6.1-平方根(1)概念教学

6.1平方根(第1课时）教学目标1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性;2.了解开方与乘方互为逆运算，会求某些非负数的算术平方根，能化简某些带根号的数，掌握计算根式范围的方法;3.通过学习算术平方根，提升学生的数感和符号感，发展抽象思维;4.通过解决实际生活中的问题，让学生体会数学与生活是紧密联系的.教学重点表示正数的算数平方根教学难点√2多大探究教学过程一、情景引入讲述数学史第一次数学危机：的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。

它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。

实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。

对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。

这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。

这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。

更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。

这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。

二、新知探究活动一：算数平方根探究：问题1：学校要举行美术作品比赛，你想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少?说一说，你是怎样算出来的？因为52=25，所以这个正方形画布的边长应取5 dm.问题2：完成表1：正方形的边长/dm 1 3 9 2 3正方形的面积/dm²1 9 81 49思考：你能从表1发现什么共同点吗？已知一个正数，求这个正数的平方，这是平方运算问题3：完成表2：正方形的面积/dm² 4 49 0.36964正方形的边长/dm 2 7 0.6 3 8思考：你能从表2发现什么共同点吗？表1与表2中两种运算有什么关系？已知一个正数的平方，求这个正数；互为逆运算归纳：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a 的算术平方根。

《6.1.1 算术平方根》教学设计（1）教学目标：知识与技能：理解引入根号的必要性，并能运用算术平方根的概念解决一些简单的计算问题.过程与方法：通过探究让学生理解引入根号的必要性；通过课堂练习能够运用算术平方根的概念解决一些简单的问题.情感、态度与价值观：体会数学概念形成的一般研究过程以及符号语言在概念学习中的重要作用.教学重点：通过课堂练习能够运用算术平方根的概念解决一些简单的问题.教学难点：理解根号引入的必要性，体会数学概念形成的一般过程以及符号语言在概念学习中的重要作用.教学方法：目标导学法+启发诱导法教学用具：演示文稿教学过程：1.新课引入问题1 学校要举行美术作品比赛,小明准备用边长分别为2,3,5的正方形画布(如图1所示)作画,它们的面积各是多少呢？图1问题2 如图2所示,小明要做一个面积为4的正方形画布,它的边长是多少呢？要做一个面积为9 或25的画布呢？图2（学生回答：因为22=4,所以面积为4的正方形,边长为2；同理,面积为9的正方形,边长为3,面积为25的正方形,边长是5.）可以看出：问题1是已知边长求面积,问题2是已知面积求边长.思考：问题1和问题2涉及到什么运算？二者之间有什么关系呢？（学生回答：涉及到平方运算与开方运算,二者互为逆运算.）2.探究新知问题3 已知正方形的面积2 S ,求边长x .思考：问题2与问题3都是已知面积求边长的问题,问题3中求边长时遇到了什么困难呢？折一折 既然直接求不出面积为2的正方形的边长x ,可以先来解决一个简单的问题：如何在2×2（单位为分米）的方格纸(如图3所示)中折出面积为2平方分米的正方形呢？图3（学生操作并汇报结果,同时思考：怎样判断折叠出来的正方形的面积是2平方分米？）教师引导，学生回答：单位方格的面积是1,每半个方格的面积就是21,那4个这样的半个方格和起来就是2.量一量 既然已经折出了面积为2的正方形,那么能不能用尺子量一量边长x 的长度呢？（学生测量并汇报结果,思考：为什么大家的测量结果各不相同呢？） 算一算 既然测量的结果有误差,那么有没有其他方法可以更精确的算出边长x 的值呢？用计算器算一算x 的值，刚才通过测量发现边长4.1≈x ,就从1.4开始算起:因为96.14.12=,25.25.12=,所以5.14.1<<x ,ΛΛ4.1=x , 表明x 的十分位是4;因为9881.141.12=,0164.242.12=,所以42.141.1<<x ,ΛΛ41.1=x , 表明x 的百分位是1;因为999396.1414.12=,002225.2415.12=,所以415.1414.1<<x ,414.1=x ΛΛ, 表明x 的千分位是4;ΛΛ活动3用夹逼法来无限逼近边长x ,照这样计算下去,将会得到x 更为精确的数值,它是一个无限不循环小数——无理数.问题4 那么应该怎样精确表示这个正数x 呢？即：已知()022>=x x ,如何精确地表示出x ?（学生探究并汇报结果.）已知()022>=x x ,那么2=x ,记作2,读作“根号2”,ΛΛ41421.12=.3.归 纳（1）算术平方根的定义 如果一个正数x 的平方等于a ,即a x =2,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根,记为a ,读作“根号a ”,a 叫做被开方数.规定：0的算术平方根是0,即00=.问题5 那么负数究竟有没有算术平方根呢?即是否存在x ,使得a x =2 ()0<a ?在现阶段,不存在这样的一个x ,使得它的平方为负数,因为若问题5的答案是肯定的,则这与有理数的乘法法则相矛盾,故负数没有算术平方根（初中阶段研究的数域为实数域,在这里不深入探讨复数域的情形）.（2）算术平方根的性质：a.().0,00000022≥≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⇒==>=⇒>>=a a a x a x a x x a x （双重非负性）； b.x a x ⇒<=02不存在.（3）算术平方根的求法：把一个非负数a 表示成一个非负数a 的平方的形式,即()()a a a a ⇒≥=02是a 的算术平方根. 4.练 习 求出下列正数的算术平方根.解：（1）3662=Θ,636=∴.（2）41212=⎪⎭⎫ ⎝⎛Θ,2141=∴. （3）169132=Θ,13169=∴. （4）法一：0001.001.02=Θ,01.00001.0=∴. 法二：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000011001100101.02Θ,1001100001=∴. （5）()332=Θ,的算术平方根是33∴.5.课堂小结 （1）算术平方根的定义（2）算术平方根的性质（3）算术平方根的求法6.课后作业求下列各数的算术平方根.0.01，1/16，0，144，13.教学反思：数学概念是数学教学中最核心、最基础的东西,概念教学在数学学习中的重要性不言而喻.在本节课中，给出算术平方根概念之前必须要让学生理解引入根号的必要性与合理性，这也是算术平方根概念课教学的关键和难点，这一难点通过教师引导、学生探究成功得到突破，达成了预期的教学目标.。

人教版数学七年级下册6.1.3《平方根》教学设计2一. 教材分析平方根是初中数学中的重要概念，对于学生来说，掌握平方根的概念和求法是十分必要的。

本节课的内容包括平方根的定义、求法以及平方根的性质。

通过学习，学生能够理解平方根的概念，掌握求一个数的平方根的方法，以及了解平方根的性质。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了有理数的概念，也了解了乘方的概念，这为本节课的学习提供了基础。

但是，对于平方根的概念和求法，学生可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐渐理解和掌握。

三. 教学目标1.知识与技能目标：理解平方根的概念，掌握求一个数的平方根的方法，了解平方根的性质。

2.过程与方法目标：通过观察、实验、探究等活动，培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。

四. 教学重难点1.重点：平方根的概念和求法，平方根的性质。

2.难点：平方根的性质的理解和应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究，培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。

六. 教学准备1.准备平方根的实例和练习题。

2.准备教学课件和板书设计。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实例，如“一个正方形的边长是a，求这个正方形的面积”，引出平方根的概念。

让学生思考，如何求一个数的平方根。

2.呈现（15分钟）介绍平方根的定义，通过PPT展示平方根的图像，让学生直观地理解平方根的概念。

然后，讲解如何求一个数的平方根，以及平方根的性质。

3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，每组选择一个数，求出它的平方根，并观察平方根的性质。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成，检验学生对平方根的概念和求法的掌握程度。

5.拓展（10分钟）引导学生思考，如何求一个数的算术平方根，以及算术平方根的性质。

让学生通过小组合作，共同探究这个问题。

沪科版数学七年级下册6.1《平方根》教学设计2）一. 教材分析《平方根》是沪科版数学七年级下册第六章的第一节内容。

本节内容主要介绍了平方根的概念、求一个数的平方根的方法以及平方根的性质。

通过本节内容的学习，学生能够理解平方根的概念，掌握求一个数的平方根的方法，了解平方根的性质，为后续学习立方根、算术平方根等概念打下基础。

二. 学情分析七年级的学生已经学习了有理数的乘方，对乘方的概念和运算法则有一定的了解。

但是，学生对平方根的概念和性质可能比较陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。

此外，学生可能对负数的平方根有一定的困惑，需要进行重点解释和澄清。

三. 教学目标1.理解平方根的概念，掌握求一个数的平方根的方法。

2.了解平方根的性质，能够运用平方根的性质解决实际问题。

3.培养学生的数学思维能力，提高学生的数学解决问题的能力。

四. 教学重难点1.平方根的概念和性质。

2.求一个数的平方根的方法。

3.对负数的平方根的理解和掌握。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣和主动性。

2.使用多媒体教学辅助工具，通过动画和图形展示平方根的概念和性质，帮助学生形象理解。

3.通过实例和练习，让学生动手操作和思考，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。

六. 教学准备1.多媒体教学课件。

2.练习题和测试题。

3.教学黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一些生活中的实例，如跳伞运动员打开降落伞后的高度变化，汽车刹车后的速度变化等，引导学生思考这些现象背后的数学规律。

然后提出问题：“你们知道这些现象背后有什么共同的数学概念吗？”学生可能会回答有理数的乘方，这时教师可以引导学生思考乘方的相反数问题，引出平方根的概念。

2.呈现（10分钟）教师在黑板上写出平方根的定义，解释平方根的概念，并通过图形和动画展示平方根的性质。

同时，教师可以举例说明如何求一个数的平方根，如求4的平方根，引导学生理解求平方根的方法。

人教版数学七年级下册6.1.1《算数平方根》教学设计2一. 教材分析《算数平方根》是人教版数学七年级下册第六章第一节的内容，主要介绍了算数平方根的概念、性质以及求法。

这部分内容是学生学习平方根的基础，对于培养学生的数学思维能力和解决问题的能力具有重要意义。

本节课的教学内容主要包括以下几个方面：1.算数平方根的定义：一个非负数的正的平方根，叫做这个数的算数平方根。

2.算数平方根的性质：非负数的算数平方根只有一个，正数的算数平方根是正数，0的算数平方根是0。

3.求算数平方根的方法：利用平方根的性质，通过逐步逼近的方法求解。

二. 学情分析七年级的学生已经掌握了实数的基本概念，对平方根有一定的了解，但对其本质和求法还不够明确。

学生在学习过程中，需要通过实例来加深对算数平方根的理解，掌握求解方法，并能够运用到实际问题中。

三. 教学目标1.理解算数平方根的概念，掌握算数平方根的性质。

2.学会求解算数平方根的方法，提高运算能力。

3.能够运用算数平方根解决实际问题，培养解决问题的能力。

四. 教学重难点1.算数平方根的概念和性质。

2.求解算数平方根的方法。

五. 教学方法采用情境教学法、启发式教学法和小组合作学习法，通过实例引入，引导学生思考，激发学生的学习兴趣，培养学生的探究能力和合作精神。

六. 教学准备1.教学PPT。

2.练习题。

3.教学素材。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题引入，如“一块地的面积是36平方米，求这块地的长和宽分别是多少？”引导学生思考，引发对平方根的兴趣。

2.呈现（10分钟）通过PPT展示算数平方根的定义和性质，让学生初步了解算数平方根的概念。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，利用平方根的性质，求解一些具体的算数平方根。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些练习题，检验学生对算数平方根的理解和掌握程度。

教师及时批改，给予反馈。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：如何求解一个任意正整数的算数平方根？让学生通过探究，发现求解方法。

人教版数学七年级下册《6-1平方根第1课时》教学设计一. 教材分析人教版数学七年级下册《6-1平方根》是学生在学习算术平方根的基础上，进一步研究平方根的定义、性质及运算方法。

本节课主要让学生掌握平方根的定义，了解平方根的性质，学会求一个数的平方根，并能解决一些相关的实际问题。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了算术平方根的概念，具备了一定的数学运算能力。

但对于平方根的定义、性质及运算方法可能还比较模糊，需要通过本节课的学习进一步理解和掌握。

三. 教学目标1.理解平方根的定义，掌握平方根的性质。

2.学会求一个数的平方根，并能解决一些相关的实际问题。

3.培养学生的数学运算能力，提高学生解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.平方根的定义及性质。

2.求一个数的平方根的方法。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等多种教学方法，引导学生主动探究、合作交流，培养学生的数学思维能力。

六. 教学准备1.PPT课件2.相关练习题及实际问题3.教学视频或案例七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件展示一些生活中的实际问题，如物体表面的面积、温度变化等，引导学生思考这些实际问题与平方根的关系，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）介绍平方根的定义及性质，通过PPT课件及数学例题进行讲解，让学生直观地理解平方根的概念。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试求解一些数的平方根，并总结求解方法。

教师在这个过程中给予适当的引导和指导，帮助学生掌握求解平方根的方法。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成，检验学生对平方根定义和求解方法的掌握程度。

教师及时给予反馈和讲解，加深学生对知识点的理解。

5.拓展（10分钟）出示一些实际问题，如探究物体表面的面积、温度变化等，让学生运用所学知识解决。

引导学生将所学知识运用到实际生活中，提高学生的解决问题的能力。

6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调平方根的定义和性质，让学生明确本节课的学习重点。