高一数学 函数练习题 新人教A版

专题6：人教A 版第三章函数的应用综合测试题（解析版）一、单选题1．设()ln 2f x x x =+-，则函数()f x 的零点所在的区间为（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)1．B【分析】根据()f x 的单调性，结合零点存在性定理，即可得出结论.【详解】 ()ln 2f x x x =+-在(0,)+∞单调递增，且(1)10,(2)ln20f f =-<=>，根据零点存在性定理，得()f x 存在唯一的零点在区间(1,2)上.故选：B【点睛】本题考查判断函数零点所在区间，结合零点存在性定理的应用，属于基础题. 2．若一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为( )A ．B ．C ．D ． 2．B【解析】依题设可知，蜡烛高度h 与燃烧时间t 之间构成一次函数关系，又∵函数图象必过点(0,20)、(4,0)两点，且该图象应为一条线段．∴选B.3．利用二分法求方程3log 5x x =-的近似解，可以取得一个区间（ ） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．D【分析】根据零点存在定理判断．【详解】设3()log 5f x x x =-+，则函数单调递增由于3(3)log 35310f =-+=-<，33(4)log 454log 410f =-+=->，∴()f x 在(3,4)上有零点．故选：D.【点睛】本题考查方程的解与函数零点问题．掌握零点存在定理是解题关键．4．若函数()27x f x x =+-的零点所在的区间为(,1)()k k k +∈Z ,则k =( )A ．3B ．4C ．1D ．24．D【分析】结合零点存在性定理和函数()f x 的单调性，求得k 的值.【详解】 ∵(2)4270,(3)8370,f f =+-<⎧⎨=+->⎩且()f x 单调递增,∴()f x 的零点所在的区间为（2,3）,∴2k =. 故选：D【点睛】本小题主要考查零点存在性定理的运用，考查函数的单调性，属于基础题.5．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )A ．x 1B ．x 2C ．x 3D ．x 45．C【解析】 观察图象可知：点x 3的附近两旁的函数值都为负值，∴点x 3不能用二分法求，故选C.6．函数21()f x x x =+，(0,)x ∈+∞的零点个数是（ ）. A ．0B ．1C ．2D ．36．A【分析】 根据函数定义域，结合零点定义，即可容易判断和求解.【详解】由于20x >，10x>， 因此不存在(0,)x ∈+∞使得21()0f x x x=+=， 因此函数没有零点.故选：A .【点睛】本题考查函数零点的求解，属简单题. 7．用二分法求函数()f x 的一个正实数零点时，经计算：()()0.640,0.720f f <>，()0.680f <，()0.740f >，则函数()f x 的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为A ．0.64B ．0.8C ．0.7D ．0.67．C【分析】由题意根据函数零点的判定定理可得，函数零点所在的区间为（0.68，0.72），从而得出结论．【详解】因为()0.680f <，()0.720f >，即()()0.680.720f f ⋅<，所以函数()f x 的零点在区间()0.68,0.72内．又0.720.680.040.1-=<，观察各选项可知函数()f x 的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为0.7．故选C ．【点睛】本题主要考查函数零点的判定定理的应用，属于基础题．8．已知函数()221,11,1x x f x log x x ⎧-=⎨+>⎩，则函数()f x 的零点为（ ）A ．1,02B ．2-，0C ．12D ．08．D【分析】函数()f x 的零点，即令()0f x =分段求解即可.【详解】函数221,1()1,1x x f x log x x ⎧-=⎨+>⎩当1x 时，令()210x f x =-=，解得0x =当1x >时，令2()1log 0f x x =+=，解得12x =（舍去） 综上函数的零点为0故选：D ．【点睛】本题考查函数的零点个数，考查分段函数的知识，属于基础题.9．设f （x ）=3x +3x –8，用二分法求方程3x +3x –8在x ∈（1，2）内方程的近似解，则方程的根落在区间（参考数据31.25≈3.95）A ．（1，1.25）B ．（1.25，1.5）C ．（1.5，2）D ．不能确定9．B【分析】显然函数单调递增，然后利用二分法求（1，2）的中间值f （1.5）0>，再将范围限制（1，1.5），再利用二分法继续下次知道和选项逼近即可【详解】显然函数单调递增，f （1）<0，f （2）>0，f （1.5）=31.5+3×1.5–8=323 4.58+-=4.58->4.580->，f （1.25）=31.25+3×1.25–8<0，∴f （1.25）•f （1.5）<0，∴方程的根落在区间（1.25，1.5），故选B ．【点睛】利用二分法判断函数零点的区间，首先确保函数在所给区间内连续，然后利用二分法算出所给区间的中间值，进而一步步将区间范围缩小10．已知碳14是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少．已知1克碳14经过5730年，质量经过放射消耗到0.5克，则再经过多少年，质量可放射消耗到0.125克（ ） A ．5730B ．11460C ．17190D ．22920 10．B【分析】根据由题意可知再经过2个半衰期可消耗到0.125克.【详解】由题意可得：碳14的半衰期为5730年，则再过5730年后，质量从0.5克消耗到0.25克，过11460年后，质量可消耗到0.125克．故选：B.【点睛】本题考查指数函数的应用，属于基础题.11．已知二次函数22()(5)6(0)f x ax a x a a =+-+-≠的图象与x 轴交于()1,0M x ，()2,0N x 两点，且12112x x -<<<<，则a 的取值范围是（ ）A ．(2,1+B ．()1C ．()1++∞D ．(,2-∞- 11．B【分析】讨论0a >、0a <，根据零点的范围，结合二次函数的性质列不等式组求解即可得a 的取值范围.【详解】若0a >，则(1)0(1)0(2)0f f f ->⎧⎪<⎨⎪>⎩，即2221021106160a a a a a ⎧->⎪+-<⎨⎪+->⎩，解得21a <<；若0a <，则(1)0(1)0(2)0f f f -<⎧⎪>⎨⎪<⎩，即2221021106160a a a a a ⎧-<⎪+->⎨⎪+-<⎩，不等式组无解.故a的取值范围是()1.故选：B 12．已知函数()()()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩若函数()()2y f x f x m =+--()m R ∈恰有2个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,2D ．(),2-∞12．A【分析】求得函数()()2y f x f x =+-的解析式，画出()()2y f x f x =+-的图象，由此求得m 的取值范围.【详解】 由()()()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩得()()()2,02,0x x f x x x ⎧≥⎪-=⎨<⎪⎩， 所以()()()()()222,022,0234,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩，所以函数()()2y f x f x m =+--恰有2个零点等价于函数y m =与函数()()2y f x f x =+-的图象有2个公共点，由图象可知2m >.故选：A二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y a =与函数2y x a a =-+-的图象有且只有一个公共点，则实数a 的值为______.13．1【分析】在同一坐标系中作出函数y a =与函数2y x a a=-+-的图象，根据只有一个公共点，利用数形结合法求解.【详解】在同一坐标系中作出函数y a =与函数2y x a a =-+-的图象，如图所示：因为只有一个公共点，所以2a a -=，解得1a =.故答案为：114．已知函数()1,2,x x x a f x x a+≤⎧=⎨>⎩，若存在两个不相等的实数12,x x ，使得()()12f x f x =，则实数a 的取值范围是__________．14．01a <<【分析】根据1y x =+与2xy =交于(0,1)和(1,2)点，即可求解结论．【详解】解：因为存在两个不相等的实数1x ，2x ，使得12()()f x f x =，故函数不是单调函数，又因为1y x =+与2x y =交于(0,1)和(1,2)点，故须01a <<．故答案为：(0,1)．15．方程243x x m -+-=有四个互不相等的实数根，则实数m 的取值范围为_________. 15．()3,1-【分析】 方程243x x m -+-=有四个互不相等的实数根即243y x x =-+与y m =-的图象有四个不同的交点，作出函数图象可得实数m 的取值范围．【详解】 方程243x x m -+-=有四个互不相等的实数根即243y x x =-+与y m =-的图象有四个不同的交点 作出22243,04343,0x x x y x x x x x ⎧-+>=-+=⎨++≤⎩的函数图象如图所示：当2x =时，1y =-；0x =时，3y =，∴13m -<-<，()3,1m ∈-故答案为：()3,1-16．已知1x ，2x 是函数()()2221f x x k x k =-++的两个零点且一个大于1，一个小于1，则实数k 的取值范围是___________.16．02k <<【分析】根据二次函数的零点分布情况，得到()10f >，求解对应不等式，即可得出结果.【详解】因为1x ，2x 是函数()()2221f x x k x k =-++的两个零点且一个大于1，一个小于1， 二次函数()()2221f x x k x k =-++开口向上， 所以只需()()2211012f k k -++<=，即220k k -<， 解得02k <<.故答案为：02k <<.三、解答题17．已知函数32()2()3x f x x ax a R =--∈．（1）若()y f x =在()3,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围； （2）若12a =-，设()ln(1)()g x x f x =-+，且方程3(1)(1)3xb g x x --=+有实根，求实数b 的最大值．17．（1）32a ≤（2）0 【解析】试题分析：（1）求导()'2220fx x x a =--≥在区间（3，+∞）上恒成立，从而转化为最值问题求解即可；（2）化简方程可得2ln b x x x x+-=，从而化为2(ln )b x x x x =+-在（0，+∞）上有解，从而讨论函数2()(ln )p x x x x x =+-的值域即可试题解析：（1）∵()f x 在区间()3,+∞上为增函数， ∴2'()220f x x x a =--≥即222a x x ≤-在区间()3,+∞上恒成立． ∵在()3,+∞内223x x -< ∴23a ≤即32a ≤（2）方程3(1)(1)3x b g x x --=+可化为2ln b x x x x +-=． ∴条件转化为2(ln )b x x x x =+-在()0,+∞上有解， 令2()(ln )p x x x x x =+-，∴即求函数2()(ln )p x x x x x =+-在()0,+∞上的值域． 令2()ln h x x x x =+-， 则1(21)(1)'()12x x h x x x x +-=+-=，∴当01x <<时'()0h x >，从而()h x 在()0,1上为增函数， 当1x >时'()0h x <，从而()h x 在()1,+∞上为减函数， 因此()(1)0h x h ≤=．又∵0x >，故()()0p x x h x =⋅≤，∴0b ≤因此当1x =时，b 取得最大值0．考点：根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性18．已知函数()lg f x kx =，()()lg 1g x x =+．（Ⅰ）当=1k 时，求函数()()y f x g x =+的单调区间；（Ⅱ）若方程()2()f x g x =仅有一个实根，求实数k 的取值集合．18．（1）单调递增区间为(0,)+∞，不存在单调递减区间；（2）0k <或4k =；【解析】试题分析：（1）由题可知，将=1k 代入，可得()()lg lg(1)lg (1)y f x g x x x x x =+=++=+，由于真数x （x+1）>0,可知x （x+1）在定义域上始终递增，外层对数函数始终递增，即单调递增区间为(0,)+∞，不存在单调递减区间；（2）由题可知，由()2()f x g x =，即lg 2lg(1)kx x =+，根据真数大于0，真数相等，可列出不等式组，对k 进行讨论，即可得出k 的取值； 试题解析：（Ⅰ）当=1k 时，()()lg lg(1)lg (1)y f x g x x x x x =+=++=+ （其中0x >），由复合函数单调性可知内层函数x （x+1）在定义域上始终递增，外层对数函数始终递增，所以，()()y f x g x =+的单调递增区间为(0,)+∞，不存在单调递减区间；（Ⅱ）由()2()f x g x =，即lg 2lg(1)kx x =+．该方程可化为不等式组 ()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩（1）若0k >时，则0x >，原问题即为：方程2(1)kx x =+在(0,)+∞上有根，解得4k =；（2）若0k <时，则10x -<<，原问题即为：方程2(1)kx x =+在(1,0)-上有根，解得0k <．综上可得0k <或4k =为所求．考点：①复合函数的单调性②对数函数单调性的应用19．已知函数221()11x m f x x x x x -=----- (Ⅰ)若函数()f x 无零点，求实数m 的取值范围；(Ⅱ)若函数()f x 在(2,2)-有且仅有一个零点，求实数m 的取值范围．19．(Ⅰ) 47|{<m m 或2}m =；(Ⅱ)7{|4m m =或48}m ≤<。

专题5：人教A 版第三章函数的应用基础测试题（解析版）一、单选题1．已知函数()2f x ax bx c =++满足()20f <且()30f >，则()f x 在()2,3上的零点（ ）． A ．至多有一个 B ．有1个或2个 C ．有且仅有一个 D ．一个也没有1．C 【分析】由零点存在定理可判定出结果. 【详解】由题意知：()f x 在R 上至多有两个零点.由零点存在定理知：若()()230f f ⋅<，则()f x 在()2,3上有且仅有一个零点. 故选：C .2．函数()ln 4f x x x =+-的零点所在的区间是（ ） A ．()1,2 B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,52．B 【分析】计算区间端点处的函数值，根据零点存在定理判断． 【详解】(1)30f =-<，(2)ln 220f =-<，(3)ln 310f =->，∴零点在区间(2,3)上． 故选：B ．3．函数()6ln f x x x =-+的零点所在区间应是（ ） A ．()2,3 B ．()3,4C ．()4,5D ．()5,63．C 【分析】分别计算()2f ，()3f ，()4f ，()5f ，()6f ，根据零点存在性定理，即可得出结果. 【详解】因为()6ln f x x x =-+，所以()226ln 24ln 20f =-+=-+<，()336ln33ln30f =-+=-+<，()446ln 422ln 20f =-+=-+<， ()556ln51ln50f =-+=-+>，()666ln6ln60f =-+=>，由零点存在性定理，可得函数()6ln f x x x =-+的零点所在区间应是()4,5， 即C 正确，ABD 错误. 故选：C.4．下列函数中，没有零点的是（ ）A ．2()log 7f x x =-B ．()1f xC ．()1f x x= D ．()2f x x x =+4．C 【分析】分别解函数对应的方程，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A 选项，由2()log 70f x x =-=可得72x =，即函数2()log 7f x x =-有零点；B 选项，由()10f x =得1x =，即函数()1f x 有零点；C 选项，由()10f x x ==解得，x 不存在，即函数()1f x x=没有零点； D 选项，由()20f x x x =+=解得1x =-或0，即函数()2f x x x =+有零点. 故选：C.5．函数()228f x x x =--零点是（ ）A ．2和4-B ．2-和4C ．()2,0和()4,0-D ．()2,0-和()4,05．B 【分析】解方程()0f x =，即可得出函数()f x 的零点. 【详解】解方程()0f x =，即2280x x --=，解得2x =-或4x =.因此，函数()228f x x x =--的零点是2-和4.故选：B.6．为了求函数()237x f x x =+-的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x 和函数()f x 的部分对应值，如表所示：x1.25 1.3125 1.375 1.4375 1.5 1.5625 ()f x－0.8716－0.5788－0.28130.21010.328430.64115则方程237x x +=的近似解（精确到0.1）可取为（ ） A ．1.2 B ．1.3C ．1.4D ．1.56．C 【分析】根据二分法结合零点存在定理求解. 【详解】因为(1.375)0,(1.4375)0f f <>， 所以方程的解在区间()1.375,1.4375内， 又精确到0.1， 所以可取1.4 故选：C7．把函数2()log f x x =的图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的零点是（ ）A ．3B ．5C ．34-D ．547．A 【分析】根据平移变换得到()g x ，令()g x 0=，解方程可得结果. 【详解】依题意得2()log (1)2g x x =+-，由()0g x =得2log (1)2x +=，得14x +=，得3x =. 故选：A【点睛】关键点点睛：掌握函数零点的概念是本题解题关键.8．“道高一尺，魔高一丈”出于《西游记》第五十回“道高一尺魔高丈，性乱情昏错认家，可恨法身无坐位，当时行动念头差，”用来比喻取得一定成就后遇到的障碍会更大或正义终将战胜邪恶，若用下列函数中的一个来表示这句话的含义，则最合适的是（ ）A ．10y x =，0x >B ．110y x =，0x > C ．10y x =+，0x > D ．=9y x +，0x >8．A 【分析】根据一丈等于十尺，即可得出结果. 【详解】因为一丈等于十尺，所以“道高一尺魔高一丈”更适合用10y x =，0x >来表示； 故选：A.9．若32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（ ） A ．1.2 B ．1.3C ．1.41D ．1.59．C 【分析】利用零点存在性定理，判断根的较小区间，即可求得近似解. 【详解】因为(1.438)0.1650f =>，(1.4065)0.0520f =-<，(1.438)(1.4065)0f f ⨯<，所以方程的近似根在()1.4065,1.438，则近似根为1.41 故选：C10．已知函数()351f x x x =-+，则下列区间中一定包含()f x 零点的区间是（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,210．C 【分析】计算出各端点的函数值，利用零点存在性定理即可判断. 【详解】()351f x x x =-+，()32252130f ∴-=-+⨯+=>，()31151150f -=-+⨯+=>，()010f => ()31151130f =-⨯+=-<，()32252110f =-⨯+=-<，根据零点存在性定理可得一定包含()f x 零点的区间是()0,1. 故选：C.11．已知函数()25xf x ex --=-的零点位于区间(),1m m +，m ∈Z 上，则42log m m +=（ ）A ．14-B ．14C ．12D ．3411．D 【分析】利用零点存在定理求得整数m 的值，进而可求得42log mm +的值. 【详解】易知函数()f x 单调递减，又因为()2210f e -=->，()130f e -=-<，由零点存在定理可知，函数()f x 的零点在区间()2,1--内，则2m =-. 所以2441132log 2log 2424mm -+=+=+=． 故选：D. 【点睛】本题考查利用零点存在定理求参数值，同时也考查指数式与对数式的计算，考查计算能力，属于基础题.12．我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与声音的强度有关系.声音的强度常用I (单位：瓦/米2，即2/m W )表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L (单位：分贝)表示，它们满足换算公式：010lgI L I =(0L ≥，其中1220110/m I W -=⨯是人们平均能听到的声音的最小强度).若使某小区内公共场所声音的强度水平降低10分贝，则声音的强度应变为原来的（ ） A ．15B ．1100C ．110D ．12012．C 【分析】设该小区内公共场所声音的强度水平为1L ，2L ，相应声音的强度为1I ，2I ，代入可得选项. 【详解】设该小区内公共场所声音的强度水平为1L ，2L ，相应声音的强度为1I ，2I ， 由题意，得1210L L -=，即120010lg 10lg 10I II I -=， 解得21110I I =. 故选：C. 【点睛】本题考查函数模型的应用，关键在于理解生活中的数据在数学应用中的表达，属于基础题.二、填空题13．函数()22f x x x =+-的零点为______________.13．2-和1 【分析】解方程220x x +-=，即可得出函数()y f x =的零点. 【详解】令()0f x =，得220x x +-=，解得1x =或2x =-. 因此，函数()22f x x x =+-的零点为2-和1.故答案为：2-和1.【点睛】本题考查函数零点的求解，熟悉函数零点的定义是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.14．若二元一次方程37x y -=，231x y +=，9y kx =-有公共解，则实数k =_____________. 14．4 【分析】由题意建立关于x ，y 的方程组，求得x ，y 的值，再代入9y kx =-中，求得k 的值． 【详解】解37231x y x y -=⎧⎨+=⎩得21x y =⎧⎨=-⎩，代入9y kx =-得129k -=-， 解得4k =． 故答案为：4 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 15．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数25log 10Ov =，单位是m/s ，其中O 表示燕子的耗氧量.则当燕子静止时的耗氧量是______个单位. 15．10 【分析】当燕子静止时，速度为0，由此列方程，解方程求得O 的值. 【详解】若燕子静止，则0v =，即25log 0,11010O O==，所以10O =. 故填：10. 【点睛】本小题主要考查阅读理解能力，考查已知函数值以及函数解析式求自变量的值，属于基础题.16．已知函数3,0()1,0x x x f x x a x x ⎧+≤⎪=⎨-->⎪⎩有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为_______． 16．()2,+∞ 【分析】当0x ≤时，即()f x 恒有1个零点；当0x >时，得到相切时a 的值，即可求解。

2020-2021学年新教材高一数学人教A 版必修第一册第五章 三角函数 单元测试题一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知扇形的圆心角为2 rad ，弧长为4 cm ，则这个扇形的面积是( )A ．4 cm 2B ．2 cm 2C ．4π cm 2D ．1 cm 22．已知a ＝tan 5π12，b ＝cos 3π5，c ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4，则( )A ．b >a >cB ．a >b >cC ．b >c >aD ．a >c >b3．要得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向右平移π3个单位长度4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π6等于( ) A.35 B.45C ．－35D ．－455．函数f (x )＝x sin x 的图象大致是( )6．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( )A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin αD ．1＋cos α7．如图所示，某摩天轮设施，其旋转半径为50米，最高点距离地面110米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱，并开始计时，则第7分钟时他距离地面的高度大约为( )A ．75米B ．85米C ．(50＋253)米D ．(60＋253)米8．已知函数f (x )＝sin x －sin 3x ，x ∈[0,2π]，则函数f (x )的所有零点之和等于( )A ．4πB ．5πC ．6πD ．7π二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的有( )A ．y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2C ．y ＝sin|2x |D ．y ＝|sin x |10．已知sin θ＝－23，且cos θ>0，则( )A ．tan θ<0B ．tan 2θ>49C ．sin 2θ>cos 2θD ．sin 2θ>011．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )在[0，π]上有三个零点C ．当x ＝π8时，函数f (x )取得最大值D ．为了得到函数f (x )的图象，只要把函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)12．若函数f (x )＝1＋4sin x －t 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π上有2个零点，则t 的可能取值为( )A ．－2B ．0C ．3D ．4三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．tan 15°＝________.14．如图，某港口一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．15．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，则A ＝________.16．已知函数f (x )＝3sin 3x －a cos 3x ＋a ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫29π＝3，则实数a ＝________，函数f (x )的单调递增区间为________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，锐角α的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点A ，且点A 的纵坐标为45.(1)求cos α和sin α； (2)求tan 2α的值．18．(12分)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．19．(12分)(1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，求sin 2(π－α)＋2sinαsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋1的值； (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝13，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－θ的值．20．(12分)在①tan α＝43，②7sin 2α＝2sin α，③cos α2＝277这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决问题．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos(α＋β)＝－13，________，求cosβ.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．21．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最值，并求出取最值时x 的值；(3)求不等式f (x )≥2的解集．22．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|≤π2的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的表达式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，若关于x 的方程f (x )＋g (x )－a ＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有实数解，求实数a的取值范围．三角函数单元测试参考答案1．解析：设半径为R ，由弧长公式得4＝2R ，即R ＝2 cm ，则S ＝12×2×4＝4 (cm 2)，故选A.答案：A2．解析：a ＝tan 5π12>1，b ＝cos 3π5<0,1>c ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝cosπ4>0.∴a ＞c ＞b .则12<t －14<1或－1<t －14<0，解得3<t <5或－3<t <1，故选ABD. 答案：ABD13．解析：tan 15°＝tan(45°－30°)＝1－tan 30°1＋tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3.答案：2－ 314．解析：由图象可知：当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＝－1时，y min ＝k －3＝2，∴k ＝5，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＝1时，y max ＝5＋3＝8. 答案：8 15．解析：由sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，得sin A ＝2sin B ①. 由3cos A ＝－2cos(π－B )，得3cos A ＝2cos B ②. 由①2＋②2得：sin 2A ＋3cos 2A ＝2，即2cos 2A ＝1.由②和A ，B 为三角形的内角，可知角A ，B 均为锐角，则cos A ＝22.所以A ＝π4.答案：π416．解析：①因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫29π＝3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9＝3sin 2π3－a cos 2π3＋a ＝3，解得：a ＝1；②将a ＝1代入，得f (x )＝3sin 3x －cos 3x ＋1，化简得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6＋1，故－π2＋2k π≤3x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z。

第五章检测试题时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题每小题5分，共60分 1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋σ＝－35，且σ是第四象限角，则cos(－3π＋σ)的值为( B )A.45 B ．－45C ．±45D.35解析：∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋σ＝sin σ＝－35，且σ是第四象限角，∴cos σ＝45.∴cos(－3π＋σ)＝－cos σ＝－45.2．计算sin135°cos15°－cos45°sin(－15°)的值为( D ) A.12B.33 C.22D.32解析：原式＝cos45°cos15°＋si n45°sin15°＝cos(45°－15°)＝cos30°＝32.故选D.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 解析：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，原函数的单调递增区间就是y ＝2sin2x －π6的单调递减区间，即2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，对比各选项，令k ＝0，得选项C 正确．4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，若其图象向右平移π3个单位后关于y 轴对称，则( B )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝4，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6解析：T ＝2πω＝π，所以ω＝2.函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位得函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－2π3的图象关于y 轴对称，所以φ－2π3＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝76π＋k π，k ∈Z .因为|φ|<π2，所以φ＝π6，故选B.5．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象如图，则S ＝f (0)＋f (1)＋…＋f (2 016)等于( C )A ．0B ．503C ．2 017D ．2 012解析：由题意知，函数f (x )＝12sin π2x ＋1，周期T ＝4.S ＝f (0)＋f (1)＋…＋f (2 016)＝504[f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)]＋1＝504×4＋1＝2017.选C.6．已知sin2π＋θtan π＋θtan 3π－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θtan －π－θ＝1，则3sin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ的值是( A ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．6解析：∵sin2π＋θtan π＋θtan 3π－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θtan －π－θ＝sin θtan θtan －θ－sin θtan π＋θ＝－sin θtan θtan θ－sin θtan θ＝tan θ＝1， ∴3sin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ ＝3sin 2θ＋3cos 2θsin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ＝3tan 2θ＋3tan 2θ＋3tan θ＋2＝3＋31＋3＋2＝1，故选A. 7．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( C ) A.33 B ．－33 C.539D ．－69解析：根据条件可得α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34π，π4－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539.8．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( C )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 解析：f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)，由已知得周期T ＝π.∴ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋π6)．由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．9．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，3π2X 围内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象的交点的个数为( C )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：在同一坐标系中，首先作出y ＝sin x 与y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2内的图象，需明确x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，有sin x <x <tan x (利用单位圆中的正弦线、正切线结合面积大小的比较就可证明)，然后作出x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，3π2的两函数的图象，如图所示，由图象可知它们有3个交点．10．若ω>0，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx的图象重合，则ω的最小值为( B )A.112B.52C.12D.32解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3向右平移π3个单位长度可得y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－ωπ3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3－ωπ3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋56π－ωπ3. 因为函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 图象重合，所以ωx ＋5π6－ωπ3＝ωx ＋2k π(k ∈Z )．又ω>0，所以当k ＝0时，ω取最小值为52，故选B.11．将函数f (x )＝12sin2x sin π3＋cos 2x cos π3－12sin(π2＋π3)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值分别为( C )A.12，－12B.14，－14C.12，－14D.14，－12解析：f (x )＝12×32sin2x ＋12cos 2x －12sin 5π6＝34sin2x ＋12cos 2x －14 ＝34sin2x ＋12×1＋cos2x 2－14＝12sin(2x ＋π6)， 所以g (x )＝12sin(4x ＋π6)．因为x ∈[0，π4]，所以4x ＋π6∈[π6，7π6]，所以当4x ＋π6＝π2时，g (x )取得最大值12；当4x ＋π6＝7π6时，g (x )取得最小值－14.12．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，则2x 1＋3x 2＋x 3的值为( D )A ．π B.3π4C.3π2 D.7π4解析：由题意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，9π8，则2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π2，画出函数的大致图象，如图所示．由图可得，当22≤a <1时，方程f (x )＝a 恰有三个根． 由2x ＋π4＝π2得x ＝π8；由2x ＋π4＝3π2得x ＝5π8.由图可知，点(x 1，a )与点(x 2，a )关于直线x ＝π8对称；点(x 2，a )和点(x 3，a )关于x ＝5π8对称，所以x 1＋x 2＝π4，x 2＋x 3＝5π4，所以2x 1＋3x 2＋x 3＝2(x 1＋x 2)＋(x 2＋x 3)＝7π4，故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题每小题5分，共20分13．已知一扇形的半径为2，面积为4，则此扇形圆心角的绝对值为2弧度． 解析：设扇形圆心角的绝对值为α弧度，则4＝12α·22，所以α＝2.14．已知cos(α－π6)＋sin α＝435，则sin(α＋7π6)的值为－45.解析：由已知得32cos α＋32sin α＝435， 所以12cos α＋32sin α＝45，即sin(α＋π6)＝45，因此，sin(α＋7π6)＝－sin(α＋π6)＝－45.15．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内有最小值，无最大值，则ω＝143.解析：由题意知x ＝π6＋π32＝π4为函数的一条对称轴，且ω·π4＋π3＝2k π－π2(k ∈Z )，得ω＝8k －103(k ∈Z )．①又π3－π6≤2πω(ω>0)，∴0<ω≤12.② 由①②得k ＝1，ω＝143.16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列命题： ①y ＝f (x )的最大值为2； ②y ＝f (x )的最小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图象向右平移π24个单位后，与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是①②③④. 解析：f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋π4 ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12， ∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①②正确．又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24，13π24上是减函数，故③正确．由④得y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π24 ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12，故④正确． 三、解答题写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分17．(10分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象过点(0,1)，如图所示．(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)将函数y ＝f 1(x )的图象向右平移π4个单位，得函数y ＝f 2(x )的图象，求y ＝f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的取值集合．解：(1)由题图知，T ＝π，于是ω＝2πT＝2.将y ＝A sin2x 的图象向左平移π12，得y ＝A sin(2x ＋φ)的图象，于是φ＝2×π12＝π6.将(0,1)代入y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，得A ＝2. 故f 1(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)依题意，f 2(x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.当2x ＋π6＝2k π＋π(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，y max ＝2.x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋5π12，k ∈Z. 18．(12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时的x 的值．解：(1)∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，∴函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )．故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )． (2)∵f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡－π8，⎦⎥⎤π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.19．(12分)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x .(1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝－14，且C 为锐角，求sin A .解：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x＝cos2x ·cos π3－sin2x ·sin π3＋1－cos2x2＝12cos2x －32sin2x －12cos2x ＋12＝12－32sin2x ， ∴当2x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π4(k ∈Z )时，f (x )max ＝1＋32.T ＝2π2＝π. 故f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝－14，即12－32sin C ＝－14， 解得sin C ＝32. 又C 为锐角，∴C ＝π3.由cos B ＝13，得sin B ＝223.∴sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36.20．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一系列对应值如下表：(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k >0)的周期为2π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，某某数m 的取值X 围．解：(1)设f (x )的最小正周期为T ， 得T ＝11π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1.令ω·5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， 又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋1.(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －π3＋1的周期为2π3，又k >0，∴k ＝3， 令t ＝3x －π3，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.如图，sin t ＝s 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上有两个不同的解，则s ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1.∴方程f (kx )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时恰好有两个不同的解，则m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值X 围是[3＋1,3)．21．(12分)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x .(1)若f (x )＝0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π，求x 的值；(2)将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g (x )的图象，若y ＝h (x )与y ＝g (x )的图象关于直线x ＝π4对称，求函数h (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－π6，2π3上的值域．解：f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x＝3sin2x ＋1－cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1.(1)由f (x )＝0，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12，∴2x －π6＝－π6＋2k π或2x －π6＝－5π6＋2k π，k ∈Z .又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π，∴x ＝－π3或0或2π3.(2)将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，可得函数图象的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π6＋1＝2sin2x ＋π2＋1＝2cos2x ＋1，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g (x )＝2cos x ＋1.又y ＝h (x )与y ＝g (x )的图象关于直线x ＝π4对称，∴h (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝2sin x ＋1. ∵x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π6，2π3，∴sin x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1.故函数h (x )的值域为(0,3]．22．(12分)已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋b ＋1.(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且ω∈[0,3]，求函数f (x )的单调递增区间；(2)在(1)的条件下，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，某某数b 的取值X 围．解：(1)函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋b ＋1＝32sin2ωx ＋1＋cos2ωx2＋b ＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32＋b .∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，且ω∈[0,3]，∴ω＝1.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b .∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，4π3.当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，函数f (x )单调递增；当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，4π3，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π12时，函数f (x )单调递减．又f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， ∴当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>0≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0时，函数f (x )有且只有一个零点， 即sin 4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0，∴b ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52 .。

人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 下面关于函数 f (x )=log 12x ，g (x )=(12)x和 ℎ(x )=x −12 在区间 (0,+∞) 上的说法正确的是( ) A ． f (x ) 的递减速度越来越慢，g (x ) 的递减速度越来越快，ℎ(x ) 的递减速度越来越慢 B ． f (x ) 的递减速度越来越快，g (x ) 的递减速度越来越慢，ℎ(x ) 的递减速度越来越快 C ． f (x ) 的递减速度越来越慢，g (x ) 的递减速度越来越慢，ℎ(x ) 的递减速度越来越慢 D ． f (x ) 的递减速度越来越快，g (x ) 的递减速度越来越快，ℎ(x ) 的递减速度越来越快2. 甲用 1000 元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票卖给乙，获利 10%，而后乙又将这手股票卖给甲，但乙损失了 10%，最后甲又按乙卖给甲的价格的九成将这手股票卖给了乙．在上述股票交易中 ( ) A ．甲刚好盈亏平衡 B ．甲盈利 9 元 C ．甲盈利 1 元D ．甲亏本 1.1 元3. 若 a =0.32，b =log 20.3，c =20.3，则 a ，b ，c 三者的大小关系是 ( ) A ． b <c <a B ． b <a <c C ． a <c <b D ． a <b <c4. 已知当 x ∈[0,1] 时，函数 y =(mx −1)2 的图象与 y =√x +m 的图象有且只有一个交点，则正实数 m 的取值范围是 ( ) A ． (0,1]∪[2√3,+∞) B ． (0,1]∪[3,+∞) C ． (0,√2]∪[2√3,+∞) D ． (0,√2]∪[3,+∞)5. 已知函数 f (x )={15x +1,x ≤1lnx,x >1，则方程 f (x )=kx 恰有两个不同的实根时，实数 k 的取值范围是 ( ) A ． (0,1e )B ． (0,15)C ． [15,1e )D ． [15,1e ]6. 若函数 f (x )=2x +a 2x −2a 的零点在区间 (0,1) 上，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (−∞,12)B ． (−∞,1)C ． (12,+∞)D ． (1,+∞)7. 已知定义在 R 上的函数 f (x )={x 2+2,x ∈[0,1)2−x 2,x ∈[−1,0)，且 f (x +2)=f (x )．若方程 f (x )−kx −2=0 有三个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是 ( )A ． (13,1)B ． (−13,−14)C ． (−1,−13)∪(13,1)D ． (−13,−14)∪(14,13)8. 定义域为 R 的偶函数 f (x )，满足对任意的 x ∈R 有 f (x +2)=f (x )，且当 x ∈[2,3] 时，f (x )=−2x 2+12x −18，若函数 y =f (x )−log a (∣x∣+1) 在 R 上至少有六个零点，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (0,√33) B ． (0,√77) C ． (√55,√33)D ． (0,13)9. 方程 log 3x +x =3 的解所在的区间是 ( ) A ． (0,1) B ． (1,2) C ． (2,3) D ． (3,+∞)10. 函数 f (x )=√1−x 2lg∣x∣的图象大致为 ( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（共6题）11. 已知函数 f (x )={√4−x 2,x ∈(−2,2]1−∣x −3∣,x ∈(2,4]，满足 f (x −3)=f (x +3)，若在区间 [−4,4] 内关于x 的方程 3f (x )=k (x −5) 恰有 4 个不同的实数解，则实数 k 的取值范围是 ．12. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2+(2m −1)x +m 2=0 有两个实数根 x 1 和 x 2，当 x 12−x 22=0时，m 的值为 ．13. 已知 A ={x∣ 3x <1}，B ={x∣ y =lg (x +1)}，则 A ∪B = ．14. 已知函数 f (x )={x 2+4x −1,x ≤02x −3−k,x >0，若方程 f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解，则实数 k 的取值范围是 ．15. 设函数 f (x )={−4x 2,x <0x 2−x,x ≥0，若 f (a )=−14，则 a = ，若方程 f (x )−b =0 有三个不同的实根，则实数 b 的取值范围是 ．16. 设函数 f (x )={e x ,x ≤0−x 2+x +14,x >0，则 f [f (0)]= ，若方程 f (x )=b 有且仅有 3 个不同的实数根，则实数 b 的取值范围是 ．三、解答题（共6题）17. 如图，直角边长为 2 cm 的等腰直角三角形 ABC ，以 2 cm/s 的速度沿直线向右运动．(1) 求该三角形与矩形 CDEF 重合部分面积 y （cm 2）与时间 t 的函数关系（设 0≤t ≤3）． (2) 求出 y 的最大值．（写出解题过程）18. 已知函数 f (x )=a x +k 的图象过点 (1,3)，它的反函数的图象过点 (2,0)．(1) 求函数 f (x ) 的解析式； (2) 求 f (x ) 的反函数．19. 已知函数 g (x )=log a x ，其中 a >1．（注：∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1=∣m (x 1)−m (x 0)∣+∣m (x 2)−m (x 1)∣+⋯+∣m (x n )−m (x n−1)∣） (1) 当 x ∈[0,1] 时，g (a x +2)>1 恒成立，求 a 的取值范围；(2) 设 m (x ) 是定义在 [s,t ] 上的函数，在 (s,t ) 内任取 n −1 个数 x 1，x 2，⋯，x n−2，x n−1，且 x 1<x 2<⋯<x n−2<x n−1，令 x 0=s ，x n =t ，如果存在一个常数 M >0，使得 ∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1≤M 恒成立，则称函数 m (x ) 在区间 [s,t ] 上具有性质 P ． 试判断函数 f (x )=∣g (x )∣ 在区间 [1a ,a 2] 上是否具有性质 P ？若具有性质 P ，请求出 M的最小值；若不具有性质 P ，请说明理由．20. 已知函数 g (x )=ax 2−2ax +1+b (a ≠0,b <1)，在区间 [2,3] 上有最大值 4，最小值 1，设f (x )=g (x )x．(1) 求常数 a ，b 的值；(2) 方程 f (∣2x −1∣)+k (2∣2x −1∣−3)=0 有三个不同的解，求实数 k 的取值范围．21. 已知函数 f (x )=x 2−3mx +n 的两个零点分别为 1 和 2．(1) 求实数 m ，n 的值；(2) 若不等式 f (x )−k >0 在 x ∈[0,5] 上恒成立，求实数 k 的取值范围．22. 已知函数 f (x )=(12)ax，a 为常数，且函数的图象过点 (−1,2)．(1) 求 a 的值；(2) 若 g (x )=4−x −2，且 g (x )=f (x )，求满足条件的 x 的值．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】观察函数f(x)=log12x，g(x)=(12)x和ℎ(x)=x−12在区间(0,+∞)上的图象（图略），由图可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1,+∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢．同样，函数g(x)的图象在区间(0,+∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢．函数ℎ(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1,+∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质2. 【答案】C【解析】由题意知甲两次付出为1000元和(1000×1110×910)元，两次收入为(1000×1110)元和(1000×1110×910×910)元，因为1000×1110+1000×1110×910×910−1000−1000×1110×910=1，所以甲盈利1元．【知识点】函数模型的综合应用3. 【答案】B【解析】因为0<a=0.32<0.30=1，b=log20.3<log21=0，c=20.3>20=1，所以b<a<c．【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质4. 【答案】B【解析】应用排除法．当m=√2时，画出y=(√2x−1)2与y=√x+√2的图象，由图可知，两函数的图象在[0,1]上无交点，排除C，D；当m=3时，画出y=(3x−1)2与y=√x+3的图象，由图可知，两函数的图象在[0,1]上恰有一个交点．【知识点】函数的零点分布5. 【答案】C【解析】因为方程f(x)=kx恰有两个不同实数根，所以y=f(x)与y=kx有2个交点，又因为k表示直线y=kx的斜率，x>1时，y=f(x)=lnx，所以yʹ=1x；设切点为(x0,y0)，则k=1x0，所以切线方程为y−y0=1x0(x−x0)，又切线过原点，所以y0=1，x0=e，k=1e，如图所示：结合图象，可得实数k的取值范围是[15,1e )．【知识点】函数零点的概念与意义6. 【答案】C【解析】因为f(x)单调递增，所以f(0)f(1)=(1−2a)(2+a2−2a)<0，解得a>12．【知识点】零点的存在性定理7. 【答案】C【知识点】函数的零点分布8. 【答案】A【解析】当x∈[2,3]时，f(x)=−2x2+12x−18=−2(x−3)2，图象为开口向下，顶点为(3,0)的抛物线．因为函数y=f(x)−log a(∣x∣+1)在(0,+∞)上至少有三个零点，令g(x)=log a(∣x∣+1)，因为f(x)≤0，所以g(x)≤0，可得0<a<1．要使函数y=f(x)−log a(∣x∣+1)在(0,+∞)上至少有三个零点，如图要求g(2)>f(2)．log a(2+1)>f(2)=−2⇒log a3>−2，可得3<1a2⇒−√33<a<√33，a>0，所以 0<a <√33．【知识点】函数的零点分布9. 【答案】C【解析】把方程的解转化为函数 f (x )=log 3x +x −3 对应的零点．令 f (x )=log 3x +x −3，因为 f (2)=log 32−1<0，f (3)=1>0，所以 f (2)f (3)<0，且函数 f (x ) 在定义域内是增函数，所以函数 f (x ) 只有一个零点，且零点 x 0∈(2,3)，即方程 log 3x +x =3 的解所在的区间为 (2,3)． 故选C ．【知识点】零点的存在性定理10. 【答案】B【解析】（1）由 {1−x 2≥0,∣x ∣≠0且∣x ∣≠1, 得 −1<x <0 或 0<x <1，所以 f (x ) 的定义域为 (−1,0)∪(0,1)，关于原点对称．又 f (x )=f (−x )，所以函数 f (x ) 是偶函数，图象关于 y 轴对称，排除A ； 当 0<x <1 时，lg ∣x ∣<0，f (x )<0，排除C ；当 x >0 且 x →0 时，f (x )→0，排除D ，只有B 项符合． 【知识点】对数函数及其性质、函数图象、函数的奇偶性二、填空题（共6题） 11. 【答案】 (−2√217,−38)∪{0}【知识点】函数的零点分布12. 【答案】 14【解析】由题意得 Δ=(2m −1)2−4m 2=0，解得 m ≤14． 由根与系数的关系，得 x 1+x 2=−(2m −1)，x 1x 2=m 2．由 x 12−x 22=0，得 (x 1+x 2)(x 1−x 2)=0． 若 x 1+x 2=0，即 −(2m −1)=0，解得 m =12． 因为 12>14，可知 m =12 不合题意，舍去；若 x 1−x 2=0，即 x 1=x 2，由 Δ=0，得 m =14．故当 x 12−x 22=0 时，m =14．【知识点】函数零点的概念与意义13. 【答案】 R【解析】由 3x <1，解得 x <0，即 A =(−∞,0)． 由 x +1>0，解得 x >−1，即 B =(−1,+∞)． 所以 A ∪B =R ．【知识点】对数函数及其性质、交、并、补集运算14. 【答案】 (−2,−32]∪(−1,2)【解析】当 x ≤0 时，f (x )−k ∣x −1∣=x 2+4x −1−k (1−x )=x 2+(4+k )x −k −1， 当 0<x <1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (1−x )=(k +2)x −3−2k ，当 x ≥1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (x −1)=(2−k )x −3，设 g (x )=f (x )−k ∣x −1∣，则 g (x )={x 2+(4+k )x −k −1,x ≤0(k +2)x −3−2k,0<x <1(2−k )x −3,x ≥1，f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解等价于g (x ) 有且仅有 2 个零点， 若 g (x ) 一个零点位于 (0,1)，即 0<2k+3k+2<1⇒k ∈(−32,−1)，若 g (x ) 一个零点位于 [1,+∞)，即 {2−k >0,22−k≥1⇒k ∈[−1,2)，可知 g (x ) 在 (0,1)，[1,+∞) 内不可能同时存在零点，即当 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上有一个零点；当 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， ① 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点时，（1）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)=0 时，k =−2 或 k =−10， 此时 g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， 所以不满足 g (x ) 有两个零点；（2）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)>0，即 k <−10 或 k >−2 时， 只需 g (0)=−k −1<0，即 k >−1，所以当 k >−1 时，g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点， 因为 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上有一个零点， 所以 k ∈(−1,2) 时，g (x ) 有且仅有 2 个零点；② 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有两个零点时，只需 {Δ=(4+k )2+4(k +1)>0,−4+k 2<0,g (0)=−k −1≥0⇒k ∈(−2,−1]，因为 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， 所以 k ∈(−2,−32] 时，g (x ) 有且仅有 2 个零点， 综上所述：k ∈(−2,−32]∪(−1,2)．【知识点】函数的零点分布15. 【答案】 −14或 12； (−14,0)【解析】若 −4a 2=−14，解得 a =−14； 若 a 2−a =−14，解得 a =12，故 a =−14或12；当 x <0 时，f (x )<0；当 x >0 时，f (x )=(x −12)2−14，f (x ) 的最小值是 −14，若方程 f (x )−b =0 有三个不同的实根，则 b =f (x ) 有 3 个交点，故 b ∈(−14,0)．【知识点】函数的零点分布、分段函数16. 【答案】 14； (14,12)【解析】函数 f (x )={e x ,x ≤0−x 2+x +14,x >0，则 f [f (0)]=f (e 0)=f (1)=14．x ≤0 时，f (x )≤1；x >0，f (x )=−x 2+x +14，对称轴为 x =12，开口向下；函数的最大值为 f (12)=12，x →0 时，f (0)→14．方程 f (x )=b 有且仅有 3 个不同的实数根，则实数 b 的取值范围是 (14,12)．【知识点】函数的零点分布、分段函数三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 依题意：当 0≤t ≤1 时，重合部分为边长为 2t cm 的直角等腰三角形， 此时：y =12×2t ×2t =2t 2(cm 2)，当 1<t <2 时，重合部分为边长为 2 cm 的等腰直角三角形， 此时：y =12×2×2=2(cm 2)，当 2≤t ≤3 时，重合部分为边长为 2 的等腰直角三角形， 去掉一个边长为 (2t −4)cm 的等腰直角三角形， 此时：y =12×2×2−12×(2t −4)2=−2t 2+8t −6，综上：y ={2t 2,0≤t ≤12,1<t <2−2t 2+8t −6,2≤t ≤3．(2) 依题意：当 0≤t ≤1 时，重合部分为边长为 2t cm 的直角等腰三角形， 此时：y =12×2t ×2t =2t 2(cm 2)，当 1<t <2 时，重合部分为边长为 2 cm 的等腰直角三角形， 此时：y =12×2×2=2(cm 2)，当 2≤t ≤3 时，重合部分为边长为 2 的等腰直角三角形， 去掉一个边长为 (2t −4)cm 的等腰直角三角形， 此时：y =12×2×2−12×(2t −4)2=−2t 2+8t −6， 综上：y ={2t 2,0≤t ≤12,1<t <2−2t 2+8t −6,2≤t ≤3．当 0≤t ≤1 时，y max =2×12=2，当 1<t <2 时，y max =2，当 2≤t ≤3 时，对称轴 t 0=2，则 t =2 时，y max =2，综上：y max =2．【知识点】函数模型的综合应用、建立函数表达式模型18. 【答案】(1) f (x )=2x +1．(2) f −1(x )=log 2(x −1)(x >1)．【知识点】反函数、指数函数及其性质19. 【答案】(1) 当 x ∈[0,1] 时，g (a x +2)>1 恒成立，即 x ∈[0,1] 时，log a (a x +2)>1 恒成立，因为 a >1，所以 a x +2>a 恒成立，即 a −2<a x 在区间 [0,1] 上恒成立，所以 a −2<1，即 a <3，所以 1<a <3，即 a 的取值范围是 (1,3)．(2) 函数 f (x ) 在区间 [1a ,a 2] 上具有性质 P ．因为 f (x )=∣g (x )∣ 在 [1,a 2] 上单调递增，在 [1a ,1] 上单调递减，对于 (1a ,a 2) 内的任意一个取数方法 1a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n =a 2，当存在某一个整数 k ∈{1,2,3,⋯,n −1}，使得 x k =1 时，∑∣f (x i )−f (x i−1)∣n i=1=[f (x 0)−f (x 1)]+[f (x 1)−f (x 2)]+⋯+[f (x k−1)−f (x k )]+[f (x k+1)−f (x k )]+[f (x k+2)−f (x k+1)]+⋯+[f (x n )−f (x n−1)]=[f (1a )−f (1)]+[f (a 2)−f (1)]=1+2= 3. 当对于任意的 k ∈{1,2,3,…,n −1}，x k ≠1 时，则存在一个实数 k 使得 x k <1<x k+1 时，∑∣f (x i )−f (x i−1)∣n i=1=[f (x 0)−f (x 1)]+[f (x 1)−f (x 2)]+⋯+[f (x k−1)−f (x k )]+[f (x k+1)−f (x k )]+[f (x k+2)−f (x k+1)]+⋯+[f (x n )−f (x n−1)]=[f (x 0)−f (x k )]+∣f (x k )−f (x k+1)∣+f (x n )−f (x k+1). ⋯⋯(∗)当 f (x k )>f (x k+1) 时，(∗)式=f (x n )+f (x 0)−2f (x k+1)=3−2f (x k+1)<3，当 f (x k )<f (x k+1) 时，(∗)式=f (x n )+f (x 0)−2f (x k )=3−2f (x k )<3，当 f (x k )=f (x k+1) 时，(∗)式=f (x n )+f (x 0)−f (x k )−f (x k+1)=3−f (x k )−f (x k+1)<3，综上，对于 (1a ,a 2) 内的任意一个取数方法 1a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n =a 2，均有 ∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1≤3，所以存在常数 M ≥3，使 ∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1≤M 恒成立，所以函数 f (x ) 在区间 [1a ,a 2] 上具有性质 P ，此时 M 的最小值为 3．【知识点】函数的单调性、指数函数及其性质、函数的最大（小）值、对数函数及其性质20. 【答案】(1) 因为 a ≠0，所以 g (x ) 的对称轴为 x =1，所以 g (x ) 在 [2,3] 上是单调函数，所以 {g (2)=1,g (3)=4 或 {g (2)=4,g (3)=1,解得 a =1，b =0 或 a =−1，b =3（舍）． 所以 a =1，b =0．(2) f (x )=x 2−2x+1x =x +1x −2．令 ∣2x −1∣=t ，显然 t >0， 所以 t +1t −2+k (2t −3)=0 在 (0,1) 上有一解，在 [1,+∞) 上有一解．即 t 2−(2+3k )t +1+2k =0 的两根分别在 (0,1) 和 [1,+∞) 上．令 ℎ(t )=t 2−(2+3k )t +1+2k ，若 ℎ(1)=0，即 1−2−3k +1+2k =0，解得 k =0，则 ℎ(t )=t 2−2t +1=(t −1)2，与 ℎ(t ) 有两解矛盾．所以 {ℎ(0)>0,ℎ(1)<0,即 {1+2k >0,−k <0, 解得 k >0． 所以实数 k 的取值范围是 (0,+∞)．【知识点】函数的最大（小）值、函数的零点分布21. 【答案】(1) 由函数 f (x )=x 2−3mx +n 的两个零点分别为 1 和 2，可得 {1−3m +n =0,4−6m +n =0, 解得 {m =1,n =2.(2) 由（1）可得 f (x )=x 2−3x +2，由不等式 f (x )−k >0 在 x ∈[0,5] 上恒成立，可得不等式 f (x )>k 在 x ∈[0,5] 上恒成立，可将 f (x )=x 2−3x +2 化为 f (x )=(x −32)2−14，所以 f (x )=x 2−3x +2 在 x ∈[0,5] 上的最小值为 f (32)=−14，所以 k <−14．【知识点】函数的最大（小）值、函数的零点分布22. 【答案】(1) 由已知得 (12)−a=2，解得 a =1．(2) 由（1）知 f (x )=(12)x，又 g (x )=f (x )，所以 4−x −2=(12)x，即 (14)x −(12)x−2=0，即 [(12)x ]2−(12)x−2=0，令 (12)x=t (t >0)，则 t 2−t −2=0，所以 t =−1 或 t =2，又 t >0，所以 t =2，即 (12)x=2，解得 x =−1．【知识点】指数函数及其性质。

人教A 版（2019）高一数学第二章《一元二次函数、方程和不等式》练习题（含答案）一、单选题1．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32 2．已知a ，b ∈R ，0a b >>，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11a a b b ->- B ．11a b b >- C ．11a a b b +>+ D ．11a b b a->- 3．已知不等式组121x m mx n +<⎧⎨->⎩的解集为（2，3），则（ ） A ．23m n <⎧⎨>⎩B ．23m n =⎧⎨=⎩C ．23m n >⎧⎨<⎩D ．23m n =⎧⎨=⎩4．设a b c d ,,,为实数，且0a b c d >>>>，则下列不等式正确的是（ ） A ．2c cd >B ．a d b c +<+C ．ad bc <D ．2211a b > 5．下列不等式中成立的是（ ）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b >>，则22a b >C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若0a b <<，则11a b < 6．已知,,a b c 为正数，则“222a b c +>”是“a b c +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知a ，b ＞0，且a ＋2b ＝1，则12a b+的最小值为（ ） A ．6 B ．8 C ．9 D ．10 8．若1x >，则函数221x y x x +=+-的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．7D ．9二、多选题 9．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（ ）A ．若0ab ≠且a b <，则11a b> B ．若01a <<，则2a a < C ．若0a b >>且0c >，则b c b a c a +>+ D ．222(1)a b a b +≥+- 10．已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若a >b ，c >d ，则a -d >b -cB ．若a >b ，c >d 则ac >bdC ．若ab >0，bc -ad >0，则c d a b> D ．若a >b ，c >d >0，则a b d c > 11．下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若,a b c d >>，则a c b d ->-B ．若a b >，且11a b >，则0ab <C ．若0,0a b c >>>，则b c b a c a +>+D ．若0a b <<，则2a ab <12．已知0a >，0b >，且1a b +=，则（ ）A ．2728a b +≥B ．114a b +≤C ．14ab ≤D ≤三、填空题13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若74a =，则678a a a ++的最小值为______．14．已知正数a ，b 满足5a b +=，则2112a b++的最小值为___________. 15．已知21a b +=（a ，0b >），则41a b b ++的最小值为________． 16．已知正数x 、y 满足341x y +=，则xy 的最大值为_________．四、解答题17．已知函数()218=++f x ax bx ，()0f x >的解集为()3,2-．(1)求()f x 的解析式；(2)当0x >时，求()21f x y x-=的最大值．18．已知函数()()24,f x ax x c a c R =-+∈，满足()29f = ，()f c a < ，且函数()f x 的值域为[)0,+∞ ．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设函数()()()3f x kx g x k R x+-=∈，对任意[]1,2x ∈ ，存在[]01,1x ∈- ，使得()()0g x f x < 求k 的取值范围．19．已知正实数x ，y 满足441x y +=.（1）求xy 的最大值；（2）若不等式2415a a x y+≥+恒成立，求实数a 的取值范围.20．某居民小区欲在一块空地上建一面积为21200m 的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示（图中单位：m ），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？21．若关于x 的不等式240x mx m -+<的解集为()12,x x ．(1)当1m =时，求121144x x +--的值； (2)若120,0x x >>，求1211x x +的值及124x x +的最小值．22．已知集合{24}A x x =<<，集合2{1}B x m x m =-<<.(1)若A B =∅；求实数m 的取值范围；(2)命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值集合.23．在ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2a B c b =-． （1）求角A 的值；（2）若5b =，5AC CB ⋅=-，求ABC 的周长；（3）若2sin 2sin b B c C bc +=+，求ABC 面积的最大值参考答案1．B2．C3．B4．C5．B6．A7．C8．C9．BCD10．AC11．BC12．ACD13．1214．34##0.75 15．916．14817．（1）解：因为函数()218=++f x ax bx ，()0f x >的解集为()3,2-，那么方程2180ax bx ++=的两个根是3-，2，且0a <，由韦达定理有321318332b a a b a ⎧-+=-=-⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪-⨯=⎪⎩所以()23318f x x x =--+．（2）解：()221333133f x x x y x x x x ----⎛⎫===-+- ⎪⎝⎭，由0x >，所以12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取等号，所以1339x x ⎛⎫-+-≤- ⎪⎝⎭，当1x =时取等号，∴当1x =时，max 9y =-．18．（Ⅰ）根据()29f =，可得417a c += ．由函数()f x 的值域为[)0,+∞ 知，方程240ax x c -+=，判别式0∆= ，即4ac = . 又()f c a < ，24ac c c a ∴-+< ，即c a < ，解得：4,1a c ==，()2441f x x x ∴=-+ ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f(x)的对称轴为1x 2=，则当=-1x 时，()f x 取得最大值为9， 若对任意[]1,2x ∈，存在[]01,1x ∈-，使得()()0g x f x < ，即()244139x x kx g x x-++-=<， 即()241320x k x +--< 对任意[]1,2x ∈恒成立．设()()24132h x x k x =+-- ，则()()1020h h ⎧<⎪⎨<⎪⎩，即116k k <⎧⎨<⎩，解得k 6< ． k ∴的取值范围是(),6-∞19．（1）441x y +=，所以14x y =+≥164xy ≤， 当且仅当18x y ==取等号，∴xy 的最大值为164.（2）()414116444202036y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当16x =，112y =取等号， ∴2536a a +≤，解得94a -≤≤.即a 的取值范围是[]9,4-.20．设矩形停车场南北侧边长为()m 0x x >，则其东西侧边长为1200xm ， 人行通道占地面积为()212007200681200848m S x x x x ⎛⎫=++-=++ ⎪⎝⎭，由均值不等式，得27200848482244896m S x x =++≥=⨯+=， 当且仅当72008x x =，即30m x =时，2min 96m S =，此时120040m x =． 所以，设计矩形停车场南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，人行通道占地面积最小528m 2．21．(1)由题可知关于x 的方程2410x x -+=有两个根12,x x ，所以1212Δ1640,4,1,x x x x =->⎧⎨+==⎩ 故()12121212811444441611616x x x x x x x x +--+===----++-+． (2)由题意关于x 的方程240x mx m -+=有两个正根，所以有212121212Δ>01640,040,00,m m x x x x m x x x x m ⎧⎧->⎪⎪+>⇒+=>⎨⎨⎪⎪>=>⎩⎩解得14m ＞； 同时12124x x x x +=，由120,0x x >>得12114x x +=， 所以()211212121241111441444x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由于2112,0x x x x >，所以211244x x x x +≥， 当且仅当21124x x x x =，即122x x =，且12124x x x x +=，解得1233,48x x ==时取得“=”， 此时实数91324m =>符合条件， 故12944x x +≥，且当932m =时，取得最小值94． 22．(1) ∵A B =∅，∴当B =∅时，m －1≥m 2，解得：m ∈∅.当B ≠∅时，m －1≥4或m 2≤2，∴m ≤5m ≥.(2)∵x ∈A 是x ∈B 的充分条件，∴A ⊆B ，∴2124m m -≤⎧⎨≥⎩，解得：m ≤－2或2≤m ≤3. 所以实数m 的取值集合为{2m m ≤-或}23m ≤≤23．（1）2cos 22sin cos 2sin sin a B c b A B C B =-⇒⋅=-,∴2sin cos 2sin()sin 2(sin cos cos sin )sin A B A B B A B A B B ⋅=⋅+-=⋅+⋅-,∴1cos 2A =, 0A π<<,3A π∴=;（2）2()AC CB AC AB AC AC AB AC ⋅=⋅-=⋅-255cos 5255832c c c π=⋅⋅-=-=-⇒=， 在ABC 中利用余弦定理得：2222212cos 58258492a b c b c A =+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅=， 7a ∴=，∴ABC ∆的周长为：58720++=；（3）sin sin b c s A a inB C ====∴sin B =sin C =，∴22b c b c bc a a+=，)2221cos 222a abc a abc A +-=⇒=⇒=⇒a =)222233b c b c bc +-=⇒+=+，323bc bc bc ∴+⇒，等号成立当且仅当b c =， ABC面积的最大值为1sin 2maxbc A ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

第三章单元测试卷一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．函数f(x)＝x －1x －2的定义域为( ) A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[1,2) D ．[1,2)∪(2，＋∞)2．德国数学家狄利克雷在数学上做出了名垂史册的重大贡献，函数D(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∉Q 1，x∈Q是以他名字命名的函数，则D(D(π))＝( )A ．1B ．0C ．πD ．－13．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x 2－2x ＋1，则f(－1)＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－24．若函数y ＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2x ＋1的定义域是( )A ．[－4,0]B ．[－4,0)C ．[－4，－1)∪(－1,0]D ．(－4,0)5．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm －2的图象不过原点，则m 的取值X 围为( )A ．1≤m≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝16．已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则函数f (x )在R 上的解析式是( )A ．f (x )＝－x (x －2)B ．f (x )＝x (|x |－2)C ．f (x )＝|x |(x －2)D ．f (x )＝|x |(|x |－2)7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，1，x >0，若f (x －4)>f (2x －3)，则实数x 的取值X 围是( )A ．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)C ．(－1,4)D ．(－∞，1)8．甲、乙二人从A 地沿同一方向去B 地，途中都使用两种不同的速度v 1与v 2(v 1<v 2)，甲前一半的路程使用速度v 1，后一半的路程使用速度v 2；乙前一半的时间使用速度v 1，后一半的时间使用速度v 2，关于甲、乙二人从A 地到达B 地的路程与时间的函数图象及关系，有如图所示的四个不同的图示分析(其中横轴t 表示时间，纵轴s 表示路程，C 是AB 的中点)，则其中可能正确的图示分析为( )二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．关于函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的结论正确的是( )A ．定义域、值域分别是[－1,3]，[0，＋∞) B．单调增区间是(－∞，1] C ．定义域、值域分别是[－1,3]，[0,2] D ．单调增区间是[－1,1] 10．已知f (2x －1)＝4x 2，则下列结论正确的是( ) A ．f (3)＝9 B ．f (－3)＝4 C ．f (x )＝x 2D ．f (x )＝(x ＋1)211．关于定义在R 上的函数f (x )，下列命题正确的是( ) A ．若f (x )满足f (2 018)>f (2 017)，则f (x )在R 上不是减函数 B ．若f (x )满足f (－2)＝f (2)，则函数f (x )不是奇函数C ．若f (x )在区间(－∞，0)上是减函数，在区间[0，＋∞)也是减函数，则f (x )在R 上是减函数D ．若f (x )满足f (－2 018)≠f (2 018)，则函数f (x )不是偶函数12．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )满足( )A ．f (0)＝0B ．y ＝f (x )是奇函数C ．f (x )在[m ，n ]上有最大值f (n )D ．f (x －1)>0的解集为(－∞，1)三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．14．长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，宽减少x2时，面积达到最大，此时x 的值为________．15．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0，f (x )＝x 2－2x ＋a ，则a ＝________，f (－3)＝________.(本题第一空2分，第二空3分)16．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋a ，x >1，3－2a x －1，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值X围为________．四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝2x －1x ＋1，x ∈[3,5]．(1)判断f (x )在区间[3,5]上的单调性并证明； (2)求f (x )的最大值和最小值．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x，x >1，x 2＋1，－1≤x ≤1，2x ＋3，x <－1.(1)求f (f (－2))的值； (2)若f (a )＝32，求a .19．(本小题满分12分)已知幂函数f (x )＝x －2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }满足：(1)在区间(0，＋∞)上是增函数； (2)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足条件(1)(2)的幂函数f (x )的解析式，并求当x ∈[0,3]时，f (x )的值域．20．(本小题满分12分)设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝－(x－2)2＋2.(1)求函数f(x)在R上的解析式；(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的图象；(3)若方程f(x)－k＝0有四个解，某某数k的取值X围．21．(本小题满分12分)如图所示，A、B两城相距100 km，某天然气公司计划在两地之间建一天然气站D给A、B两城供气．已知D地距A城x km，为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得少于10 km.已知建设费用y(万元)与A、B两地的供气距离(km)的平方和成正比，当天然气站D距A城的距离为40 km时，建设费用为1300万元．(供气距离指天然气站到城市的距离)(1)把建设费用y(万元)表示成供气距离x(km)的函数，并求定义域；(2)天然气供气站建在距A城多远，才能使建设费用最小，最小费用是多少？22．(本小题满分12分)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)，又当x2>x1>0时，f(x2)>f(x1)．(1)求f(1)，f(4)，f(8)的值；(2)若有f(x)＋f(x－2)≤3成立，求x的取值X围．第三章单元测试卷1．解析：根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2.答案：D2．解析：∵函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∉Q 1，x ∈Q，∴D (π)＝0，D (D (π))＝D (0)＝1.故选A.答案：A3．解析：令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，令x ＝－1，得f (－1)＋g (－1)＝5，两式相加得：f (1)＋f (－1)＋g (1)＋g (－1)＝6.又∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－1)＝f (1)，g (－1)＝－g (1)．∴2f (－1)＝6， ∴f (－1)＝3，故选A. 答案：A4．解析：∵y ＝f (x )的定义域是[0,2]，∴要使g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2x ＋1有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧0≤－x2≤2，x ＋1≠0，∴－4≤x ≤0且x ≠－1.∴g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2x ＋1的定义域为[－4，－1)∪(－1,0]．答案：C5．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤0，m 2－3m ＋3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，m ＝1或m ＝2，∴m ＝1或m ＝2.答案：B6．解析：设x <0，则－x >0，f (x )＝f (－x )＝x 2－2(－x )＝x 2＋2x .故f (x )＝|x |(|x |－2)．答案：D 7.解析：f (x )的图象如图．由图知， 若f (x －4)>f (2x －3)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x －4<0，x －4<2x －3，解得－1<x <4.故实数x 的取值X 围是(－1,4)． 答案：C8．解析：由题意可知，开始时，甲、乙速度均为v 1，所以图象是重合的线段，由此排除C ，D.再根据v 1<v 2可知两人的运动情况均是先慢后快，图象是折线且前“缓”后“陡”，故图示A 分析正确．答案：A9．解析：f (x )＝－x 2＋2x ＋3则定义域满足：－x 2＋2x ＋3≥0解得：－1≤x ≤3 即定义域为[－1,3]考虑函数y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4在－1≤x ≤3上有最大值4，最小值0. 在[－1,1]上单调递增，在(1,3]上单调递减．故f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为[－1,3]，值域为[0,2]，在[－1,1]上单调递增，在(1,3]上单调递减．故选CD. 答案：CD10．解析：f (2x －1)＝(2x －1)2＋2(2x －1)＋1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1，故选项C 错误，选项D 正确；f (3)＝16，f (－3)＝4，故选项A 错误，选项B 正确．故选BD.答案：BD11．解析：由题意，对于A 中，由2 018>2 017，而f (2 018)>f (2 017)，由减函数定义可知，f (x )在R 上一定不是减函数，所以A 正确；对于B 中，若f (x )＝0，定义域关于原点对称，则f (－2)＝f (2)＝－f (2)，则函数f (x )可以是奇函数，所以B 错误；对于C 中，由分段函数的单调性的判定方法，可得选项C 不正确；对于D 中，若f (x )是偶函数，必有f (－2 018)＝f ( 2018)，所以D 正确．故选AD.答案：AD12．解析：令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0，故A 正确；再令y ＝－x ，代入原式得f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，所以f (－x )＝－f (x )，故该函数为奇函数，故B 正确；由f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )得f (x ＋y )－f (x )＝f (y )，令x 1<x 2，再令x 1＝x ＋y ，x 2＝x ，则y ＝x 1－x 2<0，结合x <0时，f (x )>0，所以f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)>0，所以f (x 1)>f (x 2)，所以原函数在定义域内是减函数，所以函数f (x )在[m ，n ]上递减，故f (n )是最小值，f (m )是最大值，故C 错误；又f (x －1)>0，即f (x －1)>f (0)，结合原函数在定义域内是减函数可得，x －1<0，解得x <1，故D 正确．故选ABD.答案：ABD13．解析：若a >0，则2a ＋2＝0，得a ＝－1，与a >0矛盾，舍去；若a ≤0，则a ＋1＋2＝0，得a ＝－3，所以实数a 的值等于－3.答案：－314．解析：由题意，S ＝(4＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 2，即S ＝－12x 2＋x ＋12，∴当x ＝1时，S 最大． 答案：115．解析：由定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0，f (x )＝x 2－2x ＋a ， 可得f (0)＝a ＝0，当x ≥0，f (x )＝x 2－2x ， 则f (－3)＝－f (3)＝－(32－2×3)＝－3. 答案：0 －316．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12＋a －1，x >1，3－2ax －1，x ≤1显然函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增．故由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，a －1≥3－2a ×1－1，解得1≤a <32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 17．解析：(1)函数f (x )在[3,5]上为增函数，证明如下： 设x 1，x 2是[3,5]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1x 1＋1－2x 2－1x 2＋1＝3x 1－x 2x 1＋1x 2＋1.∵3≤x 1≤x 2≤5，∴x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在[3,5]上为增函数． (2)由(1)知函数f (x )在[3,5]单调递增，所以 函数f (x )的最小值为f (x )min ＝f (3)＝2×3－13＋1＝54，函数f (x )的最大值为f (x )max ＝f (5)＝2×5－15＋1＝32.18．解析：(1)因为－2<－1，所以f (－2)＝2×(－2)＋3＝－1， 所以f (f (－2))＝f (－1)＝2.(2)当a >1时，f (a )＝1＋1a ＝32，所以a ＝2>1；当－1≤a ≤1时，f (a )＝a 2＋1＝32，所以a ＝±22∈[－1,1]； 当a <－1时，f (a )＝2a ＋3＝32，所以a ＝－34>－1(舍去)．综上，a ＝2或a ＝±22. 19．解析：因为m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }， 所以m ＝－1,0,1.因为对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0， 即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．当m ＝－1时，f (x )＝x 2只满足条件(1)而不满足条件(2)； 当m ＝1时，f (x )＝x 0，条件(1)(2)都不满足； 当m ＝0时，f (x )＝x 3，条件(1)(2)都满足． 因此m ＝0，且f (x )＝x 3在区间[0,3]上是增函数， 所以0≤f (x )≤27，故f (x )的值域为[0,27]． 20．解析：(1)若x <0，则－x >0，f (x )＝f (－x ) ＝－(－x －2)2＋2＝－(x ＋2)2＋2，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －22＋2，x ≥0，－x ＋22＋2，x <0.(2)图象如图所示，(3)由于方程f (x )－k ＝0的解就是函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 的交点的横坐标，观察函数y ＝f (x )图象与直线y ＝k 的交点情况可知，当－2<k <2时，函数y ＝f (x )图象与直线y ＝k 有四个交点，即方程f (x )－k ＝0有四个解．21．解析：(1)由题意知D 地距B 城(100－x )km ，则⎩⎪⎨⎪⎧100－x ≥10，x ≥10，∴10≤x ≤90.设比例系数为k ，则y ＝k [x 2＋(100－x )2](10≤x ≤90)． 又x ＝40时，y ＝1 300，所以1 300＝k (402＋602)，即k ＝14，所以y ＝14[x 2＋(100－x )2]＝12(x 2－100x ＋5 000)(10≤x ≤90)．(2)由于y ＝12(x 2－100x ＋5 000)＝12(x －50)2＋1 250，所以当x ＝50时，y 有最小值为1 250万元．所以当供气站建在距A 城50 km 时，能使建设费用最小，最小费用是1 250万元． 22．解析：(1)f (1)＝f (1)＋f (1)，所以f (1)＝0，f (4)＝f (2)＋f (2)＝1＋1＝2，f (8)＝f (2)＋f (4)＝1＋2＝3.(2)因为f (x )＋f (x －2)≤3， 所以f [x (x －2)]≤f (8)，又因为对于函数f (x )，当x 2>x 1>0时，f (x 2)>f (x 1)，所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －2>0，x x －2≤8，解得2<x ≤4.故x 的取值X 围为(2,4]．。

人教A 版高一数学必修第一册《函数的概念与性质》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 设 D 是含数 1 的有限实数集，f (x ) 是定义在 D 上的函数．若 f (x ) 的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1) 的可能取值只能是 ( ) A ． √3B ．√32C ．√33D ． 02. 如果函数 f (x )=12(m −2)x 2+(n −8)x +1(m ≥0,n ≥0) 在区间 [12,2] 上单调递减，那么 mn 的最大值为 ( ) A ．16 B ．18 C ．25D ．8123. 定义“函数 y =f (x ) 是 D 上的 a 级类周期函数”如下：函数 y =f (x )，x ∈D ，对于给定的非零常数 a ，总存在非零常数 T ，使得定义域 D 内的任意实数 x 都有 af (x )=f (x +T ) 恒成立，此时 T 为 f (x ) 的周期．若 y =f (x ) 是 [1,+∞) 上的 a 级类周期函数，且 T =1，当 x ∈[1,2) 时，f (x )=2x +1，且 y =f (x ) 是 [1,+∞) 上的单调递增函数，则实数 a 的取值范围为 ( ) A ． [56,+∞)B ． [2,+∞)C ． [53,+∞)D ． [10,+∞)4. 下列函数中，既是偶函数又在 (0,+∞) 上单调递增的函数是 ( ) A ． y =cosxB ． y =x 3C ． y =log 12xD ． y =e x +e −x5. 若函数 f (x )(x ∈R ) 为奇函数，f (1)=12，f (x +2)=f (x )+f (2)，则 f (5)= ( )A ． 0B ． 1C ． 52D ． 56. 设函数 f (x )={x 2+1,x ≤12x ,x >1，则 f(f (3)) 等于 ( )A ． 15B ． 3C ． 23D ．1397. 已知函数 f (x )={x 2−2ax +2a,x ≤12x −alnx,x >1．若关于 x 的不等式 f (x )≥a 2 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围为 ( ) A ． (−∞,2√e] B ． [0,32] C ． [0,2]D ． [0,2√e]8. 函数 f (x )=2x 2+2x x+1是 ( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数9. 已知函数 f (x )={2x −2−x ,x ≥02−x −2x ,x <0，若对任意的 x ∈R ，都有 f (2x +1)≥f (x −a ) 成立，则实数 a 的值为 ( ) A ． −12B ． 12C ． −1D ． 110. 如图，在四边形 ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AD =DC =2，CB =√2，动点 P 从 A 点出发，按照 A →D →C →B 路径沿边运动，设 P 点运动的路程为 x ，△APB 的面积为 y ，则函数 y =f (x ) 的图象大致是 ( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（共6题）11. 记 t =x +y −a(x +2√2xy)，x >0，y >0．已知对任意的 x >0，y >0，恒有 t ≥0，则实数 a 的取值范围为 ．12. 若函数 f (x )=√1−log 2x 的反函数为 f −1(x )，则 f −1(x ) 的值域为 ．13. 已知函数 f (x )={x 2,x ≤0−x 2,x >0，则 f [f (−2)]= ．14. 已知函数 f (x )=sinx +tanx ．项数为 27 的等差数列 {a n } 满足 a n ∈(−π2,π2)，且公差 d ≠0，若 f (a 1)+f (a 2)+⋯+f (a 27)=0，则当 k = 时，f (a k )=0．15. 试写出一个与函数 y =x 2 定义域和值域都相同的函数 ．16. 已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数．当 x >0 时，f (x )=x 2−4x ，则不等式 f (x )>x 的解集用区间表示为 ．三、解答题（共6题）17. 某工厂有一段旧墙长 14 m ，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为 126 m 2 的厂房，工程条件是：（1）建 1 m 新墙的费用为 a 元； （2）修 1 m 旧墙的费用为 a4 元；（3）拆去 1 m 的旧墙，用可得的建材建 1 m 的新墙的费用为 a2 元． 经讨论有两种方案：①利用旧墙一段 x m (0<x <14) 为矩形一边； ②矩形厂房利用旧墙的一面边长 x ≥14． 试写出两种方案中总费用关于 x 的函数关系．18. 定义在 R 上的严格减函数 y =f (x ) 满足：当且仅当 x ∈M ⊆R + 时，函数值 f (x ) 的集合为[0,2] 且 f (12)=1；对 M 中的任意 x 1，x 2 都有 f (x 1⋅x 2)=f (x 1)+f (x 2)．(1) 求证；14∈M ，18∉M ；(2) 求证：y =f (x ) 在 M 上的反函数 f −1(x ) 满足 f −1(x 1)⋅f −1(x 2)=f −1(x 1+x 2)； (3) 设 x ∈[0,2]，解不等式 f −1(x 2+x )⋅f −1(x +2)≤14．19. 已知函数 f (x ) 对一切实数 x ，y 都有 f (x +y )=f (x )+f (y )．(1) 求证：f (x ) 是奇函数；(2) 若 f (−3)=a ，试用 a 表示 f (12)．20. 判断函数 f (x )={x 2−2x +3,x >0,0,x =0,−x 2−2x −3,x <0. 的奇偶性．21. 设函数 y =f (x ) 的表达式为 f (x )=x 2+∣x −a ∣，其中 a 为实常数．(1) 判断函数 y =f (x ) 的奇偶性，并说明理由； (2) 设 a >0，函数 g (x )=f (x )x在区间 (0,a ] 上为严格减函数，求实数 a 的最大值．22. 已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，且 f (1)=1，对于任意的 x 1,x 2∈R (x 1≠x 2)，都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0．(1) 解关于 x 的不等式 f (x 2−3ax )+f (2a 2)<0；(2) 若 f (x )≤m 2−2am +1 对所有 x ∈[−1,1]，a ∈[−1,1] 恒成立，求实数 m 的取值范围．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【知识点】抽象函数2. 【答案】B【解析】当 m =2 时，f (x )=(n −8)x +1，要使其在区间 [12,2] 上单调递减，则 n −8<0⇒n <8，于是 mn <16，则 mn 无最大值．当 m ∈[0,2) 时，f (x ) 的图象开口向下，要使 f (x ) 在区间 [12,2] 上单调递减，需 −n−8m−2≤12，即 2n +m ≤18，又 n ≥0，则 mn ≤m (9−m2)=−12m 2+9m ． 而 g (m )=−12m 2+9m 在 [0,2) 上为增函数，所以 m ∈[0,2) 时，g (m )<g (2)=16，故 m ∈[0,2) 时，mn 无最大值． 当 m >2 时，f (x ) 的图象开口向上，要使 f (x ) 在区间 [12,2] 上单调递减，需 −n−8m−2≥2，即2m +n ≤12，而 2m +n ≥2√2m ⋅n ，所以 mn ≤18，当且仅当 {2m +n =12,2m =n. 即 {m =3,n =6. 时，取“=”，此时满足 m >2． 故 (mn )max =18．【知识点】二次函数的性质与图像、函数的最大（小）值、函数的单调性3. 【答案】C【解析】 f (n +1)=af (n )=a (2n +1)≥2(n +1)+1，a ≥1+22n+1 对 n ≥1，n ∈N ∗ 恒成立， 所以 a ≥(1+22n+1)max=1+23=53．【知识点】函数的最大（小）值4. 【答案】D【解析】 y =cosx 是偶函数，但在 (0,+∞) 不是单调递增，y =x 3 和 y =log 12x 2 不是偶函数，所以只有 y =e x +e −x 满足题意． 【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性5. 【答案】C【解析】因为 f (x ) 为奇函数，所以 f (−1)=−f (1)， 又 f (x +2)=f (x )+f (2)，令 x =−1，得 f (1)=f (−1)+f (2)， 于是 f (2)=2f (1)=1；令 x =1，得 f (3)=f (1)+f (2)=32，于是 f (5)=f (3)+f (2)=52． 故选C ．【知识点】函数的奇偶性、抽象函数6. 【答案】D【解析】因为 f (3)=23≤1，所以 f(f (3))=(23)2+1=139．【知识点】分段函数7. 【答案】C【知识点】分段函数、恒成立问题8. 【答案】D【解析】因为 f (x )=2x 2+2x x+1的定义域为 {x∣ x ≠−1}，定义域不关于原点对称，所以 f (x ) 既不是奇函数也不是偶函数． 【知识点】函数的奇偶性9. 【答案】A【解析】函数 f (x )={2x −2−x ,x ≥02−x −2x ,x <0，所以当 x ≥0 时，f (x )=2x −2−x ， −x <0，即 f (−x )=2x −2−x ， 所以 f (x )=f (−x )，同理当 x <0 时，f (x )=2−x −2x ， 则 −x >0，则 f (−x )=2−x −2x ， 即 f (x )=−f (−x )，综上可知，函数 f (x )={2x −2−x ,x ≥02−x −2x ,x <0 为偶函数，当 x ≥0 时，f (x )=2x −2−x ，此时 f (x ) 单调递增， 所以由偶函数对称性可知当 x <0 时 f (x ) 单调递减，若对任意的 x ∈R ，都有 f (2x +1)≥f (x −a ) 成立，则需 ∣2x +1∣≥∣x −a ∣，两边同时平方，移项化简可得3x2+(2a+4)x+1−a2≥0，由二次函数性质，可得Δ=(2a+4)2−4×3×(1−a2)≤0，化简可得(2a+1)2≤0，由平方数性质可知(2a+1)2≥0，所以只能是(2a+1)2=0，解得a=−12．【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性、分段函数10. 【答案】A【解析】当x∈[0,2]时，y=f(x)=√2+12，x，y与x成正比，故排除C，D；当x∈(2,4]时，y=f(x)=1+√2，△APB的面积保持不变，排除B．故选A．【知识点】函数图象、函数的表示方法二、填空题（共6题）11. 【答案】{a∣ a≤12}【解析】由t≥0，得x+y≥a(x+2√2xy)．因为x>0，y>0，所以a≤x+2√2xy．因为2√2xy≤x+2y，所以x+2√2xy ≥x+yx+(x+2y)=12，当且仅当x=2y>0时，等号成立，因为a≤12，所以实数a的取值范围是{a∣ a≤12}．【知识点】均值不等式的应用12. 【答案】(0,2]【解析】求原函数定义域即解不等式1−log2x>0．【知识点】函数的值域的概念与求法13. 【答案】−16【解析】f[f(−2)]=f(4)=−16．【知识点】分段函数14. 【答案】14【解析】提示：函数 f (x )=sinx +tanx 为奇函数，a 1+a 27=a 2+a 26=⋯=2a 14=0 时，满足题意．又因为此函数在 (−π2,π2) 上为增函数，所以 k 只能等于 14． 【知识点】函数的奇偶性、等差数列15. 【答案】 y =(x +1)2（答案不唯一）【知识点】函数的相关概念16. 【答案】 (−5,0)∪(5,+∞)【解析】因为 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，所以 f (0)=0， 又当 x <0 时，−x >0，所以 f (−x )=x 2+4x ． 又 f (x ) 为奇函数，所以 f (−x )=−f (x )， 所以 f (x )=−x 2−4x (x <0)， 所以 f (x )={x 2−4x,x >00,x =0−x 2−4x,x <0①当 x >0 时，由 f (x )>x 得 x 2−4x >x ，解得 x >5； ②当 x =0 时，f (x )>x 无解；③当 x <0 时，由 f (x )>x 得 −x 2−4x >x ，解得 −5<x <0． 综上，不等式 f (x )>x 的解集用区间表示为 (−5,0)∪(5,+∞)． 【知识点】函数的奇偶性、二次不等式的解法三、解答题（共6题）17. 【答案】方案①：修旧墙费用为 x ⋅a4 元，拆旧墙造新墙费用为 (14−x )⋅a2 元，其余建新墙费用为 (2x +2×126x−14)a 元，∴ 总费用 y =7a (x4+36x−1)(0<x <14)．方案②：利用旧墙费用为 14⋅a 4=7a 2（元），建新墙费用为 (2x +252x−14)a （元），总费用 y =2a (x +126x)−212a (x ≥14)．【知识点】建立函数表达式模型18. 【答案】(1) 因为 12∈M ，又 14=12×12，f (12)=1， 所以 f (14)=f (12×12)=f (12)+f (12)=2∈[0,2]，所以 14∈M ，又因为 f (18)=f (14×12)=f (14)+f (12)=3∉[0,2]， 所以 18∉M ．(2) 因为 y =f (x ) 在 M 上是严格减函数，所以 y =f (x ) 在 M 上有反函数 y =f −1(x )，x ∈[0,2]．任取 x 1,x 2∈[0,2]，设 y 1=f −1(x 1)，y 2=f −1(x 2)， 所以 x 1=f (y 1)，x 2=f (y 2)（y 1,y 2∈M ）． 因为 x 1+x 2=f (y 1)+f (y 2)=f (y 1y 2)， 所以 y 1y 2=f −1(x 1+x 2)．又 y 1y 2=f −1(x 1)f −1(x 2)，所以 f −1(x 1)⋅f −1(x 2)=f −1(x 1+x 2)． (3) 因为 y =f (x ) 在 M 上是严格减函数， 所以 f −1(x ) 在区间 [0,2] 上也是严格减函数．f −1(x 2−x )⋅f −1(x +2)≤14 等价于 f −1(x 2−x +x +2)≤f −1(2)．转化为 {0≤x 2−x ≤2,0≤x +2≤2,x 2+2≥2,解得 {−1≤x ≤0或1≤x ≤2,−2≤x ≤0,x ∈R. 即 −1≤x ≤0．所以，不等式的解集为 [−1,0]．【知识点】函数的单调性、抽象函数、反函数19. 【答案】(1) 由已知 f (x +y )=f (x )+f (y )， 令 y =−x 得 f (0)=f (x )+f (−x )， 令 x =y =0 得 f (0)=2f (0)， 所以 f (0)=0， 所以 f (x )+f (−x )=0， 即 f (−x )=−f (x )， 故 f (x ) 是奇函数．(2) 由（1）知 f (x ) 为奇函数． 所以 f (−3)=−f (3)=a ， 所以 f (3)=−a ．又 f (12)=f (6)+f (6)=2f (3)+2f (3)=4f (3)， 所以 f (12)=−4a ．【知识点】函数的奇偶性20. 【答案】若 x >0，则 −x <0，f (−x )=−(−x )2−2(−x )−3=−x 2+2x −3=−f (x )； 若 x =0，则 −x =0，f (−x )=f (0)=0=−f (0)；若 x <0，则 −x >0，f (−x )=(−x )2−2(−x )+3=x 2+2x +3=−f (x )． 综上所述 f (−x )={−x 2+2x −3,x >0,0,x =0,x 2+2x +3,x <0.所以 f (−x )=−f (x )，所以 f (x ) 是奇函数．【知识点】函数的奇偶性21. 【答案】(1) 当 a =0 时，y =f (x ) 为偶函数；当 a ≠0 时，y =f (x ) 为非奇非偶函数；(2) a ∈(0,1]．【知识点】函数的单调性、函数的最大（小）值22. 【答案】(1) 因为对于任意 x 1,x 2∈[−1,1]，x 1≠x 2，总有 f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0，所以函数 f (x ) 在 [−1,1] 上是递增的奇函数．不等式 f (x 2−3ax )+f (2a 2)<0 变形为不等式 f (x 2−3ax )<−f (2a 2)=f (−2a 2)， 所以 x 2−3ax +2a 2<0⇒(x −2a )(x −a )<0． ①当 a >0 时，不等式解集为 {x∣ a <x <2a }； ②当 a =0 时，不等式解集为 ⌀；③当 a <0 时，不等式解集为 {x∣ 2a <x <a }．(2) 所以函数 f (x ) 在 [−1,1] 上是增函数，且 f (x )max =f (1)=1．所以问题转化为 t 2−2αt −1≥f (x )max =f (1)=1 对任意的 α∈[−1,1] 恒成立． 令 g (α)=m 2−2αm +1，α∈[−1,1]，只需 {g (1)=m 2−2m +1≥1,g (−1)=m 2+2m +1≥1, 解得 m =0 或 m ≥2 或 m ≤−2．所以实数 m 的取值范围为 {m∣ m =0 或 m ≥2 或 m ≤−2}． 【知识点】函数的单调性、函数的奇偶性。

人教A版高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.当a<0，−1<b<0时，则下列各式正确的是( )A．a>ab>ab2B．ab>a>ab2C．ab2>ab>a D．ab>ab2>a2.已知m>1，a=√m+1−√m，b=√m−√m−1，则以下结论正确的是( )A．a>b B．a=bC．a<b D．a，b的大小不确定3.关于x的不等式x2−(a+1)x+a<0的解集中恰有两个正整数，则实数a的取值范围是( )A．[2,4)B．[3,4]C．(3,4]D．(3,4)4.下列不等式一定成立的是( )A．x+y≥2√xy B．∣x∣+∣y∣≥2√xyC．∣x∣+∣y∣≥2∣√xy∣D．∣x∣+∣y∣≥2√∣xy∣5.若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x∣ −2<x<1}，则不等式ax2+(a+b)x+c−a<0的解集为( )A．{x∣ x<−√3或x>√3}B．{x∣ −3<x<1}C．{x∣ −1<x<3}D．{x∣ x<−3或x>1}6.设非零实数a，b，则“a2+b2≥2ab”是“ab +ba≥2”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7.已知x>0，y>0，且x+y=10，则xy有( )A．最大值25B．最大值50C．最小值25D．最小值508.下列不等式中，正确的是( )A．若ac2>bc2，则a>b B．若a>b，则a+c<b+cC．若a>b，c>d，则ac>bd D．若a>b，c>d，则ac >bd9.设集合P={m∣ −1<m<0}，Q={m∈R∣ mx2+4mx−4<0对任意实数x恒成立}，则下列关系式中成立的是( )A．P⫋Q B．Q⫋P C．P=Q D．P∩Q=∅10.下列关于实数a，b的不等式中，不恒成立的是( )A．a2+b2≥2ab B．a2+b2≥−2abC．(a+b2)2≥ab D．(a+b2)2≥−ab二、填空题（共6题）11.设不等式x2−2ax+a+2≤0的解集为A，若A⊆{x∣ 1≤x≤3}，则a的取值范围为．12.设x>0，则2xx2+1的最大值为．13.设实数a，b满足b<a<0，则1a 1b．(填“>”“<”或“=”)14.已知x>0，y>0，且x+2y=xy，若x+2y>m2+2m恒成立，则xy的最小值为，实数m的取值范围为．15.已知关于x的不等式(a2−4)x2+(a+2)x−1≥0的解集为空集，则实数a的取值范围是．16.已知正实数x，y满足12x+y +42x+3y=1，则x+y的最小值为．三、解答题（共6题）17.某居民小区欲在一块空地上建一面积为1200m2的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m，东西的人行通道宽4m，如图所示（图中单位：m），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？18.已知p：x2−2x−35≤0，q：x2−3mx+(2m−1)(m+1)≤0（其中实数m>2）．(1) 分别求出p，q中关于x的不等式的解集M和N；(2) 若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．19.已知关于x的不等式x2−2x−1>a(a∈R)．(1) 若a=1，求不等式的解集；(2) 若不等式的解集为R，求实数a的范围．<1”．20.设a，b均为实数，且a≠0．求证：“a(a−b)>0”的充要条件是“ba21.求证：无论实数m取何值，关于x的方程x2−2mx+m−2=0总有两个不相等的实数根．22.某大学要修建一个面积为216m2的长方形景观水池，并且在景观水池四周要修建出宽为2m和3m的小路（如图）．问：如何设计景观水池的边长，能使总占地面积最小？并求出总占地面积的最小值．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】D【解析】因为a<0，−1<b<0，所以ab>0，1−b>0，b2−1<0，所以ab−ab2=ab(1−b)>0，所以ab>ab2，又ab2−a=a(b2−1)>0，所以ab2>a，所以ab>ab2>a．故选D．【知识点】不等式的性质2. 【答案】C【知识点】不等式的性质3. 【答案】C【解析】由题意得x2−(a+1)x+a<0可化为(x−a)(x−1)<0的解集有两个正整数，则这两个解为2，3．【知识点】二次不等式的解法4. 【答案】D【知识点】均值不等式的应用5. 【答案】D【解析】由已知得方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1=−2，x2=1，且a<0，所以ba =1，ca=−2．所以不等式ax2+(a+b)x+c−a<0可化为x2+(1+ba )x+ca−1>0，即x2+2x−3>0，解得x<−3或x>1．【知识点】二次不等式的解法6. 【答案】B【解析】因为a,b∈R时，都有a2+b2−2ab=(a−b)2≥0，即a2+b2≥2ab，而ab +ba≥2⇔ab>0，所以“a2+b2≥2ab”是“ab +ba≥2”的必要不充分条件．【知识点】均值不等式的应用7. 【答案】A【解析】因为 x >0，y >0，x +y =10， 所以 x +y ≥2√xy ， 所以 xy ≤(x+y 2)2=25，当且仅当 x =y =5 时，等号成立．所以 xy 有最大值 25． 【知识点】均值不等式的应用8. 【答案】A【解析】若 a >b ，则 a +c >b +c ，故B 错； 设 a =3，b =1，c =−1，d =−2， 则 ac <bd ，ac<bd ，所以C ，D 错．【知识点】不等式的性质9. 【答案】A【解析】当 m =0 时，−4<0 对任意实数 x ∈R 恒成立；当 m ≠0 时，由 mx 2+4mx −4<0 对任意实数 x ∈R 恒成立可得 {m <0,Δ=16m 2+16m <0,解得 −1<m <0，综上所述，Q ={m∣ −1<m ≤0}， 所以 P ⫋Q ．【知识点】二次不等式的解法10. 【答案】D【解析】根据不等式的性质，选项A ，B ，C 都是成立的，选项D 中当 a =−1，b =1 时，等式不成立，故答案选D ． 【知识点】不等式的性质二、填空题（共6题） 11. 【答案】 −1<a ≤115【知识点】二次不等式的解法12. 【答案】 1【知识点】均值不等式的应用13. 【答案】 <【知识点】不等式的性质14. 【答案】 8 ； (−4,2)【解析】因为 x >0，y >0，x +2y =xy ， 所以 2x +1y =1，所以 1=2x +1y ≥2√2x ⋅1y ，所以 xy ≤8，当且仅当 x =4，y =2 时取等号， 所以 x +2y ≥2√2xy ≥8（当 x =2y 时，等号成立）， 所以 m 2+2m <8，解得 −4<m <2， 故答案为：8；(−4,2)． 【知识点】均值不等式的应用15. 【答案】[−2,65)【解析】当 a =−2 时，原不等式可化为 0⋅x 2+0⋅x −1≥0，解集为空集，符合题意． 当 a =2 时，原不等式可化为 0⋅x 2+4x −1≥0，解集不能为空集． 当 {a 2−4<0,Δ=(a +2)2+4(a 2−4)<0. 不等式的解集为空集．所以 −2<a <65，综上 −2≤a <65．【知识点】二次不等式的解法16. 【答案】 94【解析】因为 x >0，y >0，所以 2x +y >0，2x +3y >0，x +y >0， 根据题意，12x+y +42x+3y =1，由于 x +y =14[(2x +y )+(2x +3y )]，故x +y =(x +y )×1=14[(2x +y )+(2x +3y )]×(12x+y +42x+3y )=14(1+4(2x+y )2x+3y +4+2x+3y2x+y )=54+2x+y2x+3y +2x+3y4(2x+y ),因为 2x+y2x+3y +2x+3y4(2x+y )≥2√14=1，当且仅当 2x =y =32 时取等号， 所以 x +y ≥54+1=94，故 x +y 的最小值为 94． 【知识点】均值不等式的应用三、解答题（共6题）17. 【答案】设矩形停车场南北侧边长为x m，则其东西侧边长为1200xm，人行通道占地面积为S=(x+6)(1200x +8)−1200=8x+7200x+48(m2),由平均值不等式，得S=8x+7200x +48≥2√8x⋅7200x+48=2×24+48=96,当且仅当8x=7200x，即x=30(m)时，S min=96(m2)，此时1200x=40(m)．所以，设计矩形停车场南北侧边长为30m，则其东西侧边长为40m，人行通道占地面积最小，最小面积是528m2【知识点】均值不等式的实际应用问题18. 【答案】(1) 由x2−2x−35=(x−7)(x+5)≤0，得M=[−5,7]；x2−3mx+(2m−1)(m+1)=[x−(2m−1)][x−(m+1)]≤0，因为m>2，所以2m−1>m+1，所以N=[m+1,2m−1]．(2) 因为p是q的必要不充分条件，所以N⫋M，所以{−5<m+1,7≥2m−1或{−5≤m+1,7>2m−1,解得−6≤m≤4，又m>2，所以2<x≤4．【知识点】二次不等式的解法、充分条件与必要条件19. 【答案】(1) a=1时，原不等式为x2−2x−1>1，整理，得x2−2x−2>0，对于方程x2−2x−2=0，因为Δ=12>0，所以它有两个不等的实数根，解得x1=1−√3，x2=1+√3，结合函数y=x2−2x−2的图象得不等式的解集为{x∣ x<1−√3或x>1+√3}．(2) 原不等式可化为x2−2x−1−a>0，由于不等式解集为R，结合函数y=x2−2x−1−a图象可知，方程x2−2x−1−a=0无实数根，所以Δ=4+4(1+a)=8+4a<0，所以a的范围是{a∣ a<−2}．【知识点】二次不等式的解法20. 【答案】显然 a ≠0，从而 a (a −b )>0⇔a (a−b )a 2>0⇔a−b a>0⇔1>ba ．【知识点】不等式的性质、充分条件与必要条件21. 【答案】因为 Δ=4m 2−4m +8=4(m −12)2+7>0，所以方程总有两个不相等的实数根． 【知识点】不等式的性质22. 【答案】设水池一边长 x m ，则另一边为216xm ，总占地面积为 (x +4)(216x+6)．(x +4)(216x+6)=240+6x +864x≥240+144=384，当且仅当 6x =864x，即 x =12 时，取得等号．因此，水池一边长为 12 m ，另一边长为 18 m 时，总占地面积为最小，最小为 384 m 2． 【知识点】均值不等式的实际应用问题。

人教A 版高一数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 已知关于 x 的不等式 (a 2−1)x 2−(a −1)x −1<0 的解集是 R ，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ． (−∞,−35)∪(1,+∞)B ． (−35,1)C ． [−35,1]D ． (−35,1]2. 若不等式 ax 2−bx +c >0 的解集是 (−2,3)，则不等式 bx 2+ax +c <0 的解集是 ( ) A ． (−3,2)B ． (−2,3)C ． (−∞,−2)∪(3,+∞)D ． (−∞,−3)∪(2,+∞)3. 已知 a >0，b >0，a +b =2，则 1a +4b 的最小值为 ( ) A ． 72B ． 4C ． 92D ． 54. 若 2x +2y =1，则 x +y 的取值范围是 ( ) A ． [0,2] B ． [−2,0] C ． [−2,+∞)D ． (−∞,−2]5. 若不等式x 2+mx +1>0的解集为R ，则m 的取值范围是( ) A ．RB ．(−2，2)C ．(−∞，−2)∪(2，+∞)D ．[−2，2]6. 不等式 x 2−ax −12a 2<0(其中a <0) 的解集为 ( ) A ．(−3a,4a ) B ．(4a,−3a ) C ．(−3,4) D ．(2a,6a )7. 气象学院用 32 万元购置了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第 1 天开始连续使用，第 n 天的维修保养费为 4n +46(n ∈N ∗) 元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器平均每天耗资最少）为止，则一共要使用 ( ) A ． 300 天 B ． 400 天 C ． 600 天 D ． 800 天8. 已知 x >0，y >0，x +2y +2xy =8，则 x +2y 的最小值是 A ． 3 B ． 4C ． 92D ．1129.若m2x−1mx+1<0(m≠0)对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是( )A．{m∣ m<3}B．{m∣∣ m<−12}C．{m∣ m>2}D．{m∣ −2<m<3}10.已知集合A={x∣ x2−3x+2<0}，B={x∣ x(x−m)>0}，若A∩B=∅，则实数m的取值范围是( )A．{m∣ m≤0}B．{m∣ 0≤m≤2}C．{m∣ m≥2}D．{m∣ 0≤m≤1}二、填空题（共6题）11.不等式x2−x+1<0的解集为．12.设正实数x，y，z满足x2−xy+4y2−z=0，则当zxy 取得最小值时，2x+3y−6z的最大值为．13.二次函数y=x2−x−6的零点是．14.定义区间[a,b](a<b)的长度为b−a，若关于x的不等式x2−4x+m≤0的解集区间长度为2，则实数m的值为．15.已知集合A={x∣ x2−x−12<0}，集合B={x∣ x2+2x−8>0}，集合C={x∣ x2−4ax+3a2<0,a≠0}，若C⊇(A∩B)，则实数a的取值范围是．16.若不等式ax2+1x2+1≥2−3a3(a>0)恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（共6题）17.求下列不等式的解集：(1) 13−4x2>0；(2) (x−3)(x−7)<0；(3) x2−3x−10>0；(4) −3x2+5x−4>0．18.已知a>0，b>0．(1) 求证：a3+b3≥a2b+ab2；(2) 若 a +b =3，求 1a +4b 的最小值．19. 已知 f (x )=(a −2)x 2+2(a −2)x −4(a ∈R )．(1) 当 x ∈R 时，恒有 f (x )<0，求 a 的取值范围；(2) 当 x ∈(1,3) 时，不等式 f (x )<mx −7(m ∈R ) 恰好成立，求 a ，m 的值．20. 阅读：已知 a,b ∈(0,+∞)，a +b =1，求 y =1a+2b 的最小值．解法如下：y =1a +2b =(1a +2b )(a +b )=b a +2a b+3≥3+2√2，当且仅当 ba =2a b，即 a =√2−1，b =2−√2 时取到等号，则 y =1a+2b 的最小值为 3+2√2． 应用上述解法，求解下列问题：(1) 已知 a,b,c ∈(0,+∞)，a +b +c =1，求 y =1a+1b+1c的最小值；(2) 已知 x ∈(0,12)，求函数 y =1x +81−2x 的最小值；(3) 已知正数 a 1，a 2，a 3，⋯，a n ，a 1+a 2+a 3+⋯+a n =1，求证：S =a 12a1+a 2+a 22a2+a 3+a 32a 3+a 4+⋯+a n2an +a 1≥12．21. 请回答下列问题：(1) 已知 x >0，y >0，xy =4，求 2x +1y 的最小值； (2) 已知 x >0，y >0，x +2y =2，求 2x +1y 的最小值．22. 不等式性质(1) 如果 a >b >0，那么 a n >b n （n ∈N ∗，且 n >1）．本性质根据 n 为奇数或偶数时，可以怎样的推广？ (2) 如果 a >b >0，那么 （n ∈N ∗，且 n >1）． (3) 如果 a >b 且 ab >0，那么 1a 1b ． (4) 如何理解上述性质？答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】当 a =1 时，不等式为 −1<0，恒成立，满足题意； 当 a =−1 时，不等式为 2x −1<0，解得 x <12，不满足题意；当 a ≠±1 时，由 (a 2−1)x 2−(a −1)x −1<0 的解集为 R ， 可知 {a 2−1<0,[−(a −1)]2+4(a 2−1)<0,解得 −35<a <1． 综上，−35<a ≤1． 【知识点】二次不等式的解法2. 【答案】D【解析】不等式 ax 2−bx +c >0 的解集是 (−2,3)， 所以方程 ax 2−bx +c =0 的解是 −2 和 3，且 a <0； 即 {−2+3=ba ,−2×3=c a ,解得 b =a ，c =−6a ；所以不等式 bx 2+ax +c <0 化为 ax 2+ax −6a <0， 即 x 2+x −6>0， 解得 x <−3 或 x >2，所以所求不等式的解集是 (−∞,−3)∪(2,+∞)． 【知识点】二次不等式的解法3. 【答案】C【知识点】均值不等式的应用4. 【答案】D【解析】因为 2x +2y ≥2√2x ⋅2y =2√2x+y （当且仅当 2x =2y 时等号成立）， 所以 √2x+y ≤12，所以 2x+y ≤14，得 x +y ≤−2． 【知识点】均值不等式的应用5. 【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法即可得出．【解析】解：∵不等式x2+mx+1>0的解集为R，∴△=m2−4<0，解得−2<m<2．∴m的取值范围是(−2，2)．故选：B．【点评】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．6. 【答案】B【知识点】二次不等式的解法7. 【答案】B【解析】使用n天的平均耗资为320000+(50+4n+46)n2n=320000n+2n+48（元），当且仅当320000n=2n时取得最小值，此时n=400．【知识点】均值不等式的应用8. 【答案】B【知识点】均值不等式的应用9. 【答案】B【解析】依题意，对任意的x≥4，有y=(mx+1)⋅(m2x−1)<0恒成立，结合图象（图略）分析可知{m<0,−1m<4,1m2<4,由此解得m<−12，即实数m的取值范围是{m∣∣ m<−12}．【知识点】恒成立问题10. 【答案】C【解析】集合A={x∣ 1<x<2}，若m<0，则集合B={x∣ x<m或x>0}，不满足A∩B=∅，舍去；若m=0，则B={x∣ x≠0}，不满足A∩B=∅，舍去；若m>0，则B= {x∣ x<0或x>m}，要使A∩B=∅，则m≥2，综上可得m的取值范围是{m∣ m≥2}，故选C．【知识点】二次不等式的解法、交、并、补集运算二、填空题（共6题）11. 【答案】∅【知识点】二次不等式的解法12. 【答案】4【解析】由已知z=x2−xy+4y2，得zxy =x2−xy+4y2xy=xy+4yx−1≥2√xy⋅4yx−1=3，当且仅当xy =4yx，即x=2y时等号成立，则z=6y2，2x +3y−6z=22y+3y−66y2=4y−(1y)2，当1y=2时，取最大值4．【知识点】均值不等式的应用13. 【答案】−2，3【解析】方法一：令x2−x−6=0．因为Δ=(−1)2−4×1×(−6)=25>0，所以方程x2−x−6=0有两个不相等的实数根，x1=−2，x2=3．所以函数y=x2−x−6的零点是x1=−2，x2=3．方法二：由x2−x−6=(x−3)(x+2)=0，得x1=−2，x2=3．所以函数y=x2−x−6的零点是x1=−2，x2=3．方法三：作出函数y=x2−x−6的图象，如图所示．因为函数的图象是一条开口向上的抛物线，且f(0)=−6<0，所以函数y=x2−x−6的图象与x轴有两个交点A(−2,0)，B(3,0)，故y=x2−x−6的零点是x1=−2，x2=3．【知识点】函数零点的概念与意义14. 【答案】3【知识点】二次不等式的解法15. 【答案】43≤a≤2【知识点】交、并、补集运算16. 【答案】{a∣ a≥19}【知识点】均值不等式的应用三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) {x∣∣∣−√132<x<√132}．(2) {x∣ 3<x<7}．(3) {x∣ x<−2或x>5}．(4) ∅．【知识点】二次不等式的解法18. 【答案】(1) 因为a>0，b>0，所以a3+b3−a2b−ab2=a2(a−b)+b2(b−a)=(a2−b2)(a−b)=(a−b)2(a+b)≥0,所以a3+b3≥a2b+ab2．(2) 因为a>0，b>0，a+b=3，所以1 a +4b=13(a+b)(1a+4b)=13(5+ba+4ab)≥13(5+2√ba⋅4ab) =3,当且仅当ba =4ab，即a=1，b=2时取等号，所以1a +4b的最小值为3．【知识点】均值不等式的应用、不等式的性质19. 【答案】(1) a∈(−2,2]．(2) 将原不等式整理变形，可得(a−2)x2+(2a−4−m)x+3<0，则该不等式在1<x<3时恰好成立．不妨设g(x)=(a−2)x2+(2a−4−m)x+3，可知{a>2,g(1)=0, g(3)=0.所以 a =3，m =6．【知识点】二次函数的性质与图像、二次不等式的解法20. 【答案】(1)y =1a +1b +1c=(1a +1b +1c )(a +b +c )=3+(ba +ab +ca +ac +cb +bc),而 ba +ab +ca +ac +cb +bc ≥6，当且仅当 a =b =c =13 时取到等号，则 y ≥9， 即 y =1a+1b+1c的最小值为 9．(2)y =22x +81−2x=(22x +81−2x )⋅(2x +1−2x )=10+2⋅1−2x 2x+8⋅2x1−2x ,而 x ∈(0,12)，2⋅1−2x 2x+8⋅2x1−2x ≥2√16=8，当且仅当 2⋅1−2x 2x =8⋅2x1−2x ，即 x =16∈(0,12) 时取到等号，则 y ≥18，所以函数 y =1x+81−2x的最小值为 18．(3) 2S=(a 12a1+a 2+a 22a2+a 3+⋯+a n2an +a 1)[(a 1+a 2)+(a 2+a 3)+⋯+(a n +a 1)]=(a 12+a 22+⋯+a n 2)+a 12a1+a 2⋅(a 2+a 3)+a 22a2+a 3⋅(a 1+a 2)+⋯+a n2an +a 1⋅(a 1+a 2)+a 12a1+a 2⋅(a n +a 1)≥(a 12+a 22+⋯+a n 2)+(2a 1a 2+2a 2a 3+⋯+2a n a 1)=(a 1+a 2+⋯+a n )2=1.当且仅当 a 1=a 2=⋯=a n =1n时取到等号，则 S ≥12．【知识点】均值不等式的应用21. 【答案】(1) 因为 xy =4，且 x >0，y >0， 所以 2x +1y ≥2√2xy =2√12=√2， 当且仅当 x =2√2，y =√2 时取等号，即 2x+1y的最小值为 √2．(2) 因为 x >0，y >0，x +2y =2， 所以 2(2x +1y )=(x +2y )(2x +1y )=4+4y x+xy ≥4+4=8，所以 2x +1y ≥4， 当且仅当4y x=xy ，即 x =2y =1 时取等号，即 2x +1y 的最小值为 4． 【知识点】均值不等式的应用22. 【答案】(1) 当 n 为奇数时，如果 a >b ，那么 a n >b n （n ∈N ∗，n 为奇数）；当 n 为偶数时，如果 a >b >0，那么 a n >b n ，如果 0>a >b ，那么 a n <b n （n ∈N ，n 为偶数）． (2) √a n>√b n(3) <(4) 上述性质称为倒数的性质，注意 ab <0 时，此性质不成立（此时 1a >1b ）． 【知识点】不等式的性质。