函数概念的起源、演变与发展

第２７卷第３期　

２０１１年６月　大　学　数　学　

ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｖｏ１．２７，№．３　

Ｊｕｎ．２Ｏ１ｌ　

函数概念的起源、　演变与发展　

李孟芹　

（天津工业大学理学院，天津３００１６０）　

［摘要］按照时间的推进，先后论述了函数概念的起源、诞生、严密化、飞跃及其扩展．　

［关键词］函数；概念；起源；演变；发展　［中图分类号］０１—０　［文献标识码］Ｃ　［文章编号］１６７２—１４５４（２０１１）０３—０１７９—０５　

１　引　言　

今日的数学大厦是历经数千年、数代数学家不断建设完善的结果．其中函数概念从它于１７世纪被　

引入以来，也伴随着数学思想的发展，经历了数次演变，逐渐从模糊走向严密．对于数学和科学来说，函　

数是一个最重要、最有意义的数学概念，是人类心智发展的一个重要标志＿１］．俄罗斯数学家亚历山大洛　

夫将数学分为四个基本的、本质上不同的阶段：第一阶段是萌芽时期；第二阶段是常量数学时期；第三阶　

段是变量数学时期．随着笛卡儿对坐标的引入，解析几何被广为接受；第四阶段是现代数学时期，集合论　

的诞生，为数学发展开创了一个新时代，集合成为数学的新语言　］．随着数学的发展，函数概念也经历了　

演变，并随之有了全新的定义，又扩展到数学的各个古老的、新兴的分支领域之中，拓扑、泛函分析、函数　

空间、解析数论等都是运用函数开拓出的新的数学领域．　作为最能深刻刻画现代数学发展的一个数学概念，认真地考察函数概念的起源、演变及其发展，不　

仅能够进一步加深对函数概念的认识与把握，也是深入了解数学思想和整个数学理论发展的重要途径．　

２函数概念的起源　

对过去科学概念的确立认识，应当采用历时的方法，按照历史实际存在的境遇和观点，来研究过去　

的科学＿３］．从历史上看，函数概念的产生有以下三个来源．　

２．１科学的数学化，为函数概念刻画奠定了基础．　

物理学的定量研究与描述，兴起了科学的数学化，为函数概念刻画奠定了基础．自文艺复兴以来，科　

学研究以认识和解释自然现象和规律为宗旨，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和　

公转，那么下降的物体为什么不发生偏移而还要垂直下落到地球上？还有，斜抛物体的射程、高度及轨　

迹是什么？科学家的兴趣也集中在能够解释这些规律的公式上．伽利略等一大批科学家对运动和一些　

几何内容作了定量研究，得出了一些规律性的变量之间关系，但都是文字关系描述，如“从静止状态开始　

的以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用的时间的平方成正比”，“两个等体积圆柱体的侧面积　

之比等于它们高度之比的平方根”，这标志科学数学化的开始．他虽然没有采用字母和运算符号的表示，　

但已经明确出量与量之间的关系，为函数概念的内涵确定奠定了基础．　

２．２代数符号化为函数概念奠定了重要的形式基础．　从丢番图到韦达，代数学逐步走出了文字叙述式表述，已经广为接受用阿拉伯数字和字母进行运　

［收稿日期］２００８—０８—２８；　［修改日期］２００９　０１—１５

　１８Ｏ　大　学　数　学　第２７卷　

算、书写代数式和代数方程．韦达用字母表示未知量的乘幂，成为算术与代数的分界，即代数是施行于事　

物的类或形式的运算方式．韦达力图把代数学隐藏在几何形式下的代数恒等式建立起来　］．笛卡儿对韦　

达使用的字母符号作了改进，将已知量和未知量的符号作了分区：他用字母表前面的字母，如　，ｂ，　

等表示已知量，用字母表末的字母，如３７，Ｙ，　等表示未知量．这已成为现今的习惯用法．数学量、运算　

符号等的引入，逐步使代数摆脱了文字叙述，形成了鲜明、直观、简洁的表示和运算，为函数概念的表示　

和形式化打下了良好的基础．　

２．３　解析几何的变量概念，为函数概念的诞生提供了前提．　

１６３７年，笛卡儿在他的《几何》中用字母表示几何作图中已知和未知的线段，并确定这些线段之间　

的相互关系，使同一个量能用两种方式表示出来，从而得到一个代数方程．他引人坐标系和坐标变量　

－ｚ，Ｙ，这样几何中的一个曲线，就对应于ｚ，　描述的一个代数方程．这标志，笛卡儿将数学的结构从几　

何转到了代数，也为函数概念的诞生提供了前提ｌ＿５］．　

３　函数概念的诞生——“变量说”　

函数一词是由莱布尼兹于１６７３年引入的，但不是后来意义上的函数，仅仅用于表示任何一个随曲　

线上的点的变动而变动的纵坐标、切线、法线等长度『１］．　

１６９７年，约翰·伯努利给出了函数的第一个定义：一个按照任何方式用变量和常量构成的量．１６９８　

年，他采用了莱布尼兹的说法，称这个量为“ｚ的函数”，表示为Ｘ．１７１８年，他又明确定义了一个变量　

的函数：由这个变量和常量的任意一种方式构成的量，表示为　．伯努利强调的是函数要用公式来　

表示　．　

１７３４年，欧拉引入现在的函数表示形式：厂（　）．１７４８年，欧拉在《无穷小分析引论》中，首次将函数　

作为明确而主要的内容，而不是将曲线作为主要的研究对象，促进了几何的算术化．书中定义一个变量　的函数：是由该变量和一些数或常量以任何一种方式构成的解析表达式．在这一定义中，欧拉用“解析表　

达式”代替了伯努利的“任意一种方式”，更加明确地表达了变量之间的相互依赖的变化关系．１７５５年，　

欧拉在《微分学原理》中给出函数另一个定义：如果某些量以如下方式依赖于另一些量，即当后者变化　时，前者本身也变化，则称前一些量是后一些量的函数＿６］．在此定义中，变量间的依赖关系叙述得更加明　

了，且已经隐含了自变量和因变量的概念，也不再强调函数一定要用公式来表示，但仍没有明确函数是　

某种对应关系，也没有提出函数可以不用解析式来表示．　

１７９７年拉格朗日在他的《解析函数论》中把一元或多元函数定义为：自变量在其中可以按任意形式　

出现并对计算有用的表达式　．换句话说，他认为，函数是运算的一个组合．　

由以上史料分析可以看出，从函数概念的引入到１８世纪末，人们对函数概念的定义在不断改进，到　

ｌ８世纪末，函数概念的“变量说”：“函数是一些量依赖于另一些量的变化而变化的量，并且必须能用一　

些解析式或公式表示出来”得到了大家的普遍认可和应用．虽然此时的函数概念中已经蕴含了对应关系　

的意思，但仍没有明确提出函数是某种对应关系，并且函数必须能用解析式表示出来的提法也使函数概　

念的内涵受到了约束，因为它只是函数概念的外延．　

４　函数概念的严密化——“对应说”　

解析表达式的函数定义占据了１８世纪的统治地位，也受到欧拉等当时一大批大科学家的推崇．从　

数学的角度看，用确定的解析式来表达函数是正当的要求，但问题也正出于此，函数是否必须有解析式　

子？是否真如有些数学家所抱怨的：能用解析式子表达的函数是“真函数”，不能用解析式子表达的函数　

就是“假函数”呢？　

函数的解析表达式及莱布尼兹引入的关于函数、导数、微分和积分等符号具有代数化和简洁明朗的　

运算性，显现出比几何和其他表示的显著优越性．在以欧拉为代表的代数表达式的形式演算推动下，欧　

洲大陆上的拉格朗日、拉普拉斯、欧拉、柯西、伯努利家族等迅速将形式演算方法拓展到物理、力学等科　第３期　李孟芹：函数概念的起源、演变与发展　１８１　

学研究之中，促进了常微分方程、偏微分方程、复变函数等新领域的形成与发展，这个过程反过来也刺激　

了函数概念的发展，促使人们从更加严密的角度来考察它，数学分析也得到向严密化的推进．　

对函数的形式演算，需要将复杂的、超越的函数展成级数．由于对振动弦的研究，提出了函数整体性　

质刻画的问题，而不一定都将函数表示成解析表达式，函数的概念可以描述随意画出的任意曲线（不规　

则函数、不连续函数等）．对于过去以较简单的代数函数性质直接推广到所有函数上去的做法，引起广泛　

争论，引起了数学分析严密化问题，也开始了对函数概念的进一步探讨．　

１７９７年，拉格朗日在《解析函数》中，力图重建微积分的基础．他的代数分析的实质，就是把函数归　

结为无穷级数．他希望任何函数．厂（　）都能表示成　

／　（　十＾）一／’（　）＋　＋　。＋…．　

他经过形式论证，得出　

，　２　．．　，厂（ｚ＋ｈ）　ｆ（　）＋ｈｆ　（　）＋　／　（ｚ）＋…．　厶　１８０７年，傅立叶在研究热传导方程时，得到了现在称为傅立叶级数的三角函数无穷级数．他称，任　

意函数可以用正弦函数和余弦函数的无穷和来表示．这就引起了关于周期函数、连续性、可导性、收敛性　

等涉及数学分析的严密性问题。１８１１年，傅里叶谈到了级数的收敛性．后来狄里克莱证明了：一个三角　

级数可以收敛于不连续函数．从此以后，函数概念不再强调纯解析表达式，为函数概念向前迈进一步奠　

定了基础．　

在此基础上，傅立叶给出一个函数的一般定义：函数，（ｚ）表示一个完全任意的函数，即给定一系　

列值，按共同规律或不按共同规律，对于在０与任意大的ｘ之间的－一切ａ２值做出回答ｌ４］．这一定义不仅　

终于脱离开保持了一个多世纪的函数必须能用解析式表示的约束，而且这一定义已经含有“对应关系”　

的内涵了．　比傅立叶更进一步，狄里克莱１８３７年给出了一个函数定义：假定ａ和ｂ是两个确定的值，ｚ是一个　

变量，它顺序变化取遍。和ｂ之间的值，于是，如果对于每个３７，有唯一的一个有限的Ｙ以如下方式与之　

对应：即当ｚ从。连续地通过区间到达ｂ时，Ｙ一－厂（ｚ）也类似地顺序变化，那么Ｙ称为该区间中ｚ的连　

续函数．而且完全不必要要求Ｙ在整个区间中按同一规律依赖于ｚ［５３．按照这个定义，即使像下面定义　

的厂（ｚ），仍可说是函数：厂（ｚ）在ｚ为有理数时为１，当　为无理数时为０．这就是著名的狄里克莱函　

数．从此，人们普遍接受：没有必要认为函数仅仅是可以用数学运算表示的那种关系．这个函数的定义比　傅立叶的定义有了根本性的发展，引入了现代函数概念中的两个要素：区间（即定义域）和对应．　

１８７０年，Ｉ－｛ａｎｋｅｌ也给出了函数定义：ｆ（ｘ）称为－ｚ的一个函数，如果对于某个区间内的每个ｚ值，　

都有唯一和确定的．厂（　）的一个值与之对应．而且厂（ｚ）从何而来，如何确定，是否由量的解析运算或其　

它方式得到，这些都无关紧要，所需的只是ｆ（ａｃ）的值在各处都是唯一确定的＿＿５］．　

１８７６年，狄里克莱的学生黎曼给出了一个一般性的函数概念：如果设ｚ为可以取一切实数的变量，　

对于它的每个值对应到未定量训的唯一值，那么称训是　的函数．这个定义已经很趋于现代的函数定　

义了．　１８７９年，Ｆｒｅｇｅ的定义：如果在一个表达式（其含义无需探究）中，一次或多次出现一个简单或复合　

的符号，并且，我们认为这个符号在某些或所有出现的地方可以用其它事物代替（但各处要用同一事物　

代替），那么，我们称表达式中保持不变的成分为函数，可替代的部分则是这个函数的自变量［５］．在这一　

定义中，也已隐含了现代函数概念的两个要素：定义域即定义中的可替代的部分；对应关系即定义中所　

说的表达式中保持不变的成分．　

此后，又有许多数学家给出了函数的定义，都在强调：函数是变量间的某种“对应”关系，并且没有必　

要认为函数仅仅是可以用数学运算表示的那种关系．　

由以上史料分析可以看出，从１８世纪末到１９世纪后半叶，随着数学的发展，函数概念也逐渐严密　

化，明确了函数不只是一个变量依赖于另一个变量的变化而变化的量，能否用解析式表示也无关紧要，　

重要的是：变量间必须存在“对应”关系，即对于每一个Ｘ值，一定对应于一个且仅对应于一个Ｙ的值．但