第5讲函数的概念、解析式及定义域

课题7：函数的概念（一）一、复习准备：1．讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2．回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量。

表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：（一）函数的定义：设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A=∈其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。

显然，值域是集合B 的子集。

（1）一次函数y=ax+b (a≠0)的定义域是R，值域也是R；（2）二次函数2y ax bx c =++(a≠0)的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭；当a﹤0时，值域244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭。

（3）反比例函数(0)k y k x =≠的定义域是{}0x x ≠，值域是{}0y y ≠。

（二）区间及写法：设a 、b 是两个实数，且a<b ，则：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；（2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a,b ）；（3）满足不等式a x b a x b ≤<<≤或的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为[)(],,,a b a b ；这里的实数a 和b 都叫做相应区间的端点。

符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。

第五讲 函数的概念及定义域一、【知识梳理】知识点一 函数的概念1、函数的概念：设,A B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。

记作：()y f x =，x A ∈。

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，所有函数值y 的集合B 叫做函数的值域。

注：（1）定义域、值域、对应法则称函数的三要素。

两个函数相同，这三个要素必须相同，缺一不可。

（2）对应法则f ，可以是解析式，可以是图象、表格、文字描述；自变量x 只能是数。

（3）()f x 与()f a 的关系：()f x 是自变量x 的函数，()f a 表示x a =时()f x 的函数值。

2、区间与“无穷大”：设,a b 是两个实数，而且a b <，则（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[],a b ； （2）满足不等a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(),a b ；（3）满足不等式a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[)(],,,a b a b ；（4）实数集R 也可以用区间表示为(,)-∞+∞，其中“∞”读作“无穷大”。

（5）若x a ≤，可表示为],(a -∞,x a ≥ ,可表示为[),a +∞； （6）若a x <,可表示为(,)a -∞,a x > ,可表示为(,)a +∞。

知识点二 映射的概念1、映射的概念：设,A B 是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意一个元素，在集合B 中都有唯一的一个元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射，记作:f A B →2、若:f A B →，且,a Ab B ∈∈,如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a的象，元素a 叫做元素b 的原象。

函数的概念、定义域及解析式函数的概念、定义域及解析式一．课题：函数的概念及解析式二．教学目标：了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解；能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数；理解分段函数的意义．三．教学重点：函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法则是核心，定义域是灵魂．四．教学过程：（一）主要知识：1．对应、映射、像和原像、一一映射的定义；映射----设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中的任意一个元素X，在集合B中都有唯一确定的元素Y与之对应，那么这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射。

记作f:A→B.其中X叫做Y的原象，Y叫做X的象。

映射是特殊的对应，只能一对一或多对一，不能一对多。

一一映射-----在集合A到集合B的映射中，若集合B中的任意一个元素在集合A中都有唯一的元素与之对应，那么就说这样的映射叫做从集合A到集合B的一一映射。

2．函数的概念函数的传统定义和近代定义；传统定义-------如果在某变化过程中有两个变量X、Y，对于X在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，Y都江堰市有唯一的值和它对应，那么Y就是X的函数。

记为Y=f（X）近代定义-----函数是由一个非空数集另一个非空数集的映射。

（或如果A、B 都是非空的数集，那么从A到B的映射f：A→B叫做A到B的函数。

原象的集合Ａ叫做函数的定义域，象的集合Ｃ叫做函数的值域）。

函数是特殊的映射，只能是从非空数集到非空数集的映射。

3．函数的三要素及表示法．函数的三要素-----定义域、值域、对应法则。

（是判断两个是否为同一函数的依据）由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，故也可说函数只有两要素，即判两个函数是否为同一函数可用定义域和对应法则来判断。

函数的表示法通常有：解析法、列表法、图象法。

4，函数的解析式：函数的解析式是指用运算符号和等号把数和表示数的字母连结而成的式子。

函数（1）——函数的基本概念一、基础知识 (一)、函数的有关概念 （1）函数的定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y =f (x )，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域．（强调：①任意性；②唯一性）。

（2）函数的定义域、值域在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，x 叫做自变量， A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， 叫做函数的值域．（3）函数的三要素： 、 和 。

（4）．函数的表示方法表示函数的常用方法有： 、 和 （二）．相等函数如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则这两个函数为相等函数． 三、分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值域等于各段函数的值域的 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．二、 例题分析 （一） 函数的概念：例题1、以下各组函数表示同一函数的是（ C ）A . f (x )＝x ·x ＋1，g (x )＝x (x ＋1)； B. f (x )＝x 2－4x －2，g (x )＝x ＋2；C. f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1；D. f (n )＝2n －1(n ∈Z )，g (n )＝2n ＋1(n ∈Z )． 例题2、下各组函数表示同一函数的是（ D ）A ．f (x )＝x 与g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |与g (x )＝3x 3C ．f (x )＝x |x |与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x >0)－x 2 (x <0) D ．f (x )＝x 2－1x －1与g (t )＝t ＋1(t ≠1)例题3．下列说法中正确的为( A )A ．y ＝f (x )与y ＝f (t )表示同一个函数B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)不可能是同一函数C ．f (x )＝1与f (x )＝x 0表示同一函数D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数例题4．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有_(1)(3)___．例题5.下列各图中，不能是函数f (x )图象的是( C )（二）求函数的解析式例题1．根据下列条件，求函数()f x 的解析式：⑴已知)12fx x x =+()f x ；⑵已知()f x 是一次函数，且()98f f x x =+⎡⎤⎣⎦，求()f x ；⑶已知()()3225f x f x x +-=+，求()f x ．解：⑴设1t x 1x t =-，∴()()()221211f t t t t =-+-=-， ∵11t x ,∴()()2 1 1f x x x=-．⑵设()() 0f x ax b a =+≠，则()()()2f f x af x b a ax b b a x ab b =+=++=++⎡⎤⎣⎦，由 298a x ab b x ++=+ 得2339248a a a b b ab b ==-⎧=⎧⎧⇒⎨⎨⎨==-+=⎩⎩⎩或．∴()()3234f x x f x x =+=--或．⑶在()()3225f x f x x +-=+ ①中，以x -换x 得()()3225f x f x x -+=-+ ② 由①，②消去()f x -得()21f x x =+．例题2．已知函数 ()f x 满足2211f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．（1）()f x 的解析式；⑵求()f x 的定义域、值域．解析（1）本题若采用换元法，令1t x x=+，则难以用t 来表示出x ，注意到2112f x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而()22f x x =-.（2）为确定函数的定义域，必须求出1t x x=+的值域，可考虑用判别式法：由1t x x=+，得：210x tx -+=．由240t ∆=-，得22t t -或， ∴()f x 的定义域是(][),22,-∞-+∞，又24x ，∴()222f x x =-，即值域为[)2,+∞．例题3．设f(x)是R 上的函数，且满足f(0)=1，并且对任意实数x,y 有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)， 求f(x)的表达式。

数学故事抛硬币的概率硬币除了可以买东西，也可以用来解决各种争端．据说，遇到不可调解的分歧的时候，为了作出决定，人们的首选是猜拳，其次是抛硬币．足球场上开球方的决定，习惯上也用硬币决定的．然而，硬币正反不一样！如果硬币两面是完全一样的，显然掷出正面或者反面的可能性是均等的．我们常说，正反面出现的概率都是0.5．那么，这里的“概率”是什么意思呢？如果我们不停地投掷硬币，并记录下每次的结果，我们会发现正面出现的数量大约是全部的一半．投掷的次数越多，“出现正面”所占的比例就越接近0.5．这就是概率的含义：如果在许多次独立的试验中，某个特定的事件发生的比例会逐渐趋近一个特定的数值，那么这个数值就被称为这个特定事件的概率．我们可能觉得掷硬币时，正反面出现的概率是一样的，其实不然．由于设计的原因，硬币正反面的花纹是不一样的，从而也导致了重心与中心的微小偏差．以人民币一元硬币来说，正面是代表面额的1字，反面是菊花，重心稍微偏向反面；欧元就更麻烦了，不同的铸币厂会铸出不同的背面花纹，重心偏向也因这些花纹而异．由于重心有偏向，所以掷硬币时，正反面出现的概率也会有些偏差．幸好花纹导致的概率偏差非常非常小，在日常生活中往往可以忽略不计．尽管可以忽略不计，但有没有办法修正这个偏差昵？换句话说，能不能找到一个方法，让有偏差的硬币产生无偏差的结果呢？假设某枚硬币掷出正面的概率是p，我们用以下的方法产生抛硬币的结果：掷两次硬币，如果两次的结果相反的话，取后掷出的为结果；否则重新掷两次．更具体地说，如果结果是“反正”的话，那就当作掷出了正面，如果是“正反”的话，那就当作反面，如果是“正正”或者“反反”的话，那就重新再来．这样的话，在一次尝试中，结果为正面和反面的概率都是p(1－p)，结果是完全公平的．正反抵消不容易掷100次硬币，正面和反面相差多少次昵？1000次昵？10000次呢？现实中的硬币，掷出正反面的概率略有偏差，但差别之小可以看作相同．你可能会觉得，掷出正面和反面的数目有很大概率是相等的．但事实如何？虽然根据概率论中的大数定律，正反面出现次数的比应该很接近1，但这不代表正反面数目刚好抵消的概率很大．打个不太恰当的比方，地铁相对来说是很准时的，但是要它一天提前或者延误的时间刚好抵消的话，还是相当困难的．尽管得到正面和反面的概率相同，但是要它们恰好相互抵消，这也需要一点运气．稍稍用点数学知识可以知道，掷2n交硬币，恰好有n次正面n次反面的概率大概是l/nπ．当n越来越大，这个概率越来越趋近0．也就是说，虽然正反面出现的概率相同，但是它们恰好相等的概率会随着硬币的总次数变低，最后越来越接近0．所以说，在表达数学问题时，一定要用精确的语言．意思上一点点微小的变动，也会产生截然不同的结果．我们说投掷硬时出现正面的概率是0.5，说的是在许许多多次投掷后，结果中正面所占的比例会非常接近0.5，投掷次数越多，比例越接近0.5．但这并不是说比例会非常凑巧地稳稳停在0.5．实际上，在很多情况下，这个比例会不停地在0.5周围浮动，但浮动的幅度会越来越小，也会越来越靠近0.5．某几次投掷之后正面恰好一半，这种情况发生的机会反而很小．领先中考培优课程5函数基本概念知识目标模块一函数的基本概念题型一函数的概念知识导航“万物皆变”——行星在宇宙中的位置随时间而变化，气温随海拔而变化，树高随树龄而变化……生活中，这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在．思考下面几个具体的例子：⑴电影票的售价为10元/张，第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各是多少元？设一场电影售出x张票，票房收入为y元，y 的值随x的变化而变化吗？⑵某地的手机通话费为0.2元/min，小明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为tmin，话费卡中的余额为w元．w的值随t的变化而变化吗？⑶水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，圆面积为S，圆周率为π．S的值r 的变化而变化吗？我们引入下列概念：概念一：变量与常量变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量在⑴中，可以发现：x和y是两个变量，每当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应．例如，若x＝150，则y＝1500；若x＝205，则y＝2050；若x＝310，则y＝3100．在⑵中，可以发现：w和t是两个变量，每当t取定一个值时，w就有唯一确定的值与其对应．它们的关系式为w＝30－0.2t．据此可以算出t分别为50，100，120时，w分别为20，10，6．在⑶中，可以发现：r和S是两个变量，每当r取定一个值时，S就有唯一确定的值与之对应．它们的关系为S＝πr2．据此可以算出r分别为10cm，20cm，30cm时，S分别为100πcm2，400πcm2，900πcm2．我们引入下列概念：概念二：函数一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数，如果当x＝a时y ＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．特别的，自变量的取值范围是考试的重点，不仅仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义．概念三：解析式像w＝30－0.2t，S＝πr2这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式．例11．下列变量之间，不是函数关系的是( )A ．长方形的长一定，其面积与宽B ．正方形的面积与周长C ．等腰三角形的面枳与底边的长D ．圆的面积与直径的长 2．下列关系中，能表示y 是x 的函数的有①y ＝2x ； ②y ＝x 2； ③y 2＝x ； ④y ＝|x |； ⑤|y |＝x ；⑥y ＝1x ．3．(2013年武汉二中八下期末)若函数y ＝x ＋8在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__________． 4．(2013年武昌区八上期末)某养鸡专业户计划用一段长为35米的竹篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场地，如图所示，墙长为20米，BC 边有一个宽为1米的木门(木门用其它材料做不占用竹篱笆)，设养鸡场AB 边的长为x 米，BC 边的长为y 米，BC 的长度不小于10米且不超过墙长，求y 关于x 的函数解析式及x 的取值范围练1．下列关系中，y 不是x 的函数的是( )．A ．y ＝x ＋1B ．y ＝2xC ．y ＝xD ．|y |＝x 2．函数y ＝x －3x+1的自变量x 的取值范围是_________． 3．已知一个长方形的周长为20cm ，设长方形的一条边长为x ，面积为y ，则y 与x 的函数关系为___________(写出x 的取值范围)．题型二 函数的图象有些问题中的函数关系很难列式子表示，但是可以用图象来直观反映，例如用心电图表示心脏部位的生物电流与时间的关系．即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观．函数图像：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．问题探究：画出函数y ＝x ＋1的图象．第一步：列表，在表格中给出一些自变量的值及其对应的函数值．第二步：描点，在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描墙AB CD出表格中数值对应的各点．第三步：连线，按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．练习：⑴画出函数y＝x2的图象．⑵画出函数y＝|x－1|的图象．例2⑴(2013年研口区八下期末)下列各曲线中，不表示y是x的函数关系的是( )⑵如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面图像中，能大致表示水的最大深度h 与时间t 之间的关系的是( )例3甲、乙两车从A 城出发前往B 城，在整个行程中，汽车离开A 城的距离y 与时刻t 的对应关系如图所示．⑴A ，B 两城相距多远？⑵哪辆车先出发？哪辆车先到B 城？ ⑶甲、乙两车的平均速度分别为多少？练(2012年江岸区八下期末)如图，李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y (千米)与行进时间t (小时)的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是()例4(2015年武汉中考)如图所示，购买一种苹果，所付款金额y (元)与购买量x (千克)之间的函数图象由线段OA 和射线AB 组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省________元．)))))A练(2011年武汉中考)一个装有进水管和出水管的容器，从某一时刻起只打开进水管进水，经过一段时间，再打开出水管放水，至12分钟时，关停进水管．在打开进水管到关停进水管这段时间内，容器内的水量y (单位：升)与时间x (单位：分钟)之间的函数关系如图所示，关停进水管后，经过_________分钟，容器中的水恰好放完．拓(2012年武汉中考)甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y (米)与乙出发的时间t (秒)之间的关系如图所示，给出以下结论；①a ＝8；②b ＝92；③c ＝123．其中正确的是__________．函数的三种表示方法：⑴列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律．⑵解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示．⑶图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系．模块二 一次函数))秒) A题型一 正比例函数 知识导航 一、定义；一般地，形如y ＝kx (k 为常数，k ≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数． 二、图像和性质 问题探究：在同一坐标系中画出下列正比例函数的图象． ⑴y ＝2x ；⑵y ＝13x ；⑶y ＝－1.5x ；⑷y ＝－4x .由图象可以发现下列规律：⑴四个函数都是经过______的直线．⑵y ＝2x 和y ＝13x 的图象经过第____________象限，从左到右______．(“上升”或“下降”)；y ＝－1.5x 和y ＝－4x 的图象经过第____________象限，从左到右______．(“上升”或“下降”)． 归纳总结：⑴正比例函数的图像是一条经过原点的直线，我们称它为直线y ＝kx (k ≠0)⑵当k >0时，直线y ＝kx 经过第三、第一象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大； 当k <0时，直线y ＝kx 经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 却减小． ⑶由于两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象，一般地，过原点和点(1，k )(k 为常数，k ≠0)的直线，即正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图像． 例5用你认为最简单的方法画出下列函数的图象． ⑴y ＝32x ；⑵y ＝－3x ；⑶y ＝|x |.A练⑴下列函数中，一定是正比例函数的是( )A ．y ＝3x 2B ．y ＝－4xC ．3x ＋y ＝1D ．y ＝1x⑵下面给出的几个函数关系中，成正比例函数关系的是( )A ．正方体的体积与棱长B ．正方形的周长与边长C ．长方形的面积一定，它的长和宽D ．圆的面积和它的半径 ⑶关于函数y ＝x ＋5m －3是正比例函数，则m ＝_________．⑷正比例函数y ＝(3－m )x (脚为常数)，若y 随着x 的增大而增大，则m 的取值范围是____．题型二 一次函数 知识导航 一、定义一般地，形如y ＝kx ＋b (k ≠0，k ，b 为常数)的函数，叫做一次函数． 注意：⑴k ≠0；⑵当b ＝0时，y ＝kx ，y 叫x 的正比例函数，故正比例函数是一种特殊的一次函数． 二、图像和性质问题探究一：一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)和正比例函数y ＝kx (k ≠0)之间的关系． 在同一坐标系中画出函数y ＝－6x 和y ＝－6x ＋5的图象由图象可以发现下列规律：⑴这两个函数的图象形状都是_______，并且倾斜程度_____________．⑵函数y ＝－6x 象经过原点，函数y ＝－6x ＋5的图象与y 轴交于点_________．即它可以看作由直线y ＝－6x 向______平移________个单位长度而得到． 归纳总结：一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象可以由直线y ＝kx 平移|b |个单位长度得到(当b >0时，向上平移；当b <0时，向下平移)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象也是一条直线，称之为直线y ＝kx ＋b问题探究二：一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的性质 在同一坐标系中画出下列函数的图象．⑴y ＝x ＋1；⑵y ＝－x ＋1；⑶y ＝2x ＋1；⑷y ＝－2x ＋1归纳总结：⑴当k >0时，直线y ＝kx＋b 从左向右上升，y 随x 的增大而增大 ⑵当k <0时，直线y ＝kx ＋b 从左向右下降，y 随x 的增大而减小我们先通过观察发现图象(形)的规律，再根据这些规律得出关于数值大小的性质，这种数形结合的研究方法在数学学习中很重要． 三、图像和性质的深入探究⑴k 表示直线的倾斜程度，也即直线的斜率，如果两条直线(不重合)斜率相等，那么这两条直线平行．⑵b 表示直线与y 轴交点的纵坐标，也即直线在y 轴上的截距． ⑶k 、b 对一次函数y ＝kx ＋b 图像的控制例6⑴当m 为何值时，函数y ＝－(m －2)x m 2－3＋(m －4)是关于x 的一次函数？ ⑵(2016年武昌区八下期末)若一次函数y ＝(m －3)x ＋5的函数值y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是_______． ⑶(2015年武汉二中八下期末)已知一次函数y ＝(m ＋4)x ＋2m －1的图象与y 轴交点在x 轴下方且y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是________． 练⑴当m 为何值时，函数y ＝(m ＋2)x |m |－1＋m －2是一次函数？ ⑵(2015年江汉区八下期末)点(3，y 1)，(1，y 2)在直线y ＝2x ＋1上，则y 1与y 2的大小关系为________． 例7⑴(2015年武昌区八下期末)一次函数y ＝kx －k (k <0)的图像大致是( )⑵(2014年江汉区八下期末)已知正比例函数y ＝kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数y ＝－x －k 的图象大致是( )练⑴若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a <b <c ，则函数y ＝cx ＋a 的图像可能是( )⑵直线y ＝mx ＋n 如图所示，化简：|m －n |－m 2．拓(2015年青山区八下期末)已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过一、二、四象限，则直线y ＝bx －k 的图象可能是( )例8⑴已知一次函数y ＝(m －3)x ＋2m －1的图象经过一、二、四象限，求m 的取值范围． ⑵已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象不经过第三象限，求k 、b 的取值范围练(2014年武汉二中八下期末)已知一次函数y ＝(m －4)x ＋2m ＋1的图象不过第三象限，求m 的取值范围．[课后作业]第5讲函数基本概念1．【2014二中期末】下列函数中，( )是一次函数。

题目 第二章函数函数的解析式与表示方法 高考要求1.由所给函数表达式正确求出函数的定义域；2.掌握求函数值域的几种常用方法；3.能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式；4.会进行函数三种表示方法的互化，培养学生思维的严密性、多样性. 知识点归纳1.函数的三种表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系. （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 2.求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．题型讲解例1（1）已知3311()f x x xx+=+，求()f x ；（2）已知2(1)lg f x x+=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（4）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ．解：（1）∵3331111()()3()f x x x x x x x x+=+=+-+，∴3()3f x x x =-（2x ≥或2x ≤-）．（2）令21t x +=（1t >）， 则21x t =-，∴2()lg1f t t =-，∴2()lg(1)1f x x x =>-．（3）设()(0)f x ax b a =+≠，则3(1)2(1)333222f x f x ax a b ax a b +--=++-+-5217ax b a x =++=+，∴2a =，7b =，∴()27f x x =+． （4）12()()3f x f x x += ①，把①中的x 换成1x，得132()()f f x x x+=②，①2⨯-②得33()6f x x x=-，∴1()2f x x x=-．注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法．例1 已知函数f （x ）=31323-+-ax axx 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是A.a ＞31 B.－12＜a ≤0 C.－12＜a ＜0 D.a ≤31解：由a =0或⎩⎨⎧<-⨯-=≠,0)3(4,02a a Δa 可得－12＜a ≤0. 答案：B例2 在△ABC 中，BC =2，AB +AC =3，中线AD 的长为y ，AB 的长为x ，建立y 与x 的函数关系式，并指出其定义域.解：设∠ADC ＝θ，则∠ADB ＝π－θ.根据余弦定理得 12＋y 2－2y cos θ＝（3－x ）2， ①12＋y 2－2y cos （π－θ）＝x 2. ②由①＋②整理得y ＝2732+-x x .θ3-x y x 11DCBA其中⎪⎩⎪⎨⎧>+-->+>,2)3(,32,0x x x x x 解得21＜x ＜25.∴函数的定义域为（21，25）.评述：函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义的要求.例3 若函数f （x ）=cxax ++21的值域为［－1，5］，求实数a 、c .解：由y =f （x ）=cxax ++21，得x 2y －ax +cy －1=0.当y =0时，ax =－1，∴a ≠0.当y ≠0时，∵x ∈R ，∴Δ=a 2－4y （cy －1）≥0. ∴4cy 2－4y －a 2≤0.∵－1≤y ≤5，∴－1、5是方程4cy 2－4y －a 2=0的两根.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.54,412ca c ∴⎪⎩⎪⎨⎧=±=.41,5c a 评述：求f （x ）=11212222c x b xa c xb x a ++++（a 12+a 22≠0）的值域时，常利用函数的定义域非空这一隐含的条件，将函数转化为方程，利用Δ≥0转化为关于函数值的不等式.求解时，要注意二次项系数为字母时要讨论.例4设定义在N 上的函数f （x ）满足f （n ）=⎩⎨⎧-+)]18([13n f f n),2000(),2000(>≤n n 试求f （2002）的值.解：∵2002＞2000，∴f （2002）=f ［f （2002－18）］=f ［f （1984）］=f ［1984+13］=f （1997）=1997+13=2010.例5设f （x ）=1214+-x x－2x +1，已知f （m ）=2，求f （－m ）.解法一：∵f （m ）=2，∴1214+-m m－2m +1=2. ①∴1214+-m m－2m =2－1.∴f （－m ）=1214+---m m+2m +1=mm212141⋅-+2m +1=12441+-⋅-m mm+2m +1=1241+-m m+2m +1=－1214+-m m+ 2m +1=－（1214+-m m－2m ）+1=－（2－1）+1=2－2.解法二：f （x ）=1214+-x x－2x +1＝222x x--－2x +1令22()22x xg x x --=-，则22()2()()2xxg x x g x ---=--=-∴22()21()12xxf x xg x --=-+=+∵()()12()21f m g m g m =+=⇒=-∴()()1()121122f m g m g m -=-+=-+=-++=-例6某市有小灵通与全球通两种手机，小灵通手机的月租费为25元，接听电话不收费，打出电话一次在3 min 以内收费0.2元，超过3 min 的部分为每分钟收费0.1元，不足1 min 按1 min 计算（以下同）.全球通手机月租费为10元，接听与打出的费用都是每分钟0.2元.若某人打出与接听次数一样多，每次接听与打出的时间在1 min 以内、1到2 min 以内、2到3 min 以内、3到4 min 以内的次数之比为4∶3∶1∶1.问，根据他的通话次数应该选择什么样的手机才能使费用最省？（注：m 到m +1 min 以内指含m min ，而不含m +1 min ）解：设小灵通每月的费用为y 1元，全球通的费用为y 2元，分别在1 min以内、2 min 以内、3 min 以内、4 min 以内的通话次数为4x 、3x 、x 、x ，则y 1=25+（4x +3x +x +x ）×0.2+0.1x =25+1.9x ，y 2=10+2（0.2×4x +0.4×3x +0.6x +0.8x ）=10+6.8x . 令y 1≥y 2，即25+1.9x ≥10+6.8x ，解得x ≤9.415≈3.06.∴总次数为（4+3+1+1）×2×3.06=55.1. 故当他每月的通话次数小于等于55次时，应选择全球通，大于55次时应选择小灵通.例7 某市收水费的方法是：水费=基本费+超额费+耗损费，若每月用水量不超过最低限量am 3时，只付基本费8元及每户每月的定额耗损费c 元，若用水量超过am 3时，除了付同上的基本费和耗损费之外，超过部分每m 3付b 元的超额费，已知耗损费不超过5元。

第5 讲函数的概念1.函数的概念：(1)设A,B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A 中任何一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应叫做集合 A 到B 的一个函数，记作：f: A B. 即y = f(x)(2)函数的三要素:定义域、值域和对应法则．(3)只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． (4)函数的表示法：解析法，列表法，图象法2.函数的定义域：定义域一般用集合或区间表示.就是使得函数解析式有意义时，自变量的取值范围就叫做函数的定义域，求定义域的基本原则(1)分母不能为零. (2)负数不能开偶次方.(3)真数必须大于0 (4)a0 = 1, a ≠ 0 (0 的0 次方无意义)3.与x 的值对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x ∈ A}叫做函数的值域4.分段函数：对于定义域不同的部分，函数有不同的解析式，这样的函数称为分段函数.（1）分段函数的定义域是各段定义域的并集（2）分段函数的图象是将各段函数合并组合而成，需注意的是画分段函数时，包含端点，则用实心点；不包含端点，则用空心点.（3）“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则. x 属于哪段定义域内就是哪个解析式（4）求形如f[f(x)]的函数值时，遵循由内到外的顺序进行求解5.待定系法法求函数解析式：在求函数解析式时，若知道函数类型，可先设这个函数的一般形式，其中系数待定，然后根据题目已知条件列方程组，求出待定系数。

一．选择题：本大题共 15 小题，每小题 5 分，满分 75 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(19T2)函数y = lg (x + 2)的定义域是（）A.(−2,+∞)B.[−2, +∞)C.(−∞, 2)D.(−∞, 2]2.(18T2)函数f(x) = √3 − 4x的定义域是（）A.[3 , +∞)B. [4, +∞)4 3C.(−∞,3]D.(−∞,4]4 33.(17T2)函数f(x) = 1的定义域是( )√4+xA.(−∞,−4]B.(−∞,−4)C.[−4, +∞)D. (−4,−∞)的定义域是4.(16T2)函数f (x ) = √2x + 3的定义域是( )A.(−∞, +∞)B.[− 3 , +∞)2C.(−∞, − 3]D.(0, +∞)25.(15T2)函数f (x ) = √1 + x 的定义域是( )A.(−∞, −1]B.[−1, +∞)C.(−∞, 1]D.(−∞, +∞)6.(14T2)函数f (x ) = 1的定义域是( )√1–xA.(−∞, 1)B.(−1, +∞)C.[−1, 1]D.(−1,1)7.(13T2)函数y = √4 − x 2的定义域是 （ ）A.(−2,2)B.[−2,2]C.(−∞, −2)D.(2, +∞)8.(12T2)函数y = lg (x − 1)的定义域是 ( )A.(1, +∞)B.(−1, +∞)C.(−∞, −1)D.(−∞, 1)9.(11T3)函数y = lg (1–x) ( )√1+xA.[−1,1]B.(−1,1)C.(−∞, 1)D.(−1, +∞)的定义域是（10.(10T2)函数y = x+1 的定义域是（）√2–xA.(−∞, 2)B.(2, +∞)C.(−∞, −1) ∩ (−1, +∞)D.(−∞, 2) ∩ (2, +∞)11.(08T8)函数y = √2x − 1 + log 3(10 − x)的定义域是（）A.(−∞, 10)B.(1 , 10) 2C.[1 , 10)D.[1 , +∞)2212.(06T5)函数y = log 2(x –1)）√2–xA.(−∞, 2)B.(1,2)C.(1, 2]D.(2, +∞)13.(05T2)函数f (x ) = √x–3的定义域为（）x+1A.(−∞, −1)B.(−1, +∞)C.(3, +∞)D.[3, +∞)14.(04T2)函数y = √3x − 1 + √2 − 3x 的定义域为()A.[1 , 2]B.(1 , 2)C.(1,2)D.[1,2]3 33 315.(01T3)函数y = √1 − 2x 的定义域是（ ）A.(−∞, +∞)B.[0, +∞)C.(0, +∞)D.(−∞, 0]17.设 { , 则二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分.16.设函数f (x ) = x 2 − 1, (x ≤ 0) f [f(−2)] ={x + 2, (x > 0),则f (x ) = 3x x ≤ 0f [f(−1)] = 3x − 2, x > 018.若函数 f(x)=4x-1 的值域为区间[3,11)，则函数的定义域为19.已知一次函数f = f(x)满足f (1) = 3, f (3) = 5,则这个函数的解析式为f (x ) = x + 220.已知抛物线y = ax 2 + bx + c 经过点A(−1,0), B(3,0), C(0, −3),则该抛物线的解析式为第5 讲函数的概念答案一、选择题：二、填空题：。