四川省内江六中12-13学年高一上学期期中考试数学试题

高2026届2023-2024学年度上期半期考试（数学）试题（答案在最后）试卷满分：150分，考试时间：120分钟注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.设{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}1,2,3A =，{}3,4,5,6B =．则集合()U A B ⋃=ð（）A.{}1,2,3,4,5,6B.{}3C.{}1,2,4,5,6,7,8 D.{}7,8【答案】D 【解析】【分析】直接根据并集和补集的定义得答案.【详解】{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，{}1,2,3A =，{}3,4,5,6B =，{}1,2,3,4,5,6A B ∴=U ，(){}7,8U A B = ð.故选：D.2.命题“2, 10∀∈++>x x x R ”的否定为（）A.2, 10∃∈++≤x x x RB.2, 10∀∉++≤x x x RC.2, 10∃∉++>x x x RD.2, 10∀∈++≤x x x R 【答案】A 【解析】【分析】由全称命题的否定是存在命题，即可得出答案.【详解】命题“2, 10x x x ∀∈++>R ”的否定为：2, 10x x x ∃∈++≤R .故选：A .3.在下列图象中，表示函数图象的是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据函数的概念一一判断.【详解】对A ，存在一个x ，有无数个y 与之对应，所以不是函数图象，A 错误；对B ，对定义域内的任意x ，有且仅有唯一的y 与之对应，是函数图象，B 正确；对C ，存在一个x ，有两个y 与之对应，所以不是函数图象，C 错误；对D ，存在一个x ，有两个y 与之对应，所以不是函数图象，D 错误；故选:B.4.若函数,1()27,1x x f x x x x -≤-⎧⎪=⎨+->-⎪⎩，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦（）A.-2B.2C.-4D.4【答案】C 【解析】【分析】由()()222f -=--=，得到()()22f f f -=⎡⎤⎣⎦，由此求出()2f f -⎡⎤⎣⎦即可.【详解】∵函数,1()27,1x x f x x x x -≤-⎧⎪=⎨+->-⎪⎩，∴()()222f -=--=，()2(2)27422f f f ==+--⎤⎣⎦=-⎡.故选：C .5.已知p ：“1x -=”，q ：“2x =”，则p 是q 的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先求得p 中对应x 的范围，然后根据充分、必要条件的知识确定正确答案.【详解】对于p ，令0t =≥，可得2t t =，即()10t t -=，故1t =或0=t ，解得1x =或2x =，故p 是q 的必要不充分条件.故选：A6.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（）A.若a ＜b ，则11a b > B.若a ＞b ＞0，则11b ba a+<+C.若a ＞b ，则22ac bc > D.若22ac bc >，则a ＞b【答案】D 【解析】【分析】举反例说明选项AC 错误；作差法说明选项B 错误；不等式性质说明选项D 正确.【详解】当0a b <<时，11a b<，选项A 错误；()1011b b a ba a a a +--=>++，所以11b b a a +>+，所以选项B 错误；0c =时，22ac bc =，所以选项C 错误；22ac bc >时，a b >，所以选项D 正确.故选：D7.根据《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》第72条规定：驾驶自行车、三轮车必须年满12周岁，驾驶电动自行车和残疾人机动轮椅车必须年满16周岁.高一学生小明骑自行车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据小明骑车去学校的过程及时间与学校距离的关系分析即可.【详解】由题意可得随时间增加离学校的距离变小，排除A ，且中间有停留即有段时间增加距离不变，排除D ，又停留后加速行驶，而C 项直线的倾斜程度不变可排除，B 项倾斜程度变大，单位距离用时变小，符合题意.故选：B8.已知函数()2f x x =-，()2g x x =，设函数()()()()()()(),,f x f x g x H x g x f x g x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则下列说法错误的是（）A.()H x 是偶函数B.方程()12H x =有四个实数根C.()H x 在区间()0,2上单调递增 D.()H x 有最大值，没有最小值【答案】C 【解析】【分析】画出函数()H x 的图象，结合图象对选项一一判断即可得出答案.【详解】因为函数()2f x x =-，()2g x x =，由22x x -≤可得：202x x x ≥⎧⎨-≤⎩或202x x x <⎧⎨+≤⎩，012x x x ≥⎧⎨≥≤-⎩或或021x x x <⎧⎨≥≤-⎩或，解得：1x ≥或1x ≤-，所以()2222,2,2x x xH x x x x ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩，即()(][)()22,,11,,1,1x x H x x x ∞∞⎧-∈--⋃+⎪=⎨∈-⎪⎩，作出函数()H x 的图象如下：由图象可知，()H x 关于y 轴对称，是偶函数，故A 正确；方程()12H x =有四个实数根，即()y H x =与12y =的图象有四个交点，由图可知，故B 正确；()H x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,2上单调递减，故C 错误；当1x =±时，()H x 有最大值为1，无最小值，故D 正确故选：C .二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列各组函数是同一组函数的是（）A.()=2f x x 与()24g x x=B.()=xf x x 与1,0()1,0x g x x >⎧=⎨-<⎩C.()2=2+1f x x 与()221g t t =+ D.()=f x x 与()33g x x =【答案】BCD 【解析】【分析】由同一函数的定义域、对应法则都相同，即可判断选项中的函数是否为同一函数.【详解】A ：()242||g x x x ==，()=2f x x ，定义域相同，但对应法则不同，不同函数；B ：()1,0=1,0xx f x x >⎧=⎨-<⎩，1,0()1,0x g x x >⎧=⎨-<⎩，定义域和对应法则都相同，同一函数；C ：()2=2+1f x x 与()221g t t =+，定义域和对应法则都相同，同一函数；D ：()33g x x x ==，()=f x x ，，定义域和对应法则都相同，同一函数；故选：BCD.10.下列函数中，是偶函数，且在区间(0,1)上单调递增的是（）A.|2|y x = B.21y x =- C.1y x=-D.223y x =+【答案】AD 【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性的定义结合函数的图象性质即可求解.【详解】对于A,设()()()2,,22f x x x f x x x f x =∀∈-=-==R ,2,022,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩,则函数在(,0)-∞单调递减,[)0,∞+单调递增,所以是偶函数，且在区间(0,1)上单调递增,故A 正确;对于B,21y x =-为二次函数,开口向下,对称轴为y 轴,所以函数是偶函数,且在,[)0,∞+单调递减,故B 错误;对于C,1y x=-为反比例函数,关于原点对称,是奇函数,在()0,∞+单调递增,故C 错误;对于D,223y x =+为二次函数,开口向上,对称轴为y 轴,所以函数是偶函数,且在,[)0,∞+单调递增,故D 正确;故选:AD.11.当两个集合中有一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称这两集合之间构成“偏食”．对于集合11,,12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，{}21,0B x ax a ==≥，若A 与B 构成“全食”或构成“偏食”，则a 的取值可以是（）A.0B.1C.2D.4【答案】ABD 【解析】【分析】分情况解集合B ，再根据“全食”与“偏食”的概念分析集合中元素满足的关系列式求解即可．【详解】当0a =时，B =∅，此时满足B A ⊆，两个集合之间构成“全食”，符合条件．当0a >时，B ≠∅，B =，1=时，{}1,1B =-，满足B A ⊆，构成“全食”，此时1a =；12=时，11,22B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，构成“偏食”，此时4a =．综上所述，a 的取值集合为{}0,1,4．故选：ABD.12.已知定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①R x ∀∈，()()f x f x -=；②()12,0,x x ∀∈+∞，当12x x ≠时，都有()()21210f x f x x x ->-；③()10f -=．则下列选项成立的是（）A.()()34f f <-B.若()()12f m f -<，则(),3m ∈-∞C.若()0f x x>，则()()1,01,x ∈-⋃+∞ D.R x ∀∈，R M∃∈，使得()f x M≥【答案】ACD 【解析】【分析】由条件可得()f x 是偶函数且在(0,)+∞上单调递增，然后逐一判断每个选项即可.【详解】由条件①得()f x 是偶函数，条件②得()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()()()344f f f <=-，故A 对，若()()12f m f -<，则12m -<，得13m -<<，故B 错，若()0f x x>，则0()0x f x >⎧⎨>⎩或0()0x f x <⎧⎨<⎩，因为()()110f f -==，所以1x >或10x -<<，故C 正确，因为定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的，且在()0,∞+上单调递增，所以()()min 0f x f =，所以对R x ∀∈，只需()0M f ≤即可，故D 正确.故选：ACD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知集合{}{}20,1,,1,0,23A a B a ==+，若=A B ，则实数a 等于_________【答案】3【解析】【分析】根据集合相等的定义以及元素的互异性可求解.【详解】因为=A B ，所以223a a =+，即2230a a --=，解得1a =-或=3a ，经检验1a =-时，21a =，与集合中元素的互异性矛盾；=3a 时，{}0,1,9A B ==，满足题意.故答案为：314.已知)123f x +=+，则()2f 的值______.【答案】5【解析】【分析】根据函数的解析式求得正确答案.【详解】())212135f f ==⨯+=.故答案为：515.已知函数()f x 的定义域为[]1,1-则y +=的定义域为_________________【答案】[)2,1--【解析】【分析】抽象函数定义域求解，1x +需整体在[]1,1-范围内，从而解出x 的范围，同时注意需保证2230x x -->，最后求出交集即可得解.【详解】由已知，()f x 的定义域为[]1,1-，所以对于y +=x 需满足2111230x x x -≤+≤⎧⎨-->⎩,解得[)2,1x ∈--故答案为：[)2,1--.16.若函数()214212x ax x f x a x x ⎧+>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为____________．【答案】10,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据分段函数的单调性得到不等关系，解不等式组得到答案.【详解】函数()f x 是R 上的增函数，则124021422a a a a ⎧-≤⎪⎪⎪->⎨⎪⎪+≥-+⎪⎩，解得1083a ≤<.故答案为：10,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合{}17U x x =≤≤，{}25A x x =≤<，{}37B x x =<≤．（1）求A B ⋂；（2）求()U A B ð．【答案】（1）{}35x x <<（2）{12x x ≤<或}37x <≤【解析】【分析】根据集合间的运算直接得解.【小问1详解】由{}25A x x =≤<，{}37B x x =<≤，得{}35A B x x ⋂=<<；【小问2详解】由{}17U x x =≤≤，{}25A x x =≤<，得{12U A x x =≤<ð或}57x ≤≤，故(){12U A B x x ⋃=≤<ð或}37x <≤.18.已知命题p ：关于x 的方程222260x ax a a -+--=有实数根，命题:13q m a m -≤≤+．（1）若命题p ⌝是真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(,2)(3,)-∞-⋃+∞（2）10m -≤≤【解析】【分析】（1）依题意命题p 是假命题，即可得到Δ0<，从而求出参数a 的取值范围；（2）记{}23|A a a -=≤≤，{}|13B a m a m =-≤≤+，依题意可得BA ，即可得到不等式组，解得即可.【小问1详解】解：因为命题p ⌝是真命题，所以命题p 是假命题．所以方程222260x ax a a -+--=无实根，所以222Δ(2)4(26)44240a a a a a =----=-++<．即260a a -->，即()()320a a -+>，解得3a >或2a <-，所以实数a 的取值范围是(,2)(3,)-∞-⋃+∞．【小问2详解】解：由（1）可知p ：23a -≤≤，记{}23|A a a -=≤≤，{}|13B a m a m =-≤≤+，因为p 是q 的必要不充分条件，所以BA ，所以1233m m -≥-⎧⎨+≤⎩（等号不同时取得），解得10m -≤≤，所以实数m 的取值范围是10m -≤≤．19.已知关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{|1x x <或}x b >.（1）求a ，b 的值；（2）当0x >，0y >且满足1a bx y+=时，有2x y k +≥恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）1a =，2b =（2）(,8]-∞【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式和对应方程的关系，结合根与系数的系数，即可求出a ，b 的值；（2）由（1）可得121x y+=，结合基本不等式求出2x y +的最小值，得到关于k 的不等式，解出即可.【小问1详解】因为不等式2320ax x -+>的解集为{|1x x <或}x b >，所以1和b 是方程2320ax x -+=的两个实数根，且0a >，所以3121b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，即1a =，2b =.【小问2详解】由（1）知12a b =⎧⎨=⎩，于是有121x y +=，故()12422448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭≥，当且仅当4y x x y =，结合121x y +=，即24x y =⎧⎨=⎩时，等号成立，依题意有()min 2+≥x y k ，即8≥k ，所以k 的取值范围为(,8]-∞.20.已知二次函数()2f x ax bx c =++满足()02f =，且()()121f x f x x +-=--（1）求函数()f x 的解析式.（2）当[],2x t t ∈+时，求函数()f x 的最大值()g t （用t 表示）【答案】（1）2()2f x x =-+（2）2242,2()2,202,0t t tg t t t t ⎧---<-⎪=-≤≤⎨⎪-+>⎩【解析】【分析】（1）根据()02f =得到2c =，将解析式代入()()121f x f x x +-=--得到10a b =-⎧⎨=⎩，得到答案.（2）确定函数的单调区间，考虑2t <-，0t >，20t -≤≤三种情况，分别计算最大值得到答案.【小问1详解】(0)2f =，2c =，所以2()2f x ax bx =++，(1)()21f x f x x +-=--，即()22(1)(1)22221a x b x ax bx ax a b x ++++-++=++=--，所以221a a b =-⎧⎨+=-⎩，解得10a b =-⎧⎨=⎩，所以2()2f x x =-+.【小问2详解】2()2f x x =-+，开口向下，在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞单调递减；当2t <-时，20t +<，()f x 在[],2t t +上单调递增，所以22max ()(2)()(2)242f x f t g t t t t =+==-++=---；当0t >时，()f x 在[],2t t +上单调递减，所以2max ()()()2f x f t g t t ===-+；当20t -≤≤时，()f x 在(,0)t 上单调递增，在(0,2)t +上单调递减，所以max ()(0)()2f x f g t ===.综上所述：2242,2()2,202,0t t t g t t t t ⎧---<-⎪=-≤≤⎨⎪-+>⎩21.2023年10月18日，内江高新区举行乡村振兴产业推介会暨项目集中签约仪式，现场签约农业产业项目14个，涵盖种苗繁育、粮油加工、中药材种植、特色水产等优质产业.为响应国家“乡村振兴”号召，小李决定返乡创业，承包老家的土地发展生态农业．小李承包的土地需要投入固定成本36万元，且后续的其他成本总额y （单位：万元）与前()x x +∈N 年的关系式近似满足2y ax bx =+．已知小李第一年的其他成本为3万元，前两年的其他成本总额为8万元，每年的总收入均为22万元．（1）小李承包的土地到第几年开始盈利？（2）求小李承包的土地的年平均利润的最大值．【答案】（1）第3年开始盈利（2）最大为8万元【解析】【分析】（1）根据题中条件，列出方程组，求得12a b =⎧⎨=⎩，根据题意得到李承包的土地到第x 年的利润为()()22222362036f x x x x x x x +=---=-+-∈N ，令其大于零，解出不等式即可；（2）求得年平均利润的函数，利用基本不等式求最大值即可.【小问1详解】由题意得3428a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，所以22y x x =+．设小李承包的土地到第x 年的利润为()f x 万元，则()()22222362036f x x x x x x x +=---=-+-∈N ，由220360x x -+->，得220360x x -+<，解得218x <<．故小李承包的土地到第3年开始盈利．【小问2详解】设年平均利润为()g x 万元，则()()36362020208f x g x x x x x x ⎛⎫==--+=-++≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当6x =时，等号成立．故当小李承包的土地到第6年时，年平均利润最大，最大为8万元．22.已知函数()221ax b f x x +=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且1425f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）求a ，b 的值；（2）用定义法证明函数()f x 在[]1,1-上单调递增；（3）若()255f x m mt ≤--对于任意的[]1,1x ∈-，[]1,1t ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）=0b ，1a =（2）证明见解析（3）(][),66,-∞-⋃+∞【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性和特殊点求得,a b .（2）根据函数单调性的定义证得函数()f x 在[]1,1-上单调递增.（3）根据函数的单调性求得()f x 的最大值，然后以t 为主变量列不等式，由此求得m 的取值范围.【小问1详解】由于奇函数()f x 在0x =处有定义，所以()0==01b f b =，()221ax f x x =+，2144255112a a f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，1a ∴=.经检验符合题意；【小问2详解】由（1）知()221x f x x =+.任取1x 、[]21,1x ∈-且12x x <，即121<1x x -≤≤，则12<0x x -，121x x <，所以，()()()()()()()()()()2212211212121222222212121221+21+2122===01+1+1+1+1+1+x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x -----<，则()()12f x f x <，所以，函数()f x 在[]1,1-上单调递增.【小问3详解】由（2）知()()max 11f x f ==，所以2155m mt ≤--对于任意的[]1,1t ∈-恒成立,即2560mt m -+≤对于任意的[]1,1t ∈-恒成立,所以22560560m m m m ⎧--+≤⎨-+≤⎩，解得6m ≤-或6m ≥,所以m 的取值范围为(][),66,-∞-⋃+∞.【点睛】在利用函数的奇偶性求函数的解析式时，除了奇偶函数的定义：()()()()=,=f x f x f x f x ---以外，还有一些特殊的方法.如奇函数若在0x =处有定义，可利用()0=0f 来求参数.。

高一数学试卷（时间：120 分钟 总分：150分）班级姓名考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合M ＝{0，1，2，3}，N ＝{－1，0，1，2}，则M ∩N ＝（ ） A. {－1，0，1} B. {1，2，3}C. {0，1，2，3，4}D. {0，1，2}【答案】D 【解析】【分析】直接利用交集的定义运算即可. 【详解】由交集的定义知，. {0,1,2}M N ⋂=故选：D2. 命题“，”的否定是（ ） x ∃∈R 210x x -+<A. ， B. ， x ∀∈R 210x x -+≥x ∀∈R 210x x -+>C. ， D. ，x ∃∈R 210x x -+≥x ∃∈R 210x x -+>【答案】A 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断可得.【详解】解：因为命题“，”为存在量词命题，其否定为：，x ∃∈R 210x x -+<x ∀∈R 210x x -+≥； 故选：A3. 设，则“”是“”的（ ）a ∈R 1a >2a a >A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式可得：或， 2a a >1a >a<0据此可知：是的充分不必要条件. 1a >2a a >故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.4. 下列图象中，以为定义域，为值域的函数是（ ）{}01M x x =≤≤{}01N x x =≤≤A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义，依次分析选项中的图象，结合定义域值域的范围即可得答案． 【详解】对于，其对应函数的值域不是，错误；A {}01N y y =≤≤A 对于，图象中存在一部分与轴垂直，即此时对应的值不唯一，该图象不是函数的图象，错误； B x x y B 对于，其对应函数的定义域为，值域是，正确； C {|01}M x x =……{|01}N y y =……C 对于，图象不满足一个对应唯一的，该图象不是函数的图象，错误； D x y D 故选：．C5. 函数y ） A. [－1，7]B. [－1，7)C. (－1，7]D. (－∞，－1]∪[7，+∞)【解析】【分析】由题意可得，解方程即可得出答案. 2760x x +-≥【详解】函数y :, 2760x x +-≥则，解得：. ()()170x x +-≤17x -≤≤故选：A .6. 设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是（ ）U Z ={}0,1,3,5,7,9A ={}1,2,4,5,9B =A. B. {}1,5,9{}0,3,7C. D.{}2,4,5,9{}2,4【答案】D 【解析】【分析】根据集合的交集和补集的定义进行求解即可.【详解】图中阴影部分表示为：，因为集合，， ()B A B ⋂ð{}0,1,3,5,7,9A ={}1,2,4,5,9B =所以，而，所以， {}1,5,9A B ⋂={}1,2,4,5,9B ={}()2,4B A B = ð故选：D7. 关于x 的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a 的取值范围（ ） 2(1)0x a x a -++<A. B. (1,0][2,3)-⋃[2,1)(3,4]-- C. D.()(]2,13,4--⋃[1,0)(2,3]- 【答案】B 【解析】【分析】首先解出不等式，根据不等式的解分类讨论可得． 【详解】不等式化为， 2(1)0x a x a -++<(1)()0x x a --<当时，不等式无解，1a =当时，不等式解为，这里有且只有2个整数，则， 1a <1<<a x 21a -≤<-当时，不等式解为，这里有且只有2个整数，则， 1a >1x a <<34a <≤综上的取值范围是． a [2,1)(3,4]-- 故选：.B 【点睛】方法点睛：本题考查解一元二次不等式，对于含有参数的一元二次不等式需要分类讨论才能求解．分类标准有三个层次：一是二次项系数的正负，二是相应一元二次方程的判别式的正负，三在方∆程有解时，讨论解的大小，以得出不等式的解．8. 设函数f (x )＝则f (f (3))＝( )21,1,2,1,x x x x⎧+≤⎪⎨>⎪⎩A.B. 3C.D.1523139【答案】D 【解析】【详解】, ()231,33f >∴=,故选D.22213((3))()(1339f f f ==+=二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9. 下列各组函数中，表示同一函数的是 A. ，y=2y =B. ，()=f xx ()t ϕ=C. ，y =y =D. ，y =3y x =-【答案】BC 【解析】【详解】试题分析：A 中定义域不同；B 、C 中定义域，对应关系都相同；D 项对应关系不同 考点：两函数是否为同一函数的判定10. 对于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则a b >22ac bc >0a b >>11a b <C. 若，则 D. 若，则 0a b >>2ab a <c a b >>a bc a c b>--【答案】BC 【解析】【分析】由特值法可判断A 、D ；由不等式的性质可判断B 、C ． 【详解】解：对于A ，当时，，故A 错误； 0c =22ac bc =对于B ，若，则，故B 正确； 0a b >>11a b<对于C ，若，则，故C 正确； 0a b >>2a ab >对于D ，因为，当时，，故D 错误． c a b >>0c =1a bc a c b==---故选：BC ．11. 下列函数中满足“对任意，，且，都有”的是（ ）1x ()20,x ∈+∞12x x ≠()()12120f x f x x x ->-A. B. C.D. ()31f x x =-+()2f x x=-()243f x x x =++()1f x x x=-【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定条件，确定函数的单调性，再逐项判断作答. ()f x 【详解】函数满足“对任意，，且，都有”，则有函数()f x 1x ()20,x ∈+∞12x x ≠()()12120f x f x x x ->-在上单调递增，()f x (0,)+∞函数在上单调递减，A 不是； ()31f x x =-+(0,)+∞函数在上单调递增，B 是； ()2f x x=-(0,)+∞函数在上单调递增，C 是；()243f x x x =++(0,)+∞函数在上单调递增，D 是. ()1f x x x=-(0,)+∞故选：BCD12. 已知函数，若，且，设，则（ ）()231,11,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩n m >()()f n f m =t n m =-A. t 没有最小值B. t 1C. t 的最小值为D. t 的最大值为431712【答案】BD 【解析】【分析】先作出分段函数图象，再结合图象由，得到m 与n 的关系，消元得关于n 的函()()f n f m =数，最后求最值.【详解】如图，作出函数的图象，()f x且，则，且，()()f n f m = n m >1m £1n >，即. 2311m n ∴+=-223n m -=由，解得. 21014n n >⎧⎨<-≤⎩1n <≤，222211317(32)(333212n n m n n n n -⎡⎤∴-=-=---=--+⎢⎥⎣⎦又当时，.1n <≤ ∴n =()min 1n m -=- ()max 1712n m -=故选：BD .三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13. 已知二次函数，则的值域是___________． 2()2,[2,3]f x x x x =+∈-()f x 【答案】 []1,15-【解析】【分析】利用二次函数的图象和性质求解. 【详解】解：二次函数，2()2f x x x =+，()211x =+-因为 ， [2,3]x ∈-所以， ()[1,15]f x ∈-所以的值域是， ()f x []1,15-故答案为： []1,15-14. 函数的最大值为_______ []2,2,61y x x =∈-【答案】2 【解析】【分析】先判断出函数的单调性，即可求出的最大值. []2,2,61y x x =∈-【详解】可看作向右平移了一个单位，在单调递减，21y x =-2y x =2y x =[]2,6x ∈所以在也单调递减，21y x =-[]2,6x ∈所以当时， 2x =max 2221y ==-故答案为：2 15. 函数取最小值时的值为______ ()1622y x x x =+>-+x 【答案】2 【解析】 【分析】利用基本不等式可得何时取最小值.【详解】, 1616222622y x x x x =+=++-≥=++当且仅当即时等号成立， 24x +=2x =故答案为：2.16. 已知集合，若，则实数的取值范围{13},{123}A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤+∣∣A B A ⋃=m ___________． 【答案】 (],0-∞【解析】【分析】根据题意，由可得，分类讨论即可得到结果.A B A ⋃=B A ⊆【详解】因为，所以，A B A ⋃=BA ⊆当时，即，解得，且满足；B =∅123m m +>+2m <-A B A ⋃=当时，，解得B ≠∅112332m m m +≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩20m -≤≤综上可得的取值范围为 m (],0-∞故答案为:(],0-∞四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知集合，，若，求实数的值. {}22,,1A a a =-211,,22B a a a ⎧⎫=-+⎨⎬⎩⎭{}2A B ⋂=a 【答案】 4【解析】【分析】根据已知条件可得出，分、两种情况讨论，结合交集结果可得解. 2B ∈122a =22a +=【详解】因为，则，因为，故或.{}2A B ⋂=2B ∈211a -≤122a =22a +=①若，则，则，，合乎题意；122a =4a ={}2,16,3A ={}15,2,6B =-②若，则，则，，此时，不满足条件. 22a +=0a ={}2,0,1A =-{}1,0,2B ={}0,2A B =I 综上所述，.4a =18. 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x (单位:辆)与创造的价值y (单位:元)之间有如下的关系:.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创2202200y x x =-+收60000元以上,则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车? 【答案】51~59辆【解析】 【分析】根据二次函数与一元二次不等式的关系,可得,解不等式即可求得一个星期内大约220220060000x x -+>生产摩托车的数量.【详解】设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x 辆摩托车, 根据题意得.220220060000x x -+>移项整理得 211030000x x -+<对于方程2x 110x 30000-+=则,方程有两个实数根, 1000∆=>150x =260x =画出二次函数的图象如下图所示:21103000y x x =-+结合图象得不等式的解集为, 211030000x x -+<{|5060}x x <<从而原不等式的解集为{|5060}x x <<因为x 只能取整数值,所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51~59辆时,这家工厂能够获得60000元以上的收益.【点睛】本题考查了一元二次不等式与二次函数在实际问题中的应用,属于基础题.19. 已知函数. ()12f x x =+（1）求函数的定义域； ()f x （2）求的值；2(3),()3f f -（3）当时,求，的值. 0a >()f a ()1f a -【答案】（1）；[)3,2(2,)---+∞（2）；； (3)1f -=-23()38f =（3）；. ()12f a a =++()111f a a -=++【解析】【分析】（1）列出使函数表达式有意义的不等式组，解得函数定义域； （2）代入，的值，运算化简即可求得的值； 3-232(3),(3f f -（3）根据，在定义域内，代入函数表达式，即可得到，的值. a 1a -()f a ()1f a -【小问1详解】要使函数有意义，需满足, ()12f x x =++3020x x +≥⎧⎨+≠⎩解得， 3,2x x ≥-≠-∴函数的定义域为； ()12f x x =++[)3,2(2,)---+∞【小问2详解】,1(3)132f -==--+； 213(23823f =+=+【小问3详解】 当时，， 0a >()12f a a =+又，1(1,)a -∈-+∞∴.()111121f a a a -=+=+-++20. 已知“方程mx 2+4x +1=0有两个不相等的实根”是真命题. （1）求实数m 的取值集合M ；（2）设A ={x |a <x <a +2}，若x ∈A 是x ∈M 的充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()(),00,4M =-∞ （2） (][]202-∞- ,,【解析】【分析】（1）利用一元二次方程的判别式即可求解； （2）由充分条件的概念得出集合的包含关系即可求解.【小问1详解】解：∵“方程mx 2+4x +1=0有两个不相等的实根”是真命题，∴=16-4m >0且m ≠0，解得m <4且m ≠0，∆∴；()(),00,4M =-∞ 【小问2详解】解：∵x A 是x M 的充分条件，∈∈∴A ⊆M ，∵A ={x |a <x <a +2}，可得或a +2≤0. 240a a +≤⎧⎨≥⎩，∴a 的取值范围为.(][]202-∞- ,,21. 已知函数 ()4f x x x=+（1）证明函数在上是增函数； ()f x [)2+∞，（2）求函数在上的最小值，并求不等式的解集．()f x [](),10t t t +>()g t ()5g t >【答案】（1）证明见解析（2）；解集为 ()41,0114,124,2t t t g t t t t t ⎧++<≤⎪+⎪=<<⎨⎪⎪+≥⎩()4+∞，【解析】【分析】（1）利用函数的单调性的定义进行证明即可；（2）判断函数在上的单调性，结合函数的单调性分类讨论求解即可.(]0,2【小问1详解】任取，则212x x >≥， ()()()()()2112121212121212124444x x x x x x f x f x x x x x x x x x x x ----=+--=-+=，212x x >≥∴1212120,0,40x x x x x x >--即，()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<函数在上是增函数； ()4f x x x=+[)2+∞，【小问2详解】 由（1）同理可证函数在上是减函数， ()4f x x x =+(]0,2当时，[](),10x t t t ∈+>若即，函数在上单调递减， 012t t >⎧⎨+≤⎩01t <≤()4f x x x =+[],1t t +()()4111g t f t t t =+=+++若，即， 212t t <⎧⎨+>⎩12t <<函数在上单调递减，在上单调递增， ()4f x x x =+[],2t (]21t +，，()()24g t f ==若，函数在上单调递增， 2t ≥()4f x x x =+[],1t t +()()4g t f t t t==+故 ()41,0114,124,2t t t g t t t t t ⎧++<≤⎪+⎪=<<⎨⎪⎪+≥⎩或或， ()0154151t g t t t <≤⎧⎪>⇒⎨++>⎪+⎩1245t <<⎧⎨>⎩245t t t≥⎧⎪⎨+>⎪⎩解得，4t >原不等式的解集为. ()4+∞，22. 某工厂某种产品的月固定成本为10万元，每生产件，需另投入成本为，当月产量不足30件时，x C （万元）.当月产量不小于30件时，（万元）.每件商品售价为5万2112C x x =+10069020C x x =+--元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.因设备问题，该厂月生产量不超过50件. （1）写出月利润（万元）关于月产量（件）的表达式；L x （2）当月产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获月利润最大?【答案】（1）当时，；当时， 030x <<2141012L x x =-+-3050x ≤≤1008020L x x =--+-（2）30【解析】【分析】（1）结合已知条件求得分段函数的表达式.L （2）结合基本不等式、二次函数的性质求得月利润最大时对应的月产量.【小问1详解】因为每件商品售价为5万元，则x 件商品销售额为5x 万元，依题意得， 当0<x <30时，L =5x -x 2-x -10=x 2+4x -10； 112112-当30≤x ≤50时，L =5x -6x -+90-10=+80. 100-20x 100-20x x --【小问2详解】当0<x <30时， L =x 2+4x -10， 112-开口向下，对称轴为x =24，即当x =24时，L max =38(万元)；当30≤x ≤50时，L =-x -+80=-(x -20)-+60=40， 100-20x 100-20x 当且仅当x =30时，L max =40(万元).综上所述，当月产量为30件时，月获利润最大.。

高一级数学 必修1第1页共4页高一级数学 必修1 第2页共4页新会实验中学2012—2013学年度第一学期期中考试高一级数学科（必修1）试题考试说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。

请将所有答案填在答题卡上，考试结束只交答题卡。

第一部分 选择题（共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你的正确选项填在答题卡上。

） 1.设{}{}3,5,6,8,4,5,7,8,A B A B === 则………………………………（ ）A.{}3,5,6,8B.{}4,5,7,8C.{}5,8D.{}34,5,67,8，， 2.下列函数是幂函数的是…………………………………………… （ ）A. 21y x = B. 22y x = C. 22y xx =+ D.1y =3.下列函数中，()()f x g x =的是……….…………………………… （）A.2()1,()1x f x x g x x=-=- B.24(),()f x x g x ==C. (),()f x x g x ==D. 2(),()f x x g x == 4.函数1()2f x x =+-…………………………..…（ ） A.(5,2)- B.[5,)-+∞ C. [5,2)(2,)-+∞ D.(,5](2,)-∞-+∞5.不等式2741x x a a--> （1a >）中x 的取值范围为………………（ ）A. (,3)-∞B.(,3)-∞-C. (3,)+∞D.(3,)-+∞6.已知lg 2,lg3,a b == 则lg6的值为…………………………… （ ）A. a b +B. abC. 23a b +D.23a b+7.下列函数图象中，能用二分法求函数零点的是…………………（ ）8.方程ln 260x x +-=的有解区间是…………………………………………………（ ）A. (0,1)B.(1,2)C. (2,3)D.(3,4)9.若0.2130.51log 3,,2,3a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则………………………………………………… （ ）A.a b c <<B. c a b <<C. a c b <<D. b a c <<10.当01a <<时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象是…………（ ）第二部分非选择题（共100分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 11.把56x =写成对数式为 ；12. 函数y =的定义域为 ；13. 函数2log y x =在[1，2]上的值域是 ；14.已知集合{}1,2,3,4,A =集合B 满足{}1,2,3,4,A B = 则集合B 有 个. 三、解答题:本大题共6小题,共80分.(解答应写出文字说明或运算步骤） 15.（12分）计算下列各式：（1）1153412222⨯⨯（2）552log 10log 0.25+16. （12分）已知函数(3),0()(3),0x xx f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩，（1）求(1),(2),[(1)]f f f f--的值.17. （14分）设集合{}{}24,3782A x x B x x x=≤<=-≥-，求,,().R A B A B C A BABCDCD高一级数学 必修1第3页共4页高一级数学 必修1第3页共4页18. （14分）已知函数2(),f x x bx c =++且(1)0.f =（1）若函数()f x 是偶函数，求()f x 的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数在区间[1,3]-上的最大值和最小值； （3）要使函数()f x 在区间[1,3]-上单调递增，求b 的取值范围. 19. （14分）已知13,x x -+=求下列各式的值：（1）22;x x -+ （2）1122;x x -+ （3）22.x x --20. （14分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()f x x x =+.（1）画出函数()f x 图象；（2）用定义的方法证明函数()f x 在[0,)+∞上是递增的； （3）求出函数()f x 的解析式.新会实验中学2012—2013学年度第一学期期中考试高一级数学科（必修1）答案考试说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。

一、单选题1．已知集合A ={x |x >0}，B ={x |x 2-x -2<0}，则A ∩B 等于（ ）A ．{x |-1≤x ≤0}B ．{x |-1<x ≤0}C ．{x |0≤x <2}D ．{x |0<x <2}【答案】D【分析】先求解集合B 中的不等式，结合交集的定义即得解【详解】由题意， {}2{|20}{|(2)(1)0}12B x x x x x x x x =--<=-+<=-<<根据交集的定义，可得.{}02A B x x ⋂=<<故选：D2．命题“，”的否定是（ ）1x ∀>20x x ->A ．， B ．，01x ∃≤2000x x ->01x ∃>2000x x -≤C ．，D ．，1x ∀>20x x -≤1x ∀≤20x x ->【答案】B【分析】直接根据全称命题的否定得到答案. 【详解】命题“，”的否定是：，.1x ∀>20x x ->01x ∃>2000x x -≤故选：B.3．已知则（ ） 231,1,()3,1,x x f x x x +⎧=⎨+>⎩…(3)f =A ．7B ．2C ．10D ．12 【答案】D【分析】根据分段函数的定义计算．【详解】由题意．2(3)3312f =+=故选：D ．4．已知，则（ ） 0x >141x x +-A ．有最大值3B ．有最小值3C ．有最小值D ．有最大值5-5-【答案】B【分析】利用基本不等式求最值即可．【详解】， 0x >， 14113x x ∴+-=…当且仅当，即时取等号， 14x x =12x =故最小值为3，无最大值． 141x x+-故选：B ．5．已知是定义在[a - 1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是（ ）2()f x ax bx =+A ．－ B ． C ．－ D ． 13131212【答案】B【分析】由偶函数的定义得且a －1＝－2a 求出a 、b ，然后求a ＋b()()f x f x -=【详解】∵在[a - 1，2a ]上是偶函数2()f x ax bx =+∴有：b ＝0，且a －1＝－2a()()f x f x -=∴a ＝ 13∴a ＋b ＝ 13故选：B【点睛】本题考查了函数的奇偶性；根据偶函数的定义且定义域关于原点对称求参数()()f x f x -=值6．函数的图像是（ ） ()xf x x x =+A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】化简函数为分段函数，利用解析式即判断图象.【详解】函数的定义域为，，所以C 中的图象满足题意. {}0x x ≠1,0()1,0x x xf x x x x x +>⎧=+=⎨-<⎩故选：C .【点睛】方法点睛：本题考查由解析式选函数图象问题，可由解析式研究函数的性质，如奇偶性，单调性，对称性等等，研究函数值的变化规律，特殊的函数值等等用排除法确定正确选项． 7．已知：，：，则是的（ ）条件 p 11a<q 1a >p q A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．既不充分也不必要D ．充分必要 【答案】B【分析】求出命题对应的的取值范围，根据集合包含关系即可求出.p a 【详解】由可得，即，解得或，所以命题对应的的取值范围为11a<110a -<10a a ->a<01a >p a ，()(),01,-∞⋃+∞因为 ，()1,+∞()(),01,-∞⋃+∞所以是的必要不充分条件.p q 故选：B. 8．若规定，则不等式的解集是（ ） a b ad bc c d=-0213x x <<A ．B ．C ．D ． (1,1)-((1)-⋃【答案】D 【解析】由题意化简，直接求解即可. 0213x x <<【详解】因为， a b ad bc c d=-所以， 2133x x x =-所以，2032x <-<即，213x <<解得或，1x <<1x <<-故选：D二、多选题9．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）(0,)+∞A ．B ． y x =||1y x =+C ．D ． 2y x =1y x=-【答案】BC【分析】逐一判断奇偶性和单调性即可求解 【详解】对于A ：的定义域为，且，()f x x =R ()()f x x f x -=-=-所以为奇函数，故A 错误；()f x x =对于B ：的定义域为，且，所以为偶函()1g x x =+R ()()11g x x x g x -=-+=+=()1g x x =+数，当时，由一次函数的性质可知，在上单调递增， ()0,x ∈+∞()1g x x =+()1g x x =+()0,∞+即在上单调递增，故B 正确；()1g x x =+()0,∞+对于C ：的定义域为，且， ()2h x x =R ()()()22-=-==h x x x h x 所以为偶函数，由幂函数的性质可知，在上单调递增，故C 正确； ()2h x x =()2h x x =()0,∞+对于D ：的定义域为，且， ()1=-F x x ()(),00,∞-+∞U ()()11-=-==--F x F x x x所以为奇函数，故D 错误； ()1=-F x x故选：BC10．函数是定义在R 上的奇函数，下列说法正确的是（ ）()f x A ．()00f =B ．若在上有最小值，则在上有最大值1()f x [0,)+∞1-()f x (,0]-∞C ．若在上为增函数，则在上为减函数()f x [1,)+∞()f x (,1]-∞-D ．若时，，则时，0x >()22f x x x =-0x <()22f x x x =--【答案】ABD【分析】根据奇函数的定义并取特值即可判定；利用奇函数的定义和最值得定义可以求得0x =A 在上有最大值，进而判定；利用奇函数的单调性性质判定；利用奇函数的定义根()f x (,0]-∞B C 据时的解析式求得时的解析式，进而判定．0x >0x <D 【详解】由得，故正确；(0)(0)f f =-(0)0f =A当时，，且存在使得，0x ≥()1f x ≥-00x ≥()01f x =-则时，，，且当有,0x ≤()1f x -≥-()()1f x f x =--≤0x x =-()01f x -=∴在上有最大值为1，故正确；()f x (,0]-∞B 若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则在上为()f x [1,)+∞()f x (,1]-∞-增函数，故错误；C 若时，，则时，，，故0x >()22f x x x =-0x <0x ->22()()()2()2f x f x x x x x ⎡⎤=--=---⨯-=--⎣⎦正确．D 故选：．ABD 【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．11．已知函数，．记，则下列关于函数()1f x x =-()2g x x ={},max ,,a a b a b b a b≥⎧=⎨<⎩的说法正确的是（ ）()()(){}()max ,0F x f x g x x =≠A ．当时， ()0,2x ∈()2F x x=B ．函数的最小值为()F x 2-C ．函数在上单调递减()F x ()1,0-D ．若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则或x ()F x m =21m -<<-1m >【答案】ABD【分析】得到函数，作出其图象逐项判断. ()1,1022,102x x x F x x x x--≤<≥⎧⎪=⎨<-<<⎪⎩或或【详解】由题意得：，其图象如图所示： ()1,1022,102x x x F x x x x--≤<≥⎧⎪=⎨<-<<⎪⎩或或由图象知：当时，，故A 正确； ()0,2x ∈()2F x x=函数的最小值为，故正确；()F x 2-函数在上单调递增，故错误；()F x ()1,0-方程恰有两个不相等的实数根，则或，故正确；()F x m =21m -<<-1m >故选：ABD12．对于定义域为D 的函数，若同时满足下列条件：①在D 内单调递增或单调递()y f x =()f x 减;②存在区间，使在上的值域为．那么把称为闭函[],a b D ⊆()f x [],a b [],a b ()()y f x x D =∈数．下列结论正确的是（ ）A ．函数y ＝x 是闭函数B ．函数y ＝x 2＋1是闭函数C ．函数y ＝﹣x 2(x ≤0)是闭函数D ．函数是闭函数 ()(1)1x f x x x =>-+【答案】AC【解析】对于，函数是在上单调递增的一次函数，符合新定义；对于，函数在上不单调，A R B R 反证法验证错误，对于，函数是在，上单调递增的函数，再根据新定义求区间，对于，C (-∞0]D 函数是单调递减函数，再根据新定义求区间是否存在即可．【详解】选项：因为是上的单调递增的一次函数，且在上任意子区间都满足新定义，A y x =R R 所以正确；A选项：若函数是闭函数，则可设，，，，假设函数递增，则，显然无B [x a ∈]b [y a ∈]b 2211a ab a ⎧=+⎨=+⎩解，若递减，则，解得显然不成立，所以错误； 2211a b b a ⎧=+⎨=+⎩a b =B 选项：函数是开口向下的二次函数，且在区间，上是单调递增的函数，令，C (-∞0]2()f x x =-若是闭函数，则一定有，即，解得满足新定义的闭区间是，，此时，()()f a a f b b =⎧⎨=⎩22a a b b ⎧-=⎨-=⎩[1-0]1a =-，所以正确；0b =C 选项：函数在上单调递减，若满足新定义则有，即，解得，又D (1,)-+∞()()f a b f b a =⎧⎨=⎩11a b a b a b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩a b =，所以不存在区间满足新定义，所以错误a b <D 故选：．AC 【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.三、填空题13．函数的定义域为______. ()12f x x=-【答案】[)()1,22,-⋃+∞【分析】利用二次根式被开方数非负和分式分母不为零，列不等式组可求得答案【详解】由题意得，解得且， 1020x x +≥⎧⎨-≠⎩1x ≥-2x ≠所以函数的定义域为，[)()1,22,-⋃+∞故答案为：[)()1,22,-⋃+∞14．若关于x 的不等式的解集为R ，则实数a 的取值范围是__________．2210ax ax +-<【答案】(]1,0-【分析】分两种情况和，可求出实数的取值范围.0a =0a ≠a【详解】关于的不等式的解集为.x 2210ax ax +-<R 当时，原不等式为，该不等式在上恒成立；0a =1<0-R 当时，则有，解得. 0a ≠20Δ440a a a <⎧⎨=+<⎩10a -<<综上所述，实数的取值范围是.a (]1,0-故答案为：(]1,0-15．已知函数，其中，为常数，若，则___.()34f x ax bx =+-a b ()22f -=()2f =【答案】-10【详解】因为是奇函数，那么则有f(x)+4+f(-x)+4=0,可知33()4()4f x ax bx y f x ax bx =+-∴=+=+，则=-10.(2)2f -=(2)f 16．设为定义在上的偶函数，当时，．若方程有四个()f x R 0x ≥2()(2)2f x x =--+()0f x k -=解，则实数的取值范围是__________．k 【答案】(2,2)-【分析】若方程有四个不同的实数解，则函数与直线有4个交点， ()0f x k -=()y f x =y k =作出函数的图像，由数形结合法分析即可得答案．()f x 【详解】因为函数是定义在上的偶函数且当时，，()f x R 0x ≥2()(2)2f x x =--+所以函数图像关于轴对称，()f x y 作出函数的图像：()f x若方程有四个不同的实数解，则函数与直线有4个交点，()0f x k -=()y f x =y k =由图像可知：时，即有4个交点.2<<2k -故的取值范围是，k (2,2)-故答案为：(2,2)-四、解答题17．已知关于x 的不等式．2(1)0x a x a -++<(1)当时，解上述不等式；2a =(2)当时，解上述关于x 的不等式．R a ∈【答案】(1)不等式解集为：；()1,2(2)答案见解析.【分析】（1）由，，解不等式即可；2a =22(1)0320x a x a x x -++<⇔-+<（2），讨论与1的大小即可.()()2(1)010x a x a x a x -++<⇔--<a 【详解】（1）当时，.2a =22(1)0320x a x a x x -++<⇔-+<.()()232012012x x x x x -+<⇔--<⇒<<则不等式解集为：.()1,2（2）注意到，()()2(1)010x a x a x a x -++<⇔--<①当时，不等式解集为：；1a >()1,a ②当时，不等式解集为空集；1a =③当时，不等式解集为：.1a <(),1a 18．已知函数的图象关于原点对称，且当时，()y f x =0x ≥()22f x x x =-(1)试求在R 上的解析式；()f x (2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.【答案】(1) 222(0)()0(0)2(0)x x x f x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪--<⎩(2)函数图象见解析，单调递增区间为和，单调递减区间为；(),1-∞-()1,+∞()1,1-【分析】（1）依题意是上的奇函数，即可得到，再设，根据时的解析式()f x R (0)0f =0x <0x >及奇函数的性质计算可得；（2）由（1）中的解析式画出函数图形，结合图象得到函数的单调区间；【详解】（1）解：的图象关于原点对称，()f x 是奇函数，．()f x ∴()()f x f x ∴-=-又的定义域为，，解得．()f x R (0)(0)f f ∴=-(0)0f =设，则，0x <0x ->当时，，0x >2()2f x x x =-22()()2()2()f x x x x x f x ∴-=---=+=- ，2()2f x x x ∴=--所以； 222(0)()0(0)2(0)x x x f x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪--<⎩（2）解：由（1）可得的图象如下所示：()fx由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为；()f x (),1-∞-()1,+∞()1,1-19．已知函数，且． ()()2R x a f x a x+=∈()15f =(1)求a 的值；(2)判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断．()f x ()0,2【答案】(1)4(2)在区间上单调递减，证明见解析 ()4f x x x=+()0,2【分析】（1）直接根据即可得出答案；()15f =（2）对任意，且，利用作差法比较的大小关系，即可得出结论. ()12,0,2x x ∈12x x <()()12,f x f x 【详解】（1）解：由得，解得； ()15f =15a +=4a =（2）解：在区间内单调递减，()f x ()0,2证明：由（1）得，()244x f x x x x +==+对任意，且， ()12,0,2x x ∈12x x <有， ()()()()()()2112121212121212124444----=+--=-+=x x x x x x f x f x x x x x x x x x x x 由，，得，，又由，得， 1x ()20,2x ∈1204x x <<1240x x -<12x x <120x x -<于是，即，()()12121240x x x x x x -->()()12f x f x >所以在区间上单调递减． ()4f x x x=+()0,220．已知关于的不等式的解集为或． x 230ax x b +>-{|1x x <2}x >(1)求的值；a b ，(2)当，且满足＝1时，有恒成立，求的取值范围．00x y >>，a bx y+222x y k k +≥++k 【答案】(1)； 1,2a b ==(2). []3,2-【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，利用韦达定理可列出方程组，即得； （2）利用基本不等式求得的最小值，根据恒成立可得，即得. 2x y +260k k +-≤【详解】（1）因为不等式的解集为或， 230ax x b +>-{|1x x <2}x >所以1和2是方程的两个实数根且， 230ax x b -+=0a >所以，解得，31+2=1×2=a b a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩=1=2a b ⎧⎨⎩经检验满足条件，=1=2a b ⎧⎨⎩所以；1,2a b ==（2）由（1）知，于是有，=1=2a b ⎧⎨⎩121x y +=故， ()12422448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭≥（当时等号成立）2,4x y ==依题意有，即， 228k k ++≤260k k +-≤解得，32k -≤≤所以的取值范围为.k []3,2-21．2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间x （被调查的一个月内的第x 天）的函数关系近似满足()P x （k 为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x （天）部分数据如下表所示： ()1kP x x=+()Q x x10 20 25 30()Q x 110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元． (1)求k 的值；(2)给出两种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选()Q x ax b =+()|25|Q x a x b =-+择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x 的关系，并求出该函数的解析()Q x 式；(3)求该商品的日销售收入（，）（元）的最小值． ()f x 130x ≤≤*N x ∈【答案】(1)1k =(2)选择②，，（，） ()125|25|Q x x =--130x ≤≤*N x ∈(3)121元【分析】（1）根据第10天该商品的日销售收入为121元，列式求得答案；（2）由表中数据的变化可确定描述该商品的日销售量与时间x 的关系，代()|25|Q x a x b =-+()Q x入表述数据可求得其解析式；（3）讨论去掉绝对值符号，分段求出函数的最小值，比较可得答案. 【详解】（1）因为第10天该商品的日销售收入为121元， 所以，解得；(10)(10)111012110k P Q ⎛⎫⋅=+⋅= ⎪⎝⎭1k =（2）由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调， 故只能选②:()|25|Q x a x b =-+代入数据可得：，解得，，11010251202025a ba b ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩1a =-125b =所以，（，）()125|25|Q x x =--130x ≤≤*N x ∈（3）由（2）可得，， ()**100,125,N 12525150,2530,N x x x Q x x x x x ⎧+≤<∈=--=⎨-≤≤∈⎩所以，，()()()**100101,125,N 150149,2530,N x x x xf x P x Q x x x x x ⎧++≤<∈⎪⎪=⋅=⎨⎪+-≤≤∈⎪⎩所以当，时，在区间上单调递减，在区间上单调递125x ≤<*N x ∈100()101f x x x=++[1,10][10,25)增，所以当时，有最小值，且为121； 10x =()f x 当，时，为单调递减函数， 2530x ≤≤*N x ∈150()149f x x x=+-所以当时，有最小值，且为124， 30x =()f x 综上，当时，有最小值，且为121元， 10x =()f x 所以该商品的日销售收入最小值为121元． 22．已知函数.()f x x m =-(1)若函数在上单调递增，求实数m 的取值范围；()f x []1,2(2)若函数在的最小值为7，求实数m 的值.()()2g x xf x m =+[]1,2【答案】(1) (],1-∞(2)或 2m =-1m =-【分析】（1）化为分段函数，结合单调性得到实数m 的取值范围；（2）化为分段函数，对分类m 讨论，结合最小值为7，求出实数m 的值，注意舍去不合要求的值.【详解】（1），即在上单调递减，在上单调递(),,x m x mf x x m m x x m -≥⎧=-=⎨-<⎩()f x ()m -∞，[),m +∞增，若函数在上单调递增，则，所以实数m 的取值范围是；()f x []1,21m £(],1-∞（2）, ()()222222,,x mx m x mg x xf x m x x m m x mx m x m ⎧-+≥=+=-+=⎨-++<⎩①当时，在上单调递增，故，解得：或3（舍1m £()g x []1,2()()2min 117g x g m m ==-+=2m =-去）；②当时，，解得：（舍去）；12m <≤()()2min 7g x g m m ===m =③当时，在上单调递增，在上单调递减，且更靠近1，所以23m <≤()g x 1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭,22m ⎛⎫ ⎪⎝⎭2m x =，解得：或（舍去）；()()2min 2247g x g m m ==+-=1m =-1-④当时，在上单调递增，在上单调递减，且更靠近2，所以34m <≤()g x 1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭,22m ⎛⎫ ⎪⎝⎭2m x =，解得：（舍去）或3（舍去）；()()2min 117g x g m m ==-+=2m =-⑤当时，在上单调递增，故，解得：（舍去）4m >()g x []1,2()()2min 117g x g m m ==-+=2m =-或3（舍去）；综上：或.2m =-1m =-。

内江六中2023--2024学年（下）高2026届半期考试数学试题考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷 选择题（满分60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 设平面向量，则A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【详解】∵ ∴故选A ；【考点】：此题重点考察向量加减、数乘的坐标运算；【突破】：准确应用向量的坐标运算公式是解题的关键；2. 已知复数，则的虚部为（ ）A 2B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据复数的概念判断即可.【详解】复数的虚部为.故选：C3. 在所在平面内，是延长线上一点且，是的中点，设，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C.()()3,5,2,1a b ==- 2a b -=()7,3()7,7()1,7()1,3()()3,5,2,1a b ==- ()()()()23,522,1345273a b -=--=+-=，，12z i =-z 2i 2-2i-12z i =-2-ABC D BC 4BD CD =E AB AB a =AC b= ED =1455a b + 3144a b +5463a b-+ 5564a b-+【解析】【分析】根据给定条件，借助向量的线性运算用 、表示即可判断作答.【详解】在所在平面内，在延长线上，且，则，又是的中点，所以.故选：C4. 若，，则（ ）A.B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】由两角和与差的正切公式即可求解.【详解】．故选：D .5. 已知，则向量的夹角为（ ）A. B. C.D. 【答案】C 【解析】【分析】利用向量模的计算公式，化简求得，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】由题意，向量，可得，解得，又由，可得.故选：C.6. 在中，，是直线上的一点，若则实数的值为（ ）AB AC EDABC D BC 4BD CD =43BD BC =EAB 2)14141454()2332363(ED EB BD AB BC AB AC AB a b a a b =+=+=+-=+-=-+ tan 2α=tan 8(2)αβ+=tan()αβ+=101735-25617tan(2)tan 826tan()tan(2)1tan(2)tan 18217αβααβαβααβα+--+=+-===+++⨯3,1,2a b a b ==-= ,a b30 6012015032a b ⋅=- 3,1,2a b a b ==-=222224434419a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅+= 32a b ⋅=- 1cos ,2a b a b a b⋅==-⋅,120a b = ABC 32AD DC = P BD 25AP t AB AC =+tA. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】依题意可得，根据平面向量共线定理的推论及平面向量基本定理计算可得.【详解】因，所以，又是直线上的一点，所以，又，所以，所以.故选：B7. 在△ABC 中，若，则△ABC 是（ ）A. 等腰三角形 B. 等边三角形C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形【答案】A 【解析】【分析】根据已知，诱导公式与和、差角的余弦公式化简得到，从而得到，进而即可得出结论．【详解】在△ABC 中，由，得 ，则为13-1323-2353AC AD =32AD DC = 53AC AD =P BD ()1AP xAB x AD =+-2532AP t AB AC t AB AD =+=+ 213x tx =⎧⎪⎨-=⎪⎩13x t ==2sin sin cos 2CA B =()cos 1A B -=A B =πA B C ++=()πC A B =-+，所以，即，则，又，，则，所以，即，所以△ABC 为等腰三角形，但无法判断C 是不是直角．故选：A ．8. 已知函数在区间上单调递增，则下列选项中错误的是（ ）A. 函数两个零点的最小距离为，则B. 若，则C. 若，则D. 若，且函数在区间有唯一零点，则【答案】C 【解析】【分析】根据题意，利用正弦型函数的周期性，单调性等有关的性质逐一进行分析，判断各项是否正确.【详解】对于A 中，函数在区间上单调递增，所以该函数的最小正周期满足，所以，当时，成立，所以的最大值为2，所以A 正确；对于B 中，因为在区间上单调递增，()()21cos 1111111cos cos πcos cos cos sin sin 222222222C C A B A B A B A B +⎡⎤==+-+=-+=-+⎣⎦111sin sin cos cos sin sin 222A B A B A B =-+cos cos sin sin 1A B A B +=()cos 1A B -=0πA <<0πB <<ππA B -<-<0A B -=A B =()()0()sin f x x ωϕω=+>π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭()12y f x =-π32ω=π3ϕ=-504ω<≤5π012f ⎛⎫>⎪⎝⎭π2π063f f ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π6ϕ=()f x [0,π]1,16ω⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦()()()sin 0f x x ωϕω=+>π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭T π2πππ2362T ω=≥-=2ω≤5π6ϕ=-2ω=ω()()()sin 0f x x ωϕω=+>π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭故有，当时，，所以，所以，所以，又因为，故，可得，所以B 正确；对于C 中，由于，故当时，，故C 错误；对于D 中，当，，所以，又因为函数在区间有唯一零点，所以，解得，所以D正确.故选：C二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.）A.B.C.D. 【答案】ACπ2πππ22362T ωω=≥-=⇒≤π3ϕ=-π2π,63x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ2ππ6333x ωωωϕ-<+<-πππ2π632,Z 2πππ2π332k k k ωω⎧-≥-⎪⎪∈⎨⎪-≤+⎪⎩121534k k ωω≥-⎧⎪⎨≤+⎪⎩2ω≤0k =504ω<≤π2π5ππ2π63,21263+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭5π012f ⎛⎫> ⎪⎝⎭π2π063f f ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π6ϕ=[]0,πx ∈ππππ666x ωω≤+≤+()f x []0,ππππ6ππ2π6ωω⎧+≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩1,16ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+︒︒tan 21tan 24tan 21tan 24︒+︒+︒︒1tan151tan15+︒-︒2cos 15sin15cos 75︒︒-︒【解析】【分析】由两角和与差的正弦，正切公式，二倍角的余弦公式对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于AA 正确；对于B ，因为，可得，所以，故B 错误；对于C ，C 正确；对于D ，D 错误.故选：AC .10. 已知向量，则（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则向量与向量D. 若，则向量在向量上的投影向量为【答案】AC 【解析】【分析】利用向量共线的充要条件的坐标表示判断A ；利用向量垂直的充要条件的坐标表示判断B ；利用向量夹角的坐标表示判断C; 利用向量投影的坐标表示判断D【详解】若，则，解得，故A 正确．2⎫︒+︒=︒+︒⎪⎪⎭()()2cos 45sin15sin 45cos152sin 15452=︒︒+︒︒=︒+︒==()tan 21tan 24tan 45tan 21241tan 21tan 24︒+︒︒=︒+︒=-︒︒()tan 21tan 24tan 451tan 21tan 24︒+︒=︒-︒︒tan 21tan 24tan 21tan 24︒+︒+︒︒()tan 451tan 21tan 24tan 21tan 241=︒-︒︒+︒︒=()1tan15tan 45tan15tan 45151tan151tan 45tan15+︒︒+︒==︒+︒=-︒-︒⋅︒222cos 15sin15cos 75cos 15sin 15cos30︒-︒︒=︒-︒=︒=()(),1,4,2a x b ==a b ∥2x =a b ⊥12x =3x =ab=1x -b aa b∥240x -=2x =若，则，解得，故B 错误．若，则，又，所以向量与向量的夹角的余弦值为，故C 正确．若，则，又，所以向量在向量上投影向量为，故D 错误．故选：AC ．11. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A. 的表达式可以写成B.的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数C. 的对称中心，D. 若方程在上有且只有6个根，则【答案】ABC 【解析】【分析】利用特殊点求得函数的解析式即可判断A ，根据相位变换求得新函数解析式即可判断奇偶性，即可判断B ，先求出的解析式，然后代入正弦函数对称中心结论求的a b ⊥ 420x +=12x =-3x =()3,1a =()4,2b = a b a b a b⋅== =1x -()1,1a =-()4,2b = b a ()1,1a b a a a ⋅⋅==-()ππ)02,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<≤-<< ⎪⎝⎭()f x ()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 3π8()π14g x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ππ,182k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭Z k ∈()1f x =()0,m 5π13π,24m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x ()g x解判断C ，把问题转化为根的问题，找到第7个根，即可求解范围判断D.【详解】对A ，由，即又，所以，又的图象过点，则，即，所以，即得，，又，所以，所以，故A 正确；对B ，向右平移个单位后得，为奇函数，故B正确；对于C ，，令得，所以对称中心，，故C 正确；对于D ，由， 得，因为，所以，令，解得.又在上有6个根，则根从小到大为，再令，解得，则第7个根为，，故D 错误．πsin 24x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()01f =-1ϕ=-sin ϕ=ππ22ϕ-<<π4ϕ=-()f x π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππsin 084ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭πππ84k ω-=82k ω=+Z k ∈02ω<≤2ω=π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 3π83π3ππ2π)884y f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦πππ()2121444g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()π2π4x k k +=∈Z ()ππ82k x k =-+∈Z ππ,182k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭Z k ∈()1f x =πsin 24x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(0,)x m ∈πππ2,2444x m ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭4444444ππ3π9π11π17π19π2,,,,,m -=ππ5π3π9π5π,,,,,424242m =()0,m ππ5π3π9π5π,,,,,424242π25π244m -=13π4m =13π45π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选：ABC .12. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，且只有一解，则b 的取值范围为C. 若，且为锐角三角形，则周长的取值范围为D. 若为锐角三角形，，则AC 边上的高的取值范围为【答案】AC 【解析】【分析】根据正弦定理边角互化可得，即可根据余弦定理，结合不等式求解A ；根据正弦定理即可求解B ，根据正弦定理，结合三角恒等变换以及三角函数的性质即可求C ，根据余弦定理得，即可根据二次函数的性质求解D.【详解】由正弦定理可得，即因为，所以，所以，对于A ，若，由余弦定理得，由，，可得，即，当且仅当时等号成立，则面积，所以，故A 正确；对于B ，若，且，由正弦定理得，所以，2cos cos c B b C a +=π3A =ABC π4A =ABC (]0,1π3A =ABC ABC (1⎤⎦ABC 2AC =1a =235c <<sin cos sin cos sin C B B C a A +=()sin sin sin B C A a A +==0πA <<sin 0A ≠1a =π3A =22222π1cos cos 322b c a b c A bc bc+-+-===0b >0c >2212b c bc bc +=+³1bc ≤b c =ABC 11sin 22bc A ≤⨯=ABC π4A =1a =1πsin sin 4b B=πsin sin4B b ==当，时有一解，故B 错误；对于C ，若，由正弦定理得，由于为锐角三角形，故且，故，因此，故，故C 正确；对于D ，由于为锐角三角形，，，所，故AC 边上的高为，故D 错误．故选：AC第Ⅱ卷 非选择题（满分90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 在中，已知，则角为_________.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理的变形形式即可求解.【详解】在中，，所以，，sin 1B =1=b =π3A =sin a A =)2π1sin sin 1sin sin 3a b c B C B B ⎫⎛⎫++=++=++- ⎪⎪⎝⎭⎭3π1sin 12sin 26B B B ⎫⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭ABC π02B <<2ππ032B <-<ππ62B <<ππ2π,633B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭(π12sin 16a b c B ⎛⎫⎤++=++∈+ ⎪⎦⎝⎭ABC 2AC b ==1a =2222222222222533541a b c c a c b c c c b a c ⎧⎧+>>⎪⎪+>⇒>⇒<<⎨⎨⎪⎪+>+>⎩⎩sin a C ⎫===⎪⎪⎭ABC 222c a b ab =+-C 3πABC 222c a b ab =+-222ab a b c =+-2221cos 222a b c ab C ab ab +-===又因为，所以.故答案为：【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.14. 函数，最大值是______．【答案】2【解析】【分析】利用辅助角公式，结合定义域求解出函数的最大值.【详解】，又，，．的最大值为2．故答案为：215.如图，风景秀美的宝湖公园有一颗高大的银杏树，某研究小组为测量树的高度，在地面上选取了两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点间的距离为，则这颗银杏树的高度为_________________.【答案】【解析】的0C π<<3C π=3πsin y x x =[]0,πx ∈1sin 2sin 2y x x x x ⎛⎫=+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭=πππ2cos sin sin cos 2sin 333x x x ⎛⎫⎛⎫⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭[0,π]x ∈ ππ4π,333x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦πsin 3x ⎡⎤⎛⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦π2sin 23x ⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭sin y x x ∴=+,A B ,A B 30 45 ,A B 20m m 1)+【分析】在中，利用余弦定理求出，再利用直角三角形的边角关系求解即得.【详解】在中，，由正弦定理得，则，在中，，因此，所以这颗银杏树的高度为.故答案为：16. 已知向量，满足，，且，若向量与的夹角为30°，则的最大值是___________.【答案】【解析】【分析】设证明四点共圆.设外接圆半径为,要使最大，所以必须过圆心，利用正弦、余弦定理求出即得解.【详解】设所以, 所以,ABC BC ABC 20,30,15AB A ACB ==∠= 1sin15sin(4530)2=-==sin 30sin15BC AB =BC ==Rt BCD 90BDC ∠= sin 451)CD BC ==+=+ 1)m +1)+a →b →1a →=b = 32a b ⋅=- - a c b c -||c →,,,OA a OB b OC c →→→→→→===,,,O A B C R ||c →OC 2R ,,,OA a OB b OC c →→→→→→===,a c CA b c CB →→→→→→-=-=30ACB ∠=所以，因为，所以所以四点共圆.设外接圆半径为,要使最大，所以必须过圆心，此时，在中，由余弦定理得.由正弦定理得.故答案为：四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 设复数，其中.（1）若是纯虚数，求的值；（2）所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据纯虚数的定义可得到解方程即可；（2）根据复数对应的点在复平面的第四象限内可以得到，解不等式即可.【小问1详解】是纯虚数，只需，解得.【小问2详解】cos ,||||a ba b a b →→→→→→<>=== ,[0180]a b →→<>∈ ，,150,150.a b AOB →→<>=∴∠= ,,,O A B C R ||c →OC OAB2137,AB AB =+-=∴=2sin ABOC R AOB===∠()22276i z a a a a =+-+-+R a ∈z a z a 2-()1,62220760a a a a ⎧+-=⎨-+≠⎩2220760a a a a ⎧+->⎨-+<⎩z 2220760a a a a ⎧+-=⎨-+≠⎩2a =-由题意知，解得，故当时，所对应的点在复平面的第四象限内.18. 已知函数．（1）把化为的形式，并求的最小正周期；（2）求的单调递增区间以及对称中心．【答案】（1）； （2），；，【解析】【分析】（1）先降幂，由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦型函数性质求解；（2）由正弦型函数的单调区间可得，根据正弦型函数的对称中心可求解对称中心.【小问1详解】，所以最小正周期为．【小问2详解】由，，解得，，所以的增区间为，．由，，2220760a a a a ⎧+->⎨-+<⎩16a <<16a <<z ()22cos cos sin f x x x x x =+-()f x sin()y A x ωϕ=+()f x ()f x ()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ππππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z ππ,0212k⎛⎫- ⎪⎝⎭k ∈Z ()2cos 2f x x x =+π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2ππ2T ==πππ2π22π262k x k -≤+≤+k ∈Z ππππ36k x k -≤≤+k ∈Z ()f x πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k ∈Z π2π6x k +=k ∈Z解得，，所以对称中心为，.19. 在中，，，边，上的点，满足，，为中点．（1）设，求实数，的值；（2）若，求边的长．【答案】（1），； （2）8.【解析】【分析】（1）根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得；（2）用、表示出，再根据数量积的运算律及定义计算可得.【小问1详解】因为，，所以，，所以，又，且、不共线，ππ212k x =-k ∈Z ππ,0212k⎛⎫-⎪⎝⎭k ∈Z ABC 6BC =60ACB ∠=︒AB BC M N 13BM MA =2BN NC =P AC NM CB CA λμ=+u u u r u u r u u rλμ8BP NM ⋅=-AC 512λ=14μ=CB CA BP13BM MA = 2BN NC = 14BM BA = 23BN BC = 1243NM BM BN BA BC=-=-u u u r u u u r u u u r u u r u u u r()125143124BC CA BC CB CA =+-=+u uu r u u r u u u r u u r u u r NM CB CA λμ=+u u u r u u r u u r CB CA所以，；【小问2详解】因为，所以，解得或（舍去），即边的长为．20. 在第六章平面向量初步中我们学习了向量的加法、减法和数乘向量三种运算，以及由它们组合成的线性运算那向量乘法该怎样运算呢？数学中向量的乘法有两种：数量积和向量积（又称为“·乘”，“×乘”）．向量与的向量积记作：．其中的运算结果是一个向量，其方向垂直于向量与所在平面，它的长度．现在我们定义一种运算规则“”．设平面内两个非零向量而，元的夹角为，规定示．试求解下列问题：（1）已知向量，满足，，，求的值；（2）已知向量，，，求的最小值．【答案】（1）2 （2）9【解析】【分析】（1）借助新定义计算即可得；（2）借助所给定义及三角函数间的关系，计算可得，代入数据，结合基本不等式计算即可得.【小问1详解】由己知，得，512λ=14μ=12BP BC CD CB CA =+=-+u u r u u u r u u u r u u r u u r1512124BP NM CB CA CB CA ⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u r u u u r u u r u u r u u r u u r 2251112248CB CB CA CA =--⋅+u u r u u r u ur u u r 225111668122428CA CA =-⨯-⨯⨯⨯+⨯=- 8CA = 7CA =-AC 8aba b ⨯ a b ⨯a bsin a b a b θ⨯= ⊗θ||||sin m n m n θ≡⊗=r r r ra b (2,1)a = 2b = 4a b ⋅= a b ⊗ 12,cos sin a αα⎛⎫= ⎪⎝⎭r 21,sin cos b αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭r π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭a b ⊗ 1221sin a b a b x y x y θ⊗==-()2,1a = a =所以，即，又，所以，所以；【小问2详解】法一：设，，则，，所以，所以，故，，当且仅当，即时等号成立．所以的最小值的最小是9．法二：，故．故．故cos 44a b a b θθ⋅=⋅=⇒=cos θ=0πθ<<sin θ=||||sin 2a b a b θ⊗===r r r r 11(,)a x y = 22(,)= b x y ||a =r ||b =r cos ||||a ba b θ⋅==⋅r r r rsin θ===1221||||sin ||a b a b x y x y θ⊗==-r rr r 22221414cos sin cos sin a b αααα⊗=--=+ 22222222221414sin 4cos (cos sin )5cos sin cos sin cos sin αααααααααα⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭59≥+=2222sin 4cos cos sin αααα=tan α=a b ⊗ 12210cos sin sin cos a b αααα⎛⎫⋅=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭a b ⊥ sin ,1a b = 2214sin ,cos sin a b a b a b αα⊗==+22222222221414sin 4cos (cos sin )5cos sin cos sin cos sin αααααααααα⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，当且仅当，即时等号成立．所以的最小值的最小是9．21. 为了丰富同学们的课外实践活动，某中学拟对生物实践基地（△ABC 区域）进行分区改造．△BNC 区域为蔬菜种植区，△CMA区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理，△MNC 区域规划为学生自主栽培区．△MNC 的周围将筑起护栏．已知m ，m ，，，设．（1）若m ，求护栏的长度（△MNC 的周长）；（2）试用表示△MNC 的面积，并研究△MNC 的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由．【答案】（1）（m） （2），最小值为．【解析】【分析】（1）利用余弦定理证得，从而判断得是正三角形，由此得解；（2）在与中，利用正弦定理求得与关于的表达式，从而利用三角形的面积公式得到关于的表达式，再结合三角函数的最值即可得解.【小问1详解】依题意，在中，m ，m ，，所以，则，，即，所以，又，故，所以是正三角形，则m ，m ，59≥+=2222sin 4cos cos sin αααα=tan α=a b ⊗20AC =40AB =60BAC ∠=︒30MCN ∠=︒ACM θ∠=10AM =θ30+S =(23002m -AM CM ⊥ANC ANC ACM CN CM θCMN S θAMC 20AC =10AM =60BAC ∠=︒2222cos 300CM AM AC AM AC A =+-⋅=1CM =222AC CM AM =+AM CM ⊥30ACM ∠=︒30MCN ∠=︒60ACN∠=︒ANC 20CN AN AC ===10MN AN AM =-=所以护栏的长度为（m ）．【小问2详解】学生自主栽培区的面积有最小值，理由如下：设，在△ANC 中，，则，由正弦定理得，得在中，，由正弦定理得，得所以，所以当且仅当，即时，．22. 在锐角中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足．（1）求证：；（2）若，求a 边的范围；（3）求的取值范围．【答案】（1）证明见解析 （2）30CMCN MN ++=+MNC (23002m -060()ACM θθ∠=︒<<︒30MCN ∠=︒()180603090ANC θθ∠=︒-︒-+︒=︒-20sin 60sin(90)cos CN AC θθ==︒︒-CN =ACM 18060120CMA θθ∠=︒-︒-=︒-sin 60sin(120)CM AC θ=︒︒-CM =1300sin 3024sin(120)cos CMN S CM CN θθ︒-︒=⋅⋅=△3004(sin120cos cos120sin )cos θθθ=︒-︒===26090θ+︒=︒15θ=︒CMN (23002m =ABC 22a b bc -=2A B =1b =112sin tan tan A B A-+（3）．【解析】【分析】（1）由，进而得到，再利用正弦定理将边转化为角，利用两角和的正弦公式求解；法二：由，利用正弦定理转化为，进而得到，再利用和差化积求解.（2）由（1）知，进而得到，再根据为锐角三角形，得到，再由，利用正弦定理求解；（3）由（2）知，转化为，再令，得到求解.【小问1详解】解：因为，所以，由正弦定理可得，又因为，代入可得，即，因为，，则，故，所以或，即或（舍去），所以．法二：由正弦定理可得：，则，则，⎫⎪⎪⎭22222cos a b c bc A b bc =+-=+2cos c b b A -=22a b bc -=22sin sin sin sin A B B C -=()()sin sin sin sin sin sin A B A B B C +-=2A B =π3C B =-ABC 64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1b =ππ2,32A B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭1112sin 2sin tan tan sin A A B A A -+=+sin A t =12y t t=+22222cos a b c bc A b bc =+-=+2cos c b b A -=sin sin 2sin cos C B B A -=()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+sin cos Cos sin sin A B A B B -=()sin sin A B B -=0A <πB <sin 0B >0πA B <-<A B B -=πA B B -+=2A B =πA =2A B =22sin sin sin sin A B B C -=()()sin sin sin sin sin sin A B A B B C +-=2sincos 2sin cos sin()sin(-)sin sin 2222A B A B A B A BA B A B B C +--+⨯=+⨯=又，故，因为，，则，故，所以或，即或（舍去），【小问2详解】因为为锐角三角形，，所以，由，解得，又故．小问3详解】由（2）知．由，，令，则在上单调递增，所以，所以的取值范围为．【()sin sin 0A B C +=≠()sin sin A B B -=0A <πB <sin 0B >0πA B <-<A B B -=πA B B -+=2A B =πA =ABC 2A B =π3C B =-π02π022π0π32B B B ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1b =sin 2cos sin b A a B B ==∈ππ2,32A B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭11cos cos 2sin 2sin tan tan sin sin B A A A B A B A-+=-+sin()12sin 2sin sin sin sin A B A A A B A-=+=+sin A t =12y t t =+t ⎫∈⎪⎪⎭y ⎫∈⎪⎪⎭112sin tan tan A B A -+⎫⎪⎪⎭。

四川省成都外国语学校2012-2013学年高一数学上学期期中试题注意事项：1。

本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分,答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效。

3。

回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4。

考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合{}1,0,1M =-，集合{}0,1,2N =,则MN 等于（ ）A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-A BC D3．若函数1(),10,4()4,01,xx x f x x ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩则4(log 3)f = （ )A ．13 B ．3 C ．14 D ．44．已知函数3()3f x x x=-(0)x ≠，则函数( )A ．是奇函数，且在(0,)+∞上是减函数B ．是偶函数，且在(0,)+∞上是减函数xyxyxyxyC ．是奇函数,且在(0,)+∞上是增函数D ．是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数 5 。

给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间（0，1)上单调递减的函数序号是（ ）A. ①④ B。

①② C。

②③ D.③④6．由表格中的数据可以判定方程02e =--x x 的一个零点所在的区间则k 的值为（ )x－1 0 1 2 3 x e0.37 1 2.72 7.39 20。

09 2x +1 23 45A ．0B ．1C ．2D ．37．下列幂函数中，定义域为R 且为偶函数的个数为（ ） （1）2y x -= （2）y x = （3)13y x= （4）23y x =A ．1个B 。

内江市2012—2013学年度第一学期高一期末检测数 学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1—2页，第Ⅱ卷第3—8页，全卷满分150分，考试时间：120分钟。

(2013年1月28日8:00—10:00)注意事项：1．在答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B 铅笔填涂在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题号的大难标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上；3．考试结束后，将第Ⅱ卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷(选择题 满分60分)一．选择题：本大共12小题，每小题5分，共60分；在每小题的四个选项中只有一个是正确的；把正确选项的代号填在机读卡的指定位置。

1．若集合{}{}1,4,5,2,3,4S T ==，则ST 等于A ．{}1,4,5,6B ．{}4C ．{}1,5D ．{}1,2,3,4,5 2．下列各组中的两个函数是同一函数的为A ．()()3553x x y y x x +-==-+与 B ．y y ==C ．()()f x g t ==D ．()()1225f x f t x ==-2与3．用“五点法”作2sin 2y x =的图象是，首先描出的五个点的横坐标是 A ．30,,,,222ππππ B ．30,,,,424ππππ C ．0,,2,3,4ππππ D ．20,,,,6323ππππ4．已知平面向量()()3,1,,3a b x ==-，且a b ⊥，则x 的值为 A ．3- B ．1- C ．1 D ．35．若0,0,0,01,0x y a b a m >>>>≠≠且，则下列各式中正确的是①2log 2a a = ②()lg lg lg xy x y =+ ③log log m na a nb b m =④1lg lg x x=-A ．①②③④B ．①②④C ．①②③D ．③④6．已知,a b 是不共线的两个向量，且()1212,,,AB a b AC a b R λλλλ=+=+∈，若,,A B C 三点共线，则12,λλ满足的条件为A ．121λλ==-B ．121λλ==C ．1210λλ+=D ．1210λλ-= 7．函数()33sin 1,,444f x x x πππ⎛⎫⎡⎤=++∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域是 A ．[]1,3 B ．[]0,3 C ．[]1,4 D ．[]2,4- 8．设关于x 的方程ln 260x x +-=的实数解为0x ，则0x 所在的区间是 A ．5,32⎛⎫⎪⎝⎭ B ．()3,4 C ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭9．已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-等于A ．43-B ．54C ．34-D ．4510．为了得到函数2cos 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象A ．向左平移3π个长度单位 B ．向右平移3π个长度单位 C ．向左平移2π个长度单位 D ．向右平移2π个长度单位 11．在ABC ∆中，点O 是其内一点，若0OA OB OC ++=，且OA OB O B OC O C O A ⋅=⋅=⋅，则ABC ∆的形状是A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．边长不等的锐角三角形12．已知()()()()314211log 1a x a a x f x xx -+⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩是(),-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,73⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二．填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案直接添在题中的横线上。