2020-2021年高一数学函数 新课标 人教版

2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：4.5.1 函数的零点与方程的解含解析4.5函数应用(二)【素养目标】1．结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系．（直观想象，数学抽象)2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性．（逻辑推理，数学运算）3．理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律．（数学建模）【学法解读】本节在学习中首先利用方程的解引出函数的零点，体现数学素养中的数学抽象,再把函数的零点、方程的解与函数的图象与x轴交点横坐标三者统一，结合函数的图象及性质会判断函数零点问题,对函数的实际应用问题，学生应学会对问题进行分析，灵活运用所学过的数学知识，建立“量”与“量"之间的函数关系，把实际问题转化为函数问题,通过对函数问题的解决达到解决实际问题的目的．4。

5。

1函数的零点与方程的解必备知识·探新知基础知识知识点1函数的零点（1)函数f（x）的零点是使f(x）＝0的__实数x__。

（2)函数的零点、函数的图象、方程的根的关系．思考1：（1）函数的零点是点吗？（2）函数的零点个数、函数的图象与x轴的交点个数、方程f(x）＝0根的个数有什么关系?提示：（1)不是，是使f（x)＝0的实数x，是方程f（x)＝0的根．(2)相等．知识点2函数的零点存在定理(1)条件:函数y＝f（x)在区间[a，b]上的图象是__连续不断的曲线__，f（a）f(b)〈0；（2)函数y＝f（x）在区间（a，b)上有零点，即存在c∈（a，b)使f(c）＝0,这个c也就是f(x）＝0的根．思考2：(1)函数y＝f（x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f（a）f(b)<0时,能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？（2）函数y＝f（x)在区间（a，b）上有零点，是不是一定有f(a)f(b)〈0?提示：（1)只能判断有无零点，不能判断零点的个数．(2)不一定,如f（x)＝x2在区间(－1,1)上有零点0，但是f(－1)f(1）＝1×1＝1>0.基础自测1．函数f(x)＝4x－6的零点是(C）A．错误!B．(错误!,0）C．错误!D．－错误!［解析］令4x－6＝0，得x＝错误!，∴函数f(x）＝4x－6的零点是错误!.2．（2020·广州荔湾区高一期末测试）函数f(x)＝x－2＋log2x,则f（x）的零点所在区间为（B）A．(0，1）B．（1，2)C．（2,3) D．(3,4)［解析］f（1）＝－1＋log21＝－1，f(2)＝log22＝1,∴f（1）·f(2）<0,故选B．3．若函数f（x）＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(B）A．a＜1 B．a＞1C．a≤1D．a≥1［解析]函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，即方程x2＋2x＋a＝0没有实数根，所以Δ＝4－4a＜0，得a＞1.4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中,a·c<0，则函数有__2__个零点．[解析] 令ax 2＋bx ＋c ＝0，Δ＝b 2－4ac ,∵a ·c 〈0,∴b 2－4ac >0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等实根，∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ·c 〈0）有2个零点．5．求下列函数的零点．（1)f (x )＝x 2－5x －6；(2)f （x )＝x 3－7x ＋6；(3)f (x )＝(12)x －4；(4）f (x )＝ln x －1。

第二章 一元二次不等式、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式【学习目标】1.掌握判断一元二次方程实数根的存在性与实数根的个数的方法2.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系【知识网络详解】知识点一：一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，一般形式：02>++c bx ax 或)0(02≠<++a c bx ax 知识点二：一元二次不等式与二次函数的图像0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程 ()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根 21,x x 有两相等实根a b x x 221-== 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x x x << ∅ ∅ 的解集)0(02>≥++a c bx ax{}21x x x x x ≥≤或 R R 的解集)0(02>≤++a c bx ax {}21x x x x ≤≤ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-a b 2 ∅【考向详析】题型一：解一元二次不等式例1.解下列不等式：(1) x 2－3x ＋5>0； (2)－6x 2－x ＋2≥0； (3)－4x 2≥1－4x (4)2x 2－4x ＋7<0.【练习】1.解下列不等式：（1）02132-2≤-+x x ； （2）()422≤-x题型二：含参的一元二次不等式的解法例1.解下列不等式：（1）02322<+-a ax x ； （2）0232≤+-a ax ax ； （3）01)1(2≥++-x a ax【练习】1.解下列不等式（1）()a x a x +--12>0； （2）()0222≤++-x a ax题型三：三个“二次”之间的关系例1.已知不等式02≤++b ax x 的解集为{}32≤≤x x ，则=+b a 。

高一数学新课标必考知识点一、函数与方程1. 整式与分式- 整式的定义和性质- 分式的定义和性质- 分式的化简与运算法则2. 一次函数与二次函数- 一次函数的定义和性质- 一次函数的图像、斜率和截距- 一次函数的应用- 二次函数的定义和性质- 二次函数的图像、顶点和对称轴- 二次函数的零点、判别式和解的情况- 二次函数的应用3. 不等式- 不等式的基本性质和解集表示- 一元一次不等式的解集求法- 一元一次不等式组的解集求法- 一元二次不等式的解集求法- 一元二次不等式组的解集求法4. 幂函数与对数函数- 幂函数的定义和性质- 对数函数的定义和性质- 幂函数与对数函数的图像、性质和应用二、平面几何1. 相似与全等- 相似的概念和判定- 相似三角形的性质- 全等三角形的判定和性质2. 三角比与三角函数- 正弦定理、余弦定理和正切定理的推导和应用- 三角函数的定义和性质- 三角函数的图像、周期和性质3. 平面向量- 平面向量的概念和性质- 平面向量的线性运算法则- 平面向量的共线和垂直判定- 平面向量的数量积和向量积的计算和应用4. 三角形的性质- 三角形的内角和与外角和的性质- 三角形的垂心、重心、外心和内心的定义和性质三、空间几何1. 空间图形- 空间几何体的名称、性质和图像- 空间几何体的面积和体积计算公式2. 空间向量- 空间向量的定义和性质- 空间向量的线性运算法则- 空间向量的数量积和向量积的计算和应用3. 空间坐标系- 直角坐标系、柱坐标系和球坐标系的定义和性质- 空间点在不同坐标系下的坐标转换4. 空间位置关系- 点、直线和平面的位置关系及其判定- 空间几何体的位置关系及其判定四、概率与统计1. 概率的基本概念- 随机事件和样本空间的概念- 概率的定义和性质- 事件的运算和互不相容事件的概率2. 随机变量- 随机变量的定义和性质- 随机变量的分布律和概率密度函数- 随机变量的数学期望和方差的计算3. 统计与抽样- 总体和样本的概念- 抽样分布的概念和性质- 参数估计的方法和区间估计4. 相关与回归- 相关系数和回归方程的定义- 相关系数和回归方程的计算和应用以上是高一数学新课标必考的知识点，掌握这些知识可以帮助你更好地理解和应用数学。

新高中数学新课程标准2021年版我是AI语言模型，以下是改写后的文章：新课标数学课程标准2021版一、课程的根本理念新课标的理念是以学生为本，落实立德树人根本任务，培养和提升学生的数学核心素养。

课程面向全体学生，实现人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。

高中数学课程内容表达现代社会的需求、数学学科的特征、高中学生的认知规律，根据数学课程目的，特别是数学核心素养，精选课程内容。

在课程内容安排上，注重处理好数学核心素养与课程内容、过程与结果、直接经历与间接经历的关系，注意与其他学科的联系，还关注与义务教育课程的衔接。

高中数学教学活动的关键是启发学生学会数学思考，引导学生学会数学、会用数学。

根据数学学科的特点，深化挖掘数学的育人价值，增强数学教学的育人功能。

树立以发展学生数学核心素养为导向的课程意识与教学意识，将核心素养贯穿于数学教学的全过程。

在教学中，老师应结合相应的教学内容，落实“四基”（根底知识、根本技能、根本思想、根本活动经历）,培养“四能”（从数学角度发现和提出问题的才能、分析和解决问题的才能），促进学生数学核心素养的形成与发展。

评价的根据是相应研究阶段学生数学核心素养的发展程度。

应建立目的多元、方法多样的评价体系。

二、课程目的新旧课程的目的没有较大的差异，新的课程着重提出了数学核心素养的概念。

新课程目的是获得进一步研究以及将来发展所必需的“四基”（根底知识、根本技能、根本思想、根本活动经历），提高“四能”（从数学角度发现和提出问题的才能、分析和解决问题的才能），增强创新意识和应用能力。

开发数学核心素养（数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析），学会用数学眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界。

提高研究数学的兴趣，增强学好数学的自信。

要养成良好的数学研究惯和科学精神，树立敢于质疑、擅长考虑、严谨务实的态度，并认识数学的科学、应用和文化价值。

2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：3.3 幂函数含解析3。

3 幂函数【素养目标】1．通过具体实例，理解幂的概念．（数学抽象)2．会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质．(直观想象)3．理解常见幂函数的基本性质．(逻辑推理）【学法解读】以五种常见的幂函数为载体，学生应自己动手在同一个平面直角坐标系下画出这五种幂函数的图象,通过观察比较研究其图象和性质,进而研究一般幂函数的图象和性质．必备知识·探新知基础知识知识点1幂函数的概念函数__y＝xα__叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．思考1:幂函数的解析式有什么特征？提示:①系数为1；②底数x为自变量;③幂指数为常数．知识点2幂函数的图象及性质(1)五个幂函数的图象：(2）幂函数的性质：幂函数y＝x y＝x2y＝x3y＝x错误!y＝x－1定义域R R R[0,＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞）值域R［0，＋∞）R ［0，＋∞）｛y｜y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性__增__x∈(0,＋∞）增;x∈(－∞,0) 减__增____增__x∈(0，＋∞）减;x∈(－∞，0)减公共点都经过点（1,1）α同特征？提示:图象都是从左向右逐渐上升．基础自测1．下列函数为幂函数的是(D）A．y＝2x4B．y＝2x3－1C．y＝错误!D．y＝x2[解析]y＝2x4中，x4的系数为2,故A不是幂函数；y＝2x3－1不是xα的形式,故B不是幂函数；y＝错误!＝2x－1，x－1的系数为2，故C不是幂函数，故只有D是幂函数．2．(2019·安徽太和中学高一期中测试)已知幂函数f（x）的图象过点（2,22)，则f（4)的值为(B)A．4 B．8C．2错误!D．错误![解析］设f(x）＝xα，∴2错误!＝2α，∴α＝错误!。

∴f（x)＝x错误!.∴f(4)＝4错误!＝（22）错误!＝23＝8.3．若f(x)＝mxα＋(2n－4)是幂函数,则m＋n等于（C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]由题意，得错误!，∴错误!∴m＋n＝3。

人教版高一数学必修一第4单元指数函数与对数函数（讲解和习题）基础知识讲解一．指数函数的定义、解析式、定义域和值域【基础知识】1、指数函数的定义：一般地，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝a x（a＞0，且a≠1）【技巧方法】①因为a＞0，x是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．①规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．二．指数函数的图象与性质【基础知识】1、指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y ＝a x a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域 （0，+∞） 性质过定点（0，1）当x ＞0时，y ＞1； x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y ＞1在R 上是增函数在R 上是减函数2、底数与指数函数关系①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a ＞l 时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y 轴；同样地，当0＜a ＜l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x 轴． ①底数对函数值的影响如图．①当a ＞0，且a ≠l 时，函数y ＝a x 与函数y ＝的图象关于y 轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较： 若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．三．二次函数的性质与图象【二次函数】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【二次函数的性质】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式①＝b2﹣4ac，当①＝0时，函数与x轴只有一个交点；①＞0时，与x轴有两个交点；当①＜0时无交点．①根与系数的关系．若①≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；①二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．①平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；四．指数型复合函数的性质及应用【基础知识】指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（a x）与y＝a f（x）复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理U＝g（x）y＝a u y＝a g（x）增增增减减增增减减减增减．五．指数函数的单调性与特殊点【基础知识】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a 的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝a x如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．六．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．七．指数式与对数式的互化【基础知识】a b＝N①log aN＝b；指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）a f（x）＝b①f（x）＝log a b；log a f（x）＝b①f（x）＝a b（定义法）（2）a f（x）＝a g（x）①f（x）＝g（x）；log a f（x）＝log a g（x）①f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）a f（x）＝b g（x）①f（x）log m a＝g（x）log m b；（两边取对数法）（4）log a f（x）＝log b g（x）①log a f（x）＝；（换底法）（5）A log x+B log a x+C＝0（A（a x）2+Ba x+C＝0）（设t＝log a x或t＝a x）（换元法）八．对数的运算性质【基础知识】对数的性质：①＝N；①log a a N＝N（a＞0且a≠1）．log a（MN）＝log a M+log a N；log a＝log a M﹣log a N；log a M n＝n log a M；log a＝log a M．九．换底公式的应用【基础知识】换底公式及换底性质：（1）log a N＝（a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．（2）log a b＝，（3）log a b•log b c＝log a c，十．对数函数的定义域【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．十一．对数函数的值域与最值【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．定点：函数图象恒过定点（1，0）十二．对数值大小的比较【基础知识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）十三．对数函数的单调性与特殊点【基础知识】对数函数的单调性和特殊点：1、对数函数的单调性当a＞1时，y＝log a x在（0，+∞）上为增函数当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在（0，+∞）上为减函数 2、特殊点对数函数恒过点（1，0）十四．对数函数图象与性质的综合应用 【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a ＞10＜a ＜1图象定义域 （0，+∞）值域 R 定点 过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1，y ＜0当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【技巧方法】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十五．指数函数与对数函数的关系【基础知识】指数函数和对数函数的关系：（1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称．（2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数．（3）指数函数与对数函数的联系与区别：十六．反函数【基础知识】【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x①A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y①C）叫做函数y＝f（x）（x①A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f （﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C（其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．十七．对数函数图象与性质的综合应用【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a＞10＜a＜1图象定义域（0，+∞）值域R定点过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【解题方法点拨】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十八．函数的零点【基础知识】一般地，对于函数y＝f（x）（x①R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f （x）（x①D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．十九．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．【技巧方法】（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．二十．函数的零点与方程根的关系【基础知识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．二十一. 二分法【基础知识】二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．习题演练一．选择题（共12小题）1．已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-+∞C ．()0,1D ．()(),01,-∞⋃+∞2．下列式子计算正确的是（ ） A ．m 3•m 2＝m 6 B ．（﹣m ）2＝21m - C ．m 2+m 2＝2m 2D ．（m +n ）2＝m 2+n 23．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．设2,8()(8),8x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(17)f =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．函数13x y a +=-（0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．()0,2-B ．()1,3--C ．()0,3-D ．()1,2--6．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+7．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．8．已知2log a e =，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>9．函数()2xf 的定义域为[1,1]-，则()2log y f x =的定义域为（ ）A ．[1,1]-B．C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[1,4]10．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减11．已知函数()ln 1,01,0xx x f x e x ⎧+>=⎨+≤⎩，()22g x x x =--，若方程()()0f g x a -=有4个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．(]0,1C ．(]1,2D ．[)2,+∞12．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭二．填空题（共6小题）13．计算：13021lg8lg 25327e -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________．14．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 15．已知当(]1,2x ∈时，不等式()21log a x x -≤恒成立，则实数a 的取值范围为________.16．若关于x 的方程11224a x x =-++-的解集为空集，求实数a 的取值范围______. 17．已知函数223,3()818,3x x f x x x x -⎧<=⎨-+≥⎩，则函数()()2g x f x =-的零点个数为_________．18．已知定义在R 上的函数()f x 满1(2)()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，()x f x x e =+，则(2019)f =_______.三．解析题（共6小题）19．已知函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a =-++<<.（1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的零点；（3）若函数()f x 的最小值为－4，求a 的值.20．已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.21．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)=2f . (1)求a 的值；(2)求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.22．已知实数0a >，定义域为R 的函数()x x e af x a e=+是偶函数，其中e 为自然对数的底数．（①）求实数a 值；（①）判断该函数()f x 在(0,)+∞上的单调性并用定义证明；（①）是否存在实数m ，使得对任意的t R ∈，不等式(2)(2)f t f t m -<-恒成立．若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．23．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >． （1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422x xf -<．24．甲商店某种商品4月份（30天，4月1日为第一天）的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系如图所示（1），该商品日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系如图(2)所示.（1）（2）（1）写出图（1）表示的销售价格与时间的函数关系式()P f t =，写出图（2）表示的日销售量与时间的函数关系式()Q g t =及日销售金额M （元）与时间的函数关系式()M h t =. （2）乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N （元）与时间t （天）之间的函数关系式为22102750N t t =--+，试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系。

高中新课标高一数学高中新课标高一数学课程是为适应新时代教育需求而设计的，它旨在培养学生的数学素养，提高学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和创新能力。

本课程内容涵盖了数与式、函数、几何、概率与统计等基础数学知识，同时注重数学思想方法的渗透和数学应用能力的培养。

在数与式部分，学生将学习实数、复数、有理式、无理式等基本概念，掌握数的四则运算、指数运算和对数运算等基本运算规则。

此外，还将学习多项式的因式分解、有理式的简化和无理式的有理化等技巧，为后续学习打下坚实的基础。

函数是高中数学的核心内容之一，学生将学习函数的概念、性质和图像。

包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等常见函数类型。

通过学习，学生能够理解函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，并能够绘制函数图像，解决实际问题。

几何部分则包括平面几何和立体几何。

学生将学习直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等基本几何图形的性质和定理。

同时，也会学习空间几何体的性质，如棱柱、棱锥、球体等，以及它们的体积和表面积计算方法。

概率与统计是现代数学应用的重要领域。

学生将学习随机事件的概率计算，包括古典概型、几何概型和条件概率等。

在统计部分，学生将学习数据的收集、整理、描述和分析方法，包括数据的图表表示、统计量计算和概率分布等。

除了上述内容，高中新课标高一数学还注重数学思想方法的培养，如归纳推理、演绎推理、类比推理等。

同时，鼓励学生将数学知识应用于实际问题中，提高解决实际问题的能力。

总之，高中新课标高一数学课程内容丰富，结构合理，既注重基础知识的学习，又强调数学思想方法的培养和数学应用能力的提高。

通过本课程的学习，学生将能够更好地理解和运用数学知识，为未来的学习和生活打下坚实的基础。

3.4函数的应用(一)【素养目标】1．了解函数模型(如一次函数、二次函数、幂函数、分段函数等是现实生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．(数学抽象)2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．(数学建模)【学法解读】1．学生应理解如何用函数描述客观事物的变化规律，体会函数与现实世界的联系．2．会用已学过的一次函数、二次函数、幂函数、分段函数处理有关实际应用问题．必备知识·探新知基础知识知识点1一次函数模型形如y＝kx＋b的函数为__一次函数模型__，其中k≠0.知识点2二次函数模型(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)顶点式：y＝a(x＋b2a)2＋4ac－b24a(a≠0)．(3)两点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．知识点3幂函数型模型(1)解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)．(2)单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．基础自测1．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品日销量m(单位：件)与每件的销售价x(单位：元)满足m＝120－2x.若要获得最大日销售利润，则每件商品的售价应定为(B)A．30元B．45元C．54元D．越高越好[解析]设日销售利润为y元，则y＝(x－30)(120－2x)，30≤x≤60，将上式配方得y ＝－2(x －45)2＋450，所以当x ＝45时，日销售利润最大．2．A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地．(1)试把汽车与A 地的距离y (单位：千米)表示为时间x (单位：小时)的函数；(2)根据(1)中的函数解析式，求出汽车距离A 地100千米时x 的值．[解析] (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60x ，x ∈[0，52]，150，x ∈(52，72]，150－50(x －72)，x ∈(72，132]. (2)当y ＝100时，60x ＝100或150－50(x －72)＝100，解得x ＝53或x ＝92.即当x ＝53或x ＝92时汽车距离A 地100千米．关键能力·攻重难题型探究题型一 一次函数模型例1 某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(30天)里有20天每天可以卖出报纸400份，其余10天每天只能卖出250份．若每天从报社买进报纸的数量相同，则每天应该从报社买进多少份报纸，才能使每月所获得的利润最大？最大利润为多少元？[分析] 设每天从报社买进报纸的数量为x 份，若使每月所获得的利润最大，则250≤x ≤400，每月所赚的钱数＝卖报收入的总价－付给报社的总价，而收入的总价分为三部分：①在可卖出的400份的20天里，收入为(0.5x ×20)元；②在可卖出250份的10天里，在x 份报纸中，有250份报纸可卖出，收入为(0.5×250×10)元；③没有卖掉的[(x －250)×10]份报纸可退回报社，报社付的钱数为[(x －250)×0.08×10]元．注意要写清楚函数的定义域．[解析] 设每天应从报社买进x 份报纸，由题意知250≤x ≤400，设每月所获得的利润为y 元，根据题意得：y ＝0.5x ×20＋0.5×250×10＋(x －250)×0.08×10－0.35x ×30＝0.3x ＋1 050，x ∈[250,400]．因为y ＝0.3x ＋1 050是定义域上的增函数，所以当x ＝400时，y max ＝120＋1 050＝1 170(元)．故每天应该从报社买进400份报纸，才能使每月所获得的利润最大，最大为1 170元．[归纳提升] 建立一次函数模型，常设为y ＝kx ＋b (k ≠0)，然后用待定系数法求出k ，b 的值，再根据单调性求最值，或利用方程、不等式思想解题．【对点练习】❶ 一辆匀速行驶的汽车90 min 行驶的路程为180 km ，则这辆汽车行驶的路程y (km)与时间t (h)之间的函数解析式是( D )A ．y ＝2tB ．y ＝120tC ．y ＝2t (t ≥0)D ．y ＝120t (t ≥0)[解析] 因为90 min ＝1.5 h ，所以汽车的速度为180÷1.5＝120 km/h ，则路程y (km)与时间t (h)之间的函数解析式是y ＝120t (t ≥0)．题型二 二次函数模型例2 A ，B 两城相距100 km ，拟在两城之间距A 城x km 处建一发电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，发电站距城市的距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(单位：km)的平方与供电量(单位：亿度)之积的0.25倍，若每月向A 城供电20亿度，每月向B 城供电10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成关于x 的函数；(3)发电站建在距A 城多远处，能使供电总费用y 最少？[分析] 根据发电站与城市的距离不得少于10 km 确定x 的取值范围，然后根据正比例关系确定y 关于x 的函数解析式，最后利用配方法求得最小值．[解析] (1)x 的取值范围为{x |10≤x ≤90}．(2)y ＝0.25×x 2×20＋0.25×(100－x )2×10＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)． (3)由于y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152(x －1003)2＋50 0003，则当x ＝1003时，y 取得最小值，y min ＝50 0003. 故发电站建在距A 城1003km 处，能使供电总费用y 最小． [归纳提升] 二次函数模型的应用根据实际问题建立二次函数模型后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． 【对点练习】❷ (2019·江苏省徐州市高一期中)某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，又需可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入(单位：万元)函数为：R (x )＝5x －12x 2(0≤x ≤5)，其中x 是年产量(单位：百台)．(1)将利润表示为关于年产量的函数；(2)年产量是多少时，企业所得利润最大？[解析] (1)依题意得，利润函数G (x )＝(5x －12x 2)－(0.5＋0.25x )＝－12x 2＋4.75x －0.5(0≤x ≤5)．(2)利润函数G (x )＝－12x 2＋4.75x －0.5(0≤x ≤5)，当x ＝4.75时，G (x )有最大值．故当年产量为4.75百台时，企业所得利润最大．题型三 幂函数模型 例 3 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额x 的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？[解析] (1)设稳健型与风险型产品的收益与投资额x 的函数关系式分别为f (x )＝k 1x (x ≥0)，g (x )＝k 2x (x ≥0)，结合已知得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2， 所以f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)． (2)设投资稳健型产品x 万元，则投资风险型产品(20－x )万元，依题意得获得收益为y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)，令t ＝20－x (0≤t ≤25)，则x ＝20－t 2， 所以y ＝20－t 28＋t 2＝－18(t －2)2＋3， 所以当t ＝2时，即x ＝16时，y 取得最大值，y max ＝3.故当投资稳健型产品16万元，风险型产品4万元时，可使投资获得最大收益，最大收益是3万元．[归纳提升] 幂函数模型有两个：y ＝kx n (k ，n 是常数)，y ＝a (1＋x )n (a ，n 是常数)，其中y ＝a (1＋x )n 也常常写作y ＝N (1＋p )x (N ，p 为常数)，这是一个应用范围更广的函数模型，在复利计算、工农业产值、人口增长等方面都会用到该函数模型，我们平时用这两个函数模型时注意区分．【对点练习】❸ 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R 与管道半径r 的四次方成正比．(1)写出函数解析式；(2)假设气体在半径为3 cm 的管道中，流量速率为400 cm 3/s.求该气体通过半径为r cm 的管道时，其流量速率R 的解析式；(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm ，计算该气体的流量速率．(结果保留整数)[解析] (1)由题意，得R ＝kr 4(k 是大于0的常数)．(2)由r ＝3 cm ，R ＝400 cm 3/s ，得k ·34＝400.所以k ＝40081，流量速率的解析式为R ＝40081r 4. (3)因为R ＝40081r 4， 所以当r ＝5 cm 时，R ＝40081×54≈3 086(cm 3/s)． 题型四 分段函数模型例4 (2019·南京一中期中)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益(单位：元)函数为R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，其中x 是仪器的产量(单位：台)． (1)将利润f (x )(单位：元)表示为产量x 的函数(利润＝总收益－总成本)；(2)当产量x 为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？[分析] (1)利润＝收益－成本，由已知分0≤x ≤400和x >400两段求出利润函数的解析式；(2)分段求最大值，两者中大者为所求利润最大值．[解析] (1)当0≤x ≤400时，f (x )＝400x －12x 2－100x －20 000＝－12x 2＋300x －20 000；当x >400时，f (x )＝80 000－100x －20 000＝60 000－100x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12x 2＋300x －20 000＝－12(x －300)2＋25 000， 当x ＝300时，f (x )max ＝25 000.当x >400时，f (x )＝60 000－100x <f (400)＝20 000<25 000.所以当x ＝300时，f (x )max ＝25 000.故当产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为25 000元．[归纳提升] 应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏(关键词：“段”)．(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集(关键词：定义域)．(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后再下结论(关键词：值域)．【对点练习】❹ 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水量不超过4 t 时，每吨3元，当用水量超过4 t 时，超过部分每吨4元．现甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x t,3x t.(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)若甲、乙两户该月共交水费40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．[解析] (1)当甲户用水量不超过4 t ，即5x ≤4时，乙户用水量也不超过4 t ，y ＝(5x ＋3x )×3＝24x ；当甲户的用水量超过4 t 而乙户的用水量不超过4 t ，即5x >4且3x ≤4时，y ＝4×3＋3x ×3＋4×(5x －4)＝29x －4；当甲、乙两户的用水量均超过4 t ，即3x >4时，y ＝4×3×2＋(5x －4)×4＋(3x －4)×4＝32x －8.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 24x ，0≤x ≤45，29x －4，45<x ≤43，32x －8，x >43.(2)由于函数y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，所以当x ∈[0，45]时，y ≤f (45)＝19.2<40. 当x ∈(45，43]时，y ≤f (43)＝3423<40. 故x ∈(43，＋∞)．令32x －8＝40，解得x ＝1.5， 所以5x ＝7.5，甲户用水量为7.5 t ，应付水费y 1＝4×3＋(7.5－4)×4＝26(元)；3x ＝4.5，乙户用水量为4.5 t ，应付水费y 2＝4×3＋(4.5－4)×4＝14(元)．误区警示忽视实际问题中的定义域例5 东方旅社有100张普通客床，当每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出．依此情况变化下去，为了投资少而获租金最多，每床每夜应提高租费多少元？[错解] 设每床每夜提高租费x (x ∈N ＋)次2元，则可租出(100－10x )张客床，可获得利润y 元，依题意有y ＝(10＋2x )·(100－10x )，即y ＝－20(x －52)2＋1 125. 所以当x ＝52时，y max ＝1 125. [错因分析] 本题忽略了变量参数的实际意义x ∈N ＋.[正解] 设每床每夜提高租费x (x ∈N ＋)次2元，则可租出(100－10x )张客床，可获得利润y 元，依题意有y ＝(10＋2x )·(100－10x )，即y ＝－20(x －52)2＋1 125. 因为x ∈N ＋，所以当x ＝2或x ＝3时，y max ＝1 120.当x ＝2时，需租出客床80张；当x ＝3时，需租出客床70张．因为x ＝3时的投资小于x ＝2时的投资，所以取x ＝3，此时2x ＝6.即当每床每夜提高租费6元时，投资少且又能获得最高租金．[方法点拨] 解函数应用题时，我们不仅要关注函数的定义域，更要关注其中有关参数的限制条件，并使所有的量都有实际意义．学科素养数学建模——函数模型的选择例6 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份x ，产量为y 给出三种函数模型：y ＝ax ＋b ，y ＝ax 2＋bx ＋c ，y ＝ab x ＋c ，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？[分析] 本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型．[解析] 由题意，知将产量随时间变化的离散量分别抽象为A (1,1)，B (2,1.2)，C (3,1.3)，D (4,1.37)这4个数据．(1)设模拟函数为y ＝ax ＋b 时，将B ，C 两点的坐标代入函数式，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋b ＝1.32a ＋b ＝1.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.1b ＝1.所以有关系式y ＝0.1x ＋1. 由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1 000双，这是不太可能的．(2)设模拟函数为y ＝ax 2＋bx ＋c 时，将A ，B ，C 三点的坐标代入函数式，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝14a ＋2b ＋c ＝1.29a ＋3b ＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－0.05b ＝0.35c ＝0.7.所以有关系式y ＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴为x ＝3.5)，不合实际．(3)设模拟函数为y ＝ab x ＋c 时，将A ，B ，C 三点的坐标代入函数式，得⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＋c ＝1，①ab 2＋c ＝1.2，②ab 3＋c ＝1.3.③由①，得ab ＝1－c ，代入②③，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ b (1－c )＋c ＝1.2b 2(1－c )＋c ＝1.3，则⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝1.2－b 1－b c ＝1.3－b 21－b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝0.5c ＝1.4.则a ＝1－c b ＝－0.8. 所以有关系式y ＝－0.8×0.5x ＋1.4.结论为：当把x ＝4代入得y ＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y ＝－0.8×0.5x ＋1.4模拟比较接近客观实际．[归纳提升] 本题是对数据进行函数模拟，选择最符合客观实际的模拟函数．一般思路为：先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适当的几种函数模型后，再加以验证．函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，须借助计算器或计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须符合实际．课堂检测·固双基1．某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒(D)A．2 000套B．3 000套C．4 000套D．5 000套[解析]设利润z＝12x－(6x＋30 000)，所以z＝6x－30 000，由z≥0，解得x≥5 000，故至少日生产文具盒5 000套．2．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是(D)A．投资3天以内(含3天)，采用方案一B．投资4天，不采用方案三C．投资6天，采用方案一D．投资12天，采用方案二[解析]由图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A正确；投资4天，方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，都高于方案三的回报，B正确；投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，都高于方案三的回报，C正确；投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D错误．3．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，如果在中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，则隔墙的长度应为(A)A．3 m B．4 mC ．6 mD ．12 m[解析] 设矩形的长为x ，则宽为14(24－2x )，则矩形的面积为 S ＝14(24－2x )x ＝－12(x 2－12x )＝－12(x －6)2＋18，所以当x ＝6时，矩形的面积最大，此时隔墙的长度应为3 m.4．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧c x ，x <A ，c A ，x ≥A ，(A ，c 为常数)． 已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A 件产品用时15 min ，那么c 和A 的值分别是( D )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16[解析] 由题意知，组装第A 件产品所需时间为c A ＝15，故组装第4件产品所需时间为c 4＝30，解得c ＝60，将c ＝60代入c A＝15，得A ＝16.。

高一数学第二章 函数基础练习题一、知识结构1．映射：设A,B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ， ，这样的对应关系叫做从集合A 到集合B 的映射，记作 。

（答：对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素与它对应，f:A →B ） 2．象和原象：给定一个集合A 到B 的映射，且a ∈A ，b ∈B,如果元素a 和b 对应，那么元素b 叫做元素a 的 ，元素a 叫做元素b 的 。

(答：象，原象)3．一一映射：设A,B 是两个集合，f :A →B 是集合A 到集合B 的映射，如果在这个映射下，满 足 那么这个映射叫做A 到B 上的一一映射。

（答：对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，而且B 中每个元素都有原象，） 4．函数的三要素：① ，② ，③ 。

（答：定义域，对应法则，值域）5．两个函数当且仅当 和 对应法则（即解析式）都相同时，才称为相同的函数。

（答：定义域，对应法则（即解析式）） 6．请同学们就下列求函数三要素的方法配上适当的例题：⑴定义域：①根据函数解析式列不等式（组），常从以下几个方面考虑： ⑴分式的分母不等于0；⑵偶次根式被开方式大于等于0；⑶对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1； ⑷指数为0时，底数不等于0。

②⑴已知()f x 的定义域，求[()]f g x 的定义域。

⑵已知[()]f g x 的定义域，求()f x 的定义域。

⑵值域： ①函数图象法（中学阶段所有初等函数极其复合）；②反函数法；③判别式法；④换元法；⑤不等式法；⑥单调性法；⑦几何构造法。

⑶解析式：①待定系数法（已知函数类型求解析式）；②已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ；③方程组法；④函数图象四大变换法。

7．若()f x 的定义域关于原点对称，且满足 （或 ），则函数()f x 叫做奇函数（或偶函数）。

(答：()()f x f x -=-,()()f x f x -=)8．①若()f x 的定义域关于原点对称，且满足()()f x f x -+= ,则为奇函数。

2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：4.1.1 n次方根与分数指数幂含解析第四章指数函数与对数函数4.1指数【素养目标】1．弄清（na）n与错误!的区别,掌握n次方根的运算．(数学抽象）2．能够利用a错误!＝错误!进行根式与分数指数幂的互化．(数学运算)3．通过对根指数n的讨论学会运用分类讨论的思想方法．(逻辑推理)【学法解读】本节的重点是根式与分数指数幂的概念及性质和分数指数幂的运算法则，以及法则的推广，这同时也是简化计算的一个方面．在学习中应采用类比的方法经历从整数指数幂到有理数指数幂、再到实数指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．4。

1.1n次方根与分数指数幂必备知识·探新知基础知识知识点1n次方根定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N*个数n是奇数a＞0x＞0x仅有一个值，记为错误!a＜0x＜0n是偶数a＞0x有两个值，且互为相反数，记为±错误!a＜0x不存在思考1：正数a的n次方根一定有两个吗?提示：不一定．当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数,当n为奇数时,正数a的n次方根只有一个且仍为正数．知识点2根式(1）定义:式子__错误!__叫做根式，这里n叫做__根指数__，a 叫做__被开方数__.（2）性质：(n＞1，且n∈N*）①（na）n＝a。

②n，a n＝错误!思考2：(n，a）n与错误!中的字母a的取值范围是否一样？提示：取值范围不同．式子(错误!）n中隐含a是有意义的，若n 为偶数，则a≥0，若n为奇数，a∈R；式子错误!中，a∈R.知识点3分数指数幂的意义(a〉0，m,n∈N*,且n〉1)正分数指数幂a错误!＝错误!负分数指数幂a－错误!＝错误!＝错误!0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义思考3:为什么分数指数幂的底数规定a>0?提示：（1)当a<0时，若n为偶数，m为奇数,则a错误!，a－错误!无意义；（2）当a＝0时，a0无意义．知识点4有理数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r,s∈Q）(1）a r a s＝a r＋s.（2)（a r)s＝a rs.(3)（ab)r＝a r b r。

人教版高一数学新课标人教版高一数学新课标强调了数学学科的核心素养，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六个方面。

在教学内容上，新课标注重基础性、应用性和创新性，旨在培养学生的数学思维和解决问题的能力。

在必修课程中，高一数学主要包含以下几个模块：1. 集合与简易逻辑：介绍集合的概念、表示方法、基本运算以及简易逻辑的基本概念，如命题、逻辑联结词、真值表等。

2. 函数：深入学习函数的概念、性质、图像和应用，包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

3. 立体几何：探讨空间中点、线、面的位置关系，以及多面体和旋转体的性质和计算。

4. 解析几何：学习平面直角坐标系下直线和圆的方程，以及它们的几何性质和应用。

5. 概率与统计：介绍概率的基本概念，如随机事件、概率的计算，以及数据的收集、整理和描述性统计。

6. 算法初步：让学生了解算法的概念，学习一些基本的算法设计思想和简单的算法实现。

7. 三角函数：深入学习三角函数的定义、性质、图像和应用，包括正弦、余弦、正切等函数。

8. 不等式：探讨不等式的性质、解法和应用，包括一元一次不等式、一元二次不等式和不等式的证明。

9. 数列：学习数列的概念、通项公式、求和公式和数列的性质。

选修课程则根据学生的兴趣和发展方向提供更深入的数学知识，如数学建模、高等数学基础、数学史等。

在教学方法上，新课标倡导探究式学习和合作学习，鼓励学生通过实际操作、实验和讨论来深入理解数学概念和原理。

同时，新课标也强调信息技术在数学教学中的应用，如使用计算机软件进行数据分析和图形绘制，以增强学生的学习体验和效率。

此外，新课标还注重数学与其他学科的联系，鼓励学生将数学知识应用于物理、化学、生物等其他学科的学习中，以培养学生的综合素养和创新能力。

高一数学新课标教材目录第一章数学基础与代数1.1 数与式1.2 指数与对数1.3 函数的概念与性质1.4 一次函数与二次函数1.5 函数的图像与变换第二章三角学2.1 三角函数的定义与性质2.2 三角恒等式2.3 三角函数的图像与周期性2.4 解三角形第三章平面几何3.1 平面图形的基本概念3.2 直线与圆3.3 多边形3.4 相似与全等3.5 圆的性质与定理第四章解析几何4.1 坐标系与点的坐标4.2 直线的方程4.3 圆的方程4.4 椭圆、双曲线与抛物线4.5 极坐标与参数方程第五章概率与统计5.1 随机事件与概率5.2 离散型随机变量5.3 连续型随机变量5.4 统计图表5.5 数据的收集与处理第六章数列与极限6.1 数列的概念与性质6.2 等差数列与等比数列6.3 数列的求和6.4 极限的概念与运算6.5 无穷级数第七章向量与空间几何7.1 向量的概念与运算7.2 向量在平面几何中的应用7.3 空间几何的基本概念7.4 空间直线与平面7.5 空间多面体与旋转体第八章微积分初步8.1 导数的概念与运算8.2 导数的应用8.3 积分的概念与运算8.4 积分的应用8.5 微分方程初步第九章线性代数基础9.1 矩阵的概念与运算9.2 行列式9.3 线性方程组9.4 向量空间与线性变换9.5 特征值与特征向量第十章综合应用10.1 数学建模10.2 应用数学解决实际问题10.3 数学软件的应用10.4 数学思维与创新10.5 数学竞赛与拓展附录A. 常用数学公式B. 数学名词解释C. 数学软件简介D. 数学竞赛题选注：以上内容为示例，具体教材目录可能会根据实际出版的教材有所变化。