云南师大附中2013届高考适应性月考卷（八）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数 柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数11ii-+（i 是虚数单位）化简的结果是A ．i -B ．iC ．1D ．1-2．已知集合101x A xx ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}2|log (2)B x y x ==+，则A B ＝A ．()2,1--B ．()[)2,11,--+∞C ．[)1,+∞D ．()()2,11,---+∞3．已知两条直线,m n 和平面α，且m 在α内，n 在α外，则“n ∥α”是“m ∥n ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知等差数列{}n a 中，39159a a a ++=，则数列{}n a 的前17项和17S ＝A ．102B ．51C ．48D ．36 5．阅读如图1所示的程序框图，则输出的S 的值是A ．910 B ．89 C ．78D ．67正视图 侧视图俯视图1 1 12 6．开学不久，学校从某班的学生中随机抽取25名学生进行学情调查，经过一段时间再次从该班的学生中随机抽取15名学生进行健康状况调查，发现有5名学生上次被抽查过，据此估计该班的学生人数为A ．75B ．65C ．60D ．50 7．某四面体的三视图如图2所示，该四面体的六条棱长中，长度最大的是ABCD ．8．设变量,x y 满足约束条件0,1,21,x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩目标函数222z x x y =++，则z 的取值范围是A ．17,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2⎤⎥⎣⎦C ．8,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2⎤⎥⎣⎦9．定义在R 上的偶函数()f x 满足2(1)()f x f x +=-(()0)f x ≠，且(1)2013f =，则(2013)f ＝A ．12013B ．1C ．4D ．2013 10．已知方程ln 10x ax -+=（a 为实常数）有两个不等实根，则实数a 的取值范围是A ．()0,eB ．[]1,eC ．()0,1D ．[]0,111．在平面直角坐标系中，定义1212(,)||||d A B x x y y =-+-为两点11(,)A x y ，22(,)B x y 间的“折线距离”，在此定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”为1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”为1的点的集合是一个圆；③到(1,0)M -，(1,0)N 两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是0x =． 其中，正确的命题有A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个12．已知点P 在圆22:(3)1C x y +-=上，点Q 在双曲线22152x y -=的右支上，F 是双曲线的左焦点，则||||PQ QF +的最小值为A．1B．3+C．4+D ．5+第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知1sin 3α=-，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin 2α＝ ． 14．直线cos sin 10x y θθ++=与圆221x y +=的位置关系为 ．15．已知向量AB 与AC 的夹角为30°，且||6AB =，则||AB AC -的最小值是 ．16．已知函数*(1)()log (2)()m f m m m N +=+∈，令(1)(2)()f f f m k ⋅⋅⋅=，当[]1,2013m ∈，且*k N ∈时，满足条件的所有k 的值的和为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n a S 在直线34y x =+上． （1）求数列{}n a 的通项a ；（2）令*()n n b na n N =∈，试求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图3，在直三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且1AB AA =，E 、F 分别为BC 、1CC 的中点．（1）求证：1B E ⊥平面AEF ；（2）当2AB =时，求点E 到平面1B AF 的距离．19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，满足229x y +≤的点(,)P x y 组成的平面区域（或集合）记为Ω，现从Ω中随机取点(,)M x y ．（1）设,x Z y Z ∈∈，22x y ξ=+，求5ξ=的概率；（2）设,x R y R ∈∈，若直线(0)y x b b =-+>被圆229x y +=截得的弦长为，求y x b ≥-+的概率．ABCEF B 1C 1 A 120．（本小题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为1x =，F 是焦点．过点(2,0)A -的直线与抛物线交于11(,)P x y ，22(,)Q x y 两点，直线PF ，QF 分别交抛物线于点M ，N ． （1）求抛物线的方程及12y y 的值；（2）记直线PQ ，MN 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k 为定值． 21．（本小题满分12分）已知函数2()416mx f x x =+，||1()2x m g x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中m R ∈且0m ≠．（1）判断函数()f x 的单调性；（2）设函数(),2,()(),2,f x x h xg x x ≥⎧=⎨<⎩当2m ≥时，若对于任意的[)12,x ∈+∞，总存在唯一的()2,2x ∈-∞，使得12()()h x h x =成立，试求m 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】 如图4，已知,AB CD 是圆O 的两条平行弦，过点A 引圆OP ，F 为CD 上的一点，弦,FA FB 分别与CD 交于点,GH ．（1）求证：GP GH GC GD ⋅=⋅；（2）若39AB AF GH ===，6DH =，求PA 的长． 23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】 已知椭圆C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，点1F ，2F 为其左右焦点．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为2,,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，t R ∈）．（1）求直线l 的普通方程和椭圆C 的直角坐标方程； （2）求点1F ，2F 到直线l 的距离之和．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】已知函数()2()log |1||5|1f x x x =-+--． （1）当5a =时，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围．云南师大附中2013届高考适应性月考卷（八）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】 4．11717917()172a a S a +==，3915939a a a a ++==，93a =∴．故选B ． 5．依题意，知11,2,0,12i n S ===+⨯ 112,3,,1223i n S ===+⨯⨯ 1113,4,,122334i n S ===++⨯⨯⨯ ……，1111188,9,11223348999i n S ===++++=-=⨯⨯⨯⨯…. 故选B ． 6．设该班学生人数为n ，依题意知25515n =，75n =，故选A ． 7．由题图可知，几何体为如图1所示的三棱锥P ABC -， 其中1,,PA AC PA AC PA AB ==⊥⊥，由俯视图可知，AB BC =PB =D ．8．2222+2(1)1z x x y x y =+=++-，用线性规划，可求得22(1)x y ++的范围是17,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以8,39z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选C ． 9．22(4)()2(2)()f x f x f x f x +=-=-=+-，故()f x 为周期函数，周期4T =，(2013)(45031)(1)2013f f f =⨯+==∴．故选D ．10．ln 1=0ln =1x ax x ax -+⇔-，令12ln ,1y x y ax ==-，直线21y ax =-过定点(0,1)-，设直线21y ax =-与1y 的切点为00(,ln )x x ，由于11y x'=， 所以切线斜率0000ln 11,1,1x a x a x x +====∴，图1当(0,1)a ∈时，直线21y ax =-与1y 的图象有2个交点．故选C. 11．设到原点的“折线距离”为1的点为(,)x y ，则||||1x y +=，其轨迹为如图2所示的正方形，所以①正确，②错误； 设到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”相等的点为(,)x y ， 则|1||||1|||,|1||1|x y x y x x ++=-++=-， 从而0x =，所以③正确．故选B ．12．设双曲线22152x y -=的右焦点为F '，则(0),0)F F '，由双曲线定义知||||QF QF '=+，||||||||QF PQ QF PQ '+=++ 当,,,C P Q F '共线时，min (||||)3QF PQ '+=，min (||||)3QF PQ +=+∴ C.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】 15．如图3所示，点C 的轨迹为射线AC '（不含端点A ），当BC AC ⊥时，min min ||||3AB AC CB -==．16．234(1)(1)(2)()log 3log 4log 5log (2)m f f f m m +=+……2log (2)m k =+=，22k m =-，[1,2013],m k ∈∈*N ∵，101121024,22013=>，所以，k 值组成的集合为{2,3,4,5,6,7,8,9,10}，2391054++++=…． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为点(,)n n a S 在直线34y x =+上，所以34n n S a =+，1134n n S a ++=+，图3图211133n n n n n a S S a a +++=-=-，化简得123n n a a +=，所以数列{}n a 为等比数列，公比32q =，由11134S a a ==+得12a =-， 故11132()2n n n a a qn --⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭*N ．……………………………………………（6分）（Ⅱ）因为 ()n n b na n =∈*N ， 所以12341n n n T b b b b b b -=++++++23213333321234(1)22222n n n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，① 234133333332234(1)2222222n nn T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=-+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，② ①-②得23113333321+222222n n n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯=-++++-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，………（8分）2313333341+22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦31332444(2)8()32212nn nn n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⨯-⨯=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-*N ． ……………………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，不妨设1||||=AB AA a =， ABC ∵△为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，11||BC B C =∴，∵E 、F 分别为BC 、1CC 的中点，222222113||||||2B E BE BB a a ⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭∴， 22222213||||||44EF EC CF a a⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭，222222111119||||||244B F B C C F a a a =+=+=，有22222211339||||||244B E EF a a a B F +=+==，1B E EF ⊥∴，又1,AE BC B B ⊥⊥∵平面ABC ，1B E AE ⊥∴，AE EF E =，1B E ⊥∴平面AEF ．…………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：由条件知，1||||||||AE B E EF AF =，11||||3AB B F ==，…………………………………………………………（8分）AE EF ⊥∵，11||||22AEF S AE EF ==⨯=△∴， 在1AFB △中，11cos sin B AF B AF ∠==∠=11111||||sin 322AB F S AB AF B AF =∠=⨯=△∴， ………………（10分）设点E 到平面1B AF 的距离为d ， 则11||AB F AEF d S B E S =△△，所以213d ==，即点E 到平面1B AF 的距离为1． ………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当,x y ∈∈Z Z 时，圆229x y +=内共有29个点， 满足225x y +=的点有8个， 所以8(5)29P ξ==． ……………………………………………………………（5分）（Ⅱ）当直线(0)y x b b =-+>被圆229x y +=截得的弦长为时， 设圆心O 到直线(0)y x b b =-+>的距离为d ，由2223d +=⎝⎭，d =3b =． ………………………………（8分）满足y x b -+≥的(,)M x y位于弦长为的弓形内，所以y x b -+≥的概率为9π91142==9π42πS P S -=-弓形圆． ………………………（12分）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：依题意，设抛物线方程为22(0)y px p =->， 由准线12px ==，得2p =， 所以抛物线方程为24y x =-．………………………………………………（2分）设直线PQ 的方程为2x my =-，代入24y x =-， 消去x ，整理得2480y my +-=， 从而128y y =-．………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）证明：设3344(,),(,)M x y N x y ，则223434341121222122123434124444y y x x y y k y y y y y y k x x y y y y y y --+----=⨯=⨯=---+---． …………………（8分）设直线PM 的方程为1x ny =-，代入24y x =-， 消去x ，整理得2440y ny +-=， 所以134y y =-， 同理244y y =-．………………………………………………………………（10分）故3411221212124444182y y k y y k y y y y y y --++--=====++-，为定值． …………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，22222(4)(2)(2)()4(4)4(4)m x m x x f x x x --+'==++，当0m >时，()022,()02f x x f x x ''>⇒-<<<⇒<-或2x >， 所以()f x 在(2,2)-上单调递增；在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递减． 当0m <时，()022,()02f x x f x x ''<⇒-<<>⇒<-或2x >，所以()f x 在(2,2)-上单调递减；在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递增． …………（6分） （Ⅱ）当2m ≥，1[2,)x ∈+∞时，11121()()416mx h x f x x ==+，由（Ⅰ）知1()h x 在[2,)+∞上单调递减， 从而1()(0,(2)]h x f ∈，即1()0,16m h x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦； ……………………………………（8分） 当2m ≥，22x <时，222||22111()()2222x m m x mx h x g x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，在(,2)-∞上单调递增， 从而2()(0,(2))h x g ∈，即221()0,2m h x -⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………（10分）对于任意的1[2,)x ∈+∞，总存在唯一的2(,2)x ∈-∞，使得12()()h x h x =成立， 只需21162m m -⎛⎫< ⎪⎝⎭，即210162m m -⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立即可．记函数21()162m m H m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知21()162m m H m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[2,)+∞上单调递增，且(4)0H =，所以m 的取值范围为[2,4)． …………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：∵PE 与圆O 切于点A ， ∴EAB BFA ∠=∠， ∵//AB CD ， ∴EAB APD ∠=∠．在HGF △和AGP △中，,,HFG APG HGF AGP ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∴HGF △∽AGP △， ………………………………………………………………（2分）∴GH GP GF GA =．又∵GC GD GF GA =， ∴GP GH GC GD =． ……………………………………………………………（5分）（Ⅱ）解：∵AB AF =， ∴ABF AFB APH ∠=∠=∠． 又∵//AB CD ，∴四边形ABHP 为平行四边形， ………………………………………………（7分）∴9AB PH ==， ∴6GP PH GH =-=， ∴6329GP GH GC GD ⨯===， ∴4PC =．∵PA 是⊙O 的切线，∴2PA PC PD =，PA =．………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由l 的参数方程消去t ，得2y x =-， 故直线l 的普通方程为20x y --=． …………………………………………（2分）由22222123(cos )4(sin )123cos 4sin ρρθρθθθ=⇒+=+， 而cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以223412x y +=，即22143x y +=，故椭圆C 的直角坐标方程为22143x y +=．……………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12(1,0),(1,0)F F -，点1(1,0)F -到直线l 的距离1d ==点2(1,0)F 到直线l 的距离2d =，12d d +=12,F F 到直线l 的距离之和为 …………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ） 当5a =时，要使函数2()log (|1||5|)f x x x a =-+--有意义， 需|1||5|50x x -+-->恒成立．1,15,5,|1||5|50210102110x x x x x x x <<⎧⎧⎧-+-->⇔⎨⎨⎨-+>->->⎩⎩⎩≤≥或或 11122x x ⇒<>或，所以函数()f x 的定义域为111,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………（5分）（Ⅱ）函数()f x 的值域为R ，需要()|1||5|g x x x a =-+--能取到所有正数， 即min ()0g x ≤．由62,1,|1||5|4,15,26,5,x x x x x x x -<⎧⎪-+-=⎨⎪->⎩≤≤ 易知|1||5|4x x -+-≥，故min ()40g x a =-≤，得4a ≥，所以实数a 的取值范围为4a ≥．……………（10分）云南师大附中2013届高考适应性月考卷（八）·双向细目表文科数学。
