函数概念发展的历史过程

关于函数的形成与发展的数学小论文

函数的概念最早产生于运动的研究．如伽利略是用文字语言来表述这些函数关系的．“从静止状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比”；“沿着同高度但不同坡度的倾斜平板下滑的物体，其下滑的时间与平板的长度成正比”；显然，只需引进适当的符号，上述的函数关系就可以明确的用数学形式表述： ； …以这些具体的函数为原型，17世纪的一些数学家通过弱抽象获得了如下的函数概念：

“函数是这样一个量，它是从一些其它的量通过一系列代数运算而得到的．”

上述定义显然过于狭窄了，因为它事实上仅适用于代数函数的范围．因此，在其后的发展中，函数概念得到了进一步的扩展．随着数学研究的深入，人们逐渐接触到了一些超越函数，如对数函数，指数函数三角函数等，尽管这些函数已经超出了代数函数的范围，但是在一些数学家看来，两者区别仅仅在于超越函数重复代数函数的那些运算无限多次，从而人们又通过弱抽象提出了如下的函数概念：

“函数是指由一个变量与一些常量，通过任何方式（有限的或无限的）形成的解析表达式．”

这一由欧拉给出的定义尽管仍然过于狭窄，在18世纪却曾长期占统治地位．

19世纪初，函数概念再次得到了扩展，函数的概念开始摆脱“解析表达式”，另外狄里克雷更提出了如下的函数概念：

“如果对于给定区间上的每一个x值有唯一的一个y值同它对应，那么，y就是x的一个函数．”

最后，如果用任意的数学对象去取代具体的数量，并采用集合论的语言，则可以获得更为一般的“映射”概念：

如果在两个集合的元素之间存在有确定的对应关系，就称为是一个映射．

函数这个数学名词是莱布尼兹在1694年开始使用的，以描述曲线的一个相关量，如曲线的斜率或者曲线上的某一点。莱布尼兹所指的函数现在被称作可导函数，数学家之外的普通人一般接触到的函数即属此类。对于可导函数可以讨论它的极限和导数。此两者描述了函数输出值的变化同输入值变化的关系，是微积分学的基础。

© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 函数概念的形成与发展

北京教育学院宣武分院　彭　林

北京师范大学数学系　张　宇

历史表明

,重要数学概念对数学发展的作用是不

可估量的

,函数概念对数学发展的影响

,可以说是贯穿

古今、旷日持久、作用非凡

,回顾函数概念的历史发展

,

看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程

,

是一件十分有益的事情

,它不仅有助于我们提高对函

数概念来龙去脉认识的清晰度

,而且更能帮助我们领

悟数学概念对数学发展

,数学学习的巨大作用

.

(一)

马克思曾经认为

,函数概念来源于代数学中不定

方程的研究

.由于罗马时代的丢番图对不定方程已有

相当研究

,所以函数概念至少在那时已经萌芽

.

自哥白尼的天文学革命以后

,运动就成了文艺复

兴时期科学家共同感兴趣的问题

,人们在思索

:既然地

球不是宇宙中心

,它本身又有自转和公转

,那么下降的

物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上

?行

星运行的轨道是椭圆

,原理是什么

?还有

,研究在地球

表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度

,以及

炮弹速度对于高度和射程的影响等问题

,既是科学家

的力图解决的问题

,也是军事家要求解决的问题

,函数

概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念

,这

是函数概念的力学来源

.

(二)

早在函数概念尚未明确提出以前

,数学家已经接

触并研究了不少具体的函数

,比如对数函数、三角函

数、双曲函数等等

.1673年前后笛卡儿在他的解析几

何中

,已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖

关系

,但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概

念

,因此直到

17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分

的时候

,数学家还没有明确函数的一般意义

.

1673年

,莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”

,

后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长

等曲线上点的有关几何量

对数函数的产生和发展历程

一、对数函数的产生：

16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的天文数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。德国的史蒂非（1487-1567）在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent ，有代表之意）。欲求左边任两数的积（商），只要先求出其代表（指数）的和（差），然后再把这个和（差）对向左边的一个原数，则此原数即为所求之积（商），可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。

在纳皮尔所处的年代,哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行,这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于当时常量数学的局限性,天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”,因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.纳皮尔也是当时的一位天文爱好者,为了简化计算。他所制造的「纳皮尔算筹」，化简了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的1619年发表《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为 纳皮尔对数，记为Nap．㏒x，它与自然对数的关系为：Nap．㏒x=10㏑(107/x)由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定的距离。瑞士的彪奇（1552-1632）也独立地发现了对数，可能比纳皮尔较早，但发表较迟（1620）。英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=...为底）。对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，简化了行星轨道运算问题。

二、对数函数的发展过程：

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函数概念的历史发展

函数概念是中学中最重要的概念之一，它既是数学研究的对象，又是解决数学问题的基本思想方法。早在16、17世纪，生产和科学技术的发展要求数学不仅研究静止不动的量，而且要研究运动过程中各个量之间的依赖关系，从而促进数学由常量上学时期进入到变量数学时期。函数也就成为研究变量数学必不可少的概念。

函数（function）一词，始用于1692年，见著于微积分创始人之一莱布尼兹G.W.Leibnic,1646—1717）的著作。而f(x)则由欧拉（Euler）于1724年首次使用。我国于1859年引进函数的概念，它首次是在清代数学家李善兰与英国传教士伟烈亚历山大合译的《代微积拾级》中出现。函数在初高等数学中，在物理、化学和其他自然科学中，在经济领域和社会科学中，均有广泛的应用，起着基础的作用。

函数的概念随着数学的发展而发展，函数的定义在发展过程中不断地精确、完善、抽象，函数的概念也不断得到严谨化、精确化的表达。

牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出的“生成量”就是函数概念的雏形。最初，函数是表示代数上的幂（23,,,xxx…），1673年，莱布尼兹把任何一个随着曲线上的点变动的几何量，如切线、法线，以及点的横坐标都成为函数。

一、解析的函数概念

在18世纪占主导地位的观点是，把函数理解为一个解析表达式．

1698年，瑞士著名数学家约翰·贝努利定义：由变量x和常量用任何方式构成的量都可以称为x的函数．这里任何方式包括代数式子和超越式子．

1748年，约翰的学生，杰出数学家欧拉在它著名的《无穷小分析引沦》中把函数定义为“由一个变量与一些常量通过任何方

【最新整理，下载后即可编辑】 式形成的解析表达式”，这就把变量与常量以及由它们的加、减、乘、除、乘方、开方和三角、指数、对数等运算构成的式子，均称为函数．并且，欧拉还给出了函数的分类，把函数分为：代数函数与超越函数，有理函数与无理函数，整函数与分函数，单值函数与多值函数．