小升初第三讲——专题训练之数论问题[2020年最新]

小升初专练-数论问题-带余除法【知识点归纳】如：16÷3=5…1，即16=5×3+1，此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法．一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=q×b+r．当r=0时，我们称a能被b整除当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）．【常考题型】例1：所有被4除余1的两位数的和为（ ）A、1200B、1208C、1210D、1224E、1229分析：本题中，由整除的意义可知，除以4后余1的最小两位数是：12+1=13．除以4后余1的最大两位数是：96+1=97．由此我们想除以4后余1的两位数一共有多少个？即所有除以4后余1的数组成的数列：13+17+21+…+97的项数有多少？由题意知数列的公差是4，那么计算项数得：（97-13）÷4+1=22．然后利用公式求它们的和就行了．解：除以4后余1的最小两位数是：12+1=13，除以4后余1的最大两位数是：96+1=97，那么除以4后余1的两位数一共有：（97-13）÷4+1=22（个），所有除以4后余1的两位数的和为：13+17+21+…+97=（13+97）×22÷2=110×11=1210．答：一切除以4后余1的两位数的和是1210．故选：C．点评：本题考查余数的性质与等差数列求和．本题的解题关键是由除以4余1这一特点，想到满足条件的最小的两位数是13，最大的两位数是97，是一个公差为4的等差数列．例2：一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余；如果每天读N页，恰好N（N是自然数）天读完，这本书是（）页．分析：设页数为x，①由“一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余”得320＜x＜400；②由“如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余”得270＜x＜360；③由①②得320＜x ＜360．满足上述条件的只有n=18.320＜18×18=324＜36．解：设页数为x，①320＜x＜400；②270＜x＜360；③由①②得：320＜x＜360，满足上述条件的只有n=18．320＜18×18=324＜360．故答案为：324．点评：此题考查了带余除法的知识，以及分析问题的能力．【解题思路】对任意整数a，b且b≠0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r＜|b|．这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础．若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数．若d是a，b的公因数，d≥0，且d可被a，b的任意公因数整除，则称d是a，b的最大公因数．若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素．累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法．又称欧几里得算法．一．选择题1．有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。

2020年小升初数学专题复习训练—拓展与提高数论（3）知识点复习一．约数个数与约数和定理【知识点归纳】约数个数与约数和定理设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×…×p k 那么：n的约数个数公式：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）n的所有约数和：f（n）=（p10+p11+p12+…p1a1）（p20+p21+p22+…p2a2）…（p k0+p k1+p k2+…p k a k）【命题方向】例1：105可以分解成105=3×5×7，它的约数共有（）A、4个B、6个C、8个D、10个分析：根据求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，即（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个，然后解答可得出答案．解：105=3×5×7，共有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8（个）约数，答：它的约数共有8个．故选：C．点评：此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=pα×qβ×rγ（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．例2：恰有20个因数的最小自然数是（）A、120B、240C、360D、432分析：首先把20拆成几个数的乘积，利用求约数个数的方法，从最小的质因数2考虑，依次增大，找出问题的答案即可．解：20=20=2×10=4×5=2×2×5；四种情况下的最小自然数分别为：219、29×3、24×33、24×3×5，其中最小的是最后一个24×3×5=240．故选：B．点评：此题巧用求一个数约数的方法，从最小的质因数着手，分析不同的情形，得出结论．二．同余定理【知识点归纳】所谓的同余，顾名思义，就是许多的数被一个数d去除，有相同的余数．d数学上的称谓为模．如a=6，b=1，d=5，则我们说a和b是模d同余的．因为他们都有相同的余数1．【命题方向】例1：一个两位数，除以3余1，除以5余3，这个两位数最大是（）A、78B、88C、98D、90分析：除以3余1，除以5余3，那么这个数不是3和5的倍数；由此用排除法求解．解：除以3余1，除以5余3，那么这个数不是3和5的倍数；A、7+8=15；15是3的倍数，所以78是3的倍数，故A错误；D、5的倍数的个位数都是0或5的整数，90的个位数字是0，那么是5的倍数，故D错误；BC、而这个数的末尾应是3或8；B和C都符合，只要再看哪个数除以3余1即可．88÷3=29…1；98÷3=32…2；88除以3余1，所以88符合要求．故选：B．点评：本题先根据余数的特点，找出这个数的可能性，再利用排除法进行求解．例2：有一整数，除300，262，205得到的余数相同，这个整数是19．分析：这个数除300、262，得到相同的余数，所以这个数整除300-262=38，同理，这个数整除262-205=57以及300-205=95，因此，求出38、57、95的最大公约数1即是所求结论．解：300-262=38，262-205=57，300-205=95．38，57，95的最大公约数是19．这个整数是19．故答案为：19．点评：此题考查了学生最大公约数的知识，以及整除的性质．同余式定律6的应用，我们知道一个数的各个位数之和如果能被3整除那么这个数也能被3整除，如12，因为1+2=3能被3整除，所以12也能被3整除．如果我们利用定律6，就可以找出任何一个数能被另一个数整除的表达式来．如我们用11来试试，11可以表示为10+1，所以有同余式：10≡-1 （mod 11）把上式两边都乘以各自，即：10×10≡（-1）（-1）=1 （mod 11）10×10×10≡（-1）（-1）（-1）=-1 （mod 11）10×10×10×10≡1 （mod 11）我们可以发现，任何一个（在十进制系统中表示的）整数如果它的数码交替到变号之和能被11整除，这个数就能被11整除，如1353这个数它的数码交替变号之和为：1+（-3）+5+（-3）=0，因为0能被11整除，所以1353也能被11整除．其他的数的找法也一样，都是两边都乘以各自的数，然后找出右边的数的循环数列即可．三．完全平方数性质【知识点归纳】1．完全平方数定义：完全平方即用一个整数乘以自己例如1×1，2×2，3×3等等，依此类推．若一个数能表示成某个自然数的平方的形式，则称这个数为完全平方数．2．性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9．性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数．性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数．性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1．性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型．性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k，3k+1．性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型．性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m，16m+1，16m+4，16m+9．性质9：完全平方数的数字之和只能是0，1，4，7，9．【命题方向】例1：一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数．则a的最小值是（）A、30B、20C、120D、60分析：一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数，所以将1080×a的乘积分解质因数后，其质数的指数一定全为偶数，据此分析解答即可．解：因为1080×a是一个完全平方数，所以乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数；而1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，所以，a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5=30．故选：A．【知识点归纳】1．孙子定理的含义：也叫中国剩余定理．《孙子算经》中“物不知数”问题说：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即被三除余二，被五除余三，被七除余二的最小整数．这个问题称作孙子问题，俗称韩信点兵．其正确解法叫做孙子剩余定理．2．中国剩余定理的结论：令任意固定整数为M，当M/A余a，M/B余b，M/C余c，M/D余d，…，M/Z余z时，这里的A，B，C，D，…，Z为除数，除数为任意自然数（如果为0，没有任何意义，如果为1，在孙子定理中没有计算和探讨的价值，所以，不包括0和1）时；余数a，b，c，d，z为自然整数时．1．当命题正确时，在这些除数的最小公倍数内有解，有唯一的解，每一个最小公倍数内都有唯一的解；当命题错误时，在整个自然数范围内都无解．2．当M在两个或两个以上的除数的最小公倍数内时，这两个或两个以上的除数和余数可以定位M在最小公倍数内的具体位置，也就是M的大小．3．正确的命题，指没有矛盾的命题：分别除以A，B，C，D，…，Z不同的余数组合个数=A，B，C，D，…，Z的最小公倍数=不同的余数组合的循环周期．【命题方向】例1：设ɑ是一个满足下列条件的最大的正整数：使得用ɑ除64的余数是4；用ɑ除155的余数是5；用ɑ除187的余数是7，则ɑ=（）A、10B、15C、30D、60分析：根据题意可知，a一定能整除（64-4）、（155-5）、（187-7），即a一定是60、150、180的最大公因数，只要用短除法即可求出最大公因数．解：64-4=60155-5=150187-7=180所以60、150、180的最大公因数是：5×3×2=30因此，a=30．故选：C．点评：本题考查了孙子定理，由于本题是求的最大的“模”，所以可以简单地用求最大公因数的方法解答．例2：某小学的六年级有一百多名学生．若按三人一行排队，则多出一人；若按五人一行排队，则多出二人；若按七人一行排队，则多出一人．该年级的人数是127．分析：此题属于孙子定理，又叫同余定理，中国剩余定理，分组时，只要余数相同，求总数，就可以先求出分组时组员数目的最小公倍数，然后再加上余数；本题有两个余数，可分部求解．解：因为按3人和7人一行排队都多出1人，所以总人数应该是3和7的公倍数多1人，即22、43、64、85、106、127、148、169、190、211、…其中符合题意一百多名的只有106、127、148、169、190这五个数同理，又因为按5人一行排队多2人，所以总人数应该是5的倍数多2，所以总人数的最后一位数字应该是2或7最终符合题意的是127．答：该年级的人数是127．故答案为：127．点评：此题考查了孙子定理，根据已知条件，只要分组时余数相同，就求最小公倍数，然后加上余数，明白同余定理是解决此题的关键．五．辗转相除法【知识点归纳】1．什么是辗转相除法，又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法．2．原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的相除余数的最大公约数．3．举例子：有定理：已知a，b，c为正整数，若a除以b余c，则（a，b）=（b，c）．（证明过程请参考其它资料）例：求 15750 与27216的最大公约数．解：∵27216=15750×1+11466∴（15750，27216）=（15750，11466）∵15750=11466×1+4284∴（15750，11466）=（11466，4284）∵11466=4284×2+2898∴（11466，4284）=（4284，2898）∵4284=2898×1+1386∴（4284，2898）=（2898，1386）∵2898=1386×2+126∴（2898，1386）=（1386，126）∵1386=126×11∴（1386，126）=126所以（15750，27216）=216．【命题方向】例1：从一张长2109毫米，宽627毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形，按照上面的过程，不断地重复，最后剪得的正方形的边长是57毫米．分析：因为2109=627×3+228（也就是第1～3次剪下的正方形的边长为627毫米）； 627=228×2+171； 228=171×1+57；171=57×3．由以上算式可以看出，这种方法就是用大数除以小数，再用上次运算中的除数除以余数，如此反复除，直到余数为零．最后一个除数就是两数的最大公约数．这是因为：两个数的最大公约数，同时是两个数的约数，也就是余数的约数．拿此题来讲，2109和627的公约数，也就是627和228的公约数．由于171是57的倍数，所以它们的最大公约数就是57，即2109与627的最大公约数．解：2109=627×3+228；627=228×2+171；228=171×1+57；171=57×3．故答案为：57．点评：此题考查了求最大公约数的另一个办法--辗转相除法．例2：用辗转相减法求：1008，1260，882，1134这四个数的最大公因数．分析：用辗转相除法求出其中任意两个数的最大公因数，再求出这个公因数与另外两个数公因数的最大公因数；据此解答．解因为1008=252×4，1260=252×5，所以：（1008，1260）=252，又因为882=126×7，1134=126×9，所以：（882，1134）=126，又因为252=126×2，126=126×1，所以：（252，126）=126，所以：（1008，1260，882，1134）=126．点评：对任意整数a，b，b＞0，存在唯一的整数q，r，使a=bq+r，其中0≤r＜b，这个事实称为带余除法定理，若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数．若d是a，b的公因数，且d可被a，b的任意公因数整除则称d是a，b的最大公因数．当d≥0时，d是a，b公因数中最大者．若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素．累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法．同步测试一．选择题（共10小题）1．（北京市第一实验小学学业考）一个两位数，除以3余1，除以5余3，这个两位数最大是（）A．78B．88C．98D．902．一堆彩色玻璃球，二个二个一数余1个，三个三个一数余1个，五个五个一数也余1个，则这一堆玻璃球至少有（）个．A．11B．16C．21D．313．有一堆草莓，比40个多，比50个少，分的份数与每份的个数同样多，这堆草莓有（）个．A．42B．45C．494．已知69，90，125分别除以一个大于1的自然数N，它们的余数相同，那么81除以N的余数为（）A．3B．4C．5D．75．6的因数有1、2、3、6，这几个因数之间的关系是：1+2+3＝6．像这样的数叫完全数．下面的数中，（）是完全数．A．8B．18C．286．32的所有约数之和是（）A．62B．63C．647．将数A分解质因数是A＝2×3×5，那么因数有（）个．A．3B．5C．6D．88．一个两位数是由3个不同的质数相乘得到的，它的因数共有（）个．A．8B．6C．5D．39．一个数，除50余2，除65余5，除91余7，求这个数是（）A．10B．11C．12D．1310．对于一个正整数，如果小于这个数的所有正因数之和恰等于这个数，那么这个数是完全数．例如6，小于6的正因数共有1，2，3，因为6＝1+2+3，所以6是一个完全数．下列数中是完全数的是（）A．4B．15C．28D．31二．填空题（共10小题）11．（北京市第一实验小学学业考）有四个不同的自然数，其中任意两个数的和是2的倍数，任意三个数的和是3的倍数．为使这四个数的和尽可能地小，这四个数分别是．12．2310的所有约数的和是．13．4018和3239的最大公约数为．14．1、4、9完全平方数，18、27完全立方数，2、3、5、7、10、11、12…非平方也非立方数列，数列中第99个是．15．一个完全平方数有5个约数，那么这个数的立方有个约数．16．22003与20032的和除以7的余数是．17．一个自然数除以7余5，除以11余1，除以9余3，这个数最小是．18．一个两位数，用2，3，5去除都余1，这个两位数最小是，最大是．19．有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的3倍，且这个三位数除以5余4，除以11余3．这个三位数是．20．甲、乙两人合买了n个篮球，每个篮球n元，付钱时，甲先乙后，10元，10元地轮流付钱，当最后要付的钱不足10元时，轮到乙付，付完全款后，为了使两人所付的钱数同样多，则乙应给甲元三．判断题（共5小题）21．如果一个完全平方数可以被5整除，则其末两位一定是25．（判断对错）22．一个数被4除余1，被5除余2，被6除余3，这个数最小是117．．（判断对错）23．三（1）班有39名学生，做操时能排成正方形队伍．（判断对错）24．能同时被3、5、7除，都余2的最小三位数是107．．（判断对错）25．自然数a只有两个因数，那么5a最多有3个因数．．（判断对错）四．应用题（共5小题）26．（北京市第一实验小学学业考）不满千人的士兵等分为4队，每队排成14人或12人一排都余8人，后来改为8人一排则无剩余．求一共有多少人？27．某个大于1的整数除41、11得到的余数相等，那么这个整数可能是几？28．一堆苹果不少于10个，三个三个的数，四个四个的数，五个五个的数都多两个，这堆苹果最少有多少个？29．李老师买回一袋苹果，7个7个地数余3个，5个5个地数又多4个，3个3个地数正好数完．这袋苹果至少有多少个？30．下面是一个算式：1+1×2+1×2×3+1×2×3×4+1×2×3×4×5+1×2×3×4×5×6这个算式的得数能否是某个数的平方？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】除以3余1，除以5余3，那么这个数不是3和5的倍数；由此用排除法求解．【解答】解：除以3余1，除以5余3，那么这个数不是3和5的倍数；A、7+8＝15；15是3的倍数，所以78是3的倍数，故A错误；D、5的倍数的个位数都是0或5的整数，90的个位数字是0，那么是5的倍数，故D错误；BC、而这个数的末尾应是3或8；B和C都符合，只要再看哪个数除以3余1即可．88÷3＝29…1；98÷3＝32…2；88除以3余1，所以88符合要求．故选：B．【点评】解决本题也可以这样想：这个两位数是3和5的公倍数减2，由此得这个两位数是3×5×6﹣2＝88．2．【分析】“二个二个一数余1个，三个三个一数余1个，五个五个一数也余1个”，说明这堆玻璃球的个数是2、3、5的公倍数加1，求这堆玻璃球最少有多少个，先求出2、3、5的最小公倍数，然后加上1，由此解决问题即可．【解答】解：2、3、5是互质数，它们的最小公倍数是：2×3×5＝30；玻璃球的个数就是30+1＝31（个）；答：这一堆玻璃球至少有31个．故选：D．【点评】此题主要考查求三个数的最小公倍数的方法：三个数互质，它们的最小公倍数是它们的积，并用此决解实际问题．3．【分析】根据乘法口诀可知，七七四十九，由于这堆草莓，比40个多，比50个少，分的份数和每一份的个数同样多，只有49合适，所以这堆草莓有49个．【解答】解：由分析可知，比40个多，比50个少，分的份数和每一份的个数同样多，这堆草莓有49个．故选：C．【点评】此题考查了乘法口诀在数学中的运用．4．【分析】可设69＝x+aa是余数，90＝y+a，125＝z+a，x，y，z能被这个自然数整除，相减之后即90﹣69＝x﹣y能被这个自然数整除，所以得到这个结论：这个数能同时整除它们的差，然后求出公约数即可解答．【解答】解：90﹣69＝21，125﹣69＝56，125﹣90＝35，21，56，35能同时被这个数整除，21，56，35大于1的公约数为7．81÷7＝11 (4)故选：B．【点评】本题主要考查了公约数的概念，通过同余得出他们的差能够整除这个自然数是解答本题的关键．5．【分析】分别写出8、18、28的因数然后依题意判断即可．【解答】解：8的因数有：1、2、4、8，1+2+4＝7，8不是完全数；18的因数有：1、2、3、6、9、18，1+2+3+6+9＝21，18不是完全数；28的因数有：1、2、4、7、14、28，1+2+4+7+14＝28，28是完全数；故选：C．【点评】本题可采用排除法注意判断作答．6．【分析】先找出32的约数有1，2，4，8，16，32，然后把它们相加即可．【解答】解：32的约数有1，2，4，8，16，32，1+2+4+8+16+32＝63；答：32的所有约数之和是63；故选：B．【点评】此类题做题的关键是先找出32的约数，然后根据题意，相加即可得出结论．7．【分析】先求出A的乘积，再求这个数的约数，解决问题．【解答】解：A＝2×3×5＝30，30的自因数有：1、2、3、5、6、10、15、30，计8个．答：A的因数有8个．故选：D．【点评】也可以这样解答：2、3、5各一次，还有2×3，2×5，3×5，2×3×5，再加上1，共8个．8．【分析】设这个数＝a×b×c，则这个数的因数为：1、a、b、c、ab、ac、bc、abc，共有8个；据此解答即可．【解答】解：设这个数＝a×b×c，则这个数的因数有：1、a、b、c、ab、ac、bc、abc，共有8个．答：一个两位数是由3个不同的质数相乘得到的，它的因数共有8个．故选：A．【点评】解决本题的关键是将所有因数写出，再计数．9．【分析】根据题意可得，50减去2，65减去5，91减去7，得到的差都是这个数倍数，然后求出它们的公因数即可．【解答】解：50﹣2＝4865﹣5＝6091﹣7＝84在三个选项中只有12是48、60、84的公因数；所以这个数是12．故选：C．【点评】本题考查了余数问题与公因数问题的综合应用，关键是明确一个数减去它除以某个数的余数，得到的差一定是某数的倍数．10．【分析】先将数4，15，28，31分解正因数，再求其小于它本身的所有正因数的和，最后判断是否等于这个数，即可得出结论．【解答】解：4，小于4的正因数共有1，2，因为4≠1+2，所以4不是一个完全数；15，小于15的正因数共有1，3，5，因为15≠1+3+5，所以15不是一个完全数．28，小于28的正因数共有1，2，4，7，14，因为28＝1+2+4+7+14，所以28是一个完全数．31，小于31的正因数共有1，因为31≠1，所以31不是一个完全数，综上所述，4，15，28，31中，只有28是完全平方数，故选：C．【点评】此题主要考查了一个数分解正因数的方法，新定义，找出一个整数的所有正因数是解本题的关键．二．填空题（共10小题）11．【分析】据题意可知，四个不同的自然数中其中任意两个数的和是2的倍数，根据数和的奇偶性可知，这四个自然数同为奇数，或同为偶数；由任意3 个数的和都是3的倍数可知：全是3的倍数，如果全是偶数，四数全是6的倍数即可；如果全是奇数，必须满足任意两数的差是6的倍数．总而言之，只要任意两数的差是6的倍数，即可满足题目要求如：1，7，13，190、6，12，18，等．使这4个数的和尽可能少，则取0，6，12，18．【解答】解：因为四个数中任意两个数之和是2的倍数，所以这四个数同奇、同偶；由任意3 个数的和都是3的倍数可知：如果全是偶数，四数全是6的倍数最小为：0，6，12，18；如果全是奇数，必须满足任意两数的差是6的倍数．最小为：1，7，13，19所以应取：0，6，12，18．故答案为：0，6，12，18．【点评】完成本题要在了解数的奇偶性及同余性质的基础上进行．12．【分析】先把2310分解质因数，即2310＝2×3×5×7×11，然后根据求因数和的方法计算即可．【解答】解：因为2310＝2×3×5×7×11，所以2310所有约数和为：（1+2）×（1+3）×（1+5）×（1+7）×（1+11）＝3×4×6×8×12＝6912故答案为：6912．【点评】约数个数与约数和定理：设自然数n的质因子分解式如n＝p1×p2×…×p k那么：n的约数个数公式：d（n）＝（a1+1）（a2+1）…（a k+1）n的所有约数和：f（n）＝（p10+p11+p12+…p1a1）（p20+p21+p22+…p2a2）…（p k0+p k1+p k2+…p k ak）．13．【分析】两个数较大，用辗转相除法求出两个数的最大公因数即可．【解答】解：4018÷3239＝1 (779)3239÷779＝4 (123)779÷123＝6…41123÷41＝3所以，4018和3239的最大公因数为41；故答案为：41．【点评】两个整数的最大公因数等于其中较小的数和两数的相除余数的最大公因数．14．【分析】首先考虑1﹣99的完全平方数有10个1、4、9、25、36、49、64、81，且立方数有4个分别为1、8、27、64，去掉重复的还有99﹣9﹣4+2＝88个数，进一步考虑下一个完全平方数是121，完全立方数是125，所以从100开始，再数出12个数就可以得出答案为111．【解答】解：1﹣99的完全平方数有9个1、4、9、25、36、49、64、81，完全立方数有4个分别为1、8、27、64，去掉两种数剩下99﹣9﹣4+2＝88个，下一个完全平方数是121，完全立方数是125，88+11＝99，所以既没有完全平方数，又没有完全立方数，那么，这样的数的第99个数是111．答：数列中第99个是111．故答案为：111．【点评】解决此题的关键，是理解题意，找出在一定范围内完全平方数以及完全立方数的个数．15．【分析】根据完全平方数的性质，先求出约数有5个的完全平方数是16，再利用约数和定理，求出这个数的立方的约数个数即可．【解答】解：22＝4，有1、2、4三个约数，32＝9，有1、3、9三个约数，42＝16，有1、2、4、8、16五个约数，所以这个完全平方数是16，这个数的立方是：163＝212，12+1＝13（个），答：这个数的立方有13个约数．故答案为：13．【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a＝pα×qβ×rγ（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共（α+1）（β+1）（γ+1）个约数，关键是根据题干先求出这个约数有五个的完全平方数．16．【分析】2的次方÷7其实是有规律可循的，2÷7余2，4÷7余4，8÷7余1，16÷7余2，32除以7余4，64÷7余1，2的次方÷7的余数是2，4，1循环的．2003÷3余2，那么就是循环中第2个数，也就是4，2003×2003＝4012009.4012009÷7余1，两个余数相加就是4+1＝5；由此得出2的2003次方与2003的2次方的和除以7的余数是5．【解答】解：由2的次方÷7的余数是2，4，1循环的可得：2003÷3＝667…2，所以22003÷7的余数是4；因为2003×2003＝4012009，4012009÷7余1，即20032÷7余1，所以22003与20032的和除以7的余数是1+4＝5，故答案为：5．【点评】解答此题的关键是根据2的次方÷7余数发现规律，求出22003÷7的余数是4．17．【分析】一个自然数除以7余5，那么符合这一条件的最小的自然数是1×7+5＝12，然后再验证是否符合后两个条件，据此解答即可．【解答】解：符合“除以7余5”的最小的自然数是1×7+5＝12，12÷11＝1…1，符合要求，12÷9＝1…3，符合要求，所以，这个数最小是12．故答案为：12．【点评】本题考查了简单的孙子定理问题，也可分别列举出符合每个条件的数，然后找到最小的共同的数即可．18．【分析】根据一个两位数，除以2，3，5去除都余1，通过分析可以发现，这个两位数比2、3、5的公倍数多1，先求出这几个数的最小公倍数再加上1，求出最小的，然后再求出最大的即可．【解答】解：2×3×5＝30这个两位数最小是：30+1＝31最大是：30×3+1＝91答：这个两位数最小是31，最大是91．故答案为：31；91．【点评】此题巧用求几个数的最小公倍数，去解决问题．19．【分析】因为个位数是百位数的三倍，那么个位数和百位数只有这几种可能9或3，6或2，3或1，而它除以5余4，那么个位数必然是9，则百位数则是3．由于除以11要余3，而只有当11×36+3的时候个位数才会出现9，并且满足百位数是3，因此可以算出该三位数是399．【解答】解：由“个位上的数是百位上的数的3倍”，可知个位数和百位数只有这几种可能9，3或6，2或3，1．而它除以5余4，那么个位数必然是9，则百位数则是3．由“除以11余3”，而只有当11×36+3的时候个位数才会出现9，并且满足百位数是3，因此可以算出该三位数是399．故答案为：399．【点评】此题有一定难度，考查学生的分析推理能力．20．【分析】篮球的总价为n2．由题意“首先由甲付10元，然后乙付10元，甲再付10元，乙再付10元，…直到某次甲付10元后，乙只需要再付不足10元“可知，每轮他们付20元，最后一轮甲付了10元后乙没付够10元，所以他们支付的总价格的十位上必定是奇数．由下面可以推出十位上是奇数个位必定是6：假设一个数为n＝10x+y，其中x和y是整数，且0＜y≤9，于是，我们有：n*n＝100x*x+20xy+y*y．＝20x（5x+y）+y*y如果n*n的十位数字是奇数，那么y的平方十位数字是奇数，由此推得y的平方等于16或36所以n的平方个位数字是6所以最后乙付得钱肯定是6元，由此可以作答．【解答】解：总价为n2，由题意的，总价的十位数上为奇数，所以个位数上必定为6．所以最后一轮乙支付了6元，甲支付了10元．所以乙需要给甲（10+6）÷2﹣6＝2（元）答：按照约定，乙需要再给甲2元．故答案为：2．【点评】本题考差了平方数的一些规律，灵活运用即可作答．三．判断题（共5小题）21．【分析】本题可以举反例证明，如果一个完全平方数可以被5整除，那么它一定是25的倍数，比如102＝100，100可以被5整除，但其末两位不是25；据此解答即可．【解答】解：可以举反例证明：102＝100，100是一个完全平方数，100可以被5整除，但其末两位不是25，所以原题说法错误；故答案为：×．【点评】掌握完全平方数的特征和能被5整除的数的特征是解答本题的关键．22．【分析】因为这个数被4、5、6除余数不相同，所以可以转化为：一个数被4除差4﹣1＝3，被5除差5﹣2＝3，被6除差6﹣3＝3，然后求出4、5、6的最小公倍数，然后再减去3即可判断．【解答】解：4＝2×2，6＝2×3，4、5、6的最小公倍数：2×2×3×5＝60，60﹣3＝57，所以一个数被4除余1，被5除余2，被6除余3，这个数最小是57，而不是117，所以原题说法错误．故答案为：×．【点评】本题考查了孙子定理，这道题如果按孙子定理去解答的话比较麻烦，本题通过转化表述方法使问题变得简单．23．【分析】正方形队伍应使每边人数相等，但是39不是某个自然数的完全平方数，所以39人做操时不能排成方队．【解答】解：因为39不是某个自然数的完全平方数，所以39人做操时不能排成方队．故答案为：×．【点评】本题考查了实心方阵的有关知识，计算公式是：总点数＝每边点数×每边点数；总点数÷4+1＝每边点数．24．【分析】通过分析题意可知：3、5、7的最小公倍数为3×5×7＝105所以这样的数可以表示成：105×k+2然后确定k的最小值，且满足这个数是三位数，据此解答即可．【解答】解：3、5、7的最小公倍数为3×5×7＝105所以这样的数可以表示成：105×k+2当k＝1时，105×k+2＝105×1+2＝107，107是满足条件的最小三位数．故答案为：√．【点评】本题考查了带余数的除法和最小公倍数的综合应用，属于中档型题目，有一定难度．25．【分析】根据找一个数的因数的方法进行解答即可．【解答】解：因为a只有两个约数，那么a为质数，那么5a最多有4个约数：1、a、5、5a；故答案为：×．【点评】解答此题应根据题意，进行认真分析，找出5a的所有约数，进而得出结论．四．应用题（共5小题）26．【分析】1000÷4＝250人，不满千人，每队就是不满250人；每队排成14人或12人一排都余8人，那么每排的人数就比14和12的公倍数多8，先找出250以内比14和12的公倍数多8的数，再满足最后一个条件，就是这个数是8的倍数，从而得出每队的人数，再乘4，就是总人数．【解答】解：1000÷4＝250（人），不满千人，每队就是不满250人；14＝2×712＝2×614和12的最小公倍数是：2×6×7＝8484+8＝9292÷8＝11…4，92不是8的倍数，不合题意；84×2+8＝176176÷8＝22，符合要求；84×3+8＝260＞250，不合题意．所以每队的人数是176人176×4＝704（人）答：一共有704人．【点评】解决本题关键是明确每队的人数是比14和12的公倍数多8的数，且是8的倍数的数，从而讨论求解．27．【分析】因为这个数除41、11得到的余数相等，那么这个整数是41﹣11＝30的因数，然后找到大于1的30的因数即可．【解答】解：因为这个数除41、11得到的余数相等，那么这个整数是41﹣11＝30的因数，30大于1的因数，即这个整数可能是：2、3、5、6、10、15、30．答：这个整数可能是：2、3、5、6、10、15、30．【点评】本题考查了因数与倍数的问题，关键是明确41和11两个数的差是这个数的倍数．28．【分析】“三个三个的数，余2个，四个四个的数，余2个，五个五个的数，余2个”，说明这堆苹果的个数是3、4、5的公倍数加2；3、4、5的最小公倍数是3×4×5＝60，又知这堆苹果不少于10个，。

小升初——数论数论是考察学生数感、数字规律的观察能力的重点专题，这一讲我们将熟练运用已经学过的数论知识，解决数论问题。

掌握代数式处理数论问题的方法。

1、 六位数□2004□能被99整除，这个六位数是多少？2、 有一个六位数，前四位是2857，即2857□□，这六位数能被11和13整除，请你算出最后两位数。

3、 若四位数a a 89能被15整除，则a 代表的数字是什么？4、 一个七位数c b a 9020是33的倍数，那么_______=++c b a5、 在一个四位数的某位数字前添上一个小数点，再和原来的四位数相减，差的绝对值是1803.6，则原来的四位数是多少？6、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。

7、有一个整数，用它去除70、110、160所得到的3个余数和是50，这个整数是多少？8、两个整数相除商8，余16，并且被除数、除数、商及余数和是463.那么被除数是多少？311，那么这三个质数和是多少？9、三个质数倒数和是100110、有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么他们的年龄各是多少？11、一个正整数与1470的积是一个完全平方数，那么这个数的最小值是多少？12、求2520、14850、819的最大公因数和最小公倍数（用因数分解法）13、现有4个自然数，他们的和是1111，如果要使这4个数的公因数尽可能大，那么4个数的公因数最大是多少？14、一个三位数正好等于它各位数字之和的18倍，这个三位自然数是多少？15、六位数2003□□能被99整除，它的最后两位数是多少？16、将1996加一个整数，使和能被23与19整除，加的整数要尽可能小，那么所加的整数是多少？A1999311能被72能除，试求A、B两数的差（大减小）17、如果一个九位数B18、一个四位数，给它加上小数点后，比原数小2003.4，这个四位数是多少？19、已知一个两位数除1477，余数是49.那么满足那样条件的所有两位数是多少？1661，这三个质数和是多少？20、三个质数倒数的和是198621、小明是个中学生，最近他参加了一次数学竞赛，并获得了好成绩。

小升初专项训练---数论数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。

翻开任何一本数学辅导书，数论的内容都占据了不少的版面。

在小升初择校考试及小学各类数学竞赛中，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的12%左右，小学阶段的数论知识点主要有：1、质数与合数、因数与倍数、分解质因数2、数的整除特征及整除性质3、余数的性质、同余问题4、位值原理5、最值问题知识点一：质数与合数、因数与倍数、分解质因数1.质数与合数突破要点——质数合数分清楚，2是唯一偶质数(1)质数：一个数除了1和它本身以外，没有其他的因数，这样的数统称质数。

(2)合数：一个数除了1和它本身以外，还有其他的因数，这样的数统称合数。

例如：4、6、8、10、12、14，…都是合数。

在100以内有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个质数2约数与倍数公因数短除法到一个不能除为止，公倍数除到海枯石烂为止，因数有限个，倍数无穷多。

如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。

如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。

在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。

自然数a1，a2，…，an的最大公约数通常用符号（a1，a2，…，an）表示，例如，（6，9，15）=3。

3．质因数与分解质因数（1）如果一个质数是某个数的约数，那么就是说这个质数是这个数的质因数。

（2）把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例如，把42分解质因数，即是42=2×3×7。

其中2、3、7叫做42的质因数。

又如，50=2×5×5，2、5都叫做50的质因数。

4、要注意以下几条：（1）1既不是质数，也不是合数。

小升初专练-数论问题-不定方程的分析求解【知识点归纳】1．不定方程的定义：不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组．2．一般是求解一次不定方程：关于ax+by=c的不定方程，（a，b）为a，b的最大公约数，如果有整数特解（x0，y0），则该方程所有整数解为：x=x0-kb÷（a，b），y=y0+ka÷（a，b），k为整数．例如：37x+107y=25的一组整数特解为（-8，3），（37，107）=1则其所有整数解：x=-8-107ky=3+37k．【经典题型】例1：某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划播长度为15秒和30秒的两种广告．15秒的广告每播一次收费0.6万元，30秒的广告每播一次收费1万元．若要求每种广告播放不少于两次，则电视台在播放时收益最大的播放方式是（ ）A、15秒的广告播放4次，30秒的广告播放2次B、15秒的广告播放2次，30秒的广告播放4次C、15秒的广告播放2次，30秒的广告播放3次D、15秒的广告播放3次，30秒的广告播放2次分析：本题中的等量关系：15秒×次数+30×次数=2×60，根据这个等量关系列出方程，然后再根据“要求每种广告播放不少于2次，则电视台在播放时收益最大”这个要求分析解的情况．解：设15秒的广告播x次，30秒的广告播y次．则15x+30y=120，因为每种广告播放不少于2次，所以x=2，y=3，或x=4，y=2；当x=2，y=3时，收益为：2×0.6+3×1=4.2（万元）；当x=4，y=2时，收益为4×0.6+1×2=4.4（万元），所以电视台在播放时收益最大的播放方式是：15秒的广告播放4次，30秒的广告播放2次．故选：A．点评：解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，合理分析得出结论．一．填空题1．假期时，22名同学相约去划船，小船限乘4人，大船限乘6人，如果每条船都坐满，可以租 条小船和 条大船．2．现在有5角和1元硬币若干枚，面值总和共10元，5角和1元硬币各有 、 枚（写出所有可能）．3．有127个乒乓球分装在大、小两种盒子里，大盒每盒装13个，小盒每盘装5个至少需要 个大盒子才能恰好把这些球装完4．小名准备去商店买3支装和5支装的铅笔64支，共有 种不同的买法．5．、都是自然数，如果，则 ．6．两位老师带着40位同学去公园划船，大船每条坐4人，小船每条坐3人．租 条大船和 条小船正好坐满．（两种船都租）．7．将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽不计，问：剩余部分的管子最少是 厘米．8．二元一次方程有 个解，则正整数范围内的解是 ．9．旅游团有29人到旅馆住宿，住3人间和2人间（每个房间不能有空床位），有 种不同的安排．10．一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和等于200，这两个质数的和是 ．11．如果一个长方形的长、宽都是整数（长与宽不相等）．且周长与面积的数值相等，那么这个长方形的面积的数值等于 ．12．数学测试卷有20道题．做对一道得7分；做错一道扣4分；不答得0分．张红得了100分，她有 道题没答．13．1分、2分、5分的硬币共20枚，总值0.50元，其中2分的硬币至少有 枚．14．每张方桌放有12个盘子，每张圆桌放有13个盘子，若共有盘子122个，则圆桌和方桌共有 张．15．晶晶有5元和2元两种人民币若干张．她要拿37元，有 种不同的拿法．16．若和均为质数，且，则 ， ．17．小强买彩色笔枝，付元，都是非0自然数），营业员说：“你如果多买8枝，我就总共收你8元，这相当于每买10枝你就可以便宜1元．”那么 枝， 元．18．月季花每盆5元，茉莉花每盆3元，如果两种花都买，买 盆月季花和 盆茉莉花共用27元．..x y 133515x y +=x y +=27x y +=p q 3513135p q +=p =q =a m (a m a =m =19．某电视台在每天晚上黄金时段的3分钟内插播时长为20秒和40秒的两种广告，20秒广告每次收费7000元，40秒广告每次收费12000元，若要求每种广告播放不少于2次，且电视台选择益最大的播放式式，则在这一天黄金时段3分钟内插播广告的最大收益是 元．20．现有2元和5元的人民币，要凑成100元钱，有 种凑法．二．解答题21．16名同学去划船，可以怎样租船？先借助表格思考，再按要求填空．方案序号座位数正好坐满14条0条16234522．有19人到宾馆住宿，有三人间和两人间两种房型，本着节约的原则，每个房间不能有空床位，请你在如表中填写具体的安排．三人间间两人间间23．你玩过抱团游戏吗？游戏规则：可6人抱一堆，也可4人抱一堆．如果有38人，怎样抱团刚好一人也不剩下．请用自己的方式找出所有可能的方案，做到不重复、不遗漏．24．学校28名学生去公园划船，有两种船可供选择，小船每条可坐4人，大船每条可坐6人，如果每条船都坐满，可以怎样租船？请设计租船方案，并填入下表．租船方案大船小船方案一 条 条方案二 条 条//方案三 条 条25．解方程．①；②求方程的正整数解．26．小明要买一本49元的书，他手上有贰元和伍元的纸币各10张．请问他有几种付钱方法？（不用找钱）27．一群林场工人与学生一起在去年冬天挖好的坑中植树，平均1名林场工人1小时可植树15棵，1名学生1小时可植树11棵．但是，当树苗与肥料运来时，林场工人的五分之一和学生的五分之一必须停止植树去帮助卸运树苗和肥料．这天，共植树8小时，其中第一小时和最后一小时有树苗，肥料运来，结果共植树3382棵．那么林场工人和学生的人数分别是多少？28．晓丽有50元和20元的纸币若干张，她要拿出270元，有多少种不同的拿法？29．点燃的蜡烛每分钟燃烧的长度一定，长为的蜡烛，六点燃10分钟，还剩下，设点燃分钟，蜡烛还剩下，求：（1）与之间的表达式；（2）此蜡烛点燃20分钟后还剩下多少？（3）几分钟能燃烧完？30．某人打靶，8发打了53环，全部命中在10环、7环和5环．他命中10环、7环和5环各几发？31．38人去划船，有两种船可租．一种小船限坐4人，另一种小船可坐6人，有多少种不同的安排？（正好坐满）32．王老师在新华书店购买《童话精选》和《科学家的故事》一共用了116元钱．这两种书各买了多少本？33．取哪些整数时，关于的方程的解介于2和5之间？34．已知、是正整数，的度数等于，的度数等于，且、互为补角，求、所能取的所有值的和．35．某地收取电费的标准是：每月用电不超过50度，每度收5角；如果超过50度，超出部分按每度411154220x ⨯-=7543x y +=21cm 18cm x ycm y x k x 332x k x -=+x y 1∠35x +2∠32y -1∠2∠x y8角收费．某月甲用户比乙用户多交3元3角电费，这个月甲、乙各用了多少度电？36．有两轮车和三轮车，共有31个轮子，两轮车和三轮车各几辆？小升初专练-数论问题-不定方程的分析求解参考答案一．填空题1．解：，即可以租1条大船和4条小船；，即可以租3条大船和1条小船；答：可以租1条大船和4条小船，或可以租3条大船和1条小船．答案：4（或（或．2．解：设5角硬币有枚，1元硬币有枚，为偶数，如果，则；如果，则；如果，则；如果，则；如果，则；如果，则；如果，则；如果，则；如果，则；如果，则；如果，则；答案：、2、4、6、8、10、12、14、16、18、；、9、8、7、6、5、4、3、2、1、．3．解：设大盒有个，小盒有个，226144=⨯+⨯226341=⨯+⨯1)13)x y 0.510x y +=100.5y x=-x 0x =10y =2x =9y =4x =8y =6x =7y =8x =6y =10x =5y =12x =4y =14x =3y =16x =2y =18x =1y =20x =0y =(020)(100)x y 135127x y +=127513yx -=因为都是整数，所以必须是13的倍数，所以，是这个方程的整数解，即大盒有9个，小盒有2个。

小升初专练-数论问题-数的整除特征【知识点归纳】整除是整数问题中一个重要的基本概念．如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a．此时，b是a的一个因数（约数），a是b 的倍数数的整除特征（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除．（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除．（3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除．（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除．（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除．（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除．【经典题型】例1：下列4个数都是六位数，A是大于0小于10的自然数，B是0，一定能同时被2、3、5整除的数是（ ）A、AAABAAB、ABABABC、ABBABBD、ABBABA 分析：这个六数个位上的数字是0，能被2和5整除，不管A是比10小的哪个自然数，A+A+A的和一定是3的倍数，所以ABABAB一定能被3整除解：B=0，ABABAB能被2和5整除，A+A+A的和一定是3的倍数，ABABAB也一定能被3整除，故选：B．点评：此题主要考查能被2、3、5整除的数的特征：一个数个位上是0或5，这个数就能被5整除；个位是0、2、4、6、8的数能倍2整除；一个数各数位上的数字之和是3的倍数，这个数就能被3整除．【常考题型】例2：有一个四位数3AA1能被9整除，A是（）．分析：已知四位数3AA1能被9整除，那么它的数字和（3+A+A+1）一定是9的倍数然后再根据题意进一步解答即可．因为A是一个数字，只能是0、1、2、3、…、9中的某一个整数，最大值只能是9．若A=9，那么3+A+A+1=22，22＜27，所以3AA1的各位数字和只能是9的1倍或2倍，即9或18．解：根据题意可得：四位数3AA1，它能被9整除，那么它的数字和（3+A+A+1）一定是9的倍数；因为A是一个数字，只能是0、1、2、3、…、9中的某一个整数，最大值只能是9；若A=9，那么3+A+A+1=3+9+9+1=22，22＜27，所以，3AA1的各位数字和只能是9的1倍或2倍，即9或18；当3+A+A+1=9时，A=2.5，不合题意；当3+A+A+1=18时，A=7，符合题意；所以，A代表7，这个四位数是3771．答：A是7，故答案为：7．点评：本题主要考查能被9整除数的特征，即一个数能被9整除，那么这个数的数字和一定是9的倍数，然后在进一步解答即可．一．选择题1．下面四个数都是六位数，N是比10小的自然数，S是0，一定能被3和5整除的数是（ ）A．NNNSNN B．NSNSNS C．NSSNSS D．NSSNSN2．某班有一个小图书馆，共有300多本，从1开始，图书按自然数的顺序编号，即1，2，3…，小光看了这图书馆里都被2，3和8整除的书号，共16本，这个图书馆里至少有（ ）本图书．A．381B．382C．383D．3843．四位数同时是2、3和5的倍数，第一个里最大能填（ ）A．9B．8C．7D．64．用0，3，4，5四个数字组成的所有四位数都能被（ ）整除．A．2B．3C．55．用1～8八个数字组成两个四位数，每个数字只用1次．已知两个四位数都是9的整数倍，则两个四位数的差的最大值为（ ）A．5286B．4184C．7531D．70656．下列各数中是11的倍数的是（ ）A．75087B．117208C．632599D．4563517．从1，2，3，4，5这五个数字中选取四个组成一个四位数，使它能同时被3、5、7整除，这个四位数是（ ）A．1235B．1245C．2415二．填空题8．有一个号码是六位数，前四位是2857，后两位忘记了，但是这个六位数能被11和13整除，那么这个号码是 。

2020年小升初数学专题复习训练—拓展与提高数论（1）知识点复习一．数字问题【知识点归纳】1．数字问题的主要题型：数字问题是研究有关数字的特殊结构、特殊关系以及数字运算中变换问题的一类问题，相对来说，难度较大．通常情况下题目会给出某个数各个位数关系，求这个数为多少．2．核心知识（1）数字的拆分是将一个数拆分成几个因数相乘或者相加的形式，经常需要综合应用整除性质、奇偶性质、因式分解、同余理论等．（2）数字的排列与位数关系解答数字的排列与位数关系时，经常需要借助于首尾数法进行考虑、判断，同时可以利用列方程法、代入法、假设法等一些方法，进行快速求解．【命题方向】例1：在1到400的整数中，至少能被3和5中的一个数整除的数有（）个5．A、213B、187C、133D、80分析：先求出400里面有几个3，就是1-400中有多少个数能被3整除，再求出400里面有几个5，就是1-400中有多少个数能被5整除；能同时倍3和5整除的数是15的倍数；求出400里面有多少个15，就是能同时被3和5整除的数，然后用3的倍数的个数加上5的倍数的个数然后减去15的倍数的个数即可．解：1到400中能被3整除有：400÷3≈133（个）；1到400中能被5整除有：400÷5=80（个）；1到400中既能被3也能被5整除有：400÷（3×5）≈26（个）；在1到400的整数中，至少能被3和5中的一个数整除的数：133+80-26=187（个）；故选：B．点评：本题要注意能同时被3和5整除的数，是重复计算的数字．例2：自然数12321，90009，41014 …有一个共同特征：它们倒过来写还是原来的数，那么分析：倒过来写还是原来的数，具有这种“特征”的五位偶数万位和个位有2，4，6，8这4种选择；千位和十位有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10种选择；百位有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10种选择．可以组成倒过来写还是原来的数具有这种“特征”的五位偶数则有4×10×10=400个．解：根据分析，倒过来写还是原来的数，具有这种“特征”的五位偶数有4×10×10=400个．答：具有这种“特征”的五位偶数有400个．故答案为：400．点评：根据这种数的特征，分析各对称数位会出现的数字可能，把出现可能的种数相乘即可得这种特征数的个数．二．奇偶性问题【知识点归纳】主要用到的知识点：1．奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数±奇数=奇数．2．奇数个奇数的和（或差）为奇数，偶数个奇数的和（或差）为偶数，任意多个偶数的和（或差）为偶数．3．奇数×奇数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数．4．若干个数相乘，其中有一个因数是偶数，则积为偶数；如果所有的因数都是奇数，则积为奇数．5．偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1．【命题方向】分析：根据自然数的组成规律可和，一个自然数位数越少，其值就越小，由于这个偶数的各位数之和为24，24÷2=12，24÷3=8，所以这个自然数位数最少可为3位数．由于三个数位数字的平均数为8，则其则这三个数可为8，或7、8、9．而要求这个数最小可为几，一个数高位上的数越小，其值就越小，所以其百位可为7，由于是偶数，个数为8，由此可知，这个数为798．解：由于这个偶数的各位数之各为24，24÷2=12，24÷3=8，所以这个自然数位数最少可为3位数．三个数位数字的平均数为8，则其则这三个数可全为8，或7、8、9．要求这个数最小可为几，所以其百位可为7，由于是偶数，个数为8，由此可知，这个数为798．故答案为：798．三．质数与合数【知识点归纳】1、巧记100以内的质数：2，3，5，7又11；13和17；19，23，29；31 和37；41，43，47；53，59，61；67和71；73，79，83；89和97．2、“2”是最小的质数，也是唯一的偶质数；“3”是最小的奇质数．3、“1”这个数既不是质数也不是合数．【命题方向】例1：已知两个质数的平方差等于21，那么，这两个质数的平方和等于（）A、22B、24C、25D、29分析：除了2以外的所有质数都是奇数，它们的平方也都是奇数，那么平方差是偶数，已知平方差是21，所以其中一个质数必然是2，由此算出另一个质数的平方，再求出这两个质数的平方和即可选择．解：已知两个质数的平方差等于21，所以其中一个质数必然是2，21+22=25，所以另一个质数的平方是21+22=25，这两个质数的平方和25+22=29，故答案为：29．点评：此题考查2的特殊性和除了2以外的质数都是奇数的平方仍是奇数，它们的平方差是偶数．例2：a、b、c是100以内的3个质数，使得a+b=c成立的不同质数算式共有（）个．A、6 B、7 C、8 D、9分析：2是质数中唯一的偶数，其它都是奇数；奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；所以其中一个加数必是2；再找出两个质数的差是2的情况即可．解：这样的算式有：2+3=5；2+5=7；2+11=13；2+17=19；2+29=31；2+41=43；2+59=61；2+71=73；一共有8组．故选：C．点评：本题先找出质数中唯一的偶数2，再根据两个奇数和是偶数，而一个偶数与一个奇数的和才是奇数求解．【解题方法点拨】1、根据定义如果能够找到一个小于Q的质数p（均为整数），使得p能够整除Q，那么Q就不是质数，所以我们只要拿所有小于Q的质数去除Q就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的Q，我们可以先找一个大于且接近Q的平方数K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除Q，如没有能够除尽的，那么Q就是为质数2、找n个连续合数的方法：（n+1）!+2，（n+2）!+3，（n+1）!+4，…，（n+1）!+（n+1）这n个数分别能被2、3、4、…、（n+1）整除，它们是连续的n个合数，其中n!表示从1一直乘到n的积，即1×2×3×…×n．四．因数与倍数【知识点归纳】1．公约数与公倍数题型简介（1）公约数与公倍数若数a能被b整除，则称数a为数b的公倍数，数b为数a的公约数．其中，一个数的最小公约数是1，最大公约数是它本身．（2）公约数与最大公约数几个自然数有的公约数，叫做这几个自然数的公约数．公约数中最大的一个，称为这几个自然数的最大公约数．（3）公倍数与最大公倍数几个自然数公有的公倍数，叫做这几个自然数的公倍数．公倍数中最小的一个，称为这几个自然数的最小公倍数．考试题型一般是已知两个数，求它们的最大公约数或最小公倍数．【命题方向】例1：有两个二位数，它们的最大公约数8，最小公倍数是96，这两个数的和是（）A、56B、78C、84D、96分析：把最大公约数8和最小公倍数96分解质公约数，根据最大公约数是两个数的共有质公约数，最小公倍数是两个数的共有质公约数与独有质公约数的乘积，可以判断出这两个数可能是什么，即可得解．解：8=2×2×2，96=2×2×2×2×2×3，所以这两个最大公约数8，最小公倍数是96的二位数只能是2×2×2×2×2=32和2×2×2×3=24；这两个二位数的和是：32+24=56；故选：A．点评：利用求解最大公约数和最小公倍数的方法，凑数逆向求解出两个二位数，观察选项，即可得解．例2：沿小路一边从头开始插彩旗，每隔4米插一面，插到另外一端共插了37面彩旗．如果改成每隔6米插一面彩旗，可以有（）面彩旗不用移动．A、12B、13C、14D、15分析：根据题意明白路头栽一棵除去，再利用间隔米数×彩旗面数=路的总长度；再求出4和6的最小公倍数，在算一算路的总长里有多少个这样的最小公倍数；就有多少颗栽的树，最后加上开始那颗．解：4和6的最小公倍数是12，路长：4×（37-1）=144（米），栽棵树：144÷12=12（棵），12+1=13（棵），答：可以有13面彩旗不用移动．故选：B．点评：此题不是多难，关键别忘了路两头都栽树，开始那棵不占路长，再明白路长一定，间距再变，棵树也在变，得有有的及要用到求最小公倍数，根据题意完成即可．【题方法点拨】（1）两个数如果存在着公倍数关系，那么较小的数就是其最大公约数，较大的数就是其最小公倍数．（2）互质的两个数的最大公约数是1，最小公倍数是它们的乘积．（3）利用短除法求取三个数的最大公约数和最小公倍数时要注意二者的区别：求取三个数的最大公约数时，只需短除到三个数没有共同的公约数（除l外）即可；而求取三个数的最小公倍数时，需要短除到三个数两两互质为止．（4）多于三个数的最大公约数与最小公倍数的求法与三个数的求法相似．五．整数的裂项与拆分【知识点归纳】整数的列项与分拆：就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆．整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想．在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等．【命题方向】例1：电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？分析：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少．解答：因为1+2+3+4+5+6+7=28．如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出．由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题．例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以．所以最多可以播7天．点评：本题实际上是问，把正整数30分拆成互不相等的正整数之和时，最多能写成几项之和？也可以问，把一个正整数拆成若干个整数之和时，有多少种分拆的办法？例如：5=1+1+1+1+1=1+1+1+2=1+2+2=1+1+3=2+3=1+4，共有6种分拆法（不计分成的整数相加的顺序）．例2：有三个箱子，如果两箱两箱的称它们的重量，分别是15千克、23千克、26千克，那么其中最重的箱子重（）千克．A、18B、9C、15D、17分析：根据题意明白，三箱两两称重，三次重量，实际是各称了两次，求总重量：（15+23+26）÷2=32，再去掉每次称两箱的重量就是余下那箱的重量，都算出来后，找最重的即可．解：三箱总重量：（15+23+26）÷2=32（千克），第一次两箱称余下那箱重：32-15=17（千克），第二次两箱称余下那箱重：32-23=9（千克），第三次两箱称余下那箱重：32-26=6（千克），答：最重的箱子重17千克．故选：D．点评：此题关键是明白两两称实际上每一箱都称了两次，根据三次重量和除以2就能求出三箱总重量，然后根据题意求出即可．例2：一次数学考试的满分是100分，6位同学在这次考试中平均得分是91分，这6位同学的得分互不相同，其中有一位同学仅得65分．则得分排在第三名的同学至少得95分．分析：要使第三名同学的分数最少，则让其他同学的分数最多即可，根据题意，令第一名是100分，第二名是99分，第六名是65分；然后求出六位同学的总分91乘6，减去100、99、65，最后除以3得94，让第四位、第五位同学分数尽量大94、93，则第三名同学至少得95分，即可得解．解：91×6=546，546-100-99-65=282，282÷3=94，答：得分排在第三名的同学至少得95分；故答案为：95．点评：明白要使第三名分数最小，则其他五人的分数必须最大是解决此题的关键．同步测试一．选择题（共10小题）1．有写着数字2、5、8的卡片各10张，现在从中任意抽出7张，这7张卡片的和可能等于（）A．21B．25C．29D．582．从1、2、3、…、7中选择若干个数，使得其中偶数之和等于奇数之和．则符合条件的取法（）种．A．6B．7C．8D．93．有两根绳子，一根长36厘米，另一根长48厘米，把它们剪成长度相等的小段，且没有剩余，每小段最长（）厘米．A．24B．6C．124．黑板上有1、3、5、7、…若干个连续的奇数．小明擦掉其中一个，剩下的数的和为2020，则小明擦掉的数为（）A．96B．5C．84D．95．算式“1+3+5+…+9”的结果是（）A．偶数B．奇数6．一张长24厘米，宽18厘米的长方形纸，要分成大小相等尽可能大的正方形，且没有剩余．可以分成（）A．12个B．15个C．9个D．6个7．有一个抢数游戏，其规则是两人轮流报数，每次可以报1个、2个、3个、4个数，但不许不报也不许多报．如果第一个人报1，2或1，2，3，第二个人接着往下报，然后第一个人再接着往下报，以此类推，那么第一个人第一次应该报（）才可能稳抢到2014．A．1B．1，2C．1，2，3D．1，2，3，48．已知两个质数的平方差等于21，那么，这两个质数的平方和等于（）A．22B．24C．25D．299．有一种最简分数，它们的分子与分母的乘积都是140，如果把所有可能的分数从小到大排列，那么，第三个分数是（）A．B．C．10．将13分成若干个自然数之和，则这些自然数之积最大为（）A．42B．72C．108D．135二．填空题（共10小题）11．在横线里填上不同的质数使等式成立．20＝+＝﹣．12．人们通常把数学誉为科学的皇后，而数论是数学的皇冠．著名的“哥德巴赫猜想”指出：任何大于2的偶数都是两个素数之和，比如，24＝．13．一本数学课本放在课桌上，开始时是封面正面朝上，翻动一次后，面朝上；翻动2次后，面朝上．当翻动到2019次后，面朝上．14．三年级一班共38人去划船，大船每条坐8人，小船每条坐6人，租条大船和条小船刚好坐满．15．我区招考教师人数在40至60人之间，女教师与男教师的人数比是7：6，招考教师共有人．16．在公交枢组站，2路和5路公交车的第一班车发车时间都是5：30，已知2路车是每6分钟发一班车，而5路车是每4分钟发一班车，那么它们下次同时发车的时间在．17．国际标准书号ISBN由分成四段的10位数字组成，前面9位数字分成3组；分别用来表示组号、出版社和书序号，最后一位数字则作为校验．校验码可以根据前9位数字按照一定的顺序算得．如：某书的书号是ISBN7﹣107﹣17543﹣2，它的校验码的计算顺序是：①7×10+1×9+0×8+7×7+1×6+7×5+5×4+4×3+3×2＝207；②207÷11＝18……9；③11﹣9＝2．这里的2就是该书号的核检码．依照上面的顺序，求书号ISBN7﹣303﹣07618﹣的核检码．18．一个杯子杯口朝上放在桌子上．翻动1次，杯口朝下；翻动2次，杯口朝上．当翻动2020次时，杯口朝．19．一次数学考试的满分是100分，6位同学在这次考试中平均得分是91分，这6位同学的得分互不相同，其中有一位同学仅得65分．则得分排在第三名的同学至少得分．20．若两个四位数的差为2008，我们把这样的两个四位数称为一个数对，如3210和1202，6158和4150等．像这样的四位数“数对”共有对．三．判断题（共5小题）21．两个相邻自然数的和一定是奇数．．（判断对错）22．1+2+3+…+2014的和是奇数．（判断对错）23．8是4和8的最小公倍数，也是这两个数的最大公因数．（判断对错）24．教室里有一盏灯亮着，第一个同学拉一下开关，灯关了，第二个同学又拉了一下，灯亮了，如此下去，第101个同学拉开关后，灯是关了．（判断对错）25．一枚币正面朝上放在桌子上，翻动15次后正面朝上．（判断对错）四．计算题（共5小题）26．29+A+126+B的和是偶数，A、B都是整数，那么A+B的和是奇数还是偶数？如果A是偶数，B是奇数还是偶数？27．一个三位数，各个数位的数字之和为18，其中个位上的数字比十位上的数字大2．若把百位上的数字与个位上的数字对调，则得到的新三位数比原三位数大99．求原三位数是多少．28．从甲地到乙地的每趟运输价格如下：现有30吨货物要从甲地运到乙地．3吨卡车5吨卡车100元140元应该怎样合理安排车辆？．29．a和b是1～9中两个不同的数字，两位数与的最大公因数最大是多少？30．如果a×（b+c）＝209且a，b，c是不同的质数，那么a，b，c各代表什么？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】根据题意知道在写着数字2、5、8的卡片各10张中任意抽出7张，可以组成的数有14、17、20、23、26、29、32、35、38、41、44、47、50、53、56，由此即可做出选择．【解答】解：方法一：因为在写着数字2、5、8的卡片各10张中任意抽出7张，可以组成的数有14、17、20、23、26、29、32、35、38、41、44、47、50、53、56，所以A、B、D是不可能的，方法二：2、5、8被3除，余数都是2，同余．所以取出7张卡片求和，余数变成了14．因为减去14，剩下的数可以被3整除（7张2的情况，和为14，减去14为0）．或者14被3除，余数是2，即7张卡片求和，被3除，余数为2，只有29复合题意．故选：C．【点评】解答此题的关键是，根据题意写出所有可以组成的数，即可得出答案．2．【分析】题目要求选取的数中偶数和等于奇数和，由于偶数+偶数＝偶数．所以选取的数中不论有几个偶数，它们的和都是偶数，而奇数个奇数的和为奇数，偶数个奇数的和为偶数，所以我们只能选择偶数个奇数：一共有4个奇数，我们选4个奇数或2个奇数才能保证这些奇数的和是偶数．【解答】解：选4个奇数1、3、5、7它们的和是：16．所有的偶数和是：2+4+6＝12．奇数和与偶数和不相等，选4个不满足条件．选2个奇数有6种搭配方案：奇数组偶数组奇数之和是否等于偶数之和1+3＝4 4 是1+5＝6 2+4＝6 是1+7＝8 2+6＝8 是3+5＝8 2+6＝8 是3+7＝10 4+6＝10 是5+7＝12 2+4+6＝12 是故选：A．【点评】完成本题要在了解数和的奇偶性的基础上完成：偶数+偶数＝偶数，奇数+奇数＝偶数，偶数+奇数＝奇数．3．【分析】“一根长36厘米，另一根长48厘米，把它们剪成长度相等的小段，且没有剩余”，说明截成的长度是36和48的公因数，要求每段最长是多少，就是这两个数的最大公因数是多少，求出最大公因数，即可解决问题．【解答】解：36＝2×2×3×348＝2×2×2×2×32×2×3＝12（厘米）答：每小段最长12厘米；故选：C．【点评】此题主要考查学生应用求几个数的最大公因数的方法解决实际问题的能力．4．【分析】从1开始的若干个连续的奇数：1、3、5、7、9、11、13…，为等差数列，设奇数的个数为n，则最后一个奇数是2n﹣1，奇数数列从1加到2n﹣1的和据高斯求和公式可表示为：（1+2n﹣1）×n÷2＝n2，由n个奇数的和为2020，因此n2＞2020，因为45×45＝2025，2025﹣2020＝5，所以，小明擦掉的是5．【解答】解：设n个连续的奇数和稍大于2020，则n2＞2020，由452＝20252025﹣2020＝5答：小明擦掉的是5．故选：B．【点评】本题主要考查数字问题，关键根据连续奇数的求和公式进行计算，找到所求的数．5．【分析】从1开始连续奇数的和等于数的个数的平方，由此计算得出答案，再判断奇偶性即可．【解答】解：1+3+5+7+9＝52＝25；25是奇数．故选：B．【点评】先计算出正确结果，然后判断奇偶性．6．【分析】要分成大小相等的小正方形，且没有剩余，那么小正方形的边长就是24和18的公因数，要求分的最少就是求24和18的最大公因数为小正方形的边长，然后用长方形纸的长和宽分别除以小正方形的边长，就是长方形纸的长边最少可以分几个，宽边最少可以分几个，最后把它们乘起来即可．【解答】解：24＝2×2×2×318＝2×3×3所以24和18的最大公因数是：2×3＝6，即小正方形的边长是6厘米，长方形纸的长边可以分：24÷6＝4（个）宽边可以分：18÷6＝3（个）一共可以分成：4×3＝12（个）答：可以分成12个；故选：A．【点评】本题关键是理解：要分成大小相等的小正方形，且没有剩余，就是小正方形的边长是24和18的公因数．7．【分析】最多可以报4个，最少报1个，用2014除以5等于402次余下4个，开始报4个数即1、2、3、4，还剩2010个数，每次根据第二个人报的数量，凑成5个数，保证剩下的数是5个的倍数即可抢到2014，据此选择即可．【解答】解：最多可以报4个，最少报1个，2014÷5＝402（次）……4（个），开始报4个数即1、2、3、4，还剩2010个数，每次根据第二个人报的数量，凑成5个数，保证剩下的数是5个的倍数即可抢到2014，所以第一个人第一次应该报1、2、3、4才可能稳抢到2014．故选：D．【点评】用2014除以5等于402次余下4个，得出开始报4个数即1、2、3、4是解题关键．8．【分析】除了2以外的所有质数都是奇数，它们的平方也都是奇数，那么平方差是偶数，已知平方差是21，所以其中一个质数必然是2，由此算出另一个质数的平方，再求出这两个质数的平方和即可选择．【解答】解：已知两个质数的平方差等于21，所以其中一个质数必然是2，21+22＝25，所以另一个质数的平方是21+22＝25，这两个质数的平方和25+22＝29，故选：D．【点评】此题考查2的特殊性和除了2以外的质数都是奇数的平方仍是奇数，它们的平方差是偶数．9．【分析】因为140＝1×2×2×5×7所以最简分数从小到大排列、、、进而解答．【解答】解：140＝1×2×2×5×7最简分数从小到大排列、、、，所以第三个分数是；故选：C．【点评】解答主要考查最简分数即分子和分母互质的分数以及分数大小的知识解答．10．【分析】把一个自然数N拆分成若干个自然数的和，只有当这些分拆数由2或3组成，其中2最多不能超过2个时，这些分拆数的乘积最大．所以13可以分成3+3+3+2+2，然后计算乘积即可．【解答】解：13＝3+3+3+2+23×3×3×2×2＝108，所以将13分成若干个自然数之和，则这些自然数之积最大为108．故选：C．【点评】此题关键是知道怎样拆分自然数，才能使分拆数的乘积最大，拆分后再相乘即可．二．填空题（共10小题）11．【分析】（1）因为和20是偶数，所以算式中的两个加数不可能有2，当一个加数是3时，另一个加数是17；（2）因为差20是偶数，所以算式中的减数不可能是2，如果减数是2，则被减数是22，22是合数，进而判断出被减数、减数分别是31、11．【解答】解：因为和20是偶数，所以算式中的两个加数不可能有2，当一个加数是3时，另一个加数是17；又因为差20是偶数，所以算式中的减数不可能是2，如果减数是2，则被减数是22，22是合数，不符合题意，可得被减数、减数可以分别是31、11，所以算式为：20＝3+17＝31﹣11．故答案为：3、17、31、11．【点评】此题主要考查了质数与合数问题，解答此题的关键是：首先判断出算式中的两个加数以及减数都不可能是2，然后从3开始逐一试验即可．12．【分析】根据题目要求写出两个和为24的质数即可．【解答】解：哥德巴赫猜想说每个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和．那么24可以表示为两个素数17与7或者11与13之和．24＝17+7或24＝11+13．故答案为：17+7或11+13．【点评】解决本题主要根据猜想按要求写数．要注意写出的两个数都要是质数．13．【分析】根据题意可知，课本的初始状态为正面向上，翻动1次时，背面朝上，状态改变；翻动2次正面朝上，恢复原来状态；翻动3次，背面向上，状态改变；翻动4次，正面朝上，恢复原来状态，…．由此可以发现，当翻动奇数次时，状态改变，为背面向上；翻动偶数次时，恢复原来状态，为正面向上．2019为奇数，所以翻动2019次后，背面向上．【解答】解：由题意得：开始时是封面正面朝上，翻动一次后，背面朝上；翻动2次后，正面朝上．所以当翻动奇数次后，背面向上；翻动偶数次后，恢复原来状态，为正面向上．2019为奇数，所以翻动2019次后，背面向上．故答案为：背，正，背．【点评】此题的解答关键是先从比较少的次数研究找出规律，然后根据这个规律再判断更多次数的结果．14．【分析】大船每条坐8人，小船每条坐6人，每条船都坐满，把38分解成8的倍数和6的倍数和，即可求出需要大船和小船的条数．【解答】解：38＝1×8+6×5可以租1条大船和5条小船刚好坐满；38＝4×8+6×1可以租4条大船和1条小船刚好坐满．答：租1（或4）条大船和5（或1）条小船刚好坐满．故答案为：1（或4），5（或1）．【点评】解决本题关键是正确的把38分解成8的倍数和6的倍数和，再进一步求解．15．【分析】因为男教师和女教师的人数比是7：6，假设男教师是6份，则女教师是7份，教师人数一共7+6＝13份，则教师总人数就是13的倍数，又人数在40至60人之间，只有52是13的倍数，据此解答即可．【解答】解：因为：男教师和女教师的人数比是7：6，假设男教师是6份，则女教师是7份，教师人数一共：7+6＝13份，则教师总人数就是13的倍数，又人数在40至60人之间，只有52是13的倍数．所以招考教师共有教师52人．答：招考教师共有52人．故答案为：52．【点评】解答此题的关键是，根据比是7：6找出总人数是13的倍数．16．【分析】2路发车时间是6分钟的整数倍，5路发车时间是4分钟的整数倍；经过的最少时间就是6、4的最小公倍数，然后再加上开始的时刻就是下次它们共同发车的时刻；即可得解．【解答】解：4＝2×26＝2×3所以6、4的最小公倍数是2×2×3＝12（分钟）5时30分+12分钟＝5时42分答：它们下次同时发车的时间在5：42．故答案为：5：42．【点评】本题关键是理解：两辆车同时发车的两次之间间隔时间就是6和4的最小公倍数．17．【分析】根据已知数据，用ISBN后面的数字乘10，然后依次乘9、8、7……2，得出的结果除以11，最后用11减去余数得出核检码，据此解答．【解答】解：书号ISBN7﹣303﹣07618的核检码是：7×10+3×9+0×8+3×7+0×6+7×5+6×4+1×3+8×2＝70+27+0+21+0+35+24+3+16＝196196÷11＝17 (9)11﹣9＝2．答：书号ISBN7﹣303﹣07618的核检码是2．故答案为：2．【点评】根据已知条件找出计算规律是解题关键．18．【分析】翻动1次，杯口朝下，翻动2次杯口朝上，据此可得规律：翻动奇数次杯口朝下，翻动偶数次杯口朝上；据此规律判断出2020的奇偶性即可解决问题．【解答】解：根据题意可得规律：翻动奇数次杯口朝下，翻动偶数次杯口朝上，又因为2020是偶数，所以当翻动2020次时，杯口朝上．答：当翻动2020次时，杯口朝上．故答案为：上．【点评】完成本题要在总结规律和了解数的奇偶性的基础上完成解答．19．【分析】要使第三名同学的分数最少，则让其他同学的分数最多即可，根据题意，令第一名是100分，。

小升初重点中学真题之数论篇数论篇一1 （人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。

2 （101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。

3（人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。

4 (人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A、125B、126C、127D、128预测1．在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？预测2．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。

2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？预测3、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．数论篇二1 （清华附中考题）有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.2 （三帆中学考题）140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。

2002除以这个自然数的余数是 .3 （人大附中考题）某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.4 （101中学考题）一个八位数，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除，已知这个八位数的前6位是257633，那么它的后两位数字是__________。

5 （实验中学考题）(1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除?(2)从1到3998这3998个自然数中，有多少个各位数字之和能被4整除?预测1. 如果1＝1！，1×2＝2！，1×2×3＝3！……1×2×3×……×99×100＝100！那么1！+2！+3！+……+100！的个位数字是多少？预测2．（★★★★）公共汽车票的号码是一个六位数，若一张车票的号码的前3个数字之和等于后3个数字之和，则称这张车票是幸运的。

第3节：数论拓展模块一：数位问题我们通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”。

.这样，数字0?9可以组成无穷无尽、千变万化的数。

数字的数值、数位的变化，决定不同的数.同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同.也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值。

例如“5”，写在个位上，就表示 5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百，等等。

根据以上原则，我们可以将数写成另一种形式，例如：926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100＋2×10＋6×1。

11.3表示1个十，1个一，3个0.1，即11.3=1×10＋1×1＋3×0.1。

有时，我们也用字母代替阿拉伯数字表示数，如：abc表示a个百，b个十，c个一。

其中，a可以是1?9中的数字，不能是0；b和c是0?9中的数字。

【例1】有一个小数，先把它的小数点向左移动2004位后，再向右移动2005位，结果是40.3，原来的小数是。

【例2】小李在某个三位数的最左边添上了一个数字1，得到一个新的四位数，且这个数是原数的9倍，那么原来的三位数是。

【例3】一个三位数，三个数位上的数字和为16，百位上的数字比十位上的数字小1，个位上的数字比十位上的数字大2，则十位上的数字是（）A.4B.5C.61.有这样的一类三位数:个位和百位上的数字交换后仍然是这个数，这样的三位数共有（）个。

A.10B.9C.902．—个两位数，它个位上的数字是m，十位上的数字是n，用含有字母的式子表示这个两位数是（）A．mn B．10m n C．10n m3.一个数的小数点向右移动一位后比原来的数大25.2，原数是。

4.一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为（）。

A.54B.27C.72D.455．—个自然数各个数位上的数之和是16，而且各数位上的数字都不相同。

小升初考试之数论篇数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。

由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。

数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数，质数与合数，因数与倍数，整数的分解与分拆等。

作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系，其重要性是不言而喻的。

【常考题型1：奇偶性及应用】【例1】有一本500页的书，从中任意撕下20张纸，这20张纸上的所有面码之和能否是1999？【例2】桌子上有11个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的6个，问能否经过若干次翻动，使得11个杯子的开口全都向下？【常考题型2：整数的整除】【例3】老师买了72本相同价格的书，当时没有记住书的单价，只用铅笔记下了用的总钱数，回到学校后其中有两个数字已经模糊不清了，总钱数成了□13.7□元，你能帮忙补上□中数字吗？【巩固】马虎的采购员，买了72只桶，洗衣服时将购货发票洗烂了，只能依稀看到72只桶共□67.9□元，□内的字迹已经看不清楚，请帮他算一下一共多少钱？【例4】从0，3，5，7这4个数中任选3个，组成没有重复数字的三位数，在组成的数中能同时被2、3、5整除的数有多少个？【巩固】从1、2、3、4、5中任取3个数组成没有重复数字的三位数，在这些三位数中能同时被2和9整除的数有多少个？【常考题型3：质数、合数与分解质因数】【例5】A是一个质数，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是质数，试求出满足要求的最小质数A。

【例6】如图，四个小三角形顶点处有6个圆圈，如果在这些圆圈中分别填上6个质数，它们的和是20。

而且每个小三角形顶点圆圈的数之和相等，问这6个质数的积是多少？【例7】一个长方体，它的正面和上面面积之和是299平方厘米，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？【巩固】有4个小孩，恰好一个比一个大一岁，4人的年龄积是3024，问这4个孩子中最大的有多少岁？【常考题型4：因数与倍数】【例9】在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线把木棍分成12等份，第三种刻度线把木棍分成15等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？【例10】李老师带领一班学生去种树，学生恰好被平均分成四个小组，总共种树667棵，如果师生每人种的棵数一样多，那么这个班共有学生_____人。