参数方程与极坐标

极坐标和参数方程
极坐标和参数方程是描述一个图形或者曲线的不同数学描述方法。

极坐标是一种描述平面点位置的坐标系统，以原点为基准，通过一个点到原点的距离（称为极径）和从原点引出到该点的射线与某个参考线（通常为X轴）的夹角（称为极角）来确定一个点的位置。

参数方程是一种描述曲线的数学表示方法，通过一组参数（通常使用常数）来确定曲线上的点的坐标。

参数方程中的参数可以是时间、角度、弧长等。

极坐标和参数方程可以互相转换，即呈现相同的几何形状。

对于一个平面曲线，其极坐标和参数方程的转换公式如下：
极径r = f(t)
极角θ = g(t)
其中，t是参数，f(t)和g(t)是关于t的函数。

通过给定参数t的取值范围，可以确定曲线的一部分或整个形状。

高中数学极坐标与参数方程公式大全极坐标公式极坐标是一种用极径和极角来确定平面上点位置的坐标系统。

在高中数学中，我们常常会遇到极坐标与直角坐标之间的转换和相关公式。

点的极坐标表示在极坐标系统中，一个点的位置由极径和极角确定。

极径表示点到极点的距离，通常用字母 r 表示；极角表示点与极轴的夹角，通常用字母θ表示。

通过将直角坐标系中的点 (x, y) 转换成极坐标系下的点(r, θ)，可以使用以下公式：•极径 r：r = √(x^2 + y^2)•极角θ：θ = arctan(y / x)极坐标到直角坐标的转换假设在极坐标系统中，有一个点(r, θ)，我们可以通过以下公式将其转换为直角坐标系统下的点：•x 坐标：x = r * cos(θ)•y 坐标：y = r * sin(θ)参数方程公式参数方程是一种用参数表示自变量和因变量之间关系的方式。

在高中数学中，我们常常使用参数方程来描述曲线或者路径。

曲线的参数方程表示对于一个给定的曲线，我们可以使用参数方程来表示。

通常，我们用参数 t 来表示自变量，然后通过指定 x 和 y 的表达式，将参数 t 和 (x, y) 一一对应。

例如，一个曲线的参数方程可以表示为：•x = f(t)•y = g(t)参数方程与直角坐标系的关系通常情况下，参数方程与直角坐标系下的方程之间存在关系。

我们可以通过参数方程将曲线在直角坐标系下表示出来。

在参数方程中，将参数 t 的取值范围确定在一定的区间上，可以画出曲线的一部分或者整条曲线。

极坐标与参数方程之间的转换在一些数学问题中，我们需要在极坐标和参数方程之间进行转换。

下面是一些常见的极坐标与参数方程之间的转换公式：极坐标到参数方程的转换•x = r * cos(θ)•y = r * sin(θ)上述公式可以表示为参数方程：•x = f(θ) = r * cos(θ)•y = g(θ) = r * sin(θ)参数方程到极坐标的转换给定参数方程 x = f(t) 和 y = g(t)，我们可以通过以下步骤将其转换为极坐标：1.计算 r 的表达式：r = √(f(t)^2 + g(t)^2)2.计算极角θ 的表达式：θ = arctan(g(t) / f(t))可以注意到，在将参数方程转换为极坐标时，需要考虑函数 f(t) 和 g(t) 的符号，以确保角度θ 的取值范围正确。

参数方程和极坐标系一、 知识要点一曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数,即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x并且对于t 每一个允许值,由方程组所确定的点Mx ,y 都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数,简称参数．二常见曲线的参数方程如下： 1．过定点x 0,y 0,倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= t 为参数其中参数t 是以定点Px 0,y 0为起点,对应于t 点Mx ,y 为终点的有向线段PM 的数量,又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义,有以下结论．错误!．设A 、B 是直线上任意两点,它们对应的参数分别为t A 和t B ,则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．错误!．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在x 0,y 0,半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= θ为参数3．中心在原点,焦点在x 轴或y 轴上的椭圆：θθsin cos b y a x == θ为参数 或 θθsin cos a y b x ==中心在点x0,y0焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点,焦点在x 轴或y 轴上的双曲线：θθtg sec b y a x == θ为参数 或 θθec a y b x s tg ==5．顶点在原点,焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== t 为参数,p ＞0直线的参数方程和参数的几何意义过定点Px 0,y 0,倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x t 为参数．极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O,叫做极点,引一条射线Ox,叫做极轴,再选一个长度单位和角度的正方向通常取逆时针方向;对于平面内的任意一点M,用ρ表示线段OM 的长度,θ表示从Ox 到OM 的角,ρ叫做点M 的极径,θ叫做点M 的极角,有序数对ρ, θ就叫做点M 的极坐标;这样建立的坐标系叫做极坐标系;2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点,在极坐标系下,一对有序实数ρ、θ对应惟一点P ρ,θ,但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标,这些坐标又有规律可循的,P ρ,θ极点除外的全部坐标为ρ,θ＋πk 2或ρ-,θ＋π)12(+k ,∈k Z ．极点的极径为0,而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外,平面上点的极坐标就惟一了,如限定ρ>0,0≤θ＜π2或ρ<0,π-＜θ≤π等．极坐标与直角坐标的不同是,直角坐标系中,点与坐标是一一对应的,而极坐标系中,点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： ⑴0ϕθ= ⑵θρcos a = ⑶θρcos a-= ⑷θρsin a =⑸θρsin a-= ⑹)cos(ϕθρ-=a4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为)0(>a ： ⑴a =ρ ⑵θρcos 2a = ⑶θρcos 2a -= ⑷θρsin 2a = ⑸ θρsin 2a -= ⑹)cos(2ϕθρ-=a5、极坐标与直角坐标互化公式：例题参数方程例1.讨论下列问题：1、已知一条直线上两点()111,y x M 、()222,y x M ,以分点Mx ,y 分21M M 所成的比λ为参数,写出参数方程;2、直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 211233t 为参数的倾斜角是3、方程⎩⎨⎧+=+-=ααsin 3cos 1t y t x t 为非零常数,α为参数表示的曲线是4、已知椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin 4cos 5y x θ为参数,则椭圆上一点 P 25,32-的离心角可以是 A ．3πB ．32πC ．34πD ．35π例2 把弹道曲线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=,21sin ,cos 200gt t v y t v x αα )2()1(化成普通方程． 例3. 将下列数方程化成普通方程．①⎩⎨⎧==t y t x 222,②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=221212t t y t x ,③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2221211t t y t t x ,④⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)1()1(t t b y t t a x ,⑤⎩⎨⎧+=+-=11mx y my x ．例4. 直线3x －2y ＋6=0,令y = tx ＋6t 为参数．求直线的参数方程． 例5.已知圆锥曲线方程是⎩⎨⎧-+-=++=5sin 461cos 532ϕϕt y t x （1） 若t 为参数,ϕ为常数,求该曲线的普通方程,并求出焦点到准线的距离；（2） 若ϕ为参数,t 为常数,求这圆锥曲线的普通方程并求它的离心率; 例6. 在圆x 2＋2x ＋y 2=0上求一点,使它到直线2x ＋3y －5=0的距离最大． 例7. 在椭圆4x 2＋9y 2=36上求一点P ,使它到直线x ＋2y ＋18=0的距离最短或最长．例8.已知直线；l ：⎩⎨⎧+=--=ty t x 4231与双曲线y-22-x 2=1相交于A 、B 两点,P 点坐标P-1,2;求：1|PA|.|PB|的值； 2弦长|AB|; 弦AB 中点M 与点P 的距离;例9.已知A2,0,点B,C 在圆x 2+y 2=4上移动,且有π32=∠BAC 求ABC ∆重心G 的轨迹方程;例10.已知椭圆183222=+y x 和圆x 2+y-62=5,在椭圆上求一点P 1,在圆上求一点 P 2,使|P 1P 2|达到最大值,并求出此最大值;例11.已知直线l 过定点P-2,0,与抛物线C: x 2+ y-8=0相交于A 、B 两点;1若P 为线段AB 的中点,求直线l 的方程；2若l 绕P 点转动,求AB 的中点M 的方程.例12.椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上是否存在点P,使得由P 点向圆x 2+y 2=b 2所引的两条切线互相垂直若存在,求出P 点的坐标；若不存在,说明理由;例题极坐标系例1讨论下列问题：1．在同一极坐标系中与极坐标M －2, 40°表示同一点的极坐标是 A －2, 220° B －2, 140° C 2,－140° D 2,－40°2．已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A 4,0°, B －4,－120°, C 23＋2, 30°,则△ABC 为 ;A 正三角形B 等腰直角三角形C 直角非等腰三角形D 等腰非直角三角形3．在直角坐标系中,已知点M －2,1,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,当极角在－π,π 内时,M 点的极坐标为 A 5,π－argtg －21B －5,argtg －21C －5,π－argtg 21D 5,－π＋argtg 21例2..把点)4,3(),6,5(ππ--B A 的极坐标化为直角坐标;例3.把点)0,2(),3,0(),1,3(P N M ---的直角坐标化为极坐标;例4.已知正三角形ABC 中,顶点A 、B 的极坐标分别为)2,3(),0,1(πB A ,试求顶点C 的极坐标;例5.化圆的直角方程x 2+y 2-2ax=0为极坐标方程; 例6.化圆锥曲线的极坐标方程θρcos e i ep-=为直角坐标方程;例7.讨论下列问题：1．在极坐标系里,过点M 4,30°而平行于极轴的直线 的方程是 A θρsin ＝2 B θρsin ＝－2 C 2cos =θρ D 2cos -=θρ2．在极坐标系中,已知两点M 14,arcsin 31,M 2－6,－π－arccos －322,则线段M 1M 2的中点极坐标为 A －1,arccos 322 B 1, arcsin 31C －1,arccos －322D 1,－arcsin 313. 已知P 点的极坐标是1,π,则过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ; A ρ=1 B ρ＝cos θ C ρcos θ=－1 D ρcos θ=14. 若ρ>0,则下列极坐标方程中,表示直线的是 ; A θ=3π B cos θ=230≤θ≤π C tg θ=1 D sin θ=10≤θ≤π 5. 若点A －4, 67π与B关于直线θ=3π对称,在ρ>0, －π≤θ<π条件下,B 的极坐标是 ;6. 直线ρcos θ－4π=1与极轴所成的角是 ;7. 直线ρcos θ－α=1与直线ρsin θ－α=1的位置关系是 ;8. 直线y =kx ＋1 k <0且k ≠－21与曲线ρ2sin θ－ρsin2θ＝0的公共点的个数是 ;A 0B 1C 2D 3 例8.讨论下列问题；1. 圆的半径是1,圆心的极坐标是1, 0,则这个圆的极坐标方程是 ; A ρ＝cos θ B ρ＝sin θ C ρ＝2cos θ D ρ＝2sin θ2. 极坐标方程分别是ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是 ; A 2 B 2 C 1 D22 3. 在极坐标系中和圆ρ=4sin θ相切的一条直线方程是 A ρsin θ=2 B ρcos θ=2 C ρsin θ=4 D ρcos θ=4 4．圆ρ＝D cos θ－E sin θ与极轴相切的充分必要条件是 AD ·E ＝0 BD 2＋E 2＝0 CD ＝0,E ≠0 DD ≠0,E ＝05．圆=ρ23sin θ－2cos θ的圆心的极坐标为 ; 6. 若圆的极坐标方程为ρ=6cos θ,则这个圆的面积是 ; 7. 若圆的极坐标方程为ρ=4sin θ,则这个圆的直角坐标方程为 ; 8. 设有半径为4的圆,它在极坐标系内的圆心的极坐标为－4, 0,则这个圆的极坐标方程为 ; 例9.当a 、b 、c 满足什么条件时,直线θθρsin cos 1b a +=与圆θρcos 2c =相切例10.试把极坐标方程cos 62sin 32cos =-+θθρθρm 化为直角坐标方程,并就m 值的变化 讨论曲线的形状;例11.过抛物线y 2=2px 的焦点F 且倾角为θ的弦长|AB|,并证明：||1||1FB FA +为常数学; 例12.设椭圆左、右焦点分别为F 1、F 2,左、右端点分别为A 、A ’,过F1作一条长度等于椭圆短轴弦MN,设MN 的倾角为α.1若椭圆的长、短轴的长分别为2a,2b,求证：;cos 2b a a +=α2若|AA ’|=6,|F 1F 2|=24,求α.例13.求椭圆12222=+by a x的过一个焦点且互相垂直的焦半径为直角边的直角三角形面积的最小值;。

解析几何中的参数方程与极坐标系在解析几何中，参数方程和极坐标系是两种常用的坐标系统，它们在描述曲线和曲面的特征方程中起到了重要作用。

本文将对参数方程和极坐标系进行解析和比较，并探讨它们在几何学中的应用。

一、参数方程参数方程是一种用参数表示的函数方程，其中自变量和因变量都是参数的函数。

在解析几何中，参数方程常用于描述平面曲线和空间曲线。

以平面曲线为例，设曲线上的点坐标为(x, y)，则可以用参数t表示，即x = x(t)，y = y(t)。

参数t的取值范围可以是一个区间，例如t∈[a, b]，也可以是整个实数集。

通过参数方程，我们可以灵活地描述各种曲线，包括直线、抛物线、椭圆等。

例如，对于直线来说，可以选择参数t为直线上的点到某一点的距离，这样就可以用参数方程表示直线的方程。

在空间曲线的描述中，参数方程同样起到了重要作用。

例如，对于螺旋线来说，可以选择参数t为螺旋线上的点到某一轴线的距离，这样就可以用参数方程表示螺旋线的方程。

参数方程的优点在于可以简化对曲线的描述，而且可以方便地求解曲线上的点和曲线之间的关系。

但是参数方程也存在一些问题，比如在计算曲线的长度和曲率时相对复杂。

二、极坐标系极坐标系是一种用极径和极角表示的坐标系统，常用于描述平面上的曲线和曲面。

在极坐标系中，一个点的坐标由极径r和极角θ确定，记作(r, θ)。

其中，极径表示点到原点的距离，极角表示点与极轴的夹角。

通过极坐标系，我们可以方便地描述各种曲线，包括圆、椭圆、双曲线等。

例如，对于圆来说，可以选择极径r为圆心到圆上任一点的距离，这样就可以用极坐标系表示圆的方程。

在极坐标系中，曲线的方程通常是一个关于极径r和极角θ的函数。

通过改变极径和极角的取值，我们可以得到曲线上的不同点。

极坐标系的优点在于可以简化对曲线的描述，特别适用于具有对称性的曲线。

而且在计算曲线的长度和曲率时相对简单。

但是极坐标系也存在一些问题，比如在描述某些非对称曲线时相对困难。

参数方程与极坐标(精华版)y y tsin注意：倾角为的直线，斜率为tan，所以tan=tan，即tcos=tsin，所以cos=sin，即=45，即直线与x轴或y轴夹45角。

Eg：已知直线L过点（1，2）且与x轴夹45角，求直线L的方程。

解：设直线L的参数方程为x=1+tcos45，y=2+tsin45，即x=1+t/2，y=2+t/2，将y=mx+b代入得到m=1，b=3/2，即直线L的方程为y=x+3/2.四、极坐标1、定义：在平面直角坐标系中，点P到原点O的距离r和OP与x轴正半轴的夹角唯一确定点P的位置，称（r，）为点P的极坐标，r为极径，为极角，记作P（r，）。

2、极坐标与直角坐标的转换x=r cos，y=r sinr2=x2+y2，tan=y/x3、常见曲线的极坐标方程1）圆：r=a2）半直线：=0或=3）双曲线：r=a sec或r=a cosec4）椭圆：r=a bcos或r=a sin5）心形线：r=a(1+cos)6）阿基米德螺线：r=a+b7）对数螺线：r=a e b8）伯努利双曲线：r2=a2 sec29）费马螺线：r=2a sin(/2)10）旋轮线：r=a或r=a sin(n)/sin（n为正整数）总结：极坐标的方程形式比较简单，但是不同曲线的极坐标方程需要记忆，转换成直角坐标系方程需要用到三角函数的知识。

P点的有向距离在点P两侧t的符号相反，可以通过直线的参数方程来表示。

其中，t代表有向距离的几何意义。

需要注意的是，t的符号相对于点P，正负在P点两侧，且|PP|=|t|。

直线参数方程可以有多种变式，比如y=y+tsinα和x=x+at，y=y+bt，但此时t的几何意义不是有向距离。

只有当t前面系数的平方和为1时，t的几何意义才是有向距离。

因此，可以将直线参数方程整理为x=x+a2+b2t，XXX，让a2+b2t作为t，这样t的几何意义就是有向距离了。

例如，对于直线x=-1+3t，y=2-4t，可以求其倾斜角。

选修4－4 极坐标与参数方程一、极坐标1.(1)极坐标系 (2)极坐标2．极坐标与直角坐标的互化 3．简单曲线的极坐标方程二.参数方程 1.概念2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．1. (3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)一、极坐标方程与直角坐标方程互化及判断曲线类型【例1】化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。

(1) 2540ρρ-+=； (2) 53cos 4sin ρθθ=+；(3) 523cos ρθ=-； (4）242ππρθθρ-+=, 其中R ρ∈【解析】（1）方程变形为(1)(4)0ρρ--=,∴1ρ=或4ρ=，即221x y +=或2216x y +=， 故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。

(2) 变形得3cos 4sin 5ρθρθ+=,即3450x y +-=，故原方程表示直线3450x y +-=。

了解参数方程与极坐标的关系
参数方程和极坐标是数学中常见的两种坐标系统，它们可以用
来描述平面上的点的位置。

虽然它们有不同的表示方式，但是它们
之间有一定的关系。

参数方程通常由一组参数表示，例如 x = f(t)，y = g(t)。

其中，
t 是参数，x 和 y 分别代表了平面上的点的横坐标和纵坐标。

参数
方程描述了点随参数 t 变化的轨迹。

而极坐标则由两个参数表示，r 和θ。

其中，r 是点到原点的距离，θ 是点与正x 轴的夹角。

极坐标描述了点在极坐标系中的位置。

参数方程和极坐标之间的关系可以通过解析几何的知识进行转换。

考虑一个以原点为中心的圆，其半径为 r，参数方程为 x =
r*cos(t)，y = r*sin(t)。

这个参数方程描述了圆上的点随参数 t 变化
的轨迹。

而这个圆在极坐标系中的表示则为 r = r，θ = t。

可以看出，参数方程中的 x 和 y 与极坐标中的 r 和θ 是一一对应的。

除了圆，其他常见的参数方程和极坐标之间的转换关系也可以
通过类似的方式推导。

通过理解参数方程和极坐标之间的关系，我
们可以在不同的坐标系统中更灵活地描述和分析平面上的几何问题。

综上所述，参数方程和极坐标是描述平面几何的两种不同的坐
标系统。

它们之间存在一定的关系，可以通过解析几何的方法进行
转换。

通过了解参数方程和极坐标的关系，我们可以更好地理解和
应用它们在数学和物理等领域的相关知识。

极坐标方程与参数方程公式转化[1]首先极坐标是个坐标,不是方程.不能说极坐标是参数方程.曲线的直角坐标方程、极坐标方程及参数方程只是曲线的3种表达方式,可以相互转化.[2]参数方程转化为曲线方程就是找到x、y之间的关系,消去参数.[3]参数方程的参数t和极坐标里的θ没有什么必然关系.θ是在极坐标系里曲线上一点M与极点O连线与极轴之间的夹角.而t是为了表示x、y之间的关系而引入的第三个变量即为“参变量”.扩展资料：曲线的极坐标参数方程ρ=f(t),θ=g(t)。

圆的参数方程x=a+r cosθy=b+r sinθ（θ∈[0，2π) ）(a,b) 为圆心坐标，r 为圆半径，θ为参数，(x,y) 为经过点的坐标椭圆的参数方程x=a cosθy=b sinθ（θ∈[0，2π））a为长半轴长b为短半轴长θ为参数双曲线的参数方程x=a secθ（正割）y=b tanθa为实半轴长b为虚半轴长θ为参数抛物线的参数方程x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离t为参数直线的参数方程x=x'+tcosa y=y'+tsina,x',y'和a表示直线经过（x',y'），且倾斜角为a,t为参数或者x=x'+ut，y=y'+vt (t∈R)x',y'直线经过定点（x',y'),u，v表示直线的方向向量d=(u,v)圆的渐开线x=r(cosφ+φsinφ）y=r(sinφ-φcosφ）（φ∈[0,2π））r为基圆的半径φ为参数坐标转化（1）极坐标系坐标转换为平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）下坐标：极坐标系中的两个坐标ρ和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值：x=ρcos θ；y=ρsinθ（2）平面直角坐标系坐标转换为极坐标系下坐标：由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和 y两坐标如何计算出极坐标下的坐标：在 x= 0的情况下：若 y为正数θ= 90°(π/2 radians)；若 y为负，则θ= 270°(3π/2 radians).极坐标系的意义（1）用于定位和导航。

1．曲线的极坐标方程．(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox称为极轴．(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．明显，每一个有序实数对(ρ，θ)，确定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．极坐标系和直角坐标系的最大区分在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的．(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，假如平面曲线C上的随意一点的极坐标满意方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．直线的极坐标方程．(1)过极点且与极轴成φ0角的直线方程是θ＝φ0和θ＝π－φ0，如下图所示．(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a，如下图所示．(3)与极轴平行且在x轴的上方，与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a，如下图所示．3．圆的极坐标方程．(1)以极点为圆心，半径为r的圆的方程为ρ＝r，如图1所示．(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程为ρ＝2rcos_θ，如图2所示．(3)圆心在过极点且与极轴成π2的射线上，过极点且半径为r的圆的方程为ρ2rsin_θ，如图3所示．4．极坐标与直角坐标的互化．若极点在原点且极轴为x 轴的正半轴，则平面内随意一点M 的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x ，y)的公式如下：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或者ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x ，其中要结合点所在的象限确定角θ的值．1．曲线的参数方程的定义．在平面直角坐标系中，假如曲线上随意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程．(1)过定点P(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)， 其中参数t 是以定点P(x 0，y 0)为起点，点M(x ，y)为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．依据t 的几何意义，有以下结论：①设A ，B 是直线上随意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则|AB|＝|t B －t A |＝（t B ＋t A ）2－4t A ·t B ；②线段AB 的中点所对应的参数值等于t A ＋t B2.(2)中心在P(x 0，y 0)，半径等于r 的圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数) (3)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的椭圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos θ，y ＝asin θ. 中心在点P(x 0，y 0)，焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋acos α，y ＝y 0＋bsin α(α为参数)．(4)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的双曲线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asec θ，y ＝btan θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝btan θ，y ＝asec θ. (5)顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上的抛物线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p(t 为参数，p>0)． 注：sec θ＝1cos θ.3．参数方程化为一般方程．由参数方程化为一般方程就是要消去参数，消参数时经常采纳代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要留意参数的取值范围对x ，y 的限制．1．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，则点A 的直角坐标是(2，－23)．2．把点P 的直角坐标(6，－2)化为极坐标，结果为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－π6．3．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4．4．以极坐标系中的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6为圆心、1为半径的圆的极坐标方程是ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6．5．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的右顶点，则常数a 的值为3．解析：由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，得y ＝x －a.由椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ，得x 29＝y24＝1.所以椭圆C 的右顶点为(3，0)．因为直线l 过椭圆的右顶点，所以0＝3－a ，即a ＝3.一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是(C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π3 2．若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是(B )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定3．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l 被圆C 截得的弦长为(D )A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2解析：由题意可得直线和圆的方程分别为x －y －4＝0，x 2＋y 2＝4x ，所以圆心C(2，0)，半径r ＝2，圆心(2，0)到直线l 的距离d ＝2，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为2 2.4．已知动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，则直线l 与圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的位置关系是(A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．过圆心解析：动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，即圆心(2，1)在直线l 上，又圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ的一般方程为x 2＋y 2＝9且22＋12<9，故点(2，1)在圆O 内，则直线l 与圆O 的位置关系是相交．二、填空题5．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为ρ2＋4ρsin_θ＋3＝0．解析：在平面直角坐标系xOy 中，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝sin θ，x ＝cos θ.依据sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得x 2＋(y ＋2)2＝1，即x 2＋y 2＋4y ＋3＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ2＋4ρsin θ＋3＝0.6．在平面直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2．三、解答题7．求极点到直线2ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4(ρ∈R)的距离．解析：由2ρ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4⇒ρsin θ＋ρcos θ＝1⇒x ＋y ＝1，故d ＝|0＋0－1|12＋12＝22. 8．极坐标系中，A 为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B 为直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上的动点，求|AB|的最小值．9．(2015·大连模拟)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，将曲线C 1上全部点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C 2.以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6.(1)求曲线C 2和直线l 的一般方程；(2)P 为曲线C 2上随意一点，求点P 到直线l 的距离的最值．解析：(1)由题意可得C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，即C 2：x 24＋y23＝1，直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6化为直角坐标方程为x －2y －6＝0.(2)设点P(2cos θ，3sin θ)，由点到直线的距离公式得点P 到直线l 的距离为 d ＝|2cos θ－23sin θ－6|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π65＝55⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6. 所以255≤d ≤25，故点P 到直线l 的距离的最大值为25，最小值为255.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程．(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA|·|PB|的值．解析：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，得一般方程为(x －1)2＋(y －2)2＝16，即x 2＋y 2－2x －4y ＝11＝0.直线l 经过定点P(3，5)，倾斜角为π3，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 是参数)．(2)将直线的参数方程代入x 2＋y 2－2x －4y －11＝0，整理，得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－3，因为直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，所以|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝3.。

参数方程与极坐标方程的互化引言：数学中常常有需要描述曲线的情况，参数方程和极坐标方程是两种常见的用于描述曲线的方法。

参数方程是将曲线上的点的坐标表示为一个参数的函数形式，而极坐标方程则将曲线上的点的坐标表示为极径和极角的函数形式。

这两种方法在不同的情况下有不同的应用和优势。

本文将介绍参数方程和极坐标方程的基本概念，并探讨它们之间的互化关系。

一、参数方程参数方程是一种用参数的函数形式来表示曲线的方法。

在参数方程中，曲线上的每个点的坐标都是参数的函数，通常用t表示。

比如，一条曲线的参数方程可以表示为x = f(t)，y = g(t)。

参数t的取值范围可以是一个区间或者整个实数集。

参数方程的优势在于可以方便地描述复杂的曲线。

通过调整参数t的取值范围和步长，可以精确地控制曲线的形状和密度。

参数方程还可以描述出曲线上的运动轨迹，这在物理学和工程学中有广泛的应用。

二、极坐标方程极坐标方程是一种用极径和极角的函数形式来表示曲线的方法。

在极坐标方程中，曲线上的每个点的坐标都可以表示为(r, θ)，其中r 表示极径，θ表示极角。

极径r可以是一个实数，而极角θ通常取值范围是从0到2π。

极坐标方程常常被用来描述圆形、椭圆形和螺旋等特殊曲线。

相比于直角坐标系下的方程，极坐标方程更加简洁和直观。

极坐标方程的优势在于可以方便地描述对称性和旋转对称性，因为极径和极角的改变对应着曲线上点的位置的改变。

三、从参数方程到极坐标方程的互化在一些情况下，参数方程和极坐标方程可以进行互化。

通过改变变量和坐标系的转换，我们可以将参数方程转换为极坐标方程，也可以将极坐标方程转换为参数方程。

1. 将参数方程转换为极坐标方程若已知一条曲线的参数方程为x = f(t)，y = g(t)，我们可以通过以下步骤将其转换为极坐标方程：(1) 将x和y用极坐标形式表示，即将x和y分别表示为r*cos(θ)和r*sin(θ)的形式；(2) 联立方程，消去t，得到r和θ之间的关系。

直线的极坐标方程和参数方程在数学中，直线是一种最简单且常见的几何形状，它可以通过不同的方式来表示。

其中，直线的极坐标方程和参数方程是两种常见的表示形式。

本文将详细介绍直线的极坐标方程和参数方程的定义及其应用。

极坐标方程极坐标是一种用极径和极角来表示平面点坐标的方法。

在极坐标系统中，平面上的点可以用(r, θ)来表示，其中r表示该点到原点的距离，θ表示该点与极轴的夹角。

对于直线来说，可以将其表示为极坐标方程。

一般来说，直线的极坐标方程可以表示为：r = a + bθ其中a和b为常数。

这个极坐标方程表示了以a为极轴截距，以b为斜率的直线。

参数方程参数方程是一种使用参数表示曲线上各点坐标的方法。

对于直线来说，可以通过将x和y坐标都表示为参数t的函数来将其表示为参数方程。

一般来说，直线可以使用参数方程表示为：x = at + b y = ct + d其中a、b、c和d为常数。

这个参数方程表示了直线上任意一点的x和y坐标。

极坐标方程和参数方程的联系极坐标方程和参数方程都是表示直线的方法，它们之间有一定的联系。

通过将极坐标方程转化为参数方程或将参数方程转化为极坐标方程，可以在不同的坐标系下更方便地描述直线。

以将极坐标方程转化为参数方程为例，可以通过以下步骤实现：1.将极坐标方程中的r表示为x和y的函数，即r = √(x^2 + y^2)；2.将极坐标方程中的θ表示为参数t的函数，即θ = atan2(y, x)；3.将极坐标方程中的r和θ带入直线的极坐标方程，得到参数方程。

同样地，可以通过逆向的方式将参数方程转化为极坐标方程。

应用举例直线的极坐标方程和参数方程在实际问题中有广泛的应用。

以下是一些具体的应用举例：1.机器人导航：在机器人导航系统中，极坐标方程和参数方程可以用来描述机器人的移动轨迹和路径规划。

2.电子游戏设计：在游戏设计中，直线的极坐标方程和参数方程可以用来描述游戏中的道路、轨道等线性元素。

3.图像处理：在图像处理算法中，直线的参数方程常常用于检测图像中的直线和边缘。

极坐标与参数方程之间的转换在数学中，极坐标和参数方程是两种不同的表示坐标的方式。

极坐标使用角度和半径来描述点的位置，而参数方程则使用参数来表示点的位置。

在某些情况下，我们需要将极坐标转换为参数方程，或者将参数方程转换为极坐标。

本文将介绍如何进行极坐标与参数方程之间的转换。

极坐标转参数方程当我们给定一个极坐标点P(r, θ)时，我们可以通过以下步骤将其转换为参数方程：1.将极坐标点P表示为笛卡尔坐标系下的点(x, y)。

这可以通过以下公式实现：x = r * cos(θ) y = r * sin(θ)2.将x和y用参数t表示。

通常情况下，t表示角度θ。

例如，我们可以令t = θ。

3.将x和y表示为关于t的函数。

这样，我们就得到了参数方程。

x(t) = r * cos(t) y(t) = r * sin(t)通过上述步骤，我们成功地将极坐标转换为了参数方程。

这使得我们可以通过改变参数t的值，来获得曲线上的所有点。

参数方程转极坐标与将极坐标转换为参数方程不同，将参数方程转换为极坐标需要一些额外的步骤。

下面是将参数方程(x(t), y(t))转换为极坐标的方法：1.将参数方程表示为笛卡尔坐标系下的点(x, y)。

2.计算半径r。

这可以通过以下公式实现：r = sqrt(x^2 + y^2)3.计算角度θ。

这可以通过以下公式实现：θ = atan2(y, x)通过上述步骤，我们可以将参数方程转换为极坐标。

这样，我们就可以通过参数方程，确定曲线上的每个点的极坐标位置。

总结极坐标和参数方程提供了两种不同的方式来描述点的位置。

极坐标使用角度和半径，而参数方程使用参数来表示点的位置。

在某些情况下，我们需要将极坐标转换为参数方程，或者将参数方程转换为极坐标。

本文介绍了如何进行这两种转换，并给出了具体的步骤和公式。

通过理解这些转换方法，我们可以更好地理解和分析各种曲线。

专题六极坐标系与参数方程知识梳理1、伸缩变换：设点P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换,(0):,(0)x x y y λλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下，点P（x,y）对应到点P′（x′,y′），称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

注：当1λ>时，表示横向伸长；当01λ<<时，表示横向压缩。

当1μ>时，表示纵向伸长；当01μ<<时，表示纵向压缩。

这里P（x,y）是变换前的点，P′（x′,y′）是变换后的点。

2、极坐标系：（1）极坐标系的定义：如图，在平面内取一个定点O，自极点O 引一条射线Ox，同时再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。

其中定义O 称为极点，射线Ox 称为极轴。

（2）极坐标：设M 是平面内的任意一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，以射线OM 为终边所成的角，则有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标，记为M (,)ρθ.其中ρ称为极径，θ称为极角。

一般地，不作特殊说明，我们认为0ρ≥，θ可以取任意实数。

（3）建立极坐标后，给定ρ和θ，就可以在平面内唯一确定点M；反过来，给定平面任意一点，也可以确定它的极坐标(,)ρθ。

（4）一般地，极坐标(,)ρθ与(,2)()k k Z ρθπ+∈表示同一个点，特别地，极点O 的坐标为(0,)()R θθ∈，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示。

如果规定0ρ>，02θπ≤<，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示；同时，极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的，这时点与极坐标是一种一一对应关系。

（5）极坐标系中点的对称：(,)A ρθ3()2:y A ρθπθρπθρπθ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+⎩12关于极轴的对称点:A (,-)关于轴的对称点:A (,-)关于极点的对称点(,)3、极坐标与直角坐标的互化：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，设平OAA 2A 1A 3xy····O·xρMθ(,)ρθ面内的任意一点M 的直角坐标和极坐标分别为（x,y）和(,)ρθ，则有：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，tan ,0yx x ρθ⎧=⎪⎨=≠⎪⎩4、极坐标方程的定义：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程(,)0f ρθ=，并且坐标适合方程(,)0f ρθ=的点都在曲线C 上，那么方程(,)0f ρθ=叫做曲线C 的极坐标方程。

极坐标方程与参数方程的转换在数学中，极坐标方程和参数方程是用于描述平面上的点的两种不同的表示方法。

它们之间存在一种转换关系，可以将一个方程表示形式转换为另一个方程表示形式。

本文将介绍极坐标方程和参数方程的定义，以及它们之间的转换方法。

极坐标方程的定义极坐标是一种描述平面上点位置的坐标系统，它使用径向距离（r）和极角（θ）来表示点的位置。

在极坐标中，点的位置由它与原点的距离和与极轴的夹角来确定。

极坐标方程是描述点在极坐标系统中位置的方程。

极坐标方程的一般形式可以表示为：r = f(θ)其中，r是与极轴的距离，θ是与极轴的夹角，f(θ)是任意给定的函数。

参数方程的定义参数方程是一种用参数表示点的位置的方法。

在参数方程中，点的坐标由一个或多个参数的函数来给出。

参数方程中的参数是自变量，通过改变参数的取值，可以确定点在平面上的位置。

参数方程的一般形式可以表示为：x = f(t) y = g(t)其中，x和y是点的坐标，f(t)和g(t)是与参数t相关的函数。

极坐标方程到参数方程的转换要将极坐标方程转换为参数方程，我们可以使用三角恒等式进行转换。

对于任意给定的θ，点的极坐标坐标可以表示为：r = f(θ)根据三角恒等式，我们有以下关系：x = r * cos(θ) y = r * sin(θ)将极坐标方程中的r用x和y表示，可以得到参数方程的形式：x = f(θ) * cos(θ) y = f(θ) * sin(θ)这样，我们就成功地将极坐标方程转换为参数方程。

参数方程到极坐标方程的转换要将参数方程转换为极坐标方程，我们需要将x和y用r和θ表示。

这可以通过使用反三角函数来实现。

给定参数方程中的x和y，我们可以计算r和θ：r = √(x^2 + y^2) θ = tan^(-1)(y / x)这样，我们就得到了以x和y表示的极坐标方程。

总结极坐标方程和参数方程是描述平面上点位置的两种常用方法。

它们之间存在一种转换关系，可以将一个方程形式转换为另一个方程形式。

极坐标与参数方程1.直角坐标系与极坐标系可以互相转换。

在两个坐标系中取相同的长度单位，将直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴。

对于任意点M，其直角坐标为(x,y)，极坐标为(ρ,θ)，其中ρ表示点M到原点的距离，θ表示点M与极轴的夹角。

它们之间的关系是ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，tanθ=y/x（当x≠0时）。

2.直线的极坐标方程为ρsin(θ-α)=d，其中d为直线到极点的距离，α为极轴到直线的角度。

对于特殊位置的直线，如过极点的直线、过点M(a,0)且垂直于极轴的直线、过点M(b,π/2)且平行于极轴的直线，它们的极坐标方程分别为θ=α、ρcosθ=a、ρsinθ=b。

3.圆的极坐标方程为2ρ²-2ρr cos(θ-θ0)+r²=0，其中M(ρ,θ)为圆心，r为半径，θ0为极轴与圆心连线的角度。

对于特殊位置的圆，如圆心位于极点且半径为r的圆，其极坐标方程为ρ=r；圆心位于M(r,0)且半径为r的圆，其极坐标方程为ρ=2rcosθ；圆心位于M(r,π/2)且半径为r的圆，其极坐标方程为ρ=2r sinθ。

4.直线的参数方程为x=x0+t cosα，y=y0+t sinα，其中M(x0,y0)为直线上的一点，α为直线倾斜角，t为参数。

5.圆的参数方程为x=x0+r cosθ，y=y0+r sinθ，其中M(x0,y0)为圆心，r为半径，θ为参数，0≤θ≤2π。

6.椭圆的参数方程为x=a cosθ，y=b sinθ，其中a、b为长轴和短轴的长度；抛物线的参数方程为x=2pt²，y=2pt，其中p 为焦距的一半。

1.给定曲线C的极坐标方程ρ=2cosθ，在以极点为原点、x 轴正半轴为极轴的直角坐标系中，其参数方程为x=2cos(t)，y=2sin(t)。

2.给定曲线C的参数方程为x=t²，y=t，在以原点为极点、x轴正半轴为极轴的极坐标系中，其极坐标方程为ρ=tan(θ)。

极坐标与参数方程的思维导图1. 极坐标的概念•极坐标是一种用来表示平面上点的坐标系统，其中点的位置由半径和角度共同确定。

其中，半径表示点到坐标原点的距离，角度表示点与正半轴的夹角。

•极坐标通常用一个有序对(r，θ)来表示，其中r为半径，θ为角度。

2. 极坐标与直角坐标的转换关系•极坐标到直角坐标的转换：–x = r * cos(θ)–y = r * sin(θ)–其中，(x, y)为直角坐标系中的坐标，(r, θ)为极坐标系中的坐标。

•直角坐标到极坐标的转换：–r = √(x^2 + y^2)–θ = arctan(y / x)–其中，(x, y)为直角坐标系中的坐标，(r, θ)为极坐标系中的坐标。

3. 参数方程的概念•参数方程是一种用参数表示变量之间关系的方程形式。

在参数方程中，变量的取值范围通常由参数决定。

•参数方程通常用一对方程来表示，其中一个方程表示自变量（参数）与因变量之间的关系，另一个方程确定了参数的取值范围。

4. 极坐标与参数方程的关系•极坐标可以用参数方程来表示，其中半径r可以作为自变量，角度θ可以作为参数。

•极坐标转化为参数方程的形式：–x = r * cos(θ)–y = r * sin(θ)–可以表示为:•x(t) = r(t) * cos(θ(t))•y(t) = r(t) * sin(θ(t))•其中，t为参数，r(t)和θ(t)为关于t的函数。

•参数方程转化为极坐标的形式：–x(t) = r(t) * cos(θ(t))–y(t) = r(t) * sin(θ(t))–可以表示为:•r = √(x(t)^2 + y(t)^2)•θ = arctan(y(t) / x(t))•其中，r和θ为极坐标，x(t)和y(t)为关于参数t的函数。

5. 极坐标与参数方程的应用•极坐标和参数方程在数学和物理领域中具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：–曲线的描述：通过使用极坐标或参数方程，可以更加简洁地描述一些特殊的曲线形状，如圆、椭圆、双曲线等。