2017年春季新版华东师大版八年级数学下学期19.1.2、矩形的判定同步练习

华师大新版八年级下学期《19.1.2 矩形的判定》同步练习卷一．选择题（共1小题）1．下列各种判定矩形的说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．有三个角相等的四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形D．对角线相等且互相垂直的四边形是矩形二．填空题（共1小题）2．如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快s后，四边形ABPQ成为矩形．三．解答题（共38小题）3．如图，在平行四边形ABCD中，过点D做DE⊥AB于E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF、BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BE=5，AF平分∠DAB，求平行四边形ABCD的面积．4．如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．5．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，且与AD边交于点E，∠AEB=45°，证明：四边形ABCD是矩形．6．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形；7．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F在AC上，且AE=CF，EF=BD．求证：四边形EBFD是矩形．9．如图，在平行四边形ABCD中，E、F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE，求证：（1）△ABF≌△DCE；（2）四边形ABCD是矩形．10．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∠DBC=∠ACB．求证：四边形ABCD是矩形．11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．12．如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．13．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB∥CD且AB=CD，∠BAC=∠BDC，求证：四边形ABCD是矩形．14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE∥BD，BE∥AC，AE、BE 相交于点E．求证：四边形OAEB是矩形．15．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点E，连结EC、AD．求证：四边形ADCE是矩形．16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．17．如图，E为▱ABCD外，AE⊥CE，BE⊥DE，求证：▱ABCD为矩形．18．已知：如图，平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC 的延长线于点E，BD=BE．求证：四边形ABCD是矩形．20．如图，▱ABCD中，点E是CD边中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，∠DAF=∠DCF．（1）判断四边形ACFD是什么特殊的四边形，并证明；（2）若AC=5，BC=4，连接BE，求线段BE的长．21．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，且△OAB为等边三角形．求证：四边形ABCD为矩形．22．如图所示，AF是∠MAC角平分线，AE是∠NAC的角平分线，OB=OD，且OA=OC，求证：四边形ABCD为矩形．23．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，分别过点A，D 作AE∥BC，DE∥AB，AE与DE相交于点E，连结CE．（1）求证：AE=BD；（2）求证：四边形ADCE是矩形．24．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE=8，CF=6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．25．如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A=50°，则当∠BOD=°时，四边形BECD是矩形．26．如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．27．在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE=CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若EF=DB，求证：四边形DEBF为矩形．28．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，AE∥BC，DE∥AB．求证：四边形ADCE为矩形．29．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD=24cm，BC=26cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t=s时，四边形APQB为矩形；（2）若PQ=CD，求t的值；（3）当AB=cm，在点P、Q运动过程中，四边形PQCD能构成菱形．30．如图，在▱ABCD中，AB=DB，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．求证：四边形DFBE是矩形．31．如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC 的延长线于点F，且AF=AD，连接BF，求证：四边形ABFC是矩形．32．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．求证：平行四边形ADBE是矩形．33．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，点E是△ABC外一点且四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．34．已知：菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE∥AC，CE∥BD．（1）若AC=8，BD=6，求AB的长；（2）求证：四边形OBEC为矩形．35．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA=MC，∠BAN=90°，求证：四边形ADCN是矩形．36．如图，已知E、F为平行四边形ABCD的对角线上的两点，且BE=DF，∠AEC=90°．求证：四边形AECF为矩形．37．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE=BC，AE=AB，AE、DC相交于点O，连接DE．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）若∠AOD=120°，AC=4，求对角线CD的长．38．已知，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形．39．如图，在▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF 交BC于点F，连接BD．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．40．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AC=FD，∠CEF=90°．（1）求证：△ABF≌△DEC；（2）求证：四边形BCEF是矩形．华师大新版八年级下学期《19.1.2 矩形的判定》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．下列各种判定矩形的说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．有三个角相等的四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形D．对角线相等且互相垂直的四边形是矩形【分析】根据矩形的判定方法即可判断；【解答】解：A、错误．对角线相等的四边形不一定是矩形；B、错误．有三个角相等的四边形不一定是矩形；C、正确；D、错误．对角线相等且互相垂直的四边形不一定是矩形．故选：C．【点评】本题考查矩形的判定，解题的关键是记住矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）二．填空题（共1小题）2．如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快4s后，四边形ABPQ成为矩形．【分析】根据矩形的性质，可得BC与AD的关系，根据矩形的判定定理，可得BP=AQ，根据解题元一次方程，可得答案．【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP=AQ得3x=20﹣2x．解得x=4，故答案为：4．【点评】本题考查了矩形的判定与性质，有一个角是直角的平行四边形是矩形．三．解答题（共38小题）3．如图，在平行四边形ABCD中，过点D做DE⊥AB于E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF、BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BE=5，AF平分∠DAB，求平行四边形ABCD的面积．【分析】（1）先求出四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；（2）根据勾股定理求出DE长，即可得出答案．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∵DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）∵AF平分∠DAB，∴∠DAF=∠FAB，∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，∴∠FAB=∠DFA，∴∠DFA=∠DAF，∴AD=DF=5，在Rt△ADE中，DE=，∴平行四边形ABCD的面积=AB•DE=4×8=32，【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．4．如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，据此求得t的值；（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ=AC，列方程求得运动的时间t；（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长=4×10，根据菱形的面积求出面积即可．【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，∴BC=AD=16cm，AB=CD=8cm，由已知可得，BQ=DP=tcm，AP=CQ=（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，当BQ=AP时，四边形ABQP为矩形，∴t=16﹣t，得t=8，故当t=8s时，四边形ABQP为矩形；（2）∵AP=CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ=CQ时，四边形AQCP为菱形即=16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t=6，故当t=6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t=6s时，AQ=CQ=CP=AP=16﹣6=10cm，则周长为4×10cm=40cm；面积为10cm×8cm=80cm2．【点评】本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．5．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，且与AD边交于点E，∠AEB=45°，证明：四边形ABCD是矩形．【分析】利用已知证明∠ABE为90°即可．【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形∴AD∥BC∴∠AEB=∠EBC∵BE平分∠ABC，∠AEB=45°∴∠ABE=∠EBC=45°∴∠ABC=90°∴四边形ABCD是矩形【点评】本题考查了矩形的判定，利用了角平分线性质、平行四边形的性质．6．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形；【分析】根据三个角是直角是四边形是矩形即可证明；【解答】证明：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．∴∠ADC=90°，∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN=∠CAN．∴∠DAE=90°，∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°．∴四边形ADCE为矩形．【点评】本题考查矩形的判定、等腰三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；【分析】（1）利用平行线的性质得：∠OEC=∠ECB，根据角平分线的定义可知：∠ACE=∠ECB，由等量代换和等角对等边得：OE=OC，同理：OC=OF，可得结论；（2）先根据对角线互相平分证明四边形AECF是平行四边形，再由角平分线可得：∠ECF=90°，利用有一个角是直角的平行四边形可得结论；【解答】解：（1）OE=OF，理由如下：∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠ECB，∴∠OEC=∠ACE，∴OE=OC，同理可得：OC=OF，∴OE=OF；（2）当O为AC中点时，四边形AECF是矩形；理由如下：∵OA=OC，OE=OF（已证），∴四边形AECF是平行四边形，∵EC平分∠ACB，CF平分∠ACG，∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACG，∴∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACG）=×180°=90°，即∠ECF=90°，∴四边形AECF是矩形．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定、矩形的判定以及正方形的判定、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握并区分平行四边形、矩形、正方形的判定是解题关键．8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F在AC上，且AE=CF，EF=BD．求证：四边形EBFD是矩形．【分析】根据矩形的判定和平行四边形的性质证明即可．【解答】证明：∵平行四边形ABCD，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF，∠ABO=∠CDO，在△ABE与△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE=DF，∠BAE=∠CDF，∴∠ABO﹣∠BAE=∠CDO﹣∠CDF，即∠EBO=∠DFO，∴BE∥DF，∴四边形EBDF是平行四边形，∵EF=BD，∴平行四边形EBDF是矩形．【点评】此题考查矩形的判定，关键是根据全等三角形的判定得出△ABE≌△CDF．9．如图，在平行四边形ABCD中，E、F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE，求证：（1）△ABF≌△DCE；（2）四边形ABCD是矩形．【分析】（1）根据题中的已知条件我们不难得出：AB=CD，AF=DE，又因为BE=CF，那么两边都加上EF后，BF=CE，因此就构成了全等三角形的判定中边边边（SSS）的条件．（2）由于四边形ABCD是平行四边形，只要证明其中一角为直角即可．【解答】证明：（1）∵BE=CF，BF=BE+EF，CE=CF+EF，∴BF=CE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC．在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SSS）．（2）∵△ABF≌△DCE，∴∠B=∠C．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴∠B+∠C=180°．∴∠B=∠C=90°．∴四边形ABCD是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和矩形的判定等知识点．全等三角形的判定是本题的重点．10．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∠DBC=∠ACB．求证：四边形ABCD是矩形．【分析】根据等角对等边得出OB=OC，根据平行四边形性质求出OC=OA=AC，OB=OD=BD，推出AC=BD，根据矩形的判定推出即可．【解答】证明：如图，在▱ABCD中，AO=CO，BO=DO，∵∠1=∠2，∴BO=CO，∴AO=BO=CO=DO，∴AC=BD，∴▱ABCD为矩形．【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定，解题时注意：对角线相等的平行四边形是矩形．11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形，∴四边形AODE是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．12．如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形．【解答】证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD=CD．∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，BE=AD，∴BE=CD，∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴▱BECD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．13．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB∥CD且AB=CD，∠BAC=∠BDC，求证：四边形ABCD是矩形．【分析】由AB∥CD且AB=CD，得出是▱ABCD，再得出OA=OB，进而得出AC=BD，证明即可．【解答】证明：∵AB∥CD且AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABD=∠BDC，∵∠BAC=∠BDC，∴∠ABD=∠BAC，∴OA=OB，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定方法，由AB∥CD且AB=CD，得出是▱ABCD是解题的关键．14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE∥BD，BE∥AC，AE、BE 相交于点E．求证：四边形OAEB是矩形．【分析】首先判定四边形OAEB是平行四边形，再由菱形的性质得出∠AOB=90°，从而判定四边形OAEB是矩形．【解答】证明：∵AE∥BO，BE∥AO，∴四边形OAEB是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DB．∴∠AOB=90°，∴平行四边形OAEB是矩形．【点评】此题综合考查了菱形的性质与矩形的判定方法．矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．15．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点E，连结EC、AD．求证：四边形ADCE是矩形．【分析】首先证明四边形ABDE是平行四边形，再证明四边形ADCE是平行四边形，由∠ADC=90°，即可推出四边形ADCE是矩形．【解答】证明：∵AE∥BD，DE∥AB∴四边形ABDE是平行四边形∴AB=DE，AE=BD∵AB=AC∴DE=AC∵点D是BC的中点∴BD=CD AD⊥BC所以AE=DC，AE∥DC∴四边形ADCE是平行四边形∵∠ADC=90°∴平行四边形ADCE是矩形【点评】本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．【分析】利用平行线的性质得出∠ADC=90°，再利用勾股定理的逆定理得出∠B=90°，进而得出答案．【解答】证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，∴∠ADC=90°，又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，满足132=52+122，∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形．【点评】此题主要考查了矩形的判定以及勾股定理的逆定理，正确掌握矩形的判定方法是解题关键．17．如图，E为▱ABCD外，AE⊥CE，BE⊥DE，求证：▱ABCD为矩形．【分析】连接AC、BD交于点O，连接EO，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EO=AC=BD，从而得到AC=BD，利用矩形的判定定理判定即可．【解答】解：连接AC、BD交于点O，连接EO，∵AE⊥CE，BE⊥DE，∴EO=AC=BD，∴AC=BD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，对角线相等的平行四边形是矩形，难度不大．18．已知：如图，平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．【分析】由于四边形ABCD是平行四边形，那么AD∥BC，利用平行线的性质可得∠DAB+∠ABC=180°，而AH，BH分别平分∠DAB与∠ABC，则∠HAB=∠DAB，∠HBA=∠ABC，那么有∠HAB+∠HBA=90°，再利用三角形内角和定理可知∠H=90°，同理∠HEF=∠DEA=90°，利用三个内角等于90°的四边形是矩形，那么四边形EFGH是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∵AH，BH分别平分∠DAB与∠ABC，∴∠HAB=∠DAB，∠HBA=∠ABC，∴∠HAB+∠HBA=（∠DAB+∠ABC）=×180°=90°，∴∠H=90°，同理∠HEF=∠F=90°，∴四边形EFGH是矩形．【点评】本题利用了平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质、矩形的判定，关键是利用三个内角等于90°的四边形是矩形证明．19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC 的延长线于点E，BD=BE．求证：四边形ABCD是矩形．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判断．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．又∵点E在DC的延长线上，∴AB∥CE．又∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴AC=BE．又BD=BE，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；【点评】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．如图，▱ABCD中，点E是CD边中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，∠DAF=∠DCF．（1）判断四边形ACFD是什么特殊的四边形，并证明；（2）若AC=5，BC=4，连接BE，求线段BE的长．【分析】（1）由平行四边形的性质，结合条件可求得EF=EC=ED=AE，可证得四边形ACFD为矩形；（2）作EG⊥CF于点G，由矩形和平行四边形的性质可求得EG和BG的长，在Rt△BEG中可求得BE的长．【解答】解：（1）四边形ACFD为矩形，证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BF，∴∠DAF=∠CFE，∵∠DAF=∠DCF，∴∠DCF=∠CFE，∴EF=EC，同理可求得DE=EA，∵E为CD的中点，∴CE=DE=AE=FE，∴四边形ACFD为矩形；（2）作EG⊥CF于点G，如图，在矩形ACFD和▱ABCD中，则有CF=AD=BC=4，且FE=FC，∴CG=CF=2，BG=6，∵AE=EF，∴EG=AC=，∴Rt△EBG中，BE==．【点评】本题主要考查平行四边形的性质和矩形的性质和判定，利用平行线的性质结合角相等求得EC=EF是解题的关键．21．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，且△OAB为等边三角形．求证：四边形ABCD为矩形．【分析】根据对角线相等的平行四边形的矩形即可证明；【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OA，BD=2OB，∵△OAB为等边三角形，∴OA=OB，∴AC=BD，∴四边形ABCD为矩形．【点评】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．如图所示，AF是∠MAC角平分线，AE是∠NAC的角平分线，OB=OD，且OA=OC，求证：四边形ABCD为矩形．【分析】只要证明四边形ABCD是平行四边形，再证明∠DAB=90°即可．【解答】证明：∵AF是∠MAC角平分线，AE是∠NAC的角平分线，∴∠CAF=∠CAM，∠CAB=∠CAN，∴∠CAF+∠CAB=（∠CAM+∠CAN）=90°，即∠DAB=90°∵OD=OB，OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠DAB=90°，∴四边形ABCD是矩形．【点评】本题考查角平分线的定义，矩形的判定、平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于直径基础题．23．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，分别过点A，D 作AE∥BC，DE∥AB，AE与DE相交于点E，连结CE．（1）求证：AE=BD；（2）求证：四边形ADCE是矩形．【分析】（1）先证明四边形ABDE是平行四边形，得出AE=BD即可；（2）由等腰三角形的性质得出BD=CD，AD⊥BC，得出AE=CD，∠ADC=90°，证出四边形ADCE是平行四边形．即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AE∥BC、DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形．∴AE=BD；（2）证明：由（1）得：AE=BD，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=CD，AD⊥BC，∴AE=CD，∠ADC=90°，又∵AE∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形．∴四边形ADCE是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由等腰三角形的性质得出BD=CD，AD⊥BC是解决问题的关键．24．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E、F．（1）若CE=8，CF=6，求OC的长；（2）连接AE、AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，证出OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；（2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．【解答】（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，∵EF∥BC，∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，∴OE=OC，OF=OC，∴OE=OF；∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，∴∠ECF=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF==10，∴OC=OE=EF=5；（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：连接AE、AF，如图所示：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出∠ECF=90°是解题关键．25．如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠A=50°，则当∠BOD=100°时，四边形BECD是矩形．【分析】（1）由AAS证明△BOE≌△COD，得出OE=OD，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出∠BCD=∠A=50°，由三角形的外角性质求出∠ODC=∠BCD，得出OC=OD，证出DE=BC，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∴∠OEB=∠ODC，又∵O为BC的中点，∴BO=CO，在△BOE和△COD中，，∴△BOE≌△COD（AAS）；∴OE=OD，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：若∠A=50°，则当∠BOD=100°时，四边形BECD是矩形．理由如下：∴∠BCD=∠A=50°，∵∠BOD=∠BCD+∠ODC，∴∠ODC=100°﹣50°=50°=∠BCD，∴OC=OD，∵BO=CO，OD=OE，∴DE=BC，∵四边形BECD是平行四边形，∴四边形BECD是矩形；故答案为：100．【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．26．如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即AD=BC（答案不唯一），可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．【分析】（1）由SSS证明△DCA≌△EAC即可；（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出∠D=90°，即可得出结论．【解答】（1）证明：在△DCA和△EAC中，，∴△DCA≌△EAC（SSS）；（2）解：添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：∵AB=DC，AD=BC，∵CE⊥AE，∴∠E=90°，由（1）得：△DCA≌△EAC，∴∠D=∠E=90°，∴四边形ABCD为矩形；故答案为：AD=BC（答案不唯一）．【点评】本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定；熟练掌握矩形的判定，证明三角形全等是解决问题的关键．27．在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE=CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若EF=DB，求证：四边形DEBF为矩形．【分析】（1）由在▱ABCD中，AE=CF，可利用SAS判定△ADE≌△CBF．（2）由在▱ABCD中，且AE=CF，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形DEBF是平行四边形，又由EF=DB，可证得四边形DEBF是矩形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∵AE=CF，∴BE=DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵EF=DB，∴四边形DEBF是矩形．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意有对角线相等的平行四边形是矩形，首先证得四边形DEBF是平行四边形是关键．28．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，AE∥BC，DE∥AB．求证：四边形ADCE为矩形．【分析】依据“对边平行且相等”的四边形是平行四边形判定四边形ADCE是平行四边形，又由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得结论．【解答】证明：∵AE∥BC，∴AE∥BD．又∵DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD．∵D为BC的中点，∴BD=DC，∴AE=DC；∵AE∥CD，AE=BD=DC，即AE=DC，∴四边形ADCE是平行四边形．又∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥CD，∴平行四边形ADCE为矩形．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．29．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD=24cm，BC=26cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s 的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t= 6.5s时，四边形APQB为矩形；（2）若PQ=CD，求t的值；（3）当AB=8cm，在点P、Q运动过程中，四边形PQCD能构成菱形．【分析】（1）由AD∥BC，∠B=90°，可得当AP=BQ时，四边形ABQP是矩形，即可得方程：t=26﹣2t，解此方程即可求得答案．（2）根据PQ=CD，一种情况是：四边形PQCD为平行四边形，可得方程24﹣t=3t，一种情况是：四边形PQCD为等腰梯形，可求得当QC﹣PD=QC﹣EF=QF+EC=2CE，即3t﹣（24﹣t）=4时，四边形PQCD为等腰梯形，解此方程即可求得答案；（3）由菱形的性质得出CD=CQ=PD，得出24﹣t=3t，解得：t=6，得出CD=CQ=18，作DM⊥BC于M，则AB=DM，BM=AD=24，得出CM=BC﹣BM=2，在Rt△CDM 中，由勾股定理求出DM，即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意得：AP=tcm，CQ=3tcm，∵AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，∴DP=AD﹣AP=24﹣t（cm），BQ=26﹣3t（cm），∵AD∥BC，∠B=90°，∴当AP=BQ时，四边形ABQP是矩形，∴t=26﹣3t，解得：t=6.5，即当t=6.5s时，四边形ABQP是矩形；故答案为：6.5；。

《矩形的判定》拓展训练一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1．（4分）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC2．（4分）在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BDB．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°C．∠A＝∠C，∠B+∠C＝180°，AC⊥BDD．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD3．（4分）如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，若要使平行四边形ABCD 为矩形，则OB的长度为（）A．4B．3C．2D．14．（4分）如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形D．如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形5．（4分）如图，△ABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF延长线于点E，若∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（）A．2B．2C．3D．36．（4分）如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB＝BC B．AO＝BO C．∠1＝∠2D．AC⊥BD7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E，点F分别是AC，BC的中点，D是斜边AB上一点，则添加下列条件可以使四边形DECF成为矩形的是（）A．∠ACD＝∠BCD B．AD＝BD C．CD⊥AB D．CD＝AC8．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（）A．1.2B．2.4C．2.5D．4.89．（4分）如图，l1∥l2，BE∥CF，BA⊥l1，DC⊥l2，下面给出四个结论：①BE＝CF；②AB ＝DC；③S△ABE＝S△DCF；④四边形ABCD是矩形．其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME ⊥AB于E，MF⊥AC于F，N为EF的中点，则MN的最小值为（）A．4.8B．2.4C．2.5D．2.6二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11．（4分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．12．（4分）在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB、BC满足条件时，四边形PEMF为矩形．13．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝4cm，AD＞AB，CD＝5cm，点P从点C出发沿边CB以每秒1cm的速度向点B运动，秒后四边形ABPD是矩形．14．（4分）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P在BC边上由点B向点C运动，点Q 在DA边上由点D向点A运动，两点同时运动同时停止，若点P与点Q的速度分别为3cm/s 和1cm/s，则经过s后，四边形ABPQ成为矩形．15．（4分）如图，在△ABC，AB＝AC，点D为BC的中点，AE是∠BAC外角的平分线，DE∥AB交AE于E，则四边形ADCE的形状是．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D做DE⊥AB于E，点F在边CD上，DF ＝BE，连接AF、BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BE＝5，AF平分∠DAB，求平行四边形ABCD的面积．17．（8分）如图，在▱ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若AB＝6，BC＝4，∠DAB＝60°，求四边形EFGH的面积．18．（8分）如图，已知DB∥AC，E是AC的中点，DB＝AE，连结AD、BE．（1）求证：四边形DBCE是平行四边形；（2）若要使四边形ADBE是矩形，则△ABC应满足什么条件？说明你的理由．19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝DF ＝DC．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）当∠FDC与∠EFB满足数量关系时，四边形AEFD是矩形．20．（8分）已知△ABC，分别以BC，AB，AC为边作等边三角形BCE，ACF，ABD （1）若存在四边形ADEF，判断它的形状，并说明理由．（2）存在四边形ADEF的条件下，请你给△ABC添个条件，使得四边形ADEF成为矩形，并说明理由．（3）当△ABC满足什么条件时四边形ADEF不存在．《矩形的判定》拓展训练参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1．（4分）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．【解答】解：A、∠A＝∠B，∠A+∠B＝180°，所以∠A＝∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B、∠A＝∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C、AC＝BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；D、AB⊥BC，所以∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B．【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．2．（4分）在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BDB．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°C．∠A＝∠C，∠B+∠C＝180°，AC⊥BDD．∠A＝∠B＝90°，AC＝BD【分析】由AB＝CD，AD＝BC，得出四边形ABCD是平行四边形，再由对角线相等即可得出A正确；由AO＝CO，BO＝DO，得出四边形ABCD是平行四边形，由∠A＝90°即可得出B正确；由∠B+∠C＝180°，得出AB∥DC，再证出AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，由对角线互相垂直得出四边形ABCD是菱形，C不正确；由∠A+∠B＝180°，得出AD∥BC，由HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD，得出BC＝AD，证出四边形ABCD是平行四边形，由∠A＝90°即可得出D正确．【解答】解：∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，∴A正确；∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴B正确；∵∠B+∠C＝180°，∴AB∥DC，∵∠A＝∠C，∴∠B+∠A＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴C不正确；∵∠A＝∠B＝90°，∴∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC，如图所示：在Rt△ABC和Rt△BAD中，，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴D正确；故选：C．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键．3．（4分）如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，若要使平行四边形ABCD 为矩形，则OB的长度为（）A．4B．3C．2D．1【分析】根据矩形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，求出OA＝OB即可．【解答】解：假如平行四边形ABCD是矩形，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB＝3．故选：B．【点评】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，能根据矩形的性质推出0A＝OB是解此题的关键．4．（4分）如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形D．如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形【分析】由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；又有∠BAC＝90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形；如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠F AD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，∴∠F AD＝∠ADF，∴AF＝FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形；如果AD⊥BC且AB＝AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形．故以上答案都正确．【解答】解：由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；又有∠BAC＝90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A、B正确；如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠F AD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，∴∠F AD＝∠ADF，∴AF＝FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，而不一定是矩形．故C错误；如果AD⊥BC且AB＝AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形．故D 正确．故选：C．【点评】本题考查平行四边形、矩形及菱形的判定，具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．5．（4分）如图，△ABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF延长线于点E，若∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（）A．2B．2C．3D．3【分析】先证明△BCF是等边三角形，得出CF＝BC＝2，∠BCF＝60°，求出CD，再证明四边形BCDE是矩形，即可求出面积．【解答】解：连接CF，如图所示：∵DE是AC的中垂线，∴AF＝CF，∠CDE＝90°，∴∠ACF＝∠A＝30°，∴∠CFB＝∠A+∠ACF＝60°，∵AF＝BF，∴CF＝BF，∴△BCF是等边三角形，∴CF＝BC＝2，∠BCF＝60°，∴CD＝CF•cos30°＝，∠BCD＝60°+30°＝90°，∵BE⊥DF，∴∠E＝90°，∴四边形BCDE是矩形，∴四边形BCDE的面积＝BC•CD＝2×＝2；故选：A．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角函数以及等边三角形的判定与性质；证明等边三角形和矩形是解决问题的关键．6．（4分）如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB＝BC B．AO＝BO C．∠1＝∠2D．AC⊥BD【分析】根据矩形的判定定理（①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形）逐一判断即可．【解答】解：A、根据AB＝BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AO＝BO，∴OA＝OC＝OB＝OD，即AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠2＝∠ACB，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠ACB，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了对矩形的判定定理的应用，注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形．7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E，点F分别是AC，BC的中点，D是斜边AB上一点，则添加下列条件可以使四边形DECF成为矩形的是（）A．∠ACD＝∠BCD B．AD＝BD C．CD⊥AB D．CD＝AC【分析】添加AD＝BD后利用三角形中位线定理和平行四边形的判定得出四边形DECF 是平行四边形，再根据∠ACB＝90°，得出四边形DECF成为矩形．【解答】解：添加AD＝BD，∵点E，点F分别是AC，BC的中点，AD＝BD，∴ED∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，∵∠ACB＝90°，∴平行四边形DECF是矩形，故选：B．【点评】本题考查了矩形的判定，根据三角形中位线定理解答是解题的关键．8．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（）A．1.2B．2.4C．2.5D．4.8【分析】连接PC，当CP⊥AB时，PC最小，利用三角形面积解答即可．【解答】解：连接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∴PC的最小值为：．∴线段EF长的最小值为4.8．故选：D．【点评】本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答．9．（4分）如图，l1∥l2，BE∥CF，BA⊥l1，DC⊥l2，下面给出四个结论：①BE＝CF；②AB ＝DC；③S△ABE＝S△DCF；④四边形ABCD是矩形．其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据题意可以分别判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．【解答】解：∵l1∥l2，BE∥CF，∴四边形BCFE是平行四边形，∴BE＝CF，故①正确，∵l1∥l2，BA⊥l1，DC⊥l2，∴AB＝DC，故②正确，∵BE∥CF，∴∠AEB＝∠DFC，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AE＝DF，∵AB＝DC，∴S△ABE＝S△DCF，故③正确，∵l1∥l2，BE∥CF，BA⊥l1，DC⊥l2，∴四边形ABCD是矩形，故④正确，故选：D．【点评】本题考查矩形的判断、平行线之间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用矩形的性质和平行线的性质解答．10．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME ⊥AB于E，MF⊥AC于F，N为EF的中点，则MN的最小值为（）A．4.8B．2.4C．2.5D．2.6【分析】过点A作AM⊥BC于点M′，根据勾股定理求出BC的长，再由三角形的面积公式求出AM′的长．根据题意得出四边形AEMF是矩形，故可得出AM＝EF，MN＝AM，当MN最小时，AM最短，此时M与M′重合，据此可得出结论．【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M′，∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，∴BC＝＝10，∴AM′＝＝．∵ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，∴四边形AEMF是矩形，∴AM＝EF，MN＝AM，∴当MN最小时，AM最短，此时点M与M′重合，∴MN＝AM′＝＝2.4．故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AM的最小值是关键．二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11．（4分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．【分析】先根据矩形的判定得出AEPF是矩形，再根据矩形的性质得出EF，AP互相平分，且EF＝AP，再根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM 的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可．【解答】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴∠EAF＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，∴EF，AP的交点就是M点．∵当AP的值最小时，AM的值就最小，∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．∵AP．BC＝AB．AC，∴AP．BC＝AB．AC．∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴5AP＝3×4，∴AP＝，∴AM＝；故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AP的最小值是关键．12．（4分）在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB、BC满足条件AB＝BC时，四边形PEMF为矩形．【分析】根据已知条件、矩形的性质和判定，欲证明四边形PEMF为矩形，只需证明∠BMC＝90°，易得AB＝BC时能满足∠BMC＝90°的条件．【解答】解：AB＝BC时，四边形PEMF是矩形．∵在矩形ABCD中，M为AD边的中点，AB＝BC，∴AB＝DC＝AM＝MD，∠A＝∠D＝90°，∴∠ABM＝∠MCD＝45°，∴∠BMC＝90°，又∵PE⊥MC，PF⊥MB，∴∠PFM＝∠PEM＝90°，∴四边形PEMF是矩形．【点评】此题考查了矩形的判定和性质的综合应用，是一开放型试题，是中考命题的热点．13．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝4cm，AD＞AB，CD＝5cm，点P从点C出发沿边CB以每秒1cm的速度向点B运动，3秒后四边形ABPD是矩形．【分析】当DP⊥BC时，四边形ABPD是矩形，利用勾股定理解答即可．【解答】解：当DP⊥BC时，四边形ABPD是矩形，此时：AB＝DP＝4，CD＝5，在Rt△DPC中，CP＝，所以3秒后四边形ABPD是矩形，故答案为：3【点评】此题考查矩形的判定，关键是利用勾股定理解答．14．（4分）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P在BC边上由点B向点C运动，点Q 在DA边上由点D向点A运动，两点同时运动同时停止，若点P与点Q的速度分别为3cm/s 和1cm/s，则经过5s后，四边形ABPQ成为矩形．【分析】根据矩形的性质得出AD＝BC，得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BC＝20cm，∴AD＝BC＝20cm，要使四边形ABPQ是矩形，必须AQ＝BP，即20﹣t＝3t，解得；t＝5，故答案为；5．【点评】本题考查了矩形的性质和解一元一次方程，能根据矩形的性质得出方程是解此题的关键．15．（4分）如图，在△ABC，AB＝AC，点D为BC的中点，AE是∠BAC外角的平分线，DE∥AB交AE于E，则四边形ADCE的形状是矩形．【分析】首先利用外角性质得出∠B＝∠ACB＝∠F AE＝∠EAC，进而得到AE∥CD，即可求出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE是平行四边形，即可求出四边形ADCE是矩形．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵点D为BC的中点，∴∠ADC＝90°，∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠F AE＝∠EAC，∵∠B+∠ACB＝∠F AE+∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠F AE＝∠EAC，∴AE∥CD，又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE平行且等于BD，又∵BD＝DC，∴AE平行且等于DC，故四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．即四边形ADCE是矩形．故答案为矩形．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定，灵活利用平行四边形的判定得出四边形AEDB是平行四边形是解题关键．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D做DE⊥AB于E，点F在边CD上，DF ＝BE，连接AF、BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BE＝5，AF平分∠DAB，求平行四边形ABCD的面积．【分析】（1）先求出四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；（2）根据勾股定理求出DE长，即可得出答案．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∵DF＝BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠F AB，∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，∴∠F AB＝∠DF A，∴∠DF A＝∠DAF，∴AD＝DF＝5，在Rt△ADE中，DE＝，∴平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝4×8＝32，【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．17．（8分）如图，在▱ABCD中，各内角的平分线相交于点E，F，G，H．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若AB＝6，BC＝4，∠DAB＝60°，求四边形EFGH的面积．【分析】（1）根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得出∠AGB＝90°，∠DEC＝90°，∠AHD＝90°＝∠EHG，进而判定四边形EFGH是矩形；（2）根据含30°角的直角三角形的性质，得到BG＝AB＝3，AG＝3＝CE，BF＝BC ＝2，CF＝2，进而得出EF和GF的长，可得四边形EFGH的面积．【解答】解：（1）∵GA平分∠BAD，GB平分∠ABC，∴∠GAB＝∠BAD，∠GBA＝∠ABC，∵▱ABCD中，∠DAB+∠ABC＝180°，∴∠GAB+∠GBA＝（∠DAB+∠ABC）＝90°，即∠AGB＝90°，同理可得，∠DEC＝90°，∠AHD＝90°＝∠EHG，∴四边形EFGH是矩形；（2）依题意得，∠BAG＝∠BAD＝30°，∵AB＝6，∴BG＝AB＝3，AG＝3＝CE，∵BC＝4，∠BCF＝∠BCD＝30°，∴BF＝BC＝2，CF＝2，∴EF＝3﹣2＝，GF＝3﹣2＝1，∴矩形EFGH的面积＝EF×GF＝．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．18．（8分）如图，已知DB∥AC，E是AC的中点，DB＝AE，连结AD、BE．（1）求证：四边形DBCE是平行四边形；（2）若要使四边形ADBE是矩形，则△ABC应满足什么条件？说明你的理由．【分析】（1）根据EC＝BD，EC∥BD即可证明；（2）根据等腰三角形三线合一的性质得出∠BEA＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形推出即可．【解答】（1）证明：∵E是AC中点，∴AE＝EC，∵DB＝AE，∴EC＝BD又∵DB∥AC，∴四边形DECB是平行四边形．（2）△ABC满足AB＝BC时，四边形DBEA是矩形理由如下：∵DB＝AE，又∵DB∥AC，∴四边形DBEA是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∵AB＝BC，E为AC中点，∴∠AEB＝90°，∴平行四边形DBEA是矩形，即△ABC满足AB＝BC时，四边形DBEA是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，题目难度不大，熟练掌握平行四边形的判定与性质以及平行四边形与矩形的联系是解题的关键．19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝DF ＝DC．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）当∠FDC与∠EFB满足数量关系∠FDC＝2∠EFB时，四边形AEFD是矩形．【分析】（1）想办法证明∠DFC＝∠B，推出DF∥AB，即可解决问题；（2）当∠FDC＝2∠EFB时，四边形AEFD是矩形，想办法证明∠DFE＝90°【解答】（1）证明：∵DF＝DC，∴∠DFC＝∠C，∵∠B＝∠C∴∠DFC＝∠B，∴AE∥DF，∵AE＝DF，∴四边形AEFD是平行四边形．（2）解：结论：当∠FDC＝2∠EFB时，四边形AEFD是矩形；∵2∠DFC+∠FDC＝180°，∠FDC＝2∠EFB，∴2∠DFC+2∠EFB＝180°，∴∠DFC+∠EFB＝90°，∴∠DFE＝180°﹣90°＝90°，∵四边形AEFD是平行四边形，∴四边形AEFD是矩形．故答案为：∠FDC＝2∠EFB．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分．20．（8分）已知△ABC，分别以BC，AB，AC为边作等边三角形BCE，ACF，ABD （1）若存在四边形ADEF，判断它的形状，并说明理由．（2）存在四边形ADEF的条件下，请你给△ABC添个条件，使得四边形ADEF成为矩形，并说明理由．（3）当△ABC满足什么条件时四边形ADEF不存在．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD ＝60°，求出∠DBE＝∠ABC，根据SAS推出△DBE≌△ABC，根据全等得出DE＝AC，求出DE＝AF，同理AD＝EF，根据平行四边形的判定推出即可；（2）当AB＝AC时，四边形ADEF是菱形，根据菱形的判定推出即可；当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形，求出∠DAF＝90°，根据矩形的判定推出即可；（3）这样的平行四边形ADEF不总是存在，当∠BAC＝60°时，此时四边形ADEF就不存在．【解答】（1）证明：∵△ABD、△BCE和△ACF是等边三角形，∴AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD＝60°，∴∠DBE＝∠ABC＝60°﹣∠EBA，在△DBE和△ABC中，∴△DBE≌△ABC，∴DE＝AC，∵AC＝AF，∴DE＝AF，同理AD＝EF，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）解：当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形，理由是：∵△ABD和△ACF是等边三角形，∴∠DAB＝∠F AC＝60°，∵∠BAC＝150°，∴∠DAF＝90°，∵四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF是矩形；（3）解：这样的平行四边形ADEF不总是存在，理由是：当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，此时点D、A、F在同一条直线上，此时四边形ADEF就不存在．【点评】本题考查了菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中。

平顺二中课堂教学设计（首页）平顺二中课堂教学设计（流程）检查双基判断对错，并说明理由或举出反例：1.对角线相等的四边形是矩形。

（×）2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形。

（√）3.有一个角是直角的四边形是矩形。

（×）4.四个角都相等的四边形是矩形。

（√）5.对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形。

（×）6.一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形。

（√）7.对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。

（×）1、教师出示判断题，强调学习要求。

通过小组讨论完成。

具体做法，前排学生与后一排学生组成四人小组进行讨论，然后选派代表发言。

2、学生按要求进行讨论，教师巡回检查指导，发现问题及时纠正。

3、鼓励学生，动手实践，画出反例图形，从而做出正确的判断。

4、教师适当点拨，让学生观察，然后做出判断。

第5题第7题本环节放手让学生之间合作学习，互相交流，交换观点，自主构建知识体系，能灵活运用所学知识进行正确判断，给学生自主学习交流提供空间。

同时，通过交流让学生用自己的语言清楚表达解决问题的过程，可以培养学生语言表达能力和积极发言的胆略。

体现开放性原则、过程性原则性教学原则。

解决问题例1：已知M为ABCD 的AD边的中点，且MB=MC。

求证：ABCD是矩形1、教师组织学生熟悉题意后，指名说出证明思路，其余学生判断正误。

2、教师出示证明过程让学生对照检查。

并强调证明过程的逻辑性和严密性，注意书写格式。

证明：∵ABCD是平行四边形∴∠A+∠C=180。

AB=DC1、通过学生回答证明过程，培养学生数学推理能力和思维能力。

培养学生良好的数学素养和品质。

2、通过变式训练，培养学生思维的灵活性和创造性。

变式训练一，利用“同一三角形中，布置作业19.2 第一题和第二题。

预习下节课的内容。

通过学生评价和反思，理清知识结构，掌握本节课的重点内容。

最后一个环节，让学生为学习下一课时《菱形》做准备。

新课标华东师大版八年级数学下册19.1～19.2矩形、菱形同步测试（含解析）一、选择题(每小题4分，共24分)1．下列命题中，是真命题的是( )A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形2．已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，要使▱ABCD为矩形，需添加下列的一个条件是( )A．OA＝OB B．∠BAC＝∠DACC．AC⊥BD D．AB＝BC3．如图4－G－1，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定．．．正确的是( )A．AB＝CDB．AC＝BDC．当AC⊥BD时，它是菱形D．当∠ABC＝90°时，它是矩形4－G－14－G－2.如图4－G－2，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20 cm，则这个矩形的一条较短边的长度为( )A．10 cm B．8 cm C．6 cm D．5 cm5．如图4－G－3所示，下列条件能使▱ABCD是菱形的是( )①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝AD；④AC＝BD.A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③图4－G－34－G－4.如图4－G－4，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连结CP，则∠CPB的度数是( )A．108° B．100° C．90° D．72°二、填空题(每小题4分，共24分)7．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝10，则AB＝__________．8．已知菱形的边长为5 cm，一条对角线的长为5 cm，则菱形的最大内角的度数是________．9．如果菱形ABCD的周长为40 cm，对角线AC∶BD＝4∶3，那么对角线AC ＝______cm，BD＝______cm.10．如图4－G－5，在矩形ABCD中，BC＝2AB.以点B为圆心，BC长为半径作弧交AD于点E，连结BE.若AB＝1，则AE的长为________．4－G－54－G－611．如图4－G－6所示，在▱ABCD中，AB＝3 cm，AD＝5 cm，当AC＝________时，四边形ABCD是矩形．图4－G－712．如图4－G－7，平移△ABC到△BDE的位置，且点D在边AB的延长线上，连结EC，CD，若AB＝BC，则以下四个结论：①四边形ABEC是平行四边形；②四边形BDEC是菱形；③AC⊥DC；④DC平分∠BDE，正确的是__________(填序号)．三、解答题(共52分)13．(8分)如图4－G－8，四边形ABCD是平行四边形，EB＝EC，EA＝ED，∠AEB＝∠DEC.求证：四边形ABCD是矩形．图4－G－814.(10分)如图4－G－9，在四边形ABCD中，BC＝DC，∠C＝2∠BAD，O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD.求证：(1)∠BOD＝∠C；(2)四边形OBCD是菱形．图4－G－915．(10分)如图4－G－10，在矩形ABCD中，连结对角线AC，BD，将△ABC 沿BC方向平移，使点B移到点C的位置，得到△DCE.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．图4－G－1016．(12分)如图4－G－11所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC 延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE，CF.(1)求证：AF＝CE；(2)若AC＝EF，试判断四边形AFCE是什么特殊的四边形，并证明你的结论．图4－G－1117．(12分)如图4－G－12，以△ABC的边AB，AC为边的△ABD和△ACE都是等边三角形，四边形ADFE是平行四边形．(1)当∠BAC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形？(2)当∠BAC满足什么条件时，▱ADFE不存在？(3)当△ABC满足什么条件时，▱ADFE是菱形？图4－G－121．A [解析] 因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，又因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项正确，C选项错误；对角线互相垂直且相等的四边形可能是下图所示的情况，所以B，D两个选项错误．故选A.2．A [解析] 要使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是OA＝OB，(对角线相等的平行四边形是矩形)．故选A.3．B 4.D5．A [解析] 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．6．D [解析] 连结PA，如图所示．∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADP＝∠CDP＝12∠ADC＝36°，BD所在直线是菱形的对称轴，∴PA＝PC.∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，∴PA＝PD，∴PD＝PC，∴∠PCD＝∠CDP＝36°，∴∠CPB＝∠PCD＋∠CDP＝72°.故选D.7．5 [解析] 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O, AC＝10，∴OA＝OB＝12AC＝ 5.∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝5.8．120°9.16 1210. 3 [解析] ∵四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，AB＝1，∴AD＝BC＝2，∠A＝90°，∴BE＝BC＝2，∴AE＝BE2－AB2＝22－12＝ 3.故答案为 3.11.34 cm [解析] 要使▱ABCD为矩形，需要一个角为直角，不妨让∠B＝90°，则在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝32＋52＝34(cm)．12．①②③④13．证明：如图，连结AC ，∵∠AEB ＝∠DEC ，∴∠AEB ＋∠BEC ＝∠DEC ＋∠BEC ， 即∠AEC ＝∠DEB . 在△ACE 和△DBE 中， ⎩⎨⎧EA ＝ED ，∠AEC ＝∠DEB EC ＝EB ，， ∴△ACE ≌△DBE (S.A.S.)， ∴AC ＝BD .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是矩形．14．证明：(1)延长OA 到点E .∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO ，∴∠BOE ＝∠ABO ＋∠BAO ， ∴∠BOE ＝2∠BAO .同理可得∠DOE ＝2∠DAO ，∴∠BOE ＋∠DOE ＝2∠BAO ＋2∠DAO ＝2(∠BAO ＋∠DAO )，即∠BOD ＝2∠BAD . 又∵∠BCD ＝2∠BAD ， ∴∠BOD ＝∠BCD . (2)连结OC .∵OB ＝OD ，BC ＝DC ，OC ＝OC ， ∴△OBC ≌△ODC ，∴∠BOC ＝∠DOC ，∠BCO ＝∠DCO ，∴∠BOC ＝12∠BOD ，∠BCO ＝12∠BCD .又∵∠BOD ＝∠BCD ，∴∠BOC ＝∠BCO ， ∴OB ＝BC .又∵OB ＝OD ，BC ＝DC ，∴OB ＝BC ＝DC ＝DO ，∴四边形OBCD 是菱形． 15．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝DC ，AC ＝BD ，AD ＝BC ， ∠ADC ＝∠ABC ＝90°.由平移的性质得：DE ＝AC ，CE ＝BC ，DC ＝AB ， ∠ECD ＝∠ABC ＝90°，∴AD ＝CE .在△ACD 和△EDC 中，⎩⎨⎧AD ＝CE ，∠ADC ＝∠ECD ，CD ＝DC ，∴△ACD ≌△EDC .(2)△BDE 是等腰三角形．理由如下： ∵AC ＝BD ，DE ＝AC ，∴BD ＝DE ， ∴△BDE 是等腰三角形．16．解：(1)证明：∵AF ∥CE ，∴∠FAD ＝∠ECD . ∵D 是AC 的中点，∴AD ＝CD . 又∵∠ADF ＝∠CDE ， ∴△ADF ≌△CDE ， ∴AF ＝CE .(2)若AC ＝EF ，则四边形AFCE 是矩形． 证明：由(1)知AF 綊CE ，∴四边形AFCE 是平行四边形．又∵AC ＝EF ，∴四边形AFCE 是矩形．17．解：(1)当∠BAC ＝150°时，四边形ADFE 是矩形． (2)当∠BAC ＝60°时，▱ADFE 不存在． (3)当AB ＝AC 时，▱ADFE 是菱形．。

华师大新版八年级下学期《19.1.2 矩形的判定》2019年同步练习卷一．解答题（共40小题）1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE 的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当AB＝AC时，求证四边形ADCF是矩形；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？并证明你的结论．2．如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？3．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行弦交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF，FD．（1）求证：四边形AFDC是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．4．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边中点，点M是AB边上一动点（不与A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）当AM＝1时，判断四边形AMDN是什么特殊四边形？说明理由．5．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：AD＝CN；②若∠BAN＝90度，求证：四边形ADCN是矩形．6．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形：△ABD，△BCE，△ACF，请解答下列问题：（1）求证：四边形AFED是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是菱形？（4）对于任意△ABC，▱AFED是否总存在？7．如图，在△ABC中，O是边AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？8．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：DB＝CF；（2）当△ABC满足时（请添加一条件），四边形BDCF为矩形，请说明理由．9．如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连结AE，交BC于点F．（1）求证：BF＝BC；（2）若∠AFC＝2∠D，连结AC，BE，求证：四边形ABEC是矩形．10．已知：分别以△ABC的各边为边，在BC边的同侧作等边三角形ABE、等边三角形CBD 和等边三角形ACF，连结DE，DF．（1）试说明四边形DEAF为平行四边形．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为矩形？并说明理由；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为菱形．直接写出答案．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．12．已知△ABC，分别以BC，AB，AC为边作等边三角形BCE，ACF，ABD（1）若存在四边形ADEF，判断它的形状，并说明理由．（2）存在四边形ADEF的条件下，请你给△ABC添个条件，使得四边形ADEF成为矩形，并说明理由．（3）当△ABC满足什么条件时四边形ADEF不存在．13．如图，△ABC，△DPC，△EBP均为等边三角形，点P在△ABC内．（1）求证：四边形AEPD为平行四边形．（2）若四边形ADPE为矩形，则△PBC所满足的条件是．（3）若四边形ADPE为菱形，则△PBC所满足的条件是．14．如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H．（1）求证：四边形AGPH是矩形；（2）在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．15．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题，并说明理由．（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形．17．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接BE，F为BE中点，且AF＝BF．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）过点F作FG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，若BE＝BC，S△BFG＝5，CD＝4．求CG．18．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD 于F．（1）求证：OE＝OF；（2）连结DE，BF，当EF与BD满足什么条件时，四边形BEDF是矩形？请说明理由；（3）连结DE，BF，当EF与BD满足什么条件时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．20．如图：矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1．（1）判断△BEC的形状，并说明理由？（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；（3）求四边形EFPH的面积．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE 相交于点O．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若∠AOE＝60°，AE＝4，求矩形ADCE对角线的长．22．如图，已知△ABD、△BCE、△ACF都是等边三角形．（1）试判断四边形ADEF的形状并说明理由．（2）当△ABC满足，四边形ADEF是矩形（不需证明）．（3）当△ABC满足，四边形ADEF是菱形（不需证明）．（4）当△ABC满足，四边形ADEF不存在（不需证明）．23．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝3CD，AB∥CD，CE∥DA，DF∥CB．（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）填空：①当四边形ABCD必须满足条件时，四边形CDEF是矩形；②当四边形ABCD必须满足条件时，四边形CDEF是菱形．24．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，点E从A出发以1cm/s 的速度向D运动，点F从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，（1）t取何值时，四边形EFCD为矩形？（2）M是BC上一点，且BM＝4，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？25．如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，若∠ABE＝∠BAE＝60°，BC＝4，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）连接AC，BF，求证：四边形ABFC为矩形；（2）求四边形ABFC的周长和面积．26．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF ⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．27．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点P是AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，连接EF．（1）求证：四边形PECF是矩形．（2）根据矩形的性质，直接写出线段EF的最小值：．28．如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，连接BE，F为BE中点，且AF＝BF，（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）过点F作FG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，若BE＝BC，S△BFG＝5，CD＝4，求CG．29．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，AC、DE 相交于点O．（1）求证：四边形ADCE是矩形．（2）若∠AOE＝60°，AE＝4，求矩形ADCE对角线的长．30．如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，垂足分别为E，F，当AB，BC满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？试加以证明．31．如图，平行四边形ABCD中，P是AD上一点，E为BP上一点，且AE＝BE＝EP，（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）过E作EF⊥BP于E，交BC于F，若BP＝BC，S△BEF＝5，CD＝4，求CF．32．如图，△ABC中，AB＝AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：（1）DA⊥AE；（2）AC＝DE．33．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BC，延长BC到点E，使得BC ＝CE，连结DE．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）若AC＝4，BD＝6，求CD的长．34．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD，（1）证明：△ADE≌△DCB；（2）连接BE，判断四边形BCDE的形状，并证明；（3）若BC＝4，AE＝5，则四边形ACBE的周长是多少？35．如图，△ABC中，AB＝AC，AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：AB＝DE．36．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，∠ACD＝∠BDC，过点C作CE ⊥BD于点E，交AB于点H，过点A作AF∥BD，交CH的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BO，连接BG、OF，OF交AB于点M．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）四边形BOFG是什么特殊四边形？请说明理由；（3）若AF＝8，GF＝6，AM＝5，∠HCA＝∠HAC，求HF的长．37．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E、F是矩形内两点，BE＝DF＝3，AE ＝CF＝4，AE的延长线与DF的延长线交于点H，BE的延长线与CF的延长线交于点G，（1）求证：四边形EHFG是矩形；（2）求EF的长．38．如图，沿△ABC的各边想同侧作正三角形ABD、BCF、ACE．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形．（2）当∠BAC为多少度时，四边形AEFD是矩形？（3）当△ABC的边满足什么条件时，四边形AEFD是菱形？39．如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧作三个等边△ABD，△BEC，△ACF（1）判断四边形ADEF的形状．并证明你的结论；（2）当∠BAC＝时，四边形ADEF是矩形；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？说明理由．40．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是AD，OA，BC，OC的中点．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形．（2）当AB，BC满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？并给出证明．华师大新版八年级下学期《19.1.2 矩形的判定》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE 的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当AB＝AC时，求证四边形ADCF是矩形；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？并证明你的结论．【分析】（1）首先利用全等三角形的判定方法得出△AEF≌△DEB（AAS），进而得出AF＝BD，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而得出答案；（2）由AB＝AC，根据三线合一的性质，可得AD⊥BC，继而可得四边形ADCF是矩形；（3）根据∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，从而得到AD＝BC＝DC，然后利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论．【解答】证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EBD．在△AEF和△DEB中，∴△AEF≌△DEB（AAS）．∴AF＝BD．∴AF＝DC．又∵AF∥BC，∴四边形ADCF为平行四边形；（2）∵AB＝AC，AD是中线，∴AD⊥BC，∵四边形ADCF是平行四边形，∴四边形ADCF是矩形；（3）当∠BAC＝90°时，四边形ADCF是菱形．证明：∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，∴AD＝BC＝DC，∵四边形ADCF是平行四边形，∴平行四边形ADCF是菱形．【点评】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定及矩形的判定的知识，解题的关键是牢记几个判定定理，难度不大．2．如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？【分析】（1）四边形ADEF平行四边形．根据△ABD，△EBC都是等边三DAE角形容易得到全等条件证明△DBE≌△ABC，然后利用全等三角形的性质和平行四边形的判定可以证明四边形ADEF平行四边形．（2）若边形ADEF是矩形，则∠DAE＝90°，然后根据已知可以得到∠BAC＝150°．（3）当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．【解答】解：（1）四边形ADEF是平行四边形．理由：∵△ABD，△EBC都是等边三角形．∴AD＝BD＝AB，BC＝BE＝EC∠DBA＝∠EBC＝60°∴∠DBE+∠EBA＝∠ABC+∠EBA．∴∠DBE＝∠ABC．在△DBE和△ABC中∵BD＝BA∠DBE＝∠ABCBE＝BC，∴△DBE≌△ABC．∴DE＝AC．又∵△ACF是等边三角形，∴AC＝AF．∴DE＝AF．同理可证：AD＝EF，∴四边形ADEF平行四边形．（2）∵四边形ADEF是矩形，∴∠F AD＝90°．∴∠BAC＝360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠F AC＝360°﹣90°﹣60°﹣60°＝150°．∴∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形．（3）当∠BAC＝60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．理由如下：若∠BAC＝60°，则∠DAF＝360°﹣∠BAC﹣∠DAB﹣∠F AC＝360°﹣60°﹣60°﹣60°＝180°．此时，点A、D、E、F四点共线，∴以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．【点评】此题主要用等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定来解决平行四边形的判定问题，也探讨了矩形，平行四边形之间的关系．3．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行弦交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF，FD．（1）求证：四边形AFDC是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．【分析】（1）由AF与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再一对对顶角相等，且由E为AD的中点，得到AE＝DE，利用AAS得到三角形AFE与三角形DCE 全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；（2）当△ABC满足：AB＝AC时，四边形AFBD是矩形，理由为：由AF与BD平行且相等，得到四边形AFBD为平行四边形，再由AB＝AC，BD＝CD，利用三线合一得到AD垂直于BC，即∠ADB为直角，即可得证．【解答】解：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵E为AD的中点，∴AE＝DE，在△AFE和△DCE中，，∴△AFE≌△DCE（AAS），∴AF＝CD，∴四边形AFDC是平行四边形；（2）当△ABC满足：AB＝AC时，四边形AFBD是矩形，理由如下：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠ADB＝90°，∴四边形AFBD是矩形．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．4．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边中点，点M是AB边上一动点（不与A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）当AM＝1时，判断四边形AMDN是什么特殊四边形？说明理由．【分析】（1）根据菱形的性质可得ND∥AM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠NDE ＝∠MAE，∠DNE＝∠AME，根据中点的定义求出DE＝AE，然后利用“角角边”证明△NDE和△MAE全等，根据全等三角形对应边相等得到ND＝MA，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；（2）根据矩形的性质得到DM⊥AB，再求出∠ADM＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME，又∵点E是AD边的中点，∴DE＝AE，∴△NDE≌△MAE，∴ND＝MA，∴四边形AMDN是平行四边形；（2）当AM＝1时，四边形AMDN是矩形．∵AM＝1＝AD，∴∠ADM＝30°∵∠DAM＝60°，∴∠AMD＝90°，∴平行四边形AMDN是矩形．【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键，也是本题的突破口．5．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：AD＝CN；②若∠BAN＝90度，求证：四边形ADCN是矩形．【分析】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN 是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②利用有一个角是直角的平行四边形是矩形直接判断即可．【解答】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△AMD和△CMN中，∵，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴AD＝CN；②∵∠BAN＝90度，四边形ADCN是平行四边形，∴四边形ADCN是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形与矩形之间的关系，并由第一问求出四边形ADCN是平行四边形是解题的关键．6．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形：△ABD，△BCE，△ACF，请解答下列问题：（1）求证：四边形AFED是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是菱形？（4）对于任意△ABC，▱AFED是否总存在？【分析】（1）当一个图中出现2个等边三角形时就可以找出一对全等三角形，可得出一对对边相等，进而往四边形ADEF是平行四边形方面进行证明．（2）四边形ADEF是矩形，那么它的每个内角是90°，那么可利用在点A处组成的周角算出∠BAC的度数．（3）AB＝AC，根据菱形的判定推出即可；（4）当∠BAC＝60°时四边形不存在．【解答】（1）证明：四边形ADEF是平行四边形．理由：∵△ABD，△BEC都是等边三角形，∴BD＝AB，BE＝BC，∠DBA＝∠EBC＝60°，∴∠DBE＝60°﹣∠EBA，∠ABC＝60°﹣∠EBA，∴∠DBE＝∠ABC，∴△DBE≌△ABC，∴DE＝AC，又∵△ACF是等边三角形，∴AC＝AF，∴DE＝AF．同理可得：△ABC≌△FEC，即EF＝AB＝DA．∵DE＝AF，DA＝EF，∴四边形ADEF为平行四边形；（2）解：若四边形ADEF为矩形，则∠DAF＝90°，∵∠DAB＝∠F AC＝60°，∴∠BAC＝360°﹣∠DAB﹣∠F AC﹣∠DAF＝360°﹣60°﹣60°﹣90°＝150°，∴当△ABC满足∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形；（3）解：当∠BAC≠60°且AB＝AC时，四边形AFED是菱形，∵此时AB＝AC＝AF＝AD，四边形AFED是平行四边形，∴四边形AFED是菱形；（4）解：当∠BAC＝60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．【点评】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，等边三角形的性质的应用，本题主要应用的知识点为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一个角是直角的平行四边形是矩形．7．如图，在△ABC中，O是边AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？【分析】（1）根据MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD及等角对等边即可证得OE＝OF；（2）根据矩形的性质可知：对角线且互相平分，即AO＝CO，OE＝OF，故当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．【解答】（1）证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠BCE＝∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠FCD＝∠OFC，∴OE＝OC，OC＝OF，∴OE＝OF．（2）解：当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，∵AO＝CO，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECA+∠ACF＝∠BCD，∴∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握有一个角为直角的平行四边形是矩形．8．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：DB＝CF；（2）当△ABC满足AC＝BC时（请添加一条件），四边形BDCF为矩形，请说明理由．【分析】（1）求出∠EAD＝∠CFE，根据AAS证△AED≌△FEC，推出AD＝CF，根据AD ＝BD即可求出答案；（2）根据等腰三角形性质求出∠CDB＝90°，根据平行四边形的判定推出平行四边形BDCF，即可推出四边形是矩形．【解答】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠EAD＝∠CFE，∵E是CD的中点，∴CE＝DE，∵在△AED和△FEC中，∴△AED≌△FEC（AAS），∴AD＝CF，∵D是AB的中点，∴AD＝BD，∴BD＝CF．（2）解：在△ABC中添加一个条件：AC＝BC，使四边形BDCF为矩形，理由是：∵BD＝CF，CF∥AB，∴四边形BDCF是平行四边形，∵AC＝BC，D为AB中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴平行四边形BDCF是矩形，故答案为：AC＝BC．【点评】本题考查了矩形、平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，主要考查学生能否熟练地运用性质进行推理，题型较好，难度适中．9．如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连结AE，交BC于点F．（1）求证：BF＝BC；（2）若∠AFC＝2∠D，连结AC，BE，求证：四边形ABEC是矩形．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，然后根据CE＝DC，得到AB ＝EC，AB∥EC，即可证得四边形ABEC是平行四边形，继而证得结论；（2）由（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出F A＝FE＝FB ＝FC，AE＝BC，得证．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵CE＝DC，∴AB＝EC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴BF＝BC；（2）∵由（1）知，四边形ABEC是平行四边形，∴F A＝FE，FB＝FC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D．又∵∠AFC＝2∠ADC，∴∠AFC＝2∠ABC．∵∠AFC＝∠ABC+∠BAF，∴∠ABC＝∠BAF，∴F A＝FB，∴F A＝FE＝FB＝FC，∴AE＝BC，∴四边形ABEC是矩形．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定．关键是利用平行四边形的性质，通过角的关系证矩形．10．已知：分别以△ABC的各边为边，在BC边的同侧作等边三角形ABE、等边三角形CBD 和等边三角形ACF，连结DE，DF．（1）试说明四边形DEAF为平行四边形．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为矩形？并说明理由；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形DEAF为菱形．直接写出答案AB＝AC．【分析】（1）根据等边三角形的性质得∠ABE＝∠CBD＝60°，AB＝BE＝AE，CB＝BD＝CD，则∠ABC＝∠EBD，于是可利用“SAS”判断△ABC≌△EBD，得到AC＝DE，再由△ACF为等边三角形得AC＝AF，则AF＝DE，同理可证△ACB≌△FCD得到AB＝DF，则AE＝DF，然后根据平行四边形的判定方法即可得到结论；（2）由于四边形DEAF是平行四边形，当∠EAF＝90°时，四边形DEAF为矩形，根据等边三角形角的大小，可得∠BAC＝150°；（3）由于四边形DEAF是平行四边形，根据菱形的判定方法，当AE＝AF时，四边形DEAF 是菱形，此时AB＝AC．【解答】解：（1）如图1，∵△ABE和△CBD为等边三角形，∴∠ABE＝∠CBD＝60°，AB＝BE＝AE，CB＝BD＝CD，∴∠ABC＝∠EBD，在△ABC和△EBD中，∴△ABC≌△EBD（SAS），∴AC＝DE，∵△ACF为等边三角形，∴AC＝AF，∴AF＝DE，同理可证得△ACB≌△FCD，∴AB＝DF，而AB＝AE，∴AE＝DF，∴四边形DEAF是平行四边形；（2）如图2，当△ABC满足∠BAC＝150°时，四边形DEAF是矩形．理由如下：由（1）知：四边形DEAF是平行四边形，∵∠BAC＝150°，∠EAB＝∠F AC＝60°∴∠EAF＝360°﹣150°﹣60°﹣60°＝90°∴四边形DEAF是矩形；（3）如图3，△ABC满足AB＝AC时，四边形DEAF是菱形．理由如下：由（1）知：四边形DEAF是平行四边形，∵AB＝AC，AE＝AB，AC＝AF，∴AE＝AF，∴四边形DEAF是菱形．故答案为：AB＝AC．【点评】本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和平行四边形、矩形的判定．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，据此求得t的值；（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ＝AC，列方程求得运动的时间t；（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长＝4×10，根据菱形的面积求出面积即可．【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝16﹣t，得t＝8，故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形即＝16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，则周长为4×10cm＝40cm；面积为10cm×8cm＝80cm2．【点评】本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．12．已知△ABC，分别以BC，AB，AC为边作等边三角形BCE，ACF，ABD（1）若存在四边形ADEF，判断它的形状，并说明理由．（2）存在四边形ADEF的条件下，请你给△ABC添个条件，使得四边形ADEF成为矩形，并说明理由．（3）当△ABC满足什么条件时四边形ADEF不存在．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD＝60°，求出∠DBE＝∠ABC，根据SAS推出△DBE≌△ABC，根据全等得出DE＝AC，求出DE＝AF，同理AD＝EF，根据平行四边形的判定推出即可；（2）当AB＝AC时，四边形ADEF是菱形，根据菱形的判定推出即可；当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形，求出∠DAF＝90°，根据矩形的判定推出即可；（3）这样的平行四边形ADEF不总是存在，当∠BAC＝60°时，此时四边形ADEF就不存在．【解答】（1）证明：∵△ABD、△BCE和△ACF是等边三角形，∴AC＝AF，AB＝BD，BC＝BE，∠EBC＝∠ABD＝60°，∴∠DBE＝∠ABC＝60°﹣∠EBA，在△DBE和△ABC中，∴△DBE≌△ABC，∴DE＝AC，∵AC＝AF，∴DE＝AF，同理AD＝EF，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）解：当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形，理由是：∵△ABD和△ACF是等边三角形，∴∠DAB＝∠F AC＝60°，∵∠BAC＝150°，∴∠DAF＝90°，∵四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF是矩形；（3）解：这样的平行四边形ADEF不总是存在，理由是：当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，此时点D、A、F在同一条直线上，此时四边形ADEF就不存在．【点评】本题考查了菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中．13．如图，△ABC，△DPC，△EBP均为等边三角形，点P在△ABC内．（1）求证：四边形AEPD为平行四边形．（2）若四边形ADPE为矩形，则△PBC所满足的条件是150°．（3）若四边形ADPE为菱形，则△PBC所满足的条件是PB＝PC．【分析】（1）理由全等三角形的性质证明AD＝PE，AE＝PD即可解决问题；（2）当∠BPC＝150°，四边形ADPE是矩形；（3）当PB＝PC时，四边形AEPD是菱形；【解答】（1）证明：∵△ABC，△DPC，△EBP均为等边三角形，∴BP＝EP，CD＝CP，AC＝CB，∠DCP＝∠BCA＝60°，∠BCP＝∠ACD，∴△ACD≌△BCP，∴AD＝PB＝PE，同理可证：AE＝DP，∴四边形AEPD是平行四边形．（2）当∠BPC＝150°，四边形ADPE是矩形；理由：∵∠EPB＝∠DPC＝60°，∴∠EPD＝360°﹣60°﹣60°﹣150°＝90°，∴平行四边形AEPD是矩形．故答案为∠BPC＝150°．（3）当PB＝PC时，四边形AEPD是菱形．理由：∵PB＝PE，PD＝PC，PB＝PC，∴PE＝PD，∴四边形PEAD是菱形．故答案为PB＝PC．【点评】本题考查矩形的判定和性质、菱形的判定和性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．14．如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H．（1）求证：四边形AGPH是矩形；（2）在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据“矩形的定义”证明结论；（2）连结AP．当AP⊥BC时AP最短，结合矩形的两对角线相等和面积法来求GH的值．【解答】（1）证明∵AC＝9 AB＝12 BC＝15，∴AC2＝81，AB2＝144，BC2＝225，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠A＝90°．∵PG⊥AC，PH⊥AB，∴∠AGP＝∠AHP＝90°，∴四边形AGPH是矩形；（2）存在．理由如下：连结AP．∵四边形AGPH是矩形，∴GH＝AP．∵当AP⊥BC时AP最短．∴9×12＝15•AP．∴AP＝．【点评】本题考查了矩形的判定与性质．解答（2）题时，注意“矩形的对角线相等”和“面积法”的正确应用．15．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题，并说明理由．（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．【分析】（1）四边形ADEF平行四边形．根据△ABD，△EBC都是等边三DAE角形容易得到全等条件证明△DBE≌△ABC，然后利用全等三角形的性质和平行四边形的判定可以证明四边形ADEF是平行四边形．（2）若边形ADEF是矩形，则∠DAE＝90°，然后根据已知可以得到∠BAC＝150°．（3）当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．【解答】解：（1）四边形ADEF是平行四边形．理由：∵△ABD，△EBC都是等边三角形．∴AD＝BD＝AB，BC＝BE＝EC∠DBA＝∠EBC＝60°∴∠DBE+∠EBA＝∠ABC+∠EBA．∴∠DBE＝∠ABC．在△DBE和△ABC中∵BD＝BA∠DBE＝∠ABCBE＝BC，∴△DBE≌△ABC．∴DE＝AC．又∵△ACF是等边三角形，∴AC＝AF．∴DE＝AF．同理可证：AD＝EF，∴四边形ADEF平行四边形．（2）∵四边形ADEF是矩形，∴∠F AD＝90°．∴∠BAC＝360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠F AC＝360°﹣90°﹣60°﹣60°＝150°．∴∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形．（3）当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，此时D、A、F在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．【点评】此题主要用等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定来解决平行四边形的判定问题，也探讨了矩形，平行四边形之间的关系．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝4cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形．【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，据此求得t的值；（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ＝AC，列方程求得运动的时间t；【解答】解：（1）由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝4﹣t在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝4﹣t，得t＝2故当t＝2s时，四边形ABQP为矩形．。

矩形的判定一、填空：1．矩形ABCD的周长为52cm，对角线AC和BD相交于O，且△OCD和△OAD的周长差是10cm，那么矩形的长边长________，短边长_________ 2．在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且CE：EA=1：3，假设AB=5cm，那么AC=_________3．在矩形ABCD中，AB=2BC，E是AB上一点，且CE=AB，连结DE，那么∠ADE=_________4．矩形两条对角线的交点到小边的距离比到大边的距离多1cm，假设矩形周长是26cm，那么矩形各边长为__________5．_________的四边形是矩形6．_________的平行四边形是矩形二、判断：1．矩形是轴对称图形且有两条对称轴〔〕2．矩形的对角线大于夹在两对边间的任意线段〔〕3．两条对角线互相平分的四边形是矩形〔〕4．有两个角是直角的四边形为矩形〔〕三、解答：1．如图，，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，M是BC的中点，P为BC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，求证：ME=MF2．如图，，△ABC中，CE⊥AD于E，BD⊥AD于D，BM=CM 求证：ME=MD参考答案一、1．18cm 8cm2．10cm3．15°5．有三个角是直角〔或对角线互相平分且相等〕6．对角线相等二、1．√2．√3．×4．×三、1．∵∠A=90°，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F∴四边形AEPF 为矩形，∴AF=EP∵AB=AC ，∠BAC=90° ∴∠B=45°∵PE ⊥AB 于E ，∠EPB=45°，∴∠B=∠EPB∴BE=EP ∴BE=AF∵直角△ABC 中，∠BAC=90°M 为BC 边中点 ∴BC AM 21 即AM=BM ∵AB=AC ，M 为BC 中点，∴AM 平分∠BAC∴∠MAF=45° ∴∠MAF=∠B在△AMF 与△BME 中，∵AF=BE ，∠MAF=∠B ，AM=BM ∴△AMF ≌△BME ∴ME=MF2．延长DM 与CE 交于N∵CE ⊥AD 于E ，BD ⊥AD 于D∴CE ∥BD ∠NCM=∠DBM在△CMN 与△BMD 中 ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠BMD CMN BMCM DBM NCM ∴△CMN ≌△BMD ∴NM=DM即M 为ND 中点 ∵CE ⊥AD 于E ∴△NED 为Rt △ ∴ND ME 21=∴ME=MD。

D A C FO E B 20.2 矩形的判定A 卷一、选择题1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A ．对角相等B ．对边相等C ．对角线相等D ．对角线互相垂直2．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（ ）①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形．A ．1B ．2C ．3D ．43．下列命题中，正确的是（ ）A ．有一个角是直角的四边形是矩形B ．三个角是直角的多边形是矩形C ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形D ．有三个角是直角的四边形是矩形二、填空题4．如图1所示，矩形ABCD 中的两条对角线相交于点O ，∠AOD=120°，AB=4cm ，则矩形的对角线的长为_____．图1 图25．若四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相等，且互相平分于点O ，则四边形ABCD•是_____形，若∠AOB=60°，那么AB ：AC=______．6．如图2所示，已知矩形ABCD 周长为24cm ，对角线交于点O ，OE⊥DC 于点E ， OF⊥AD 于点F ，OF-OE=2cm ，则AB=______，BC=______．三、解答题7．如图所示，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H两点，试说明四边形EFGH是矩形．四、思考题8．如图所示，△ABC中，CE，CF分别平分∠ACB和它的邻补角∠ACD．AE ⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB，AC于M，N两点，则四边形AECF是矩形吗？为什么？参考答案一、1．C 点拨：A与B都是平行四边形的性质，而D是一般矩形与平行四边形都不具有的性质．2．B 点拨：③是矩形的判定定理；④中对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故④能判定矩形，应选B．3．D 点拨：选项D是矩形的判定定理．二、4．8cm5．矩；1：2 点拨：利用对角线互相平分来判定此四边形是平行四边形，再根据对角线相等来判定此平行四边形是矩形．由矩形的对角线相等且互相平分，•可知△AOB是等腰三角形，又因为∠AOB=60°，所以AB=AO=12 AC．6．8cm；4cm三、7．解：在□ABCD中，因为AD∥BC，所以∠DAB+∠CBA=180°，又因为∠HAB=12∠DAB，∠HBA=12∠CBA．所以∠HAB+∠HBA=90°，所以∠H=90°．同理可求得∠HEF= ∠F= ∠FGH=90°，所以四边形EFGH是矩形．点拨：由于“两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直”，所以很容易求出四边形EFGH 的四个角都是直角，从而求得四边形EFGH是矩形．四、8．解：四边形AECF是矩形．理由：因为C E平分∠ACB，•CF•平分∠ACD，•所以∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACD．所以∠E CF=12（∠ACB+∠ACD）=90°．又因为AE⊥CE，AF⊥CF，•所以∠AEC=∠AFC=90°，所以四边形AECF是矩形．点拨：•本题是通过证四边形中三个角为直角得出结论．还可以通过证其为平行四边形，再证有一个角为直角得出结论．20.2 矩形的判定B 卷一、七彩题1．（一题多解题）如图所示，△AB C 为等腰三角形，AB=AC ，CD⊥AB 于D ，P•为BC 上的一点，过P 点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E ，F ，则有PE+PF=CD ，你能说明为什么吗？DAC F P EB二、知识交叉题2．（当堂交叉题）如图所示，△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，AE•是∠CAF 的平分线且∠CAF 是△ABC 的一个外角，且DE∥BA，四边形ADCE 是矩形吗？为什么？三、实际应用题3．如图所示是一个书架，•你能用一根绳子检查一下书架的侧边是否和上下底垂直吗？为什么？四、经典中考题4．（连云港）已知AC为矩形ABCD的对角线，则下图中∠1与∠2一定不相等的是（）五、探究学习1．（图形方案设计题）正方形通过剪切可以拼成三角形．方法如图1所示，仿照图1上用图示的方法，解答下面问题：如图2，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，•再拼成一个与原三角形等面积的矩形．图1 图22．（展开与折叠题）已知如图所示，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再过点D折叠，使AD落在折痕BD上，得另一折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG的长度．3.已知：如图所示，ABCD中，AC，BD相交于点O，且△AOB是等边三角形，•边长为6，求这个平行四边形的面积．在解答本题时合作学习小组中有两种做法：甲生：因为OA=6，所以AC=12．因为AB=6，所以=所以S ABCD =AB乙生：因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC=12AC，OB=OD=12BD．又因为在等边△AOB中，OA=OB=AB=6，所以AC=BD=12．所以 ABCD是矩形，所以∠ABC=90°，在R t△ABC中，由勾股定理，得所以S□ABCD =AB分析以上两种解法，说明两种解法的对错，如果有错误指出错误的原因．参考答案一、1．解法一：能．如图1所示，过P点作PH⊥DC，垂足为H．因为PE⊥AB，CD⊥AB，PH⊥CD，所以∠PED=∠EDH=∠DHP=90°．所以四边形PHDE是矩形．所以PE=DH，PH∥BD．所以∠HPC=∠B．又因为AB=AC，所以∠B=∠ACB．所以∠HPC=∠FCP．又因为PC=CP，∠PHC=∠CFP=90°，所以△PHC≌△CFP．所以PF=HC．所以DH+HC=PE+PF，即DC=PE+PF．图1 图2解法二：能．延长EP，过C点作CH⊥EP，垂足为H，如图2所示，因为PE⊥AB， CD⊥AB，CH⊥EH，所以∠HED=∠EDC=∠CHE=90°．所以四边形HEDC是矩形．所以EH=•PE+PH=DC，CH∥AB．所以∠HCP=∠B．又因为AB=AC，所以∠B=∠ACP．所以∠HCP=∠FCP．又因为PC=PC，∠H=∠CFP，所以△PHC≌△PFC，所以PH=PF，所以PE+PF=DC．点拨：要说明DC=PE+PF，一般有两种思路：过P点作PH⊥DC，垂足为H，再说明PE=•DH，PF=HC（即可；也可过C点作CH⊥EP，交EP的延长线于H，再说明EH=DC，PH=PF．二、2．解：四边形ADCE是矩形；理由：由AB=AC，可得△ABC是等腰三角形．• 所以∠B=∠ACB．由等腰三角形的三线合一性，可得BD=CD，AE是∠CAF的平分线，所以∠CAE=12∠CAF．由三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得出∠CAF=∠B+∠ACB=2∠ACB，所以∠CAE=∠ACB，所以AE∥BC．又DE∥BA，所以四边形ABDE是平行四边形，•所以AE=BD，所以AE=DC．又因为AE∥DC，所以四边形ADCE是平行四边形．又因为AD是BC边上的高，所以AD⊥BC，即∠ADC=90°，所以四边形ADCE是矩形．点拨：要判断四边形ADCE是否为矩形，通过分析图形，先猜想其为矩形，再进一步验证，可通过等腰三角形的三线合一性及平行四边形的性质得出结论．三、3．解：能；首先用绳子量一下书架的两组对边，若两组对边分别相等，•则说明书架是平行四边形；再用绳子量一下书架的对角线，若对角线相等，则书架的侧边和上下底垂直，否则不垂直．根据对角线相等的平行四边形是矩形．点拨：在解此题时，很多同学往往只会想到量一下对角线就下结论而导致出错．四、4．D五、探究学习1．解：本题有多种拼法，下面提供几种供参考：方法一：如图（1），方法二：如图（2）点拨：本题属于方案设计题，设计的方法不惟一．2．解：如图所示，过点G作GE⊥BD于点E，则沿DG折叠时，DA与DE重合，则AG=EG，AD=ED．在Rt△ABD中，由勾股定理，得所以，BG=•AB-AG=2-AG，设AG=EG=x，则BG=2-x．在Rt△BEG中，由勾股定理，得BG2=EG2+BE2，即（2-x）2=）2+x2，解得点拨：（1）图形的折叠问题实质上是轴对称问题；（2）解决本题的关键是把方法集中到Rt△BEG中去利用勾股定理．3.解：甲生错误．甲生在解题过程中，直接利用□ABCD是矩形是个错误，因为□ABCD 是矩形已知条件中没有，没有证明，不能应用这个条件直接解题．乙生正确．。

【精挑】初中数学华东师范大学八年级下册第十九章19.1.2.矩形的判定课时练习一、单选题1．下列命题中，不正确的是（ ）A．对角线相等且垂直的四边形是正方形B．有一个角是直角的菱形是正方形C．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（ ）.①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形．A．1组B．2组C．3组D．4组3．下列说法正确的是（ ）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线相等的平行四边形是正方形D．对角线互相垂直的四边形是菱形4．下列命题是假命题的是（ ）A．四个角都相等的四边形是矩形B．四条边都相等的四边形是菱形C．平行四边形的对角线相等D．菱形的对角线互相垂直平分5．下列四个命题中，正确的是（ ）A．对角线相等的四边形是矩形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．两组对边分别相等的四边形是矩形D．四个角都相等的四边形是矩形6．下列四个命题中的假命题是( )A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形：D．对角线相等的四边形是平行四边形7．下列四个命题中真命题是（ ）A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形B．对角线垂直且相等的四边形是菱形C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D．四边都相等的四边形是正方形8．如果四边形对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（ ）.A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形二、填空题9．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD为矩形，则需添加的条件为 （填一个即可）．10．如图，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件： ，可使它成为矩形．11．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是 （添加一个条件即可）．12．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，BC=5，若DE∥AC，CE∥BD，则OE的长为 ．13．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC=OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是正方形，那么所添加的条件可以是 (写出一个即可)14．在平行四边形ABCD中，若再增加一个条件 ，使平行四边形ABCD能成为矩形（填写一个你认为正确的即可）．三、解答题15．某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB的高，他们来到与建筑物AB在同一平地且相距12m的建筑物CD上的C处观察，测得某建筑物顶部A的仰角为30°、底部B的俯角为45°。

2.矩形的判定1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A ．对角相等B ．对边相等C ．对角线相等D ．对角线互相垂直 2．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（ ）①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形．A ．1B ．2C ．3D ．4 3．下列命题中，正确的是（ ）A ．有一个角是直角的四边形是矩形B ．三个角是直角的多边形是矩形C ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形D ．有三个角是直角的四边形是矩形 4．如图所示，矩形ABCD 中的两条对角线相交于点O ，∠AOD=120°，AB=4cm ，则矩形的对角线的长为_____．D ACF OEB第4题图 第6题图5．若四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相等，且互相平分于点O ，则四边形ABCD•是_____形，若∠AOB=60°，那么AB ：AC=______．6．如图所示，已知矩形ABCD 周长为24cm ，对角线交于点O ，OE⊥DC 于点E ， OF⊥AD 于点F ，OF-OE=2cm ，则AB=______，BC=______．7．如图所示，□ABCD 的四个内角的平分线分别相交于E ，F ，G ，H ，试说明四边形EFGH 是矩形．8．如图所示，△ABC 中，CE ，CF 分别平分∠ACB 和它的邻补角∠ACD．AE ⊥CE 于E ，AF⊥CF 于F ，直线EF 分别交AB ，AC 于M ，N 两点，则四边形AECF 是矩形吗？为什么？DACFPEB9．（一题多解题）如图所示，△AB C 为等腰三角形，AB=AC ，CD⊥AB 于D ，P•为BC 上的一点，过P 点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E ，F ，则有PE+PF=CD ，你能说明为什么吗？10．如图所示，△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，AE•是∠CAF 的平分线且∠CAF 是△ABC 的一个外角，且DE∥BA，四边形ADCE 是矩形吗？为什么？11．如图所示是一个书架，•你能用一根绳子检查一下书架的侧边是否和上下底垂直吗？为什么？12.（展开与折叠题）已知如图所示，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再过点D折叠，使AD落在折痕BD上，得另一折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG的长度．。

华师大版八年级下册19.2矩形单元考试题姓名：；成绩：；一、选择题（９题，共２７分）１、矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）Ａ、对边平行且相等Ｂ、对角相等Ｃ、对角线互相平分Ｄ、对角线相等２、下列判定矩形中，错误的是（Ｃ）Ａ、三个角是直角是四边形是矩形Ｂ、一个角是直角的平行四边形是矩形Ｃ、对角线相等的四边形是矩形Ｄ、对角线平分且相等的四边形是矩形３、（2015山东泰安）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC=4，则FD的长为（）A．2 B． 4 C．D． 2４、（2014呼和浩特）已知矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O 作AC的垂线EF，分别交两边AD，BC于E，F（不与顶点重合），则以下关于△CDE与△ABF判断完全正确的一项为（）A．△CDE与△ABF的周长都等于10cm，但面积不一定相等B．△CDE与△ABF全等，且周长都为10cmC．△CDE与△ABF全等，且周长都为5cmD．△CDE与△ABF全等，但它们的周长和面积都不能确定５、（2015辽宁省朝阳）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为（）A．1或2 B． 2或3C． 3或4D． 4或5６、下列关于矩形的表述中，错误的是（）Ａ、矩形的对角线把矩形分成四个等腰三角形；Ｂ、矩形的对角线把矩形分成四个直角三角形；Ｃ、矩形的２条对称轴把矩形分成四个矩形；Ｄ、矩形的２条对称轴必过矩形的对称中心；７、（2014青岛）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为（）Ａ、４Ｃ、４.５Ｄ、５８、（2014年江苏南京）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（）A．（，3）、（﹣，4）B．（，3）、（﹣，4）C．（，）、（﹣，4）D．（，）、（﹣，4）９、（2014襄阳）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（Ｄ）A．①②B．②③C．①③D．①④二、填空题（６题，１８分）１０、（2014湖南衡阳,第15题3分）如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，则BD的长为．第１０题第１１题第１２题１１、（2015海南，第18题4分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则图中五个小矩形的周长之和为．１２、（2015山东泰安,第23题3分））如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长为．１３、（2014上海，第18题4分）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB=t，那么△EFG的周长为（用含t的代数式表示）．１４、（2014黑龙江哈尔滨）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，若点P在AD边上，连接BP、PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为．１５、（2015通辽）在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为．三、解答题（６题，５５分）１６、（８分）已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE=DF，连接CE，AF．求证：AF=CE．１７、（８分）（2015，福建南平）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．１８、（９分）（2014湘潭）如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD=3，BD=6．（1）求证：△EDF≌△CBF；（2）求∠EB C．１９、（９分）（2015云南）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．（1）求证：∠PNM=2∠CBN；（2）求线段AP的长．２０、（９分）（2015福建龙岩）如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．（1）求证：AE=DC；（2）已知DC=，求BE的长．２１、（１２分）（2014扬州）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B 落在CD边上的P点处．（第6题图）（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、O A．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；（3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．华师大版八年级下册19.2矩形单元考试题答案一、选择题ＤＣＢＢＡＢＡＢＤ二、填空题１０、１０；１１、１４；１２、２０；１３、2t；１４、５或６；１５、8cm2或2cm2或2cm2三、解答题１６、３０°；１９、103；２０、２２１、解：（1）如图1，①∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO．∠APO=∠B．∴∠APO=90°．∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠PO C．∵∠D=∠C，∠APD=∠PO C．∴△OCP∽△PD A．②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴====．∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．∵AD=8，∴CP=4，BC=8．设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x．在Rt△PCO中，∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，∴x2=（8﹣x）2+42．解得：x=5．∴AB=AP=2OP=10．∴边AB的长为10．（2）如图1，∵P是CD边的中点，∴DP=D C．∵DC=AB，AB=AP，∴DP=AP．∵∠D=90°，∴sin∠DAP==．∴∠DAP=30°．∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30°，∴∠OAB=30°．∴∠OAB的度数为30°．（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2．∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．∴∠APB=∠MQP．∴MP=MQ．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴PE=EQ=PQ．∵BN=PM，MP=MQ，∴BN=QM．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF．在△MFQ和△NFB中，．∴△MFQ≌△NF B．∴QF=BF．∴QF=Q B．∴EF=EQ+QF=PQ+QB=P B。

（新课标）2017-2018学年华东师大版八年级下册第十九章第一节19.1.2矩形的判定同步练习一、选择题1．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD；则不能使四边形ABCD成为矩形的是（）A．①②③B．②③④C．②⑤⑥D．④⑤⑥答案：C解答：A中①AB∥DC；②AB＝DC可判定四边形是平行四边形，再加上③AC＝BD可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判定；B中②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°，可根据题意判断出全等三角形，进而得出四边形是矩形进行判定；C中⑤OA＝OC；⑥OB＝OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB＝DC也不能判定是矩形；D中⑤OA＝OC；⑥OB＝OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC＝90°可根据有一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定；故选C．分析：根据矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可．2．对角线互相平分且相等的四边形是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形答案：B解答：∵该四边形的对角线互相平分，∴该四边形是平行四边形，又∵该平行四边形的对角线相等，∴该平行四边形是矩形，故选B．分析：根据对角线互相平分得出平行四边形，再加上对角线相等即可得出矩形．3．下列关于四边形是矩形的判断中，正确的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线互相平分且垂直D．对角线互相平分且相等答案：D解答：对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故A选项错误；对角线互相垂直不一定是矩形，菱形对角线也互相垂直，故B选项错误；对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不是矩形，故C选项错误；对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故D选项正确；故选D．分析：根据矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”），针对每一个选项进行分析，可选出答案．4．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AD＝BC C．AC＝BD D．AB ＝BC答案：C解答：可添加AC＝BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选C．分析：四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等．5．如果四边形对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形答案：B解答：如下图所示，在四边形ABCD中，AC⊥BD，连接各边的中点E，F，G，H，则形成中位线EG∥AC，FH∥AC，EF∥BD，GH∥BD，又因为对角线AC⊥BD，所以GH⊥EG，EG⊥EF，EF ⊥FH，FH⊥HG，根据矩形的定义可以判定该四边形为矩形．故选B．．分析：根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形．6．平行四边形ABCD的两条对角线相等，则平行四边形ABCD 一定是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形答案：B解答：对角线相等的平行四边形是矩形．分析：本题考查特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊平行四边形的特点．7．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠2答案：C解答：A中是邻边相等，不可判定平行四边形ABCD是菱矩形；B中是对角线互相垂直，不可判定平行四边形ABCD是矩形；C中是一内角等于90°，可判断平行四边形ABCD成为矩形；D中是对角线平分对角，不可判定平行四边形ABCD是矩形．故选C．分析：本题主要应用的知识点为，矩形的判定：①对角线相等且相互平分的四边形为矩形；②一个角是90度的平行四边形是矩形．8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，则下面条件能判定平行四边形ABCD是矩形的是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AC＝BD且AC⊥BDD．AB＝AD答案：A解答：A选项是对角线相等，可判定平行四边形ABCD是矩形．而B、C、D不能．分析：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线互相平分且相等的四边形是矩形；据此分析判断．9．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC 于F，则EF的最小值为（）A．4 B．4.8 C．5.2 D．6 答案：B解答：如图，连接PA，∵在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴222BC AB AC=+，∴∠BAC＝90°，又∵PE⊥AB于点E，PF ⊥AC于点F．∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形PEAF是矩形，AP＝EF，当PA最小时，EF也最小，即当AP⊥CB时，PA最小，∵12AB•AC＝12BC•AP，即AP＝BCACAB⋅＝6810⨯＝4.8，∴线段EF长的最小值为4.8；故选B．分析：先由矩形的判定定理推知四边形PEAF是矩形；连接PA，则PA＝EF，所以要使EF，即PA最短，只需PA⊥CB即可；然后根据三角形的等积转换即可求得PA的值．10．下列命题错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．对角线相等的四边形是矩形D．矩形的对角线相等答案：C解答：平行四边形的性质有平行四边形的对边相等，故A选项错误；平行四边形的判定定理有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B选项错误；对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项正确；矩形的性质有矩形的对角线相等，故D选项错误；故选C．分析：根据平行四边形的性质即可判断A；根据平行四边形的判定即可判断B；根据矩形的判定即可判断C；根据矩形的性质即可判断D．11．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE ⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（）A．一直增大B．一直减小 C．先减小后增大D．先增大后减少答案：C解答：如图下图所示，连接AP，∵∠A＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，由垂线段最短可得AP⊥BC 时，AP最短，则线段EF的值最小，∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大；故选C．分析：连接CP，先判断出四边形CFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，线段EF的值大小变化情况．12．已知下列命题中：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个答案：C解答：①矩形是轴对称图形，对边中点连线所在的直线是它的对称轴，并且有两条，故该选项正确；②只有两条对角线相等的平行四边形是矩形；故该选项错误；③所有的平行四边形对角都相等，但不一定是矩形，故该选项错误；④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加对角线相等则为矩形，故该选项正确；所以其中正确的有①和④，故选C．分析：根据矩形的轴对称性、矩形的判定和矩形的性质逐项分析即可得到正确命题的个数．13．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是矩形答案：B解答：矩形的对角线互相平分，且相等，但不一定互相垂直，A 项错误；矩形的对角线相等且互相平分，B项正确；对角线相等的四边形不一定为矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，C项错误；对角线互相平分的四边形为平行四边形，不一定为矩形，D项错误；故选B．分析：此题考查了矩形的判定与性质，是一道概念性试题，熟练掌握矩形的判定与性质是解本题的关键．14．对角线的平行四边形是矩形（）A．互相垂直且平分B．互相平分C．互相垂直D．相等答案：D解答：根据矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形，故选D．分析：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．15．在四边形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，AB ＝4，CD ＝2，求四边形ABCD 的周长（ ）A ．1023+B ．825+C ．835+D ．1025+答案：A解答：如下图所示，延长BC 、AD 交于O ，∵∠A ＝60°，AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，∴∠B ＝∠CDO ＝90°，∠O ＝30°，∵AB ＝4，CD ＝2，∴OA ＝2AB ＝8，CO ＝2CD ＝4，由勾股定理得：228443OB =-=，224223OD =-=，∴434BC =-，823AD =-，∴AB ＋AD ＋DC ＋BC ＝482324341023+-++-=+，故选A ．分析：延长BC 、AD 交于O ，求出OA 、OD 、OC 、OB 的值，求出BC 、AD ，即可求出答案．二、填空题16．如图，要使平行四边形ABCD 是矩形，则应添加的条件是 （只填一个）．答案：∠ABC＝90°或AC＝BD（不唯一）解答：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故添加条件：∠ABC＝90°或AC＝BD，故答案为∠ABC＝90°或AC＝BD．分析：根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．17．对角线的四边形是矩形．答案：相等且互相平分解答：根据矩形的判定：对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故填“相等且互相平分”．分析：对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线又相等故为矩形．18．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是．（填上你认为正确的一个答案即可）答案：∠A＝90°解答：添加的条件是∠A＝90°，理由是：∵AB∥DC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠A＝90°，∴平行四边形ABCD 是矩形，故答案为：∠A＝90°．分析：根据平行四边形的判定先推出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可得出答案．19．如图所示，已知平行四边形ABCD，下列条件：①AC＝BD，②AB＝AD，③∠1＝∠2，④AB⊥BC中，能说明平行四边形ABCD 是矩形的有（填写序号）．答案：①④解答：能说明平行四边形ABCD是矩形的有：①对角线相等的平行四边形是矩形；④有一个角是直角的平行四边形是矩形．分析：矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形没有的特征是：矩形的四个内角是直角；矩形的对角线相等且互相平分；可根据这些特点来选择条件．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE、BF．当∠ACB为度时，四边形ABFE 为矩形．答案：60解答：如果四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，那么AF＝BE，AC＝BC，又因为AC＝AB，那么三角形ABC是等边三角形，所以∠ACB＝60°．分析：本题主要考查了矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分．三、解答题21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．（1）求证：△AEF≌△BED；答案：解答：证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EDB，∵E为AB的中点，∴EA＝EB，在△AEF和△BED中，AEF EDBEA EBBED AEF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEF≌△BED（ASA）．（2）若BD＝CD，求证：四边形AFBD是矩形．答案：四边形AFBD是矩形解答：证明：∵△AEF≌△BED，∴AF＝BD，∵AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BD，∴四边形AFBD是矩形．分析：（1）AAS或ASA证全等；（2）根据对角线互相平分的证明四边形AFBD是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一证明∠ADB＝90°，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证．22．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF ＝BD ，连接BF ．（1）求证：BD ＝CD ；答案：解答：证明：∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE ，∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE ，AFE DCE AE DEAEF DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEF ≌△DEC （AAS ），∴AF ＝DC ，∵AF ＝BD ，∴BD ＝CD ．（2）如果AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．答案：四边形AFBD 是矩形解答：四边形AFBD 是矩形，理由：∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∵AF ＝BD ，又∵过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，即AF ∥BC ，∴四边形AFBD 是平行四边形，∴四边形AFBD 是矩形．分析：（1）先由AF∥BC，利用平行线的性质可证∠AFE＝∠DCE，而E是AD中点，那么AE＝DE，∠AEF＝∠DEC，利用AAS可证△AEF≌△DEC，那么有AF＝DC，又AF＝BD，从而有BD＝CD；（2）四边形AFBD是矩形．由于AF平行等于BD，易得四边形AFBD是平行四边形，又AB＝AC，BD＝CD，利用等腰三角形三线合一定理，可知AD⊥BC，即∠ADB＝90°，那么可证四边形AFBD是矩形．23．如图，在△ABC中，点O在AB边上，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D，过点B作BE⊥BD交直线OD 于点E．（1）求证：OE＝OD；答案：解答：证明：∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC；∵ED∥BC，∴∠ODB＝∠DBC＝∠ABD，∴△OBD为等腰三角形，∴OB＝OD，在Rt△EBD中，OB＝OD，那么O就是斜边ED的中点．∴OE＝OD．（2）当点O在AB的什么位置时，四边形BDAE是矩形？说明理由．答案：O为AB的中点时，四边形BDAE为矩形解答：解：∵四边形BDAE为矩形，∴∠AEB为直角即△AEB为直角三角形，OA＝OB＝OE＝OD，∵Rt△AEB中，OE＝OA＝OB，∴O为斜边AB的中点，∴O为AB的中点时，四边形BDAE为矩形．分析：（1）根据角平分线和等腰三角形腰长相等性质证明OB＝OD，再根据直角三角形中线的性质即可判定O点为DE的中点，即OE＝OD；（2）设定四边形BDAE为矩形，可求出Rt△AEB 中，O点为斜边AB的中点．24．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC＝AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．答案：解答：证明：∵AD ∥BC ，DE ∥AB ，∴四边形ABED 是平行四边形，∴AD ＝BE ，∵点E 是BC 的中点，∴EC ＝BE ＝AD ，∴四边形AECD 是平行四边形，∵AB ＝AC ，点E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC ，即∠AEC ＝90°，∴平行四边形AECD 是矩形．．分析：先判断四边形AECD 为平行四边形，然后由∠AEC ＝90°即可判断出四边形AECD 是矩形．25．如图，将平行四边形ABCD 的边DC 延长至点E ，使CE ＝DC ，连接AE ，交BC 于点F ．（1）求证：△ABF ≌△ECF ；答案：解答：证明：在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴∠BAE ＝∠AEC ，又∵CE ＝CD ，∴AB ＝CE ，在△ABF 和△ECF 中，ABF ECF AFB EFC AB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△ECF （AAS ）． （2）连接AC 、BE ，则当∠AFC 与∠D 满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？请说明理答案：当∠AFC＝2∠D时，四边形ABEC是矩形解答：解：当∠AFC＝2∠D时，四边形ABEC是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，AB∥DC，AB＝DC，∴∠BCE＝∠D，AB∥EC，又∵CE＝DC，∴四边形ABEC是平行四边形，∵∠AFC＝∠FEC＋∠BCE，∴当∠AFC＝2∠D时，则有∠FEC ＝∠FCE，∴FC＝FE，∴四边形ABEC是矩形．分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，CE＝DC，易证得∠ABF＝∠ECF，∠AFB＝∠EFC，AB＝EC，则可证得△ABF≌△ECF；（2）首先根据四边形ABCD是平行四边形，得到四边形ABEC 是平行四边形，然后证得FC＝FE，利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形．美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登！为自己加油！。

19.1矩形一、选择题1.如图，下列条件中，能使平行四边形ABCD成为矩形的是（）A. AB=BCB. AB=CDC. AC⊥BDD. AC=BD2.下列关于四边形是矩形的判断中，正确的是（）.A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直C. 对角线互相平分且垂直D. 对角线互相平分且相等3.四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是（）A. AB=CDB. AC=BDC. AB=BCD. AC⊥BD4.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（）A. 12B. 10C. 8D. 65.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O ，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC ＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD；则不能使四边形ABCD成为矩形的是（）.A. ①②③B. ②③④C. ②⑤⑥D. ④⑤⑥6.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A. AB=CDB. AD=BCC. AB=BCD. AC=BD7.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD 的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（）A. 10B. 4.8C. 6D. 58.如图，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且都是某个小正方形的顶点，若四边形EFGH的面积为1，则矩形ABCD的面积为( )A. 2B. 3C.D.9.如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是（）A. 7B. 8C. 9D. 1010.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=4cm．动点E从点B出发，沿着线路BC→CD→DA运动，在BC段的平均速度是1cm/s，在CD段的平均速度是2cm/s，在DA段的平均速度是4cm/s，到点A停止．设△ABE 的面积为y（cm2），则y与点E的运动时间t（s）的函数关系图象大致是（）A. B. C. D.二、填空题11.木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为45cm，宽为28cm，对角线为53cm，这个桌面________．（填“合格”或“不合格”）．12.对角线________的四边形是矩形，对角线________的平行四边形是矩形．13.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是________（只填一个）．14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠AOD=120°，AB=1，则矩形ABCD的面积=________15.如图：矩形ABCD的对角线相交于点O，AB=4cm，∠AOB=60°，则AD=________ cm．16.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=1，则AC的长是________．17.如图，在△ABC中，AB＝AC ，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC ，连接AE、BF ．当∠ACB为________ 度时，四边形ABFE为矩形．三、解答题18.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥AD于点F，OF=2cm，AE⊥BD于点E，且BE﹕BD=1﹕4，求AC的长．19.如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．20.如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，以AB、BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD、EC。

19.1矩形一、选择题1.如图，下列条件中，能使平行四边形ABCD成为矩形的是（）A. AB=BCB. AB=CDC. AC⊥BDD. AC=BD2.下列关于四边形是矩形的判断中，正确的是（）.A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直C. 对角线互相平分且垂直D. 对角线互相平分且相等3.四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是（）A. AB=CDB. AC=BDC. AB=BCD. AC⊥BD4.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（）A. 12B. 10C. 8D. 65.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O ，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC ＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD；则不能使四边形ABCD成为矩形的是（）.A. ①②③B. ②③④C. ②⑤⑥D. ④⑤⑥6.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A. AB=CDB. AD=BCC. AB=BCD. AC=BD7.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD 的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（）A. 10B. 4.8C. 6D. 58.如图，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且都是某个小正方形的顶点，若四边形EFGH的面积为1，则矩形ABCD的面积为( )A. 2B. 3C.D.9.如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是（）A. 7B. 8C. 9D. 1010.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=4cm．动点E从点B出发，沿着线路BC→CD→DA运动，在BC段的平均速度是1cm/s，在CD段的平均速度是2cm/s，在DA段的平均速度是4cm/s，到点A停止．设△ABE的面积为y（cm2），则y与点E的运动时间t（s）的函数关系图象大致是（）A. B. C. D.二、填空题11.木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为45cm，宽为28cm，对角线为53cm，这个桌面________．（填“合格”或“不合格”）．12.对角线________的四边形是矩形，对角线________的平行四边形是矩形．13.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是________（只填一个）．14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠AOD=120°，AB=1，则矩形ABCD的面积=________15.如图：矩形ABCD的对角线相交于点O，AB=4cm，∠AOB=60°，则AD=________ cm．16.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=1，则AC的长是________．17.如图，在△ABC中，AB＝AC ，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC ，连接AE、BF ．当∠ACB为________ 度时，四边形ABFE为矩形．三、解答题18.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥AD于点F，OF=2cm，AE⊥BD于点E，且BE﹕BD=1﹕4，求AC的长．19.如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．20.如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，以AB、BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD、EC。

20.2矩形的判定同步达纲练习一、填空：1．矩形ABCD的周长为52cm，对角线AC和BD相交于O，且△OCD和△OAD的周长差是10cm，则矩形的长边长________，短边长_________。

2．在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且CE：EA=1：3，若AB=5cm，则AC=_________3．在矩形ABCD中，AB=2BC，E是AB上一点，且CE=AB，连结DE，则∠ADE=_________ 4．矩形两条对角线的交点到小边的距离比到大边的距离多1cm，若矩形周长是26cm，则矩形各边长为__________。

5．_________的四边形是矩形6．_________的平行四边形是矩形二、判断：1．矩形是轴对称图形且有两条对称轴（）2．矩形的对角线大于夹在两对边间的任意线段（）3．两条对角线互相平分的四边形是矩形（）4．有两个角是直角的四边形为矩形（）三、解答：1．如图，已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，M是BC的中点，P为BC上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，求证：ME=MF2．如图，已知，△ABC中，CE⊥AD于E，BD⊥AD于D，BM=CM求证：ME=MD参考答案一、1．18cm 8cm2．10cm3．15°4．7.5cm 5.5cm 7.5cm 5.5cm5．有三个角是直角（或对角线互相平分且相等）6．对角线相等二、1．√2．√3．×4．×三、1．∵∠A=90°，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ∴四边形AEPF 为矩形，∴AF=EP∵AB=AC ，∠BAC=90° ∴∠B=45°∵PE ⊥AB 于E ，∠EPB=45°，∴∠B=∠EPB∴BE=EP ∴BE=AF∵直角△ABC 中，∠BAC=90°M 为BC 边中点 ∴BC AM 21= 即AM=BM ∵AB=AC ，M 为BC 中点，∴AM 平分∠BAC ∴∠MAF=45° ∴∠MAF=∠B在△AMF 与△BME 中，∵AF=BE ，∠MAF=∠B ，AM=BM ∴△AMF ≌△BME ∴ME=MF2．延长DM 与CE 交于N∵CE ⊥AD 于E ，BD ⊥AD 于D∴CE ∥BD ∠NCM=∠DBM在△CMN 与△BMD 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠BMD CMN BMCM DBM NCM ∴△CMN ≌△BMD∴NM=DM即M 为ND 中点∵CE ⊥AD 于E∴△NED 为Rt △ ∴ND ME 21=∴ME=MD。