b为异面直线，a、b间的距离为：ABndn.

其中n与a、b均垂直，A、B分别为两异面直线上的任意两点

题型1：异面直线间的距离

例1、如图2，正四棱锥SABCD的高2SO，底边长2AB。求异面直线BD和SC之间的距离？

题型2：点面距离

如图，在长方体1111ABCDABCD，中，11,2ADAAAB，点E在棱AD上移动.（1）证明：11DEAD；

（2）当E为AB的中点时，求点E到面1ACD的距离；

（3）AE等于何值时，二面角1DECD的大小为4.

解：以D为坐标原点，直线1,,DADCDD分别为,,xyz轴，

建立空间直角坐标系，设AEx，则11(1,0,1),(0,0,1),(1,,0),(1,0,0),(0,2,0)ADExAC

（1）.,0)1,,1(),1,0,1(,1111EDDAxEDDA所以因为

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巧用向量法求空间距离

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巧用向量法求空间距离

作者：袁世珍

来源：《甘肃教育》2009年第19期

〔关键词〕 向量法;空间距离;异面直线

〔中图分类号〕 G633.63〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463(2009)10(A)—0049—01

求两点间的距离

利用公式a2=|a|2,可用已知向量表示未知向量,再利用向量的运算性质求解.

求点到直线的距离

则点A到l的距离就是上述公式中的d.

例2如图2,在长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是CC1、A1D1的中点,求点A到直线EF的距离.

解:如图2,以AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),E(a,

求两条异面直线间的距离

例3已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1,求直线DA′与AC的距离(人教版高中《数学》第二册(下B)习题9·8第4题).

0).

求点到平面的距离

述公式中的d.

例4在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2.求D1到平面A1BD的距离.

4,-2). 龙源期刊网

设n=(x,y,z)是平面A1BD的一个法向量,则3x-2y=0,4y-2z=0. 令z=6,得x=4,y=3.

最后,其他距离可都化为上述四种距离中的某一种来求,在此不再举例.

用向量法求空间距离的五条定理

用向量法求空间距离的五条定理

求空间距离（点到平面距离、直线与与之　平行的平面间的距离、两平行平面间的距离、　点到空间直线的距离，两异面直线间的距离）　的问题是立体几何中常见的一种题型，其解题　步骤一般是：一作、二证、三计算．解这种题型　的困难之处在于要作出该距离，是否存在一种　不需作出该距离的既简单又通用的解法呢？　笔者介绍用向量法求空间距离的五条定　理．若用这几条定理来解这类问题就显得容易　多了．因为它不必去考虑这距离到底在那里，　且其解法有一定的步骤，有章可循，只须作一　些简单的计算就可以了．现将这五条定理叙述　并证明如下：　定理一　点到平面的距离等于这点与平　面上任一点所连结的向量与该平面法向量方　证明‘．‘面．；一ＩＰＱｌ－　．ｃｏｓ＜而，；＞　一ｌ　Ｐ—ＱＩ．　ｏ　＜而，；＞，　ｄ—ｌ　ＰＯｌ—Ｉ　ＰＱｌ・ＣＯＳ　ＱＰＯ　ＰＱｌ・ｌ　ＣＯＳ＜ＰＱ，ｅ＞　一ｌ　ｌ　ＰＱｌ－ＣＯＳ（ＰＱ・Ｐ＞ｌ—ｌ　ＰＱ・ｅ　１．　定理二　直线与与之平行的平面间的距　离等于直线上任一点与平面上任一点所连结　的向量与该平面法向量方向上的单位向量数　量积的绝对值．　已知如图２，直线ｎ／／　平面ａ，Ｐ为ｎ上任一点，　Ｑ为ａ上任一点，Ｐ０＿Ｌ　ａ　于０点，ｌ　Ｐ０ｌ—ｄ，ｅ为平　面ａ法向量方向上的单位　尸　

秽　维普资讯

向量，ｎ为平面ａ的任一　维普资讯

空间距离的向量求法

空间距离的向量求法

《中学数学杂志》（高中）２００２年第４期　ｊｊ　２＝２　（ⅢＥ　Ｎ），又ｋ　Ｅ（１，２　００１），所以ｋ十２∈　（３，２　００３），所以ｋ＋２＝２　，２　，…，２　，　所以ｋ＝２　一２，２　一２，…，２　一２，　所以Ｍ＝（２　一２）十（２　一２）十…十（２　一２）　＝（２　十２　＋…十２　）一２×９＝２０２６，即所有企盼　数的和Ｍ为２　０２６．　高考对能力的考查可能在一个全新的情境下进　行，有时以高等数学知识为背景，有时以现代社会人　们的生活实际为背景，这其中可能是学生熟悉的也　可能是陌生的，对这类问题的解决不是靠死读书的　题海战术能解决的．一般来说，这类问题所涉及的　数学知识相对简单和基础，只要在求解的过程中，认　真审题，紧紧抓住新情景、新概念的实质，把它转化　为学过的数学问题，就不会被其外表的“新”而迷失　方向了．　

空闻距离的向量求法　

曲阜师范大学数学教育硕士　２７３１６５　李志刚　

空间距离的计算是立体几何计算问题的基础　和重心，也是高考立体几何试题的热点、这一部分　一般包括点点距，点线距，点面距，面面距和异面直　线问的距离．这六种距离在旧教材中通常是采用　“一作，二证，三计算”的方法求解．对学生来说是较　难掌握的一种方法，难就难在“一作”上，所谓的“一　作”就是作出点面距中的垂线段，异面直线的公垂　线段．除非有相当的基本功，否则这种方法很难运　用自如．但在新教材中由于学生学习了向量，我们　可以避开作（或找）公垂线段、垂线段的麻烦，利用　向量直接计算就可得到结果，因此更容易让学生接　受、掌握．现将此法作简单介绍．　１　向量数量积的几何意义　向量ａ在向量ｂ所在直线上的射影长度为ｌ　ａ　・－　，．　证明　作图如下（图１）．　口　４　

Ｂ　ｂ　ｂ　Ａ　Ｂ　（１）　（２）　图ｌ　（１）（ａ，ｂ）为锐角时　邶＝ｎ・　＝ｎ　１　ｌ　（　）　＝ｌ　ａ　ｌ　ＣＯＳ（ａ，ｂ）＞０．　（２）（ａ，ｂ）为钝角时，　ＡＢ＝口‘　＝…・ｆ　ｆ　ＣＯＳ（　）　＝Ｉ　ａ　Ｉ　ｏ。Ｓ（ａ，ｂ）＜０、　总之，向量ａ在向量ｂ所在直线上的射影长度　彻，＝　１．　２　向量的数量积用于求点面距　对于平面。外一点Ｐ，在平面。内任取一点Ｍ　得向量　，设，ｌ是平面。的一个法向量，如图ｌ，则　ｆ．—’ｒ竺＿＿『就是点Ｐ到平面。的距离　｝　ｌ　ｔｌ　Ｉ　ｌ