第三章--投影变换——换面法.
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第3章 变换投影面法 我们知道,当空间的直线和平面对投影面处于一般位置时,它们的投影都不能直接反映真实大小、度量和定位关系,也不具有积聚性;但当它们和投影面处于特殊位置时,则它们的投影有的可直接真实地反映度量关系和定位关系或具有积聚性,如图3-1所示。
由此可知,若能把几何元素由一般位置改变成特殊位置,有些问题就容易解决,而变换投影面法就是解决这一问题常用的一种图解方法。
图3-1 特殊位置几何元素的投影图直接反映真实大小和度量示例图3-2 V H 体系变换为V 1H体系§3-1 变换投影面法的基本概念 在两投影面体系中,空间几何元素的位置保持不动,用新的投影面来代替某一旧的投影面,保留原有的另一投影面,新投影面垂直于保留的投影面,使空间几何元素对新投影面的相对位置变成有利于解题的特殊位置,然后作出几何元素在新投影面上的投影。
在新投影面与保留的原有投影面组成的新的两投影面体系中解题,必要时还可将解题结果返回到原有的两投影面体系中去。
这种方法称为变换投影面法,简称换面法。
如图3-2所示,△ABC 平面为一铅垂面,该面在V 、H 两投影面体系即V H体系中的两个投影都不反映真形。
取一个平行于△ABC 且垂直于H 面的V 1面来代替V 面,则新的V 1面和保留的H 面相交成新的投影轴X 1,构成一个新的两投影面体系即V 1H 。
△ABC 平面在V 1H 体系中V 1面上的投影△a ′1b ′1c ′1就反映了△ABC 平面的真形。
再将V 1面绕新投影轴X 1旋转展开到与H 面成一个平面,从而得出V 1H体系的投影图。
显然新投影面V 1是不能任意选择的,首先要使空间几何元素在新的投影面上的投影能够有利于解题,并且新投影面V 1和保留的H 面仍要构成一个由两个互相垂直的投影面组成的两投影面体系,这样才能应用前面所讲述的正投影原理作图。
因此,用换面法时,新投影面的选择必须符合下面两个基本条件: (1)新投影面必须垂直于保留的投影面,以构成新的两投影面体系。
广东技术师范学院天河学院教案2012 年月日第周单元教案首页第三章投影变换——换面法第一节换面法的基本概念一、换面法的基本概念空间几何元素的位置保持不变,用新的投影面来代替旧的投影面,使空间几何元素对新的投影面的相对位置变成有利于解题的位置,然后找出其在新投影面上的投影。
这种方法称为换面法。
用换面解题时应遵循下列两原则:⒈选择新投影面时,应使几何元素处于有利于解题的位置;⒉新投影面必须垂直于原投影面体系中不被变换的投影面,并与它组成新投影面体系,必要时可连续变换。
(a) (b)图3.1 将一般位置直线变换成投影面平行线如图3.1,新投影面必须垂直于不变换的投影面,即V1⊥H,X1为新投影轴。
这时,不变换投影面上的投影a、b与V1面上的新投影a1'、b1'的投影连线a a1'⊥X1、b b1'⊥X1。
并且a1'、b1'到X1的距离等于被代替的投影a'、b'到被代替的投影轴的距离,即a1'a X1=a'a X=A a=Z A, b1'b X1=b'b X=B b=Z B。
第二节点的换面二、点的投影变换规律(一)点的一次变换点是一切几何形体的基本元素。
因此,必须首先掌握点的投影变换规律。
现在来研究更换正立投影面时,点的投影变换规律。
图3表示点A在V/H 体系中,正面投影为a′,水平投影为a。
现在令H面不变,取一铅垂面V1(V1⊥H)来代替正立投影面V,形成新投影面体系V1/H。
将点A向V1投影面投射,得到新投影面上的投影a′1。
这样,点A在新、旧两体系中的投影(a,a′1)和(a,a′)都为已知。
其中a′1为新投影,a′为旧投影,而a为新、旧体系中共有的不变投影。
它们之间有下列关系:1. 由于这两个体系具有公共的水平面H,因此点A到H面的距离(即z坐标),在新旧体系中都是相同的,即a′ax=Aa=a′1ax1。
2. 当V1面绕X1轴重合到H面时,根据点的投影规律可知aa′1必定垂直于X1轴。
这和aa′⊥X轴的性质是一样的。