初中数学竞赛专题选讲(初三.9)条件等式的证明

初中数学竞赛讲座——数论部分9（费马⼩定理）第9讲费尔马⼩定理⼀、基础知识：法国数学家费尔马在1640年提出了⼀个有关整数幂余数的定理，在解决许多关于某个整数幂除以某个整数的余数问题时⾮常⽅便有⽤，在介绍这个定理之前，我们先来看⼀些具体的同余式，请同学们注意观察，发现这些同余式符合什么规律．3≡1（mod 2），5≡1（mod 2），7≡1（mod 2）…22≡1（mod 3），42≡1（mod 3），52≡1（mod 3）…24≡1（mod 5），34≡1（mod 5），44≡1（mod 5）…26≡（23）2≡1（mod 7），36≡（33）2≡1（mod 7），46≡（43）2≡1（mod 7）…这些同余式都符合同⼀个规律，这个规律就是费尔马⼩定理．费尔马⼩定理：如果p是质数，（a，p）=1，那么a p－1≡1（mod p）与费马⼩定理相关的有⼀个中国猜想，这个猜想是中国数学家提出来的，其内容为：当且仅当2p-1≡1(mod p)，p是⼀个质数。

假如p是⼀个质数的话，则2p-1≡1(mod p)成⽴（这是费马⼩定理的⼀个特殊情况）是对的。

但反过来，假如2p-1≡1(mod p)成⽴那么p是⼀个质数是不成⽴的（⽐如341符合上述条件但不是⼀个质数）。

如上所述，中国猜测只有⼀半是正确的，符合中国猜测但不是质数的数被称为“伪质数”。

对于中国猜测稍作改动，即得到判断⼀个数是否为质数的⼀个⽅法：如果对于任意满⾜1 < b< p的b下式都成⽴：b p-1≡1(mod p)，则p必定是⼀个质数。

实际上，没有必要测试所有的⼩于p的⾃然数，只要测试所有的⼩于p的质数就可以了。

这个算法的缺点是它⾮常慢，运算率⾼；但是它很适合在计算机上⾯运⾏程序进⾏验算⼀个数是否是质数。

（⼀）准备知识：引理1．若a,b,c为任意3个整数，m为正整数，且(m,c)=1,则当ac≡bc(mod m)时，有a≡b(mod m)证明：ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因为(m,c)=1即m,c互质，c可以约去，a–b≡0(mod m)可得a≡b(mod m)引理2．若m为整数且m>1,a1,a2,a3,a4,…a m为m个整数，若在这m个数中任取2个整数对m不同余，则这m个整数对m构成完全剩余系。

九年级数学精讲班讲义一、一元二次方程。

1. 定义。

- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)。

- 举例：x^2+2x - 3 = 0，这里a = 1，b = 2，c=- 3。

2. 解法。

- 直接开平方法。

- 对于方程x^2=k(k≥slant0)，解得x=±√(k)。

- 例如：(x - 1)^2=4，则x - 1=±2，x = 1±2，即x = 3或x=-1。

- 配方法。

- 步骤：先将二次项系数化为1，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程化为(x + m)^2=n的形式再求解。

- 例如：x^2+4x - 1 = 0，x^2+4x = 1，x^2+4x + 4 = 1+4，(x + 2)^2=5，x=-2±√(5)。

- 公式法。

- 求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

- 对于方程2x^2-3x - 1 = 0，a = 2，b=-3，c = - 1，代入公式可得x=frac{3±√((-3)^2)-4×2×(-1)}{2×2}=(3±√(17))/(4)。

- 因式分解法。

- 把方程化为(mx + n)(px + q)=0的形式，则mx + n = 0或px + q = 0。

- 例如：x^2-3x + 2 = 0，分解为(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2。

3. 根的判别式Δ=b^2-4ac- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。

- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。

- 当Δ<0时，方程没有实数根。

- 例如：对于方程x^2-2x + 1 = 0，Δ=(-2)^2-4×1×1 = 0，方程有两个相等的实数根x = 1；对于方程x^2+1 = 0，Δ = 0 - 4×1×1=-4<0，方程没有实数根。

兰州第十中学 数学组2013年最新八年级数学竞赛讲座第二十三讲代数证明代数证明主要是指证明代数中的一些相等关系或不等关系. 在初中阶段，要证的等式一般可分为恒等式的证明和条件等式的证明. 恒等式的证明常用的方法有： （1） 由繁到简，从一边推向另一边； （2） 从左右两边人手，相向推进； （3） 作差或作商证明，即证明：左边一右边 =0,左边1（右边0）. 右边 条件等式的证明实质是有根据、有目的的代数式恒等变换，证明的关键是寻找条件与结论的联系，既 要注意已知条件的变换，使之有利于应用；又要考虑求证的需求情况，使之有利于与已知条件的沟通. 代数证明不同于几何证明，几何证明有直观的图形为依托，而代数证明却取决于代数式化简求值变形 技巧、方法和思想的熟练运用. 例题求解 z 1 1 az a 2 x a y a y 2ay a （2）求证：（a -）2 （b 丄）2 （ab 丄）2 4 （aa b ab 【例1】（1）求证： ax a 思路点拨（1）从较复杂的等式左边推向等式右边，注意左边每个分式分子与分母的联系; （2）等式两边都较复杂，对左、右两边都作变形或作差比较. 注 如果一个等式的字母在条件允许范围内的任意一个值，使得等式总能成立，那么这个等式叫做恒等 式.把一个式子变形为与原式恒等的另一种不同形式的式子，这种变形叫做恒等变形，形变值不变是恒等 变形的特点. 代数式的化简求值、代数证明其实质都是作恒等变形，分解、换元、引参、配方、分组、拆分，取倒 数等是恒等变形常用的技巧与方法. 【例2】 已知x y a b ，且x 2 y 2 a 2 b 2. 求证: x 2001 y 2001 a 2001 b 2001 （ 黄冈市竞赛题）思路点拨 从完全平方公式入手，推出 X 、y 与a 、b 间关系，寻找证题的突破口.局，如果用a i 和b i ，分别表示第i(l=1, 2, 3…18)支球队在整个赛程中胜与负的局数.(天津市竞赛题)思路点拨 作差比较，明确比赛规则下隐含的条件是证题的关键. 【例4】 已知ax 3 by 3 cz 3，且-—1 1 .x y z求证：3'ax 2 by 2 cz 2 爲 Vb Vc .33 【例5】已知abc 0,证明：四个数(a b c)、(b c a)abc abc(北京市竞赛题)思路点拨 整体考虑，只需证明它们的和大于等于 24即可. 注 证明条件等式的关键是恰当地使用条件，常见的方法有：(1) 将已知条件直接代入求证式； (2) 变换已知条件，再代入求证式； (3) 综合变形巳知条件，凑出求证式；(4)根据求证式的需求，变换已知条件，凑出结果等.不等关系证明类似于等式的证明，在证明过程中常用如下知识：(1) 若 A — B>0,则 A>B; (2)若 A — B<0,则 A<B;(3) a 2 b 2 2ab ; 1(4)x 2 (x>0);x(5)若a 1 a 2a M ，则a 1> a 2、 、a n 中至少有一个大于M.n学力训练1 . .已知 Pa b,qb c■3r =c，求证：(1 p)(q)(1 r) (1 p)(1 q)(1 r)a bb cc ab2 2 22 . .已知 x y Z 1 ,a c 0 .求证：2 y 2勺1.a b cx y za b c思路点拨 条件中有一个连等式,恰当引入参数，把待证式两边都变形为与参数相同的同一个代数式. 【例3】有18支足球队进行单循环赛,每个参赛队同其他各队进行一场比赛,假设比赛的结果没有平求证： a 12 a 22 a 182 b 12 b 22b i82 •3 3(Cab) 、(a b c)中至少有一个 abcabc3.已知：a _b bc ca，求证：8a 9b 5c 0 .a b 2(b c) 3(c a) , --- 一 . --------------------------------------------------- 14 .设 39 .432的小数部分为b ，求证：.39 432 2b -.b222222_5.设 x 、y 、z 为有理数，且(y — z) +(x — y) +(z — x) =(y+z — 2x) +(z+x — 2y) +(x+y — 2z)，求证: (yz 1)(zx 1)( xy1)2 2 2 1 .(x 1)( y 1)( z 1)(重庆市竞赛题)11 .设a 、b 、c 均为正数，且a b c 1，证明：1 1 19 .a b c 12 .如果正数 a 、b 、c 满足a c 2b ，求证: （北京市竞赛题）13 .设a 、b 、c 都是实数，考虑如下 3个命题：① 若 a 2 ab c 0，且 c>1 ,则 0<b<2; ② 若 c>1 且 0<b<2，则 a 2 ab c 0 ；③ 若 0<b<2，且 a 2 ab c 00,则 c>1.试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；你认为不正确的命题，用反 例予以否定.（武汉市选拔赛试题）6 .已知14(a 2 b 2c 2) (a 2b 3c)2，求证：a :b ： c=1:2： 3.7 . 已知 1 1111求证：X、 y 、z 中至少有个为1 .x yz x y z8 . 若 xyz，记Ax y y z z t t x ，证明：A 是一个整数.（匈z tz t x t x y x yz t t x xy zy y z牙利竞赛题)9. 已知abc0，求证：a b c 0.c)2 (c a)2 (a b)2b c c aa b(b10 .完成同一件工作,甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的 p 倍，乙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的x 倍，求证：xp q 2 pq 1丙两人合做所需时间的 q 倍；丙单独做所需时间为甲、）1 1--•a -J b x b -、： c【例匿求解】⑴左血■半二单+£〔厂丁+也二口（■! —E」«（JP—<1）d（r—盘］⑵內为R+打+（H*）T+（"+訝—［卄（卄+）（”++）©+書）］7 + 2+》7+* + —4（曲+書）［（耐£）-{・十+）+（卄*）］右十巒十+亠（如占）（一*_土>7+士+乎+令-卩弓-」-寺叫严*7十胪E 则由07申b纽® 0-®.WCr->y = <ffl-6P,M|J->| - |a^A|，St x-^-a-Art j} j + >-O+i»> V I*r^b■无馆■一帚情形祁雪卢小+」删=卫1 ** 成屯y d«3A1>—6由于特空却轨部害进厅i«-i = n场比豪屈师于第.支琲队有叭亠卜-W (A19 与颈前,0■齢敵帽莓・]+©：+••-+旳一靳+ »十—a、17.i-l.S»3,-]ait 干比•无平屛.ttJFW*iTUi1+fl I14--+d ll*>-Ui,+6!1+^ +*i l,)-itfi*-61,)-*-(4ft r—-i lB,) = 17X|r((i L + a I + - +Cl* 1 —(61 +^ + *,b+ *M > J m0. If ・』+斗'+ *«—J=■石严+6^ 4~ ■*' +^B T*4R卄汇■『(丄+丄+"^)N(>・r" + 収+亦彳£■ *"* ”从而福贬,—(dr + ^ + f]'* (£k—r—a)a亠_^(^—i—r)a _+ “十d* + Hf ¥J +[片一心一術户+3・b-w f严]■ f惴为—誰—+ ―——+ + 血■ ------------------------------ ------------------------- *2占(Sa* ±b 十3F + G MA J—26<3t/ +&= + 3F —_ 2缶& 比上@ 乍-abr ab~悬"a 4 ： ' ' V $' ~~~二-"'” U( ” <r~^M1<fe-U-^H><6T W£KlWfl^小宁勿虑号前睛•故四$脾«[中型夕有一十不小TU.【学力iimii.捋户沖十分卿代人左右两辿1.肚= = wt* 羊An»-^-Np"初in + "+p*l, 立U* 即+ Q .从 ft] w* + J 亠JH + H+刃」—1TOT/九设出础―=吋-计.宀=呱—八于是・册+补- r>«Z（r+tf> 一—•）」_IE三強也中M+S L-O.+«—a》(.一防* (& <>(<• —nJ 丁<^~cl(«—M(c—a)(<i-*W1"设甲，乙[三人草!k 完氐戯项工作分甥用鼻天上灭点天■刚u(&+r> Lorrfa+ fr>m 由"L 冊制■-占=1皿为严庙亦矿£后石爲市厂乔而乔丽＜拓+乖、＜翕4■石）（J7牛掐）又TE HS ZF 说十體t 石十阳S+QS 十石】豚'石十石血十石騷+養石+■苗即拓申屈.庙知7旅十扃13.瞬心―山■弭可以童徒•■!）不止町“牛8存丨町％會证韋■③不止・.•■②iE ・-i£*l ・Fi 由 £＞】*县■■剛 f A 寺＞ （* j手.即「—十 A0*罐+＜H-r — *十-?） *（「一孚；A0+呼£■”（”手）+（于+ 9珂丹却L _ =w奋+遁、二;、啤直■匸口*。

初中数学竞赛专题选讲(初三.20)最大 最小值一、内容提要1. 求二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)，的最大、最小值常用两种方法：①配方法：原函数可化为y=a(x+ab 2)2+a b ac 442-.∵在实数范围内(x+ab 2)2≥0， ∴若a>0时，当x=－a b2 时， y 最小值=a b ac 442-；若a<0时，当x=－ab2 时， y 最大值=a b ac 442-.②判别式法：原函数可化为关于x 的二次方程ax 2+bx+c －y=0. ∵x 在全体实数取值时， ∴ △≥0即b 2－4a(c －y)≥0， 4ay ≥4ac －b 2.若a>0，y ≥a b ac 442-，这时取等号，则y 为最小值a b ac 442-；若a<0，y ≤a b ac 442-，这时取等号，则y 为最大值ab ac 442-.有时自变量x 定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用到临界点，一般用配方法方便.2. 用上述两种方法，可推出如下两个定理：定理一：两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大. 最大值是定值平方的四分之一.例如：两正数x 和y ， 如果x+y=10, 那么xy 的积有最大值，最大值是25.定理二：两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小. 最小值是定值的算术平方根的2倍.例如：两正数x 和y ，如果xy=16, 那么 x+y 有最小值，最小值是8. 证明定理一，可用配方法，也叫构造函数法.设a>0, b>0, a+b=k . (k 为定值).那么ab=a(k －a)=－a 2+ka=－(a －21k)2+42k .当a=2k时，ab 有最大值42k .证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法. 设a>0, b>0, ab=k (k 为定值)，再设 y=a+b. 那么y=a+ak, a 2－ya+k=0.（这是关于a 的二次议程方程） ∵ a 为正实数，∴△≥0. 即(－y)2－4k ≥0， y 2－4k ≥0. ∴y ≤－2k (不合题意舍去)； y ≥2k . ∴ y 最小值=2k .解方程组⎩⎨⎧==+.2k ab k b a ， 得a=b=k .∴当a=b=k 时，a+b 有最小值 2 k .3. 在几何中，求最大、最小值还有下列定理：定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值. 当这两边相等时，其和的值最大.定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值. 当这两边相等时，其和的值最小.定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.二、例题例1. 已知：3x 2+2y 2=6x, x 和y 都是实数，求：x 2+y 2 的最大、最小值.解：由已知y 2=2362xx -, ∵y 是实数， ∴y 2≥0.即2362x x -≥0， 6x －3x 2 ≥0， x 2－2x ≤0.解得 0≤x ≤2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，x 2+y 2=x 2+2362x x -=－21( x －3)2+29在区间0≤x ≤2中，当x=2 时，x 2+y 2有最大值 4. ∴当x=0时，x 2+y 2=0是最小值 .例2. 已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等. 求：这个矩形周长、面积的最小值. 解：用构造方程法.设矩形的长，宽分别为 a, b 其周长、面积的数值为k. 那么2(a+b)=ab=k.即 ⎪⎩⎪⎨⎧==+.21k ab k b a ，∴a 和b 是方程 x 2－21kx+k=0 的两个实数根. ∵a, b 都是正实数，∴△≥0. 即(－2k )2－4k ≥0. 解得k ≥16；或k ≤0 . k ≤0不合题意舍去. ∴当k ≥16取等号时，a+b, ab 的值最小，最小值是16. 即这个矩形周长、面积的最小值是16.例3. 如图△ABC 的边BC=a, 高AD=h, 要剪下一个 矩形EFGH ，问EH 取多少长时，矩形的面积最大？ 最大面积是多少？解：用构造函数法设EH=x, S 矩形=y, 则GH=xy . ∵△AHG ∽△ABC ，∴hxh a x y-= . ∴ y=4)2()(2ahh x h a h x h ax +--=-. aCE∴当x=2h时，y 最大值 =4ah .即当EH=2h时，矩形面积的最大值是4ah .例4. 如图已知：直线m ∥n ，A ，B ，C 都是定点，AB=a, AC=b, 点P 在AC 上，BP 的延长线交直线m 于D.问：点P 在什么位置时，S △PAB +S △PCD 最小？ 解：设∠BAC=α，PA=x, 则PC=b －x.∵m ∥n ，∴PA PCAB CD ＝. ∴CD=x x b a )(-S △PAB +S △PCD =21axSin α+21x x b a )(-(b －x) Sin α=21aSin α()222x x bx b x +-+=21aSin α(2x+)22b x b -. ∵2x ×x b 2=2b 2(定值)， 根据定理二，2x +x b 2有最小值.∴ 当2x =x b 2， x=b 221时，S △PAB +S △PCD 的最小值是 (2－1)abSin α. 例5.已知：Rt △ABC 中, 内切圆O 的半径 r=1. 求：S △ABC 的最小值.解：∵S △ABC =21ab ∴ab ＝2S △.∵2r=a+b －c, ∴c=a+b －2r. ∴a+b －2r=22b a + .两边平方，得 a 2+b 2+4r 2+2ab －4(a+b)r= a 2+b 2. 4r 2+2ab －4(a+b)r=0. 用r=1, ab=2S △ 代入， 得 4+4S △－4(a+b) =0. a+b=S △+1. ∵ab=2S △ 且a+b=S △+1.∴a, b 是方程x 2－(S △+1)x+2S △=0 的两个根.nmDa∵a,b 是正实数， ∴△≥0，即 [－(S △+1)]2－4×2S △ ≥0， S △2－6S △+1≥0 .解得 S △≥3+22或S △≤3－22. S △≤3－22不合题意舍去. ∴S △ABC 的最小值是3+22.例6.已知：.如图△ABC 中，AB=26+，∠C=30 . 求：a+b 的最大值.解：设 a+b=y , 则b=y －a. 根据余弦定理，得 (26+)2=a 2+(y －a)2－2a(y －a)Cos30写成关于a 的二次方程： (2+3)a 2－(2+3)ya+y 2－(8+43)=0. ∵a 是实数， ∴△≥0.即(2+3)2y 2－4(2+3)[y 2－(8+43)]≥0， y 2－(8+43)2 ≤0 .∴ －(8+43)≤y ≤(8+43). ∴a+b 的最大值是8+43.又解：根据定理三 ∵AB 和∠C 都有定值. ∴当a=b 时，a+b 的值最大.由余弦定理，(26+)2=a 2＋b 2－2abCos30可求出 a=b=4+23. ……… 三、练习1. x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 满足. x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=. x 1x 2x 3x 4x 5，那么. x 5的最大值是＿＿＿＿＿＿.2. 若矩形周长是定值20cm,那么当长和宽分别为____，____时，其面积最大，最大面积是______.3. 面积为100cm 2的矩形周长的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿.4. a, b 均为正数且a+b=ab,那么 a+b 的最小值 是________.5. 若x>0, 则x+x9的最小值是________. 6.如图直线上有A 、B 、C 、D 四个点.那么到A ，B ，C ，D 距离之和为最小值的点，位于＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其和的最小值等于定线段＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿..7. 如右图△ABC 中，AB=2，AC=3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ是 以AB ，BC ，CA 为边的正方形，则阴影部份的面积的和的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 8. 下列四个数中最大的是 ( )（A ） tan48 +cot48 ..(B)sin48 +cos48 . (C) tan48 +cos48 . (D)cot48 +sin48 . 9.已知抛物线y=－x 2+2x+8与横轴交于B ，C 两点，点D 平分BC ，若在横轴上侧的点A 为抛物线上的动点，且∠BAC 为锐角，则AD 的取值范围是__________10. 如图△ABC 中，∠C=Rt ∠，CA=CB=1，点P 在ABPQ ⊥BC 于Q.问当P 在AB 上什么位置时，S △APQ 最大？ 11. △ABC 中，AB=AC=a ，以BC 为边向外作等边 三角形BDC ，问当∠BAC 取什么度数时AD 最长？12. 已知x 2+2y 2=1, x,y 都是实数，求2x+5y 2的最大值、最小值.13. △ABC 中∠B=60，AC=1，求BA+BC 的最大值及这时三角形的形状. 14. 直角三角形的面积有定值k,求它的内切圆半径的最大值.15. D ，E ，F 分别在△ABC 的边BC 、AC 、AB 上，若BD ∶DC=CE ∶EA=AF ∶FA =k ∶(1－k) (0<k<1). 问k 取何值时，S △DEF 的值最小？16.△ABC 中，BC=2，高AD=1，点P ，E ，F 分别在边BC ，AC ，AB 上，且四边形PEAF 是平行四边形.问点P 在BC 的什么位置时，S PEAF 的值最大？C DA B AB参考答案1. 5.2. 5，5 25.3. 40cm4. 45. 66.BC 上，BC+AD.7. 最大值是9，∵S △=21×3×2×SinBAC, ∠BAC=90度时值最大. 8. (A). 9. 3<AD ≤910. P 在AB 中点时，S △最大值=81， S △=222x x -⋅x 与2－x 的和有定值， 当x=2－x 时，S △值最大.11. 当∠BAC=120度时，AD 最大，在△ABD 中，设∠BAD=α由正弦定理a Sin ain 230)30180(S AD ==--α，当150 －α=90 时， AD 最大. 12. 当x=52时，有最大值1029；当x=－1时，有最小值－2 (仿例3).13. 当a=c 时，a+c 有最大值2，这时是等边三角形. 14. 内切圆半径的最大值r=(2－1)△S (仿例6).15. 当 k=21时，S △DEF =41S △ABC ，16.当PB=1时，S 有最大值21. 16. 当点P 是BC 中点时，面积最大值是12.。

初中数学竞赛专题选讲一元二次方程的根一 、内容提要1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的. 根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数.3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件 整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数.特殊的例子有：C=0⇔x 1=0 ， a+b+c=0⇔x 1=1 ， a －b+c=0⇔x 1=－1.二、例题例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.证明 （用反证法）设 两个方程都没有两个不相等的实数根，那么△1≤0和△2≤0.即⎪⎩⎪⎨⎧++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b由①得b ≥41，b+1 ≥45代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0，即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数.例2. 已知首项系数不相等的两个方程：（a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数)有一个公共根. 求a, b 的值.解：用因式分解法求得：方程①的两个根是 a 和12-+a a ； 方程②两根是b 和12-+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b.∴公共根是a=12-+b b 或b=12-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3.∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－； 或⎩⎨⎧=-1131b a ＝－. 解得⎩⎨⎧=42b a ＝； 或⎩⎨⎧==24b a . 又解： 设公共根为x 0那么⎪⎩⎪⎨⎧=+++--=+++--　②（　①0)2()2()10)2()2()1(22202220b b x b x b a a x a x a 先消去二次项： ①×（b －1）－②×（a －1） 得［－（a 2+2）(b －1)+(b 2+2)(a －1)］x 0+(a 2+2a)(b －1)－(b 2+2b)(a －1)=0.整理得 （a －b ）(ab －a －b －2)(x 0－1)=0.∵a ≠b∴x 0＝1； 或 (ab －a －b －2)＝0.当x 0＝1时，由方程①得 a=1,∴a －1=0，∴方程①不是二次方程.∴x 0不是公共根.当(ab －a －b －2)＝0时， 得(a －1)(b －1)=3 ……解法同上.例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的两根 差相等.求：m+n 的值.解：方程①两根差是21x x -＝221)x x -（＝212214)(x x x x -+＝n m 42-同理方程②两根差是21y y -＝m n 42- 依题意，得n m 42-＝m n 42-.两边平方得：m 2－4n=n 2－4m.∴（m －n ）(m+n+4)=0∵m ≠n ，∴ m+n+4＝0， m+n ＝－4.例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根n m （m, n 是互质的整数）. 那么a(n m )2+b(nm )+c=0, 即an 2+bmn+cm 2=0. 把m, n 按奇数、偶数分类讨论，∵m, n 互质，∴不可能同为偶数.① 当m, n 同为奇数时，则an 2+bmn+cm 2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；② 当m 为奇数, n 为偶数时，an 2+bmn+cm 2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；③ 当m 为偶数, n 为奇数时，an 2+bmn+cm 2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.综上所述不论m, n 取什么整数，方程a(n m )2+b(nm )+c=0都不成立. 即 假设方程有一个有理数根是不成立的.∴当a, b, c 都是奇数时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.例5. 求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A的周长比和面积比都等于k (k ≥1).证明：设矩形A 的长为a, 宽为b ，矩形B 的长为c, 宽为d.根据题意，得 k abcd b a d c ==++. ∴c+d=(a+b)k, cd=abk.由韦达定理的逆定理，得c, d 是方程z 2－(a+b)kz+abk=0 的两个根.△ ＝［－（a+b ）k ］2－4abk＝（a 2+2ab+b 2）k 2－4abk=k ［(a 2+2ab+b 2)k －4ab ］∵k ≥1，a 2+b 2≥2ab,∴a 2+2ab+b 2≥4ab ，(a 2+2ab+b 2)k ≥4ab.∴△≥0.∴一定有c, d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k(k ≥1).例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0.解：①用因式分解法求得两个根是：x 1=112+k ， x 2=16－k . 由x 1是整数，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.由x 2是整数，得k －1=±1, ±2, ±3, ±6.它们的公共解是：得k=0, 2, －2, 3, －5.答：当k=0, 2, －2, 3, －5时，方程①有两个整数解.②根据韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=+-=--=+k k k k x x k k k k x x 222221221 ∵x 1, x 2, k 都是整数，∴k=±1，±2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.）把k=1,－1, 2, －2， 分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2 时适合.答：当k 取2和－2时，方程②有两个整数解.三、练习1. 写出下列方程的整数解：① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿x=0＿＿.② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿x=1＿＿.③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿x=-1＿.2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿5/4＿＿.3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿1＿＿.4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0. 那么yx 11+＝＿＿1＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.） 5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系是：＿＿＿＿＿9q=2p2＿＿＿＿＿＿.6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿一正一负＿＿＿.7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根的个数是（ A ）.(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？a=1b=-1/29. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（ C ）(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－110. 已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是：＿＿＿＿a 不等于 b ＿＿＿＿＿＿＿.11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.M=-1 b=212. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.试求a, b 的值或取值范围.13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等于s 3.求证：as 3+bs 2+cs 1=0.14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0的两个实数根.求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2.16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m 的取值范围是 （ ）（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43<m ≤1 （D ）43≤m ≤118.方程7x2－(k+13)x+k2－k－2=0 (k是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k的取值范围是( )（A）3<k<4(B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1（D）无解参考答案1. ①0， ②1， ③－12. 03. 1（舍去－2）4. 52 5. 9q=2p 2 6. 一正一负 7. D 8. a=1,b=－0.5 9. C10. a+b+1=0, a ≠b 11. m=－1，b=2 12.⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤=.1,241,1b a b a ： 13. 左边＝a(x 13+x 23)+b(x 12+x 22)+c(x 1+x 2)=……14. 用反证法，设x 1<0,x 2<0,由韦达定理推出矛盾（m<－1,m>1） 15. 由韦达定理,把左边化为 p, q16. x 2±3x+2=0 17. C 18. C初中数学竞赛专题选讲面积法一、内容提要1. 因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以互相转换。

专题09 特殊与一般——二次函数与二次方程阅读与思考二次函数的一般形式是()02≠++=a c bx ax y ，从这个式子中可以看出，二次函数的解析式实际上是关于x 的二次三项式，若令y =0，则得02=++c bx ax这是一个关于x 的一元二次方程，因此，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，表现为： 1.当0>∆时，方程有两个不相等实数根，抛物线与x 轴有两个不同的交点，设为A (1x ，0)，B (2x ，0)，其中1x ，2x 是方程两相异实根，aacb AB 42-=;2.当0=∆时，方程有两个相等实数根，抛物线与x 轴只有一个交点；3.当0<∆时，方程没有实数根，抛物线与x 轴没有交点．由于二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，所以，善于促成二次函数问题与二次方程问题相互转化，是解相关问题的常用技巧．例题与求解【例1】（1）抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，若ABC ∆是直角三角形，则ac = .（全国初中数学联赛试题）（2）为使方程b x x +=+-311322有四个不同的实数根，则实数b 的取值范围为 . 解题思路：对于（1），ABC ∆为直角三角形，则A ，B 两点在原点的两旁，运用根与系数关系及射影定理解题，对于（2），作出函数图象，借助图象解题．【例2】设一元二次方程0622=-++k kx x 的根分别满足下列条件：①两根均大于1；②一根大于1，另一根小于1；③两根均大于1且小于4．试求实数k 的取值范围．解题思路：因为根的表达式复杂，故应把原问题转化为二次函数问题来解决，作出函数图象，借助图象找制约条件．【例3】如果抛物线()1122++-+-=m x m x y 与x 轴交于A ，B 两点，且A 点在x 轴的正半轴上，B 点在x 轴的负半轴上，OA 的长是a ，OB 的长是b ， （1）求m 的取值范围；（2）若1:3:=b a ，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式； （3）设（2）的抛物线与y 轴交于点C ，抛物线的顶点是M ，问：抛物线是否存在一点P ，使得PAB ∆面积等于BCM ∆的面积的8倍？若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由．（南京市中考试题）解题思路：由题设条件得相应二次方程两实根的符号特征，两实根的关系，这是解本例的突破口．【例4】 设p 是实数，二次函数p px x y --=22的图像与x 轴有2个不同的交点A ()0,1x ，B ()0,2x ． （1）求证：032221>++p x px ；（2）若A ，B 两点之间距离不超过32-p ，求p 的最大值．（全国初中数学联赛试题）解题思路：根据题意，方程022=--p px x 有两个不同的实数根1x ，2x ，于是0>∆，综合运用判别式、根与系数关系、根的方程、不等式来解．【例5】是否存在这样的实数k ，使得二次方程()()023122=+--+k x k x 有两个实数根，且两根都在2与4之间？如果有，试确定k 的取值范围；如果没有，试述理由．（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：由于根的表示形式复杂，因此，应把原问题转化为二次函数问题来讨论，即讨论相应二次函数交点在2与4之间，k 应满足的条件，借助函数图象解题．【例6】设m ，n 为正整数，且2≠m .如果对一切实数t ，二次函数()mt x mt x y 332--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离不小于n t +2，求m ，n 的值．（全国初中数学联赛试题）解题思路：由()0332=--+mt x mt x ，得mt x x =-=21,3，由条件得n t mt +≥+23，因此不等式对任意实数t 都成立，故将问题转化为判别式结合正整数求解．能力训练A 级1．已知二次函数2242m mx x y +-=的图象与x 轴有两个交点A ，B ，顶点为C ，若△ABC 的面积为24，则m = .2．把抛物线()213--=x y 向上平移k 个单位，所得抛物线与x 轴相交于点A (1x ，0)和B (2x ，0)，已知9262221=+x x ，那么平移后的抛物线的解析式为 . （杭州市中考试题） 3．抛物线()02≠++=a c bx ax y 的图象如图所示．（1）判断abc 及ac b 42-的符号：abc 0 ，ac b 42- 0； .（2）当OB OA =时，c b a ,,满足的关系式为________________ .4．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过（-1，0）和（0，-1）两点，则a 的取值范围为 . （黑龙江省中考试题）5．若关于x 的方程0322=+-m x x 的一个根大于-2，且小于-1，另一个根大于2且小于3，则m 的取值范围是（ ）A. 89<m B.8914<<-m C. 59<<-m D. 214-<<-m （天津市竞赛试题） 6．设函数()()5412+-+-=m x m x y 的图象如图所示，它与x 轴交于A ，B 两点，且线段OA 与OB 的长的比为1:4，则m 的值为（ ）A. 8B.-4C. 11D. -4 或117．已知二次函数c bx ax y ++=2与x 轴相交于两点A (1x ，0)，B (2x ，0)，其顶点坐标为P⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--44,22b c b ，AB=21x x -，若1=∆APB S ，则b 与c 的关系是（ ） A. 0142=+-c b B. 0142=--c bC. 0442=+-c bD. 0442=--c b（福州市中考试题）8．设关于x 的方程()0922=+++a x a ax 有两个不等的实数根1x ，2x ，且1x ＜1＜2x ，那么a的取值范围是（ ）A. 5272<<-a B. 52>a C. 72-<a D. 0112<<-a（全国初中数学竞赛试题）第4题图第3题图第6题图9．已知二次函数()()628222+++-=m x m x y ．（1）求证：不论m 取任何实数，此函数的图象都与x 轴有两个交点，且两个交点都在x 轴的正半轴上；（2）设这个函数的图象与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于A 点，若△ABC 的面积为48，求m 的值． （徐州市中考试题）10．已知抛物线m mx x y 223212--=交x 轴于A (1x ，0)，B (2x ，0)，交轴于C 点，且1x ＜0＜2x ，()1122+=+CO BO AO（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴的下方是否存在着抛物线上的点P ，使∠APB 为锐角？若存在，求出P 点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由．（武汉市中考试题）11．已知抛物线m m mx x y -++=2218381与x 轴交于A (1x ，0)，B (2x ，0) (1x ＜2x )两点，与y 轴交于点C (0，b )，O 为原点．（1）求m 的取值范围．（2）若81>m ，且OC OB OA 3=+，求抛物线的解析式及A ，B ，C 的坐标； （3）在（2）情形下，点P ，Q 分别从A ，O 两点同时出发（如图）以相同的速度沿AB ，OC 向B ，C 运动，连接PQ 与BC 交于M ，设AP =k ，问：是否存在k 值，使以P ，B ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求所有k 值；若不存在，请说明理由．（黄冈市中考试题）12．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？（武汉市中考试题）B 级1．已知抛物线722-++=m mx x y 与x 轴的两个交点在（1，0）两旁，则m 的取值范围为 ____________.2．设抛物线()452122++++=a x a x y 的图象与x 轴只有一个交点，则618323-+a a 的值为 ____________.（全国初中数学联赛试题）3．设m 是整数，且方程0232=-+mx x 的两根都大于59-而小于73，则m = .（全国初中数学联赛试题）4．已知抛物线12++=kx x y 与x 轴的正方向相交于A ，B 两点，顶点为C ，△ABC 为等腰直角三角形，则k = .5．如图，已知抛物线q px x y ++=2与x 轴交于A ，B 两点，交y 轴负半轴于C 点，∠ACB =90°，且OCOB OA 211=-，则△ABC 的外接圆的面积为 .yxCBAO6．已知抛物线12-++=k kx x y ，（1）求证：无论k 为何实数，抛物线经过x 轴上的一定点；（2）设抛物线与y 轴交于C 点，与x 轴交于A (1x ，0)，B (2x ，0)，两点，且满足：1x ＜2x ，21x x <，6=∆ABC S .问：过A ，B ，C 三点的圆与该抛物线是否有第四个交点？试说明理由，如果有，求出其坐标．（武汉市中考试题）7．已知抛物线q px x y ++=2上有一点()00,y x M 位于x 轴下方.（1）求证：已知抛物线必与x 轴有两个交点A (1x ，0)，B (2x ，0)，其中1x ＜2x ； （2）求证：1x ＜0x ＜2x ;（3）当点M 为（1，-2）时，求整数1x ，2x . （《学习报》公开赛试题）8．随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高，某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y 1与投资量x 成正比例的关系，如图1所示；种植花卉的利润y 2与投资量x 成二次函数关系，如图2所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润y 1与y 2关于投资量x 的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获得的最大利润是多少？（南宁市中考试题）图2图19．已知以x 为自变量的二次函数23842---=n nx x y ，该二次函数图象与x 轴两个交点的横坐标的差的平方等于关于x 的方程()0)45)(1(2672=++++-n n x n x 的一整数根，求n 的值．（绍兴市竞赛试题）10．如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A ，O ，B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 周长最小？若存在，求点出C 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由．（深圳市中考试题）11．如图1，抛物线32++=bx ax y 经过两点A （-3，0），B （-1，0）两点. （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M ，直线92+-=x y 与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D ，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上，若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q (0，3)作不平行于x 轴的直线交抛物线于E ，F 两点，问在y 轴的负半轴上是否存在点P ，使得△PEF 的内心在y 轴上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（武汉市中考试题）12．已知二次函数c bx x y -+=2的图象经过两点P (1，a )，Q (2，10a ) （1）如果a ，b ，c 都是整数，且a b c 8<<，求a ，b ，c 的值；（2）设二次函数c bx x y -+=2的图象与x 轴的交点为A ，B ，与y 轴的交点为C ，如果关于x 的方程02=-+c bx x 的两个根都是整数，求△ABC 的面积．（全国初中数学联赛试题）图2图1专题09特殊与一般 ——二次函数与二次方程例1（1）-1 提示：BO AO OC•=2，即.212ac x x c == (2)令,31,132221b x y x x y +=+-=当01=y 时，01322=+-x x ，∴23±=x∴()().0,23,0,23+-Q P①若直线1l 过P 点，此时两图象有三个交点，再向上移将有四个交点，∴0=(),2331b +-则;363--=b ②若直线2l 与抛物线PQ 部分相切，恰有三个交点， ∴⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=,31,132221b x y x x y 整理得 (),014335,0133522=+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆=++-b b x x 则.1213336,1213<<-∴=b b 例2（1）如图1，设()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⨯->≥--=∆-++==,1122,01,0644,6222kf k k k kx x x f y ∴.37-≤<-k(2)如图2，(),01<f 则.7-<k（3）如图3，()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<>>>∆,4221,04,010kf f ，则.3722-≤<-k322++-=x x y ，1=S点存在,P 点的坐标是:(1,4),(221±，一4). 例4提示:.,2,04421212p x x p x x p p -==+>+=∆(1)原式=()().0444232222121>+=++=+++p p p x x p p p px px(2)()3244422122112-≤+=-+=-=p p p x x x x x x AB 两边平方，解得169≤p . 169=p 符合题意，故p 的最大值为169. 例5这样的k 值不存在，理由如下:设()()()23122+--+==k x k x x f y 并作出如图所示的图象，则()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-=-<>+--+=>+--+=≥++-=∆.42122,023124164,023122420234122k a b k k f k k f k k ，这个不等式组无解. 例6 由,23n t mt +≥+得()(),2322n t mt +≥+即()().09464222≥-+-+-n t n m t m 由题意知，,042≠-m 且上式对一切实数t 恒成立，故()()()⎩⎨⎧≤----=∆>-,094446042222n m n m m 即()⎩⎨⎧≤->,064,22mn m 得⎩⎨⎧==2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m A 级1.2± 2.35632-+-=x x y 提示:设平移后的抛物线的解析式为().132k x y +--= 3.（1）< > (2)ac -b +1=0 4.0<a <1 提示:当x =1时,y <0. 5. C 提示:设(),322m x x x f +-=，由已知画出y = f (x )的大致图象，知()(),01,02<->-f f ()(),03,02><f f 联立解得.59-<<-m 6.C 7.D 8.D 提示：,09212=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++x a x 记,9212+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x a x y 则这个抛物线开口向上，由题意得x =1时, y <0. 9. (1)证明略 (2)2±=m 10.(1)m =1,223212--=x x y (2) 存在这样的P 点，其横坐标为0x ，使∠APB 为锐角.提示:A (一1,0),B (4,0),C (0，一2). ,222AB BC AC =+△ABC 为直角三角形，过A ，B ，C 三点作⊙1O ，则AB 为⊙1O 的直径，C 点关于直线23=x 的对称点M 是⊙1O 与抛物线的另一交点，M （3，-2），.300<<x 11.(1)181>m (2)()()().4,0,0,4,0,8.423812C B A x x y --++= (3)当PQ ∥AC 时，则,QO CO PO AP =即,48k k k k -=-解得;38=k 当PQ ∥AC 时，∠CAB =∠PMB 时，同理可求得,2=k 故存在k 符合题目条件，38=k 或2时，所得三角形与△ABC 相似.12.（1）()()2100110104050102102++-=-+-=x x x x y （150≤<x 且x 为整数）（2）()∴<-=+--=,010.5.24025.5102a x y 当x =5.5时，y 有最大值2402.5.∵150≤<x 且x 为整数，当x =5时，50+x =55,y =2400（元）；当x =6时，50+x =56,y =2400（元）.∴当售价定为每件55元或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是 2 400元.(3)当y =2 200时，,2200210011010-2=++x x 解得∴==.10,121x x 当x =1时，50+x =51；当x =10时，50+x =60.∴当售价定为每件51元或60元，每个月的利润恰为2 200元; 当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元(或当售价分别为51,52,53,54,55,56,57,58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）．1．m ＜2 提示：f (1)＜0.2. 5 796 提示：a 2－a －1＝0，a 4＝(a ＋1)2＝3a ＋2，a 8 ＝(3a ＋2)2 ＝21a ＋13，a 16＝(21a ＋13)2 ＝987a ＋610，a 18＝（987a ＋ 610）（a ＋1）＝987a 2＋1597a ＋610＝2584a ＋1597，a －6＝1a 4•a 2＝18a ＋5.3. 4 提示：由题意得3×（－95）2＋m （－95）－2＞0，3×（37）2＋m （37）－2＞0，－95＜－m 6＜37.解得3821＜m ＜41345． 4．－2 25. 2π 提示：设A (x 1,0)，B (x 2,0),OA ＝―x 1，OB ＝x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－q ＝q 2－p q 2＝2|q | ,解得⎩⎨⎧q ＝－1p ＝－2.y ＝x 2－2x －1,AB ＝|x 2―x 1|＝2 2.6．(1)抛物线恒过x 轴上一定点(－1，0)． (2)过A ，B ，C 三点的圆与抛物线有第四个交点D ．∵|x 1|＜| x 2|，C 点在y 轴上，C 不是抛物线顶点，x 1＝－1,x 2＞1，即x 2＝1－k ＞1，得k ＜0，由S △ABC ＝6得k ＝－2，∴y ＝x 2－2x －3，其对称轴为x ＝1，根据对称性，D 点坐标(2，－3）．， 7．(1)由y 0＝x 02＋Px 0＋q ＝（x 0＋p 2）2－p 2－4q 4，得p 2－4q ＝4 (x 0＋p 2）2－4 y 0≥―4y 0＞0. (2)将p ＝－（x 1＋x 2）,q ＝x 1•x 2,代入y 0＝x 02＋Px 0＋q ＜0,得x 02－(x 1＋x 2)x 0＋x 1x 2＜0,即（x 0－x 1）（x 0－x 2）＜0.证得x 1＜x 0＜x 2. (3)⎩⎨⎧x 1＝0x 2＝3或⎩⎨⎧x 1＝－1x 2＝2. 8.(1)y 1＝2x ,y 2＝12x 2.(2)设种植树木的资金投入为x 万元，那么种植花卉的资金投入为（8―x ）万元，两项投入所获得的总利润为y 万元，依题意，得y ＝y 1＋y 2＝2x ＋12（8－x ）2＝12x 2－6x ＋32＝12(x －6)2＋14.∴当x ＝6时，y 最小＝14．因此，这位专业户至少获利14万元，∵0≤x ≤8，抛物线的对称轴为x ＝6，当0≤x ＜6时，y 随x 的增大而减小，所以x ＝0时，y 最大＝32；当6≤x ≤8时，y 值随x 的增大而增大，所以x ＝8时，y 最大＝16．综上可知，这位专业户能获取的最大利润是32万元。

初中数学不等式的证明中考知识点初中数学不等式的证明中考知识点是什么初中数学不等式的证明中考知识点证明不等式时，从命题的条件出发，利用公理、定理、法那么等。

1、比拟法包括比差和比商两种方法。

2、综合法逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，综合法又叫顺推证法或因导果法。

3、分析法证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用的一些根本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法。

4、放缩法证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，到达证明的目的，这种方法称为放缩法。

5、数学归纳法用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。

在证明第二步时，一般多用到比拟法、放缩法和分析法。

6、反证法证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和条件结合在一起，利用定义、定理、公理等根本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。

上面的六点方法指的就是初中数学不等式的证明方法，相信大家都掌握了吧。

初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容，希望们很好的掌握下面的内容。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。

初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。

初等不等式的证明方法
初等不等式的证明方法有以下几种：
1. 直接法：根据不等式的条件和要求，将不等式的两边进行运算，最终可以证明不等式的成立。

2. 数学归纳法：对于一些特殊的不等式，可以使用数学归纳法来证明。

首先验证不等式成立的初始情况，然后假设当k为正整数时不等式成立，然后证明当k+1时不等式也成立。

3. 反证法：假设不等式不成立，通过推理和推导可以得到矛盾的结论，从而证明原始假设的不成立，即不等式成立。

4. 分类讨论法：将不等式的条件进行分类讨论，对于每一种情况分别进行证明，最终得到整体的证明结果。

5. 差分法：通过差分的方式将不等式转化为前后差的形式，然后利用差分的性质进行证明。

这些方法可以根据不同的不等式和条件的特点进行选择和运用。

同时，还可以结合数学的基本原理和性质，如数学的基本运算性质、函数性质等，来进行不等式的证明。

初中数学竞赛精品标准教程及练习53条件等式的证明条件等式的证明在初中数学竞赛中是一类经典且常见的问题。

以下是一份精品标准教程及练习，适用于初中生学习条件等式的证明。

一、条件等式的证明方法：1.利用等式的性质：包括等式的基本性质、对称性、平方性、相反数相加等性质。

通过利用等式的性质，将已知条件转化为要证明的等式形式。

2.代数运算：通过代数运算，将等式两边进行变形，逐步推导出要证明的等式形式。

3.假设法：在已知条件中引入一个未知量，通过假设该未知量的取值，得到一系列结果，最后证明这些结果都满足已知条件，即可得到要证明的等式。

4.数学归纳法：对于具有递归关系的等式或不等式，可以采用数学归纳法进行证明。

二、条件等式的练习题：练习1：设x和y是两个不等于0的实数，且满足\[xy=1\]，证明：\[x^2+y^2\geq 2\]。

解析：首先，我们可以将要证明的等式进行变形：\[x^2+y^2-2\geq0\]。

然后，我们可以利用等式\[xy=1\]的性质进行代入变形。

将\[y=\frac{1}{x}\]代入\[x^2+y^2-2\geq 0\]，得到\[x^2+\frac{1}{x^2}-2\geq 0\]。

再进行整理得到\[x^4-2x^2+1\geq0\]。

接下来，我们可以使用因式分解法进行证明。

将\[x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2\geq 0\]，由于平方的结果必然大于等于0，所以不等式成立。

练习2：对于任意实数a、b、c，证明无论a、b、c取何值，都有\[a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\]。

解析：首先，我们可以将要证明的等式进行变形：\[a^3+b^3+c^3-3abc-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0\]。

然后，我们可以通过代数运算进行证明。

将等式进行展开和整理得到：\[a^3+b^3+c^3-3abc-a^3-b^3-c^3-b^2a-bc^2-c^2a+a^2b+ab^2+ac^2=(a^2b+ab^2-2abc)+(a^2c+ac^2-2abc)+(ab^2+b^2c-2abc)=ab(a-b)+ac(a-c)+bc(b-c)\]。

初中数学竞赛专题培训恒等式的证明代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析．两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．1．由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)．例1 已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．分析将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边．说明本例的证明思路就是“由繁到简”．例2 已知1989x2=1991y2=1993z2，x＞0，y＞0，z＞0，且说明本例的证明思路是“相向趋进”，在证明方法上，通过设参数k，使左右两边同时变形为同一形式，从而使等式成立．2．比较法a=b(比商法)．这也是证明恒等式的重要思路之一．例3 求证：分析用比差法证明左-右=0．本例中，这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b代a，c代b，a代c，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．说明本例若采用通分化简的方法将很繁．像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧．全不为零．证明：(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．说明本例采用的是比商法．3．分析法与综合法根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论．说明本题采用的方法是典型的分析法．例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．说明本题采用的方法是综合法．4．其他证明方法与技巧求证：8a+9b+5c=0．说明本题证明中用到了“遇连比设为k”的设参数法，前面的例2用的也是类似方法．这种设参数法也是恒等式证明中的常用技巧．例8 已知a+b+c=0，求证2(a4+b4+c4)＝(a2+b2+c2)2．分析与证明用比差法，注意利用a+b+c=0的条件．说明本题证明过程中主要是进行因式分解．分析本题的两个已知条件中，包含字母a，x，y和z，而在求证的结论中，却只包含a，x和z，因此可以从消去y着手，得到如下证法．说明本题利用的是“消元”法，它是证明条件等式的常用方法．例10 证明：(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．分析与证明此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．说明由本例可以看出，换元法也可以在恒等式证明中发挥效力．例11 设x，y，z为互不相等的非零实数，且求证：x2y2z2=1．分析本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的所以x2y2=1．三元与二元的结构类似．说明这种欲进先退的解题策略经常用于探索解决问题的思路中．总之，从上面的例题中可以看出，恒等式证明的关键是代数式的变形技能．同学们要在明确变形目的的基础上，深刻体会例题中的常用变形技能与方法，这对以后的数学学习非常重要．练习五1．已知(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0，求证：2b=a+c．2．证明：(x+y+z)3xyz-(yz+zx+xy)3=xyz(x3+y3+z3)-(y3z3+z3x3+x3y3)．3．求证：5．证明：6．已知x2-yz=y2-xz=z2-xy，求证：x=y=z或x+y+z=0．7．已知an-bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求证：(cm-ap)2=(bp-cn)(an-bm)．1.解:原式=((a-b)-(b-c))^2=02.证明：即证xyz[(x+y+z)3-(x3+y3+z3)]=(yz+zx+xy)3-（y3z3+z3x3+x3y3）展开得：xyz[(x3+y3+z3+3x2y+3xy2+3xz2+3y2z+3yz2+6xyz)-（x3+y3+z3）]=（y3z3+z3x3+x3y3+3y2z3x+3z3x2y+3y2zx2+3z2x3y+3zx3y2+6y2z2x2）-（y3z3+z3x3+x3y3），即（3x3y2z+3x2y3z+3x2z3y+3y3z2x+3y2z3x+6x2y2z2=3y2z3x+3z3x2y+3y 2zx2+3z2x3y+3zx3y2+6y2z2x23.证明：裂项即可。

初中数学竞赛重要定理、公式及结论陈氏版平面几何篇【三角形面积公式（包括海伦公式）】C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++= 【斯特瓦尔特定理】设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．【托勒密定理】圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ．【蝴蝶定理】AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，则MP =QM ．【勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）】(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍．(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．【中线定理（巴布斯定理）】设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：222222a c b m a -+=． 【垂线定理】2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥ 高线长：C b B c A abc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---= 【角平分线定理】三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 【正弦定理】R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 【余弦定理】C ab b a c cos 2222-+= A cb b c a cos 2222-+=B ac c a b cos 2222-+=【张角定理】ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin 【圆周角定理】同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．【弦切角定理】弦切角等于夹弧所对的圆周角．【圆幂定理】（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）【射影定理（欧几里得定理）】直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

证明等式成立的方法
证明等式成立的方法主要有以下几种：
1. 直接证明法：直接证明法是最常用的证明等式成立的方法。

它通过逐步推导，将等式左侧转化为等式右侧，或将等式右侧转化为等式左侧，从而证明两边相等。

在证明过程中需要注意每一步的合理性和正确性。

2. 数学归纳法：数学归纳法是一种常见的证明等式成立的方法，通常用于证明对于所有正整数n，某个等式成立。

它分为两个步骤：首先证明当n=1时等式成立；其次假设当n=k时等式成立，证明当
n=k+1时等式也成立。

3. 反证法：反证法是一种常用的证明方法，它假设等式不成立，然后通过推导得出矛盾，证明假设不成立，从而证明等式成立。

这种方法通常用于证明条件型的等式。

4. 构造法：构造法是一种证明等式成立的方法，它通过构造出一个满足等式的例子来证明等式成立。

例如，可以通过构造具体数字或图形，来证明等式的正确性。

总之，证明等式成立的方法各有优缺点，需要根据具体情况选择合适的方法。

无论用哪种方法，都需要严谨地推导和证明，确保每一步的正确性和合理性。

条件等式的证明（二）
单墫
【期刊名称】《初中生数学学习：初三版》
【年(卷),期】2003(000)004
【总页数】2页(P1-2)
【作者】单墫
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.利用琴生不等式证明一类条件不等式 [J], 王洪斌
2.构造函数搭桥开路运用性质破关夺旗——用Jensen不等式证明一类条件“和为1”的分式不等式 [J], 赵洪君
3.构造条件等式证明不等式例谈 [J], 有名辉
4.一个条件等式派生的不等式在证明竞赛不等式试题中的运用 [J], 陈建兵;邹守文
5.两类二元条件对称不等式的证明 [J], 邹生书;应海波
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

关于等式与不等式的基本证明一、考试内容（一）介值定理介值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，且()()f a f b ≠，对于(),()f a f b 之间的任一个数C ， ),(b a ∈∃ξ，使()f C ξ=．（,a b ξ≠） 介值定理推论1（零点定理）：若)(x f 在],[b a 上连续，且()()0f a f b <， 则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ=．（,a b ξ≠） 介值定理推论2（零点定理）：若)(x f 在(,)a b 内连续，且()()0f a f b +-<， 则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ=．（,a b ξ≠）介值定理推论3（零点定理）：若)(x f 在(,)-∞+∞内连续，且lim ()lim ()0x x f x f x →-∞→+∞<，则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ=．（,a b ξ≠）介值定理推论4：若)(x f 在],[b a 上连续， min ()f x m =，max ()f x M =，且M m ≠， 对于,m M 之间的任一个数C ，则),(b a ∈∃ξ，使()f C ξ=．（ξ可能取到a 或b ） （二）代數基本定理：任何一個非零的一元n 次实系数多項式，都至多有n 個实数零点． （三）积分中值定理定积分中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，则(,)a b ξ∃∈，使()()()baf x dx f b a ξ=-⎰．定积分中值定理推论1：设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，且()g x 在],[b a 上不变号， 则(,)a b ξ∃∈，使⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ．对于定积分中值定理及其推论1，ξ可能取到a 或b ． （四）微分中值定理罗尔中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且()()f a f b =， 则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ'=．罗尔中值定理的推广形式1：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)(x f 有2n ≥个不同的零点，则'()f x 在),(b a 内至少存在1n -个不同的零点．罗尔中值定理的推广形式2：若)(x f 在),(b a 内可导，且()()f a A f b +-==， 则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ'=．罗尔中值定理的推广形式3：若)(x f 在[,)a +∞内连续，在(,)a +∞内可导， 且lim ()()x f x f a →+∞=，则(,)a ξ∃∈+∞，使()0f ξ'=．罗尔中值定理的推广形式4：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且'()0f x ≠， 则)(x f 在),(b a 内为单调函数．拉格朗日中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导， 则),(b a ∈∃ξ，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-． （五）不等式定理凹凸性不等式定理：若()()0,f x ''<>则()()()()22f x f y x yf ++≤≥．积分不等式定理：若()()f x g x ≥，则()()b baaf x dxg x dx ≥⎰⎰（a b <），但反之不然． 积分估值定理：若()f x 在[,]a b （a b <）上连续， 则min max ()()()()()baf x b a f x dx f x b a -≤≤-⎰．积分绝对值不等式定理：()()bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰（a b <）．二、典型例题题型一 恒等式证明主要方法：求导法、换元法、反证法例1、求证：（1）()0()()()(),f x a T Taf x f x T f x dxf x dx +=+=⎰⎰连续（2）()0()()()()f x nT Tf x f x T f x dxn f x dx =+=⎰⎰连续．提示：（1）令0()()(),a T TaF a f x dx f x dx +=-⎰⎰a R ∈用求导法，这比用换元法方便（2）令0()()()nT T G n f x dx n f x dx =-⎰⎰，用求导法错误，因n Z ∈,用换元法方便111(1)0()()()()()n n n x kT u nT k T T T TkTk k k f x dx f x dx f kT u du f x dx n f x dx ---=++=====+==∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰．例2、设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(≥x f ，若0)(=⎰badx x f ，则在],[b a 上，0)(=x f ．证明：用反证法，假设0)(),,(00>∈x f b a x ，则),(),(00b a x x ⊂+-∃δδ)0(>δ0)(>x f ，则⎰⎰+-∈>=≥+-bax x x x f dxx f dx x f ),(,0)(2)()(0000δδζξδδδ积分中值定理.这与0)(=⎰badx x f 矛盾，故原式得证．题型二 方程根的存在性与中值问题主要方法：介值定理、微积分中值定理、反证法（1）)(x f 在],[b a 或),(b a 上连续，则()f x ⎧⎨⎩直接对使用介值定理利用原函数构造辅助函数，用中值定理解决例1、设)(x f 在],[b a 上连续，且0,,><<<q p b d c a ，求证：方程)()()()(d qf c pf x f q p +=+在),(d a 内至少有一根． 提示：取)()()()()(d qf c pf x f q p x F --+=在],[d c 上用零点Th ．例2、设)(x f 在),(+∞-∞上连续，且0)(lim =∞→xx f x ，求证：),(+∞-∞∈∃ξ使0)(=+ξξf ．证明：设x x f x F +=)()(，则)(x F 在),(+∞-∞上连续，+∞=+=+∞→+∞→])(1[lim )(lim xx f x x F x x ，01>∃x ，使0)(1>x F 同理，由,)(lim -∞=-∞→x f x ∴02<∃x ，使0)(2<x F故，)(x F 在],[21x x 上满足零点定理，因而，原题得证．例3、)(x f 在],[b a 上连续，0],,[>∈i i t b a x ),,2,1(n i =，且11=∑=ni it，求证：],[b a ∈∃ξ使∑==ni i ix f tf 1)()(ξ．（此为1{()}ni f x 的加权平均值） 提示： ()m f x M ≤≤， 有∑∑∑====≤≤=n i ni i ni i iiM Mt x f tmt m 111)(．事实上，对于定积分中值定理的证明同上，111()b b ba a am mdx f x dx Mdx M b a b a b a =≤≤=---⎰⎰⎰则(,)a b ξ∃∈，使1()()ba f f x dxb a ξ=-⎰．（此为()f x 在],[b a 上的平均值）例4、设k a 是满足012)1(1=--∑=nk k kk a 的实数，求证：∑==-nk k x k a 10)12cos(在)2,0(π内至少有一实根． 提示：令1'()cos(21)n k k F x a k x ==-∑，构造∑=--=nk kk xk a x F 112)12sin()(在]2,0[π上用罗尔．例5、设)(x f y =为]1,0[上的任一连续函数，且⎰⎰=101)()(dx x xf dx x f求证：0)1)((=-x x f 在)1,0(内至少有一根． 提示：令'()()(1)F x f x x =-，构造⎰-=1)1)(()(xdt t t f x F 在]1,0[上用罗尔定理．例6、设)(x f y =为]0,1[-上的任一连续函数，记)(x f 在]0,1[-上的平均值为A ， 求证：)0,1(-∈∃ξ，使A f dt t f e =+⎰-])()([1ξξξ．提示：令1'()[()()]xxF x e f t dt f x A -=+-⎰，构造1()()xxF x ef t dt Ax -=-⎰，用罗尔定理．（2）)(x f 在],[b a 或),(b a 上可导，则⎩⎨⎧数，用中值定理解决利用原函数构造辅助函使用中值定理直接对)(x f例1、设)(x f 在1[,2]2连续，在1(,2)2上可导，且 )2()(2121f dx x f =⎰，试证：)2,0(∈∃ξ ，使'()0f ξ=．提示：由积分中值定理知，1121(2)2()(),(,1)2f f x dx f ηη==∈⎰，用罗尔定理． 例2、设)(),(xg x f 在],[b a 连续，在],[b a 上可导，且对于),(b a x ∈有0)(≠'x g试证：),(b a ∈∃ξ，使)()()()()()(ξξξξg b g a f f g f --='' ． 提示：令'()'()()()'()'()()()'()F x f x g x f x g x f x g b f a g x =+--，构造函数()()()()()()()F x f x g x f x g b f a g x =--在],[b a 上用罗尔Th ． 例3、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上可导求证：),(b a ∈∃，使11[()()]()()n n n b a nf f A b a f a f b ξξξξ-'+==-．提示：（1）令1'()()()n n F x nx f x x f x -'=+，构造)()(x f x x F n=在],[b a 上使用Lagrange（2）令1'()()()n n F x nx f x x f x A -'=+-，构造()()nF x x f x Ax =-在],[b a 上使用罗尔． 例4、设)(),(x g x f 于[]10,连续，()10,内可导，对),(b a x ∈恒有)()()()(x g x f x g x f '≠'， 求证：若)(),(x g x f 在),(b a 内有两个零点，则介于其之间，)(x g 至少有一个零点． 提示：用反证法，假设0)()(21==x f x f ，且0)(≠x g ，],[21x x x ∈构造)()()(x g x f x F =，则0)(='ξF ，与条件矛盾．例5、设)(x f 在[]b a ,上一阶可导， ()0f a =，'()0f a >， 证明：（1）存在),(b a ∈ξ，使0)(=ξf ；（2）存在),(b a ∈η，使'()()f f ηη=．提示：（1）由保序性，()1,x a a δ∃∈+，使得()10f x >，由零点定理知（1）． （2）注意到（1）及题设条件，知函数()f x 在[],a b 上存在两个零点,a ξ， 于是()()xF x ef x -=在(),a b 上有两个零点，由Rolle 定理，易证（2）．主要方法(1) 构造函数)(x f ，确定其单调性，求出端点的函数值或极限值，作比较即可.(2) 利用函数的凹凸性.(3) 利用函数的极值和最值----构造函数，比较值为极值或最值. (4) 利用中值法证明不等式.例1、设)1,0(∈x ，求证：(i) 22)1(ln )1(x x x <++； (ii) 211)1ln(112ln 1<-+<-x x ．提示：(i)令()ln(1)f x x =+或22()(1)ln (1)g x x x x =++- (ii) 令11()ln(1)h x x x =-+，则22()'()0(1)ln (1)g x h x x x x =<++，有(1)()(0)h h x h +<<． 例2、比较ee ππ与的大小．提示：x e >，比较x ee x 与的大小，取对数构造()lnf x x e x =-，易证e e ππ>． 例3、设)(),(xg x f 二阶可导，当0>x 时，)()(x g x f ''>''，且)0()0(g f =，)0()0(g f '='，求证：)()(0x g x f x >>时，．提示：令)()()(x g x f x F -=，需两次求导．例4、当0,0>>y x 时，求证：2ln )(ln ln yx y x y y x x ++≥+．提示：令)2(2)()(0)(,ln )(yx f y f x f t f t t t f +≥+⇒>''=． 例5、0,0,0>>>>αβy x ，求证：βββααα11)()(y x y x +>+．提示：其等价于11ln[1())]ln(1())y y x xαββα+>+，令1()ln(1)tf x a t =+，0>a ．若1a =，原命题成立，现证明()f t 在0,1t a >≠时单调递减22ln (1)ln(1)()'()(1)(1)t t t t tta a a a g t f t t a t a -++==++，'()ln [ln ln(1)]t t tg t a a a a =-+ 1a >时，'()0g t <，则()(0)0g t g <<；01a <<时，'()0g t >，则()l i m ()0t g t g t →+∞<=．例6、设1,10>≤≤p x ，求证：1)1(211≤-+≤-p p p x x .提示：令ppx x t f )1()(-+=，求其在]1,0[的最值．例7、设)(x f 在(1,1)-内有0)(<''x f ，且2sin cos )(lim20=-→xxx f x ，求证：()1f x ≤．证明：易知,1)0(=f 2200()cos sin cos 1(0)lim lim 0sin x x f x x x f x x x→→--'=⋅+= 令 1)()(-=x f x F ，求其最大值，因0)()(,0)0(,0)0(<''=''='=x f x F F F ，则易证．例8、若x y <<0及1>p ，求证：)()(11y x px y x y x py p p p p -<-<---． 提示：令()pf t t =，在],[y x 上对)(t f 应用拉氏定理．例9、在],0[a 上，()f x M ''≤，且)(x f 在),0(a 内取最大值，求证：Ma a f f ≤'+')()0(． 证明：设,0)],([max )(0a c x f c f ax <<=≤≤则0)(='c f在],[],,0[a c c 对)(x f '分别应用拉氏定理，则易证．主要方法（1）应用定积分的不等式性质(如比较定理，估值定理及函数绝对值积分不等式 （2）函数的单调性（构造辅助函数）积分中值定理（3）微分中值定理（被积函数具有可导条件） 常伴于其中 例1、设0>p ，求证：11110<+<+⎰p xdx p p . 提示：1111<+<-ppxx ，用积分不等式性质. 例2、求证：200x dx >.提示：2222002()x tx dx dt πππππ===+=⎰⎰⎰⎰.例3、设)(x f 在],[b a 上连续且严格单增，求证：⎰⎰<+babadx x xf dx x f b a )(2)()(.提示：令()()()2(),xxaaF x a x f t dt tf t dt =+-⎰⎰ 则[,]x a b ∈时，()0F x '<.例4、设(),()f x g x 在]1,0[上有连续的导数，且(0)0,f ='()0,'()0f x g x ≥≥ 求证：对[0,1]a ∈，10'()()()'()()(1)af xg x dx f x g x dx f a g +≥⎰⎰.提示：令10()'()()()'()()(1)aF a f x g x dx f x g x dx f a g =+-⎰⎰'()'()()'()(1)0F a f a g a f a g =-≤，于是，()F a 在[0,1]a ∈时单减，则()(1)0F a F ≥=．例5、设,f g 在[,]a b 上连续，且()(),[,)x xaaf t dtg t dt x a b ≥∈⎰⎰，⎰⎰=bab a dt t g dt t f )()(，证明：⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.提示：令()()()F x f x g x =-，⎰=xa dt t F x G )()(，由题设()0G x ≥，[,)x a b ∈，()()0G a G b ==，)()(x F x G ='. 从而()()b baaxF x dx xdG x =⎰⎰()()()bbba aaxG x G x dx G x dx =-=-⎰⎰由于()0G x ≥，[,]x a b ∈，故有0)(≤-⎰ba dx x G .例6、已知)(x f 满足：对212121)()(],,[,x x x f x f b a x x -≤-∈∀ 求证：2)(21)()()(a b a f a b dx x f ba-≤--⎰. 证明：左[()()]baf x f a dx =-⎰2)(21)()()(a b dx a x dx a f x f ba ba-=-≤-≤⎰⎰. 例7、设'()f x 在]1,0[上连续， 01(0)(1)0,max '()x f f M f x ≤≤===，求证：1()4M f x dx ≤⎰. 证明：⎰⎰⎰-+-≤1212101)1()()0()()(dx f x f dx f x f dx x f⎰⎰-'+'=1212211)1()()(dx x f xdx f ξξM dx x xdx M 41])1([121210=-+≤⎰⎰.三、课后练习1（A ）、证明：当1<x ，总有arctan[(1)(1)]arctan 4x x x π+--=． 2（A ）、求证：11ln ()ln[(1)()]ln ()xf x t dt f t f t dt f t dt +=++⎰⎰⎰．（换元与求导） 3（A ）、设)(x f 在],[b a 上连续，且()()f a f b =，求证：方程()(()2)f x f x b a =+-在(,)a b 内至少有一根．(零点定理) 4（B ）、设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，且0)(>x g ， 求证：),(b a ∈∃ξ，使⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ．(介值定理)5（A ）、)(x f 于],[b a 连续，),(b a 可导，求证：),(b a ∈∃ξ，使[()()]()()()bf b af a b a f f ξξξ'--=+．（拉格朗日中值定理） 6（B ）、设函数()x f 在),0[+∞上可导，()00=f ，且2)(lim =+∞→x f x ，证明（1）存在0>a ，使得();1=a f （局部保号性与介值定理）（2）对（1）中的a ，存在),0(a ∈ξ，使得'()1f a ξ=．（拉格朗日中值定理） 7（A ）、设)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 上可微，且0)()(==b f a f ，则存在一点()b a ,∈ξ使0)()(2='+ξξλξf f ．（令2()()x F x e f x λ=，罗尔中值定理）8（A ）、设)(x f 在[]2,1上连续，在)2,1(上可微，且(1)12f =，2)2(=f ，则存在一点()2,1∈ξ,使0)()(2='-ξξξf f ．（令2()()F x f x x =，罗尔中值定理） 9（A ）、)(x f 可导，则)(x f 的两零点间必有)()(/x f x f -的零点．(令()()x F x e f x -=)10（B ）、设)(x f 在[0,)+∞上可导，(0)2f π=， 0()arctan1f x x ≤≤，证(0,)ξ∃∈+∞，使1)()1(/2-=+ξξf ．(令()()arctan F x f x x =+，推广的罗尔中值定理与夹逼定理) 11（A ）、)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且[())]()baf x b a dx f b -=⎰求证：在),(b a 至少存在一点ξ，使0)(='ξf ．(积分中值定理与罗尔中值定理) 12（A ）、)(x f 在]1,0[上可微，且12(1)2()f xf x dx =⎰，试证：)1,0(∈∃ξ，使0)()(='+ξξξf f ．(令()()F x xf x =，积分中值定理与罗尔定理)13（A ）、设)(x f 在[]1,0上可微，110(1)()k x f kxe f x dx -=⎰，)1(>k ，证明()0,1ξ∃∈，使得()()11()f f ξξξ'=-．(令1()()x F x xe f x -=，积分中值定理与罗尔定理)14（B ）、设()f x 在[]0,3上连续，在(0,3)内二阶可导，且22(0)()(2)+(3)f f xd x f f==⎰，（Ⅰ）证明：存在(0,2)η∈，使()(0)f f η=；（积分中值定理） （Ⅱ）证明：存在(0,3)ξ∈，使"()0f ξ=．（介值定理与罗尔中值定理） 15（B ）、设)(x f 在),(b a 上具有二阶导数，且0)()(,0)()(>''==b f a f b f a f 证明：(,)a b η∃∈，使0)(=''ηf ．（局部保号性与罗尔中值定理）16（B ）、设)(x f 于]1,0[连续，)1,0(可导，且(0)(1)0f f ==，(12)1f =， 求证：（i ）(12,1)η∃∈，使ηη=)(f ；（零点定理）（ii ）对任意实数λ，),0(ηξ∈∃，使1])([)(=--'ξξλξf f ．(令()[()]xF x e f x x λ-=-)17（B ）设奇函数)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，且1)1(=f ，证明：（1）存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ；（(0)0f =，拉格朗日中值定理）（2）存在)1,1(-∈η，使得1)()(='+''ηηf f ．(令()['()1]xF x e f x =-,罗尔中值定理)18（A ）、当0>x 时，求证：(1))ln(1)x e x x -+>+.(令()1(1)ln(1)x F x e x x =--++) 19（A ）、当0x >时，求证：arctan 12x x π+>.(考虑=0x 处的右极限) 20（A ）、当0>x 时，证明：1112(1)x x x e +++<.(先取对数)21（B ）、设b a <<0，求证：222()()ln ln a b a a b b a -+<-<（令=>1x b a ） 22（A ）、当0>x 时，试证：22)1(ln )1(-≥-x x x .（分<1x 与1x ≥考虑） 23（A ）、>1,>1p q ，且111p q +=求证：对0>∀x ，有1p x p q x +≥.（最值） 24（A ）、求证：1212-+≥n n n ),1(为自然数n n ≥.（先转化为函数最值） 25（B ）、证明：2ln[(1)(1)]cos 12,1 1.x x x x x x +-+≥+-<<（最值）26（A ）、1,1≥>n a ，求证：21(1)11(1)21(1)[]n n n n n a a a a n a -++-+<-<.（拉格朗日） 27（A ）、证明:当0,sin 2cos sin 2cos a b b b b b a a a a πππ<<<++>++时. 28（A ）、设)(x f 处处可导，则（D ）（拉格朗日中值定理）A -∞='-∞=-∞→+∞→)(lim ,)(lim x f x f x x 则B -∞=-∞='-∞→-∞→)(lim ,)(lim x f x f x x 则C +∞='+∞=+∞→+∞→)(lim ,)(lim x f x f x x 则 D +∞=+∞='+∞→+∞→)(lim ,)(lim x f x f x x 则29（A ）、设在]1,0[上，0)(>''x f 则)0()1(),1(),0(f f f f -''或)1()0(f f -的大小顺序是 )0()0()1()1(f f f f '>->'.（拉格朗日中值定理）30（A ）、设)(),(x g x f 正值可导， 0)()()()(<'-'x g x f x g x f ，则当b x a <<时，有（A ）A )()()()(x g b f b g x f >B )()()()(x g a f a g x f >C )()()()(b g b f x g x f >D )()()()(a g a f x g x f > 提示：令()()()F x f x g x =，单调性. 31（B ）、设0lim[()]1x f x x →=，且0)(>''x f ，求证：x x f ≥)(.（最值）32（A ）、求证：1ln(11dx <<⎰33（A ）、)(x f 在]1,0[上连续递减，证：当10<<λ时，⎰⎰≥1)()(dx x f dx x f λλ.(换元).34（B ）、设4tan n n I xdx π=⎰，2n ≥，求证： 1[2(1)]1[2(1)]n n I n +<<-.提示：222+1(1)2n n n n I I I n I --≤=-≤. 35（B ）、证：22sin cos d 01x xx xπ-≤+⎰.（用4π划分[0,2]π，对[4,2]ππ用=2x t π-） 36（A ）、设 )(x f 可导, 且(0)0,0()1f f x '=<<,证:11230(())()f x dx f x dx >⎰⎰.提示： 令⎰⎰-=xxdt t f dt t f x F 032)())(()(.37（B ）、设)(x f 在]1,0[上可积，且当01x y ≤<≤时，()()arctan arctan f x f y x y -≤-，又(0)ln 22f =，求证：1()4f x dx π≤⎰.(11()()(0)(0)f x dx f x f dx f ≤-+⎰⎰)38（B ）、设'()f x 在[0,2]π上连续为正，证：20()sin 2[(2)(0)]f x nxdx f f n ππ≤-⎰.提示：220()sin [(2)(0)]['()cos ]f x nxdx f f n f x nx n dx πππ=--+⎰⎰.39（B ）、设)(x f '在],0[a 上连续，且0)0(=f ，求证：200()max ()2ax af x dx a f x ≤≤'≤⎰.提示：积分不等式性质与拉格朗日中值定理.。

初中数学竞赛专题选讲（初三.9）条件等式的证明一、内容提要1. 恒等式：如果等式中所含的字母在允许值范围内，用任何实数值代替它，等式都能成立,那么这个等式叫做恒等式.例如： ①a+b=b+a ， ②(a+b)2=a 2+2ab+b 2， ③ x －x4=x x 42-(x ≠0)，④ (a )2=a (在实数范围内a ≥0)， ⑤n n a =a(在实数范围内n 为正奇数). 都是恒等式.只含常数的等式是恒等式的特例. 如：3－2=1，32321-=+.2. 条件等式：满足一定条件下的等式，称为条件等式. 方程是条件等式，解方程就是求出能满足等式的条件(未知数的值).3. 证明条件等式就是在题设的条件下，判断恒等式.4. 证明条件等式的方法，除和证明恒等式的一般方法(见第20讲)以外，要特别注意如何把已知的条件用上. 一般有以下几种：① 用已知的条件直接代入(即等量代换).② 变形后代入(包括把已知变形，或把结论变形). ③ 引入参数后代入(包括换元).5. 分式，根式在恒等变形时，要注意字母保持允许值的范围不变. 二、例题 例1. 已知：a z y x =+,b xz y=+,c y x z =+且x+y+z ≠0. 求证：1111=+++++ccb b a a . 分析：①设法化为同分母， ②轮换式可先代入一式，其余的可用同型式③用已知直接代入.证明 ：∵z y x x zy x zy xa a ++=+++=+11.根据 轮换式的性质，得∴c cb b a a +++++111=1=++++++++zy x z z y x y z y x x .例2. 已知：cb ac b a ++=++1111. 求证：12121212)(1111++++++=++n n n n c b a c b a (n 是整数).分析：先把已知变形，找出a, b, c 之间的关系. 证明：由已知，去分母，得bc(a+b+c)+ac(a+b+c)+ab(a+b+c)=abc.(a+b+c)(bc+ac)+ab(a+b)=0 .(a+b)(b+c)(c+a)=0.∴a=－b ， 或b=－c ， 或c=－a. ∵n 是整数， ∴2n+1是奇数.当a=－b 时 ，左边=12121212111)(1++++=++-n n n n cc b b ； 右边=12)(1+++-n c b b =121+n c .即a=－b 时，等式成立.同理可证：当b=－c 和c=－a 时，等式也成立 .∴12121212)(1111++++++=++n n n n c b a c b a (n 为整数 ). 例3. 已知：ax 3=by 3=cz 3,1111=++zy x . 求证：=++3222cz by ax 333c b a ++.证明：设ax 3=by 3=cz 3= k . ( 引入参数)那么ax 2=x k ,by 2=y k , cz 2=zk . 代入左边，得 ： 左边=333)111(k zy x k z k y k x k =++=++； 而且 a=3x k , b=3y k , c=3z k . 代入右边，得： 右边==++333333zk y k x k (z y x 111++)3k =3k . ∴=++3222cz by ax 333c b a ++.例4. 已知： abc ≠0，方程(ac －bc)x 2+(bc －ab)x+(ab －ac)=0有两个相等实根.求证：bc a b 1111-=- 分析：要等式bc a b 1111-=-成立，必须且只须ac －bc=ab －ac.证明：∵方程有两个相等的实数根，∴△=0.即 (bc －ab)2－4(ac －bc) (ab －ac)=0.(bc －ab+ac －ac)2+4(bc －ac)(ab －ac)=0， (添项ac －ac) ［(bc －ac)－(ab －ac)］2+4(bc －ac)(ab －ac)=0.∴［(bc －ac)+(ab －ac)］2=0 . ∴bc －ac+ab －ac =0. ∴ ac －bc=ab －ac. ∵abc ≠0，两边都除以abc,得，b c a b 1111-=-. 例5. 已知：a+ac c b b 111+=+=， a ≠b ≠c.求证：a 2b 2c 2=1. 证明：由已知a －b=b c 11-=bccb -, ∵ a ≠b ，即a －b ≠0， ∴bc=ba cb --. 根据轮换式性质，得同型式： ca=c b a c --, ab=ac ba --. ∴ ab ×bc ×ca=a c b a --×b a c b --× cb ac --.∴a 2b 2c 2=1.三、练习1. 已知： abc=1. 求证：1111=++++++++c ca cb bc b a ab a2. 已知： x=b a b a +-, y=cb cb +-, z=ac a c +-.求证： (1+x)(1+y)(1+z)=(1－x)(1－y)(1－z). 3. 已知：(ay －bx)2+(bz －cy)2+(cx －az)2=0 . 求证： czb y a x ==. 4. 已知：cbb a =. 求证： (a+b+c)2+a 2+b 2+c 2=2(a+b+c)(a+c). 5. 已知：zx y cy z x b x y z a +-=+-=+-222.求证：a+b+c=0 .6. 已知：b ba c a a cbc c b a -+=-+=-+， a+b+c ≠0. 求证： 8))()((=+++abca c cb b a .7. 已知： 1949x 2=1988y 2 且111=+yx ， x>0, y>0. 求证：1988194919881949+=+y x .8. 已知：x=abb a 2-， 且a<0, b<0. 求证：ba x xb a x a =++++)1)((1222. 9. 已知：x=122+b ab(a>0,0<b<1). 求证： bxa x a x a x a 1=--+-++. 10. 求证：321420++321420-=4 11. 已知：a z y x =+，b xz y=+，c y x z =+. 求证：1111=+++++ccb b a a . 12. 已知：a+b+c=0, a 2+b 2+c 2=0, a 3+b 3+c 3=0.求证： a 4+b 4+c 4=0.练习题参考答案1. 化为同分母ab+a+1,并设为k, 则bc+b+1=ak, ca+c+1=ck. 6. 由已知得，k bac a c b c b a =+=+=+，则k=2 8. 由已知得，1+ x 2=abb a 4)(2+,注意a+b<0,ab>09.把左边分母有理化10.左边被开方数配方(a+2)2b 可得a=2,b=14. 用反比，合比. 12. 0.。