北京回民学校数学轴对称填空选择单元测试题(Word版 含解析)

数学八年级上册 轴对称填空选择单元综合测试（Word 版 含答案）一、八年级数学全等三角形填空题（难）1．如图，∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，AB =11，AC =5，则BE =______________．【答案】3【解析】如图，连接CD ，BD ，已知AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，根据角平分线的性质可得DF=DE ，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE ，即可得AE=AF ，又因DG 是BC 的垂直平分线，所以CD=BD ，在Rt △CDF 和Rt △BDE 中，CD ＝BD ，DF ＝DE ，利用HL 定理可判定Rt △CDF ≌Rt △BDE ，由全等三角形的性质可得BE=CF ，所以AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE ，又因AB=11，AC=5，所以BE=3．点睛：此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，正确作出辅助线，利用数形结合思想是解决问题的关键．2．如图，已知OP 平分∠AOB ，CP ∥OA ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ．CP ＝254，PD ＝6．如果点M 是OP 的中点，则DM 的长是_____．【答案】5．【解析】【分析】由角平分线的性质得出∠AOP=∠BOP ，PC=PD=6，∠PDO=∠PEO=90°，由勾股定理得出2274CE CP PE =-=，由平行线的性质得出∠OPC=∠AOP ，得出∠OPC=∠BOP ，证出254CO CP ==，得出OE=CE+CO=8，由勾股定理求出2210OP OE PE =+=，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．【详解】∵OP 平分∠AOB ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ，∴∠AOP ＝∠BOP ，PC ＝PD ＝6，∠PDO ＝∠PEO ＝90°， ∴222257446CE CP PE ⎛⎫⎪⎭-⎝=-==， ∵CP ∥OA ，∴∠OPC ＝∠AOP ，∴∠OPC ＝∠BOP ，∴254CO CP ==， ∴725448OE CE CO =+=+=， ∴22228610OP OE PE =+=+=，在Rt △OPD 中，点M 是OP 的中点，∴125DM OP ==； 故答案为：5．【点睛】 本题考查了勾股定理的应用、角平分线的性质、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的性质等知识；熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质，证明CO=CP 是解题的关键．3．如图，△ABC 是等边三角形，AE ＝CD ，AD 、BE 相交于点P ，BQ ⊥DA 于Q ，PQ ＝3，EP ＝1，则DA 的长是________.【答案】7【解析】试题解析：∵△ABC 为等边三角形，∴AB=CA ，∠BAE=∠ACD=60°；又∵AE=CD ，在△ABE 和△CAD 中，AB CABAE ACDAE CD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABE≌△CAD；∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；∵BQ⊥AD，∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°-60°=30°；∵PQ=3，∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；又∵PE=1，∴AD=BE=BP+PE=7．故答案为7.4．如图，ABC∆中，90ACB∠=︒，8cmAC，15cmBC=，点M从A点出发沿A C B→→路径向终点运动，终点为B点，点N从B点出发沿B C A→→路径向终点运动，终点为A点，点M和N分别以每秒2cm和3cm的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M和N作ME l⊥于E，NF l⊥于F.设运动时间为t秒，要使以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为______.【答案】235或7或8【解析】【分析】易证∠MEC＝∠CFN，∠MCE＝∠CNF．只需MC＝NC，就可得到△MEC与△CFN全等，然后只需根据点M和点N不同位置进行分类讨论即可解决问题．【详解】①当0≤t＜4时，点M在AC上，点N在BC上，如图①，此时有AM＝2t，BN＝3t，AC＝8，BC＝15．当MC＝NC即8−2t＝15−3t时全等，解得t＝7，不合题意舍去；②当4≤t＜5时，点M在BC上，点N也在BC上，如图②，若MC＝NC，则点M与点N重合，即2t−8＝15−3t，解得t＝235；当5≤t＜233时，点M在BC上，点N在AC上，如图③，当MC＝NC即2t−8＝3t−15时全等，解得t＝7；④当233≤t＜232时，点N停在点A处，点M在BC上，如图④，当MC＝NC即2t−8＝8，解得t＝8；综上所述：当t等于235或7或8秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等．故答案为：235或7或8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及分类讨论的思想，可能会因考虑不全面而出错，是一道易错题．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD分对边BD，DC的长度比为3：2，且BC＝20cm，则点D到AB的距离是_____cm．【答案】8【解析】【分析】根据题意画出图形，过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可知DE＝CD，根据角平分线AD分对边BC为BD：DC＝3：2，且BC＝10cm即可得出结论．【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，∴DE＝CD．∵BD：DC＝3：2，且BC＝10cm，∴CD＝20×25＝8（cm）．故答案为：8．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．6．如图，Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点．∠MDN＝90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE＝CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF＝EF；⑤S四边形AEDF＝14AD2，其中正确结论是_____（填序号）【答案】①②③【解析】【分析】先由ASA 证明△AED ≌△CFD ，得出AE ＝CF ，DE ＝FD ；再由全等三角形的性质得到BE +CF ＝AB ，由勾股定理求得EF 与AB 的值，通过比较它们的大小来判定④的正误；先得出S 四边形AEDF ＝S △ADC ＝12AD 2，从而判定⑤的正误． 【详解】解：∵Rt △ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 中点，∴∠C ＝∠BAD ＝45°，AD ＝BD ＝CD ，∵∠MDN ＝90°，∴∠ADE +∠ADF ＝∠ADF +∠CDF ＝90°，∴∠ADE ＝∠CDF ．在△AED 与△CFD 中，EAD C AD CDADE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AED ≌△CFD （ASA ），∴AE ＝CF ，ED ＝FD ．故①②正确；又∵△ABD ≌△ACD ，∴△BDE ≌△ADF ．故③正确；∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF ，ED ＝FD ，∴BE +CF ＝BE +AE ＝ABBD ，∵EFED ，BD ＞ED ，∴BE +CF ＞EF ．故④错误；∵△AED ≌△CFD ，△BDE ≌△ADF ，∴S 四边形AEDF ＝S △ADC ＝12AD 2．故⑤错误． 综上所述，正确结论是①②③．故答案是：①②③．【点睛】 考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形的面积等知识，综合性较强，有一定难度．7．如图，四边形ABCD 是正方形，直线l 1、l 2、l 3分别过A 、B 、C 三点，l 1∥l 2∥l 3，若l 1与l 2之间的距离为4，l 2与l 3之间的距离为5，则正方形的边长为______．【答案】41【解析】解：过B作直线BF⊥l3于F，交直线l1于点E．∵l1∥l3，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴BE=4，BF=5．∵ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=90°．∵∠ABE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CBF．在△ABE和△BCF中，∵∠BAE=∠CBF，∠AEB=∠BFC，AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴AE=BF=5．在Rt△AEB中，AB=22=41．故答案为41．54AE BE=22点睛：本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解答本题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出△ABE≌△BCF，难度适中．8．如图，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE⊥CE，垂足是E，BE交AC于点D，F是BE 上一点，AF⊥AE，且C是线段AF的垂直平分线上的点，AF=22，则DF=________.【答案】3.【解析】【分析】由题意可证的△ABF≌△ACE,可得△AEF为等腰直角三角形，取AF的中点O，连接CO交BE与点G，连接AG，可得△AGF, △AGE,△CEG均为等腰直角三角形，可得AG平行等于CE，可得四边形AGCE为平行四边形，可得FD的长.【详解】解：如图Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，又∠BAC=90°，BE⊥CE，∠DAE为∠BAC与EAF的公共角∴∠BAF=∠CAE,∠ABC=∠ACB=45°, BE⊥CE∴∠ABF+∠CBE=45°,∠CBE+∠ACB+∠ACE=90°,即: ∠CBE+∠ACE=45°，∴∠ABF=∠ACE，在△ABF与△ACE中，有AB ACBAF CAEABF ACE=⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABF≌△ACE，∴AE=AF, △AEF为等腰直角三角形, 取AF的中点O，连接CO交BE与点G，连接AG,C是线段AF的垂直平分线上的点，易得△AGF, △AGE,△CEG均为等腰直角三角形，AF=22∴AG=GE=CE=FG=2,又AG⊥BE,CE⊥BE,可得AG∥CE,∴四边形AGCE为平行四边形，∴GD=DE=1,∴DF=FG+GD=2+1=3.【点睛】本题主要考查三角形全等及性质，综合性强，需综合运用所学知识求解.9．如图，在△ABC中，AB=AC＝10，BC＝12，AD是角平分线，P、Q分别是AD、AB边上的动点，则BP＋PQ的最小值为_______．【答案】9.6【解析】∵AB=AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∴B点，C点关于AD对称，如图，过C作CQ⊥AB于Q，交AD于P，则CQ=BP+PQ 的最小值， 根据勾股定理得，AD=8，利用等面积法得：AB ⋅CQ=BC ⋅AD ，∴CQ=BC AD AB ⋅=12810⨯=9.6 故答案为：9.6. 点睛：此题是轴对称-最短路径问题，主要考查了角平分线的性质，对称的性质，勾股定理，等面积法，用等面积法求出CQ 是解本题的关键.10．如图，△ABC 与△DEF 为等边三角形，其边长分别为a ，b ，则△AEF 的周长为___________．【答案】a+b【解析】先根据全等三角形的判定AAS 判定△AEF≌△BFD，得出AE=BF ，从而得出△AEF 的周长=AF+AE+EF=AF+BF+EF=a+b ．故答案为：a+b二、八年级数学全等三角形选择题（难）11．如图，在等腰△ABC 中，90ACB ︒∠=，8AC =，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =,连接DE 、DF 、EF 在此运动变化的过程中，下列结论：(1)DEF 是等腰直角三角形；(2)四边形CDFE 不可能为正方形，（3）DE 长度的最小值为4；（4）连接CF ，CF 恰好把四边形CDFE 的面积分成1：2两部分，则CE =13或143其中正确的结论个数是A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】【分析】连接CF，证明△ADF≌△CEF，根据全等三角形的性质判断①，根据正方形的判定定理判断②，根据勾股定理判断③，根据面积判断④．【详解】连接CF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45，CF=AF=FB；∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF(SAS)；∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；∵∠AFD+∠CFD=90∘，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90∘，又∵EF=DF∴△EDF是等腰直角三角形(故(1)正确).当D. E分别为AC、BC中点时,四边形CDFE是正方形(故(2)错误).由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；即当DF⊥AC时,DE最小,此时142DF BC== .∴242DE DF=故(3)错误).∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF∴S四边形CDFE=S△AFC,∵CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分∴S△CEF：S△CDF=1:2 或S△CEF：S△CDF=2:1即S△ADF：S△CDF=1:2 或S△ADF：S△CDF=2:1当S△ADF：S△CDF=1:2时，S△ADF=13S△ACF=111684323⨯⨯⨯=又∵S△ADF=1422AD AD ⨯⨯=∴2AD=16 3∴AD=83(故(4)错误).故选：A.【点睛】本题考查了全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理，掌握全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理是解题的关键.12．如右图，在△ABC中，点Q，P分别是边AC，BC上的点，AQ=PQ，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，且PR=PS，下面四个结论：①AP平分∠BAC；②AS=AR；③BP=QP；④QP∥AB．其中一定正确的是( )A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④【答案】C【解析】试题解析：∵PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，且PR=PS，∴点P在∠BAC的平分线上，即AP平分∠BAC，故①正确；∴∠PAR=∠PAQ，∵AQ=PQ，∴∠APQ=∠PAQ，∴∠APQ=∠PAR，QP AB∴，故④正确；在△APR与△APS中,AP AP PR PS=⎧⎨=⎩，(HL)APR APS∴≌，∴AR=AS，故②正确；△BPR和△QSP只能知道PR=PS,∠BRP=∠QSP=90∘，其他条件不容易得到，所以，不一定全等.故③错误.故选C.13．已知OD平分∠MON，点A、B、C分别在OM、OD、ON上(点A、B、C都不与点O重合)，且AB=BC, 则∠OAB与∠BCO的数量关系为（）A．∠OAB+∠BCO=180°B．∠OAB=∠BCOC．∠OAB+∠BCO=180°或∠OAB=∠BCO D．无法确定【答案】C【解析】根据题意画图，可知当C 处在C 1的位置时，两三角形全等，可知∠OAB=∠BCO ；当点C 处在C 2的位置时，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，∠OAB+∠BCO=180°.故选C.14．如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，BD AE ⊥于点D ，DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，连接CD ，给出四个结论:①45ADC ∠=︒;②12BD AE =;③AC CE AB +=;④2AB BC FC -=;其中正确的结论有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】试题解析：如图，过E 作EQ ⊥AB 于Q ，∵∠ACB=90°，AE 平分∠CAB ，∴CE=EQ ，∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴∠CBA=∠CAB=45°，∵EQ ⊥AB ，∴∠EQA=∠EQB=90°，由勾股定理得：AC=AQ ，∴∠QEB=45°=∠CBA ，∴EQ=BQ ，∴AB=AQ+BQ=AC+CE ，∴③正确；作∠ACN=∠BCD ，交AD 于N ，∵∠CAD=12∠CAB=22.5°=∠BAD ， ∴∠ABD=90°-22.5°=67.5°，∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°=∠CAD ，∴∠DBC=∠CAD ，在△ACN 和△BCD 中， DBC CAD AC BCACN DCB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ACN ≌△BCD ，∴CN=CD ，AN=BD ，∵∠ACN+∠NCE=90°，∴∠NCB+∠BCD=90°，∴∠CND=∠CDA=45°，∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN ，∴AN=CN ，∴∠NCE=∠AEC=67.5°，∴CN=NE ，∴CD=AN=EN=12AE ， ∵AN=BD ，∴BD=12AE ， ∴①正确，②正确；过D 作DH ⊥AB 于H ，∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，∠DBA=90°-∠DAB=67.5°，∴∠FCD=∠DBA ，∵AE 平分∠CAB ，DF ⊥AC ，DH ⊥AB ，∴DF=DH ，在△DCF 和△DBH 中90F DHB FCD DBA DF DH ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝＝， ∴△DCF ≌△DBH ，∴BH=CF ，由勾股定理得：AF=AH ，∴2,2AC AB AC AH BH AC AM CM AC AF CF AF AF AF AM AF AF+++++++====， ∴AC+AB=2AF ，AC+AB=2AC+2CF ，AB-AC=2CF ，∵AC=CB ，∴AB-CB=2CF ， ∴④正确．故选D15．如图，将一个等腰Rt △ABC 对折，使∠A 与∠B 重合，展开后得折痕CD ，再将∠A 折叠，使C 落在AB 上的点F 处，展开后，折痕AE 交CD 于点P ，连接PF 、EF ，下列结论：①tan ∠CAE=2﹣1；②图中共有4对全等三角形；③若将△PEF 沿PF 翻折，则点E 一定落在AB 上；④PC=EC ；⑤S 四边形DFEP =S △APF ．正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】【详解】 ①正确．作EM ∥AB 交AC 于M ．∵CA=CB ，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵∠CAE=∠BAE=12∠CAB=22.5°， ∴∠MEA=∠EAB=22.5°， ∴∠CME=45°=∠CEM ，设CM=CE=a ，则2，∴tan ∠CAE=212CE AC a a==+，故①正确，②正确．△CDA≌△CDB，△AEC≌△AEF，△APC≌△APF，△PEC≌△PEF，故②正确，③正确．∵△PEC≌△PEF，∴∠PCE=∠PFE=45°，∵∠EFA=∠ACE=90°，∴∠PFA=∠PFE=45°，∴若将△PEF沿PF翻折，则点E一定落在AB上，故③正确．④正确．∵∠CPE=∠CAE+∠ACP=67.5°，∠CEP=90°﹣∠CAE=67.5°，∴∠CPE=∠CEP，∴CP=CE，故④正确，⑤错误．∵△APC≌△APF，∴S△APC=S△APF，假设S△APF=S四边形DFPE，则S△APC=S四边形DFPE，∴S△ACD=S△AEF，∵S△ACD=12S△ABC，S△AEF=S△AEC≠12S△ABC，∴矛盾，假设不成立．故⑤错误．.故选D.16．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90 ，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD 于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．下列结论：①AE=AF；②AM⊥EF；③AF=DF；④DF=DN，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】试题解析：∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC，∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，∴∠BAD=45°=∠CAD，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°，∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，∴AF=AE，故①正确；∵M为EF的中点，∴AM⊥EF，故②正确；过点F作FH⊥AB于点H，∵BE平分∠ABC，且AD⊥BC，∴FD=FH＜FA，故③错误；∵AM⊥EF，∴∠AMF=∠AME=90°，∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN，在△FBD和△NAD中{FBD DANBD ADBDF ADN∠∠∠∠＝＝＝∴△FBD≌△NAD，∴DF=DN，故④正确；故选C．17．如图，在△ABC中，P是BC上的点，作PQ∥AC交AB于点Q，分别作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若PR=PS，则下面三个结论：①AS=AR；②AQ=PQ；③△PQR≌△CPS；④AC﹣AQ=2SC，其中正确的是（）A．②③④B．①②C．①④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】连接AP,由已知条件利用角平行线的判定可得∠1 = ∠2,由三角形全等的判定得△APR≌△APS,得AS=AR,由已知可得∠2 = ∠3,得QP=AQ,答案可得.【详解】解:如图连接AP,PR=PS,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,AP是∠BAC的平分线,∠1=∠2,△APR≌△APS.AS=AR,又QP/AR,∠2 = ∠3又∠1 = ∠2，∠1=∠3,AQ=PQ,没有办法证明△PQR≌△CPS,③不成立,没有办法证明AC-AQ=2SC,④不成立.所以B选项是正确的.【点睛】本题主要考查三角形全等及三角形全等的性质.18．如图，点 D 是等腰直角△ABC 腰 BC 上的中点，点B 、B′ 关于 AD 对称，且BB′ 交AD 于 F，交 AC 于 E，连接 FC 、 AB′，下列说法：① ∠BAD=30°； ② ∠BFC=135°；③ AF=2B′ C；正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】依据点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，可得tan∠BAD=12，即可得到∠BAD≠30°；连接B'D，即可得到∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，进而得出△ABF≌△BCB'，判定△FCB'是等腰直角三角形，即可得到∠CFB'=45°，即∠BFC=135°；由△ABF≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C；依据△AEF与△CEB'不全等，即可得到S△AFE≠S△FCE．【详解】∵点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，∴BD=12BC=12AB，∴tan∠BAD=12，∴∠BAD≠30°，故①错误；如图，连接B'D，∵B、B′关于AD对称，∴AD垂直平分BB'，∴∠AFB=90°，BD=B'D=CD，∴∠DBB'=∠BB'D，∠DCB'=∠DB'C，∴∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，∴∠AFB=∠BB'C，又∵∠BAF+∠ABF=90°=∠CBB'+∠ABF，∴∠BAF=∠CBB'，∴△ABF≌△BCB'，∴BF=CB'=B'F，∴△FCB'是等腰直角三角形，∴∠CFB'=45°，即∠BFC=135°，故②正确；由△ABF≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C，故③正确；∵AF＞BF=B'C，∴△AEF与△CEB'不全等，∴AE≠CE，∴S△AFE≠S△FCE，故④错误；故选B．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．19．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( )A．两条直角边对应相等B．有两条边对应相等C．斜边和一锐角对应相等D．一条直角边和斜边对应相等【答案】B【解析】根据全等三角形的判定SAS，可知两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，故A不正确；根据一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理HL，能判定全等；若两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理SAS，也能判全等，但是有两边对应相等，没说明是什么边对应，故不能判定，故B正确．根据全等三角形的判定AAS，可知斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等，故C不正确；根据直角三角形的判定HL，可知一条直角边和斜边对应相等两直角三角形全等，故D不正确.故选B.点睛：此题主要考查了直角三角形全等的判定，解题时利用三角形全等的判定SSS，SAS，ASA，AAS，HL，直接判断即可.20．已知等边△ABC中，在射线BA上有一点D，连接CD，并以CD为边向上作等边△CDE，连接BE和AE，试判断下列结论：①AE=BD；②AE与AB所夹锐夹角为60°；③当D在线段AB或BA延长线上时，总有∠BDE-∠AED=2∠BDC；④∠BCD=90°时，CE2+AD2=AC2+DE2，正确的序号有（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】C【解析】【分析】由∠BCD=∠ACD+60°，∠ACE=∠ACD+60°可得∠BCD=∠ACE，利用SAS可证明△BCD≌△ACE，可得AE=BD，①正确；∠CBD=∠CAE=60°，进而可得∠EAD=60°，②正确，当∠BCD=90°时，可得∠ACD=∠ADC=30°，可得AD=AC，即可得CE2+AD2=AC2+DE2，④正确；当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，根据△BCD≌△ACE可得∠AEC=∠BDC，进而可得∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，即可证明∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED，即∠BDE-∠AED=2∠BDC，当点D在AB上时可证明∠BDE-∠AED=120°，③错误，综上即可得答案.【详解】∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，又∵AC=BC，CE=CD，∴△BCD≌△ACE，∴AE=BD，∠CBA=∠CAE=60°，∠AEC=∠BDC，①正确，∴∠BAE=120°，∴∠EAD=60°，②正确，∵∠BCD=90°，∠BCA=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴AC=AD，∵CE=DE，∴CE2+AD2=AC2+DE2，④正确，当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，∵∠AEC=∠BDC，∴∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，∴∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED∴∠BDE-∠AED=2∠BDC，如图，当点D在AB上时，∵△BCD≌△∠ACE，∴∠CAE=∠CBD=60°，∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=120°，∴∠BDE-∠AED=∠DAE=120°，③错误故正确的结论有①②④，故选C.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握21．如图，已知AB ＝AC ，AF ＝AE ，∠EAF＝∠BAC，点C 、D 、E 、F 共线．则下列结论，其中正确的是（ ）①△AFB≌△AEC；②BF＝CE ；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC ．A ．①②③B ．①②④C ．①②D ．①②③④【答案】A【解析】【分析】 根据题意结合图形证明△AFB ≌△AEC ；利用四点共圆及全等三角形的性质问题即可解决．【详解】如图，∵∠EAF=∠BAC ，∴∠BAF=∠CAE ；在△AFB 与△AEC 中，AF AE BAF CAE AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△AFB ≌△AEC （SAS ），∴BF=CE ；∠ABF=∠ACE ，∴A 、F 、B 、C 四点共圆，∴∠BFC=∠BAC=∠EAF ；故①、②、③正确，④错误．故选A.．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是准确找出图形中隐含的全等三角形，灵活运用四点共圆等几何知识来分析、判断、推理或证明．22．如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作 EF∥AD，与AC 、DC 分别交于点G ，F ，H 为CG 的中点，连结DE 、 EH 、DH 、FH ．下列结论：①EG=DF；②△EHF≌△DHC；③∠AEH+∠ADH=180°；④若23AE AB =，则313DHCEDH SS =．其中结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【解析】 分析：①根据题意可知∠ACD=45°，则GF=FC ，则EG=EF-GF=CD-FC=DF ；②由SAS 证明△EHF ≌△DHC 即可； ③根据△EHF ≌△DHC ，得到∠HEF=∠HDC ，从而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF-∠HDC=180°；④若AE AB =23，则AE=2BE ，可以证明△EGH ≌△DFH ，则∠EHG=∠DHF 且EH=DH ，则∠DHE=90°，△EHD 为等腰直角三角形，过H 点作HM 垂直于CD 于M 点，设HM=x ，则DM=5x ，26x ，CD=6x ，则S △DHC =12×HM×CD=3x 2，S △EDH =12×DH 2=13x 2． 详解：①∵四边形ABCD 为正方形,EF ∥AD ，∴EF=AD=CD,∠ACD=45°,∠GFC=90°， ∴△CFG 为等腰直角三角形，∴GF=FC ，∵EG=EF−GF ，DF=CD−FC ，∴EG=DF ，故①正确；②∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为CG 的中点，∴FH=CH,∠GFH=12∠GFC=45°=∠HCD，在△EHF和△DHC中，EF=CD；∠EFH=∠DCH；FH=CH，∴△EHF≌△DHC(SAS)，故②正确；③∵△EHF≌△DHC(已证)，∴∠HEF=∠HDC，∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF−∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故③正确；④∵AEAB=23，∴AE=2BE，∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=GH,∠FHG=90°，∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，在△EGH和△DFH中，EG=DF；∠EGH=∠HFD；GH=FH，∴△EGH≌△DFH(SAS)，∴∠EHG=∠DHF,EH=DH,∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°,∴△EHD为等腰直角三角形，如图，过H点作HM⊥CD于M，设HM=x,则26x，CD=6x，则S△DHC=12×HM×CD=3x2,S△EDH=12×DH2=13x2，∴3S△EDH=13S△DHC，故④正确；故选D.点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题关键在于根据题意熟练的运用相关性质.23．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③PQ∥AE；④DE＝DP；⑤∠AOE＝120°；其中正确结论的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE，故①正确；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ （ASA），所以AP=BQ；故②正确；③根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知③正确；④根据∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，可知PD≠CD，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，由平角的性质可得∠AOE=120°，可知⑤正确；【详解】①∵△ABC和△CDE为等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCB＝60°∴∠ACD＝∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，故①正确；由（1）中的全等得∠CBE＝∠DAC，且BC＝AC，∠ACB＝∠BCQ＝60°∴△CQB≌△CPA（ASA），∴AP＝BQ，故②正确；∵△CQB≌△CPA，∴PC＝PQ，且∠PCQ＝60°∴△PCQ为等边三角形，∴∠PQC＝∠DCE＝60°，∴PQ∥AE，故③正确，∵∠QCP＝60°，∠DPC＝∠BCA+∠PAC＞60°，∴PD≠CD，∴DE≠DP，故④DE＝DP错误；∵BC∥DE，∴∠CBE＝∠BED，∵∠CBE＝∠DAE，∴∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，∴∠AOE＝120°，故⑤正确，故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，综合性较强，题目难度较大．24．如图，在△ABC中，∠ABC=45°， BC=4，以AC为直角边，点A为直角顶点向△ABC的外侧作等腰直角三角形ACD，连接BD，则△DBC的面积为( ) .A．8 B．10 C．42D．82【答案】A【解析】【分析】将△ABD绕着点A顺时针旋转90°得到△AEC，BD与EC交于点O，连接BE，根据旋转的性质得到AE=AB，∠BAE=∠DOC=90°，过D点作DF⊥BC，证△EBC≌BFD，可得DF=BC=4，再用三角形面积公式即可得出答案.【详解】解：如下图所示，将△ABD绕着点A顺时针旋转90°得到△AEC，BD与EC交于点O，连接BE，根据旋转的性质可知EC=BD，AE=AB，∠BAE=∠DOC=90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE=45°，又∵∠ABC=45°，∴∠EBC=90°，∵∠BDF+∠DBF=90°，∠ECB+∠DBF=90°，∴∠BDF=∠ECB在△EBC和△BFD中EBC=BFD=90ECB=BDFEC=BD⎧∠∠⎪∠∠⎨⎪⎩∴△EBC≌△BFD（AAS）∴DF=BC=4∴△DBC的面积=11BC DF=44=822⋅⨯⨯故选A.【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，是一道综合性较强的题，难度较大，关键是正确的作出辅助线构造全等三角形.25．如图所示，点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN 于点C，AD⊥MN于点D，下列结论错误的是( )A．AD＋BC＝AB B．与∠CBO互余的角有两个C．∠AOB＝90°D．点O是CD的中点【答案】B【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AD=AE，BC=BE，利用角平分线的定义和平角的性质可得到∠AOB的度数，再利用“HL”证明Rt△AOD和Rt△AOE全等，根据全等三角形对应边相等可得OD=OE，同理可得OC=OE，然后求出∠AOB=90°，然后对各选项分析判断即可得解．【详解】∵点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，∴AD=AE，BC=BE．∵AB=AE+BE，∴AB=AD+BC，故A选项结论正确；与∠CBO互余的角有∠COB，∠EOB，∠OAD，∠OAE共4个，故B选项结论错误；∵点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，∴∠AOE=12∠EOD，∠BOC=12∠MOE，∴∠AOB=12(∠EOD+∠MOE)=12×180°=90°，故C选项结论正确；在Rt△AOD和Rt△AOE中，AO AOAD AE=⎧⎨=⎩，∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），∴OD=OE，同理可得OC=OE，∴OC=OD=OE，∴点O是CD的中点，故D选项结论正确．故选B．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，余角的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．26．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出下列四个结论：①△APE≌△CPF；②AE=CF；③△EAF是等腰直角三角形；④S△ABC=2S四边形AEPF，上述结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】利用“角边角”证明△APE和△CPF全等，根据全等三角形的可得AE=CF，再根据等腰直角三角形的定义得到△EFP是等腰直角三角形，根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的面积等于△ABC的面积的一半．【详解】∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，∴AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，∴∠APF+∠CPF=90°，∵∠EPF是直角，∴∠APF+∠APE=90°，∴∠APE=∠CPF，在△APE和△CPF中，45APE CPFAP PCEAP C∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝，∴△APE≌△CPF（ASA），∴AE=CF，故①②正确；∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE，∴△EFP是等腰直角三角形，故③错误；∵△APE≌△CPF，∴S△APE=S△CPF，∴四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=12S△ABC．故④正确，故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，从而得到△APE和△CPF全等是解题的关键，也是本题的突破点．27．Rt△ABC中，AB＝AC，D点为Rt△ABC外一点，且BD⊥CD，DF为∠BDA的平分线，当∠ACD＝15°，下列结论：①∠ADC＝45°；②AD＝AF；③AD+AF＝BD；④BC﹣CE＝2D,其中正确的是( )A．①③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】C【解析】【分析】由题意可证点A，点C，点B，点D四点共圆，可得∠ADC＝∠ABC＝45°；由角平分线的性质和外角性质可得∠AFD＝∠BDF+∠DBF＞∠ADF，可得AD≠AF；如图，延长CD至G，使DE＝DG，在BD上截取DH＝AD，连接HF，由“SAS”可证△ADF≌△HDF，可得∠DHF＝∠DAF＝30°，AF＝HF，由等腰三角形的性质可得BH＝AF，可证BD＝BH+DH＝AF+AD；由“SAS”可证△BDG≌△BDE，可得∠BGD＝∠BED＝75°，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得BC＝BG＝2DE+EC.【详解】∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，且∠ACD＝15°，∵∠BCD＝30°，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴点A，点C，点B，点D四点共圆，∴∠ADC＝∠ABC＝45°，故①符合题意，∠ACD＝∠ABD＝15°，∠DAB＝∠DCB＝30°，∵DF为∠BDA的平分线，∴∠ADF＝∠BDF，∵∠AFD＝∠BDF+∠DBF＞∠ADF，∴AD≠AF，故②不合题意，如图，延长CD至G，使DE＝DG，在BD上截取DH＝AD，连接HF，∵DH ＝AD ，∠HDF ＝∠ADF ，DF ＝DF ，∴△ADF ≌△HDF(SAS)∴∠DHF ＝∠DAF ＝30°，AF ＝HF ，∵∠DHF ＝∠HBF+∠HFB ＝30°，∴∠HBF ＝∠BFH ＝15°，∴BH ＝HF ，∴BH ＝AF ，∴BD ＝BH+DH ＝AF+AD ，故③符合题意，∵∠ADC ＝45°，∠DAB ＝30°＝∠BCD ，∴∠BED ＝∠ADC+∠DAB ＝75°，∵GD ＝DE ，∠BDG ＝∠BDE ＝90°，BD ＝BD ，∴△BDG ≌△BDE(SAS)∴∠BGD ＝∠BED ＝75°，∴∠GBC ＝180°﹣∠BCD ﹣∠BGD ＝75°，∴∠GBC ＝∠BGC ＝75°，∴BC ＝BG ，∴BC ＝BG ＝2DE+EC ，∴BC ﹣EC ＝2DE ，故④符合题意，故选：C.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，28．如图，ABC ∆中，45ABC ∠=，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ，下列结论正确的有( )个①BF AC =；②12AE BF =；③67.5A ∠=；④DGF ∆是等腰三角形；⑤ADGE GHCE S S =四边形四边形.A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】B【解析】【分析】 只要证明△BDF ≌△CDA ，△BAC 是等腰三角形，∠DGF ＝∠DFG ＝67.5°，即可判断①②③④正确，作GM ⊥BD 于M ，只要证明GH ＜DG 即可判断⑤错误．【详解】∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴∠BDC ＝∠ADC ＝∠AEB ＝90°，∴∠A ＋∠ABE ＝90°，∠ABE ＋∠DFB ＝90°，∴∠A ＝∠DFB ，∵∠ABC ＝45°，∠BDC ＝90°，∴∠DCB ＝90°−45°＝45°＝∠DBC ，∴BD ＝DC ，在△BDF 和△CDA 中BDF CDA A DFBBD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△BDF ≌△CDA （AAS ），∴BF ＝AC ，故①正确．∵∠ABE ＝∠EBC ＝22.5°，BE ⊥AC ，∴∠A ＝∠BCA ＝67.5°，故③正确，∴BA ＝BC ，∵BE ⊥AC ，∴AE ＝EC ＝12AC ＝12BF ，故②正确， ∵BE 平分∠ABC ，∠ABC ＝45°，∴∠ABE ＝∠CBE ＝22.5°，∵∠BDF ＝∠BHG ＝90°，∴∠BGH ＝∠BFD ＝67.5°，∴∠DGF ＝∠DFG ＝67.5°，∴DG ＝DF ，故④正确．作GM⊥AB于M．∵∠GBM＝∠GBH，GH⊥BC，∴GH＝GM＜DG，∴S△DGB＞S△GHB，∵S△ABE＝S△BCE，∴S四边形ADGE＜S四边形GHCE．故⑤错误，∴①②③④正确，故选：B．【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．29．如图，AO OM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 ( )A．3.6 B．4 C．4.8 D．PB的长度随B点的运动而变化【答案】B【解析】【分析】作辅助线，首先证明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；进而证明△BPF≌△MPE，即可解决问题．【详解】如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，∴∠BAO=∠NBE ，∵△ABE 、△BFO 均为等腰直角三角形，∴AB=BE ，BF=BO ；在△ABO 与△BEN 中，BAO NBE AOB BNE AB BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ABO ≌△BEN （AAS ），∴BO=NE ，BN=AO ；∵BO=BF ，∴BF=NE ，在△BPF 与△NPE 中，FBP ENP FPB EPN BF NE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△BPF ≌△NPE （AAS ），∴BP=NP=12BN ；而BN=AO ， ∴BP=12AO=12×8=4， 故选B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答．30．如图，，，，点D 、E 为BC 边上的两点，且，连接EF 、BF 则下列结论：≌；≌；；，其中正确的有( )个．A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】【分析】根据∠DAF=90°，∠DAE=45°，得出∠FAE=45°，利用SAS证明△AED≌△AEF，判定①正确；由△AED≌△AEF得AF=AD,由，得∠FAB=∠CAD，又AB=AC, 利用SAS证明≌,判定②正确；先由∠BAC=∠DAF=90°，得出∠CAD=∠BAF，再利用SAS证明△ACD≌△ABF，得出CD=BF，又①知DE=EF，那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF＞EF，等量代换后判定③正确；先由△ACD≌△ABF，得出∠C=∠ABF=45°，进而得出∠EBF=90°，判定④正确．【详解】‚解：①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=45°．在△AED与△AEF中，，∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；②∵△AED≌△AEF,∴AF=AD,∵,∴∠FAB=∠CAD,∵AB=AC，∴≌，②正确；③∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAC-∠BAD=∠DAF-∠BAD，即∠CAD=∠BAF．在△ACD与△ABF中，，∴△ACD≌△ABF（SAS），∴CD=BF，由①知△AED≌△AEF，∴DE=EF．在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE，③正确；④由③知△ACD≌△ABF，∴∠C=∠ABF=45°，∵∠ABE=45°，∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．④正确．故答案为D．【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，有一定难度．。

八年级数学轴对称填空选择检测题（Word 版 含答案）一、八年级数学全等三角形填空题（难）1．如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 的长分别为30、40、15，点P 是三条角平分线的交点，将△ABC 分成三个三角形，则APB S ∆︰BPC S ∆︰CPA S ∆等于____．【答案】6：8：3【解析】【分析】由角平分线性质可知，点P 到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB 、BC 、CA 边上的高相等，利用面积公式即可求解.【详解】解：过点P 作PD ⊥BC 于D ，PE ⊥CA 于E ，PF ⊥AB 于F∵P 是三条角平分线的交点∴PD=PE=PF∵AB=30，BC=40，CA=15∴APB S ∆︰BPC S ∆︰CPA S ∆=30∶40∶15=6∶8∶3故答案为6∶8∶3.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法. 角平分线上的点到两边的距离相等. 难度不大，作辅助线是关键.2．如图，已知点I 是△ABC 的角平分线的交点．若AB ＋BI ＝AC ，设∠BAC ＝α，则∠AIB ＝______（用含α的式子表示）【答案】1206α︒-【解析】【分析】在AC上截取AD=AB，易证△ABI≌△ADI，所以BI=DI，由AB＋BI＝AC，可得DI=DC，设∠DCI=β，则∠ADI=∠ABI=2β，然后用三角形内角和可推出β与α的关系，进而求得∠AIB.【详解】解：如图所示，在AC上截取AD=AB，连接DI，点I是△ABC的角平分线的交点所以有∠BAI=∠DAI，∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠BCI，在△ABI和△ADI中，AB=ADBAI=DAIAI=AI⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABI≌△ADI（SAS）∴DI=BI又∵AB＋BI＝AC，AB+DC=AC∴DI=DC∴∠DCI=∠DIC设∠DCI=∠DIC=β则∠ABI=∠ADI=2∠DCI=2β在△ABC中，∠BAC+2∠ABI+2∠DCI=180°，即42180ββ︒++=a，∴180=3066β︒︒=--a a在△ABI中，180︒∠=-∠-∠AIB BAI ABI121802αβ︒=--1=23160028αα︒︒⎛⎫---⎪⎝⎭=1206α︒-【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形角度计算，利用截长补短构造全等三角形是解题的关键.3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 的平分线AD 分对边BD ，DC 的长度比为3：2，且BC ＝20cm ，则点D 到AB 的距离是_____cm ．【答案】8【解析】【分析】根据题意画出图形，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，由角平分线的性质可知DE ＝CD ，根据角平分线AD 分对边BC 为BD ：DC ＝3：2，且BC ＝10cm 即可得出结论．【详解】解：如图所示，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∠C ＝90°，∴DE ＝CD ．∵BD ：DC ＝3：2，且BC ＝10cm ，∴CD ＝20×25＝8（cm ）． 故答案为：8．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．4．如图，△ABE ，△BCD 均为等边三角形，点A ，B ，C 在同一条直线上，连接AD ，EC ，AD 与EB 相交于点M ，BD 与EC 相交于点N ，下列说法正确的有：___________ ①AD=EC ；②BM=BN ；③MN ∥AC ；④EM=MB ．【答案】①②③【解析】∵△ABE ，△BCD 均为等边三角形，∴AB=BE ，BC=BD ，∠ABE=∠CBD=60°，∴∠ABD=∠EBC ，在△ABD 和△EBC 中AB BE ABD EBC BD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△EBC(SAS)，∴AD=EC ，故①正确；∴∠DAB=∠BEC ，又由上可知∠ABE=∠CBD=60°，∴∠EBD=60°，在△ABM 和△EBN 中MAB NEB AB BEABE EBN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABM ≌△EBN(ASA)，∴BM=BN ，故②正确；∴△BMN 为等边三角形，∴∠NMB=∠ABM=60°，∴MN ∥AC ，故③正确；若EM=MB ，则AM 平分∠EAB ，则∠DAB=30°，而由条件无法得出这一条件，故④不正确；综上可知正确的有①②③，故答案为①②③.点睛：本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、AAS 、ASA 和HL ）和性质（即全等三角形的对应边相等，对应角相等）.5．AD ，BE 是△ABC 的高，这两条高所在的直线相交于点O ，若BO=AC ，BC=a ，CD=b ，则AD 的长为______.【答案】AD 的长为a-b 或b-a 或a+b 或12a 或b. 【解析】【分析】分别讨论△ABC 为锐角三角形时、∠A 、∠B 、∠C 分别为钝角时和∠A 为直角时五种情况，利用AAS 证明△BOD ≌△ACD ，可得BD=AD ，根据线段的和差关系即可得答案.【详解】①如图，当△ABC为锐角三角形时，∵AD、BE为△ABC的两条高，∴∠CAD+∠AOE=90°，∠CBE+∠BOD=90°，∵∠BOD=∠AOE，∴∠CAD=∠OBD，又∵∠ODB=∠ADC=90°，OB=AC，∴△BOD≌△ACD，∴AD=BD，∵BC=a，CD=b，∴AD=BD=BC-CD=a-b.②如图，当∠B为钝角时，∵∠C+∠CAD=90°，∠O+∠CAD=90°，∴∠C=∠O，又∵∠ADC=∠ODB=90°，OB=AC，∴△BOD≌△ACD，∴BD=AD，∴AD=CD-BC=b-a.③如图，当∠A为钝角时，同理可证：△BOD≌△ACD，∴AD=BC-CD=a-b.④如图，当∠C为钝角时，同理可证：△BOD≌△ACD，∴AD=BD=BC+CD=a+b.⑤当∠B为直角时，点O、D、B重合，OB=0，不符合题意，当∠C为直角时，点O、C、D、E重合，CD=0，不符合题意，如图，当∠A为直角时，点A、E、O重合，∵OB=AC，∠CAB=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵AD⊥BC，∴AD是Rt△ABC斜边中线，∴AD=AD=12BC=12a=b.综上所述：AD的长为a-b或b-a或a+b或12a或b.故答案为：a-b或b-a或a+b或12a或b【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：SSS、AAS、ASA、SAS、HL等，注意：SAS时，角必须是两边的夹角，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.灵活运用分类讨论的思想是解题关键.6．如图，在ABC中，ACB90,CA CB∠==.点D在AB上，点F在CA的延长线上，连接FD并延长交BC于点E，若∠BED=2∠ADC，AF=2，DF=7，则ABC的面积为______．【答案】25 2【解析】【分析】作CD的垂直平分线交AD于M，交CD与N，根据垂直平分线的性质可得MC=MD，进而可得∠MDC=∠MCD，根据已知及外角性质可得∠AMC=∠BED，由等腰直角三角形的性质可得∠B=∠CAB=45°，根据三角形内角和定理可得∠ACM=∠BDE，进而可证明∠ADF=∠ACM，进而即可证明∠FCD=∠FDC，根据等腰三角形的性质可得CF=DF，根据已知可求出AC的长，根据三角形面积公式即可得答案.【详解】作CD的垂直平分线交AD于M，交CD与N，∵MN是CD的垂直平分线，∴MC=MD，∴∠MDC=∠MCD，∵∠AMC=∠MDC=∠MCD，∴∠AMC=2∠ADC，∵∠BED=2∠ADC，∴∠AMC=∠BED，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠CAB=45°，∵∠ACM=180°-∠CAM-∠AMC，∠BDE=180°-∠B-∠BED，∴∠ACM=∠BDE，∵∠BDE=∠ADF，∴∠ADF=∠ACM，∴∠ADF+∠ADC=∠ACM+∠MCD，即∠FCD=∠FDC，∴FC=FD，∵AF=2，FD=7，∴AC=FC-AF=7-2=5，∴S△ABC=12×5×5=252.故答案为：25 2【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等；等腰三角形的两个底角相等；熟练掌握相关的定理及性质是解题关键.7．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PC＝4，点D是射线OA上的一个动点，则PD的最小值为_____．【答案】2【解析】【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE＝PD，根据平行线的性质可得∠ACP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．【详解】当PD⊥OA时，PD有最小值，作PE⊥OA于E，∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE＝PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵∠BOP＝∠AOP＝15°，∴∠A OB＝30°，∵PC∥OB，∴∠ACP＝∠AOB＝30°，∴在Rt△PCE中，PE＝12PC＝12×4＝2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），∴PD＝PE＝2，故答案是：2．【点睛】此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，难度一般，作辅助线是关键．8．如图，在△ABD中，∠BAD＝80°，C为BD延长线上一点，∠BAC＝130°，△ABD的角平分线BE与AC交于点E，连接DE，则∠DEB＝_____．【答案】40°【解析】【分析】做辅助线，构建角平分线的距离，根据角平分线的性质和逆定理可得：EF=EG=EH，设∠DEG=y，∠GEB=x，根据三角形内角和定理可得：∠GEA=∠FEA=40°，∠FEB=∠HEB，列方程为2y+x=80-x,y+x=40,可得结论：∠DEB＝40°.【详解】如图，过E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，∵BE平分∠ABD∴EH=EF∵∠BAC＝130°，∠BAD＝80°∴∠FAE=∠CAD=50°∴EF=EG∴EG=EH∴ED平分∠CDG∴∠HED=∠DEG设∠DEG=y，∠GEB=x，∵∠EFA=∠EGA=90°∴∠GEA=∠FEA=40°∵∠EFB=∠EHB=90°，∠EBH=∠EBF∴∠FEB=∠HEB∴2y+x=80-x,2y+2x=80y+x=40即∠DEB＝40°.故答案为：40°.【点睛】本题考查三角形内角和定理和角平分线的性质，正确作辅助线是解题的关键.9．如图，三角形△ABO中，∠OAB=∠AOB=15°，点B在x轴的正半轴，坐标为B（6，0）．OC平分∠AOB，点M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MA+MN的最小值是______．【答案】3【解析】【分析】在x轴正半轴上取点N’，使ON’=ON，作AD⊥x轴于D点.易证△N’OM≌△NOM，可得MN’=MN，则MA+MN的最小值即为MA+MN’的最小值，由于A点固定，故当N’点与D点重合时，MA+MN’的值最小，即MA+MN的值最小.【详解】解：在x轴正半轴上取点N’，使ON’=ON，作AD⊥x轴于D点.∵ON’=ON，∠N’OM=∠NOM，OM=OM，∴△N’OM≌△NOM，∴MN’=MN，∴MA+MN=MA+MN’，∵A点固定，∴MA+MN’的最小值为当N’与D点重合时的MA+MN’值，∴MA+MN’的最小值为AD，∵∠OAB=∠AOB=15°，OB=6，∴∠ABD=30°，AB=6，∴AD=0.5×6=3，∴MA+MN的最小值为3，故答案为3.【点睛】理解A点是固定点，而M和N均为动点，然后运用三点共线及点到直线的最短距离概念进行解答是本题的关键.10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P、Q是边AC、BC上的两个动点，PD⊥AB于点D， QE⊥AB于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当t= 时，△APD和△QBE全等．【答案】2或4．【解析】试题分析：①0≤t＜83时，点P从C到A运动，则AP=AC=CP=8﹣3t，BQ=t，当△ADP≌△QBE时，则AP=BQ，即8﹣3t=t，解得：t=2；②t≥83时，点P从A到C运动，则AP=3t﹣8，BQ=t，当△ADP≌△QBE时，则AP=BQ，即3t﹣8=t，解得：t=4；综上所述：当t=2s或4s时，△ADP≌△QBE．考点：1．全等三角形的判定；2．动点型；3．分类讨论．二、八年级数学全等三角形选择题（难）11．如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是（）A．PD=DQ B．DE=12AC C．AE=12CQ D．PQ⊥AB【答案】D【解析】过P作PF∥CQ交AC于F，∴∠FPD=∠Q，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ACB=60°，∴∠A=∠AFP=60°，∴AP=PF，∵PA=CQ，∴PF=CQ，在△PFD与△DCQ 中，FPD QPDE CDQPF CQ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PFD≌△QCD，∴PD=DQ，DF=CD，∴A选项正确，∵AE=EF，∴DE=12AC，∴B选项正确，∵PE⊥AC，∠A=60°，∴AE=12AP=12CQ，∴C选项正确，故选D．12．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( )A．两条直角边对应相等B．有两条边对应相等C．斜边和一锐角对应相等D．一条直角边和斜边对应相等【答案】B【解析】根据全等三角形的判定SAS，可知两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，故A不正确；根据一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理HL，能判定全等；若两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理SAS，也能判全等，但是有两边对应相等，没说明是什么边对应，故不能判定，故B正确．根据全等三角形的判定AAS，可知斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等，故C不正确；根据直角三角形的判定HL，可知一条直角边和斜边对应相等两直角三角形全等，故D不正确.故选B.点睛：此题主要考查了直角三角形全等的判定，解题时利用三角形全等的判定SSS，SAS，ASA，AAS，HL，直接判断即可.13．在△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，ED⊥AB,∠DAE=∠CAE，则∠CAB＝（）A．30°B．60°C．80 °D．50°【答案】B【解析】试题解析：∵D为AB的中点，ED⊥AB，∴DE为线段AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠DAE=∠DBE，∴∠DAE=∠DBE=∠CAE，在Rt△ABC中，∵∠CAB+∠DBE=90°，∴∠CAE+∠DAE+∠DBE=90°，∴3∠DBE=90°，∴∠DBE=30°，∴∠CAB=90°-∠DBE=90°-30°=60°．故选B．14．如右图，在△ABC中，点Q，P分别是边AC，BC上的点，AQ=PQ，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，且PR=PS，下面四个结论：①AP平分∠BAC；②AS=AR；③BP=QP；④QP∥AB．其中一定正确的是( )A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④【答案】C【解析】试题解析：∵PR ⊥AB 于点R ，PS ⊥AC 于点S ，且PR =PS ，∴点P 在∠BAC 的平分线上，即AP 平分∠BAC ，故①正确；∴∠PAR =∠PAQ ，∵AQ =PQ ，∴∠APQ =∠PAQ ，∴∠APQ =∠PAR ，QP AB ∴， 故④正确；在△APR 与△APS 中,AP AP PR PS =⎧⎨=⎩， (HL)APR APS ∴≌， ∴AR =AS ，故②正确；△BPR 和△QSP 只能知道PR =PS ,∠BRP =∠QSP =90∘，其他条件不容易得到，所以，不一定全等.故③错误.故选C.15．如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，BD AE ⊥于点D ，DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，连接CD ，给出四个结论:①45ADC ∠=︒;②12BD AE =;③AC CE AB +=;④2AB BC FC -=;其中正确的结论有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】试题解析：如图，过E 作EQ ⊥AB 于Q ，∵∠ACB=90°，AE 平分∠CAB ，∴CE=EQ ，∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴∠CBA=∠CAB=45°，∵EQ ⊥AB ，∴∠EQA=∠EQB=90°，由勾股定理得：AC=AQ ，∴∠QEB=45°=∠CBA ，∴EQ=BQ ，∴AB=AQ+BQ=AC+CE ，∴③正确；作∠ACN=∠BCD ，交AD 于N ，∵∠CAD=12∠CAB=22.5°=∠BAD ， ∴∠ABD=90°-22.5°=67.5°，∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°=∠CAD ，∴∠DBC=∠CAD ，在△ACN 和△BCD 中， DBC CAD AC BCACN DCB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ACN ≌△BCD ，∴CN=CD ，AN=BD ，∵∠ACN+∠NCE=90°，∴∠NCB+∠BCD=90°，∴∠CND=∠CDA=45°，∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN ，∴AN=CN ，∴∠NCE=∠AEC=67.5°，∴CN=NE ，∴CD=AN=EN=12AE ， ∵AN=BD ，∴BD=12AE ， ∴①正确，②正确；过D 作DH ⊥AB 于H ，∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，∠DBA=90°-∠DAB=67.5°，∴∠FCD=∠DBA ，∵AE 平分∠CAB ，DF ⊥AC ，DH ⊥AB ，∴DF=DH ，在△DCF 和△DBH 中90F DHB FCD DBA DF DH ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝＝， ∴△DCF ≌△DBH ，∴BH=CF ，由勾股定理得：AF=AH ，∴2,2AC AB AC AH BH AC AM CM AC AF CF AF AF AF AM AF AF+++++++====， ∴AC+AB=2AF ，AC+AB=2AC+2CF ，AB-AC=2CF ，∵AC=CB ，∴AB-CB=2CF ， ∴④正确．故选D16．如图，BD 是∠ABC 的角平分线，AD ⊥AB ，AD=3，BC=5，则△BCD 的面积为（ ）A ．7.5B ．8C ．10D ．15【答案】A【解析】 作DE⊥BC 于E ，根据角平分线的性质，由BD 是∠ABC 的角平分线，AD⊥AB，DE⊥BC，求出DE=DA=3，根据三角形面积公式计算S △BCD =12×BC×DE=7.5， 故选：A ．17．如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分线AP和∠ACB外角的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA=45°；②AF-CG=CA；③DE=DC；④FH=C D+GH；⑤CF=2CD+EG；其中正确的有（）A．①②④B．①②③C．①②④⑤D．①②③⑤【答案】D【解析】试题解析：①利用公式：∠CDA=12∠ABC=45°，①正确；②如图：延长GD与AC交于点P'，由三线合一可知CG=CP'，∵∠ADC=45°，DG⊥CF，∴∠EDA=∠CDA=45°，∴∠ADP=∠ADF，∴△ADP'≌△ADF（ASA），∴AF=AP'=AC+CP'=AC+CG，故②正确；③如图：∵∠EDA=∠CDA ，∠CAD=∠EAD ，从而△CAD ≌△EAD ，故DC=DE ，③正确；④∵BF ⊥CG ，GD ⊥CF ，∴E 为△CGF 垂心，∴CH ⊥GF ，且△CDE 、△CHF 、△GHE 均为等腰直角三角形，∴2CD ，故④错误；⑤如图：作ME ⊥CE 交CF 于点M ，则△CEM 为等腰直角三角形，从而CD=DM ，CM=2CD ，EM=EC ，∵∠MFE=∠CGE ，∠CEG=∠EMF=135°，∴△EMF ≌△CEG （AAS ），∴GE=MF ，∴CF=CM+MF=2CD+GE ，故⑤正确；故选D点睛：本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形垂心的定义和性质、全等三角形的判定与性质等多个知识点，技巧性很强，难度较大，要求学生具有较高的几何素养．对于这一类多个结论的判断型问题，熟悉常见的结论及重要定理是解决问题的关键，比如对第一个结论的判定，若熟悉该模型则可以秒杀．18．如图，ABC △中，60BAC ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线交于E ，D 是AE 延长线上一点，且120BDC ∠=︒．下列结论：①120BEC ∠=︒；②DB DE =；③2BDE BCE ∠=∠．其中所有正确结论的序号有（ ）．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【解析】 分析：根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB ，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB ，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D 作DF ⊥AB 于F ，DG ⊥AC 的延长线于G ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG ，再求出∠BDF=∠CDG ，然后利用“角边角”证明△BDF 和△CDG 全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD ，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB ，根据等角对等边可得BD=DE ，判断②正确，再求出B ，C ，E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE ，判断③正确．详解：∵60BAC ∠=︒，∴18060120ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒，∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，∴12EBC ABC ∠=∠，12ECB ACB ∠=∠， ∴11()1206022EBC ECB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∴180()18060120BEC EBC ECB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒， 故①正确．如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，DG AC ⊥的延长线于G ，∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，∴AD 为BAC ∠的平分线，∴DF DG =，∴36090260120FDG ∠=︒-︒⨯-︒=︒，又∵120BDC ∠=︒，∴120BDF CDF ∠+∠=︒，120CDG CDF ∠+∠=︒．∴BDF CDG ∠=∠，∵在BDF 和CDG △中，90BFD CGD DF DGBDF CDG ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴BDF ≌()CDG ASA ，∴DB CD =， ∴1(180120)302DBC ∠=︒-︒=︒， ∴30DBC DBC CBE CBE ∠=∠+∠=︒+∠，∵BE 平分ABC ∠，AE 平分BAC ∠，∴ABE CBE ∠=∠，1302BAE BAC ∠=∠=︒， 根据三角形的外角性质， 30DEB ABE BAE ABE ∠=∠+∠=∠+︒，∴DEB DBE ∠=∠，∴DB DE =，故②正确．∵DB DE DC ==，∴B 、C 、E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，∴2BDE BCE ∠=∠，故③正确，综上所述，正确结论有①②③，故选：D ．点睛：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，圆内接四边形的判定，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质，综合性较强，难度较大，特别是③的证明．19．在ABC 中，2,72A B ACB ∠=∠∠≠︒，CD 平分ACB ∠，P 为AB 的中点，则下列各式中正确的是（ ）A ．AD BC CD =-B ．AD BC AC =- C ．AD BC AP =-D ．AD BC BD =-【答案】B【解析】【分析】 可在BC 上截取CE=CA ，连接DE ，可得△ACD ≌△ECD ，得DE=AD ，进而再通过线段之间的转化得出线段之间的关系． 【详解】解：∵∠A=2∠B ， ∴∠A ﹥∠B ∴BC ﹥AC∴可在BC 上截取CE=CA ，连接DE(如图)，∵CD 平分ACB ∠，∴∠ACD=∠BCD又∵CD=CD，CE=CA∴△ACD ≌△ECD ，∴AD=ED ，∠CED=∠A=2∠B又 ∠CED=∠B+∠BDE∴∠B=∠BDE∴AD=DE=BE ，∴BC=BE+EC=AD+AC所以AD=BC-AC故选：B若A选项成立，则CD=AC，∴∠A=∠CDA=∠CDE=∠CED=2∠B=2∠EDB∴∠CDA+∠CDE+∠EDB=180°即5∠EDB=180°∴∠EDB=36°∴∠A=72°，∠B=36°∴∠ACB=72°与已知∠ACB≠72°矛盾，故选项A不正确;假设C选项成立，则有AP=AC，作∠BAC的平分线，连接FP，∴△CAF≌△PAF≌△PBF，∴∠CFA=∠AFP=∠PFB=60°∠B=30°，∠ACB=90°当∠ACB=90°时，选项C才成立，∴当∠ACB≠72°时，选项C不一定成立；假设D选项成立，则AD=BC-BD由图可知AD=BA-BD∴AB=BC∴∠A=∠ACB=2∠B∴∠A+∠ACB+∠B=180°∴∠B=36°，∠ACB=72这与已知∠ACB≠72°矛盾，故选项D不成立．故选：B【点睛】本题考查的是考查的是利用角的平分线的性质说明线段之间的关系．,,=，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将20．如图，在Rt△ABC中，AB AC△ADC绕点A顺时针旋转90︒后，得到△AFB，连接EF.列结论：+=①△ADC≌△AFB；②△ABE≌△ACD；③△AED≌△AEF；④BE DC DE 其中正确的是( )A．②④B．①④C．②③D．①③【答案】D【解析】解：∵将△ADC绕点A顺时针旋转90︒后，得到△AFB，∴△ADC≌△AFB，故①正确；②无法证明，故②错误；③∵△ADC≌△AFB，∴AF=AD，∠FAB=∠DAC．∵∠DAE=45°，∴∠BAE+∠DAC=45°，∠FAE=∠DAE=45°．在△FAE和△DAE中，∵AF=AD，∠FAE=∠DAE，AE=AE，∴△FAE≌△DAE，故③正确；④∵△ADC≌△AFB，∴DC=BF，∵△FAE≌△DAE，∴EF=ED，∵BF+BE＞EF，∴DC+BE＞ED ．故④错误．故选D．21．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，AB上一点D，且AD＝BC，过点D作DE∥BC且DE＝AB，连接EC，则∠DCE的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．45°【答案】B【解析】【分析】连接AE．根据ASA可证△ADE≌△CBA，根据全等三角形的性质可得AE=AC，∠AED=∠BAC=20°，根据等边三角形的判定可得△ACE是等边三角形，根据等腰三角形的判定可得△DCE是等腰三角形，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可求解．【详解】如图所示，连接AE．∵AB=DE，AD=BC∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，可得AE=DE∵AB=AC，∠BAC=20°，∴∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°，在△ADE与△CBA中，DAE ACBAD BCADE B∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△ADE≌△CBA（ASA），∴AE=AC，∠AED=∠BAC=20°，∵∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°，∴△ACE是等边三角形，∴CE=AC=AE=DE，∠AEC=∠ACE=60°，∴△DCE是等腰三角形，∴∠CDE=∠DCE，∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°，∴∠DCE=∠CDE=（180-40°）÷2=70°．故选B．【点睛】考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行线的性质，综合性较强，有一定的难度．22．如图，与都是等边三角形，，下列结论中，正确的个数是( )①；②；③；④若，且，则．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】利用全等三角形的判定和性质一一判断即可.【详解】解：∵与都是等边三角形∴AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°∴∠DAB+∠BAC=∠EAC +∠BAC即∠DAC=∠EAB∴∴，①正确；∵∴∠ADO=∠ABO∴∠BOD=∠DAB=60°，②正确∵∠BDA=∠CEA=60°，∠ADC≠∠AEB∴∠BDA-∠ADC≠∠CEA-∠AEB∴,③错误∵∴∠DAC+∠BCA=180°∵∠DAB=60°，∴∠BCA=180°-∠DAB-∠BAC=30°∵∠ACE=60°∴∠BCE=∠ACE+∠BCA=60°+30°=90°∴④正确故由①②④三个正确，故选：C【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．23．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC 分别交于点G，F，H为CG的中点，连结DE、EH、DH、FH．下列结论：①EG=DF；②△EHF≌△DHC；③∠AEH+∠ADH=180°；④若23AEAB=，则313DHCEDHSS=．其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】分析：①根据题意可知∠ACD=45°，则GF=FC，则EG=EF-GF=CD-FC=DF；②由SAS证明△EHF≌△DHC即可；③根据△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，从而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF-∠HDC=180°；④若AEAB=23，则AE=2BE，可以证明△EGH≌△DFH，则∠EHG=∠DHF且EH=DH，则∠DHE=90°，△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，设HM=x，则DM=5x，26x，CD=6x，则S△DHC=12×HM×CD=3x2，S△EDH=12×DH2=13x2．详解：①∵四边形ABCD为正方形,EF∥AD，∴EF=AD=CD,∠ACD=45°,∠GFC=90°，∴△CFG为等腰直角三角形，∴GF=FC，∵EG=EF−GF，DF=CD−FC，∴EG=DF，故①正确；②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=CH,∠GFH=12∠GFC=45°=∠HCD，在△EHF和△DHC中，EF=CD；∠EFH=∠DCH；FH=CH，∴△EHF≌△DHC(SAS)，故②正确；③∵△EHF≌△DHC(已证)，∴∠HEF=∠HDC，∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF−∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故③正确；④∵AEAB=23，∴AE=2BE，∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=GH,∠FHG=90°，∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，在△EGH和△DFH中，EG=DF；∠EGH=∠HFD；GH=FH，∴△EGH≌△DFH(SAS)，∴∠EHG=∠DHF,EH=DH,∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°,∴△EHD为等腰直角三角形，如图，过H点作HM⊥CD于M，设HM=x,则26x，CD=6x，则S△DHC=12×HM×CD=3x2,S△EDH=12×DH2=13x2，∴3S△EDH=13S△DHC，故④正确；故选D.点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题关键在于根据题意熟练的运用相关性质.24．已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7【答案】C【解析】【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得．【详解】解：因为AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP=2t=2，所以t=1，因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP=16-2t=2，解得t=7．所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL．25．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③PH=PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】D【解析】分析：根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②③；根据角平分线的判定与性质判断④．详解：在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE=（∠BAC+∠ABC）=45°，∴∠APB=135°，故①正确．∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°，∴∠APB=∠FPB，又∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∴△ABP≌△FBP，∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正确．在△APH和△FPD中，∵∠APH=∠FPD=90°，∠PAH=∠BAP=∠BFP，PA=PF，∴△APH≌△FPD，∴PH=PD，故③正确．∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，∴点P到BC、AC的距离相等，∴点P在∠ACB的平分线上，∴CP平分∠ACB，故④正确．故选D．点睛：本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键．26．下列两个三角形中,一定全等的是( )A．两个等边三角形B．有一个角是40︒,腰相等的两个等腰三角形C．有一条边相等,有一个内角相等的两个等腰三角形D．有一个角是100︒,底相等的两个等腰三角形【答案】D【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质对各个选项进行分析,从而得到答案．【详解】解：A、当两个等边三角形的对应边不相等时,这两个等边三角形也不会全等，故本选项错误；B、当该角不是对应角时,这两个等腰三角形也不会全等，故本选项错误；C、当两个等腰三角形的对应边与对应角不相等时,这两个等腰三角形也不会全等，故本选项错误；D、等腰三角形的100°角只能是顶角,则两个底角是40°,它们对应相等，所以由全等三角形的判定定理ASA或AAS证得它们全等，故本选项正确；故选D．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角．27．如图所示，点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN 于点C，AD⊥MN于点D，下列结论错误的是( )A．AD＋BC＝AB B．与∠CBO互余的角有两个C．∠AOB＝90°D．点O是CD的中点【答案】B【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AD=AE，BC=BE，利用角平分线的定义和平角的性质可得到∠AOB的度数，再利用“HL”证明Rt△AOD和Rt△AOE全等，根据全等三角形对应边相等可得OD=OE，同理可得OC=OE，然后求出∠AOB=90°，然后对各选项分析判断即可得解．【详解】∵点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，∴AD=AE，BC=BE．∵AB=AE+BE，∴AB=AD+BC，故A选项结论正确；与∠CBO互余的角有∠COB，∠EOB，∠OAD，∠OAE共4个，故B选项结论错误；∵点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，∴∠AOE=12∠EOD，∠BOC=12∠MOE，∴∠AOB=12(∠EOD+∠MOE)=12×180°=90°，故C选项结论正确；在Rt△AOD和Rt△AOE中，AO AOAD AE=⎧⎨=⎩，∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），∴OD=OE，同理可得OC=OE，∴OC=OD=OE，∴点O是CD的中点，故D选项结论正确．故选B．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，余角的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．28．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF＝CE，添加一个适当的条件后，仍不能使得△ABC≌△DEF（）A．AC＝DF B．AC∥DF C．∠A＝∠D D．AB＝DE【答案】A【解析】【分析】根据AB∥DE证得∠B＝∠E，又已知BF＝CE证得BC＝EF，即已具备两个条件：一边一角，再依次添加选项中的条件即可判断.【详解】∵AB∥DE，∴∠B＝∠E，∵BF＝CE，∴BF+FC＝CE+FC，∴BC＝EF，若添加AC＝DF，则不能判定△ABC≌△DEF，故选项A符合题意；若添加AC∥DF，则∠ACB＝∠DFE，可以判断△ABC≌△DEF（ASA），故选项B不符合题意；若添加∠A＝∠D，可以判断△ABC≌△DEF（AAS），故选项C不符合题意；若添加AB＝DE，可以判断△ABC≌△DEF（SAS），故选项D不符合题意；故选：A．【点睛】此题考查三角形全等的判定定理，熟练掌握定理，并能通过定理去判断条件是否符合全等是解决此题的关键.29．Rt△ABC中，AB＝AC，D点为Rt△ABC外一点，且BD⊥CD，DF为∠BDA的平分线，当∠ACD＝15°，下列结论：①∠ADC＝45°；②AD＝AF；③AD+AF＝BD；④BC﹣CE＝2D,其中正确的是( )A．①③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】C【解析】【分析】由题意可证点A，点C，点B，点D四点共圆，可得∠ADC＝∠ABC＝45°；由角平分线的性质和外角性质可得∠AFD＝∠BDF+∠DBF＞∠ADF，可得AD≠AF；如图，延长CD至G，使DE＝DG，在BD上截取DH＝AD，连接HF，由“SAS”可证△ADF≌△HDF，可得∠DHF＝∠DAF＝30°，AF＝HF，由等腰三角形的性质可得BH＝AF，可证BD＝BH+DH＝AF+AD；由“SAS”可证△BDG≌△BDE，可得∠BGD＝∠BED＝75°，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得BC＝BG＝2DE+EC.【详解】∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，且∠ACD＝15°，∵∠BCD＝30°，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴点A，点C，点B，点D四点共圆，∴∠ADC＝∠ABC＝45°，故①符合题意，∠ACD＝∠ABD＝15°，∠DAB＝∠DCB＝30°，∵DF为∠BDA的平分线，∴∠ADF＝∠BDF，∵∠AFD＝∠BDF+∠DBF＞∠ADF，∴AD≠AF，故②不合题意，如图，延长CD至G，使DE＝DG，在BD上截取DH＝AD，连接HF，∵DH＝AD，∠HDF＝∠ADF，DF＝DF，∴△ADF≌△HDF(SAS)∴∠DHF＝∠DAF＝30°，AF＝HF，∵∠DHF＝∠HBF+∠HFB＝30°，∴∠HBF＝∠BFH＝15°，∴BH＝HF，∴BH＝AF，∴BD＝BH+DH＝AF+AD，故③符合题意，∵∠ADC＝45°，∠DAB＝30°＝∠BCD，∴∠BED＝∠ADC+∠DAB＝75°，∵GD＝DE，∠BDG＝∠BDE＝90°，BD＝BD，∴△BDG≌△BDE(SAS)∴∠BGD＝∠BED＝75°，∴∠GBC＝180°﹣∠BCD﹣∠BGD＝75°，∴∠GBC＝∠BGC＝75°，∴BC＝BG，∴BC＝BG＝2DE+EC，∴BC﹣EC＝2DE，故④符合题意，故选：C.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，30．如图，AD是△ABC的外角平分线，下列一定结论正确的是（）A．AD+BC=AB+CD，B．AB+AC=DB+DC,C．AD+BC＜AB+CD，D．AB+AC＜DB+DC【答案】D【解析】【分析】在BA的延长线上取点E,使AE=AC,连接ED,证△ACD≌△AED,推出DE=DC,根据三角形中任意两边之和大于第三边即可得到AB+AC＜DB+DC.【详解】解: 在BA的延长线上取点E, 使AE=AC,连接ED,∵AD 是△ABC 的外角平分线，∴∠EAD=∠CAD,在△ACD 和△AED 中,AD AD EAD CAD AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△AED(SAS)∴DE=DC,在△EBD 中,BE ＜BD+DE,∴AB+AC ＜DB+DC故选:D.【点睛】本题主要考查三角形全等的证明,全等三角形的性质,三角形的三边关系,作辅助线构造以AB 、AC 、DB 、DC 的长度为边的三角形是解题的关键，也是解本题的难点.。

轴对称单元测试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列图形中，哪一个是轴对称图形？A. 圆形B. 三角形C. 正方形D. 五边形2. 如果一个图形关于某条直线对称，那么这条直线被称为该图形的什么？A. 对称轴B. 中心线C. 垂直线D. 平行线3. 一个图形的轴对称图形与其本身是否完全重合？A. 是B. 否C. 有时是D. 不确定4. 轴对称图形的对称轴可以有多少条？A. 只有一条B. 至少一条C. 无数条D. 没有5. 下列哪个图形不是轴对称图形？A. 等边三角形B. 等腰梯形C. 矩形D. 正五边形二、填空题（每空1分，共10分）6. 轴对称图形的对称轴是________。

7. 如果一个图形关于点O对称，那么这个点O被称为该图形的________。

8. 一个轴对称图形的对称轴可以是一条________或多条________。

9. 轴对称图形的对称轴将图形分成两个完全________的部分。

10. 轴对称图形的对称轴是图形上所有点到________的距离相等的直线。

三、判断题（每题1分，共10分）11. 所有圆形都是轴对称图形。

（）12. 轴对称图形的对称轴可以是曲线。

（）13. 轴对称图形的对称轴一定经过图形的中心。

（）14. 一个图形的轴对称图形与原图形是完全相同的。

（）15. 轴对称图形的对称轴是唯一的。

（）四、简答题（每题5分，共10分）16. 请解释什么是轴对称图形，并给出一个例子。

17. 描述如何确定一个图形是否是轴对称图形。

五、应用题（每题5分，共10分）18. 给定一个矩形，如果将其沿一条对角线折叠，这条对角线是否是该矩形的对称轴？为什么？19. 如果一个图形关于某条直线对称，那么这条直线上的所有点是否也是对称的？请解释。

六、解答题（每题5分，共10分）20. 给定一个等边三角形ABC，如果点A关于对称轴l对称到点A'，求证点B和点C也关于对称轴l对称。

答案一、选择题1. A2. A3. A4. B5. D二、填空题6. 对称轴7. 对称中心8. 直线，直线9. 重合10. 对称轴三、判断题11. √12. ×13. ×14. √15. ×四、简答题16. 轴对称图形是指一个图形关于某条直线（对称轴）对称，这条直线将图形分成两个完全相同的部分。

八年级数学轴对称填空选择单元练习（Word 版 含答案）一、八年级数学全等三角形填空题（难）1．如图，∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，AB =11，AC =5，则BE =______________．【答案】3【解析】如图，连接CD ，BD ，已知AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，根据角平分线的性质可得DF=DE ，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE ，即可得AE=AF ，又因DG 是BC 的垂直平分线，所以CD=BD ，在Rt △CDF 和Rt △BDE 中，CD ＝BD ，DF ＝DE ，利用HL 定理可判定Rt △CDF ≌Rt △BDE ，由全等三角形的性质可得BE=CF ，所以AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE ，又因AB=11，AC=5，所以BE=3．点睛：此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，正确作出辅助线，利用数形结合思想是解决问题的关键．2．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD ⊥AC 于D ，下列四个结论：①EF =BE +CF ；②∠BOC =90°+12∠A ； ③点O 到△ABC 各边的距离相等；④设OD =m ，AE +AF =n ，则AEF S mn ∆=．其中正确的结论是____．（填序号）【答案】①②③【解析】【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形的内角和定理，即可求出②∠BOC=90°+12∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义可得△BEO和△CFO是等腰三角形可得①EF=BE+CF正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC 各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形的面积求法，设OD=m，AE+AF=n,则△AEF的面积=12mn，④错误.【详解】在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°-12∠A，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°，故②∠BOC=90°+12∠A正确；在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠OCF，∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF，∴BE=OE,CF=OF,∴EF=OE+OF=BE+CF，即①EF=BE+CF正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于点N，连接AO，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON=OD=OM=m，即③点O到△ABC各边的距离相等正确；∴S△AEF=S△AOE+ S△AOF=12AE·OM+12AF·OD=12OD·（AE+AF）=12mn，故④错误；故选①②③【点睛】此题主要考查角平分线的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质.3．如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥DA于Q，PQ＝3，EP＝1，则DA的长是________.【答案】7【解析】试题解析：∵△ABC 为等边三角形，∴AB=CA ，∠BAE=∠ACD=60°；又∵AE=CD ，在△ABE 和△CAD 中，AB CA BAE ACD AE CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ABE ≌△CAD ；∴BE=AD ，∠CAD=∠ABE ；∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；∵BQ ⊥AD ，∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°-60°=30°；∵PQ=3，∴在Rt △BPQ 中，BP=2PQ=6；又∵PE=1，∴AD=BE=BP+PE=7．故答案为7.4．如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，交AD 于F ，FG∥BC，FH∥AC，下列结论：①AE＝AF ；②AF＝FH ；③AG＝CE ；④AB＋FG ＝BC ，其中正确的结论有________________．(填序号)【答案】①②③④【解析】①正确.∵∠BAC ＝90°∴∠ABE+∠AEB=90°∴∠ABE=90°-∠AEB∵AD ⊥BC∴∠ADB=90°∴∠DBE+∠BFD=90°∴∠DBE=90-∠BFD∵∠BFD=∠AFE∴∠DBE=90°-∠AFE∵BE 平分∠ABC∴∠ABE=∠DBE∴90°-∠AEB=90°-∠AFE∴∠AEB=∠AFE∴AE=AF②正确.∵∠BAC=90°∴∠BAF+∠DAC=90°∴∠BAF=90°-∠DAC∵AD ⊥BC∴∠ADC=90°∴∠C+∠DAC=90°∴∠C=90°-∠DAC∴∠C=∠BAF∵FH ∥AC∴∠C=∠BHF∴∠BAF=∠BHF在△ABF 和△HBF 中ABE CBE BAF BHF BF BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△HBF∴AF=FH③正确.∵AE=AF ，AF=FH∴AE=FH∵FG ∥BC ，FH ∥AC∴四边形FHCG 是平行四边形∴FH=GC∴AE=GC∴AE+EG=GC+EG∴AG=CE④正确.∵四边形FHCG 是平行四边形∴FG=HC∵△ABF ≌△HBF∴AB=HB∴AB+FG=HB+HC=BC故正确的答案有①②③④.5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，则下列结论:①∠ACF＝∠CBD②BD＝FC③FC＝FD+AF④AE=DC中，正确的结论是____________(填正确结论的编号)【答案】①②③【解析】【分析】根据同角的余角相等，可得到结论①，再证明△ACF≌△CBD，然后根据全等三角形的性质判断结论②、③、④即可.【详解】解：∵BD⊥CF，AF⊥CF，∴∠BDC=∠AFC=90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，∴∠ACF=∠CBD，故①正确；在△ACF和△CBD中，BDC AFCACF CBDAC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△CBD，∴BD＝FC，CD=AF，故结论②正确∴FC＝FD+CD=FD+AF，故结论③正确，∵在Rt△AEF中，AE>AF，∴AE>CD，故结论④错误.综上所述，正确的结论是：①②③.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定方法及全等的性质是解题的关键.6．如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB=12cm，AC=6cm．动点E 从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED=CB．当点E经过______s时，△DEB与△BCA全等．【答案】0、2、6、8【解析】∵CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，∴∠CAB=∠DBE=90°，∴△CAB和△EBD都是Rt△，∵点E运动过程中两三角形始终保持斜边ED=CB，∴当BE=BA=12cm或BE=AC=6cm时，两三角形全等，如图共有四种情形，此时AE分别等于0cm、6cm、18cm、24cm，又∵点E每秒钟移动3cm，∴当点E移动的时间分别为0秒、2秒、6秒和8秒时，两三角形全等.7．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°，CB=CD，AC=6，则四边形ABCD的面积是_________.【答案】18．【解析】【分析】根据已知线段关系，将△ACD绕点C逆时针旋转90°，CD与CB重合，得到△CBE，证明A、B、E三点共线，则△ACE是等腰直角三角形，四边形面积转化为△ACE面积．【详解】∵CD=CB，且∠DCB=90°，∴将△ACD绕点C逆时针旋转90°，CD与CB重合，得到△CBE，∴∠CBE=∠D，AC=EC，∠DCA=∠BCE．根据四边形内角和360°，可得∠D+∠ABC=180°，∴∠CBE+∠ABC=180°，∴A、B、E三点共线，∴△ACE 是等腰直角三角形，∴四边形ABCD 面积=△ACE 面积= 12⨯AC 2=18．故答案为：18．【点睛】本题考查了旋转的性质以及转化思想，解决这类问题要结合已知线段间的数量关系和位置关系进行旋转，使不规则图形转化为规则图形．8．已知∠ABC=60°，点D 是其角平分线上一点，BD=CD=6，DE//AB 交BC 于点E.若在射线BA 上存在点F ，使DCF BDE S S ∆∆=，请写出相应的BF 的长：BF ＝_________【答案】33【解析】【分析】过点D 作DF 1∥BE ，求出四边形BEDF 1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF 1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F 1为所求的点，过点D 作DF 2⊥BD ，求出∠F 1DF 2=60°，从而得到△DF 1F 2是等边三角形，然后求出DF 1=DF 2，再求出∠CDF 1=∠CDF 2，利用“边角边”证明△CDF 1和△CDF 2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F 2也是所求的点，然后在等腰△BDE 中求出BE 的长，即可得解．【详解】如图，过点D 作DF 1∥BE ，易求四边形BEDF 1是菱形，所以BE=DF 1，且BE 、DF 1上的高相等，此时S △DCF1=S △BDE ；过点D 作DF 2⊥BD ，∵∠ABC=60°，F 1D ∥BE ，∴∠F 2F 1D=∠ABC=60°，∵BF 1=DF 1，∠F 1BD=12∠ABC=30°，∠F 2DB=90°， ∴∠F 1DF 2=∠ABC=60°，∴△DF 1F 2是等边三角形，∴DF 1=DF 2， ∵BD=CD ，∠ABC=60°，点D 是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=12×60°=30°， ∴∠CDF 1=180°-∠BCD=180°-30°=150°，∠CDF 2=360°-150°-60°=150°，∴∠CDF 1=∠CDF 2，∵在△CDF 1和△CDF 2中，1212DF DF CDF CDF CD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△CDF 1≌△CDF 2（SAS ），∴点F 2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D 是角平分线上一点，DE ∥AB ，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=12×60°=30°， 又∵BD=6， ∴BE=12×6÷cos30°=3÷323 ∴BF 1=BF 2=BF 1+F 1F 2333故BF 的长为33故答案为：33【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题关键，（3）要注意符合条件的点F 有两个．9．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足．下列结论：①△ABD ≌△EBC ； ②∠BCE+∠BCD=180°； ③AF 2=EC 2﹣EF 2； ④BA+BC=2BF ．其中正确的是_____．【答案】①②③④．【解析】【分析】根据已知条件易证△ABD ≌△EBC ，可判定①正确；根据等腰三角形的性质、对顶角相等、结合全等三角形的性质及平角的定义即可判定②正确；证明AD=AE=EC ，再利用勾股定理即可判定③正确；过E 作EG ⊥BC 于G 点，证明Rt △BEG ≌Rt △BEF 及Rt △CEG ≌Rt △AFE ，根据全等三角形的性质可得AF=CG ，所以BA+BC=BF+FA+BG ﹣CG=BF+BG=2BF ，即可判定④正确.【详解】①∵BD 为△ABC 的角平分线，∴∠ABD=∠CBD ，在△ABD 和△EBC 中，BD BC ABD CBD BE BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△EBC （SAS ），∴①正确；②∵BD 为△ABC 的角平分线，BD=BC ，BE=BA ，∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA ，∵△ABD ≌△EBC ，∴∠BCE=∠BDA ，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，∴②正确；③∵∠BCE=∠BDA ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ，∠BDA=∠DAE+∠BEA ，∠BCD=∠BEA ， ∴∠DCE=∠DAE ，∴△ACE 为等腰三角形，∴AE=EC ，∵△ABD ≌△EBC ，∴AD=EC ，∴AD=AE=EC ，∵EF ⊥AB ，∴AF 2=EC 2﹣EF 2；∴③正确；④如图，过E 作EG ⊥BC 于G 点，∵E 是BD 上的点，∴EF=EG ，在Rt △BEG 和Rt △BEF 中，BE BE EF EG=⎧⎨=⎩ ， ∴Rt △BEG ≌Rt △BEF （HL ），∴BG=BF ，在Rt △CEG 和Rt △AFE 中，EF FG AE CE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CEG ≌Rt △AFE （HL ），∴AF=CG ，∴BA+BC=BF+FA+BG ﹣CG=BF+BG=2BF ，∴④正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．10．已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，BD=4cm ，则DC=_______【答案】2cm【解析】试题解析：解：连接AD ，∵ED 是AB 的垂直平分线，∴BD =AD =4c m ，∴∠BAD =∠B =30°，∵∠C =90°，∴∠BAC =90°-∠B =90°-30°=60°，∴∠DAC =60°-30°=30°，在Rt △ACD 中，∴DC =12AD ==12× 4=2c m ． 故答案为2c m ． 点睛：本题考查了线段垂直平分线，在直角三角形中30度角所对的边等于斜边的一半，三角形内角和定理，主要考查学生运用性质进行计算的能力．二、八年级数学全等三角形选择题（难）11．如图，四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的角平分线恰相交于一点P ，记△APD 、△APB 、△BPC 、△DPC 的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则有（ ）A ．1324S S S S +=+B ．1234S S S S +=+C ．1423S S S S +=+D ．13S S =【答案】A【解析】【分析】作辅助线,利用角平分线性质定理,明确8个三角形中面积两两相等即可解题.【详解】四边形ABCD,四个内角平分线交于一点P,即点p 到四边形各边距离相等,（角平分线性质定理）,如下图,可将四边形分成8个三角形,面积分别是a 、a 、b 、b 、c 、c 、d 、d,则S 1=a+d, S 2=a+b, S 3=b+c, S 4=c+d,∴S 1+S 3=a+b+c+d= S 2+S 4故选A【点睛】本题考查了角平分线性质定理,作高线和理解角平分线性质定理是解题关键.12．如图, AB=AC，AD=AE， BE、CD交于点O，则图中全等三角形共有（）A．五对B．四对C．三对D．二对【答案】A【解析】如图，由已知条件可证：①△ABE≌△ACD；②△DBC≌△ECB；③△BDO≌△ECO；④△ABO≌△ACO；⑤△ADO≌△AEO；∴图中共有5对全等三角形.故选A.13．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( )A．两条直角边对应相等B．有两条边对应相等C．斜边和一锐角对应相等D．一条直角边和斜边对应相等【答案】B【解析】根据全等三角形的判定SAS，可知两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，故A不正确；根据一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理HL，能判定全等；若两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理SAS，也能判全等，但是有两边对应相等，没说明是什么边对应，故不能判定，故B正确．根据全等三角形的判定AAS，可知斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等，故C不正确；根据直角三角形的判定HL，可知一条直角边和斜边对应相等两直角三角形全等，故D不正确.故选B.点睛：此题主要考查了直角三角形全等的判定，解题时利用三角形全等的判定SSS，SAS，ASA，AAS，HL，直接判断即可.14．在△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，ED⊥AB,∠DAE=∠CAE，则∠CAB＝（）A．30°B．60°C．80 °D．50°【答案】B【解析】试题解析：∵D为AB的中点，ED⊥AB，∴DE为线段AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠DAE=∠DBE，∴∠DAE=∠DBE=∠CAE，在Rt△ABC中，∵∠CAB+∠DBE=90°，∴∠CAE+∠DAE+∠DBE=90°，∴3∠DBE=90°，∴∠DBE=30°，∴∠CAB=90°-∠DBE=90°-30°=60°．故选B．15．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AB=18cm，则△DBE的周长为（）A．16cm B．8cm C．18cm D．10cm【答案】C【解析】因为∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，易证△ACD≌△AED，所以AE=AC=BC，ED=CD.△DBE的周长=BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+BC=BE+AE=AB.因为AB=12，所以△DBE的周长=12.故选C.点睛：本题主要考查了全等三角形的判定的性质及角平分线的性质定理，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，运用这个性质，结合等腰三角形有性质，将△DBE的周长转化为AB的长.△边AB、BC上的动点，点P从顶16．如图，点P、Q分别是边长为6cm的等边ABC点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，下面四个结论：①BQ AM=②ABQ△≌CAP△③CMQ∠的度数不变，始终等于60︒④当第2秒或第4秒时，PBQ△为直角三角形，正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】∵点P、Q速度相同，∴AP BQ=．在ACP△和ABQ△中，60AP BQCAP ABQAC BA=⎧⎪∠==︒⎨⎪=⎩，∴ACP△≌BAQ△，故②正确．则AQC CPB∠=∠．即B BAQ BAQ AMP∠+∠=∠+∠．∴60AMP B∠=∠=︒．则60CMQ AMP∠=∠=︒，故③正确．∵APM∠不一定等于60︒．∴AP AM≠．∴BQ AM≠．故①错误．设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4-t①当∠PQB=90°时，∵∠B=60°，∴PB=2BQ，得6-t=2t，t=2 ；②当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，∴BQ=2BP，得t=2（6-t），t=4；∴当第2秒或第4秒时，△PBQ为直角三角形．∴④正确.故选C.点睛：本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，综合性强，难度较大．17．如图，ABC △中，60BAC ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线交于E ，D 是AE 延长线上一点，且120BDC ∠=︒．下列结论：①120BEC ∠=︒；②DB DE =；③2BDE BCE ∠=∠．其中所有正确结论的序号有（ ）．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【解析】 分析：根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB ，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB ，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D 作DF ⊥AB 于F ，DG ⊥AC 的延长线于G ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG ，再求出∠BDF=∠CDG ，然后利用“角边角”证明△BDF 和△CDG 全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD ，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB ，根据等角对等边可得BD=DE ，判断②正确，再求出B ，C ，E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE ，判断③正确．详解：∵60BAC ∠=︒，∴18060120ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒，∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，∴12EBC ABC ∠=∠，12ECB ACB ∠=∠， ∴11()1206022EBC ECB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∴180()18060120BEC EBC ECB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒， 故①正确．如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，DG AC ⊥的延长线于G ，∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，∴AD 为BAC ∠的平分线，∴DF DG =，∴36090260120FDG ∠=︒-︒⨯-︒=︒，又∵120BDC ∠=︒，∴120BDF CDF ∠+∠=︒，120CDG CDF ∠+∠=︒．∴BDF CDG ∠=∠， ∵在BDF 和CDG △中，90BFD CGD DF DGBDF CDG ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴BDF ≌()CDG ASA ，∴DB CD =，∴1(180120)302DBC ∠=︒-︒=︒， ∴30DBC DBC CBE CBE ∠=∠+∠=︒+∠，∵BE 平分ABC ∠，AE 平分BAC ∠，∴ABE CBE ∠=∠，1302BAE BAC ∠=∠=︒， 根据三角形的外角性质， 30DEB ABE BAE ABE ∠=∠+∠=∠+︒，∴DEB DBE ∠=∠，∴DB DE =，故②正确．∵DB DE DC ==，∴B 、C 、E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，∴2BDE BCE ∠=∠，故③正确，综上所述，正确结论有①②③，故选：D ．点睛：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，圆内接四边形的判定，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质，综合性较强，难度较大，特别是③的证明．18．如图，在△ABC 中，P 是BC 上的点，作PQ ∥AC 交AB 于点Q ，分别作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R ，S ，若PR=PS ，则下面三个结论：①AS=AR ；②AQ=PQ ；③△PQR ≌△CPS ；④AC ﹣AQ=2SC ，其中正确的是（ ）A ．②③④B ．①②C ．①④D ．①②③④【答案】B【解析】【分析】 连接AP,由已知条件利用角平行线的判定可得∠1 = ∠2,由三角形全等的判定得△APR ≌△APS,得AS=AR,由已知可得∠2 = ∠3,得QP=AQ,答案可得.【详解】解:如图连接AP,PR=PS,PR ⊥AB,垂足为R,PS ⊥AC,垂足为S,AP 是∠BAC 的平分线,∠1=∠2,△APR ≌△APS.AS=AR,又QP/AR,∠2 = ∠3又∠1 = ∠2，∠1=∠3,AQ=PQ,没有办法证明△PQR ≌△CPS,③不成立,没有办法证明AC-AQ=2SC,④不成立.所以B 选项是正确的.【点睛】本题主要考查三角形全等及三角形全等的性质.19．如图，A ABC CB =∠∠，AD 、BD 、CD 分别平分ABC 的EAC ∠、ABC ∠、ACF ∠，以下结论：①AD BC ∥；②2ACB ADB ∠=∠；③90ADC ABD ∠=︒-∠；④BD 分ADC ∠；⑤3BDC BAC ∠=∠。

八年级数学上册轴对称填空选择单元测试与练习（word解析版）一、八年级数学全等三角形填空题（难）1．如图，已知点(,0)A a在x轴正半轴上，点(0,)B b在y轴的正半轴上，ABC∆为等腰直角三角形，D为斜边BC上的中点.若2OD=，则a b+=________.【答案】2【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质，可得AP与BC的关系，根据垂线的性质，可得答案【详解】如图：作CP⊥x轴于点P，由余角的性质，得∠OBA=∠PAC，在Rt△OBA和Rt△PAC中，OBA PACAOB CPABA AC∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，Rt△OBA≌Rt△PAC（AAS），∴AP=OB=b，PC=OA=a．由线段的和差，得OP=OA+AP=a+b，即C点坐标是（a+b，a），由B（0，b），C（a+b，a），D是BC的中点，得D（2a b+，2a b+），∴OD=22a b+（）∴22a b+（）2，∴a+b=2.故答案为2.【点睛】本题解题主要①利用了等腰直角三角形的性质；②利用了全等三角形的判定与性质；③利用了线段中点的性质.2．如图,C为线段AE上一动点(不与A． E重合),在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,以下五个结论：①AD=BE;②PQ∥AE;③CP=CQ;④BO=OE;⑤∠AOB=60°，一定成立的有________（填序号）【答案】①②③⑤【解析】【分析】①根据全等三角形的判定方法，证出△ACD≌△BCE，即可得出AD=BE．③先证明△ACP≌△BCQ，即可判断出CP=CQ，③正确；②根据∠PCQ=60°，可得△PCQ为等边三角形，证出∠PQC=∠DCE=60°，得出PQ∥AE，②正确．④没有条件证出BO=OE，得出④错误；⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，⑤正确；即可得出结论．【详解】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，结论①正确．∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，又∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=180°-60°-60°=60°，∴∠ACP=∠BCQ=60°，在△ACP和△BCQ中，ACP BCQCAP CBQ AC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP≌△BCQ（AAS），∴CP=CQ，结论③正确；又∵∠PCQ=60°，∴△PCQ为等边三角形，∴∠PQC=∠DCE=60°，∴PQ∥AE，结论②正确．∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠AEO，∴∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，∴结论⑤正确．没有条件证出BO=OE，④错误；综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤．故答案是：①②③⑤．【点睛】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．3．在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，若点O到三边的距离相等，则∠BOC＝_____°．【答案】115或65或22.5【解析】【分析】先画出符合的图形，再根据角平分线的性质和三角形的内角和定理逐个求出即可．【详解】解：①如图，∵点O到三边的距离相等，∴点O是△ABC的三角的平分线的交点，∵∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，∴∠OBC＝12∠ABC＝30°，1OCB2∠=∠ACB＝35°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝115°；②如图，∵∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，∴∠EBC＝180°﹣∠ABC＝120°，∠FCB＝180°﹣∠ACB＝110°，∵点O到三边的距离相等，∴O是∠EBC和∠FCB的角平分线的交点，∴∠OBC＝12∠EBC＝60°，1OCB2∠=∠FCB＝55°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝65°；③如图，∵∠ABC＝60°，∠ACB＝75°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝45°，∵点O到三边的距离相等，∴O是∠EBA和∠ACB的角平分线的交点，∴∠OBA＝12∠EBA＝12×（180°﹣60°）＝60°，1OCB2∠=∠ACB＝37.5°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBA+∠ABC+∠OCB）＝180°﹣（60°﹣60°﹣37.5°）＝22.5°；如图，此时∠BOC＝22.5°，故答案为：115或65或22.5．【点睛】此题主要考查三角形的内角和，解题的关键是根据题意分情况讨论.4．如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=1，则AB与CD 之间的距离等于____．【答案】2【解析】过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，∵O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC，∴OE=OF，OE=OG，∴OE=OF=OG=1，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴∠EOF+∠EOG=（180°﹣∠BAC）+（180°﹣∠ACD）=180°，∴E、O、G三点共线，∴AB与CD之间的距离=OF+OG=1+1=2．故答案为：2．点睛：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，平行线的性质，熟记性质是解题的关键，难点在于作出辅助线并证明E、O、G三点共线．5．如图，Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点．∠MDN＝90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE＝CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF＝EF；⑤S四边形AEDF＝14AD2，其中正确结论是_____（填序号）【答案】①②③【解析】【分析】先由ASA证明△AED≌△CFD，得出AE＝CF，DE＝FD；再由全等三角形的性质得到BE+CF＝AB，由勾股定理求得EF与AB的值，通过比较它们的大小来判定④的正误；先得出S四边形AEDF＝S△ADC＝12AD2，从而判定⑤的正误．解：∵Rt △ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 中点，∴∠C ＝∠BAD ＝45°，AD ＝BD ＝CD ，∵∠MDN ＝90°，∴∠ADE +∠ADF ＝∠ADF +∠CDF ＝90°，∴∠ADE ＝∠CDF ．在△AED 与△CFD 中，EAD C AD CDADE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AED ≌△CFD （ASA ），∴AE ＝CF ，ED ＝FD ．故①②正确；又∵△ABD ≌△ACD ，∴△BDE ≌△ADF ．故③正确；∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF ，ED ＝FD ，∴BE +CF ＝BE +AE ＝AB ＝2BD ，∵EF ＝2ED ，BD ＞ED ，∴BE +CF ＞EF ．故④错误；∵△AED ≌△CFD ，△BDE ≌△ADF ，∴S 四边形AEDF ＝S △ADC ＝12AD 2．故⑤错误． 综上所述，正确结论是①②③．故答案是：①②③．【点睛】 考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形的面积等知识，综合性较强，有一定难度．6．如图，在ABC 中，ACB 90,CA CB ∠==.点D 在AB 上，点F 在CA 的延长线上，连接FD 并延长交BC 于点E ，若∠BED=2∠ADC ，AF=2，DF=7，则ABC 的面积为______．【答案】252【分析】作CD的垂直平分线交AD于M，交CD与N，根据垂直平分线的性质可得MC=MD，进而可得∠MDC=∠MCD，根据已知及外角性质可得∠AMC=∠BED，由等腰直角三角形的性质可得∠B=∠CAB=45°，根据三角形内角和定理可得∠ACM=∠BDE，进而可证明∠ADF=∠ACM，进而即可证明∠FCD=∠FDC，根据等腰三角形的性质可得CF=DF，根据已知可求出AC的长，根据三角形面积公式即可得答案.【详解】作CD的垂直平分线交AD于M，交CD与N，∵MN是CD的垂直平分线，∴MC=MD，∴∠MDC=∠MCD，∵∠AMC=∠MDC=∠MCD，∴∠AMC=2∠ADC，∵∠BED=2∠ADC，∴∠AMC=∠BED，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠CAB=45°，∵∠ACM=180°-∠CAM-∠AMC，∠BDE=180°-∠B-∠BED，∴∠ACM=∠BDE，∵∠BDE=∠ADF，∴∠ADF=∠ACM，∴∠ADF+∠ADC=∠ACM+∠MCD，即∠FCD=∠FDC，∴FC=FD，∵AF=2，FD=7，∴AC=FC-AF=7-2=5，∴S△ABC=12×5×5=252.故答案为：25 2【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等；等腰三角形的两个底角相等；熟练掌握相关的定理及性质是解题关键.7．如图，在△ABD中，∠BAD＝80°，C为BD延长线上一点，∠BAC＝130°，△ABD的角平分线BE与AC交于点E，连接DE，则∠DEB＝_____．【答案】40°【解析】【分析】做辅助线，构建角平分线的距离，根据角平分线的性质和逆定理可得：EF=EG=EH，设∠DEG=y，∠GEB=x，根据三角形内角和定理可得：∠GEA=∠FEA=40°，∠FEB=∠HEB，列方程为2y+x=80-x,y+x=40,可得结论：∠DEB＝40°.【详解】如图，过E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，∵BE平分∠ABD∴EH=EF∵∠BAC＝130°，∠BAD＝80°∴∠FAE=∠CAD=50°∴EF=EG∴EG=EH∴ED平分∠CDG∴∠HED=∠DEG设∠DEG=y，∠GEB=x，∵∠EFA=∠EGA=90°∴∠GEA=∠FEA=40°∵∠EFB=∠EHB=90°，∠EBH=∠EBF∴∠FEB=∠HEB∴2y+x=80-x,2y+2x=80y+x=40即∠DEB＝40°.故答案为：40°.【点睛】本题考查三角形内角和定理和角平分线的性质，正确作辅助线是解题的关键.8．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝56°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为_____度．【答案】112．【解析】【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO＝28°，利用等腰三角形两底角相等求出∠ABC，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得OA＝OB，再根据等边对等角求出∠OBA，然后求出∠OBC，再根据等腰三角形的性质可得OB＝OC，然后求出∠OCE，根据翻折变换的性质可得OE＝CE，然后利用等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【详解】如图，连接OB、OC，∵OA平分∠BAC，∠BAC＝56°，∴∠BAO＝12∠BAC＝12×56°＝28°，∵AB＝AC，∠BAC＝56°，∴∠ABC＝12（180°﹣∠BAC）＝12×（180°﹣56°）＝62°，∵OD垂直平分AB，∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠BAO＝28°，∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝62°﹣28°＝34°，由等腰三角形的性质，OB＝OC，∴∠OCE＝∠OBC＝34°，∵∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE＝CE，∴∠OEC＝180°﹣2×34°＝112°．故答案是：112．【点睛】考查了翻折变换，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，三角形的内角和定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键．9．如图，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE⊥CE，垂足是E，BE交AC于点D，F是BE 上一点，AF⊥AE，且C是线段AF的垂直平分线上的点，AF=22，则DF=________.【答案】3.【解析】【分析】由题意可证的△ABF≌△ACE,可得△AEF为等腰直角三角形，取AF的中点O，连接CO交BE与点G，连接AG，可得△AGF, △AGE,△CEG均为等腰直角三角形，可得AG平行等于CE，可得四边形AGCE为平行四边形，可得FD的长.【详解】解：如图Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，又∠BAC=90°，BE⊥CE，∠DAE为∠BAC与EAF的公共角∴∠BAF=∠CAE,∠ABC=∠ACB=45°, BE⊥CE∴∠ABF+∠CBE=45°,∠CBE+∠ACB+∠ACE=90°,即: ∠CBE+∠ACE=45°，∴∠ABF=∠ACE，在△ABF与△ACE中，有AB ACBAF CAEABF ACE=⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABF≌△ACE，∴AE=AF, △AEF为等腰直角三角形, 取AF的中点O，连接CO交BE与点G，连接AG,C是线段AF的垂直平分线上的点，易得△AGF, △AGE,△CEG均为等腰直角三角形，AF=22∴AG=GE=CE=FG=2,又AG⊥BE,CE⊥BE,可得AG∥CE,∴四边形AGCE为平行四边形，∴GD=DE=1,∴DF=FG+GD=2+1=3.【点睛】本题主要考查三角形全等及性质，综合性强，需综合运用所学知识求解.10．如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于点E，AB=AD+2BE，则下列结论：①AB+AD= 2AE；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④S ACE﹣S BCE=S ACD．其中正确的是______．【答案】①②③④．【解析】【分析】【详解】①在AE取点F，使EF＝BE，连接CF．∵AB＝AD＋2BE＝AF＋EF＋BE，EF＝BE，∴AB＝AD＋2BE＝AF＋2BE，∴AD＝AF，∴AB＋AD＝AF＋EF＋BE＋AD＝2AF＋2EF＝2(AF＋EF)＝2AE，∴AB+AD= 2AE，故①正确；②在AB上取点F，使EF＝BE，连接CF．在△ACD与△ACF中，∵AD＝AF，∠DAC＝∠FAC，AC＝AC，∴△ACD≌△ACF，∴∠ADC＝∠AFC．∵CE垂直平分BF，∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠B．又∵∠AFC＋∠CFB＝180°，∴∠ADC＋∠B＝180°，∴∠DAB+∠DCB=180°故②正确；③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD＝CF，又∵CF＝CB，∴CD＝CB，故③正确；④易证△CEF≌△CEB，∴S△ACE﹣S△BCE＝S△ACE﹣S△FCE＝S△ACF，又∵△ACD≌△ACF，∴S△ACF＝S△ADC，∴S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC，故④正确．综上所述，正确的结论是①②③④，故答案为①②③④．二、八年级数学全等三角形选择题（难）11．如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=2，则五边形ABCDE的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】可延长DE至F，使EF=BC，利用SAS可证明△ABC≌△AEF，连AC，AD，AF，再利用SSS证明△ACD≌△AFD，可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求解即可．【详解】延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF，在△ABC 与△AEF 中，0=90AB AE ABC AEF BC EF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ABC ≌△AEF （SAS ），∴AC=AF ，∵AB=CD=AE=BC+DE ，∠ABC=∠AED=90°，∴CD=EF+DE=DF ，在△ACD 与△AFD 中，AC AF CD DF AD AD ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ACD ≌△AFD （SSS ），∴五边形ABCDE 的面积是：S=2S △ADF =2×12•DF•AE=2×12×2×2=4． 故选C.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，正确作出辅助线，利用全等三角形把五边形ABCDE 的面积转化为两个△ADF 的面积是解决问题的关键．12．下列四组条件中，能够判定△ABC 和△DEF 全等的是（ ）A ．AB=DE ，BC=EF ，∠A=∠DB ．AC=EF ，∠C=∠F ，∠A=∠DC ．∠A=∠D ，∠B=∠E ，∠C=∠FD ．AC=DF ，BC=DE ，∠C=∠D【答案】D【解析】根据三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，逐一判断：A 、AB=DE ，BC=EF ，∠A=∠D ，不符合“SAS ”定理，不能判断全等；B 、AC=EF ，∠C=∠F ，∠A=∠D ， 不符合“ASA”定理，不能判断全等；C 、∠A=∠D ，∠B=∠E ，∠C=∠F ，“AAA ”不能判定全等；不符合“SAS ”定理，不对应，不能判断全等；D 、AC=DF ，BC=DE ，∠C=∠D ，可利用“SAS ”判断全等；故选：D ．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．13．如图，已知等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE ，AB=AC=4，∠BAC=∠EAD=90°，D 是射线BC上任意一点，连接EC ．下列结论：①△AEC △ADB ；② EC ⊥BC ； ③以A 、C 、D 、E 为顶点的四边形面积为8；④当BD=时，四边形AECB 的周长为10524++;⑤ 当BD=32B 时,ED=5AB ；其中正确的有（ ）A ．5个B ．4个C ．3 个D ．2个【答案】B【解析】解：∵∠BAC =∠EAD =90°，∴∠BAD =∠CAE ，∵AB =AC ，AD =AE ，∴△AEC ≌△ADB ，故①正确； ∵△AEC ≌△ADB ，∴∠ACE =∠ABD =45°，∵∠ACB =45°，∴J IAO ECB =90°，∴EC ⊥BC ，故②正确；∵四边形ADCE 的面积=△ADC 的面积+△ACE 的面积=△ADC 的面积+△ABD 的面积=△ABC 的面积=4×4÷2=8．故③正确；∵BD =2，∴EC =2，DC =BC -BD =422-=32，∴DE 2=DC 2+EC 2，=()()22322+=20，∴DE =25，∴AD =AE =252=10.∴AECB 的周长=AB +DC +CE +AE =442210+++=45210++，故④正确；当BD =32BC 时，CD =12BC ，∴DE =221322BC BC ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=10BC =5AB ．故⑤错误． 故选B ．点睛：此题是全等三角形的判定与性质的综合运用，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解答此题的关键．14．在△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 的中点，ED ⊥AB,∠DAE=∠CAE ，则 ∠CAB ＝（ ）A ．30°B ．60°C ．80 °D ．50°【答案】B【解析】 试题解析：∵D 为AB 的中点，ED ⊥AB ，∴DE 为线段AB 的垂直平分线，∴AE =BE ，∴∠DAE =∠DBE ，∴∠DAE =∠DBE =∠CAE ，在Rt △ABC 中，∵∠CAB +∠DBE =90°，∴∠CAE +∠DAE +∠DBE =90°，∴3∠DBE =90°，∴∠DBE =30°，∴∠CAB =90°-∠DBE =90°-30°=60°．故选B ．15．如图，Rt ABC ∆中，90C =∠，3,4,5,AC BC AB ===AD 平分BAC ∠．则:ACD ABD S S ∆∆=（ ）A ．3:4B ．3:5C ．4:5D ．2:3【答案】B【解析】 如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，由角平分线的性质可得出DE=CD ，由全等三角形的判定定理HL 得出△ADC ≌△ADE ，故可得出AE=AC=3，由AB=5求出BE=2，设CD=x ，则DE=x ，BD=4﹣x ，再根据勾股定理知DE 2+BE 2=BD 2，即x 2+22=（4﹣x ）2，求出x=32，进而根据等高三角形的面积，可得出：S △ACD ：S △ABD =CD ：BD=12×32×3：12×32×5=3：5．故选：B ．点睛：本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．16．如图，已知，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ．下面结论：①△ABD ≌△EBC ；②AC=2CD ；③AD=AE=EC ；④∠BCE+∠BCD=180°．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】C【解析】 已知BD 为△ABC 的角平分线，根据角平分线的定义可得∠ABD =∠CBD ，在△AB D 和△EB C 中，BD ＝BC ，∠ABD ＝∠CBD ，BE ＝BA ，由SAS 可判定△ABD ≌△EBC ，即可得①正确；根据已知条件，无法证明AC =2CD ，②错误； 已知BD 为△ABC 的角平分线，BD=BC ，BE=BA ，可得∠BCD =∠BDC =∠BAE =∠BEA ， 再由∠BCE =∠BDA ，∠BCE =∠BCD +∠DCE ，∠BDA =∠DAE +∠BEA ，∠BCD =∠BEA ，可得∠DCE =∠DAE ，所以AE =EC ；再由△ABD ≌△EBC ，可得AD=EC ，所以AD=AE=EC ，即③正确；由△ABD ≌△EBC ，可得∠BCE =∠BDA ，所以∠BCE +∠BCD =∠BDA +∠BDC =180°，④正确.故选C.点睛：本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的的性质、三角形外角的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．17．如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，BD AE ⊥于点D ，DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，连接CD ，给出四个结论:①45ADC ∠=︒;②12BD AE =;③AC CE AB +=;④2AB BC FC -=;其中正确的结论有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】试题解析：如图，过E 作EQ ⊥AB 于Q ，∵∠ACB=90°，AE 平分∠CAB ，∴CE=EQ ，∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴∠CBA=∠CAB=45°，∵EQ ⊥AB ，∴∠EQA=∠EQB=90°，由勾股定理得：AC=AQ ，∴∠QEB=45°=∠CBA ，∴EQ=BQ ，∴AB=AQ+BQ=AC+CE ，∴③正确；作∠ACN=∠BCD ，交AD 于N ，∵∠CAD=12∠CAB=22.5°=∠BAD ， ∴∠ABD=90°-22.5°=67.5°，∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°=∠CAD ，∴∠DBC=∠CAD ，在△ACN 和△BCD 中， DBC CAD AC BCACN DCB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ACN ≌△BCD ，∴CN=CD ，AN=BD ，∵∠ACN+∠NCE=90°，∴∠NCB+∠BCD=90°，∴∠CND=∠CDA=45°，∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN ，∴AN=CN ，∴∠NCE=∠AEC=67.5°，∴CN=NE ，∴CD=AN=EN=12AE ， ∵AN=BD ，∴BD=12AE ， ∴①正确，②正确；过D 作DH ⊥AB 于H ，∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，∠DBA=90°-∠DAB=67.5°，∴∠FCD=∠DBA ，∵AE 平分∠CAB ，DF ⊥AC ，DH ⊥AB ，∴DF=DH ，在△DCF 和△DBH 中90F DHB FCD DBA DF DH ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝＝， ∴△DCF ≌△DBH ，∴BH=CF ，由勾股定理得：AF=AH ， ∴2,2AC AB AC AH BH AC AM CM AC AF CF AF AF AF AM AF AF+++++++====， ∴AC+AB=2AF ，AC+AB=2AC+2CF ，AB-AC=2CF ，∵AC=CB ，∴AB-CB=2CF ， ∴④正确．故选D18．如图在ABC △中，P ，Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR AB ⊥，PS AC ⊥，垂足分别是R ，S ，AQ PQ =，PR PS =，下面三个结论：①AS AR =；②PQ AB ∥；③BRP △≌CSP △．其中正确的是（ ）．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【答案】A【解析】连接AP ，由题意得，90ARP ASP ∠=∠=︒， 在Rt APR 和Rt APS 中，AP AP PR PS =⎧⎨=⎩， ∴△APR ≌()APS HL ，∴AS AR =，故①正确．BAP SAP ∠=∠，∴2SAB BAP SAP SAP ∠=∠+∠=∠，在AQP △中，∴AQ PQ =，∴QAP APQ ∠=∠，∴22CQP QAP APQ QAP SAP ∠=∠+∠=∠=∠，∴PQ AB ∥，故②正确； 在Rt BRP 和Rt CSP 中，只有PR PS =，不满足三角形全等的条件，故③错误．故选A ．点睛：本题主要考查三角形全等的判定方法以及角平分线的判定和平行线的判定，准确作出辅助线是解决本题的关键.19．已知111122,A B C A B C △△的周长相等，现有两个判断：①若21212112,A A B C B A A C ==，则111222A B C A B C △≌△；②若12=A A ∠∠，1122=A C A C ，则111222A B C A B C △≌△，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ）A．①，②都正确B．①，②都错误C．①错误，②正确D．①正确，②错误【答案】A【解析】【分析】根据SSS即可推出△111A B C≅△222A B C，判断①正确；根据相似三角形的性质和判定和全等三角形的判定推出即可．【详解】解：①△111A B C，△222A B C的周长相等，1122A B A B=，1122AC A C=，1122B C B C∴=，∴△111A B C≅△222()A B C SSS，∴①正确；②如图，延长11A B到1D，使1111B D B C=，，延长22A B到2D，使2222B D B C=，∴111111A D AB B C=+，222222A D AB B C=+，∵111122,A B C A B C△△的周长相等，1122=A C A C∴1122A D A D=，在△111A B D和△222A B D中1122121122==A D A DA AA C A C=⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△111A B D≅△222A B D（SAS）∴12=D D∠∠，∵1111B D B C=，2222B D B C=∴1111=D D C B∠∠，2222=D D C B∠∠，又∵1111111=A B C D D C B∠∠+∠，2222222=A B C D D C B∠∠+∠，∴1112221==2A B C A B C D∠∠∠，在△111A B C和△222A B C中111222121122===A B C A B CA AA C A C∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△111A B C≅△222A B C（AAS），∴②正确；综上所述：①，②都正确．故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质，能构造全等三角形、综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，而AAA和SSA不能判断两三角形全等．20．如图，AD是△ABC的外角平分线，下列一定结论正确的是（）A．AD+BC=AB+CD，B．AB+AC=DB+DC,C．AD+BC＜AB+CD，D．AB+AC＜DB+DC【答案】D【解析】【分析】在BA的延长线上取点E,使AE=AC,连接ED,证△ACD≌△AED,推出DE=DC,根据三角形中任意两边之和大于第三边即可得到AB+AC＜DB+DC.【详解】解: 在BA的延长线上取点E, 使AE=AC,连接ED,∵AD是△ABC的外角平分线，∴∠EAD=∠CAD,在△ACD和△AED中,AD ADEAD CADAC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD≌△AED(SAS)∴DE=DC,在△EBD中,BE＜BD+DE,∴AB+AC＜DB+DC故选:D.【点睛】本题主要考查三角形全等的证明,全等三角形的性质,三角形的三边关系,作辅助线构造以AB、AC、DB、DC的长度为边的三角形是解题的关键，也是解本题的难点.21．如图，O是正ABC内一点，3OA=，4OB=，5OC=，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，连接AO'，下列结论：①BO A'△可以由BOC 绕点B逆时针旋转60°得到：②点O与O'的距离为4；③150AOB∠=︒；④S四边形643AOBO；⑤9634AOC AOBS S+=+△△．其中正确的结论是（）A．①②③④B．①②③⑤C．①②④⑤D．①②③④⑤【答案】D【解析】【分析】证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′＝60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB＝150°，故结论③正确；643AOO OBOAOBOS S S'∆'∆'=+=+四边形④正确；如图②，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S△AOC+S△AOB转化为S△COO″+S△AOO″，计算可得结论⑤正确．【详解】解：由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，又∵OB＝O′B，AB＝BC，∴△BO ′A ≌△BOC ，又∵∠OBO ′＝60°，∴△BO ′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到，故结论①正确；如图①，连接OO ′，∵OB ＝O ′B ，且∠OBO ′＝60°，∴△OBO ′是等边三角形，∴OO ′＝OB ＝4．故结论②正确；∵△BO ′A ≌△BOC ，∴O ′A ＝5．在△AOO ′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO ′是直角三角形，∠AOO ′＝90°，∴∠AOB ＝∠AOO ′+∠BOO ′＝90°+60°＝150°，故结论③正确；2313446432AOO OBO AOBO S S S '∆'∆'=+=⨯⨯+⨯=+四边形， 故结论④正确；如图②所示，将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°，使得AB 与AC 重合，点O 旋转至O ″点．易知△AOO ″是边长为3的等边三角形，△COO ″是边长为3、4、5的直角三角形，则23193436324AOC AOB COO AOO AOCO S S S S S ∆∆∆''∆''''+==+=⨯⨯+⨯=+四边形， 故结论⑤正确．综上所述，正确的结论为：①②③④⑤．故选：D ．【点睛】本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论⑤时，将△AOB 向不同方向旋转，体现了结论①﹣结论④解题思路的拓展应用．22．如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到△AFB ，连接EF .列结论：①△ADC ≌△AFB ；②△ABE ≌△ACD ；③△AED ≌△AEF ；④BE DC DE +=其中正确的是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③【答案】D【解析】 解：∵将△ADC 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到△AFB ，∴△ADC ≌△AFB ，故①正确； ②无法证明，故②错误；③∵△ADC ≌△AFB ，∴AF =AD ，∠FAB =∠DAC ．∵∠DAE =45°，∴∠BAE +∠DAC =45°，∠FA E =∠DAE =45°．在△FAE 和△DAE 中，∵AF =AD ，∠FAE =∠DAE ，AE =AE ，∴△FAE ≌△DAE ，故③正确；④∵△ADC ≌△AFB ，∴DC =BF ，∵△FAE ≌△DAE ，∴EF =ED ，∵BF +BE ＞EF ，∴DC +BE ＞ED ．故④错误．故选D ．23．已知：如图，ABC ∆、CDE ∆都是等腰三角形，且CA CB =，CD CE =，ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 相交于点O ，点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点.以下4个结论：①AD BE =；②180DOB α∠=-；③CMN ∆是等边三角形；④连OC ，则OC 平分AOE ∠.正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】B【解析】【分析】 ①根据∠ACB=∠DCE 求出∠ACD=∠BCE,证出ACD BCE ≅△△即可得出结论，故可判断； ②根据全等求出∠CAD=∠CBE,根据三角形外角定理得∠DOB=∠OBA+∠BAO,通过等角代换能够得到∠DOB=∠CBA+∠BAC,根据三角形内角和定理即可求出∠CBA+∠BAC,即可求出∠DOB ，故可判断；③根据已知条件可求出AM=BN,根据SAS 可求出CAM CBN ≅,推出CM=CN ，∠ACM=∠BCN,然后可求出∠MCN=∠ACB=α,故可判断CMN ∆的形状；④在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，根据ACD BCE ≅△△，可求出∠CEO=∠CDP ,根据SAS 可求出 CEO CDP ≅,可得∠COE=∠CPD,CP=CO,进而得到 ∠COP=∠COE ，故可判断.【详解】①正确，理由如下：∵ACB DCE α∠=∠=,∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,又∵CA=CB,CD=CE,∴ACD BCE ≅△△(SAS),∴AD=BE,故①正确；②正确，理由如下：由①知，ACD BCE ≅△△，∴∠CAD=∠CBE,∵∠DOB 为ABO 的外角,∴∠DOB=∠OBA+∠BAO=∠EBC+∠CBA+∠BAO=∠DAC+∠BAO+∠CBA=∠CBA+∠BAC, ∵∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°,∠ACB=α,∴∠CBA+∠BAC=180°-α,即∠DOB=180°-α,故②正确；③错误，理由如下：∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点,∴AM=12AD,BN= 12BE, 又∵由①知，AD=BE,∴AM=BN,又∵∠CAD=∠CBE,CA=CB,∴CAM CBN ≅(SAS), ∴CM=CN ，∠ACM=∠BCN,∴∠MCN=∠MCB+∠CBN=∠MCB+∠ACM=∠ACB=α,∴MCN △为等腰三角形且∠MCN=α,∴MCN △不是等边三角形，故③错误；④正确，理由如下：如图所示，在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，由①知，ACD BCE ≅△△，∴∠CEO=∠CDP ,又∵CE=CD,EO=DP ,∴CEO CDP ≅(SAS),∴∠COE=∠CPD,CP=CO,∴∠CPO=∠COP ,∴∠COP=∠COE,即OC 平分∠AOE,故④正确；故答案为：B.【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理和外角定理，等边三角形的判定，根据已知条件作出正确的辅助线，找出全等三角形是解题的关键.24．如图，在△ABC 中，∠ABC=45° ， BC=4，以AC 为直角边，点A 为直角顶点向△ABC 的外侧作等腰直角三角形ACD ，连接BD ，则△DBC 的面积为( ) .A ．8B ．10C ．2D ．2【答案】A【解析】【分析】 将△ABD 绕着点A 顺时针旋转90°得到△AEC ，BD 与EC 交于点O ，连接BE ，根据旋转的性质得到AE=AB ，∠BAE=∠DOC=90°，过D 点作DF ⊥BC ，证△EBC ≌BFD ，可得DF=BC=4，再用三角形面积公式即可得出答案.【详解】解：如下图所示，将△ABD绕着点A顺时针旋转90°得到△AEC，BD与EC交于点O，连接BE，根据旋转的性质可知EC=BD，AE=AB，∠BAE=∠DOC=90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE=45°，又∵∠ABC=45°，∴∠EBC=90°，∵∠BDF+∠DBF=90°，∠ECB+∠DBF=90°，∴∠BDF=∠ECB在△EBC和△BFD中EBC=BFD=90ECB=BDFEC=BD⎧∠∠⎪∠∠⎨⎪⎩∴△EBC≌△BFD（AAS）∴DF=BC=4∴△DBC的面积=11BC DF=44=822⋅⨯⨯故选A.【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，是一道综合性较强的题，难度较大，关键是正确的作出辅助线构造全等三角形.25．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D，过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G，则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD﹣AH=AB；④DG=AP+GH，其中正确的是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP，再根据角平分线的定义∠ABP=12∠ABC，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；②先求出∠APB=∠FPB，再利用“角边角”证明△ABP和△FBP全等，根据全等三角形对应边相等得到AB=BF，AP=PF；③根据直角的关系求出∠AHP=∠FDP，然后利用“角角边”证明△AHP与△FDP全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=AH；④根据PF⊥AD，∠ACB=90°，可得AG⊥DH，然后求出∠ADG=∠DAG=45°，再根据等角对等边可得DG=AG，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH=GF，然后求出DG=GH+AF，有直角三角形斜边大于直角边，AF＞AP，从而得出本小题错误.【详解】解：①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线，∴∠ABP=12∠ABC，∠CAP=12（90°+∠ABC）=45°+12∠ABC，在△ABP中，∠APB=180°-∠BAP-∠ABP，=180°-（45°+12∠ABC+90°-∠ABC）-12∠ABC，=180°-45°- 12∠ABC-90°+∠ABC-12∠ABC，=45°，故本小题正确；②∵PF⊥AD，∠APB=45°（已证），∴∠APB=∠FPB=45°，∵∵PB为∠ABC的角平分线，∴∠ABP=∠FBP，在△ABP 和△FBP 中，APB FPB PB PBABP FBP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABP ≌△FBP （ASA ），∴AB=BF ，AP=PF ；故②正确；③∵∠ACB=90°，PF ⊥AD ，∴∠FDP+∠HAP=90°，∠AHP+∠HAP=90°，∴∠AHP=∠FDP ，∵PF ⊥AD ，∴∠APH=∠FPD=90°，在△AHP 与△FDP 中，90AHP FDP APH FPD AP PF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△AHP ≌△FDP （AAS ），∴DF=AH ，∵BD=DF+BF ，∴BD=AH+AB ，∴BD-AH=AB ，故③小题正确；④∵PF ⊥AD ，∠ACB=90°，∴AG ⊥DH ，∵AP=PF ，PF ⊥AD ，∴∠PAF=45°，∴∠ADG=∠DAG=45°，∴DG=AG ，∵∠PAF=45°，AG ⊥DH ，∴△ADG 与△FGH 都是等腰直角三角形，∴DG=AG ，GH=GF ，∴DG=GH+AF ，∵AF ＞AP ，∴DG=AP+GH 不成立，故本小题错误，综上所述①②③正确．故选:C.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系.26．如图（1），已知AB AC=，D为BAC∠的角平分线上一点，连接BD，CD；如图（2），已知AB AC=，D，E为BAC∠的角平分线上两点，连接BD，CD，BE，CE；如图（3），已知AB AC=，D，E，F为BAC∠的角平分线上三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；……，依此规律，第6个图形中有全等三角形的对数是（）A．21 B．11 C．6 D．42【答案】A【解析】【分析】根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第6个图形中全等三角形的对数．【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD．在△ABD与△ACD中，AB ACBAD CADAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ACD．∴图1中有1对三角形全等；同理图2中，△ABE≌△ACE，∴BE=EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD=CD，又DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴图2中有3对三角形全等，3=1+2；同理：图3中有6对三角形全等，6=1+2+3；∴第6个图形中有全等三角形的对数是1+2+3+4+5+6=21.故选：A．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．27．如图，在△ABC中，AB=BC，90ABC∠=︒，点D是BC的中点，BF⊥AD，垂足为E，BF交AC于点F，连接DF.下列结论正确的是（）A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠3=∠4 D．∠4=∠5【答案】A【解析】【分析】如图，过点C作BC的垂线，交BF的延长线于点G，则CG BC⊥，先根据直角三角形两锐角互余可得BAD CBG∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质推出1G∠=∠，又根据三角形全等的判定定理与性质推出3G∠=∠，由此即可得出答案．【详解】如图，过点C作BC的垂线，交BF的延长线于点G，则CG BC⊥，即90BCG∠=︒,90AB BC ABC=∠=︒45BAC ACB∠∴∠==︒904545GCF BCG ACB∴∠=∠-∠=︒-︒=︒BF AD⊥1190BAD CBG∴∠+∠=∠+∠=︒BAD CBG∴∠=∠在BAD∆和CBG∆中，90BAD CBGAB BCABD BCG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩()BAD CBG ASA∴∆≅∆,1BD CG G∴=∠=∠点D是BC的中点CD BD CG∴==在CDF∆和CGF∆中，45CD CGDCF GCFCF CF=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()CDF CGF SAS∴∆≅∆3G∴∠=∠13∠∠∴=故选：A ．【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了直角三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造两个全等的三角形是解题关键．28．如图，△ABC 是等边三角形，AQ =PQ ，PR ⊥AB 于点R ，PS ⊥AC 于点S ，PR =PS .下列结论：①点P 在∠A 的角平分线上；②AS =AR ；③QP ∥AR ；④△BRP ≌△QSP ．其中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】∵△ABC 是等边三角形，PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，且PR =PS ，∴P 在∠A 的平分线上，故①正确；由①可知，PB =PC ，∠B =∠C ，PS =PR ，∴△BPR ≌△CPS ，∴AS =AR ，故②正确；∵AQ =PQ ，∴∠PQC =2∠PAC =60°=∠BAC ，∴PQ ∥AR ，故③正确；由③得，△PQC 是等边三角形，∴△PQS ≌△PCS ，又由②可知，④△BRP ≌△QSP ，故④也正确，∵①②③④都正确，故选D ．点睛：本题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．29．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（ ）A ．150°B ．180°C ．210°D ．225°【答案】B【解析】【分析】根据SAS 可证得ABC ≌EDC ，可得出BAC DEC ∠∠=，继而可得出答案，再根据邻补角的定义求解.【详解】由题意得：AB ED =，BC DC =，D B 90∠∠==，ABC ∴≌EDC ，BAC DEC ∠∠∴=，12180∠∠+=．故选B ．【点睛】本题考查全等图形的知识，比较简单，解答本题的关键是判断出ABC ≌EDC ．.30．如图，将一个等腰Rt △ABC 对折，使∠A 与∠B 重合，展开后得折痕CD ，再将∠A 折叠，使C 落在AB 上的点F 处，展开后，折痕AE 交CD 于点P ，连接PF 、EF ，下列结论：①tan ∠CAE=2﹣1；②图中共有4对全等三角形；③若将△PEF 沿PF 翻折，则点E 一定落在AB 上；④PC=EC ；⑤S 四边形DFEP =S △APF ．正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】【详解】 ①正确．作EM ∥AB 交AC 于M ．∵CA=CB ，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵∠CAE=∠BAE=12∠CAB=22.5°， ∴∠MEA=∠EAB=22.5°， ∴∠CME=45°=∠CEM ，设CM=CE=a ，则2，∴tan ∠CAE=212CE AC a a==-+，故①正确， ②正确．△CDA ≌△CDB ，△AEC ≌△AEF ，△APC ≌△APF ，△PEC ≌△PEF ，故②正确， ③正确．∵△PEC ≌△PEF ，∴∠PCE=∠PFE=45°，∵∠EFA=∠ACE=90°，∴∠PFA=∠PFE=45°，∴若将△PEF 沿PF 翻折，则点E 一定落在AB 上，故③正确．④正确．∵∠CPE=∠CAE+∠ACP=67.5°，∠CEP=90°﹣∠CAE=67.5°，∴∠CPE=∠CEP ，∴CP=CE ，故④正确，⑤错误．∵△APC ≌△APF ，∴S △APC =S △APF ，假设S △APF =S 四边形DFPE ，则S △APC =S 四边形DFPE ，∴S △ACD =S △AEF ，∵S △ACD =12S △ABC ，S △AEF =S △AEC ≠12S △ABC ， ∴矛盾，假设不成立．故⑤错误． .故选D.。

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DC B A 八年级数学《轴对称》单元测试题选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分)1. 下列几何图形中，是轴对称图形且对称轴条数大于1的有（ ）长方形； ⑵正方形; ⑶圆； ⑷三角形； ⑸线段； ⑹射线； ⑺直线。

A 3个B 4个C 5个D 6个2. 下列说法正确的是（ ） A. 任何一个图形都有对称轴B.两个全等三角形一定关于某直线对称C.若△ABC 与△DEF 成轴对称，则△ABC ≌△DEFD.点A,点B 在直线L 两旁，且AB 与直线L 交于点O,若AO ＝BO ，则点A 与点B 关于直线L 对称 3。

如图所示是一只停泊在平静水面的小船，它的“倒影”应是图中的（ ）4。

在平面直角坐标系中，有点A （2，－1)，点A 关于y 轴的对称点是（ ） A 。

（－2,－1) B 。

（－2，1） C 。

（2,1） D 。

（1，－2） 5。

已知点A 的坐标为（1，4)，则点A 关于x 轴对称的点的纵坐标为（ ） A 。

1 B. －1 C. 4 D 。

－4 6.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（ ）A 。

过顶点的直线B 。

底边上的高C 。

底边的中线D 。

顶角平分线所在的直线. 7。

已知点A （－2，1）与点B 关于直线x ＝1成轴对称，则点B 的坐标为（ ) A 。

轴对称测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列图形中，哪一个是轴对称图形？A. 不规则多边形B. 等腰三角形C. 任意四边形D. 圆形答案：B、D2. 轴对称图形的定义是什么？A. 一个图形关于某条直线对称B. 一个图形关于某点对称C. 一个图形关于某面对称D. 一个图形关于某曲线对称答案：A3. 一个图形关于一条直线对称，那么这条直线被称为什么？A. 对称轴B. 对称中心C. 对称面D. 对称点答案：A4. 下列哪个图形不是轴对称图形？A. 正方形B. 等边三角形C. 半圆形D. 非等腰的梯形答案：D5. 一个图形关于某点对称，那么这个点被称为什么？A. 对称轴B. 对称中心C. 对称面D. 对称点答案：B6. 一个图形关于某面对称，那么这个面被称为什么？A. 对称轴B. 对称中心C. 对称面D. 对称点答案：C7. 轴对称图形的对称轴可以有多少条？A. 0条B. 1条C. 2条D. 无数条答案：D8. 一个图形关于某条直线对称，那么这条直线将图形分成的两部分是：A. 完全相同B. 完全相反C. 部分相同D. 完全不同答案：A9. 轴对称图形的对称轴一定是：A. 直线B. 曲线C. 点D. 面答案：A10. 下列哪个图形不是轴对称图形？A. 正五边形B. 正六边形C. 正七边形D. 正八边形答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个图形关于一条直线对称，那么这条直线被称为______。

答案：对称轴2. 轴对称图形的定义是：一个图形关于某条直线对称，那么这条直线将图形分成的两部分是______。

答案：完全相同3. 一个图形关于某点对称，那么这个点被称为______。

答案：对称中心4. 轴对称图形的对称轴可以有______条。

答案：无数5. 一个图形关于某面对称，那么这个面被称为______。

答案：对称面三、简答题（每题5分，共10分）1. 请说明什么是轴对称图形，并给出一个例子。

轴对称单元测试(二)一、填空题（每题2分，共32分）1．线段轴是对称图形，它有_______条对称轴，正三角形的对称轴有条．2．下面是我们熟悉的四个交通标志图形，请从几何图形的性质考虑，哪一个．．与其他三个．．不同？请指出这个图形，并说明理由．答：这个图形是：（写出序号即可），理由是．3．等腰△ABC中，若∠A=30°，则∠B=________．4．△ABC中，AD⊥BC于D，且BD=CD，若AB=3，则AC=__ __．5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若CD=4，则点D到AB的距离是__________．6．判断下列图形（如图所示）是不是轴对称图形.7．等腰△ABC中，AB=AC=10，∠A=30°，则腰AB上的高等于___________．8．如图，△ABC中，AD垂直平分边BC，且△ABC的周长为24，则AB+BD = ；又若∠CAB=60°，则∠CAD = ．9．如图，△ABC中，EF垂直平分AB，GH垂直平分AC，设EF与GH相交于O，则点O 与边BC的关系如何？请用一句话表示：．B E CDAABC DBHFAECGO第8题图第9题图第10题图10．如图：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =6，AD =5，BC =8，且AB ∥DE ，则△DEC 的周长是____________．11．请在下面这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形.12．等腰梯形的腰长为2，上、下底之和为10且有一底角为60°，则它的两底长分别为____________．13．等腰三角形的周长是25 cm ,一腰上的中线将周长分为3∶2两部分，则此三角形的底边长为__ ___.14．如图，三角形1与_____成轴对称图形，整个图形中共有_____条对称轴．15．如图，将长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 恰好落在如图C 1的位置，若∠DBC =30º，则∠ABC 1=________．16．如图是小明制作的风筝，为了平衡制成了轴对称图形，已知OC 是对称轴，∠A =35º，∠BCO =30º，那么∠AOB =____ ___．二、解答题（共68分）17．（5分）已知点M )5,3(b a -，N )32,9(b a +关于x 轴对称，求ab 的值．18．（5分）已知AB =AC ，BD =DC ，AE 平分∠F AC ，问：AE 与AD 是否垂直？为什么？第14题图 第15题图 第16题图ABCDEF19．（5分）如图，已知：△ABC中，BC＜AC，AB边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，AC=9 cm，△BCE的周长为15 cm，求BC的长．20．（5分）如图所示，已知△ABC和直线MN．求作：△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于直线MN对称．（不要求写作法，只保留作图痕迹）21．（5分）如图，A、B两村在一条小河的的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．.BA .22．（5分）如图，在∆ABC 中，AB =AC ，∠A =92︒，延长AB 到D ，使BD =BC ，连结DC ．求∠D 的度数，∠ACD 的度数．23．（5分）有一本书折了其中一页的一角，如图：测得AD =30cm,BE =20cm ，∠BEG =60°，求折痕EF 的长．24．（8分）如图所示，在△ABC 中，CD 是AB 上的中线，且DA =DB =DC ．（1）已知∠A =︒30，求∠ACB 的度数； （2）已知∠A =︒40，求∠ACB 的度数； （3）已知∠A =︒x ，求∠ACB 的度数； （4）请你根据解题结果归纳出一个结论．25．（6分）如图所示，在等边三角形ABC 中，∠B 、∠C 的平分线交于点O ，OB 和OC 的垂直平分线交BC 于E 、F ，试用你所学的知识说明BE =EF =FC 的道理．ADBCADB CABO E FC26．（7分）已知AB =AC ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC 于E ，ED 的延长线交CA 的延长线于F ，试说明△ADF 是等腰三角形的理由．27．（7分）等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且∠ABP =∠ACQ ，BP =CQ ，问△APQ 是什么形状的三角形？试说明你的结论．28．（5分）如图①是一张画有小方格的等腰直角三角形纸片，将图①按箭头方向折叠成图②，再将图②按箭头方向折叠成图③．（1）请把上述两次折叠的折痕用实线画在图④中．（2）在折叠后的图形③中，沿直线l 剪掉标有A 的部分，把剩余部分展开，将所得到的图形在图⑤中用阴影表示出来．新课标第一网AFBCD EACBPQ轴对称单元测试答案（二）一、填空题1．2，3 2．④，不是轴对称图形3．75度或30度4．3 5．4 6．（1）（3）（6）是轴对称图形，（2）（4）（5）不是轴对称图形7．5 8．12 9．点O到BC两端的距离相等10．1511．正反写的4和6 12．4，6 13．353cm或5cm 14．2、4，2 15．30度16．130度二、解答题17．9 18．垂直19．BC=6cm 20．略21．略22．22度，66度23．20cm 24．（1）90度；（2）90度；（3）90度；（4）三角形中，一边上的中线等于这边的一半，那么这边所对的角等于90度25．略26．略27．是等边三角形28．略新课标第一网。

八年级数学轴对称填空选择单元测试与练习（word解析版）一、八年级数学全等三角形填空题（难）1．在Rt△ABC中，∠BAC=90°AB=AC，分别过点B、C做经过点A的直线的垂线BD、CE，若BD=14cm，CE=3cm，则DE=_____【答案】11cm或17cm【解析】【分析】分两种情形画出图形，利用全等三角形的性质分别求解即可．【详解】解：如图，当D，E在BC的同侧时，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∵BD⊥DE，∴∠BDA＝90°，∴∠BAD＋∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠CAE，∵CE⊥DE，∴∠E＝90°，在△BDA和△AEC中，ABD CAED EAB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDA≌△AEC（AAS），∴DA＝CE＝3，AE＝DB＝14，∴ED＝DA＋AE＝17cm．如图，当D，E在BC的两侧时，同法可证：BD＝CE＋DE，可得DE＝11cm，故答案为：11cm或17cm．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理．2．如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()0,4，点C 的坐标为()4,3，点D 在第二象限，且ABD 与ABC 全等，点D 的坐标是______．【答案】(－4，2)或(－4，3)【解析】【分析】【详解】把点C 向下平移1个单位得到点D （4，2），这时△ABD 与△ABC 全等，分别作点C ，D 关于y 轴的对称点（-4，3）和（-4，2），所得到的△ABD 与△ABC 全等.故答案为(－4，2)或(－4，3).3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 的平分线AD 分对边BD ，DC 的长度比为3：2，且BC ＝20cm ，则点D 到AB 的距离是_____cm ．【答案】8【解析】【分析】根据题意画出图形，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，由角平分线的性质可知DE ＝CD ，根据角平分线AD 分对边BC 为BD ：DC ＝3：2，且BC ＝10cm 即可得出结论．【详解】解：如图所示，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∠C ＝90°，∴DE ＝CD ．∵BD ：DC ＝3：2，且BC ＝10cm ，∴CD ＝20×25＝8（cm ）． 故答案为：8．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．4．如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动_______秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.(2个全等三角形不重合)【答案】0；4；8；12【解析】【分析】此题要分两种情况：①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种情况AC＝BP 或AC＝BN进行计算即可．【详解】解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，∵AC＝2，∴BP＝2，∴CP＝6−2＝4，∴点P的运动时间为4÷1＝4（秒）；②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB≌△NBP，这时BC＝PN＝6，CP＝0，因此时间为0秒；③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，∵AC＝2，∴BP＝2，∴CP＝2＋6＝8，∴点P的运动时间为8÷1＝8（秒）；④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB≌△NBP，∵BC＝6，∴BP＝6，∴CP＝6＋6＝12，点P的运动时间为12÷1＝12（秒），故答案为：0或4或8或12．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5．如图，在△ABC中，AC=AB，∠BAC=90°，D是AC边上一点，连接BD，AF⊥BD于点F，点E在BF上，连接AE，∠EAF=45°，连接CE，AK⊥CE于点K，交DE于点H，∠DEC=30°，HF=32，则EC=______【答案】6【解析】【分析】延长AF交CE于P，证得△ABH≌△APC得出AH=CP，证得△AHF≌△EPF得出AH=EP，得出EC=2AH，解30°的直角三角形AFH求得AH，即可求得EC的长．【详解】如图，延长AF交CE于P，∵∠ABH+∠ADB=90°，∠PAC+∠ADB=90°，∴∠ABH=∠PAC ，∵AK ⊥CE ，AF ⊥BD ，∠EHK=∠AHF ，∴∠HEK=∠FAH ，∵∠FAH+∠AHF=90°，∠HEK+∠EPF=90°，∴∠AHF=∠EPF ，∴∠AHB=∠APC ，在△ABH 与△APC 中，ABE PAC AB ACAHB APC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ABH ≌△APC （ASA ），∴AH=CP ，在△AHF 与△EPF 中，90AHF EPF AFH EFP AF EF ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴△AHF ≌△EPF （AAS ），∴AH=EP ，∠CED=∠HAF ，∴EC=2AH ，∵∠DEC=30°，∴∠HAF=30°， ∴AH=2FH=2×32=3， ∴EC=2AH=6．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．6．如图，Rt △ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 中点．∠MDN ＝90°，∠MDN 绕点D 旋转，DM 、DN 分别与边AB 、AC 交于E 、F 两点．下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE＝CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF＝EF；⑤S四边形AEDF＝14AD2，其中正确结论是_____（填序号）【答案】①②③【解析】【分析】先由ASA证明△AED≌△CFD，得出AE＝CF，DE＝FD；再由全等三角形的性质得到BE+CF＝AB，由勾股定理求得EF与AB的值，通过比较它们的大小来判定④的正误；先得出S四边形AEDF＝S△ADC＝12AD2，从而判定⑤的正误．【详解】解：∵Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点，∴∠C＝∠BAD＝45°，AD＝BD＝CD，∵∠MDN＝90°，∴∠ADE+∠ADF＝∠ADF+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF．在△AED与△CFD中，EAD CAD CDADE CDF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AED≌△CFD（ASA），∴AE＝CF，ED＝FD．故①②正确；又∵△ABD≌△ACD，∴△BDE≌△ADF．故③正确；∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF，ED＝FD，∴BE+CF＝BE+AE＝AB2BD，∵EF2ED，BD＞ED，∴BE+CF＞EF．故④错误；∵△AED≌△CFD，△BDE≌△ADF，∴S四边形AEDF＝S△ADC＝12AD2．故⑤错误．综上所述，正确结论是①②③．故答案是：①②③．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形的面积等知识，综合性较强，有一定难度．7．如图，在ABC中，ACB90,CA CB∠==.点D在AB上，点F在CA的延长线上，连接FD并延长交BC于点E，若∠BED=2∠ADC，AF=2，DF=7，则ABC的面积为______．【答案】25 2【解析】【分析】作CD的垂直平分线交AD于M，交CD与N，根据垂直平分线的性质可得MC=MD，进而可得∠MDC=∠MCD，根据已知及外角性质可得∠AMC=∠BED，由等腰直角三角形的性质可得∠B=∠CAB=45°，根据三角形内角和定理可得∠ACM=∠BDE，进而可证明∠ADF=∠ACM，进而即可证明∠FCD=∠FDC，根据等腰三角形的性质可得CF=DF，根据已知可求出AC的长，根据三角形面积公式即可得答案.【详解】作CD的垂直平分线交AD于M，交CD与N，∵MN是CD的垂直平分线，∴MC=MD，∴∠MDC=∠MCD，∵∠AMC=∠MDC=∠MCD，∴∠AMC=2∠ADC，∵∠BED=2∠ADC，∴∠AMC=∠BED，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠CAB=45°，∵∠ACM=180°-∠CAM-∠AMC，∠BDE=180°-∠B-∠BED，∴∠ACM=∠BDE，∵∠BDE=∠ADF，∴∠ADF=∠ACM，∴∠ADF+∠ADC=∠ACM+∠MCD，即∠FCD=∠FDC，∴FC=FD，∵AF=2，FD=7，∴AC=FC-AF=7-2=5，∴S△ABC=12×5×5=252.故答案为：25 2【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等；等腰三角形的两个底角相等；熟练掌握相关的定理及性质是解题关键.8．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PC＝4，点D是射线OA上的一个动点，则PD的最小值为_____．【答案】2【解析】【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE＝PD，根据平行线的性质可得∠ACP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．【详解】当PD⊥OA时，PD有最小值，作PE⊥OA于E，∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE＝PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵∠BOP＝∠AOP＝15°，∵PC∥OB，∴∠ACP＝∠AOB＝30°，∴在Rt△PCE中，PE＝12PC＝12×4＝2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），∴PD＝PE＝2，故答案是：2．【点睛】此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，难度一般，作辅助线是关键．9．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA＝EB，△ABC外一点D满足BD＝AC，且BE平分∠DBC，则∠D＝__________.【答案】30°【解析】试题解析：（1）连接CE，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，在△BCE与△ACE中，{AC BCAE BECE CE＝＝＝∴△BCE≌△ACE（SSS）∴∠BCE=∠ACE=30°∵BE平分∠DBC，在△BDE 与△BCE 中，{BD BCDBE CBE BE BE∠∠＝＝＝∴△BDE ≌△BCE （SAS ），∴∠BDE=∠BCE=30°．10．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形，∠ADC=30°，若CD=6，BD=6.5，则AD=_________．【答案】2.5【解析】解：以CD 为边向外作出等边三角形DCE ，连接AE ，∵∠ADC =30°，∴∠ADE =90°，在△ACE 与△BCD中，∵AC =BC ，∠ACE =∠BCD ，CE =DC ，∴△ACE ≌△BCD ，∴BD =AE =6.5，∴AD 2+DE 2=AE 2，∴AD 3+62=6.52，∴AD =2.5．故答案为：2.5．二、八年级数学全等三角形选择题（难）11．如图，△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S ，若AQ =PQ ，PR =PS ，下面四个结论：①AS =AR ；②QP ∥AR ；③△BRP ≌△QSP ；④AP 垂直平分RS ．其中正确结论的序号是（ ）．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】C【解析】【分析】如图，连接AP,根据HL判定△APR和△APS全等，即可说明①正确；由△APR和△APS 全等可得∠RAP=∠PAC，再根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，得到∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出OP//AB，即②正确；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS.无法判断Rt△BRP和Rt△QSP是否全等；连接RS，与AP交于点D，先证△ARD≌△ASD，即RD=SD；运用等腰三角形的性质即可判定.【详解】解：如图，连接AP∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS∴△APR≌△APS∴AS=AR，∠RAP=∠PAC即①正确；又∵AQ=PQ∴∠QAP=∠QPA∴∠QPA=∠BAP∴OP//AB，即②正确.在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS.无法判断Rt△BRP和Rt△QSP是否全等,故③错误.如图，连接PS∵△APR≌△APS∴AR=AS，∠RAP=∠PAC∴AP垂直平分RS，即④正确；故答案为C.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键 12．如图，已知等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE ，AB=AC=4，∠BAC=∠EAD=90°，D 是射线BC 上任意一点，连接EC ．下列结论：①△AEC △ADB ；② EC ⊥BC ； ③以A 、C 、D 、E 为顶点的四边形面积为8；④当BD=时，四边形AECB 的周长为10524++;⑤ 当BD=32B 时,ED=5AB ；其中正确的有（ ）A ．5个B ．4个C ．3 个D ．2个【答案】B【解析】解：∵∠BAC =∠EAD =90°，∴∠BAD =∠CAE ，∵AB =AC ，AD =AE ，∴△AEC ≌△ADB ，故①正确； ∵△AEC ≌△ADB ，∴∠ACE =∠ABD =45°，∵∠ACB =45°，∴J IAO ECB =90°，∴EC ⊥BC ，故②正确；∵四边形ADCE 的面积=△ADC 的面积+△ACE 的面积=△ADC 的面积+△ABD 的面积=△ABC 的面积=4×4÷2=8．故③正确；∵BD =2，∴EC =2，DC =BC -BD =422=32，∴DE 2=DC 2+EC 2，=(2222+=20，∴DE =25，∴AD =AE =252=10.∴AECB 的周长=AB +DC +CE +AE =442210+45210+，故④正确；当BD =32BC 时，CD =12BC ，∴DE 221322BC BC ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10BC 5．故⑤错误． 故选B ．点睛：此题是全等三角形的判定与性质的综合运用，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解答此题的关键．13．如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，BD AE ⊥于点D ，DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，连接CD ，给出四个结论:①45ADC ∠=︒;②12BD AE =;③AC CE AB +=;④2AB BC FC -=;其中正确的结论有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】试题解析：如图，过E 作EQ ⊥AB 于Q ，∵∠ACB=90°，AE 平分∠CAB ，∴CE=EQ ，∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴∠CBA=∠CAB=45°，∵EQ ⊥AB ，∴∠EQA=∠EQB=90°，由勾股定理得：AC=AQ ，∴∠QEB=45°=∠CBA ，∴EQ=BQ ，∴AB=AQ+BQ=AC+CE ，∴③正确；作∠ACN=∠BCD ，交AD 于N ， ∵∠CAD=12∠CAB=22.5°=∠BAD ， ∴∠ABD=90°-22.5°=67.5°，∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°=∠CAD ，∴∠DBC=∠CAD ，在△ACN 和△BCD 中， DBC CAD AC BCACN DCB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△ACN ≌△BCD ，∴CN=CD ，AN=BD ，∵∠ACN+∠NCE=90°，∴∠NCB+∠BCD=90°，∴∠CND=∠CDA=45°，∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN ，∴AN=CN ，∴∠NCE=∠AEC=67.5°，∴CN=NE ，∴CD=AN=EN=12AE ，∵AN=BD ，∴BD=12AE ，∴①正确，②正确；过D 作DH ⊥AB 于H ，∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，∠DBA=90°-∠DAB=67.5°，∴∠FCD=∠DBA ，∵AE 平分∠CAB ，DF ⊥AC ，DH ⊥AB ，∴DF=DH ，在△DCF 和△DBH 中90F DHB FCD DBA DF DH∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝＝， ∴△DCF ≌△DBH ，∴BH=CF ，由勾股定理得：AF=AH ， ∴2,2AC AB AC AH BH AC AM CM AC AFCF AFAF AF AM AF AF +++++++====，∴AC+AB=2AF ，AC+AB=2AC+2CF ，AB-AC=2CF ，∵AC=CB ，∴AB-CB=2CF ，∴④正确．故选D14．如图，BD 是∠ABC 的角平分线，AD ⊥AB ，AD=3，BC=5，则△BCD 的面积为（ ）A．7.5 B．8 C．10D．15【答案】A【解析】作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质，由BD是∠ABC的角平分线，AD⊥AB，DE⊥BC，求出DE=DA=3，根据三角形面积公式计算S△BCD=12×BC×DE=7.5，故选：A．15．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点O为斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P，则下列结论：①图中全等三角形有三对；②△ABC的面积等于四边形CDOE面积的倍；③DE2+2CD•CE=2OA2；④AD2+BE2=2OP•OC．正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】结论（1）正确．因为图中全等的三角形有3对；结论（2）错误．由全等三角形的性质可以判断；结论（3）正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断．结论（4）正确．利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理进行判断．【详解】结论（1）正确，理由如下：图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB ，易得△AOC ≌△BOC ．∵OC ⊥AB ，OD ⊥OE ，∴∠AOD=∠COE ．在△AOD 与△COE 中，∴△AOD ≌△COE （ASA ），同理可证：△COD ≌△BOE ．结论（2）错误．理由如下：∵△AOD ≌△COE ，∴S △AOD =S △COE ，∴S 四边形CDOE =S △COD +S △COE =S △COD +S △AOD=S △AOC =S △ABC即△ABC 的面积等于四边形CDOE 的面积的2倍．结论（3）正确，理由如下：∵△AOD ≌△COE ，∴CE=AD ，∴CD+CE=CD+AD=AC=OA ，∴（CD+CE ）2=CD 2+CE 2+2CD•CE=DE 2+2CD•CE=2OA 2；结论（4）正确，理由如下：∵△AOD ≌△COE ，∴AD=CE ；∵△COD ≌△BOE ，∴BE=CD ．在Rt △CDE 中，由勾股定理得：CD 2+CE 2=DE 2，∴AD 2+BE 2=DE 2．∵△AOD ≌△COE ，∴OD=OE ，又∵OD ⊥OE ，∴△DOE 为等腰直角三角形，∴DE 2=2OE 2，∠DEO=45°．∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE ，∴△OEP ∽△OCE ，∴，即OP•OC=OE 2．∴DE 2=2OE 2=2OP•OC ，∴AD 2+BE 2=2OP•OC ．综上所述，正确的结论有3个，故选C ．【点睛】本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要几何知识点．难点在于结论（4）的判断，其中对于“OP•OC”线段乘积的形式，可以寻求相似三角形解决问题．16．如图，在等腰△ABC 中，90ACB ︒∠=，8AC =，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =,连接DE 、DF 、EF 在此运动变化的过程中，下列结论：(1)DEF是等腰直角三角形；(2)四边形CDFE不可能为正方形，（3）DE长度的最小值为4；（4）连接CF，CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分，则CE=13或143其中正确的结论个数是A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】【分析】连接CF，证明△ADF≌△CEF，根据全等三角形的性质判断①，根据正方形的判定定理判断②，根据勾股定理判断③，根据面积判断④．【详解】连接CF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45，CF=AF=FB；∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF(SAS)；∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；∵∠AFD+∠CFD=90∘，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90∘，又∵EF=DF∴△EDF是等腰直角三角形(故(1)正确).当D. E分别为AC、BC中点时,四边形CDFE是正方形(故(2)错误).由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；即当DF⊥AC时,DE最小,此时142DF BC== .∴242DE DF=故(3)错误).∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF∴S四边形CDFE=S△AFC,∵CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分∴S△CEF：S△CDF=1:2 或S△CEF：S△CDF=2:1即S△ADF：S△CDF=1:2 或S△ADF：S△CDF=2:1当S△ADF：S△CDF=1:2时，S△ADF=13S△ACF=111684323⨯⨯⨯=又∵S△ADF=1422AD AD ⨯⨯=∴2AD=16 3∴AD=83(故(4)错误).故选：A.【点睛】本题考查了全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理，掌握全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理是解题的关键.17．如图，与都是等边三角形，，下列结论中，正确的个数是( )①；②；③；④若，且，则．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】利用全等三角形的判定和性质一一判断即可.【详解】解：∵与都是等边三角形∴AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°∴∠DAB+∠BAC=∠EAC +∠BAC即∠DAC=∠EAB∴∴，①正确；∵∴∠ADO=∠ABO∴∠BOD=∠DAB=60°，②正确∵∠BDA=∠CEA=60°，∠ADC≠∠AEB∴∠BDA-∠ADC≠∠CEA-∠AEB∴,③错误 ∵ ∴∠DAC+∠BCA=180° ∵∠DAB=60°，∴∠BCA=180°-∠DAB -∠BAC=30°∵∠ACE=60°∴∠BCE=∠ACE+∠BCA=60°+30°=90°∴④正确 故由①②④三个正确， 故选：C【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．18．如图，点P 是AB 上任意一点，∠ABC=∠ABD ，还应补充一个条件，才能推出△APC ≌△APD ．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC ≌△APD 的是( )A ．BC=BD ；B ．AC=AD ；C ．∠ACB=∠ADB ；D ．∠CAB=∠DAB【答案】B【解析】根据题意，∠ABC=∠ABD ，AB 是公共边，结合选项，逐个验证得出：A 、补充BC=BD ，先证出△BPC ≌△BPD ，后能推出△APC ≌△APD ，故正确；B 、补充AC=AD ，不能推出△APC ≌△APD ，故错误；C 、补充∠ACB=∠ADB ，先证出△ABC ≌△ABD ，后能推出△APC ≌△APD ，故正确； D 、补充∠CAB=∠DAB ，先证出△ABC ≌△ABD ，后能推出△APC ≌△APD ，故正确． 故选B ．点睛：本题考查了三角形全等判定，三角形全等的判定定理：有AAS ，SSS ，ASA ，SAS ．注意SSA 是不能证明三角形全等的，做题时要逐个验证，排除错误的选项．19．在ABC 中，2,72A B ACB ∠=∠∠≠︒，CD 平分ACB ∠，P 为AB 的中点，则下列各式中正确的是（ ）A ．AD BC CD =-B ．AD BC AC =- C ．AD BC AP =-D ．AD BC BD =-【答案】B【解析】【分析】 可在BC 上截取CE=CA ，连接DE ，可得△ACD ≌△ECD ，得DE=AD ，进而再通过线段之间的转化得出线段之间的关系． 【详解】解：∵∠A=2∠B ， ∴∠A ﹥∠B ∴BC ﹥AC∴可在BC 上截取CE=CA ，连接DE(如图)，∵CD 平分ACB ∠，∴∠ACD=∠BCD又∵CD=CD，CE=CA∴△ACD ≌△ECD ，∴AD=ED ，∠CED=∠A=2∠B又 ∠CED=∠B+∠BDE∴∠B=∠BDE∴AD=DE=BE ，∴BC=BE+EC=AD+AC所以AD=BC-AC故选：B若A选项成立，则CD=AC，∴∠A=∠CDA=∠CDE=∠CED=2∠B=2∠EDB∴∠CDA+∠CDE+∠EDB=180°即5∠EDB=180°∴∠EDB=36°∴∠A=72°，∠B=36°∴∠ACB=72°与已知∠ACB≠72°矛盾，故选项A不正确;假设C选项成立，则有AP=AC，作∠BAC的平分线，连接FP，∴△CAF≌△PAF≌△PBF，∴∠CFA=∠AFP=∠PFB=60°∠B=30°，∠ACB=90°当∠ACB=90°时，选项C才成立，∴当∠ACB≠72°时，选项C不一定成立；假设D选项成立，则AD=BC-BD由图可知AD=BA-BD∴AB=BC∴∠A=∠ACB=2∠B∴∠A+∠ACB+∠B=180°∴∠B=36°，∠ACB=72这与已知∠ACB≠72°矛盾，故选项D不成立．故选：B【点睛】本题考查的是考查的是利用角的平分线的性质说明线段之间的关系．,,20．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③PQ∥AE；④DE＝DP；⑤∠AOE＝120°；其中正确结论的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE，故①正确；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ（ASA），所以AP=BQ；故②正确；③根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知③正确；④根据∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，可知PD≠CD，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，由平角的性质可得∠AOE=120°，可知⑤正确；【详解】①∵△ABC和△CDE为等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCB＝60°∴∠ACD＝∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，故①正确；由（1）中的全等得∠CBE＝∠DAC，且BC＝AC，∠ACB＝∠BCQ＝60°∴△CQB≌△CPA（ASA），∴AP＝BQ，故②正确；∵△CQB≌△CPA，∴PC＝PQ，且∠PCQ＝60°∴△PCQ为等边三角形，∴∠PQC＝∠DCE＝60°，∴PQ∥AE，故③正确，∵∠QCP＝60°，∠DPC＝∠BCA+∠PAC＞60°，∴PD≠CD，∴DE≠DP，故④DE＝DP错误；∵BC∥DE，∴∠CBE＝∠BED，∵∠CBE＝∠DAE，∴∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，∴∠AOE＝120°，故⑤正确，故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，综合性较强，题目难度较大．21．如图所示，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC＝15°，②AD∥BC，③PC⊥AB，④四边形ABCD是轴对称图形，其中正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】【分析】根据周角的定义先求出∠BPC 的度数，再根据对称性得到△BPC 为等腰三角形，∠PBC 即可求出；根据题意：有△APD 是等腰直角三角形；△PBC 是等腰三角形；结合轴对称图形的定义与判定，可得四边形ABCD 是轴对称图形，进而可得②③④正确．【详解】根据题意，BPC 36060290150∠=-⨯-= ， BP PC =，()PBC 180150215∠∴=-÷=，①正确；根据题意可得四边形ABCD 是轴对称图形，④正确；∵∠DAB+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°，∴AD//BC ，②正确；∵∠ABC+∠BCP=60°+15°+15°=90°，∴PC ⊥AB ，③正确，所以四个命题都正确，故选D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称图形的定义与判定等，熟练掌握各相关性质与定理是解题的关键.22．已知：如图，在长方形ABCD 中，AB=4，AD=6．延长BC 到点E ，使CE=2，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA 向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，△ABP 和△DCE 全等．A ．1B ．1或3C ．1或7D ．3或7 【答案】C【解析】【分析】 分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得．【详解】解：因为AB=CD ，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS 证得△ABP ≌△DCE ， 由题意得：BP=2t=2，所以t=1，因为AB=CD ，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS 证得△BAP ≌△DCE ，由题意得：AP=16-2t=2，解得t=7．所以，当t 的值为1或7秒时．△ABP 和△DCE 全等．故选C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA ，SAS ，AAS ，SSS ，HL ．23．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD .不能判定ABD CDB ∆≅∆的条件是（ ）A ．AB CD =B ．AD BC = C ．//AD BC D ．A C ∠=∠【答案】B【解析】【分析】根据已知条件，分别添加选项进行排查，即可完成解答；注意BD 是公用边这个条件.【详解】解：A.若添加AB=CD,根据AB ∥CD ，则∠ABD=∠CDB ，依据SAS 可得△ABD ≌△CDB ，故A 选项正确；B.若添加AD=BC,根据AB ∥CD ，则∠ADB=∠CBD ，不能判定△ABD ≌△CDB ，故B 选项错误；C.若添加//AD BC ，则四边形ABCD 是平行四边形，能判定△ABD ≌△CDB ，故C 选项正确；D.若添加∠A=∠C ，根据AB ∥CD ，则∠ABD=∠CDB ，且BD 公用，能判定△ABD ≌△CDB ，故D 选项正确；故选：B.【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边.24．如图所示，点A 、B 分别是∠NOP 、∠MOP 平分线上的点，AB ⊥OP 于点E ，BC ⊥MN 于点C ，AD ⊥MN 于点D ，下列结论错误的是( )A．AD＋BC＝AB B．与∠CBO互余的角有两个C．∠AOB＝90°D．点O是CD的中点【答案】B【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AD=AE，BC=BE，利用角平分线的定义和平角的性质可得到∠AOB的度数，再利用“HL”证明Rt△AOD和Rt△AOE全等，根据全等三角形对应边相等可得OD=OE，同理可得OC=OE，然后求出∠AOB=90°，然后对各选项分析判断即可得解．【详解】∵点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，∴AD=AE，BC=BE．∵AB=AE+BE，∴AB=AD+BC，故A选项结论正确；与∠CBO互余的角有∠COB，∠EOB，∠OAD，∠OAE共4个，故B选项结论错误；∵点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，∴∠AOE=12∠EOD，∠BOC=12∠MOE，∴∠AOB=12(∠EOD+∠MOE)=12×180°=90°，故C选项结论正确；在Rt△AOD和Rt△AOE中，AO AOAD AE=⎧⎨=⎩，∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），∴OD=OE，同理可得OC=OE，∴OC=OD=OE，∴点O是CD的中点，故D选项结论正确．故选B．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，余角的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．25．具备下列条件的两个三角形，可以证明它们全等的是( ).A．一边和这一边上的高对应相等B．两边和第三边上的中线对应相等C．两边和其中一边的对角对应相等D．直角三角形的斜边对应相等【答案】B【解析】【分析】根据判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL分别进行分析．【详解】解：A、一边和这边上的高对应相等，无法得出它们全等，故此选项错误；B 、两边和第三边上的中线对应相等，通过如图所示方式（倍长中线法）可以证明它们全等（△ABC ≌△A ′B ′C ′），故此选项正确.．C 、两边和其中一边的对角对应相等，无法利用ASS 得出它们全等，故此选项错误；D 、直角三角形的斜边对应相等,无法得出它们全等，故此选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．26．如图，在△ABC 中，AB=BC ，90ABC ∠=︒，点D 是BC 的中点，BF ⊥AD ，垂足为E ，BF 交AC 于点F ，连接DF.下列结论正确的是（）A ．∠1=∠3B ．∠2=∠3C ．∠3=∠4D ．∠4=∠5【答案】A【解析】【分析】 如图，过点C 作BC 的垂线，交BF 的延长线于点G ，则CG BC ⊥，先根据直角三角形两锐角互余可得BAD CBG ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质推出1G ∠=∠，又根据三角形全等的判定定理与性质推出3G ∠=∠，由此即可得出答案．【详解】如图，过点C 作BC 的垂线，交BF 的延长线于点G ，则CG BC ⊥，即90BCG ∠=︒ ,90AB BC ABC =∠=︒45BAC ACB ∠∴∠==︒904545GCF BCG ACB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒BF AD ⊥1190BAD CBG ∴∠+∠=∠+∠=︒BAD CBG ∴∠=∠在BAD∆和CBG∆中，90BAD CBGAB BCABD BCG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩()BAD CBG ASA∴∆≅∆,1BD CG G∴=∠=∠点D是BC的中点CD BD CG∴==在CDF∆和CGF∆中，45CD CGDCF GCFCF CF=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()CDF CGF SAS∴∆≅∆3G∴∠=∠13∠∠∴=故选：A．【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了直角三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造两个全等的三角形是解题关键．27．如图，ABC∆中，45ABC∠=，CD AB⊥于D，BE平分ABC∠，且BE AC⊥于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，下列结论正确的有( )个①BF AC=；②12AE BF=；③67.5A∠=；④DGF∆是等腰三角形；⑤ADGE GHCES S=四边形四边形.A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】B【解析】【分析】 只要证明△BDF ≌△CDA ，△BAC 是等腰三角形，∠DGF ＝∠DFG ＝67.5°，即可判断①②③④正确，作GM ⊥BD 于M ，只要证明GH ＜DG 即可判断⑤错误．【详解】∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴∠BDC ＝∠ADC ＝∠AEB ＝90°，∴∠A ＋∠ABE ＝90°，∠ABE ＋∠DFB ＝90°，∴∠A ＝∠DFB ，∵∠ABC ＝45°，∠BDC ＝90°，∴∠DCB ＝90°−45°＝45°＝∠DBC ，∴BD ＝DC ，在△BDF 和△CDA 中BDF CDA A DFBBD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△BDF ≌△CDA （AAS ），∴BF ＝AC ，故①正确．∵∠ABE ＝∠EBC ＝22.5°，BE ⊥AC ，∴∠A ＝∠BCA ＝67.5°，故③正确，∴BA ＝BC ，∵BE ⊥AC ，∴AE ＝EC ＝12AC ＝12BF ，故②正确， ∵BE 平分∠ABC ，∠ABC ＝45°，∴∠ABE ＝∠CBE ＝22.5°，∵∠BDF ＝∠BHG ＝90°，∴∠BGH ＝∠BFD ＝67.5°，∴∠DGF ＝∠DFG ＝67.5°，∴DG ＝DF ，故④正确．作GM ⊥AB 于M ．∵∠GBM ＝∠GBH ，GH ⊥BC ，∴GH ＝GM ＜DG ，∴S △DGB ＞S △GHB ，∵S △ABE ＝S △BCE ，∴S 四边形ADGE ＜S 四边形GHCE ．故⑤错误，∴①②③④正确，【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．28．如图，AD 是ABC 的角平分线，DE AC ⊥；垂足为,//E BF AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分ABF ∠．给出下列三个结论：①DE DF =；②DB DC =；③AD BC ⊥．其中正确的结论共有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】 由BF ∥AC ，AD 是ABC 的角平分线，BC 平分ABF ∠得∠ADB=90︒；利用AD 平分∠CAB 证得△ADC ≌△ADB 即可证得DB=DC ；根据DE AC ⊥证明△CDE ≌△BDF 得到DE DF =.【详解】∵DE AC ⊥,BF ∥AC,∴EF ⊥BF ，∠CAB+∠ABF=180︒，∴∠CED=∠F=90︒，∵AD 是ABC 的角平分线，BC 平分ABF ∠，∴∠DAB+∠DBA=12(∠CAB+∠ABF)=90︒， ∴∠ADB=90︒，即AD BC ⊥，③正确； ∴∠ADC=∠ADB=90︒，∵AD 平分∠CAB,∴∠CAD=∠BAD,∴△ADC≌△ADB,∴DB=DC，②正确；又∵∠CDE=∠BDF，∠CED=∠F，∴△CDE≌△BDF,∴DE=DF，①正确；故选：D.【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定及性质，角平分线的定义.29．如图，AO OM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 ( )A．3.6 B．4 C．4.8 D．PB的长度随B点的运动而变化【答案】B【解析】【分析】作辅助线，首先证明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；进而证明△BPF≌△MPE，即可解决问题．【详解】如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，∴∠BAO=∠NBE，∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，∴AB=BE，BF=BO；在△ABO与△BEN中，BAONBE AOB BNE AB BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ABO ≌△BEN （AAS ），∴BO=NE ，BN=AO ；∵BO=BF ，∴BF=NE ，在△BPF 与△NPE 中，FBP ENP FPB EPN BF NE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△BPF ≌△NPE （AAS ），∴BP=NP=12BN ；而BN=AO ， ∴BP=12AO=12×8=4， 故选B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答．30．已知：如图，ABC ∆、CDE ∆都是等腰三角形，且CA CB =，CD CE =，ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 相交于点O ，点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点.以下4个结论：①AD BE =；②180DOB α∠=-；③CMN ∆是等边三角形；④连OC ，则OC 平分AOE ∠.正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】B【解析】【分析】 ①根据∠ACB=∠DCE 求出∠ACD=∠BCE,证出ACD BCE ≅△△即可得出结论，故可判断；②根据全等求出∠CAD=∠CBE,根据三角形外角定理得∠DOB=∠OBA+∠BAO,通过等角代换能够得到∠DOB=∠CBA+∠BAC,根据三角形内角和定理即可求出∠CBA+∠BAC,即可求出∠DOB ，故可判断；③根据已知条件可求出AM=BN,根据SAS 可求出CAM CBN ≅,推出CM=CN ，∠ACM=∠BCN,然后可求出∠MCN=∠ACB=α,故可判断CMN ∆的形状；④在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，根据ACD BCE ≅△△，可求出∠CEO=∠CDP ,根据SAS 可求出 CEO CDP ≅,可得∠COE=∠CPD,CP=CO,进而得到 ∠COP=∠COE ，故可判断.【详解】①正确，理由如下：∵ACB DCE α∠=∠=,∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,又∵CA=CB,CD=CE,∴ACD BCE ≅△△(SAS),∴AD=BE,故①正确；②正确，理由如下：由①知，ACD BCE ≅△△，∴∠CAD=∠CBE,∵∠DOB 为ABO 的外角,∴∠DOB=∠OBA+∠BAO=∠EBC+∠CBA+∠BAO=∠DAC+∠BAO+∠CBA=∠CBA+∠BAC, ∵∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°,∠ACB=α,∴∠CBA+∠BAC=180°-α,即∠DOB=180°-α,故②正确；③错误，理由如下：∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点,∴AM=12AD,BN= 12BE, 又∵由①知，AD=BE,∴AM=BN,又∵∠CAD=∠CBE,CA=CB,∴CAM CBN ≅(SAS), ∴CM=CN ，∠ACM=∠BCN,∴∠MCN=∠MCB+∠CBN=∠MCB+∠ACM=∠ACB=α,∴MCN △为等腰三角形且∠MCN=α,∴MCN △不是等边三角形，故③错误；④正确，理由如下：如图所示，在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，由①知，ACD BCE ≅△△，∴∠CEO=∠CDP ,又∵CE=CD,EO=DP ,∴CEO CDP ≅(SAS),∴∠COE=∠CPD,CP=CO,∴∠CPO=∠COP ,∴∠COP=∠COE,即OC 平分∠AOE,故④正确；故答案为：B.【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理和外角定理，等边三角形的判定，根据已知条件作出正确的辅助线，找出全等三角形是解题的关键.。

八年级上册数学 轴对称填空选择单元测试卷 （word 版，含解析）一、八年级数学全等三角形填空题（难）1．如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 的长分别为30、40、15，点P 是三条角平分线的交点，将△ABC 分成三个三角形，则APB S ∆︰BPC S ∆︰CPA S ∆等于____．【答案】6：8：3【解析】【分析】由角平分线性质可知，点P 到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB 、BC 、CA 边上的高相等，利用面积公式即可求解.【详解】解：过点P 作PD ⊥BC 于D ，PE ⊥CA 于E ，PF ⊥AB 于F∵P 是三条角平分线的交点∴PD=PE=PF∵AB=30，BC=40，CA=15∴APB S ∆︰BPC S ∆︰CPA S ∆=30∶40∶15=6∶8∶3故答案为6∶8∶3.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法. 角平分线上的点到两边的距离相等. 难度不大，作辅助线是关键.2．如图，10AB =，45A B ∠=∠=︒，32AC BD ==．点E ，F 为线段AB 上两点．现存在以下条件：①4CE DF ==；②AF BE =；③CEB DFA ∠=∠；④5CE DF ==．请在以上条件中选择一个条件，使得ACE △一定．．和BDF 全等，则这个条件可以为________．（请写出所有正确的答案）【答案】②③④【解析】【分析】根据三角形全等的判定定理逐个判断即可.【详解】①如图1，过点C作CM AB⊥，过点D作DN AB⊥32,45A BAC BD∠=∠===︒3CM AM DN BN∴====4CE DF==由勾股定理得：22227,7ME CE CM NF DF DN=-==-=37,37AE AM ME BF BN NF∴=-=-=+=+，即AE BF≠此时，ACE∆和BDF∆不全等②AF BE=AF EF BE EF∴+=+，即AE BF=又452,3AC DA B B∠=∠=︒==则由SAS定理可得，ACE BDF∆≅∆③CEB DFACEB C ADFA D B∠=∠⎧⎪∠=∠+∠⎨⎪∠=∠+∠⎩C AD B∴∠+∠=∠+∠又A B∠=∠C D∴∠=∠32AC BD==则由ASA定理可得，ACE BDF∆≅∆④由（1）知，当5CE DF==时，22224,4ME CE CM NF DF DN-=-=此时，,,CE CA DF BDME AM NF BN>>⎧⎨>>⎩则点E在点M的右侧，点F在点N的左侧又10AM BN ME AM BN NF AB++=++==则点E与点N重合，点F与点M重合，如图2所示因此必有347AE BF==+=由SSS定理可得，ACE BDF∆≅∆故答案为：②③④.【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟记各判定定理是解题关键.3．如图，已知点(,0)A a在x轴正半轴上，点(0,)B b在y轴的正半轴上，ABC∆为等腰直角三角形，D为斜边BC上的中点.若2OD=，则a b+=________.【答案】2【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质，可得AP与BC的关系，根据垂线的性质，可得答案【详解】如图：作CP⊥x轴于点P，由余角的性质，得∠OBA=∠PAC，在Rt△OBA和Rt△PAC中，OBA PACAOB CPABA AC∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，Rt△OBA≌Rt△PAC（AAS），∴AP=OB=b，PC=OA=a．由线段的和差，得OP=OA+AP=a+b，即C点坐标是（a+b，a），由B （0，b ），C （a+b ，a ），D 是BC 的中点，得D （2a b +，2a b +）， ∴OD=22a b +（） ∴22a b +（）=2， ∴a+b=2.故答案为2.【点睛】本题解题主要①利用了等腰直角三角形的性质；②利用了全等三角形的判定与性质；③利用了线段中点的性质.4．如图所示，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C ，AE ＝AF ，结论：①EM ＝FN ；②AF∥EB ；③∠FAN ＝∠EAM ；④△ACN ≌△ABM 其中正确的有 ．【答案】①③④【解析】【分析】由∠E=∠F=90°，∠B=∠C ，AE=AF ，利用“AAS”得到△ABE 与△ACF 全等，根据全等三角形的对应边相等且对应角相等即可得到∠EAB 与∠FAC 相等，AE 与AF 相等，AB 与AC 相等，然后在等式∠EAB=∠FAC 两边都减去∠MAN ，得到∠EAM 与∠FAN 相等，然后再由∠E=∠F=90°，AE=AF ，∠EAM=∠FAN ，利用“ASA”得到△AEM 与△AFN 全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到选项①和③正确；然后再∠C=∠B ，AC=AB ，∠CAN=∠BAM ，利用“ASA”得到△ACN 与△ABM 全等，故选项④正确；若选项②正确，得到∠F 与∠BDN 相等，且都为90°，而∠BDN 不一定为90°，故②错误．【详解】解：在△ABE 和△ACF 中，∠E=∠F=90°，AE=AF ，∠B=∠C ，∴△ABE ≌△ACF ，∴∠EAB=∠FAC ，AE=AF ，AB=AC ，∴∠EAB-∠MAN=∠FAC-∠NAM ，即∠EAM=∠FAN ，在△AEM 和△AFN 中，∠E=∠F=90°，AE=AF ，∠EAM=∠FAN ，∴△AEM ≌△AFN ，∴EM=FN ，∠FAN=∠EAM ，故选项①和③正确；在△ACN 和△ABM 中，∠C=∠B ，AC=AB ，∠CAN=∠BAM （公共角），∴△ACN ≌△ABM ，故选项④正确；若AF ∥EB ，∠F=∠BDN=90°，而∠BDN 不一定为90°，故②错误，则正确的选项有：①③④．故答案为①③④5．如图所示，在平行四边形ABCD 中，2AD AB =，F 是AD 的中点，作CE AB ⊥，垂足E 在线段上，连接EF 、CF ，则下列结论2BCD DCE ①∠=∠；EF CF =②；3DFE AEF ③∠=∠，2BEC CEF SS =④中一定成立的是______ .(把所有正确结论的序号都填在横线上)【答案】②③【解析】分析：由在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ，F 是AD 的中点，易得AF=FD=CD ，继而证得①∠DCF=12∠BCD ；然后延长EF ，交CD 延长线于M ，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF ≌△DMF （ASA ），得出对应线段之间关系，进而得出答案．详解：①∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ，∵在▱ABCD 中，AD=2AB ，∴AF=FD=CD ，∴∠DFC=∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠DFC=∠FCB ，∴∠DCF=∠BCF ，∴∠DCF=12∠BCD ， 即∠BCD=2∠DCF ；故此选项错误；②延长EF ，交CD 延长线于M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A=∠MDF ，∵F 为AD 中点，∴AF=FD ，在△AEF 和△DFM 中，A FDM AF DFAFE DFM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△AEF ≌△DMF （ASA ），∴FE=MF ，∠AEF=∠M ，∵CE ⊥AB ，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF ，∴FC=FM ，故②正确；③设∠FEC=x ，则∠FCE=x ，∴∠DCF=∠DFC=90°-x ，∴∠EFC=180°-2x ，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x ，∵∠AEF=90°-x ，∴∠DFE=3∠AEF ，故此选项正确．④∵EF=FM ，∴S △EFC =S △CFM ，∵MC ＞BE ，∴S △BEC ＜2S △EFC故S △BEC =2S △CEF 错误；综上可知：一定成立的是②③，故答案为②③．点睛：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF ≌△DME 是解题关键．6．如图，90C ∠=︒，10AC =，5BC =，AM AC ⊥，点P 和点Q 从A 点出发，分别在射线AC 和射线AM 上运动，且Q 点运动的速度是P 点运动的速度的2倍，当点P 运动至__________时，ABC △与APQ 全等．【答案】AC 中点或点P 与点C 重合【解析】分析：本题要分情况讨论：①Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP=BC=5cm ，可据此求出P 点的位置．②Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP=AC ，P 、C 重合．详解：根据三角形全等的判定方法HL 可知：①当P 运动到AP BC =的，∵90C QAP ∠=∠=︒，在Rt ABC △和Rt QPA 中，AP BC PQ AB =⎧⎨=⎩， ∴Rt ABC △≌Rt ()QPA HL ，即5AP BC ==，即P 运动到AC 的中点．②当P 运动到与C 点重合时，AP=AC ，在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，AP AC PQ AB =⎧⎨=⎩∴Rt △QAP ≌Rt △BCA （HL ），即AP=AC=10cm ，∴当点P 与点C 重合时，△ABC 才能和△APQ 全等．故答案为：AC 中点或点P 与点C 重合．点睛：本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．7．如图，在△ABC 和△ADC 中，下列论断：①AB ＝AD ；②∠ABC ＝∠ADC ＝90°；③BC ＝DC ．把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，可以写出＿个真命题．【答案】2【解析】根据题意，可得三种命题，由①②⇒③，根据直角三角形全等的判定HL 可证明，是真命题；由①③⇒②，能证明∠ABC=∠ADC ，但是不能得出一定是90°，是假命题；由②③⇒①，根据SAS 可证明两三角形全等，再根据全等三角形的性质可证明，故是真命题.因此可知真命题有2个.故答案为：2.点睛：仔细审题，将其中的两个作为题设，另一个作为结论，可得到三种情况，然后根据全等三角形的判定定理和性质可判断出是否是真命题.8．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的边长分别为5和12，则b 的面积为_________________.【答案】169【解析】解：由于a 、b 、c 都是正方形，所以AC =CD ，∠ACD =90°；∵∠ACB +∠DCE =∠ACB +∠BAC =90°，即∠BAC =∠DCE ，∠ABC =∠CED =90°，AC =CD ，∴△ACB ≌△DCE ，∴AB =CE ，BC =DE ； 在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC 2=AB 2+BC 2=AB 2+DE 2，即S b =S a +S c =22512+=169． 故答案为：169．点睛：此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．9．如图，AD=AB,∠C=∠E,AB=2，AE=8，则DE=_________.【答案】6【解析】根据三角形全等的判定“AAS ”可得△ADC ≌△ABE ，可得AD=AB=2，由AE=8可得DE=AE-AD=6.故答案为：6.点睛：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、SSA 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．10．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，BD ＝CE ，BE ＝CF .若∠A ＝40°，则∠DEF 的度数为____．【答案】70°【解析】由等腰三角形的性质得出∠B=∠C=70°，再根据SAS 证得△BDE ≌△CEF ，得出∠BDE=∠CEF ，运用三角形的外角性质得出∠CEF+∠DEF=∠B+∠BDE ，即可得出∠DEF=∠B=70°. 点睛：此题主要考查了等腰三角形的性质，解题时，利用等腰三角形的性质和三角形全等的判定证得∠BDE=∠CEF ，然后根据三角形外角的性质可求解.二、八年级数学全等三角形选择题（难）11．如图，在▱ABCD 中，AD =2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论中①∠DCF =123,1x x ==-∠BCD ；②EF =CF ；③S △BEC =2S △CEF ；④∠DFE =3∠AEF ．一定成立的是（ ）A．①②B．①③④C．①②③D．①②④【答案】D【解析】①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在?ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=12∠BCD，故此选项正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，∠A＝∠FDMAF＝DF∠AFE＝∠DFM，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FM，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC故S△BEC=2S△CEF错误；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°-x，∴∠EFC=180°-2x，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，∵∠AEF=90°-x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．故正确的有：①②④．故选D.12．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则下列四个结论：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP，其中结论正确的的序号为（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【答案】A【解析】【分析】根据角平分线性质即可推出②，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；没有条件证明△BRP≌△QSP．【详解】试题分析：解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，∴∠SAP=∠RAP，在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2﹣PR2，AS2=AP2﹣PS2，∵AP=AP，PR=PS，∴AR=AS，∴②正确；∵AQ=QP，∴∠QAP=∠QPA，∵∠QAP=∠BAP，∴∠QPA=∠BAP，∴QP∥AR，∴③正确；没有条件可证明△BRP≌△QSP，∴④错误；连接RS，∵PR=PS，∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴点P在∠BAC的角平分线上，∴PA平分∠BAC，∴①正确．故答案为①②③．故选A.点睛：本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．13．如图所示，在Rt ABC∆中，E为斜边AB的中点，ED AB⊥，且:1:7CAD BAD∠∠=，则BAC∠=( )A．70B．45C．60D．48【答案】D【解析】根据线段的垂直平分线，可知∠B=∠BAD，然后根据直角三角形的两锐角互余，可得∠BAC+∠B=90°，设∠CAD=x，则∠BAD=7x，则x+7x+7x=90°，解得x=6°，因此可知∠BAC=∠CDA+∠BAD=6°+42°=48°.故选：D.点睛：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质求角的关系，根据比例关系设出未知数，然后根据角的关系列方程求解是解题关键.14．如右图，在△ABC中，点Q，P分别是边AC，BC上的点，AQ=PQ，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，且PR=PS，下面四个结论：①AP平分∠BAC；②AS=AR；③BP=QP；④QP∥AB．其中一定正确的是( )A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④【答案】C【解析】试题解析：∵PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，且PR=PS，∴点P在∠BAC的平分线上，即AP平分∠BAC，故①正确；∴∠PAR=∠PAQ，∵AQ=PQ，∴∠APQ=∠PAQ，∴∠APQ=∠PAR，QP AB∴，故④正确；在△APR与△APS中,AP AP PR PS=⎧⎨=⎩，(HL)APR APS∴≌，∴AR=AS，故②正确；△BPR和△QSP只能知道PR=PS,∠BRP=∠QSP=90∘，其他条件不容易得到，所以，不一定全等.故③错误.故选C.15．如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分线AP和∠ACB外角的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA=45°；②AF-CG=CA；③DE=DC；④FH=CD+GH；⑤CF=2CD+EG；其中正确的有（）A．①②④B．①②③C．①②④⑤D．①②③⑤【答案】D【解析】试题解析：①利用公式：∠CDA=12∠ABC=45°，①正确；②如图：延长GD与AC交于点P'，由三线合一可知CG=CP'，∵∠ADC=45°，DG⊥CF，∴∠EDA=∠CDA=45°，∴∠ADP=∠ADF，∴△ADP'≌△ADF（ASA），∴AF=AP'=AC+CP'=AC+CG，故②正确；③如图：∵∠EDA=∠CDA，∠CAD=∠EAD，从而△CAD≌△EAD，故DC=DE，③正确；④∵BF⊥CG，GD⊥CF，∴E为△CGF垂心，∴CH⊥GF，且△CDE、△CHF、△GHE均为等腰直角三角形，∴2CD，故④错误；⑤如图：作ME⊥CE交CF于点M，则△CEM为等腰直角三角形，从而CD=DM，CM=2CD，EM=EC，∵∠MFE=∠CGE，∠CEG=∠EMF=135°，∴△EMF≌△CEG（AAS），∴GE=MF，∴CF=CM+MF=2CD+GE，故⑤正确；故选D点睛：本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形垂心的定义和性质、全等三角形的判定与性质等多个知识点，技巧性很强，难度较大，要求学生具有较高的几何素养．对于这一类多个结论的判断型问题，熟悉常见的结论及重要定理是解决问题的关键，比如对第一个结论的判定，若熟悉该模型则可以秒杀．16．如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（）A．1+2B．1+22C．2-2D．2-1【答案】B 【解析】第一次折叠后，等腰三角形的底边长为1，腰长为22；第一次折叠后，等腰三角形的底边长为2，腰长为12，所以周长为112212222++=+.故答案为B.17．已知等边三角形ABC的边长为12，点P为AC上一点，点D在CB的延长线上，且BD=AP，连接PD交AB于点E，PE⊥AB于点F，则线段EF的长为（）A．6 B．5C．4.5 D．与AP的长度有关【答案】A【解析】【分析】作DQ⊥AB，交直线AB的延长线于点Q，连接DE，PQ，根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BDQ，再由AE=BQ，PE=QD且PE∥QD，可知四边形PEDQ是平行四边形，进而可得出EF=12AB，由等边△ABC的边长为12可得出DE=6．【详解】解；如图，作DQ⊥AB，交AB的延长线于点F，连接DE，PQ，又∵PE⊥AB于E，∴∠BQD=∠AEP=90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠DBQ=60°，在△APE和△BDQ中，A DBQAEP BQDAP BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APE≌△BDQ（AAS），∴AE=BQ，PE=QD且PE∥QD，∴四边形PEDQ是平行四边形，∴EF=12EQ，∵EB+AE=BE+BQ=AB，∴EF=12AB，又∵等边△ABC的边长为12，∴EF=6．故选：A.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解此题的关键在于根据题中PE⊥AB作辅助线构成全等的三角形.18．如图，点 D 是等腰直角△ABC 腰 BC 上的中点，点B 、B′ 关于 AD 对称，且BB′ 交AD 于 F，交 AC 于 E，连接 FC 、 AB′，下列说法：① ∠BAD=30°； ② ∠BFC=135°；③ AF=2B′ C；正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】依据点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，可得tan∠BAD=12，即可得到∠BAD≠30°；连接B'D，即可得到∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，进而得出△ABF≌△BCB'，判定△FCB'是等腰直角三角形，即可得到∠CFB'=45°，即∠BFC=135°；由△ABF≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C；依据△AEF与△CEB'不全等，即可得到S△AFE≠S△FCE．【详解】∵点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，∴BD=12BC=12AB，∴tan∠BAD=12，∴∠B AD≠30°，故①错误；如图，连接B'D，∵B、B′关于AD对称，∴AD 垂直平分BB'，∴∠AFB=90°，BD=B'D=CD ，∴∠DBB'=∠BB'D ，∠DCB'=∠DB'C ，∴∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，∴∠AFB=∠BB'C ，又∵∠BAF+∠ABF=90°=∠CBB'+∠ABF ，∴∠BAF=∠CBB'，∴△ABF ≌△BCB'，∴BF=CB'=B'F ，∴△FCB'是等腰直角三角形，∴∠CFB'=45°，即∠BFC=135°，故②正确；由△ABF ≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C ，故③正确；∵AF ＞BF=B'C ，∴△AEF 与△CEB'不全等，∴AE≠CE ，∴S △AFE ≠S △FCE ，故④错误；故选B ．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．19．已知111122,A B C A B C △△的周长相等，现有两个判断：①若21212112,A A B C B A A C ==，则111222A B C A B C △≌△；②若12=A A ∠∠，1122=A C A C ，则111222A B C A B C △≌△，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ）A ．①，②都正确B ．①，②都错误C ．①错误，②正确D ．①正确，②错误 【答案】A【解析】【分析】根据SSS 即可推出△111A B C ≅△222A B C ，判断①正确；根据相似三角形的性质和判定和全等三角形的判定推出即可．【详解】 解：①△111A B C ，△222A B C 的周长相等，1122A B A B =，1122AC A C =，1122B C B C ∴=，∴△111A B C ≅△222()A B C SSS ，∴①正确；②如图，延长11A B 到1D ，使1111B D B C =，，延长22A B 到2D ，使2222B D B C =，∴111111A D A B B C =+，222222A D A B B C =+，∵111122,A B C A B C △△的周长相等，1122=A C A C∴1122A D A D =，在△111A B D 和△222A B D 中1122121122==A D A D A A A C A C =⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴ △111A B D ≅△222A B D （SAS ）∴12=D D ∠∠，∵1111B D B C =，2222B D B C =∴1111=D D C B ∠∠，2222=D D C B ∠∠，又∵1111111=A B C D D C B ∠∠+∠，2222222=A B C D D C B ∠∠+∠，∴1112221==2A B C A B C D ∠∠∠，在△111A B C 和△222A B C 中111222121122===A B C A B C A A A C A C ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∴△111A B C ≅△222A B C （AAS ），∴②正确；综上所述：①，②都正确．故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质，能构造全等三角形、综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，而AAA 和SSA 不能判断两三角形全等．20．已知等边△ABC 中，在射线BA 上有一点D ，连接CD ，并以CD 为边向上作等边△CDE ，连接BE 和AE ，试判断下列结论：①AE=BD ； ②AE 与AB 所夹锐夹角为60°；③当D 在线段AB 或BA 延长线上时，总有∠BDE-∠AED=2∠BDC ；④∠BCD=90°时，CE 2+AD 2=AC 2+DE 2 ，正确的序号有（ ）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】C【解析】【分析】由∠BCD=∠ACD+60°，∠ACE=∠ACD+60°可得∠BCD=∠ACE，利用SAS可证明△BCD≌△ACE，可得AE=BD，①正确；∠CBD=∠CAE=60°，进而可得∠EAD=60°，②正确，当∠BCD=90°时，可得∠ACD=∠ADC=30°，可得AD=AC，即可得CE2+AD2=AC2+DE2，④正确；当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，根据△BCD≌△ACE可得∠AEC=∠BDC，进而可得∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，即可证明∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED，即∠BDE-∠AED=2∠BDC，当点D在AB上时可证明∠BDE-∠AED=120°，③错误，综上即可得答案.【详解】∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，又∵AC=BC，CE=CD，∴△BCD≌△ACE，∴AE=BD，∠CBA=∠CAE=60°，∠AEC=∠BDC，①正确，∴∠BAE=120°，∴∠EAD=60°，②正确，∵∠BCD=90°，∠BCA=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴AC=AD，∵CE=DE，∴CE2+AD2=AC2+DE2，④正确，当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，∵∠AEC=∠BDC，∴∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，∴∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED∴∠BDE-∠AED=2∠BDC，如图，当点D在AB上时，∵△BCD≌△∠ACE，∴∠CAE=∠CBD=60°，∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=120°，∴∠BDE-∠AED=∠DAE=120°，③错误故正确的结论有①②④，故选C.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握21．如图，在△ABC中，AB=AC，高BD，CE交于点O，AO交BC于点F，则图中共有全等三角形（）A．8对B．7对C．6对D．5对【答案】B【解析】【分析】易证△ABC是关于AF对称的图形，其中的小三角形也关于AF对称，共可找出7对三角形.【详解】全等的三角形有：①△AFB≌△AFC；②△CEB≌△BDC；③△AEO≌△ADO；④△EOB≌△DOC；⑤△OBF≌△OFC；⑥△AOB≌△AOC；⑦△AEC≌△ADB证明①△AFB≌△AFC∵AB=AC，CE⊥AB，BD⊥AC又∵1122ABCS AB CE AC BD ==∴CE=BD∴在Rt△BCE和Rt△CBD中BC BCCE BD=⎧⎨=⎩∴△BCE≌△CBD∴BE=CD，∴AE=AD在Rt△AEO和Rt△ADO中AE ADAO AO=⎧⎨=⎩∴△AEO≌△ADO∴∠EOD=∠DOA在△BAF和△CAF中AB ACBAF CAFAF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAF≌△CAF，得证其余全等证明过程类似故选：B【点睛】本题考查全等的证明，解题关键是利用等腰三角形的性质，推导出图形中边的关系，为证全等作准备22．如图，四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的角平分线恰相交于一点P，记△APD、△APB、△BPC、△DPC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则有（）A．1324S S S S+=+B．1234S S S S+=+C．1423S S S S+=+D．13S S=【答案】A【解析】【分析】作辅助线,利用角平分线性质定理,明确8个三角形中面积两两相等即可解题.【详解】四边形ABCD,四个内角平分线交于一点P,即点p到四边形各边距离相等,（角平分线性质定理）,如下图,可将四边形分成8个三角形,面积分别是a、a、b、b、c、c、d、d,则S 1=a+d, S2=a+b, S3=b+c, S4=c+d,∴S1+S3=a+b+c+d= S2+S4故选A【点睛】本题考查了角平分线性质定理,作高线和理解角平分线性质定理是解题关键.23．如图，把ΔABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线上，点O都落在直线MN 上，直线MN∥AB．在ΔABC中，若∠AOB=125°，则∠ACB的度数为（）A．70°B．65°C．60°D．85°【答案】A【解析】【分析】利用平行线间的距离处处相等，可知点O到BC、AC、AB的距离相等，得出O为三条角平分线的交点，根据三角形内角和定理和角平分线的定义即可得出结论．【详解】如图1，过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F．∵MN∥AB，∴OD=OE=OF（平行线间的距离处处相等）．如图2：过点O作OD'⊥BC于D'，作OE'⊥AC于E'，作OF'⊥AB于F'．由题意可知：OD=OD'，OE=OE'，OF=OF'，∴OD'=OE'=OF'，∴图2中的点O是三角形三个内角的平分线的交点．∵∠AOB=125°，∴∠OAB+∠OBA=180°－125°=55°，∴∠CAB+∠CBA=2×55°=110°，∴∠ACB=180°－110°=70°．故选A．【点睛】本题考查了三角形的内心，平行线间的距离处处相等，角平分线定义，解答本题的关键是判断出OD=OE=OF．24．如图，△ABC中，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1=∠2，AD=AB，则下列结论不正确的是A．BF=DF B．∠1=∠EFD C．BF>EF D．FD∥BC【答案】B【解析】【分析】根据余角的性质得到∠C=∠ABE，∠EBC=∠BAC．根据SAS推出△ABF≌△ADF，根据全等三角形的性质得到BF=DF，故A正确；由全等三角形的性质得到∠ABE=∠ADF，等量代换得到∠ADF=∠C，根据平行线的判定得到DF∥BC，故D正确；根据直角三角形的性质得到DF ＞EF，等量代换得到BF＞EF；故C正确；根据平行线的性质得到∠EFD=∠EBC=∠BAC=2∠1，故B错误．【详解】∵AB⊥BC，BE⊥AC，∴∠C+∠BAC=∠ABE+∠BAC=90°，∴∠C=∠ABE．同理：∠EBC=∠BAC．在△ABF与△ADF中，∵12AD ABAF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF≌△ADF，∴BF=DF，故A正确，∵△ABF≌△ADF，∴∠ABE=∠ADF，∴∠ADF=∠C，∴DF∥BC，故D正确；∵∠FED=90°，∴DF＞EF，∴BF＞EF；故C正确；∵DF∥BC，∴∠EFD=∠EBC．∵∠EBC=∠BAC=∠BAC=2∠1，∴∠EFD=2∠1，故B错误．故选B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，证得△ABF≌△ADF是解题的关键．25．下列命题中的假命题是（）A．等边三角形的一个内角的平分线把这个等边三角形分成的两个三角形全等B．等腰三角形底边上的中线把这个等腰三角形分成的两个三角形全等C．等腰直角三角形底边上的高把这个等腰直角三角形分成的两个三角形全等D ．直角三角形斜边上的中线把这个直角三角形分成的两个三角形全等【答案】D【解析】【分析】根据等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质和全等三角形的判定进行判定即可.【详解】解：A 、等边三角形的一个内角的平分线把这个等边三角形分成的两个三角形全等，正确，是真命题；B 、等腰三角形底边上的中线把这个等腰三角形分成的两个三角形全等，正确，是真命题；C 、等腰直角三角形底边上的高把这个等腰直角三角形分成的两个三角形全等，正确，是真命题；D 、直角三角形斜边上的中线把这个直角三角形分成的两个三角形全等，错误，是假命题，故答案为D ．【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质和全等三角形的判定，其中灵活应用所学知识是解答本题的关键.26．如图（1），已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上一点，连接BD ，CD ；如图（2），已知AB AC =，D ，E 为BAC ∠的角平分线上两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图（3），已知AB AC =，D ，E ，F 为BAC ∠的角平分线上三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；……，依此规律，第6个图形中有全等三角形的对数是（ ）A ．21B ．11C ．6D ．42【答案】A【解析】【分析】根据条件可得图1中△ABD ≌△ACD 有1对三角形全等；图2中可证出△ABD ≌△ACD ，△BDE ≌△CDE ，△ABE ≌△ACE 有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第6个图形中全等三角形的对数．【详解】解：∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD=∠CAD．在△ABD与△ACD中，AB ACBAD CADAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ACD．∴图1中有1对三角形全等；同理图2中，△ABE≌△ACE，∴BE=EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD=CD，又DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴图2中有3对三角形全等，3=1+2；同理：图3中有6对三角形全等，6=1+2+3；∴第6个图形中有全等三角形的对数是1+2+3+4+5+6=21.故选：A．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．27．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出下列四个结论：①△APE≌△CPF；②AE=CF；③△EAF是等腰直角三角形；④S△ABC=2S四边形AEPF，上述结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】利用“角边角”证明△APE和△CPF全等，根据全等三角形的可得AE=CF，再根据等腰直角三角形的定义得到△EFP是等腰直角三角形，根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的面积等于△ABC的面积的一半．【详解】∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，∴AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，∴∠APF+∠CPF=90°，∵∠EPF是直角，∴∠APF+∠APE=90°，∴∠APE=∠CPF，在△APE和△CPF中，45APE CPFAP PCEAP C∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝，∴△APE≌△CPF（ASA），∴AE=CF，故①②正确；∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE，∴△EFP是等腰直角三角形，故③错误；∵△APE≌△CPF，∴S△APE=S△CPF，∴四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=12S△ABC．故④正确，故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，从而得到△APE和△CPF全等是解题的关键，也是本题的突破点．28．如图，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE⊥AC于B，且DC=EC．若BE=7，AB=3，则AD 的长为（）A．3 B．5 C．4 D．不确定【答案】C【解析】根据同角的余角相等求出∠ACD=∠E，再利用“角角边”证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形对应边相等可得AD=BC，AC=BE=7，然后求解BC=AC-AB=7-3=4．故选：C．点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．29．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，AB上一点D，且AD＝BC，过点D作DE∥BC且DE＝AB，连接EC，则∠DCE的度数为（）A ．80°B ．70°C ．60°D ．45°【答案】B【解析】【分析】 连接AE ．根据ASA 可证△ADE ≌△CBA ，根据全等三角形的性质可得AE=AC ，∠AED=∠BAC=20°，根据等边三角形的判定可得△ACE 是等边三角形，根据等腰三角形的判定可得△DCE 是等腰三角形，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可求解．【详解】如图所示，连接AE ．∵AB=DE ，AD=BC∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，可得AE=DE∵AB=AC ，∠BAC=20°，∴∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°，在△ADE 与△CBA 中，DAE ACB AD BCADE B ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ADE ≌△CBA （ASA ），∴AE=AC ，∠AED=∠BAC=20°，∵∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°，∴△ACE 是等边三角形，∴CE=AC=AE=DE ，∠AEC=∠ACE=60°，∴△DCE 是等腰三角形，∴∠CDE=∠DCE ，∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°，∴∠DCE=∠CDE=（180-40°）÷2=70°．故选B．【点睛】考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行线的性质，综合性较强，有一定的难度．30．如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是（）A．PD=DQ B．DE=12AC C．AE=12CQ D．PQ⊥AB【答案】D【解析】过P作PF∥CQ交AC于F，∴∠FPD=∠Q，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ACB=60°，∴∠A=∠AFP=60°，∴AP=PF，∵PA=CQ，∴PF=CQ，在△PFD与△DCQ中，FPD QPDE CDQPF CQ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PFD≌△QCD，∴PD=DQ，DF=CD，∴A选项正确，∵AE=EF，∴DE=12AC，∴B选项正确，∵PE⊥AC，∠A=60°，∴AE=12AP=12CQ，∴C选项正确，故选D．。

八年级数学上册轴对称填空选择单元测试题（Word版含解析）一、八年级数学全等三角形填空题（难）1．在Rt△ABC中，∠BAC=90°AB=AC，分别过点B、C做经过点A的直线的垂线BD、CE，若BD=14cm，CE=3cm，则DE=_____【答案】11cm或17cm【解析】【分析】分两种情形画出图形，利用全等三角形的性质分别求解即可．【详解】解：如图，当D，E在BC的同侧时，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∵BD⊥DE，∴∠BDA＝90°，∴∠BAD＋∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠CAE，∵CE⊥DE，∴∠E＝90°，在△BDA和△AEC中，ABD CAED EAB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDA≌△AEC（AAS），∴DA＝CE＝3，AE＝DB＝14，∴ED＝DA＋AE＝17cm．如图，当D，E在BC的两侧时，同法可证：BD＝CE＋DE，可得DE＝11cm，故答案为：11cm或17cm．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理．2．如图，ABC∆中，90ACB∠=︒，//AC BD，BC BD=，在AB上截取BE，使BE BD=，过点B作AB的垂线，交CD于点F，连接DE，交BC于点H，交BF于点G，7,4BC BG==，则AB=____________.【答案】658【解析】【分析】过点D作DM⊥BD，与BF延长线交于点M，先证明△BHE≌△BGD得到∠EHB=∠DGB，再由平行和对顶角相等得到∠MDG=∠MGD，即MD=MG，在△△BDM中利用勾股定理算出MG的长度，得到BM，再证明△ABC≌△MBD，从而得出BM=AB即可.【详解】解：∵AC∥BD，∠ACB=90°，∴∠CBD=90°，即∠1+∠2=90°，又∵BF⊥AB，∴∠ABF=90°，即∠8+∠2=90°，∵BE=BD，∴∠8=∠1，在△BHE和△BGD中，8143BE BD∠=∠∠=∠⎧⎪=⎨⎪⎩，∴△BHE≌△BGD（ASA），∴∠EHB=∠DGB∴∠5=∠6，∠6=∠7，∵MD⊥BD∴∠BDM=90°，∴BC∥MD，∴∠5=∠MDG，∴∠7=∠MDG∴MG=MD ，∵BC=7，BG=4，设MG=x ，在△BDM 中，BD 2+MD 2=BM 2，即()2227=4x x ++，解得x=338， 在△ABC 和△MBD 中=8=1BC B ACB MDB D∠∠∠∠⎧⎪=⎨⎪⎩, ∴△ABC ≌△MBD （ASA ）AB=BM=BG+MG=4+338=658. 故答案为：658.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，适当添加辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求出待求的线段，难度中等.3．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为48和36，求△EDF 的面积________.【答案】6【解析】【分析】作DM=DE 交AC 于M ，作DN ⊥AC ，利用角平分线的性质得到DN=DF ，将三角形EDF 的面积转化为三角形DNM 的面积来求．【详解】作DM=DE 交AC 于M ，作DN ⊥AC ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，∴DF=DN ，∵DE=DG ，∴DG=DM，∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL ），∵DG=DM ， DN ⊥AC ，∴MN=NG ，∴△DMN ≌△DNG ，∵△ADG 和△AED 的面积分别为48和36，∴S △MDG =S △ADG -S △ADM =48-36=12，∴S △DEF =12S △MDG =12⨯12=6，故答案为：6【点睛】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求是解题关键．4．如图，ABC ∆中，090,,102ACB AC BC AB ∠===，点G 为AC 中点，连接BG ，CE BG ⊥于F ，交AB 于E ，连接GE ，点H 为AB 中点，连接FH ，以下结论：①ACE ABG ∠=∠；②5CF =；③AGE CGB ∠=∠；④FH 平分BFE ∠。

（轴对称）一、选择题（每小题3%，共30%）1。

下面四组图形中，右边与左边成轴对称的是（ ）A. B 。

C 。

D 。

2。

下列图形中一定有4条对称轴的是（ ）A 。

长方形 B.正方形 C.等边三角形 D 。

等腰直角三角形 3。

下列图形:①两个点；②线段；③角;④长方形；⑤两条相交直线；⑥三角形,其中一定是轴对称图形的有（ ）A.5个B.3个 C 。

4个 D.6个 4.如图1:射线BA,CA 相交于点A,连接BC ，已知AB=AC ，∠B=400， 则∠CAE 的度数为( )A 。

400 B.600 C 。

800 D.10005.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴有（ ）A 。

1条B 。

2条 C.3条 D.1条或3条 图1 6。

如图2:在△ABC 中，DE 垂直平分AB,AE 平分∠BAC,若∠C=900，则∠B 的度数为（ ) A 。

30B.20C 。

40D 。

25图27。

底和腰不等的等腰三角形中，它的角平分线、中线、高共有线段（ ） A 。

9条 B 。

6条 C.7条 D.3条 8。

如图3:在△ABC 中,AB=AC,∠A=360,BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB,相交于点F ，则图中等腰三角形共有（ ) A 。

7个 B 。

8个 C 。

6个 D 。

9个图39。

如图4：如果直线m 是多边形ABCDE 的对称轴，其中∠A=1300， ∠B=1000,则∠BCD 的度数为（ ) A 。

700B.800C.600D.90010。

等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，则顶角的度数为（ ) 图4BCAE B C A E DAB C D E FA BCDEmA.600B.1200C.600或1500D.600或1200二、填空题(每小题3%，共15％)11.从镜子中看到背后墙上电子钟的示意数为 ，这时的实际时间为______。

12。

在△ABC 中,AB=AC,AD ⊥BC 于D ，由以上两个条件 可得_________________.(写出一个结论即可）13.如图5：在△ABC 中, ∠A=900,BD 平分∠ABC,交AC于点D,已知AD=4。

轴对称测试题及答案初二一、选择题（每题3分，共30分）1. 轴对称图形的定义是什么？A. 能被一条直线分成两个完全相同的图形B. 能被一个点分成两个完全相同的图形C. 能被一个面分成两个完全相同的图形D. 能被一条曲线分成两个完全相同的图形答案：A2. 下列哪个图形不是轴对称图形？A. 正方形B. 等边三角形C. 菱形D. 圆答案：D3. 轴对称图形的对称轴是什么？A. 任意一条直线B. 任意一条曲线C. 经过图形中心的直线D. 经过图形中心的曲线答案：C4. 一个图形关于某条直线对称，那么这条直线是该图形的什么？A. 对称轴B. 对称中心C. 对称点D. 对称线段答案：A5. 一个图形关于某点对称，那么这个点是该图形的什么？A. 对称轴B. 对称中心C. 对称点D. 对称线段答案：B6. 两个图形关于某条直线对称，那么这条直线是两个图形的什么？A. 对称轴B. 对称中心C. 对称点D. 对称线段答案：A7. 两个图形关于某点对称，那么这个点是两个图形的什么？A. 对称轴B. 对称中心C. 对称点D. 对称线段答案：B8. 一个图形的对称轴有几条？A. 一条B. 两条C. 无数条D. 没有答案：C9. 一个图形的对称中心有几个？A. 一个B. 两个C. 无数个D. 没有答案：A10. 一个图形的对称点有多少个？A. 一个B. 两个C. 无数个D. 没有答案：C二、填空题（每题3分，共30分）1. 轴对称图形的对称轴是________。

答案：经过图形中心的直线2. 一个图形的对称中心是________。

答案：图形上所有对称点的集合3. 一个图形的对称点是________。

答案：关于对称轴或对称中心对称的点4. 一个图形的对称轴可以是________。

答案：直线或曲线5. 一个图形的对称中心可以是________。

答案：点或线段6. 一个图形的对称点可以是________。

答案：图形上的任意点7. 一个图形的对称轴数量可以是________。

轴对称填空选择检测题（WORD 版含答案）一、八年级数学全等三角形填空题（难）1．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD ⊥AC 于D ，下列四个结论：①EF =BE +CF ；②∠BOC =90°+12∠A ； ③点O 到△ABC 各边的距离相等；④设OD =m ，AE +AF =n ，则AEF S mn ∆=．其中正确的结论是____．（填序号）【答案】①②③【解析】【分析】由在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，根据角平分线的定义与三角形的内角和定理，即可求出②∠BOC =90°+12∠A 正确；由平行线的性质和角平分线的定义可得△BEO 和△CFO 是等腰三角形可得①EF =BE +CF 正确；由角平分线的性质得出点O 到△ABC 各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形的面积求法，设OD=m ，AE+AF=n,则△AEF 的面积=12mn ，④错误. 【详解】在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC=12∠ABC ，∠OCB=12∠ACB ，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠OBC+∠OCB=90°-12∠A ， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=90°，故②∠BOC =90°+12∠A 正确； 在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC=∠EOB ，∠OCB=∠OCF ，∵EF ∥BC ，∴∠OBC=∠EOB ，∠OCB=∠FOC ，∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF ，∴BE=OE,CF=OF,∴EF=OE+OF=BE+CF，即①EF=BE+CF正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于点N，连接AO，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON=OD=OM=m，即③点O到△ABC各边的距离相等正确；∴S△AEF=S△AOE+ S△AOF=12AE·OM+12AF·OD=12OD·（AE+AF）=12mn，故④错误；故选①②③【点睛】此题主要考查角平分线的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质.2．如图，P为等边△ABC内一点，∠APC=150°，且∠APD=30°，AP=6，CP=3，DP=7，则BD的长为______.【答案】34【解析】【分析】将△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CEB，连接EP，由全等三角形的性质可得CE=CP，∠ECB=∠PCA，∠CEB=∠CPA=150°，BE=AP=6，结合等边三角形的性质可得出∠ECP=60°，进而证明△ECP为等边三角形，由等边△ECP的性质进而证明D、P、E三点共线以及∠DEB=90°，最后利用勾股定理求出BD的长度即可.【详解】将△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CEB，连接EP，∴CE=CP，∠ECB=∠PCA，∠CEB=∠CPA=150°，BE=AP=6，∵等边△ABC，∴∠ACP+∠PCB=60°，∴∠ECB+∠PCB=60°,即∠ECP=60°，∴△ECP为等边三角形，∴∠CPE=∠CEP=60°，PE=6，∴∠DEB=90°，∵∠APC=150°，∠APD=30°，∴∠DPC=120°，∴∠DPE=180°，即D、P、E三点共线，∴ED=3+7=10，∴BD=22=234.DE BE故答案为234.【点睛】本题主要考查全等三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质以及三点共线的判定，运用旋转构造全等三角形是解题的关键.3．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C(1，2)、A(－2，0)，则点B的坐标是__________.【答案】(3，－1)【解析】分析：过C和B分别作CD⊥OD于D，BE⊥CD于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．详解：过C和B分别作CD⊥OD于D，BE⊥CD于E，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°,∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB=90°；∠CAD=∠BCE，AC=BC，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴DC=BE，AD=CE，∵点C的坐标为(1,2),点A的坐标为(−2,0)，∴AD=CE=3，OD=1，BE=CD=2，∴则B点的坐标是(3,−1).故答案为(3,−1).点睛：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题关键在于结合坐标、图形性质和已经条件.4．如图，已知点(,0)A a在x轴正半轴上，点(0,)B b在y轴的正半轴上，ABC∆为等腰直角三角形，D为斜边BC上的中点.若2OD=，则a b+=________.【答案】2【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质，可得AP与BC的关系，根据垂线的性质，可得答案【详解】如图：作CP⊥x轴于点P，由余角的性质，得∠OBA=∠PAC，在Rt△OBA和Rt△PAC中，OBA PACAOB CPABA AC∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，Rt △OBA ≌Rt △PAC （AAS ），∴AP=OB=b ，PC=OA=a ．由线段的和差，得OP=OA+AP=a+b ，即C 点坐标是（a+b ，a ），由B （0，b ），C （a+b ，a ），D 是BC 的中点，得D （2a b +，2a b +）， ∴OD=22a b +（） ∴2a b +（）=2， ∴a+b=2.故答案为2.【点睛】本题解题主要①利用了等腰直角三角形的性质；②利用了全等三角形的判定与性质；③利用了线段中点的性质.5．如图所示，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C ，AE ＝AF ，结论：①EM ＝FN ；②AF∥EB ；③∠FAN ＝∠EAM ；④△ACN ≌△ABM 其中正确的有 ．【答案】①③④【解析】【分析】由∠E=∠F=90°，∠B=∠C ，AE=AF ，利用“AAS”得到△ABE 与△ACF 全等，根据全等三角形的对应边相等且对应角相等即可得到∠EAB 与∠FAC 相等，AE 与AF 相等，AB 与AC 相等，然后在等式∠EAB=∠FAC 两边都减去∠MAN ，得到∠EAM 与∠FAN 相等，然后再由∠E=∠F=90°，AE=AF ，∠EAM=∠FAN ，利用“ASA”得到△AEM 与△AFN 全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到选项①和③正确；然后再∠C=∠B ，AC=AB ，∠CAN=∠BAM ，利用“ASA”得到△ACN 与△ABM 全等，故选项④正确；若选项②正确，得到∠F 与∠BDN 相等，且都为90°，而∠BDN 不一定为90°，故②错误．【详解】解：在△ABE 和△ACF 中，∠E=∠F=90°，AE=AF ，∠B=∠C ，∴△ABE ≌△ACF ，∴∠EAB=∠FAC ，AE=AF ，AB=AC ，∴∠EAB-∠MAN=∠FAC-∠NAM ，即∠EAM=∠FAN ，在△AEM和△AFN中，∠E=∠F=90°，AE=AF，∠EAM=∠FAN，∴△AEM≌△AFN，∴EM=FN，∠FAN=∠EAM，故选项①和③正确；在△ACN和△ABM中，∠C=∠B，AC=AB，∠CAN=∠BAM（公共角），∴△ACN≌△ABM，故选项④正确；若AF∥EB，∠F=∠BDN=90°，而∠BDN不一定为90°，故②错误，则正确的选项有：①③④．故答案为①③④6．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则AC的长是_________；【答案】217【解析】【分析】首先作AD⊥l3于D,作CE⊥l3于E,再证明△ABD≌△BCE，因此可得BE=AD=3，再结合勾股定理可得AC的长.【详解】作AD⊥l3于D,作CE⊥l3于E,∵∠ABC=90°,∴∠ABD+∠CBE=90°,又∠DAB+∠ABD=90°,∴∠BAD=∠CBE,又AB=BC,∠ADB=∠BEC.∴△ABD≌△BCE,∴BE=AD=3,在Rt△BCE中,根据勾股定理,得34在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AC=22342217+=⨯=AB CB故答案为217【点睛】本题主要考查直角三角形的综合问题，关键在于证明三角形的全等，这类题目是固定的解法，一定要熟练掌握.7．如图，AB＝BC且AB⊥BC，点P为线段BC上一点，PA⊥PD且PA＝PD，若∠A＝22°，则∠D的度数为_________．【答案】23°【解析】解：过D作DE⊥PC于E．∵PA⊥PD，∴∠APB+∠DPE=90°．∵AB⊥BC，∴∠A+∠APB=90°，∴∠A=∠DPE=22°．在△ABP和△PED中，∵∠A=∠DPE，∠B=∠E=90°，PA＝PD，∴△ABP≌△PED，∴AB=PE，BP=DE．∵AB=BC，∴BC=PE，∴BP=CE．∵BP=DE，∴CE=DE，∴∠DCE=45°，∴∠PDC=∠DCE－∠DPC=45°－22°=2 3°．故答案为：23°．8．如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝2，CO＝3，则两平行线间AB、CD的距离等于________．【答案】4【解析】试题解析：如图，过点O作MN，MN⊥AB于M，交CD于N，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE=2，∴OM=OE=2，∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，∴ON=OE=2，∴MN=OM+ON=4，即AB与CD之间的距离是4．点睛：要明确：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等，②从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，③平行线间的距离处处相等．9．如图，在△ABC中，AB=AC＝10，BC＝12，AD是角平分线，P、Q分别是AD、AB边上的动点，则BP＋PQ的最小值为_______．【答案】9.6【解析】∵AB=AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∴B点，C点关于AD对称，如图，过C作CQ⊥AB于Q，交AD于P，则CQ=BP+PQ的最小值，根据勾股定理得，AD=8，利用等面积法得：AB⋅CQ=BC⋅AD，∴CQ=BC ADAB⋅=12810⨯=9.6故答案为：9.6.点睛：此题是轴对称-最短路径问题，主要考查了角平分线的性质，对称的性质，勾股定理，等面积法，用等面积法求出CQ 是解本题的关键.10．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形，∠ADC=30°，若CD=6，BD=6.5，则AD=_________．【答案】2.5【解析】解：以CD 为边向外作出等边三角形DCE ，连接AE ，∵∠ADC =30°，∴∠ADE =90°，在△ACE 与△BCD中，∵AC =BC ，∠ACE =∠BCD ，CE =DC ，∴△ACE ≌△BCD ，∴BD =AE =6.5，∴AD 2+DE 2=AE 2，∴AD 3+62=6.52，∴AD =2.5．故答案为：2.5．二、八年级数学全等三角形选择题（难）11．如图，在等腰△ABC 中，90ACB ︒∠=，8AC =，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =,连接DE 、DF 、EF 在此运动变化的过程中，下列结论：(1)DEF 是等腰直角三角形；(2)四边形CDFE 不可能为正方形，（3）DE 长度的最小值为4；（4）连接CF ，CF 恰好把四边形CDFE 的面积分成1：2两部分，则CE =13或143其中正确的结论个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】【分析】连接CF，证明△ADF≌△CEF，根据全等三角形的性质判断①，根据正方形的判定定理判断②，根据勾股定理判断③，根据面积判断④．【详解】连接CF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45，CF=AF=FB；∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF(SAS)；∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；∵∠AFD+∠CFD=90∘，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90∘，又∵EF=DF∴△EDF是等腰直角三角形(故(1)正确).当D. E分别为AC、BC中点时,四边形CDFE是正方形(故(2)错误).由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；即当DF⊥AC时,DE最小,此时142DF BC== .∴242DE DF=故(3)错误).∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF∴S四边形CDFE=S△AFC,∵CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分∴S△CEF：S△CDF=1:2 或S△CEF：S△CDF=2:1即S△ADF：S△CDF=1:2 或S△ADF：S△CDF=2:1当S△ADF：S△CDF=1:2时，S△ADF=13S△ACF=111684323⨯⨯⨯=又∵S△ADF=1422AD AD ⨯⨯=∴2AD=16 3∴AD=83(故(4)错误).【点睛】本题考查了全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理，掌握全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理是解题的关键.12．在△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 的中点，ED ⊥AB,∠DAE=∠CAE ，则 ∠CAB ＝（ ）A ．30°B ．60°C ．80 °D ．50°【答案】B【解析】 试题解析：∵D 为AB 的中点，ED ⊥AB ，∴DE 为线段AB 的垂直平分线，∴AE =BE ，∴∠DAE =∠DBE ，∴∠DAE =∠DBE =∠CAE ，在Rt △ABC 中，∵∠CAB +∠DBE =90°，∴∠CAE +∠DAE +∠DBE =90°，∴3∠DBE =90°，∴∠DBE =30°，∴∠CAB =90°-∠DBE =90°-30°=60°．故选B ．13．如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，BD AE ⊥于点D ，DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，连接CD ，给出四个结论:①45ADC ∠=︒;②12BD AE =;③AC CE AB +=;④2AB BC FC -=;其中正确的结论有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D试题解析：如图，过E 作EQ ⊥AB 于Q ，∵∠ACB=90°，AE 平分∠CAB ，∴CE=EQ ，∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴∠CBA=∠CAB=45°，∵EQ ⊥AB ，∴∠EQA=∠EQB=90°，由勾股定理得：AC=AQ ，∴∠QEB=45°=∠CBA ，∴EQ=BQ ，∴AB=AQ+BQ=AC+CE ，∴③正确；作∠ACN=∠BCD ，交AD 于N ，∵∠CAD=12∠CAB=22.5°=∠BAD ， ∴∠ABD=90°-22.5°=67.5°，∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°=∠CAD ，∴∠DBC=∠CAD ，在△ACN 和△BCD 中， DBC CAD AC BCACN DCB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ACN ≌△BCD ，∴CN=CD ，AN=BD ，∵∠ACN+∠NCE=90°，∴∠NCB+∠BCD=90°，∴∠CND=∠CDA=45°，∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN ，∴AN=CN ，∴∠NCE=∠AEC=67.5°，∴CN=NE ，∴CD=AN=EN=12AE ， ∵AN=BD ，∴BD=12AE ， ∴①正确，②正确；过D 作DH ⊥AB 于H ，∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，∠DBA=90°-∠DAB=67.5°，∴∠FCD=∠DBA ，∵AE 平分∠CAB ，DF ⊥AC ，DH ⊥AB ，∴DF=DH ，在△DCF 和△DBH 中90F DHB FCD DBA DF DH ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝＝， ∴△DCF ≌△DBH ，∴BH=CF ，由勾股定理得：AF=AH ， ∴2,2AC AB AC AH BH AC AM CM AC AF CF AF AF AF AM AF AF+++++++====， ∴AC+AB=2AF ，AC+AB=2AC+2CF ，AB-AC=2CF ，∵AC=CB ，∴AB-CB=2CF ， ∴④正确．故选D14．如图，ABC △中，60BAC ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线交于E ，D 是AE 延长线上一点，且120BDC ∠=︒．下列结论：①120BEC ∠=︒；②DB DE =；③2BDE BCE ∠=∠．其中所有正确结论的序号有（ ）．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【解析】 分析：根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB ，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB ，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D 作DF ⊥AB 于F ，DG ⊥AC 的延长线于G ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG ，再求出∠BDF=∠CDG ，然后利用“角边角”证明△BDF 和△CDG 全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD ，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB ，根据等角对等边可得BD=DE ，判断②正确，再求出B ，C ，E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE ，判断③正确．详解：∵60BAC ∠=︒，∴18060120ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒，∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，∴12EBC ABC ∠=∠，12ECB ACB ∠=∠， ∴11()1206022EBC ECB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∴180()18060120BEC EBC ECB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒， 故①正确．如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，DG AC ⊥的延长线于G ，∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，∴AD 为BAC ∠的平分线，∴DF DG =，∴36090260120FDG ∠=︒-︒⨯-︒=︒，又∵120BDC ∠=︒，∴120BDF CDF ∠+∠=︒，120CDG CDF ∠+∠=︒．∴BDF CDG ∠=∠，∵在BDF 和CDG △中，90BFD CGD DF DGBDF CDG ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴BDF ≌()CDG ASA ，∴DB CD =， ∴1(180120)302DBC ∠=︒-︒=︒， ∴30DBC DBC CBE CBE ∠=∠+∠=︒+∠，∵BE 平分ABC ∠，AE 平分BAC ∠，∴ABE CBE ∠=∠，1302BAE BAC ∠=∠=︒， 根据三角形的外角性质， 30DEB ABE BAE ABE ∠=∠+∠=∠+︒，∴DEB DBE ∠=∠，∴DB DE =，故②正确．∵DB DE DC ==，∴B 、C 、E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，∴2BDE BCE ∠=∠，故③正确，综上所述，正确结论有①②③，故选：D ．点睛：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，圆内接四边形的判定，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质，综合性较强，难度较大，特别是③的证明．15．如图，点 D 是等腰直角 △ABC 腰 BC 上的中点，点B 、B′ 关于 AD 对称，且 BB′ 交AD 于 F ，交 AC 于 E ，连接 FC 、 AB′，下列说法：① ∠BAD=30°； ② ∠BFC=135°；③ AF=2B′ C ；正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】依据点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，可得tan∠BAD=12，即可得到∠BAD≠30°；连接B'D，即可得到∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，进而得出△ABF≌△BCB'，判定△FCB'是等腰直角三角形，即可得到∠CFB'=45°，即∠BFC=135°；由△ABF≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C；依据△AEF与△CEB'不全等，即可得到S△AFE≠S△FCE．【详解】∵点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，∴BD=12BC=12AB，∴tan∠BAD=12，∴∠BAD≠30°，故①错误；如图，连接B'D，∵B、B′关于AD对称，∴AD垂直平分BB'，∴∠AFB=90°，BD=B'D=CD，∴∠DBB'=∠BB'D，∠DCB'=∠DB'C，∴∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，∴∠AFB=∠BB'C，又∵∠BAF+∠ABF=90°=∠CBB'+∠ABF，∴∠BAF=∠CBB'，∴△ABF≌△BCB'，∴BF=CB'=B'F，∴△FCB'是等腰直角三角形，∴∠CFB'=45°，即∠BFC=135°，故②正确；由△ABF≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C，故③正确；∵AF＞BF=B'C，∴△AEF与△CEB'不全等，∴AE≠CE，∴S△AFE≠S△FCE，故④错误；故选B．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．16．如图，，，，点D、E为BC边上的两点，且，连接EF、BF则下列结论：≌；≌；；，其中正确的有( )个．A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】【分析】根据∠DAF=90°，∠DAE=45°，得出∠FAE=45°，利用SAS证明△AED≌△AEF，判定①正确；由△AED≌△AEF得AF=AD,由，得∠FAB=∠CAD，又AB=AC, 利用SAS证明≌,判定②正确；先由∠BAC=∠DAF=90°，得出∠CAD=∠BAF，再利用SAS证明△ACD≌△ABF，得出CD=BF，又①知DE=EF，那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF＞EF，等量代换后判定③正确；先由△ACD≌△ABF，得出∠C=∠ABF=45°，进而得出∠EBF=90°，判定④正确．【详解】‚解：①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=45°．在△AED与△AEF中，，∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；②∵△AED≌△AEF,∴AF=AD,∵,∴∠FAB=∠CAD,∵AB=AC，∴≌，②正确；③∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAC-∠BAD=∠DAF-∠BAD，即∠CAD=∠BAF．在△ACD与△ABF中，，∴△ACD≌△ABF（SAS），∴CD=BF，由①知△AED≌△AEF，∴DE=EF．在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE，③正确；④由③知△ACD≌△ABF，∴∠C=∠ABF=45°，∵∠ABE=45°，∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．④正确．故答案为D．【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，有一定难度．17．如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是（）A．PD=DQ B．DE=12AC C．AE=12CQ D．PQ⊥AB【答案】D 【解析】过P作PF∥CQ交AC于F，∴∠FPD=∠Q，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ACB=60°，∴∠A=∠AFP=60°，∴AP=PF，∵PA=CQ，∴PF=CQ，在△PFD与△DCQ 中，FPD QPDE CDQPF CQ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PFD≌△QCD，∴PD=DQ，DF=CD，∴A选项正确，∵AE=EF，∴DE=12AC，∴B选项正确，∵PE⊥AC，∠A=60°，∴AE=12AP=12CQ，∴C选项正确，故选D．18．如图，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于O，连结AO，则图中共有全等三角形的对数为（）A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】C【解析】【分析】先根据条件，利用AAS可知△ADB≌△AEC，然后再利用HL、ASA即可判断△AOE ≌△AOD ，△BOE ≌△COD ，△AOC ≌△AOB.【详解】∵AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，∴∠ADB=∠AEC=90°，∵∠A 为公共角，∴△ADB ≌△AEC ，（AAS ）∴AE=AD ，∠B=∠C∴BE=CD ，∵AE=AD ，OA=OA ，∠ADB=∠AEC=90°，∴△AOE ≌△AOD （HL ），∴∠OAC=∠OAB ，∵∠B=∠C ，AB=AC ，∠OAC=∠OAB ，∴△AOC ≌△AOB.（ASA ）∵∠B=∠C ，BE=CD ，∠ODC=∠OEB=90°，∴△BOE ≌△COD （ASA ）．综上：共有4对全等三角形，故选C.【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要从已知条件开始结合全等的判定方法逐一验证，由易到难，不重不漏．19．如图，Rt ACB 中，90ACB ︒∠=，ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点P ，过P 作PF AD ⊥交BC 的延长线于点F ，交AC 于点H ，则下列结论：①135APB ︒∠=；②PF PA =；③AH BD AB +=；④S 四边形23ABDE S ABP =，其中正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】【分析】根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可．【详解】解：∵在△ABC 中，∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°∵AD 、BE 分别平分∠BAC 、∠ABC ，∴∠BAD=12CAB ∠，∠ABE=12ABC ∠ ∴∠BAD+∠ABE=111+=()45222CAB ABC CAB ABC ∠∠∠+∠=︒ ∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE ）=135°，故①正确；∴∠BPD=45°，又∵PF ⊥AD ，∴∠FPB=90°+45°=135°∴∠APB=∠FPB又∵∠ABP=∠FBPBP=BP∴△ABP ≌△FBP （ASA ）∴∠BAP=∠BFP ，AB=AB ，PA=PF ，故②正确；在△APH 与△FPD 中∵∠APH=∠FPD=90°∠PAH=∠BAP=∠BFPPA=PF∴△APH ≌△FPD （ASA ），∴AH=FD ，又∵AB=FB∴AB=FD+BD=AH+BD ，故③正确；连接HD ，ED ，∵△APH ≌△FPD ，△ABP ≌△FBP ∴APH FPD S S =，ABP FBP S S =，PH=PD ，∵∠HPD=90°，∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD∴HD ∥EP ，∴EPH EPD S S =∵ABP BDP AEP EPD ABDE S S SS S =+++四边形 ()ABP AEP EPHPBD S S S S =+++ ABP APH PBDS S S =++ ABP FPD PBD S S S =++ABP FBP S S =+2ABP S =故④错误，∴正确的有①②③，故答案为：B ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL ，注意AAA 和SAS 不能判定两个三角形全等．20．如图，D 为BAC ∠的外角平分线上一点并且满足BD CD =，DBC DCB ∠=∠，过D 作DE AC ⊥于E ，DF AB ⊥交BA 的延长线于F ，则下列结论：①CDE △≌BDF ；②CE AB AE =+；③BDC BAC ∠=∠；④DAF CBD ∠=∠． 其中正确的结论有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】 BD=CD,AD 是角平分线，所以FD=DE,∠DFB =∠DEC =90°，所以CDE ≌BDF ；①正确.由全等得BF=CE ,因为FA=AE,FB=AB+FA ,所以CE=AB+AE , ②正确.由全等知，∠DCE=∠FBD,所以∠BAC=∠BDC. ③正确. ∴DBF DCE ∠=∠，∴A 、B 、C 、D 四点共圆，∴DAF CBD ∠=∠，④正确．故选D.21．程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点Q 在轨道槽AM 上运动，点P 既能在以A 为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN 上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ②当∠PAQ=30°，PQ=9时，可得到形状唯一确定的△PAQ③当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ④当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ其中所有正确结论的序号是( )A ．②③B ．③④C ．②③④D ．①②③④【答案】C【解析】【分析】分别在以上四种情况下以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，观察弧与直线AM 的交点即为Q 点，作出PAQ ∆后可得答案．【详解】如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两个交点，作出PAQ ∆，发现两个位置的Q 都符合题意，所以PAQ ∆不唯一，所以①错误．如下图，当∠PAQ=30°，PQ=9时，以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两个交点，作出PAQ ∆，发现左边位置的Q 不符合题意，所以PAQ ∆唯一，所以②正确．如下图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两个交点，作出PAQ ∆，发现两个位置的Q 都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以PAQ ∆唯一，所以③正确．如下图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两个交点，作出PAQ ∆，发现左边位置的Q 不符合题意，所以PAQ ∆唯一，所以④正确．综上：②③④正确．故选C ．【点睛】本题考查的是三角形形状问题，为三角形全等来探索判定方法，也考查三角形的作图，利用对称关系作出另一个Q 是关键．22．在和中，，高，则和的关系是( )A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．以上都不对 【答案】C【解析】试题解析：当∠C ′为锐角时，如图1所示，∵AC=A′C′，AD=A′D′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C′，∴∠C=∠C′；当∠C为钝角时，如图3所示，∵AC=A′C′，AD=A′D′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，∴∠C=∠A′C′D′，∴∠C+∠A′C′B′=180°．故选C.23．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③PH=PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】D【解析】分析：根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②③；根据角平分线的判定与性质判断④．详解：在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE=（∠BAC+∠ABC）=45°，∴∠APB=135°，故①正确．∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°，∴∠APB=∠FPB，又∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∴△ABP≌△FBP，∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正确．在△APH和△FPD中，∵∠APH=∠FPD=90°，∠PAH=∠BAP=∠BFP，PA=PF，∴△APH≌△FPD，∴PH=PD，故③正确．∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，∴点P到BC、AC的距离相等，∴点P在∠ACB的平分线上，∴CP平分∠ACB，故④正确．故选D．点睛：本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键．24．如图所示，点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN 于点C，AD⊥MN于点D，下列结论错误的是( )A．AD＋BC＝AB B．与∠CBO互余的角有两个C．∠AOB＝90°D．点O是CD的中点【答案】B【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AD=AE，BC=BE，利用角平分线的定义和平角的性质可得到∠AOB的度数，再利用“HL”证明Rt△AOD和Rt△AOE全等，根据全等三角形对应边相等可得OD=OE，同理可得OC=OE，然后求出∠AOB=90°，然后对各选项分析判断即可得解．【详解】∵点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，∴AD=AE，BC=BE．∵AB=AE+BE，∴AB=AD+BC，故A选项结论正确；与∠CBO互余的角有∠COB，∠EOB，∠OAD，∠OAE共4个，故B选项结论错误；∵点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，∴∠AOE=12∠EOD，∠BOC=12∠MOE，∴∠AOB=12(∠EOD+∠MOE)=12×180°=90°，故C选项结论正确；在Rt△AOD和Rt△AOE中，AO AOAD AE=⎧⎨=⎩，∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），∴OD=OE，同理可得OC=OE，∴OC=OD=OE，∴点O是CD的中点，故D选项结论正确．故选B．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，余角的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．25．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D，过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G，则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD﹣AH=AB；④DG=AP+GH，其中正确的是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP，再根据角平分线的定义∠ABP=12∠ABC，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；②先求出∠APB=∠FPB，再利用“角边角”证明△ABP和△FBP全等，根据全等三角形对应边相等得到AB=BF，AP=PF；③根据直角的关系求出∠AHP=∠FDP，然后利用“角角边”证明△AHP与△FDP全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=AH；④根据PF⊥AD，∠ACB=90°，可得AG⊥DH，然后求出∠ADG=∠DAG=45°，再根据等角对等边可得DG=AG ，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH=GF ，然后求出DG=GH+AF ，有直角三角形斜边大于直角边，AF ＞AP ，从而得出本小题错误.【详解】解：①∵∠ABC 的角平分线BE 和∠BAC 的外角平分线，∴∠ABP=12∠ABC ， ∠CAP=12（90°+∠ABC ）=45°+12∠ABC ， 在△ABP 中，∠APB=180°-∠BAP-∠ABP ，=180°-（45°+12∠ABC+90°-∠ABC ）-12∠ABC ， =180°-45°- 12∠ABC-90°+∠ABC-12∠ABC ， =45°，故本小题正确；②∵PF ⊥AD ，∠APB=45°（已证），∴∠APB=∠FPB=45°，∵∵PB 为∠ABC 的角平分线，∴∠ABP=∠FBP ，在△ABP 和△FBP 中， APB FPB PB PBABP FBP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABP ≌△FBP （ASA ），∴AB=BF ，AP=PF ；故②正确；③∵∠ACB=90°，PF ⊥AD ，∴∠FDP+∠HAP=90°，∠AHP+∠HAP=90°，∴∠AHP=∠FDP ，∵PF ⊥AD ，∴∠APH=∠FPD=90°，在△AHP 与△FDP 中，90AHP FDP APH FPD AP PF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△AHP ≌△FDP （AAS ），∴DF=AH ，∵BD=DF+BF ，∴BD=AH+AB ，∴BD-AH=AB ，故③小题正确；④∵PF ⊥AD ，∠ACB=90°，∴AG ⊥DH ，∵AP=PF ，PF ⊥AD ，∴∠PAF=45°，∴∠ADG=∠DAG=45°，∴DG=AG ，∵∠PAF=45°，AG ⊥DH ，∴△ADG 与△FGH 都是等腰直角三角形，∴DG=AG ，GH=GF ，∴DG=GH+AF ，∵AF ＞AP ，∴DG=AP+GH 不成立，故本小题错误，综上所述①②③正确．故选:C.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，等角对等边，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系.26．如图（1），已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上一点，连接BD ，CD ；如图（2），已知AB AC =，D ，E 为BAC ∠的角平分线上两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图（3），已知AB AC =，D ，E ，F 为BAC ∠的角平分线上三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；……，依此规律，第6个图形中有全等三角形的对数是（ ）A ．21B ．11C ．6D ．42【答案】A【解析】【分析】根据条件可得图1中△ABD ≌△ACD 有1对三角形全等；图2中可证出△ABD ≌△ACD ，△BDE ≌△CDE ，△ABE ≌△ACE 有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第6个图形中全等三角形的对数．【详解】解：∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD=∠CAD ．在△ABD与△ACD中，AB ACBAD CADAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ACD．∴图1中有1对三角形全等；同理图2中，△ABE≌△ACE，∴BE=EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD=CD，又DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴图2中有3对三角形全等，3=1+2；同理：图3中有6对三角形全等，6=1+2+3；∴第6个图形中有全等三角形的对数是1+2+3+4+5+6=21.故选：A．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．27．如图，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE⊥AC于B，且DC=EC．若BE=7，AB=3，则AD 的长为（）A．3 B．5 C．4 D．不确定【答案】C【解析】根据同角的余角相等求出∠ACD=∠E，再利用“角角边”证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形对应边相等可得AD=BC，AC=BE=7，然后求解BC=AC-AB=7-3=4．故选：C．点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．28．如图，AOB∆的外角,CAB DBA∠∠的平分线,AP BP相交于点P，PE OC⊥于E，PF OD⊥于F，下列结论：（1）PE PF=；（2）点P在COD∠的平分线上；（3）90APB O∠=︒-∠，其中正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】【分析】 过点P 作PG ⊥AB ，由角平分线的性质定理，得到PE PG PF ==，可判断（1）（2）正确；由12APB EPF ∠=∠，180EPF O ∠+∠=︒，得到1902APB O ∠=︒-∠，可判断（3）错误；即可得到答案．【详解】解：过点P 作PG ⊥AB ，如图：∵AP 平分∠CAB ，BP 平分∠DBA ，PE OC ⊥，PF OD ⊥，PG ⊥AB ， ∴PE PG PF ==；故（1）正确；∴点P 在COD ∠的平分线上；故（2）正确；∵12APB APG BPG EPF ∠=∠+∠=∠， 又180EPF O ∠+∠=︒， ∴11(180)9022APB O O ∠=⨯︒-∠=︒-∠；故（3）错误； ∴正确的选项有2个；故选：C ．【点睛】 本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质进行解题．29．如图，AD 是ABC 的角平分线，DE AC ⊥；垂足为,//E BF AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分ABF ∠．给出下列三个结论：①DE DF =；②DB DC =；③AD BC ⊥．其中正确的结论共有（ ）个A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】【分析】由BF∥AC，AD是ABC的角平分线，BC平分ABF∠得∠ADB=90︒；利用AD平分∠CAB证得△ADC≌△ADB即可证得DB=DC；根据DE AC⊥证明△CDE≌△BDF得到DE DF=.【详解】∵DE AC⊥,BF∥AC,∴EF⊥BF，∠CAB+∠ABF=180︒，∴∠CED=∠F=90︒，∵AD是ABC的角平分线，BC平分ABF∠，∴∠DAB+∠DBA=12(∠CAB+∠ABF)=90︒，∴∠ADB=90︒，即AD BC⊥，③正确；∴∠ADC=∠ADB=90︒，∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠BAD,∵AD=AD,∴△ADC≌△ADB,∴DB=DC，②正确；又∵∠CDE=∠BDF，∠CED=∠F，∴△CDE≌△BDF,∴DE=DF，①正确；故选：D.【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定及性质，角平分线的定义.30．如图，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H；如果∠ABC=60º，则下列结论：①∠ABP=30º；②∠APC=60º；③PB=2PH；④∠APH=∠BPC；其中正确的结论个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】 作PM ⊥BC 于M ，PN ⊥BA 于N ．根据角平分线的性质定理可证得PN=PM ，再根据角平分线的判定定理可得PB 平分∠ABC ，即可判定①；证明△PAN ≌△PAH ，△PCM ≌△PCH ，根据全等三角形的性质可得∠APN=∠APH ，∠CPM=∠CPH ，由此即可判定②；在Rt △PBN 中，∠PBN=30°，根据30°角直角三角形的性质即可判定③；由∠BPN=∠CPA=60°即可判定④.【详解】如图，作PM ⊥BC 于M ，PN ⊥BA 于N ．∵∠PAH=∠PAN ，PN ⊥AD ，PH ⊥AC ，∴PN=PH ，同理PM=PH ，∴PN=PM ，∴PB 平分∠ABC ，∴∠ABP=12∠ABC=30°，故①正确， ∵在Rt △PAH 和Rt △PAN 中， PA PA PN PH =⎧⎨=⎩， ∴△PAN ≌△PAH ，同理可证，△PCM ≌△PCH ，∴∠APN=∠APH ，∠CPM=∠CPH ，∵∠MPN=180°-∠ABC=120°，∴∠APC=12∠MPN=60°，故②正确， 在Rt △PBN 中，∵∠PBN=30°， ∴PB=2PN=2PH ，故③正确，∵∠BPN=∠CPA=60°，∴∠CPB=∠APN=∠APH，故④正确．综上，正确的结论为①②③④.故选D.【点睛】本题考查了角平分线的性质定理及判定定理、全等三角形的判定与性质及30°角直角三角形的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.。

轴对称填空选择单元测试卷 （word 版，含解析）一、八年级数学全等三角形填空题（难）1．如图，52A ∠=︒，O 是ABC ∠、ACB ∠的角平分线交点，P 是ABC ∠、ACB ∠外角平分线交点，则BOC ∠=______︒，BPC ∠=_____︒，联结AP ，则PAB ∠=______︒，点O ____（选填“在”、“不在”或“不一定在”）直线AP 上．【答案】116 64 26 在【解析】【分析】∠ABC+∠ACB=180°-∠A ，∠OBC+∠OCB= 12（∠ABC+∠ACB ）, ∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ），据此可求∠BOC 的度数；∠BCP= 12∠BCE= 12（∠A+∠ABC ），∠PBC= 12∠CBF= 12（∠A+∠ACB ），由三角形内角和定理得：∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC ，据此可求∠BPC 的度数；作PG ⊥AB 于G ，PH ⊥AC 于H ，PK ⊥BC 于K ，利用角平分线的性质定理可证明PG=PH ，于是可证得AP 平分∠BAC ，据此可求∠PAB 的度数； 同理可证OA 平分∠BAC ，故点O 在直线AP 上．【详解】解：∵O 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB ） = 12（180°-∠A ） =90°- 12∠A ， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ） =180°-90°+12∠A =90°+ 12∠A =90°+26°=116°；如图，∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，∴∠BCP= 12∠BCE=12（∠A+∠ABC），∠PBC= 12∠CBF=12（∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得：∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC=180°- 12[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]=180°- 12（∠A+180°）=90°- 12∠A=90°-26°=64°．如图，作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PK⊥BC于K，连接AP，∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，PG⊥AB，PH⊥AC，PK⊥BC，∴PG=PK，PK=PH，∴PG=PH，∴AP平分∠BAC，∴PAB∠=26°同理可证OA平分∠BAC，点O在直线AP上．故答案是：(1) 116 ；(2) 64；(3) 26；(4) 在.【点睛】此题主要考查了角平分线的性质定理和判定定理及三角形内角和定理，熟知定理并正确作出辅助线是解题关键．2．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，M是AB边上的中点，点D、E分别是AC、BC 边上的动点，连接DM 、ME、CM、DE, DE与CM相交于点F且∠DME=90°.则下列5个结论: (1)图中共有两对全等三角形；(2)△DEM是等腰三角形; (3)∠CDM=∠CFE；(4)AD2+BE2=DE2；(5)四边形CDME的面积发生改变.其中正确的结论有( )个.A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理，得出:△AMC≌△BMC、△AMD≌△CME、△CMD≌△BME,根据全等三角形的性质得出DM=ME得出△DEM是等腰三角形，及∠CDM=∠CFE，再逐个判断222AD+BE=DE CEM CDM ADM CDM ACM ABCCDME1S=S+S=S+S=S=S2△△△△△△四边形即可得出结论.【详解】解：如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB中点，AB=BC∴AM=CM=BM，∠A=∠B=∠ACM=∠BCM=45°，∠AMC=∠BMC=90°∵∠DME=90°.∴∠1+∠2=∠2+∠3=∠3+∠4=90°∴∠1=∠3，∠2=∠4在△AMC和△BMC中AM=BMMC MCAC BC⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△AMC ≌△BMC在△AMD 和△CME 中A=MCE AM=CM 1=3∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴△AMD ≌△CME在△CDM 和△BEMDCM=B CM=BM2=4∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴△CMD ≌△CME共有3对全等三角形，故（1）错误∵△AMD ≌△BME∴DM=ME∴△DEM 是等腰三角形，（2）正确∵∠DME=90°.∴∠EDM=∠DEM=45°，∴∠CDM=∠1+∠A=∠1+45°，∴∠EDM=∠3+∠DEM=∠3+45°，∴∠CDM=∠CFE,故（3）正确在Rt △CED 中，222CE CD DE +=∵CE=AD ，BE=CD∴222AD +BE =DE 故（4）正确（5）∵△ADM ≌△CEM∴ADM CEM S =S △△ ∴CEM CDM ADM CDM ACM ABC CDME 1S =S +S =S +S =S =S 2△△△△△△四边形 不变，故（5）错误 故正确的有3个故选：B【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，通过推理论证每个命题的正误是解决此类题目的关键.3．如图，OP 平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PC ＝4，点D 是射线OA 上的一个动点，则PD 的最小值为_____．【答案】2【解析】【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE＝PD，根据平行线的性质可得∠ACP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．【详解】当PD⊥OA时，PD有最小值，作PE⊥OA于E，∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE＝PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵∠BOP＝∠AOP＝15°，∴∠AOB＝30°，∵PC∥OB，∴∠ACP＝∠AOB＝30°，∴在Rt△PCE中，PE＝12PC＝12×4＝2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），∴PD＝PE＝2，故答案是：2．【点睛】此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，难度一般，作辅助线是关键．4．如图，三角形△ABO中，∠OAB=∠AOB=15°，点B在x轴的正半轴，坐标为B（6，0）．OC平分∠AOB，点M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MA+MN的最小值是______．【答案】3【分析】在x轴正半轴上取点N’，使ON’=ON，作AD⊥x轴于D点.易证△N’OM≌△NOM，可得MN’=MN，则MA+MN的最小值即为MA+MN’的最小值，由于A点固定，故当N’点与D点重合时，MA+MN’的值最小，即MA+MN的值最小.【详解】解：在x轴正半轴上取点N’，使ON’=ON，作AD⊥x轴于D点.∵ON’=ON，∠N’OM=∠NOM，OM=OM，∴△N’OM≌△NOM，∴MN’=MN，∴MA+MN=MA+MN’，∵A点固定，∴MA+MN’的最小值为当N’与D点重合时的M A+MN’值，∴MA+MN’的最小值为AD，∵∠OAB=∠AOB=15°，OB=6，∴∠ABD=30°，AB=6，∴AD=0.5×6=3，∴MA+MN的最小值为3，故答案为3.【点睛】理解A点是固定点，而M和N均为动点，然后运用三点共线及点到直线的最短距离概念进行解答是本题的关键.5．如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上移动,点M在第二象限，且MA平分∠BAO，做射线MB，若∠1=∠2，则∠M的度数是_______。

轴对称填空选择单元复习练习(Word版含答案)一、八年级数学全等三角形填空题（难）1．如图，ABE△，BCD均为等边三角形，点A，B，C在同一条直线上，连接AD，EC，AD与EB相交于点M，BD与EC相交于点N，连接OB，下列结论正确的有_________．①AD EC=；②BM BN=；③MN AC；④EM MB=；⑤OB平分AOC∠【答案】①②③⑤.【解析】【分析】由题意根据全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质和角平分线的性质，对题干结论依次进行分析即可.【详解】解：∵△ABE，△BCD均为等边三角形，∴AB=BE，BC=BD，∠ABE=∠CBD=60°，∴∠ABD=∠EBC，在△ABD和△EBC中，AB BEABD EBCBD BC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABD≌△EBC（SAS），∴AD=EC，故①正确；∴∠DAB=∠BEC，又由上可知∠ABE=∠CBD=60°，∴∠EBD=60°，在△ABM和△EBN中，MAB NEBAB BEABE EBN∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△ABM ≌△EBN （ASA ），∴BM=BN ，故②正确；∴△BMN 为等边三角形，∴∠NMB=∠ABM=60°，∴MN ∥AC ，故③正确；若EM=MB ，则AM 平分∠EAB ，则∠DAB=30°，而由条件无法得出这一条件，故④不正确；如图作,,BG AD BH EC ⊥⊥∵由上可知△ABD ≌△EBC ，∴两个三角形对应边的高相等即BG BH =，∴OB 是AOC ∠的角平分线，即有OB 平分AOC ∠，故⑤正确.综上可知：①②③⑤正确.故答案为：①②③⑤.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质和角平分线的性质与平行线的判定是解题的关键.2．如图，已知OP 平分∠AOB ，CP ∥OA ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ．CP ＝254，PD ＝6．如果点M 是OP 的中点，则DM 的长是_____．【答案】5．【解析】【分析】由角平分线的性质得出∠AOP=∠BOP ，PC=PD=6，∠PDO=∠PEO=90°，由勾股定理得出2274CE CP PE =-=，由平行线的性质得出∠OPC=∠AOP ，得出∠OPC=∠BOP ，证出254CO CP ==，得出OE=CE+CO=8，由勾股定理求出2210OP OE PE +=，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．【详解】∵OP 平分∠AOB ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ，∴∠AOP ＝∠BOP ，PC ＝PD ＝6，∠PDO ＝∠PEO ＝90°， ∴222257446CE CP PE ⎛⎫⎪⎭-⎝=-==， ∵CP ∥OA ，∴∠OPC ＝∠AOP ，∴∠OPC ＝∠BOP ，∴254CO CP ==， ∴725448OE CE CO =+=+=， ∴22228610OP OE PE ++=，在Rt △OPD 中，点M 是OP 的中点，∴125DM OP ==； 故答案为：5．【点睛】 本题考查了勾股定理的应用、角平分线的性质、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的性质等知识；熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质，证明CO=CP 是解题的关键．3．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8cm AC ，15cm BC =，点M 从A 点出发沿A CB →→路径向终点运动，终点为B 点，点N 从B 点出发沿BC A →→路径向终点运动，终点为A 点，点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M 和N 作ME l ⊥于E ，NF l ⊥于F .设运动时间为t 秒，要使以点M ，E ，C 为顶点的三角形与以点N ，F ，C 为顶点的三角形全等，则t 的值为______.【答案】235或7或8 【解析】 【分析】易证∠MEC ＝∠CFN ，∠MCE ＝∠CNF ．只需MC ＝NC ，就可得到△MEC 与△CFN 全等，然后只需根据点M 和点N 不同位置进行分类讨论即可解决问题．【详解】①当0≤t ＜4时，点M 在AC 上，点N 在BC 上，如图①，此时有AM ＝2t ，BN ＝3t ，AC ＝8，BC ＝15．当MC ＝NC 即8−2t ＝15−3t 时全等，解得t ＝7，不合题意舍去；②当4≤t ＜5时，点M 在BC 上，点N 也在BC 上，如图②，若MC ＝NC ，则点M 与点N 重合，即2t−8＝15−3t ，解得t ＝235； 当5≤t ＜233时，点M 在BC 上，点N 在AC 上，如图③，当MC＝NC即2t−8＝3t−15时全等，解得t＝7；④当233≤t＜232时，点N停在点A处，点M在BC上，如图④，当MC＝NC即2t−8＝8，解得t＝8；综上所述：当t等于235或7或8秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等．故答案为：235或7或8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及分类讨论的思想，可能会因考虑不全面而出错，是一道易错题．4．如图，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，若BE交AD于点F，则∠AFE的大小为_____（度）．【答案】60【解析】【分析】根据△ABC为等边三角形得到AB＝BC，∠ABD＝∠BCE＝60°，再利用BD＝CE证得△ABD≌△BCE，得到∠BAD＝∠CBE，再利用内角和外角的关系即可得到∠AFE＝60°.【详解】∵△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE＝60°，在△ABD和△BCE中，AB BCABD BCEBD CE=⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝,∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∵∠ABF+∠CBE＝∠ABC＝60°，∴∠ABF+∠BAD＝60°，∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∴∠AFE＝60°，故答案为：60．【点睛】此题考查三角形全等的判定定理及性质定理，题中证明三角形全等后得到∠BAD＝∠CBE，再利用外角和内角的关系求∠AFE是解题的关键.5．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④CO平分∠AOE；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有__．（把你认为正确的序号都填上）【答案】①②③④⑤【解析】【分析】根据等边三角形的性质及SAS即可证明△ACD≌△BCE即可求解.【详解】①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上，∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120°∴△ACD≌△ECB∴AD=BE，故本选项正确；②∵△ACD≌△ECB∴∠CBQ=∠CAP，又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，∴△BCQ≌△ACP，∴CQ=CP，又∠PCQ=60°，∴△PCQ为等边三角形，∴∠QPC=60°=∠ACB，∴PQ∥AE，故本选项正确；③∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∴∠ACP=∠BCQ，∵AC=BC，∠DAC=∠QBC，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴CP=CQ，AP=BQ，故本选项正确；④∵BC∥DE，∴∠CBE=∠BED，∵∠CBE=∠DAE，∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°，同理可得出∠AOE=120°，∵D，O，C，E四点共圆，∴∠OCD=∠OED，∴∠OAC=∠OCD，∴∠DCE=∠AOC=60°，∴OC平分∠AOE，故④正确；⑤∵△ABC、△DCE为正三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD=∠CBE，∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，∴∠AOB=60°，故本选项正确．综上所述，正确的结论是①②③④⑤．【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，找到不变量，是解题关键．6．如图：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC边上的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论：①AE=CF；②EF=AP；③2S四边形AEPF=S△ABC；④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合）有BE+CF=EF；上述结论中始终正确的序号有__________．【答案】①③【解析】【分析】根据题意，容易证明△AEP≌△CFP，然后能推理得到①③都是正确．【详解】∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，∴∠EAP=12∠BAC=45°，AP=12BC=CP．①在△AEP与△CFP中，∵∠EAP=∠C=45°，AP=CP，∠APE=∠CPF=90°-∠APF，∴△AEP≌△CFP，∴AE=CF．正确；②只有当F在AC中点时EF=AP，故不能得出EF=AP，错误；③∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE．∴S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=12S△ABC，即2S四边形AEPF=S△ABC；正确；④根据等腰直角三角形的性质，EF=2PE，所以，EF随着点E的变化而变化，只有当点E为AB的中点时，EF=2PE=AP，在其它位置时EF≠AP，故④错误；故答案为：①③．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，证得△AEP和△CFP 全等是解题的关键，也是本题的突破点．7．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC； ②∠BCE+∠BCD=180°；③AF2=EC2﹣EF2； ④BA+BC=2BF．其中正确的是_____．【答案】①②③④．【解析】【分析】根据已知条件易证△ABD ≌△EBC ，可判定①正确；根据等腰三角形的性质、对顶角相等、结合全等三角形的性质及平角的定义即可判定②正确；证明AD=AE=EC ，再利用勾股定理即可判定③正确；过E 作EG ⊥BC 于G 点，证明Rt △BEG ≌Rt △BEF 及Rt △CEG ≌Rt △AFE ，根据全等三角形的性质可得AF=CG ，所以BA+BC=BF+FA+BG ﹣CG=BF+BG=2BF ，即可判定④正确.【详解】①∵BD 为△ABC 的角平分线，∴∠ABD=∠CBD ，在△ABD 和△EBC 中，BD BC ABD CBD BE BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△EBC （SAS ），∴①正确；②∵BD 为△ABC 的角平分线，BD=BC ，BE=BA ，∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA ，∵△ABD ≌△EBC ，∴∠BCE=∠BDA ，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，∴②正确；③∵∠BCE=∠BDA ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ，∠BDA=∠DAE+∠BEA ，∠BCD=∠BEA ， ∴∠DCE=∠DAE ，∴△ACE 为等腰三角形，∴AE=EC ，∵△ABD ≌△EBC ，∴AD=EC ，∴AD=AE=EC ，∵EF ⊥AB ，∴AF 2=EC 2﹣EF 2；∴③正确；④如图，过E 作EG ⊥BC 于G 点，∵E 是BD 上的点，∴EF=EG ，在Rt △BEG 和Rt △BEF 中，BE BE EF EG =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BEG ≌Rt △BEF （HL ），∴BG=BF ，在Rt △CEG 和Rt △AFE 中，EF FG AE CE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CEG ≌Rt △AFE （HL ），∴AF=CG ，∴BA+BC=BF+FA+BG ﹣CG=BF+BG=2BF ，∴④正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．8．如图，已知AC 平分∠DAB ，CE ⊥AB 于点E ，AB =AD +2BE ，则下列结论：①AB +AD= 2AE ；②∠DAB +∠DCB =180°；③CD =CB ；④S ACE ﹣S BCE =S ACD ．其中正确的是______．【答案】①②③④．【解析】【分析】【详解】①在AE取点F，使EF＝BE，连接CF．∵AB＝AD＋2BE＝AF＋EF＋BE，EF＝BE，∴AB＝AD＋2BE＝AF＋2BE，∴AD＝AF，∴AB＋AD＝AF＋EF＋BE＋AD＝2AF＋2EF＝2(AF＋EF)＝2AE，∴AB+AD= 2AE，故①正确；②在AB上取点F，使EF＝BE，连接CF．在△ACD与△ACF中，∵AD＝AF，∠DAC＝∠FAC，AC＝AC，∴△ACD≌△ACF，∴∠ADC＝∠AFC．∵CE垂直平分BF，∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠B．又∵∠AFC＋∠CFB＝180°，∴∠ADC＋∠B＝180°，∴∠DAB+∠DCB=180°故②正确；③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD＝CF，又∵CF＝CB，∴CD＝CB，故③正确；④易证△CEF≌△CEB，∴S△ACE﹣S△BCE＝S△ACE﹣S△FCE＝S△ACF，又∵△ACD≌△ACF，∴S△ACF＝S△ADC，∴S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC，故④正确．综上所述，正确的结论是①②③④，故答案为①②③④．9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E．已知AB=12，则△DEB的周长为_______．【答案】12【解析】根据角平分线的性质，由AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，可得到CD=ED，然后根据直角三角形的全等判定HL证得Rt△ACD≌Rt△AED，再由全等的性质得到AC=AE，然后根据AC=BC，因此可得△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=12.故答案为：12.点睛：此题主要考查了全等三角形的性质和角平分线的性质，解题时根据全等三角形的性质和角平分线的性质得到相等的线段，然后再代还求解即可.10．如图，AD=AB,∠C=∠E,AB=2，AE=8，则DE=_________.【答案】6【解析】根据三角形全等的判定“AAS”可得△ADC≌△ABE，可得AD=AB=2，由AE=8可得DE=AE-AD=6.故答案为：6.点睛：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．二、八年级数学全等三角形选择题（难）11．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③PH=PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】D【解析】分析：根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②③；根据角平分线的判定与性质判断④．详解：在△AB C中，∵∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE=（∠BAC+∠ABC）=45°，∴∠APB=135°，故①正确．∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°，∴∠APB=∠FPB，又∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∴△ABP≌△FBP，∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正确．在△APH和△FPD中，∵∠APH=∠FPD=90°，∠PAH=∠BAP=∠BFP，PA=PF，∴△APH≌△FPD，∴PH=PD，故③正确．∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，∴点P到BC、AC的距离相等，∴点P在∠ACB的平分线上，∴CP平分∠ACB，故④正确．故选D．点睛：本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键．12．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( )A．两条直角边对应相等B．有两条边对应相等C．斜边和一锐角对应相等D．一条直角边和斜边对应相等【答案】B【解析】根据全等三角形的判定SAS，可知两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，故A不正确；根据一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理HL，能判定全等；若两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理SAS，也能判全等，但是有两边对应相等，没说明是什么边对应，故不能判定，故B正确．根据全等三角形的判定AAS，可知斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等，故C不正确；根据直角三角形的判定HL，可知一条直角边和斜边对应相等两直角三角形全等，故D不正确.故选B.点睛：此题主要考查了直角三角形全等的判定，解题时利用三角形全等的判定SSS，SAS，ASA，AAS，HL，直接判断即可.13．如图所示，在Rt ABC∆中，E为斜边AB的中点，ED AB⊥，且:1:7CAD BAD∠∠=，则BAC∠=( )A．70B．45C．60D．48【答案】D【解析】根据线段的垂直平分线，可知∠B=∠BAD，然后根据直角三角形的两锐角互余，可得∠BAC+∠B=90°，设∠CAD=x，则∠BAD=7x，则x+7x+7x=90°，解得x=6°，因此可知∠BAC=∠CDA+∠BAD=6°+42°=48°.故选：D.点睛：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质求角的关系，根据比例关系设出未知数，然后根据角的关系列方程求解是解题关键.14．如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分线AP和∠ACB外角的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA=45°；②AF-CG=CA；③DE=DC；④FH=CD+GH；⑤C F=2CD+EG；其中正确的有（）A．①②④B．①②③C．①②④⑤D．①②③⑤【答案】D【解析】试题解析：①利用公式：∠CDA=12∠ABC=45°，①正确；②如图：延长GD与AC交于点P'，由三线合一可知CG=CP'，∵∠ADC=45°，DG⊥CF，∴∠EDA=∠CDA=45°，∴∠ADP=∠ADF，∴△ADP'≌△ADF（ASA），∴AF=AP'=AC+CP'=AC+CG，故②正确；③如图：∵∠EDA=∠CDA，∠CAD=∠EAD，从而△CAD≌△EAD，故DC=DE，③正确；④∵BF⊥CG，GD⊥CF，∴E为△CGF垂心，∴CH⊥GF，且△CDE、△CHF、△GHE均为等腰直角三角形，∴HF=CH=EH+CE=GH+CE=GH+2CD，故④错误；⑤如图：作ME⊥CE交CF于点M，则△CEM为等腰直角三角形，从而CD=DM，CM=2CD，EM=EC，∵∠MFE=∠CGE，∠CEG=∠EMF=135°，∴△EMF≌△CEG（AAS），∴GE=MF，∴CF=CM+MF=2CD+GE，故⑤正确；故选D点睛：本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形垂心的定义和性质、全等三角形的判定与性质等多个知识点，技巧性很强，难度较大，要求学生具有较高的几何素养．对于这一类多个结论的判断型问题，熟悉常见的结论及重要定理是解决问题的关键，比如对第一个结论的判定，若熟悉该模型则可以秒杀．15．如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是（）A ．PD=DQB ．DE =12AC C ．AE =12CQD ．PQ ⊥AB【答案】D【解析】 过P 作PF ∥CQ 交AC 于F ，∴∠FPD =∠Q ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠ACB =60°，∴∠A =∠AFP =60°，∴AP =PF ，∵PA =CQ ，∴PF =CQ ，在△PFD 与△DCQ中，FPD Q PDE CDQ PF CQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PFD ≌△QCD ，∴PD =DQ ，DF =CD ，∴A 选项正确，∵AE =EF ，∴DE =12AC ，∴B 选项正确，∵PE ⊥AC ，∠A =60°，∴AE =12AP =12CQ ，∴C 选项正确，故选D ．16．如图，AC ⊥BE 于点C ，DF ⊥BE 于点F ，且BC ＝EF ，如果添上一个条件后，可以直接利用“HL ”来证明△ABC ≌△DEF ，则这个条件应该是( )A ．AC ＝DEB ．AB ＝DEC ．∠B ＝∠ED ．∠D ＝∠A【答案】B【解析】在Rt △ABC 与Rt △DEF 中，直角边BC ＝EF ，要利用“HL”判定全等，只需添加条件斜边AB=DE.故选：B.17．如图，ABC △是等边三角形，ABD △是等腰直角三角形，∠BAD =90°，AE ⊥BD 于点E ．连CD 分别交AE ，AB 于点F ，G ，过点A 做AH ⊥CD 交BD 于点H ，则下列结论：①∠ADC =15°；②AF =AG ；③AH =DF ；④△ADF ≌△BAH ；⑤DF =2EH .其中正确结论的个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】【分析】 ①根据△ABC 为等边三角形，△ABD 为等腰直角三角形，可以得出各角的度数以及DA=AC ，即可作出判断；②分别求出∠AFG 和∠AGD 的度数，即可作出判断；④根据三角形内角和定理求出∠HAB 的度数，求证EHG DFA ∠=∠，利用AAS 即可证出两个三角形全等；③根据④证出的全等即可作出判断；⑤证明∠EAH=30°，即可得到AH=2EH ，又由③可知AH DF =，即可作出判断.【详解】①正确：∵ABC △是等边三角形，∴60BAC ︒∠=，∴CA AB =．∵ABD △是等腰直角三角形，∴DA AB =．又∵90BAD ︒∠=，∴150CAD BAD BAC ︒∠=∠+∠=，∴DA CA =，∴()1180150152ADC ACD ︒︒︒∠=∠=-=； ②错误：∵∠EDF=∠ADB-∠ADC=30°∴∠DFE=90°-∠EDF=90°-30°=60°=∠AFG∵∠AGD=90°-∠ADG=90°-15°=75°∠AFG≠∠AGD∴AF≠AG③，④正确，由题意可得45DAF ABH ︒∠=∠=，DA AB =，∵AE BD ⊥，AH CD ⊥．∴180EHG EFG ︒∠+∠=．又∵180?DFA EFG ∠+∠=，∴EHG DFA ∠=∠，在DAF △和ABH 中 ()AFD BHA DAF ABHAAS DA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DAF △≌ABH ．∴DF AH =．⑤正确：∵150CAD ︒∠=，AH CD ⊥，∴75DAH ︒∠=，又∵45DAF ︒∠=，∴754530EAH ︒︒︒∠=-=又∵AE DB ⊥，∴2AH EH =，又∵=AH DF ，∴2DF EH =【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，综合性较强，属于较难题目.18．如图，把ΔABC 剪成三部分，边AB ，BC ，AC 放在同一直线上，点O 都落在直线MN 上，直线MN ∥AB ．在ΔABC 中，若∠AOB =125°，则∠ACB 的度数为（ ）A ．70°B ．65°C ．60°D ．85°【答案】A【解析】【分析】利用平行线间的距离处处相等，可知点O 到BC 、AC 、AB 的距离相等，得出O 为三条角平分线的交点，根据三角形内角和定理和角平分线的定义即可得出结论．【详解】如图1，过点O 作OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ．∵MN ∥AB ，∴OD =OE =OF （平行线间的距离处处相等）．如图2：过点O 作OD '⊥BC 于D '，作OE '⊥AC 于E '，作OF '⊥AB 于F '．由题意可知：OD =OD '，OE =OE '，OF =OF '，∴OD '=OE '=OF '，∴图2中的点O 是三角形三个内角的平分线的交点．∵∠AOB =125°，∴∠OAB +∠OBA =180°－125°=55°，∴∠CAB +∠CBA =2×55°=110°，∴∠ACB =180°－110°=70°．故选A ．【点睛】本题考查了三角形的内心，平行线间的距离处处相等，角平分线定义，解答本题的关键是判断出OD =OE =OF ．19．已知111122,A B C A B C △△的周长相等，现有两个判断：①若21212112,A AB CB A A C==，则111222A B C A B C△≌△；②若12=A A∠∠，1122=A C A C，则111222A B C A B C△≌△，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A．①，②都正确B．①，②都错误C．①错误，②正确D．①正确，②错误【答案】A【解析】【分析】根据SSS即可推出△111A B C≅△222A B C，判断①正确；根据相似三角形的性质和判定和全等三角形的判定推出即可．【详解】解：①△111A B C，△222A B C的周长相等，1122A B A B=，1122AC A C=，1122B C B C∴=，∴△111A B C≅△222()A B C SSS，∴①正确；②如图，延长11A B到1D，使1111B D B C=，，延长22A B到2D，使2222B D B C=，∴111111A D AB B C=+，222222A D AB B C=+，∵111122,A B C A B C△△的周长相等，1122=A C A C∴1122A D A D=，在△111A B D和△222A B D中1122121122==A D A DA AA C A C=⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△111A B D≅△222A B D（SAS）∴12=D D∠∠，∵1111B D B C=，2222B D B C=∴1111=D D C B∠∠，2222=D D C B∠∠，又∵1111111=A B C D D C B∠∠+∠，2222222=A B C D D C B∠∠+∠，∴1112221==2A B C A B C D∠∠∠，在△111A B C和△222A B C中111222121122===A B C A B C A A A C A C ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∴△111A B C ≅△222A B C （AAS ），∴②正确；综上所述：①，②都正确．故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质，能构造全等三角形、综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，而AAA 和SSA 不能判断两三角形全等．20．下列命题中的假命题是（ ）A ．等边三角形的一个内角的平分线把这个等边三角形分成的两个三角形全等B ．等腰三角形底边上的中线把这个等腰三角形分成的两个三角形全等C ．等腰直角三角形底边上的高把这个等腰直角三角形分成的两个三角形全等D ．直角三角形斜边上的中线把这个直角三角形分成的两个三角形全等【答案】D【解析】【分析】根据等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质和全等三角形的判定进行判定即可.【详解】解：A 、等边三角形的一个内角的平分线把这个等边三角形分成的两个三角形全等，正确，是真命题；B 、等腰三角形底边上的中线把这个等腰三角形分成的两个三角形全等，正确，是真命题；C 、等腰直角三角形底边上的高把这个等腰直角三角形分成的两个三角形全等，正确，是真命题；D 、直角三角形斜边上的中线把这个直角三角形分成的两个三角形全等，错误，是假命题，故答案为D ．【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质和全等三角形的判定，其中灵活应用所学知识是解答本题的关键.21．如图，已知在正方形ABCD 中，点E F 、分别在BC CD 、上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，给出下列结论：①BE DF =； ② 15DAF ∠=;③AC 垂直平分EF ; ④BE DF EF +=．其中结论正确的共有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C【解析】试题分析：四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD ，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF 等边三角形，∴AE=EF=AF ，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE=DF （故①正确）．∠BAE=∠DAF ，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°（故②正确），∵BC=CD ，∴BC ﹣BE=CD ﹣DF ，即CE=CF ，∵AE=AF ，∴AC 垂直平分EF ．（故③正确）． 设EC=x ，由勾股定理，得EF=x ，CG=x ，AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=x ， ∴AC=， ∴AB=， ∴BE=﹣x=， ∴BE+DF=x ﹣x≠x ．（故④错误）．∴综上所述，正确的有3个．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质．22．Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 点为Rt △ABC 外一点，且BD ⊥CD ，DF 为∠BDA 的平分线，当∠ACD ＝15°，下列结论：①∠ADC ＝45°；②AD ＝AF ；③AD+AF ＝BD ；④BC ﹣CE ＝2D,其中正确的是( )A ．①③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】C【解析】【分析】由题意可证点A，点C，点B，点D四点共圆，可得∠ADC＝∠ABC＝45°；由角平分线的性质和外角性质可得∠AFD＝∠BDF+∠DBF＞∠ADF，可得AD≠AF；如图，延长CD至G，使DE＝DG，在BD上截取DH＝AD，连接HF，由“SAS”可证△ADF≌△HDF，可得∠DHF＝∠DAF＝30°，AF＝HF，由等腰三角形的性质可得BH＝AF，可证BD＝BH+DH＝AF+AD；由“SAS”可证△BDG≌△BDE，可得∠BGD＝∠BED＝75°，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得BC＝BG＝2DE+EC.【详解】∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，且∠ACD＝15°，∵∠BCD＝30°，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴点A，点C，点B，点D四点共圆，∴∠ADC＝∠ABC＝45°，故①符合题意，∠ACD＝∠ABD＝15°，∠DAB＝∠DCB＝30°，∵DF为∠BDA的平分线，∴∠ADF＝∠BDF，∵∠AFD＝∠BDF+∠DBF＞∠ADF，∴AD≠AF，故②不合题意，如图，延长CD至G，使DE＝DG，在BD上截取DH＝AD，连接HF，∵DH＝AD，∠HDF＝∠ADF，DF＝DF，∴△ADF≌△HDF(SAS)∴∠DHF＝∠DAF＝30°，AF＝HF，∵∠DHF＝∠HBF+∠HFB＝30°，∴∠HBF＝∠BFH＝15°，∴BH＝HF，∴BH＝AF，∴BD＝BH+DH＝AF+AD，故③符合题意，∵∠ADC＝45°，∠DAB＝30°＝∠BCD，∴∠BED＝∠ADC+∠DAB＝75°，∵GD＝DE，∠BDG＝∠BDE＝90°，BD＝BD，∴△BDG≌△BDE(SAS)∴∠BGD＝∠BED＝75°，∴∠GBC＝180°﹣∠BCD﹣∠BGD＝75°，∴∠GBC＝∠BGC＝75°，∴BC＝BG，∴BC＝BG＝2DE+EC，∴BC﹣EC＝2DE，故④符合题意，故选：C.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，23．如图，AO OM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 ( )A．3.6 B．4 C．4.8 D．PB的长度随B点的运动而变化【答案】B【解析】【分析】作辅助线，首先证明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；进而证明△BPF≌△MPE，即可解决问题．【详解】如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，∴∠BAO=∠NBE，∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，∴AB=BE，BF=BO；在△ABO与△BEN中，BAONBE AOB BNE AB BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ABO ≌△BEN （AAS ），∴BO=NE ，BN=AO ；∵BO=BF ，∴BF=NE ，在△BPF 与△NPE 中，FBP ENP FPB EPN BF NE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△BPF ≌△NPE （AAS ），∴BP=NP=12BN ；而BN=AO ， ∴BP=12AO=12×8=4， 故选B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答．24．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 相交于点O ，给出四个条件：①OB=OC ；②∠EBO=∠DCO ；③∠BEO=∠CDO ；④BE=CD ．上述四个条件中，选择两个可以判定△ABC 是等腰三角形的方法有（ ）A ．2种B ．3种C ．4种D ．6种【答案】C【解析】【分析】 ①②：求出OBC=∠OCB ，推出∠ACB=∠ABC 即可的等腰三角形；①③：证△EBO ≌△DCO ，得出∠EBO=∠DCO ，求出∠ACB=∠ABC 即可；②④：证△EBO ≌△DCO ，推出OB=OC ，求出∠ABC=∠ACB 即可；③④：证△EBO ≌△DCO ，推出∠EBO=∠DCO ，OB=OC ，求出∠OBC=∠OCB ，推出∠ACB=∠ABC 即可．【详解】解：有①②，①③，②④，③④，共4种，①②，理由是：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵∠EBO=∠DCO，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形；①③，理由是：∵在△EBO和△DCO中BEO CDOEOB DOC OB OC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBO≌△DCO，∴∠EBO=∠DCO，∵∠OBC=∠OCB（已证），∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，即AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；②④，理由是：∵在△EBO和△DCO中BEO CDOEOB DOC BE CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBO≌△DCO，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，即AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；③④，理由是：∵在△EBO和△DCO中BEO CDOEOB DOC BE CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBO≌△DCO，∴∠EBO=∠DCO，OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB ，即∠ABC=∠ACB ，即AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形；故选C ．25．如图所示，△ABP 与△CDP 是两个全等的等边三角形，且PA ⊥PD ，有下列四个结论：①∠PBC ＝15°，②AD ∥BC ，③PC ⊥AB ，④四边形ABCD 是轴对称图形，其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】【分析】根据周角的定义先求出∠BPC 的度数，再根据对称性得到△BPC 为等腰三角形，∠PBC 即可求出；根据题意：有△APD 是等腰直角三角形；△PBC 是等腰三角形；结合轴对称图形的定义与判定，可得四边形ABCD 是轴对称图形，进而可得②③④正确．【详解】根据题意，BPC 36060290150∠=-⨯-= ， BP PC =，()PBC 180150215∠∴=-÷=，①正确；根据题意可得四边形ABCD 是轴对称图形，④正确；∵∠DAB+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°，∴AD//BC ，②正确；∵∠ABC+∠BCP=60°+15°+15°=90°，∴PC ⊥AB ，③正确，所以四个命题都正确，故选D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称图形的定义与判定等，熟练掌握各相关性质与定理是解题的关键.26．已知：如图，在长方形ABCD 中，AB=4，AD=6．延长BC 到点E ，使CE=2，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA 向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，△ABP 和△DCE 全等．A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7【答案】C【解析】【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得．【详解】解：因为AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP=2t=2，所以t=1，因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP=16-2t=2，解得t=7．所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL．27．如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（）①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．A．①②③B．①②④C．①②D．①②③④【答案】A【解析】【分析】根据题意结合图形证明△AFB≌△AEC；利用四点共圆及全等三角形的性质问题即可解决．【详解】如图，∵∠EAF=∠BAC ，∴∠BAF=∠CAE ；在△AFB 与△AEC 中，AF AE BAF CAE AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△AFB ≌△AEC （SAS ），∴BF=CE ；∠ABF=∠ACE ，∴A 、F 、B 、C 四点共圆，∴∠BFC=∠BAC=∠EAF ；故①、②、③正确，④错误．故选A.．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是准确找出图形中隐含的全等三角形，灵活运用四点共圆等几何知识来分析、判断、推理或证明．28．如图，在△ABC 中，AB=AC ，高BD ，CE 交于点O ，AO 交BC 于点F ，则图中共有全等三角形（）A ．8对B ．7对C ．6对D ．5对【答案】B【解析】【分析】 易证△ABC 是关于AF 对称的图形，其中的小三角形也关于AF 对称，共可找出7对三角形.【详解】全等的三角形有：①△AFB≌△AFC；②△CEB≌△BDC；③△AEO≌△ADO；④△EOB≌△DOC；⑤△OBF≌△OFC；⑥△AOB≌△AOC；⑦△AEC≌△ADB证明①△AFB≌△AFC∵AB=AC，CE⊥AB，BD⊥AC又∵1122ABCS AB CE AC BD==∴CE=BD∴在Rt△BCE和Rt△CBD中BC BCCE BD=⎧⎨=⎩∴△BCE≌△CBD∴BE=CD，∴AE=AD在Rt△AEO和Rt△ADO中AE ADAO AO=⎧⎨=⎩∴△AEO≌△ADO∴∠EOD=∠DOA在△BAF和△CAF中AB ACBAF CAFAF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAF≌△CAF，得证其余全等证明过程类似故选：B【点睛】本题考查全等的证明，解题关键是利用等腰三角形的性质，推导出图形中边的关系，为证全等作准备29．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论中正确的是（）A．AB﹣AD＞CB﹣CD B．AB﹣AD=CB﹣CDC．AB﹣AD＜CB﹣CD D．AB﹣AD与CB﹣CD的大小关系不确定【答案】A【解析】如图，在AB上截取AE=AD，连接CE．∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，又AC是公共边，∴△AEC≌△ADC（SAS），∴AE=AD，CE=CD，∴AB-AD=AB-AE=BE，BC-CD=BC-CE，∵在△BCE中，BE＞BC-CE，∴AB-AD＞CB-CD．故选A．30．已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动时DCE全等．间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△【答案】C【解析】【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得．【详解】解：因为AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP=2t=2，所以t=1，因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP=16-2t=2，解得t=7．所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL．。

八年级数学上册轴对称填空选择单元测试题（Word版含解析）一、八年级数学全等三角形填空题（难）1．如图，已知点I是△ABC的角平分线的交点．若AB＋BI＝AC，设∠BAC＝α，则∠AIB＝______（用含α的式子表示）【答案】1206α︒-【解析】【分析】在AC上截取AD=AB，易证△ABI≌△ADI，所以BI=DI，由AB＋BI＝AC，可得DI=DC，设∠DCI=β，则∠ADI=∠ABI=2β，然后用三角形内角和可推出β与α的关系，进而求得∠AIB.【详解】解：如图所示，在AC上截取AD=AB，连接DI，点I是△ABC的角平分线的交点所以有∠BAI=∠DAI，∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠BCI，在△ABI和△ADI中，AB=ADBAI=DAIAI=AI⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABI≌△ADI（SAS）∴DI=BI又∵AB＋BI＝AC，AB+DC=AC∴DI=DC∴∠DCI=∠DIC设∠DCI=∠DIC=β则∠ABI=∠ADI=2∠DCI=2β在△ABC 中， ∠BAC+2∠ABI+2∠DCI=180°，即42180ββ︒++=a ，∴180=3066β︒︒=--a a 在△ABI 中，180︒∠=-∠-∠AIB BAI ABI121802αβ︒=-- 1=23160028αα︒︒⎛⎫--- ⎪⎝⎭ =1206α︒-【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形角度计算，利用截长补短构造全等三角形是解题的关键.2．如图，10AB =，45A B ∠=∠=︒，32AC BD ==．点E ，F 为线段AB 上两点．现存在以下条件：①4CE DF ==；②AF BE =；③CEB DFA ∠=∠；④5CE DF ==．请在以上条件中选择一个条件，使得ACE △一定．．和BDF 全等，则这个条件可以为________．（请写出所有正确的答案）【答案】②③④【解析】【分析】根据三角形全等的判定定理逐个判断即可.【详解】①如图1，过点C 作CM AB ⊥，过点D 作DN AB ⊥32,45A B AC BD ∠=∠===︒3CM AM DN BN ∴====4CE DF ==由勾股定理得：22227,7ME CE CM NF DF DN =-==-=37,37AE AM ME BF BN NF ∴=-=-=+=+AE BF ≠此时，ACE ∆和BDF ∆不全等②AF BE=AF EF BE EF∴+=+，即AE BF=又452,3AC DA B B∠=∠=︒==则由SAS定理可得，ACE BDF∆≅∆③CEB DFACEB C ADFA D B∠=∠⎧⎪∠=∠+∠⎨⎪∠=∠+∠⎩C AD B∴∠+∠=∠+∠又A B∠=∠C D∴∠=∠32AC BD==则由ASA定理可得，ACE BDF∆≅∆④由（1）知，当5CE DF==时，22224,4ME CE CM NF DF DN=-==-=此时，,,CE CA DF BDME AM NF BN>>⎧⎨>>⎩则点E在点M的右侧，点F在点N的左侧又10AM BN ME AM BN NF AB++=++==则点E与点N重合，点F与点M重合，如图2所示因此必有347AE BF==+=由SSS定理可得，ACE BDF∆≅∆故答案为：②③④.【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟记各判定定理是解题关键.3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，交AD于F，FG∥BC，FH∥AC，下列结论：①AE＝AF；②AF＝FH；③AG＝CE；④AB＋FG＝BC，其中正确的结论有________________．(填序号)【答案】①②③④【解析】①正确.∵∠BAC ＝90°∴∠ABE+∠AEB=90°∴∠ABE=90°-∠AEB∵AD ⊥BC∴∠ADB=90°∴∠DBE+∠BFD=90°∴∠DBE=90-∠BFD∵∠BFD=∠AFE∴∠DBE=90°-∠AFE∵BE 平分∠ABC∴∠ABE=∠DBE∴90°-∠AEB=90°-∠AFE∴∠AEB=∠AFE∴AE=AF②正确.∵∠BAC=90°∴∠BAF+∠DAC=90°∴∠BAF=90°-∠DAC∵AD ⊥BC∴∠ADC=90°∴∠C+∠DAC=90°∴∠C=90°-∠DAC∴∠C=∠BAF∵FH ∥AC∴∠C=∠BHF∴∠BAF=∠BHF在△ABF 和△HBF 中ABE CBE BAF BHF BF BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△HBF∴AF=FH③正确.∵AE=AF，AF=FH∴AE=FH∵FG∥BC，FH∥AC∴四边形FHCG是平行四边形∴FH=GC∴AE=GC∴AE+EG=GC+EG∴AG=CE④正确.∵四边形FHCG是平行四边形∴FG=HC∵△ABF≌△HBF∴AB=HB∴AB+FG=HB+HC=BC故正确的答案有①②③④.4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CF交AB于E，BD⊥CF，AF⊥CF，则下列结论:①∠ACF＝∠CBD②BD＝FC③FC＝FD+AF④AE=DC中，正确的结论是____________(填正确结论的编号)【答案】①②③【解析】【分析】根据同角的余角相等，可得到结论①，再证明△ACF≌△CBD，然后根据全等三角形的性质判断结论②、③、④即可.【详解】解：∵BD⊥CF，AF⊥CF，∴∠BDC=∠AFC=90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACF+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，∴∠ACF=∠CBD，故①正确；在△ACF和△CBD中，BDC AFCACF CBDAC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△CBD，∴BD＝FC，CD=AF，故结论②正确∴FC＝FD+CD=FD+AF，故结论③正确，∵在Rt△AEF中，AE>AF，∴AE>CD，故结论④错误.综上所述，正确的结论是：①②③.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定方法及全等的性质是解题的关键.5．已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=10,AC=4,则AD的取值范围是_____.【答案】3＜AD＜7【解析】【分析】连接AD并延长到点E，使DE=DA，连接BE，利用SAS证得△BDE≌△CDA，进而得到BE=CA=4，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求得AE的取值范围，进而求出AD的取值范围.【详解】如图，连接AD并延长到点E，使DE=DA，连接BE，∵在△ABC中，AD是BC边上的中线∴BD=CD在△BDE和△CDA中BD CDBDE CDADE DA=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE≌△CDA（SAS）∴BE=CA=4在△ABE中，AB+BE>AE，且AB﹣BE＜AE∵AB=10,AC=4,∴6＜AE＜14∴3＜AD＜7故答案为3＜AD＜7【点睛】本题考点涉及三角形全等的判定及性质、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握相关性质定理是解题关键.6．如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB=12cm，AC=6cm．动点E 从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED=CB．当点E经过______s时，△DEB与△BCA全等．【答案】0、2、6、8【解析】∵CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，∴∠CAB=∠DBE=90°，∴△CAB和△EBD都是Rt△，∵点E运动过程中两三角形始终保持斜边ED=CB，∴当BE=BA=12cm或BE=AC=6cm时，两三角形全等，如图共有四种情形，此时AE分别等于0cm、6cm、18cm、24cm，又∵点E每秒钟移动3cm，∴当点E移动的时间分别为0秒、2秒、6秒和8秒时，两三角形全等.7．AD、BE是△ABC的高，这两条高所在的直线相交于点O，若BO=AC，则∠ABC=______.【答案】45°或135°【解析】【分析】分别讨论△ABC为锐角三角形时、∠A、∠B、∠C分别为钝角时和∠A为直角时五种情况，利用AAS证明△BOD≌△ACD，可得BD=AD，根据等腰直角三角形的性质即可得答案.【详解】①如图，当△ABC为锐角三角形时，∵AD、BE为△ABC的两条高，∴∠CAD+∠AOE=90°，∠CBE+∠BOD=90°，∵∠BOD=∠AOE，∴∠CAD=∠OBD，又∵∠ODB=∠ADC=90°，OB=AC，∴△BOD≌△ACD，∴AD=BD，∵AD⊥BC，∴∠ABC=45°，②如图，当∠B为钝角时，∵∠C+∠CAD=90°，∠O+∠CAD=90°，∴∠C=∠O，又∵∠ADC=∠ODB=90°，OB=AC，∴△BOD≌△ACD，∴BD=AD，∵AD⊥BC，∴∠ABD=45°，∴∠ABC=180°-45°=135°.③如图，当∠A为钝角时，同理可证：△BOD≌△ACD，∴AD=BD.∴∠ABC=45°，④如图，当∠C为钝角时，同理可证：△BOD≌△ACD，∴AD=BD.∴∠ABC=45°.⑤当∠B为直角时，点O、D、B重合，OB=0，不符合题意，当∠C为直角时，点O、C、D、E重合，CD=0，不符合题意，如图，当∠A为直角时，点A、E、O重合，∵OB=AC，∠CAB=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°.综上所述：∠ABC的度数为45°或135°.故答案为：45°或135°【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：SSS、AAS、ASA、SAS 、HL 等，注意：SAS 时，角必须是两边的夹角，SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.灵活运用分类讨论的思想是解题关键.8．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足．下列结论：①△ABD ≌△EBC ； ②∠BCE+∠BCD=180°； ③AF 2=EC 2﹣EF 2； ④BA+BC=2BF ．其中正确的是_____．【答案】①②③④．【解析】【分析】根据已知条件易证△ABD ≌△EBC ，可判定①正确；根据等腰三角形的性质、对顶角相等、结合全等三角形的性质及平角的定义即可判定②正确；证明AD=AE=EC ，再利用勾股定理即可判定③正确；过E 作EG ⊥BC 于G 点，证明Rt △BEG ≌Rt △BEF 及Rt △CEG ≌Rt △AFE ，根据全等三角形的性质可得AF=CG ，所以BA+BC=BF+FA+BG ﹣CG=BF+BG=2BF ，即可判定④正确.【详解】①∵BD 为△ABC 的角平分线，∴∠ABD=∠CBD ，在△ABD 和△EBC 中，BD BC ABD CBD BE BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△EBC （SAS ），∴①正确；②∵BD 为△ABC 的角平分线，BD=BC ，BE=BA ，∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA ，∵△ABD ≌△EBC ，∴∠BCE=∠BDA ，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，∴②正确；③∵∠BCE=∠BDA ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ，∠BDA=∠DAE+∠BEA ，∠BCD=∠BEA ， ∴∠DCE=∠DAE ，∴△ACE 为等腰三角形，∴AE=EC ，∵△ABD ≌△EBC ，∴AD=EC ，∴AD=AE=EC ，∵EF ⊥AB ，∴AF 2=EC 2﹣EF 2；∴③正确；④如图，过E 作EG ⊥BC 于G 点，∵E 是BD 上的点，∴EF=EG ，在Rt △BEG 和Rt △BEF 中，BE BE EF EG =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BEG ≌Rt △BEF （HL ），∴BG=BF ，在Rt △CEG 和Rt △AFE 中，EF FG AE CE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CEG ≌Rt △AFE （HL ），∴AF=CG ，∴BA+BC=BF+FA+BG ﹣CG=BF+BG=2BF ，∴④正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．9．如图，已知AC 平分∠DAB ，CE ⊥AB 于点E ，AB =AD +2BE ，则下列结论：①AB +AD= 2AE ；②∠DAB +∠DCB =180°；③CD =CB ；④S ACE ﹣S BCE =S ACD ．其中正确的是______．【答案】①②③④．【解析】【分析】【详解】①在AE取点F，使EF＝BE，连接CF．∵AB＝AD＋2BE＝AF＋EF＋BE，EF＝BE，∴AB＝AD＋2BE＝AF＋2BE，∴AD＝AF，∴AB＋AD＝AF＋EF＋BE＋AD＝2AF＋2EF＝2(AF＋EF)＝2AE，∴AB+AD= 2AE，故①正确；②在AB上取点F，使EF＝BE，连接CF．在△ACD与△ACF中，∵AD＝AF，∠DAC＝∠FAC，AC＝AC，∴△ACD≌△ACF，∴∠ADC＝∠AFC．∵CE垂直平分BF，∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠B．又∵∠AFC＋∠CFB＝180°，∴∠ADC＋∠B＝180°，∴∠DAB+∠DCB=180°故②正确；③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD＝CF，又∵CF＝CB，∴CD＝CB，故③正确；④易证△CEF≌△CEB，∴S△ACE﹣S△BCE＝S△ACE﹣S△FCE＝S△ACF，又∵△ACD≌△ACF，∴S△ACF＝S△ADC，∴S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC，故④正确．综上所述，正确的结论是①②③④，故答案为①②③④．10．如图，△ABC与△DEF为等边三角形，其边长分别为a，b，则△AEF的周长为___________．【答案】a+b【解析】先根据全等三角形的判定AAS判定△AEF≌△BFD，得出AE=BF，从而得出△AEF的周长=AF+AE+EF=AF+BF+EF=a+b．故答案为：a+b二、八年级数学全等三角形选择题（难）11．如图，在△ABC中，∠ABC=45°， BC=4，以AC为直角边，点A为直角顶点向△ABC的外侧作等腰直角三角形ACD，连接BD，则△DBC的面积为( ) .A．8 B．10 C．42D．82【答案】A【解析】【分析】将△ABD绕着点A顺时针旋转90°得到△AEC，BD与EC交于点O，连接BE，根据旋转的性质得到AE=AB，∠BAE=∠DOC=90°，过D点作DF⊥BC，证△EBC≌BFD，可得DF=BC=4，再用三角形面积公式即可得出答案.【详解】解：如下图所示，将△ABD绕着点A顺时针旋转90°得到△AEC，BD与EC交于点O，连接BE，根据旋转的性质可知EC=BD，AE=AB，∠BAE=∠DOC=90°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴∠ABE=45°，又∵∠ABC=45°，∴∠EBC=90°，∵∠BDF+∠DBF=90°，∠ECB+∠DBF=90°，∴∠BDF=∠ECB在△EBC 和△BFD 中EBC=BFD=90ECB=BDFEC=BD ⎧∠∠⎪∠∠⎨⎪⎩∴△EBC ≌△BFD （AAS ）∴DF=BC=4∴△DBC 的面积=11BC DF=44=822⋅⨯⨯ 故选A.【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，是一道综合性较强的题，难度较大，关键是正确的作出辅助线构造全等三角形.12．如图, AB=AC ，AD=AE ， BE 、CD 交于点O ，则图中全等三角形共有（ ）A ．五对B ．四对C ．三对D ．二对【答案】A【解析】 如图，由已知条件可证：①△ABE ≌△ACD ；②△DBC ≌△ECB ；③△BDO ≌△ECO ；④△ABO ≌△ACO ；⑤△ADO ≌△AEO ；∴图中共有5对全等三角形.故选A.13．如图，已知，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ．下面结论：①△ABD ≌△EBC ；②AC=2CD ；③AD=AE=EC ；④∠BCE+∠BCD=180°．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】C【解析】 已知BD 为△ABC 的角平分线，根据角平分线的定义可得∠ABD =∠CBD ，在△AB D 和△EB C 中，BD ＝BC ，∠ABD ＝∠CBD ，BE ＝BA ，由SAS 可判定△ABD ≌△EBC ，即可得①正确；根据已知条件，无法证明AC =2CD ，②错误； 已知BD 为△ABC 的角平分线，BD=BC ，BE=BA ，可得∠BCD =∠BDC =∠BAE =∠BEA ， 再由∠BCE =∠BDA ，∠BCE =∠BCD +∠DCE ，∠BDA =∠DAE +∠BEA ，∠BCD =∠BEA ，可得∠DCE =∠DAE ，所以AE =EC ；再由△ABD ≌△EBC ，可得AD=EC ，所以AD=AE=EC ，即③正确；由△ABD ≌△EBC ，可得∠BCE =∠BDA ，所以∠BCE +∠BCD =∠BDA +∠BDC =180°，④正确.故选C.点睛：本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的的性质、三角形外角的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．14．如图在ABC △中，P ，Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR AB ⊥，PS AC ⊥，垂足分别是R ，S ，AQ PQ =，PR PS =，下面三个结论：①AS AR =；②PQ AB ∥；③BRP △≌CSP △．其中正确的是（ ）．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【答案】A【解析】连接AP ，由题意得，90ARP ASP ∠=∠=︒，在Rt APR 和Rt APS 中，AP AP PR PS=⎧⎨=⎩， ∴△APR ≌()APS HL ，∴AS AR =，故①正确．BAP SAP ∠=∠，∴2SAB BAP SAP SAP ∠=∠+∠=∠，在AQP △中，∴AQ PQ =，∴QAP APQ ∠=∠，∴22CQP QAP APQ QAP SAP ∠=∠+∠=∠=∠，∴PQ AB ∥，故②正确；在Rt BRP 和Rt CSP 中，只有PR PS =，不满足三角形全等的条件，故③错误．故选A ．点睛：本题主要考查三角形全等的判定方法以及角平分线的判定和平行线的判定，准确作出辅助线是解决本题的关键.15．如图，AD 是△ABC 的外角平分线，下列一定结论正确的是（ ）A ．AD+BC=AB+CD ，B ．AB+AC=DB+DC,C ．AD+BC ＜AB+CD ，D ．AB+AC ＜DB+DC【答案】D【解析】【分析】 在BA 的延长线上取点E,使AE=AC,连接ED,证△ACD ≌△AED,推出DE=DC,根据三角形中任意两边之和大于第三边即可得到AB+AC ＜DB+DC.【详解】解: 在BA 的延长线上取点E, 使AE=AC,连接ED,∵AD 是△ABC 的外角平分线，∴∠EAD=∠CAD,在△ACD 和△AED 中,AD AD EAD CAD AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△AED(SAS)∴DE=DC,在△EBD 中,BE ＜BD+DE,∴AB+AC ＜DB+DC故选:D.【点睛】本题主要考查三角形全等的证明,全等三角形的性质,三角形的三边关系,作辅助线构造以AB 、AC 、DB 、DC 的长度为边的三角形是解题的关键，也是解本题的难点.16．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ABC =∠AED =90°，AB =CD=AE =BC +DE =2，则五边形ABCDE 的面积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】【分析】 可延长DE 至F ，使EF=BC ，利用SAS 可证明△ABC ≌△AEF ，连AC ，AD ，AF ，再利用SSS 证明△ACD ≌△AFD ，可将五边形ABCDE 的面积转化为两个△ADF 的面积，进而求解即可．【详解】延长DE 至F ，使EF=BC ，连AC ，AD ，AF ，在△ABC与△AEF中，=90AB AEABC AEFBC EF⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴AC=AF，∵AB=CD=AE=BC+DE，∠ABC=∠AED=90°，∴CD=EF+DE=DF，在△ACD与△AFD中，AC AFCD DFAD AD⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACD≌△AFD（SSS），∴五边形ABCDE的面积是：S=2S△ADF=2×12•DF•AE=2×12×2×2=4．故选C.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，正确作出辅助线，利用全等三角形把五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积是解决问题的关键．17．如图，在Rt△ABC中，AB AC=，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90︒后，得到△AFB，连接EF.列结论：①△ADC≌△AFB；②△ABE≌△ACD；③△AED≌△AEF；④BE DC DE+=其中正确的是( )A．②④B．①④C．②③D．①③【答案】D【解析】解：∵将△ADC绕点A顺时针旋转90︒后，得到△AFB，∴△ADC≌△AFB，故①正确；②无法证明，故②错误；③∵△ADC ≌△AFB ，∴AF =AD ，∠FAB =∠DAC ．∵∠DAE =45°，∴∠BAE +∠DAC =45°，∠FA E =∠DAE =45°．在△FAE 和△DAE 中，∵AF =AD ，∠FAE =∠DAE ，AE =AE ，∴△FAE ≌△DAE ，故③正确；④∵△ADC ≌△AFB ，∴DC =BF ，∵△FAE ≌△DAE ，∴EF =ED ，∵BF +BE ＞EF ，∴DC +BE ＞ED ．故④错误．故选D ．18．如图，D 为BAC ∠的外角平分线上一点并且满足BD CD =，DBC DCB ∠=∠，过D 作DE AC ⊥于E ，DF AB ⊥交BA 的延长线于F ，则下列结论：①CDE △≌BDF ；②CE AB AE =+；③BDC BAC ∠=∠；④DAF CBD ∠=∠． 其中正确的结论有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】 BD=CD,AD 是角平分线，所以FD=DE,∠DFB =∠DEC =90°，所以CDE ≌BDF ；①正确.由全等得BF=CE ,因为FA=AE,FB=AB+FA ,所以CE=AB+AE , ②正确.由全等知，∠DCE=∠FBD,所以∠BAC=∠BDC. ③正确. ∴DBF DCE ∠=∠，∴A 、B 、C 、D 四点共圆，∴DAF CBD ∠=∠，④正确．故选D.19．下列四组条件中，能够判定△ABC 和△DEF 全等的是（ ）A ．AB=DE ，BC=EF ，∠A=∠DB ．AC=EF ，∠C=∠F ，∠A=∠DC ．∠A=∠D ，∠B=∠E ，∠C=∠FD ．AC=DF ，BC=DE ，∠C=∠D【答案】D【解析】根据三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，逐一判断：A 、AB=DE ，BC=EF ，∠A=∠D ，不符合“SAS ”定理，不能判断全等；B 、AC=EF ，∠C=∠F ，∠A=∠D ， 不符合“ASA”定理，不能判断全等；C 、∠A=∠D ，∠B=∠E ，∠C=∠F ，“AAA ”不能判定全等；不符合“SAS ”定理，不对应，不能判断全等；D、AC=DF，BC=DE，∠C=∠D，可利用“SAS”判断全等；故选：D．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．20．在和中，，高，则和的关系是( ) A．相等B．互补C．相等或互补D．以上都不对【答案】C【解析】试题解析：当∠C′为锐角时，如图1所示，∵AC=A′C′，AD=A′D′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C′，∴∠C=∠C′；当∠C为钝角时，如图3所示，∵AC=A′C′，AD=A′D′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，∴∠C=∠A′C′D′，∴∠C+∠A′C′B′=180°．故选C.21．如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G．下列结论：①BD=CD；②AD+CF=BD；③CE=12BF；④AE=BG．其中正确的是A．①②B．①③C．①②③D．①②③④【答案】C【解析】【分析】根据∠ABC=45°，CD⊥AB可得出BD=CD，利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF=AD，BF=AC．则CD=CF+AD，即AD+CF=BD；再利用AAS判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE=AE=12AC，又因为BF=AC所以CE=12AC=12BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角形，即BD=CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG=CG．在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE<CG．即AE<BG．【详解】解：∵CD⊥AB,∠ABC=45°，∴△BCD是等腰直角三角形.∴BD=CD.故①正确；在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵∠DBF=90°−∠BFD,∠DCA=90°−∠EFC，且∠BFD=∠EFC，∴∠DBF=∠DCA.又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，∴△DFB≌△DAC.∴BF=AC；DF=AD.∵CD=CF+DF，∴AD+CF=BD；故②正确；在Rt△BEA和Rt△BEC中.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE.又∵BE=BE,∠BEA=∠BEC=90°，∴Rt△BEA≌Rt△BEC.∴CE=AE=12 AC.又由(1)，知BF=AC，∴CE=12AC=12BF；故③正确；连接CG.∵△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD.又DH⊥BC，∴DH垂直平分BC.∴BG=CG.在Rt△CEG中，∵CG是斜边，CE是直角边，∴CE<CG.∵CE=AE，∴AE<BG.故④错误.故选C.【点睛】本题考查了等腰直角三角形、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质.此类问题涉及知识点较多，需要对相关知识点有很高的熟悉度.22．如图所示，点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN 于点C，AD⊥MN于点D，下列结论错误的是( )A．AD＋BC＝AB B．与∠CBO互余的角有两个C．∠AOB＝90°D．点O是CD的中点【答案】B【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AD=AE，BC=BE，利用角平分线的定义和平角的性质可得到∠AOB的度数，再利用“HL”证明Rt△AOD和Rt△AOE全等，根据全等三角形对应边相等可得OD=OE，同理可得OC=OE，然后求出∠AOB=90°，然后对各选项分析判断即可得解．【详解】∵点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，∴AD=AE，BC=BE．∵AB=AE+BE，∴AB=AD+BC，故A选项结论正确；与∠CBO互余的角有∠COB，∠EOB，∠OAD，∠OAE共4个，故B选项结论错误；∵点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，∴∠AOE=12∠EOD，∠BOC=12∠MOE，∴∠AOB=12(∠EOD+∠MOE)=12×180°=90°，故C选项结论正确；在Rt△AOD和Rt△AOE中，AO AOAD AE=⎧⎨=⎩，∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），∴OD=OE，同理可得OC=OE，∴OC=OD=OE，∴点O是CD的中点，故D选项结论正确．故选B．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，余角的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．23．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF＝CE，添加一个适当的条件后，仍不能使得△ABC≌△DEF（）A．AC＝DF B．AC∥DF C．∠A＝∠D D．AB＝DE【答案】A【解析】【分析】根据AB∥DE证得∠B＝∠E，又已知BF＝CE证得BC＝EF，即已具备两个条件：一边一角，再依次添加选项中的条件即可判断.【详解】∵AB∥DE，∴∠B＝∠E，∵BF＝CE，∴BF+FC＝CE+FC，∴BC＝EF，若添加AC＝DF，则不能判定△ABC≌△DEF，故选项A符合题意；若添加AC∥DF，则∠ACB＝∠DFE，可以判断△ABC≌△DEF（ASA），故选项B不符合题意；若添加∠A＝∠D，可以判断△ABC≌△DEF（AAS），故选项C不符合题意；若添加AB＝DE，可以判断△ABC≌△DEF（SAS），故选项D不符合题意；故选：A．【点睛】此题考查三角形全等的判定定理，熟练掌握定理，并能通过定理去判断条件是否符合全等是解决此题的关键.24．Rt△ABC中，AB＝AC，D点为Rt△ABC外一点，且BD⊥CD，DF为∠BDA的平分线，当∠ACD＝15°，下列结论：①∠ADC＝45°；②AD＝AF；③AD+AF＝BD；④BC﹣CE＝2D,其中正确的是( )A．①③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】C【解析】【分析】由题意可证点A，点C，点B，点D四点共圆，可得∠ADC＝∠ABC＝45°；由角平分线的性质和外角性质可得∠AFD＝∠BDF+∠DBF＞∠ADF，可得AD≠AF；如图，延长CD至G，使DE＝DG，在BD上截取DH＝AD，连接HF，由“SAS”可证△ADF≌△HDF，可得∠DHF＝∠DAF＝30°，AF＝HF，由等腰三角形的性质可得BH＝AF，可证BD＝BH+DH＝AF+AD；由“SAS”可证△BDG≌△BDE，可得∠BGD＝∠BED＝75°，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得BC＝BG＝2DE+EC.【详解】∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，且∠ACD＝15°，∵∠BCD＝30°，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴点A，点C，点B，点D四点共圆，∴∠ADC＝∠ABC＝45°，故①符合题意，∠ACD＝∠ABD＝15°，∠DAB＝∠DCB＝30°，∵DF为∠BDA的平分线，∴∠ADF＝∠BDF，∵∠AFD＝∠BDF+∠DBF＞∠ADF，∴AD≠AF，故②不合题意，如图，延长CD至G，使DE＝DG，在BD上截取DH＝AD，连接HF，∵DH＝AD，∠HDF＝∠ADF，DF＝DF，∴△ADF≌△HDF(SAS)∴∠DHF＝∠DAF＝30°，AF＝HF，∵∠DHF＝∠HBF+∠HFB＝30°，∴∠HBF＝∠BFH＝15°，∴BH＝HF，∴BH＝AF，∴BD＝BH+DH＝AF+AD，故③符合题意，∵∠ADC＝45°，∠DAB＝30°＝∠BCD，∴∠BED＝∠ADC+∠DAB＝75°，∵GD＝DE，∠BDG＝∠BDE＝90°，BD＝BD，∴△BDG≌△BDE(SAS)∴∠BGD＝∠BED＝75°，∴∠GBC＝180°﹣∠BCD﹣∠BGD＝75°，∴∠GBC＝∠BGC＝75°，∴BC＝BG，∴BC＝BG＝2DE+EC，∴BC﹣EC＝2DE，故④符合题意，故选：C.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，25．程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ②当∠PAQ=30°，PQ=9时，可得到形状唯一确定的△PAQ③当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ④当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ其中所有正确结论的序号是( )A．②③B．③④C．②③④D．①②③④【答案】C【解析】【分析】分别在以上四种情况下以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，观察弧与直线AM 的交点即为Q 点，作出PAQ ∆后可得答案．【详解】如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两个交点，作出PAQ ∆，发现两个位置的Q 都符合题意，所以PAQ ∆不唯一，所以①错误．如下图，当∠PAQ=30°，PQ=9时，以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两个交点，作出PAQ ∆，发现左边位置的Q 不符合题意，所以PAQ ∆唯一，所以②正确．如下图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两个交点，作出PAQ ∆，发现两个位置的Q 都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以PAQ ∆唯一，所以③正确．如下图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两个交点，作出PAQ ∆，发现左边位置的Q 不符合题意，所以PAQ ∆唯一，所以④正确．综上：②③④正确．故选C．【点睛】本题考查的是三角形形状问题，为三角形全等来探索判定方法，也考查三角形的作图，利用对称关系作出另一个Q是关键．26．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下五个结论：①△PFA≌△PEB，②EF=AP，③△PEF是等腰直角三角形，④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），S四边形AEPF=12S△ABC，上述结论中始终正确有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，∴AP⊥BC，AP=PB，∠B=∠CAP=45°，∵∠APF+∠FPA=90°，∠ APF+∠BPE=90°，∴∠APF=∠BPE，在△BPE和△APF中，∠B=∠CAP， BP=AP，∠BPE =∠APF，∴△PFA≌△PEB；故①正确；∵△ABC是等腰直角三角形点P是BC的中点，∴AP=12 BC，又∵EF不一定是△ABC的中位线，∴EF≠AP，故结论②错误；∵△PFA≌△PEB，∴PE=PF，又∵∠EPF=90°，∴△PEF是等腰直角三角形，故③正确；∵△PFA≌△PEB，∴S△PFA =S△PEB，∴S四边形AEPF=S△APE+S△APF=S△APE+S△BPE=S△APB=12S△ABC，故结论④正确；综上，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），始终正确的有3个结论.故选：C.点睛：本题意旋转为背景考查了全等三角形的判定和性质，解题时需要运用等腰直角三角形的判定和性质，综合性较强，根据题意得出△PFA≌△PEB是解答此题的关键.27．如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（）①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．A．①②③B．①②④C．①②D．①②③④【答案】A【解析】【分析】根据题意结合图形证明△AFB≌△AEC；利用四点共圆及全等三角形的性质问题即可解决．【详解】如图，∵∠EAF=∠BAC，∴∠BAF=∠CAE；在△AFB与△AEC中，AF AEBAF CAEAB AC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AFB≌△AEC（SAS），∴BF=CE；∠ABF=∠ACE，∴A、F、B、C四点共圆，∴∠BFC=∠BAC=∠EAF；故①、②、③正确，④错误．故选A.．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是准确找出图形中隐含的全等三角形，灵活运用四点共圆等几何知识来分析、判断、推理或证明．28．如图，O 是正ABC 内一点，3OA =，4OB =，5OC =，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO '，连接AO '，下列结论：①BO A '△可以由BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到：②点O 与O '的距离为4；③150AOB ∠=︒；④S 四边形643AOBO ；⑤9634AOC AOB S S +=+△△．其中正确的结论是（ ）A ．①②③④B ．①②③⑤C ．①②④⑤D ．①②③④⑤【答案】D【解析】【分析】 证明△BO ′A ≌△BOC ，又∠OBO ′＝60°，所以△BO ′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OBO ′是等边三角形，可知结论②正确；在△AOO ′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO ′是直角三角形；进而求得∠AOB ＝150°，故结论③正确；643AOO OBO AOBO S S S '∆'∆'=+=+四边形④正确；如图②，将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°，使得AB 与AC 重合，点O 旋转至O ″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S △AOC +S △AOB 转化为S △COO ″+S △AOO ″，计算可得结论⑤正确．【详解】解：由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，又∵OB ＝O ′B ，AB ＝BC ，∴△BO ′A ≌△BOC ，又∵∠OBO ′＝60°，∴△BO ′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到，故结论①正确；如图①，连接OO ′，∵OB ＝O ′B ，且∠OBO ′＝60°，∴△OBO ′是等边三角形，∴OO ′＝OB ＝4．故结论②正确；∵△BO ′A ≌△BOC ，∴O ′A ＝5．在△AOO ′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO ′是直角三角形，∠AOO ′＝90°，∴∠AOB ＝∠AOO ′+∠BOO ′＝90°+60°＝150°，故结论③正确；2313446432AOO OBO AOBO S S S '∆'∆'=+=⨯⨯+⨯=+四边形， 故结论④正确；如图②所示，将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°，使得AB 与AC 重合，点O 旋转至O ″点．易知△AOO ″是边长为3的等边三角形，△COO ″是边长为3、4、5的直角三角形，则23193436324AOC AOB COO AOO AOCO S S S S S ∆∆∆''∆''''+==+=⨯⨯+⨯=+四边形， 故结论⑤正确．综上所述，正确的结论为：①②③④⑤．故选：D ．【点睛】本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论⑤时，将△AOB 向不同方向旋转，体现了结论①﹣结论④解题思路的拓展应用．29．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD，AB ＞AD ，下列结论中正确的是（ ）A ．AB ﹣AD ＞CB ﹣CDB ．AB ﹣AD=CB ﹣CDC ．AB ﹣AD ＜CB ﹣CDD ．AB ﹣AD 与CB ﹣CD 的大小关系不确定【答案】A【解析】如图，在AB上截取AE=AD，连接CE．∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，又AC是公共边，∴△AEC≌△ADC（SAS），∴AE=AD，CE=CD，∴AB-AD=AB-AE=BE，BC-CD=BC-CE，∵在△BCE中，BE＞BC-CE，∴AB-AD＞CB-CD．故选A．30．如图，点P是AB上任意一点，∠ABC=∠ABD，还应补充一个条件，才能推出APD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是( )△APC≌△【答案】B【解析】根据题意，∠ABC=∠ABD，AB是公共边，结合选项，逐个验证得出：A、补充BC=BD，先证出△BPC≌△BPD，后能推出△APC≌△APD，故正确；B、补充AC=AD，不能推出△APC≌△APD，故错误；C、补充∠ACB=∠ADB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故正确；D、补充∠CAB=∠DAB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故正确．故选B．点睛：本题考查了三角形全等判定，三角形全等的判定定理：有AAS，SSS，ASA，SAS．注意SSA是不能证明三角形全等的，做题时要逐个验证，排除错误的选项．。

一、选择题1．已知锐角AOB ∠，如图（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作弧MN ，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点,C D 为圆心，CD 长为半径作弧，两弧交于点P ，连接,CP DP ； （3）作射线OP 交CD 于点Q ．根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：①//CP OB ；②2CP QC =；③AOP BOP ∠=∠；④CD OP ⊥．其中正确的有（ ）A ．①②③④B ．②③④C ．③④D ．③2．如图，在ABC ∆中，90,30C B ∠=︒∠=︒，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交,AB AC 于点M 和N ，再分别以,M N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列结论不正确的是（ ）A ．AD 是∠BAC 的平分线B ．60ADC ∠=︒ C ．点D 在AB 的垂直平分线上D ． : 1:3DAC ABD S S ∆∆= 3．下列命题正确的是（ ）A ．全等三角形的对应边相等B ．面积相等的两个三角形全等C ．两个全等三角形一定成轴对称D ．所有等腰三角形都只有一条对称轴 4．如图，已知ABC ∆中，,AB AC =点,DE 是射线AB 上的两个动点(点D 在点E 的右侧)．且,CE DE =连结CD ，若ACE x ∠=，BCD y ∠=．则y 关于x 的函数关系式是（ ）A ．()900180y x x =-<<︒B ．()101802y x x =<<︒C ．()39001802y x x =-<<︒D ．()201803y x x =<<︒ 5．如图，在ABC ∆中，90,30C B ︒︒∠=∠= ，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB AC 、于点M 和N ，再分别以M N 、为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP ，并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ）①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ︒∠=；③点D 在AB 的垂直平分线上﹔④若2AD =，则点D 到AB 的距离是1，:1:2DAC ABC S S ∆∆=A ．2B ．3C ．4D ．56．如图，点O 是ABC 的ABC ∠，ACB ∠的平分线的交点，//OD AB 交BC 于点D ，//OE AC 交BC 于点E ，若ODE 的周长为9cm ，那么BC 的长为（ ）A ．8cmB ．9cmC ．10cmD ．11cm 7．如图，在Rt ABC ∆中， 90,30,ACB A CD ︒︒∠=∠=是斜边AB 上的高，2BD =，那么AD 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．88．如图，已知点D 为ABC 内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若6AC =，4BC =，则BD 的长为（ ）A ．2B ．1.5C ．1D ．2.59．如图，在ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ）①AD 平分∠BAC ；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④2ABD ACD S S =．A ．1B ．2C ．3D ．410．北京有许多高校，下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，交AC 边于E ，交BC 边于D ，连接AD ，若3AE =，ABD △的周长为13，则ABC 的周长（ ）A ．16B ．19C ．20D ．24 12．已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为（ ）A ．50°B ．80°C ．65°或80°D ．50°或80° 二、填空题13．平面直角坐标系中，已知A （8，0），△AOP 为等腰三角形，且△AOP 的面积为16，则满足条件的P 点个数是______．14．如图，在ABC ∆中，90,BAC ∠=︒点D 在BC 上，BD BA =，点E 在BC 的延长线上，CA CE =，连接AE ，则DAE ∠的度数为_____________．15．如图，在Rt ABC △中．AC BC ⊥，若5AC =，12BC =，13AB =，将Rt ABC △折叠，使得点C 恰好落在AB 边上的点E 处，折痕为AD ，点P 为AD 上一动点，则PEB △的周长最小值为___．16．若点P(x-y ，y)与点Q(-1，-5)关于x 轴对称，则x+y=______．17．如图，∠MON=30°，点123A A A 、、…在射线ON 上，点123B B B 、、…在射线OM 上，△112A B A 、△223A B A 、△334A B A …均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为1a ，第2个等边三角形的边长记为2a ，以此类推．若11OA =，则2021a =____．18．如图，ABC 中，45ABC ∠=︒，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E 交CD 于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 交BE 于点G ，考察下列结论：①AC BF =；②2BF CE =；③ADGE GHCE S S =四四边形边形；④DGF △为等腰三角形．其中正确的有___．19．如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 边上，且BE CF =，BD CE =，如果44A ∠=︒，则EDF ∠的度数为__．20．△ABC 中，∠A =50°，当∠B =____________时，△ABC 是等腰三角形．三、解答题21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出△ABC 向上平移4个单位长度所得到的△A 1B 1C 1，并写出点A 1，B 1的坐标； （2）画出△DEF 关于x 轴对称后所得到的△D 1E 1F 1，并写出点E 1，F 1的坐标；（3）△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1组成的图形是轴对称图形，请画出它的对称轴．22．如图，在△ABC 中， AB =AC ．过点A 作BC 的平行线交∠ABC 的角平分线于点D ，连接CD ．(1)求证：△ACD 为等腰三角形．(2)若∠BAD =140°，求∠BDC 的度数．23．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC 的顶点,A C 的坐标分别为()()3,5,0,3.A C -（1）请在如图所示的网格内作出平面直角坐标系并作出ABC ∆关于y 轴对称的111A B C ∆ （2）写出点1B 的坐标并求出111A B C ∆的面积．24．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1,ABC 的三个顶点分别为()()4,3,3,()3,1,1A B C -．请在坐标系中标出,,A B C 三点，画出ABC ∆，并画出ABC ∆关于y 轴对称的图形111A B C ∆，写出点111,,A B C 的坐标．25．如图，在平面直角坐标系中，(1,5)A -，(1,0)B -，(4,3)C -．'''；（1）作出ABC关于y轴的对称图形A B C（2）写出点A'，B'，C'的坐标；+最短（不写作法）．（3）在y轴上找一点P，使PA PC26．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB．将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合．由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB．（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程；（2）如图②，在△ABC中，直线l，m，n分别是边AB，BC，AC的垂直平分线．求证：直线l、m、n交于一点；（请将下面的证明过程补充完整）证明：设直线l，m相交于点O．（3）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】∠的角平分线，又为CD的垂直平分线，CDP为等边三角由作图易判断射线OP为AOB形，由它们的性质逐项判断即可．【详解】由作图（1）（2）可知OC=OD ，CP=DP ，∴射线OP 为AOB ∠的角平分线，又为CD 的垂直平分线．∴即=AOP BOP ∠∠，CD OP ⊥，故③④正确；由作图（2）可知CP=CD=DP ，即CDP 为等边三角形，又∵CD OP ⊥，∴CP=2CQ ，故②正确；若//CP OB ，则=CPO BOP ∠∠，又∵=AOP BOP ∠∠，∴=CPO AOP ∠∠，∴OC=PC ，故只有当OC=PC 时，//CP OB ，故①错误．综上，正确的有②③④．故选：B ．【点睛】本题考查角平分线的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质．理解作图步骤隐藏的已知信息是解答本题的关键．2．D解析：D【分析】根据题意作图可知：AD 是BAC ∠的平分线，即可判断A ；先求得∠BAC=60︒，由AD 是BAC ∠的平分线，求得∠CAD=∠BAD=30B ∠=︒，即可得到60ADC ∠=︒，即可判断B ；过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据∠BAD=30B ∠=︒，证得△ABD 是等腰三角形，得到AE=BE ，即可判断C ；由30CAD ∠=︒，可得12CD AD =，由AD DB =，可得12DC DB =．可得::DAC ABD SS CD DB =，由12CD DB =，可得:1:21:3DAC ABD S S =≠，即可判断D ．【详解】解：根据作图方法可得AD 是BAC ∠的平分线，故A 正确；∵90,30C B ∠=︒∠=︒，∴60CAB ∠=︒．∵AD 是BAC ∠的平分线，∴30DAC DAB ∠=∠=︒．∴60ADC ∠=︒．故B 正确；过D 作DE ⊥AB∵30,30B DAB ∠=︒∠=︒，∴AD DB =．∴AE=BE∴点D 在AB 的垂直平分线上．故C 正确；∵30CAD ∠=︒， ∴12CD AD =， ∵AD DB =， ∴12DC DB =． ∴12DAC CD AC S⋅=，12ABD DB AC S ⋅=， ∴::DAC ABD SS CD DB =， ∴12CD DB =， ∴:1:21:3DAC ABD S S =≠，故D 错误．故选择：D ．【点睛】本题考查角平分线的作图方法及性质应用，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟练掌握各部分知识并综合应用是解题的关键．3．A解析：A【分析】分别利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质判断得出即可．【详解】解：A 、全等三角形的对应边相等，是真命题；B 、面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；C 、两个全等三角形不一定成轴对称，原命题是假命题；D 、所有等腰三角形不一定都只有一条对称轴，如等边三角形有三条对称轴，原命题是假命题；故选：A ．【点睛】本题主要考查了命题与定理，熟练掌握几何性质与判定是解题的关键．4．B解析：B【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ACB=∠ABC=x+∠BCE 和∠D=∠DCE=y+∠BCE ，由三角形的外角性质得出∠ABC=∠D+∠BCD ，即x+∠BCE= y+∠BCE+ y ，即x=2y ，得出y 关于x 的函数关系式．【详解】解：∵AB AC =，ACE x ∠=，∴ ∠ACB=∠ABC=x+∠BCE ，∵CE DE =，BCD y ∠=∴∠D=∠DCE=y+∠BCE ，∵ ∠ABC 是△BCD 的一个外角，∴∠ABC=∠D+∠BCD ，即 x+∠BCE= y+∠BCE+ y ，即x=2y ， ∴()101802y x x =<<︒， 故选：B ．【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的外角等于它不相邻的两个内角和．熟练掌握并运用各性质是解题的关键．5．B解析：B【分析】先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；利用∠B=∠BAD 得到DA=DB ，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断．利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式即可得出两个三角形的面积之比．【详解】解：由作法得，AD 平分∠BAC ，所以①正确；∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∴∠BAD=∠CAD=12×60°=30°， ∴∠ADC=90°-∠CAD=60°，所以②正确；∵∠B=∠BAD ，∴DA=DB ，∴点D 在AB 的垂直平分线上，所以③正确；在直角△ACD 中，∠CAD=30°，∴CD=12AD ， ∴BC=CD+BD=12AD+AD=32AD ，1124DAC S AC CD AC AD ∆=⋅=⋅． ∴11332224ABC S AC BC AC AD AC AD ∆=⋅=⋅=⋅， ∴13::1:344DAC ABC S S AC AD AC AD ∆∆=⋅⋅=，故④错误． 所以，正确的结论有3个故选：B ．【点睛】 本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．6．B解析：B【分析】由OB ，OC 分别是△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的平分线和OD ∥AB 、OE ∥AC 可推出BD=OD ，OE=EC ，从而得出BC 的长等于△ODE 的周长即可．【详解】解：∵OD ∥AB ，OE ∥AC ，∴∠ABO=∠BOD ，∠ACO=∠EOC ，∵点O 是ABC 的ABC ∠，ACB ∠的平分线的交点，∴∠ABO=∠OBD ，∠ACO=∠OCE ；∴∠OBD =∠BOD ，∠EOC=∠OCE ；∴BD=OD ，CE=OE ；∴△ODE 的周长=OD+DE+OE=BD+DE+EC= BC∵ODE 的周长为9cm ，∴BC=9cm ．故选：B ．【点睛】 此题考查了平行线性质，角平分线定义以及等腰三角形的判定定理，熟练掌握相关知识是解题的关键，难度中等．7．C解析：C【分析】根据∠ACB=90°，∠A=30°，CD 是斜边AB 上的高，利用互余关系求∠BCD=30°，DB=2，可求BC ，在Rt △ABC 中，再利用含30°的直角三角形的性质求AB ，再用线段的差求AD ．【详解】解：Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，CD是斜边AB上的高，∴∠CDB=90°，∴∠BCD=90°-∠B=30°，∴BC=2BD＝4，同理，AB=2BC=8，AD=AB-BD=8-2=6，故选：C．【点睛】本题考查了含30°的直角三角形的性质，准确运用在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半是解题关键．8．C解析：C【分析】延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE=AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC=CE，AE=BE=2BD，根据AC=6，BC=4，即可推出BD的长度．【详解】解：延长BD与AC交于点E，∵∠A=∠ABD，∴BE=AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD，∴∠EBC=∠BEC，∴△BEC为等腰三角形，∴BC=CE，∵BE⊥CD，∴2BD=BE，∵AC=6，BC=4，∴CE=4，∴AE=AC-EC=6-4=2，∴BE=2，∴BD=1．故选：C．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．9．D解析：D【分析】先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；利用∠B=∠BAD得到DA=DB，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断．利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．【详解】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，由作法得AD平分∠BAC，所以①正确；∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝60°，所以②正确；∵∠B＝∠BAD，∴DA＝DB，∴点D在AB的垂直平分线上，所以③正确；∵如图，在直角△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝12AD，∴BC＝CD+BD＝12AD+AD＝32AD，S△DAC＝12AC•CD＝14AC•AD．∴S△ABC＝12AC•BC＝12AC•32AD＝34AC•AD，∴S△DAC：S△ABC＝14AC•AD：34AC•AD＝1：3，∴S△DAC：S△ABD＝1：2．即S△ABD＝2S△ACD，故④正确．故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．10．B解析：B【分析】根据轴对称图形的概念对各图案逐一进行判断即可得答案．【详解】第一个图案是轴对称图形，第二个图案不是轴对称图形，第三个图案是轴对称图形，第四个图案不是轴对称图形，综上所述：是轴对称图形的图案有2个，故选：B．【点睛】本题考查轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠，对称轴两边的图形能够完全重合；熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．11．B解析：B【分析】根据线段垂直平分线性质得出 AD = DC ，求出和 AB + BC 的长，即可求出答案．【详解】DE 是 AC 的垂直平分线,AE=3cm,.∴ AC=2AE=6cm，AD = DC ,△ ABD 的周长为13cm，∴ AB + BD +AD=13cm，∴AB + BD + DC = AB +BC=13cm∴△ ABC 的周长为 AB + BC +AC=13cm+6cm=19cm，故选 B．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．12．D解析：D【分析】由50︒的角是顶角或底角，依据三角形内角和计算得出顶角的度数．【详解】当50︒的角为顶角时，它的顶角为50︒，︒-︒⨯=︒，当50︒的角为底角时，它的顶角为18050280∴它的顶角为50︒或80︒，故选：D．【点睛】此题考查等腰三角形等边对等角的性质，三角形内角和定理，熟记等边对等角的性质是解题的关键．二、填空题13．10【分析】使△AOP为等腰三角形只需分两种情况考虑：OA当底边或OA当腰当OA是底边时有2个点；当OA是腰时有8个点即可得出答案【详解】∵A（80）∴OA=8设△AOP的边OA上的高是h则×8×h解析：10【分析】使△AOP为等腰三角形，只需分两种情况考虑：OA当底边或OA当腰．当OA是底边时，有2个点；当OA是腰时，有8个点，即可得出答案．【详解】∵A（8，0），∴OA=8，设△AOP的边OA上的高是h，则12×8×h=16，解得：h=4，在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于4，如图：①以A为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，②以O为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，③作AO的垂直平分线分别交直线a、b于一点，即共2个点符合，其中，没有重复的点，∴4+4+1+1=10．故选：B．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．14．【分析】利用余角等腰三角形和三角形外角的性质即可求出【详解】∵∴∵∴根据题意可知∴∴故答案为：45【点睛】本题考查等腰三角形和三角形外角的性质以及余角找出图形中角的等量关系是解答本题的关键【分析】利用余角、等腰三角形和三角形外角的性质即可求出．【详解】∵BDA DAE AEC ∠=∠+∠，DAE DAC EAC ∠=∠+∠，∴BDA DAC EAC AEC ∠=∠+∠+∠．∵90DAC BAC BAD BAD ∠=∠-∠=︒-∠，∴90BDA BAD EAC AEC ∠=︒-∠+∠+∠．根据题意可知=BDA BAD EAC AEC ∠=∠∠∠，．∴45BDA AEC ∠-∠=︒，∴=45DAE ∠︒．故答案为：45．【点睛】本题考查等腰三角形和三角形外角的性质以及余角．找出图形中角的等量关系是解答本题的关键．15．【分析】根据由沿AD 对称得到进而表示出最后求周长即可【详解】由沿AD 对称得到则E 与C 关于直线AD 对称∴如图连接由题意得∴当P 在BC 边上即D 点时取得最小值12∴周长为最小值为故答案为:20【点睛】本题 解析：【分析】根据ADE ∆由ACD ∆沿AD 对称,得到AE AC =，进而表示出PB PE PB PC BC ，最后求PEB ∆周长即可．【详解】ADE ∆由ACD ∆沿AD 对称得到，则E 与C 关于直线AD 对称，5AE AC ==，∴1358BE AB AE =-=-=，如图,连接PC ，由题意得PC PE =，∴12PB PE PB PC BC ，当P 在BC 边上，即D 点时取得最小值12，∴PEB ∆周长为PE PB BE ，最小值为12820+=．故答案为:20．本题考查了三角形折叠问题，正确读懂题意是解本题的关键．16．9【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数可得答案【详解】由点P（x-yy）与点Q（-1-5）关于x轴对称得x-y＝-1y＝5解得x＝4y ＝5x+y=4+5=9故答案为：9【点睛】本题解析：9【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】由点P（x-y，y）与点Q（-1，-5）关于x轴对称，得x-y＝-1，y＝5．解得x＝4，y＝5，x+y=4+5=9，故答案为：9【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．17．【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3以及A2B2=2B1A2得出A3B3=4B1A2=4A4B4=8B1A2=8A5B5=16B1A2即：a1=1a2=2a3解析：20202【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2，即：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，，进而得出答案．【详解】∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A 2B 2=2B 1A 2=2，A 3B 3=2B 2A 3，∴A 3B 3=4B 1A 2=4，A 4B 4=8B 1A 2=8，A 5B 5=16B 1A 2=16，即：a 1=1，a 2=2，a 3=4，a 4=8，，以此类推：a n =2n-1．∴2021a =20202，故答案是：20202． ．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，直角三角形30度角的性质，根据已知得出A 3B 3=4B 1A 2，A 4B 4=8B 1A 2，A 5B 5=16B 1A 2进而发现规律是解题关键．18．①②④【分析】只要证明△BDF ≌△CDA △BAC 是等腰三角形即可判断①②正确作GM ⊥BD 于M 只要证明GH ＜DG 即可判断③错误证明可判断④正确【详解】解：①又又∴是等腰直角三角形在和中故①正确；②平分 解析：①②④【分析】只要证明△BDF ≌△CDA ，△BAC 是等腰三角形，即可判断①②正确，作GM ⊥BD 于M ，只要证明GH ＜DG 即可判断③错误，证明DGF DFG ∠=∠可判断④正确．【详解】解：①CD AB ⊥，90CDA BDF ∠∴∠==︒，18090DBF DFB BDF ︒∠+∠=-∠=︒，又BE AC ⊥，90BEA ∴∠=︒，18090DBF DAC BEA ∠+∠=-∠=∴︒︒，DAC DFB ∠=∠∴，又45ABC ∠=︒，18045DCB ABC BDF ∴∠=︒-∠-∠=︒，∴BCD △是等腰直角三角形，BD CD ∴=，在ACD △和FBD 中，DAC DFB CDA BDF CD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD FBD AAS ∴≅，AC BF ∴=．故①正确；②BE 平分ABC ∠，BE AC ⊥，ABE CBE ∴∠=∠，90BEA BEC ∠=∠=︒，∴在ABE △和CBE △中，ABE CBE BE BEBEA BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ASA ABE CBE ∴≅，AE CE ∴=，2AC AE CE CE ∴=+=，又AC BF =，2BF CE ∴=，故②正确；③如图所示，过G 作GM BD ⊥于点M ，H 为等腰直角BCD △斜边BC 的中点，DH BC ∴⊥，即90GHB ∠=︒，又BE 平分ABC ∠，GM BD ⊥，GM GH ∴=，又BD BH >，BDG BGH SS∴>， 又ABE CBE ≅ ABE CBE S S ∴=，ABE BDG ADGE S S S ∴=-四边形，CBE BGH GHCE S S S =-四边形，ADGE GHCE S S ∴<四边形四边形，故③错误；④18090HBG BGH GHB ∠+∠=︒-∠=︒，18090DBF DFG BDF ∠+∠=︒-∠=︒，HBG DBF ∠=∠，BGH DFG ∴∠=∠，又BGH DGF ∠=∠，DGF DFG ∴∠=∠，DGF ∴为等腰三角形．∴综上，答案为①②④．【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第三个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键．19．56°【分析】根据AB=AC 可证明又因为∠A=44°可求出∠ABC=∠ACB=68°根据利用三角形内角和定理即可求出∠EDF 的度数；【详解】解：∵BE=CFBD=CE ∴在和中是等腰三角形；∴∠BDE解析：56°【分析】根据AB=AC 可证明DBE CEF ∆≅∆，又因为∠A=44°，可求出∠ABC=∠ACB=68°，根据DBE CEF ∆≅∆，利用三角形内角和定理即可求出∠EDF 的度数；【详解】解：AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，∵BE=CF ，BD=CE ，∴在DBE ∆和CEF ∆中BE CF ABC ACB BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DBE CEF SAS ∴∆≅∆，DE EF ∴=，DEF ∴∆是等腰三角形；DBE CEF ∆≅∆，∴∠BDE=∠CEF ，∠DEB=∠CFE ，180A B C ∠+∠+∠=︒，∠A=44°，1(18044)682B ∴∠=︒-︒=︒ ∴∠BDE+∠DEB=112°∴∠CEF +∠DEB=112°180112=68DEF ∴∠=︒-︒︒，18068562EDF ︒-︒∴∠==︒． 故答案为：56︒．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质的掌握，以及三角形的内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题；20．50°或80°或65°【分析】由已知条件根据题意分三种情况讨论：①∠A 是顶角；②∠A 是底角∠B ＝∠A 时③∠A 是底角∠B ＝∠A 时利用三角形的内角和进行求解【详解】①∠A 是顶角∠B ＝（180°−∠A ）÷解析：50°或80°或65°【分析】由已知条件，根据题意，分三种情况讨论：①∠A 是顶角；②∠A 是底角，∠B ＝∠A 时，③∠A 是底角，∠B ＝∠A 时，利用三角形的内角和进行求解．【详解】①∠A 是顶角，∠B ＝（180°−∠A ）÷2＝65°；②∠A 是底角，∠B ＝∠A ＝50°．③∠A 是底角，∠A ＝∠C ＝50°，则∠B ＝180°−50°×2＝80°，∴当∠B 的度数为50°或65°或80°时，△ABC 是等腰三角形．故答案为：50°或65°或80°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及三角形的内角和定理；分情况讨论是正确解答本题的关键．三、解答题21．（1）图见解析，A 1（3，2），B 1（4，1）；（2）图见解析，E 1（﹣2，﹣3），F 1（0，﹣2）；（3）见解析【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出点A 1，B 1，C 1的坐标，然后描点即可；（2）利用关于x 轴对称的点的坐标特征写出点D 1，E 1，F 1的坐标，然后描点即可； （3）直线C 1F 1和C 1F 1的垂直平分线都是△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1组成的图形的对称轴．【详解】解：（1）如图，△A 1B 1C 1为所作，A 1（3，2），B 1（4，1）；（2）如图，△D 1E 1F 1为所作，E 1（﹣2，﹣3），F 1（0，﹣2）；（3）如图，直线l 和直线l ′为所作．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了平移变换．22．（1）证明见解析；（2）50BDC ∠=︒．【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义可得∠ADB=∠ABD ，从而可得AB=AD ，再依据等量代换即可得出结论；（2）根据等腰三角形等边对等角可求得∠ADB=20°，再依据角平分线的性质、平行线的性质和等腰三角形等边对等角求得70ADC ∠=︒，最后利用角的和差即可求得结论．【详解】解：（1）证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC ，∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠DBC ，∴∠ADB=∠ABD ，∴AB=AD ，∵AB =AC ，∴AC=AD ，即△ACD 为等腰三角形；（2）∵AB=AD ，∠BAD =140°，∴∠ADB=∠ABD=1802BAD ︒-∠=20°， ∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=2∠ABD=40°，∵AB =AC ，∴∠ACB=∠ABC=40°,∵AD ∥BC ，∴∠DAC=∠ACB=40°,∵AC=AD ， ∴180702DAC ADC ACD ︒-∠∠=∠==︒,∴50AD DC AD C B B ∠-∠=∠=︒．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的有关证明．（1）中需正确识别角平分线与平行线所构成的等腰三角形；（2）中能根据等边对等角依次计算角度是解题关键．23．（1）见解析；（2）()11,1B ；面积4【分析】（1）根据A ，C 两点的坐标确定坐标系，分别作出A ，B ，C 关于y 轴对称的对应点A 1，B 1，C 1′即可；（2）由平面直角坐标系可得B 1的坐标，运用分割法可得111A B C ∆的面积．【详解】解：（1）如图所示，（2）点1B 的坐标为（1，1）111A B C ∆的面积=11134122324222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ =12-1-3-4=4【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． 24．图见解析；点111,,A B C 的坐标分别为()()–4,3,3,3--，()1,1-【分析】先在平面直角坐标系中画出,,A B C 三点，顺次连接即可；再按照轴对称的性质，画出它们的对称点即可．【详解】解：如图所示，111,ABC A B C ∆∆，即为所求；点111,,A B C 的坐标分别为()()–4,3,3,3--，()1,1-【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中描点和画轴对称图形，关于y 轴对称点的坐标变化规律，解题关键是正确描点和画对称点．25．（1）见解析；（2）(1,5)A '，(1,0)B '，3)(4,C '；（3）见解析【分析】（1）根据轴对称的性质确定点,,A B C '''，顺次连线即可得到图形；（2）根据点的位置直接得解；（3）连接AC '与y 轴交于一点即为点P ，连接PC ，此时AP+PC 最短．【详解】解：（1）如图所示，A B C '''为所求作．（2）由图可得，(1,5)A '，(1,0)B '，4,3)C '．（3）如图所示，点P 即为所求作．【得解】此题考查轴对称的性质，轴对称作图，点的坐标，最短路径问题，正确理解轴对称的性质作出图形是解题的关键．26．（1）见解析；（2）见解析；（3）5【分析】（1）证明△PAC ≌△PBC 即可解决问题．（2）如图②中，设直线l 、m 交于点O ，连结AO 、BO 、CO ．利用线段的垂直平分线的判定和性质解决问题即可．（3）连接BD ，BE ，证明△BDE 是等边三角形即可．【详解】证明：（1）如图①中，∵MN ⊥AB ，∴∠PCA ＝∠PCB ＝90°．在△PAC 和△PBC 中，AC BC PCA PCB PC PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PAC ≌△PBC （SAS ），∴PA ＝PB ．（2）如图②中，设直线l 、m 交于点O ，连结AO 、BO 、CO ．∵直线l 是边AB 的垂直平分线，∴OA ＝OB ，又∵直线m 是边BC 的垂直平分线，∴OB ＝OC ，∴OA ＝OC ，∴点O在边AC的垂直平分线n上，∴直线l、m、n交于点O．（3）解：如图③中，连接BD，BE．∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，∴DA＝DB，EB＝EC，∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，∵AC＝15，∴DE＝1AC＝5．3故答案为5．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。

一、选择题1．已知锐角AOB ∠，如图（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作弧MN ，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点,C D 为圆心，CD 长为半径作弧，两弧交于点P ，连接,CP DP ； （3）作射线OP 交CD 于点Q ．根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：①//CP OB ；②2CP QC =；③AOP BOP ∠=∠；④CD OP ⊥．其中正确的有（ ）A ．①②③④B ．②③④C ．③④D ．③B解析：B【分析】 由作图易判断射线OP 为AOB ∠的角平分线，又为CD 的垂直平分线，CDP 为等边三角形，由它们的性质逐项判断即可．【详解】由作图（1）（2）可知OC=OD ，CP=DP ，∴射线OP 为AOB ∠的角平分线，又为CD 的垂直平分线．∴即=AOP BOP ∠∠，CD OP ⊥，故③④正确；由作图（2）可知CP=CD=DP ，即CDP 为等边三角形，又∵CD OP ⊥，∴CP=2CQ ，故②正确；若//CP OB ，则=CPO BOP ∠∠，又∵=AOP BOP ∠∠，∴=CPO AOP ∠∠，∴OC=PC ，故只有当OC=PC 时，//CP OB ，故①错误．综上，正确的有②③④．故选：B ．【点睛】本题考查角平分线的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质．理解作图步骤隐藏的已知信息是解答本题的关键．2．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，E 为AB 上一点，连接DE ，则下列四个结论正确的有（ ）．①∠CAD ＝30° ②AD ＝BD ③BD ＝2CD ④CD ＝EDA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C解析：C【分析】根据三角形内角和定理求出∠CAB ，求出∠CAD=∠BAD=∠B ，推出AD=BD ，AD=2CD 即可．【详解】解：∵在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD=∠BAD=30°，①正确；∴∠CAD=∠BAD=∠B ，∴AD=BD ，AD=2CD ，②正确；∴BD=2CD ，③正确；根据已知不能推出CD=DE ，故④错误；故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质的应用，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．3．如图，AD 是ABC 的角平分线，DE AC ⊥，垂足为E ，//BF AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分ABF ∠，2AE BF =．下列四个结论中：①DE DF =；②DB DC =；③AD BC ⊥；④3AB BF =．其中正确的结论共有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个A解析：A【分析】 根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠ABC=∠C ，得到AC=AB ，根据等腰三角形的性质得到DB=DC ，AD ⊥BC ，证明△CDE ≌△BDF ，根据全等三角形的性质证明得到答案．【详解】解：∵BC 平分∠ABF ，∴∠ABC=∠FBC ，∵BF ∥AC ，∴∠C=∠FBC ，∴∠ABC=∠C ，∴AC=AB ，∵AC=AB ，AD 是△ABC 的角平分线，∴DB=DC ，AD ⊥BC ，故②、③说法正确；在△CDE 和△BDF 中，C DBF CD DBCDE BDF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△CDE ≌△BDF （ASA ），∴DE=DF ，故①说法正确；∵△CDE ≌△BDF ，∴BF=CE ，∵AE=2BF ，∴AB=AC=3BF ，故④说法正确；故选：A ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．4．如图，在ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，AD AE =，若40BAD ∠=︒，则CDE ∠的度数为（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30D ．40︒B解析：B【分析】 根据AB AC =，D 为BC 的中点，∠CAD=40BAD ∠=︒，∠C=50︒，由AD AE =，得到∠AED =70︒，再根据∠AED=∠C+∠CDE 求得答案．【详解】∵AB AC =，D 为BC 的中点，∴∠CAD=40BAD ∠=︒，∠BAC=802BAD ∠=︒，∴∠B=∠C=50︒，∵AD AE =，∴∠AED=∠ADE=70︒，∵∠AED=∠C+∠CDE ，∴CDE ∠=20︒，故选：B ．【点睛】此题考查等腰三角形的性质：等边对等角求角的度数以及三线合一，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟记并熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键．5．定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值()1k k >称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC 中，36,A ∠=︒则它的优美比k 为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．3B解析：B【分析】由已知可以写出∠B 和∠C ，再根据三角形内角和定理可以得解．【详解】解：由已知可得：∠B=∠C=k ∠A=（36k ）°，由三角形内角和定理可得：2×36k+36=180，∴k=2，故选B ．【点睛】本题考查等腰三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想的应用是解题关键 ．6．若海岛N 位于海岛M 北偏东30°的方向上，则从海岛N 出发到海岛M 的航线可能是（ ）A ．B ．C ．D ． D解析：D【分析】根据题意画出图形，再利用“上北下南”求出方向角即可．【详解】解：如图：∵海岛N 位于海岛M 的北偏东30°方向上，∴海岛N 在海岛M 上方，故排除A ､B 选项， 根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，排除选项C ，故选D ．【点睛】本题考查了方向角，解题的关键是熟练掌握方向角的概念．7．如图，已知等腰三角形ABC 中，AB AC =，15DBC ∠=︒，分别以A 、B 两点为圆心，以大于12AB 的长为半径画圆弧，两弧分别交于点E 、F ，直线EF 与AC 相交于点D ，则A ∠的度数是（ ）A ．50°B ．60°C ．75°D ．45°A解析：A【分析】 根据中垂线的性质可得DA=DB ，设∠A=x ，则∠ABD=x ，结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，列出方程，即可求解．【详解】又作图可知：EF 是AB 的垂直平分线，∴DA=DB ，∴∠A=∠ABD ，设∠A=x ，则∠ABD=x ，∵15DBC ∠=︒，∴∠ABC=x+15°，∵AB=AC ，∴∠C=∠ABC=x+15°，∴2(x+15°)+x=180°，∴x=50°，故选A ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，中垂线的性质以及三角形内角和定理，掌握中垂线的性质定理以及方程思想，是解题的关键．8．如图，已知AD 为ABC 的高线，AD BC =，以AB 为底边作等腰Rt ABE △，连接ED ，EC 延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①DAE CBE ∠=∠；②CE DE ⊥；③BD AF =；④AED 为等腰三角形；⑤BDE ACE S S =△△，其中正确的有（ ）A ．①③⑤B ．①②④C ．①③④D ．①②③⑤D解析：D【分析】 ①由等腰直角三角形的性质可得出结论；②证明△ADE ≌△BCE ，可得∠AEC=∠DEB ，即可求得∠AED=∠BEG ，即可解题； ③证明△AEF ≌△BED 即可；④AE≠DE ，故④不正确；⑤易证△FDC 是等腰直角三角形，则CE=EF ，S △AEF =S △ACE ，由△AEF ≌△BED ，可知S △BDE =S △ACE ，所以S △BDE =S △ACE ．【详解】解：①∵AD 为△ABC 的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，∵Rt △ABE 是等腰直角三角形，∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE ，∴∠CBE+∠BAD=45°，∴∠DAE=∠CBE ，故①正确②在△DAE 和△CBE 中，AE BE DAE CBE AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△BCE （SAS ）；∴∠EDA=∠ECB ，∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠ECB=90°，∴∠DEC=90°，∴CE ⊥DE ；故②正确；③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE ，∠AFE=∠ADC+∠ECD ，∴∠BDE=∠AFE ，∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，∴∠BED=∠AEF ，在△AEF 和△BED 中，BDE AFE BED AEF AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△BED （AAS ），∴BD=AF ；故③正确；④∵AE≠DE ，∴△ADE 不是等腰三角形，⑤∵AD=BC ，BD=AF ，∴CD=DF ，∵AD ⊥BC ，∴△FDC 是等腰直角三角形，∵DE ⊥CE ，∴EF=CE ，∴S △AEF =S △ACE ，∵△AEF ≌△BED ，∴S △AEF =S △BED ，∴S △BDE =S △ACE ．故⑤正确；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．9．如图，在Rt ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，如果AB＝3，AC＝4，那么线段AE的长度是（）A．125B．95C．85D．75A解析：A【分析】根据作图过程可得AP是BD的垂直平分线，根据勾股定理可得BC的长，再根据等面积法求出AE的长即可．【详解】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC225AB AC+=，根据作图过程可知：AP是BD的垂直平分线，∴BE＝DE，AE⊥BD，∴△ABC的面积：12AB•AC＝12BC•AE，∴5AE＝12，∴AE＝125．故选：A．【点睛】本题考查垂直平分线和勾股定理，需要有一定的数形结合能力，熟练掌握垂直平分线的定义，结合题意进行解题是解决本题的关键．10．已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为（）A．50°B．80°C．65°或80°D．50°或80°D解析：D【分析】由50︒的角是顶角或底角，依据三角形内角和计算得出顶角的度数．【详解】当50︒的角为顶角时，它的顶角为50︒，当50︒的角为底角时，它的顶角为18050280︒-︒⨯=︒，∴它的顶角为50︒或80︒，故选：D．【点睛】此题考查等腰三角形等边对等角的性质，三角形内角和定理，熟记等边对等角的性质是解题的关键．二、填空题11．如图，已知∠AOB=30°，点P在射线OA上，OP=16，点E、点F在射线OB上，PE=PF，EF=6．若点D是射线OB上一动点，当∠PDE=45°时，DF的长为___________．5或11【分析】过点P作PH⊥OB于点H根据PE=PF可得EH=FH=EF=3根据∠AOB=30°OP=16可得PH=OP=8当点D运动到点F右侧或当点D运动到点F左侧时分别计算可得DF的长【详解】解析：5或11【分析】过点P作PH⊥OB于点H，根据PE=PF，可得EH=FH=12EF=3，根据∠AOB=30°，OP=16，可得PH=12OP=8，当点D运动到点F右侧或当点D运动到点F左侧时，分别计算可得DF的长．【详解】如图，过点P作PH⊥OB于点H，∵PE=PF，∴EH=FH=12EF=3，∵∠AOB=30°，OP=16，∴PH=12OP=8，当点D运动到点F右侧时，∵∠PDE=45°，∴∠DPH=45°，∴PH=DH=8，∴DF=DH-FH=8-3=5；当点D 运动到点F 左侧时，D′F=D′H+FH=8+3=11．所以DF 的长为5或11．故答案为：5或11．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是分两种情况画图解答．12．如图，ABC 中，AB BC =，点D 在线段BC 上（不与点,B C 重合）． 作法如下：①连接AD ，作AD 的垂直平分线分别交直线,AB AC 于点,P Q ，连接,DP DQ ，则APQ DPQ △≌△；②过点D 作AC 的平行线交AB 于点P ，在线段AC 上截取AQ ，使AQ DP =，连接,PQ DQ ，则APQ DQP △≌△；③过点D 作AC 的平行线交AB 于点P ，过点D 作AB 的平行线交AC 于点Q ，连接PQ ，则APQ DQP △≌△；④过点D 作AB 的平行线交AC 于点Q ，在直线AB 上取一点P ，连接DP ，使DP AQ =，连接PQ ，则APQ DPQ △≌△．以上说法一定成立的是__________．（填写正确的序号）①②③【分析】根据题意画出图形再根据垂直平分线的性质平行线的性质和三角形全等的判定可以得证【详解】解：①如图∵PQ 为AD 的垂直平分线∴PA=PDQA=QD ∴在△APQ 和△DPQ 中∴△APQ ≌△DPQ解析：①②③【分析】根据题意画出图形，再根据垂直平分线的性质，平行线的性质和三角形全等的判定可以得证．【详解】解：①如图，∵PQ 为AD 的垂直平分线，∴PA=PD ，QA=QD ，∴ 在△APQ 和△DPQ 中，PA PD PQ PQ QA QD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△APQ ≌△DPQ （SSS ），①正确；②如图，∵PD ∥AC ，∴∠DPQ=∠AQP ，∴在△APQ 和△DQP 中，AQ DP AQP DPQ QP PQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APQ ≌△DQP （SAS ），②正确 ；③如图，∵PD ∥AC ，∴∠DPQ=∠AQP ，同理∠DQP=∠APQ ，∴在△APQ 和△DQP 中，DPQ AQP PQ PQDQP APQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△APQ ≌△DQP （ASA ），③正确 ；④如图，△APQ ≌△DPQ 不成立，④错误；故答案为①②③．【点睛】本题考查三角形与平行线的综合应用，熟练掌握垂直平分线的性质，平行线的性质和三角形全等的判定是解题关键．13．如图，点A 为线段BC 外一动点，4BC =，1AB =，分别以AC 、AB 为边作等边ACD △、等边ABE △，连接BD ．则线段BD 长的最大值为______．5【分析】连接CE 根据等边三角形的性质得到AE ＝ABAC ＝AD ∠CAD ＝∠BAE ＝60°再利用SAS 推出△BAD ≌△EAC 由全等三角形的性质得到BD ＝EC 由于线段BD 长的最大值＝线段EC 的最大值即可解析：5【分析】连接CE,根据等边三角形的性质得到AE ＝AB ，AC ＝AD ，∠CAD ＝∠BAE ＝60°，再利用SAS 推出△BAD ≌△EAC ，由全等三角形的性质得到BD ＝EC ，由于线段BD 长的最大值＝线段EC 的最大值，即可得到结果．【详解】解：连接CE ，∵△ACD 与△ABE 是等边三角形，∴AE ＝AB ，AC ＝AD ，∠CAD ＝∠BAE ＝60°，∴∠CAD ＋∠BAC ＝∠BAE ＋∠BAC ，即∠BAD ＝∠EAC ，在△BAD 与△EAC 中，AD AC BAD EAC AB AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BAD ≌△EAC （SAS ），∴BD ＝EC ；∵线段BD 长的最大值＝线段EC 的最大值，当线段EC 的长取得最大值时，点E 在CB 的延长线上，且BC ＝4，AB ＝1，∴线段BD 长的最大值为BE ＋BC ＝AB ＋BC ＝5．故答案为：5．【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，并正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．14．如图，线段AB ，BC 的垂直平分线1l ，2l 相交于点O ．若135∠=︒，则A C ∠+∠的度数为______．35°【分析】连接OB 同理得AO=OB=OC 由等腰三角形的性质得∠A=∠ABO ∠C=∠CBO 进而得到∠A+∠C=∠ABC 由等腰三角形三线合一得∠AOD=∠BOD ∠BOE=∠COE 由平角的定义得∠DO解析：35°【分析】连接OB ，同理得AO=OB=OC ，由等腰三角形的性质得∠A=∠ABO ，∠C=∠CBO ，进而得到∠A+∠C=∠ABC ，由等腰三角形三线合一得∠AOD=∠BOD ，∠BOE=∠COE ，由平角的定义得∠DOE=145°，最后由四边形内角和定理可得结论．【详解】解：连接OB ，∵线段AB 、BC 的垂直平分线l 1、l 2相交于点O ，∴AO=OB=OC ，∴∠AOD=∠BOD ，∠BOE=∠COE ，∠A=∠ABO ，∠C=∠CBO ，∴∠A+∠C=∠ABC ，∵∠DOE+∠1=180°，∠1=35°，∴∠DOE=145°，∴∠ABC=360°-∠DOE-∠BDO-∠BEO=35°；故答案为：35°【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，四边形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．15．如图，等边ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点．若2AE =，当EF CF +取最小值时，ECF ∠的度数为___________度．30【分析】由等边三角形三线合一可知：点B 和点C 关于AD成轴对称连接BE 交AD 于点F 此时取得最小值进而求出的度数即可【详解】∵是等边三角形是边上的中线∴AD ⊥BCAD 平分∠BAC ∴点B 和点C 关于AD 解析：30【分析】由等边三角形三线合一，可知：点B 和点C 关于AD 成轴对称，连接BE 交AD 于点F ，此时，EF CF +取得最小值，进而，求出ECF ∠的度数即可．【详解】∵ABC ∆是等边三角形，AD 是BC 边上的中线，∴AD ⊥BC ，AD 平分∠BAC ，∴点B 和点C 关于AD 所在直线成轴对称，连接BE 交AD 于点F ，则BF=CF ，∴EF CF +=EF+BF=BE ，即：此时，EF CF +取得最小值，∵等边ABC ∆的边长为4，2AE =，∴E 是AC 的中点，∴BE 平分∠ABC ，∵点F 是角平分线AD 与BE 的交点，∴CF 平分∠BCA ，即：∠FCA=12∠ACB=12×60°=30°， ∴∠ECC=30°．故答案是：30．【点睛】本题主要考查等边三角形中，两线段和最小时，求角的度数，通过轴对称，把两线段和化为两点之间的一条线段的长，是解题的关键．16．如图，在Rt ABC 中，BAC 90︒∠=，AB 2=，M 为边BC 上的点，连接AM ．如果将ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是________．【分析】过点M 作MP ⊥ACMQ ⊥AB 首先证明MP＝MQ 求出AC 的长度运用S △ABC ＝S △ABM ＋S △ACM 求出MP 即可解决问题【详解】如图设点B 的对应点为N 由题意得：∠BAM ＝∠CAMAB ＝AN ＝2解析：43【分析】过点M 作MP ⊥AC ，MQ ⊥AB ，首先证明MP ＝MQ ，求出AC 的长度，运用S △ABC ＝S △ABM ＋S △ACM ，求出MP 即可解决问题．【详解】如图，设点B 的对应点为N ，由题意得：∠BAM ＝∠CAM ，AB ＝AN ＝2；过点M 作MP ⊥AC ，MQ ⊥AB ，则MP ＝MQ ，设MP ＝MQ=x ，∵AN ＝NC ，∴AC ＝2AN ＝4；∵S △ABC ＝S △ABM ＋S △ACM ， ∴12AB•AC ＝12AB•MQ ＋12AC•MP ， ∴2×4＝2x ＋4x ，解得：x ＝43， 故答案为43．【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质、角平分线的性质、三角形的面积公式及其应用，解题的关键是作辅助线，灵活运用三角形的面积公式来解答．17．如图30AOB ∠=︒，OC 平分AOB ∠，P 为OC 上一点，//PD OA 交OB 于点D ，PE OA ⊥于E ，6cm OD =，则PE =________．3cm 【分析】过点P 作PF ⊥OB 于F 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PF ＝PE 根据角平分线的定义可得∠AOC ＝∠BOC 根据两直线平行内错角相等可得∠AOC ＝∠OPD 两直线平行同位角相等可得∠解析：3cm【分析】过点P 作PF ⊥OB 于F ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PF ＝PE ，根据角平分线的定义可得∠AOC ＝∠BOC ，根据两直线平行，内错角相等可得∠AOC ＝∠OPD ，两直线平行，同位角相等可得∠PDF ＝∠AOB ，再求出∠BOC ＝∠OPD ，根据等角对等边可得PD ＝OD ，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PF ＝12PD ，进而即可求解．【详解】如图，过点P 作PF ⊥OB 于F ，∵OC 平分∠AOB ，PE ⊥OA ，∴PE ＝PF ，∵OC 平分∠AOB ，∴∠AOC ＝∠BOC ，∵PD ∥OA ，∴∠AOC ＝∠OPD ，∠PDF ＝∠AOB ＝30°，∴∠BOC ＝∠OPD ，∴PD ＝OD ＝6cm ，∴PF ＝12PD ＝12×6＝3cm ， ∴PE ＝PF ＝3cm ．故答案为：3cm ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质并作辅助线是解题的关键．18．如图，在ABC 中，AB AC =，36ABC ∠=︒，DE 是线段AC 的垂直平分线，连接AE ，若BE a =，EC b =，则用含有a ，b 的代数式表示ABC 的周长是______．【分析】根据等腰三角形的性质∠BAC ＝108°由线段垂直平分线的性质可得AE=CE ∠EAD=∠ECD=36°进而根据角的和差可得∠BAE ＝∠BEA 进而可得BA ＝BE ＝AC 然后问题可求解【详解】∵AB解析：3a b +【分析】根据等腰三角形的性质∠BAC ＝108°，由线段垂直平分线的性质可得AE=CE ，∠EAD=∠ECD=36°，进而根据角的和差可得∠BAE ＝∠BEA ，进而可得BA ＝BE ＝AC 然后问题可求解．【详解】∵AB=AC ，∠ABC=36°，∴∠C=∠ABC=36°，∠BAC ＝108°，∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AE=CE ，∴∠EAD=∠ECD=36°，∴∠AEC=108°=∠BAC ，∴∠BAE ＝∠BAC －∠CAE ＝108°－36°＝72°∵∠BEA ＝180°－∠AEC ＝180°－108°＝72°即∠BAE ＝∠BEA∴BA ＝BE∵BE a =，EC b =，∴BA ＝BE ＝AC ＝a∴△ABC 的周长＝AB ＋BE ＋EC ＋AC ＝3a ＋b故答案为：3a+b ．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．19．如图，AOB 与COB △关于边OB 所在的直线成轴对称，AO 的延长线交BC 于点D .若46BOD ∠=︒，22C ∠=︒，则ADC ∠=______°．70【分析】根据三角形的外角和定理得和再根据轴对称的性质得和列式求出的值即可得到结果【详解】解：∵是的外角∴∵是的外角∴∵与关于边OB 所在的直线成轴对称∴∴即解得∴故答案是：【点睛】本题考查轴对称的解析：70【分析】根据三角形的外角和定理，得ADC A ABC ∠=∠+∠和ADC BOD OBD ∠=∠+∠，再根据轴对称的性质得12OBD ABC ∠=∠和22C A ∠=∠=︒，列式求出ABC ∠的值，即可得到结果．【详解】解：∵ADC ∠是ABD △的外角， ∴ADC A ABC ∠=∠+∠， ∵ADC ∠是BOD 的外角， ∴ADC BOD OBD ∠=∠+∠， ∵AOB 与COB △关于边OB 所在的直线成轴对称，∴12OBD ABC ∠=∠，22C A ∠=∠=︒， ∴12A ABC BOD ABC ∠+∠=∠+∠， 即122462ABC ABC ︒+∠=︒+∠， 解得48ABC ∠=︒， ∴224870ADC A ABC ∠=∠+∠=︒+︒=︒．故答案是：70．【点睛】本题考查轴对称的性质和三角形外角和定理，解题的关键是熟练运用这两个性质定理进行求解．20．如图，E 是腰长为2的等腰直角ABC 斜边上一点，且BE BC P =，为CE 上任意一点，PQ BC ⊥于点Q PR BE ⊥，于点R ，则PQ PR +的值是___________．【分析】连接BP 过点E 作EF ⊥BC 根据可得PQ+PR=EF 结合等腰直角三角形三边长的关系即可求解【详解】连接BP 过点E 作EF ⊥BC ∵∴=BC×PQ+BE×PR=BC×(PQ+PR)=BC×EF ∴PQ 解析：2【分析】连接BP ，过点E 作EF ⊥BC ，根据BCE BPE BPC S S S =+，BE BC =，可得PQ+PR=EF ，结合等腰直角三角形三边长的关系，即可求解．【详解】连接BP ，过点E 作EF ⊥BC ，∵BE BC =，∴BCE BPE BPC SS S =+ =12BC×PQ+12BE×PR =12BC×(PQ+PR) =12BC×EF ， ∴PQ+PR=EF ，∵ABC 是等腰直角三角形， ∴∠B=45°，∴EFB △是等腰直角三角形，且BE=BC=2， ∴222，∴PQ PR +2，2【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握“等积法”是解题的关键．三、解答题21．如图1，在直角△ABC 中，∠C=90°，分别作∠CAB 的平分线AP 和AB 的垂直平分线DP ，交点为P ．（1）如图2，若点P正好落在BC边上．①求∠B的度数；②求证：BC=3PC．（2）如图3，若点C、P、D恰好在一条直线上，线段AD、PD、BC之间的数量关系是否满足AD+PD=BC？若满足，请给出证明；若不满足，请说明理由．解析：（1）①∠B的度数是30°；②见解析；（2）满足，理由见解析【分析】（1）①由垂直平分线与角平分线的性质证明：∠PAD=∠PAC=∠B，再利用直角三角形的内角和定理即可得到答案；②先利用角平分线的性质证明PC=PD，再用∠B=30°证明BP=2PD，进而即可得到结论；（2）过点P作PE⊥AC于点E，由垂直平分线的性质可知AC=BC，∠ACD=∠BCD=45°，进而证明PE=CE，由角平分线的性质可知PE=PD，即可证明Rt△AEP≌Rt△ADP（HL），可得AE=AD，再利用线段的和差性质即可证明AD+PD=BC．【详解】（1）①∵DP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，∴∠PAD=∠B，又∵AP平分∠CAB，∴∠PAD=∠PAC，∴∠PAD=∠PAC=∠B，设∠B=x°，则∠CAB=∠PAD+∠PAC=2x°，∵在Rt ABC中，∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°，即3x=90，x=30，∴∠B的度数是30°．②∵AP平分∠CAB，∠C=90°，DP⊥AB，∴PC=PD，∵在Rt△BDP中，∠B=30°，∴BP=2PD，∴BC=BP+PC=3PC．（2）如图，过点P作PE⊥AC于点E，∵CD是AB的垂直平分线，∴AC=BC ，∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=45°． ∵PE ⊥AC ，∴∠CPE=90°−∠PCE=90°−45°=45°=∠PCE ，∴PE=CE ，又∵AP 平分∠CAB ，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，∴PE=PD ，∴在Rt △AEP 和Rt △ADP 中， ,,AP AP PE PD =⎧⎨=⎩∴Rt △AEP ≌Rt △ADP （HL ），∴AE=AD ，∴AC=AE+EC=AD+PE=AD+PD ，又∵AC=BC ，∴AD+PD=BC ．【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、锐角三角函数、等腰直角三角形的性质、直角三角形全等的判定与性质、含30°的直角三角形的性质、线段的和差性质，解答本题的关键是掌握并熟练运用以上知识．22．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出△ABC 向上平移4个单位长度所得到的△A 1B 1C 1，并写出点A 1，B 1的坐标； （2）画出△DEF 关于x 轴对称后所得到的△D 1E 1F 1，并写出点E 1，F 1的坐标； （3）△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1组成的图形是轴对称图形，请画出它的对称轴．解析：（1）图见解析，A 1（3，2），B 1（4，1）；（2）图见解析，E 1（﹣2，﹣3），F 1（0，﹣2）；（3）见解析【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出点A 1，B 1，C 1的坐标，然后描点即可； （2）利用关于x 轴对称的点的坐标特征写出点D 1，E 1，F 1的坐标，然后描点即可； （3）直线C 1F 1和C 1F 1的垂直平分线都是△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1组成的图形的对称轴．【详解】解：（1）如图，△A 1B 1C 1为所作，A 1（3，2），B 1（4，1）；（2）如图，△D 1E 1F 1为所作，E 1（﹣2，﹣3），F 1（0，﹣2）；（3）如图，直线l 和直线l ′为所作．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了平移变换．23．如图，在ABC ∆中，点,D E 分别是AB AC 、边上的点，BE 与CD 相交于点F ，且 BD CE =．（1）在下列给出的条件中，只需添加一个条件即可证明ABC ∆是等腰三角形，这个条件可以是 （多选）；A ．DF EF =B ． BF CF =C ．ABE ACD ∠=∠D ．BCD CBE ∠=∠E ． ADC AEB ∠=∠（2）利用你选的其中一个条件，证明ABC ∆是等腰三角形．解析：（1）,C E ；（2）见解析【分析】（1）选C 的话，可以利用AAS 定理证得△BDF ≌△CEF ，从而可得BF=CF ，然后结合等腰三角形的性质及判定方法可以求解；选E 的话，可以求得∠BDF=∠CEF ，然后可以利用AAS 定理证得△BDF ≌△CEF ，从而可得BF=CF ，然后结合等腰三角形的性质及判定方法可以求解；（2）选C 的话，可以利用AAS 定理证得△BDF ≌△CEF ，从而可得BF=CF ，然后结合等腰三角形的性质及判定方法可以求解；选E 的话，可以求得∠BDF=∠CEF ，然后可以利用AAS 定理证得△BDF ≌△CEF ，从而可得BF=CF ，然后结合等腰三角形的性质及判定方法可以求解．【详解】解：（1）①选择C 选项中的ABE ACD ∠=∠在ABE ∆与CEF ∆中，ABE ACD BFD CFE BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△CEF∴BF CF =FBC FCB ∴∠=∠ABE FBC FCB ACD ∴∠+∠=∠+∠即A ABC CB =∠∠AB AC ∴=ABC ∆∴是等腰三角形②选择E 选项中的ADC AEB ∠=∠，∴∠BDC=∠CEB ：在ABE ∆与CEF ∆中，BDF CEF BFD CFE BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDF CEF AAS ∴∆≅∆BF CF ∴=FBC FCB ∴∠=∠ABE FBC FCB ACD ∴∠+∠=∠+∠即A ABC CB =∠∠AB AC ∴=ABC ∆∴是等腰三角形而其余选项均无法证明△ABC 为等腰三角形故答案为：C ；E（2）①选择C 选项中的ABE ACD ∠=∠在ABE ∆与CEF ∆中，ABE ACD BFD CFE BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△CEF∴BF CF =FBC FCB ∴∠=∠ABE FBC FCB ACD ∴∠+∠=∠+∠即A ABC CB =∠∠AB AC ∴=ABC ∆∴是等腰三角形②选择E 选项中的ADC AEB ∠=∠，∴∠BDC=∠CEB ：在ABE ∆与CEF ∆中，BDF CEF BFD CFE BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDF CEF AAS ∴∆≅∆BF CF ∴=FBC FCB ∴∠=∠ABE FBC FCB ACD ∴∠+∠=∠+∠即A ABC CB =∠∠AB AC ∴=ABC ∆∴是等腰三角形【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质和判定，掌握AAS 定理证明三角形全等是解题关键．24．如图，在ABC ∆中，60B ∠=︒，点M 从点B 出发沿线段BC 方向，在线段BC 上运动．在点M 运动的过程中，连结AM ，并以AM 为边在线段BC 上方，作等边AMN ∆，连结CN ．（1）当_________BAM ∠=时，2AB BM =；（2）请添加一个条件：_________，使得ABC ∆为等边三角形；当ABC ∆为等边三角形时，求证：CN CM AC +=；解析：（1）30；（2）AB=AC ；证明详见解析．【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质解答即可；（2）利用等边三角形的判定即可解答；利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证得△BAM ≌△CAN （SAS ），利用全等三角形的性质即可求证结论．【详解】（1）当∠BAM=30°时，∴∠AMB=180°﹣60°﹣30°=90°，∴AB=2BM ；故答案为30；（2）添加一个条件AB=AC ，可得△ABC 为等边三角形；故答案为AB=AC ；①∵△ABC 与△AMN 是等边三角形，∴BC ＝AB=AC ，AM=AN ，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAC ﹣∠MAC=∠MAN ﹣∠MAC ，即∠BAM=∠CAN ，∴△BAM ≌△CAN （SAS ），∴BM=CN ，∴BM ＋CM=CN ＋CM即BC ＝AC ＝CN ＋CM ．【点睛】本题考查等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学知识．25．在平面直角坐标系中，点(0,)A a ，点(,0)B b ，点(3,0)C -，且a 、b 满足269||0a a a b -++-=．（1）点A 坐标为______，点B 坐标为______，ABC 是______三角形．（2）如图，过点A 作射线l （射线l 与边BC 有交点），过点B 作BD l ⊥于点D ，过点C 作CE l ⊥于点E ，过点E 作EF DC ⊥于点F 交y 轴于点G ．①求证：BD AE =；②求点G 的坐标．（3）如图，点P 是x 轴正半轴上一动点，APO ∠的角平分线交y 轴于点Q ，点M 为线段OP 上一点，过点M 作//MN PQ 交y 轴于点N ；若45AMN ∠=︒，请探究线段AP 、AN 、PM 三者之间的数量关系，并证明你的结论．解析：（1）(0,3)A ，(3,0)B ，等腰直角；（2）①见解析；②点 (0,3)G -；（3）AP AN PM =+，证明见解析．【分析】（1）根据偶次方与绝对值的非负性，解得a b 、的值，即可解得点A 、B 的坐标，继而根据等腰直角三角形的判定方法解题；（2）①由等角的余角相等，解得BAD ACE =∠∠，结合（1）中结论，进而证明AEC BDA ≌△△(AAS)，即可解题；②由AEC BDA ≌△△可证CAE ABD ∠=∠，继而得到GAE CBD ∠=∠，设CF 交y 轴于点H ，根据等角的余角相等，得到HGE OCH ∠=∠，继而证明AGE BCD ≌△△(AAS)解得AG 、OG 的长即可解题；（3）在AP 上截取AH AN =，连接MH ，设NMO α∠=，分别解得45AMO α∠=︒+，=45NAM α∠︒-，由角平分线的性质解得2APO α∠=，45HAM α∠=︒-，进而得到NAM HAM ∠=∠，即可证明AMN AMH ≌(SAS)，继而证明PMH PHM ∠=∠，PH PM =即可解题．【详解】（1）269||0a a a b -++-=2(3)||0a a b ∴-+-=3,3a b a ∴===(0,3)A ∴，(3,0)B ，(3,0)C -,AO OB CO AO ∴==90AOB AOC ∠=∠=︒45ACO ABO ∴∠=∠=︒90CAB ∴∠=︒()AOC AOB SAS ∴≅AC AB ∴=ABC ∴为等腰直角三角形，故答案为：(0,3)A ，(3,0)B ，等腰直角；（2）①BD l ⊥，CE l ⊥90BDA AEC ∴∠=∠=︒90,90BAD CAE CAE ACE ∠+∠=︒∠+∠=︒BAD ACE ∴∠=∠AC AB =AEC BDA ∴≌(AAS)，∴BD AE =．②AEC BDA ≌ CAE ABD ∴∠=∠45CAO ABO ∠=∠=︒GAE CBD ∴∠=∠，设CF 交y 轴于点HEF DC ⊥90CFG ∴∠=︒90FGH FHG ∴∠+∠=︒90COH ∠=︒90OCH CHO ∴∠+∠=︒∴CHO FHG ∠=∠HGE OCH ∴∠=∠又∵AE BD =∴AGE BCD ≌△△(AAS)∴6AG BC ==又∵3AO =，∴3OG =∴点(0,3)G -．（3）AP AN PM =+．证明过程如下：在AP 上截取AH AN =，连接MH ，设NMO α∠=，45AMN ∠=︒45AMO α∴∠=︒+，∴()904545NAM αα∠=︒-︒+=︒-，又∵//MN PQ∴QPO NMO α∠=∠=，∵PQ 平分APO ∠∴2APO α∠=∴45245HAM ααα∠=︒+-=︒-∴NAM HAM ∠=∠又∵AN AH =，AM AM =∴AMN AMH ≌(SAS)∴45AMH AMN ∠=∠=︒∴90PMH α∠=︒-， 又∵()454590PHM αα∠=︒+︒-=︒-∴PMH PHM ∠=∠∴PH PM =∴AP AH PH AN PM =+=+．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、角平分线的性质、平行线的性质、绝对值的非负性、偶次方的非负性等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．26．如图，在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为G ，且AD AB =，60EDF ∠=︒，其两边分别交AB ，AC 于点E ，F ．（1）求证：ABD △是等边三角形；（2）若2DG =，求AC 的长；（3）求证：AB AE AF =+．解析：（1）见解析；（2）4AC =；（3）见解析 【分析】（1）连接BD 由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD ＝∠DAC ＝12×120°＝60°，再由AD ＝AB ，即可得出结论；（2）由等边三角形三线合一可得，122DG AG AD ===，可得4AD AB AC ===，即可求解；（3）由△ABD 是等边三角形，得出BD ＝AD ，∠ABD ＝∠ADB ＝60°，证出∠BDE ＝∠ADF ，由ASA 证明△BDE ≌△ADF ，得出AF ＝BE ，即可求解．【详解】证明：（1）AB AC =，AD BC ⊥， 12BAD DAC BAC ∴∠=∠=∠， 120BAC ∠=︒，1120602BAD DAC ∴∠=∠=⨯︒=︒， =AD AB ，ABD ∴是等边三角形．（2）ABD 是等边三角形，AD AB BD ∴==，AD BC ⊥，122DG AG AD ∴===， 4AD AB AC ∴===，即4AC =；（3）ABD 是等三角形，60ABD ADB ∴∠=∠=︒，BD AD =，60EDF ∠=︒，ADB ADE EDF ADE ∴∠-∠=∠-∠，即BDE ADF ∠=∠．在BDE 和ADF 中，60ABD DAC ∠=∠=︒，BD AD =，BDE ADF ∠=∠， (ASA)BDE ADF ∴△≌△，BE AF ∴=，AB AE BE =+，AB AE AF ∴=+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．27．已知，如图ABC ，AE 平分BAC ∠，EF AB ⊥，垂足为F ，点F 在AB 的延长线上，EG AC ⊥，垂足为点G ，ED 垂直平分BC ，D 为垂足，连结BE ，CE ． 求证：BEF CEG △≌△．解析：见解析【分析】利用角平分线的性质得出EF EG =，再利用线段垂直平分线的性质得出BE CE =，最后证明Rt △BEF ≌Rt △CEG 即可．【详解】证明：AE ∵平分FAC ∠，EF AF ⊥，EG AC ⊥，EF EG ∴=， DE 垂直平分BC ，BE CE ∴=，EF AF ⊥，EG AC ⊥，90BFE CGE ∴∠=∠=︒，在Rt BEF 和Rt CEG △中，BE CE EF EG =⎧⎨=⎩Rt Rt (HL)BEF CEG ∴△≌△．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质, 角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用性质解决问题．28．如图，在12×10的正方形网格中，△ABC 是格点三角形，点B 的坐标为（﹣5，1），点C 的坐标为（﹣4，5）．（1）请在方格纸中画出x 轴、y 轴，并标出原点O ；（2）画出△ABC 关于直线l 对称的△A 1B 1C 1；C 1的坐标为（3）若点P （a ，b ）在△ABC 内，其关于直线l 的对称点是P 1，则P 1的坐标是 ．解析：（1）见解析；（2）见解析；（0，5）；（3）（﹣a ﹣4，b ）【分析】（1）利用A 、C 点的坐标画出直角坐标系；（2）利用网格点和对称的性质画出A 、B 、C 关于直线l 的对称点A 1、B 1、C 1即可； （3）先把P 点向右平移2个单位（a+2，b ）（相当于把直线l 右平移2个单位），点（a+2，b ）关于y 轴的对称点为（-a-2，b ），然后把（-a-2，b ）向左平移2个单位，相当于把直线l 向左平移2个单位回到原来位置，于是得到P 1的坐标为（-a-2-2，b ）．【详解】解：（1）如图，就是所求作的坐标轴与原点；。

北京市回民学校2024-2025学年高三上学期统测（一）数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________（3）直线AP 与1A D 所成的角的大小不变，（4）1AC DP ^．A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题对于（1），因为11//BC AD ，1BC Ë面1ACD ，1AD Ì面1ACD ，所以1//BC 面1ACD ，所以1BC 上任意一点到平面1AD C 的距离相等，又11A CPD P CAD V V --=，所以三棱锥1A D PC -的体积不变，故正确；对于（2），点P 在直线1BC 上运动时，直线AB 与平面1AD C 所成的角和直线1AC 与平面1AD C 所成的角不相等，故错误；对于（3），设11AD A D M =I ，则11AD A D ^，又AB ^面11AA D D ，所以1AB A D ^，又1AB AD A =I ，所以1A D ^平面11ABC D ,又AP Ì平面11ABC D ，所以1A D AP ^，所以点P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与直线1A D 所成的角的大小不变，故正确；对于（4），因为1111ABCD A B C D -为正方体，则1AA ^平面ABCD ，且BD Ì平面ABCD ，则1AA BD ^，又AC BD ^，且1AA AC A =I ，1,AA AC Ì平面1A AC ，所以BD ^平面1A AC ，且1AC 平面1A AC ，所以1BD AC ^，又11A B ^平面11BB C C ，且1BC Ì平面11BB C C ，所以111A B BC ^，又11B C BC ^，且1111A B B C B =I ，111,A B B C Ì平面11A B C ，所以1^BC 平面11A B C ，【分析】（1）取AE中点G，证明//AD平面CEF，根据线面平行性质AD GF，假设//定理证明//AD EF，推出矛盾，可得结论；（2）（i）证明线线垂直建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解平面与平面的角，（ii）利用向量方法求点到平面距离.【详解】（1）AD不平行于平面CEF，理由如下：取AE中点G，因为,2AG DF AG DF=∥，所以//,AE DF AE DF=则四边形AGFD为平行四边形，所以//AD GF，又GF EF FÇ=，所以AD不平行于EF，假设//AD平面CEF，因为平面CEFÇ平面ADFE EF=，ADÌ平面ADFE所以//AD EF，与AD不平行于EF矛盾，所以假设不成立，即AD不平行于平面CEF；（2）取CD中点M，连接AM。