高中数学 3.1.2《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》导学案 新人教A版必修4

3. 1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣，理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。

二、教学目标⒈掌握两角和与差公式的推导过程；⒉培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力； ⒊发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。

三、教学重点难点重点：两角和与差公式的应用和旋转变换公式；难点：两角和与差公式变aSina ＋bCosa 为一个角的三角函数的形式。

四、学情分析 五、教学方法1．温故、推新，循序渐进，以学生为主体逐步掌握本节知识要点 2．学案导学：见后面的学案。

3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备 多媒体课件七、课时安排：1课时 八、教学过程（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． 通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-．注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．（二）例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===，3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ，于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 44455πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两结果一样，我们能否用第一章知识证明？3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值： （1）、s i n 72c o s 42c o s 72s i n 42-；（2）、c o s 20c o s 70s i n 20s i n 70-；（3）、1t a n 151t a n 15+-．解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.（1）、()1s i n 72c o s 42c o s 72s i n 42s i n7242s i n 302-=-==； （2）、()c o s 20c o s 70s i n 20s i n 70c o s 2070c o s 900-=+==；（3）、()1t a n 15t a n 45t a n 15t a n 4515t a n 6031t a n 151t a n 45t a n 15++==+==--．例3x x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)()1cos sin 30cos cos30sin 22sin 302x x x x x x x ⎫-==-=-⎪⎪⎭思考：=余弦分别等于12.（三）反思总结，当堂检测。

3.1.2 两角和与差的正弦公式【学习目标】1、掌握两角和与差的正弦公式及其推导方法。

2、通过公式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力。

并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。

3、掌握诱导公式 sin =cos α，sin = cos α,sin =- cos α, sin =- cos α,【学习重点难点】 （一）预习指导： 两角和与差的余弦公式：cos(α+β)= cos(α-β)=（二）基本概念： 基本概念：1.两角和的正弦公式的推导sin(α+β)= sin(α-β)=（二）、典型例题选讲： 例1 不查表，求下列各式的值. (1)sin105°(2)sin80°cos20°- cos80°sin20°(3)cos(4)cos80°sin40°+cos10°sin50°⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ2⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ23⎪⎭⎫⎝⎛-απ23103cos 5sin 103sin 5ππππ+例2已知sin α= ，α∈ ，cos β= - ,β是第三象限角，求sin （α-β）的值.【课堂练习】１.在△ABC 中，已知cosA = ,cosB= ,则cosC 的值为2.已知 ＜α＜ ，0＜β＜α，cos( +α)=- ,sin( +β)= ,求sin(α+β)的值.3.化简（1）sin α+cos α （2）sin α-cos α（3）sin α3+cos α （4）2sin α32-cos α（5）2cos χ-6sin χ （6）3sin α4-cos α31544π43π4π5343π13554⎝⎛⎪⎭⎫ππ,2135我们得到一组有用的公式：（1）sin α±sin α=2sin =2cos .（2）sin α3±cos α=2sin =2cos（3）αsin α+bcos α=22b a +sin （α+ϕ）=22b a +cos(α-θ)6.化解3cos χχsin -7.求证：cos χ+sin χ=2cos （χ - ）8.求证：cos α+3sin α=2sin （ ）.9.已知 ，将函数у=cos （ ）-cos 化简.10.求 的值.【课堂小结】⎝⎛⎪⎭⎫±4πα ⎝⎛⎪⎭⎫4πα ⎝⎛⎪⎭⎫±3πα ⎝⎛⎪⎭⎫3πα 4παπ+6︒︒-︒20cos 20sin 10cos 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πχχπ-12⎝⎛⎪⎭⎫+χπ1253.1.3 两角和与差的正切公式【学习目标】1.掌握两角和与差的正切公式及其推导方法。

导学案年级： 高一 科目： 数学 主备： 审核：课题：两角和与差的正弦、正切公式 课型：新授课 课时 :2 课时 【三维目标】●知识与技能：能利用两角和与差的余弦公式，利用化归思想等推导出两角和与差的正弦、正切公式，体会它们的内在联系并进行简单的应用。

●过程与方法:进一步提高学生运用对比、联系、转化的观点去处理和分析问题的自觉性。

●情感态度与价值观：培养学生积极动手，勇于探索，善于发现，团结协作，独立意识以及不断超越自我的创新品质。

【学习重点】：引导学生通过独立探索和讨论交流，利用已学知识，推导出两角和与差的正弦和正切公式，并体会它们的内在联系。

【学习难点】：掌握两角和与差正弦、余弦、正切公式的逆用和变用。

【教学资源】教师导学过程(导案)学生学习活动(学案) 【导学过程1:】复习式导入：（1）大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()βαβαβαsin sin cos cos cos =±；（2）()cos sin =α； （3）()()=αtan . 【学生学习活动1:】（1）回忆上节课所学知识，诱导公式和同角的基本关系为本节课学习作铺垫【导学过程2:】 讲授新课怎样由上述知识得到两角和与差的正弦和正切公式呢？活动1、学生动手完成两角和的正弦公式推导()()()诱导公式五βαβαβαπβαπβαπβαπβαsin cos cos sin sin 2sin cos 2cos 2cos 2cos sin +=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+【学生学习活动2:】活动1、学生动手完成两角和的正弦公式推导()()()诱导公式五βαβαβαπβαπβαπβαπβαsin cos cos sin sin 2sin cos 2cos 2cos 2cos sin +=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+ 活动2、怎样继而得到两角差的正弦公式；观察两角和与差的正弦公式的特征()()[]()()()换元的思想βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin sin cos cos sin sin sin -=-+-=-+=-活动2、怎样继而得到两角差的正弦公式；观察两角和与差的正弦公式的特征()()[]()()()换元的思想βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin sin cos cos sin sin sin -=-+-=-+=-小结1：()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±活动3、学生动手完成两角和的正切公式推导()()()()系同角三角函数的基本关βαβαβαβαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan sin sin cos cos sin cos cos sin cos sin tan -+=-+=++=+ 活动4、怎样继而得到两角差的正切公式；观察两角和与差的 正弦公式的特征()()[]()()()换元的思想－－－－βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan +-=-+=+=小结2：()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±其中，,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈将()βα+S 、()βα+C 、()βα+T 称为和角公式；()βα-S 、()βα-C 、()βα-T 称为差角公式。

小结 此类题是给值求角题，步骤如下：(1)求所求角的某一个三角函数值；(2)确定所求角的范围，此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值．
跟踪训练2 已知sin α＝35，cos β＝－5
13，α
为第二象限角，
β为第三象限角．求sin(α＋β)和sin (α－β)的值．
例3 已知sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
小结 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、“往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、结构形式的差异．
跟踪训练3 证明：sin
2α＋βsin α
－2cos(α＋
β)＝sin β
sin α
.。

探究点一 两角和与差的正切公式的推导
问题 1 你能根据同角三角函数基本关系式tan α＝sin α
cos α
，从两角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出
用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？试一试．
探究点二 两角和与差的正切公式的变形公式 两角和与差的正切公式变形形式较多，例如：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， tan αtan β＝1－
tan α＋tan βtan α＋β＝
tan α－tan β
tan α－β
－1.
答 当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
cos αcos β－sin αsin β
.
当cos αcos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β，得
tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
.
根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得
tan(α－β)＝tan α＋tan (－β)1－tan αtan (－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β
.
问题2 在两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？
答 在公式T (α＋β)，T (α－β)中α，β，α±β都不能等于k π＋π2(k ∈Z )．
＝tan 120°＝－ 3.。

学习资料专题3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式疱工巧解牛知识•巧学一、两角和的余弦公式1.比较cos(α-β)与cos(α+β)，根据α+β与α-β之间的联系：α+β=α-(-β)，则由两角差的公式得cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ,即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.学法一得这种以-β代β的变换角的方式在三角函数的恒等变形中有着重要应用，同时也启发我们要辩证地看待和角与差角.在公式C(α-β)中，因为角α、β是任意角，所以在C(α+β)中，角α、β也是任意角.2.用两点间的距离公式推导C(α+β).图3-1-5如图3-1-5，在直角坐标系xOy内作单位圆O，以O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，作出角α、-β，使角α、-β的终边分别交单位圆于点P2、P4，再以OP2为始边，作角β，使它的终边交单位圆于点P3，这样就出现了α、β、α+β这样的角，设角α、-β的始边交单位圆于点P1，则P1(1，0).设P2(x，y)，根据任意角的三角函数的定义，有sinα=y，cosα=x，即P2(cosα，sinα)；同理,可得P3(cos(α+β)，sin(α+β))，P4(cos(-β)，sin(-β)).由整个作图过程可知△P3OP1≌△P2OP4，所以|P1P3|=|P2P4|.|P1P3|2=|P2P4|2，即［cos(α+β)-1］2+sin2(α+β)=［cos(-β)-cosα］2+［sin(-β)-sinα］2.根据同角三角函数的基本关系,整理得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)，即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.3.利用向量的数量积推导C(α+β).图3-1-6如图3-1-6，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆，以Ox 为始边作角α、-β，它们与单位圆的交点分别为A 、B.显然，=(cos α,sin α),=(cos(-β),sin(-β)).根据向量数量积的定义，有·=(cos α,sin α)·(cos(-β),sin(-β))=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β.于是cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.学法一得 ①在处理问题的过程中，把有待解决或难解决的问题，通过某种转化，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解，这种思想方法叫做化归思想. ②以任意角的三角函数的定义为载体，我们推导了同角的三角函数的基本关系式、诱导公式和两角和的余弦公式.熟记公式中角、函数的排列顺序及式中的正负号是正确使用公式的关键.记忆要诀 公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反. 二、两角和与差的正弦 1.公式的推导sin(α-β)=cos［2π-(α-β)］=cos ［(2π-α)+β］=cos(2π-α)cos β-sin(2π-α)sin β=sin αcos β-cos αsin β.在上面的公式中，以-β代β，即可得到sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β. 2.和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcos α-cos2πsin α=0×cos α-1×sin α=-sin α. 当α或β中有一个角是2π的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；上面公式中的α、β均为任意角.误区警示 公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sin α±sin β，学习时一定要注意这一点.学法一得 公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，如化简sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β，不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开，而应当整体考察，进行如下变形：sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin ［(α+β)-β］=sin α，这也体现了数学中的整体原则.记忆要诀 记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相同. 三、两角和与差的正切 1.公式的推导利用两角和的正弦、余弦公式，可以推导出两角和的正切公式： tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++，当cos αcos β≠0时，我们可以将上式的分子、分母同时除以cos αcos β， 即得用tan α和tan β表示的公式：tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+，在上面的公式中，以-β代β，可得两角差的正切公式：tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-.2.公式成立的条件要能应用公式，首先要使公式本身有意义，即tan α、tan β存在.并且1+tan αtan β的值不为零，所以可得α、β需满足的条件：α≠k π+2π,β≠k π+2π，α+β≠k π+2π或α-β≠k π+2π，以上k∈Z .当tan α、tan β、tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式或其他方法解决.学法一得 两角和与差的正切同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)就可以解决诸如tan15°+tan30°+tan15°tan30°的问题.所以在处理问题时要注意考察式子的特征，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了. 典题•热题知识点一 所求角可表示成两个特殊角的和、差 例1 求sin 75°,tan15°的值.解：sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30° =42621222322+=⨯+⨯； tan15°=tan(60°-45°)=32311345tan 60tan 145tan 60tan -=+-=︒︒+︒-︒，或tan15°=tan(45°-30°)=3233133130tan 45tan 130tan 45tan -=+-=︒︒+︒-︒. 例2 求︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值.思路分析：观察被求式的函数名称的特点和角的特点，其中7°=15°-8°，15°=8°+7°，8°=15°-7°.无论采取哪种代换方式，都可减少角的个数.利用和角或差角公式展开，进行约分、化简、求值.若用7°=15°-8°代换，分子、分母是二次齐次式；若用15°=8°+7°或8°=15°-7°代换，分子、分母将会出现三次式，显然选择后者更好，不妨比较一下. 答案：原式=︒︒+︒-︒︒︒+︒+︒8sin )87sin(7cos 8sin )87cos(7sin︒︒︒-︒-︒︒︒︒+︒-︒=︒∙︒-︒︒︒-︒︒∙︒-︒︒︒+︒=8sin 8cos 7sin )8sin 1(7cos 8sin 8cos 7cos )8sin 1(7sin 8sin 7cos 8sin 8cos 7sin 7cos 8sin 7sin 8sin 8cos 7cos 7sin 2222︒︒-︒︒︒︒+︒︒=︒︒︒-︒∙︒︒︒︒+︒∙︒=8sin 7sin 8cos 7cos 8sin 7cos 8cos 7sin 8sin 8cos 7sin 8cos 7cos 8sin 8cos 7cos 8cos 7sin 22 3215tan 15cos 15sin -=︒=︒︒=.巧解提示:原式=︒∙︒-︒-︒︒∙︒+︒-︒8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(︒∙︒-︒∙︒+︒∙︒︒∙︒+︒∙︒-︒∙︒=8sin 15sin 8sin 15sin 8cos 15cos 8sin 15cos 8sin 15cos 8cos 15sin︒∙︒︒∙︒=8cos 15cos 8cos 15sin =tan15°=tan(45°-30°) 3233133130tan 45tan 130tan 45tan -=+-=︒∙︒+︒-︒=. 方法归纳 三角函数式的结构一般由角、三角函数符号及运算符号三部分组成.因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.无论是化简、求值，还是证明，其结果应遵循以下几个原则：①能求值的要求值；②三角函数的种类尽可能少；③角的种类尽可能少；④次数尽可能低；⑤尽可能不含根号和分母.知识点二 已知α、β的三角函数值，求α±β的三角函数值例3 已知sin α=31，求cos(3π+α)的值. 思路分析：因为3π是个特殊角，所以根据C (α+β)的展开式，只需求出cos α的值即可.由于条件只告诉了sin α=31，没有明确角α所在的象限，所以应分类讨论，先求cos α的值，再代入展开式确定cos(3π+α)的值.解：∵sin α=31>0，∴α位于第一、二象限.当α是第一象限角时，cos α=322)31(12=-， ∴cos(3π+α)=cos 3πcos α-sin 3πsin α=6322312332221-=⨯-⨯;同理，当α是第二象限角时，cos α=322-， ∴cos(3π+α)=6332+-.方法归纳 解这类给值求值问题的关键是先分清S (α±β)、C (α±β)、T (α±β)的展开式中所需要的条件，结合题设，明确谁是已知的，谁是待求的.其中在利用同角三角函数的基本关系求值时，应先解决与已知具有平方关系的三角函数值.但是，对于cos(π+α)、cos(2π+α)这样的函数求值，由于它们的角与2π的整数倍有关，所以无需按它们的展开式求值，直接利用诱导公式可能更简单. 例4 已知cos(α-2β)=91-，sin(2α-β)=32，并且2π＜α＜π，0＜β＜2π，求2c o sβα+的值.思路分析：观察给出的角)2()2(2βαβαβα---=+，结合公式C (α-β)展开式的特点，只需利用同角三角函数的基本关系计算出sin(α-2β)、cos(2α-β)的值即可. 解：∵2π＜α＜π，0＜β＜2π，∴4π＜2α＜2π，0＜2β＜4π.∴4π＜α-2β＜π，-4π＜2α-β＜2π. 又∵cos(α-2β)=91-＜0，∴πβαπ<-<<22.∴954)91(1)2(sin 1)2sin(22=--=--=-βαβα. 同理，∵sin(2α-β)=32>0，∴220πβα<-<.∴35)32(1)2(sin 1)2cos(22=-=--=-βαβα. 故)]2()2cos[(2cosβαβαβα---=+=cos(α-2β)cos(2α-β)+sin(α-2β)sin(2α-β) 2757329543591=⨯+⨯-=.例5 在△ABC 中，sinA=53,cosB=135，求cosC. 思路分析：本题主要考查三角形中的三角函数问题.若不注意“△ABC”这个条件，就会产生多解，所以解这类问题时一定要注意尽量压缩角的范围，避开分类讨论，同时要注意结论是否符合题意. 解： ∵cosB=22135<,∴B∈(4π,2π)且sinB=1312.∵sinA=2253<,∴A∈(0,4π)∪(43π,π). 若A∈(43π,π),B∈(4π,2π)，则A+B∈(π,23π)与A+B+C=π矛盾， ∴A ∉(43π,π).因此A∈(0,4π)且cosA=54.从而cosC=cos ［π-(A+B)］=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=6516131********=⨯+⨯-. 例6 如图3-1-7，已知向量=(3,4)绕原点旋转45°到OP′的位置，求点P′(x′,y′)的坐标.图3-1-7思路分析：本题相当于已知角α的三角函数值，求α+45°的三角函数值. 解：设∠xOP=α.因为|OP|=54322=+，所以cos α=53,sin α=54. 因为x′=5cos(α+45°)=5(cos αcos45°-sin αsin45°)22)22542253(5-=⨯-⨯=，同理,可求得y′=5sin(α+45°)=227，所以P′(22-,227). 方法归纳 ①已知角α的某一三角函数值和角α所在的象限，则角α的其他三角函数值唯一；已知角α的某一三角函数值，不知角α所在的象限，应先分类讨论，再求α的其他三角函数值.②一般地，90°±α，270°±α的三角函数值，等于α的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，它的证明也可通过两角和、差的三角函数式进行.③在给值求值的题型中，要灵活处理已知与未知的关系，合理进行角的变换，使所求角能用已知角表示出来，所求角的三角函数值能用已知角的三角函数值表示出来. 知识点三 已知三角函数值求角 例7 已知sin α=55，sin β=1010,且α、β都是锐角，求α+β的值. 思路分析：(1)根据已知条件可先求出α+β的某个三角函数值，如cos(α+β).(2)由两角和的余弦公式及题设条件知只需求出cos α、cos β即可.(3)由于α、β都是锐角，所以0＜α+β＜π,y=cosx 在(0,π)上是减函数，从而根据cos(α+β)的值即可求出α+β的值.解：∵sin α=55,sin β=1010，且α、β都是锐角，∴cos α=552sin 12=-α，cos β= 10103sin 12=-β. ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=2210105510103552=⨯-⨯. 又∵0＜α+β＜π,∴α+β=4π. 方法归纳 给值求角的一般步骤是：①确定所求角的范围；②找到该范围内具有单调性的某一三角函数值；③先找到一个与之相关的锐角，再由诱导公式导出所求角的值. 知识点四 利用两角和、差的三角函数公式证明恒等式例8 已知3sin β=sin(2α+β)，求证：tan(α+β)=2tan α.思路分析：观察条件等式和结论等式中的角，条件中含有β、2α+β，结论中含有α+β、α，若从条件入手，可采用角的变换，β=(α+β)-α，2α+β=(α+β)+α，展开后转化成齐次整式，约分得出结论.证明：∵3sin β=3sin ［(α+β)-α］=3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α， sin(2α+β)=sin ［(α+β)+α］=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α， 又3sin β=sin(2α+β)，∴3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α. ∴2sin(α+β)cos α=4cos(α+β)sin α. ∴tan(α+β)=2tan α.方法归纳 对条件恒等式的证明，若条件复杂，可从化简条件入手得出结论；若结论复杂，可化简结论得出条件；若条件和结论都较为复杂，可同时化简它们，直到找到它们间的联系. 知识点五 变用两角和差的三角函数公式化简求值 例9 用和、差公式证明tan12°+tan18°+33 tan12°·tan18°=33. 解：∵︒∙︒-︒+︒18tan 12tan 118tan 12tan =tan(12°+18°)=tan30°=33，∴tan12°+tan18°=33(1-tan12°·tan18°)， 即左边=33(1-tan12°tan18°)+33tan12°tan18°=33=右边. ∴tan12°+tan18°+33tan12°·tan18°=33. 方法归纳 三角公式通过等价变形，可正用，可逆用，也可变用，主要是通过对函数结构式的变形与对角的分、拆、组合来实现的.例10 求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)……(1+tan45°)的值. 解：因为α+β=45°时，tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan --+=1，所以tan α+tan β+tan αtan β=1，即(1+tan α)(1+tan β)=2.于是(1+tan1°)(1+tan44°)=(1+tan2°)(1+tan43°)=……=(1+tan22°)(1+tan23°)=2.又因为1+tan45°=2，所以原式=223. 方法归纳 当α+β=k π+4π,k∈Z 时，(1+tan α)(1+tan β)=2； 当α+β=k π-4π,k∈Z 时，(1+tan α)(1+tan β)=2tan αtan β. 问题•探究 思想方法探究问题1 在三角恒等变换中，三角公式众多，公式变换也是解决问题的有效手段，在应用这些公式时要注意些什么问题？探究过程:使用任何一个公式都要注意它的逆向变换、多向变换，这是灵活使用公式所必须的，尤其是面对那么多三角公式，把这些公式变活，显得更加重要，这也是学好三角函数的基本功.如：cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β化简为__________.将α-β看作一个角，β看作另一个角,则cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β=cos ［(α-β)+β］=cos α. 解答本题时不仅利用角的变换：α=(α-β)+β，同时运用了公式的逆向变换. 探究结论:两角和的正切公式tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+.除了掌握其正向使用之外，还需掌握如下变换：1-tan αtan β=)tan(tan tan βαβα++；tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)；tan αtan βtan(α+β)=tan (α+β)-tan α-tan β等.两角和的正切公式的三种变形要熟悉，其在以后解题中经常使用，要能灵活处理.问题2 2004年重庆高考有一题为：求函数y=sin 4x+32sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最小值，并写出该函数在［0,π］上的单调递增区间.该函数变形后就需要用到形如asinx+bcosx(a 、b 不同时为零)的式子的变换，我们称之为辅助角变换，那么如何进行辅助角变换？探究过程:形如asinx+bcosx(a 、b 不同时为零)的式子可以引入辅助角变形为Asin(x+φ)的形式.asinx+bcosx=)cos sin (222222x ba b x b a a b a -+++,令cos φ=22ba a +,sin φ=22ba b +，则原式=22b a +(sinxcos φ+cosxsin φ)=22b a +sin(x+φ).(其中φ角所在象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan φ=a b 确定，常常取φ=arctan ab). 探究结论:辅助角变换是三角变形的重要形式，它的应用十分广泛，特别是在数学中求三角函数的最值及物理学当中波的合成时，都是重要的工具.例如2sinx-3cosx ，就可以利用这一结论将其化为一个三角函数的形式，从而确定其最值，因为a=2,b=-3,A=1322=+b a ，所以2sinx-3cosx=13sin(x+φ)，(其中φ在第四象限，且tan φ=23-)，所以2sinx-3cosx 的最大值是13，最小值是13-.。

3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．能根据两角差的余弦公式导出并记住两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并灵活运用． 2．能熟练地把asin x ＋bcos x 化为Asin(ωx ＋φ)的形式．(1)与差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sin α±sin β，cos(α±β)≠cos α±cos β，tan(α±β)≠tan α±tan β. (2)和差角公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差角公式的特例．如sin(2π－α)＝sin 2πcos α－cos2πsin α＝0×cos α－1×sin α＝－sin α.当α或β中有一个角是π2的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便．(3)使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β时，不要将sin(α＋β)和cos(α＋β)展开，而应采用整体思想，进行如下变形：sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin [(α＋β)－β]＝sin α.这也体现了数学中的整体原则．(4)注意公式的结构特征和符号规律：对于公式C (α－β)，C (α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S (α－β)，S (α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．【做一做1－1】 若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)＝( )A ．－3B ．－13C ．3 D.13【做一做1－2】 sin 75°的值为( )A.2－12B.2＋12C.6－24D.6＋24【做一做1－3】 cos 75°＝__________.答案：sin αcos β－cos αsin β cos αcos β＋sin αsin βtan α－tan β1＋tan αtan β sin αcos β＋cos αsin β cos αcosβ－sin αsin βtan α＋tan β1－tan αtan β【做一做1－1】 D tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13. 【做一做1－2】 D sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24. 【做一做1－3】6－24cos 75°＝cos(45°＋30°) ＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° ＝22×32－22×12＝6－24.化简a sin α±b cos α(ab ≠0)剖析：逆用两角和与差的正弦公式，凑出sin αcos β±cos αsin β的形式来化简．a sin α±b cos α＝a2＋b2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a2＋b2sin α±b a2＋b2cos α，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a a2＋b22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＋b22＝1， ∴可设cos θ＝a a2＋b2，sin θ＝ba2＋b2.则tan θ＝ba (θ又称为辅助角)．∴a sin α±b cos α＝a2＋b2(sin αcos θ±cos αsin θ)＝a2＋b2sin(α±θ)． 特别是当b a ＝±1、±3、±33时，θ是特殊角，此时θ取±π4、±π3、±π6.例如，3sin α－33cos α＝9＋27⎝⎛⎭⎪⎫39＋27sin α－339＋27cos α＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α－32cos α＝6⎝⎛⎭⎪⎫sin αco s π3－c os αsi n π3 ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.在公式a sin α＋b cos α＝a2＋b2sin(α＋φ)中，(1)sin φ＝b a2＋b2，cos φ＝aa2＋b2，在使用时不必死记上述结论，而重在理解这种逆用公式的思想．(2)a sin α＋b cos α中的角必须为同角α，否则不成立．题型一给角求值问题【例1】 求下列各式的值： (1)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°；(2)3sin π12＋cos π12.分析：本题(1)可先用诱导公式再逆用两角和的正弦公式求解，本题(2)可构造两角和的正弦公式求解． 反思：解答此类题目的方法就是活用、逆用C (α±β)，S (α±β)公式，在解答过程中常利用诱导公式实现角的前后统一．题型二给值(式)求值问题【例2】 已知cos α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin β＝－35，β是第三象限角．求sin(α＋β)，sin(α－β)的值．分析：求出sin α，cos β的值，代入公式S (α±β)即可．反思：分别已知α，β的某一三角函数值，求sin(α±β)，cos(α±β)，tan(α±β)时，其步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求出α，β其余的三角函数值；(2)代入公式S (α±β)，C (α±β)，T (α±β)计算即可．题型三利用角的变换求值【例3】 已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，3π2＜α＋β＜2π，π2＜α－β＜π，求cos 2α的值．分析：解答本题关键是探寻α＋β，α－β与2α之间的关系，再利用两角和的余弦公式求解．反思：解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式，如本题．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式． 题型四易错辨析【例4】 已知π＜α＜α＋β＜2π，且满足cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，求β.错解：∵cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，且π＜α＜α＋β＜2π，∴sin α＝－513，sin(α＋β)＝－7226.∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝22. ∵π＜α＜α＋β＜2π，∴0＜β＜π.∴β＝π4或3π4.错因分析：以上错解是由于求β的三角函数值时，函数选择不当所致．由于满足sin β＝22且β∈(0，π)的β有两值，两值的取舍就是个问题，事实上cos β＝－22，故β＝3π4，只有一值，故应计算角β的余弦值．反思：此类题目是给值求角问题，一般步骤是：(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小；(2)根据(1)所得范围来确定求tan α，sin α，cos α中的一个值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；(3)求α的一个三角值；(4)写出α的大小．答案：【例1】 解：(1)原式＝sin(360°－13°)cos(180°－32°)＋sin(90°－13°)cos(90°－32°)＝sin 13°cos 32°＋cos 13°sin 32°＝sin(13°＋32°)＝sin 45°＝22. (2)原式＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin π12＋12cos π12 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12cos π6＋sin π6cos π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝2sin π4＝2. 【例2】 解：∵cos α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝1－cos2α＝232.∵sin β＝－35，β是第三象限角，∴cos β＝－1－sin2β＝－45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝232×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－3＋8215. sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝232×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝3－8215. 【例3】 解：∵cos(α＋β)＝45，3π2＜α＋β＜2π，∴sin(α＋β)＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35. ∵cos(α－β)＝－45，π2＜α－β＜π，∴sin(α－β)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35. ∴cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β) ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×35＝－725. 【例4】 正解：∵cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，且π＜α＜α＋β＜2π，∴sin α＝－513，sin(α＋β)＝－7226.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－22. ∵π＜α＜α＋β＜2π，∴0＜β＜π.∴β＝3π4.1．(2011·山东青岛高三质检)已知cos α＝45-，且α∈π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( ) A ．17-B ．－7 C.17D ．72x x 的结果是( )A ．π3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．π3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3．25π11π11π5πsin cos cos sin126126-＝__________. 4．在△ABC 中，cos A ＝35且cos B ＝513，则cos C 的值是__________．5．已知tan(α－β)＝12，tan β＝17-，且α，β∈(0，π)．(1)求tan α的值；(2)求2α－β的值．答案：1．D 由于α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，则sin α＝35，所以tan α＝sin cos αα＝34-， 所以πtan 4α⎛⎫-⎪⎝⎭＝1tan 1tan αα-+＝7.2．D 原式＝1cos 22x x ⎫-⎪⎪⎭＝ππsincos cos sin 66x x ⎫-⎪⎭＝π6x ⎛⎫-⎪⎝⎭＝ππ26x ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.25π11π11π5πsin cos cos sin 126126- ＝ππππsin 2πcos 2πcos πsin π126126⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ππππsincos cos sin 126126+＝ππsin 126⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝πsin4＝2.4.3365由于在△ABC 中，cos A ＝35，可知A 为锐角，∴sin A＝45.由于cos B ＝513，可知B 也为锐角，∴sin B＝1213.∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝45×1213－35×513＝3365. 5．解：(1)tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan()tan 1tan()tan αββαββ-+--＝11271114-+＝13. (2)tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α] ＝tan()tan 1tan()tan αβααβα-+--＝1.∵tan β＝17-＜0，∴π2＜β＜π. 又tan α＝13＞0，∴0＜α＜π2.∴－π＜α－β＜0.而tan(α－β)＝12＞0，∴－π＜α－β＜π2-.∴2α－β∈(－π，0)．∴2α－β＝3π4-.。