一次函数预习课

一次函数复习（1）学习目标：1、知道什么是一次函数、正比例函数，并能判断一次函数和正比例函数；2、会用待定系数法确定一次函数的解析式；。

基础知识梳理引入：：：路程=速度（变化）*时间，圆的周长公式1、正比例函数一般地，形如kx y = (k 是常数，)0(≠k )的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数。

2、正比例函数图象和性质一般地，正比例函数kx y =（k 为常数，)0(≠k ）的图象是一条经过原点和（1，k ）的一条直线，我们称它为直线kx y =。

（例如：y=-2x y=3x ）《画图时步骤：列表描点连线》性质：当k>0时，直线kx y =经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大，y也增大；当k<0时，直线kx y =经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小.3、正比例函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =)0(≠k 中的常数k ，其基本步骤是：（1）设出含有待定系数的函数解析式kx y =)0(≠k ；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k 的一元一次方程；（3）解方程，求出待定系数k ；（4）将求得的待定系数的值代回解析式.4、一次函数一般地，形如b kx y += (k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，b kx y +=即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.例1、一根弹簧长15㎝，它所挂的物体质量不能超过18kg ，并且每挂1kg 就伸长21㎝.写出挂上物体后的弹簧长度y （㎝）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数关系式例2、下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）y=-21x ； （2）y=-x2； （3）y=-3-5x ； （4）y=-5x 2； （5）y=6x-21 （6）y=x(x-4)-x 2. 练习（1）当m 为何值时，函数y=-（m-2）x32-m +（m-4）是一次函数？（2）当m 为何值时，函数y=-（m-2）x32-m +（m-4）是正比例函数？5、一次函数的图象（1）一次函数b kx y += )0(≠k (的图象是经过（0，b ）和（k b -，0）两点的一条直线，因此一次函数b kx y +=的图象也称为直线b kx y +=.（2）一次函数b kx y +=的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可。

预习提纲 14．3．3 一次函数与二元一次方程（组）执笔：翁建勇审核：唐燕燕邱爱姐梁素玉组长：郑风清预习目标：１、学会利用函数图象解二元一次方程组．２、通过学习了解变量问题利用函数方法的优越性．预习重点：１．归纳图象法解二元一次方程组的具体方法．２．灵活运用函数知识解决实际问题．预习过程1、细读课本P127第1、2、3自然段。

思考：为什么解二元一次方程组35821x yx y+=⎧⎨-=⎩可以看作求两个一次函数y=-35x+85与y=2x-1图象的交点坐标呢？。

那么，你能归纳出图象法求解二元一次方程组的具体方法吗？。

2、应用一次函数与二元一次方程（组）的关系解决实际问题。

细读课本P127例3.回答：上网时间为多少分，两种方式的计费相等？拓展：可见计费与上网时间有关，思考：当一个月上网时间为多少时，选择方式Ａ省钱（或B省钱）？请结合图象回答：3、小组讨论：你能用另一种方法解决例3的问题吗？4、试一试，你能行。

(课本P128练习)。

两种移动电话计费方式如下：用函数方法解答如何选择计费方式更省钱．（模仿上面的两种方法）。

5、活动与探究某校师生要去外地参加夏令营活动，车站提出两种车票价格的优惠方案供学校选择．第一种方案是教师按原价付款，学生按原价的78%付款；•第二种方案是师生都按原价的80%付款．该校有5名教师参加这次活动．试根据参加夏令营学生人数，选择购票付款的最佳方案．6、课后作业，独立解决，相信自己。

课本P129，习题14.3综合运用9.（如何选择商场来购物更经济？）。

一次函数和二次函数【学习目标】1.掌握一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，会判断函数的单调性； 2．会求函数的最大值、最小值，能利用配方法解决二次函数的问题； 3.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式。

【要点梳理】 一次函数的性质与图象 1．一次函数的概念（1）深刻理解斜率这个概念．①定义：一次函数y ＝kx+b(k ≠0)的图象是一条直线，以后简写为直线y ＝kx+b ，其中k 叫做该直线的斜率． ②用运动的观点理解斜率k ．函数的改变量21()y y -与自变量的改变量21()x x -的比值等于常数k ． ③从对图象的单调性的影响上理解斜率k ．当k ＞0时，一次函数是增函数；当k ＜0时，一次函数是减函数． （2）深刻理解截距b 的含义．①定义：一次函数y ＝kx+b(k ≠0)的图象是一条直线，以后简写为直线y ＝kx+b ，其中b 叫做该直线在y 轴上的截距．②b 的取值范围：b ∈R ．③b 的几何意义：直线y ＝kx+b 与y 轴的交点的纵坐标．④点(0，b)是直线y ＝kx+b 与y 轴的交点．当b ＞0时，此交点在y 轴的正半轴上；当b ＜0时，此交点在y 轴的负半轴上；当b ＝0时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数．2．一次函数的图象和性质（1）图象的形状：一次函数的图象是一条直线，一次函数y ＝kx+b ，也称作直线y ＝kx+b ．（2）图象的画出：因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．（3）图象的特点：①正比例函数y ＝kx 的图象是经过原点(0，0)的一条直线． ②一次函数y ＝kx+b 的图象是经过y 轴上点(0，b)的一条直线． （4）画法技巧：①画正比例函数y ＝kx 的图象，通常取(0，0)、(1，k)两点连线．②画一次函数y ＝kx+b 的图象，通常取它与坐标轴的交点(0，b)、,0b k ⎛⎫-⎪⎝⎭两点连线，原因是上述两点在坐标轴上，描点较准确．但由于b k -多数情况下是分数，故在描点时，我们也可以取x 和y 都是整数的情形．3．一次函数性质的应用(1)函数的改变量21()y y -与自变量的改变量21()x x -的比值等于常数k ． (2)当k ＞0时，一次函数是增函数；当k ＜0时，一次函数是减函数．(3)当b ＝0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b ≠0时，它既不是奇函数，也不是偶函数． (4)直线y ＝kx+b 与x 轴的交点为,0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与y 轴的交点为(0，b)． 要点诠释：一次函数y ＝kx+b(k ≠0)的性质可从两方面来理解：①图象与坐标轴的交点，大家知道x 轴、y 轴上的点的纵坐标、横坐标都分别为0，所以在解析式y ＝kx+b中分别令x ＝0，y ＝0，得y ＝b ，b x k =-，从而得出直线y ＝kx+b 与x 轴、y 轴的交点分别是,0b A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭、B(0，b)，这是要熟记的，另外还要知道y ＝kx+b 与正比例函数y ＝kx 的图象的平行关系．②函数的增减性，也就是：当k ＞0时，y 随x 增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．其含义是：当k ＞0时，如果x 越来越大，那么y 的值也越来越大；当k ＜0时，如果x 越来越大，那么y 的值越来越小．对于直线y ＝kx+b(k ≠0)而言：当k ＞0，b ＞0时，直线经过一、二、三象限；当k ＞0，b ＜0时，直线经过一、三、四象限；当k ＜0，b ＞0时，直线经过一、二、四象限；当k ＜0，b ＜0时，直线经过二、三、四象限．4．一次函数的最值问题求一次函数y ＝kx+b(k ≠0)在某一区间[a ，c]上的值域的方法是：由于一次函数在某一区间[a ，c]上是单调的，所以它在区间的两个端点上取得最值，当k ＞0时，它的值域为[f(a)，f(c)]，当k ＜0时，它的值域为[f(c)，f(a)]．5．一次函数的保号性及应用性质1：已知函数()f x kx b =+，如果有()0(0)f α><，()0(0)f β><，则对任意(,)x αβ∈都有()0(()0)f x f x ><．这个性质称为函数()f x kx b =+在区间(,)αβ上的保号性．同样，()f x kx b =+在区间[,]αβ，[,)αβ，(,]αβ上也具有保号性．性质2：若一次函数()f x kx b =+在区间(,)αβ上有()()0f f αβ<，则在(,)αβ内必存在一点x 0使0()0f x =．二次函数的性质与图象1．函数2(0)y ax a =≠的图象和性质关于二次函数2(0)y ax a =≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值几个方面来研究，下面结合图象将其性质列表归纳如下：要点诠释：函数2(0)y ax a =≠中的系数a 对函数图象的影响：(1)当a ＞0时，开口向上，a 越小，开口越大，在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增； (2)当a ＜0时，开口向下，a 的绝对值越小，开口越大，在(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)单调递减．2．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和性质 (1)二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和性质如下表：(2)配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数幂和的形式．通过配方解决数学问题的方法叫配方法．其中，用的最多的是配成完全平方式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明不等式和等式、求函数最值和解析式等方面都经常用到它．对任何二次函数2()(0)y f x ax bx c a ==++≠都可通过配方化为：2224()24b ac b y a x a x h k a a -⎛⎫=++=-+ ⎪⎝⎭．其中2bh a=-，244ac b k a -=．(3)关于配方法要注意两点：①要把二次项系数化为1，方法是提取二次项的系数；②找准一次项的系数，加上它的一半的平方(目的是配成完全平方式)，再减去这个平方数(目的是保持恒等)． 3．二次函数的解析式(1)一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠．(2)顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠，顶点(h ，k)． (3)交点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，x 1，x 2为二次函数的图象与x 轴两个交点的横坐标．求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，灵活地运用解析式的形式，选取最佳方案，利用待定系数法求之． 要点诠释：①若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为一般式2y ax bx c =++，a 、b 、c 为常数，a ≠0的形式．②若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式2()y a x h k =-+，其中顶点为(h ，k)，a 为常数，且a ≠0．③若已知二次函数的图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，则设所求二次函数为交点式12()()y a x x x x =--，a 为常数，且a ≠0．4．二次函数的图象画法与平移(1)二次函数2y ax bx c =++的图象的画法：因为二次函数的图象是一条抛物线，它的基本特征：①有顶点；②有对称轴；③有开口方向．所以，画二次函数的图象通常采用简化了的描点法——五点法，其步骤如下：(i)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点时，并用虚线画出对称轴； (ii)求抛物线2y ax bx c =++与坐标轴的交点．当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D ．将这五个点按从左到右的顺序连起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象．当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ．由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图．如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后连线，画出二次函数的图象．(2)二次函数的平移规律．任意抛物线2y ax bx c =++都可转化为2()y a x h k =-+的形式，都可由2y ax =的图象经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示．即上述平移规律“h 值正、负，右、左移”，亦即“加时左移，减时右移”；“k 值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”． 5．二次函数的最值求解二次函数的最大值与最小值，可以从函数解析式的变形和函数的图象两方面去理解．(1)从函数的解析式来研究，对于2y ax bx c =++，通过配方可化为2()y a x h k =-+的形式，再对2()y a x h k =-+进行研究．一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，当a ＞0时，y 有最小值2442ac b b x a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；当a ＜0时，y 有最大值2442ac b b x a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(2)从函数的图象来研究，二次函数的图象是抛物线，又称抛物线2y ax bx c =++，一般描出五个点可画出图象．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示．当a ＞0时，抛物线开口向上，它的顶点恰是抛物线的最低点，显然纵坐标y 有最小值，最小值是244ac b a -；当a ＜0时，抛物线开口向下，它的顶点恰是抛物线的最高点，显然纵坐标y 有最大值，最大值是244ac b a-．6．二次函数的对称轴及其应用根据教材中例题知道对称轴为x ＝-4，由此推导出(4)(4)f h f h --=-+．反过来，如果已知(4)(4)f h f h -+=--，则可得该函数的对称轴为x ＝-4．现总结如下：(1)若某函数(不一定是二次函数)满足()()f a x f a x +=-(a 为常数)，则该函数的对称轴为x ＝a ． (2)若某函数(不一定是二次函数)满足()(2)f x f a x =-(a 为常数)，则该函数的对称轴为x ＝a ．(3)若某函数(不一定是二次函数)满足()()f a x f b x -=+(a b ≠且a ，b 为常数)，则该函数的对称轴为2a bx +=． 实际上(2)与(1)是等价的，在(1)中令a+x ＝t ，则x ＝t-a ，∴ ()[()]f t f a t a =--，∴ ()(2)f t f a t =-，即()(2)f x f a x =-．待定系数法1．待定系数法的定义（1）一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系的方法叫做待定系数法.（2）根据题设求待定系数的方法——列方程组 ①用特殊值法列方程组； ②根据多项式恒等定理列方程组； ③利用定义本身的属性列方程（组）； ④利用几何条件列方程（组）。

课题：待定系数法求一次函数解析式、一次函数的应用个性化教学辅导教案组长签名：________学生姓名年级初二学科数学上课时间年月日教师姓名课题待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的应用教学目标1.用待定系数法求一次函数解析式2.能从实际问题的图象中获取所需信息；3.能够将实际问题转化为一次函数的问题并准确的列出一次函数的解析式；4.能利用一次函数的图象及其性质解决简单的实际问题；5.提高解决实际问题的能力．认识数学在现实生活中的意义，发展运用数学知识解决实际问题的能力．教学过程教师活动学生活动1.如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（）A．50B．55C．70D．752.已知函数y=（m+1）x m2−3是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m= ．3.若函数y=（a+3）x+a2﹣9是正比例函数，则a=，图象过象限．4.当m为何值时，函数y=（m+3）x2m+1﹣5（x≠0）是一次函数？【预学指导1】阅读教材，划出不明白的地方，思考以下问题（用时6分钟）1、用什么方法去求一次函数解析式？2、求解析式需要哪些条件？3、实际问题与一次函数的联系？4、怎样用一次函数的图像与性质去解决实际问题？教师引导学生解决教材中遇到的问题。

（用时5分钟）【知识梳理】教师引导学生画出本节内容的思维导图（用时2分钟）【达标运用】问题1求一次函数的解析式1.如图，正方形OABC 中，点B （4，4），点E ，F 分别在边BC ，BA 上，OE =2√5，若∠EOF =45°，则OF 的解析式为（ ）A ．y =43xB ．y =13xC ．y =√33xD ．y =√55x问题2 一次函数的应用2.甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km 的培训中心参加学习，图l 1，l 2分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S （千米）随时间t （分）变化的函数图象，以下说法①甲比乙提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/小时；③甲乙相遇时，乙走了6千米；④乙出发6分钟后追上甲，其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【精准突破1】一次函数的解析式教学目标：求一次函数的解析式（1）用待定系数法求一次函数解析式知识点一、待定系数法求一次函数解析式=+（k，b是常数，k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独一次函数y kx b立条件确定两个关于k，b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x，y的值.【要点解读】先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体=+中有k和b两个待定系写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数y kx b数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k和b为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.【例题精讲】【例题1-1】已知变量y与x的关系满足下表，那么能反映y与x之间的函数关系的解析式是（）x…﹣2﹣1012…y…43210…A．y=﹣2x B．y=x+4C．y=﹣x+2D．y=2x﹣2【例题1-2】已知一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应y的值为1≤y≤9．则k•b的值（）A．14B．﹣6C．﹣6或21D．﹣6或14【例题1-3】如图，已知直线L1经过点A（﹣1，0）与点B（2，3），另一条直线L2经过点B，且与x轴相交于点P（m，0）．（1）求直线L1的解析式．（2）若△APB的面积为3，求m的值．（提示：分两种情形，即点P在A的左侧和右侧）【精准突破2】一次函数的应用教学目标：一次函数的应用（1）能够将实际问题转化为一次函数的问题并准确的列出一次函数的解析式（2）能利用一次函数的图象及其性质解决简单的实际问题知识点一、数学建模的一般思路数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.知识点二、正确认识实际问题的应用在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.【要点解读】要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.知识点三、选择最简方案问题分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.【例题精讲】【例题2-1】某计算器每个定价80元，若购买不超过20个，则按原价付款：若一次购买超过20个，则超过部分按七折付款．设一次购买数量为x（x＞20）个，付款金额为y元，则y与x之间的表达式为（）A．y=0.7×80（x﹣20）+80×20B．y=0.7x+80（x﹣10）C ．y =0.7×80•xD ．y =0.7×80（x ﹣10）【例题2-2】国内航空规定，乘坐飞机经济舱旅客所携带行李的重量x 与其运费y （元）之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么旅客可携带的免费行李的最大重量为（ ）A ．20kgB ．25kgC ．28kgD ．30kg【例题2-3】江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾．“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y 甲、y 乙（单位：元）与原价x （单位：元）之间的函数关系如图所示．（1）直接写出y 甲，y 乙关于x 的函数关系式；（2）“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？【巩固一】求一次函数解析式1.已知点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）均在直线y =kx +b 上，且当x 1＜x 2时，y 1＞y 2，则此直线的函数表达式不可能是（ ）A ．y =﹣2xB ．y =﹣2x +1C ．y =﹣12x ﹣1D ．y =12x ﹣12.在平面直角坐标系中，一条直线经过第三象限内A、B两点，过A、B分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形周长均为10，则该直线的函数表达式为（）A．y=x﹣5B．y=x﹣10C．y=﹣x﹣5D．y=﹣x﹣103.如图，已知一次函数的图象交正比例函数的图象于点M，交x轴于点N（﹣6，0），又知点M的坐标（﹣4，m），若△MON的面积为15，求正比例函数和一次函数的解析式．【巩固二】一次函数的应用1.李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米，要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD，设BC的边长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（）A．y=﹣2x+24（0＜x＜12）B．y=﹣1x+12（0＜x＜24）2C．y=2x﹣24（0＜x＜12）D．y=1x﹣12（0＜x＜24）22.明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S（单位：m2）与工作时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是m2．3.某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准．按照新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与每月用水量x（m3）之间的关系如图所示．（1）求y关于x的函数解析式；（2）若某用户二、三月份共用水40m3（二月份用水量不超过25m3），缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少m3？【查漏补缺】1.函数y=kx+b的图象经过点（1，﹣1）且k：b=﹣3：4，则这个函数的表达式为（）A．y=﹣3x+4B．y=4x﹣5C．y=3x﹣4D．y=3x+42.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在两条坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），BE⊥x轴于点E，一次函数y=x+b经过点B，交y轴于点D．（1）求证：△AOC≌△CEB；（2）求△ABD的面积．【举一反三】1．如图，直线L ：y =−12x +2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点C （0，4），动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求△COM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式；（3）当t 为何值时△COM ≌△AOB ，并求此时M 点的坐标．1．若直线y =kx +b （k ≠0）的图象经过点（2，0）和（﹣1，1），则这个函数的解析式为（ ）A ．y =−13x +23B ．y =−13x −23C ．y =13x +23D ．y =13x −232.油箱中有油20升，油从管道中匀速流出，100分钟流完．油箱中剩油量Q （升）与流出的时间t （分）间的函数关系式是（ ）A ．Q =20﹣5tB ．Q =15t +20C ．Q =20﹣15tD ．Q =15t3.甲、乙两个工程队共同完成一项工程，先由甲单独做，然后乙队加入，两个工程队合作完成余下工程，工程的进度y 与甲工作的时间x （天）的函数关系如图所示，则乙队单独完成此项工程需 天．4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y =kx +b 的图象经过点A （﹣3，﹣1）和点B（0，2）．（1）求一次函数的表达式；（2）若点P在y轴上，且PB=12BO，直接写出点P的坐标．【第1，2天】当周完成一.选择题1．若一个函数的图象是经过原点的直线，并且这条直线过点（﹣3，2a）与点（−53a，25），则这个函数的解析式为（）A．y=32x或y=−32x B．y=x或y=﹣xC．y=35x或y=−35x D．y=25x或y=−25x2.随着“中国诗词大会”节目的热播，《唐诗宋词精选》一书也随之热销．如果一次性购买10本以上，超过10本的那部分书的价格将打折，并依此得到付款金额y（单位：元）与一次性购买该书的数量x（单位：本）之间的函数关系如图所示，则下列结论错误的是（）A．一次性购买数量不超过10本时，销售价格为20元/本B．a=520C．一次性购买10本以上时，超过10本的那部分书的价格打八折D．一次性购买20本比分两次购买且每次购买10本少花80元3.已知直线y=kx（k≠0）经过点（﹣2，4），那么该直线的表达式为；若该直线向右平移3个单位后得到的直线表达式为．4.若正比例函数图象上一点到y轴与到x轴距离之比是3：1，则此函数的解析式为．5.如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为．6.某市规定了每月用水18立方米以内（含18立方米）和用水18立方米以上两种不同的收费标准．该市的用户每月应交水费y（元）是用水量x（立方米）的函数，其图象如图所示．（1）若某月用水量为18立方米，则应交水费多少元？（2）求当x＞18时，y关于x的函数表达式，若小敏家某月交水费81元，则这个月用水量为多少立方米？7.如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）（1）求BC所在直线的解析式．（2）求△ABC的面积；（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请求出点P的坐标．8.某班级45名同学自发筹集到1700元资金，用于初中毕业时各项活动的经费．通过商议，决定拿出不少于544元但不超过560元的资金用于请专业人士拍照，其余资金用于给每名同学购买一件文化衫或一本制作精美的相册作为纪念品．已知每件文化衫28元，每本相册20元．（1）设用于购买文化衫和相册的总费用为W元，求总费用W（元）与购买的文化衫件数t（件）的函数关系式．（2）购买文化衫和相册有哪几种方案？为使拍照的资金更充足，应选择哪种方案，并说明理由．。

《一次函数复习课》教学设计与反思一、教学目标:1、知道一次函数与正比例函数的定义.2、理解掌握一次函数的图象的特征和相关的性质；体会数形结合思想。

3、弄清一次函数与正比例函数的区别与联系.4、掌握直线的平移法则简单应用.5、能应用本章的基础知识熟练地解决数学问题。

二、教学重、难点：重点：初步构建比较系统的函数知识体系，能应用本章的基础知识熟练地解决数学问题。

难点：对直线的平移法则的理解，体会数形结合思想。

三、教学设计简介：因为这是初一总复习节段的复习课，在这之前已经复习了变量、函数的定义、表示法及图象，而本节的教学任务是一次函数的基础知识及其简单的应用，没有涉及实际应用。

为了节约学生的时间，打造高效课堂，我开门见山，直接向学生展示教学目标，然后让学生根据本节课的复习目标进行联想回顾，变被动学习为主动学习。

例如，在“图象及其性质”环节中，老师让学生自己说出一次函数图象的形状、位置及增减性，不完整的可让其他学生补充纠正。

这样，使无味的复习课变得活跃一些，增强学习气氛。

随后教师就用大屏幕展示出标准答案，然后教师组织学生以比赛的形式做一些针对性的练习。

为了巩固知识点，学生解决每一个问题时都要求其说出所运用的知识点。

四、教学过程：1、常量、变量、函数、一次函数与正比例函数的定义：问题1：（1）底边长为10的三角形的面积y与高x之间的关系式是 ___________（2）用周长为20米的铁丝围成一个长方形，则这个长方形的一边长x（米）与它的另一边长y（米）之间的关系是__________一次函数：一般地，若y=kx+b（其中k,b为常数且k≠0），那么y是一次函数正比例函数：对于 y=kx+b，当b=0, k≠0时，有y=kx,此时称y是x的正比例函数，k 为正比例系数。

指出：从解析式看：y=kx+b(k≠0，b是常数)是一次函数；而y=kx(k≠0，b=0)是正比例函数，显然正比例函数是一次函数的特例，一次函数是正比例函数的推广。

中考第一轮复习课一次函数复习课 教案一、教学目标：1、一次函数的代数与几何意义。

一次函数的定义、图象和性质。

2、一次函数解析式的确定。

3、体会一次方程、一次不等式与一次函数的内在联系。

4、在具体问题中培养学生分析解决问题的能力。

二、重难点重点：一次函数的图象与性质；一次函数解析式的确定。

难点：一次函数与方程、不等式的联系；一次函数在实际问题中的应用。

三、教学方法：以题带概念进行重点知识复习，渗透待定系数法、数形结合、分类讨论等数学思想方法。

四、教学过程点明主题，分类复习。

本节课我们对一次函数的基础知识进行复习。

（一）一次函数的定义例1、已知y 是x 的一次函数，且满足，请求出k 的值。

312+=+-k k kxy 分析解决问题：由一次函数的定义可得，解得k =1。

0112≠=+-k k k 且通过例1回顾总结一次函数的定义：一般的，如果，）是常数，、（0≠+=k b k b kx y 那么y 叫做x 的一次函数，特别的，当b =0时，y 叫做x 的正比例函数。

（二）一次函数的图象和性质例2、请在给定的平面直角坐标系中作出一次函数与的图象，331-=x y 332+-=x y 并回答问题（1）一次函数的图象是一条______________。

（2）由图象可知，随x 的增大而___________，直线经过_________象限；1y 331-=x y 随x 的增大而______________，直线经过__________象限。

2y 332+-=x y （3）直线与y 轴的交点坐标为（__________），直线与y 轴交331-=x y 332+-=x y点坐标为（_________）。

（4）直线与x 轴的交点坐标为（__________），直线与x 轴交331-=x y 332+-=x y 点坐标为（_________）。

（5）直线与直线的交点坐标为（__________），根据图象回答，331-=x y 332+-=x y 当x_____________时，。

预习提纲 14.4 课题学习选择方案（2课时）执笔：翁建勇审核：唐燕燕邱爱姐梁素玉组长：郑风清预习目标：学会从数学角度进行分析，用函数解决涉及多个变量的问题，体会如何运用一次函数选择最佳方案。

预习过程：1、细读课本P131问题1.试利用函数解析式及图象给出解答，并结合方程、不等式进行说明。

你能为消费者选择节省费用的用灯方案吗？2、细读课本P131问题2.你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪个方案？试说明理由。

3、细读课本P131问题3.完成P133讨论：4、归纳：如何解决含有多个变量的问题？.5、试一试，你能行（解决多个变量的函数问题，为以后解决实际问题开辟了一条坦途）。

Ａ城有肥料200吨，Ｂ城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往Ｃ、Ｄ两乡．从Ａ城往Ｃ、Ｄ两乡运肥料费用分别为每吨20元和25元；从Ｂ城往Ｃ、Ｄ两乡运肥料费用分别为每吨15元和24元．现Ｃ乡需要肥料240吨，Ｄ乡需要肥料260吨．怎样调运总运费最少？讨论思考：从影响总运费的变量有哪些入手，进而寻找变量个数及变量间关系，探究出总运费与变量间的函数关系，从而利用函数知识解决问题．通过分析思考，可以发现：Ａ──Ｃ，Ａ──Ｄ，Ｂ──Ｃ，Ｂ──Ｄ运肥料共涉及4个变量．它们都是影响总运费的变量．•然而它们之间又有一定的必然联系，只要确定其中一个量，其余三个量也就随之确定．这样我们就可以设其中一个变量为x，把其他变量用含x的代数式表示出来：若设Ａ──Ｃx吨，则：由于Ａ城有肥料200吨：Ａ─Ｄ，吨．由于Ｃ乡需要240吨：Ｂ─Ｃ，吨．由于Ｄ乡需要260吨：Ｂ─Ｄ， x吨．那么，各运输费用为：Ａ──Ｃ为元Ａ──Ｄ为元Ｂ──Ｃ为元Ｂ──Ｄ为元若总运输费用为y的话，y与x关系为：。

化简得：。

（思考你是如何确定x的范围呢？）画出该函数图象如下：结合图象回答：何时总运费最少？答题：变形：上题中，若Ａ城有肥料300吨，Ｂ城200吨，其他条件不变，又该怎样调运呢？（解题方法与思路改变了吗？你又是如何确定x的范围？）动手试试看：概括总结解题经验：6、课后练习,讨论交流。

教学课题北师大版 初二数学 八年级上册 第四章 一次函数与图像 预习教案教学目标 知识与技能：一次函数的图像与性质过程与方法：一次函数的图像与性质 情感态度与价值观：乐观向上教学重点与难点 重点：一次函数的图像与性质 难点：一次函数的图像与性质一次函数与图像【知识梳理】一次函数和正比例函数的概念1．概念： 若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数. （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数. ★判断一个等式是否是一次函数先要化简（3）当b=0，k ≠0时，y= kx 仍是一次函数.(正比例函数)（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数. 二、一次函数的图象由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．由于两点确定一条直线，描出适合关系式的两点，再连成直线，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-kb，0）.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可. 【一次函数性质】1. 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的性质 （1）k 的正、负决定直线的倾斜方向；①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；函数k b经过的象限Y随x的变化图象y=kx+b(b≠0)k＞0b＞0一,二三Y随x的增大而增大y=kx+b(b≠0)k＞0b＜0一三四Y随x的增大而增大y=kx+b(b≠0)k＜0b＞0一二四Y随x的增大而减小y=kx+b(b≠0)k＜0b＜0二三四Y随x的增大而减小（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．2. 正比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；（2）当k ＞0时，图象经过第一、三象限,y 随x 的增大而增大； （3）当k ＜0时，图象经过第二、四象限,y 随x 的增大而减小．点P （x 0，y 0）与直线y=kx+b 的图象的关系（1）如果点P （x 0，y 0）在直线y=kx+b 的图象上，那么x 0,y 0的值必满足解析式y=kx+b ；（2）如果x 0，y 0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x 0，y 0为坐标的点P （1，2）必在函数的图象上． 例如：点P （1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P （1，2）在直线y=x+l 的图象上；点P ′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P ′（2，1）不在直线y=x+l 的图象上． 确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx （k ≠0）中只有一个待定系数k ，故只需一个条件（如一对x ，y 的值或一个点）就可求得k 的值．（2）由于一次函数y=kx+b （k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立的条件确定两个关于k ，b 的方程，求得k ，b 的值，这两个条件通常是两个点或两对x ，y 的值．【典型例题】考点1 一次函数的概念【例1】 以下函数：①y =2x 2+x +1 ②y =2πr ③y =23y x 1x④y =(2－1)x ⑤y =－(a +x )(a 是常数) ⑥s =2t 是一次函数的是________．【变式1】 ．下列一次函数中，k 、b 分别是几?①y ＝－x －5 k ＝___________ b ＝___________②y ＝－81x k ＝___________ b ＝___________③y ＝－3＋2x k ＝___________ b ＝___________ ④y ＝7－x k ＝___________ b ＝___________【变式2】1．当m =________时，y =(m －1)x 2m 是正比例函数y=kx (k>0)y=kx (k<0)2.当k=________时，y=(k+1)x2k+k是一次函数．3.若函数y＝2mx＋3－m是正比例函数，则m＝___________，该函数的解析式是___________．考点2 一次函数的图像【例2】在下列平面直角坐标系中画出y=x+1的函数图象【例3】在下面平面直角坐标系里画出y=2x的图象直角坐标系里画出y=x与y=-3x+1的图象【变式1】在下面平面【总结归纳】函数图象的方法，可以概括为列表、描点、连线三步，通常称为描点法．通过画图可知，一次函数的图像是一条直线．而两点确定一条直线，所以，以后画一次函数的图像只需要知道两．个点．．的坐标就行．通常，取直线与x轴，y轴的交点．考点3 一次函数的图像与性质【例4】若一次函数y=(2－m)x+m的图象经过第一、二、四象限时，m的取值范围是________，若它的图象不经过第二象限，m的取值范围是________．【例5】已知函数y =(m -3)x -32，当m____时，y 随x 的增大而增大；当m _____时，y 随x 的增大而减小．【变式1】函数y =3x －6的图象中：（1）随着x 的增大，y 将 （填“增大”或“减小”） （2）它的图象从左到右 （填“上升”或“下降”）（3）图象与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是【变式2】（1）一次函数y=5x+4的图象经过___________象限,y 随x 的增大而________,它的图象与x 轴. Y 轴的坐标分别为________________（2）函数y=(k-1)x+2，当k ＞1时，y 随x 的增大而______,当k ＜1时，y 随x 的增大而_____．【变式3】已知一次函数y ＝(1-2m)x ＋m-1，若函数y 随x 的增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限,求m 的取值范围.【总结归纳】一次函数y=kx+b 的图象是经过点(0，b),(-kb，0）的一条直线 正比例函数y=kx 的图象是经过原点(0，0）的一条直线，如下表所示．【扩展训练】【例6】一次函数y=kx+（k-3）的函数图象不可能是（ ）【例7】如图，表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m n ，为常数，且mn0≠）图象的是（ ）【变式1】已知一次函数y kx k =+，其在直角坐标系中的图象大体是（ ）【变式2】如图所示，已知正比例函数(0)y kx k =≠的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数y x k =--的图象大致是（ ）【变式3】已知一次函数(3)21y m x m =-+-的图象经过一、二、四象限，求m 的取值范围．【变式4】如图，表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m n ，为常数，且mn0≠）图象的是（ ）ＯxyxyＯxyＯxyＯA ．B ．C ．D ．Ｏ ｙｘＯｙｘＯｙｘＯｙｘD ．C ．B ．A ．Ｏ xyＯxyＯxyＯxyD ．C ．B ．A ．ＯxyxyＯxyＯxyＯA ．B ．C ．D ．【课堂训练】1. 下列说法正确的是（ ）A 、函数b kx x f +=)(为一次函数B 、函数)0(,)(≠+=b b kx x f 的图像是一条是与x 轴相交的直线C 、函数b kx x f +=)(的图像是一条是与x 轴相交的直线D 、函数)0()(≠+=k b kx x f ，是一次函数2. 函数的解析式为270x y -+=，则其对应直线的斜率与在y 轴上的截距分别为（ ）A.12, 72 B 1, 7- C 1, 72 D 17,22- 3. 若332)1(+--=m mx m y 是一次函数，则（ ）A 、1=mB 、2=mC 、1>mD 、1=m 或2=m4. 若函数(23)(31)y m x n =-++的图像经过第一、二、三象限，则m 与n 的取值范围分别是（ ）A 31,23m n >>-B 3,3m n >>-C m<31,23n <-D 31,23m n ><5．如果,0,0<>bc ab 那么一次函数0=++c by ax 的图像的大致形状是（ ）A B C D6．函数)3(--=m mx y 的图像不可能是（ ）A B C D5. 过点)2,1(-A 作直线l ，使它在x 轴，y 轴上的截距相等，则这样的直线有（ ）A 、1B 、2C 、3D 、47.在下列四个函数中，y 的值随x 值的增大而减小的是（ ） Ａ．2y x =Ｂ．36y x =-Ｃ．25y x =-+Ｄ．37y x =+8.一次函数y=ax+b 与y=bx+a,在同一坐标系中的图象可能是（ ）9.已知直线l 的斜率为61，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求直线的方程．【课后作业】1.下列说法不正确的是（ ）A ．一次函数不一定是正比例函数．B ．不是一次函数就不一定是正比例函数．C ．正比例函数是特殊的一次函数．D ．不是正比例函数就一定不是一次函数．2.下列函数中一次函数的个数为（ ）①y=2x ；②y=3+4x ；③y=21；④y=ax （a ≠0的常数）；⑤xy=3；⑥2x+3y-1=0；A ．3个B 4个C 5个D 6个3.填空题（1）若函数y=(m-2)x+5是一次函数，则m满足的条件是____________．（2）当m=__________时，函数y=3x2m+1 +3 是一次函数．(3 )关于x的一次函数y=x+5m-5，若使其成为正比例函数，则m应取_________．4.请写出一个正比例函数，且x=2时，y= －6请写出一个一次函数，且x=－6时，y=25.在同一平面直角坐标系中画出下列每组函数的图象．(1)y＝2x与y＝2x＋3xy＝2xy＝2x＋36.画出函数y＝－2x＋3的图象，借助图象找出：（1）直线上横坐标是2的点，它的坐标是（，）（2）线上纵坐标是－3的点，它的坐标是（，）（3）直线上到y轴距离等于2的点，它的坐标是（，）（4）点（2、7）是否在此图象上；（）（5）找出横坐标是-2的点，并标出其坐标；（，）（6）找出到x 轴的距离等于1的点，并标出其坐标；（ ， ）（7）找出图象与x 轴和y 轴的交点，并标出其坐标．（ ， ）7.函数y =3x －6的图象中：（1）随着x 的增大，y 将 （填“增大”或“减小”）（2）它的图象从左到右 （填“上升”或“下降”）（3）图象与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是8.已知函数y =(m -3)x -32. (1)当m 取何值时,y 随x 的增大而增大? (2)当m 取何值时,y 随x 的增大而减小?9.一次函数y=5x+4的图象经过___________象限,y 随x 的增大而________,它的图象与x 轴. Y 轴的坐标分别为________________ （2）．函数y=(k-1)x+2，当k ＞1时，y 随x 的增大而______,当k ＜1时，y 随x 的增大而_____．10. 已知一次函数y kx k =+，其在直角坐标系中的图象大体是（ ）11.在下列函数中，（ ）的函数值先达到100．A ．26y x =+B ．5y x =C ．51y x =-D ．42y x =+12.作出函数41y x =-的图象，并回答下列问题：（1）y 的值随x 值的增大怎样变化？Ｏ ｙｘ Ｏ ｙ ｘ Ｏ ｙ ｘ Ｏ ｙ ｘ Ｄ．Ｃ． B ． A ．（2）图象与x轴、y轴的交点坐标是什么？。