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高考数学解析几何概念详解高考数学是每个学生普遍都需要面对的考试之一。
其中，解析几何是不可避免的一个重要考点。
解析几何主要涉及到平面解析几何和空间解析几何两个部分。
本文将着重介绍空间解析几何的概念及其应用。
一、空间直角坐标系和三元组空间解析几何中，空间直角坐标系是十分重要的概念。
我们通常用三个坐标轴来确定一个三维空间，这三个坐标轴之间相互垂直，其中x轴是水平方向，y轴是垂直于x轴的水平方向，z轴是垂直于x轴和y轴的垂直方向。
三元组则是指在一个空间直角坐标系中，一个点的坐标表示。
三元组的一般表示为$(x,y,z)$，其中x表示该点在x轴上的坐标位置，y表示该点在y轴上的坐标位置，z表示该点在z轴上的坐标位置。
二、空间向量的定义和性质空间向量是指在空间内有大小和方向的量。
空间向量可以用坐标表示和点表示两种方式。
在坐标表示中，一个空间向量通常用起点和终点的坐标表示出来，两个坐标之间的差即为该向量的坐标表示。
在点表示中，一个空间向量通常用其起点和方向向量来表示，我们通常用有向线段表示空间向量，起点在空间上的一个点，终点则为有向线段的末端点，而方向则由有向线段的方向确定。
在学习空间解析几何时，我们需要掌握空间向量的一些基本性质，比如向量的运算法则、向量共线条件、向量的数量积等等。
三、空间直线的方程式和特殊直线空间直线通常可以用向量、点向式和截距式表示。
其中，向量式表示的直线通常采用点向式和截距式表示。
点向式表示的直线可以通过其通过的一点 $P(x_0,y_0,z_0)$ 和与直线平行的一个向量 $\overrightarrow{l}=\langle a,b,c\rangle$ 来表示，其方程为：$$ \frac{\mathbf{x}-\mathbf{P}}{a}=\frac{\mathbf{y}-\mathbf{P}}{b}=\frac{\mathbf{z}-\mathbf{P}}{c} $$截距式表示的直线则主要用于表示直线与坐标轴的交点及其坐标。
高三数学解析几何知识点解析几何是数学中的一个分支，它研究了几何图形在平面或空间中的性质和相互关系，并通过代数方法进行表达和计算。
作为高三数学的重要内容，解析几何关乎着学生的学习成绩和应试能力。
下面将介绍高三数学解析几何的几个重要知识点。
一、平面直角坐标系及其方程平面直角坐标系是解析几何的基础，也是我们研究平面几何问题的出发点。
平面直角坐标系是由两条相交于直角的坐标轴组成，分别称为x轴和y轴。
每个点在平面直角坐标系中都可以用一个有序数对表示，称为坐标。
平面直角坐标系中的方程可以分为线性方程和非线性方程两种形式。
线性方程的一般形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。
非线性方程的一般形式为F(x, y) = 0，其中F为关于x和y的函数。
二、二次曲线的方程与性质二次曲线是解析几何中的重要图形，它们的方程一般形式为Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0。
常见的二次曲线有圆、椭圆、抛物线和双曲线。
它们有着不同的性质和特点。
圆是最简单的二次曲线，它的方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
圆的特点是任意两点到圆心的距离相等。
椭圆是一种拉伸的圆形，它的方程为(x-a)²/a² + (y-b)²/b² = 1。
椭圆有两个焦点，对于椭圆上的任意一点，到两个焦点的距离的和是一个常数。
抛物线是一种开口朝上或朝下的曲线，它的方程为y² = 2px。
抛物线的焦点为F(p, 0)，准线为x = -p。
双曲线是一种开口朝左右的曲线，它的方程为x²/a² - y²/b² = 1。
双曲线有两个焦点，对于双曲线上的任意一点，到两个焦点的距离的差是一个常数。
三、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是解析几何中的一个重要问题，我们需要确定直线与圆的交点数和交点的位置。
解析几何高考知识点总结几何是数学中的一个分支，几何学主要研究空间中的点、线、面及其相互关系。
在高中数学教学中，解析几何是一个重要的知识点，涉及到平面和空间的几何图形以及它们的性质和运算。
下面将对几何高考的相关知识点进行总结与解析。
一、平面几何1. 点、线、面的性质和判定在平面几何中，点、线和面都是基本的几何要素。
点是没有大小和方向的，只有位置；线是由无数个点组成的，具有长度和方向；面是由无数个平行于同一直线的线段组成的，具有长度、宽度和平面内的方向。
通过点的坐标、直线的方程和平面的方程，我们可以判定它们的性质，如两点之间的距离、线段的中点、直线的斜率等。
2. 相交与平行在平面几何中，两条直线相交的条件是它们的斜率不相等，两条直线平行的条件是它们的斜率相等且截距不相等。
根据这一条件，我们可以判断两条直线是否相交或平行，并求出直线的交点坐标。
3. 三角形的性质和判定三角形是平面几何中常见的图形，根据其边长和角度的性质，我们可以对三角形进行分类和判定。
例如，根据边长的关系，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形；根据角度的关系，三角形可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。
通过这些性质和判定条件，我们可以解决与三角形相关的问题，如计算三角形的面积、判定三角形的形状等。
二、空间几何1. 空间直线与平面的关系在空间几何中，直线和平面是重要的几何要素。
空间直线可以由一点及其方向向量确定，平面可以由一点及其法向量确定。
通过这一关系，我们可以确定直线与平面的位置关系，如直线与平面的交点、直线与平面的距离等。
2. 空间向量的运算在解析几何中，向量是一个非常重要的概念，它可以表示空间中的方向和大小。
空间向量的运算包括加法、减法、数乘和点乘等。
通过向量的运算，我们可以求解空间中的线段长度、夹角、面积等问题。
3. 空间直线与空间曲面的关系在空间几何中，空间直线与空间曲面的关系是一个研究的重点。
根据直线与曲面的位置关系，我们可以判定它们的交点、相切点等。
高三复习专题讲座解析几何高三复习专题讲座解析几何一、高考考纲要求高中《解析几何》内容包含两章——直线和圆的方程和圆锥曲线方程，这两章的要求分别如下：（一）直线和圆的方程（1）理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
（3）了解二元一次不等式表示平面区域。
（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用。
（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法。
（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。
（二）圆锥曲线的方程（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程。
（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。
（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。
（4）了解圆锥曲线的初步应用。
二、高考考点分析04年高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为27.1分，占18．1％；01年以来，解析几何内容在全卷的平均分值为29.3分，占19.5％．因此，占全卷近1/5的分值的解析几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重视．近几年高考试题知识点分析从上表中可以发现，高考试题中对解析几何内容的考查几乎囊括了该部分的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及．1．选择、填空题1．1 大多数选择、填空题以对基础知识、基本技能的考查为主，难度以容易题和中档题为主（1）对直线、圆的基本概念及性质的考查例1 （’04全国文Ⅱ）已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（A）（B）（C）（D）例2（’03全国文Ⅰ）已知点的距离为1，则a=（A）（B）－（C）（D）例3（’04江苏）以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是_________．例4（’04全国文Ⅱ）已知圆C与圆关于直线。
高考解析几何知识点总结归纳在高考数学考试中，几何是一个重要的知识点，占据了一定的比重。
为了帮助同学们更好地备考和应对高考，本文将对高考解析几何知识点进行总结和归纳。
1.直线与圆的位置关系在几何学中，直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离。
首先是两者相交的情况，如果直线与圆相交于两个不同的交点，则称直线与圆相交于两点；如果直线只与圆相交于一个交点，则称直线与圆相切；如果直线与圆没有交点，则称直线与圆相离。
2.判定平行线在高考中，常常需要判定两条直线是否平行。
一种常用的方法是使用平行线的基本判定定理，即如果两条直线分别与一条第三条直线相交，并且两个交点分别在这条第三条直线的同一侧，则可判定这两条直线平行。
3.三角形的内角和外角三角形是解析几何中的基本图形，对于三角形的内角和外角，有一些重要的性质需要掌握。
首先是内角和定理，也被称为角和定理，即任意三角形的内角和等于180°。
另外一个是外角和定理，即三角形的一个外角等于该三角形的另外两个内角的和。
4.相似三角形相似三角形是指具有相同形状但不一定相等的三角形。
相似三角形之间有很多重要的性质，比如对应角相等、对应边成比例等。
在解析几何中，常常需要利用相似三角形的性质来解决一些问题。
5.三角形的面积与高三角形的面积与高是一个重要的考点，通常使用海伦公式或底边高公式来求解。
海伦公式适用于一般的三角形，公式为：面积 = sqrt(s * (s-a) * (s-b) * (s-c))，其中s是半周长，a、b、c是三角形的三条边。
底边高公式适用于直角三角形，公式为：面积 = 1/2 * 底边 * 高。
6.圆的面积与周长圆是解析几何中的基本图形，其面积与周长的计算需要掌握一些重要的公式。
圆的周长也被称为圆周长，公式为：周长= 2πr，其中r是圆的半径。
圆的面积公式为：面积= πr²。
7.平行四边形的性质平行四边形是指具有两组平行边的四边形。
高考解析几何的知识点总结高考数学考试中，解析几何是一个重要的考点。
解析几何是数学中的一个分支，主要研究平面和空间中点、线、面的几何特性。
在解析几何的学习过程中，掌握一些基本的知识点是非常关键的。
本文将对高考解析几何的知识点进行总结，帮助考生复习备考。
一、直线与曲线的方程1. 直线的方程：直线的一般方程为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。
当A或B等于0时，直线的方程可以化简为其他形式。
2. 直线的斜截式方程：直线的斜率为k，与y轴的截距为b，直线的方程可以表示为y=kx+b。
斜截式方程是直线方程中的一种常见形式。
3. 直线的点斜式方程：直线上一点的坐标为(x₁, y₁)，直线的斜率为k，直线的方程可以表示为y-y₁=k(x-x₁)。
点斜式方程是直线方程中的另一种常见形式。
4. 曲线的方程：常见的曲线方程有：圆的方程、椭圆的方程、抛物线的方程、双曲线的方程等。
每种曲线都有其特定的形式和性质，考生需要了解并掌握。
二、直线与曲线的交点1. 直线与直线的交点：两条直线的方程相交解得到交点的坐标。
2. 直线与圆的交点：直线与圆的交点有无穷多个、一个或者没有交点，取决于直线与圆的位置关系和方程。
3. 直线与椭圆的交点：直线与椭圆的交点有无穷多个、一个或者没有交点，取决于直线与椭圆的位置关系和方程。
4. 直线与抛物线的交点：直线与抛物线的交点有无穷多个、一个或者没有交点，取决于直线与抛物线的位置关系和方程。
5. 直线与双曲线的交点：直线与双曲线的交点有无穷多个、一个或者没有交点，取决于直线与双曲线的位置关系和方程。
三、平面与空间几何1. 平面的方程：平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C、D为常数，A、B、C不全为0。
平面的法向量为(A,B,C)，平面上的点满足方程Ax+By+Cz+D=0。
2. 平面与直线的位置关系：平面与直线可以相交、平行或重合，取决于平面与直线的位置关系和方程。
高考最后20天冲刺——解析几何综合问题求解策略主讲人：刘蒋巍一．同学们做解析几何题困难在哪里？很多同学们对于解析几何综合问题几乎到了“谈虎色变”的地步.究其原因，可以概括为三条：“想不到”、“消不去”和“算不对”.“想不到”的客观原因是解析几何综合问题包含的信息量大，既有几何关系，又有代数关系，两个领域之间的联系隐蔽性强.主观原因是同学们没有掌握解析几何的思维特征与基本思想，对于题中的几何关系、代数关系不能够准确转化，找不到条件和条件之间的联系，典型状态是“我怎么没想到？”.“消不去”和“算不对”的客观原因“坐标法”本身. 解析几何综合问题中涉及字母符号较多，运算过程复杂.主观原因同学们对几何问题的代数化有问题.如不会从几何图形中，从所给的方程和一些数据数值中挖掘出几何的特征，导致代数化过于繁琐，计算量增大。
对于综合问题运算的复杂性认识不足，对算理不理解，找不到运算的方向，典型状态是“往下我该怎么办？”， “我怎么又算错了？”.(运算不仅能帮助你“得结果”，还帮助你进一步的推理和求解，运算的核心还是“思维能力”，还有意志力.)以上原因使同学们不能较好的进行求解，连续的求解失利，会使你失去自信心，进而怀疑自己的能力，甚至对数学产生畏惧和厌倦心理，对同学们的成长极其不利.二．如何突破以上难点？（一）解决基础问题：求曲线的方程求曲线方程目前考查较多的方法：待定系数法、直接法、定义法。
除此之外，你可以集中做一组练习：根据条件求下列曲线的方程，并总结求法，看谁总结的好，题目命的好. 题组练习1（1）研究平面内与两定点1(,0)A a -，2(,0)A a (0)a >连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，包括1A 、2A 两点所成的曲线C 的类型.（2）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且12||2F F =，点（1，32）在椭圆C 上，求椭圆C 的方程. （3）如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆内一定点， P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么？ （选自人教A 版选修2-1第47页A 组练习7， 同时可以让同学们思考如何类比得双曲线定义）（4）求抛物线22(0)y px p =>（5） 已知椭圆19422=+y x ，一组平行直线的斜率23=k （I ）这组直线何时与椭圆相交？（II ）当直线与椭圆相交时，求证相交弦的中点都在一条直线上.（III ）设直线与椭圆相交于A,B 两点，且满足以AB 为直径的圆过原点，求此时的直线方程. （附：练习1答案：图 1图 1曲线C 的方程为222.mx y ma -=当1,m <-时曲线C 的方程为22221,x y C a ma +=-是焦点在y 轴上的椭圆； 当1m =-时，曲线C 的方程为222x y a +=，C 是圆心在原点的圆；当10m -<<时，曲线C 的方程为22221x y a ma +=-，C 是焦点在x 轴上的椭圆； 当0m >时，曲线C 的方程为12222=-may a x C 是焦点在x 轴上的双曲线.） 做完后总结求曲线方程的一般思维流程：（二）“几何条件代数化”的专题练习“想不到“首先是几何关系与代数关系相互转化，你可以做几何条件代数化的专题练习，伤其十指不如断其一指。
解析几何知识点高考高考是每个学生都不可逃避的考试，而其中涉及到的数学题目，特别是解析几何相关的知识点，常常成为考生们头疼的问题。
解析几何是数学中的一个重要分支，它通过运用数学的方法来研究几何图形，将几何问题转变为代数问题，利用代数工具进行求解。
下面，我们就来解析一些高考中常见的解析几何知识点。
首先，让我们来谈谈直线的方程。
直线是解析几何中最基本的图形之一。
对于给定的一条直线，我们可以使用不同的方法来确定它的方程。
其中最常用的是斜截式和点斜式。
斜截式方程形如 y = kx + b，其中 k 表示斜率，b 表示 y 轴截距。
而点斜式方程则是通过给定直线上一点的坐标和直线的斜率来求得，它的形式为 y - y1 = k(x - x1)。
这两种形式的方程可以互相转化，根据题目的要求来选择使用。
其次，我们来探讨一下圆的方程。
圆是解析几何中的另一个重要图形，它是由平面上一点到另一点的距离相等的所有点的集合。
对于给定的圆，我们也可以使用不同的方式来确定它的方程。
常用的方式有标准方程和一般方程。
标准方程形如 (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中 (a, b) 表示圆心的坐标，r 表示半径的长度。
一般方程则是通过圆心和半径的定义条件求得，它的形式为 x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0。
除了直线和圆的方程，我们还需要学习抛物线、椭圆和双曲线的方程。
这些曲线在解析几何中也有着重要的地位。
抛物线的方程有三种常见形式：顶点式、焦点式和参数方程。
椭圆的方程由焦点、两个焦点之间的距离和两条焦点连线的长度唯一确定。
而双曲线则是通过焦点、两个焦点之间的距离和两条焦点连线的长度的差来确定。
解析几何中还有一些常用的定理和公式，例如直线的相交情况、直线与圆的位置关系、直线的倾斜角度等。
这些定理和公式需要我们进行理解和掌握，以便能够在解析几何的题目中灵活运用。
解析几何是数学中的一门重要学科，它与几何学、代数学和数学分析等其他学科有着紧密的联系。
高考数学冲刺解析几何考点精讲在高考数学中，解析几何一直是一个重点和难点板块。
对于即将参加高考的同学们来说，掌握好这部分知识至关重要。
下面，我们就来对高考数学中解析几何的考点进行一次详细的梳理和讲解。
一、直线与方程直线是解析几何中最基本的图形之一，而直线方程则是描述直线的重要工具。
1、直线的倾斜角和斜率倾斜角的范围是0, π)，斜率则是倾斜角的正切值。
当直线平行于 x轴时，倾斜角为 0，斜率为 0；当直线垂直于 x 轴时，倾斜角为 90°，斜率不存在。
2、直线方程的几种形式（1）点斜式：y y₁＝ k(x x₁)，其中（x₁, y₁) 是直线上的一点，k 是直线的斜率。
（2）斜截式：y ＝ kx ＋ b，其中 k 是斜率，b 是直线在 y 轴上的截距。
（3）两点式：（y y₁)／（y₂ y₁) ＝（x x₁)／（x₂ x₁)，其中（x₁, y₁)，（x₂, y₂) 是直线上的两点。
（4）截距式：x/a ＋ y/b ＝ 1，其中 a 是直线在 x 轴上的截距，b 是直线在 y 轴上的截距。
（5）一般式：Ax ＋ By ＋ C ＝ 0（A、B 不同时为 0）在解题时，要根据已知条件灵活选择直线方程的形式，以便简化计算。
二、圆与方程圆是一种常见的几何图形，其方程的形式和性质也是高考的重要考点。
1、圆的标准方程（x a)²＋（y b)²＝ r²，其中（a, b) 是圆心坐标，r 是圆的半径。
2、圆的一般方程x²＋ y²＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0（D²＋ E² 4F ＞ 0），通过配方可以化为标准方程。
3、直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系，可以通过比较圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小。
当 d ＞ r 时，直线与圆相离；当 d ＝ r 时，直线与圆相切；当 d ＜ r 时，直线与圆相交。
三、椭圆椭圆是高考中常考的曲线之一。
查补易混易错点06解析几何1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错．2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为xa ＋ya＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等．3．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0.当两条直线的斜率相等时，两直线平行或重合，易忽视重合．4致错解．5．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．6．易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误．7．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解．8．直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进1．（2023·吉林·统考三模）已知圆C：线l的距离为（）123．（2023·甘肃兰州则a 的取值范围是（A ．[12,12]-+C ．[2,12)+【答案】B【解析】2y =-即曲线2y x =--作出曲线2y =-4．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）设()4,0B ，若AF BF =，则AB A ．2B ．22A．2B 【答案】DPQ=【解析】因为24A ．22194y x -=B ．22124y x -【答案】B【解析】双曲线(222104y x a a -=>以原点为圆心，双曲线虚半轴长为半径长的圆的方程为A ．23B 【答案】D【解析】以A 为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，由题意知：NQ a c =+，则直线:134xy PR -+=，即设()(),03Q n n <-，则M ∴点M 到直线PR 的距离71322QR ∴=-+=，即a -设直线(:4PN y kx k =+>∴点M 到直线PN 的距离又直线PN PR k k <，15k ∴=令0y =，解得：152x =-715422NQ ∴=-+=，即将()MAy k x a =+与by x a =-联立，解得将()MA y k x a =+与by x a =联立，解得因为线段MA 被两条渐近线三等分，所以212y y =，即MA MAk abb ak=-对于B ：设()00,M x y ，则15．（多选题）（2023·广东左、右焦点分别为1F ，2F ，A ．若()2,1P ，且2PF x ⊥B ．若C 的一条渐近线方程是C ．若点P 在C 的右支上，D ．若12sin sin PF F e PF ∠=⋅∠【答案】AD【解析】对于A ，若(2,1P 所以()221221PF PF -=+221x y -=，故A 正确；对于B ，若C 的一条渐近线方程是确；对于C ，若C 的离心率为等腰三角形，则1PO OF =18．（2023·山东聊城·统考模拟预测）已知双曲线2F ，且124F F =，(3,2)P 是(1)求C 的方程；(2)不垂直于坐标轴的直线l 轴于点D ，若||||2|AM AN ⋅=【解析】（1）设C 的焦距为由双曲线的定义，得2a PF =即3a =，所以22b c a =-=故C 的方程为2213x y -=；（2）设(),0A s ，()11,M x y ，联立2213x ty s x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得(2t -由题意，得222230Δ44(3)(t s t t ⎧-≠⎨=--⎩则12223st y y t -+=-，212233s y y t -=-()(1AM AN AM AN x s ⋅=⋅=-由OA OB ⊥得直线OB 方程为：由24y kx y x =⎧⎨=⎩，解得244,A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
解析几何知识点高考总结几何学是数学中重要的一个分支，其中解析几何是我们在高中阶段学习的重点之一。
通过解析几何的学习，我们能够更深入地理解和应用几何学中的各种概念和定理。
在高考中，解析几何也是一个重要的考点，掌握解析几何的知识点对我们取得优异的成绩至关重要。
1. 坐标平面和直线方程解析几何的基础就是坐标平面和直线方程。
在平面上，我们引入了一个直角坐标系，将平面上的点与有序实数对对应起来。
通过这个坐标系，我们可以用坐标来表示平面上的点。
直线在平面上是一个基本的几何图形，我们可以通过方程来表示直线。
常见的直线方程有一般式、点斜式和截距式。
我们需要熟练掌握这些方程，能够相互转换，并且能够通过方程求解直线的性质。
2. 平面和曲线方程解析几何中还包括了平面和曲线方程的学习。
通过平面方程，我们可以描述平面上的几何图形。
常见的平面方程有一般式和点法式。
我们需要掌握这些方程的应用，能够根据方程求解平面的性质。
曲线方程是描述平面上曲线的方程，常见的曲线方程有圆的方程和抛物线的方程等。
我们需要深入学习这些曲线方程，理解它们的几何特性。
3. 直线和曲线的位置关系在解析几何中，我们经常需要分析直线和曲线的位置关系。
直线和直线的位置关系有相交、平行和重合三种情况。
我们可以通过直线的方程来判断直线的位置关系。
曲线和曲线的位置关系也是一个重要的考点，我们需要通过曲线的方程来分析曲线的位置关系，例如两个曲线是否相交、是否有公共的切线等。
4. 镜面反射和折射光学是解析几何的一个重要应用领域。
在光学中，镜面反射和折射是两个基本概念。
镜面反射发生在光线从一个平面镜面上反射的过程中，通过角度相等的定律，我们可以推导出光线的反射角和入射角之间的关系。
折射发生在光线从一个介质进入另一个介质时，通过折射定律，我们可以推导出光线的折射角和入射角之间的关系。
了解镜面反射和折射的规律，能够帮助我们更好地理解光学现象。
5. 三角函数和向量解析几何中的三角函数和向量也是重点内容。
高考解析几何知识点几何学是高考数学中的一个重要的分支，它涉及到空间的形状、变换和度量等内容。
在高考中，解析几何是数学试卷中必考的重要知识点之一。
下面将对高考解析几何的相关知识点做详细解析。
一、坐标系和平面方程在解析几何中，常常会用到坐标系和平面方程来描述几何图形。
坐标系中我们常用直角坐标系，它由x轴和y轴构成，任意一点的坐标用(x，y)表示。
而平面方程则用来表示平面上的点满足的条件。
常见的平面方程有一般式、截距式和法向量式。
二、直线和曲线直线和曲线是解析几何中的基本概念。
在直线的研究中，我们常用到直线的方程和性质。
直线的方程有点斜式、两点式和截距式等形式。
而直线的性质包括平行、垂直和夹角等。
曲线的研究中，我们常用到曲线方程和曲线的性质。
曲线方程常见的有圆的方程、抛物线的方程和椭圆的方程等。
曲线的性质包括切线、法线和渐近线等。
三、圆和圆锥曲线圆是解析几何中的一个重要概念，它是平面上一组等距离的点构成的图形。
圆的方程可以用标准方程、一般方程和参数方程表示。
我们可以通过圆的方程求解圆的性质，如圆心、半径和切线等。
圆锥曲线是解析几何中的重点内容，主要包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们都有各自的方程和性质。
我们可以通过方程来确定曲线的形状，通过性质来计算焦点、准线和离心率等。
四、空间几何空间几何是三维空间中的几何学，它是解析几何的拓展和延伸。
在空间几何中，我们常用到的概念包括点、直线、平面和曲线等。
而解析空间几何的基础为三维坐标系，我们可以通过三维坐标系来确定点的位置和直线的方程。
在高考中，空间几何常涉及到平行、垂直和夹角等性质的计算。
此外，空间几何还包括距离、体积和表面积等内容，通过计算来解决与空间图形相关的问题。
五、立体几何立体几何是解析几何的应用之一，它主要研究空间中的立体图形。
高考中常见的立体图形包括正方体、长方体、圆柱体和圆锥体等。
我们可以通过解析立体几何来计算立体图形的体积、表面积和对称性等性质。
解析几何(1)此讲主要对高考常考的知识点有过大致的了解,然后对一些常见问题如对称问题,平面几何的应用进行讨论。
一、高考常考点1.椭圆、双曲线、抛物线及其标准方程第一定义、第二定义; （回顾相关知识点）2.标准方程(注意焦点在哪个轴上); 为什么要注意3.简单几何性质(a、b、c、e的几何意义),准线方程,焦半径及焦点三角形等,适当关注三角函数问题.二、常见结论、题型归类及应对策略有些内容要加以记忆高考试题中,解析几何试题的分值一般占20%以上,而圆锥曲线的内容在试卷中所占比例又一直稳定在14%左右,选择、填空、解答三种题型均有.选择、填空题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法的运用;以圆锥曲线为载体的解答题设计中,重点是求曲线的方程和直线与圆锥曲线的位置关系讨论,它们是热中之热.解答题的题型设计主要有三类:a是针对圆锥曲线的有关元素计算.关系证明或范围的确定;b是涉及与圆锥曲线平移、对称变换、最值或位置关系的问题;c是求平面曲线(整体或部分)的方程或轨迹.1.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可统一设为Ax2+Bx2=1.2.共渐近线y=±b/ax的双曲线标准方程为x2/a2-y2/b2=λ(λ为参数,λ≠0).3.焦半径、焦点弦问题(1)椭圆焦半径公式在椭圆x2/a2+y2/b2=1中,F1、F2分别为左、右焦点,P(x0,y0)是椭圆上任一点,则①|PF1|=a+ex0;②|PF2|=a-ex0.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)左焦点的弦为AB,则|AB|=2a+e(x1+x2),过右焦点的弦|AB|=2a-e(x1+x2).(2)双曲线焦半径公式:设P(x0,y0)为双曲线上任一点,焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则:①当P点在右支上时,|PF1|=a+ex0,|PF2|=-a+ex0.②当P点在左支上时,|PF1|=-a-ex0,PF2|=a-ex0.(3)抛物线焦半径公式:设P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,F为焦点,则|PF|=x0+p2.y2=-2px(p>0)上任意一点,F为焦点,则|PF|=-x0+p2;抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦)为AB,设A(x1,y1)、B(x2,y2),则有如下结论:①|AB|=x1+x2+p;②y1y2=-p2,x1x2=p24.4直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题|AB|= 什么得到的？自己推导5.中点弦问题（主要是斜率问题）k AB k OM=-b2/a2 (椭圆、双曲线）抛物线？？学习方法：1重视与向量的综合设双曲线C:x2/a2-y2/b2=1(a>0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B. (Ⅰ)求双曲线C的离心率e的取值范围;(Ⅱ)设直线l与y轴的交点为P,且PA=5/12PB,求a的值.。
高考解析几何重要知识点解析几何是数学中的重要分支之一，也是高考数学中的一大重点。
掌握好解析几何的知识点，对于高考数学的成绩至关重要。
下面，我们将详细解析高考解析几何的几个重要知识点。
一、坐标系坐标系是解析几何的基础，它是用来描述平面或空间中的点的一种工具。
常见的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
直角坐标系由两条相互垂直的坐标轴组成，通常用x轴和y轴表示。
点的坐标表示为(x, y)。
利用直角坐标系可以对点、直线和曲线进行准确的描述和计算。
极坐标系由一个定点（极点）和一个射线（极轴）组成，点的坐标表示为(r,θ)，其中r为点到极点的距离，θ为射线与极轴的夹角。
二、直线与曲线的方程直线的方程通常由斜率和截距确定。
在直角坐标系中，直线的方程可以由一般式（Ax+By+C=0）、点斜式（y-y₁=m(x-x₁)）或斜截式（y=kx+b）表示。
曲线的方程则有多种形式，如圆的方程（(x-a)²+(y-b)²=r²）和椭圆的方程（(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1），等等。
掌握各种曲线的方程形式，能够更好地分析和解决解析几何问题。
三、两点及两点间距离在解析几何中，两点的坐标差可以表示为向量。
两点之间的距离可以用勾股定理求解。
对于平面上的两点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，它们之间的距离d可以表示为：d=sqrt((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)。
四、直线的性质直线的性质是解析几何中的基础，对于高考来说也是重要的知识点。
首先，两条直线的位置关系可以分为平行、垂直和斜率相等。
平行的直线具有斜率相等，即k₁=k₂。
垂直的直线，其斜率之积为-1，即k₁·k₂=-1。
斜率等于0的直线与x轴平行，斜率不存在的直线与y轴平行。
其次，直线的方程可以由已知点和斜率表示。
点斜式和斜截式是较常见的表示方法。
最后，两条直线的相交问题是解析几何中的重要考点。
高三解析几何题知识点解析几何是高中数学中的一大重点内容，它与代数和几何密切相关，帮助我们通过坐标系和代数方法来研究几何图形。
在高三阶段，解析几何题常常出现在各种考试中，因此掌握解析几何的知识点至关重要。
本文将针对高三解析几何题的知识点进行详细解析，以帮助同学们更好地应对相关题目。
一、笛卡尔坐标系解析几何的基础是笛卡尔坐标系，也称为直角坐标系。
在平面上，我们使用两条相互垂直的坐标轴，分别称为x轴和y轴，进行定位。
其中，x轴和y轴的交点称为原点O。
通过给出一个点的坐标，我们就能确定该点在平面上的位置。
二、点的坐标表示在解析几何中，我们通常用有序数对(x, y)来表示二维平面上的点。
其中，x表示横坐标，y表示纵坐标。
例如，点A的坐标为(2, 3)，意味着该点在x轴上的坐标为2，在y轴上的坐标为3。
三、直线的方程在解析几何中，直线可以用方程表示。
常见的直线方程有一般式和斜截式。
1. 一般式：Ax + By + C = 0其中，A、B、C为常数，A和B不同时为0。
例：2x - 3y + 6 = 0。
2. 斜截式：y = kx + b其中，k为直线的斜率，b为y轴截距。
例：y = 3x + 2。
四、两直线的关系在解析几何中，两条直线可能存在不同的关系。
1. 平行关系：两条直线具有相同的斜率，但截距可能不同。
2. 垂直关系：两条直线的斜率相乘为-1，即k1 * k2 = -1。
3. 相交关系：两条直线既不平行也不垂直，且有且只有一个交点。
五、圆的方程圆的方程可以用一般式或标准式表示。
1. 一般式：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2其中，(a, b)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。
2. 标准式：(x - h)^2 + (y - k)^2 = d^2其中，(h, k)表示圆心的坐标，d表示圆心到圆上任意一点的距离。
六、解析几何的常见题型在高三解析几何中，我们常见到以下几种题型：点与直线的位置关系、直线与直线的位置关系、圆与直线的位置关系等等。
高考冲刺：解析几何综合问题编稿：辛文升审稿：孙永钊【高考展望】1.坐标法、曲线的方程与方程的曲线是解析几何的学科基础，应在理解的基础上会应用；2.点、直线、圆、圆锥曲线是解析几何重点研究的基本图形，其方程、几何性质是高中解析几何重点研究的内容，也是高考考查的重点；3.几何性质与方程的对应关系是正确理解解析几何问题的关键，也是正确解决解析几何问题的关键；4.数形结合的数学思想方法是解决解析几何的根本方法，是解决解析几何综合问题的基本思路.【知识升华】知识点一：曲线的方程和方程的曲线的关系一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程,0f x y =（）的实数解建立了如下的关系：（1）曲线C 上所有点的坐标都是方程,0f x y =（）的解；（2）以方程,0f x y =（）的解为坐标的点都在曲线C 上.那么，方程,0f x y =（）叫做曲线C 的方程；曲线C 叫做方程,0f x y =（）的曲线.知识点二：求曲线的方程1.坐标法的定义：在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x，y）所满足的方程(,)0f x y =表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.2.坐标法求曲线方程的步骤：建系→设点→点满足的几何条件坐标化→整理化简成最简形式→证明（可省略，但必须删去增加的或者补上丢失的解）3．求轨迹方程的常用方法：直接法、定义法、代入法、参数法等。
【高清课堂：解析几何综合问题369357知识要点】知识点三：有关圆锥曲线综合题类型(1)求圆锥曲线方程一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤：定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置，如果位置不确定时，考虑是否多解。
此时注意数形结合，在图形上标出已知条件，检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确等。
第03讲导数压轴专项突破第一课时分类讨论的“界点”确定考点一根据二次项系数确定分类“界点”[典例]已知函数x x x g x x x f 2)(,1ln )(2+=++=.(1)求函数)()()(x g x f x -=ϕ的极值；(2)若m 为整数，对任意的0>m 都有0)()(≤-x mg x f 成立，求实数m 的最小值．[关键点拨]导函数中含有二次三项式，需对最高项的系数分类讨论：(1)根据二次项系数是否为0，判断函数是否为二次函数；(2)由二次项系数的正负，判断二次函数图象的开口方向，从而寻找导数的变号零点．考点二根据判别式确定分类“界点”[典例]已知函数1)1()(2-+=x e ax x f ，当0≥a 时，讨论函数)(x f 的单调性．[关键点拨]求导后，要判断导函数是否有零点(或导函数分子能否分解因式)，若导函数是二次函数或与二次函数有关，此时涉及二次方程问题，Δ与0的大小关系往往不确定，所以必须寻找分界点，进行分类讨论．考点三根据导函数零点的大小确定分类“界点”[典例]已知ax x x ax x x f 223ln )()(22+--=，求)(x f 的单调递减区间．[关键点拨](1)根据导函数的“零点”划分定义域时，既要考虑导函数“零点”是否在定义域内，还要考虑多个“零点”的大小问题，如果多个“零点”的大小关系不确定，也需要分类讨论．(2)导函数“零点”可求，可根据“零点”之间及“零点”与区间端点之间的大小关系进行分类讨论．本题根据零点2a ，e 之间的大小关系进行分类讨论，再利用导数研究其函数的单调性．考点四根据导函数零点与定义域的关系确定分类“界点”[典例]已知函数R a ax xe x a xf x∈+--=,ln )(.(1)当0<a 时，讨论)(x f 的单调性；(2)设)()()(x f x x f x g '+=，若关于x 的不等式x a x e x g x)1(2)(2-++-≤在[1,2]上有解，求a 的取值范围．[关键点拨]导函数零点是否分布在定义域内，零点将定义域划分为哪几个区间，若不能确定，则需要分类讨论．本题根据函数)(x h '的零点a 是否在定义域[1,2]内进行讨论，利用导数的工具性得到函数在给定区间内的单调性，从而可得最值，判断所求最值与已知条件是否相符，从而得到参数的取值范围．第二课时有关x 与x e xln ,的组合函数问题考点一x 与x ln 的组合函数问题(1)熟悉函数))0,()((ln )()(2不能同时为b a c bx ax x h x x h x f ++==的图象特征，做到对图(1)(2)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．(2)熟悉函数))(()(ln )(2c bx ax x h x h x x f ++==，0)(≠x h 的图象特征，做到对图(3)(4)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．[典例]设函数)(2ln )(2R a x a ax x x x f ∈-+-=．(1)若函数)(x f 有两个不同的极值点，求实数a 的取值范围；(2)若222)(,,2x x x g N k a --=∈=，且当2>x 时不等式)()()2(x f x g x k <+-恒成立，试求k 的最大值．[关键点拨]对于有关x 与x ln 的组合函数为背景的试题，要求学生理解导数公式和导数的运算法则等基础知识，能够灵活利用导数研究函数的单调性，能够恰当地构造函数，并根据区间的不同进行分析、讨论，寻求合理的证明和解不等式的策略．考点二x 与x e 的组合函数问题(1)熟悉函数))0,()(()()(2)(不能同时为b a c bx ax x h e x h x f x g ++==的图象特征，做到对图(1)(2)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．(2)熟悉函数))(()()(2c bx ax x h x h e x f x++==，0)(≠x h 的图象特征，做到对图(3)(4)中两个特殊函数的图象“有形可寻”．[典例]已知函数R a e ax x g x a x f x∈-=-=,)1()(),1()(.(1)求证：存在唯一实数a ，使得直线)(x f y =和曲线)(x g y =相切；(2)若不等式)()(x g x f >有且只有两个整数解，求a 的取值范围．[关键点拨]在求解有关x 与xe 的组合函数综合题时要把握三点：(1)灵活运用复合函数的求导法则，由外向内，层层求导；(2)把相关问题转化为熟悉易解的函数模型来处理；(3)函数最值不易求解时，可重新拆分、组合，构建新函数，通过分类讨论新函数的单调性求最值．考点三x 与x e ，x ln 的组合函数问题(1)熟悉函数))0,()((ln )()(2不能同时为b a c bx ax x h e x x h x f x ++=±=的图象特征，做到对图(1)(2)(3)(4)所示的特殊函数的图象“有形可寻”．(1)熟悉函数))((ln )()(2c bx ax x h x x h e x f x ++=±=，0)(≠x h 的图象特征，做到对图(5)(6)所示的两个特殊函数的图象“有形可寻”方法一：分离参数，设而不求[典例]已知函数71828.2()(,ln )(==+=e x e x g x m x x f x……为自然对数的底数)，是否存在整数m ，使得对任意的),21(+∞∈x ，都有)(x f y =的图象在)(x g y =的图象下方？若存在，请求出整数m 的最大值；若不存在，请说明理由．[关键点拨]若分离参数后导数零点不可求，且不能通过观察得到，此时可以采用设而不求的方法．在本题中，通过虚设零点0x ，得到00ln x x -=，将1ln 00--x e x 转化为普通代数式1100-+x x ，然后使用基本不等式求出最值，同时消掉0x ，即借助0)(0='x ϕ作整体代换，采取设而不求的方法，达到化简并求解的目的．方法二：分离x ln 与xe [典例]设函数x x xf 1ln )(+=，求证：当1>x 时，不等式)1)(1(21)(1++>+-x x xe x e e x f .[关键点拨]若不分离x e 与x ln ，则难以求导，因此，对于形式复杂的函数，往往需要合理拆分与变形．高考为体现选拔功能，在解答题中不会单一考查某一初等函数，而是将不同增长速度的函数综合在一起考查，这就需要我们把已经糅合在一起的不同增长速度的函数进行分离，转化为我们熟悉的容易用导数工具求解的函数模型．考点四借助1+≥x e x 和1ln -≤x x 进行放缩[典例]已知函数)0(ln )(2>-+=m x x nx mx x f ，且0)(≥x f .(1)求m n 的最小值；(2)当mn 取得最小值时，若方程0)()21(1=--+-x af x a e x 无实根，求实数a 的取值范围．[关键点拨]借助放缩，巧妙求出)(x H 的最小值，同时利用放缩说明)(x H 没有最大值，从而求出实数a 的取值范围．第三课时极值点偏移问题图说极值点偏移1.已知函数)(x f 的图象的顶点的横坐标就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点刚好满足0212x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移．此时函数)(x f 在0x x =两侧，函数值变化快慢相同，如图(1)．2．若0212x x x ≠+，则极值点偏移，此时函数)(x f 在0x x =两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)(3)．考点一对称变换对称变换，主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为0x )，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点0x .(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数)2()()(0x x f x f x F --=，若证2021x x x >，则令()()(20xx f x f x F -=.(3)判断单调性，即利用导数讨论)(x F 的单调性．(4)比较大小，即判断函数)(x F 在某段区间上的正负，并得出)(x f 与)2(0x x f -的大小关系．(5)转化，即利用函数)(x f 的单调性，将)(x f 与)2(0x x f -的大小关系转化为x 与x x -02之间的关系，进而得到所证或所求．[提醒]若要证明)2(21x x f +'的符号问题，还需进一步讨论221x x +与0x 的大小，得出221x x +所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．[典例]已知函数)(x h 与函数)()(R x xe x f x ∈=的图象关于原点对称，如果21x x ≠，且)()(21x h x h =，求证：221>+x x .[关键点拨]本题证明的不等式中含有两个变量，对于此类问题一般的求解思路是将两个变量分到不等式的两侧，然后根据函数的单调性，通过两个变量之间的关系“减元”，建立新函数，最终将问题转化为函数的最值问题来求解．考查了逻辑推理、数学建模及数学运算等核心素养．在求解此类问题时，需要注意变量取值范围的限定，如本题中利用122,x x -，其取值范围都为)1,(-∞，若将所证不等式化为212x x ->，则212,x x -的取值范围都为),1(+∞，此时就必须利用函数)(x h 在),1(+∞上的单调性来求解．考点二消参减元消参减元的主要目的就是减元，进而建立与所求解问题相关的函数．主要是利用函数极值点乘积所满足的条件进行消参减元．其解题要点如下：建方程求函数的导函数，令0)(='x f ，建立极值点所满足的方程，抓住导函数中的关键式子，即导函数解析式中变号的部分(一般为一个二次整式)定关系根据极值点所满足的方程，利用方程解的理论，建立极值点与方程系数之间的关系，确定两个极值点之积消参减元根据两个极值点之积的关系，化简或转化所求解问题，进行消参减元构造函数根据消参减元后的式子结构特征，构建相应的函数求解问题利用导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等，从而解决相关问题[典例]已知函数)(ln )(R a ax x x f ∈-=．(1)求函数)(x f 的单调区间；(2)当1=a 时，方程)2()(-<=m m x f 有两个相异实根21,x x ，且21x x <，求证：221<x x .[关键点拨]本题第(2)问要证明的方程根之间的不等式关系比较复杂，此类问题可通过不等式的等价变形，将两个根分布在不等式两侧，然后利用函数的单调性转化为对应函数值之间的大小关系即可．显然构造函数的关键仍然是消掉参数，另外根据函数性质确定“22>x ”是解题的一个关键点，确定其范围之后才能将1x 与22x 化归到函数的同一个单调区间上，这也是此类问题的一个难点——精确定位．考点三比(差)值换元比(差)值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之比(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值或差值(一般用t 表示)表示两个极值点，继而将所求解问题转化为关于t 的函数问题求解．[典例]已知R m x mx x x x f ∈--=,21ln )(2.若)(x f 有两个极值点21,x x ，且21x x <，求证：221e x x >(e 为自然对数的底数)．[关键点拨]求解本题的关键点有两个．一个是消参，把极值点转化为导函数零点之后，需要利用两个变量把参数表示出来，这是解决问题的基础，若只用一个极值点表示参数，如得到11ln x x m =之后，代入第二个方程，则无法建立两个极值点的关系，本题中利用两个方程相加(减)之后再消参，巧妙地把两个极值点与参数之间的关系建立起来；二是消“变”，即减少变量的个数，只有把方程转化为一个“变量”的式子后，才能建立与之相应的函数，转化为函数问题求解．本题利用参数m 的值相等建立方程，进而利用对数运算的性质，将方程转化为关于12x x 的方程，通过建立函数模型求解该问题，这体现了对数学建模等核心素养的考查．第四课时导数零点不可求导数是研究函数的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．用导数研究函数)(x f 的单调性，往往需要解方程0)(='x f .若该方程不易求解时，如何继续解题呢？考点一猜出方程f′(x)＝0的根[典例]设xx x f ln 1)(+=.(1)若函数)(x f 在)1,(+a a 上有极值，求实数a 的取值范围；(2)若关于x 的方程k x x x f +-=2)(2有实数解，求实数k 的取值范围．[关键点拨]当所求的导函数解析式中出现x ln 时，常猜1=x ；当函数解析式中出现x e 时，常猜0=x .考点二隐零点代换[典例]设函数x a e x f x ln )(2-=.(1)讨论)(x f 的导函数)(x f '零点的个数；(2)求证：当0>a 时，aa a x f 2ln 2)(+≥.[关键点拨]本题第(2)问的解题思路是求函数)(x f 的最小值，因此需要求0)(='x f 的根，但是02)(2=-='xa e x f x 的根无法求解．故设出0)(='x f 的根为0x ，通过证明)(x f 在),0(0x 和)(0∞+，x 上的单调性知aa ax x a x f x f 2ln 22)()(000min ++==，进而利用基本不等式证得结论，其解法类似解析几何中的设而不求．考点三证明方程0)(='x f 无根[典例]已知R m ∈，函数x x m mx x f ln 2)(--=，xe x g 2)(=，若],1[0e x ∈∃，使得)()(00x g xf >成立，求实数m 的取值范围．[关键点拨]当利用导函数求函数)(x f 在区间],[b a ，),[b a 或],(b a 上的最值时，可首先考虑函数)(x f 在该区间上是否具有单调性，若具有单调性，则)(x f 在区间的端点处取得最值(此时若求0)(='x f 的根，则此方程是无解的)．第五课时构造函数利用导数证明不等式，关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数，然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域)，从而达到证明不等式的目的，这时常常需要构造辅助函数来解决．题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，如何恰当构造函数，往往成为解题的关键．考点一“比较法”构造函数证明不等式当试题中给出简单的基本初等函数，例如x x g x x f ln )(,)(3==，进而证明在某个取值范围内不等式)()(x g x f ≥成立时，可以类比作差法，构造函数)()()(x g x f x h -=或)()()(x f x g x -=ϕ，进而证明0)(min ≥x h 或0)(max ≤x ϕ即可，在求最值的过程中，可以利用导数为工具．此外，在能够说明)0)((0)(>>x f x g 的前提下，也可以类比作商法，构造函数))()()(()()()(x f x g x x g x f x h ==ϕ，进而证明1)(min ≥x h 或1)(max ≤x ϕ)．[典例]已知函数ax e x f x-=)((e 为自然对数的底数，a 为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数)(x f 的极值；(2)求证：当0>x 时，xe x <2.[关键点拨]在本题第(2)问中，发现“x e x ，2”具有基本初等函数的基因，故可选择对要证明的“x e x <2”构造函数，得到“2)(x e x g x -=”，并利用(1)的结论求解．考点二“拆分法”构造函数证明不等式当所要证明的不等式由几个基本初等函数通过相乘以及相加的形式组成时，如果对其直接求导，得到的导函数往往给人一种“扑朔迷离”“不知所措”的感觉．这时可以将原不等式合理拆分为)()(x g x f ≤的形式，进而证明min max )()(x g x f ≤即可，此时注意配合使用导数工具．在拆分的过程中，一定要注意合理性的把握，一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准．[典例]已知函数)(ln )(R a ax x e x f ∈-=．(1)讨论)(x f 的单调性；(2)当e a =时，证明：02)(≤+-ex e x xf x.[关键点拨]对于第(2)问02)(≤+-ex e x xf x 的证明直接构造函数ex e ax x xe x h x2ln )(2+--=，求导后不易分析，故可将不等式合理拆分为e xe xf x 2)(-≤或ex e x x x ≤+-2ln ，再分别对不等式两边构造函数证明不等式．考点三“换元法”构造函数证明不等式若两个变元21,x x 之间联系“亲密”，我们可以通过计算、化简，将所证明的不等式整体转化为关于),(21x x m 的表达式(其中),(21x x m 为21,x x 组合成的表达式)，进而使用换元令t x x m =),(21，使所要证明的不等式转化为关于t 的表达式，进而用导数法进行证明，因此，换元的本质是消元．[典例]已知函数k xx x f -=ln )(有两个不同的零点21,x x ，求证：221,e x x >[关键点拨]不妨设021>>x x ，由0)()(21==x f x f ，可得0ln 11=-kx x ，0ln 22=-kx x ，两式相加减，利用分析法将要证明的不等式转化为2121212ln ln x x x x x x +>--，再利用换元法，通过求导证明上述不等式成立．考点四“转化法”构造函数在关于21,x x 的双变元问题中，若无法将所给不等式整体转化为关于),(21x x m 的表达式，则考虑将不等式转化为函数的单调性问题进行处理，进而实现消元的目的．[典例]设函数R m x m x x f ∈+=,ln )(，若对任意0>>a b ，1)()(<--ab a f b f 恒成立，求m 的取值范围．第六课时“任意”与“存在”问题考点一单一任意与存在问题(1)x ∀，使得)()(x g x f >，只需0)]()([)(min min >-=x g x f x h .如图①.(2)x ∃，使得)()(x g x f >，只需0)]()([)(max max >-=x g x f x h .如图②.[典例]设函数)()(),1ln()(x f a x g x x f '=+=，其中)(x f '是)(x f 的导函数．(1)若对于任意0≥x ，总有)()(x g x f ≥，求实数a 的取值范围；(2)若存在0≥x ，使得)()(x g x f ≥，求实数a 的取值范围．[关键点拨](1)这是较为常见的一类恒成立问题，运用数形结合的思想可知，当00≥x 时，总有)()(00x g x f ≥，即0)()(00≥-x g x f (注意不是max min )()(x g x f ≥，可以转化为当0≥x 时，0)()()(≥-=x g x f x h 恒成立问题．(2)存在0≥x ，使得)()(x g x f ≥，即至少有一个00≥x ，满足)()(00x g x f -不是负数，可以转化为当0≥x 时，)()()(x g x f x h -=的函数值至少有一个是非负数．考点二双任意与存在相等问题类型二“若2211,D x D x ∈∃∈∃，使得)()(21x g x f =”与“2211,D x D x ∈∃∈∀，使得)()(21x g x f =”的辨析(1)2211,D x D x ∈∃∈∃，使得)()(21x g x f =等价于函数)(x f 在1D 上的值域A 与)(x g 在2D 上的值域B的交集不是空集，即∅=B A ，如图③.其等价转化的目标是两个函数有相等的函数值．(2)2211,D x D x ∈∃∈∀，使得)()(21x g x f =等价于函数)(x f 在1D 上的值域A 是)(x g 在2D 上的值域B 的子集，即B A ⊆，如图④.其等价转化的目标是函数)(x f y =的值域都在函数)(x g y =的值域之中．说明：图③，图④中的条形图表示函数在相应定义域上的值域在y 轴上的投影．[典例]已知函数)1(1)(,,0,32)(232x x x g R x a ax x x f -=∈>-=.(1)若)21,(],1,(21--∞∈∃--∞∈∃x x ，使得)()(21x g x f =，求实数a 的取值范围；(2)当23=a 时，求证：对任意的),2(1+∞∈x ，都存在),1(2+∞∈x ，使得)()(21x g x f =．[关键点拨]本题第(1)问等价转化的基本思想是：两个函数有相等的函数值，即它们的值域有公共部分；第(2)问等价转化的基本思想是：函数)(x f 的任意一个函数值都与函数)(x g 的某一函数值相等，即)(x f 的值域都在)(x g 的值域中．考点三双任意与双存在不等问题类型（三）)(x f ，)(x g 是闭区间D 上的连续函数，“D x x ∈∀21,，使得)()(21x g x f >”与“D x x ∈∃21,，使得)()(21x g x f >”的辨析类型（四）(1))(x f ，)(x g 是在闭区间D 上的连续函数且D x x ∈∀21,，使得)()(21x g x f >，等价于max min )()(x g x f >.其等价转化的目标是函数)(x f y =的任意一个函数值均大于函数)(x g y =的任意一个函数值．如图⑤.(2)D x x ∈∃21,，使得)()(21x g x f >，等价于min max )()(x g x f >其等价转化的目标是函数)(x f y =的某一个函数值大于函数)(x g y =的某些函数值．如图⑥.[典例]已知x x x g a xa x x f ln )(),0()(2+=>+=.(1)若对任意的],1[,21e x x ∈，都有)()(21x g x f ≥成立，求实数a 的取值范围；(2)若存在],1[,21e x x ∈，使得)()(21x g x f <，求实数a 的取值范围．[关键点拨](1)本题第(1)问从数的角度看，问题的本质就是max min )()(x g x f ≥.从形的角度看，问题的本质就是函数)(x f 图象的最低点不低于)(x g 图象的最高点．(2)本题第(2)问从数的角度看，问题的本质就是max min )()(x g x f <.从形的角度看，问题的本质就是函数)(x f 图象的最低点低于)(x g 图象的最高点．考点四存在与任意嵌套不等问题(1)2211,D x D x ∈∃∈∀，使)()(21x g x f >，等价于函数)(x f 在1D 上的最小值大于)(x g 在2D 上的最小值，即min min )()(x g x f >(这里假设min min )()(x g x f ，存在)．其等价转化的目标是函数)(x f y =的任意一个函数值大于函数)(x g y =的某一个函数值．如图⑦.(2)2211,D x D x ∈∃∈∀，使)()(21x g x f <，等价于函数)(x f 在1D 上的最大值小于)(x g 在2D 上的最大值，即max max )()(x g x f <.其等价转化的目标是函数)(x f y =的任意一个函数值小于函数)(x g y =的某一个函数值．如图⑧.[典例]已知函数42)(,14341ln )(2+-=-+-=bx x x g x x x x f ，若对任意的)2,0(1∈x ，总存在]2,1[2∈x ，使)()(21x g x f ≥，求实数b 的取值范围．[关键点拨]“对任意)2,0(1∈x ，总存在]2,1[2∈x ，使)()(21x g x f ≥”等价于“)(x f 在)2,0(上的最小值大于或等于)(x g 在]2,1[上的最小值”．。
