山东省潍坊第一中学2014-2015学年高二4月综合练习数学(文)试题 Word版无答案

山东省潍坊第一中学2014-2015学年高二数学4月综合练习试题 理一、选择题：1． 5()ax x +（x R ∈）展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于（ ）（A ）-1 （B ）12(C)1 (D)2 2、某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） （A ）36种（B ）42种(C)48种（D ）54种3、下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程为y ^＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③线性相关系数r 和相关指数R 2都是描述线性相关强度的量，r 和R 2越大，相关强度越强．④在一个2×2列联表中，计算得χ2＝13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系． 其中错误．．的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 本题可以参考独立性检验临界值表：P (χ2≥k 0)0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 k 0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 P (χ2≥k 0)0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 03.8415.0246.6357.87910.8284、若曲线f 4( )A ．(1,1)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(－1，－1)5、已知f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，那么f (x )的图象最有可能是图中的( )6、若f (x )＝x 2＋2∫10f (x )d x ，则∫10f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．17、将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面向上的概率等于出现k ＋1次正面向上的概率，那么k 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．38、设集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y ∈{1，2，3…，9}，且P ⊆Q 。

2015.5高二数学综合测试卷一、选择题1．已知数列{a n }中，21=a ，*11()2n n a a n N +=+∈，则101a 的值为 （ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．522．在△ABC 中，若a = 2 ,b =,030A = , 则B 等于 （ ）A ．60B ．60或 120C ．30D ．30或1503．在三角形ABC 中，如果()()3a b c b c a bc +++-=，那么A 等于 （ ）A ．030B ．060C ．0120D ．01504．设｛a n ｝是由正数组成的等比数列，且a 5a 6=81，log 3a 1+ log 3a 2+…+ log 3a 10的值是（ ）A ．5B ．10；C ．20D ．2或45．3 若不等式x +≤a(x+y) 对一切正数x 、y 恒成立，则正数a 的最小值为（ ）A 1；B 2 ；12； D 1； 6．已知等差数列{a n }的公差d≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 ( )A ．34 B ．23 C ．32 D ．437．在⊿ABC 中，BCb c cos cos =，则此三角形为 （ ）A ． 直角三角形； B. 等腰直角三角形 C 。

等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 8．已知数列}{n a 的前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=+n S n n , 则312215S S S -+的值是（ ）A. -76B. 76C. 46D. 139．若 x>0,y>0, 且x+y=s, xy=p, 则下列命题中正确的是 （ ）A 当且仅当x=y 时s 有最小值；B 当且仅当 x=y 时p 有最大值24s ；C 当且仅当 p 为定值 时s 有最小值；D 当且仅当 x=y 时 有最大值24s ；10．等差数列{a n }中，a 1=－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是 （ ）A ．a 8B ．a 9C ．a 10D ．a 1111．f x ax ax ()=+-21在R 上满足f x ()<0，则a 的取值范围是 （ ）A ．a ≤0B ．a <-4C ．-<<40aD ．-<≤40a 12．已知-9,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列，-9,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数列， 则b 2(a 2-a 1)=A.8B.-8C.±8 D，7 二、填空题13．已知等差数列{a n }满足56a a +=28，则其前10项之和为 ．14．数列{}n a 满足12a =，112n n n a a --=，则n a = ； 15．两等差数列}{n a 和}{n b ,前n 项和分别为n n T S ,,且,327++=n n T S n n 则157202b b a a ++等于 。

高三过程性检测 数学(文科)试题本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷进(非选择题)两部分，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、班级和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第I 卷(共50分)一．选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1.设全集(){}{}(),ln 1,11,U U R A x y x B x x C A B ===-=-<⋂=则 A.()2,1-B. (]2,1-C. [)1,2D. ()1,22.已知i 为虚数单位，复数121iz i +=-，则z 的共轭复数虚部是 A.32i B.32C. 12i - D. 32-3.平面向量a b 与的夹角为()602,012a b a b ==+，，，则等于A. B. C.12D.4.如图是某篮球联赛中，甲、乙两名运动员9个场次得分的茎叶图，设甲、乙两人得分平均数分别为x x 甲乙、，中位数分别为m m甲乙,，则A. ,m m x <<甲甲乙乙B. ,m m x ><甲甲乙乙C.,m m x x >>甲甲乙乙D.,m m x x <>甲甲乙乙5. 已知双曲线的中心在原点，一个焦点为()1F ，点p 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是A. 2214x y -= B. 2214y x -= C. 22123x y -=D. 22132x y -=6.下列命题正确的是：（1）已知命题:,2 1.,21x x p x R p x R ∃∈=⌝∃∈≠则是：（2）设,l m 表示不同的直线，α表示平面，若//,////m l m l αα且，则； （3）利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则事件“310a ->”发生的概率为23（4）“0,0a b >>”是“2a bb a+≥”的充分不必要条件. A.（1）（4） B.（2）（3） C.（1）（3）D.（3）（4）7.如图，长方体1111ABCD A BC D -中，12,2A B A D A==设长方体的截面四边形11ABC D 的内切圆为O ，圆O 的正视图是椭圆O '，则椭圆O '的离心率等于A.3 B.2C.3D.2 8.执行如图的程序，则输出的结果等于 A.14950B.200101C.9950D.150509.函数()22sin 1,0,24,0x x x f x x x x ⎧-+>⎪=⎨--≤⎪⎩的零点个数为A.0B.1C.2D.310.如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数()y f x =是区间I 上“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”.若函数()21322f x x x =-+是区间I 上“缓增函数”，则“缓增区间”I 为A. [)1,+∞B. ⎡⎣C. []0,1D. ⎡⎣二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2014-2015学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={x|≤0}，则A∩B=（）A．[﹣1，3]B．{﹣1，3}C．{﹣1，1}D．{﹣1，1，3}2．（5分）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b，则＞D．若a＞b＞0，则＞3．（5分）“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设等差数列{a n}的前n项为S n，已知a1=﹣11，a3+a7=﹣6，当S n取最小值时，n=（）A．5 B．6 C．7 D．85．（5分）若函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1）的大致图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的大致图象为（）A．B．C．D．6．（5分）△ABC中，∠C=90°，CA=CB=2，点M在边AB上，且满足=3，则•=（）A．B．1 C．2 D．7．（5分）若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x﹣2y的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）﹣f（﹣a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]9．（5分）已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣m在[0，]上有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．[1，2） C．（﹣1，2]D．[1，2]10．（5分）设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，已知f（x）=x5﹣mx4﹣x2在区间（﹣1，2）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．[﹣4，+∞）C．[，+∞）D．[﹣4，]二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=a n+，则{a n}的通项公式a n=．12．（5分）已知向量，满足||=1，||=3，|2﹣|=，则与的夹角为．13．（5分）已知函数f（x）=，则f（6）=．14．（5分）某中学举行升旗仪式，如图所示，在坡度为15°的看台上，从正对旗杆的一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离AB=10m，则旗杆CD的高度为m．15．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（1）=0；②直线x=﹣2为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[4，5]是单调递递增；④若方程f（x）=m在[﹣3，﹣1]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣4．以上命题正确的是．（请把所有正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=DE=2AB，且F是CD 的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．17．（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=，a=，S=，求b+c的值．△ABC18．（12分）已知命题p：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，对∀x∈R恒成立；命题q：关于x的方程x2+（a﹣1）x+1=0的一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．19．（12分）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S1，S2，S3成等差数列，16是a2和a8的等比中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{b n}中，b1=1，前9项和等于27，令c n=2a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．20．（13分）某化工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂厂家的生产成本有以下三个方面：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的平均费用是每单位（x+﹣30）元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200）．（Ⅰ）把生产每单位试剂的成本表示为x的函数关系P（x），并求出P（x）的最小值；（Ⅱ）如果产品全部卖出，据测算销售额Q（x）（元）关于产量x（单位）的函数关系为Q（x）=1240x﹣x3，试问：当产量为多少时生产这批试剂的利润最高？21．（14分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，2]时，讨论函数F（x）=f（x）﹣xlnx零点的个数；（Ⅲ）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，当a=1时，求证：f[g（x）]＜f（x）．2014-2015学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={x|≤0}，则A∩B=（）A．[﹣1，3]B．{﹣1，3}C．{﹣1，1}D．{﹣1，1，3}【解答】解：由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣3）≤0，且x﹣3≠0，解得：﹣1≤x＜3，即B=[﹣1，3），∵A为奇数集合，∴A∩B={﹣1，1}，故选：C．2．（5分）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b，则＞D．若a＞b＞0，则＞【解答】解：A．c=0时不成立；B．∵a＜b＜0，∴a2＞ab＞b2，正确；C．取a=﹣1，b=﹣2时，=﹣1，=﹣，则＞不成立；D．若a＞b＞0，则＜，因此不正确．故选：B．3．（5分）“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：f（x）=2sin（x+）=2cosx，其图象对称轴是x=kπ，k∈Z，“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项为S n，已知a1=﹣11，a3+a7=﹣6，当S n取最小值时，n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：由等差数列的性质得，2a5=a3+a7=﹣6，则a5=﹣3，又a1=﹣11，所以d==2，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣13，S n==n2﹣12n，所以当n=6时，S n取最小值，故选：B．5．（5分）若函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1）的大致图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：由图象可知0＜a＜1且0＜f（0）＜1，即即解②得log a1＜log a b＜log a a，∵0＜a＜1∴由对数函数的单调性可知a＜b＜1，结合①可得a，b满足的关系为0＜a＜b＜1，由指数函数的图象和性质可知，g（x）=a x+b的图象是单调递减的，且一定在x 轴上方．故选：B．6．（5分）△ABC中，∠C=90°，CA=CB=2，点M在边AB上，且满足=3，则•=（）A．B．1 C．2 D．【解答】解：由题意得AB=2，△ABC是等腰直角三角形，•=（）•=0+=×=1．故选：B．7．（5分）若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x﹣2y的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x﹣2y为，由图可知，当直线过C（2，）时，直线在y轴上的截距直线，z最大．∴．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）﹣f（﹣a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]【解答】解：∵f（1）=﹣3，∴f（a）﹣f（﹣a）≤﹣6，a≥0时，﹣a2﹣2a﹣[（﹣a）2+2a]≤﹣6，整理得：a2+2a﹣3≥0，解得：a≥1，a＜0时，a2﹣2a﹣[﹣（﹣a）2+2a]≤﹣6，整理得：a2﹣2a+3≤0，无解，故选：A．9．（5分）已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣m在[0，]上有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．[1，2） C．（﹣1，2]D．[1，2]【解答】解：由题意可得函数g（x）=2sin（2x+）与直线y=m在[0，]上两个交点．由于x∈[0，]，故2x+∈[，]，故g（x）∈[﹣1，2]．令2x+=t，则t∈[，]，函数y=h（t）=2sint 与直线y=m在[，]上有两个交点，如图：要使的两个函数图形有两个交点必须使得1≤m＜2，故选：B．10．（5分）设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，已知f（x）=x5﹣mx4﹣x2在区间（﹣1，2）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．[﹣4，+∞）C．[，+∞）D．[﹣4，]【解答】解：∵f（x）=x5﹣mx4﹣x2，∴f′（x）=x4﹣mx3﹣3x，∴f″（x）=x3﹣mx2﹣3（3分）若f（x）为区间（﹣1，3）上的“凸函数”，则有f″（x）=x3﹣mx2﹣3＜0在区间（﹣1，2）上恒成立，当x=0时，f″（0）=﹣3＜0，恒成立，当x≠0时，mx2＞x3﹣3，即m＞x﹣，设g（x）=x﹣，则g′（x）=1+=当x∈（0，2），g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，当x=2时，函数g（2）=2﹣=当x∈（﹣1，0），g（x）＜0，故函数g（x）在（﹣1，2）的最大值为g（2）=，故m≥，故实数m的取值范围为[，+∞]故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=a n+，则{a n}的通项公式a n=．【解答】解：已知数列{a n}的前n项和S n=a n+，①根据递推关系式：（n≥2）②所以：①﹣②得：整理得：数列{a n}是以a1为首项，公比为的等比数列．当n=1时，解得：a1=1所以：=故答案为：12．（5分）已知向量，满足||=1，||=3，|2﹣|=，则与的夹角为．【解答】解：设与的夹角为θ，则由题意可得4﹣4+=10，即4﹣4×1×3×cosθ+18=10，求得cosθ=，再结合θ∈[0，π），可得θ=，故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）=，则f（6）=1．【解答】解：函数f（x）=，则f（6）=f（5）=f（4）==1．故答案为：1．14．（5分）某中学举行升旗仪式，如图所示，在坡度为15°的看台上，从正对旗杆的一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离AB=10m，则旗杆CD的高度为30m．【解答】解：如图所示，依题意可知∠PCB=45°，∠PBC=180°﹣60°﹣15°=105°∴∠CPB=180°﹣45°﹣105°=30°由正弦定理可知BP=•sin∠BCP=20米∴在Rt△BOP中，OP=PB•sin∠PBO=20×=30米即旗杆的高度为30米故答案为：30．15．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（1）=0；②直线x=﹣2为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[4，5]是单调递递增；④若方程f（x）=m在[﹣3，﹣1]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣4．以上命题正确的是①②④．（请把所有正确命题的序号都填上）【解答】解：对于①，∵f（x+2）=f（x）+f（1），∴f（﹣1+2）=f（﹣1）+f（1），∴f（﹣1）=0，又f（x）为偶函数，∴f（﹣1）=f（1）=0，故①正确；且当x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，对于②，由①知f（1）=0，∴f（x+2）=f（x），∴y=f（x）为周期为2的偶函数，∴f（﹣2﹣x）=f（2+x）=f（﹣2+x），∴y=f（x）关于x=﹣2对称，故②正确；对于③，∵f（x+2）=f（x），∴y=f（x）为周期为2的函数，又x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，∴函数y=f（x）在[4，5]是单调递减函数，故③错误；对于④，∵偶函数y=f（x）在区间[0，1]上单调递减，∴y=f（x）在区间[﹣1，0]上单调递增，又y=f（x）为周期为2的函数，∴y=f（x）在区间[﹣3，﹣2]上单调递增，在区间[﹣2，﹣1]上单调递减，又y=f（x）关于x=﹣2对称，∴当方程f（x）=m在[﹣3，﹣1]上的两根为x1，x2时，x1+x2=﹣4，故④正确．综上所述，①②④正确．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=DE=2AB，且F是CD 的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．【解答】证明：（Ⅰ）取EC中点G，连BG，GF．∵F是CD的中点，∴FG∥DE，且FG=DE．又∵AB∥DE，且AB=DE．∴四边形ABGF为平行四边形．∴AF∥BG．又BG⊂平面BCE，AF⊄平面BCE．∴AF∥平面BCE．（Ⅱ）∵AB⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF．∵AB∥DE，∴AF⊥DE．又∵AC=AD，∴AF⊥CD．∵BG∥AF，∴BG⊥DE，BG⊥CD．∵CD∩DE=D，∴BG⊥平面CDE．∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．17．（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=，a=，S=，求b+c的值．△ABC【解答】解：（1）∵=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），∴f（x）=•=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（2）由f（A）=，得到sin（2A+）+=，即sin（2A+）=，∴2A+=，即A=，=，∵a=，S△ABC∴由三角形面积公式得：bcsinA=，即bc=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣6，即（b+c）2=9，解得：b+c=3．18．（12分）已知命题p：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，对∀x∈R恒成立；命题q：关于x的方程x2+（a﹣1）x+1=0的一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：由命题p知，函数（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4的最大值小于0；a=2时，﹣4＜0，∴符合题意；a≠2时，则a需满足：，解得﹣2＜a＜2；∴命题p：﹣2＜a≤2；根据命题q，设f（x）=x2+（a﹣1）x+1，所以：，解得；∴命题q：；若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假：p真q假时，，∴；p假q真时，，∴a∈∅；∴实数a的取值范围为．19．（12分）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S1，S2，S3成等差数列，16是a2和a8的等比中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{b n}中，b1=1，前9项和等于27，令c n=2a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S4，S2，S3成等差数列，则：2S2=S3+S4解得：q=﹣2或1（舍去）由于：16是a2和a8的等比中项解得：a1=1所以：（Ⅱ）等差数列{b n}中，设公差为d，b1=1，前9项和等于27．则：解得：d=所以：令c n=2a n b n==（n+1）（﹣2）n﹣1T n=c1+c2+…+c n﹣1+c n=2•（﹣2）0+3•（﹣2）1+…+（n+1）（﹣2）n﹣1①﹣2T n=2•（﹣2）1+3•（﹣2）2+…+（n+1）（﹣2）n②①﹣②得：3]﹣（n+1）（﹣2）n解得：20．（13分）某化工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂厂家的生产成本有以下三个方面：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的平均费用是每单位（x+﹣30）元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200）．（Ⅰ）把生产每单位试剂的成本表示为x的函数关系P（x），并求出P（x）的最小值；（Ⅱ）如果产品全部卖出，据测算销售额Q（x）（元）关于产量x（单位）的函数关系为Q（x）=1240x﹣x3，试问：当产量为多少时生产这批试剂的利润最高？【解答】解：（Ⅰ）P（x）=[50x+7500+20x+x（x+﹣30）]÷x=x++40，∵50≤x≤200，∴x=90时，P（x）的最小值为220元；（Ⅱ）生产这批试剂的利润L（x）=1240x﹣x3﹣（x2+40x+8100），∴L′（x）=1200﹣x2﹣2x=﹣（x+120）（x﹣100），∴50≤x＜100时，L′（x）＞0，100＜x≤200时，L′（x）＜0，∴x=100时，函数取得极大值，也是最大值，即产量为100单位时生产这批试剂的利润最高．21．（14分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，2]时，讨论函数F（x）=f（x）﹣xlnx零点的个数；（Ⅲ）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，当a=1时，求证：f[g（x）]＜f（x）．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（﹣∞，+∞），a=1时，f′（x）=（e x﹣x﹣1）′′=e x ﹣1．由f′（x）＜0，得e x﹣1＜0，e x＜1，∴x＜0，所以函数的单调减区间为（﹣∞，0），单调增区间是（0，+∞）．（Ⅱ）函数F（x）=f（x）﹣xlnx的定义域为（0，+∞），由F（x）=0，得a=﹣lnx（x＞0），令h（x）=﹣lnx（x＞0），则h′（x）=，由于x＞0，e x﹣1＞0，可知当x＞1，h′（x）＞0；当0＜x＜1时，h′（x）＜0，故函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增，故h（x）≥h（1）=e﹣1．又h（2）=当a=1时，对∀x＞0，有f（x）＞f（lna）=0，即e x﹣1＞x，即＞1，当e﹣1＜a＜＜e﹣1时，函数F（x）有两个不同的零点；当a=e﹣1或a=时，函数F（x）有且仅有一个零点；当a＜e﹣1或a＞时，函数F（x）没有零点．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a=1时f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（0）=0；∴对x＞0时，有f（x）＞0，则e x﹣1＞x；故对任意x＞0，g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx＞0；所以，要证f[g（x）]＜f（x），只需证：∀x＞0，g（x）＜x；只需证：∀x＞0，ln（e x﹣1）﹣lnx＜x；即证：ln（e x﹣1）＜lnx+lne x；即证：∀x＞0xe x＞e x﹣1；所以，只要证：∀x＞0xe x﹣e x+1＞0；令H（x）=xe x﹣e x+1，则H′（x）=xe x＞0；故函数H（x）在（0，+∞）上单调递增；∴H（x）＞H（0）=0；∴对∀x＞0，xe x﹣e x+1＞0成立，即g（x）＜x，∴f[g（x）]＜f（x）．。

2014-2015学年山东省潍坊市高二上学期期末统考数学(文)一、选择题（共10小题；共50分）1. 命题“若x>y，则x2>y2”的逆否命题是 ( )A. 若x≤y，则x2≤y2B. 若x2>y2，则x>yC. 若x2>y2，则x≥yD. 若x2≤y2，则x≤y2. 设a,b∈R，且b<a<0，则 ( )A. 1a >1bB. ab>b2C. ba<1 D. ba+ab>23. 已知数列a n是公比为2的等比数列，若a3a4a5=8，则a6等于 ( )A. 4B. 8C. 12D. 164. 曲线y=e x+3在0,4处的切线方程为 ( )A. 2x+y−4=0B. 2x−y+4=0C. x−y+4=0D. x+y−4=05. 椭圆x24+y23=1的两个焦点为F1，F2，点P是椭圆上任意一点（非左右顶点），则△PF1F2的周长为 ( )A. 8B. 6C. 4D. 36. “ x2−x−2>0”是“ x>2”的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 如图，一艘轮船从N处开始按照北偏西35∘的方向以每小时30海里的速度航行，灯塔M原来在轮船的北偏东25∘方向上，经过30分钟后，灯塔在轮船的北偏东70∘方向上，则灯塔M距离N 处的海里数为 ( )A. 153+12B. 153−12C. 303+1D. 303−18. 设x，y满足约束条件x−y+2≥0,x+y−2≥0,x≤4,则z=x−2y的最小值是 ( )A. −4B. −6C. −8D. −109. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos2B2=a+c2c，则△ABC的形状为 ( )A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形10. 如图，一条直线与抛物线y2=2px p>0交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB于D，若点D的坐标为2,1，则抛物线方程为 ( )A. y2=54x B. y2=52x C. y2=5x D. y2=10x二、填空题（共5小题；共25分）11. 命题" ∃x∈R， x >0 "的否定是．12. 等差数列a n中，a1=1，a5=9，若数列1a n⋅a n+1的前n项和为S n，则S10=．13. 已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线方程为y=12x，则双曲线的离心率为．14. 若函数f x=x3−3bx+3b在区间0,1内有极值，则b的取值范围是．15. 给出下列四个命题：①不等式m−1x2−1−m x+m>0对任意实数x都成立，则实数m的范围是m>1；②如果实数x，y满足x−22+y2=3，则yx的最大值为3；③等差数列a n的前n项和为S n，若S13>0，S14<0，则S7为S n的最大值；④若0<x<12，则x 1−4x2的最大值是14．其中正确的命题序号是（把所有正确命题的序号都填上）．三、解答题（共6小题；共78分）16. 已知条件p：实数x满足x−a x−3a<0，其中a>0；条件q：实数x满足x2−5x+6<0．（1）若a=1，且“ p∧q”为真，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分条件，求实数a的取值范围．17. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2−b−c2bc=1．（1）求角A；（2）若a=2，c=3，求sin B．18. 已知数列a n的前n项和为S n，且S n=32a n−1，设b n+1=2log3a n n∈N∗．（1）证明：数列b n是等差数列；（2）若c n是a n与b n的等比中项，求数列c n2的前n项和为T n．19. 已知函数f x=ln x+a+1x−1a>−1．（1）当a=0，求f x的单调区间；（2）当x∈e,+∞时，有x⋅f x≥2a恒成立（e=2.71828），求a的取值范围．20. 某企业原来每年可生产某种设备65件，每件设备的销售价格为10万元．为了增加企业效益，该企业今年准备投入资金x万元对生产工艺进行革新，已知每投入10万元资金生产的设备就增加1件，同时每件设备的生产成本a万元与投入资金x万元之间的关系是a=x+25．若设备的销售价格不变，生产的设备能全部卖出，投入资金革新后的年利润为y万元（年利润=年销售额−年投入资金额−年生产成本）．（1）试将该企业的年利润y万元表示为投入资金x万元的函数；（2）该企业投入资金为多少万元时，企业的年利润最大?并求出最大利润．21. 椭圆x2a +y2b=1a>b>0的离心率为22，C，D分别是椭圆的左、右顶点，过椭圆右焦点F作弦AB（A，B，C，D不重合）．当直线AB与x轴垂直时， AB =2．（1）求椭圆的方程；（2）当△OAB的面积为23时，求直线AB的方程；（3）设真线AC，AD，BC，BD的斜率分别为k1，k2，k3，k4，证明：k1⋅k2⋅k3⋅k4为定值．答案第一部分1. D2. D3. B4. C 【解析】yʹ=e x，切线斜率k=fʹ0=e0=1，所以切线方程为y−4=x，即x−y+4=0．5. B6. B7. A 【解析】设经过30分钟后轮船到达点P处，则依题意，∠MPN=90∘−70∘+90∘−35∘=75∘，又∠MNP=60∘，所以∠PMN=180∘−75∘−60∘=45∘，由正弦定理得 MNsin75=NP sin45∘，又NP=30×12=15，所以MN=15×6+24×2=153+12．8. C 【解析】依题意画出可行域如下图阴影部分．结合图象知，当目标函数y=12x−z2过点A4,6时，截距−z2取到最大值，即z取到最小值−8．9. A 【解析】cos2B2=a+c2c即1+cos B2=a+c2c，由正弦定理得1+cos B2=sin A+sin C2sin C，即sin C+sin C cos B=sin A+sin C，所以sin C cos B=sin A=sin B+C=sin B cos C+cos B sin C，即sin B cos C=0，因为sin B≠0，所以cos C=0，C=π2，即△ABC为直角三角形．10. B【解析】设A x1,y1，B x2,y2，依题意，k OD=12，k AB=−2，所以直线AB方程为y−1=−2x−2，即y=−2x+5，代入抛物线方程得4x2−20+2p x+25=0，所以x1+x2=10+p2,x1x2=254. ⋯⋯①又因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=5x1x2−10x1+x2+25=0，将①代入得5×254−10×10+p2+25=0，解得p=54，所以抛物线方程为y2=52x．第二部分11. ∀x∈R， x ≤012. 1021【解析】依题意，4d=a5−a1=8，d=2，a n=1+2n−1=2n−1，所以1a n⋅a n+1=12n−12n+1=1212n−1−12n+1，所以S n=121−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1=121−12n+1，S10=12×1−121=1021．13. 5214. 0,115. ②③④【解析】①m=1时不等式也成立；②x−22+y2=3表示以C2,0为圆心，以3为半径的圆，则yx表示圆上任意一点与原点连线的斜率，当直线与圆相切且过第一象限的时yx取到最大值，设切点为P，此时OC=2，CP=3，所以OP=1，yx 的最大值为CPOP=3；③若S13>0，S14<0，则a1+a13=2a7>0，a1+a14=a7+a8<0，所以a8<0，则S7为S n的最大值；④若0<x<12，则x 1−4x2= x2−4x4=−4 x2−182+116，故当x2=18时，x 2取到最大值14．第三部分16. （1）由x−a x−3a<0且a>0，可解得a<x<3a，当a=1时，有1<x<3，由x2−5x+6<0，可得2<x<3，又由" p∧q "为真，得p真且q真，所以实数x的取值范围是2<x<3．（2）由q是p的充分条件，可得q⇒p，从而有a≤2,3a≥3,即1≤a≤2，所以实数a的取值范围是1≤a≤2．17. （1）因为a2−b−c2=bc，所以a2=b2+c2−bc，所以cos A=b2+c2−a22bc =12，所以A=π3．（2）由正弦定理得asin A =csin C，所以3=3sin C，所以sin C=34，又因为c=3<2=a，所以C为锐角，所以cos C=74，所以sin B=sinπ−A+C=sin A+C=sin A cos C+cos A sin C=32×74+12×34,所以sin B=3+218．18. （1）当n=1时，S1=a1=32a1−1，得a1=3，当n≥2时，因为S n=32a n−1，所以S n−1=32a n−1−1，所以S n−S n−1=a n=32a n−1−32a n−1−1，所以a na n−1=3，所以a n为等比数列，且公比为3，所以a n=3⋅3n−1=3n，所以b n=2log33n−1=2n−1，因为b n+1−b n=2n+1−1−2n−1=2（常数），所以数列b n是首项为1，公差为2的等差数列．（2）因为c n是a n与b n的等比中项，所以c n2=a n⋅b n=2n−1⋅3n，所以T n=1×3+3×32+5×33+⋯+2n−3×3n−1+2n−1×3n, ⋯⋯①则3T n=1×32+3×33+⋯+2n−5×3n−1+2n−3×3n+2n−1×3n+1, ⋯⋯②①−②可得−2T n=3+232+33+⋯+3n−1+3n−2n−1×3n+1=3+2×321−3n−1−2n−1×3n+1=−6−2n−2⋅3n+1.所以T n=3+n−1⋅3n+1.19. （1）函数f x的定义域为0,+∞，当a=0时，则f x=ln x+1x −1，所以fʹx=1x−1x2=x−1x2，所以当x>1时，fʹx>0，所以f x在1,+∞上单调递增；当0<x<1时，fʹx<0，所以f x在0,1上单调递减．综上，f x的增区间为1,+∞，减区间为0,1．（2）因为x⋅f x≥2a，所以2a≤x ln x+a+1x−1=x⋅ln x−x+a+1，即a≤x⋅ln x−x+1，令g x=x⋅ln x−x+1，所以gʹx=ln x+x⋅1x−1=ln x，因为x∈e,+∞，所以gʹx=ln x>0，所以g x在e,+∞上单调递增．所以g x min=g e=e⋅lne−e+1=1．所以a≤1．20. （1）由条件知，投入x万元资金革新后生产设备65+110x 件，所以该企业的生产成本为x+2565+110x 万元，所以年利润y= 65+110x ×10−x − x +2565+110x =650−2 x +25x ∈ 0,+∞ .（2）x +25=x +25= x +25x +25≥2 625=50，当且仅当 x +25= x +25即x =600 时取等号，所以 y =650−52⋅ x +25≤650−52×50=525，所以企业投入 600 万元的资金才能使年利润最大，且最大年利润为 525 万元．21. （1） 由题意知 c a = 22，则 a = 2c ，b =c ，a 2=2b 2，把 x =c 代入椭圆方程解得 y =±b 2a，所以 AB =2b 2a= 2，解得 a 2=2，b 2=1，故椭圆的方程为x 22+y 2=1．（2） 当直线 AB 斜率不存在时，由题意知S △OAB =1 AB ⋅c =1× 2×1= 2;故弦 AB 的斜率一定存在，设直线 AB 的方程为 y =k x −1 ，将直线方程代入椭圆方程中，并整理得1+2k 2 x 2−4k 2x +2k 2−2=0,设 A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则 x 1+x 2=4k 21+2k ，x 1⋅x 2=2k 2−21+2k ．AB = k 2+1 x 1−x 2 = k 2+1⋅2 2 k 2+11+2k =2 2 k 2+1 1+2k ．点 O 到直线 AB 的距离 d = 1+k 2． 所以S △OAB=1⋅AB ⋅d =1⋅2 2 k 2+1 2⋅ 1+k 2= 2 k 1+k 22=2. 整理得 k 4+k 2−2=0，解得 k =±1，故直线 AB 的方程为 x −y −1=0 或 x +y −1=0． （3） 证明：由题意 C − 0 ，D 0 ，设 A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则 k 1=1x + 2，k 2=1x − 2，k 3=2x+ 2，k 4=2x− 2，所以 k 1⋅k 2⋅k 3⋅k 4=y 12x 12−2⋅y 22x 22−2，又因为 y 12=1−x 122，y 12=1−x 222，所以 k 1⋅k 2⋅k 3⋅k 4=−12x 12−2 x 12−2⋅−12x 22−2 x 22−2=14．。

2014-2015学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={x|≤0}，则A∩B=（）A．[﹣1，3]B．{﹣1，3}C．{﹣1，1}D．{﹣1，1，3}2．（5分）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b，则＞D．若a＞b＞0，则＞3．（5分）“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设等差数列{a n}的前n项为S n，已知a1=﹣11，a3+a7=﹣6，当S n取最小值时，n=（）A．5 B．6 C．7 D．85．（5分）若函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1）的大致图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的大致图象为（）A．B．C．D．6．（5分）△ABC中，∠C=90°，CA=CB=2，点M在边AB上，且满足=3，则•=（）A．B．1 C．2 D．7．（5分）若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x﹣2y的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）﹣f（﹣a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]9．（5分）已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣m在[0，]上有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．[1，2） C．（﹣1，2]D．[1，2]10．（5分）设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，已知f（x）=x5﹣mx4﹣x2在区间（﹣1，2）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．[﹣4，+∞）C．[，+∞）D．[﹣4，]二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=a n+，则{a n}的通项公式a n=．12．（5分）已知向量，满足||=1，||=3，|2﹣|=，则与的夹角为．13．（5分）已知函数f（x）=，则f（6）=．14．（5分）某中学举行升旗仪式，如图所示，在坡度为15°的看台上，从正对旗杆的一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离AB=10m，则旗杆CD的高度为m．15．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（1）=0；②直线x=﹣2为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[4，5]是单调递递增；④若方程f（x）=m在[﹣3，﹣1]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣4．以上命题正确的是．（请把所有正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=DE=2AB，且F是CD 的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．17．（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=，a=，S=，求b+c的值．△ABC18．（12分）已知命题p：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，对∀x∈R恒成立；命题q：关于x的方程x2+（a﹣1）x+1=0的一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．19．（12分）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S1，S2，S3成等差数列，16是a2和a8的等比中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{b n}中，b1=1，前9项和等于27，令c n=2a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．20．（13分）某化工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂厂家的生产成本有以下三个方面：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的平均费用是每单位（x+﹣30）元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200）．（Ⅰ）把生产每单位试剂的成本表示为x的函数关系P（x），并求出P（x）的最小值；（Ⅱ）如果产品全部卖出，据测算销售额Q（x）（元）关于产量x（单位）的函数关系为Q（x）=1240x﹣x3，试问：当产量为多少时生产这批试剂的利润最高？21．（14分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，2]时，讨论函数F（x）=f（x）﹣xlnx零点的个数；（Ⅲ）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，当a=1时，求证：f[g（x）]＜f（x）．2014-2015学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|x=2k﹣1，k∈Z}，B={x|≤0}，则A∩B=（）A．[﹣1，3]B．{﹣1，3}C．{﹣1，1}D．{﹣1，1，3}【解答】解：由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣3）≤0，且x﹣3≠0，解得：﹣1≤x＜3，即B=[﹣1，3），∵A为奇数集合，∴A∩B={﹣1，1}，故选：C．2．（5分）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b，则＞D．若a＞b＞0，则＞【解答】解：A．c=0时不成立；B．∵a＜b＜0，∴a2＞ab＞b2，正确；C．取a=﹣1，b=﹣2时，=﹣1，=﹣，则＞不成立；D．若a＞b＞0，则＜，因此不正确．故选：B．3．（5分）“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：f（x）=2sin（x+）=2cosx，其图象对称轴是x=kπ，k∈Z，“直线x=2kπ（k∈Z）”是“函数f（x）=2sin（x+）图象的对称轴”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项为S n，已知a1=﹣11，a3+a7=﹣6，当S n取最小值时，n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：由等差数列的性质得，2a5=a3+a7=﹣6，则a5=﹣3，又a1=﹣11，所以d==2，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣13，S n==n2﹣12n，所以当n=6时，S n取最小值，故选：B．5．（5分）若函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1）的大致图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：由图象可知0＜a＜1且0＜f（0）＜1，即即解②得log a1＜log a b＜log a a，∵0＜a＜1∴由对数函数的单调性可知a＜b＜1，结合①可得a，b满足的关系为0＜a＜b＜1，由指数函数的图象和性质可知，g（x）=a x+b的图象是单调递减的，且一定在x 轴上方．故选：B．6．（5分）△ABC中，∠C=90°，CA=CB=2，点M在边AB上，且满足=3，则•=（）A．B．1 C．2 D．【解答】解：由题意得AB=2，△ABC是等腰直角三角形，•=（）•=0+=×=1．故选：B．7．（5分）若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x﹣2y的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x﹣2y为，由图可知，当直线过C（2，）时，直线在y轴上的截距直线，z最大．∴．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）﹣f（﹣a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]【解答】解：∵f（1）=﹣3，∴f（a）﹣f（﹣a）≤﹣6，a≥0时，﹣a2﹣2a﹣[（﹣a）2+2a]≤﹣6，整理得：a2+2a﹣3≥0，解得：a≥1，a＜0时，a2﹣2a﹣[﹣（﹣a）2+2a]≤﹣6，整理得：a2﹣2a+3≤0，无解，故选：A．9．（5分）已知函数f（x）=sin2x+cos2x﹣m在[0，]上有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．[1，2） C．（﹣1，2]D．[1，2]【解答】解：由题意可得函数g（x）=2sin（2x+）与直线y=m在[0，]上两个交点．由于x∈[0，]，故2x+∈[，]，故g（x）∈[﹣1，2]．令2x+=t，则t∈[，]，函数y=h（t）=2sint 与直线y=m在[，]上有两个交点，如图：要使的两个函数图形有两个交点必须使得1≤m＜2，故选：B．10．（5分）设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，已知f（x）=x5﹣mx4﹣x2在区间（﹣1，2）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．[﹣4，+∞）C．[，+∞）D．[﹣4，]【解答】解：∵f（x）=x5﹣mx4﹣x2，∴f′（x）=x4﹣mx3﹣3x，∴f″（x）=x3﹣mx2﹣3（3分）若f（x）为区间（﹣1，3）上的“凸函数”，则有f″（x）=x3﹣mx2﹣3＜0在区间（﹣1，2）上恒成立，当x=0时，f″（0）=﹣3＜0，恒成立，当x≠0时，mx2＞x3﹣3，即m＞x﹣，设g（x）=x﹣，则g′（x）=1+=当x∈（0，2），g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，当x=2时，函数g（2）=2﹣=当x∈（﹣1，0），g（x）＜0，故函数g（x）在（﹣1，2）的最大值为g（2）=，故m≥，故实数m的取值范围为[，+∞]故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=a n+，则{a n}的通项公式a n=．【解答】解：已知数列{a n}的前n项和S n=a n+，①根据递推关系式：（n≥2）②所以：①﹣②得：整理得：数列{a n}是以a1为首项，公比为的等比数列．当n=1时，解得：a1=1所以：=故答案为：12．（5分）已知向量，满足||=1，||=3，|2﹣|=，则与的夹角为．【解答】解：设与的夹角为θ，则由题意可得4﹣4+=10，即4﹣4×1×3×cosθ+18=10，求得cosθ=，再结合θ∈[0，π），可得θ=，故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）=，则f（6）=1．【解答】解：函数f（x）=，则f（6）=f（5）=f（4）==1．故答案为：1．14．（5分）某中学举行升旗仪式，如图所示，在坡度为15°的看台上，从正对旗杆的一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离AB=10m，则旗杆CD的高度为30m．【解答】解：如图所示，依题意可知∠PCB=45°，∠PBC=180°﹣60°﹣15°=105°∴∠CPB=180°﹣45°﹣105°=30°由正弦定理可知BP=•sin∠BCP=20米∴在Rt△BOP中，OP=PB•sin∠PBO=20×=30米即旗杆的高度为30米故答案为：30．15．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（1）=0；②直线x=﹣2为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[4，5]是单调递递增；④若方程f（x）=m在[﹣3，﹣1]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣4．以上命题正确的是①②④．（请把所有正确命题的序号都填上）【解答】解：对于①，∵f（x+2）=f（x）+f（1），∴f（﹣1+2）=f（﹣1）+f（1），∴f（﹣1）=0，又f（x）为偶函数，∴f（﹣1）=f（1）=0，故①正确；且当x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，对于②，由①知f（1）=0，∴f（x+2）=f（x），∴y=f（x）为周期为2的偶函数，∴f（﹣2﹣x）=f（2+x）=f（﹣2+x），∴y=f（x）关于x=﹣2对称，故②正确；对于③，∵f（x+2）=f（x），∴y=f（x）为周期为2的函数，又x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，∴函数y=f（x）在[4，5]是单调递减函数，故③错误；对于④，∵偶函数y=f（x）在区间[0，1]上单调递减，∴y=f（x）在区间[﹣1，0]上单调递增，又y=f（x）为周期为2的函数，∴y=f（x）在区间[﹣3，﹣2]上单调递增，在区间[﹣2，﹣1]上单调递减，又y=f（x）关于x=﹣2对称，∴当方程f（x）=m在[﹣3，﹣1]上的两根为x1，x2时，x1+x2=﹣4，故④正确．综上所述，①②④正确．故答案为：①②④．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC=AD=DE=2AB，且F是CD 的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．【解答】证明：（Ⅰ）取EC中点G，连BG，GF．∵F是CD的中点，∴FG∥DE，且FG=DE．又∵AB∥DE，且AB=DE．∴四边形ABGF为平行四边形．∴AF∥BG．又BG⊂平面BCE，AF⊄平面BCE．∴AF∥平面BCE．（Ⅱ）∵AB⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF．∵AB∥DE，∴AF⊥DE．又∵AC=AD，∴AF⊥CD．∵BG∥AF，∴BG⊥DE，BG⊥CD．∵CD∩DE=D，∴BG⊥平面CDE．∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．17．（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（A）=，a=，S=，求b+c的值．△ABC【解答】解：（1）∵=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），∴f（x）=•=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（2）由f（A）=，得到sin（2A+）+=，即sin（2A+）=，∴2A+=，即A=，∵a=，S=，△ABC∴由三角形面积公式得：bcsinA=，即bc=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣6，即（b+c）2=9，解得：b+c=3．18．（12分）已知命题p：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，对∀x∈R恒成立；命题q：关于x的方程x2+（a﹣1）x+1=0的一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：由命题p知，函数（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4的最大值小于0；a=2时，﹣4＜0，∴符合题意；a≠2时，则a需满足：，解得﹣2＜a＜2；∴命题p：﹣2＜a≤2；根据命题q，设f（x）=x2+（a﹣1）x+1，所以：，解得；∴命题q：；若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假：p真q假时，，∴；p假q真时，，∴a∈∅；∴实数a的取值范围为．19．（12分）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S1，S2，S3成等差数列，16是a2和a8的等比中项．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等差数列{b n}中，b1=1，前9项和等于27，令c n=2a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1＞0，S4，S2，S3成等差数列，则：2S2=S3+S4解得：q=﹣2或1（舍去）由于：16是a2和a8的等比中项解得：a1=1所以：（Ⅱ）等差数列{b n}中，设公差为d，b1=1，前9项和等于27．则：解得：d=所以：令c n=2a n b n==（n+1）（﹣2）n﹣1T n=c1+c2+…+c n﹣1+c n=2•（﹣2）0+3•（﹣2）1+…+（n+1）（﹣2）n﹣1①﹣2T n=2•（﹣2）1+3•（﹣2）2+…+（n+1）（﹣2）n②①﹣②得：3]﹣（n+1）（﹣2）n解得：20．（13分）某化工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂厂家的生产成本有以下三个方面：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的平均费用是每单位（x+﹣30）元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200）．（Ⅰ）把生产每单位试剂的成本表示为x的函数关系P（x），并求出P（x）的最小值；（Ⅱ）如果产品全部卖出，据测算销售额Q（x）（元）关于产量x（单位）的函数关系为Q（x）=1240x﹣x3，试问：当产量为多少时生产这批试剂的利润最高？【解答】解：（Ⅰ）P（x）=[50x+7500+20x+x（x+﹣30）]÷x=x++40，∵50≤x≤200，∴x=90时，P（x）的最小值为220元；（Ⅱ）生产这批试剂的利润L（x）=1240x﹣x3﹣（x2+40x+8100），∴L′（x）=1200﹣x2﹣2x=﹣（x+120）（x﹣100），∴50≤x＜100时，L′（x）＞0，100＜x≤200时，L′（x）＜0，∴x=100时，函数取得极大值，也是最大值，即产量为100单位时生产这批试剂的利润最高．21．（14分）已知函数f（x）=e x﹣1﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，2]时，讨论函数F（x）=f（x）﹣xlnx零点的个数；（Ⅲ）若g（x）=ln（e x﹣1）﹣lnx，当a=1时，求证：f[g（x）]＜f（x）．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（﹣∞，+∞），a=1时，f′（x）=（e x﹣x﹣1）′′=e x ﹣1．由f′（x）＜0，得e x﹣1＜0，e x＜1，∴x＜0，所以函数的单调减区间为（﹣∞，0），单调增区间是（0，+∞）．（Ⅱ）函数F（x）=f（x）﹣xlnx的定义域为（0，+∞），由F（x）=0，得a=﹣lnx（x＞0），令h（x）=﹣lnx（x＞0），则h′（x）=，由于x＞0，e x﹣1＞0，可知当x＞1，h′（x）＞0；当0＜x＜1时，h′（x）＜0，故函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增，故h（x）≥h（1）=e﹣1．又h（2）=当a=1时，对∀x＞0，有f（x）＞f（lna）=0，即e x﹣1＞x，即＞1，当e﹣1＜a＜＜e﹣1时，函数F（x）有两个不同的零点；当a=e ﹣1或a=时，函数F （x ）有且仅有一个零点； 当a ＜e ﹣1或a ＞时，函数F （x ）没有零点．（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当a=1时f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （0）=0； ∴对x ＞0时，有f （x ）＞0，则e x ﹣1＞x ； 故对任意x ＞0，g （x ）=ln （e x ﹣1）﹣lnx ＞0； 所以，要证f [g （x ）]＜f （x ）， 只需证：∀x ＞0，g （x ）＜x ；只需证：∀x ＞0，ln （e x ﹣1）﹣lnx ＜x ； 即证：ln （e x ﹣1）＜lnx +lne x ； 即证：∀x ＞0xe x ＞e x ﹣1；所以，只要证：∀x ＞0xe x ﹣e x +1＞0； 令H （x ）=xe x ﹣e x +1，则H′（x ）=xe x ＞0； 故函数H （x ）在（0，+∞）上单调递增； ∴H （x ）＞H （0）=0；∴对∀x ＞0，xe x ﹣e x +1＞0成立，即g （x ）＜x ， ∴f [g （x ）]＜f （x ）．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xxx x(q)0x第21页（共21页）则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

2014-2015学年山东省潍坊一中高二（下）4月月考数学试卷（理科）一、选择题：（共50分，每题5分）1．若（x+）n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）A．10 B．20 C．30 D．1202．高三（一）班学要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）A．1800 B．3600 C．4320 D．50403．设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），则c的值是（）A．1 B．2 C．3 D．44．已知随机变量ξ的概率分布如下，则P（ξ=10）=（）ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10P m A．B．C．D．5．若对于任意实数x，有x3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3，则a2的值为（）A．3 B．6 C．9 D．126．现有4名教师参加说课比赛，共有4个备选课题，若每位选手从中有放回地随机选出一个课题进行说课，其中恰有一个课题没有被这4位选中的情况有（）A．288种B．144种C．72种D．36种7．在的展开式中，x的幂指数是整数的有（）A．3项B．4项C．5项D．6项8．一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是（）A．B．C．D．9．一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未击中9环或10环就以0环记．该运动员在练习时击中10环的概率为a，击中9环的概率为b，既未击中9环也未击中10环的概率为c（a，b，c∈[0，1）），如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为9环，则当+取最小值时，c的值为（）A．B．C．D．010．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是（）自然状况方案盈利（万元）概率A1A2A3A4S10.25 50 70 ﹣20 98S20.30 65 26 52 82S30.45 26 16 78 ﹣10 A．A1B．A2C．A3D．A4二、填空题：（共25分，每题5分）11．已知（1﹣x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则（a0+a2+a4）（a1+a3+a5）的值等于．12．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lga﹣lgb 的不同值的个数是．13．省工商局于2003年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的x饮料的合格率为80%，现有甲、乙、丙3人聚会，选用6瓶x饮料，并限定每人喝2瓶．则甲喝2瓶合格的x饮料的概率是．14．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．15．某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．则3个景区都有部门选择的概率是．三.解答题：（共75分）16．用0、1、2、3、4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的整数？（Ⅰ）所有的四位数；（Ⅱ）比21000大的没有重复的五位数．17．已知的展开式的二项式系数和比（3x﹣1）n的展开式的二项式系数和大992．求的展开式中：（Ⅰ）二项式系数最大的项．（Ⅱ）求含的项．18．某鱼类养殖户在一个鱼池中养殖一种鱼，每季养殖成本为10000元，此鱼的市场价格和鱼池的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：鱼池产量（kg）300 500概率0.5 0.5鱼的市场价格（元/（kg）60 100概率0.4 0.6（Ⅰ）设X表示在这个鱼池养殖1季这种鱼的利润，求X的分布列和期望；（Ⅱ）若在这个鱼池中连续3季养殖这种鱼，求这3季中至少有2季的利润不少于20000元的概率．19．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生60 20 80北方学生10 10 20合计70 30 100（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：X2=P（x2＞k）0.100 0.050 0.010k 2.706 3.841 6.63520．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得，，，．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．21．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，502）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0．（Ⅰ）求p0的值；（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）（Ⅱ）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？2014-2015学年山东省潍坊一中高二（下）4月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（共50分，每题5分）1．若（x+）n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）A．10 B．20 C．30 D．120考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：根据二项式的展开式的二项式系数是64，写出二项式系数的表示式，得到次数n的值，写出通项式，当x的指数是0时，得到结果．解答：解：∵C n°+C n1+…+C n n=2n=64，∴n=6．T r+1=C6r x6﹣r x﹣r=C6r x6﹣2r，令6﹣2r=0，∴r=3，常数项：T4=C63=20，故选B．点评：本题是一个典型的二项式问题，主要考查二项式的性质，注意二项式系数和项的系数之间的关系，这是容易出错的地方，本题考查展开式的通项式，这是解题的关键．2．高三（一）班学要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）A．1800 B．3600 C．4320 D．5040考点：排列及排列数公式．分析：两个舞蹈节目不连排，可采用插空法．其它五个节目的安排方式有A55种，5个节目有6个空，从6个空中选择两个安排舞蹈节目即可．解答：解：不同排法的种数为A55A62=3600，故选B点评：本题考查有特殊要求的排列问题，属基本题．安排不相连，用插孔法，相连用捆绑法．3．设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），则c的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：随机变量ξ服从正态分布N（2，9），得到曲线关于x=2对称，根据P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），结合曲线的对称性得到点c与点c﹣2关于点2对称的，从而做出常数c的值得到结果．解答：解：随机变量ξ服从正态分布N（2，9），∴曲线关于x=2对称，∵P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），∴，∴c=3故选：C．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．4．已知随机变量ξ的概率分布如下，则P（ξ=10）=（）ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10P m A．B．C．D．考点：离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：由题意知，本题需要先计算出其它的概率之和，根据表格可以看出9个变量对应的概率组成一个首项是，公比是的等比数列，根据等比数列的求和公式，得到答案．解答：解：∵由题意知，本题需要先计算出其它的概率之和，∴根据表格可以看出9个变量对应的概率组成一个首项是，公比是的等比数列，∴S==1﹣，∵S+m=1，∴m=，故选C．点评：本题考查离散型随机变量的分布列的性质，在一个试验中所有的变量的概率之和是1，本题又考查等比数列的和，是一个综合题．5．若对于任意实数x，有x3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3，则a2的值为（）A．3 B．6 C．9 D．12考点：二项式定理的应用．分析：由等式右边可以看出是按照x﹣2的升幂排列，故可将x写为2+x﹣2，利用二项式定理的通项公式可求出a2的值．解答：解：x3=（2+x﹣2）3，故a2=C322=6故选B点评：本题考查二项式定理及通项公式的运用，观察等式右侧的特点，将x3=（2+x﹣2）3是解题的关键．6．现有4名教师参加说课比赛，共有4个备选课题，若每位选手从中有放回地随机选出一个课题进行说课，其中恰有一个课题没有被这4位选中的情况有（）A．288种B．144种C．72种D．36种考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：利用间接法，先确定4个老师无遗漏的选择，再去掉恰好2、3、4道题未被选的情况，即可得出结论．解答：解：由题意，每个老师都有4种选择，所以4个老师无遗漏的选择是44种，其中恰好2道题未被选的有（+）=84、恰好3道未被选（四人选了同一道题，有4种）、恰好0道题未被选的（四道题都被选，有=24种）．故共有256﹣84﹣4﹣24=144种．故选：B．点评：本题考查计数原理的应用，考查间接法，解题的关键是去掉恰好2、3、4道题未被选的情况，属于中档题．7．在的展开式中，x的幂指数是整数的有（）A．3项B．4项C．5项D．6项考点：二项式定理的应用．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为整数得展开式中x的幂的指数是整数的项解答：解：当r=0，6，12，18，24时，x的指数分别是整数故x的幂的指数是整数的有5项故选项为C．点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．8．一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是（）A．B．C．D．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：先由条件求得灯不亮的概率，再用1减去此概率，即得所求．解答：解：开关C断开的概率为，开关D断开的概率为，开关A、B至少一个断开的概率为1﹣=，开关E、F至少一个断开的概率为1﹣=，故灯不亮的概率为=，故灯亮的概率为1﹣=，故选：B．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，等可能事件的概率，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．9．一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未击中9环或10环就以0环记．该运动员在练习时击中10环的概率为a，击中9环的概率为b，既未击中9环也未击中10环的概率为c（a，b，c∈[0，1）），如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为9环，则当+取最小值时，c的值为（）A．B．C．D．0考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：由已知条件知，由此利用均值定理求出+在a=9b时取最小值，由此能求出解得a=，b=，c=．解答：解：∵该运动员在练习时击中10环的概率为a，击中9环的概率为b，既未击中9环也未击中10环的概率为c（a，b，c∈[0，1）），该运动员一次射箭击中环数的期望为9环，∴10a+9b=9，即，∴+=（+）（）=+++≥+2=+2×=，当且仅当时取“=”，此时a=9b，解得a=，b=，c=．故选：A．点评：考查离散型随机变量的分布列和数学期望的应用，是中档题，解题时要注意均值定理的合理运用．10．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是（）自然状况方案盈利（万元）概率A1A2A3A4S10.25 50 70 ﹣20 98S20.30 65 26 52 82S30.45 26 16 78 ﹣10A．A1B．A2C．A3D．A4考点：概率的意义．专题：概率与统计．分析：利用表格数据，计算期望，比较期望大小，即可得出结论．解答：解：利用方案A1，期望为50×0.25+65×0.30+26×0.45=42.7；利用方案A2，期望为70×0.25+26×0.30+16×0.45=32.5；利用方案A3，期望为﹣20×0.25+52×0.30+78×0.45=45.7；利用方案A4，期望为98×0.25+82×0.30﹣10×0.45=44.6；因为A3的期望最大，所以应选择的方案是A3，故选：C点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题：（共25分，每题5分）11．已知（1﹣x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则（a0+a2+a4）（a1+a3+a5）的值等于﹣256．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：本题考查二项展开式中奇数项和与偶数项的和的问题，一般用赋值法，只要分别令x=1和﹣1即可．解答：解：令x=1得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0，①再令x=﹣1得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=25=32，②①+②得a0+a2+a4=16①﹣②得a1+a3+a5=﹣16故（a0+a2+a4）（a1+a3+a5）的值等于﹣256故答案为：﹣256点评：本题考查赋值法在求二项式系数和中的应用，对赋值法要能做到熟练应用．12．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lga﹣lgb 的不同值的个数是18．考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：因为lga﹣lgb=lg，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数可看作共可得到多少个不同的数，从1，3，5，7，9这五个数中任取2个数排列后（两数在分子和分母不同），减去相同的数字即可得到答案．解答：解：首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共A52=20有种排法，因为=，=，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是：20﹣2=18，故答案为：18．点评：本题考查了排列、组合及简单的计数问题，解答的关键是想到把相等的数字去掉，属基础题．13．省工商局于2003年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的x饮料的合格率为80%，现有甲、乙、丙3人聚会，选用6瓶x饮料，并限定每人喝2瓶．则甲喝2瓶合格的x饮料的概率是0.64．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：记“第一瓶X饮料合格”为事件A1，“第二瓶X饮料合格”为事件A2，A1与A2是相互独立事件，甲喝2瓶X饮料都合格就是事件A1、A2同时发生，根据相互独立事件的概率乘法公式P（A1A2）=P（A1）•P（A2）进行求解即可．解答：解：“第一瓶X饮料合格”为事件A1，“第二瓶X饮料合格”为事件A2，P（A1）=P（A2）=0.8，A1与A2是相互独立事件，则“甲喝2瓶X饮料都合格就是事件A1、A2同时发生，根据相互独立事件的概率乘法公式得：P（A1A2）=P（A1）•P（A2）=0.8×0.8=0.64，故答案为：0.64点评：本题主要考查了等可能事件发生的概率，相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．14．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有390种（用数字作答）．考点：组合及组合数公式．专题：计算题；压轴题．分析：由题意选出的颜色只能是2种或3种，然后分别求出涂色方法数即可．解答：解：用2色涂格子有C62×2=30种方法，用3色涂格子，第一步选色有C63，第二步涂色，共有3×2（1×1+1×2）=18种，所以涂色方法18×C63=360种方法，故总共有390种方法．故答案为：390点评：本题考查组合及组合数公式，考查分类讨论思想，是基础题．15．某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．则3个景区都有部门选择的概率是．考点：计数原理的应用；古典概型及其概率计算公式．专题：计算题；排列组合．分析：根据题意，首先由分步计数原理计算4个部门选择3个景区可能出现的结果数目，再记“3个景区都有部门选择”为事件A，由分步计数原理计算可得其包含的情况数目，进而由古典概型公式计算可得答案．解答：解：根据题意，每个部门都有3种情况可选，则4个部门选择3个景区有34=81种不同的选法，记“3个景区都有部门选择”为事件A，如果3个景区都有部门选择，则某一个景区必须有2个部门选择，其余2个景区各有1个部门选择，分2步分析：①、从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有C42=6种分法，②、每组选择不同的景区，共有A33=6种选法，∴3个景区都有部门选择可能出现的结果数为6×6=36种；则P（A）==；故答案为：．点评：本题考查古典概型的计算以及排列、组合的运用，关键要利用分步计数原理和排列组合公式计算出“3个景区都有部门选择”的选法数目．三.解答题：（共75分）16．用0、1、2、3、4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的整数？（Ⅰ）所有的四位数；（Ⅱ）比21000大的没有重复的五位数．考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；排列组合．分析：（Ⅰ）根据题意，先分析首位数字，由于首位数字不能为0，有4种情况，再分析其他的数位，在剩下的4个数字中任选3个，安排在其他3个数位上；由分步计数原理计算可得答案；（Ⅱ）根据题意，分2种情况讨论：①、首位数字为3或4时，②、首位数字为2时，分别求出每种情况下的五位数的数目，由分类计数原理计算可得答案．解答：解：（Ⅰ）根据题意，要用0、1、2、3、4组成四位数，则首位数字不能为0，有4种情况，在剩下的4个数字中任选3个，安排在其他3个数位上，有A43=24种情况，则一共有4×24=96个四位数；（Ⅱ）根据题意，要求“21000大的没有重复的五位数”的数目，分2种情况讨论：①、首位数字为3或4时，将剩下的4个数字进行全排列，安排在其他4个数位上，有A44=24种情况，则首位数字为3或4时，有2×24=48个符合要求的五位数；②、首位数字为2时，第二位数字必须是1、3、4中1个，有3种情况，将剩下的3个数字进行全排列，安排在其他3个数位上，有A33=6种情况，则首位为2时，有3×6=18个符合要求的五位数；则共有48+18=66个比21000大的没有重复的五位数．点评：本题考查排列、组合的运用，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，注意数字0的限制．17．已知的展开式的二项式系数和比（3x﹣1）n的展开式的二项式系数和大992．求的展开式中：（Ⅰ）二项式系数最大的项．（Ⅱ）求含的项．考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：（Ⅰ）根据（+x2）2n展开式的二项式系数和比（3x﹣1）n的展开式的二项式系数和大992，求出n的值，即可确定出二项式系数最大的项；（Ⅱ）根据二项式展开法则确定出含的项即可．解答：解：（Ⅰ）由题意得：22n﹣2n=992，即2n=32，解得：n=5，则二项式系数最大的项为T6=﹣•25=﹣8064；（Ⅱ）含的项为T7=•24•=3360•．点评：此题考查了二项式定理的应用，熟练掌握二项式定理是解本题的关键．18．某鱼类养殖户在一个鱼池中养殖一种鱼，每季养殖成本为10000元，此鱼的市场价格和鱼池的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：鱼池产量（kg）300 500概率0.5 0.5鱼的市场价格（元/（kg）60 100概率0.4 0.6（Ⅰ）设X表示在这个鱼池养殖1季这种鱼的利润，求X的分布列和期望；（Ⅱ）若在这个鱼池中连续3季养殖这种鱼，求这3季中至少有2季的利润不少于20000元的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）设X表示在这个鱼池养殖1季这种鱼的利润，则X所有可能的取值为40000，20000，8000，进而可得其分布列和期望；（Ⅱ）设C i表示事件“第i季利润不少于20000元”（i=1，2，3），由题意知C1，C2，C3相互独立，由（Ⅰ）知，P（C i）=P（X=40000）+P（X=20000），进而可得答案．解答：解：（Ⅰ）因为利润=产量×市场价格﹣成本，所以X所有可能的取值为500×100﹣10000=40000，500×60﹣10000=20000300×100﹣10000=20000，300×60﹣10000=8000…（2分）P（X=40000）=0.5×0.6=0.3，P（X=20000）=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5P（X=8000）=0.5×0.4=0.2…（4分）所以X的分布列为X 40000 20000 8000P 0.3 0.5 0.2则E（X）=40000×0.3+20000×0.5+8000×0.2=23600…（6分）（Ⅱ）设C i表示事件“第i季利润不少于20000元”（i=1，2，3），由题意知C1，C2，C3相互独立，由（Ⅰ）知，P（C i）=P（X=40000）+P（X=20000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3）…（8分）3季的利润均不少于20000元的概率为，3季中有2季利润不少于20000元的概率为，所以3季中至少有2季的利润不少于20000元的概率为0.512+0.384=0.896…（12分）点评：本题考查的知识点是离散型随机变量的期望与方差，离散型随机变量及其分布列，难度不大，属于中档题．19．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生60 20 80北方学生10 10 20合计70 30 100（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：X2=P（x2＞k）0.100 0.050 0.010k 2.706 3.841 6.635考点：独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）根据表中数据，利用公式，即可得出结论；（Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可求解．解答：解：（Ⅰ）由题意，X2=≈4.762＞3.841，∴有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）从这5名学生中随机抽取3人，共有=10种情况，有2名喜欢甜品，有=3种情况，∴至多有1人喜欢甜品的概率．点评：本题考查独立性检验的应用，考查古典概型及其概率计算公式，考查学生的计算能力，属于中档题．20．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得，，，．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意可知n，，，进而可得，，代入可得b值，进而可得a值，可得方程；（Ⅱ）由回归方程x的系数b的正负可判；（Ⅲ）把x=7代入回归方程求其函数值即可．解答：解：（Ⅰ）由题意可知n=10，===8，===2，故l xx==720﹣10×82=80，l xy==184﹣10×8×2=24，故可得b=═=0.3，a==2﹣0.3×8=﹣0.4，故所求的回归方程为：y=0.3x﹣0.4；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=0.3＞0，即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关；（Ⅲ）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．点评：本题考查线性回归方程的求解及应用，属基础题．21．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，502）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0．（Ⅰ）求p0的值；（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）（Ⅱ）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？考点：简单线性规划；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：不等式的解法及应用；概率与统计．分析：（I）变量服从正态分布N（800，502），即服从均值为800，标准差为50的正态分布，适合700＜X≤900范围内取值即在（μ﹣2σ，μ+2σ）内取值，其概率为：95.44%，从而由正态分布的对称性得出不超过900的概率为p0．（II）设每天应派出A型x辆、B型车y辆，根据条件列出不等式组，即得线性约束条件，列出目标函数，画出可行域求解．解答：解：（Ⅰ）由于随机变量X服从正态分布N（800，502），故有μ=800，σ=50，P（700＜X≤900）=0.9544．由正态分布的对称性，可得p0=（P（X≤900）=P（X≤800）+P（800＜X≤900）=（Ⅱ）设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1600x+2400y．依题意，x，y还需满足：x+y≤21，y≤x+7，P（X≤36x+60y）≥p0．由（Ⅰ）知，p0=P（X≤900），故P（X≤36x+60y）≥p0等价于36x+60y≥900．于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数z=1600x+2400y达到最小值的x，y．作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P（5，12），Q（7，14），R（15，6）．由图可知，当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时，直线z=1600x+2400y在y轴上截距最小，即z取得最小值．故应配备A型车5辆，B型车12辆．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查简单线性规划．本题解题的关键是列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．。

潍坊市2015届高三二模数学(文史类）试题 2015.04本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集R U =，集合}1|||{≤=x x A ，}1log |{2≤=x x B ，则B A U 等于 A ．]1,0( B ．]1,1[-C ．]2,1(D ．]2,1[)1,( --∞2. 设i 是虚数单位，若复数)(310R a ia ∈--是纯虚数，则a 的值为 A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．33. 已知命题44,0:≥+>∀x x x p ；命题212),,0(:00=+∞∈∃x x q ，则下列判断正确的是 A ．p 是假命题 B ．q 是真命题 C ．)(q p ⌝∧是真命题 D ．q p ∧⌝)(是真命题4. 设n m ,是不同的直线，βα,是不同的平面，下列命题中正确的是A ．若n m n m ⊥⊥,,//βα，则βα⊥；B ．若n m n m //,,//βα⊥，则βα⊥；C ．若n m n m ⊥⊥,,//βα，则βα//；D ．若n m n m //,,//βα⊥，则βα//；5.若)2,0(πα∈，且103)22cos(cos 2=++απα，则=αtan A ．21 B ．31 C ．41 D ．51 6. 已知定义在R 上的函数)(x f y =满足)(2)2(x f x f =+，当]2,0[∈x 时，⎩⎨⎧∈+-∈=]2,1[,2)1.0[,)(2x x x x x x f ，则函数)(x f y =在]4,2[上的大致图像是7. 已知三棱锥S —ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，底面△ABC 是边长为1的正三角形，棱SC 是球O 的直径且SC=2，则此三棱锥的体积为A ．62B ．63C ．32D ．22 8.设实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-+≥+-04040423ay x y x y x ，已知y x z +=2的最大值是8，最小值是－5，则实数a 的值是A ．6B ．－6C ．－61D ．61 9. 已知两点M （0,1-），N )0,1(，若直线)2(-=x k y 上存在点P ，使得PN PM ⊥,则实数k 的取值范围是A ．]31,0()0,31[ - B ． ]33,0()0,33[ - C ． ]31,31[- D ．[]5,5- 10. 定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足：对),0(+∞∈∀x ，都有)(2)2(x f x f =；当]2,1(∈x 时，x x f -=2)(，给出如下结论：①对Z m ∈∀，有0)2(=m f ； ②函数)(x f 的值域为),0[+∞； ③存在Z n ∈，使得9)12(=+n f ；④函数)(x f 在区间),(b a 单调递减的充分条件是“存在Z k ∈，使得)2,2(),(1+⊆k k b a ，其中所有正确结论的序号是A ．①②④B ．①②C ． ①③④D ． ①②③ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.某校对高三年级1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知样本中女生比男生少10人，则该校高三年级的女生人数是 .12. 当输入的实数[2,30]x ∈时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是 .13. 已知G 为△ABC 的重心，令a AB =，b AC =，过点G 的直线分别交AB 、AC 于P 、Q 两点，且a m AP =，b n AQ =，则nm 11+=__________． 14. 抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，点O 是坐标原点，M 是抛物线C 的一点，且|MF|=4|OF|，△MFO 的面积为34，则抛物线的方程为 ；15. 已知函数201520144321)(20152014432x x x x x x x f +-+-+-+= ，若函数)(x f 的零点都在),,](,[Z b a b a b a ∈<内，则b a -的最小值是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）已知向量)0)(1,(cos ),cos ,sin 3(2>=-=ωωωωx n x x m ，把函数21)(+⋅=n m x f 化简为B tx A x f ++=)sin()(ϕ的形式后，利用“五点法”画)(x f y =在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表所示： x12π 127π ① ϕ+tx 02π 23π π2 )(x f 0 1 0 1-0 （Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求ω的值及函数)(x f y =在区间]6,2[ππ-上的值域；（Ⅱ）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知1)62(=+πA f ，2=c ，7=a ，求BC BA ⋅．17．（本小题满分12分） 如图，边长为2的正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，其中AB ∥CD ，AB ⊥BC ，DC=BC=21AB=1，点M 在线段EC 上.（Ⅰ）证明：平面BDM ⊥平面ADEF ；（Ⅱ）判断点M 的位置，使得三棱锥B —CDM 的体积为182.18．（本小题满分12分） 为了了解学生的校园安全意识，某学校在全校抽取部分学生进行了消防知识问卷调查，问卷由三道选择题组成，每道题答对得5分，答错得0分，现将学生答卷得分的情况统计如下：分数人数性别0分 5分 10分 15分 女生20 x 30 60 男生 10 25 35 y已知被调查的所有女生的平均得分为8.25分，现从所有答卷中抽取一份，抽到男生的答卷且得分是15分的概率为101. （Ⅰ）求y x ,的值；（Ⅱ）现要从得分是15分的学生中用分层抽样的方法抽取6人进行消防知识培训，再从这6人中随机抽取2人参加消防知识竞赛，求所抽取的2人中至少有1名男生的概率.19．（本小题满分12分）已知等比数列数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比0>q ，2222-=a S ，243-=a S ．（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式； （Ⅱ）令22log ,(2),n n na n n n c a n ⎧⎪+=⎨⎪⎩为奇数为偶数，n T 为数列{n c }的前n 项和，求n T 2.20．（本小题满分13分）已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，其焦点与双曲线C ：1222=-y x 的焦点重合，且椭圆E 的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过双曲线C 的右顶点A 作直线l 与椭圆E 交于不同的两点P 、Q .设点M （4,3），记直线PM 、QM 的斜率分别为21,k k ,求证：21k k +为定值，求出此定值.21．（本小题满分14分） 设)0(ln )(,21)(2>==a x a x g x x f ． （Ⅰ）求函数)()()(x g x f x F ⋅=的极值； （Ⅱ）若函数x a x g x f x G )1()()()(-+-=在区间),1(e e 内有两个零点，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）求证：当0>x 时，0143ln 2>-+xe x x .。

2014-2015学年山东省潍坊市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∪B=（）A．[﹣2，3]B．[﹣3，2]C．[﹣1，2]D．[﹣1，2）2．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x﹣1＞0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题3．函数的定义域为（）A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，1]4．函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为（）A．10 B．5 C．﹣1 D．5．已知x=lnπ，y=logπ，z=e，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x6．已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）7．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B．C．D．8．已知函数y=ax3﹣x在（﹣1，1）上是单调减函数，则实数a的取值范围（）A．a＜B．a=1 C．a= D．a≤9．已知正数x，y满足，则z=4﹣x•（）y的最小值为（）A．1 B．C．D．10．如果函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，那么mn的最大值为（）A．16 B．18 C．25 D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.）11．曲线y=x3+1在点（﹣1，0）处的切线方程为．12．设函数f（x）=，则不等式f（x）≤2的解集是．13．观察下列不等式：①1+＜；②1++＜；③1+++＜；…照此规律，第五个不等式为．14．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论：甲：f（3）=1；乙：函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数；丙：函数f（x）关于直线x=4对称；丁：若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[0，6]上所有根之和为4，其中结论正确的同学是．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知集合A={x|3≤x＜6}，B={y|y=2x，2≤x＜3}．（1）分别求A∩B，（∁R B）∪A；（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．17．已知命题p：函数y=x2﹣2x+a在区间（1，2）上有1个零点；命题q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求a的取值范围．18．已知函数f（x）=2x3+ax2+bx+3在x=﹣1和x=2处取得极值．（1）求f（x）的表达式和极值．（2）若f（x）在区间[m，m+4]上是单调函数，试求m的取值范围．19．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，若对于任意的x，y∈[﹣2，2]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，有f（x）＞0．（Ⅰ）证明：f（x）为奇函数；（Ⅱ）判断f（x）在[﹣2，2]上的单调性，并证明；（Ⅲ）设f（1）=1，若f（x）＜log a m（a＞0且a≠1）对∀x∈[﹣2，2]恒成立，求实数m的取值范围．20．某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x（万件）之间大体满足关系：P=（其中c为小于6的正常数）（注：次品率=次品数/生产量，如P=0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？21．已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx，a∈R．（Ⅰ）当a=﹣时，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）a=时，令h（x）=f（x）﹣3lnx+x﹣．求h（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若函数f（x）≤x﹣1对∀x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．2014-2015学年山东省潍坊市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016•海口校级模拟）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|﹣2≤x ＜2}，则A∪B=（）A．[﹣2，3]B．[﹣3，2]C．[﹣1，2]D．[﹣1，2）【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的并集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤3，即A=[﹣1，3]，∵B=[﹣2，2），∴A∪B=[﹣2，3]，故选：A．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2015春•潍坊期末）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x﹣1＞0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【分析】A中，写出该命题的否命题，即可判断A是否正确；B中，判断充分性和必要性是否成立，即可得出B是否正确；C中，写出该命题的否定命题，从而判断C是否正确．D中，判断原命题的真假性，即可得出它的逆否命题的真假性．【解答】解：对于A，该命题的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，∴A错误；对于B，x=﹣1时，x2﹣5x﹣6=0，充分性成立，x2﹣5x﹣6=0时，x=﹣1或x=6，必要性不成立，∴是充分不必要条件，B错误；对于C，该命题的否定是：“∀x∈R，均有x2+x﹣1≥0，∴C错误．对于D，x=y时，sinx=siny成立，∴它的逆否命题也为真命题，∴D正确．故选：D．【点评】本题考查了四种命题之间的关系，也考查了命题特称命题与全称命题的关系以及命题真假的判断，是基础题．3．（5分）（2009•江西）函数的定义域为（）A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，1]【分析】由题意知，解得﹣1＜x＜1，由此能求出函数的定义域．【解答】解：由题意知，函数的定义域为，解得﹣1＜x＜1，故选C．【点评】本题考查对数函数的定义域，解题时要注意不等式组的解法．4．（5分）（2016•江西模拟）函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为（）A．10 B．5 C．﹣1 D．【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，由此求得切线的斜率值，再根据x=1求得切点的坐标，最后结合直线的方程求出切线在x轴上的截距即得．【解答】解：∵f（x）=x3+4x+5，∴f′（x）=3x2+4，∴f′（1）=7，即切线的斜率为7，又f（1）=10，故切点坐标（1，10），∴切线的方程为：y﹣10=7（x﹣1），当y=0时，x=﹣，切线在x轴上的截距为﹣，故选D．【点评】本小题主要考查导数的几何意义、直线方程的概念、直线在坐标轴上的截距等基础知识，属于基础题．5．（5分）（2015春•潍坊期末）已知x=lnπ，y=logπ，z=e，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，判断出x、y、z与0、的大小关系即可得到答案．【解答】解：∵x=lnπ＞1，y=logπ＜0，z=e∈（0，1），∴y＜z＜x，故选：D．【点评】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用：比较大小，一般与中间量：0、1进行比较，属于基础题．6．（5分）（2014•北京）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）【分析】可得f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，由零点的判定定理可得．【解答】解：∵f（x）=﹣log2x，∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，满足f（2）f（4）＜0，∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C【点评】本题考查还是零点的判断，属基础题．7．（5分）（2013•福建）函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B．C．D．【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．8．（5分）（2015春•潍坊期末）已知函数y=ax3﹣x在（﹣1，1）上是单调减函数，则实数a的取值范围（）A．a＜B．a=1 C．a= D．a≤【分析】根据函数单调性和导数之间的关系进行求解．【解答】解：若函数y=ax3﹣x在（﹣1，1）上是单调减函数，则y′≤0在（﹣1，1）上恒成立，即3ax2﹣1≤0在（﹣1，1）上恒成立，即3ax2≤1，若a≤0，满足条件．若a＞0，则只要当x=1或x=﹣1时，满足条件即可，此时3a≤1，即0＜a≤，综上a≤，故选：D．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，利用导数和函数单调性的关系转化为f′（x）≤0恒成立是解决本题的关键．9．（5分）（2016•太原校级二模）已知正数x，y满足，则z=4﹣x•（）y的最小值为（）A．1 B．C．D．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：=2﹣2x•2﹣y=2﹣2x﹣y，设m=﹣2x﹣y，要使z最小，则只需求m的最小值即可．作出不等式组对应的平面区域如图：由m=﹣2x﹣y得y=﹣2x﹣m，平移直线y=﹣2x﹣m，由平移可知当直线y=﹣2x﹣m，经过点B时，直线y=﹣2x﹣m的截距最大，此时m最小．由，解得，即B（1，2），此时m=﹣2﹣2=﹣4，∴的最小值为，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用指数幂的运算性质，设出参数m=﹣2x﹣y是解决本题的关键，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．10．（5分）（2015•四川）如果函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，那么mn的最大值为（）A．16 B．18 C．25 D．【分析】函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，则f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在[，2]上恒成立．而（m ﹣2）x+n﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（）≤0，f′（2）≤0即可．结合基本不等式求出mn的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，∴f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在[，2]上恒成立．而（m﹣2）x+n﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（）≤0，f′（2）≤0即可．即由（2）得m≤（12﹣n），∴mn≤n（12﹣n）≤=18，当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经检验m=3，n=6满足（1）和（2）．故选：B．解法二：∵函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，∴①m=2，n＜8对称轴x=﹣，②即③即设或或设y=，y′=，当切点为（x0，y0），k取最大值．①﹣=﹣2．k=2x，∴y0=﹣2x0+12，y0==2x0，可得x0=3，y0=6，∵x=3＞2∴k的最大值为3×6=18②﹣=﹣．，k=，y0==，2y0+x0﹣18=0，解得：x0=9，y0=∵x0＜2∴不符合题意．③m=2，n=8，k=mn=16综合得出：m=3，n=6时k最大值k=mn=18，故选；B【点评】本题综合考查了函数方程的运用，线性规划问题，结合导数的概念，运用几何图形判断，难度较大，属于难题．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.）11．（5分）（2015春•潍坊期末）曲线y=x3+1在点（﹣1，0）处的切线方程为3x ﹣y+3=0．【分析】求出函数的导函数，进一步求出f′（﹣1），则切线斜率可求，由点斜式写出切线方程．【解答】解：由y=x3+1，得y′=3x2，所以f′（﹣1）=3×（﹣1）2=3，所以，曲线y=x3+1在点（﹣1，0）处的切线方程为y﹣0=3（x+1），即3x﹣y+3=0．故答案为：3x﹣y+3=0．【点评】本题考查利用导数求曲线上在某点的切线方程的斜率，求解该题时需要区分的是，求曲线在某点处的切线方程还是求过某点的切线方程，在某点处说明该点是切点，过某点说明该点不一定是切点，此题是中档题．12．（5分）（2015春•潍坊期末）设函数f（x）=，则不等式f（x）≤2的解集是[0，+∞）．【分析】根据题意，分情况讨论：x≤1时，f（x）=21﹣x≤2；x＞1时，f（x）=1﹣log2x≤2，分别求解即可．【解答】解：x≤1时，f（x）=21﹣x≤2，解得x≥0，因为x≤1，故0≤x≤1；x＞1时，f（x）=1﹣log2x≤2，解得x≥，故x＞1．综上所述，不等式f（x）≤2的解集为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点评】本题考查分段函数、解不等式问题、对数函数的单调性与特殊点，属基本题，难度不大．13．（5分）（2012•陕西）观察下列不等式：①1+＜；②1++＜；③1+++＜；…照此规律，第五个不等式为1+++++＜．【分析】由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方，右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式，即可得到通式，再令n=5，即可得出第五个不等式【解答】解：由已知中的不等式1+，1++，…得出左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，故可以归纳出第n个不等式是1+…+＜，（n≥2），所以第五个不等式为1+++++＜故答案为：1+++++＜【点评】本题考查归纳推理，解题的关键是根据所给的三个不等式得出它们的共性，由此得出通式，本题考查了归纳推理考察的典型题，具有一般性14．（5分）（2015•南关区校级三模）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是4．【分析】由对数的运算性质，lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，结合题意可得，x+3y=1；再利用1的代换结合基本不等式求解即可．【解答】解：lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，又由lg2x+lg8y=lg2，则x+3y=1，进而由基本不等式的性质可得，=（x+3y）（）=2+≥2+2=4，当且仅当x=3y时取等号，故答案为：4．【点评】本题考查基本不等式的性质与对数的运算，注意基本不等式常见的变形形式与运用，如本题中，1的代换．15．（5分）（2015春•潍坊期末）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论：甲：f（3）=1；乙：函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数；丙：函数f （x）关于直线x=4对称；丁：若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[0，6]上所有根之和为4，其中结论正确的同学是甲、乙、丁．【分析】本题利用函数的奇偶性和函数的解析式的关系，得到函数的对称关系，从而得到函数的中心对称和轴对称的性质，得到本题的相关结论．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数f（x）的图象关于原点对称，f（﹣x）=﹣f（x）．∵函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），∴f（x﹣8）=﹣f（x﹣4），∴f（x﹣8）=f（x），∴函数f（x）的周期为8．（1）命题甲∵f（x﹣4）=﹣f（x），∴f（3）=﹣f（﹣1）=f（1）．∵x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），∴f（1）=log2（1+1）=1，∴f（3）=1．∴命题甲正确；（2）命题乙∵当x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），∴函数f（x）在[0，2]上单调递增．∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数f（x）在[﹣2，0]上单调递增．∴函数f（x）在[﹣2，2]上单调递增．∵f（﹣2+x）=﹣f（2﹣x）=f[（2﹣x）﹣4]=f（﹣2﹣x），∴函数f（x）关于直线x=﹣2对称，∴函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数．∴命题乙正确．（3）命题丙∵f（4﹣x）=﹣f（x﹣4）=﹣f（x﹣4+8）=﹣f（4+x）∴由点（4﹣x，f（4﹣x））与点（4+x，f（4+x））关于（4，0）对称，知：函数f（x）关于点（4，0）中心对称．假设函数f（x）关于直线x=4对称，则函数f（x）=0，与题意不符，∴命题丙不正确．（4）命题丁∵当x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），∴函数f（x）在[0，2]上单调递增，0≤f（x）≤log23．∵f（2﹣x）=﹣f（x﹣2）=f（x﹣2﹣4）=f（x﹣6）=f（2+x），∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称．∴函数f（x）在[2，4]上单调递减，0≤f（x）≤log23．∵函数f（x）关于点（4，0）中心对称，∴当x∈[4，8]时，﹣log23≤f（x）≤0．∴当m∈（0，1）时，则关于x的方程f（x）﹣m=0在[0，6]上所有根有两个，且关于2对称，故x1+x2=4．∴命题丁正确．故答案为：甲、乙、丁．【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性、对称性与函数图象的关系，本题综合性强，难度较大，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015春•潍坊期末）已知集合A={x|3≤x＜6}，B={y|y=2x，2≤x ＜3}．（1）分别求A∩B，（∁R B）∪A；（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据指数不等式的解法，得出集合B，再结合交集、并集或补集的定义求出A∩B，（C R B）∪A即得；（2）题目中条件：“C⊆B”说明集合C是集合B的子集，由此列端点的不等关系解得实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵A={x|3≤x＜6}，B={y|y=2x，2≤x＜3}={y|4≤y＜8}．∴A=[3，6），B=[4，8）（2分）∵A∩B=[4，6），C R B=（﹣∞，4）∪[8，+∞）（C R B）∪A=（﹣∞，6）∪[8，+∞）（2）∵C⊆B，∴∴4≤a≤7．（6分）∴实数a的取值范围4≤a≤7．【点评】此题是中档题．考查集合的包含关系判断及应用，以及指数不等式和含参数的不等式的解法，同时也考查学生灵活应用知识分析、解决问题的能力．17．（12分）（2015春•潍坊期末）已知命题p：函数y=x2﹣2x+a在区间（1，2）上有1个零点；命题q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点．如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求a的取值范围．【分析】对于命题p，设y=f（x），知道该函数为二次函数，对称轴为x=1，从而有，解该不等式组即可得到0＜a＜1；对于命题q，则有△＞0，从而可解得，或a．并且根据条件可知p真q假，或p假q真，求出这两种情况的a的取值范围再求并集即可．【解答】解：对于命题p，设y=f（x）=x2﹣2x+a；该二次函数开口向上，对称轴为x=1；∴，∴0＜a＜1；对于命题q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点；∴△=（2a﹣3）2﹣4＞0，即4a2﹣12a+5＞0；解得或；∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，∴命题p，q一真一假；①p真q假，则，所以；②p假q真，则，所以或a≤0；∴实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[，1）∪（，+∞）．【点评】考查函数零点的概念，求二次函数的对称轴的公式，以及二次函数图象和x轴交点的个数和判别式△的关系，要熟悉二次函数的图象，清楚p∧q，p∨q真假和p，q真假的关系．18．（12分）（2015春•潍坊期末）已知函数f（x）=2x3+ax2+bx+3在x=﹣1和x=2处取得极值．（1）求f（x）的表达式和极值．（2）若f（x）在区间[m，m+4]上是单调函数，试求m的取值范围．【分析】（1）求出导函数，利用导数在极值点处的值为0，列出方程组，求出a，b，代入f（x）和f′（x）；令f′（x）＞0求出x的范围即为递增区间，令f′（x）＜0求出x的范围为递减区间，并利用极值的定义求出极值．（2）根据题意，令[m，m+4]在（﹣∞，﹣1）内或在（2，+∞）内或在（﹣1，2）内，列出不等式组，求出m的范围．【解答】解：（1）∵f′（x）=6x2+2ax+b∴即解得∴f（x）=2x3﹣3x2﹣12x+3f′（x）=6x2﹣6x﹣12f′（x）＞0解得x＜﹣1或x＞2由f′（x）＜0解得﹣1＜x＜2故函数f（x）在（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）递增，函数在（﹣1，2）递减所以当x=﹣1时，有极大值10；当x=2时，有极小值﹣17（2）由（1）知，若f（x）在区间[m，m+4]上是单调函数，需m+4≤﹣1或或m≥2所以m≤﹣5或m≥2【点评】本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用导函数的符号判断函数的单调性、考查极值的求法、考查函数在其单调区间的子集上都是单调的．19．（12分）（2015春•潍坊期末）已知函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，若对于任意的x，y∈[﹣2，2]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，有f（x）＞0．（Ⅰ）证明：f（x）为奇函数；（Ⅱ）判断f（x）在[﹣2，2]上的单调性，并证明；（Ⅲ）设f（1）=1，若f（x）＜log a m（a＞0且a≠1）对∀x∈[﹣2，2]恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）令x=y=0可得f（0）=0，令y=﹣x及奇函数的定义即得证；（Ⅱ）根据函数单调性的定义即可判断f（x）在[﹣2，2]上的单调性，并证明；（Ⅲ）结合函数单调性和奇偶性的性质以及对数函数的性质将不等式恒成立进行转化即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）令x=y=0可得f（0）=0，令y=﹣x则f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，即f（﹣x）=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数．（Ⅱ）f（x）在[﹣2，2]上为单调递增函数．…（5分）任取﹣2≤x1＜x2≤2，则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）﹣f[（x2﹣x1）+x1]=f（x1）﹣[f（x2﹣x1）+f（x1）]=﹣f（x2﹣x1），因为当x＞0时，f（x）＞0，且x2﹣x1＞0，所以f（x2﹣x1）＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．所以函数f（x）在[﹣2，2]上为单调递增函数．…（8分）（III ）因为f（x）在[﹣2，2]上为单调递增函数，所以f（x）max=f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=2，若f（x）＜log a m（a＞0且a≠1）对∀x∈[﹣2，2]恒成立，则等价为f（x）max＜log a m（a＞0且a≠1）对∀x∈[﹣2，2]恒成立，即2＜log a m（a＞0且a≠1）对∀x∈[﹣2，2]恒成立，若a＞1，则m＞a2，此时实数m的取值范围是（a2，+∞），若0＜a＜1，则0＜m＜a2，此时实数m的取值范围是（0，a2）．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，以及函数奇偶性和单调性的判断和应用，利用定义法是解决本题的关键．20．（13分）（2013•鼓楼区校级二模）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x（万件）之间大体满足关系：P=（其中c为小于6的正常数）（注：次品率=次品数/生产量，如P=0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？【分析】（1）每天的赢利为T=日产量（x）×正品率（1﹣P）×2﹣日产量（x）×次品率（P）×1，根据分段函数分段研究，整理即可；（2）利用函数的导数得出单调性，再求函数的最大值．【解答】解：（1）当x＞c时，P=，∴T=x•2﹣x•1=0当1≤x≤c时，，∴=综上，日盈利额T（万元）与日产量x（万件）的函数关系为：（2）由（1）知，当x＞c时，每天的盈利额为0当1≤x≤c时，T==15﹣2[（6﹣x）+]≤15﹣12=3当且仅当x=3时取等号所以①当3≤c≤6时，T max=3，，此时x=3②当1≤c≤3时，由T′==知函数T=在[1，3]上递增，Tmax=，此时x=c综上，若3≤c≤6，则当日产量为3万件时，可获得最大利润若1≤c≤3，则当日产量为c万件时，可获得最大利润【点评】本题考查了利润函数模型的应用，并且利用导数方法求得函数的最值问题，也考查了分段函数的问题，分类讨论思想．是中档题．21．（14分）（2015春•潍坊期末）已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx，a∈R．（Ⅰ）当a=﹣时，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）a=时，令h（x）=f（x）﹣3lnx+x﹣．求h（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若函数f（x）≤x﹣1对∀x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）先求导，根据导数和函数的单调性即可求出单调区间；（Ⅱ）先求导，根据导数和函数的最值的关系即可求出；（Ⅲ）构造函数，转化为设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），则g（x）max≤0，x∈[1，+∞），根据导数和函数最值的关系分类讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣时，f（x）=﹣（x﹣1）2+lnx，（x＞0）…（1分）f'（x）=﹣x++=﹣，…（2分）①当0＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（0，2）单调递增；②当x＞2时，f'（x）＜0，f（x）在（2，+∞）单调递减；所以函数的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．…（4分）（Ⅱ）当a=时，h（x）=f（x）﹣3lnx+x﹣=x2﹣2lnx，∴h′（x）=x﹣令h′（x）=0解得x=，…（5分）当x∈[1，]时，h′（x）＜0，当x∈[，e）时，h′（x）＞0，故x=是函数h（x）在[1，e]上唯一的极小值点，…（6分）故h（x）min=h（）=1﹣ln2，又h（1）=，h（e）=e2﹣2，所以h（x）max=e2﹣2．…（8分）（Ⅲ）由题意得a（x﹣1）2+lnx≤x﹣1对x∈[1，+∞）恒成立，…（9分）设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），则g（x）max≤0，x∈[1，+∞），∴，…（10分）①当a≤0时，若x＞1，则g′（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）单调递减，∴g（x）max=g（1）=0≤0成立，得a≤0；…（11分）②当时，，g（x）在[1，+∞）单调递增，所以存在x＞1，使g（x）＞g（1）=0，则不成立；…（12分）③当时，x=＞1，则f（x）在[1，]上单调递减，[，+∞）单调递增，则存在∈[，+∞），有g（）=a（﹣1）2+ln﹣+1=﹣lna+a﹣1＞0，所以不成立，…（13分）综上得a≤0．…（14分）【点评】本题考查了导数和函数的单调性，极值，最值的关系，以及函数恒成立的问题，培养学生的转化能力，运算能力，属于难题．参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；742048；zlzhan；yhx01248；gongjy；lincy；智者乐水；maths；sdpyqzh；刘长柏；lily2011；xintrl；王老师；wkl197822；wdnah；zwx097；whgcn（排名不分先后）菁优网2017年7月3日。