线段的垂直平分线中考题含答案

线段的垂直平分线一、选择题（共8小题）1、如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于的21AB 的长为半径画孤，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ， 交BC 于点D ，连接AD ．若△ADC 的周长为10，AB=7，则△ABC 的周长为（ ） A 、7 B 、 14 C 、17 D 、20第1题 第2题 第3题2、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC ，ED 垂直平分AB 于D ．若AC=9，则AE 的值是（ ）A 、6B 、4C 、6D 、43、如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA=5，则线段PB 的长度为（ ）A 、6B 、5C 、4D 、34、如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=20°．线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于（ ）A 、80°B 、70°C 、60°D 、50°第4题 第 5题 第6题 5、如图，直线CP 是AB 的中垂线且交AB 于P ，其中AP=2CP ．甲、乙两人想在AB 上取两点D 、E ，使得AD=DC=CE=EB ，其作法如下：（甲）作∠ACP 、∠BCP 之角平分线，分别交AB 于D 、E ，则D 、E 即为所求；（乙）作AC 、BC 之中垂线，分别交AB 于D 、E ，则D 、E 即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（ ）A 、两人都正确B 、两人都错误C 、甲正确，乙错误D 、甲错误，乙正确6、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°．AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交BC 于点E ，则下列结论不正确的是（ ）A 、AE=BEB 、AC=BEC 、CE=DED 、∠CAE=∠B7、如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）A 、△ABC 的三条中线的交点B 、△ABC 三边的中垂线的交点 C 、△ABC 三条角平分线的交点D 、△ABC 三条高所在直线的交点第7题 第8题8、如图，AC=AD ，BC=BD ，则有（ ） A 、AB 垂直平分CD B 、CD 垂直平分AB C 、AB 与CD 互相垂直平分 D 、CD 平分∠ACB二、填空题（共12小题）9、如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为_________．第9题第10题第11题10、如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=_________度．11如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为_________°．12、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段DE的长为_________．第12题第13题第14题第15题13、如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB=_________度．14、如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=_________度．15、如图，∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是_________度．16、如图，有一腰长为5cm，底边长为4cm的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有_________个不同的四边形．第16题第17题第18题17已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于_________．18、如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=1/2∠DAC；④△ABC是正三角形．请写出正确结论的序号_________（把你认为正确结论的序号都填上）19、如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为_________cm．20、在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是_________°．三、解答题（共6小题）21、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长．22、如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．1、如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（）A、7B、14C、17D、20考点：线段垂直平分线的性质。

八年级数学重点题型强化训练5——线段垂直平分线专题第1题第2题【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质：熟记：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离第3题可证BEF CED ≌△△，可得EF =BC 的中点，第5题第6题第7题第8题 第9题【答案】B 【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出OBC Ð，以及40，OBC OCB Ð=Ð=°，再利用翻折变换的性质得出，CEF FEO =Ð进而求出即可．50，BAC BAC Ð=°ÐQ 12OAB CAO \Ð=Ð=25OAB ABO Ð=Ð=∵在等腰ABC V 中，DG Q 是BC 的垂直平分线，BD CD \=，AD Q 是BAC Ð的平分线，DE DF \=，在Rt BDE △和Rt CDF △中，C ．60°D 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到BE CE =，则AC EC =，再根据等腰三角形的性质和三角形内，接着利用三角形外角性质计算出EBC Ð=Ð的度数．故选：C ．题型2：线段垂直平分线的判定11．如图，AD AC =，BD BC =，则下列判断一定正确的是（ ）A ．AB 垂直平分CDB ．CD 垂直平分ABC ．CD 平分ACB ÐD ．以上都不正确第11题第12题【答案】A【分析】根据线段垂直平分线的判定求解即可．【详解】解：∵AD AC =，BD BC =，∴点A 、B 在线段CD 的垂直平分线上，即AB 垂直平分CD ，故选：A ．12．如图，ABC AB AC BC >>V ，，边AB 上存在一点P ，使得PA PC AB +=．下列描述正确的是（ ）A ．P 是AC 的垂直平分线与AB 的交点B ．P 是ACB Ð的平分线与AB 的交点C ．P 是BC 的垂直平分线与AB 的交点D ．P 是AB 的中点【答案】C【分析】根据线段垂直平分线的判定解答即可．【详解】解：PA PC AB PA BP AB +=+=Q ，，PC BP \=，∴P 是BC 的垂直平分线与AB 的交点．故选：C ．13．如图，将长方形纸片沿AC 折叠后点B 落在点E 处，则下列关于线段BE 与AC 的关系描述正确的是（ ）A ．AC BE =B ．AC 和BE 相互垂直平分C ．AC BE ^且AC BE=D ．AC BE ^且AC 平分BE【答案】D 【分析】只要证明AC 是线段BE 的垂直平分线即可解决问题．【详解】解：ACE QV 是由ACB △翻折得到，AE AB \=，CB CE =，AC EB \^，AC 平分EB ，故选：D ．14．如图，已知：AB AC =，MB MC =．求证：直线AM 是线段BC 的垂直平分线．下面是小彬的证明过程，则正确的选项是（ ）证明：∵AB AC=∴点A 在线段BC 的垂直平分线上①∵MB MC=∴点M 在线段BC 的垂直平分线上②∴直线AM 是线段BC 的垂直平分线③A ．①处的依据是：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等B ．②处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上C ．③处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D ．以上说法都不对【答案】B【分析】根据垂直平分线的判定方法逐项判断即可．【详解】解：①处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故A 选项错误，不合题意；②处的依据是：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故B 选项正确，符合题意；③处的依据是：两点确定一条直线；故C 选项错误，不合题意；综上可知，选项D 错误，不合题意；故选B ．15．下列说法错误的是（ ）A ．若点P 是线段AB 的垂直平分线上的点，则PA PB=B ．若PA PB =，QA QB =，则直线PQ 是线段AB 的垂直平分线C ．若PA PB =，则点P 在线段AB 的垂直平分线上D ．若PA PB =，则过点P 的直线是线段AB 的垂直平分线【答案】D【分析】根据线段垂直平分线的判定方法，即可一一判定．【详解】解：A.若点P 是线段AB 的垂直平分线上的点，则PA PB =，故该说法正确，不符合题意；B.若PA PB =，QA QB =，则直线PQ 是线段AB 的垂直平分线，故该说法正确，不符合题意；C.若PA PB =，则点P 在线段AB 的垂直平分线上，故该说法正确，不符合题意；D.若PA PB =，则过点P 的直线不一定是线段AB 的垂直平分线，故该说法错误，符合题意；故选：D ．16．如图，AD 是ABC V 的角平分线，交BC 于D ，DE DF 、分别是ABD △和ACD V 的高，分别交AB AC 、于E 、F ，连接EF 交AD 于G ．下列结论：①AD 垂直平分EF ；②EF 垂直平分AD ；③AED AFD V V ≌；④当BAC Ð为60°时，AEF △是等边三角形，其中正确的结论的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个第16题第17题【答案】B 【分析】根据角平分线性质求出DE DF =，证AED AFD V V ≌，推出AE AF =，再逐个判断即可．【详解】解：∵AD 是ABC V 的角平分线，DE DF 、分别是ABD △和ACD V 的高，∴DE DF =，90AED AFD Ð=Ð=°，在Rt AED △和Rt AFD △中，AD AD DE DF =ìí=î，∴()Rt Rt HL AED AFD ≌△△，故③正确；∴AE AF =，∴AD 垂直平分EF ，①正确；②错误；∵60BAC Ð=°，且AE AF =，∴AEF △是等边三角形，④正确．综上，①③④正确，共3个．故选：B ．17．如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，点E 、F 分别是AD 、AB 上的动点，若∠BAC ＝50°，当BE +EF 的值最小时，∠AEB 的度数为（ ）A ．105°B ．115°C ．120°D ．130°【答案】B【分析】过点B 作BB ′⊥AD 于点G ，交AC 于点B ′，过点B ′作B ′F ′⊥AB 于点F ′，与AD 交于点E ′，连接BE ′，证明AD 垂直平分BB ′，推出BE ＝BE ′，由三角形三边关系可知，BE EF B E EF B F B F ¢¢¢¢+=+³³，即BE +EF 的值最小为B F ¢¢，通过证明△ABE ′≌△AB ′E ′，推出∠AE ′B ＝AE ′B ′，因此利用三角形外角的性质求出AE ′B ′即可．【详解】解：过点B 作BB ′⊥AD 于点G ，交AC 于点B ′，过点B ′作B ′F ′⊥AB 于点F ′，与AD 交于点E ′，连接BE ′，如图：此时BE +EF 最小．∵AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC ＝50°，∴∠BAD ＝∠B ′AD ＝25°，∵BB ′⊥AD ，∴∠AGB ＝∠AGB ′＝90°，在△ABG 和△AB ′G 中，BAG B AG AG AGAGB AGB Ð=Ðìï=íïТ=Ðî¢，∴△ABG ≌△AB ′G （ASA ），∴BG ＝B ′G ， AB ＝AB ′，∴AD 垂直平分BB ′，∴BE ＝BE ′，在△ABE ′和△AB ′E ′中，BE BE AE AE AB AB ¢¢¢¢ìï=íï=î＝，∴△ABE ′≌△AB ′E ′（SSS ），∴∠AE ′B ＝AE ′B ′，∵AE ′B ′＝∠BAD + AF ′E ′＝25°+90°=115°，∴∠AE ′B ＝115°．即当BE +EF 的值最小时，∠AEB 的度数为115°．故选B ．18．如图，点P 是AOB Ð内的一点，PC OA ^于点C ，PD OB ^于点D ，连接OP ，CD ．若PC PD =，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AOP BOPÐ=ÐB ．OPC OPD Ð=ÐC ．PO 垂直平分CD D ．PD CD=【答案】D【分析】根据角平线的判定定理可判断A ，证明Rt COP Rt DOP V V ≌，可判断B ，根据Rt COP Rt DOP V V ≌，可得OC =OD ，进而可判断C ，根据等边三角形的定义，可判断D ．【详解】解：∵点P 是AOB Ð内的一点，PC OA ^于点C ，PD OB ^于点D ，PC PD =，∴OP 是∠AOB 的平分线，即AOP BOP Ð=Ð，故A 成立，不符合题意；∵OP =OP ，AOP BOP Ð=Ð，第19第20题=，利用ASA Ð，再根据E是CD的中点可求出ECECF=，结合已知可得BE的垂直平分线，根据线段垂直AE EF=+，进而即可求解．即可证得AB BC AD故答案为：70．题型3：与线段垂直平分线相关的尺规作图21．如图，在ABC V 直线MN ，交BC A ．9【答案】B 【分析】由题意可得MN ADC C AC BC =+V ，求解即可．【详解】解：由题意可得，A．3B 【答案】B【分析】利用基本作图得到V的周长为20再利用ABC【详解】解：由作法得DE \==，,DA DB AE BEA ．①③B ．①④C ．②④D ．③④【答案】B 【分析】依次对各个图形的作图痕迹进行分析即可．【详解】 由图①知AD AC =，AB AD >，AB AC \>，故图①能说明AB AC >；由图②知射线BD 是ABC Ð的平分线，不能说明AB AC >；由图③知CD AB ^，不能说明AB AC >；由图④知DE 是BC 的垂直平分线，DB DC \=．ADC QV 中AD DC AC +>，AD DB AC \+>，即AB AC >．故图④能说明AB AC >．故选：B24．如图所示，在Rt ABC △中，90C Ð=°，以B 为圆心，以任意长度为半径作弧，与BA ，BC 分别交于A．20°B．36【答案】C【分析】由作图可知：BO为=，再根据等腰三角形的性质得AD BD和定理即可求出AÐ的度数．【详解】解：由作图可知：平分EAC Ð；③AC CD =；④ABC S V C ．①③DA ．只有甲的答案正确B ．甲和乙的答案合在一起才正确C ．甲和丙的答案合在一起才正确D ．甲乙丙的答案合在一起才正确【答案】D 【分析】分四种情况讨论：当APB Ð为锐角时，当APB Ð为钝角时，当APB Ð为直角时，当135APB Ð=°时，分别画出图形，求出x 与y 的关系，即可得出答案．【详解】解：当APB Ð为锐角时，如图所示：∵AD BP ^，∴90ADP Ð=°，∴90PAD APD Ð+Ð=°，即90x y +=；当APB Ð为钝角时，如图所示：∵AD BP ^，∴90ADP Ð=°，∵APB Ð为ADP △的外角，∴APB ADP DAP Ð=Ð+Ð，∴90x y =+，即90x y -=；当APB Ð为直角时，如图所示：此时直线n 与PA 重合，∴此时直线n 与PA 所夹的角为0°，即90x y +=或90x y -=；当135APB Ð=°时，如图所示：18013545DPA Ð=°-°=°，∵AD BP ^，∴90ADP Ð=°，∴904545DAP Ð=°-°=°，∴45135180DAP APB Ð+Ð=°+°=即180x y +=；1AB 的长为半径作弧，两弧相交于AM ；的长为半径作弧，与BC 边相交于点N ，连接C．9AC，根据中垂线的定义和性质找到相等的边，进而由AC，A ．15B ．16C ．18D ．20【答案】A 【分析】根据题意得到MN 是线段AB 的垂直平分线，进而得到点D 是AB 的中点，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：由尺规作图可知，MN 是线段AB 的垂直平分线，\点D 是AB 的中点，ACD BCD S S \=△△，ADE CDE CDB S S S \+=V V V ，Q CDB △的面积为12，ADE V 的面积为9，1293CDE CDB ADE S S S \=-=-=V V V ，\四边形EDBC 的面积为：12315CDE CDB EDBC S S S =+=+=V V 四边形，故选：A ．30．如图，在ABC V 中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）．A ．AF BF=B ．90AFD FBC Ð+Ð=°C ．DF AB^D ．BAF CAFÐ=Ð【答案】D 【分析】由图中尺规作图痕迹可知，BE 为ABC Ð的平分线，DF 为线段AB 的垂直平分线，结合角平分线的定义和垂直平分线的性质逐项分析即可．【详解】解：由图中尺规作图痕迹可知， BE 为ABC Ð的平分线，DF 为线段AB 的垂直平分线．上求作点D ，使；，若点D 在边上，在上求作点E ，使．）作BC 的垂直平分线与BC 的交点即为所求；）如图：由题意得，只要作12BDE ABC S S △△=即可，由第（1）问得，12ABP ABC S S △△=，只要作BC ABD ACD S S =V V AB BC BDE ADEC S S △四边形=作BC 的垂直平分线与BC 交于D 点，BD CD \=，ABD QV 与ACD V 高相同，ABD ACD S S \=V V ．如图1：点D 即为所求；（2）如图：由题意得，只要作12BDE ABC S S △△=即可，作BC 的垂直平分线交BC 于P 点，由第（1）问得，12ABP ABC S S △△=，故只要作BDE ABP S S △△=即可，连接D 、P ，要使得BDE ABP S S △△=，只要作根据“夹在平行线之间的垂线段相等”，即，高相等，如图2：点E 即为所求．32．如图，在中，点E 在上且．(1)请用尺规作图的方法在边上确定点D ，使得；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，若的周长为，求的长．【分析】（1）线段AB 的垂直平分线与BC 边的交点即为所求；（2）根据线段垂直平分线的性质，通过等量代换求解．【详解】（1）解：如图所示，线段AB 的垂直平分线与BC 边交于点D ，点D 即为所求；（2）解：Q ADE V 的周长为12cm ，\12AD AE DE ++=，Q BD AD =，AE CE =，\12BC BD CE DE AD AE DE =++=++=，即BC 的长为12cm ．题型4：与线段垂直平分线相关的计算与证明33．如图，在ABC V 中，AB 、AC 边的垂直平分线相交于点O ，分别交BC 边于点M 、N ，连接AM ，AN ．(1)若AMN V 的周长为6，求BC 的长；(2)若30B Ð=°，25C Ð=°，求MAN Ð的度数；(3)若MON a Ð=，请用a 表示MAN Ð的度数（直接写出即可）．ABC V BC AE CE =BC BD AD =ADE V 12cm BC【答案】(1)6(2)70°(3)1802MAN aÐ=°-【分析】（1）由垂直平分线的性质可得,AM BM AN CN ==，再由BC AM MN AN =++可得结论；（2）由垂直平分线的性质可得30,30,B BAM C CAN Ð=Ð=°Ð=Ð=°，再根据三角形内角和定理可得结论；（3）根据三角形内角和定理可得()1802MAN B C Ð=°-Ð+Ð，再由四边形内角和定理可得180B C MAN O Ð+Ð=°-Ð-Ð，代入求解即可【详解】（1）,OM ON Q 分别是AB 、AC 边的垂直平分线，,,AM BM AN CN \==6AM MN AN ++=Q 6BM MN CN \++=，即6BC =（2）,,AM BM AN CN ==Q 30,25,BAM B CAN C \Ð=Ð=°Ð=Ð=°180,B BAC C Ð+Ð+Ð=°Q 且BAC BAM MAN CANÐ=Ð+Ð+Ð180,B BAM MAN CANC \Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°即180,B B MANC C Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°18022180605070MAN B C \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°（3）如图，180,B BAC C Ð+Ð+Ð=°Q 且BAC BAM MAN CAN Ð=Ð+Ð+Ð180,B BAM MAN CANC \Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°即180,B B MANC C Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°()1802MAN B C \Ð=°-Ð+Ð,,OM ON Q 分别是AB 、AC 边的垂直平分线，90AEO AFO \Ð=Ð=360AEO EAF AFO FOE \Ð+Ð+Ð+Ð=°180EAF O \Ð+Ð=°180,BAF MAN CAN O \Ð+Ð+Ð+Ð=°180,B C MAN O \Ð+Ð+Ð+Ð=°180B C MAN O\Ð+Ð=°-Ð-Ð()()180********MAN B C MAN O \Ð=°-Ð+Ð=°-°-Ð-Ð\解得，1802MAN aÐ=°-34．如图，在Rt ABC △中，45,90,ACB BAC AB AC Ð=°Ð=°=，点D 是AB 的中点，AF CD ^于H 交BC 于F ，BE AC ∥交AF 的延长线于E ．求证：BC 垂直且平分DE ．【答案】见解析【分析】根据全等三角形的判定证明(ASA)ABE CAD ≌V V ，在再证明(SAS)DBP EBP ≌V V 即可解决问题；【详解】证明：由题意可知，9090DAH ADH ACH ADH ÐÐÐÐ+=°+=°，，∴DAH ACH ÐÐ=，∵90BAC Ð=°，BE AC ∥，∴90CAD ABE ÐÐ==°．又∵AB CA =，∴在ABE V 与CAD V 中，DAH ACH AB AC CAD ABE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴(ASA)ABE CAD ≌V V ．∴AD BE =，又∵AD BD =，∴BD BE =，在Rt ABC V 中，45,90,ACB BAC AB AC ÐÐ=°=°=，故45ABC Ð=°．∵90ABE Ð=°，∴904545EBF Ð=°-°=°，∴(SAS)DBP EBP ≌V V ，∴DP EP =，∴BC 垂直且平分DE ．35．如图，ABC V 中，AD 平分BAG Ð，DG 垂直平分BC ，DE AB ^于E ，DF AC ^于F ．(1)求证：BE CF =；(2)如果9AB =，5AC =，求BE 的长．【答案】(1)见解析；(2)2BE =．【分析】（1）由DG 垂直平分BC 可得DB DC =，由AD 平分BAG Ð， DE AB ^，DF AC ^，可得DE DF =，90DEB DFC Ð=Ð=°，从而证得()Rt Rt HL DBE DCF V V ≌，得证BE CF =；（2）易证()Rt Rt HL ADE ADF ≌△△，得到AE AF =，又BE CF =，因此2AB AE BE AF BE AC CF AC BE =+=+=+=+，代入即可解答．【详解】（1）连接DB ，DC ，∵DG 垂直平分BC ，∴DB DC =，∵AD 平分BAG Ð，DE AB ^，DF AC ^，∴DE DF =，90DEB DFC Ð=Ð=°，∴在Rt DBE V 和Rt DCF V 中DB DC DE DF=ìí=î∴()Rt Rt HL DBE DCF V V ≌，∴BE CF =．（2）∵DE AB ^，DF AC ^，∴在Rt ADE △和Rt ADF V 中AD AD DE DF=ìí=î∴()Rt Rt HL ADE ADF ≌△△，∴AE AF=∵BE CF=∴2AB AE BE AF BE AC CF AC BE =+=+=+=+，∵9AB =，5AC =，∴952BE =+，∴2BE =．36．如图，AB AC ＞，BAC Ð的平分线与BC 边的垂直平分线GD 相交于点D ，过点D 作DE AB ^于点E ，DF AC ^于点F ，求证：BE CF =．【答案】见解析【分析】连接DC ，根据GD 是BC 边的垂直平分线，得到DC DB =，根据AD 是BAC Ð的平分线，且DE AB ^，DF AC ^，得到DE DF =，根据DE DF DB DC =ìí=î，得到()HL DEB DFC V V ≌即可得证．【详解】如图，连接DC ，∵GD 是BC 边的垂直平分线，∴DC DB =，∵AD 是BAC Ð的平分线，且DE AB ^，DF AC ^，∴DE DF =，∵DE DF DB DC =ìí=î，∴()HL DEB DFC V V ≌∴BE CF =．37．如图，在ABC V 中，BAC Ð的平分线与BC 的中垂线DE 交于点E ，过点E 作AC 边的垂线，垂足N ，过点E 作AB 延长线的垂线，垂足为M ．(1)求证：BM CN =；(2)若2AB =，8AC =，求BM 的长．【分析】（1）连接BE ，CE ，由题意易得BE CE =，EM EN =，进而可证Rt Rt BME CNE ≌V V ，然后问题得解；（2）由（1）得：EM EN =，进而可证Rt Rt AME ANE ≌V V ，则有AB BM AC CN +=-，然后根据线段的和差关系可求解．【详解】（1）证明：连接BE ，CE ，DE Q 是BC 的垂直平分线，BE CE \=，AE Q 是BAC Ð的平分线，EM AB ^，EN AC ^，EM EN \=，在Rt BME △和Rt CNE △中，BE CE EM EN=ìí=î()Rt Rt BME CNE HL \V V ≌，BM CN \=；（2）由（1）得：EM EN =，在Rt AME △和Rt ANE △中，AE AE EM EN=ìí=îRt Rt AME ANE \≌V V ，请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：V中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，已知）如图②，在ABC的周长为20，则BC的长为__________．∵AB AC AD BC ^=，，的周长为7，可得∴19712AB BE +=-=，∴6AB BE ==；（2）∵30ABC Ð=°，45C Ð=°，∴1803045105BAC Ð=°-°-°=°，在BAD V 和BED V 中，BA BE BD BD DA DE =ìï=íï=î，∴()SSS BAD BED V V ≌，∴105BED BAC Ð=Ð=°，∴1054560CDE BED C Ð=Ð-Ð=°-°=°．40．如图，在ABC V 中，点E 在AB 上，点D 在BC 上，BD BE =，BAD BCE Ð=Ð，AD 与CE 相交于F ．(1)求证：AF CF =；(2)连接，试判断与的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，可得BA BC =，BDA BEC Ð=Ð，根据补角的性质，可得FDC FEA Ð=Ð，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．（2）由AB CB =，AF CF =可得点B ，F 在AC 的垂直平分线，即可得出结论【详解】（1）在BAD V 和BCE V 中，∵B B BAD BCE BD BE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴BAD V ≌BCE V ，∴AB CB =，BF BF AC与点A 重合，则 ， ．，四边形的直角沿直线l 折叠后（如图2），点B 落在四边形的边与AB 相交于点F ，猜想OF 、EF 、AB 三者数量关系，并证明．若折叠后点D 恰为AB 的中点（如图3），求的度数；45°，8数量关系为：AB OF EF =+；证明见解析q ==a OABC OCB ÐOABC q∴E O D FO D Ð=Ð．由折叠可得FOD EOC EOD q Ð=Ð=Ð=，∴390COA q Ð==°，∴30q =°．。

备战中考数学专题练习-线段垂直平分线的性质（含解析）一、单选题1.如果一个三角形的两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定2.如图，在△ABC中，∠C=90°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法错误的是（ ）A. ∠BAD=∠CADB. 点D到AB边的距离就等于线段CD的长C. S△ABD=S△ACDD. AD垂直平分MN3.如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正六边形ABCDEF，点P沿直线AB从右向左移动，当出现点P与正六边形六个顶点中的至少两个顶点距离相等时，就会发出警报，则直线AB 上会发出警报的点P有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个4.如图，用尺规法作∠DEC=∠BAC，作图痕迹的正确画法是（）A.以点E为圆心，线段AP为半径的弧B.以点E为圆心，线段QP为半径的弧C.以点G为圆心，线段AP为半径的弧D.以点G为圆心，线段QP为半径的弧5.数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（）A. B. C. D.6.如图，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB．①作射线OC．②在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE．③分别以D、E为圆心，以大于二分之一DE长为半径，在∠AOB内作弧，两弧交于点C．作法合理的顺序是（ ）A. ①②③B. ②①③C. ③②①D.②③①7.如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若BC=6，AD=4，则BD等于（ ）A. 1.5B. 2C. 2.5D. 38.如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，如果边BC长为8cm，则△ADE的周长为（ ）A. 16cmB. 8cmC. 4cmD. 不能确定二、填空题9.如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC等于82°，则∠OBC=________°．10.数学活动课上，同学们围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”其中一位同学作出了如图所示的图形．你认为他的作法的理由有________．11.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，边AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．若BC=4cm，则△AEG的周长是________ cm．12.已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB=________．13.如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为________．14.已知：∠AOB，求作∠AOB的平分线；如图所示，填写作法：①________．②________．③________．15.在△ABC中，BC=12cm，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，且DE=4cm，则AD+AE=________cm．16.已知CD垂直平分AB，若AC=4cm，AD=5cm，则四边形ADBC的周长是________ cm．17.在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为________ ．三、解答题18.如图，已知在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，CE的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点F，求∠A的度数．19.如图，△ABC中，∠C=60°，AB的垂直平分线交BC于点D，DE=6，BD=6 ，AE⊥BC于E，求EC的长．四、综合题20.如图，点M在∠AOB的边OB上．（1）过点M画线段MC⊥AO，垂足是C；（2）过点C作∠ACF=∠O．（尺规作图，保留作图痕迹）答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：如图，CA、CB的中点分别为D、E，CA、CB的垂直平分线OD、OE 相交于点O，且点O落在AB边上，连接CO，∵OD是AC的垂直平分线，∴OC=OA，同理OC=OB，∴OA=OB=OC，∴A、B、C都落在以O为圆心，以AB为直径的圆周上，∴C是直角．故选C．【分析】根据题意，画出图形，用线段垂直平分线的性质解答．2.【答案】C【考点】作图—基本作图【解析】【解答】解：根据题意可得AD平分∠CAB，∵AD平分∠CAB，∴∠BAD=∠CAD，故A说法正确；∵AD平分∠CAB，∴点D到AB边的距离就等于线段CD的长，故B说法正确；∵点D到AB边的距离就等于线段CD的长，AB＞AC，∴S△ABD＞S△ACD，故C说法错误；在△AMO和△ANO中，，∴△AMO≌△ANO（SAS），∴MO=NO，∠MOA=∠NOA，∵∠MOA+∠NOA=180°，∴∠MOA=90°，∴AO⊥MN，∴AD垂直平分MN，故D说法正确．故选：C．【分析】根据作图方法可得AD平分∠CAB，由角平分线的定义和性质可得A、B说法正确，根据三角形的面积公式可得C错误，根据题目所给条件可证明△AMO≌△ANO，进而可得MO=NO，∠MOA=∠NOA，从而证得D选项说法正确．3.【答案】C【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【分析】先根据正六边形的特点，判断出此六边形中相互平行的边及对角线，再根据线段垂直平分线的性质确定不同的点即可．【解答】如图，分别以一顶点为定点，连接其与另一顶点的连线，在此图形中根据平行线分线段成比例定理可知，CD∥BE∥AF，ED∥FC∥AB，EF∥AD∥BC，EC∥FB，AE∥BD，AC∥FD，根据垂直平分线的性质及正六边形的性质可知，相互平行的一组线段的垂直平分线相等，在这五组平行线段中，AE、BD与AB垂直，其中垂线必与AB平行，故无交点．故直线AB上会发出警报的点P有：CD、ED、EF、EC、AC的垂直平分线与直线AB的交点，共五个．故答案为C．4.【答案】D【考点】作图—基本作图【解析】【解答】解：先以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点Q，P；再以点E为圆心，AQ的长为半径画弧，交AC于点G，再以点G为圆心，PQ的长为半径画弧．故答案为：D．【分析】根据作一个角等于已知角的作法即可得出结论．5.【答案】A【考点】作图—基本作图【解析】【解答】解：根据分析可知，选项B、C、D都能够得到PQ⊥l于点Q；选项A不能够得到PQ⊥l于点Q．故选：A．【分析】A、根据作法无法判定PQ⊥l；B、以P为圆心大于P到直线l的距离为半径画弧，交直线l，于两点，再以两点为圆心，大于它们的长为半径画弧，得出其交点，进而作出判断；C、根据直径所对的圆周角等于90°作出判断；D、根据全等三角形的判定和性质即可作出判断．6.【答案】D【考点】作图—基本作图【解析】【解答】解：角平分线的作法是：在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE；分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C；作射线OC．故其顺序为②③①．故选：D．【分析】根据角平分线的作法进行解答．　7.【答案】B【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AC，∴DC=DA=4，∴BD=BC﹣DC=2，故选：B．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DC=DA=4，计算即可．8.【答案】B【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：∵DF是AB的垂直平分线，∴AD=BD，同理AE=EC，∴△ADE的周长是AD+AE+ED=BD+CE+DE=BC=8cm，故选B．【分析】根据线段垂直平方根性质得出BD=AD，AE=CE，求出△ADE的周长=BC，代入即可求出答案．二、填空题9.【答案】8【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：连接OA，∵∠BAC=82°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣82°=98°，∵AB、AC的垂直平分线交于点O，∴OB=OA，OC=OA，∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∴∠OBC+∠OCB=100°﹣（OBA+∠OCA）=16°，∴∠OBC=8°，故答案为：8．【分析】连接OA，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，根据三角形内角和定理计算即可．10.【答案】到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线【考点】作图—基本作图【解析】【解答】解：他的作法的理由有到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．故答案为到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．【分析】把过一点作已知直线的垂线转化为作已知线段的垂直平分线．11.【答案】4【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：因为AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，所以AE=BE，因为AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，所以AG=GC，△AEG的周长为AE+EG+AG=BE+EG+CG=BC=4cm．故填4．【分析】要求周长，首先要求线段的长，利用垂直平分线的性质计算．12.【答案】6【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，∴PB=PA=6．故答案为：6．【分析】直接根据线段垂直平分线的性质进行解答即可．13.【答案】13【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB，则△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，故答案为：13．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算即可．14.【答案】以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N；别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；画射线OC，射线OC即为所求【考点】作图—基本作图【解析】【解答】解：①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N．②分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．③画射线OC，射线OC即为所求．15.【答案】8或16【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，∴AD=BD，AE=CE，∴AD+AE=BD+CE，∵BC=12cm，DE=4cm，∴如图1，AD+AE=BD+CE=BC﹣DE=12﹣4=8cm，如图2，AD+AE=BD+CE=BC+DE=12+4=16cm，综上所述，AD+AE=8cm或16cm．故答案为：8或16．【分析】作出图形，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，AE=CE，然后分两种情况讨论求解．16.【答案】18【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：∵CD垂直平分AB，若AC=4cm，AD=5cm，∴AC=BC=4cm，AD=BD=5cm，∴四边形ADBC的周长为AD+AC+BD+BC=18cm．故填空答案：18．【分析】由于CD垂直平分AB，所以AC=BC，AD=BD，而AC=4cm，AD=5cm，由此即可求出四边形ADBC的周长．17.【答案】105°【考点】作图—基本作图【解析】【解答】解：由题中作图方法知道MN为线段BC的垂直平分线，∴CD=BD，∵∠B=25°，∴∠DCB=∠B=25°，∴∠ADC=50°，∵CD=AC，∴∠A=∠ADC=50°，∴∠ACD=80°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°，故答案为：105°．【分析】首先根据题目中的作图方法确定MN是线段BC的垂直平分线，然后利用垂直平分线的性质解题即可．三、解答题18.【答案】解：∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=①，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴∠A=∠ABE，∵CE的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点可知△BCE是等腰三角形，∴BF是∠EBC的平分线，∴（∠ABC﹣∠A）+∠C=90°，即（∠C﹣∠A）+∠C=90°②，①②联立得，∠A=36°．故∠A=36°．【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C，再由垂直平分线的性质得出∠A=∠ABE，根据CE的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点可知△BCE是等腰三角形，故BF是∠EBC的平分线，故（∠ABC﹣∠A）+∠C=90°，把所得等式联立即可求出∠A的度数．19.【答案】解：连接AD，∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴BD=AD，∵DE=6，BD=6 ，∴AD=6 ，∴∠ADE=45°，∴∠B=22.5°，∵∠C=60°，∴∠BAC=97.5°，∵∠ADE=∠B+∠DAB=45°，AE⊥BC，∴DE=AE=6，∵∠C=60°，∴∠CAE=90°﹣60°=30°，∴AC=2CE，在Rt△ACE中，AC2=AE2+CE2，即4CE2=62+CE2，∴CE2=12，解得EC=2 ．【考点】线段垂直平分线的性质【解析】【分析】首先作出辅助线连接AD，再利用线段垂直平分线的性质计算．四、综合题20.【答案】（1）解：如图，MC为所作（2）解：如图，∠ACF为所作【考点】作图—基本作图【解析】【分析】（1）利用基本作图（过一点作已知直线的垂线）作CM⊥OA于C；（2）利用基本作图（作一个角等于已知角）作∠ACF=∠O．。

专题垂直平分线的性质一．解答题（共12小题）1．如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数．2．如图，在△ABC中，∠B＝30°，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于D、E两点，连接AE，若AE平分∠BAC，求∠C的度数．3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝10°，求∠C的度数．4．如图所示，在△ABC中，MP和NQ分别垂直平分AB和AC，MP分别交AB、BC于M、P两点，NQ分别交AC、BC于N、Q两点，连接AP、AQ．（1）若△APQ的周长为18，求BC的长；（2）若∠BAC＝110°，求∠P AQ的度数．5．如图，△ABC中，边AB、AC的垂直平分线ED、GF分别交AB、AC于点E、G，交BC于点D、F，连接AD，AF，若∠DAF＝40°，求∠BAC的度数．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线DE交AC于D．CA＝16cm，BC＝8cm，求DC的长度；7．如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边于点D，连接BD．（1）如图CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长．（2）求∠ADM＝60°，∠ABD＝20°，求∠A的度数．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE为AB的垂直平分线，DE交AC于点D，连接BD．若∠ABD＝2∠CBD，求∠A的度数．9．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；（2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC长．10．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC＝10，则△ADE周长是多少？为什么？（2）若∠BAC＝128°，则∠DAE的度数是多少？为什么？11．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC、BC 于点M、N，连接AE，AN．（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度数；（2）如图2，若∠BAC＝70°，求∠EAN的度数；专题垂直平分线的性质参考答案与试题解析一．解答题（共12小题）1．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB ＝＝70°，∵MN的垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠A＝∠ABD＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．故答案为：30°．2．【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∠B＝30°，∴∠BAE＝∠B＝30°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAE＝30°，即∠BAC＝60°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°．3．【解答】解：∵∠B＝90°，∠BAE＝10°，∴∠BEA＝80°．∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠C＝∠EAC．∵∠BEA＝∠C+∠EAC，∴∠C＝40°．4．（【解答】解：（1）∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴P A＝PB，QA＝QC，∵△APQ的周长为18，∴AP+PQ+AQ＝BP+PQ+QC＝18，∴BC＝18；（2）∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，∵P A＝PB，QA＝QC，∴∠P AB＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠P AB+∠QAC＝∠B+∠C＝70°，∴∠P AQ＝40°．5．【解答】解：在△ADF中，∵∠DAF＝40°，∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣40°＝140°，∵边AB、AC的垂直平分线ED、GF分别交AB、AC于点E、G，∴AD＝BD，AF＝CF，∴∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，∴∠ADF＝∠BAD+∠B＝2∠B，∠AFD＝∠CAF+∠C＝2∠C，∴2∠B+2∠C＝∠ADF+∠AFD＝140°，∴∠B+∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝110°．6．【解答】解：（1）∵DE垂直平分线段AB，∴DA＝DB，设CD＝x，则AD＝BD＝（16﹣x）cm，在Rt△BDC中，∵BD2＝CD2+BC2，∴（16﹣x）2＝x2+82，∴x＝6，∴CD＝6cm．7．【解答】解：（1）∵MN垂直平分BC，∴DC＝BD，CE＝EB，又∵EC＝4，∴BE＝4，又∵△BDC的周长＝18，∴BD+DC＝10，∴BD＝5；（2）∵∠ADM＝60°，∴∠CDN＝60°，又∵MN垂直平分BC，∴∠DNC＝90°，∴∠C＝30°，又∵∠C＝∠DBC＝30°，∠ABD＝20°，∴∠ABC＝50°，∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝100°．8．【解答】解：∵DE为AB的垂直平分线，∴∠A＝∠ABD，又∵∠ABD＝2∠CBD，∴∠A＝∠ABD＝2∠CBD，设∠A＝α，则∠ABD＝α，∠CBD ＝α，又∵∠C＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，即α+α+α＝90°，解得α＝36°，∴∠A＝36°．9．【解答】解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，∴AB＝AE＝EC，∴∠C＝∠CAE，∵∠BAE＝40°，∴∠AED＝70°，∴∠C ＝∠AED＝35°；（2）∵△ABC周长13cm，AC＝6cm，∴AB+BE+EC＝7cm，即2DE+2EC＝7cm，∴DE+EC＝DC＝3.5cm．10．【解答】解：（1）C△ADE＝10．（1分）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∴AD＝BD，AE＝CE．（3分）C△ADE＝AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝10．（4分）（2）∠DAE＝76°．（5分）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∴AD＝BD，AE＝CE．∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE．∵∠BAC＝128°，∴∠B+∠C＝52°．（7分）∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝76°．（8分）11．【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B，同理可得：∠CAN＝∠C，∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN，＝∠BAC﹣（∠B+∠C），在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）＝100°﹣80°＝20°；（2）∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B，同理可得：∠CAN＝∠C，∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC，＝（∠B+∠C）﹣∠BAC，在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝110°，∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC＝110°﹣70°＝40°；。

垂直平分线专项练习30题（有答案）1．如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，DE⊥AB于点D，交BC于点E，AC=AD=BD，请你猜想∠C的度数并证明．2．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC 于点M，求证：BN=CM．3．如图，在△ABC中，D是BC的垂直平分线DH上一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC交AC的延长线于E，且BF=CE．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=80°，求∠DCB的度数．4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=52°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．求∠DBC的度数．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC 交AF的延长线于E．求证：BC垂直且平分DE．6．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F．求证：∠BAF=∠ACF．7．如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P．（1）求证：PA=PB=PC；（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，AC=5cm，求BD的长．9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF，求证：∠CAF=∠B．10．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）∠EAD=∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC=∠B．11．如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF 的理由．12．如图所示，在△ABC中，AB=AC=16cm，D为AB的中点，DE⊥AB交AC于E，△BCE的周长为26cm，求BC的长．13．如图，在△ABC中，EN，DM分别是AB，AC边的垂直平分线，BC=8cm．求△AED的周长．14．如图，在△ABC中，0E，OF分别是AB，AC的中垂线，∠ABO=20°，∠ABC=45°，求∠BAC和∠ACB的度数．15．如图所示，△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点E，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G，则BF=CG吗？说明理由．16．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？17．如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q．（1）求∠PAQ的度数；（2）如图2，△ABC中，AB＞AC，且90°＜∠BAC＜180°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q．①若∠BAC=130°，则∠PAQ=_________°，若∠BAC=α，则∠PAQ用含有α的代数式表示为_________；②当∠BAC=_________°时，能使得PA⊥AQ；③若BC=10cm，则△PAQ的周长为_________cm．18．如图，△ABC中，AB=AC=14cm，D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，△EBC的周长是24cm，求BC 的长度．19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=32，AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点E、D．（1）若△DBC的周长为56，求BC的长；（2）若BC=21，求△DBC的周长．20．在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE 的周长为6cm．（1）求BC的长；（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．21．如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：AD垂直平分EF．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．23．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于P、Q．（1）若BC=10，求△APQ周长是多少？（2）若∠BAC=110°，求∠PAQ的度数是多少？24．已知，如图，AD是BC的垂直平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：（1）∠ABD=∠ACD；（2）DE=DF．25．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF．求证：AD垂直平分EF．26．如图，△ABC中，E是BC边上的中点，DE⊥BC于E，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，BM=CN 试证明：点D在∠BAC的平分线上．27．如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．28．如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠BAC的角平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE=CF．29．已知，如图，DE为△ABC的边AB的垂直平分线，CD为△ABC的外角平分线，与DE交于D，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，求证：AN=BM．30．如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=4，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，过点D作DE⊥AB 于点E，DF⊥AC（或AC的延长线）于点D．（1）求证：BE=CF；（2）求AE的长．参考答案：1．解：∠C=90°．证明：如图，连接AE，在Rt△AED和Rt△BED中，，∴△AED≌△BED（HL），∴∠DAE=∠B，又∵∠BAC=2∠B，∴∠DAE=∠CAE，在△AED和△BED中，，∴△ACE≌△ADE，∴∠C=∠ADE=90°．2．证明：连接PB，PC，∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，∵P在BC的垂直平分线上，∴PC=PB，在Rt△PMC和Rt△PNB中，∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），∴BN=CM．3．（1）证明：如图，连接BD，∵DH垂直平分BC，∴BD=CD，在Rt△BDF和Rt△CDE中，，∵DF⊥AB于F，DE⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴∠CDE=∠BDF，∴∠BDC=∠EDF，∵∠BAC=80°，∴∠EDF=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∴∠BDC=100°，∵BD=CD，∴∠DCB=（180°﹣100°）=50°4．解：∵AB=AC，∠A=52°，∴∠ABC=∠ACB==64°，∵AB的垂直平分线MN，∴AD=BD，∠A=∠ABD=52°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=64°﹣52°=12°5．证明：在△ADC中，∠DAH+∠ADH=90°，∠ACH+∠ADH=90°，∴∠DAH=∠DCA，∵∠BAC=90°，BE∥AC，∴∠CAD=∠ABE=90°．又∵AB=CA，∴在△ABE与△CAD中，∴△ABE≌△CAD（ASA），∴AD=BE，又∵AD=BD，∴BD=BE，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，故∠ABC=45°．∵BE∥AC，∴∠EBD=90°，∠EBF=90°﹣45°=45°，∴△DBP≌△EBP（SAS），∴DP=EP，即可得出BC垂直且平分DE6．证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2，∵FE是AD的垂直平分线，∴FA=FD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），∴∠FAD=∠FDA（等边对等角），∵∠BAF=∠FAD+∠1，∠ACF=∠FDA+∠2，∴∠BAF=∠ACF7．证明：（1）∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，∴PA=PB，PB=PC．∴PA=PB=PC．还可得出结论：①三角形三边的垂直平分线相交于一点．②这个点与三顶点距离相等8．解：因为CE垂直平分AD，所以AC=CD=5cm．所以∠ACE=∠ECD．因为CD平分∠ECB，所以∠ECD=∠DCB．因为∠ACB=90°，所以∠ACE=∠ECD=∠DCB=30°．所以∠A=90°﹣∠ACE=60°．所以∠B=90°﹣∠A=30°．所以∠DCB=∠B．所以BD=CD=5cm9．证明：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∠ADF=∠DAF，∵∠ADF=∠B+∠BAD，∠DAF=∠CAF+∠CAD，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠CAF=∠B10．解：（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴AE=DE，∴∠EAD=∠EDA；（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵AD是∠BAC平分线，∴∠FAD=∠CAD，∴∠FDA=∠CAD，∴DF∥AC；（3）∵∠EAC=∠EAD﹣∠CAD，∠B=∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD=∠CAD，∠EAD=∠EDA，∴∠EAC=∠B11．解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF12．解：∵点D中AB的中点，DE⊥AB，∴DE是AB的中垂线，∴AE=BE，∴△BCE的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=26，∴BC=26﹣AC=26﹣16=10cm13．解：∵EN，DM分别是AB，AC边的垂直平分线，∴BE=AE，CD=AD，14．解：连接AO并延长，交BC于点D，∵0E，OF分别是AB，AC的中垂线，∴OB=OA，OC=OA，∴OC=OB，∠ABO=∠BAO=20°，∠CBO=∠BCO，∠CAO=∠ACO，∵∠ABC=45°，∴∠CBO=∠BCO=25°，∴∠BOC=180°﹣∠CBO﹣∠BCO=130°，∵∠BOD=∠ABO+∠BAO，∴∠BOD=40°，∠COD=90°．∵∠COD=∠CAO+∠ACO，∴∠CAO=45°，∴∠BAC=∠BAO+∠CAO=65°，∠ACB=∠BCO+∠ACO=70°15．解：BF=CG；理由如下：因为点E在BC的垂直平分线上，所以BE=CE．因为点E在∠BAC的角平分线上，且EF⊥AB，EG⊥AC，所以EF=EG，在Rt△EFB和Rt△EGC中，因为BE=CE，EF=EG，所以Rt△EFB≌Rt△EGC（HL）．所以BF=CG16．解：∵BC边的垂直平分线DE，∴BE=CE=5，∵BE+CE+BC=18，∴BC=18﹣5﹣5=8，答：BC的长是817．解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=130°﹣50°=80°；（2）①∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=130°﹣50°=80°；∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=α，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣α，∴∠BAP+∠CAQ=180°﹣α，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=α﹣（180°﹣α）=2α﹣180°；②当∠PAQ=90°，即2α﹣180°=90°时，PA⊥AQ，解得：α=135°，∴当∠BAC=135°时，能使得PA⊥AQ；③∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∵BC=10cm，即BP+PQ+CQ=AP+PQ+AQ=10cm，∴△PAQ的周长为10cm．故答案为：①80，2α﹣180°；②135；③1018．解：在△ABE中，∵D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，∴AE=BE；在△ABC中，∵AB=AC=14cm，AC=AE+EC，又∵CE+BE+BC=24cm，∴BC=10cm19．解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴AD+CD=BD+CD=AC，∵△DBC的周长为56，AC=32，∴BC=56﹣32=24；（2）∵AD=BD，AC=32，∴AD+CD=BD+CD=AC=32，∵BC=21，∴△DBC的周长=BD+CD+BC=32+21=53．故答案为：24；5320．解：（1）∵DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线，∴AD=BD，AE=CE，∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，∵△ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE=6cm，∴BC=6cm；（2）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，∴OA=OC=OB，∵△OBC的周长为16cm，即OC+OB+BC=16，∴OC+OB=16﹣6=10，∴OC=5，∴OA=OC=OB=5．21．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，∴∠EDA=180°﹣∠AED﹣∠EAD，∠FDA=180°﹣∠AFD﹣∠FAD，∴∠EDA=∠FDA，∵DE=DF（已证），∴DG垂直平分EF（三线合一），即AD垂直平分EF．22．证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠FAC=∠B23．解：（1）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，∴AP=BP，AQ=CQ，∴△APQ周长=AP+PQ+AQ=BP+PQ+QC=BC，∵BC=10，∴△APQ周长=10；（2）∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，∵AP=BP，AQ=CQ（已证），∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∴∠PAQ=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ=∠BAC﹣∠B﹣∠C=110°﹣70°=40°24．证明：（1）∵AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC，BD=CD，∴∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB，∴∠ABD=∠ACD；（2）∵AB=AC，AD是BC的垂直平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF25．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（HL），∴AE=AF，又∵AD平分∠BAC，∴AD垂直平分EF26．证明：如图，连接BD、CD，∵DE⊥BC，E是BC边上的中点，∴BD=CD，在△BDM和△CDN中，，∴△BDM≌△CDN（HL），∴DM=DN，又∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上．27．解：∵DE为AB的中垂线，∴AE=BE，∵FG是AC的中垂线，∴AG=GC，△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，所以△AEG的周长为BC的长度即7．故答案为：728．解：连接DB．∵点D在BC的垂直平分线上，∴DB=DC；∵D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF；∵∠DFC=∠DEB=90°，在Rt△DCF和Rt△DBE中，，∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），∴CF=BE（全等三角形的对应边相等）．29．证明：∵DE为△ABC的边AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵CD为△ABC的外角平分线，与DE交于D，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，∴DN=DM，在Rt△ADN和Rt△BDM中，，∴Rt△ADN≌Rt△BDM（HL），∴AN=BM．30．（1）证明：连结BD，CD．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠BED=∠AFD=90°，DE=DF．∵DE垂直平分BC，∴DB=DC．在Rt△DEB和Rt△DFC中，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴BE=CF；（2）解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．∴AE=AF．∵AB=AE+BE，∴AB=AF+EB，∴AB=AC+CF+EB．∵AB=8，AC=4，∴8=4+CF+EB，∴CF+EB=4，∴2EB=4，∴EB=2．∴AE=8﹣2=6．答：AE的长为6．。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！2023--2024学年度人教版数学八年级上册期末复习核心考点三种题型精炼专题08 线段的垂直平分线性质问题一、选择题1. （2023长春）如图，用直尺和圆规作MAN Ð的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）A. AD AE= B. AD DF = C. DF EF = D. AF D E^【答案】B 【解析】根据作图可得,AD AE DF EF ==，进而逐项分析判断即可求解．根据作图可得,AD AE DF EF ==，故A ，C 正确；∴,A F 在DE 的垂直平分线上，∴AF D E ^，故D 选项正确，而DF EF =不一定成立，故B 选项错误，故选：B ．【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键．2.如图所示，底边BC 为2，顶角A 为120°的等腰△ABC 中，DE 垂直平分AB 于D ，则△ACE 的周长为（ ）A ．2+2B ．2+C ．4D ．3【答案】A 【解析】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力．过A作AF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，得到AB=AC=2，根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE，即可得到结论．过A作AF⊥BC于F，∵AB=AC，∠A=120°，∴∠B=∠C=30°，∴AB=AC=2，∵DE垂直平分AB，∴BE=AE，∴AE+CE=BC=2，∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+23.如图，BD是△ABC 的角平分钱，AE⊥BD ，垂足为F. 若∠ABC=35°，∠C=50°，则∠CDE的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°【答案】C【解析】本题考查角平分线的性质，因为BD平分∠ABC，AE⊥BD，所以△ABF≌△EBF,所以BD是线段AE的垂直平分线，所以AD=ED，所以∠BAD=∠BED=180°-35°-50°=95°,所以∠CDE=180°-∠C=95°-50°=45°,故选C.1. （2023湖北荆州）如图，60AOB Ð=°，点C 在OB 上，OC =P 为AOB Ð内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点P 到OA 的距离为___________．【答案】1【解析】首先利用垂直平分线的性质得到12OQ OC ==，利用角平分线，求出BOP Ð，再在POQ △中用勾股定理求出1PQ =，最后利用角平分线的性质求解即可．【详解】如图所示，由尺规作图痕迹可得，PQ 是OC 的垂直平分线，∴12OQ OC ==，∴1302BOP BOA Ð=Ð=°，设PQ x =，则2PO x =，∵222PQ OQ OP +=，∴()2222x x +=，∴1x =，由尺规作图痕迹可得，PO 是AOB Ð的平分线，∴点P 到OA 的距离等于点P 到OB 的距离，即PQ 的长度，∴点P 到OA 的距离为1．故答案为：1 ．【点睛】本题考查角平分线和垂直平分线的性质，勾股定理，数形结合思想是关键．2. （2023四川广元）如图，a b ∥，直线l 与直线a ，b 分别交于B ，A 两点，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点E ，F ，作直线EF ，分别交直线a ，b 于点C ，D ，连接AC ，若34CDA Ð=°，则CAB Ð的度数为 _____．【答案】56°##56度【解析】先判断EF 为线段AB 的垂直平分线，即可得CAB CBA Ð=Ð，ACD BCD Ð=Ð，再由a b ∥，可得34CDA BCD Ð=Ð=°，即有34ACD BCD Ð=Ð=°，利用三角形内角和定理可求CAB Ð的度数．【详解】由作图可知EF 为线段AB 的垂直平分线，∴AC BC =，∴CAB CBA Ð=Ð，ACD BCD Ð=Ð，∵a b ∥，∴34CDA BCD Ð=Ð=°，∴34ACD BCD Ð=Ð=°，∵180ACD BCD CAB CBA Ð+Ð+Ð+Ð=°，∴56CAB Ð=°，故答案为：56°．【点睛】本题考查了垂直平分线的作图、垂直平分线的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，判断EF 为线段AB 的垂直平分线是解答本题的关键．3.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）∠ECD的度数为 ；（2）若CE=5，求BC长为 ．【答案】（1）∠ECD的度数是36°；（2）BC长是5．【解析】（1）∵DE垂直平分AC∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°（2）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，∴∠BEC=∠B，∴BC=EC=5．4.如图，在Rt V ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为________．【答案】40°【解析】根据直角三角形的性质求得∠AEB=80°；根据线段垂直平分线的性质得AE=CE，则∠C=∠EAC，再根据三角形的外角的性质即可求解．∵∠B=90°，∠BAE=10°，∴∠BEA=80°．∵ED是AC的垂直平分线，∴AE=EC，EB ∴∠C=∠EAC ．∵∠BEA=∠C+∠EAC ，∴∠C=40°．故答案为：40°．【点睛】此题考查了线段垂直平分线性质，涉及到三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质的知识，难度适中．三、解答题1.如图，在直角△ABC 中，∠C=90°，∠CAB 的平分线AD 交BC 于D ，若DE 垂直平分AB ，求∠B 的度数．【答案】30°．【解析】∵DE 垂直平分AB ，∴∠DAE=∠B ，∵在直角△ABC 中，∠C=90°，∠CAB 的平分线AD 交BC 于D ，∴∠DAE=（90°﹣∠B ）/2=∠B ，∴3∠B=90°，∴∠B=30°．2.如图，在ABC D 中，CD 是AB 边上的高，BE 是AC 边上的中线，且BD CE =。

初二线段垂直平分线练习题带答案题目一：在平面直角坐标系中，已知线段AB的坐标分别为A(-2,1)和B(4,-3)，求线段AB的垂直平分线方程。

解析：要求线段AB的垂直平分线方程，我们需要找到线段AB的中点以及线段AB的斜率。

线段AB的中点坐标为：x坐标：(x_A + x_B)/2 = (-2 + 4)/2 = 2/2 = 1y坐标：(y_A + y_B)/2 = (1 + (-3))/2 = -2/2 = -1所以线段AB的中点为M(1, -1)。

线段AB的斜率为：斜率 k = (y_B - y_A)/(x_B - x_A)= (-3 - 1)/(4 - (-2))= -4/6= -2/3由于垂直平分线与线段的斜率乘积为-1，所以垂直平分线的斜率为斜率 k 的相反数的倒数：k_2 = -1/(-2/3) = 3/2。

通过中点和斜率，我们可以得到垂直平分线的方程：y - y_M = k_2(x - x_M)y - (-1) = (3/2)(x - 1)y + 1 = (3/2)(x - 1)2(y + 1) = 3(x - 1)2y + 2 = 3x - 32y = 3x - 5所以线段AB的垂直平分线方程为2y = 3x - 5。

题目二：在平面直角坐标系中，直线L过点A(-3,3)，且与直线x = -1垂直，求直线L的方程。

解析：首先，直线L与直线x = -1垂直，说明直线L的斜率为0。

由于直线L过点A(-3,3)，我们可以确定直线L的y截距为3。

所以直线L的方程为y = 3。

题目三：在平面直角坐标系中，已知线段CD的两个端点分别为C(-4,2)和D(6,2)，求线段CD的垂直平分线方程。

解析：要求线段CD的垂直平分线方程，我们需要找到线段CD的中点以及线段CD的斜率。

线段CD的中点坐标为：x坐标：(x_C + x_D)/2 = (-4 + 6)/2 = 2/2 = 1y坐标：(y_C + y_D)/2 = (2 + 2)/2 = 4/2 = 2所以线段CD的中点为N(1, 2)。

第三讲 线段的垂直平分线【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．2.线段垂直平分线的做法求作线段AB 的垂直平分线.作法：（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点；（2）作直线CD ，CD 即为所求直线．要点诠释：(1)作弧时的半径必须大于AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了．(2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.要点诠释:1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.3.外心到三顶点的距离相等.要点五、尺规作图作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx 即为所求”.2121【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理例1、如图，△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长是（）A．9 B．8 C．7 D．6【思路点拨】先根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，即AD+CD=BD+CD=AC，再根据△BCD的周长=BC+BD+CD即可进行解答．【答案】A；【解析】因为BD=AD,所以△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9.【总结升华】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理，也就是已知直线是线段垂直平分线，那么垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，从而把三角形的边进行转移，进而求得三角形的周长．【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点【答案】D；提示:根据等边对等角、三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质定理即可推得选项A、B、C正确；所以选D,另外，注意排除法在解选择题中的应用．【变式2】如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．【答案】解：∵DE为AB的中垂线，∴AE=BE，∵FG是AC的中垂线，∴AG=GC，△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，所以△AEG的周长为BC的长度即7．类型二、线段的垂直平分线的逆定理例2、如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：AD是线段BC的垂直平分线．A【答案与解析】证明：∵ AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB (等边对等角)又∵∠ABD=∠ACD (已知)∴∠ABD-∠ABC =∠ACD-∠ACB (等式性质)即∠DBC=∠DCB∴DB=DC （等角对等边）∵AB=AC（已知）DB=DC （已证）∴点A 和点D 都在线段BC 的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）∴AD 是线段BC 的垂直平分线。

线段的垂直平分线一、选择题（共5小题）1．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）2．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（）3．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，则下列结论不正确的是（）4．（2011•裕华区一模）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线ED交AC于点E，交AB与点D，CE=4，△BCD 的周长等于12，则△ABC的周长为（）5．（2002•哈尔滨）如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）6．如图，△ABC中，AB=8cm，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，BE=5cm，则△ABE的周长为_________ cm．7．如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=2cm，△ABD的周长是10cm，则△ABC的周长是_________ cm．8．如果在△ABC中，AB=5，BC=4，边AC的垂直平分线交边AB于点D，那么△BCD的周长等于_________．9．在△ABC中，已知AC=13，BC=10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长为_________．10．如图，在△ABC中，BC=8，△ABD的周长为12，MN垂直平分AC，交BC于D，则AB=_________．三、解答题（共17小题）（选答题，不自动判卷）11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3．（1）若AC=BC，求BC的长；（2）若△ABD的周长为13，求△ABC的周长．12．小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意王云的判断吗？为什么？（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．13．已知：如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B的度数．14．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB ＞AC，求证：BF=AC+AF．15．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？16．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，求证：E点在线段AC的垂直平分线上．17．（2011•江津区）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．18．（2012•潮阳区模拟）如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD 的延长线于F，求证：DE=DF．19．已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF⊥CD且F是CD的中点，求证：∠B=∠E．20．如图，已知AB=AD，CB=CD，连接AC，BD交于点O．求证：（1）∠ABC=∠ADC；（2）AC⊥BD．21．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．23．如图，在△ABC中，DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，若BC=10，则△ADF的周长是多少？24．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，若有一点C在直线l上，则由垂直平分线的性质可知：CA=CB；现有一点P在直线l的右侧，则PA、PB有何大小关系？请写出你的结论，并说明理由．25．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．求证：（1）△ABC≌△DCB；（2）点M在BC的垂直平分线上．26．如图己知在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．27．锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3．已知：H1，H2，H3，求作△ABC．线段的垂直平分线参考答案与试题解析一、选择题（共5小题）1．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）2．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（）3．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，则下列结论不正确的是（）4．（2011•裕华区一模）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线ED交AC于点E，交AB与点D，CE=4，△BCD 的周长等于12，则△ABC的周长为（）5．（2002•哈尔滨）如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）6．如图，△ABC中，AB=8cm，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，BE=5cm，则△ABE的周长为18 cm．7．如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=2cm，△ABD的周长是10cm，则△ABC的周长是14cm．8．如果在△ABC中，AB=5，BC=4，边AC的垂直平分线交边AB于点D，那么△BCD的周长等于9．9．在△ABC中，已知AC=13，BC=10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长为23．10．如图，在△ABC中，BC=8，△ABD的周长为12，MN垂直平分AC，交BC于D，则AB=4．三、解答题（共17小题）（选答题，不自动判卷）11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3．（1）若AC=BC，求BC的长；（2）若△ABD的周长为13，求△ABC的周长．12．小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意王云的判断吗？为什么？（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．BD×13．已知：如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B的度数．14．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB ＞AC，求证：BF=AC+AF．推出BF=CN，根据HL证Rt△DFA≌Rt△DNA，推出AN=AF即可．15．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？16．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，求证：E点在线段AC的垂直平分线上．17．（2011•江津区）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．，，18．（2012•潮阳区模拟）如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD 的延长线于F，求证：DE=DF．19．已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF⊥CD且F是CD的中点，求证：∠B=∠E．20．如图，已知AB=AD，CB=CD，连接AC，BD交于点O．求证：（1）∠ABC=∠ADC；（2）AC⊥BD．21．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．23．如图，在△ABC中，DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，若BC=10，则△ADF的周长是多少？24．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，若有一点C在直线l上，则由垂直平分线的性质可知：CA=CB；现有一点P在直线l的右侧，则PA、PB有何大小关系？请写出你的结论，并说明理由．25．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．求证：（1）△ABC≌△DCB；（2）点M在BC的垂直平分线上．26．如图己知在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．ADAD=8cm27．锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3．已知：H1，H2，H3，求作△ABC．21。