湖南省长沙麓山国际实验学校2025届高三上学期第一次学情检测数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3A =，{}2|220B x x x =--<，则A B =I （ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}1,2,3D ．∅2．复数24i1iz -=+，则z 的虚部为（ ）． A ．3B ．3-C ．3-iD ．1-3．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-r r ，则a r 在b r上的投影向量为（ ）A ．31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭4．已知函数()()2ln 1f x x ax =-+-在[]2,3上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．(],4-∞B ．[)6,+∞C ．10,43⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．已知函数()3ln f x x t x =-存在两个零点，则实数t 的取值范围为（ ） A ．e ,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．e ,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()3e,+∞D ．(),3e -∞6．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）A ．13B ．25C ．23D ．457．如图，在OAB △中，C 是AB 的中点，P 在线段OC 上，且2=u u u r u u u rOC OP .过点P 的直线交线段,OA OB 分别于点N ，M ，且,OM m OB ON nOA ==u u u u r u u u r u u u r u u u r，其中,[0,1]m n ∈，则m n +的最小值为（ ）A ．12B ．23C ．1D ．348．已知函数()cos (0)f x x x ωωω->在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上存在最值，且在2π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的取值范围是（ ） A ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．58,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1117,46⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题9．下列说法中，正确的命题有（ ） A ．已知随机变量ξ服从正态分布()22,,(4)0.84N P δξ<=，则24()0.34P ξ<<=B ．以模型kx y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ˆln zy =，求得线性回归方程为ˆ0.34zx =+，则c ，k 的值分别是4e 和0.3 C ．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 D ．若样本数据1210,,,x x x L 的方差为2，则数据121021,21,,21x x x ---L 的方差为1610．已知函数()()21cos sin 02f x x x x ωωωω=-+>，若将()f x 的图象平移后能与函数sin 2y x =的图象完全重合，则下列结论正确的是（ ）A ．2ω=B ．将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数 C ．()f x 的图象关于点7π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．()f x 在3ππ,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是线段1BC 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．三棱锥1A APD -的体积为定值B ．1A P ∥平面1ACDC ．1AP B P +的最小值为D ．当1A ，C ，1D ，P 四点共面时，四面体111B PAC三、填空题12．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S =.13．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()111,3N n n a a S n *+==∈，则n a =．14．已知椭圆：2221(1)x y a a +=>的左、右焦点分别为12F F 、，点P 是y 轴正半轴上一点，1PF 交椭圆于点A ，若21AF PF ⊥，且2APF V 的内切圆半径为1，则该椭圆的离心率是．四、解答题15．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B ． (1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC V 存在，求ABC V 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．16．某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为35.(1)请将上述列联表补充完整；(2)依据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联；(3)将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取3人，计抽取的3人中喜欢游泳的人数为X ，求随机变量X 的分布列和期望． 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.17．如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA 与AC 不垂直，平面PAC ⊥平面ABC ，PA AB ⊥．(1)证明：AB AC ⊥；(2)若2PA PC AB AC ====，点M 满足3PB PM =u u u r u u u u r，求直线AP 与平面ACM 所成角的正弦值．18．已知直线210x y -+=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于,A B 两点，且||AB = (1)求p ；(2)设F 为C 的焦点，M ，N 为C 上两点，0FM FN ⋅=u u u u r u u u r，求MFN △面积的最小值．19．南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第1n +层球数比第n 层球数多1n +，设各层球数构成一个数列 a n .(1)求数列 a n 的通项公式； (2)求()()ln 11xf x x x=+-+的最小值； (3)若数列 b n 满足()2ln 22ln nn n b a n=-，对于*N n ∈，证明：11232n n b b b b n +++++<⨯L .。
