[小升初分班考试资料]第5讲-数论-教师版

小升初数学-数论-基础篇-整数专题解析必考知识点总结整数的认识1. 自然数整数02. 计数单位数位位数3. 数级4. 读法写法5. 改写省略四舍五入保留几位小数6. 近似数准确数7. 连续自然数8. 和积关系一自然数整数0自然数:定义：个数，极限：基本单位：意义：整数：定义：个数，极限：分类：0：作用：归类：例1. 判断：-3，-1，0，2，5都是自然数。

1. 判断：-6，-3，0，8，19都是整数。

（）0既是自然数，也是整数。

（）整数就是自然数。

（）例2. 最小的自然数是（），最大的自然数是（）自然数的基本单位是（）1 . 最小的整数是（），最大的整数是（），整数有（）个例3. 下列选项中的数是序数的是（）A. 6只鸡B. 5支铅笔C. 2幢楼D. 第6节课例4. 判断：7067中的0表示百位上一个计数单位都没有。

二计数单位数位位数计数单位：数位：位数：最小的1位数是：最大的1位数是：最小的两位数是：最大的两位数是：最小的三位数是：最大的三位数是：数位：1. 从个位起，第六位是（）位，第九位是（）位，第七位是（）位。

2. 与万位相邻的数位是（）和（）。

3.判断: 整数的最高位是千亿位。

（）计数单位：1. 与百万相邻的计数单位是（）和（）。

位数：1. 60606000是一个（）位数，最高位是（），从左往右数第二个6在（）位上，第三个6表示6个（）2. 一个数，它的最高位是十亿位，这个数是（）位数。

3. 最小的一位数是（），最小的三位数是（），最小的四位数是（），最大的五位数是（），最大的两位数是（）4. 最大的四位数与最小的三位数差（），最大的三位数比最小的三位数大（），比最小的六位数少1的数是（）。

5.判断：最小的四位数缩小到它的1/10 是最小的三位数。

（）6. 用最小的三位数与最大的两位数之差去乘最大的三位数与最小的四位数之和，积为（）三数级个级数位：计数单位：表示：万级数位：计数单位：表示：亿级数位：计数单位：表示：1. 个级的计数单位有（）2. 万级的数位有（）3. 亿级的计数单位有（）个，表示（）四读法写法读法：写法：读法，写法：例1. 二百零三亿四千五百万六千写作（）1. 二百零四亿零六十万零二十写作（）例2. 128226200 ，读作（）1. 6060076440，读作（）例3. 一个数由5个亿，6个千万，3个万，9个百，4个一组成，这个数写作（），读作（）1.你知道全国小学生的人数吗？这个数是由1个亿，2个千万，8个百万，9个十万，5个千组成的，这个数写作（）例4.一个数，十位和百位上的数字都是5，这个数写作（）1.写出一个最小的十位数，要使每个数位上的数字都不相同，这个数是（）2. 一个九位数，最高位上是9，百万位上是2，万位上是4，千位上是6，其余各位上都是0，这个数写作（）读作（）3.一个数，千万位上的数字是最小的质数，十万位上的数字是最大的一位合数，个位上的数字是0.5的倒数，其余各位上都是最小的自然数，这个数写作（），读作（）4.一个数，十万位上是最大的一位数，万位上是最小的合数，百位上是最小的质数，其余各位上都是0，这个数写作（）读作（）例5.一个多位数，第九位上的数是1，第五位上的数是5，其余各位上的数都是0，这个数写作（）读作（）1. 一个数，亿级上是78，个级上是78，这个数是（）读作（）2. 一个多位数，第八位上的数是1，第五位上的数是6，其余各位上的数都是0，这个数写作（）读零：1. 90000604001读作（）2. 下面各数不需要读出零的是（）A. 3006210B. 6210300C.1206003.下面三个数中，两个0都读出来的是（）A. 33030B. 33003C.303034.下面各数中，三个0都读出来的是（）A. 60504032B. 60540320C.650403025.用两个0和三个8组成五位数，其中只读出一个0的数是（）两个0都读出来的数是（）两个0都不读出来的数是（）6.用3个0和3个6组成一个六位数只读一个零的有（），读两个零的有（），一个零也不读的有（）其中最大的一个数是（），最小的一个数是（）两数相差（）7.用5，7，8和四个0组成的七位数中，一个零也读不出来的最大数是（）只读出一个零的最小数是（）读出两个零的最大数是（）读出两个零的最小数是（）五改写，省略，四舍五入，保留几位小数改写改写的方法：1.改写成用“万”作单位的数改写成用“亿”作单位的数20345006000 （）（）94063506000 （）（）128226200 （）（）320000500 （）（）1950703000 （）（）2.把0.42亿改写成用“万”作单位的数是（）省略尾数省略尾数的方法：1. 省略万位后面的尾数约是省略亿位后面的尾数约是140900002 （）（）94063506000 （）（）700700070 （）（）174500000 （）（）1950703000 （）（）四舍五入1. 四舍五入到万位约是四舍五入到亿位约是四舍五入法精确到万位约是四舍五入法精确到亿位约是85473870 （）（）84001000 （）（）700700070 （）（）保留几位小数：1.3720600000改写成用“亿”作单位的数是（）亿保留两位小数是（）亿980064000 改写成用“亿”作单位的数是（）亿保留两位小数是（）128226200 保留一位小数是（）亿1370000000 保留一位小数记作（）亿六近似数，准确数例1.在下面的（）中填上适当的数字，使第一个数最接近50亿，第二个数最接近15万。

第五讲：数论1.从123456789101112…9899100中任意划去100个数字．其他数字顺序不变．剩下的数字组成的数，最大的是多少?最小的是多少?2.有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．3.一次数学考试满分是100分，6位同学在这次考试中的平均分是91分，这6位同学的得分各不相同，其中有一位同学仅得了65分，那么得分排在第三名的同学至少得多少分?4.有四个不同的自然数，它们的和是1111，则它们的最大公约数最大是（）．5.有一种商品，买2个要1角钱，买5个要2角钱，买11个要4角钱，小明和小红都有整数角钱，小明的钱最多能买这种商品51个，要是他们的钱合在一起，则最多能买115个这种商品，那么小红的钱最多能买这种商品（）个．6.有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是（）（请写出所有可能的答案）．7.令0.1234567891011998999a ，其中的数字是由依次写下正整数1至999得到的，则小数点右边第2008位数字是（）8.连续7个偶数的和是196．这7个数中最大的一个偶数是多少?9.一个三位数除以43，商是a，余数是b（a、b都是正数)．求a+b的最大值．10.（1）把17分成两个自然数的和，使它们的乘积最大，应该怎样分？（2）把17分成若干个自然数的和，要是这几个数的乘积最大，应该怎样分？【例1】如果一个正整数的十进制表示中，任何两个相邻数字的奇偶性不同，则称这个正整数为“交替数”，若正整数n至少有一个倍数为“交替数”，则把n称为“好数”．(1)80是“好数”吗？说明理由．(2)证明：2008是“好数”．(3)证明：所有与10互质的正整数都是“好数”．【例2】n为4位整数，且组成它的各位数码是从左到右呈降序排列连续数字．则n除以37的所有可能的余数之和为．【例3】在一次马拉松长跑比赛中，有100位选手参加．大会准备了100块标有整数1到100的号码布，分发给每位选手．选手们被要求在比赛结束时，将自己号码布上的数字与到达终点时的名次数相加，并将这个和数交上去．问这交上来的100个数字的末2位数字是否可能都不相同?请回答可能或不可能，并清楚地说明理由．注：没有同时到达终点的选手．【例4】已知n是正整数，规定!12m=⨯+⨯+⨯++⨯，则整数m除以=⨯⨯⨯，令1!12!23!32007!2007n n2008的余数为（）【例5】一个分子是1的分数，化成小数后是一个混循环小数，且循环节为两位，不循环也有两位，那么这种分数共有多少个？【例6】有一个四位整数．在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这个四位数相加，所得结果是2000.81．这个四位数是（）．1.一个两位数被它的各个数字之和去除，余数最大是（）2.设x与y分别表示两个两位整数，并且满足方程1002+=，则y=（）x y xy3.实验小学的礼堂一共有座位24排．每排有座位30个，全校有650个学生在礼堂开会，那么至少育多少排座位上坐的学生人数同样多?4.两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以它们的最大公约数，得到两个商的和是16，请写出这两个整数.。

小升初——数论数论是考察学生数感、数字规律的观察能力的重点专题，这一讲我们将熟练运用已经学过的数论知识，解决数论问题。

掌握代数式处理数论问题的方法。

1、 六位数□2004□能被99整除，这个六位数是多少？2、 有一个六位数，前四位是2857，即2857□□，这六位数能被11和13整除，请你算出最后两位数。

3、 若四位数a a 89能被15整除，则a 代表的数字是什么？4、 一个七位数c b a 9020是33的倍数，那么_______=++c b a5、 在一个四位数的某位数字前添上一个小数点，再和原来的四位数相减，差的绝对值是1803.6，则原来的四位数是多少？6、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。

7、有一个整数，用它去除70、110、160所得到的3个余数和是50，这个整数是多少？8、两个整数相除商8，余16，并且被除数、除数、商及余数和是463.那么被除数是多少？311，那么这三个质数和是多少？9、三个质数倒数和是100110、有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么他们的年龄各是多少？11、一个正整数与1470的积是一个完全平方数，那么这个数的最小值是多少？12、求2520、14850、819的最大公因数和最小公倍数（用因数分解法）13、现有4个自然数，他们的和是1111，如果要使这4个数的公因数尽可能大，那么4个数的公因数最大是多少？14、一个三位数正好等于它各位数字之和的18倍，这个三位自然数是多少？15、六位数2003□□能被99整除，它的最后两位数是多少？16、将1996加一个整数，使和能被23与19整除，加的整数要尽可能小，那么所加的整数是多少？A1999311能被72能除，试求A、B两数的差（大减小）17、如果一个九位数B18、一个四位数，给它加上小数点后，比原数小2003.4，这个四位数是多少？19、已知一个两位数除1477，余数是49.那么满足那样条件的所有两位数是多少？1661，这三个质数和是多少？20、三个质数倒数的和是198621、小明是个中学生，最近他参加了一次数学竞赛，并获得了好成绩。

小升初分班考试数学集训一（计算）知识容：1、有理数计算。

主要考的是正数、负数的混合运算。

2、速算与巧算。

主要考的是分数和小数的混合运算以及解方程。

例题一1、1241123523⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2、522120001999400016332⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3、()1112552343⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++--+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4、()()340115477⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-----+--+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦例题二1、75373696418⎛⎫-+-⨯ ⎪⎝⎭2、()()3524120.72120.725959⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯+-⨯-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3、5375164121836⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫------÷- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 4、()()133632310-÷⨯⨯-5、253452713364963122⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---÷-+-+÷-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭练习一1、1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋12、7737215543381258312⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3、231512 6.2312 3.85552+-+--+4、()113700.2524.5525%42⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5、35117()60461512-+--⨯6、1111735105⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---+÷- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦7、()()()111113555522⎛⎫-⨯+-⨯+-÷-÷- ⎪⎝⎭例题三（1）10÷8+3.96×12.5%+2.04×162 （2）761×3.6+533×717+3.6（3）]12721474[154⨯+÷）（ （4）1999199819981998÷（5）95)138.13(95541÷-+÷-）（ （6）222345567567345566+⨯+⨯（7）75.313415413825.3151÷+⨯+÷ （8）1361135136135137⨯+⨯（9）6.13.1412178.41.9÷÷÷⨯⨯ （10）2231)2221224(⨯+ 例题四（1）143299263235215232+++++ （2）1091431321211⨯+⋯+⨯+⨯+⨯（3）)9911()9911()311()311()211()211(-⨯+⨯⋯⨯-⨯+⨯-⨯+（4）42413029201912116521+++++ （5） 20001990198819861999198919871985+⋯++++⋯+++（6）)200521()200521()721()721()521()521(-⨯+⨯⋯⨯-⨯+⨯-⨯+（7）20042002200420052004200320042004⨯-⨯ （8）)5049502501()434241()3231(211+⋯+++⋯+++++++ 例题五(1)若关于x,y 的二元一次方程组｛3x+2y=a+2,2x+3y=2a ｝的解满足x+y=4,求a 的值。

第五讲余数问题内容概述从此讲开始，我们来进一步研究数论的有关知识。

小学奥数中的数论问题，涉及到整数的整除性、余数问题、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。

在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况。

当不能整除时，就产生余数，余数问题在小学数学中非常重要。

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r（也就是a=b×q+r）, 0≤r＜b；当r=0时，我们称a能被b整除；当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商余数问题和整除性问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数那么就能和整除性问题联系在一起了。

余数有如下一些重要性质，我们将通过例题给大家讲解。

例题讲析【例1】（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

分析：法1：因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088；则乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。

法2：将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的（11+1）倍，所以得到：乙数=1056÷12=88 ，甲数=1088-88=1000 。

【例2】 1013除以一个两位数，余数是12。

求出符合条件的所有的两位数。

分析：1013-12=1001，1001=7×11×13，那么符合条件的所有的两位数有13、77、91 有的同学可能会粗心的认为11也是。

11小于12，所以不行。

大家做题时要仔细认真。

【例3】（小学数学奥林匹克初赛）有苹果、桔子各一筐，苹果有240个、桔子有313个，把这两筐水果分给一些小朋友，已知苹果等分到最后余2个不够分，桔子分封最后还余7个桔子不够再分，求最多有多少个小朋友参加分水果?分析：此题是一道求除数的问题。

第九讲：小升初专项复习（七）——数论综合一、训练目标知识传递：掌握数论的相关知识，并能用之分析、解决一些数论基本问题。

能力强化：分析能力、理解能力、推理能力、转化能力、推算能力、综合能力。

思想方法：整除思想、奇偶思想、比较思想、对应思想、恒等思想、同余思想。

二、知识与方法归纳数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力，数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”．因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了．任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作．”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论显得格外重要，数论研究的是奇数、偶数、素数、合数，这些最简单的数——整数及其内部关系，但是从这些简单的数中诞生了“哥德巴赫猜想”这样的难题，它们吸引数学家们花费数十年、甚至整世纪努力研究．小学数学竞赛和小升初择校考试中的数论问题，常常涉及整数的整除性、质数与合数、约数与倍数、带余除法、奇数与偶数和整数的分解与分拆同余、中国剩余定理等．三、经典例题例1.某自然数除2840，余数是32，这个自然数最小是多少？例2.有四个小朋友，年龄逐个增加一岁，4个人年龄的乘积是3024，问其中年龄最大的一个是几岁？例3.要使4个数的乘积135×975×342×（）的结果最后5位数字全是0，（）内的数最小应是多少？例4.一本陈年老账上记着：88只桶，共□67.9□元。

这里□处字迹不清。

请把□处数字补上，并求桶的单价。

例5.在2012后面补上3个数字，组成一个七位数，使它能分别被3、4、5整除，这个七位数最大是多少？例6.一个正整数a与1080的乘积是一个完全平方数，求a的最小值与这个完全平方数。

例7.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公约数是4，求乙数.例8.○×（□+△）=209.在○、□、△中各填一个质数，使上面算式成立.例9.有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米。

［知识要点］小学升初考试中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。

主要的结论有：1 •带余除法：若a, b是两个整数，b>0,则存在两个整数q, r，使得a=bq+r （0<r v b）, 且q, r是唯一的。

特别地，如果r=0，那么a=bq。

这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数。

2. 若a|c , b|c，且a, b 互质，则ab|c。

3•唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即PJp# …用, （1）其中pl v p2v・・・v pk为质数，a1, a2,…，ak为自然数，并且这种表示是唯一的。

（1）式称为n的质因数分解或标准分解。

4. 约数个数定理：设n的标准分解式为（1）,则它的正约数个数为：d （n）= （a1+1）（a2+1）・・・（ak+1）。

5. 整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。

因此，不等式x v y与x < y-1是等价的。

下面，我们将按数论题的内容来分类讲解。

第一节整除【专题简析】：在数的整除中要熟记数整除的特点，在用整除的知识来解决相关试题的时候要注意首先确定末尾那个数字，在确定其他的数字。

数整除的特征【例题精讲】例1.老师买了72本相同价格的书，当时没有记住书的单价，只用铅笔记下了用的总钱数，回到学校后其中有两个数字已经模糊不清了，总钱数成了口13.7 □元, 你能帮忙补上□中数字吗？练习1.马虎的采购员，买了72只桶，洗衣服时将购货发票洗烂了，只能依稀看到72只桶共□ 67.9 □元，□内的字迹已经看不清楚，请帮他算一下一共多少钱？例2.在算式labcde 3二abcdel中，不同字母代表不同的数，相同的字母代表相同的数，求abcde这个五位数是多少?练习2. 一个六位数，他的个位数字是6,将6移动到最前面，所得的数是原数的4倍，求这个六位数例3.从0,3,5,7,这4个数中任选3个，组成没有重复数字的三位数，在组成的数中能同时被2、3、5整除的数有多少个?练习3.从1、2、3、4、5中任取3个数组成没有重复数字的三位数，在这些三位数中能同时被2和9整除的数有多少个?【综合练习】1. 学校李老师一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9口. 2 □元，已知□处的数字相同，请问每支铅笔多少钱？2. 已知x1993y是45的倍数，求所有满足条件的六位数x1993y。

教案教师：__ 王鑫___ 学生：_ 刘竞琰上课时间：学生签字：____________数论(五) 余数问题【知识点概述】一、带余除法的定义及性质：1.带余除法的定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；(1)当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商2.和余数相关的一些重要性质：(以下a,b,c均为自然数)性质1：余数小于除数性质2：性质3：a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即前两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.性质4：a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以除以5的余数等于。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以除以5的余数等于除以5的余数，即2.【注】对于上述性质3，4，我们都可以推广到多个自然数的情形，尤其是性质4，对于我们求一个数的n次方除以一个数的余数时非常的有用。

二、数的同余1.同余定义若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )同余式读作：a同余于b，模m由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)这个性质非常重要，是将同余问题与前面学过的整除问题相联系的纽带，一定要熟练掌握。

1．整除的定义所谓“一个自然数a能被另一个自然数b整除”就是说“商ab是一个整数”；或者换句话说：存在着第三个自然数c，使得a=b⨯c。

这时我们就说“b整除a”或者“a被b整除”，其中b叫a的约数，a是b的倍数，记作：“b|a”。

2．常用的数的整除特征常用的特殊自然数的整除特征⑴2系列：被2整除只需看末位能否被2整除被4整除只需看末两位能否被4整除被8整除只需看末三位能否被8整除，依此类推⑵5系列：被5整除只需看末位是否为0或5被25整除只需看末两位能否被25整除，即只可能是00，25，50，75我们以被8整除看末三位为例证明以上两个系列的性质。

假设一个多位数末三位是abc，末三位之前的部分为x，那么该数=1000x+abc，由于8|1000，所以8|1000x，因此该数能否被8整除就决定于末三位abc能否被8整除，证毕。

⑶3系列：被3整除只需看各位数字之和能否被3整除被9整除只需看各位数字之和能否被9整除我们以三位数为例来证明被9整除只需看各位数字之和这一性质。

假设该三位数为abc=100a+ 10b+c=(99a+9b)+(a+b+c)，很明显第一个括号里的数是9的倍数，因此只要a+b+c，即各位数字之和能被9整除，那么这个三位数abc就能被9整除，反之亦然。

推广到任意位数的自然数，该证明方法仍然成立，请大家自己尝试一下。

⑷7，11，13系列：看多位数的末三位和前面部分之差能否被7，11，13整除为什么要从末三位把这个数一分为二呢？仔细想一想我们会发现7⨯11⨯13=1001，正好比1000大1，由此我们可以得到如下证明：和2系列的证明类似，我们仍然设一个多位数的末三位是abc，前面部分是x，那么我们要证明的就是这个多位数能否被7，11，13整除决定于abc-x能否被7，11，13整除。

由于该数=1000 x+abc=1001 x+(abc-x)，又1001同时是7，11，13的倍数，所以这个多位数能否被7，11，13整除决定于abc-x能否被7，11，13整除，证毕。