二次根式3

二次根式的性质二次根式是数学中的一个重要概念，也是代数学中的一个常见表达式。

它们具有一些特殊的性质，我们来详细探讨一下。

一、定义二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。

这里√称为根号，a称为被开方数。

当然，a可以是一个整数、小数或者分数。

二、性质1. 非负性：二次根式的被开方数a必须是非负实数，即a≥0。

因为√a是要求开方的数是非负的，否则就没有实数解。

2. 唯一性：对于给定的非负实数a，它的二次根式√a是唯一确定的。

这是因为非负实数平方的结果只有一个非负实数。

例如，√9=3，√25=5，√36=6，等等。

3. 运算性质：（1）加法与减法：二次根式可以进行加法和减法运算。

当两个二次根式的被开方数相同时，它们可以相加或相减。

例如，√a + √a = 2√a，√25 - √16 = √9 = 3。

（2）乘法：二次根式可以进行乘法运算。

两个二次根式相乘时，被开方数相乘，根号下的系数可以相乘。

例如，√a × √b = √(ab)，2√3 × 3√5 = 6√15。

（3）除法：二次根式可以进行除法运算。

两个二次根式相除时，被开方数相除，根号下的系数也可以相除。

例如，√a ÷ √b = √(a/b)，6√15 ÷ 3√5 = 2√3。

4. 化简与整理：（1）化简：有时候二次根式可以化简为更简单的形式。

例如，√4 = 2，√9 = 3，等等。

化简的关键是找到被开方数的平方因子，然后将依次提取出来。

（2）整理：有时候需要将二次根式按照一定的规则整理，使得表达式更具可读性。

例如，将√3 × 2√5整理为2√15，将5√a + 3√a整理为8√a，等等。

3. 近似值：对于无理数的二次根式，我们可以用近似值来表示。

这里的近似值可以使用小数形式或者分数形式。

四、应用二次根式是数学中广泛应用的一个概念，它在几何、代数、物理等领域都有重要作用。

1. 几何：二次根式在几何中常常用来表示线段的长度。

二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 25.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a≥0，b≥0）；=（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；【典型例题】1、概念与性质例1、下列各式1）-，其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）xx--+315；（2）22)-(x例3、在根式1) ，最简二次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)例4、已知：的值。

求代数式22,211881-+-+++-+-=xyyxxyyxxxy例5、已知数a，b，若=b－a，则( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a=512，b=512．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---4、比较数值 （1）、根式变形法当0,0a b >>时，①如果a b >>a b <<例1、 比较与（2）、平方法当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。

二次根式的意义和计算二次根式是数学中一个重要的概念，它在代数、几何、物理等领域都有广泛的应用。

本文将探讨二次根式的意义和计算方法，以帮助读者更好地理解和运用这一概念。

一、二次根式的意义二次根式是指形如√x的表达式，其中x是一个非负实数。

二次根式可以表示一个数的平方根，即求解方程x² = a的解x。

例如，√4 = 2，√9 = 3，√16 = 4等等。

二次根式的意义可以从几何角度解释。

对于一个非负实数a，√a表示一个正实数x，使得x² = a。

换句话说，√a表示一个边长为a的正方形的边长。

例如，√4表示一个边长为4的正方形的边长为2。

二、二次根式的计算方法1. 化简二次根式有时，我们需要将二次根式化简为最简形式。

化简二次根式的方法是将根号内的数分解成其素因数的乘积，并将能开方的素数提取出来。

例如，√12可以化简为2√3。

2. 加减二次根式加减二次根式的计算方法是先将根式中的数分解为素因数的乘积，然后分别合并同类项，并按照规定的格式进行运算。

例如，√2 + √3可以合并为√2 + √3。

3. 乘除二次根式乘除二次根式的计算方法是利用二次根式的性质，将根号内的数分解为素因数的乘积，并按照规定的格式进行运算。

例如，√2 × √3可以计算为√6。

三、二次根式的应用二次根式在代数、几何、物理等领域具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 代数方程二次根式在代数方程中经常出现。

例如，在求解一元二次方程时，常常需要用到二次根式的计算方法。

2. 几何问题二次根式可以用于几何问题的计算。

例如，在求解三角形的边长、面积等问题时，经常需要用到二次根式。

3. 物理问题二次根式在物理学中有着重要的意义。

例如，在计算物体自由落体运动的时间、速度等问题时，经常需要用到二次根式的计算。

四、总结二次根式是数学中一个重要的概念，它可以表示一个数的平方根。

二次根式的意义可以从几何角度解释，它表示了正方形的边长。

课题：二次根式（3）编写人：李波 审核人：郭金凤 ，李德部 校对人：王丽 日期： 学习目标：1、掌握二次根式的基本性质：a a =22、能利用这个性质对二次根式进行化简.思维导航： 利用a a =2可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的，进行化简的关键是准确确定“a ”的正负性。

复习旧知：（1）什么是二次根式，它有哪些性质？（2x 。

（3）在实数范围内因式分解：x 2-6= x 2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____)重点内容呈现：1、计算：=24 =22.0 =2)54(=220 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=>a a ,0时2、计算：=-2)4( =-2)2.0( =-2)54( =-2)20( 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<a a ,0时3、计算：=20 当==a a ,0时归纳总结将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：化简下列各式：______=______=____________a 0=（<）请大家思考、讨论二次根式的性质)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系。

展示反馈1、化简下列各式 （1）)0(42≥x x (2) 4x2、化简下列各式 （1）)3()3(2≥-a a （2）442++x x （x ＜-2）拓展延伸(1)a 、b 、c 为三角形的三条边，则=--+-+c a b c b a 2)(____________.(2) x-4│-│7-x │。

达标测试：1、填空：（1）、2)12(-x -2)32(-x )2(≥x =_________. （2）、2)4(-π=2、已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x知识梳理：1、 本节学习的内容有：2、学习方法：。

16.1 二次根式学习目标、重点、难点【学习目标】1a≥0）的意义解答具体题目.2a≥02=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简.【重点难点】1、二次根式的性质.2、能确定二次根式中字母的取值范围.知识概览图a≥0）教材精华知识点1 二次根式的概念读作“二次根号”．拓展(1)二次根式必须含有二次根号，但是4是.二次根式的性质二次根式的有关概念0)a≥的式子叫做二次根式代数式：由基本运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式二次根式二次根式的双重非负性2(0)a a=≥①被开方数a非负，即a≥00)a≥(0)0(0)(0)a aa aa a⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜(2)二次根式中的被开方数a 既可以表示一个数，也可以表示一个代数式，有意义，即a ≥0，也就是说，被开方数必须是非负数．例如： 二次根式．的根指数为2，即，我们常省略根指数2，写作，不要误把的根指数当做03．(4)有理数(不是0)与二次根式相乘，把有理数写在二次根式的前面，省略乘号．若有理数是分数，一定要化成假分数再与二次根式相乘，比如：223理数称为二次根式的系数.知识点2 确定二次根式中字母的取值范围a 就必须是非负数，即a ≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围，，只有当2x +1≥0，即x ≥12-时，才有意义. 再如，对于式子来说，只有当30,10,x x -≥⎧⎨+≥⎩即-1＜x ≤3时，二次根式才有意义.拓展 对于既含有二次根式，又含有分母的代数式，写字母的取值范围时，既要保证二次根式有意义，又要保证分母不为零.知识点3 二次根式的性质二次根式的双重非负性:0，a ≥0a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，所以由算术平方根的定义可知0.（2=a （a ≥0）. 由于a ≥0）表示非负数a 和算术平方根，将非负数a 的算术平方根平方，就等于它本身a2=a2=32=62=1.5.拓展（12=a（a≥0），可以看做是系数为1的二次根式的平方运算，结果等于被开方数.（22=a（a≥0）逆用，写成a=2（a≥0）. 即任何一个非负数都可以写成它的算术平方根平方的形式，利用这一特性，我们可以在实数范围内分解因式，比如：x2-2在有理数范围内无法分解，但在实数范围内，22，所以x2-2=x2-2=（x（x.（3）有理数的运算律和运算法则在有关二次根式的计算中仍然适用. 比如：（32=32×2=9×2=18.2=（12)2×2=14×6=32等，则用到了积的乘方法则（ab)2=a2b2.由于a2. a2（a≥0），这里a可以正，可以负，也可以是0.a=，然后再根据a的符号化简绝对值. 55=-=. 也可以先把被开方数写成非负数的平方的形式，再化简，比如5==.a的符号不确定，那么要讨论.(0),0(0),(0).a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪<⎩拓展2知识点5 代数式用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式，单独一个数或字母也是代数式. 例如：5，a ，a +b ，ab ，st(t ≠0)，x 3，3)x =等都是代数式.拓展 代数式中不含有“＝” “＞” “＜”等符号，只有运算符号.课堂检测基本概念题1、下列式中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ （1 （2 （3） （4 （5 （6（7） （8（9 （10基础知识应用题2、当x 取何值时，下列各式有意义？（1 （22xx +；（3； （4（5）2x -； （6）23x -；（7； （821a a +.3、实数a ，b 在数轴上的位置如图21-1图21-1综合应用题4、（1）三角形的高是底的12，底为xcm ，则这个三角形的面积是 cm 2; （2）第一圆的半径是第二个圆的半径的4倍，则这两个圆的周长之和是 （设第一个圆的半径为r ）.探索创新题5、甲同学和乙同学做一道相同的题目：化简求值11.5a a =其中甲同学的做法是：原式＝111214910.55a a a a a a +-=-=-=乙同学的做法是：原式＝1111.5a a a a a +-==谁的做法是正确的？说明理由. 体验中考1x 的取值范围是（ ）A. x＞1且x≠2B.x≥1C. x≠2D. x≥1且x≠22、若x，y为实数，且20x++=，则（x＋y）2010的值为.学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析本题考查二次根式的概念，判断一个式子是否是二次根式应满足两个条件：一是看是否含有二次根号；二是看被开方数是否是非负数.解：（1）∵-3＜0.（2）∵(-3)2＞0.（3）∵(-3)3=-27＜0.（4）∵3.（5-x的符号不能确定，因此应分两种情况讨论.①当x≤0②当x＞0..（6）∵4.（7）∵-2a2≤0，∴-2a2-1＜0.（8）∵(x+3)2≥0，当分母x+3=0时，原式没有意义，∴当x≠-3.∴.（9）∵-(a-4)2≤0，∴只有当a-4=0，即a=4是二次根式；当a≠4时，-(a-4)2＜0不是二次根式..（10）∵m2+2m+1=(m+1)2≥0.【解题策略】本题主要考查对二次根式的概念的理解，一定要注意当被开方数中含有字母时，a必须是非负数，本题体现了分类讨论思想，在具体解题时，对一个较复杂的问题往往采取分类讨论的思想，以达到化难为易的目的.2、分析本题考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，则被开方数必须是非负数，如果分母是二次根式，那么被开方数必须为正数，因为零不能作分母.解：（1300 xxx⎧∴=⎨-⎩≥，≥0,.∴当x=0时，.（22xx+有意义，则必有202xxx-⎧∴⎨+≠⎩≥，≤0,，且x≠-2.∴当x≤0，且x≠-22xx+有意义.（3）∵(x-1)2≥0，∴无论x都有意义.（4）欲使2-3x＞0，∴x＜23.∴当x＜23.（5）欲使2x-有意义，则必有2402xxx+⎧∴⎨-≠⎩≥，≥-20,，且x≠2.∴当x ≥-2，且x ≠2时，2x -有意义. （6）欲使有意义，则必有2303x x x -⎧∴⎨-≠⎩≥，≥30,.∴当x ≥3有意义. （7有意义，则必有120112x x x -⎧⎪∴⎨-≠⎪⎩≥，≤0,，且x ≠-1.∴当x ≤12，且x ≠-1. （8）欲使21aa +有意义，则必有201a a a -⎧∴⎨+≠⎩≥，≤20,，且a ≠-1. ∴当a ≤2，且a ≠-121aa +有意义. 【解题策略】 本例中的（2）及（4）~（8）小题应充分考虑到分母不能为零的情况，（6）小题中，由x -3≥0，得x ≥3，由x 2-3≠0，得xx ≥3的范围内，所以只需满足x ≥3即可. （7）小题中，由1-2x ≥0，得x ≤12，由1x -≠0，得x ≠±1，只有x =-1在x ≤12的范围内，而x =1不在x ≤12的范围内，所以只需满足x ≤12，且x ≠-1即可.3、分析a =. 解：由数轴可知a ＜0，b ＞0，a -b ＜0，a b a b ---=-[()]a b a b ----=a b a b --+-=2b -.【解题策略】a ==(0),0(0),(0).a a a a a ⎧⎪=⎨⎪-⎩＞＜4、分析 由面积公式或周长公式写出代数式即可. （1）底为xcm ，则高为2xcm ，所以三角形的面积为21··224x x x =（cm 2）. （2）因为第一个圆的半径为r ，所以第二个圆的半径为4r ，所以这两个圆的周长之和为52242rr r πππ+=.答案：（1）24x（2）52rπ5、分析本题主要考查二次根式的性质的创新应用.因为15a=，所以1aa＞，所以11.a aa a-=-解：甲同学的做法是正确的，理由如下：111.5a aa a-=，且，即=51111,0,.a a a aa a a a--=∴＞∴＞∴-乙同学在去掉绝对值符号时，忽略了a与1a的大小关系，导致错误.【解题策略】a=进行化简时，0a≥.a=体验中考1、分析本题考查二次根式有意义的条件，被开方数为非负数及分母上含有字母的式子有意义的条件（即分母≠0），由题意知11 2.20,xx xx-⎧⎨-⎩≥0,∴≥且≠≠故选D.2、分析本题主要考查非负数的性质以及二次根式的非负性.由20x+=知x＋2＝0，且y－3＝0，所以x＝－2，y＝3，所以(x＋y)2010＝（－2＋3）2010＝12010＝1.故填1.16.2 二次根式的乘除学习目标、重点、难点【学习目标】1、最简二次根式概念；2、二次根式的乘除法法则及其逆用；【重点难点】1、最简二次根式概念；2、二次根式的乘除法法则及其逆用；知识概览图最简二次根式的概念：被开方数中不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式0)a b =≥，≥00)a b =≥，＞0 0)a b ≥，≥00)a b =≥，＞0新课导引 如右图所示，一个直角三角形ABC 中，两直角边BC ，AC 分别是6和10，那么由二次根式的乘除法法则二次根式乘除法法则的逆用二次根式的乘除勾股定理可知其斜边AB ==设这个直角三角形斜边上的高CD 为x ，则1161022x x ⨯⨯==所以利用的是面积“桥”的方法.136分解因数，即136＝22×34=进一步将分母中的根号化没即可，23417==⨯教材精华知识点1 二次根式的乘法0,0).a b ≥≥拓展 （1）二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式.（2）二次根式的乘法运算公式中的被开方数的取值范围.=，公式中的a ，b 必须满足a ≥0，b ≥0.（3=0,0)a b =≥≥，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个性质可以化简二次根式，即如果一个二次根式的被开方数中有因数（式）0,0)a b ≥≥(0)a a =≥将这些因数（式）开出来，进而将二次根式化简.==(0).x x ==+≥（4）如果没有特别说明，本章中所有字母都为正知识点2 二次根式的除法公式()a b ≥0,＞0可通过二次根式的乘法公式得到：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.例如：== 拓展 （1）当被除式的被开方数能被除式的被开方数整除，可直接利用除法法则.比如：2.=== （2）当被除式的被开方数不能被除式的被开方数整除时，或者是被除式是整数而除式是二次根式时，可以利用分式的基本性质把分母中的根号化去.==.==（3）()a b ≥0,＞0，)a b =≥0,＞0.可以用语言叙述为：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.=1）a 必须是非负数，b 必须是正数；（2）如果被开方数是带分数，应先化成假分数，如=. （4）二次根式的除法运算结果要化到最简.知识点3 最简二次根式被开方数中不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.也就是说，若二次根式有如下特点：①被开方数中不含分母，②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，则这个二次根式就是最简二次根式.例如：等都是最简二次根式. 拓展 （1）判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点：①被开方数不含分母；②被开方数不能含开得尽方的因数或因式.即把每一个因数或因式都写成底数较小、乘方的形式后，因数或因式的指数小于2.③若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开放方数写成积的形式，再作判定，若无法写成积（或一个数）的形式，则为最简二次根式.=次根式.=2和22x y+的指数都是1()二次根式.22+.a b（2）化简二次根式一般例如为两步：一如果被开方数是分数或分式，利用分母有理化化简；二化去被开方数中的分母之后，再将被开方数分解成几个数相乘的形式或分解因式，然后利用积的算术平方根的性质把能开得尽方的因数或因式开出来.若被开方数中不含分母，则只需第二步.课堂检测基本概念题1、下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？（x＞2），-x,(b＞0，a＞0),a＞b＞0), .基础知识应用题23x =-成立，则 （ ）A. x ≥3B. x ≥-3C. -3≤x ≤3 D． x 为任意实数3= （ ） A. x ≥6 B. 0≤x ≤6 C. x ≥0 D. x ＞6综合应用题4、如图21-4所示，飞行员在飞机B 处用雷达测得飞机和目标城市A 的距离为4.5×102m,且测得对这个目标的俯角α=45°，C 为地面上位于飞机正下方的点，设地面是平的.求飞机此时的高度h .探索创新题5、已知ab，请用含a ，b 以上方法表示.体验中考1、（1?A.B.C.D. E. 0问题的答案是（只需填字母）： ；（2）那么这个数的一般形式是什么？（用代数式表示）2、对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一定运算※如下：a ※b 3212432a b ====--※※ .学后反思附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 本题主要考查最简二次根式的概念.解: .9==，=x-2,--==,(x>2), -( b>0, a>0),不是最简二次根式.【解题策略】判断最简二次根式主要看被开方数是否有分母，另外，要看被开方数是否含有能开方的因式.2、分析本题考查的知识点是二次根式的乘法公式成立的条件，要求x+3≥0,且x-3≥0，由此可得x≥3，故选A.3、分析本题主要考查二次根式的除法公式成立的条件，要求x≥0，且x-6＞0，所以x＞6.故选D.规律·方法求使等式成立的字母的取值范围，只需使等式的每一部分都有意义即可，这里包括二次根式的被开方数非负，分母不为零，零次幂和负整数次幂的底数不为零等.4、分析本题综合考查勾股定理和二次根式的化简，解决此题的关键是将问题转化到一个直角三角形中去分析.解：因为α=45°，所以∠A= 45°.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，所以∠ABC== 45°，所以AC=BC=h.由勾股定理可知AC2+BC2=AB2，即2h2=(4.5×102)2.21810000.28hh=⨯===22所以（4.510）所以答：飞机此时的高度为m）.【解题策略】解决此题的方法是将问题转化到一个直角三角形中去，将求飞机的高度转化为求直角边的长度，同时注意结果要化到最简.5、分析解决本题的关键在于把4.9用不同的形式表示出来.解法17.a b====解法277.101010b a=====解法3.1010ab === 【解题策略】 根据4.9=4910=490100及二次根式的性质化简，化简后使其与a ，b 相关，然后将能用a ，b 代替的用a ，b 代替，表示出结果.体验中考1、分析 本题考查二次根式的乘法运算，对所有的选项亲自算一下，就会得到所有答案. 解：（1）A ，D ，E.（2）设这个数为x ,则x a (a 为有理数)，所以xa 为有理数)，2、分析 本题考查对新运算的理解，以及对二次根式的化简能力，12※4=411..124822==-故填 【解题策略】 对于新定义的运算，要看清它的计算实质，利用例子把新运算转化为普通的运算.16.3 二次根式的加减学习目标、重点、难点【学习目标】1、同类二次根式的概念；2、二次根式的加减；3、二次根式的混合运算；【重点难点】1、同类二次根式；2、二次根式的混合运算；知识概览图同类二次根式二次根式的加减二次根式的加减二次根式的混合运算新课导引如图所示，要在圆形的花坛的中心种花，外围栽草，并使得两个圆为同心圆，种花、草的面积分别为6.28 cm2，18.84 cm2，求种草的宽度.（π取3.14）【问题探究】由于种植花、草的面积分别为6.28 cm2，18.84 cm2，所以花坛的大、小圆的面积分别为25.12 cm2，6.28 cm2π取3.14时，它们的值分别为，那么如何计算错误！未找到引用源。

二次根式的化简与运算规则在初等代数中，我们经常会遇到各种根式的化简与运算问题。

其中，二次根式（即包含平方根的式子）是一种常见形式。

在本文中，我们将介绍二次根式的化简方法和相应的运算规则。

一、二次根式的化简当我们遇到一个二次根式，想要化简它时，可以遵循以下方法：1. 化简平方根的因数如果二次根式中的平方根有因数，我们可以将其化简为一个不含平方根的数。

例如，√12可以化简为2√3。

2. 合并同类项如果二次根式中的多个平方根具有相同的根指数，并且它们的系数可以合并，我们可以将它们合并为一个平方根。

例如，3√2 + 2√2可以合并为5√2。

3. 分解平方根的积当二次根式中有平方根的积时，我们可以使用分解平方根的积的方法进行化简。

例如，√8可以分解为√4 * √2，即2√2。

4. 使用有理化方法当二次根式中存在分母为平方根的情况时，我们可以使用有理化方法进行化简。

例如，1/√3可以有理化为√3/3。

总之，在化简二次根式时，我们可以运用因式分解、合并同类项和有理化等方法，以将其化简为更简洁的形式。

二、二次根式的运算规则在对二次根式进行运算时，有以下几个基本的运算规则：1. 二次根式的加减运算当我们对二次根式进行加减运算时，需要保证相同根指数的平方根项相同。

例如，√5 + 2√3 - √5可以化简为2√3。

2. 二次根式的乘法运算当我们对二次根式进行乘法运算时，可以将它们的系数和根指数相乘，并将相同根指数的平方根项合并。

例如，2√3 * 3√2可以化简为6√6。

3. 二次根式的除法运算当我们对二次根式进行除法运算时，可以将分子和分母的系数和根指数相除，并将相同根指数的平方根项合并。

例如，(4√6)/(2√3)可以化简为2√2。

需要注意的是，在进行二次根式的运算时，可能会遇到需要化简的情况。

因此，在运用运算规则时，我们需要结合化简方法进行综合运算。

总结：二次根式的化简与运算是初等代数中的重要内容。

通过本文的介绍，我们了解了二次根式的化简方法，包括化简平方根的因数、合并同类项、分解平方根的积和有理化方法等。

第3课 二次根式一 、主要知识点：二次根式，其中a ≥0.二次根式的学习有两个主要目的：化简二次根式以及分母有理化。

二次根式的性质：(1)2a =( a ≥0)，(0)||(0)a a a a a ≥⎧==⎨-≤⎩;= a ≥0,b ≥0);(4)=a ≥0,b>0). 1、最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式且被开放数中不能含开得尽得因数或因式。

例、化简下列根式：(1) (2)(3) (4) (5)(6) (7) (8)最简二次根式必须满足以下几个特征：(1)被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式；(2)被开方数中不含分母；(3)分母中不含有根号。

2、同类二次根式：经过化简后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。

二次根式的加减法就是对同类二次根式合并。

(1)312－248＋8(2)32－512＋6183、分母有理化：观察式子3=，可以发现，这两个二次根式的积是一个有理数。

一般地，若两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。

例、写出下列代数式的一个有理化因式： 1 1 (4)当分母中含有二次根式时，我们就可能利用分母的有理化因式进行分母有理化。

例、已知a b ==二、例题分析1、化简(1).441296222+--+-+++x x x x x x2、已知最简根式3x y y 是偶数，求y 的值。

3、把代数式(1a -( )C. D.4、已知c >1,x y z ===,比较x,y,z 的大小。

5、已知x y ==223103x xy y ++.6、计算(1) (2)200820097、若a >0,b >0,=8、已知x =，求3251x x x ++9、设3819-的整数部分为x,小数部分为y,试求yy x 1++的值.10、化简2222222222b a b a b a a b a ----+-(a ＞b 2＞0). 解:原式=222222)(a b a a b a +-+-222222)(b b a b b a +----=222222)()(b b a a b a ---+-=.||2222b b a a b a ---+- ∵a ＞b 2＞0. ∴a 2＞2b 2，∴原式=.2222b a b b a a b a +=+--+-11、满足条件y x a -=-62的自然数a 、x 、y.解:将等式两边平方得xy y x a 262-+=-，∵x 、y 、a 都是自然数. ∴xy 只能是无理数，否则与等式左边是无理数相矛盾.∴x+y=a ，xy=6.由条件可知 x ＞y 且x 、y 是自然数.当x=6时，y=1，得a=7.当x=3时，y=2，得a=5. 故x=6,y=1,a=7.或x=3,y=2,a=5. 12、设nn b a b a b a b a ===332211(a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 都是正数). 求证:n n b a b a b a b a ++++ 332211=,)()(32121n n b b b b a a a +++++++ 证明:设,2211k b a b a b a nn === 且a 1=b 1k,a 2=b 2k,…，a n =b n k. 左边=k b k b k b n 22221+++ =),(21n b b b k +++ 右边=)(21k b k b k b n ++·)(21n b b b +++ =),(21n b b b k +++ ∴左边=右边 13、化简).71)(51(211+++解：设)71)(51(211+++=z y x ++,两边平方得13+2352725++=x+y+z+2.22yz xz xy ++比较系数,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====++.35,7,5,13yz xz xy z y x 由②有yx 5=，代入③，得y z z y 57,75==代入④，得y 2=52，∴y=5(x 、y 、z 非负)，∴yx 5==1，,757==y z ∴原式=1+.75+14、已知x=,)15(4)15(433--+求x 3+12x 的值. 解 由公式(a-b)3=a 3-b 3-3ab(a-b)可得)15(4)15(43--+=x 3)15(4)15(43-⋅+-·⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+33)15(4)15(4 =8-3334x =8-12x.∴x 3+12x=8.① ② ③ ④15、设.3737,3737+-=-+=y x 求x 4+y 4+(x+y)4.解 由条件知,2215,2215-=+=y x ∴x+y=5，xy=1.∴原式=(x 2+y 2)2-2x 2y 2+(x+y)4=[(x+y)2-2xy]2-2x 2y 2+(x+y)4=(25-2)2-2+54=1152. 16、a 是实数，确定1122+--+-a a a a 的所有可能的值. 解 记y=1122+--+-a a a a . ① 先假定a ≥0，这时y ≥0，把①两边平方得,12222422++-+=a a a y ② 即.12222422++=-+a a y a ③ 再平方，整理后得,0)1(442224=---a y y y ④从而 )1(4)4(222--=y y y a ≥0.由②知 y 2＜2a 2+2-24a =2.再由⑤知 y 2≤1，∴0≤y ＜1.反过来,对于[0,1]中的每一个y 值,由⑤可以定出a ，并且这时2a 2+2-y 2＞0，故可由⑤逆推出②和①，因而在a ≥0时，1122+--++a a a a 的值域为(0，1). 同样在a ＜0时，1122+--++a a a a 的值域为(-1，0)， 综上1122+--++a a a a 的值域是(-1，1).练习：1、若实数x 满足方程|1-x|=1+|x|，那么2)1(-x 等于( ). A.x-1 B.1-x C.±(x-1) D.1 E.-1 2、方程x|x|-5|x|+6=0的最大根和最小根的积为( ).A.-6B.3C.-3D.6E.-183、已知最简根式b a a +2与b a -7是同类根式，则满足条件的a 、b 的值( ).A.不存在B.有一组C.有二组D.多于二组 4、已知|x-8y|+(4y-1)2+,038=-x z 则x+y+z=_________.5、若a>b>c>0，l 1=.)(,)(,)(22322222c b a l c b a l b c a ++=++=++乘积222121323123,,,,l l l l l l l l l 中最小的一个是__________.6、已知0＜x ＜1，化简._________4)1(4)1(22=-+-+-x x x x7、已知,2121a xx =+-则._______12=+xx8.化简⎪⎭⎫⎝⎛--+-+=222221a x a x a x x y (a>0). 9.已知ab ＜0，a 2+b 2=a 2b 2，化简221111b b a a ---10．求2323)43652()43652(--+的值. 11．求适合下列各式的x 、y ；(1)若x 、y 为有理数，且;260-=-y x (2)若x 、y 为整数，.212253y x +=+ 12．已知,11122=-+-a b b a 求证a 2+b 2=1.【由条件知,11122a b b a --=-两边平方后整理得).(112222a b a b -+=-再平方得1-2b 2-2a 2+b 4+2a 2b 2+a 4=0即1-2(a 2+b 2)+(a 2+b 2)2=0,[1-(a 2+b 2)]2=0,∴a 2+b 2=1.】 13．已知A=,53,53-=+B 求证:11＜A 3-B 3＜12＜A 3+B 3＜13.【∵A 2+B 2=6,AB=2,∴(A+B)2=1,A+B=10,A-B=2,∴A 3-B 3=(A-B)+3AB(A-B)=.160)(3)(,128333=+-+=+B A AB B A B A 】 10．已知122+=b abx 其中a 、b 都是正数. (1)当b 取什么样的值时，x a x a x a x a --+-++的值恰好为b ？(2)当b 取什么样的值时，xa x a x a x a --+-++的值恰好为b1？ 【当b ≥0时，原式值为b ，当0＜b ＜1时，原式值为.1b】。