参数方程,极坐标

参数方程与极坐标参数方程和极坐标是数学中常用的描述平面曲线的两种方法。

两者分别适用于不同类型的曲线，并且在不同的数学领域中都有广泛的应用。

下面将详细介绍参数方程和极坐标。

1.参数方程参数方程是用参数形式描述曲线的方程。

一条平面曲线可以用参数方程表示为：x=f(t)y=g(t)其中x和y是曲线上的点的坐标，t是参数。

通过改变参数t的取值，我们可以获得曲线上的各个点。

参数方程的优点是可以轻松地描述一些复杂的曲线，例如椭圆、双曲线、直角坐标系不容易表示的曲线等。

此外，参数方程也常用于描述运动学问题，其中x和y可以表示物体在不同时间点的位置。

然而，参数方程也有一些限制。

一条曲线可以有多种不同的参数方程表示，而同一条曲线也可能存在无穷多个参数方程。

因此，在使用参数方程时，需要选择恰当的参数范围以确保曲线的完整性和正确性。

2.极坐标极坐标是一种描述平面上点的方法，其中每个点由一个距离和一个角度组成。

极坐标系中，坐标轴被称为极轴，原点为极点，极轴正方向为极角为0的方向。

一个点的极坐标可以用(r,θ)表示，其中r是点到极点的距离，θ是点相对极轴的角度。

通过改变r和θ的取值，我们可以获得平面上的各个点。

极坐标的优点在于能够简洁地表示出具有对称特点的曲线，例如圆、椭圆、双曲线等。

此外，极坐标也常用于描述极坐标系下的物体运动，其中r和θ可以表示物体在不同时间点的位置。

然而，极坐标也有一些局限性。

极坐标系不适用于描述直线和垂直于极轴的曲线。

此外，极坐标系下的计算也相对复杂，需要进行数学变换来转换为直角坐标系进行计算。

3.参数方程与极坐标的关系参数方程和极坐标是可以相互转换的。

对于一个曲线的参数方程x=f(t)，y=g(t)，我们可以将x和y转换为极坐标r和θ，从而得到曲线的极坐标方程。

设x=r*cos(θ)，y=r*sin(θ)，则有：r*cos(θ) = f(t)r*sin(θ) = g(t)通过这个转换，我们可以将一个曲线从参数方程转换为极坐标方程，并反过来。

第十九章 坐标平移（选）、参数方程与极坐标（理）一、坐标平移代数平移法1. 平移公式：如果将原点移到（h,k ），则平面上任意一点M 的新坐标),(''y x 与原坐标（x,y ）之间的关系式：⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧+=+=k y y h x x k y y h x x ''''或 注：此方法关键在于先确定k h ,，分清求新还是原坐标。

几何平移法2．平移口诀：当方程0),(=--k y h x f ，经平移后变为0),(''=y x f 。

平移图像：坐标轴不动，左加右减，上加下减（对于二次曲线多数用上减下加）。

平移坐标轴：图像不动，左减右加，上减下加（对于二次曲线多数用上加下减）。

二、曲线的参数方程1、 参数方程定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点的坐标y x ,都是某个实数t 的函数⎩⎨⎧==)()(t g y t f x )(D t ∈ 并且对于t 的每一个允许值，由方程所确定的点),(y x P 都在这条曲线C 上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程。

变量t 叫做参变量或参变数，简称参数。

相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标y x ,间关系的方程0),(=y x F 叫做曲线的普通方程。

例、参数方程)2,0[sin 2cos 2πθθθ∈⎩⎨⎧==y x 与)2,0(sin 2cos 2πθθθ∈⎩⎨⎧==y x 是否表示同一曲线？为什么？2、 参数方程中参数的选取不同，曲线便不同。

例：参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 若：t 为参数，α是常量且α∈[0,π)时，该方程表示过点(x 0,y 0),倾角为α的直线。

若：α为参数，t 是常量且t>0时，该方程表示以点(x0,y0)为圆心，t 为半径的圆。

3、 参数方程与普通方程的互化参数方程和普通方程是直角坐标系下曲线方程的不同表示形式，它们都是表示曲线上点的坐标之间关系的，故在一般情况下，它是可以互相转化的。

极坐标与参数方程极坐标和参数方程是解析几何中的两种常见的坐标系统。

它们在描述曲线、曲面和图形等数学问题中具有重要的应用。

本文将就极坐标和参数方程的定义、特点以及应用做详细介绍。

一、极坐标1.1 定义极坐标是用一个有序的有序对(r, θ)来表示平面上的点P。

其中r表示点P到原点的距离，θ表示点P与X轴正半轴的夹角。

极坐标可以看做是极径和极角的一种表示方式。

1.2 特点极坐标的主要特点在于其描述了点P与原点之间的极径和极角关系，而不是点的直角坐标。

极坐标有助于描述某些特殊的图形特征，如圆、扇形和螺旋线等。

1.3 转换关系极坐标与直角坐标之间存在一定的转换关系。

对于平面上一点P(x,y)，其转换为极坐标(r,θ)的关系如下：r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)二、参数方程2.1 定义参数方程又称参数表示法，是用参数的形式描述平面上点的坐标。

对于平面上点P，可以使用一组参数t来表示其坐标(x,y)，即P(x(t),y(t))。

参数方程可以看做是x和y的函数表达。

2.2 特点参数方程的主要特点在于可以通过参数的变化来描述点的轨迹和运动规律。

参数方程常用于描述曲线、线段和曲面等几何形体，同时也在物理学和工程学中广泛应用。

2.3 转换关系直角坐标和参数方程之间也存在转换关系。

对于平面上一点P(x,y)，其对应的参数方程为：x = x(t)y = y(t)三、极坐标与参数方程的应用3.1 几何图形的描述极坐标和参数方程可以更直观地描述某些几何图形。

比如，圆的极坐标方程为(r,θ) = (a, θ)，其中a为半径；直线可用参数方程表示，利用参数t可以描述直线的起点、终点和运动方向。

3.2 物理学中的应用极坐标和参数方程在物理学中有着广泛的应用。

例如，带电粒子在磁场中的运动可通过参数方程来描述；振动系统中的物体位置随时间的变化也可以通过参数方程来表示。

3.3 工程学中的应用工程学中常常需要处理复杂的曲线和曲面。

参数方程与极坐标(精华版)y y tsin注意：倾角为的直线，斜率为tan，所以tan=tan，即tcos=tsin，所以cos=sin，即=45，即直线与x轴或y轴夹45角。

Eg：已知直线L过点（1，2）且与x轴夹45角，求直线L的方程。

解：设直线L的参数方程为x=1+tcos45，y=2+tsin45，即x=1+t/2，y=2+t/2，将y=mx+b代入得到m=1，b=3/2，即直线L的方程为y=x+3/2.四、极坐标1、定义：在平面直角坐标系中，点P到原点O的距离r和OP与x轴正半轴的夹角唯一确定点P的位置，称（r，）为点P的极坐标，r为极径，为极角，记作P（r，）。

2、极坐标与直角坐标的转换x=r cos，y=r sinr2=x2+y2，tan=y/x3、常见曲线的极坐标方程1）圆：r=a2）半直线：=0或=3）双曲线：r=a sec或r=a cosec4）椭圆：r=a bcos或r=a sin5）心形线：r=a(1+cos)6）阿基米德螺线：r=a+b7）对数螺线：r=a e b8）伯努利双曲线：r2=a2 sec29）费马螺线：r=2a sin(/2)10）旋轮线：r=a或r=a sin(n)/sin（n为正整数）总结：极坐标的方程形式比较简单，但是不同曲线的极坐标方程需要记忆，转换成直角坐标系方程需要用到三角函数的知识。

P点的有向距离在点P两侧t的符号相反，可以通过直线的参数方程来表示。

其中，t代表有向距离的几何意义。

需要注意的是，t的符号相对于点P，正负在P点两侧，且|PP|=|t|。

直线参数方程可以有多种变式，比如y=y+tsinα和x=x+at，y=y+bt，但此时t的几何意义不是有向距离。

只有当t前面系数的平方和为1时，t的几何意义才是有向距离。

因此，可以将直线参数方程整理为x=x+a2+b2t，XXX，让a2+b2t作为t，这样t的几何意义就是有向距离了。

例如，对于直线x=-1+3t，y=2-4t，可以求其倾斜角。

参数方程与极坐标系参数方程和极坐标系是数学中描述曲线的两种不同方式。

本文将介绍参数方程和极坐标系的定义、特点以及它们在数学和物理领域中的应用。

一、参数方程的定义与特点参数方程是通过用一个或多个参数来表示曲线上各点的坐标的一种方法。

具体而言，设曲线上的一点P的坐标为(x, y)，则可以将P的坐标表示为关于参数t的函数形式，即x = f(t), y = g(t)。

这种表示形式可以描述各种各样的曲线，包括直线、圆、椭圆等。

参数方程的优势在于它可以很方便地描述参数对应于曲线上的点的关系。

通过改变参数的取值范围，我们可以得到曲线上的不同点。

参数方程还可以轻松地描述具有重复部分或具有周期性变化的曲线，这在绘制一些复杂图形时非常有用。

二、参数方程的应用1. 几何图形参数方程在几何图形的研究中得到广泛应用。

例如，通过适当选择参数的取值范围，我们可以绘制出各种形状的曲线，包括心形线、螺旋线、双纽线等。

这些曲线在数学和美学上都具有重要的意义。

2. 物理运动参数方程在描述物理运动时也非常有用。

例如，对于物体在三维空间中的运动，可以使用参数方程来描述物体的位置随时间的变化。

这在物理学中研究轨迹、弧线运动等问题时经常使用。

三、极坐标系的定义与特点极坐标系是用极径和极角来描述平面上的点的坐标系统。

对于平面上的一点P，其极坐标可以表示为(P, θ)，其中P代表极径，θ代表极角。

极径表示点P到极点的距离，极角表示点P与极正轴的夹角。

极坐标系的特点在于它可以更直观地表示某一点的位置与极点之间的关系。

通过改变极径和极角，我们可以得到平面上的不同点，从而形成不同的曲线。

极坐标系特别适用于描述对称性较强的曲线，如圆、心形线等。

四、极坐标系的应用1. 绘图极坐标系在绘制对称图形时非常方便。

例如，通过改变极角的取值范围，我们可以绘制出各种形状的曲线，如双纽线、螺旋线等。

极坐标系还在计算机图形学中得到广泛应用，用于生成各种美观的图形。

2. 物理领域极坐标系在物理领域中也具有重要的应用。

极坐标与参数方程一、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.练习1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ）12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数A ．B ．C ．D ．2323-3232-2．下列在曲线上的点是（ ）sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数A ．B ．C ．D ．1(,231(,)42-3．将参数方程化为普通方程为（ ）222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数A ．B ．C ．D ．2y x =-2y x =+2(23)y x x =-≤≤2(01)y x y =+≤≤注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3可知））。

应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

3．圆的参数方程如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。

这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度（称为旋转角）。

圆心为，半径为的圆的普通方程是，它的参数方程为：。

4．椭圆的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。

参数方程与极坐标参数方程知识回顾：一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个参数t的函数，即　，其中，t为参数，并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点⎩⎨⎧==)()(tfytfxM（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数．二、二次曲线的参数方程1、圆的参数方程：中心在（x0，y0），半径等于r的圆： （为参数，的几何意义为圆心角），θθsincosryyrxx+=+=θθ特殊地，当圆心是原点时，θθsincosryrx==注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵坐标与参数间的关系。

Eg1：已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的动点，求：（1）x2+y2的最值；（2）x+y的最值；（3）点P到直线x+y-1=0的距离d的最值。

Eg2：将下列参数方程化为普通方程（1） x=2+3cos（2） x=sin（3） x=t+θθt1y=3sin y=cos y=t2+θθ21t总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域2、椭圆的参数方程：中心在原点，焦点在x轴上的椭圆： （为参数，的几何意义是离心角，如图角AON是离心角）θθsincosbyax==θθ注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M点的轨迹是椭圆，中心在（x0，y0）椭圆的参数方程：θθsincosbyyaxx+=+=Eg ：求椭圆=1上的点到M （2,0）的最小值。

203622y x +3、双曲线的参数方程：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线：　（为参数，代表离心角），中心在θθtan sec b y a x ==θ（x 0，y 0），焦点在x 轴上的双曲线： θθtan sec 00b y y a x x +=+=4、抛物线的参数方程：顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线： （t 为参数，p ＞0，t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）pt y pt x 222==直线方程与抛物线方程联立即可得到。

选修4－4 极坐标与参数方程一、极坐标1.(1)极坐标系 (2)极坐标2．极坐标与直角坐标的互化 3．简单曲线的极坐标方程二.参数方程 1.概念2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．直线参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．1. (3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)一、极坐标方程与直角坐标方程互化及判断曲线类型【例1】化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。

(1) 2540ρρ-+=； (2) 53cos 4sin ρθθ=+；(3) 523cos ρθ=-； (4）242ππρθθρ-+=, 其中R ρ∈【解析】（1）方程变形为(1)(4)0ρρ--=,∴1ρ=或4ρ=，即221x y +=或2216x y +=， 故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。

(2) 变形得3cos 4sin 5ρθρθ+=,即3450x y +-=，故原方程表示直线3450x y +-=。

极坐标和参数方程一、极坐标极坐标是一种描述平面上点位置的方法，它使用距离和角度两个参数来确定一个点的位置。

在极坐标中，每个点由一个非负的距离和一个角度表示。

1. 极坐标的定义在极坐标系统中，原点O表示原始点，与x轴正方向之间的夹角θ表示该点相对于x轴正方向的角度。

而该点到原点O的距离r则表示该点到原点O的直线距离。

根据这种定义，可以使用(r, θ)来表示一个点P在极坐标系中的位置。

2. 极坐标与直角坐标的转换在直角坐标系中，一个点P可以用(x, y)来表示。

而在极坐标系中，通过以下公式可以将直角坐标转换为极坐标：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = arctan(y / x)其中sqrt表示平方根函数，arctan表示反正切函数。

反过来，可以通过以下公式将极坐标转换为直角坐标：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中cos表示余弦函数，sin表示正弦函数。

二、参数方程参数方程是一种用参数表示自变量和因变量之间关系的方法。

在参数方程中，自变量和因变量都是用一个或多个参数来表示。

一个参数方程通常包含多个等式，每个等式都描述了自变量和因变量之间的关系。

1. 参数方程的定义对于平面上的曲线，可以用以下形式的参数方程来描述：x = f(t)y = g(t)其中x和y分别表示曲线上某一点P的x坐标和y坐标，t是一个参数。

通过给定不同的t值，可以得到曲线上不同位置点的坐标。

2. 参数方程与直角坐标的转换与极坐标类似，可以通过将参数方程转换为直角坐标系中的形式来进行计算。

具体转换方法取决于给定的参数方程。

例如，对于一个简单的直线段：x = at + by = ct + d其中a、b、c、d都是常数。

将这个参数方程转换为直角坐标系中的形式：y = (c / a) * x + (d - (c / a) * b)这样就得到了直线在直角坐标系中的方程。

三、极坐标和参数方程的应用极坐标和参数方程在数学和物理等领域有着广泛的应用。

参数方程与极坐标参数方程与极坐标的转换和应用参数方程与极坐标：参数方程的定义和应用在数学中，参数方程是一种描述曲线的数学工具，而极坐标则是另一种描述平面上点的工具。

本文将介绍参数方程与极坐标之间的转换关系以及它们在数学和科学中的应用。

一、参数方程的定义与性质参数方程是用参数表示的一组方程，其中每个方程都将变量表示为参数的函数。

一般形式的参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中，x和y是曲线上的点的坐标，t是参数。

参数方程的优点是可以灵活地描述复杂的曲线形状。

通过改变参数的取值范围和步长，可以绘制出图像在不同区间上的局部特征。

与直角坐标系不同，参数方程可以表示一些非代数曲线，如椭圆、双曲线和螺旋线等。

二、极坐标的定义与性质极坐标是以原点O为中心，以极轴和极径表示平面上的点P的坐标系统。

极径表示点P到原点O的距离，极轴则表示P与某一固定方向的夹角，一般用θ表示。

点P的极坐标可以表示为(r,θ)的形式。

极坐标的优势在于对于圆形和对称图形，其方程形式会更加简洁。

由于可以直接用极径和极角表示曲线上的点，因此在极坐标下进行积分和求解微分方程等数学计算时会更加便利。

三、参数方程与极坐标之间的转换关系参数方程与极坐标之间存在一种转换关系，通过这种关系可以将一个曲线在参数方程和极坐标之间进行相互转换。

1. 参数方程转换为极坐标在已知参数方程x = f(t)和y = g(t)的情况下，可以通过以下方式将其转换为极坐标：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = atan2(y, x)其中，sqrt表示开方，atan2表示求反正切。

2. 极坐标转换为参数方程同样地，在已知极坐标r和θ的情况下，可以通过以下方式将其转换为参数方程：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中，cos表示余弦，sin表示正弦。

这种转换关系使得我们可以通过参数方程和极坐标两种不同的方式描述和研究同一个曲线。