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sobelev不等式
在数学分析中有一类关于Sobolev空间中的范数的Sobolev不等式。
这些不等式可以用于证明Sobolev嵌入定理，给出某些Sobolev 空间的包含关系。
而Rellich-Kondrachov定理指出在稍强的条件下，一些Sobolev空间可以被紧嵌入到另一个空间。
这类不等式得名于谢尔盖·利沃维奇·索博列夫。
令W(R)表示包含R上所有满足前k阶弱导数属于L的实值函数的Sobolev空间。
其中k是非负整数且有1≤p<∞。
Sobolev嵌入定理的第一部分指出如果k>ℓ且满足1≤p<q<∞和(k−ℓ)p<nSobolev嵌入的这个部分可由Morrey不等式直接得出。
直观的说，这种包含关系表示足够高阶的弱导数存在性意味着一些经典导数的连续性并且该嵌入连续。
在k=1且ℓ=0的特殊情形，Sobolev嵌入定理给出其中p是p的Sobolev共轭
这个Sobolev嵌入定理的特例可由Gagliardo–Nirenberg–Sobolev不等式直接得出。
Sobolev嵌入定理的第二部分用于嵌入到Hölder空间C(R)。
Sobolev嵌入的这个部分可由Morrey不等式直接得出。
直观的说，这种包含关系表示足够高阶的弱导数存在性意味着一些经典导数的连续性。
sobolev嵌入定理概述及解释说明1. 引言1.1 概述：Sobolev嵌入定理是数学分析领域的一个重要结果，它描述了函数在不同强度和光滑度条件下的嵌入关系。
具体来说，该定理关注的是函数空间中的积分指标和偏导数指标之间的关系。
通过该定理，我们可以研究函数在更高阶导数下的性质，并将其应用于许多数学和物理问题的解决。
1.2 文章结构：本文将对Sobolev嵌入定理进行概述及解释说明。
首先，我们将介绍定理的基本概念和背景知识，包括其历史发展和相关定义。
随后，我们将详细探讨Sobolev 空间及其性质，为读者提供对该定理所涉及的函数空间有更加全面深入的认识。
接着，我们将介绍一些关于证明Sobolev嵌入定理的方法与技巧，包括Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式的应用、逼近理论以及欧几里得域和流形上证明该定理时常用的技巧等。
然后，我们会探讨一些应用与拓展领域,例如偏微分方程解的存在性和唯一性结果的应用、函数空间与调和分析中的应用以及数值计算中的应用与算法发展。
最后，我们将总结文章并对未来关于Sobolev 嵌入定理研究方向进行展望。
1.3 目的：本文的目标是系统介绍和解释Sobolev嵌入定理，使读者了解该定理在数学分析领域中的重要性和广泛应用。
通过本文，读者可以深入理解Sobolev空间及其性质，掌握证明该定理的方法与技巧，并对其在偏微分方程、函数空间与调和分析以及数值计算等领域中的应用有更加全面深入的认识。
同时，我们也希望通过本文对未来关于Sobolev嵌入定理研究方向进行展望，激发读者进一步深入探索该领域并作出新的研究贡献。
2. Sobolev嵌入定理:2.1 定理介绍Sobolev嵌入定理是数学分析领域中的一个重要结果，它描述了函数在Sobolev 空间中的嵌入关系。
具体来说，该定理给出了当函数在某个Sobolev空间中具有一定的偏导数次数时，它也同时属于其他更高阶的函数空间。
Sobolev 空间一、定义：(一)弱导数的定义：设)(1Ω∈loc L u ，对于给定的重指标α，称为u 的α阶弱导数，如果存在函数)(1Ω∈loc L v ，使得对于）（Ω∈∀∞C ϕ成立 ⎰⎰ΩΩ-=dx uD vdx ϕϕαα||)1(.并记u D v α=.(二)Sobolev 空间的定义：对p ≥1,m 是非负整数，定义Sobolev 空间{}m L u D u L Wp p pm ≤Ω∈Ω=Ω∆||),(|)()(,αα{}m L u D L u u p p ≤Ω∈Ω∈=||),(),(|αα. 在)(,Ωp m W 中引入范数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞<≤==Ω∞≤≤ΩΩ≤Ω∑⎰∑p u D p u D dx u D umm pp p p mp p m ,max 1,)()||(,||||1,1||,,αααααα下面证明)(,Ωp m W 按范数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞<≤==Ω∞≤≤ΩΩ≤Ω∑⎰∑p u D p u D dx u D umm pp p p mp p m ,max 1,)()||(,||||1,1||,,αααααα是赋范空间. (i )非负性：当∞<≤p 1时，任意的)(,Ω∈pm Wu ，则0)||(||1,≥=⎰∑Ω≤mpppm dx u D uαα，且0,=pm u⇔0)||(||1=⎰∑Ω≤mppdx u D αα⇔0=u D α对任意m ≤||α均成立⇔0=u ；当∞=p 时，任意的)(,Ω∈p m W u ，则0m ax ||,≥=∞≤uD umpm αα，且0,=pm u⇔0m ax ||=≤u D mαα⇔0=u D α对任意m ≤||α均成立⇔0=u ；(ii )齐次性：当∞<≤p 1时，任意)(,Ω∈p m W u ，K ∈β，有==⎰∑Ω≤mppdx u D u ||1)|)(|(ααββ=⎰∑Ω≤mppdx u D ||1)||(ααβu β；当∞=p 时，任意)(,Ω∈p m W u ，K ∈β，有==≤)(m ax ||u D u mββαα=≤u D mααβ||m ax u β；(iii )三角不等式性：当∞<≤p 1时，任意)(,Ω∈p m W u ，)(,Ω∈p m W v ，有=+=+⎰∑Ω≤mppdx v u D v u ||1)|)(|(αα⎰∑Ω≤+mppp dx v D u D ||1)|||(|(ααα+≤⎰∑Ω≤mppdx u D ||1)||(αα=⎰∑Ω≤mppdx v D ||1)||(αα+u v ；当∞=p 时，任意)(,Ω∈p m W u ，)(,Ω∈p m W v ，有=+=+≤)(m ax ||v u D v u mαα≤+≤v D u D mααα||m ax +≤u D mαα||max =≤v D mαα||max +u v .所以，Sobolev 空间)(,Ωp m W 是一个赋范空间. 二、Sobolev 空间的主要性质：（一）完备性：)(,Ωp m W 是Banach 空间. 证明 只要证明)(,Ωp m W 是完备的. 任取)(,Ωp m W 中的Cauchy 序列{}j f ，则),(0,∞→→-j k f f pm j k .而∑≤-=-mpp L j k pm jk pf f D f f ||1,))((αα∑≤-=mppL j k p f D f D ||1))(ααα ⇒ ),(0∞→→-j k f D f D pL jk αα.即{})|(|m f D j ≤αα是)(Ωp L 中的Cauch 列，由)(Ωp L 的完备性知，存在)|)(|(m L g p≤Ω∈αα，使得∞→→j g f D pL j ,αα.在弱收敛的意义下，ααg f D j →，即对任意)111)((=+Ω∈qp L p ϕ，有 ⎰⎰ΩΩ∞→→)(j dx g dx f D j ϕϕαα.特别对任意)(0Ω∈∞C ϕ，有 ⎰⎰ΩΩ∞→→)(j dx g dx f D j ϕϕαα.这是因为⎰⎰ΩΩ→||dx g dx f D j ϕϕαα⎰Ω⋅-≤dx g f D j ||||ϕαα0→⋅-≤qpL L j g f D ϕαα(应用Holder 不等式）令0=α得⎰⎰⎰ΩΩ∆Ω=→dx f dx g dx f j ϕϕϕ0.其中)(0Ω∈∞C ϕ. 在利用弱导数的定义得，对于任意∞→Ω∈∞j C ),(0ϕ时有⎰⎰ΩΩ⋅-=dx D f dx f D j j ϕϕααα)1(⎰⎰ΩΩ⋅=⋅-→dx f D dx D f ϕϕααα||)1(.即当∞→j 时，j f D α在)(Ωp L 内弱收敛于f D α，记成))((Ω−−−→−p j L f D f D αα弱收敛由极限的唯一性，得)(Ω∈=p L g f D αα )|(|m ≤α 且))((Ω→p j L f D f D αα )(∞→j .这就说明，若{}j f 是)(,Ωp m W 中的Cauchy 序列，则必存在)(,Ω∈p m W f ，使得))((,Ω→p m j W f f )(∞→j .即，)(,Ωp m W 是完备的. 从而)(,Ωp m W 是Banach 空间.（二）可分性：当∞<≤p 1时，)(,Ωp m W 是可分的.证明 只要证明当∞<≤p 1时，Q p L ))((Ω是可分的，也就是说Q p L ))((Ω中存在稠密的可列集.事实上，对每个正整数k ，作⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>Ω∂Ω∈=Ωk x k x dist x x k ||,1),(,|.设P 表示所有有理数多项式全体，{}P f f P kk ∈=Ω|χ，k k P P ∞==1~ ，则P ~在)(Ωp L 中稠密. 事实上，对)(Ω∈p L f ，任意的0>ε，由)(0ΩC 在)(Ωp L 中稠密知，存在)(0Ω∈C g ，使得2)(ε<-Ωp L gf .另外容易看出，)()(010k k C C Ω=Ω∞= .故g 属于某个)(0m C Ω，利用weierstrass 定理知，m P 在)(0m C Ω中稠密，也就是说，存在m P h ∈，使得pm h g 1||2||-Ω<-ε，m x Ω∈∀.因为m Ω有界，故有⎰ΩΩ-=-ppL h g h g p 1)()||(||||2)||(1ε<-=⎰Ωmpp h g故ε<-Ω)(||||p L h f .其中，k k P P h ∞==∈1~.这就说明P ~在)(Ωp L 中稠密，且P ~是一个可列集，因而P P P P Q ~~~~1⨯⨯⨯=∏ 是Q p L ))((Ω可列的稠密集，即)1())((∞<≤Ωp L Q p 是可分的，从而)(,Ωp m W 也是可分的.(三)自反性:设∞<<p 1，则)(,Ωp m W 是自反空间. 三、Sobolev 空间的嵌入定理： (一)设Ω具有锥性质k Ω表示Ω与n R 中一上k 维平面的交集，n k ≤≤1，m 为正整数，j 为非负整数，∞<≤p 1，则有下列嵌入关系情形A 假设n mp <且n k mp n ≤<-则)()(,ΩΩq p m L W ，mp n npq p -≤≤ )()(,,ΩΩ+q j p m j W W ，mp n npq p -≤≤ )()(,,k q j p m j W W ΩΩ+ ，mpn kpq p -≤≤. 情形B 假设n mp =，则对n k ≤≤1，有)()(,,k q j p m j W W ΩΩ+ ，∞<≤q p .特别)()(,ΩΩq p m L W ，∞<≤q p .若1=p ，则n m =，这时当∞=q 时，上两式仍成立. 情形C 假设n mp >，则)()(,ΩΩ+j B p m j C W .(二)设Ω具有强局部Lipschitz 性质 情形C ' 假设p m n mp )1(->>，则)()(,,ΩΩ+αj p m j C W ，pn m -≤<α0. 情形C '' 假设p m n )1(-=，则)()(,,ΩΩ+αj p m j C W ，10≤<α.若1,1-==m n p ，则上式对1=α也成立. 四、建立Sobolev 空间的意义：随着科技的不断发展，在工程中提出了许多形式各样的偏微分方程，其中有相当一部分在古典理论上是不存在解的. 但实际背景表明，它们是存在唯一解的，这时，偏微分广义解的提出，很大程度上解决了这一数学与实际相冲突的问题. 广义解的另一优点是，它把偏微分方程的解的唯一性问题，分解成某个Sobolev 空间中广义解的存在与广义解的正则性两个问题来研究，解决了一些新的偏微分方程定解问题，特别是在非线性偏微分方程中，由于直接寻找古典解是相当困难的，而寻找弱解则相对容易，进而确定弱解的正则性后就获得古典解.在偏微分方程的数值计算中，现在比较流行的方法，如有限元法和有限体积法，它们的理论基础就是广义函数与Sobolev 空间. 它们都是利用守恒原理，在偏微分方程两边与某个区域进行积分，再进行一定的简化，将其等价的化为一个变分问题，再在某个Sobolev 空间中求解这个变分问题，其实我们求出来的变分问题的解就是其对应的偏微分方程的古典解.综上所述，广义微商及Sobolev 空间的建立，很大程度上促进了偏微分方程理论及其数值解理论的发展，在偏微分方程发展中揭开了新的一页.。
sobolev空间范数Sobolev空间范数是数学分析中常用的一种函数空间范数，它在偏微分方程、泛函分析等领域中具有重要的应用。
本文将介绍Sobolev空间范数的定义、性质以及一些常见的应用。
我们来定义Sobolev空间范数。
给定定义在一个开集上的函数f，我们可以定义它的一个特定阶数的Sobolev空间W^{k,p}(Ω)。
其中k是一个非负整数，p是一个大于等于1的实数，Ω是定义域。
对于任意一个在Ω上具有连续的k个偏导数的函数f，我们可以定义它的Sobolev范数为：||f||_{W^{k,p}(Ω)} = \left( \sum_{|\alpha|\leq k} \int_{Ω} |D^{\alpha} f|^p dx \right)^{1/p}这里，α是一个多重指标，D^α是偏导数算子，|α|表示指标α的阶数之和。
Sobolev范数的定义中，我们对函数f的各个阶数的偏导数进行了加权求和，并取这个和的p次方根。
这个范数的定义允许我们度量一个函数在各个阶数的导数上的平滑程度。
Sobolev空间范数的一个重要性质是它是完备的。
也就是说，对于一个在Sobolev空间中的Cauchy序列，存在一个极限函数使得序列中的函数逐点收敛到这个极限函数，并且这个极限函数也属于Sobolev空间。
这个性质使得Sobolev空间成为了一个良好的函数空间，可以用来研究偏微分方程的解的存在性和唯一性。
除了完备性外，Sobolev空间范数还具有嵌入定理的性质。
嵌入定理指出，如果定义域Ω是一个有界开集并且k大于等于定义域的维数n除以p，那么函数f属于Sobolev空间W^{k,p}(Ω)中就意味着它在Ω上的p次方可积。
这个性质使得Sobolev空间成为了研究函数的可积性的一个有力工具。
Sobolev空间范数在偏微分方程的研究中有广泛的应用。
例如，在椭圆型偏微分方程的理论中，我们经常需要研究解的正则性。
通过定义适当的Sobolev空间范数，我们可以得到解的Hölder连续性、可微性等结果。
sobolev嵌入定理的证明Sobolev嵌入定理是用于描述Sobolev空间与其它函数空间之间嵌套关系的一个重要定理，其应用广泛，在数学、物理学等领域都有着重要的应用。
Sobolev嵌入定理的主要思想是基于局部梯度的空间函数的一个嵌入关系。
其具体的表述如下：设Ω为$\mathbb{R}^n$中的一个开集，1≤p<n。
则s为非负整数，并且s<kp，则有如下不等式成立：$$\|u\|_{W^{s,k}(\Omega)}\leq C\|u\|_{W^{k,p}(\Omega)}$$其中，C为常数，u∈Wk,p(Ω)表示函数u在Ω上关于前k个导数的p范数有限，u∈Ws,k(Ω)表示函数u在Ω上有关于前s个导数的弱从属范数有限。
从上述不等式中可以看出，对于任意Wk,p(Ω)中的函数u，均可以通过s≤kp的方式，得到其在Ws,k(Ω)中的等价范数。
这一定理的确立，使得Sobolev空间和其它函数空间之间建立了嵌套关系，从而为众多的实际问题的求解提供了便利。
具体来说，Sobolev嵌入定理的证明可以分为以下几个步骤：1. 基于傅里叶变换，定义翻译函数。
这里的翻译函数是指从原来的函数空间到嵌入空间的映射函数，它是将原始函数映射到嵌入空间中的代表点上的一个函数。
2. 定义正则化核函数。
正则化核函数是指一类在函数空间中和点空间中都有能够良好性质的函数，它本身满足非线性可逆性和局部性，可以用来描述嵌入空间中特征映射值和实际函数值之间的关系。
3. 建立翻译函数和正则化核函数之间的联系。
利用正则化核函数对翻译函数进行平移、拉伸等变换，建立精确的函数之间的联系。
4. 借助于几何不等式，建立Sobolev空间和其它函数空间之间的不等式。
通过解析几何不等式中的Min-Max问题，可以得到W1,p空间和Lq空间（q>p）之间的不等式。
5. 进一步推广到Wk,p和Lq之间的嵌入不等式。
通过归纳法和分部积分的手法，依次推导出Wk,p空间和Lq空间之间的嵌入关系。
sobolev空间中的fredholm二则一定理【Sobolev空间中的Fredholm二则一定理】之论述引言：Sobolev空间作为函数空间的一种重要扩展，其在分析学、偏微分方程和控制论等领域的研究中起到了至关重要的作用。
其中，Fredholm理论是Sobolev空间研究中的重要组成部分之一。
本文将围绕着Sobolev空间中的Fredholm二则一定理展开论述，分析其定义、性质和应用，并逐步引入相关的概念和定理，全面阐述该理论在偏微分方程中的重要性。
第一部分：Sobolev空间与Fredholm理论基础1. Sobolev空间的定义及性质1.1 Sobolev空间的概念引入1.2 Sobolev空间的范数和内积结构1.3 Sobolev空间中的嵌入定理2. Fredholm算子的概念与特征2.1 Fredholm算子的定义和性质2.2 Fredholm算子的核、余核和指数第二部分：Fredholm二则一定理的证明3. Fredholm二则的表述与重要性3.2 Fredholm二则在Sobolev空间中的应用4. Fredholm二则的证明思路和技术4.1 拓扑方法在Fredholm二则证明中的应用4.2 几何方法在Fredholm二则证明中的应用第三部分：Fredholm二则的应用5. Fredholm二则在偏微分方程中的应用5.1 Fredholm二则在椭圆型偏微分方程中的应用5.2 Fredholm二则在抛物型和双曲型偏微分方程中的应用6. Fredholm二则的其他应用领域6.1 Fredholm二则在控制论中的应用6.2 Fredholm二则在实变函数中的应用第四部分：Fredholm二则一定理的进一步研究7. Fredholm二则的拓展与发展7.1 Fredholm二则的推广及新的变体7.2 Fredholm二则的其他空间条件和结果8. Fredholm二则的存在性和唯一性问题8.2 Fredholm二则的唯一性问题研究结论：通过本文的论述，我们对于Sobolev空间中的Fredholm二则一定理有了更加深入和全面的理解。
h1空间中索伯列夫不等式的精确常数空间中索伯列夫不等式（Sobolevinequality）是一个有关函数理论的重要不等式，其在很多研究领域内被广泛使用，而最大的常数K的准确值也长期以来一直具有挑战性。
1930年，俄罗斯数学家索伯列夫（Sobolev）首次提出了该不等式，它描述了在空间上两种曲线之间的极限关系，表达式为：∥u(x)∥_(L^r(R^n)) <= Ku(x)∥_(L^r(R^n))，其中K为一个精确的常数。
索伯列夫不等式的精确确定的K的最小值对于几何理论、偏微分方程以及拓扑学等多领域的研究都有着极其重要的意义，它可以直接也可以间接地影响到科学研究的全过程。
直到1950年，英国数学家库克（Cauchy）求出了维数为2时索伯列夫不等式K的最小值，而在维数大于2时则有许多学者为此提出不同的猜想，但仍未有人能正确求出其K的最小值。
此后，从1960年到1980年，许多学者都投入了大量的时间来探索索伯列夫不等式的K的精确值，其中有的费尽心思，但未能突破重重难关，有的只能提出猜想和可能的近似值。
但就在1984年，直到这一时刻数学家们长期以来苦苦想求出的K值最终由美国数学家肯特（Kent）准确计算出来，计算得出的结果也与前人的猜想和估计基本一致，从此，空间索伯列夫不等式的K值终于有了一个正确的结果。
肯特得出的精确常数K值也意味着，空间中索伯列夫不等式的精确计算过程也被大大简化，许多曾经困惑多年的难题也可以抛之脑后，这有利于研究人员更加全面地深入探究这个研究领域中的诸多核心问题。
实际上，今天肯特求出的精确常数K值也活跃在许多研究领域中，从拓扑学、概率分布、三维几何学到偏微分方程等，精确常数K值具有重要的意义，它提供了一个有效的解决问题的途径，因此，在学科层面上仍然保持着其重要性。
综上所述，空间中索伯列夫不等式的精确常数K值具有重要的意义，它的最终精确求解不仅给研究领域带来实质性的改变，也可以激励学者们持续探索该研究领域的更加深刻的研究，从而创造更多的价值。
广义函数和Sobolev空间的一些性质综述广义函数和Sobolev空间是近代分析的重要概念，其研究的逐步深入对于近代数学各个分支的发展均起到了极其重要的作用。
随着研究的深入，广义函数由最开始的被物理学家以不严密形式表示，到后来的说明线性双曲型方程哥西问题的解唯一性问题，再到后来用线性拓扑空间理论作为基础，得到了一系列的重要而具有深远意义的结论。
与此同时，sobolev空间的研究也取得了实质性的发展，其各种推广、嵌入定理、迹定理及各种插值公式已经成为偏微分方程理论必不可少的工具。
本文就广义函数和sobolev空间的性质及其应用以lax-milgram定理的研究为例展开讨论。
这是一篇读书报告，主要取材于[1]-[3].关键词：广义函数，sobolev空间，lax-milgram定理广义函数和Sobolev空间的一些性质综述第一章引言广义函数和Sobolev空间是近代分析的重要概念，它们的发展也直接促进了偏微分方程的研究。
本文将就广义函数和Sobolev空间进行综述，介绍一些基本性质及其应用。
1.1关于广义函数目前，在各个不同的数学分支的发展中，广义函数均得到日益广泛的传播，而以不严密形式来表示的广义函数，实际上早已为物理学家所采用。
J.Hadamant由于研究波动方程的基本解，曾经探讨发散的积分。
他的很多工作和M.Ricsz的一些工作都对广义函数理论的形成起了极其重要的作用。
1936年，索伯列夫首先引入广义函数，以一种明确而又是目前广泛采用的形式，说明了线性双曲型方程哥西问题的解唯一性问题。
另一方面，有另一些数学理论的发展也与广义函数理论也有紧密的联系，例如按幂式增长函数的傅里叶变换的C.Bochner理论。
这些傅里叶变换实际上也是广义函数。
在C.Bochner的理论中，这些广义函数的出现是为了表示连续函数的形式上的导数。
在1950至1951年间，随着L.Schwartz的专著“分布函数理论”的出版，广义函数理论更加系统化。
sobolev嵌入定理知乎【实用版】目录1.介绍 Sobolev 嵌入定理的概念和背景2.阐述 Sobolev 嵌入定理的主要内容和应用3.分析 Sobolev 嵌入定理的优点和局限性4.总结 Sobolev 嵌入定理在数学领域的重要性正文Sobolev 嵌入定理是数学领域中的一个重要定理，主要用于研究函数空间之间的嵌入关系。
该定理由苏联数学家 Sobolev 于 20 世纪 30 年代提出，经过多年的发展，已经成为现代数学分析中的一个基本工具。
Sobolev 嵌入定理的主要内容是：对于任意一个足够光滑的函数，总可以在某个更大的函数空间中找到一个函数，它包含了原函数的所有信息，且在该函数空间中的范数不超过原函数范数的一个常数倍。
这个定理在数学分析、概率论、偏微分方程等领域有着广泛的应用，尤其在 PDE（偏微分方程）的求解中，Sobolev 嵌入定理起到了关键性的作用。
Sobolev 嵌入定理的优点在于，它为我们提供了一种将函数从低维空间嵌入到高维空间的方法，从而可以利用高维空间的工具来研究低维空间的问题。
同时，该定理也为我们提供了一种在不同函数空间之间进行平滑过渡的途径，使得我们可以更方便地处理函数的奇异性和边界问题。
然而，Sobolev 嵌入定理也存在一定的局限性。
首先，它的适用范围主要限于足够光滑的函数，对于一些具有奇异性或不连续性的函数，Sobolev 嵌入定理可能并不适用。
其次，Sobolev 嵌入定理的范数估计并不是最优的，在某些特殊情况下，可能存在更优的嵌入方式。
总的来说，Sobolev 嵌入定理在数学领域具有重要的地位。
它不仅丰富了我们对函数空间的理解，也为我们提供了一种处理复杂数学问题的有效手段。
索伯列夫（Sobolev）空间嵌入定理与集中紧性原理摘要本文主要研究索伯列夫空间嵌入定理及其证明，和集中紧性原理，加深对泛函知识的理解。
关键词弱导数、Sobolev空间、嵌入定理、集中紧性原理Key words摘要...............................................................................................I Abstract .. (II)引言................................................................................................1 一、预备知识...................................................................................2 1.1 弱导数定义.................................................................................2 1.2 Sobolev 空间,()m p W ...................................................................2 1.3 引理..........................................................................................2 二、嵌入定理的证明与集中紧性原理......................................................5 2.1 嵌入定理的证明...........................................................................5 2.2 集中紧性原理............................................................................10 2.3 结论........................................................................................12 参考文献.. (13)索伯列夫空间理论是上世纪30年代初由苏联数学家S.L.Sobolev 发展起来的。
这些空间是由弱可微函数所组成的Banach 空间，它们是为研究偏微分方程的近代理论以及研究与数学分析有关的领域中许多问题的需要而产生的 。
苏联数学家索伯列夫( S.L. Sobolev) 从 1938年开始，在研究弹性体中的波动等问题时，建立了一系列新的概念，例如广义解、广义导数、嵌入定理等． 他以泛函分析为工具发展了一套新型的可微函数空间,()m p W Ω理论(现在国际上称为Sobolev 空间)，同时他也为偏微分方程的近代研究奠定了理论基础，Sobolev 这些开创性的工作在他的名著“ 泛函分析及其在数学物理中的应用” (1950)中作了系统的总结．从那时以来， 这种理论已有很广泛的发展．1957～1959年， 意大利 E. Gagliado 提出了一套与Sobolev 不同的证法．1956～1958 年苏联Slobodeokii 等人推广了Sobolev 的工作， 引进了“分数次求导”等概念， 形成了分数次空间,()m p W Ω， 称Slobodeokii 空间Sobolev 空间的嵌入定理在函数空间理论、偏微分方程、偏微分方程数值解等学科中有重要应用。
一般区域上Sobolev 空间的嵌入定理的证明已经给出，但证明一般过于复杂，限制了它在通常学科中的使用。
本文研究Sobolev 空间的嵌入定理的证明和集中紧性原理的证明。
一、预备知识1.1 弱导数的定义设1()u L ∈Ω，对于给定的重指标a ，如果1()v L ∈Ω且对于所有的1()L ϕ∈Ω，有||(1)a avdx uD dx ϕϕΩΩ=-⎰⎰并记a v uD =，则称v 是u 的a 阶弱导数. 1.2 Sobolev 空间,()m p W Ω设对1p ≥，m 是非负整数， 对本身及其直到m 阶弱导数在内都是()p L Ω可和的函数集合：,()(){|(),||}m p p a p W L u D u L a m Ω=Ω∈Ω≤{|(),(),||}}p a p u u L D u L a m =∈Ω∈Ω≤ （1） 在空间,()m p W Ω内引入范数11,||||,,,||(||)(||||),1||||max ||||, p a p a p p p a ma m m p a a mD u dx D u p u D u p Ω≤≤ΩΩ∞Ω≤⎧=≤<∞⎪=⎨⎪=∞⎩∑∑⎰ （2）1.3 引理引理1 设Ω是具强局部Lipshitz 性质的区域，简称L 型区域，则： （1） 存在开集1O ，2O ，…, m O ,使1i i O ∞=∂Ω⊂．（2） 存在开集0O ，使0i i O ∞=Ω⊂．（3） 设{|(,)}x dist x δδΩ=∈Ω∂Ω<，1{|(,)}j j j V x O dist x O δ=∈∂>，则存在一个充分小的10δ>，当x ，1y δ∈Ω，且1||x y δ-<时，有一个j 使x ，j y V ∈．（4） 对任意j ，存在顶点在原点的多面体j P ，使得jx V ∈Ω时，j x P +⊂Ω。
（5） 存在20δ>，21δδ>，及常数K ，使得当,j x y V ∈Ω，且2||x y δ-<时，有()()j j z x P y p ∈++，使||||()x z y z K x y -+-≤-（6） 存在一个顶点在原点的多面体0P ，当1\x δ∈ΩΩ时，0x P +⊂Ω。
此外存在30δ>，当1,\x y δ∈ΩΩ，且3||x y δ-<时，00()()x P y P ++≠Φ。
（7） 存在向量i y ，当i x O ∈∂Ω时，i x ty +∈Ω，对任意01t <<。
引理2（Gagliardo 定理） 设Ω是n R 中的有界锥形区域，对任意的0d >,存在开集1Ω，2Ω，…，m Ω，满足：（1）1m i i =Ω=Ω；（2）对每一个i Ω，存在一个顶点在原点的平行多面体0i P ，使0()ii i x A x P ∈Ω=+，其中i i A ⊂Ω且其中直径小于等于d 。
引理3 设1p ≤<+∞，Ω是有界区域，()p M L ⊂Ω是列紧的充要条件为： （1）M 是()p L Ω中的有界集，即存在0K >，使对任意f M ∈，()|||p L f K Ω≤； （2）M 是()p L Ω中等度连续，即对任意0ε>，存在0δ>，当||y δ<时~~|()()|p pf x y f x dx εΩ+-<⎰ （对任意f M ∈） 其中~f 是f 的延拓函数，定义为~(), .()0, .f x x f x x ∈Ω⎧=⎨∈Ω⎩引理4 设Ω是n R 中的有界开集，k 为正整数，使1k n ≤≤，11n k λ-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，1()(,,)()k K kK K K K K F x F x x L λ=∈Ω，()()K K K SF x F x ∈=∏，则1|()|[|()|]kKK K KK SF x dx Fx dx λλ∈ΩΩ≤∏⎰⎰引理 5 设Q 是n R 中边长为2的立方体，其边分别平行于坐标轴，而Ω是由Q 经平移得到的L 型区域，又1p n ≤<，np q n p=-，0(,)n f C R ∞∈Ω，则 1,||||||||q p f K f ≤其中K 是与f 无关的常数。
引理 6 设Q 是n R 中边长为1的立方体, t Q 表示边长为t 的立方体，其表面积分别平行于Q 的表面，如果1,()()p f C Q W Q ∞∈，而n p <≤∞，则1|()()|||||||npp f x f y K x y f --≤-∇ （对任意x ，y Q ∈）其中K 是与f 无关的常数。
引理7 设Ω是n R 中具有锥性质的有界区域，简称有界锥形区域，p n >，若1,()()p f C Q W Q ∞∈，则1,sup |()|||||p x f x K f ∈Ω≤，其中K 是与f 无关的常数。
引理8 设{|01,1,2,,}i i j Q x R x j i =∈<<=，其中1,2,,i n =，1p ≥。
则下列结论成立：（1）1,111()()||(,,,)||||||p p n nn n L Q W Q u x x x K u --≤，对任意1,()p n u W Q ∈，对几乎处处(0,1)x ∈。
（2）1111()sup |(,,,)|||||(,,)||n nnn n n W Q x Q u x x x K u x x --∈≤，对任意1,()p n u W Q ∈。
其中K 是与u 无关的常数。
引理9 设Ω是n R 中的开集，01μ<≤，则0,()()C C μΩ→→Ω。
引理10 设Ω是n R 中的开集，01λμ<≤≤，则0,0,()()C C μλΩ→→Ω。
引理11 设Ω是n R 中的一个区域， 101q q ≤<，如果0,()()q m p W L Ω→Ω，1,()()q m p W L Ω→→Ω，则对任意的10[,)q q q ∈，有,()()m p q W L Ω→→Ω。
二、嵌入定理的证明与集中紧性原理2.1 嵌入定理的证明定理1 设Ω是n R 中的有界锥形区域，mp n ≤。
（1） 如果mp n <，npq n p=-，则,()()m p q W L Ω→Ω； （2） 如果nm p =，1p >，1q ≤<+∞，则,()()m p q W L Ω→Ω； （3） 如果nm p =，1p =，则,1()()n W C Ω→Ω.证明 由Gagliardo 定理（引理2），有界锥形区域可以分解成一系列L -型区域的并，即1H i i =ΩΩ=，其中i Ω是L -型区域，H 为有限数。
如果,()()m p q i i W L Ω→Ω，1,2,i H =，则,,()()()()11||||||||||||.||||q q m p m p ii iHHL L W W i i f f K f K H f ΩΩΩΩ==≤≤≤∑∑所以,()()m p q W L Ω→Ω.再由Gagliardo 定理，L -型区域可由一平行多面体经过一系列平移得到，即()i i x Ax V ∈Ω=+，其中i V 是一顶点在原点的平行多面体。
