九年级数学二次根式的加减3

21.3 二次根式的加减(3)第三课时教学内容含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题:1．计算（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy2．计算（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．二、探索新知如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．例1．计算:（1）（2）（）÷分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：（1）×解：（）÷÷-例2．计算32（1））（（2）））分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．解：（1））（2（2））=）2-2=10-7=3三、巩固练习课本P 20练习1、2．四、应用拓展例3．已知=2-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，））=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可．解：原式=+x b a-x a b -=+ =（x+1）=4x+2∵=2- ∴b （x-b ）=2ab-a （x-a ）∴bx-b 2=2ab-ax+a 2∴（a+b ）x=a 2+2ab+b 2∴（a+b ）x=（a+b ）2∵a+b ≠0∴x=a+b∴原式=4x+2=4（a+b ）+2五、归纳小结本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．六、布置作业1．教材P 21 习题21．3 1、8、9．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》作业设计2(1)x x +-2(1)x x+-x b a-x a b -一、选择题1．的值是（ ）． A ．．C ．．2）．A ．2B ．3 C．4 D ．1二、填空题1．（-+）2的计算结果（用最简根式表示）是________． 2．（）（1+2）-（2-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若-1，则x 2+2x+1=________．4．已知，a 2b-ab 2=_________．三、综合提高题1．化简 2．当时，求+的值．（结果用最简二次根式表示）课外知识20323232031221．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．ACD2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b ）=a 2-b 2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如与也是互为有理化因式．________；_________．_______．3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．练习：把下列各式的分母有理化（1；（2）； （3（44．其它材料：如果n=________=_______．答案:一、1．A 2．D二、1．．-24 3．2 4．三、1．原式＝==-）2=== 2（2x+1）∵+1 原式＝2（+3）+6.=22222(1)()21x x xx+++⨯+2(1)(1)1x x xx++++。

初中数学二次根式的运算二次根式是初中数学中的重要概念之一，通过对二次根式的运算，可以提高学生的数学计算能力和思维能力。

本文将介绍二次根式的运算法则，并以实例来说明。

一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数，称为被开方数；√符号称为二次根号。

二次根式可以简化或者进一步运算，下面将介绍常见的二次根式运算法则。

二、二次根式的运算法则1. 同底数的二次根式相加减如果二次根式的底数相同，我们可以将它们相加或相减。

例如：√a + √b = √(a+b)√a - √b = √(a-b)例如，计算√5 + √3：√5 + √3 = √(5+3) = √82. 二次根式的乘法二次根式乘法运算可以使用分配律的性质，例如：√a * √b = √(ab)例如，计算√2 * √3：√2 * √3 = √(2*3) = √63. 二次根式的除法二次根式除法运算可以使用相乘后再开方的方式，例如：√a / √b = √(a/b)例如，计算√8 / √2：√8 / √2 = √(8/2) = √4 = 24. 二次根式的化简有时候我们可以对二次根式进行化简，将其变为更简单的形式。

例如：√(a^2) = a√(a*b) = √a * √b例如，化简√(9*4)：√(9*4) = √36 = √(6^2) = 6三、实例应用现在我们通过一些实例来进一步理解和应用二次根式的运算法则。

实例1：计算√(2+√7) * √(2-√7)根据乘法运算法则：√(2+√7) * √(2-√7) = √[ (2+√7) * (2-√7) ]= √[ 4 - (√7)^2 ]= √[ 4 - 7 ]= √(-3)实例2：计算√3 + √75 - √27根据加减法运算法则：√3 + √75 - √27 = √3 + √(25*3) - √(9*3)= √3 + 5√3 - 3√3= 3√3实例3：计算√(2 + √3) * √(2 - √3)根据乘法运算法则：√(2 + √3) * √(2 - √3) = √[ (2 + √3) * (2 - √3) ]= √[ 4 - (√3)^2 ]= √[ 4 - 3 ]= √1 = 1综上所述，本文介绍了初中数学中二次根式的运算法则，包括同底数的二次根式相加减、二次根式的乘法和除法以及二次根式的化简。

二次根式的运算加减乘除二次根式，是指具有根号的数学表达式，常见形式为√a或√(a + b)，其中a和b为实数。

本文将围绕二次根式的运算进行讨论，包括加法、减法、乘法和除法。

一、二次根式的加法对于两个具有二次根式形式的数，如√a和√b，它们的和可以通过以下步骤进行计算：Step 1: 将两个二次根式化简为最简形式，即将根号内的数分解为互质的因数。

例如，√20可以化简为√(4 × 5)，再进一步化简为2√5。

Step 2: 将化简后的二次根式进行合并，即将含有相同根号部分的项相加。

例如，对于√20 + √45，可以分别先将二次根式化简为2√5和3√5，然后相加得到5√5。

因此，二次根式的加法运算要先将根号内的数化简为互质的因数，然后合并相同根号部分。

二、二次根式的减法二次根式的减法与加法类似，也需要先将根号内的数化简为最简形式，然后合并相同根号部分。

以下是减法的步骤：Step 1: 将两个二次根式化简为最简形式。

Step 2: 将化简后的二次根式进行合并，即将含有相同根号部分的项相减。

例如，对于√20 - √45，可以先将二次根式化简为2√5和3√5，然后相减得到-√5。

需要注意的是，减法运算中可能会出现负数的结果，这也是合理的。

三、二次根式的乘法二次根式的乘法运算可以通过以下步骤进行：Step 1: 将两个二次根式进行分解，将根号内的数分别因式分解为互质的因数。

例如，对于√20 × √45，可以将20分解为2 × 2 × 5，45分解为3 × 3 × 5。

Step 2: 将每个二次根式的因数进行合并。

例如，√20 × √45可以化简为(2 × √5) × (3 × √5)。

Step 3: 将合并后的二次根式继续化简为最简形式。

对于(2 × √5) × (3 × √5)，可以合并根号前的系数，得到6 × √(5 × 5)，即6 × √25。

二次根式的加减二次根式是代数中常见的一种形式，它可以表达为√n的形式，其中n是一个非负实数。

在代数学中，我们常常需要对二次根式进行加减运算。

本文将探讨二次根式的加减规则以及一些实际问题的应用。

一、二次根式的加法对于两个相同的二次根式√n的相加运算，我们可以简化为2√n。

例如，√3 + √3 = 2√3。

对于两个不同的二次根式√m 和√n 的相加运算，我们需要考虑它们的根数是否相同。

如果根数相同，即两个二次根式的根数都为m，那么它们可以合并为(√m + √n)。

例如，√5 + √5 = 2√5。

如果根数不同，我们无法直接合并它们。

在这种情况下，我们可以先将它们的根数调整为相同的形式，然后再进行合并。

例如，√2 + √3，我们可以通过乘以一个1的形式来调整根数，即(√2 + √3) * (1) = (√2 + √3) * (√3/√3) = (√2 * √3 + √3 * √3) / √3 = (√6 + 3) / √3 = (√6/√3 + 3/√3) = (√6/√3 + 3√3/√3) = (√6 + 3√3) / √3 = (√6/√3 + 3√3/√3) = (√6 + 3√3) / √3 = (√6/√3 + 3√3/√3) = √6/√3 + 3√3/√3 = (√6 + 3√3) / √3。

二、二次根式的减法对于两个相同的二次根式√n的相减运算，我们可以简化为0。

例如，√4 - √4 = 0。

对于两个不同的二次根式√m 和√n 的相减运算，我们的方法与二次根式的加法类似。

我们需要调整它们的根数，使它们变为相同的形式，然后再进行运算。

例如，√7 - √3，我们可以通过乘以一个1的形式来调整根数，即(√7 - √3) * (1) = (√7 - √3) * (√7/√7) = (√7 * √7 - √3 * √7) /√7 = (7 - √21) / √7。

三、二次根式的应用二次根式在实际问题的求解中经常出现。

二次根式的加减乘除法则
两个二次根式之和的形式是√a±√b。

如果两个二次根式的被开方数
相同，即a=b，则可以直接将它们的系数相加或相减，而保持根号下的数
不变。

具体来说，√a±√a=2√a，√b±√b=2√b。

例如，√2+√2=2√2，√3-√3=-2√3
如果两个二次根式的被开方数不同，即a≠b，则无法直接相加或相减。

在这种情况下，我们需要使用特殊的二次根式加法形式，即将二次根
式相加或相减后的结果进行化简。

具体步骤如下：
1.将二次根式分解成最简形式，即将每个二次根式的被开方数分解成
质因数的乘积。

2.将两个二次根式按照被开方数分别进行分组。

3.在每组中找出被开方数相同的二次根式，并将它们的系数相加或相减，而保持根号下的数不变。

4.将每组中的结果相加或相减，得到最终的结果。

两个二次根式的乘积可以按照分配律展开，然后进行合并同类项。

具
体步骤如下：
1.将每个二次根式的被开方数分解成质因数的乘积。

2.将两个二次根式的系数相乘。

3.将每个二次根式的根号下的数相乘，并合并同类项，即将被开方数
相乘后的结果进行化简。

4.将步骤2和步骤3的结果相乘。

除法可以转化为乘法，即将被除数乘以除数的倒数。

具体步骤如下：
1.将被除数和除数分别进行质因数分解。

2.将被除数和除数的系数相乘。

3.将被除数的根号下的数除以除数的根号下的数，并将结果进行化简。

以上就是二次根式的加减乘除法则的详细解释，希望能对您有所帮助。

二次根式的加减法二次根式是数学中的一种特殊类型，由一个根号和一个数构成。

在这篇文章中，我们将讨论二次根式的加减法运算。

通过理解二次根式的性质和运算规则，我们能够有效地计算和简化这类数学表达式。

一、二次根式的定义二次根式是指具有形如√a的数学表达式，其中a为一个非负实数。

根号下的数称为被开方数，√a读作a的二次根。

例如，√4和√9分别等于2和3，因为2²等于4，3²等于9。

这些数都是被开方数的平方根。

二、二次根式的加法与减法原则1. 加法原则：当两个二次根式具有相同的根号下数时，我们可以将它们合并为一个根号下，然后在对应的系数上进行加法运算。

例如，√5 + 2√5 = 3√5解释：这里的√5和2√5具有相同的根号下数5，所以可以将它们合并为3√5。

2. 减法原则：与加法类似，在两个二次根式具有相同的根号下数时，我们可以将它们合并为一个根号下，然后在对应的系数上进行减法运算。

例如，3√7 - √7 = 2√7解释：这里的3√7和√7具有相同的根号下数7，所以可以将它们合并为2√7。

三、示例与应用让我们通过几个示例来进一步了解二次根式的加减法运算。

示例1：计算：√8 + 3√2解答：√8 = √4 × 2 = 2√2所以，√8 + 3√2 = 2√2 + 3√2 = 5√2示例2：计算：5√10 - 2√10解答：5√10 - 2√10 = 3√10示例3：计算：√18 + 4√3 - 2√12解答：√18 = √9 × 2 = 3√2√12 = √4 × 3 = 2√3所以，√18 + 4√3 - 2√12 = 3√2 + 4√3 - 2√3 = 3√2 + 2√3四、简化与合并在进行二次根式的加减法运算后，我们可以进一步将结果进行简化与合并。

具体而言，可以将相同根号下数的二次根式合并为一个根号下，并且对应的系数进行加减运算。

例如，2√5 + 3√5 = (2+3)√5 = 5√5在这个步骤中，我们将2√5和3√5合并为5√5，并对应的系数2和3进行加法运算。

二次根式加减运算法则公式1. 什么是二次根式？二次根式是指某个数的平方根，其中这个数可以是整数、分数或者解析式的形式。

例如√16、√(4/9)、√(x+1) 都是二次根式。

2. 二次根式加减法则对于二次根式的加减运算，需要遵循一定的法则，以下是二次根式加减法则：1. 对于同类项的二次根式，即根号里面的数相同的根式，可以直接合并，例如√2+√2=2√2。

2. 对于不同类项的二次根式，则不能直接合并，需要进行化简，即将其转化为同类项的形式后再合并。

3. 化简的方法一般有提公因式、有理化分母等，但需要保证等式两边的值相等。

3. 实例分析为了更好地了解二次根式加减法则，下面举几个例子进行分析：1. 化简√10+2√5-√80将√10 和√5 提取公因式得到√10+2√5-√80=√2(5+10-40)=√2(-25)=-5√2。

因此，√10+2√5-√80=-5√2。

2. 化简√(2/5)+√(3/20)先将分母提出来，即√(2/5)+√(3/20)=√(2)/√(5)+√(3)/√(20)。

然后将分母有理化，即分别用√(5) 和√(20) 乘以相应分子分母。

化简后的结果是：√(2)/√(5)+√(3)/√(20)=√(40)/5+√(15)/10。

3. 化简√3-√7+√12将√3和√12提取公因式，得到√3-√7+√12=√3+2√3-√7-2√3+√12=(√3+2√3+√12)-(2√3+√7)因此，√3-√7+√12=3√3-√7-2√3+√12=√3-√7+√12。

4. 总结二次根式是基础数学中的重要概念，对于二次根式的加减运算，也有一定的规则和方法。

只有掌握了二次根式的加减法则，才能更好地处理涉及到二次根式的问题。

二次根式的加减运算在数学中，二次根式是指以平方根（√）为运算符的表达式。

在本文中，我们将探讨如何进行二次根式的加减运算。

1. 二次根式的基本形式二次根式通常具有以下形式：√a ± √b，其中a和b为非负实数。

我们需要注意的是，不能将不同数的平方根直接合并。

2. 同类项的加减如果两个二次根式具有相同的根指数和被开方数，我们可以简化它们的加减运算。

例如，√2 + √3 和√2 - √3 就属于同类项。

3. 加法运算要进行二次根式的加法运算，我们可以直接将同类项的系数相加，并保留相同的根指数和被开方数。

例如，√2 + √3 = √2 + √3。

如果根指数和被开方数不同，那么我们无法进行简化。

4. 减法运算要进行二次根式的减法运算，我们需要注意减号前面的符号。

例如，√2 - √3 ≠ √2 - √3。

我们必须展开减号前面的符号，并将其应用于每一项，然后按照相同的根指数和被开方数进行简化。

5. 合并同类项在进行二次根式的加减运算后，我们可能会得到一个形如√a + √b的表达式。

如果a和b是非平方数，那么这个表达式不能再进行简化了。

6. 例题演示让我们通过例题进一步理解二次根式的加减运算：例题1：计算√5 + √7 - √5 - √7。

解：根据规则，我们可以合并同类项：√5 + √7 - √5 - √7 = (√5 - √5) + (√7 - √7) = 0。

因此，答案为0。

例题2：计算2√3 + 4√2 - √3。

解：根据规则，我们可以合并同类项：2√3 + 4√2 - √3 = (√3 - √3) + 4√2 = 0 + 4√2 = 4√2。

因此，答案为4√2。

7. 总结在二次根式的加减运算中，我们需要根据根指数、被开方数以及符号来判断如何进行操作。

通过合并同类项并进行简化，我们可以得到最简形式的答案。

总之，在二次根式的加减运算中，我们需要注意同类项的合并和运算符的正确使用。

通过熟练掌握相关规则，我们能够准确地进行二次根式的加减运算，并得到最简形式的答案。

数学二次根式的运算二次根式是代数中常见的表达式，它可以用来表示开方运算。

在数学中，我们经常需要对二次根式进行运算，包括加减乘除等操作。

本文将探讨二次根式的运算规则及其应用。

一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的表达式，其中a为非负实数。

√a表示a的平方根，也就是一个数的平方等于a。

例如，√9=3，√16=4。

二次根式的运算可以分为简化、加减、乘法和除法四种基本形式。

下面我们分别来介绍这些运算规则。

二、二次根式的简化当二次根式的下标含有完全平方因子时，我们可以将其进行简化。

例如，√12=√(4×3)=2√3。

这里，我们将12拆分成4和3，然后把4的平方根提取出来。

简化二次根式的关键是找到下标的因子，并将其拆分成完全平方。

这样，我们就可以把其中的完全平方根提取出来，从而得到更简洁的表达式。

三、二次根式的加减对于二次根式的加减运算，我们首先要保证它们的下标相同。

如果下标不同，我们需要进行二次根式的化简，使其下标相同。

然后，根据运算法则，将相同下标的系数相加或者相减即可。

例如，√2+√2=2√2，√5-√3无法进行运算，因为它们的下标不同。

如果需要进行运算，我们可以采用化简的方法，将√5写成√(25/5)=√5/√5。

四、二次根式的乘法二次根式的乘法运算很简单，只需要将系数和下标分别相乘即可。

例如，√2×√3=√(2×3)=√6。

在乘法运算中，如果有完全平方因子，我们可以提取其平方根。

例如，√2×√8=√(2×4×2)=2√2。

五、二次根式的除法二次根式的除法运算可以通过乘以倒数来实现。

例如，(√2)/(√3)=√2/√3=√(2/3)。

除法运算中，如果有完全平方因子，同样可以进行化简。

例如，(√12)/(√4)=(√(4×3))/(√4)=√3。

六、二次根式的应用二次根式的运算在数学中有广泛的应用，尤其在几何和物理学中常见。

例如，在计算三角形的边长时，可能会遇到涉及二次根式的运算。

初中数学知识归纳二次根式的运算与化简初中数学知识归纳：二次根式的运算与化简二次根式是初中数学中一个重要的概念，它涉及到根式的计算和化简。

本文将对二次根式的运算规则和化简方法进行归纳和讨论。

一、二次根式的加减运算在进行二次根式的加减运算时，必须保证根号内的数相同。

例如，对于√3 + √5，由于根号内的数不同，所以无法进行加法运算。

而对于√3 + √3，由于根号内的数相同，可以进行加法运算。

结果为2√3。

同理，对于√5 - √2，由于根号内的数不同，所以无法进行减法运算。

而对于√5 - √5，由于根号内的数相同，可以进行减法运算。

结果为0。

二、二次根式的乘法运算在进行二次根式的乘法运算时，可以简化为根号内的数相乘，并将前面的系数相乘。

例如，对于2√3 × 3√2，先将根号内的数相乘得到6，然后将前面的系数2和3相乘得到6，所以结果为6√6。

同理，对于√5 × √5，将根号内的数相乘得到5，前面的系数为1，所以结果为5。

三、二次根式的除法运算在进行二次根式的除法运算时，可以简化为根号内的数相除，并将前面的系数相除。

例如，对于4√6 ÷ 2√3，先将根号内的数相除得到2，然后将前面的系数4和2相除得到2，所以结果为2√2。

同理，对于√8 ÷ √2，将根号内的数相除得到4，前面的系数为1，所以结果为4。

四、二次根式的化简有时候，二次根式可以通过化简变为更简单的形式。

1. 合并二次根式当二次根式中的根号内的数有相同的因数时，可以将它们合并为一个更简单的二次根式。

例如，对于√2 + 2√8，可以先将根号内的数分别化简为√2和2√2，然后合并为3√2。

2. 有理化分母当二次根式的分母为二次根式时，需要进行有理化分母的操作。

例如，对于1 / (√2 + √3)，需要将分母的二次根式进行有理化。

首先，我们可以将分母乘以它的共轭形式，即(√2 - √3)，这样分母的二次根式就被消去了。