高中数学 3.1.2《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》导学案 新人教A版必修4

3. 1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣，理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。

二、教学目标⒈掌握两角和与差公式的推导过程；⒉培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力； ⒊发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。

三、教学重点难点重点：两角和与差公式的应用和旋转变换公式；难点：两角和与差公式变aSina ＋bCosa 为一个角的三角函数的形式。

四、学情分析 五、教学方法1．温故、推新，循序渐进，以学生为主体逐步掌握本节知识要点 2．学案导学：见后面的学案。

3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备 多媒体课件七、课时安排：1课时 八、教学过程（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-．注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．（二）例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===，3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ，于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 44455πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两结果一样，我们能否用第一章知识证明？3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值： （1）、s i n 72c o s 42c o s 72s i n 42-；（2）、c o s 20c o s 70s i n 20s i n 70-；（3）、1t a n 151t a n 15+-．解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.（1）、()1s i n 72c o s 42c o s 72s i n 42s i n7242s i n 302-=-==； （2）、()c o s 20c o s 70s i n 20s i n 70c o s 2070c o s 900-=+==；（3）、()1t a n 15t a n 45t a n 15t a n 4515t a n 6031t a n 151t a n 45t a n 15++==+==--．例3x x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)()1cos sin 30cos cos30sin 22sin 302x x x x x x x ⎫-==-=-⎪⎪⎭思考：=余弦分别等于12.（三）反思总结，当堂检测。

3.1.2 两角和与差的正弦公式【学习目标】1、掌握两角和与差的正弦公式及其推导方法。

2、通过公式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力。

并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。

3、掌握诱导公式 sin =cos α，sin = cos α,sin =- cos α, sin =- cos α,【学习重点难点】 （一）预习指导： 两角和与差的余弦公式：cos(α+β)= cos(α-β)=（二）基本概念： 基本概念：1.两角和的正弦公式的推导sin(α+β)= sin(α-β)=（二）、典型例题选讲： 例1 不查表，求下列各式的值. (1)sin105°(2)sin80°cos20°- cos80°sin20°(3)cos(4)cos80°sin40°+cos10°sin50°⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ2⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ23⎪⎭⎫⎝⎛-απ23103cos 5sin 103sin 5ππππ+例2已知sin α= ，α∈ ，cos β= - ,β是第三象限角，求sin （α-β）的值.【课堂练习】１.在△ABC 中，已知cosA = ,cosB= ,则cosC 的值为2.已知 ＜α＜ ，0＜β＜α，cos( +α)=- ,sin( +β)= ,求sin(α+β)的值.3.化简（1）sin α+cos α （2）sin α-cos α（3）sin α3+cos α （4）2sin α32-cos α（5）2cos χ-6sin χ （6）3sin α4-cos α31544π43π4π5343π13554⎝⎛⎪⎭⎫ππ,2135我们得到一组有用的公式：（1）sin α±sin α=2sin =2cos .（2）sin α3±cos α=2sin =2cos（3）αsin α+bcos α=22b a +sin （α+ϕ）=22b a +cos(α-θ)6.化解3cos χχsin -7.求证：cos χ+sin χ=2cos （χ - ）8.求证：cos α+3sin α=2sin （ ）.9.已知 ，将函数у=cos （ ）-cos 化简.10.求 的值.【课堂小结】⎝⎛⎪⎭⎫±4πα ⎝⎛⎪⎭⎫4πα ⎝⎛⎪⎭⎫±3πα ⎝⎛⎪⎭⎫3πα 4παπ+6︒︒-︒20cos 20sin 10cos 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πχχπ-12⎝⎛⎪⎭⎫+χπ1253.1.3 两角和与差的正切公式【学习目标】1.掌握两角和与差的正切公式及其推导方法。

导学案年级： 高一 科目： 数学 主备： 审核：课题：两角和与差的正弦、正切公式 课型：新授课 课时 :2 课时 【三维目标】●知识与技能：能利用两角和与差的余弦公式，利用化归思想等推导出两角和与差的正弦、正切公式，体会它们的内在联系并进行简单的应用。

●过程与方法:进一步提高学生运用对比、联系、转化的观点去处理和分析问题的自觉性。

●情感态度与价值观：培养学生积极动手，勇于探索，善于发现，团结协作，独立意识以及不断超越自我的创新品质。

【学习重点】：引导学生通过独立探索和讨论交流，利用已学知识，推导出两角和与差的正弦和正切公式，并体会它们的内在联系。

【学习难点】：掌握两角和与差正弦、余弦、正切公式的逆用和变用。

【教学资源】教师导学过程(导案)学生学习活动(学案) 【导学过程1:】复习式导入：（1）大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()βαβαβαsin sin cos cos cos =±；（2）()cos sin =α； （3）()()=αtan . 【学生学习活动1:】（1）回忆上节课所学知识，诱导公式和同角的基本关系为本节课学习作铺垫【导学过程2:】 讲授新课怎样由上述知识得到两角和与差的正弦和正切公式呢？活动1、学生动手完成两角和的正弦公式推导()()()诱导公式五βαβαβαπβαπβαπβαπβαsin cos cos sin sin 2sin cos 2cos 2cos 2cos sin +=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+【学生学习活动2:】活动1、学生动手完成两角和的正弦公式推导()()()诱导公式五βαβαβαπβαπβαπβαπβαsin cos cos sin sin 2sin cos 2cos 2cos 2cos sin +=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+ 活动2、怎样继而得到两角差的正弦公式；观察两角和与差的正弦公式的特征()()[]()()()换元的思想βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin sin cos cos sin sin sin -=-+-=-+=-活动2、怎样继而得到两角差的正弦公式；观察两角和与差的正弦公式的特征()()[]()()()换元的思想βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin sin cos cos sin sin sin -=-+-=-+=-小结1：()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±活动3、学生动手完成两角和的正切公式推导()()()()系同角三角函数的基本关βαβαβαβαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan sin sin cos cos sin cos cos sin cos sin tan -+=-+=++=+ 活动4、怎样继而得到两角差的正切公式；观察两角和与差的 正弦公式的特征()()[]()()()换元的思想－－－－βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan +-=-+=+=小结2：()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±其中，,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈将()βα+S 、()βα+C 、()βα+T 称为和角公式；()βα-S 、()βα-C 、()βα-T 称为差角公式。

小结 此类题是给值求角题，步骤如下：(1)求所求角的某一个三角函数值；(2)确定所求角的范围，此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值．
跟踪训练2 已知sin α＝35，cos β＝－5
13，α
为第二象限角，
β为第三象限角．求sin(α＋β)和sin (α－β)的值．
例3 已知sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
小结 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、“往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、结构形式的差异．
跟踪训练3 证明：sin
2α＋βsin α
－2cos(α＋
β)＝sin β
sin α
.。

探究点一 两角和与差的正切公式的推导
问题 1 你能根据同角三角函数基本关系式tan α＝sin α
cos α
，从两角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出
用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？试一试．
探究点二 两角和与差的正切公式的变形公式 两角和与差的正切公式变形形式较多，例如：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， tan αtan β＝1－
tan α＋tan βtan α＋β＝
tan α－tan β
tan α－β
－1.
答 当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
cos αcos β－sin αsin β
.
当cos αcos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β，得
tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
.
根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得
tan(α－β)＝tan α＋tan (－β)1－tan αtan (－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β
.
问题2 在两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？
答 在公式T (α＋β)，T (α－β)中α，β，α±β都不能等于k π＋π2(k ∈Z )．
＝tan 120°＝－ 3.。

学习资料专题3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式疱工巧解牛知识•巧学一、两角和的余弦公式1.比较cos(α-β)与cos(α+β)，根据α+β与α-β之间的联系：α+β=α-(-β)，则由两角差的公式得cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ,即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.学法一得这种以-β代β的变换角的方式在三角函数的恒等变形中有着重要应用，同时也启发我们要辩证地看待和角与差角.在公式C(α-β)中，因为角α、β是任意角，所以在C(α+β)中，角α、β也是任意角.2.用两点间的距离公式推导C(α+β).图3-1-5如图3-1-5，在直角坐标系xOy内作单位圆O，以O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，作出角α、-β，使角α、-β的终边分别交单位圆于点P2、P4，再以OP2为始边，作角β，使它的终边交单位圆于点P3，这样就出现了α、β、α+β这样的角，设角α、-β的始边交单位圆于点P1，则P1(1，0).设P2(x，y)，根据任意角的三角函数的定义，有sinα=y，cosα=x，即P2(cosα，sinα)；同理,可得P3(cos(α+β)，sin(α+β))，P4(cos(-β)，sin(-β)).由整个作图过程可知△P3OP1≌△P2OP4，所以|P1P3|=|P2P4|.|P1P3|2=|P2P4|2，即［cos(α+β)-1］2+sin2(α+β)=［cos(-β)-cosα］2+［sin(-β)-sinα］2.根据同角三角函数的基本关系,整理得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)，即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.3.利用向量的数量积推导C(α+β).图3-1-6如图3-1-6，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆，以Ox 为始边作角α、-β，它们与单位圆的交点分别为A 、B.显然，=(cos α,sin α),=(cos(-β),sin(-β)).根据向量数量积的定义，有·=(cos α,sin α)·(cos(-β),sin(-β))=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β.于是cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.学法一得 ①在处理问题的过程中，把有待解决或难解决的问题，通过某种转化，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解，这种思想方法叫做化归思想. ②以任意角的三角函数的定义为载体，我们推导了同角的三角函数的基本关系式、诱导公式和两角和的余弦公式.熟记公式中角、函数的排列顺序及式中的正负号是正确使用公式的关键.记忆要诀 公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反. 二、两角和与差的正弦 1.公式的推导sin(α-β)=cos［2π-(α-β)］=cos ［(2π-α)+β］=cos(2π-α)cos β-sin(2π-α)sin β=sin αcos β-cos αsin β.在上面的公式中，以-β代β，即可得到sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β. 2.和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcos α-cos2πsin α=0×cos α-1×sin α=-sin α. 当α或β中有一个角是2π的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；上面公式中的α、β均为任意角.误区警示 公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sin α±sin β，学习时一定要注意这一点.学法一得 公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，如化简sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β，不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开，而应当整体考察，进行如下变形：sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin ［(α+β)-β］=sin α，这也体现了数学中的整体原则.记忆要诀 记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相同. 三、两角和与差的正切 1.公式的推导利用两角和的正弦、余弦公式，可以推导出两角和的正切公式： tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++，当cos αcos β≠0时，我们可以将上式的分子、分母同时除以cos αcos β， 即得用tan α和tan β表示的公式：tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+，在上面的公式中，以-β代β，可得两角差的正切公式：tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-.2.公式成立的条件要能应用公式，首先要使公式本身有意义，即tan α、tan β存在.并且1+tan αtan β的值不为零，所以可得α、β需满足的条件：α≠k π+2π,β≠k π+2π，α+β≠k π+2π或α-β≠k π+2π，以上k∈Z .当tan α、tan β、tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式或其他方法解决.学法一得 两角和与差的正切同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)就可以解决诸如tan15°+tan30°+tan15°tan30°的问题.所以在处理问题时要注意考察式子的特征，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了. 典题•热题知识点一 所求角可表示成两个特殊角的和、差 例1 求sin 75°,tan15°的值.解：sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30° =42621222322+=⨯+⨯； tan15°=tan(60°-45°)=32311345tan 60tan 145tan 60tan -=+-=︒︒+︒-︒，或tan15°=tan(45°-30°)=3233133130tan 45tan 130tan 45tan -=+-=︒︒+︒-︒. 例2 求︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值.思路分析：观察被求式的函数名称的特点和角的特点，其中7°=15°-8°，15°=8°+7°，8°=15°-7°.无论采取哪种代换方式，都可减少角的个数.利用和角或差角公式展开，进行约分、化简、求值.若用7°=15°-8°代换，分子、分母是二次齐次式；若用15°=8°+7°或8°=15°-7°代换，分子、分母将会出现三次式，显然选择后者更好，不妨比较一下. 答案：原式=︒︒+︒-︒︒︒+︒+︒8sin )87sin(7cos 8sin )87cos(7sin︒︒︒-︒-︒︒︒︒+︒-︒=︒∙︒-︒︒︒-︒︒∙︒-︒︒︒+︒=8sin 8cos 7sin )8sin 1(7cos 8sin 8cos 7cos )8sin 1(7sin 8sin 7cos 8sin 8cos 7sin 7cos 8sin 7sin 8sin 8cos 7cos 7sin 2222︒︒-︒︒︒︒+︒︒=︒︒︒-︒∙︒︒︒︒+︒∙︒=8sin 7sin 8cos 7cos 8sin 7cos 8cos 7sin 8sin 8cos 7sin 8cos 7cos 8sin 8cos 7cos 8cos 7sin 22 3215tan 15cos 15sin -=︒=︒︒=.巧解提示:原式=︒∙︒-︒-︒︒∙︒+︒-︒8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(︒∙︒-︒∙︒+︒∙︒︒∙︒+︒∙︒-︒∙︒=8sin 15sin 8sin 15sin 8cos 15cos 8sin 15cos 8sin 15cos 8cos 15sin︒∙︒︒∙︒=8cos 15cos 8cos 15sin =tan15°=tan(45°-30°) 3233133130tan 45tan 130tan 45tan -=+-=︒∙︒+︒-︒=. 方法归纳 三角函数式的结构一般由角、三角函数符号及运算符号三部分组成.因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.无论是化简、求值，还是证明，其结果应遵循以下几个原则：①能求值的要求值；②三角函数的种类尽可能少；③角的种类尽可能少；④次数尽可能低；⑤尽可能不含根号和分母.知识点二 已知α、β的三角函数值，求α±β的三角函数值例3 已知sin α=31，求cos(3π+α)的值. 思路分析：因为3π是个特殊角，所以根据C (α+β)的展开式，只需求出cos α的值即可.由于条件只告诉了sin α=31，没有明确角α所在的象限，所以应分类讨论，先求cos α的值，再代入展开式确定cos(3π+α)的值.解：∵sin α=31>0，∴α位于第一、二象限.当α是第一象限角时，cos α=322)31(12=-， ∴cos(3π+α)=cos 3πcos α-sin 3πsin α=6322312332221-=⨯-⨯;同理，当α是第二象限角时，cos α=322-， ∴cos(3π+α)=6332+-.方法归纳 解这类给值求值问题的关键是先分清S (α±β)、C (α±β)、T (α±β)的展开式中所需要的条件，结合题设，明确谁是已知的，谁是待求的.其中在利用同角三角函数的基本关系求值时，应先解决与已知具有平方关系的三角函数值.但是，对于cos(π+α)、cos(2π+α)这样的函数求值，由于它们的角与2π的整数倍有关，所以无需按它们的展开式求值，直接利用诱导公式可能更简单. 例4 已知cos(α-2β)=91-，sin(2α-β)=32，并且2π＜α＜π，0＜β＜2π，求2c o sβα+的值.思路分析：观察给出的角)2()2(2βαβαβα---=+，结合公式C (α-β)展开式的特点，只需利用同角三角函数的基本关系计算出sin(α-2β)、cos(2α-β)的值即可. 解：∵2π＜α＜π，0＜β＜2π，∴4π＜2α＜2π，0＜2β＜4π.∴4π＜α-2β＜π，-4π＜2α-β＜2π. 又∵cos(α-2β)=91-＜0，∴πβαπ<-<<22.∴954)91(1)2(sin 1)2sin(22=--=--=-βαβα. 同理，∵sin(2α-β)=32>0，∴220πβα<-<.∴35)32(1)2(sin 1)2cos(22=-=--=-βαβα. 故)]2()2cos[(2cosβαβαβα---=+=cos(α-2β)cos(2α-β)+sin(α-2β)sin(2α-β) 2757329543591=⨯+⨯-=.例5 在△ABC 中，sinA=53,cosB=135，求cosC. 思路分析：本题主要考查三角形中的三角函数问题.若不注意“△ABC”这个条件，就会产生多解，所以解这类问题时一定要注意尽量压缩角的范围，避开分类讨论，同时要注意结论是否符合题意. 解： ∵cosB=22135<,∴B∈(4π,2π)且sinB=1312.∵sinA=2253<,∴A∈(0,4π)∪(43π,π). 若A∈(43π,π),B∈(4π,2π)，则A+B∈(π,23π)与A+B+C=π矛盾， ∴A ∉(43π,π).因此A∈(0,4π)且cosA=54.从而cosC=cos ［π-(A+B)］=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=6516131********=⨯+⨯-. 例6 如图3-1-7，已知向量=(3,4)绕原点旋转45°到OP′的位置，求点P′(x′,y′)的坐标.图3-1-7思路分析：本题相当于已知角α的三角函数值，求α+45°的三角函数值. 解：设∠xOP=α.因为|OP|=54322=+，所以cos α=53,sin α=54. 因为x′=5cos(α+45°)=5(cos αcos45°-sin αsin45°)22)22542253(5-=⨯-⨯=，同理,可求得y′=5sin(α+45°)=227，所以P′(22-,227). 方法归纳 ①已知角α的某一三角函数值和角α所在的象限，则角α的其他三角函数值唯一；已知角α的某一三角函数值，不知角α所在的象限，应先分类讨论，再求α的其他三角函数值.②一般地，90°±α，270°±α的三角函数值，等于α的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，它的证明也可通过两角和、差的三角函数式进行.③在给值求值的题型中，要灵活处理已知与未知的关系，合理进行角的变换，使所求角能用已知角表示出来，所求角的三角函数值能用已知角的三角函数值表示出来. 知识点三 已知三角函数值求角 例7 已知sin α=55，sin β=1010,且α、β都是锐角，求α+β的值. 思路分析：(1)根据已知条件可先求出α+β的某个三角函数值，如cos(α+β).(2)由两角和的余弦公式及题设条件知只需求出cos α、cos β即可.(3)由于α、β都是锐角，所以0＜α+β＜π,y=cosx 在(0,π)上是减函数，从而根据cos(α+β)的值即可求出α+β的值.解：∵sin α=55,sin β=1010，且α、β都是锐角，∴cos α=552sin 12=-α，cos β= 10103sin 12=-β. ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=2210105510103552=⨯-⨯. 又∵0＜α+β＜π,∴α+β=4π. 方法归纳 给值求角的一般步骤是：①确定所求角的范围；②找到该范围内具有单调性的某一三角函数值；③先找到一个与之相关的锐角，再由诱导公式导出所求角的值. 知识点四 利用两角和、差的三角函数公式证明恒等式例8 已知3sin β=sin(2α+β)，求证：tan(α+β)=2tan α.思路分析：观察条件等式和结论等式中的角，条件中含有β、2α+β，结论中含有α+β、α，若从条件入手，可采用角的变换，β=(α+β)-α，2α+β=(α+β)+α，展开后转化成齐次整式，约分得出结论.证明：∵3sin β=3sin ［(α+β)-α］=3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α， sin(2α+β)=sin ［(α+β)+α］=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α， 又3sin β=sin(2α+β)，∴3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α. ∴2sin(α+β)cos α=4cos(α+β)sin α. ∴tan(α+β)=2tan α.方法归纳 对条件恒等式的证明，若条件复杂，可从化简条件入手得出结论；若结论复杂，可化简结论得出条件；若条件和结论都较为复杂，可同时化简它们，直到找到它们间的联系. 知识点五 变用两角和差的三角函数公式化简求值 例9 用和、差公式证明tan12°+tan18°+33 tan12°·tan18°=33. 解：∵︒∙︒-︒+︒18tan 12tan 118tan 12tan =tan(12°+18°)=tan30°=33，∴tan12°+tan18°=33(1-tan12°·tan18°)， 即左边=33(1-tan12°tan18°)+33tan12°tan18°=33=右边. ∴tan12°+tan18°+33tan12°·tan18°=33. 方法归纳 三角公式通过等价变形，可正用，可逆用，也可变用，主要是通过对函数结构式的变形与对角的分、拆、组合来实现的.例10 求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)……(1+tan45°)的值. 解：因为α+β=45°时，tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan --+=1，所以tan α+tan β+tan αtan β=1，即(1+tan α)(1+tan β)=2.于是(1+tan1°)(1+tan44°)=(1+tan2°)(1+tan43°)=……=(1+tan22°)(1+tan23°)=2.又因为1+tan45°=2，所以原式=223. 方法归纳 当α+β=k π+4π,k∈Z 时，(1+tan α)(1+tan β)=2； 当α+β=k π-4π,k∈Z 时，(1+tan α)(1+tan β)=2tan αtan β. 问题•探究 思想方法探究问题1 在三角恒等变换中，三角公式众多，公式变换也是解决问题的有效手段，在应用这些公式时要注意些什么问题？探究过程:使用任何一个公式都要注意它的逆向变换、多向变换，这是灵活使用公式所必须的，尤其是面对那么多三角公式，把这些公式变活，显得更加重要，这也是学好三角函数的基本功.如：cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β化简为__________.将α-β看作一个角，β看作另一个角,则cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β=cos ［(α-β)+β］=cos α. 解答本题时不仅利用角的变换：α=(α-β)+β，同时运用了公式的逆向变换. 探究结论:两角和的正切公式tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+.除了掌握其正向使用之外，还需掌握如下变换：1-tan αtan β=)tan(tan tan βαβα++；tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)；tan αtan βtan(α+β)=tan (α+β)-tan α-tan β等.两角和的正切公式的三种变形要熟悉，其在以后解题中经常使用，要能灵活处理.问题2 2004年重庆高考有一题为：求函数y=sin 4x+32sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最小值，并写出该函数在［0,π］上的单调递增区间.该函数变形后就需要用到形如asinx+bcosx(a 、b 不同时为零)的式子的变换，我们称之为辅助角变换，那么如何进行辅助角变换？探究过程:形如asinx+bcosx(a 、b 不同时为零)的式子可以引入辅助角变形为Asin(x+φ)的形式.asinx+bcosx=)cos sin (222222x ba b x b a a b a -+++,令cos φ=22ba a +,sin φ=22ba b +，则原式=22b a +(sinxcos φ+cosxsin φ)=22b a +sin(x+φ).(其中φ角所在象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan φ=a b 确定，常常取φ=arctan ab). 探究结论:辅助角变换是三角变形的重要形式，它的应用十分广泛，特别是在数学中求三角函数的最值及物理学当中波的合成时，都是重要的工具.例如2sinx-3cosx ，就可以利用这一结论将其化为一个三角函数的形式，从而确定其最值，因为a=2,b=-3,A=1322=+b a ，所以2sinx-3cosx=13sin(x+φ)，(其中φ在第四象限，且tan φ=23-)，所以2sinx-3cosx 的最大值是13，最小值是13-.。

3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．能根据两角差的余弦公式导出并记住两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并灵活运用． 2．能熟练地把asin x ＋bcos x 化为Asin(ωx ＋φ)的形式．(1)与差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sin α±sin β，cos(α±β)≠cos α±cos β，tan(α±β)≠tan α±tan β. (2)和差角公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差角公式的特例．如sin(2π－α)＝sin 2πcos α－cos2πsin α＝0×cos α－1×sin α＝－sin α.当α或β中有一个角是π2的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便．(3)使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β时，不要将sin(α＋β)和cos(α＋β)展开，而应采用整体思想，进行如下变形：sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin [(α＋β)－β]＝sin α.这也体现了数学中的整体原则．(4)注意公式的结构特征和符号规律：对于公式C (α－β)，C (α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S (α－β)，S (α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．【做一做1－1】 若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)＝( )A ．－3B ．－13C ．3 D.13【做一做1－2】 sin 75°的值为( )A.2－12B.2＋12C.6－24D.6＋24【做一做1－3】 cos 75°＝__________.答案：sin αcos β－cos αsin β cos αcos β＋sin αsin βtan α－tan β1＋tan αtan β sin αcos β＋cos αsin β cos αcosβ－sin αsin βtan α＋tan β1－tan αtan β【做一做1－1】 D tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13. 【做一做1－2】 D sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24. 【做一做1－3】6－24cos 75°＝cos(45°＋30°) ＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° ＝22×32－22×12＝6－24.化简a sin α±b cos α(ab ≠0)剖析：逆用两角和与差的正弦公式，凑出sin αcos β±cos αsin β的形式来化简．a sin α±b cos α＝a2＋b2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a2＋b2sin α±b a2＋b2cos α，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a a2＋b22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＋b22＝1， ∴可设cos θ＝a a2＋b2，sin θ＝ba2＋b2.则tan θ＝ba (θ又称为辅助角)．∴a sin α±b cos α＝a2＋b2(sin αcos θ±cos αsin θ)＝a2＋b2sin(α±θ)． 特别是当b a ＝±1、±3、±33时，θ是特殊角，此时θ取±π4、±π3、±π6.例如，3sin α－33cos α＝9＋27⎝⎛⎭⎪⎫39＋27sin α－339＋27cos α＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α－32cos α＝6⎝⎛⎭⎪⎫sin αco s π3－c os αsi n π3 ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.在公式a sin α＋b cos α＝a2＋b2sin(α＋φ)中，(1)sin φ＝b a2＋b2，cos φ＝aa2＋b2，在使用时不必死记上述结论，而重在理解这种逆用公式的思想．(2)a sin α＋b cos α中的角必须为同角α，否则不成立．题型一给角求值问题【例1】 求下列各式的值： (1)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°；(2)3sin π12＋cos π12.分析：本题(1)可先用诱导公式再逆用两角和的正弦公式求解，本题(2)可构造两角和的正弦公式求解． 反思：解答此类题目的方法就是活用、逆用C (α±β)，S (α±β)公式，在解答过程中常利用诱导公式实现角的前后统一．题型二给值(式)求值问题【例2】 已知cos α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin β＝－35，β是第三象限角．求sin(α＋β)，sin(α－β)的值．分析：求出sin α，cos β的值，代入公式S (α±β)即可．反思：分别已知α，β的某一三角函数值，求sin(α±β)，cos(α±β)，tan(α±β)时，其步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求出α，β其余的三角函数值；(2)代入公式S (α±β)，C (α±β)，T (α±β)计算即可．题型三利用角的变换求值【例3】 已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，3π2＜α＋β＜2π，π2＜α－β＜π，求cos 2α的值．分析：解答本题关键是探寻α＋β，α－β与2α之间的关系，再利用两角和的余弦公式求解．反思：解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式，如本题．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式． 题型四易错辨析【例4】 已知π＜α＜α＋β＜2π，且满足cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，求β.错解：∵cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，且π＜α＜α＋β＜2π，∴sin α＝－513，sin(α＋β)＝－7226.∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝22. ∵π＜α＜α＋β＜2π，∴0＜β＜π.∴β＝π4或3π4.错因分析：以上错解是由于求β的三角函数值时，函数选择不当所致．由于满足sin β＝22且β∈(0，π)的β有两值，两值的取舍就是个问题，事实上cos β＝－22，故β＝3π4，只有一值，故应计算角β的余弦值．反思：此类题目是给值求角问题，一般步骤是：(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小；(2)根据(1)所得范围来确定求tan α，sin α，cos α中的一个值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；(3)求α的一个三角值；(4)写出α的大小．答案：【例1】 解：(1)原式＝sin(360°－13°)cos(180°－32°)＋sin(90°－13°)cos(90°－32°)＝sin 13°cos 32°＋cos 13°sin 32°＝sin(13°＋32°)＝sin 45°＝22. (2)原式＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin π12＋12cos π12 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12cos π6＋sin π6cos π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝2sin π4＝2. 【例2】 解：∵cos α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝1－cos2α＝232.∵sin β＝－35，β是第三象限角，∴cos β＝－1－sin2β＝－45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝232×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－3＋8215. sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝232×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝3－8215. 【例3】 解：∵cos(α＋β)＝45，3π2＜α＋β＜2π，∴sin(α＋β)＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35. ∵cos(α－β)＝－45，π2＜α－β＜π，∴sin(α－β)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35. ∴cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β) ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×35＝－725. 【例4】 正解：∵cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，且π＜α＜α＋β＜2π，∴sin α＝－513，sin(α＋β)＝－7226.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－22. ∵π＜α＜α＋β＜2π，∴0＜β＜π.∴β＝3π4.1．(2011·山东青岛高三质检)已知cos α＝45-，且α∈π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( ) A ．17-B ．－7 C.17D ．72x x 的结果是( )A ．π3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．π3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3．25π11π11π5πsin cos cos sin126126-＝__________. 4．在△ABC 中，cos A ＝35且cos B ＝513，则cos C 的值是__________．5．已知tan(α－β)＝12，tan β＝17-，且α，β∈(0，π)．(1)求tan α的值；(2)求2α－β的值．答案：1．D 由于α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，则sin α＝35，所以tan α＝sin cos αα＝34-， 所以πtan 4α⎛⎫-⎪⎝⎭＝1tan 1tan αα-+＝7.2．D 原式＝1cos 22x x ⎫-⎪⎪⎭＝ππsincos cos sin 66x x ⎫-⎪⎭＝π6x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝ππ26x ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.25π11π11π5πsin cos cos sin 126126- ＝ππππsin 2πcos 2πcos πsin π126126⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ππππsincos cos sin 126126+＝ππsin 126⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝πsin4＝2.4.3365由于在△ABC 中，cos A ＝35，可知A 为锐角，∴sin A＝45.由于cos B ＝513，可知B 也为锐角，∴sin B＝1213.∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝45×1213－35×513＝3365. 5．解：(1)tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan()tan 1tan()tan αββαββ-+--＝11271114-+＝13. (2)tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α] ＝tan()tan 1tan()tan αβααβα-+--＝1.∵tan β＝17-＜0，∴π2＜β＜π. 又tan α＝13＞0，∴0＜α＜π2.∴－π＜α－β＜0.而tan(α－β)＝12＞0，∴－π＜α－β＜π2-.∴2α－β∈(－π，0)．∴2α－β＝3π4-.。

书山有路勤为径；学海无涯苦作舟
高中数学必修四3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正
切公式（1）导学案
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）
【学习目标】
1.理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法；
2.掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用.
【新知自学】
知识回顾
1.两角差的余弦公式是
（公式1）
2.化简
新知梳理
两角和的余弦公式中的角可以是任意角，那幺，作如下的代换，你会有什幺发现？
1、把（1）式中的角“”换成“”，可得（公式2）
2、把（1）式中的角“”换成“”，可得（公式3）
3、把（1）式中的角“”换成“”，可得(公式4)
4、把（3）式除以（2）式，
可得（公式5）
专注下一代成长，为了孩子。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式1. 能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系。

2.能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。

（预习教材P128—P131）复习：1、两角差的余弦公式：2、cos sin =α（ ）3、在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，能否用它来推导两角和与差的正弦公式呢？二、新课导学※ 探索新知 问题1：由两角差的余弦公式，怎样得到两角和的余弦公式呢？问题2：由两角和与差的余弦公式，怎样得到两角和与差的正弦公式呢？探究1、两角和与差的正弦公式的推导.探究2、两角和与差正弦公式的特征？推导两角和的正切公式？探究3、推导两角差的正切公式呢？探究4、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？注意：（1）,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈（ 2）、将)(βα+S 、)(βα+C 、)(βα+T 称为和角公式，)(βα-S 、)(βα-C 、)(βα-T 称为差角公式。

※ 典型例题例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值： （1）、s i n72c o s 42c o s 72s i n 42-；（2）、co s 20c o s 70s i n 20s i n 70-；（3）、1t a n 151t a n 15+-．例3x x -思考：怎样求ααcos sin b a +类型？总结：ααcos sin b a +=22b a + (sin αcos φ+cos αsin φ)= 22b a + sin(α+φ),其中tan φ=ab 。

变式：（1）：;_____c o s s i n =+αα （2）： .___________cos sin =-αα（3）x x sin cos 3-=____________三、小结反思1、熟记两角和与差的正弦、余弦和正切公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.2、掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用及ααcos sin b a +类型的变换）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：)( 37sin 83sin 37cos 7sin 1的值为、︒︒-︒︒ A.23- B.21- C.21 D.23)( 75tan 75tan 1 22的值为、︒︒- A.32 B.332 C.32 - D.332- )(,3cos 2cos 3sin 2sin 3的值是则若、x x x x x = A.10π B. 6π C.5π D.4π .________3sin ,2,23,51cos 4=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=πθππθθ则若、._________15tan 3115tan 3 5=︒+︒-、1. 已知()21tan ,tan ,544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．3sin ,55cos .tan(2132a ββαβ==-为第一象限角、a 为第，求二象限角，）的值。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式整体设计教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的. 三维目标1.在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2.通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3.通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式，并把公式默写在黑板上或打出幻灯片,注意有意识地让学生写整齐.然后教师引导学生观察cos(α-β)与cos(α+β)、sin(α-β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出C(α+β)、S(α-β)、S(α+β).本节课我们共同研究公式的推导及其应用.思路2.(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备.若sin α=55，α∈(0,2π)，cos β=1010,β∈(0,2π),求cos(α-β),cos(α+β)的值.学生利用公式C （α-β）很容易求得cos （α-β），但是如果求cos （α+β）的值就得想法转化为公式C （α-β）的形式来求，此时思路受阻,从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式.推进新课新知探究提出问题①还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出来.②在公式C (α-β)中，角β是任意角，请学生思考角α-β中β换成角-β是否可以？此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系，如何利用公式C (α-β)来推导cos(α+β)=?③分析观察C (α+β)的结构有何特征？④在公式C (α-β)、C (α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?⑤公式S (α-β)、S (α+β)的结构特征如何？⑥对比分析公式C (α-β)、C (α+β)、S (α-β)、S (α+β)，能否推导出tan(α-β)=?tan （α+β）=？⑦分析观察公式T (α-β)、T (α+β)的结构特征如何？⑧思考如何灵活运用公式解题？活动：对问题①，学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察两角差的余弦公式，点拨学生思考公式中的α,β既然可以是任意角，是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？鼓励学生大胆猜想，引导学生比较cos(α-β)与cos(α+β)中角的内在联系，学生有的会发现α-β中的角β可以变为角-β，所以α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕.这时教师适时引导学生转移到公式C (α-β)上来,这样就很自然地得到cos(α+β)=cos ［α-(-β)］=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β.所以有如下公式： cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C (α+β).对问题②，教师引导学生细心观察公式C (α+β)的结构特征,可知“两角和的余弦，等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积”，同时让学生对比公式C (α-β)进行记忆，并填空：cos75°=cos(_________)==__________=___________.对问题③，上面学生推得了两角和与差的余弦公式，教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式⑸⑹来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α+cos 2α=1来互化，此法让学生课下进行),因此有sin(α+β)=cos ［2π-(α+β)］=cos ［(2π-α)-β］ =cos(2π-α)cos β+sin(2π-α)sin β =sin αcos β+cos αsin β.在上述公式中,β用-β代之，则sin(α-β)=sin ［α+(-β)］=sin αcos(-β)+cos αsin(-β)=sin αcos β-cos αsin β.因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S (α+β)、S (α-β). sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.对问题④⑤，教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆，同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特点，体验三角公式的这种简洁美、对称美.为强化记忆，教师可让学生填空,如sin(θ+φ)=___________，sin 75sin 72cos 75cos 72ππππ+=__________. 对问题⑥，教师引导学生思考，在我们推出了公式C (α-β)、C (α+β)、S (α+β)、S (α-β)后,自然想到两角和与差的正切公式，怎么样来推导出tan(α-β)=?,tan(α+β)=?呢？学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到.在学生探究推导时很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出来.当cos(α+β)≠0时，tan(α+β)=.sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(βαβαβαβββ-+=++a a 如果cos αcos β≠0,即cos α≠0且cos β≠0时,分子、分母同除以cos αcos β得tan(α+β)=)tan(tan 1tan tan βαβα--+，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，则有tan(α-β)=.tan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan βαβαβαβα+-=---+ 由此推得两角和、差的正切公式，简记为T (α-β)、T (α+β).tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+ tan(α-β)=.tan tan 1tan tan βαβα+- 对问题⑥,让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±β都不能等于2π+k π(k∈Z )，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆.对问题⑦⑧，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得C (α+β)、S (α+β)、T (α+β)叫和角公式；S (α-β)、C (α-β)、T (α-β)叫差角公式.并由学生归纳总结以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)，tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美.对于两角和与差的正切公式，当tan α，tan β或tan （α±β）的值不存在时，不能使用T （α±β）处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(2π-β)，因为tan 2π的值不存在，所以改用诱导公式tan(2π-β)=βββπβπsin cos )2cos()2sin(=--来处理等.应用示例思路1例1 已知sin α=53-,α是第四象限角，求sin(4π-α),cos(4π+α),tan(4π-α)的值. 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等.例如本题中，要先求出cos α,tan α的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成.解：由sin α=53-,α是第四象限角，得cos α=54)53(1sin 122=--=-a . ∴tan α=a a cos sin =43-. 于是有sin(4π-α)=sin 4πcos α-cos 4πsin α=,1027)53(225422=-⨯-⨯ cos(4π+α)=cos 4πcos α-sin 4πsin α=,1027)53(225422=-⨯-⨯ tan(α-4π)=4tan tan 14tan tan ππa a +-=a a tan 11tan +-=7)43(1143-=-+--. 点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练1.不查表求cos75°,tan105°的值解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=42621222322-=⨯-⨯, tan105°=tan(60°+45°)= 311345tan 60tan 145tan 60tan -+=-+ =-(2+3). 2.设α∈(0,2π),若sin α=53,则2sin(α+4π)等于 A.57 B.51 C.27 D.4 答案：A例2 已知sin α=32,α∈(2π,π),cos β=43-,β∈(π,23π). 求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β).活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S (α-β)、C (α+β)、T (α+β)应先求出cos α、sin β、tan α、tan β的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号.解：由sin α=32,α∈(2π,π),得 cos α=a 2sin 1--=-2)32(1--=35-，∴tan α=552-. 又由cos β=31-,β∈(π,23π). sin β=β2cos 1--=47)43(12-=---, ∴tan β=37.∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =32×(43-)-(12356)47()35(--=-⨯-. ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=(35-)×(43-)-32×(47-) =.127253+ ∴tan(α+β)=35215755637)552(137552tan tan 1tan tan ++-=⨯--+-=-+βαβα=17727532+-.点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.变式训练引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识.解：设电视发射塔高CD=x 米，∠C AB=α，则sin α=6730， 在Rt△ABD 中，tan(45°+α)=3030+x tan α. 于是x=30tan )45tan(30-+αα , 又∵sin α=6730,α∈(0,2π),∴cos α≈6760,tan α≈21. tan(45°+α)=211211tan 1tan 1-+≈-+αα=3, ∴x=21330⨯-30=150(米). 答：这座电视发射塔的高度约为150米.例3 在△ABC 中，sinA=53(0°<A<45°),cosB=135(45°<B<90°)，求sinC 与cosC 的值. 活动：本题是解三角形问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系，从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件.解:∵在△ABC 中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B). 又∵sinA=53且0°<A<45°,∴cosA=54. 又∵cosB=135且45°<B<90°,∴sinB=1312. ∴sinC=sin［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB =53×135+54×1312=6563, cosC=cos ［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB =53×1312-54×135=6516. 点评：本题是利用两角和差公式，来解决三角形问题的典型例子，培养了学生的应用意识，也使学生更加认识了公式的作用,解决三角形问题时,要注意三角形内角和等于180°这一暗含条件.变式训练在△ABC 中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sin B≥1,则△ABC 是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形答案：C思路2例1 若sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=53,且0<α<4π<β<43π,求cos(α+β)的值. 活动：本题是一个典型的变角问题，也是一道经典例题，对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值.尽管学生思考时有点难度，但教师仍可放手让学生探究讨论，教师不可直接给出解答.对于探究不出的学生，教师可恰当点拨引导，指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系，引导学生理清所求的角与已知角的关系，观察选择应该选用哪个公式进行求解，同时也要特别提醒学生注意：在求有关角的三角函数值时，要特别注意确定准角的范围，准确判断好三角函数符号，这是解决这类问题的关键.学生完全理清思路后，教师应指导学生的规范书写，并熟练掌握它.对于程度比较好的学生可让其扩展本题，或变化条件，或变换所求的结论等.如教师可变换α,β角的范围，进行一题多变训练，提高学生灵活应用公式的能力，因此教师要充分利用好这个例题的训练价值.解：∵0<α<4π<β<43π,∴43π<43π+α<π,-2π<4π-β<0, 又已知sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=53, ∴cos(43π+α)=1312-,sin(4π-β)=54-. ∴cos(α+β)=sin ［2π+(α+β)］=sin ［(43π+α)-(4π-β)］ =sin(43π+α)cos(4π-β)-cos(43π+α)sin(4π-β) =135×53-(1312-)×(54-)=6533-. 本题是典型的变角问题,即把所求角利用已知角来表示,实际上就是化归思想.这需要巧妙地引导,充分让学生自己动手进行角的变换,培养学生灵活运用公式的能力.变式训练已知α,β∈(43π,π),sin(α+β)=53-,sin(β-4π)=1312, 求cos(α+4π)的值. 解：∵α,β∈(43π,π),sin(α+β)=53-,sin(β-4π)=1312, ∴23π<α+β<2π,2π<β-4π<43π. ∴cos(α+β)=54,cos(β-4π)=135-. ∴cos(α+4π)=cos ［(α+β)-(β-4π)］ =cos(α+β)cos(β-4π)+sin(α+β)sin(β-4π)=54×(135-)+(53-)×1312=6556-. 例2 化简.sin sin )sin(sin sin )sin(sin sin )sin(a a a a θθθβθβββ-+-+- 活动：本题是直接利用公式把两角的和、差化为两单角的三角函数的形式，教师可以先让学生自己独立地探究，然后进行讲评.解：原式=aa a a a a sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin θθθθβθβθββββ-+-+- =a a a a a a a a sin sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin βθβθβθθβθβθβθβθβαθβ-+-+-=asin sin sin 0βθ =0.点评：本题是一个很好的运用公式进行化简的例子，通过学生独立解答，培养学生熟练运用公式的运算能力.变式训练 化简)cos(sin sin 2cos sin 2)sin(βαβαβαβα++-+ 解：原式=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin sin 2cos sin 2sin cos cos sin -+- =).tan()cos()sin(cos cos sin sin cos sin sin cos αβαβαββαβαβαβα-=--=+- 知能训练课本本节练习1—4. 1.(1)426-,(2)426-,(3)426+,(4)2-3. 2.10334-. 3.263512- 4.-2.作业已知0<β<4π,4π<α<43π,cos(4π-α)=53,sin(43π+β)=135,求sin(α+β)的值. 解：∵4π<α<43π,∴2π-<4π-α<0.∴sin(4π-α)=2)53(1--=54-. 又∵0<β<4π,∴43π<43π+β<π,cos(43π+β)=2)135(1--=1312-. ∴sin(α+β)=-cos(2π+α+β)=-cos ［(43π+β)-(4π-α)］ =-cos(43π+β)cos(4π-α)-sin(43π+β)sin(4π-α) =-(1312-)×53135-×(54-)=6556. 课堂小结1.先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法，有哪些收获与提高，在公式推导中你悟出了什么样的数学思想？对于这六个公式应如何对比记忆？其中正切公式的应用有什么条件限制？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.2.教师画龙点睛：我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导，明白从已知推得未知，理解数学中重要的数学思想——转化思想,并要正确熟练地运用公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的.设计感想1.本节课是典型的公式教学模式，是在两角差的余弦公式的基础上进行的，因此本教案的设计流程是“提出问题→转化推导→分析记忆→应用训练”.它充分展示了公式教学中以学生为主体，进行主动探索数学知识发生、发展的过程.同时充分发挥教师的主导作用，引导学生利用旧知识推导证明新知识，并学会记忆公式的方法，灵活运用公式解决实际问题,从而使学生领会了数学中重要的数学思想——转化思想，并培养他们主动利用转化思想指导探索解决数学问题的能力.2.纵观本教案的设计，知识点集中，容量较大，重点是公式的推导证明、记忆以及简单的应用等，通过本节的学习，使学生深刻理解公式的推导、证明方法，熟练应用公式解决简单的问题.同时教给学生发现规律、探索推导、获取新知的方法，让他们真正体验到自己发现探索数学知识的喜悦和成功感.第2课时导入新课思路 1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解.这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用.思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答.1.化简下列各式(1)cos （α＋β）cos β＋sin （α＋β）sin β;(2)cos sin 1tan cos sin cos sin sin 22---+--x x x x x x x ; (3).tan tan cos sin )sin()sin(2222αββαβαβα+-+ 2.证明下列各式 (1);tan tan 1tan tan )cos()sin(βαβαβαβα++=-+ (2)tan （α＋β）tan （α-β）（1-tan 2tan 2β）＝tan 2α-tan 2β; (3).sin sin )cos(2sin )2sin(αββααβα=+-+ 答案:1.(1)cos α;(2)0;(3)1.2.证明略.教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习，由此展开新课.推进新课新知探究提出问题①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系，可从推导体系中思考.活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊到一般的数学思想方法.教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例.在应用公式时，还要注意角的相对性，如α=(α+β)-β,)2()2(2βαβαβα---=+等.让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养.sin （α±β）＝sin αcos β±cos αsin β〔Ｓ（α±β）〕;cos （α±β）＝cos αcos βαsin β〔C （α±β）〕;tan （α±β）＝βαβαtan tan 1tan tan ±〔T （α±β）〕. 讨论结果：略.应用示例思路1例1 利用和差角公式计算下列各式的值.（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°;（2）cos20°cos70°-sin20°sin70°; （3）15tan 115tan 1-+活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成.对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现（1）同公式S (α-β)的右边，（2）同公式C (α+β)右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果.再看（3）式与T (α+β)右边形式相近，但需要进行一定的变形.又因为tan45°=1，原式化为15tan 45tan 115tan 45tan -+，再逆用公式T (α+β)即可解得. 解：（1）由公式S (α-β)得 原式=sin(72°-42°)=sin30°=21. （2）由公式C (α+β)得原式=cos(20°+70°)=cos90°=0. （3）由公式T (α+β)得原式=15tan 45tan 115tan 45tan -+=tan(45°+15°)=tan60°=3. 点评：本例体现了对公式的全面理解，要求学生能够从正、反两个角度使用公式.与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解. 变式训练 1.化简求值：（1）cos44°sin14°-sin44°cos14°; （2）sin14°cos16°+sin76°cos74°;（3）sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x). 解：（1）原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30°=21-. （2）原式=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°=21. （3）原式=sin ［(54°-x)+(36°+x)］=sin90°=1.2.计算.75tan 175tan 1+- 解：原式=75tan 45tan 175tan 45tan +-=tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°=33-. 例2 已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)的定义域为R ,设θ∈［0,2π］,若f(x)为偶函数,求θ的值.活动:本例是一道各地常用的、基础性较强的综合性统考题,其难度较小,只需利用偶函数的定义,加上本节学到的两角和与差的三角公式展开即可,但不容易得到满分.教师可先让学生自己探究,独立完成,然后教师进行点评. 解:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ), 即-sinxcos θ+cosxsin θ+cosxcos θ-sinxsin θ =sinxcos θ+cosxsin θ+cosxcos θ+sinxsin θ.∴sinxcos θ+sinxsin θ=0.∴sinx(sin θ+cos θ)=0对任意x 都成立.∴2sin(θ+4π)=0,即sin(θ+4π)=0. ∴θ+4π=k π(k∈Z ).∴θ=k π-4π(k∈Z ).又θ∈［0,2π),∴θ=43π或θ=47π.点评:本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解.教师应提醒学生注意,如果将本例变为选择或填空,可利用特殊值快速解题,作为解答题利用特殊值是不严密的,以此训练学生逻辑思维能力. 变式训练已知：2π<β<α<43π,cos(α-β)=1312,sin(α+β)=54-,求cos2β的值.解：∵2π<β<α<43π,∴0<α-β<4π,π<α+β<23π.又∵cos(α-β)=1312,sin(α+β)= 54-,∴sin(α-β)=135,cos(α+β)=53-.∴cos2β=cos ［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =53-×1312+(54-)×135=6556-.例3 求证：cos α+3sin α=2sin(6π+α). 活动：本题虽小但其意义很大,从形式上就可看出来,左边是两个函数,而右边是一个函数,教师引导学生给予足够的重视.对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S (α+β)展开，化简整理即可得到左边此为证法，这是很自然的，教师要给予鼓励.同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S (α+β)的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为一个三角函数. 证明：方法一：右边=2(sin6πcos α+cos 6πsin α)=2(21cos α+23sin α)=cos α+3sin α=左边.方法二：左边=2(21cos α+23sin α)=2(sin 6πcos α+cos 6πsin α)=2sin(6π+α)=右边.点评：本题给出了两种证法，方法一是正用公式的典例，而方法二则是逆用公式证明的，此法也给了我们一种重要的转化方法，要求学生熟练掌握其精神实质.本例的方法二将左边的系数1与3分别变为了21与23，即辅助角6π的正、余弦.关于形如asinx+bcosx （a ，b 不同时为零）的式子,引入辅助角变形为Asin(x+φ)的形式，其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式，把它化成Asin(x+φ)的形式.一般情况下，如果a=AC os φ,b=Asin φ,那么asinx+bcosx=A(sinxcos φ+cosxsin φ)=Asin(x+φ).由sin 2φ+cos 2φ=1,可得 A 2=a 2+b 2,A=±22b a +,不妨取A=22b a +,于是得到cos φ=22ba a+,sin φ=22ba b +,从而得到tan φ=ba,因此asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，通过引入辅助角φ，可以将asinx+bcosx 这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式.化为这种形式可解决asinx+bcosx 的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意，这种引入辅助角的变换思想很重要，即把两个三角函数化为一个三角函数，实质上是消元思想，这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质.因此在历年高考试题中出现的频率非常高，是三角部分中高考的热点,再结合续内容的倍角公式,在解答高考物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练的掌握它. 变式训练化简下列各式： （1）3sinx+cosx; （2）2cosx-6sinx.解：（1）原式=2(23sinx+21cosx)=2(cos 6πsinx+sin 6πcosx) =2sin(x+6π). （2）原式=22 (21cosx-23sinx)=22(sin 6πcosx-cos 6πsinx) =22sin(6π-x). 例4 （1）已知α+β=45°,求(1+tan α)(1+tan β)的值; （2）已知sin(α+β)=21,sin(α-β)=31,求.tan tan βα 活动：对于（1）,教师可与学生一起观察条件，分析题意可知，α+β是特殊角，可以利用两角和的正切公式得tan α,tan β的关系式，从而发现所求式子的解题思路.在（2）中，我们欲求.tan tan βα若利用已知条件直接求tan α,tan β的值是有一定的困难，但细心观察公式S (α+β)、S (α-β)发现，它们都含有sin αcos β和cos αsin β，而.tan tan βα化切为弦正是βαβαsin cos cos sin ，由此找到解题思路.教学中尽可能的让学生自己探究解决，教师不要及早地给以提示或解答. 解：（1）∵α+β=45°,∴tan(α+β)=tan45°=1. 又∵tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+∴tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β), 即tan α+tan β=1-tan αtan β.∴原式=1+tan α+tan β+tan αtan β=1+(1-tan αtan β)+tan αtan β=2. （2）∵sin(α+β)=21,sin(α-β)= 31,∴sin αcos β+cos αsin β=21,①sin αcos β-cos αcos β=31.②①+②得sin αcos β=125, ①-②得cos αsin β=121,∴5121125sin cos cos sin tan tan ===βαβαβα点评：本题都是公式的变形应用，像(1)中当出现α+β为特殊角时，就可以逆用两角和的正切公式变形tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),对于我们解题很有用处，而(2)中化切为弦的求法更是巧妙，应让学生熟练掌握其解法. 变式训练1.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°)的值解：原式=［(1+tan1°)(1+tan44°)］［(1+tan2°)(1+tan43°)］…［(1+tan22°)(1+tan23°)］(1+tan45°)=2×2×2×…×2=223. 2.计算：解：原式=tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1. 知能训练课本本节练习5—7.解答：5.解:（1）原式=sin90°=1. （2）原式=cos60°=21. （3）原式=tan45°=1. （4）原式=-sin60°=23-. （5）原式=-cos60°=21-. （6）原式=sin20°（-cos70°）+（-cos20°）sin70° =-（sin20°cos70°+cos20°sin70°）=-sin90°=-1. 6.（1）原式=sin6πcosx-cos 6πsinx=sin(6π-x). （2）原式=2(23sinx+21cosx)=2sin(x+6π). （3）原式=2(22sinx-22cosx)=2sin(x-4π).（4）原式=22(21cosx-23sinx)=22sin(6π-x). 点评：将asinx+bcosx 转化为Asin(x+φ)或Acos(x+φ)的形式，关键在于“凑”和（或差）角公式.7.解：由sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=53,可得 sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=sin(α-β-α)=-sin β=53, ∴sin β=53-.又β是第三象限角， ∴cos β=54-.∴sin(β+45π)=sin βcos 45π+cos βsin 45π=1027.作业已知一元二次方程ax 2+bx+c=0(ac ≠0)的两个根为tan α、tan β,求tan(α+β)的值. 解：由韦达定理得：tan α+tan β=a b -,tan αtan β=ac , ∴tan(α+β)=a c bac c b-=--=-+1tan 1tan tan αββα.课堂小结1.先让学生回顾本节课的主要内容是什么？我们学习了哪些重要的解题方法？通过本节的学习，我们在运用和角与差角公式时，应注意什么？如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题.2.教师画龙点睛：通过本节课的学习，要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等.推导并理解公式asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)，运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题.设计感想 1.本节是典型的习题课，目的就是加深巩固两角和与差公式的应用，深刻理解公式的内在联系，学会综合利用公式解题的方法和技巧.因此,本节课安排的四个例子都是围绕这个目标设计的，它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用.另外，通过补充的例题，教给学生正用、逆用、变形用公式的方法，培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力.特别是给出了形如“asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)”公式的推导和应用，对于三角函数的研究，给我们提供了一种重要的方法.2.对于习题课来说，我们应该本着以学生为主体，教师为主导的原则，让学生先认真审题、独立思考、板演解法，然后教师再进行点评，理清思路，纠正错误，指导解法，争取一题多解，拓展思路,通过变式训练再进行方法巩固.。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)自主学习知识梳理1．两角和与差的正切公式(1)T (α＋β)：tan(α＋β)＝__________________. (2)T (α－β)：tan(α－β)＝__________________. 2．两角和与差的正切公式的变形 (1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝__________________.tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝______________. tan α·tan β＝__________________. (2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝__________________.tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝________________. tan αtan β＝__________________.自主探究根据同角三角函数关系式完成公式T (α＋β)、T (α－β)的推导过程． ∵sin(α＋β)＝__________________. cos(α＋β)＝__________________.∴tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝____________＝_________________________________.∵tan(α－β)＝tan[α＋(－β)]∴tan(α－β)＝________________＝________________.对点讲练知识点一 化简求值例1 求下列各式的值． (1)1－tan 15°1＋tan 15°；(2)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°.回顾归纳 公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示或求出第三个．变式训练1 求下列各式的值．(1)3＋tan 15°1－3tan 15°；(2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°.知识点二 给值求角例2 若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.回顾归纳 此类题是给值求角题，解题步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值，②确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解．变式训练2 已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，求角α＋β.知识点三 三角形中的问题例3 已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，试判断△ABC 的形状．回顾归纳 三角形中的问题，A ＋B ＋C ＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角．变式训练3 已知A 、B 、C 为锐角三角形ABC 的内角．求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .1．公式T (α±β)的适用范围由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )．2．公式T (α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．要特别注意tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α. 3．公式T (α±β)的变形应用 只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路.课时作业一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( )A.43 B ．－43 C ．－7 D ．－173．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π44．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定 5．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．tan 10° D.3tan 20°二、填空题6．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.7．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin (α＋β)cos (α－β)＝________.8．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为________．三、解答题9．求下列各式的值． (1)sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°；(2)(1－tan 59°)(1－tan 76°)．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．123456 345678 5678910 7 8 9 10 11 12 9 10 11 12 13 14 11 12 13 14 15 16 579 68 10 100/6=18*37+154+16*33-2 666 5123.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)答案知识梳理1．(1)tan α＋tan β1－tan αtan β (2)tan α－tan β1＋tan αtan β2．(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－tan α＋tan βtan (α＋β)(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) tan α－tan βtan (α－β)－1自主探究sin αcos β＋cos αsin β cos αcos β－sin αsin β sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin βtan α＋tan β1－tan αtan βtan α＋tan (－β)1－tan αtan (－β) tan α－tan β1＋tan αtan β对点讲练例1 解 (1)原式＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝33.(2)∵tan 60°＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°＝ 3.∴tan 20°＋tan 40°＝3(1－tan 20°tan 40°) ∴原式＝3(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°tan 40° ＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40° ＝ 3.变式训练1 解 (1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan(60°＋15°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋ 3.(2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－3tan 36°·tan 84° ＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－3tan 36°·tan 84°＝tan 120°＝－ 3. 例2 解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2， ∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2， ∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1 ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.∴tan(α＋β)＝－1. ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π.∴α＋β∈(π，2π)．∴α＋β＝7π4.变式训练2 解 由已知得⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－33tan α·tan β＝4∴tan α、tan β均为负．∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.∵tan α<0，tan β<0，∴－π2<α<0，－π2<β<0.∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－2π3.例3 解 ∵3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1， ∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1， ∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－33，∴tan(A ＋B )＝－33.又∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝5π6，∴C ＝π6，∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，tan C ＝33，∴tan B ＋33＋tan B ＝3，tan B ＝33，∴B ＝π6，∴A ＝2π3，∴△ABC 为等腰三角形．变式训练3 证明 ∵A ＋B ＋C ＝π， ∴A ＋B ＝π－C .∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－tan C .∴tan A ＋tan B ＝－tan C ＋tan A tan B tan C . 即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C . 课时作业1．A 2.C 3.C4．A [tan A ＋tan B ＝53，tan A ·tan B ＝13，∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52，∴C 为钝角．]5．A [原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋ 3 tan 10°＝3(tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°)＝3×33＝1.]6．1解析 tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α.∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α. ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β. ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1. 7．－32解析 ∵tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝－3， ∴sin (α＋β)cos (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β ＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋(－3)＝－32.8.23解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13.∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23.9．解 (1)原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3. (2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76° ＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.10．解 由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55.因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， ∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan α·tan 2β＝7＋431－7×43＝－1.∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4.。

3.1.2《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》导学案【学习目标】1.能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及.两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系。

2.能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。

【重点难点］1.教辜重占：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2.教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.【学法指导】1.理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，初步运用公式求一些角的三角函数值；2.经历两用和与差的三角公式的探究过程，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力；【知识链接】1、在一-般情况卜sin ( a + B ) Hsin a +sin P , cos( a + B ) Hcos a +cos 3 .si心I，则Sin(0) = --------------------- ;若&是第四彖限角，则Sin(0) = --------------------------jr= 2,&是第三象限角，求tan(& ) = _________________ .6注意角的变换及公式“熨活运用，女ttz =(Q+0)-0;2a =(Q+0)-(a-0), '、半=(—£)_(耳_0)等。

2 2 2已知tan(a + 0) = ?,tan(a-0)= -丄,那么tan(cr + 壬)的值为(A、一—B、—C^ —D N —18 18 12 223.在运用公式解题时，既要意公式的正用，也要注意公式的反用和变式运用.如公式tan(a ±B)二° _ 卩可变形为:tan a ± tan P =tan (a ±P)(l + ta n a tan B )；1 + tan a tan (3tan a ± tan 0± tan(】tan B 二・1_ -------------- ,tan(6r± 0)tan 20° + tan 40° + V3 tan 20: tan 40:.4、乂如：asin a+bcos a 二Jo?(sin a cos "+cos a sin ")二yla2+b2 sin( a +(1>),其中tan<b = -等，有时能收到事半功倍之效..asina + cosa = ___________ ; sina-cosa = ______________ •・V3 cos x - sin x = ___________ .提出疑惑同学们，通过你的口主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容【学习过程】（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式:动手完成两角和与羌正弦和正切公式.观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.通过什么途径可以把上面的式子化成只含冇tana 、tan0的形式呢？（分式分子、’分母同时除以 cosacos0,得到tan （a + 0）= 伽（2+伽01 - tan tan 0717171注意：Q + 0 H —F k 兀O H —F k 兀、0 H —H k7V （k G z ）2 2 2以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角羌的正切公式呢？tano+tan （—0） _ tan a-tan/3 l-tancrtan （-/?） 1 +tan a tan 0注意：a+ B — ^—+k7i 伙w z ）.2 2 2（二）例题讲解3例1、已知sina = --,a 是第四象限角，求sin例2、利用和(差)角公式计算下列各式的值：(1)、sin 72 cos42° -cos72° sin42 : (2)、cos20 cos70 -sin 20° sin70 ；(3)、1 +tan 15° 1 - tan 15例3、化简血 cosx- 品sin 兀(7C,cos(71,tana —— U J<4 J< 4tan(a_0) = tan [cr+(-/?)]的值•・【学习反思】【基础达标】1、sin 7° cos 37° 一 sin 83° sin 37。