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小结拓展
• 等边三角形的判定: 等边三角形的判定: • 定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角 定理:有一个角是 形. • 定理:三个角都相等的三角形是等边三角形. 定理:三个角都相等的三角形是等边三角形. • 特殊的直角三角形的性质: 特殊的直角三角形的性质: • 定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于 定理:在直角三角形中, 那么它所对的直角边等于斜边的一半. 300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
300 300 300 300 300 300
能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由. 能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由. 由此你想到，在直角三角形中, 由此你想到，在直角三角形中, 300角所对的 直角边与斜边有怎样的大小关系？ 直角边与斜边有怎样的大小关系？ 结论:在直角三角形中, 结论:在直角三角形中, 300角所对的直角 边等于斜边的一半. 边等于斜边的一半. 能证明你的结论吗？ 能证明你的结论吗？
300
命题的证明
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300, 定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30 A 那么它所对的直角边等于斜边的一半 所对的直角边等于斜边的一半. 那么它所对的直角边等于斜边的一半. 已知:如图, 已知:如图,在△ABC中,∠ACB=900,∠A=300 ABC中 求证:BC= 求证:BC=
D
回顾反思
定理:在直角三角形中, 定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于 那么它所对的直角边等于斜边的一半 所对的直角边等于斜边的一半. 300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
在△ABC中, ABC中 ∵∠ACB=900,∠A=300. ∴BC=
1 在直角三角形中, 2AB.(在直角三角形中,
解:∵ ∠C=900,∠B=300, ∵ ∠
1 1 ∴ AC = AB = × 4 3 = 2 3 2 2
∠CAB=600
∵AD是角平分线 ∵AD是角平分线 ∴∠CAD=30 ∴∠CAD=300
C D B
那么AD=2x，在RtΔACD中，AD2=CD2+AC2 设CD=x,那么 那么 ， ΔACD中
3.已知：如图， 3.已知：如图，在△ABC中,高线BD和CE相交 已知 ABC中 高线BD和CE相交 BD BHC=120°,HD=1,HE=3,求BD和CE的长 的长。 于H，∠BHC=120°,HD=1,HE=3,求BD和CE的长。
A E 3
?
1
H 120° °
D
B
C
CH=2 CE=5 BH=6 BD=7
A
P
E Q
B
D
C
B
300
A
300
角所对的直角边等于斜边的一半). 所对的直角边等于斜边的一半).
C
推论： C 推论： B : AC: AB= 1 : 3 : 2
例题解析
已知:如图, 例 .已知:如图,等腰三角形的底角为 腰长为2a. 150,腰长为2a. A 2a 求:腰上的高.
B
150
D
) 300
2a
150
C
解:∵∠B=∠ACB=150(已知), 已知), ∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300
C 300 D
你能规范地写出证明过程吗？ 你能规范地写出证明过程吗？ 你的证题能力有所提高吗? 你的证题能力有所提高吗?
B
A
我 能 行
初露锋芒
A
2.在ΔABC中,∠C=900,∠B=300,AD是∠BAC 2.在 ABC中 ,AD是 的平分线, AD的长 的长. 的平分线,已知 AB = 4 3 ,求AD的长.
你能证明它们吗（三） 你能证明它们吗（
想一想
），一个等腰三角形满足什么条件时便 （1），一个等腰三角形满足什么条件时便 ）， 成了等边三角形？ 成了等边三角形？ ），你认为有一个角等于 （2），你认为有一个角等于 0的等腰三 ），你认为有一个角等于60 角形是等边三角形吗？ 角形是等边三角形吗？你能证明你的结论 把你的证明思路与同伴进行交流。 吗？把你的证明思路与同伴进行交流。
∴
(2 x) 2 = x 2 + (2 3 ) 2 解得：x=2 ∴AD=4 解得：
质.它们都与直角有关,所以当问题中出现直角条件时, 它们都与直角有关,所以当问题中出现直角条件时, 要善于联想到这些性质. 要善于联想到这些性质.
思路探究：本题综合运用了勾股定理，含300角的直角三角形性 思路探究：本题综合运用了勾股定理，
命题的证明
定理:有一个角是60 定理:有一个角是 0的等腰三角形是等边三角形.
已知:如图, 已知:如图,在△ABC中 AB=AC,∠B=600. ABC中 求证: ABC是等边三角形 是等边三角形. 求证:△ABC是等边三角形.
A
证明:∵ 已知), 600 证明 ∵AB=AC, ∠B=600(已知 已知 0.(等边对等角B ∴∠C=∠ 等边对等角) ∴∠ ∠B=60 等边对等角 ∴∠A=600(三角形内角和定理 三角形内角和定理) ∴∠ 三角形内角和定理 ∴∠A=∠ （等式性质） ∴∠ ∠B（等式性质）. ∴ AC=CB（等角对等边）. （等角对等边） ∴AB=BC=AC（等式性质）. （等式性质） 是等边三角形(等边三角形意义 ∴ △ABC是等边三角形 等边三角形意义 是等边三角形 等边三角形意义).
∵ ∠D=900
1 ∴CD= 2 AC=a
探索腰AB与底 的关系 探索腰 与底BC的关系？ 与底 的关系？
A
B
300
D
300
C
B = 3AB C
随堂练习
1.已知:如图, 1.已知:如图, 已知 ,CD⊥AB于 在△ABC中,∠ACB＝900,∠A=300,CD⊥AB于D. ABC中,∠ACB＝ 求证:AB=4BD 求证:AB=4BD
1 2AB.
300
B
C
D
分析：突破如何证明“线段的倍、 分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题 转 化 “线段相等”问题 线段相等” 线段相等 延长BC至D,使CD=BC,连接AD 延长BC至D,使CD=BC,连接AD BC 连接
证明: 延长BC D,使CD=BC,连接 BC至 连接AD 证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD A (已知 已知), ∵ ∠ACB=900, (已知), 平角意义) ∴∠ACD=900(平角意义) 300 ABC与 ADC中 在△ABC与△ADC中 BC=DC（作图） ∵BC=DC（作图） B C ACB=∠ACD（已证） ∠ACB=∠ACD（已证） AC=AC（公共边） AC=AC（公共边） ABC≌△ADC（SAS） ∴△ABC≌△ADC（SAS） ∴ AD=AB 已知), ∵∠ACB=900,∠A=300(已知), ∴∠B=60 直角三角形两锐角互余). ∴∠B=600(直角三角形两锐角互余). ∴△ABD是等边三角形 ABD是等边三角形 1 1 AB(等式性质 等式性质). ∴BC= BD= AB(等式性质). 2 2
C 300 A
B
D
300
A
B
300
C
作业布置
课本14页： 课本14页 14 知识技能1 知识技能1、2题
我自信我能行！ 我自信我能行！
课后小组讨论解决
已知：如图， ABC是等边三角形,D.E分别是 已知：如图，△ABC是等边三角形,D.E分别是 是等边三角形,D.E BC,AC上的点 上的点, AE=CD,BE AD相交于 ,BE和 相交于P,BQ⊥AD, BC,AC上的点,且AE=CD,BE和AD相交于P,BQ⊥AD, 垂足是Q, (1)求 BPD的度数 垂足是Q, (1)求∠BPD的度数 (2)求证:BP=2PQ (2)求证:BP=2PQ 求证
C
回顾反思
定理:有一个角是 的等腰三角形是等边三角形. 定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
A
在△ABC中, ABC中 已知). ∵AB=AC,∠B=600(已知). 600 B C ABC是等边三角形 ∴△ABC是等边三角形 有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形). (有一个角是 0的等腰三角形是等边三角形).
回顾反思
定理: 定理:三个角都相等的三角形是等边三角形 A
′
在△ABC中, ABC中 ∵∠A=∠B=∠C(已知), ∵∠A=∠B=∠C(已知), B ABC是等边三角形 是等边三角形( ∴△ABC是等边三角形(三个角都相 等的三角形是等边三角形). 等的三角形是等边三角形).
C
命题的猜想
操作:用两个含有30 角的三角尺， 1 操作:用两个含有300角的三角尺， 你能拼成一个怎样的三角形？ 你能拼成一个怎样的三角形？
等边三角形的根据之一 这又是一个判定等边三角形 这又是一个判定等边三角形的根据之一
命题的证明
定理: 定理:三个角都相等的三角形是等边三角形. 已知:如图, 已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C. ABC中 求证: ABC是等边三角形 是等边三角形. 求证:△ABC是等边三角形.
A
证明: (已知 已知), 证明:∵∠A=∠B (已知), BC=AC,(等角对等边 等角对等边). ∴ BC=AC,(等角对等边). B C ∵∠B=∠C(已知), B=∠C(已知 又∵∠B=∠C(已知), AB=AC,(等角对等边 等角对等边). ∴ AB=AC,(等角对等边). ∴AB=BC=AC(等式性质 等式性质). ∴AB=BC=AC(等式性质). ABC是等边三角形 等边三角形意义) 是等边三角形( ∴ △ABC是等边三角形(等边三角形意义)
