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第三节常用经济函数第三节常用经济函数用数学方法解决实际问题，首先要构建该问题的数学模型，即找出该问题的函数关系. 本节将介绍几种常用的经济函数.分布图示★单利与复利★例1★多次付息★贴现★例2★需求函数★供给函数★市场均衡★例3 ★例4★成本函数★例5 ★收入函数与利润函数★例6★例7 ★例8 ★例9★内容小结★课堂练习★习题1-3内容要点一、单利与复利利息是指借款者向贷款者支付的报酬, 它是根据本金的数额按一定比例计算出来的. 利息又有存款利息、贷款利息、债券利息、贴现利息等几种主要形式.单利计算公式设初始本金为p (元), 银行年利率为r . 则 第一年末本利和为)1(1r p rp p s +=+=第二年末本利和为 )21()1(2r p rp r p s +=++= ……第n 年末的本利和为)1(nr p s n +=. 复利计算公式设初始本金为p (元), 银行年利率为r . 则 第一年末本利和为)1(1r p rp p s +=+=第二年末本利和为 22)1()1()1(r p r rp r p s +=+++= ……第n 年末的本利和为.)1(n n r p s +=二、多次付息单利付息情形因每次的利息都不计入本金, 故若一年分n 次付息, 则年末的本利和为)1(1r p n r n p s +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=即年末的本利和与支付利息的次数无关.复利付息情形因每次支付的利息都记入本金, 故年末的本利和与支付利息的次数是有关系的.设初始本金为p (元),年利率为r , 若一年分m 次付息, 则一年末的本利和为m m r p s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1易见本利和是随付息次数m 的增大而增加的.而第n 年末的本利和为mn n m r p s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1.三、贴现票据的持有人, 为在票据到期以前获得资金, 从票面金额中扣除未到期期间的利息后, 得到所余金额的现金称为贴现.钱存在银行里可以获得利息, 如果不考虑贬值因素, 那么若干年后的本利和就高于本金. 如果考虑贬值的因素, 则在若干年后使用的未来值(相当于本利和)就有一个较低的现值.考虑更一般的问题: 确定第n 年后价值为R 元钱的现值.假设在这n 年之间复利年利率r 不变.利用复利计算公式有n r p R )1(+=,得到第n 年后价值为R 元钱的现值为n r Rp )1(+=,式中R 表示第n 年后到期的票据金额, r 表示贴现率, 而p 表示现在进行票据转让时银行付给的贴现金额.若票据持有者手中持有若干张不同期限及不同面额的票据, 且每张票据的贴现率都是相同的, 则一次性向银行转让票据而得到的现金nn r R r R r R R p )1()1()1(2210+++++++=Λ 式中0R 为已到期的票据金额, n R 为n 年后到期的票据金额. n r )1(1+称为贴现因子, 它表示在贴现率r 下n 年后到期的1元钱的贴现值. 由它可给出不同年限及不同贴现率下的贴现因子表.四、需求函数需求函数是指在某一特定时期内, 市场上某种商品的各种可能的购买量和决定这些购买量的诸因素之间的数量关系.假定其它因素(如消费者的货币收入、偏好和相关商品的价格等)不变, 则决定某种商品需求量的因素就是这种商品的价格. 此时, 需求函数表示的就是商品需求量和价格这两个经济量之间的数量关系 )(p f q =其中, q 表示需求量, p 表示价格.需求函数的反函数)(1q fp -=称为价格函数, 习惯上将价格函数也统称为需求函数.五、供给函数供给函数是指在某一特定时期内, 市场上某种商品的各种可能的供给量和决定这些供给量的诸因素之间的数量关系.六、市场均衡对一种商品而言, 如果需求量等于供给量, 则这种商品就达到了市场均衡. 以线性需求函数和线性供给函数为例, 令s d q q =d cp b ap +=+0p c a b d p ≡--= 这个价格0p 称为该商品的市场均衡价格（图1-3-3）.市场均衡价格就是需求函数和供给函数两条直线的交点的横坐标. 当市场价格高于均衡价格时, 将出现供过于求的现象, 而当市场价格低于均衡价格时,将出现供不应求的现象.. 当市场均衡时有,0q q q s d ==称0q 为市场均衡数量. 根据市场的不同情况，需求函数与供给函数还有二次函数、多项式函数与指数函数等. 但其基本规律是相同的, 都可找到相应的市场均衡点(0p ,0q ). 七、成本函数产品成本是以货币形式表现的企业生产和销售产品的全部费用支出, 成本函数表示费用总额与产量(或销售量)之间的依赖关系, 产品成本可分为固定成本和变动成本两部分. 所谓固定成本, 是指在一定时期内不随产量变化的那部分成本; 所谓变动成本, 是指随产量变化而变化的那部分成本. 一般地, 以货币计值的(总)成本C 是产量x 的函数, 即)0()(≥=x x C C称其为成本函数. 当产量0=x 时, 对应的成本函数值)0(C 就是产品的固定成本值.设)(x C 为成本函数, 称)0()(>=x x x C C 为单位成本函数或平均成本函数.成本函数是单调增加函数, 其图象称为成本曲线.八、收入函数与利润函数销售某种产品的收入R , 等于产品的单位价格P 乘以销售量x , 即,x P R ⋅= 称其为收入函数. 而销售利润L 等于收入R 减去成本C , 即,C R L -= 称其为利润函数.当0>-=C R L 时, 生产者盈利;当0<-=C R L 时, 生产者亏损；当0=-=C R L 时, 生产者盈亏平衡, 使0)(=x L 的点0x 称为盈亏平衡点(又称为保本点).例题选讲单利与复利例1（E01）现有初始本金100元, 若银行年储蓄利率为7%, 问:(1) 按单利计算, 3年末的本利加为多少?(2) 按复利计算, 3年末的本利和为多少?(3) 按复利计算, 需多少年能使本利和超过初始本金的一倍?解 (1) 已知,100=p ,07.0=r 由单利计算公式得121)07.031(100)31(3=⨯+⨯=+=r p s (元) 即3年末的本利和为121元.(2) 由复利计算公式得5.122)07.01(100)1(333≈+⨯=+=r p s (元)(3) 若n 年后的本利和超过初始本金的一倍，即要即需11年本利和可超过初始本金一倍.贴现例2（E02）某人手中有三张票据, 其中一年后到期的票据金额是500元, 二年后到期的是p r n 2)>+2)07.1(>n 2ln 07.1ln >n 2.1007.1ln /2ln ≈>n800元, 五年后到期的是2000元, 已知银行的贴现率6%, 现在将三张票据向银行做一次性转让, 银行的贴现金额是多少?解 由贴现计算公式，贴现金额为55221)1()1()1(r R r R r R p +++++=其中 ,5001=R ,8002=R ,20005=R .06.0=r故21.2678)06.01(2000)06.01(800)06.01(50052≈+++++=p (元). 市场均衡例3（E03）某种商品的供给函数和需求函数分别为P Q P Q s d 5200,1025-=-=求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量. 解 由均衡条件s d Q Q =得 10255200-=-P P例4（E04）某批发商每次以160元/台的价格将500台电扇批发给零售商, 在这个基础上零售商每次多进100台电扇, 则批发价相应降低2元, 批发商最大批发量为每次1000台, 试将电扇批发价格表示为批发量的函数, 并求零售商21030=p 70=165102500=-=P每次进800台电扇时的批发价格.解 由题意看出所求函数的定义域为[500,1000]. 已知每次多进100台，价格减少2 元，设每次进电扇x 台，则每次批发价减少)500(1002-x 元/台，即所求函数为)500(1002160--=x P 10010002160--=x 50170x -=当800=x 时，15450800170=-=P (元/台) 即每次进800台电扇时的批发价格为154元/台.成本函数例5（E05） 某工厂生产某产品, 每日最多生产200单位. 它的日固定成本为150元, 生产一个单位产品的可变成本为16元. 求该厂日总成本函数及平均成本函数.解 据,)(变固C C x C += 可得总成本,16150)(x x C +=]200,0[∈x 平均成本.15016)()(xx x C x C +==收入函数与利润函数例6（E06）某工厂生产某产品年产量为x台, 每台售价500元, 当年产量超过800台时, 超过部分只能按9折出售. 这样可多售出200台, 如果再多生产，本年就销售不出去了. 试写出本年的收益(入)函数.解 因为产量超过800台时售价要按9折出售，又超过1000台(即800台+200台)时,多余部分销售不出去，从而超出部分无收益. 因此，要把产量分三阶段来考虑. 依题意有⎪⎩⎪⎨⎧>⨯⨯+⨯≤<-⨯+⨯≤≤=1000,2005009.08005001000800),800(5009.08005008000500)(x x x x x x R .1000,4900001000800),800(4504000008000,500⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-+≤≤=x x x x x例7 已知某厂单位产品时，可变成本为15元，每天的固定成本为2000元，如这种产品出厂价为20元，求（1）利润函数；（2）若不亏本，该厂每天至少生产多少单位这种产品.解 (1)因为),()()(x C x R x L -=,152000)(x x C +=,20)(x x R =所以.20005)152000(20)(-=+-=x x x x L(2) 当0)(=x L 时，不亏本，于是有,020005=-x 得400=x (单位).例8（E07）某电器厂生产一种新产品, 在定价时不单是根据生产成本而定, 还要请各销售单位来出价, 即他们愿意以什么价格来购买. 根据调查得出需求函数为.45000900+-=P x 该厂生产该产品的固定成本是270000元, 而单位产品的变动成本为10元. 为获得最大利润, 出厂价格应为多少?解 收入函数为)45000900()(+-⋅=P P P R .450009002P P +-= 利润函数为)80060(900)()()(2+--=-=p P P C P R P L .90000)30(9002+--=P由于利润是一个二次函数，容易求得，求价格30=P 元时，利润90000=L 元为最大利润.在此价格下，可望销售量为 180004500030900=+⨯-=x (单位).例9 已知该商品的成本函数与收入函数分别是x R x x C 113122=++=试求该商品的盈亏平衡点, 并说明盈亏情况. 解 由0=L 和已知条件得231211x x x ++= 01282=+-x x从而得到两个盈亏平衡点分别为.6,221==x x 由利润函数 )312(11)()()(2x x x x C x R x L ++-=-=)6)(2(1282x x x x --=--= 易见当2<x 时亏损,62<<x 时盈利，而当6>x 时又转为亏.课堂练习 1.(1) 设手表的价格为70元, 销售量为10000只, 若手表每只提高3元, 需求量就减少3000只, 求需求函数dQ . （2）设手表价格为70元, 手表厂可提供10000只手表, 当价格每只增加3元时, 手表厂可多提供300只, 求供应函数sQ . （3）求市场均衡价格和市场均衡数量.。
欢迎阅读微观经济学计算公式第二章 需求曲线和供给曲线（1）需求函数 线性需求函数 供给函数 线性供给函数（2（3（4（1（2（3）（1（2（3（4（5（6（1K （2（3Q =(4) 等产量线：(5) 边际技术替代率（MRTS ） (6) 等成本线(7) 最优的生产要素组合1、既定成本条件下的产量最大化2、给定产量的成本最小化3、利润最大化可以得到的生产要素组合 利润最大化一阶条件 根据上两式，可得：P Q s γδ+-=()P f Q d =P Q d βα-=()P f Q =s r wMP MP MRTS K L ==r w MP MP MRTS K L ==（8）特例—柯布－道格拉斯（C-D ）生产函数规模报酬递增 1>+βα 规模报酬不变 1=+βα 规模报酬递减 1<+βα第五章 成本论（1） ⒈由短期总产量推导短期总成本函数由短期生产函数:（2（3） 由 得 由（4）（1总收益（TR ）:厂商按一定价格出售一定量产品时所获得的全部收入。
TR=P?Q 平均收益（AR ）：厂商在平均每一单位产品上销售所获得的收入。
AR=TR/Q边际收益（MR ）：厂商增加一单位产品上销售所获得的收入。
MR=ΔTR/ ΔQ ＝dTR/dQ（2）企业目标：利润最大化利润函数： 利润最大化的一阶条件为：? 均衡的必要条件： （3） 生产者剩余（如图） βαK AL Q =()KL f Q ,=()()()Q TC Q TR Q -=π()()Q MC Q MR =另外，由于TFC 不变，即MFC=0总边际成本等于总可变成本，所以 PS=TR-TVC=P0Q0-0G·Q0(4)（5 （6（7成本不变行业的长期供给曲线是一条水平线 PQ 0MG PP e A B()dQQ f Q P PS Q ⎰-=0000（8）成本递减行业：行业产量增加所引起的生产要素需求的增加，反而使生产要素价格的下降。
经济学里面的数学方程经济学中常使用的数学方程和模型多种多样，它们帮助经济学家分析和预测经济现象。
以下是一些常见的经济学数学方程和模型：1.供需方程：o供给函数：Qs = f(Ps)o需求函数：Qd = g(Pd)当Qs = Qd时，市场达到均衡，此时的价格称为均衡价格，对应的数量称为均衡数量。
2.市场均衡模型：o P = MC = MR = AR其中，P是价格，MC是边际成本，MR是边际收益，AR是平均收益。
当边际成本等于边际收益时，企业实现利润最大化。
3.消费者行为模型：o效用函数：U = u(x1, x2, ..., xn)描述消费者在给定商品组合下的效用水平。
4.生产函数：o Q = f(K, L)其中，Q是产出，K是资本，L是劳动。
这个函数描述了给定资本和劳动投入下的最大产出。
5.成本函数：o TC = TFC + TVC其中，TC是总成本，TFC是固定成本，TVC是可变成本。
o AC = TC / Q其中，AC是平均成本。
o MC = ∆TC / ∆Q其中，MC是边际成本。
6.无差异曲线：用于描述消费者在不同商品组合之间获得相同效用水平的路径。
7.等产量线：在生产空间中，表示给定生产要素投入组合下能生产出的最大产量。
8.IS-LM模型：o IS曲线：描述产品市场均衡时利率与国民收入之间的关系。
o LM曲线：描述货币市场均衡时利率与国民收入之间的关系。
9.总需求-总供给模型：o AD = C + I + G + (X - M)其中，AD是总需求，C是消费，I是投资，G是政府支出，X是出口，M是进口。
o AS = Y其中，AS是总供给，Y是国民收入。
10.菲利普斯曲线：oπ = πe - β(u - un)其中，π是实际通货膨胀率，πe是预期通货膨胀率，u是实际失业率，un是自然失业率，β是调整系数。
这些方程和模型在经济学中被广泛应用，用于分析市场行为、消费者选择、生产决策、宏观经济政策等各个方面。
微观经济学典型计算题1、某消费者每年用于商品的价格分别为P1=20元和P2=30元，收入I=1800，该消费者的效用函数为U=3某1某22。
求：（1）消费者每年购买这两种商品的数量各应是多少？（2）每年从中获得的总效用是多少？解：（1）由消费者均衡条件MU1/P1=MU2/P2P1某1+P2某2=I3某22/20=6某1某2/3020某1+30某2=1800某1=30某2=40(2)每年获得的总效用U=3某1某22=1440002、已知某厂商只有一种可变生产要素L，产出一种产品Q，固定成本为既定，短期生产函数为Q=21L+9L2-L3，求：（1）总产量TP的最大值。
（2）平均产量AP的最大值（3）边际产量MP的最大值。
解：（1）MP=dQ/dP=21+18L-3L2MP=0，21+18L-3L2=0，L=7（2）AP=TP/L=21+9L-L2=MPL=4或者5，AP的最大值41（3）MP=dQ/dP=21+18L-3L2L=3，MP的最大值为483、设生产函数Q=LK-0.2L2-K2，K=10。
求：（1）L的平均产量函数和边际产量函数（2)当L分别为何值时，APL=0，MPL=0解：当K=10时，生产函数为Q=10L-0.2L2-100(1)平均产量APL=(10L-0.2L2-100)/L边际产量MPL=10-0.4L(2)APL=(10L-0.2L2-100)/L=0，L=36MPL=10-0.4L，L=251.1.经济人从事经济活动的人所采取的经济行为都是力图以自己的最小经济代价去获得自己的最大经济利益。
1.2.需求消费者在一定时期内在各种可能的价格水平愿意而且能够购买的该商品的数量。
1.3.需求函数表示一种商品的需求数量和影响该需求数量的各种因素之间的相互关系的函数。
1.4.供给生产者在一定时期内在各种价格水平下愿意并且能够提供出售的该种商品的数量。
1.5.供给函数供给函数表示一种商品的供给量和该商品的价格之间存在着一一对应的关系。
第2章需求理论练习题1.选择题1•下列因素除哪一种外，都会使需求曲线移动（2）（1）消费者收入变化（2）商品价格下降（3）其他相关产品价格下降（4）消费者偏好变化注释：PPT P13,需求曲线：除价格外英他因素不变的条件下，反映需求量与价格之间关系的曲线, 价格与需求虽:之间呈反比。
价格下降，需求量增加，位置在线上移动，曲线位宜不发生变化。
2.如果消费者的偏好突然增加，同时这种产品的生产成本有较大的下降，我们可以预料（4）（1）该商品的需求曲线和供给曲线都向右移动并使均衡价格和产屋提高（2）该商品的需求曲线和供给曲线都向右移动并使均衡价格和产量下降（3）该商品的需求曲线和供给曲线都向左移动并使均衡价格上升而产量下降（4）该商品的需求曲线和供给曲线都向右移动并使均衡产量增加，但均衡价格可能上升，也可能下注释：详见图3.如果商品A和商品B是可替代的，则A的价格下降造成（4）（1）A商品的需求曲线向右移动（2）A商品的需求曲线向左移动（3）B商品的需求曲线向右移动（4）B商品的需求曲线向左移动注释：替代品，A的价格下降，需求增大，B的需求减少，需求曲线向左移动。
4.若某一行业的许多生产企业生产一种标准化产品，我们可估计到其中任何一个企业的产品需求都是（4）（1）亳无弹性（2）有单位弹性（3）缺乏弹性（4）富有弹性注释：都是替代品，充分竞争，企业的需求受价格影响明显，交叉弹性大。
5.假如生产某种物品所需原材料价格上涨了，则这种商品的（2）（1）需求曲线向左方移动（2）供给曲线向左方移动（3）需求曲线向右方移动（4）供给曲线向右方移动注释：原材料价格上涨，成本上涨，价格上涨，供给曲线向左務动。
6.如果x和y两种产品的交叉弹性为，则（2）（1）x和y是替代品（2）x和y是互补品（3）x和y是低档品（4）x和y是箸侈品注释：交叉弹性PPT P40,替代品：Ec > 0互补品：Ec < 0。
某种苴他商品的价格每变化百分之一，会使该物品需求量变化百分之几7.如果某商品的需求的价格弹性较大，则该商品价格上升（3）（1）会使销售收入增加（2）销售收入不变（3）会使销售收入下降（4）销售收入可能增加，也可能下降注释：弹性需求，Ep<-1,降价会使总收入增加，涨价会使总收入减少，PPT P298.如果人们的收入水平提高，则食品支出在总支岀中的比重将（3）（1）大大增加（2）稍有增加（3）下降（4）不变注释：根拯收入弹性泄义，食品是必需品。
quiver3函数
Quiver3函数是Matlab中用来绘制三维箭头的函数。
Quiver3函数
需要传入起始点和终止点的坐标，以及箭头的长度和方向。
它可以用
于表示三维向量场，如流体力学、电动力学等等。
使用Quiver3函数前，需要先创建一个三维坐标系，使用axes3函数可以创建一个新的三维坐标系，使用view函数可以设置观察角度。
Quiver3函数有很多可选参数，如箭头线的宽度、颜色、透明度，箭
头头部的宽度、颜色、长度等等。
使用这些可选参数可以调整箭头的
外观，使其更符合需求。
除了绘制三维箭头外，Quiver3函数还可以绘制等值线、曲面等等。
它是Matlab中非常实用的三维绘图函数之一。
在使用Quiver3函数时，需要注意一些问题，如箭头长度过长或过短、箭头方向不准确等等。
这些问题可以通过调整箭头的长度参数和方向
参数来解决。
总的来说，Quiver3函数是Matlab中非常实用的三维绘图函数，它
可以用于表示向量场等等，具有广泛的应用价值。
在使用Quiver3函
数时，我们需要仔细调整箭头的方向和长度，同时通过调整可选参数来优化箭头的外观。
微观经济学第二章需求、供给、均衡价格微观经济学第二章需求、供给、均衡价格※本章的教学目的、要求、重点和难点本章是全书的重点章之一。
通过本章学习，要求掌握市场经济运行的最基本原理——价格的形成及其对经济的调节。
近几年来，在各方面因素的带动下，房地产价格呈现快速上涨、逐年攀升的态势。
统计数据表明，2002年我国商品房销售价格上涨3.7%。
2003年上涨幅度达到5.0%。
到2004年，全国商品房和商品住宅平均销售价格分别上涨14.4%和15.2%，是1998年以来的最高水平。
2005年1～4月商品房销售价格同比上涨高达12.5%，为近年来罕见。
房价的快速上涨制约了普通居民居住权益的实现，既影响国民经济的健康发展，也波及到社会的稳定，成为社会各界关注的焦点问题。
（一）房价快速上涨是房地产市场需求过度旺盛的结果。
从理论上讲，房价的上涨或下跌，其根本的动因都是由供求关系所决定的。
在当前，又主要表现在房地产市场的需求过度旺盛上。
（二）房价上涨又受成本上升的推动。
从土地的角度看，主要来源于地方政府利益驱动。
自从银行管辖权上划以后，来自土地的收入成为地方政府财政的支柱。
房价、地价的上涨，有助于地方政府获取更多的收入，房地产膨胀得越大，地方政府的收益就越大。
而与此同时，地方政府的成本却是零。
正是这种成本和收益的极端不对称性，使地方政府成为推动中国房地产业快速发展的动因。
尤其是在实行“经营性土地使用权招标拍卖挂牌出让”政策后，土地价格大幅上涨，部分城市土地价格成数倍增长。
土地交易价格上涨自然增加了房屋开发成本，推动房屋销售价格上涨。
本章的重点和难点包括：需求的含义与需求定理需求变动与需求量变动的区别供给的含义与供给定理供给变动与供给量变动的区别均衡价格的含义供求定理价格在经济中的作用支持价格与限制价格本章主要内容：第一节需求理论第二节供给理论第三节价格的决定第四节价格对经济的调节第五节价格政策第一节需求理论一、什么是需求二、影响需求量的主要因素三、需求的表示四、需求定理五、需求量的变动与需求的变动1.需求定义：消费者在一定时期内，在各种可能的价格水平下，愿意而且能够购买的该商品的数量。
第三节 常用经济函数用数学方法解决实际问题，首先要构建该问题的数学模型，即找出该问题的函数关系. 本节将介绍几种常用的经济函数.分布图示★ 单利与复利 ★ 例1★ 多次付息 ★ 贴现 ★ 例2★ 需求函数 ★ 供给函数★ 市场均衡 ★ 例3 ★ 例4★ 成本函数 ★ 例5 ★ 例6★ 收入函数与利润函数 ★ 例7 ★ 例8★ 例9 ★ 例10 ★ 例11★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题1-3内容要点一、单利与复利利息是指借款者向贷款者支付的报酬, 它是根据本金的数额按一定比例计算出来的. 利息又有存款利息、贷款利息、债券利息、贴现利息等几种主要形式.单利计算公式设初始本金为p (元), 银行年利率为r . 则第一年末本利和为 )1(1r p rp p s +=+=第二年末本利和为 )21()1(2r p rp r p s +=++=……第n 年末的本利和为 )1(nr p s n +=.复利计算公式设初始本金为p (元), 银行年利率为r . 则第一年末本利和为 )1(1r p rp p s +=+=第二年末本利和为 22)1()1()1(r p r rp r p s +=+++=……第n 年末的本利和为 .)1(n n r p s +=二、多次付息单利付息情形因每次的利息都不计入本金, 故若一年分n 次付息, 则年末的本利和为)1(1r p n r n p s +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 即年末的本利和与支付利息的次数无关.复利付息情形因每次支付的利息都记入本金, 故年末的本利和与支付利息的次数是有关系的. 设初始本金为p (元),年利率为r , 若一年分m 次付息, 则一年末的本利和为mm r p s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1 易见本利和是随付息次数m 的增大而增加的.而第n 年末的本利和为 mnn m r p s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1. 三、贴现票据的持有人, 为在票据到期以前获得资金, 从票面金额中扣除未到期期间的利息后, 得到所余金额的现金称为贴现.钱存在银行里可以获得利息, 如果不考虑贬值因素, 那么若干年后的本利和就高于本金. 如果考虑贬值的因素, 则在若干年后使用的未来值(相当于本利和)就有一个较低的现值.考虑更一般的问题: 确定第n 年后价值为R 元钱的现值.假设在这n 年之间复利年利率r 不变.利用复利计算公式有 n r p R )1(+=,得到第n 年后价值为R 元钱的现值为n r R p )1(+=, 式中R 表示第n 年后到期的票据金额, r 表示贴现率, 而p 表示现在进行票据转让时银行付给的贴现金额.若票据持有者手中持有若干张不同期限及不同面额的票据, 且每张票据的贴现率都是相同的, 则一次性向银行转让票据而得到的现金n n r R r R r R R p )1()1()1(2210+++++++= 式中0R 为已到期的票据金额, n R 为n 年后到期的票据金额.n r )1(1+称为贴现因子, 它表示在贴现率r 下n 年后到期的1元钱的贴现值. 由它可给出不同年限及不同贴现率下的贴现因子表.四、需求函数需求函数是指在某一特定时期内, 市场上某种商品的各种可能的购买量和决定这些购买量的诸因素之间的数量关系.假定其它因素(如消费者的货币收入、偏好和相关商品的价格等)不变, 则决定某种商品需求量的因素就是这种商品的价格. 此时, 需求函数表示的就是商品需求量和价格这两个经济量之间的数量关系)(p f q =其中, q 表示需求量, p 表示价格.需求函数的反函数)(1q f p -=称为价格函数, 习惯上将价格函数也统称为需求函数.五、供给函数供给函数是指在某一特定时期内, 市场上某种商品的各种可能的供给量和决定这些供给量的诸因素之间的数量关系.六、市场均衡对一种商品而言, 如果需求量等于供给量, 则这种商品就达到了市场均衡. 以线性需求函数和线性供给函数为例, 令s d q q =d cp b ap +=+0p ca b d p ≡--= 这个价格0p 称为该商品的市场均衡价格（图1-3-3）.市场均衡价格就是需求函数和供给函数两条直线的交点的横坐标. 当市场价格高于均衡价格时, 将出现供过于求的现象, 而当市场价格低于均衡价格时,将出现供不应求的现象.. 当市场均衡时有,0q q q s d ==称0q 为市场均衡数量.根据市场的不同情况，需求函数与供给函数还有二次函数、多项式函数与指数函数等. 但其基本规律是相同的, 都可找到相应的市场均衡点(0p ,0q ).七、成本函数产品成本是以货币形式表现的企业生产和销售产品的全部费用支出, 成本函数表示费用总额与产量(或销售量)之间的依赖关系, 产品成本可分为固定成本和变动成本两部分. 所谓固定成本, 是指在一定时期内不随产量变化的那部分成本; 所谓变动成本, 是指随产量变化而变化的那部分成本. 一般地, 以货币计值的(总)成本C 是产量x 的函数, 即)0()(≥=x x C C称其为成本函数. 当产量0=x 时, 对应的成本函数值)0(C 就是产品的固定成本值.设)(x C 为成本函数, 称)0()(>=x xx C C 为单位成本函数或平均成本函数. 成本函数是单调增加函数, 其图象称为成本曲线.八、收入函数与利润函数销售某种产品的收入R , 等于产品的单位价格P 乘以销售量x , 即,x P R ⋅= 称其为收入函数. 而销售利润L 等于收入R 减去成本C , 即,C R L -= 称其为利润函数.当0>-=C R L 时, 生产者盈利;当0<-=C R L 时, 生产者亏损；当0=-=C R L 时, 生产者盈亏平衡, 使0)(=x L 的点0x 称为盈亏平衡点(又称为保本点).例题选讲单利与复利例1 (E01) 现有初始本金100元, 若银行年储蓄利率为7%, 问:(1) 按单利计算, 3年末的本利加为多少?(2) 按复利计算, 3年末的本利和为多少?(3) 按复利计算, 需多少年能使本利和超过初始本金的一倍?解 (1) 已知,100=p ,07.0=r 由单利计算公式得121)07.031(100)31(3=⨯+⨯=+=r p s (元)即3年末的本利和为121元.(2) 由复利计算公式得5.122)07.01(100)1(333≈+⨯=+=r p s (元)(3) 若n 年后的本利和超过初始本金的一倍，即要即需11年本利和可超过初始本金一倍.贴现例2 (E02) 某人手中有三张票据, 其中一年后到期的票据金额是500元, 二年后到期的是800元, 五年后到期的是2000元, 已知银行的贴现率6%, 现在将三张票据向银行做一次性转让, 银行的贴现金额是多少?解 由贴现计算公式，贴现金额为55221)1()1()1(r R r R r R p +++++= 其中 ,5001=R ,8002=R ,20005=R .06.0=rp r p s n n 2)1(>+=2)07.1(>n 2ln 07.1ln >n 2.1007.1ln /2ln ≈>n故 21.2678)06.01(2000)06.01(800)06.01(50052≈+++++=p (元).市场均衡例3 (E03) 某种商品的供给函数和需求函数分别为P Q P Q s d 5200,1025-=-=求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.解 由均衡条件s d Q Q =得10255200-=-P P例4 (E04) 某批发商每次以160元/台的价格将500台电扇批发给零售商, 在这个基础上零售商每次多进100台电扇, 则批发价相应降低2元, 批发商最大批发量为每次1000台, 试将电扇批发价格表示为批发量的函数, 并求零售商每次进800台电扇时的批发价格.解 由题意看出所求函数的定义域为[500,1000]. 已知每次多进100台，价格减少2元，设每次进电扇x 台，则每次批发价减少)500(1002-x 元/台，即所求函数为 )500(1002160--=x P 10010002160--=x 50170x -= 当800=x 时，15450800170=-=P (元/台) 即每次进800台电扇时的批发价格为154元/台.成本函数例5(E05) 某工厂生产某产品, 每日最多生产200单位. 它的日固定成本为150元, 生产一个单位产品的可变成本为16元. 求该厂日总成本函数及平均成本函数.解 据,)(变固C C x C += 可得总成本 ,16150)(x x C +=]200,0[∈x平均成本.15016)()(xx x C x C +==例6(E06) 某服装有限公司每年的固定成本10000元. 要生产某个式样的服装x 件，除固定成本外，每套（件）服装要花费40元. 即生产x 套这种服装的变动成本40x 元.(1) 求一年生产x 套服装的总成本函数.(2) 画出变动成本、固定成本和总成本的函数图形.(3) 生产100套服装的总成本是多少？400套呢？并计算生产400套服装比生产100套服装多支出多少成本？解 (1) 因变固C C x C +=)(，所以总成本 [)+∞∈+=,0,1000040)(x x x C .(2) 变动成本函数和固定成本函数如左下图所示，总成本函数如右下图所示. 从实际情30=p 70=165102500=-=P况来看，这些函数的定义域是非负整数0，1，2，3等等，因为服装的套数既不能取分数，也不能取负数. 通常的做法是把这些图形的定义域描述成好像是由非负实数组成的整个集合. yO x C =10 00010020030040010 00020 00030 000固C =40变x-)C ()100(3) 生产100套服装的总成本是)(140001000010040)100(元=+⨯=C .生产400套服装的总成本是)(260001000040040)400(元=+⨯=C .生产400套服装比生产100套服装多支出成本是)(120001400026000)100()400(元=-=-C C .收入函数与利润函数例7(E07) 参看例6.某有限公司的决定，销售x 套服装所获得的总收入按每套100元计算，即收入函数x x R 100)(=.(1) 用同一坐标系画出)()(x C x R 、和利润函数)(x L 的图形.(2) 求盈亏平衡点.解 (1) 1000040)(100)(+==x x C x x R 和的图形如图所示.当)()(x C x R 在上方时，将出现亏损.当)()(x C x R 在下方时，将有收益.利润函数1000060)1000040(100)()()(-=+-=-=x x x x C x R x L)(x L 的图形用虚线表示. x 轴下方的虚线表示亏损，x 轴上方的虚线表示盈利.40x+10 000-=60x )-10 000x(2)为求盈亏平衡点，需解方程)()(x C x R =，即1000040100+=x x解之得32166=x . 所以盈亏平衡点约为167. 预测盈亏平衡点通常要进行充分考虑，因为公司为了获利最大，必须有效经营.例8 某工厂生产某产品年产量为x 台, 每台售价500元, 当年产量超过800台时, 超过部分只能按9折出售. 这样可多售出200台, 如果再多生产，本年就销售不出去了. 试写出本年的收益(入)函数.解 因为产量超过800台时售价要按9折出售，又超过1000台(即800台+200台)时, 多余部分销售不出去，从而超出部分无收益. 因此，要把产量分三阶段来考虑. 依题意有⎪⎩⎪⎨⎧>⨯⨯+⨯≤<-⨯+⨯≤≤=1000,2005009.08005001000800),800(5009.08005008000500)(x x x x x x R.1000,4900001000800),800(4504000008000,500⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-+≤≤=x x x x x例9 已知某厂单位产品时，可变成本为15元，每天的固定成本为2000元，如这种产品出厂价为20元，求（1）利润函数；（2）若不亏本，该厂每天至少生产多少单位这种产品.解 (1) 因为),()()(x C x R x L -=,152000)(x x C +=,20)(x x R =所以.20005)152000(20)(-=+-=x x x x L(2) 当0)(=x L 时，不亏本，于是有,020005=-x 得400=x (单位).例10 (E08) 某电器厂生产一种新产品, 在定价时不单是根据生产成本而定, 还要请各销售单位来出价, 即他们愿意以什么价格来购买. 根据调查得出需求函数为.45000900+-=P x 该厂生产该产品的固定成本是270000元, 而单位产品的变动成本为10元. 为获得最大利润, 出厂价格应为多少?解 收入函数为)45000900()(+-⋅=P P P R .450009002P P +-= 利润函数为 )80060(900)()()(2+--=-=p P P C P R P L .90000)30(9002+--=P由于利润是一个二次函数，容易求得，求价格30=P 元时，利润90000=L 元为最大利润. 在此价格下，可望销售量为180004500030900=+⨯-=x (单位).例11 已知该商品的成本函数与收入函数分别是xR x x C 113122=++= 试求该商品的盈亏平衡点, 并说明盈亏情况.解 由0=L 和已知条件得231211x x x ++= 01282=+-x x从而得到两个盈亏平衡点分别为 .6,221==x x 由利润函数)312(11)()()(2x x x x C x R x L ++-=-=)6)(2(1282x x x x --=--=易见当2<x 时亏损, 62<<x 时盈利，而当6>x 时又转为亏.课堂练习1.(1) 设手表的价格为70元, 销售量为10000只, 若手表每只提高3元, 需求量就减少3000只, 求需求函数d Q .（2）设手表价格为70元, 手表厂可提供10000只手表, 当价格每只增加3元时, 手表厂可多提供300只, 求供应函数s Q .（3）求市场均衡价格和市场均衡数量.。
第6章 总需求－总供给模型6.1考点难点归纳1．总需求函数总需求函数表示产品市场和货币市场同时达到均衡时的价格水平与国民收入间的依存关系，描述这一函数的曲线称为总需求曲线。
所谓总需求是指整个经济社会在每一个价格水平下对产品和劳务的需求总量，它由消费需求、投资需求、政府支出和国外需求构成。
在其他条件不变的情况下，当价格水平提高时，国民收入水平就下降；当价格水平下降时，国民收入水平就上升。
总需求曲线向下倾斜，其机制在于：当价格水平上升时，将会同时打破产品市场和货币市场上的均衡。
在货币市场上，价格水平上升导致实际货币供给下降，从而使LM 曲线向左移动，均衡利率水平上升，国民收入水平下降。
在产品市场上，一方面由于利率水平上升造成投资需求下降（即利率效应），总需求随之下降；另一方面，价格水平的上升还导致人们的财富和实际收入水平下降以及本国出口产品相对价格的提高从而使人们的消费需求下降，本国的出口也会减少、国外需求减少，进口增加。
这样，随着价格水平的上升，总需求水平就会下降。
2．总需求曲线的斜率和移动总需求曲线的斜率反映价格水平变动一定幅度使国民收入（或均衡支出水平）变动多少。
从IS －LM 模型分析中可知，价格水平变动引起实际货币余额变动会使LM 移动，进而影响收入水平，而LM 移动究竟会使均衡收入变动多少，取决于IS 曲线和LM 曲线的斜率。
IS 曲线斜率不变时，LM 曲线越陡，则LM 移动时收入变动就越大，从而AD 曲线越平缓；相反，LM 曲线斜率不变时，IS 曲线越平缓（即投资需求对利率变动越敏感或边际消费倾向越大），则LM 曲线移动时收入变动越大，从而AD 曲线也越平缓。
政府采取扩张性财政政策，如政府支出扩大（A 增加），或扩张性货币政策（M 增加），都会使总需求曲线向右上方移动；反之，则向左下方移动。
3．总供给总供给是经济社会的总产量（或者总产出），一般而言是由劳动力、生产性资本存量和技术决定的。
第二章需求、供给及均衡价格1.已知某一时期内商品的需求函数为Qd=50-5P，供给函数为Qs=-10+5P。
（1）求均衡价格Pe和均衡数量Qe。
需求函数：Qd=50-5P供给函数：Qs=-10+5P均衡时：Qd=Qs50-5P=-10+5P10P=60均衡价格：Pe=6均衡数量：Qe=50-5×6=20（2）求均衡点的供给价格弹性和需求价格弹性。
需求函数：Qd=50-5P为过(0,50)、(10,0)两点的直线；供给函数：Qs=-10+5P为过(2,0)、(10,40)两点的直线。
两直线的交点(6,20)就是均衡点。
2.假定在某市场上A、B两厂商是生产同种有差异的产品的竞争者；该市场对A厂商的需求曲线为PA＝200－QA，对B厂商的需求曲线为PB＝300－0.5QB；两厂商目前的销售量分别为QA＝50，QB＝100。
求：(1)A、B两厂商的需求的价格弹性edA和edB各是多少？PA=200-QAQA=50PA=150即edA=（-dQA/dPA）×（PA/PB）=-（-1）×150/50=3PB=300-0.5QBQB=100PB=250即EdB=（-dQB/dPB）×（PB/QB）=-（-2）×250/100=5(2)如果B厂商降价后，使得B厂商的需求量增加为Q′B＝160，同时使竞争对手A厂商的需求量减少为Q′A＝40。
那么，A厂商的需求的交叉价格弹性eAB是多少？当Qa’=40时，PA'=200-40=160且Qa’=-10当Qb‘=160时，PB‘=300-0.5×160=220且Qb‘=-30∴eAB=（Qa’/Pb')×（Pb’/Qa')=(-10/-30)×（250/50）=5/3(3)如果B厂商追求销售收入最大化，那么，你认为B厂商的降价是一个正确的行为选择吗？正确。
B为富有弹性的商品，价格与销售收入呈反方向变化。
