酉空间介绍

1.1酉空间 1.1.1酉空间的定义定义1 设V 是复数域上线性空间，在V 上定义二元函数，称为内积，记作(,)αβ，它具有以下性质：1．(,)(,)αββα=，这里(,)βα是复数(,)αβ的共轭复数； 2．(,)(,)k k αβαβ=； 3．(,)(,)(,)αβγαγβγ+=+；4．(,)0αα≥，且(,)0αα=当且仅当α=0。

这里,,αβγ是V 中任意的向量,k 为任意复数，这样的线性空间称为酉空间. 例1 设T T 1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ==是n中的任意向量，定义内积为H 1122(,)n n a b a b a b αββα=+++=。

则n是一个酉空间，其中H β表示向量β的共轭转置向量。

1.1.2酉空间的有关概念（1）2α=称为向量α的长度或模或范数.（2）若21α=，则称α为单位向量；α≠0时，称21αα为将向量α单位化.（3）(,)αβ=0时，称向量α与向量β正交.（4）如果n 维酉空间V 的一个基中的向量两两正交，则称该基为V 的一个正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基. （5）设n n⨯∈A ，HA 表示矩阵A 的共轭转置矩阵， 即TH =A A 。

若A 满足H =A A ，则称A 是Hermite 矩阵； 若A 满足H =A A E ，则称A 是酉矩阵. （6）设12,,,n ααα是V 的一组基，称矩阵1112121222122(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n αααααααααααααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦为基12,,,n ααα的度量矩阵.（7）设V α∈，如果对于任意β∈ W 1，恒有(,)αβ=0，则称α与子空间W 1正交，记为1W α⊥.如果对于任意α∈W 1和任意β∈W 2，恒有(,)αβ=0，则称子空间W 1与子空间W 2正交，记为12W W ⊥.如果12W W ⊥，且12W +W =V ，则称W 2是W 1的正交补，记作1W ⊥.显然，11V W W ⊥=⊕。

第4讲复内积空间 (酉空间)内容：1. 复内积空间2. 正规矩阵3. Hermite二次型欧氏空间是针对实线性空间而言的，本讲先讨论复数域上线性空间的内积及其性质，然后将实二次型推广为复二次型，介绍厄米（Hermite）二次型.§1 复内积空间(酉空间)1. 复内积空间(酉空间)定义1.1设V是复线性空间,若对于V中任意两个元素（向量）x和y,总能对应唯一的复数，记作),(y x,且满足以下的性质：（1）对称性;),(),(_____x yx=y（2）可加性);,(),(),=x++(z yz xz y（3）齐次性;ykkx∈),=x∀y),,(k(C（4）非负性,0x),(=xx),(≥x当且仅当0=x时,0则称该复数是V中元素（向量）x和y的内积.称定义了内积的复线性空间V为酉空间(或称U空间或复内积空间).例1.1 在n维向量空间n C中，任意两个向量T n x x x x ),,,(21Λ=，T n y y y y ),,,(21Λ=，若规定 ∑==+++=n k kk n n y x y x y x y x y x 1____2__21__1),(Λ，则容易验证，它是nC 中向量x 和y 的内积.2. 酉空间的性质：(1)V x x x ∈∀==,0)0,(),0( (2)C k V y x y x k ky x ∈∀∈∀=,,),,(),(__ (3) V z y x z x y x z y x ∈∀+=+,,),,(),(),((4) ),(),(11__11∑∑∑∑=====n j n i j i j i n i n j j j i i y x l k y l x k3. 酉空间的一些结论(1) 向量的长度),(x x x =(2) Cauchy-Schwarz 不等式: y x y x ≤),((3) 两个非零向量的夹角)2,0(,)),)(,((arccos ,21π≤><≤>=<y x y x x y y x y x (4) 当0),(=y x 时，称x 与y 正交，积作y x ⊥.与欧氏空间一样，在酉空间中也可类似定义正交基，标准正交基，而且V 中的任一组基均可通过Schmidt 方法化为一组标准正交基.4. 酉变换和复对称变换定义1.2 设σ是U 空间中的一个线性变换，若对U ∈∀βα,，均有),())(),((βαβσασ=成立，则称σ为U 空间上的酉变换，而满足1-=A A H 的矩阵A 称为酉矩阵.定理1.1 设σ是酉空间V 上的一个线性变换，则下列命题是等价的：(1) σ是一个酉变换(2) 保持元素的长度不变,即对任意的V ∈α，有αασ=)((3) V 中任意一个标准正交基其象仍是一个标准正交基(4) 在任一个标准正交基下的矩阵是酉矩阵，即E A A AA H H ==定义1.3 设σ是U 空间中的一个线性变换，若对U ∈∀βα,，均有))(,()),((βσαβασ=成立，则称σ为U 空间上的复对称变换，满足A A A A H H -==,的矩阵分别称为Hermite 矩阵与反Hermite 矩阵.§2 正规矩阵定义2.1 设n n C A ⨯∈,若满足A A AA H H=,则称A 为正规矩阵.特别,当n n R A ⨯∈时，若满足A A AA T T =,称A 为实正规矩阵.显然，对角矩阵, Hermite 矩阵，反Hermite 矩阵和酉矩阵都是正规矩阵，而正交矩阵，实对称矩阵和实反对称矩阵都是实正规矩阵.定义2.2 设)(,n n n n C R B A ⨯⨯∈，如果存在n 阶正交（酉）矩阵U ，使得B AU U AU U T ==-1，（B AU U AU U H ==-1），则称A 正交（酉）相似于B ．定理2.1 设A 为正规阵,则与A 酉相似的矩阵都是正规阵；A 必有n 个线性无关的特征向量；A 的属于不同特征值的特征子空间是互相正交的。

§8 酉空间介绍一、 酉空间1．定义14 设V 是复数域上一个线性空间，在V 上定义了一个二元复函数， 称为内积, 记作),(βα，它具有以下性质: 1) ),(),(αββα=，),(αβ 是 ),(αβ 的共轭复数; 2) ),(),(βαβαk k =; 3) ),(),(),(γβγαγβα+=+;4) ),(αα是非负实数, 且0),(=αα 当且仅当0=α这里γβα,,是V 中任意的向量, k 是任意复数, 这样的线性空间称为酉空间. 2．例1 在线性空间n C ,对向量()()n n b b b a a a ,,,,,,,2121 ==βα定义内积为n n b a b a b a +++= 2211),(βα, (1)显然内积（1）满足定义14中的条件.这样nC 就成为一个酉空间. 3．基本性质由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似，有一套平行的理论，因此在这里 简单地列出重要的结论，而不详细论证. 1) ),(),(βαβαk k =. 2) ),(),(),(γαβαγβα+=+. 3)),(αα叫做向量α的长度，记为||α.4) 柯西–布涅柯夫斯基不等式仍然成立，即对于任意的向量βα,有|(,)|||||αβαβ≤,当且仅当βα,线性相关时等号成立.注意：酉空间中的内积),(βα一般是复数，故向量之间不易定义夹角但仍引入 5) 向量βα,，当0),(=βα时称为正交的或互相垂直二、酉变换.1．在n 维酉空间中，同样可以定义正交基和标准正交基， 2．关于标准正交基也有下述一些重要性质：1) 任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化，并扩充为一组标准正交基. 2）对n 级复矩阵A ，用A 表示以A 的元素的共轭复数作元素的矩阵.如A 满足E A A A A ='='，就叫做酉矩阵.它的行列式的绝对值等于1.两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵. 3) 酉空间V 的线性变换A ，满足(A α,A β)=(α,β),就称为V 的一个酉变换. 酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.三、对称变换1．矩阵A 满足A A ='则叫做埃尔米特(Hermite)矩阵. 在酉空间n C 中令A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x A x x x 2121则(A α,β)=(α,A β).A 也是对称变换.10）V 是酉空间，1V 是子空间，⊥1V 是1V 的正交补，则⊥⊕=11V V V 又设1V 是对称变换的不变子空间，则⊥1V 也是不变子空间.11）埃尔米特矩阵的特征值为实数. 它的属于不同的特征值的特征向量必正交. 12）若A 是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵C ，使AC C AC C '=-1是对角形矩阵.13）设A 为埃尔米特矩阵，二次齐次函数X A X x x a x x x f ni nj j i ij n '==∑∑==1121),,,(叫做埃尔米特二次型.必有酉矩阵C ，当时CY X =n n n n y y d y y d y y d x x x f +++= 22211121),,,(.第九章 欧几里得空间 (小结)一、欧氏空间1. 内积、欧氏空间的概念及其简单性质.2. 柯西—布涅可夫斯基不等式:2(,)(,)(,)αβααββ≤.3. 向量的长度:α=.4. 两个非零向量α与β的夹角:(,)arccos αβθαβ=.).0(πθ≤≤若(,)0αβ=,则α与β正交. 二、标准正交基 １. 标准正交基的概念.２. 标准正交基的求法—施密特正交化方法.３. 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.反过来，假如两个基之间的 过渡矩阵是正交矩阵，而且其中一个基是标准正交基，那么另一个基也是标准正交基. 三、正交补 内射影 1. 向量与集合正交的概念.2. 欧氏空间的子空间1V 的正交补的概念.3. 设1V 是V 的子空间,则⊥⊕=11V V V ,且V ∈∀α可以唯一写成21ααα+=, 其中⊥∈∈1211,V V αα,则称1α是α在1V 上的内射影. 四、欧氏空间的线性变换 1.正交变换(1) V 的线性变换σ是正交变换⇔ ① σ保持向量的长度不变. ② σ保持向量的内积不变.③ σ把规范正交基仍变为规范正交基. ④ σ关于规范正交基的矩阵是正交矩阵. (2) 正交矩阵的性质① 正交矩阵为可逆矩阵,其逆仍为正交矩阵. ② 正交矩阵的行列式为1或-1. ③ 正交矩阵的伴随矩阵是正交矩阵. 2. 对称变换(1) 假如欧氏空间V 的线性变换σ满足:))(,()),((βσαβασ=,V ∈∀βα,那么σ叫做对称变换.(2) n 维欧氏空间V 的线性变换是对称变换⇔σ在V 的标准正交基下的矩阵是对称矩阵. (3) 设σ是欧氏空间V 的对称变换,若W 是σ的不变子空间,则⊥W 也是σ的不变子空间.(4) 实对称矩阵的特征值都是实数, 相应地有对称变换的特征值都是实数. (5) 设A 是实对称矩阵,则属于A 的不同特征值的特征向量是正交的.(6) 任一个n 阶实对称矩阵A 都可以正交对角化,即存在正交矩阵U ,使得AUU AU U 1-='是对角形式,相应地有对于欧氏空间V 的任一个对称变换σ,存在V 的标准正交基,σ在这个标准正交基下的矩阵是对角形式.六、欧氏空间的同构 1. 欧氏空间同构的概念.2. 两个有限维欧氏空间同构⇔它们的维数相同.3. 每个n 维欧氏空间都与n R 同构.本章的重点是欧氏空间的基本概念、标准正交基、正交变换和正交矩阵、 对称变换与对称矩阵.难点是正交变换、正交补、对称变换.。

酉空间与酉变换分析酉空间和酉变换是量子力学中非常重要的概念，它们在描述量子系统的性质和演化过程中起到了至关重要的作用。

本文将介绍酉空间和酉变换的基本概念、性质及其在量子力学中的应用。

一、酉空间的基本概念与性质1.1 酉空间的定义在量子力学中，酉空间是描述量子系统状态的数学空间。

对于一个由$n$维复向量空间表示的系统，其酉空间由所有满足以下条件的复向量构成：$$|\psi\rangle = \sum_{i=1}^{n}c_i |i\rangle, \quad \text{且} \quad\langle\psi|\psi\rangle=1$$其中，$|i\rangle$是向量空间的一组正交归一基。

酉空间中的向量是满足相关条件的复向量。

1.2 酉空间的性质（1）酉空间是线性空间，即满足线性叠加和数乘运算的闭合性。

（2）酉空间的内积和范数满足性质：$$\langle\psi|\phi\rangle= \sum_{i=1}^{n}c_i^*d_i$$其中，$|\psi\rangle$和$|\phi\rangle$是酉空间中的两个向量。

（3）酉空间是希尔伯特空间的子空间，具有完备性。

二、酉变换的基本概念与性质2.1 酉变换的定义酉变换是酉空间中向量的变换操作，将一个向量变换为另一个向量。

设$U$为一个$n$阶酉矩阵，对应于一个酉变换操作。

对于一个在酉空间中的向量$|\psi\rangle$，经过酉变换$U$后变为$U|\psi\rangle$。

2.2 酉变换的性质（1）酉变换保持内积不变：$$\langle U\psi|U\phi\rangle = \langle\psi|\phi\rangle$$其中，$|\psi\rangle$和$|\phi\rangle$是酉空间中的两个向量。

（2）酉变换的逆变换是其共轭转置：$$U^{-1} = U^{\dagger}$$其中，$U^{\dagger}$表示酉变换矩阵的共轭转置。

酉空间的内积计算公式在我们探索酉空间这个奇妙的数学领域时，内积计算公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开理解和解决问题的大门。

先来说说酉空间是啥。

简单来讲，酉空间就是一种具有特殊性质的向量空间。

而内积呢，就是在这个特殊空间里衡量两个向量之间关系的重要工具。

酉空间的内积计算公式长啥样呢？它通常表示为：(α,β) = ∑(αj * 共轭(βj)) ，这里的α和β是酉空间中的向量，j 表示向量的分量。

为了让大家更好地理解这个公式，我给大家讲个我自己教学时候的事儿。

有一次上课，我给学生们讲这个酉空间内积计算公式，有个学生一脸懵地问我：“老师，这一堆符号看着就头疼，到底有啥用啊？”我笑了笑，拿出了一个实际的例子。

假设我们有一个二维酉空间，向量α = (2 + 3i, 1 - i) ，向量β = (4 - i, 2 + 2i) 。

那按照内积计算公式，先算第一个分量的乘积：(2 + 3i) * 共轭(4 - i) ，共轭(4 - i) 就是 (4 + i) ，相乘得到 (2 + 3i) * (4 + i) = 8 + 2i +12i + 3i²。

因为 i² = -1 ，所以就是 8 + 14i - 3 = 5 + 14i 。

再算第二个分量的乘积：(1 - i) * 共轭(2 + 2i) ，共轭(2 + 2i) 是 (2 -2i) ，相乘得到 (1 - i) * (2 - 2i) = 2 - 2i - 2i + 2i²，也就是 2 - 4i - 2 = - 4i 。

最后把这两个结果相加：(5 + 14i) + (- 4i) = 5 + 10i ，这就是这两个向量的内积。

讲完这个例子，刚才提问的那个学生眼睛一下子亮了起来，说：“哎呀，老师，原来这么有用啊，一下子就清楚多了！” 从那以后，这个学生对酉空间的内积计算公式再也不头疼了，反而还能自己举一反三地去解决问题。

其实啊，这个内积计算公式在很多领域都有大用处。

为什么酉空间内积复共轭
酉空间内积为什么是复共轭？这个问题涉及到线性代数和复数
的知识。

首先，我们来解释一下酉空间和内积的概念。

酉空间是指一个带有内积的复向量空间，满足一定的条件。

内
积是定义在向量空间中的一种运算，它将两个向量映射为一个复数。

在酉空间中，内积满足线性、共轭对称和正定性三个性质。

现在来解释为什么酉空间内积是复共轭的。

在内积空间中，两
个向量的内积可以表示为一个矩阵的乘积。

对于酉空间来说，内积
还需要满足共轭对称性，即内积的结果需要满足共轭对称。

这是因
为内积的定义中包含了共轭运算，也就是其中一个向量需要取复共轭。

这样才能保证内积的结果是一个复数，并且满足内积的线性性
质和正定性质。

另外，酉空间内积为复共轭还可以从几何的角度来解释。

在复
向量空间中，内积可以用来衡量向量之间的夹角和长度。

而复共轭
则可以保证内积的正定性，也就是说它可以确保内积的结果始终是
非负实数，这与我们对向量长度的直观认识是一致的。

总之，酉空间内积为复共轭是因为内积的定义需要满足共轭对称性，这样才能保证内积的结果是一个复数，并且满足内积的线性性质和正定性质。

同时，从几何的角度来看，复共轭可以确保内积的结果始终是非负实数，与向量长度的直观认识相符合。

这就是为什么酉空间内积是复共轭的原因。

§8 酉空间介绍定义14 设V 是复数域上一个线性空间，在V 上定义了一个二元复函数，称为内积,记作),(βα，它具有以下性质: 1) ),(),(αββα=，),(αβ是),(αβ的共轭复数;2) ),(),(βαβαk k =;3) ),(),(),(γβγαγβα+=+;4) ),(αα是非负实数,且0),(=αα当且仅当0=α这里γβα,,是V 中任意的向量,k 是任意复数,这样的线性空间称为酉空间.例1 在线性空间n C ,对向量()()n n b b b a a a ,,,,,,,2121 ==βα定义内积为n n b a b a b a +++= 2211),(βα, (1)显然内积（1）满足定义14中的条件.这样n C 就成为一个酉空间.由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似，有一套平行的理论，因此在这只简单地列出重要的结论，而不详细论证.1) ),(),(βαβαk k =.2) ),(),(),(γαβαγβα+=+. 3) ),(αα叫做向量α的长度，记为||α.4) 柯西–布涅柯夫斯基不等式仍然成立，即对于任意的向量βα,有|||||,|βαβα≤,当且仅当βα,线性相关时等号成立.注意：酉空间中的内积),(βα一般是复数，故向量之间不易定义夹角但仍引入5) 向量βα,，当0),(=βα时称为正交的或互相垂直.在n 维酉空间中，同样可以定义正交基和标准正交基，并且关于标准正交基也有下述一些重要性质：6) 任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化，并扩充为一组标准正交基.7）对n 级复矩阵A ，用A 表示以A 的元素的共轭复数作元素的矩阵.如A 满足E A A A A ='='，就叫做酉矩阵.它的行列式的绝对值等于1.两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵.8) 酉空间V 的线性变换A ，满足(A α,A β)=(α,β),就称为V 的一个酉变换.酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.9）如矩阵A 满足A A ='则叫做埃尔米特(Hermite)矩阵.在酉空间n C 中令A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x A x x x 2121 则(A α,β)=(α,A β).A 也是对称变换.10）V 是酉空间，1V 是子空间，⊥1V 是1V 的正交补，则⊥⊕=11V V V又设1V 是对称变换的不变子空间，则⊥1V 也是不变子空间.11）埃尔米特矩阵的特征值为实数.它的属于不同的特征值的特征向量必正交.12）若A 是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵C ，使AC C AC C '=-1是对角形知阵.13）设A 为埃尔米特矩阵，二次齐次函数X A X x x a x x x f n i nj j i ij n '==∑∑==1121),,,(叫做埃尔米特二次型.必有酉矩阵C ，当时CY X =n n n n y y d y y d y y d x x x f +++= 22211121),,,(. 出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。