函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全 (1)

一、函数的奇偶性与周期性1.函数的奇偶性 奇偶性 定义图象特点 奇函数设函数y ＝f (x )的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )＝－f (x )，则这个函数叫做奇函数关于原点对称偶函数 设函数y ＝g (x )的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有－x ∈D ，且g (－x )＝g (x )，则这个函数叫做偶函数关于y 轴对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期. [微点提醒]1.(1)如果一个奇函数f (x )在原点处有定义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0. (2)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0).(2)若f (x ＋a )＝1f （x ），则T ＝2a (a >0).(3)若f (x ＋a )＝－1f （x ），则T ＝2a (a >0). 4.对称性的三个常用结论(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称.知识梳理函数奇偶性、周期性+指数函数考点一 判断函数的奇偶性【典例1-1】下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（ ） A ．()ln xf x x=B ．32()f x x x =+C ．()||f x x x =- D ．)()lgf x x =-【典例1-2】已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()f x x =-；若0.250.3a -=，0.25log 0.3b =，0.3log 2.5c =，则（ ）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<【跟踪训练】【跟踪训练1】偶函数()f x 满足11()()22f x f x -=+，且在7,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2()log 1f x x =-，则1(2)f --=（ ） A ．2log 72-B ．1C ．2log 32-D ．2log 71-【跟踪训练2】设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，22()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(35)2f x +>-的解集为（ ） A ．(),1-∞-B ．()1,+-∞C ．(),2-∞-D ．()2,+-∞【跟踪训练3】设21()log (1)f x x a=++是奇函数，若函数()g x 图象与函数()f x 图象关于直线y x =对称，则()g x 的值域为（ ）A ．11(,)(,)22-∞-+∞B ．11(,)22-C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(2,2)-经典例题剖析规律方法判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立.考点二 函数的周期性及其应用【典例2-1】已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，且122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()00f ≠，则()2021f =（ ）． A ．2021B ．1C ．0D ．1-【典例2-2】已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ）A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =【跟踪训练】【跟踪训练1】已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()πcos2f x x =，则函数()y f x x =-的零点个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【跟踪训练2】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()(1)f x f x =-，则(2018)(2019)(2020)f f f ++=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【跟踪训练3】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-．当12x ≤≤时，()()2log 7f x x =+，则()2021f =（ ） A ．3B ．3-C ．5-D ．5规律方法1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.2.若f (x ＋a )＝－f (x )(a 是常数，且a ≠0)，则2a 为函数f (x )的一个周期.第(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程.考点三 函数性质的综合运用【典例3-1】已知某函数的部分图象大致如图所示，则下列函数中最合适的函数是（ ）A ．()()sin x xf x e e -=+ B ．()()sin x xf x e e -=- C ．()()cos x xf x e e -=-D ．()()cos x xf x e e -=+【典例3-2】函数()2cos x x xf x-=的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【跟踪训练】【跟踪训练1】已知()y f x =为奇函数且对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，若当[]0,1x ∈时，()()2log a f x x =+，则()2021f =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2【跟踪训练2】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则函数()3y f x x =-的零点个数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5规律方法周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.[方法技巧]1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性. 3.在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用.[易错防范]1.f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件.2.函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b －x )表明的是函数图象的对称性，函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b ＋x )(a ≠b )表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.1．给定函数2()2,()4,f x x g x x =+=-对于,x R ∀∈用()M x 表示(),()f x g x 中的较小者，记为{}()min (),()M x f x g x =，则()M x 的最大值为（ ） A ．0B ．1C ．3D ．42．已知函数()f x 在定义域R 上单调，且(()2)1f f x x +=，则(2)f -的值为（ ） A ．3B ．1C ．0D ．﹣13．已知函数()f x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数.当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()tan 0,f x f x x '+>则不等式()cos sin 02x f x x f x π⎛⎫⋅++⋅-> ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．,04π⎛⎤- ⎥⎝⎦4．已知定义在（0，+∞）上的函数满足()()()()2ln 1xe xf x x f x x x x'+-=+-，则下列不等式一定正确的是（ ）A ．()1412f ⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．()()421f ef <C ．()()4293ef f >D ．()3116222ef f ⎛⎫< ⎪⎝⎭5．我国著名数学家华罗庚曾说．“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征已知函数()f x 在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的大致图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（ ）A ．()ln cos ||f x x x =-B ．()ln sin ||f x x x =-C ．()ln cos ||f x x x =+D ．()ln sin ||f x x x =+强化练习6．我国著名数学家华罗先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔离分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢廊函数的图象特征，函数()2x x x f x e e-=+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．对于函数y ＝f （x ），其定义域为D ，如果存在区间[m ，n ]⊆D ，同时满足下列条件：①f （x ）在[m ，n ]上是单调函数；②当f （x ）的定义域为[m ，n ]时，值域也是[m ，n ]，则称区间[m ，n ]是函数f （x ）的“K 区间”.若函数f （x ）＝a （a ＞0）存在“K 区间”，则a 的取值范围为（ ）A ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．（14，1] 8．已知实数a ，b ，c 满足ln b a e c ==，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c b a >>C ．b c a >>D ．a c b >>9．已知实数x ，y ，z 满足ln y x e x ye =且1ln z x e ze x=，若1y >，则（ ） A ．x y z >> B ．x z y >> C ．y z x >>D ．y x z >>10．若函数()f x 的导函数为()f x '，对任意()()(),0,sin cos x f x x f x x π∈-<'恒成立，则（ ）A 5364f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．5364f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 5364f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．5364f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、指数与指数函数1.根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(na )n＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，na n＝a ，当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝a >0，m ，n ∈N +，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1(a >0，m ，n ∈N +，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 3.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)a >1 0<a <1R [微点提醒]1.画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .2.在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象越高，底数越大.知识梳理考点一 指数幂的运算【例1-1】 化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0).【例1-2】 化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0； (2)56a 13·b －2·(－3a －12b －1) ÷(4a 23·b －3)12.规律方法1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.考点二 指数函数的图象及应用【例2-1】若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________.【例2-2】(1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A.a >1，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0【例2-3】若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________.经典例题剖析考点三 指数函数的性质及应用【例3－1】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A.1.72.5>1.73B.0.6－1>0.62C.0.8－0.1>1.250.2D.1.70.3<0.93.1(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________.【例3－2】 (1)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增加的，则m 的取值范围是______. (2)若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2＋2x ＋3的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，19，则f (x )的单调递增区间是________.【例3－3】 如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为________.规律方法1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.2.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.[方法技巧]1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.3.指数函数的单调性取决于底数a 的大小，当底数a 与1的大小关系不确定时应分0<a <1和a >1两种情况分类讨论.4.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.5.对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.1.函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <02．已知a ＝0.860.75，b ＝0.860.85，c ＝1.30.86，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b3．(2019·镇江模拟)已知a ，b ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x >0时，1<b x <a x ，则( )A ．0<b <a <1B ．0<a <b <1C ．1<b <aD ．1<a <b 4．函数y ＝21e x －的图象大致是( )5．若函数f (x )＝2x ＋12x －a是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)强化练习6．(多选)下列函数中值域不为正实数集的是( )A ．y ＝－5xB ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1D ．y ＝3|x |7．(2020·徐州质检)若函数y ＝a x －m ＋n －3(a >0且a ≠1)的图象恒过定点(3,2)，则m ＋n ＝________. 答案 78．若函数f (x )＝⎩⎨⎧a x ，x >1，(2－3a )x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________． 9．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是________．10．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________．11．求函数f (x )＝－4x －2x ＋1＋3的定义域、值域．12．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )的表达式；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．13．设f (x )满足f (x )＝f (4－x )，且当x >2时，f (x )是增函数，则a ＝f (1.10.9)，b ＝f (0.91.1)，c ＝f (2)的大小关系是________．(按由大到小排列)14．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________．15．若函数f (x )＝2|x ＋a |(a ∈R )满足f (1－x )＝f (1＋x )，f (x )在区间[m ，n ]上的最大值记为f (x )max ，最小值记为f (x )min ，若f (x )max －f (x )min ＝3，则n －m 的取值范围是______________．16．(2019·连云港模拟)已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋4(－1≤x ≤2)． (1)若λ＝32，求函数f (x )的值域；(2)若方程f (x )＝0有解，求实数λ的取值范围．。

考向08 函数的奇偶性、周期性与对称性【2022年新高考全国Ⅰ卷】（多选题）已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ） A ．(0)0f = B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【答案】BC 【解析】 【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=， 所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.【2022年新高考全国II 卷】已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出．【详解】因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．1.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征.函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 的图象关于y 轴对称； 函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数()y f x =在0x =处有意义，则有(0)0f =； 偶函数()y f x =必满足()(||)f x f x =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()f x 的定义域关于原点对称，则函数()f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2g x f x f x =+-，1()[()()]2h x f x f x =--，则()()()f x g x h x =+.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f x g x f x g x f x g x f x g x +-⨯÷.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶； 奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶.(7)复合函数[()]y f g x =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()()01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-． ③函数2()log log (1)aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++ ④函数2()log (1)a f x x x =+或函数2()log (1)a f x x x =+． 注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+． ②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-． ③函数(||)f x 类型的一切函数． ④常数函数 2.周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x af x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数3.函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-； （2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.4.对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-． （2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称．1.(1)如果一个奇函数()f x 在原点处有定义，即(0)f 有意义，那么一定有(0)0f =. (2)如果函数()f x 是偶函数，那么()(||)f x f x =.2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性3.函数周期性常用结论对()f x 定义域内任一自变量的值x : (1)若()()f x a f x +=-，则2(0)T a a =>. (2)若1()()f x a f x +=，则2(0)T a a =>. (3)若1()()f x a f x +=-，则2(0)T a a =>. 4.对称性的三个常用结论(1)若函数()y f x a =+是偶函数，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.(2)若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=或()(2)f x f a x -=+，则()y f x =的图象关于直线x a =对称.(3)若函数()y f x b =+是奇函数，则函数()y f x =的图象关于点(,0)b 中心对称. 5.两个奇偶函数四则运算的性质 （1）两个奇函数的和仍为奇函数； （2）两个偶函数的和仍为偶函数； （3）两个奇函数的积是偶函数； （4）两个偶函数的积是偶函数；（5）一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。

专题03 函数的奇偶性、对称性、周期性【方法点拨】1.常见的与周期函数有关的结论如下：(1)如果f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . (2)如果f (x ＋a )＝1f （x ）(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . (3)如果f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . 2.函数奇偶性、对称性间关系：(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a ＋x )＝f (a －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；一般的，若f (a ＋x )＝f (b －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．(2)若函数y ＝f (x ＋a )是奇函数，即f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝0恒成立，则函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称；一般的，若对于R 上的任意x 都有f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b 恒成立，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称. 3. 函数对称性、周期性间关系：若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍．(注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y ＝sin x ，y ＝cos x 的对称轴、对称中心和周期之间的关系)4. 善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化.【典型题示例】例1 （2022·全国乙·理·T12） 已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5f x g x +-=，()(4)7g x f x --=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则221()k f k ==∑（ ）A. 21-B. 22-C. 23-D.24-【答案】D【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=-，()()()462210f f f +++=-，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【解析】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称， 所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-， 因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=， 代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-， 所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=-，()()()()46222510f f f +++=-⨯=-.因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=， 联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ， 所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()2211235(1)2k f f f f f f k =⎡⎤++++++⎣⎦=∑()()()4622f f f ⎡⎤+++⎣⎦13101024=----=-.故选：D例2 （2022·新高考Ⅱ卷·T8） 若函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A. 3-B. 2-C. 0D. 1【答案】A【分析】根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出．【解析】因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=， 令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =， 令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-， 所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--， 故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．例3 （2021·新高考全国Ⅱ卷·8）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ）A. 102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B. ()10f -=C. ()20f =D.()40f =【答案】B【分析】推导出函数()f x 是以4为周期的周期函数，由已知条件得出()10f =，结合已知条件可得出结论.【解析】因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-，因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+， 所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+， 故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==， 故()()110f f -=-=，其它三个选项未知. 故选：B.例4 （2021·全国甲卷·理·12）设函数()f x 的定义域为R ，()1fx +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A. 94-B. 32-C.74 D.52【答案】D 【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【解析】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D ．例5 已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有根之和为________. 【答案】4【分析】由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x 对任意的x ∈R 恒成立，得f (x )关于直线x ＝12＝＝，由函数 f (x ＋1)是奇函数，f (x )关于点（1,0）中心＝＝，根据函数对称性、周期性间关系，知函数f (x )＝＝＝＝2，＝＝＝＝f (x )＝＝＝即可.【解析】＝＝＝＝f (x ＝1)＝＝＝＝＝＝＝f (＝x ＝1)＝＝f (x ＝1)＝＝＝＝f ⎝⎛⎭⎫12＝x ＝ f ⎝⎛⎭⎫12＝x ＝＝＝f (1＝x )＝f (x )＝＝＝f (x ＝1)＝＝f (x )＝＝f (x ＝2)＝＝f (x ＝1)＝f (x )＝ ＝＝ ＝＝f (x )＝＝＝＝2＝＝＝＝＝＝＝＝x ＝12＝＝＝＝＝＝＝f (x )＝＝＝＝＝＝＝＝由图象可得 f (x )＝－12在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为12×2×4＝4. 例6 已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对任意x R ∈，都有(2)()f x f x f -=+（2）成立，当1x ，2[0x ∈，1]，且22x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则下列结论正确的有( )A ．f （1）f +（2）f +（3）(2019)0f +⋯+=B ．直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．函数()y f x =在[7-，7]上有5个零点D ．函数()y f x =在[7-，5]-上为减函数【分析】根据题意，利用特殊值法求出f （2）的值，进而分析可得1x =是函数()f x 的一条对称轴，函数()f x 是周期为4的周期函数和()f x 在区间[1-，1]上为增函数，据此分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，函数()y f x =是R 上的奇函数，则(0)0f =；对任意x R ∈，都有(2)()f x f x f -=+（2）成立，当2x =时，有(0)2f f =（2）0=，则有f （2）0=，则有(2)()f x f x -=，即1x =是函数()f x 的一条对称轴；又由()f x 为奇函数，则(2)()f x f x -=--，变形可得(2)()f x f x +=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故函数()f x 是周期为4的周期函数， 当1x ，2[0x ∈，1]，且22x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则函数()f x 在区间[0，1]上为增函数，又由()y f x =是R 上的奇函数，则()f x 在区间[1-，1]上为增函数； 据此分析选项：对于A ，(2)()f x f x +=-，则f （1）f +（2）f +（3）f +（4）[f =（1）f +（3）][f + （2）f +（4）]0=，f （1）f +（2）f +（3）(2019)504[f f +⋯+=⨯（1）f +（2）f +（3）f +（4）]f +（1）f +（2）+（3）f =（2）0=，A 正确；对于B ，1x =是函数()f x 的一条对称轴，且函数()f x 是周期为4的周期函数，则5x = 是函数()f x 的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，B 正确； 对于C ，函数()y f x =在[7-，7]上有7个零点：分别为6-，4-，2-，0，2，4，6；C 错误；对于D ，()f x 在区间[1-，1]上为增函数且其周期为4，函数()y f x =在[5-，3]-上为增函数，又由5x =-为函数()f x 图象的一条对称轴，则函数()y f x =在[7-，5]-上为减函数，D正确； 故选：ABD ． 例7 已知函数()111123f x x x x =++---，()2g x x =-，则关于x 的方程()()f x g x =的实数根之和为______；定义区间(),a b ，[),a b ，(],a b ，[],a b 长度均为b a -，则()1111123f x x x x =++≥---解集全部区间长度之和为______． 【答案】①8 ②3【分析】根据题意得以函数()f x 关于点()2,0对称，进而利用导数研究函数()f x 性质，作出简图，树形结合求解即可得关于x 的方程()()f x g x =的实数根之和；令()1111123f x x x x =++=---整理得方程的实数根123,,x x x 满足1239x x x ++=，再数形结合得()1f x ≥解集为(](](]1231,2,3,x x x ，最后根据定义求解区间长度的和即可.【解析】因为()()1114321f x f x x x x-=++=----， 所以函数()f x 关于点()2,0对称， 由于()()()()222111'0123f x x x x =---<---，所以函数()f x 在()()()(),1,1,2,2,3,3,-∞+∞上单调递减，由于1x <时，()0f x <，(),0x f x →-∞→，()1,x f x -→→-∞，()1,x f x +→→+∞，()2,x f x -→→-∞，()2,x f x +→→+∞，()3,x f x -→→-∞，()3,x f x +→→+∞，(),0x f x →+∞→，且3x >时，()0f x >.故作出函数简图如图： 根据图像可知，函数()111123f x x x x =++---与函数()2g x x =-图像共有4个交点，且关于点()2,0对称，所以()()f x g x =的实数根之和为8；令()1111123f x x x x =++=---，整理得32923170x x x -+-=， 由图像知方程有三个实数解，不妨设为123,,x x x ， 所以由三次方程的韦达定理得1239x x x ++=， 由函数图像得()1f x ≥解集为(](](]1231,2,3,x x x所以全部区间长度之和为12312312363x x x x x x -+-+-=++-=. 故答案为：8；3.【巩固训练】1．已知函数()1()2x af x -=关于1x =对称,则()()220f x f -≥的解集为_____.2．已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(3)f x f x +=--，且()f x 的图象与()lg4xg x x=-的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于___________. 3.已知函数()()f x x R ∈满足(1)(1),(4)(4)f x f x f x f x +=-+=-，且33x -<≤时，()ln(f x x =，则(2018)f =（ ）A ．0B ．1 C．2) D．2)4. 已知f (x )是定义域为R 的函数，满足f (x ＋1)＝f (x －3)，f (1＋x )＝f (3－x )，当0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－x ，则下列说法正确的是( ) A.函数f (x )的周期为4B.函数f (x )图象关于直线x ＝2对称C.当0≤x ≤4时，函数f (x )的最大值为2D.当6≤x ≤8时，函数f (x )的最小值为－125.已知定义在R 上的奇函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f (x )=m (m >0)在区间上有四个不同的根，则6．(多选题)函数f (x )的定义域为R ，且f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，则( ) A.f (x )为奇函数B.f (x )为周期函数C.f (x ＋3)为奇函数D.f (x ＋4)为偶函数7.若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=-，()1f x +是奇函数，现给出下列4个论断：①()f x 是周期为4的周期函数；②()f x 的图象关于点()1,0对称； ③()f x 是偶函数； ④()f x 的图象经过点()2,0-； 其中正确论断的个数是______________.8. (多选题)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝2－f (2－x )，且f (x )是偶函数，下列说法正确的是( )A.f (x )的图象关于点(1，1)对称B.f (x )是周期为4的函数C.若f (x )满足对任意的x ∈[0，1]，都有f （x 2）－f （x 1）x 1－x 2<0，则f (x )在[－3，－2]上单调递增D.若f (x )在[1，2]上的解析式为f (x )＝ln x ＋1，则f (x )在[2，3]上的解析式为f (x )＝1－ln(x －2) 9. (2022·江苏常州·模拟)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )等于( ) A.0B.mC.2mD.4m)(x f (4)()f x f x -=-[]8,8-1234,,,x x x x 1234_________.x x x x +++=10.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A ．50-B ．0C ．2D ．5011.已知函数y kx b =+与函数11x x y e e --=-的图象交于A ，B ，C ，且|AB |＝|BC |＝2211e e+-，则实数k ＝ ．【答案与提示】1．【答案】[]1,2【解析】∵函数()1()2x a f x -=关于1x =对称,∴()111,2x a f x -⎛⎫== ⎪⎝⎭,则由()()12202f x f -≥=,结合图象可得0222x ≤-≤,求得12x ≤≤.2．【答案】8【解析】()lg 4x g x x =-，故(4)()g x g x -=-，即()y g x =的图象关于点(2,0)对称，又函数()f x 满足(1)(3)f x f x +=--，则函数()y f x =的图象关于点(2,0)对称，所以四个交点的横纵坐标之和为8.3. 【答案】D【解析】因为()()()()11,44f x f x f x f x +=-+=-，所以()(2),()(8)(2)(8)826,f x f x f x f x f x f x T =-=-∴-=-∴=-=(2018)(2)ln(25)f f ∴==+ .4. 【答案】ABC【解析】 由f (x ＋1)＝f (x －3)，得f (x )＝f [(x －1)＋1]＝f [(x －1)－3]＝f (x －4)，所以函数f (x )的周期为4，A 正确.由f (1＋x )＝f (3－x )，得f (2＋x )＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，B 正确.当0≤x ≤2时，函数f (x )在⎣⎡⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎦⎤12，2上单调递增.所以当x ＝12时，函数f (x )在[0，2]上取得极小值－14，且f (0)＝0，f (2)＝2.作出函数f (x )在[0，8]上的大致图象，如图.由图可知，当0≤x ≤4时，函数f (x )的最大值为f (2)＝2，C 正确；当6≤x ≤8时，函数f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫152＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14，D 错误.故选ABC.5. 【答案】－8【提示】四个根分别关于直线2x =，6x =-对称.【命题立意】本题综合考查了函数的奇偶性，单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．6．【答案】ABC【解析】法一 由f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数知，函数f (x )的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f (－x )＋f (2＋x )＝0，f (－x )＋f (4＋x )＝0，所以f (2＋x )＝f (4＋x )，即f (x )＝f (2＋x )，-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 yx f(x)=m (m>0)所以f (x )是以2为周期的周期函数.又f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，所以f (x )，f (x ＋3)，f (x ＋4)均为奇函数.故选ABC.法二 由f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数知，函数f (x )的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f (x )的周期为2|2－1|＝2，所以f (x )与f (x ＋2)，f (x ＋4)的奇偶性相同，f (x ＋1)与f (x ＋3)的奇偶性相同，所以f (x )，f (x ＋3)，f (x ＋4)均为奇函数.故选ABC.7.【答案】3【解析】命题①：由()()2f x f x +=-，得：()()()42f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 的周期为4，故①正确；命题②：由()1f x +是奇函数，知()1f x +的图象关于原点对称，所以函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故②正确；命题③：由()1f x +是奇函数，得：()()11f x f x +=--，又()()2f x f x +=-，所以()()()()()()21111f x f x f x f x f x -=--+=-+-=--=，所以函数()f x 是偶函数，故③正确；命题④：()()()2220f f f -=--+=-，无法判断其值，故④错误.综上，正确论断的序号是：①②③.8. 【答案】ABC【解析】根据题意，f (x )的图象关于点(1，1)对称，A 正确；又f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )＝f (－x )，则2－f (2－x )＝f (－x )，f (x )＝2－f (x ＋2)，从而f (x ＋2)＝2－f (x ＋4)，所以f (x )＝f (x ＋4)，B 正确；由f （x 2）－f （x 1）x 1－x 2<0可知f (x )在[0，1]上单调递增，又f (x )的图象关于点(1，1)对称，所以f (x )在[1，2]上单调递增，因为f (x )的周期为4，所以f (x )在[－3，－2]上单调递增，C 正确；因为f (x )＝f (－x )，x ∈[－2，－1]时，－x ∈[1，2]，所以f (x )＝f (－x )＝ln(－x )＋1，x ∈[－2，－1]，因为f (x )的周期为4，f (x )＝f (x －4)，x ∈[2，3]时，x －4∈[－2，－1]，所以f (x )＝f (x －4)＝ln(4－x )＋1，x ∈[2，3]，D 错误.综上，正确的是ABC.9.【答案】 B【解析】 ∵f (x )＋f (－x )＝2，y ＝x ＋1x ＝1＋1x. ∴函数y ＝f (x )与y ＝x ＋1x的图象都关于点(0，1)对称， ∴∑m i ＝1x i ＝0，∑mi ＝1y i ＝m 2×2＝m . 10.【答案】C【分析】同例1得f (x )的的的的4，故f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋f (4)＝f (5) ＋f (6) ＋f (7) ＋f (8) ＝···＝f (45) ＋f (46) ＋f (47) ＋f (48)，而f (1)＝2，f (2)＝f (0)＝0（f (1－x )＝f (1＋x )中，取x ＝1）、f (3)＝f (－1) ＝－f (1)＝－2、f (4)＝f (0)＝0，故f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋f (4)＝f(5) ＋f (6) ＋f (7) ＋f (8) ＝···＝f (45) ＋f (46) ＋f (47) ＋f (48) ＝0，所以f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋···＋f (50) ＝f (47) ＋f (48) ＝f (1) ＋f (2) ＝2.11.【答案】1e e- 【解析】设()x x f x e e -=-，则()f x 为定义在R 上的单增的奇函数而11(1)x x y e e f x --=-=-，故其图象关于点（1,0）中心对称又因为|AB |＝|BC |，所以B 的坐标为（1,0）为使运算更简单，问题可转化为过坐标原点的直线y kx =与()x x f x e e -=-交于一点D ，且k 的值 不妨设()000,x x D x e e --（00x >），== 解之得01x =，()11,D e e --，所以1k e e -=-.。

九年级所有函数知识点归纳在初中数学课程中，函数是一个非常重要的概念。

它作为数学中的基础概念之一，在解决实际问题时起着重要的作用。

接下来，我们将对九年级的所有函数知识点进行归纳和总结。

一、函数的定义函数是一种数学关系，它将一个集合的元素（称为自变量）映射到另一个集合的元素（称为因变量）。

用数学符号表示为f(x) = y。

在函数的定义中，要求每一个自变量只对应唯一的因变量。

二、函数的表示方式函数可以通过多种方式来表示。

最常见的方式是函数的显式表达式，如y = 2x + 1。

还有函数的隐式表达式，如x² + y² = 1。

另外，函数还可以通过函数图像、函数表和函数关系式等方式来表示。

三、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

2. 单调性：函数的单调性可以分为增函数和减函数。

增函数是指在定义域内，随着自变量的增大，函数值也增大；减函数则相反。

3. 奇偶性：奇函数和偶函数是函数的一种特殊性质。

奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)。

4. 周期性：周期函数是指在一定范围内具有重复的规律性。

例如正弦函数和余弦函数就是周期函数，它们的周期是2π。

5. 对称性：函数的对称性包括轴对称和中心对称两种。

轴对称是指以某一条直线为对称轴，对称图像重合；中心对称则是指以某一点为中心，对称图像重合。

四、函数的基本类型1. 一次函数：一次函数是函数的一种特殊类型，其表达式为y= kx + b，其中k和b为常数。

2. 二次函数：二次函数是函数的另一种特殊类型，其表达式为y = ax² + bx + c，其中a、b和c为常数。

3. 绝对值函数：绝对值函数的表达式为y = |x|，其中x为实数。

4. 幂函数：幂函数是指函数的自变量为底数，指数为常数的函数。

例如y = x²、y = √x等。

5. 指数函数：指数函数是函数的自变量为指数，底数为常数的函数。

高二数学函数知识点总结一、基本概念函数是一种特殊的关系，它将每一个自变量值与唯一一个因变量值相对应。

函数可以用符号关系表示为y = f(x)，其中x为自变量，y为因变量。

二、函数的表示与图像1. 函数的表示形式(1) 方程式：常见的函数形式有代数函数、三角函数、指数函数、对数函数等。

(2) 函数图像：图像可以直观地展示函数的性质，包括增减性、奇偶性、周期性等。

2. 常见函数的图像特征(1) 线性函数：图像呈直线，斜率代表函数的增减趋势。

(2) 幂函数：图像可以是开口向上或开口向下的曲线，指数越大，曲线变化越快。

(3) 二次函数：图像是开口向上或开口向下的抛物线，顶点坐标表示对称轴。

(4) 正弦函数和余弦函数：图像是周期性波动的曲线，振幅表示波动的幅度，周期表示波动的重复时间。

(5) 指数函数：图像是递增的曲线，以(0,1)为底的指数函数在x轴右侧逐渐增长。

(6) 对数函数：图像是递增的曲线，以(0,1)为底的对数函数在y轴右侧逐渐增长。

三、函数的性质1. 定义域和值域(1) 定义域：函数能够接受的自变量值的范围。

(2) 值域：函数所有可能的因变量值的范围。

2. 奇偶性和周期性(1) 奇偶性：关注函数图像关于y轴或者原点的对称性。

(2) 周期性：函数在一定区间内是否有重复的规律性。

3. 单调性和极值点(1) 单调性：函数在定义域上的变化趋势，包括增加、减少、不增不减和不减不增。

(2) 极值点：函数在单调区间内的最大值和最小值，可以通过导数判断。

4. 零点和交点(1) 零点：函数在定义域上使得函数值为0的点。

(2) 交点：函数与坐标轴或者其他函数图像相交的点。

四、函数的运算1. 函数的四则运算(1) 加法：两个函数相加后得到的函数的值等于两个函数对应点的值之和。

(2) 减法：两个函数相减后得到的函数的值等于两个函数对应点的值之差。

(3) 乘法：两个函数相乘后得到的函数的值等于两个函数对应点的值之积。

高三周期函数知识点周期函数是高中数学中的一个重要概念，它在解决各种实际问题时起着重要的作用。

本文将介绍高三周期函数的基本概念、性质以及常见的周期函数类型。

一、周期函数的基本概念周期函数是指在某个特定的区间内，函数值以相同的间隔重复出现的函数。

这个特定的区间称为函数的一个周期。

常见的周期函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。

二、周期函数的性质1. 周期性：周期函数的最显著特点就是具有周期性，即函数的函数值在一个周期内重复出现。

2. 奇偶性：周期函数可以分为奇函数和偶函数。

若函数满足f(x) = -f(-x) 成立，则为奇函数；若函数满足 f(x) = f(-x) 成立，则为偶函数。

3. 对称性：周期函数通常具有某种对称性，如正弦函数和余弦函数是关于原点对称的。

三、常见的周期函数类型1. 正弦函数 y = A*sin(Bx+C)+D：正弦函数是高中数学中最常见的周期函数之一。

其中 A 表示振幅，B 表示角频率，C 表示相位差，D 表示平移量。

2. 余弦函数 y = A*cos(Bx+C)+D：余弦函数和正弦函数非常相似，只是相位差不同，其余的性质都相同。

3. 正切函数y = A*tan(Bx+C)+D：正切函数的图像具有周期性，但是它在某些点上会出现无穷大的间断点。

四、周期函数的图像特征周期函数的图像通常具有一些特征，进一步揭示了周期函数的性质：1. 周期性：图像在一个周期内重复出现。

2. 振幅：图像在纵轴上的最大值与最小值之间的差值。

3. 频率：图像在一个单位周期内震动的次数，与角频率相关。

五、周期函数在实际问题中的应用周期函数在实际问题中有着广泛的应用，如物理、电路等领域。

周期函数可以描述周期性的变化规律，帮助我们解决一些实际问题。

例如，通过正弦函数模型可以预测某地区的气温随时间的变化，从而指导人们做出合理的决策。

总结：周期函数是高三数学中的一个重要知识点，它具有周期性、奇偶性和对称性等基本性质。

函数的周期性与奇偶性函数是数学中非常重要的概念之一，它描述了一种规律性的映射关系。

函数的周期性和奇偶性是函数性质中的两个重要方面。

本文将就函数的周期性和奇偶性展开论述。

一、函数的周期性周期性是函数在某个区间内具有相似性质的重复性。

若对于函数f(x)存在一个正数T，使得对于任意的x∈R，有f(x+T) = f(x)，则称函数f(x)是周期函数，T称为函数的周期。

周期函数是一类具有固定重复规律的函数。

常见的周期函数有三角函数和指数函数。

以三角函数为例，正弦函数和余弦函数就是周期为2π的函数。

它们的图像在每个周期内重复出现相同的形状。

在数学中，我们可以通过函数图像的观察或者计算来确定周期。

对于三角函数而言，周期往往是已知的，如正弦函数的周期为2π。

而对于其他函数，我们可以观察函数图像是否在一个特定区间内重复。

函数的周期性可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。

很多实际问题中的规律性变化都可以用周期函数来描述，比如天体运动、电流的变化等。

二、函数的奇偶性奇偶性是函数在坐标系中对称性的一种表现。

若对于任意的x∈R，有f(-x) = f(x) 或者f(-x) = -f(x)，则称函数f(x)是偶函数或奇函数。

偶函数的图像关于y轴对称，即在y轴上的每个点关于原点有对应的相等点。

典型的偶函数有多项式中的偶次幂函数，如x²、x⁴等。

奇函数的图像关于坐标原点对称，即在原点关于x轴和y轴的每个点有对应的相等点。

典型的奇函数有多项式中的奇次幂函数，如x³、x⁵等。

在数学中，我们可以通过对函数进行代数计算来判断函数的奇偶性。

比如，若函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则可以判定f(x)是偶函数；若函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则可以判定f(x)是奇函数。

同时，我们也可以通过观察函数图像来确定函数的奇偶性。

函数的奇偶性是函数图像的一种对称性，它在数学运算和函数性质研究中有重要的应用。

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念：抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值，特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于/(x)定义域内的每一个X,都存在非零常数7,使得/(x+T) = 7。

)恒成立，则称函数/*)具有周期性，7叫做/(x)的一个周期，则ZT (&£Z,Zw())也是/(幻的周期，所有周期中的最小正数叫了(元)的最小正周期。

分段函数的周期：设y = /(尢)是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:y =/(x),XE[a,b\T = h-a o把丁 = /(x)沿x轴平移KT = KS-〃)个单位即按向量。

=(左7,0)平移，即得= /(x)在其他周期的图像:y = f{x-kT),x^ [kT+a,kT+h] o/(x) xe[a,b]f(x-kT)xe[kT + a,kT4-b]2、奇偶函数:设y = /(x)，x £ [a,h^x G [-"一司U [a,b]①若/(-x) = 一/(x),贝I称y = /(x)为奇函数；②若/(-x) = /(%)则称y = /5)为偶函数。

分段函数的奇偶性3、函数的对称性：(1)中心对称即点对称：①点A(x, y)与3(2〃 - x,2b - y)关于点(。

,〃)对称；②点A(a -x,b- y)与倒。

+ x力+ y)关于(。

,〃)对称；③函数y = f(x)^2b -y = /(2q-x)关于点(〃,b)成中心对称；④函数y = /(4-工)与/? + 丁 = /(4 + X)关于点(4,/?)成中心对称;⑤函数/(羽丁)= 0与尸(24-工,20-丁)= 0关于点(4/)成中心对称。

谈高中函数中的奇偶性和对称性
高中函数中的奇偶性和对称性是基本的概念，它们在数学分析中被广泛使用。

下面我将详细介绍奇偶性和对称性，并给出一些例子：
一、奇偶性
1. 定义：奇偶性指函数图像围绕其中心(原点)对称，若函数关于原点对称，则称其具有奇偶性。

2. 表示方法： $$f(-x)=f(x)\text{ 即成对函数 }$$
3. 例子：$f(x)=x^2 \; \text{、}\; f(x)=-x$
二、对称性
1. 定义：对称性指函数图像沿某条直线对称，若函数关于这一条直线对称，则称其具有对称性。

2. 表示方法： $$f(x)=-f(x-a)\text{ 其中$a$是平移量}$$
3. 例子：$f(x)=x^2 \; \text{、}\; f(x)=sin(x)$。

综上，奇偶性和对称性是高中数学中非常重要的概念，它们可以帮助我们有效地进行数学分析，提高解题速度和效率。