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3 5 练习3.已知 , 均为锐角, cos , cos( ) 5 13
3 解： 是锐角,且 cos 5
2
求sin 的值
sin =sin[( + )- ] =sin( + )cos -cos( + )sin
12 3 5 4 56 ( ) 13 5 13 5 65
三角恒等变换 公式 复习
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(一)和角与差角公式 S sin( ) sin cos cos sin S sin( ) sin cos cos sin
C cos( ) cos cos sin sin
2
1+cos2x=2cos x
(二)二倍角公式变形
降幂公式
1 cos 2 x 1 1 cos x cos 2 x 2 2 2 1 cos 2 x 1 1 2 sin x cos 2 x 2 2 2
2
1 sin 2 (sin cos )
2
合成Asin(x+ )的常见形式： (1) 3 sin x cos x 2sin( x ) 6 (2)sin 2 x 3 cos 2 x 2sin(2 x )
∴当n=6时，Sn最大.
等比数列:
an 1.定义： q (n 2， Q q 0, 无0项) an1
n1
2.通项公式：an a1q
推广：an amq
n m
an 求公比q am n a1 an q a1 (1 q ) 3.前n项和：Sn , Sn ,q 1 1 q 1 q
2 2 2
周期是 , 最小值是- 2, 相应的x的集合是 {x | 2 x 2 , Z } {x | x , Z } 4 2 8 3 (2) 函数y 2sinz的递减区间是[2k + , 2k ] 2 2 3 3 7 2 2x- 2 得 x 2 4 2 8 8
sin 2 x cos 2 x 2 sin(2 x ) 4
sin 2x (cos x sin x)
2
y
y= 2 sin z
2
3 2
2
0
z
2
3 7 递减区间是[ , ]( Z ) 8 8
数列
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等差数列:
1.定义：an an1 d (n 2)
(2) y 2sin z的递增区间是[2 , 2 ] 2 2 2 2 x 2 2 2 6 2
例1： 已知y= 3 sin 2 x cos 2 x
{x | x
6
, Z }
y
2
0
y=2sinz
5.三数a, b, c等差，则b叫a与c的等差中项.
练习3
三数成等差数列，其和为12，积为48，求此三数.
解：设这三个为a-d,a,a+d,则 (a d ) a (a d ) 12 (a d ) 48 (a d )a 解得a=4,d=2或a=4,d=-2 ∴此三数是2，4，6 或6，4，2.
(3)sin x cos x 2 sin( x )
4
3
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2 11 例3.已知 , 均为锐角, cos , cos( ) 7 14
2 解： 是锐角,且 cos 7
2
求 cos 的值
cos =cos[( + )- ] =cos( + )cos +sin( + )sin
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例.求数列 1+ 2 , 2 + 2 , 3 + 2 , … , n + 2
2
3
n
的前n和 。 ｎ 2 3 Sn=(1+2)+(2+2 )+(3+2 )+…+(ｎ+ 2 ) 解：
=(1+2+3+ …+n)+(2+2 +2 +…+2 )
n(n+1) 2(2 n-1) = 2 + 2-1 n(n+1) n+1 = + 2 -2 2 2 3 n
求数列an 的通项公式.
解得a4=2,a6=8 或a4=8,a6=2
∴ q=2 或 q=1/2 ∴通项公式是an=a4qn-4=2×2n-4=2n-3 或an=a6qn-6=2×26-n=27-n.
答：通项公式是an=2n-3 或an=27-n.
性质：序和相等，项积也相等.
等差数列求和公式:
1 （ n a1 an） S n na1 n(n 1)d Sn 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 Sn ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 4 5 n 1 n 2 2 3
得 x 3 6
2 2
z
函数y的递增区间是[
, ]( Z ) 3 6
例2.已知y (sin x cos x)2 2cos2 x (1)求周期,最小值,以及相应x的集合. (2)求递减区间.
解:(1)y sin x 2sin 2 x cos x 2cos x 2cos x
nm
a1 (q 1) n 4.变式：Sn A(q 1) q 1
n
5.性质：序和相等项积也相等.
段和等比:
a1a9 a2a8 a3a7 a4a6 a5a5 a
Sn
S2n Sn
S3n S2n
2 5
Sn , S2n Sn , S3n S2n
6.三数a, b, c等比,b叫a、c的等比中项.
例1变式
31 2 31 2 Sn 2(n 31n) 2(n ) 2 ( ) 解： 2 1 2 31 2 2 =2(n-15 ) -2 ( ) 2 2
2
∴当n=15或=16时，Sn最小.
例2、已知Sn=-2n2+25n，当Sn最大时，求n的值 25 1 2 25 2 2 解：Sn 2(n n) 2(n 6 ) 2 ( ) 2 4 4
5 又由 , 为锐角得0< , 且 cos ( ) 13 5 2 12 2 sin( ) 1 (cos ) = 1 ( ) 13 13
3 2 4 sin 1 cos 1 ( ) 5 5
(1)求y的最大值,并写出相应x的集合.(2)求函数的递增区间. 3 1 解:(1)y 2( sin 2 x cos 2 x) 2(sin 2 x cos cos 2 x sin ) 2 6 6 2 2sin(2 x ) 函数的最大值是2. 6 相应的x的集合是{x | 2 x 2 , Z } 6 2
例:已知Sn=2n2-3n,求an
解：当n>1时，
an Sn Sn1 (n 1)
即an=4n-5
=2[n2-(n-1)2]-3[n-(n-1)] =2(2n-1)-3
当n=1时，a1=S1=-1,上式也适合. ∴通项公式是an=4n-5 练习：P44例3
例1、已知Sn=2n2-62n，当Sn最小时，求n的值
2.通项公式：an a1 (n 1)d
推广 an am (n m)d
an am d nm
an dn b 数列{an }等差（充要条件）.
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n ( a a ) 1 n 3.前n项和公式： Sn 2
或
1 S n na1 n(n 1)d 2
①Sn An Bn 数列{an }等差
2
②Sn An2 Bn C(C 0) 数列从第二项起等差. A BC , n1 n A(2n1) B, n2 (求通项)
an Sn Sn1 A(2n 1) B (求通项)
a {
a c 2b 6.三数等差设元法： a d , a, a d （公差是d）
11 又由 , 为锐角得0< , 且 cos ( ) 14 11 2 5 3 sin( ) 1 ( ) 14 14
2 2 3 5 sin 1 cos 1 ( ) 7 7
11 2 5 3 3 5 15 15 22 ( ) 14 7 14 7 98
nxn
= 1-x n+nxn+1 1-(1+n)x = 1-x
n+nxn+1 1-(1+n)x ∴ Sn= (1-x)2
1-xn
求和 Sn
1 1 1 1 2 3 3 4 4 5 (n 1)(n 2)
解: a n
1 1 1 (n 1)(n 2) nx+3x2+……+nxn-1 (x≠0,1)
2 + …… +nxn-1 ① S =1 + 2 x +3 x 解： n xSn = x + 2x2 +……+ (n-1)xn-1 + nxn ②
① -②(1-x)Sn =1
+ x + x2+ …… + xn-1 n项 - nx n
C cos( ) cos cos sin sin tan tan T tan( ) 1 tan tan tan tan T tan( ) 1 tan tan
