上海2020年高三数学基础知识回顾辅导讲义——解析几何(教师版)

2020上海高考数学基础知识回顾：第二讲函数一一、函数的有关概念★1、函数的定义：在某个变化过程中有两个变量y x 、，如果对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的实数值与它对应，那么y 就是x 的函数．．，记作)(x f y =（D x ∈）.2、函数的三要素：函数的定义含有三个要素，即定义域．．．、值域．．和对应法则．．．．． ★（1）函数的定义域的常用求法：①分式的分母不等于零；②偶次方根的被开方数大于等于零；③对数的真数大于零；④指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；⑤三角函数正切函数tan y x =中()2x k k Z ππ≠+∈；⑥如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围. ★（2）函数的解析式的常用求法：①定义法；②换元法；③待定系数法；④函数方程法；⑤参数法；⑥配方法. ★★（3）函数的值域的常用求法：①换元法；②配方法；③判别式法；④几何法；⑤不等式法；⑥单调性法；⑦直接法. ★★（4）函数的最值的常用求法：①配方法；②换元法；③不等式法；④几何法；⑤单调性法. 二、二次函数、幂指对函数1、二次函数：★（1）二次函数的解析式的三种形式:① 一般式 =++≠2()(0)f x ax bx c a ；② 顶点式 =-+≠2()()(0)f x a x h k a ；③ 零点式、两根式 =--≠12()()()(0)f x a x x x x a .★（2）二次函数-⎛⎫=++=++≠ ⎪⎝⎭2224(0)24b ac b y ax bx c a x a a a 的图像是抛物线，顶点坐标基础知识⎛⎫-- ⎪⎝⎭24,24b ac b a a . 2、幂函数：★（1）定义：形如ax y =的函数； ★★（2）幂函数的图像和性质：①0>α时，幂函数的图像通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图像下凸；当10<<α时，幂函数的图像上凸；②0<α时，幂函数的图像在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图像在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图像在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 3、指数函数：★（1）定义：一般地，函数(01)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R ．★（2）指数函数的图像和性质：定义域为R ，值域为()+∞,0．当10<<a 时，单调递减；当1>a 时单调递增． 4、对数和对数函数：★（1）对数的定义：如果=ba N （>0a ，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作=a log N b ．读作“以a 为底N 的对数”，其中a 叫做底数，N 叫做真数．必须注意真数0N >，即零与负数没有对数．由对数定义可知=b a N ⇔=a log N b （>0a ，1a ≠，0N >）． ★★（2）对数的性质：① log a N 中0(0,1)N a a >>≠，零和负数没有对数，即0N >；② 底数的对数等于1，即log =1a a ，log a Na N =，()0,1,0a a N >≠>③ 1的对数0，即log 1=0a ．★★（3）对数的运算性质：① ()=+a a a log MN log M log N （0M >，0N >，>0a ，1a ≠）； ② =aa a Mlog log M log N N-（0M >，0N >，>0a ，1a ≠）③ =n a a log M nlog M ；log a NaN =（0M >，0N >，>0a ，1a ≠）④ 对数换底公式：log =log a b a Nlog N b（>0a ，1a ≠，>0b ，1b ≠，0N >）★★（4）对数函数：①定义：一般地，函数x y a log =（0>a 且1≠a ）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R ．②对数函数的图像和性质：定义域为()+∞,0，值域为R ．当10<<a 时，单调递减；当1>a 时单调递增． 5、反函数：★（1）反函数的概念：一般地，对于函数)(x f y =，设它的定义域为D ，值域为A ．如果对于A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应（即一一对应），且满足)(x f y =，这样得到的x 关于y 的函数叫做)(x f y =的反函数，记作)(1y f x -=．在习惯上，自变量常用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为))((1A x x f y ∈=-．★★（2）反函数的性质：① 互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图像关于y x =对称； ② 定义域上的单调函数必有反函数；③ 奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数； ④ 定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数； ⑤ 周期函数在整个定义域内不存在反函数；⑥ 原函数图像过点()a b ，，则它的反函数图像过点()b a ，. ★（3）求反函数的一般步骤： ① 求原函数的值域；② 反解，由()y f x =解出1()x fy -=；③ 写出反函数的解析式（互换,x y ），并注明反函数的定义域（即原函数的值域）. 6、指对方程：★（1）简单的指数方程：①b a x f =)((0>a 且0,1>≠b a )，解法是b x f a log )(=； ②)()(x g x f a a= (0>a 且1≠a )， 解法是)()(x g x f =；③02=+⋅+⋅C a B aA x x(0>a 且1≠a )，解法是转化成关于x a 的二次方程．★★（2）简单的对数方程：①b x f a =)(log (0>a 且1≠a )，解法是ba x f =)(；②)(log )(log x g x f a a = (0>a 且1≠a )，解法是0)()(>=x g x f ； ③0log log2=++C x B x A a a(0>a 且1≠a )，解法是转化成关于x a log 的二次方程，要特别注意真数大于0．三、函数零点★1、定义：一般地，对于函数))((D x x f y ∈=，如果存在实数)(D c c ∈，当c x =时，0)(=c f ，那么就把c x =叫做函数))((D x x f y ∈=的零点． ★★2、二分法:一般地，对于函数()()y f x x D =∈，如果存在实数()c c D ∈，当x c =时，()0f c =，那么就把x c =叫做函数 ()()y f x x D =∈的零点；将“通过每次把()y f x =的零点所在的小区间收缩一半，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，以求得零点的近似值”的这种方法称作二分法．★★★3、零点存在定理：一般地，如果函数()y f x =在定义区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b ⋅<，那么在区间(,)a b 内至少存在一个实数c ，使得()0f c =，也就是在(,)a b 内，函数()y f x =至少有一个零点；若函数在[,]a b 单调，则存在唯一一个零点． 四、一元二次方程根的分步设q px x x f ++=2)(，则★★1、方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；★★2、方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩；★★3、方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .五、常见的抽象函数模型★★★1、正比例函数模型：()0,≠=k kx x f ┄┄┄()()()y f x f y x f ±=± . ★★★2、幂函数模型：()2x x f =┄┄┄()()()y f x f xy f ⋅=；()()y f x f y x f =⎪⎪⎭⎫⎝⎛ .★★★3、指数函数模型：()xa x f =┄┄┄()()()y f x f y x f ⋅=+；()()()y f x f y x f =- . ★★★4、对数函数模型：()x x f a log =┄┄()()()y f x f xy f +=；()()y f x f y x f -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛ .★★★5、三角函数模型：()x x f tan =┄┄┄()()()()()y f x f y f x f y x f ⋅-+=+1 .一、函数的相关概念函数的定义中涉及两个非空数集和一个对应法则.在处理问题时，讨论函数的定义域、函数值的取值集合、对应的解析式是尤为重要和关键，要求掌握求相关的方法如（直接法、换元法、数形结合法等）.【例1】函数20.5log (43)y x x =-的定义域为 ． 【难度】★ 【答案】⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,430,41Y【例2】设{}20≤≤=x x M ，{}30≤≤=y x N ，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是 ．（只填写正确图形的序号）题型与方法【难度】★ 【答案】②③【例3】将函数[]()2,03322∈-++-=x x x y 的图像绕坐标原点逆时针选择转θ（θ为锐角），若所得曲线仍是一个函数的图像，则θ的最大值为 ． 【难度】★★ 【答案】3π 【解析】如图，当圆弧所表示的函数图像旋转到与圆相切时，是极限状态．【例4】下列各组函数中表示相同函数的是 （）A 、()2x x f =，()33x x g =B 、()1+=x x x f ，()x x x g +=2、()xx x f =，()()()⎩⎨⎧<-≥=0101x x x g D 、()122--=x x x f ，()122--=t t t g【难度】★★ 【答案】D【例5】若一次函数()x f 满足()[]{}78+=x x f f f ，则()=2f ． 【难度】★★ 【答案】5【例6】记[]x 为不超过实数x 的最大整数，设()[]x x x f +=，[)2,1-∈x ，则函数()x f 的值域是 ． 【难度】★★【答案】[)[)[)3,20,11,2Y Y --【例7】函数⎪⎭⎫⎝⎛++=45lg 2kx x y 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是 ． 【难度】★★【答案】()5,5-【巩固训练】1．已知函数()y f x =的定义域为[2,3]-，则函数(21)y f x =+的定义域是_______． 【难度】★ 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,232．若函数f ：{}{}2121，，→满足()[]1>x f f ，则这样的函数共有_____个． 【难度】★★ 【答案】13．将函数[]()4,02442∈--+=x x x y 的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ()αθ≤≤0，得到曲线C ．若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图象，则α的最大值为_____． 【难度】★★ 【答案】4π 4．下列各组函数中，表示同一函数的是 （）A 、55x y =，2x y =B 、x e y ln =，x e y ln =C 、()()131-+-=x x x y ，3+=x yD 、0x y =，01x y =【难度】★★ 【答案】D5．若函数()x f ，()x g 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()xe x g xf =-，则()0g ，()2f ，()f 的大小关系是 ．【难度】★★【答案】()()()320f f g <<6．已知函数122+++-=x x b x ax y 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡331，，则=+b a ．【难度】★★ 【答案】27．函数862++-=k x kx y 的值域为[)+∞,0，则实数k 的取值范围是 ． 【难度】★★【答案】[]10，二、二次函数、幂指对函数一元二次方程根的分步、一元二次不等式的解、二次曲线交点都可以利用二次函数作为突破点来解决；幂指对函数是高中的基本函数，从定义→图像→性质→应用的分析是解决这类题型的基本方法．【例8】已知二次函数()()R c b c bx x x f ∈≥++=,02，若()x f 的定义域为[]0,1-，值域也是[]0,1-，符合上述条件的函数()x f 的解析式为 ． 【难度】★★【答案】()12-=x x f 或()x x x f 22+=【例9】方程()0112=+--x m mx 在()1,0内有两个不同的实数根，则m 的取值范围为 ．【难度】★★ 【答案】223+>m【例10】幂函数()()5237321t t x t t x f -++-=是偶函数，且在()∞+，0上为增函数，则函数解析式为 ． 【难度】★★【答案】()52x x f =或()58x x f =【例11】若20≤≤x ，则函数523421+⋅-=-x x y 的值域是 ．【难度】★★【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡2521，【例12】若函数()()R a x f ax ∈=-2满足()()x f x f -=+11，且()x f 在[)+∞,m 上单调递增，则实数m 的最小值等于 ． 【难度】★★ 【答案】1【例13】已知函数()x m x f a log +=（0>a 且1≠a ）的图像过点()28，，点()13-，P 关于直线2=x 的对称点Q 在()x f 的图像上，则()=x f ． 【难度】★★ 【答案】1log 2-x【巩固训练】1．已知函数31++-=x x y 的最大值为M ，最小值为m ，则Mm的值为 ． 【难度】★★ 【答案】22 2．若函数()a x x x f +-=32在()3,1内有零点，则实数a 的取值范围为 ． 【难度】★★ 【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛490，3．幂函数942--=a a x y 是偶函数，且在()+∞,0是减函数，则整数a 的值是 ．【难度】★★ 【答案】-1，1，3，54．已知()xxa x f 421⋅++=，若()0>x f 在(]1，∞-上恒成立，则a 的取值范围为 ． 【难度】★★【答案】⎥⎦⎤⎝⎛-∞-43，5．已知函数()x f 为偶函数且()()4-=x f x f ，又()⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤+--=-2122105232x x x x x f xx ，，，函数()a x g x+⎪⎭⎫⎝⎛=21，若()()()x g x f x F -=恰好有4个零点，则a 的取值范围是 ．【难度】★★★ 【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛82，6．函数()11log +-=x y a （0>a 且1≠a ）的图像恒过定点A ，若点A 在一次函数n mx y +=的图像上，其中m ，0>n ，则nm 21+的最小值为 ． 【难度】★★ 【答案】8三、指对方程指数方程的常见解法是利用换元思想变成一次或二次方程的模型来进行计算，有时也可以利用两边取对数来降低次数化为对数方程来解决；对数方程可以利用换元或是利用对数与指数的互逆运算来计算．【例14】解下列指数方程：（1）12492800x x ++-⋅+=；（2）()()107222440x x x x ---+++=．【难度】★★【答案】（1）2或2log 5；（2）0（令xxt -+=22）．【例15】解下列方程： （1）()()2lg 426lg 31x x x +---=； （2）()()122log 44log 23x x x ++=+-；（3）21log (235)2x x x ++-=；（4）242(log )log 30x x --=【难度】★★【答案】（1）8x =；（2）2x =；（3）2x =；（4）16464x x ==或【例16】若关于x 的方程229430x x a -----⋅-=有解，求实数a 的取值范围．【难度】★★ 【答案】30a -≤<【巩固训练】1．解下列指数方程：（1）4669x x x +=⋅；（2）2212=-xx．【难度】★★【答案】（1）23log 2x =；（2）()2log 12x =+．2．解下列对数方程：（1）()()2lg 2lg 2610x x x +-+-+=； （2）()()2212lg 1lg 6lg 1lg 62x x x -+--+=； （3）()()122log 44log 23x x x ++=+-． 【难度】★★ 【答案】（1）132x =；（2）7x =或3x =或4x =；（3）2x =．3．22log 12log ()x x a +=-有且只有一解，求a 的取值范围． 【难度】★★★ 【答案】0a ≥或12a =-四、复合函数解决复合函数问题一般是将其拆解成内外两个函数，根据内函数和外函数的图像和性质来进行求解．【例17】已知函数2()|2|f x x ax a =-+（x ∈R ），给出下列四个命题： ① 当且仅当0a =时，()f x 是偶函数； ② 函数()f x 一定存在零点； ③ 函数在区间(,]a -∞上单调递减；④ 当01a <<时，函数()f x 的最小值为2a a -。

2020年二模汇编——解析几何一、填空题【奉贤2】已知圆的参数方程为62cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，则此圆的半径是【答案】2【解析】考察圆的参数方程, ()2264,2x y r -+==【松江3】已知动点P 到定点(1,0)的距离等于它到定直线:1l x =-的距离，则点P 的轨迹方程为 . 【答案】24y x =【解析】动点到定点的距离等于它到定直线的距离，因为定点不在定直线上，所以的轨迹是抛物线，为焦点，为准线。

因为22y px =的焦点是(,0)2p，即，所以2p =，进而抛物线方程为24y x =.【闵行3】若直线01=++by ax 的方向向量为()1,1，则此直线的倾斜角为_______【答案】4π 【解析】()4,1tan ,1,1πθθ====k【奉贤4】已知P 为曲线22:1412x y Γ+=上位于第一象限内的点，1F 、2F 分别为Γ的两焦点，若12F PF ∠是直角，则点P 坐标为【答案】【解析】考察焦点三角形的面积21tan222P P b c y y θ=⋅⋅⇒=代入若原椭圆方程解得P x =，所以P点坐标为【宝山4】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴与虚轴长度相等，则C 的渐近线方程是 。

【答案】y x =±P (1,0):1l x =-P (1,0):1l x =-(1,0)【解析】由题意知by x a=±，a b =，所以y x =±。

【黄浦4】若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为 【答案】6-【解析】60,6a a +==-【青浦5】双曲线22144x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是__________．【答案】2【解析】双曲线22144x y -=的焦点为()±，渐近线方程为y x =±，由点到直线距离公式得距离2d =.【金山6】已知双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线方程为20x y -=，则实数a = .【答案】12【解析】2221(0)x y a a -=>的渐近线方程为：x y a =±，12,2x y x a a ===【浦东6】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x t y t =-⎧⎨=⎩（t 为参数），圆O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 与圆O 的位置关系是 ．【答案】相交【解析】直线l 的一般方程是10x y -+=，圆O 的一般方程是221x y +=，圆心到直线距1<，直线l 与圆O 的位置关系是相交【长宁6】直线2:12x tl y t=+⎧⎨=-+⎩（t 是参数）的斜率为 .【答案】2【解析】由直线的参数方程定义可知直线方程为()122y x =-+-，所以2k =【黄浦7】已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线平行于直线:210l y x =+， 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为【答案】221520x y -= 【解析】22222222,5,5255,1520b x yc c a b a a a ===+==⇒=-= 【浦东8】已知双曲线的渐近线方程为x y ±=，且右焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________. 【答案】12222=-y x【解析】抛物线x y 42=的焦点为()10，，设双曲线的方程为22x y λ-=，即221x y λλ-=，则1+12λλλ=⇒=，所以双曲线的方程是12222=-y x 【徐汇8】已知直线()()2130a x a y ++--=的方向向量是直线()(1)2320a x a y -+++=的法向量,则实数a 的值为 .【答案】1±【解析】由题意得两直线垂直()()()()2112+3=0a a a a ∴+-+-，()()1223=0a a a ∴-+--，所以()()110a a ---=，所以1a =±【杨浦8】已知曲线1C 的参数方程为212x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 是参数），曲线2C 的参数方程为15cos 5sin x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ是参数），则1C 和2C 的两个交点之间的距离为 【答案】556 【解析】 ()51:,052:2221=++=+-y x C y x C 5501---=∴d 54=55653251652222==-=-=∴d r l 【虹口10】已知1F 、2F 是椭圆222:13x y C a +=（3a >）的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为60o的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，则椭圆C 的长轴长为【答案】232+【解析】依据题意画出大致图像：因为1212MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r，即等价为1290F MF ︒∠=211tan 3,22M F MF S b y ∴===⨯y =则M ⎫，代入椭圆方程得：()()22233133a a a +=--，化简可得：42630a a --=解得)2231a =+=22a ∴=【嘉定11】设p 是双曲线2218y x -=上的动点，直线3cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩t （为参数)与圆()2231x y -+=相交与A ,B 两点，则PA PB u u u r u u u rg 的最小值是【答案】3【解析】如图所示，运用极化恒等式有：PA PB u u u r u u u rg 222222=PC PC 1213CA -=-≥-=【青浦11】已知正三角形ABC 的三个顶点均在抛物线2x y =上，其中一条边所在直线的ABC ∆的三个顶点的横坐标之和为__________．【答案】10-【解析】令()()()222112233,,,,,A x x B x x C x x.令22212121ABx x k x x x x -==+=-ABC中22313131ACx x k x x x x -==+==-223232325BCx x k x x x x --==+==-由此可得出13210x x x ++=-.【黄浦12】点A是曲线y =（2y ≤）上的任意一点，(0,2)P -，(0,2)Q ，射线QA 交曲线218y x =于B 点，BC 垂直于直线3y =，垂足为点C ，则下列结论：（1）||||AP AQ -为定值22； （2）||||QB BC +为定值5；（3）||||||PA AB BC ++为定值52+； 其中正确结论的序号是 【答案】①②【解析】（1）由题意可知，曲线22y x =+（2y ≤）是双曲线22122y x -=的上半支，根据双曲线定义可知，正确（2）曲线28x y =的准线2y =-，故正确（3）||||||||||5||5||||522PA AB BC PA AB QB PA AQ ++=++-=+-=+,故错误【奉贤12】在平面直角坐标系内有两点(,1)A m -，(2,1)B -，2m <，点A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，若2||||6AB AF +=，则m = 【答案】51-+，12-，16-【解析】12||2122m AB m pm p m<∴=-∴=∴=Q 抛物线的准线方程为14x m =-由抛物线的定义知1||||4AF m m =+于是条件可转化为12(2)||64m m m-++= 当0m >时, 25481012m m m +-=∴=-+(舍负) 当0m <时, 21128106m m m ++=∴=-或12m =- 【杨浦12】已知抛物线1Γ与2Γ的焦点均为点(2,1)F ，准线方程分别为0x =与5120x y +=，设两抛物线交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为【答案】230x y -=【解析】由题意可知A 和B 两点既在1Γ又在2Γ上，所以到两准线的距离相等，由点到直线距离公式可知51213x yx +=，由抛物线定义以及焦点位置和准线方程并结合图像知AB 斜率为正，所以AB 方程为230x y -=二、选择题【宝山13】抛物线24y x =的准线方程是（ ）【A 】2x =- 【B 】1x =- 【C 】18y =-【D 】116y =- 【答案】D【解析】 由24y x =得到214x y =，则其准线方程为116y =-. 【虹口13】已知抛物线24y x =上的点M 到它的焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为（ ） 【A 】2 【B 】4 【C 】5 【D 】6 【答案】B【解析】抛物线24y x =的焦点坐标()1,0，抛物线上24y x =的一点M 到该抛物线的焦点F 的距离，则M 到准线的距离为5，则点M 到y 轴的距离为：4，故答案为：4【松江13】若O 为坐标原点，P 是直线20x y -+=上的动点，则OP 的最小值为（ ）【A 】2【B【C 【D 】2 【答案】B【解析】OP 的最小值为原点O 到直线20x y -+=的距离，即：min d ==【崇明14】若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n-=的一个焦点重合，则n 的值为（ ）【A 】1- 【B 】1 【C 】2 【D 】13 【答案】B【解析】由()20,2=⇒c F ，所以1432=⇒=+=n n c ，故选B【闵行15】已知抛物线的方程为24y x =，过其焦点F 的直线交此抛物线于,M N 两点，交y 轴于点E ，若1EM MF λ=，2EN NF λ=，则12λλ+=（ ） 【A 】2- 【B 】12-【C 】1【D 】1- 【答案】D【解析】设()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=m E y x N y x M my x l 1,0,,,,,1:2211 112114,4044412121221*********-=+⋅--=+-+-=+-==+∴=--⇒⎩⎨⎧=+=y y y y m y m y y m y y y m y y my y xy my x λλ【青浦15】记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为(1,2,)n n Ω=L ，当点(,)x y 分别在1Ω，2Ω，L 上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，L ，则lim n n M →∞=（ ）．【A 】2 【B 】4 【C 】3【D 】【答案】D【解析】令2222cos ,sin 441x ny n θθ==+，2cos ,x y θθ∴==2cos ),x y θθθϕ∴+=+=+lim n n n μ→∞→∞∴==【杨浦15】设1F 、2F 是椭圆22194x y +=的两焦点，A 与B 分别是该椭圆的右顶点与上顶点，P 是该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点，记2122s OP F P F P =-⋅uu u r uuu r uuu r，在动点P 在第一象限内从A 沿椭圆向左上方运动到B 的过程中，s 的大小的变化情况为（ ）【A 】 逐渐变大 【B 】 逐渐变小 【C 】 先变大后变小 【D 】 先变小后变大 【答案】B【解析】令()()()()()202020202100520,5,0,5,,y x y x s F F y x P +--+=∴-595591452020202020+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++=x x x y x s ，可知选B 三、解答题【宝山20】已知直线:l y kx m =+ 和椭圆22:142x y Γ+=相交于点()()1122,,,A x y B x y .（1）当直线l 过椭圆Γ的左焦点和上顶点时，求直线l 的方程； （2）点)C在Γ上，若0m =，求ABC ∆面积的最大值；（3）如果原点O 到直线l的距离是3，证明：AOB ∆为直角三角形。

高三数学知识点归纳沪教版作为高中最后一年的学生，高三生活无疑是紧张而重要的。

对于理科学生而言，数学是其中的重要科目之一。

为了更好地备考数学，今天我将对高三数学中的几个重要知识点进行归纳和总结，以帮助大家更好地掌握这些内容。

一、函数与方程函数与方程是高中数学中的重要基础，也是高三数学的核心。

其中，函数包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等，而方程则包括一元一次方程、一元二次方程、一元高次方程等。

在学习函数与方程时，重点掌握函数与方程的性质，解法以及应用，是高三数学备考的关键。

二、三角函数与立体几何三角函数是数学中的一大难点，包括正弦、余弦、正切等函数，以及它们的性质、变换、解析式和应用等。

在学习三角函数时，需要熟练掌握各种角的换算关系及特殊角的性质。

此外，立体几何也是高三数学中重点关注的内容，包括空间图形的特征与性质以及计算几何等，特别需要关注例如平行四边形、棱柱、棱锥、球的面积与体积的计算。

三、概率与统计概率与统计在高三数学中占有一定的比重，也是我们日常生活中经常遇到的内容。

学习概率与统计需要了解基本概念，掌握一些常用的概率模型和统计方法，如排列组合、事件的独立与相关、随机变量及其分布等。

同时，要注重实际问题的解决方法，通过概率与统计的知识分析和解答，提高我们的实际问题解决能力。

四、数列与数学归纳法数列是高三数学中的一个重要概念，包括等差数列、等比数列和特殊数列等。

通过研究数列的性质和规律，可以了解数列的通项公式、前n项和以及数列的求和等。

此外，数学归纳法也是解决数列问题的重要方法，通过归纳与推理，可以得出一些重要的结论和规律。

以上只是高三数学知识点归纳的一部分，还有很多内容没有涉及到。

在学习高三数学的过程中，我们要注重掌握基本概念和原理，重视练习和巩固，同时注重提高问题解决能力。

此外，我们要积极利用各种资源，比如参考书、习题集、辅导班等，以增强自己的学习效果。

不同的学生在数学学习中可能存在不同的问题和困惑，但通过刻苦努力和持之以恒的学习，我们一定能够掌握高三数学知识，取得好成绩。

1/ 61高三数学（教师版）一、椭圆1.椭圆定义：平面内到两个定点1F ，2F （12||2F F c =）的距离的和等于常数2(0)a a c >>的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点1F ，2F 叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离12||2F F c =叫做焦距． 注意：若设动点为P ，则（1）当1212||||||PF PF F F +>时，动点P 的轨迹是椭圆．（2）当1212||||||PF PF F F +=时，动点P 的轨迹是线段．（3）当1212||||||PF PF F F +<时，动点P 的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程及性质 椭圆的标准方程及性质列于下表中．焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程222222201a b x y b c a a b >>⎛⎫+= ⎪+=⎝⎭222222201a b y x b c a a b >>⎛⎫+= ⎪+=⎝⎭图形焦点坐标1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c ，2(0,)F c -椭圆与双曲线知识梳理2/ 613．椭圆的其他性质①椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大、最小的点是长轴的两个端点，最大距离是a c +，最小距离是a c -． ③设椭圆的两个焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上的点，当点P 在短轴的端点时12F PF ∠最大． ④椭圆的焦点的光学性质：从任一焦点发出的光线通过椭圆面反射后，反射光线经过另一焦点． 4．直线与椭圆的位置关系 联立方程，看∆．0∆>（其中a 为二次项系数）； 0∆=，直线与椭圆相切，也即直线与椭圆只有一个公共点； 0∆<，直线与椭圆无交点．二、双曲线1.双曲线定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（12F F <）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））．这两个定点叫双曲线的焦点． 2.双曲线标准方程的两种形式：3/ 613.直线0=++C By Ax 和双曲线12222=-b y a x 的位置关系：将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的方程。

1 / 30高三数学（教师版）一、曲线方程的定义（一）、知识精讲一般地，如果曲线C 与方程0),(=y x F 之间有以下两个关系：①曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解；②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．此时，把方程叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程的曲线．二、求轨迹方程的步骤和方法（一）、知识精讲1、求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）； （2）设曲线上任意一点的坐标为),(y x ； （3）根据曲线上点所适合的条件写出等式； （4）用坐标表示这个等式，并化简； （5）确定化简后的式子中点的范围．0),(=y x F C 0),(=y x F 0),(=y x F y x 、 轨迹方程知识梳理2 / 30上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围． 2、求轨迹方程的方法：直接法、定义法、代入法、参数法。

三、曲线方程综合（一）、知识精讲1、两条曲线若存在交点，则它们的交点坐标就是两曲线方程所构成方程组的解.2、弦长公式若直线与二次曲线的交点为A()和B () 方法一：联立直线与二次曲线方程求出两交点两点间距离．方法二：利用弦长公式：==一、 “曲线的方程”、“方程的曲线”的定义【例1】已知坐标满足方程(,)0F x y =的点都在曲线C 上，则下列命题中正确的是( )()A 曲线C 上的点的坐标都适合方程(,)0F x y =；b kx y +=1,1,y x 2,2,y x ⇒||1||212x x k AB -+=2212121()4k x x x x ++-g ||21211y y k-+=21212211()4y y y y k ++-g 例题解析3 / 30()B 不在曲线C 上的点的坐标有些适合方程(),0F x y =； ()C 凡坐标不适合方程(,)0F x y =的点都不在曲线C 上； ()D 不在曲线C 上的点的坐标必不适合方程(,)0F x y =；【难度】★★【答案】由曲线的方程的定义可知,曲线C 上的点的坐标不一定都满足方程(),0=F x y ，故A 错；不在曲线C 上的点一定不适合(),0=F x y ，故B 错；坐标不适合方程(),0=F x y 的点可能在曲线C 上，故D 错；正确答案D .【例2】方程2x 2－y 2－4x －4y －2=0的曲线是____________。

1 •直线方程的五种形式(1)点斜式：y — y 1 = k(x — x”(直线过点P 1(X 1, y”，且斜率为k ,不包括y 轴和平行于y 轴的直线)•⑵斜截式：y = kx + b(b 为直线I 在y 轴上的截距，且斜率为k ,不包括y 轴和平行于y 轴的直线)•标轴和平行于坐标轴的直线 )•行于坐标轴和过原点的直线 )•(5)—般式：Ax + By + C = 0(其中A , B 不同时为0) • 2 •直线的两种位置关系当不重合的两条直线 11和12的斜率存在时： (1) 两直线平行 11 II 12? k l = k 2. (2) 两直线垂直l i 丄12? k i • k 2=— 1.［提醒］当一条直线的斜率为 0,另一条直线的斜率不存在时 ，两直线也垂直，此种情形易忽略•3 •三种距离公式(1) A(x 1, y 1), B(x 2, y 2)两点间的距离 |AB|=\R X 2 — x 1)2 +( y 2 — y 1)2.|Ax 0+ By 0 + C |(2) 点到直线的距离 d = (其中点P (X 0, y 0)，直线方程为 Ax + By + C = 0) •|C 2— C 1|⑶两平行线间的距离 d =——2 2(其中两平行线方程分别为11： Ax + By + C 1= 0, I 1: AxV A 2 + B 2+ By +C 2= 0且 CM C 2)•［提醒］应用两平行线间距离公式时 ，注意两平行线方程中 x , y 的系数应对应相等.回顾6解析几何 ［必记知识］(3)两点式:y —如= y 2 — y 1x —X 1X —(直线过点 P 1(X 1, y 1), P 2(X 2, y 2),且 X 1M X ,y 1M y 2,不包括坐(4)截距式:t b+1(a , b 分别为直线的横、纵截距，且 a 工0, 0,不包括坐标轴、平4 •圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x—a)2+ (y—b)2= r2.⑵圆的一般方程：x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0(D2+ E2—4F > 0).5.直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法.⑵圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法.［提醒］椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度•因为a2= b2+ c2,所以b=「 1 —e2,因此，当e越趋近于1时，上越趋近于0, a a 椭圆越扁；当e越趋近于0时，-越趋近于1,椭圆越接近于圆•所以e越大椭圆越扁；e越小a椭圆越圆，当且仅当a = b, c= 0时，椭圆变为圆，方程为x2+ y2= a2(a>0).7.双曲线的标准方程及几何性质［提醒］⑴离心率e的取值范围为(1, +8)•当e越接近于1时，双曲线开口越小；当 e 越接近于+时，双曲线开口越大•(2)满足||PF i|—|PF2||= 2a的点P的轨迹不一定是双曲线，当2a = 0时，点P的轨迹是线段F1F2的中垂线；当O v 2a v|F i F2|时，点P的轨迹是双曲线；当2a= |F i F2|时，点P的轨迹是两条射线；当2a>|F i F2|时，点P的轨迹不存在•［必会结论］1. 与圆的切线有关的结论(1) 过圆x1 2 3 4 5+ y2= r2上一点P(X0, y o)的切线方程为x o x + y o y= r2(2) 过圆(x —a)2+ (y—b)2= r2上一点P(x°, y o)的切线方程为(x o—a)(x—a) + (y o —b)(y —b)= r2.⑶过圆x2+ y2= r2外一点P(x o, y o)作圆的两条切线，切点为A, B，则过A, B两点的直线方程为X o x+ y o y= r2.⑷过圆x2+ y2+ Dx + Ey+ F = 0(D2+ E2—4F>0)外一点P(x o, y o)引圆的切线，切点为T, 则|PT|= x2+ y2+ Dx o+ Ey o+ F.(5) 过圆C: (x —a)2+ (y—b)2= r2(r> o)外一点P(x o, y o)作圆C的两条切线，切点分别为A, B,则切点弦AB所在的直线方程为(x o—a)(x—a) + (y o —b)(y—b)= r2.(6) 若圆的方程为(x —a)2+ (y —b)2= r2(r > o)，则过圆外一点P(x o, y o)的切线长 d =.(x o—a) 2+( y o—b) 2—r2.2 •椭圆中焦点三角形的相关结论由椭圆上一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正、余弦定理.x2 y2以椭圆尹+ £ = 1(a> b>0)上一点P(x o, y o)(y o z 0)和焦点F1(—c, 0), F2(c, 0)为顶点的△ PF1F2 中，若/ F1PF2= 0,则2 |PF1| = a+ ex o, |PF2|= a —ex o(焦半径公式)，|PF1|+ |PF2|= 2a.(e 为椭圆的离心率)3 4c2= |PF1|2+ |PF2|2—2|PF1||PF2| • cos 01 204 S A PF1F2= 2|PF1||PF2| • sin 0= b2tan^ = c|y o|，当|y o|= b，即P 为短轴端点时，S A PF1F2取得最大值，为bc.5 焦点三角形的周长为2(a + c).3. 双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双曲线的方程为x2—y2= 1(a>0, b>0)，则渐近线的方程为笃一占=0，即y=氏.a b a b a(3) 若所求双曲线与双曲线x 2 — y 2= 1(a >0, b >0)有公共渐近线，其方程可设为—牡 人入 > 0,焦点在x 轴上； 疋0,焦点在y 轴上). 4.双曲线常用的结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.⑵若P 是双曲线右支上一点，F I ,F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF i | min = a + C , |PF 2|min=c — a.短的为实轴，其长为 2a.b 2 b 2k PA • k PB = ~2， S A PF I F2= ，其中a 6 0tanX 2 V 2⑸P 是双曲线p —詁=1(a >0, b >0)右支上不同于实轴端点的任意一点,a b 曲线的左、右焦点，IPF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标恒为a.5.抛物线焦点弦的相关结论设AB 是过抛物线y 2= 2px(p >0)的焦点F 的弦，若A(X 1,屮)，B(X 2, y 2), a 为直线AB 的 倾斜角，则⑴焦半径 AFI =対+2=i —Os a|BF |=x2+21.过圆X 2 + y 2— X — y + 4= 0的圆心，且倾斜角为 n 勺直线方程为(B . x — 2y + 3= 0 D . x — y + 1 = 0b > 0)，即a ±b =。

第四节 双曲线突破点一 双曲线的定义和标准方程[基本知识]1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a ＞0，c ＞0. (1)当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a ＞|F 1F 2|时，P 点不存在． 2．标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)；(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )(2)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .( )(3)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a ＞b .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 二、填空题1．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若P Q 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段P Q 上，则△P Q F 的周长为________．答案：442．经过点P (－3,27)和Q(－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________．答案：y 225－x 275＝13．已知定点A ，B 且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值为________．答案：72[全析考法]考法一 双曲线的定义及应用(1)在解决与双曲线的焦点有关的问题时，通常考虑利用双曲线的定义解题； (2)在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的“差的绝对值”，弄清是整个双曲线还是双曲线的某一支．[例1] (1)(2019·宁夏育才中学月考)设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上均不对(2)已知点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y 2＝1上，则|P Q|－|PR |的最大值是( )A ．6B ．8C ．10D ．12[解析] (1)根据双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8⇒PF 2＝1或17. 又|PF 2|≥c －a ＝2，故|PF 2|＝17，故选B.(2)由题意可知C 3，C 2的圆心分别是双曲线C 1：x 216－y 29＝1的左、右焦点，点P 在双曲线的左支上，则|PC 2|－|PC 3|＝8.|P Q|max ＝|PC 2|＋1，|PR |min ＝|PC 3|－1，所以|P Q|－|PR |的最大值为(|PC 2|＋1)－(|PC 3|－1)＝|PC 2|－|PC 3|＋2＝8＋2＝10.故选C.[答案] (1)B (2)C [方法技巧]双曲线定义的主要应用方面(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．考法二 双曲线的标准方程待定系数法求双曲线方程的5种类型[例2] (2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1[解析] 法一：如图，不妨设A 在B 的上方，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . 又双曲线的一条渐近线为bx －ay ＝0，则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b 2＝2bc c ＝2b＝6，所以b ＝3.又由e ＝c a＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，所以a ＝ 3. 所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.法二：由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，所以c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.[答案] C[方法技巧]求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)求解．[集训冲关]1.[考法一]虚轴长为2，离心率e ＝3的双曲线的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的一支于A ，B 两点，且|AB |＝8，则△ABF 2的周长为( )A ．3B ．16＋ 2C ．12＋ 2D ．24解析：选B ∵2b ＝2，e ＝c a＝3，∴b ＝1，c ＝3a ， ∴9a 2＝a 2＋1，∴a ＝24. 由双曲线的定义知：|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝22， ① |BF 2|－|BF 1|＝22，②①＋②得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝2， 又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|＝8＋2，则△ABF 2的周长为16＋2，故选B.2.[考法二]设k ＞1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．长轴在x 轴上的椭圆 B ．长轴在y 轴上的椭圆 C ．实轴在x 轴上的双曲线D ．实轴在y 轴上的双曲线解析：选D ∵k ＞1，∴1－k ＜0，k 2－1＞0，∴方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是实轴在y 轴上的双曲线，故选D.3.[考法二]已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D.3y 223－x223＝1解析：选C 法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x2－y 23＝1；当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程是y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，ab ＝3，无解．故该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，选C.法二：当其中的一条渐近线方程y ＝3x 中的x ＝2时，y ＝23＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1，b a ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C.法三：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即y3＝±x ，所以可设双曲线的方程是x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C.突破点二 双曲线的几何性质[基本知识][基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( )(2)等轴双曲线的离心率等于2，且渐近线互相垂直．( ) 答案：(1)√ (2)√ 二、填空题1．双曲线x 216－y 29＝1的渐近线方程为________． 答案：3x ±4y ＝02．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(3,0)，则k ＝________. 答案：13．双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则离心率为________．答案：54或53[全析考法]考法一 渐近线问题[例1] (1)(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x (2)(2019·郑州一中入学测试)已知抛物线x 2＝8y 与双曲线y 2a2－x 2＝1(a ＞0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．5x ±3y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0[解析] (1)∵e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝3，∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a .∴渐近线方程为y ＝±2x .(2)设点M (x 0，y 0)，则有|MF |＝y 0＋2＝5，所以y 0＝3，x 20＝24，由点M (x 0，y 0)在双曲线y 2a 2－x 2＝1上，得y 20a2－x 20＝1，即9a 2－24＝1，解得a 2＝925， 所以双曲线y 2a 2－x 2＝1的渐近线方程为y 2a2－x 2＝0，即3x ±5y ＝0，选B.[答案] (1)A (2)B [方法技巧]求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±ab x .反之，已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a ＞0，b ＞0)．考法二 离心率问题[例2] (1)(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2(2)(2018·长春二测)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤53，2B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53C ．(1,2]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞ [解析] (1)不妨设一条渐近线的方程为y ＝bax ， 则F 2到y ＝b ax 的距离d ＝|bc |a 2＋b2＝b .在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ， 所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中， 根据余弦定理得 cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－6a22ac＝－cos ∠POF 2＝－a c，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝c a＝ 3.(2)由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 2|＝2a3，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c －a ，可得2a 3≥c －a ，解得c a ≤53，即e ≤53，又双曲线的离心率e ＞1，故该双曲线离心率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53，故选B. [答案] (1)C (2)B [方法技巧]求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．[集训冲关]1.[考法一]已知双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±223xD ．y ＝±324x解析：选B 由于双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的焦点在y 轴上，且在直线x ＋y ＝5上，直线x ＋y ＝5与y 轴的交点为(0,5)，所以c ＝5，m ＋9＝25，则m ＝16，则双曲线的方程为y 216－x 29＝1，则双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .故选B.2.[考法二]若a ＞1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)解析：选C 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .即e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a ＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e ＜ 2.3.[考法一、二](2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322D ．2 2解析：选D ∵e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝2，∴ba＝1.∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0. ∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝42＝2 2.4.[考法一、二]已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1，F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析：选A 如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝a b x 平行的直线为y ＝ab x ＋c ，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ab x ＋c ，y ＝－ab x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－bc2a ， y ＝c2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a ，c2.因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＜c 2，化简得b 2＜3a 2，即c 2－a 2＜3a 2，解得c a ＜2，又双曲线的离心率e ＝c a ＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．故选A .。

高三数学知识点梳理第14章空间直线与平面1、内容要目：平面的概念及其表示方法，平面的基本性质，用“斜二测”方法画简单的直观图，简单几何体的截面，空间直线与直线的位置关系，平行公理，等角定理，异面直线的概念，异面直线所成的角，空间直线与平面的位置关系，空间平面与平面的位置关系。

2、基本要求：掌握画空间图形的基本技能，培养空间想象能力，理解异面直线所成角的概念，会画简单图形中的异面直线所成角的大小。

3、重难点：平面的基本性质和平行线的传递性，空间直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系及其各种表示法，用反证法证明两条直线是异面直线，运用平面的基本性质进行说理证明问题。

观图中的长度分别是0.5cm、1cm、1cm.2、祖恒定理：用一组平行线去截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积相等，则这两空间图形的体积必然相等。

3、多面体和旋转体共同性质和度量公式：4、设几何体的底面周长为c （有两个不同底面时，周长分别记为21c c ，），母线或斜高长为'h .(1) 圆柱和直棱柱的表面积分别为圆柱S ='22ch c +π，=直S 'ch +地面面积2⨯(2) 圆锥和正棱锥的表面积分别为=圆锥S 2'2ch c +π，'21ch S =正+底面面积 (3) 半径为r 的球的表面积为=球S 24r π. 5、球面距离：通过球面上两点的大圆劣弧的弧长。

第16章 排列组合和二项式定理1、乘法原理：如果完成一件事需要n 个步骤，第1步有1m 种不同的方法，第2步有2m 种不同的方法，……，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N Λ21=种不同的方法。

2、加法原理：如果完成一件事有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=Λ21种不同的方法。

高考解析几何专题“平面直线的方程”高考要求分析【知识点1】直线的点法向式方程和点方向式方程【考试要求】掌握直线的点法向式方程和点方向式方程，认识坐标法在建立形与数关系中的作用。

【解读说明】掌握两种题型，一是利用点法向式方程和点方向式方程解决求直线方程问题；二是会根据一般式方程求直线的法向量和方向向量。

【举例说明】1、已知点)2BA和点)3,6(C是三角形的三个顶点，求-,1(),6,1(-AC边的垂直平分线的方程。

【解析】所求直线的法向量是→AC，利用点法向式求直线方程。

【答案】0-x-y435=2、求过点)1+-yx的法向量为方向向量的23=,2(-且以直线05直线方程。

【解析】根据一般式方程求直线的法向量（3，-2），再利用点方向是方程求直线方程。

【答案】0+y-x2=133、过抛物线2d=-的直线的一个y x=的焦点，方向向量为(2,3)点方向式方程是．【解析】先根据抛物线方程求焦点坐标，然后写出点方向式方程。

注意方程形式。

【答案】3412--=y x 【知识点2】直线的一般式方程【考试要求】会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义；懂得二元一次方程的图形是直线。

【解读说明】能够根据一般式方程求直线法向量和方向向量，再就是会求直线的斜率与画直线。

【举例说明】1、 写出直线0132=+-y x 的一个方向向量和一个法向量。

【答案】)3,2(),2,3(-==→→n d2、 光线由)3,2(P 射到直线01=++y x 上，反射后过点)1,1(Q ，求反射光线所在直线的方程。

【解析】根据物理原理，反射光线经过点Q 和点P 关于直线01=++y x 的对称点，所以只需求出这个对称点，然后根据两点坐标求直线方程。

【答案】0527=--y x【知识点3】直线的倾斜角与斜率【考试要求】掌握点斜式方程【解读说明】首先掌握直线倾斜角和斜率的概念和关系，会根据斜率求倾斜角或根据倾斜角求斜率，重点掌握利用点斜式求直线方程。

上海高中数学解析几何解析几何是数学中重要的一个分支，在高中数学学科中占据着重要地位。

上海作为中国发展最快的城市之一，其高中数学教育也备受瞩目。

在上海的高中教育体系中，数学解析几何是高中数学的一个重要组成部分，涉及到平面几何和空间几何的相关内容。

本文将从上海高中数学解析几何的教学特点、教学内容、教学方法和学习难点等方面进行探讨，希望能为广大高中生提供一定的参考和帮助。

一、教学特点上海高中数学解析几何的教学特点主要表现在以下几个方面：1. 知识体系系统性强：解析几何作为数学的一个重要分支，其知识体系相对独立，系统性较强。

上海高中数学解析几何的教学内容通常包括平面解析几何和空间解析几何两部分，每一部分又分为多个章节，相互之间有机联系，形成一个完整的知识体系。

2. 抽象性强：解析几何是一门较为抽象的数学学科，其基本概念和定理需要通过公式和符号进行表达和推导。

这对学生的数学思维和逻辑推理能力提出了较高的要求。

3. 应用性广泛：解析几何是数学理论与实际应用结合的典范，涉及到数学、物理、工程等多个领域。

上海高中数学解析几何的教学不仅注重学生对解析几何理论的掌握，还注重培养学生解决实际问题的能力。

二、教学内容上海高中数学解析几何的教学内容主要包括以下几个方面：1. 平面解析几何：平面解析几何是解析几何的基础，主要研究平面上点、直线、圆等几何元素的性质和关系。

学生需要了解平面直角坐标系、点的坐标、直线的方程、圆的方程等基本概念，并掌握如何利用坐标系解决平面几何问题。

2. 空间解析几何：空间解析几何是解析几何的拓展，主要研究空间中点、直线、平面等几何元素的性质和运动规律。

学生需要了解空间直角坐标系、点的空间坐标、直线和平面的方程等知识，并学会如何进行立体空间的几何分析。

三、教学方法上海高中数学解析几何的教学方法主要包括以下几个方面：1. 理论与实践相结合：解析几何是一门理论性较强的学科，但也需要通过实际问题进行应用。

2020上海高考数学基础知识回顾：第三讲函数二一、函数的图像的变换★1、满足条件()()f x a f b a +=-的函数的图像关于直线2a bx +=对称； ★2、点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于y 轴的对称曲线方程为()x f y -=；★3、点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于x 轴的对称曲线方程为()x f y -=；★4、点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --；函数()x f y =关于原点的对称曲线方程为()x f y --=；★5、()y f x a =+是将()y f x =的图像向左(0)a >（右(0)a <）平移a 个单位得到； ★★6、曲线(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线的方程为(2,2)0f a x b y --=； ★★7、形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c=-由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c-；★★8、|()|f x 的图像先保留()f x 原来在x 轴上方的图像，作出x 轴下方的图像关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图像得到；(||)f x 的图像先保留()f x 在y 轴右方的图像，擦去y 轴左方的图像，然后作出y 轴右方的图像关于y 轴的对称图形得到；★★9、()y f ax =是将()y f x =的图像横坐标扩大(01)a <<（缩小(1)a >）1个单位得到； ★10、函数()x f y =+a 的图像是把函数()x f y =助图像沿y 轴向上)0(>a (向下)0(<a )平移a 个单位得到的.二、函数的单调性★★1、定义：设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么 基础知识[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. ★★2、如果函数)(x f 和)(x g 都是增（减）函数，则在公共定义域内，和函数)()(x g x f +也是增（减）函数；如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是增（减）函数，则复合函数)]([x g f y =是增（减）函数（同增异减）.★3、利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ① 任取D x x ∈21,，且21x x <；② 作差)()(21x f x f - （偶有做商比较大小的）； ③ 变形（通常是通分、因式分解和配方）； ④ 定号（即判断差)()(21x f x f -的正负）；⑤下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）. 三、函数的奇偶性★1、偶函数的定义： 如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数；奇函数的定义：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数（定义域是否是关于原点对称是判断前提）.★2、图像：)(x f 为奇函数⇔)(x f 图像关于原点对称；)(x f 为偶函数⇔)(x f 图像关于y 轴对称．★3、根据规律判断函数的奇偶性：偶函数+偶函数=偶函数；奇函数+奇函数=奇函数；偶函数×偶函数=偶函数； 奇函数×奇函数=偶函数； 偶函数×奇函数=奇函数． ★★4、函数奇偶性的性质：① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同； 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反． ② 如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数； ③ 若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==；④ 若奇函数()f x 定义域中含有0，则必有(0)0f =．故(0)0f =是()f x 为奇函数的既不充分也不必要条件；⑤ 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”；⑥ 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”；⑦ 既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）．★★5、若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+. 四、函数的周期性★1、定义：设函数)(x f ，D x ∈，如果存在非零常数T ，使得对任意的D x ∈，都有)()(x f T x f =+，则称)(x f 为周期函数，T 为)(x f 的一个周期，周期函数的周期往往不唯一．★★★2、和周期函数有关的常见结论： （1）若f (x ＋a )＝f (x －a )，则函数的周期为2a ； （2）若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数的周期为2a ； （3）若f (x ＋a )＝－1f （x ），则函数的周期为2a ；（4）函数f (x )关于直线x ＝a 与x ＝b 对称，那么函数f (x )的周期为2|b －a |；（5）若函数f (x )关于点(a ，0)对称，又关于点(b ，0)对称，则函数f (x )的周期是2|b －a |； （6）若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b ，0)对称，函数f (x )的周期是4|b －a |； （7）若函数f (x )是偶函数，其图象关于直线x ＝a 对称，则其周期为2a ； （8）若函数f (x )是奇函数，其图象关于直线x ＝a 对称，则其周期为4a . 五、函数的对称性★★★1、函数()y f x =的图象的对称性：（1）函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=. （2）函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称 ()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=.★★★2、两个函数图象的对称性：（1）函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. （2）函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. （3）函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线x y =对称.一、函数图象的变换对较为复杂的函数能够利用函数图象的平移、对称、旋转、翻折进行处理.【例1】将函数by a x a=++的图像向右平移2个单位后又向下平移2个单位，所得图像如果与原图像关于y x =对称，那么（ ）A .1,0a b =-≠B .1,a b R =-∈C . 1,0a b =≠D .0,a b R =∈【难度】★ 【答案】C【例2】函数213||4y x x =-+的单调增区间为__________. 【难度】★ 【答案】3[,0]2-和3[,)2+∞【例3】已知222)(--=x x f ，且关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有k （*N k ∈）个根，则这k 个根的和可能是 .（请写出所有可能值）【难度】★★【答案】4、6、8、10、12、14、16【巩固训练】1．已知函数1)(---=a x x a x f 的反函数)(1x f -的图像的对称中心)3,1(-，则实数a 的值为_____________． 【难度】★★ 【答案】22．将函数12log y x =的图像沿x 轴向右平移1个单位，得到图像C ，图像1C 与C 关于原点对称，图像2C 与1C 关于直线y x =对称，则2C 对应的函数解析式为______________. 【难度】★ 题型与方法【答案】1()12x y -=--3．函数c bx x x x f ++=)(给出四个命题： ①当0=c 时，)(x f y =是奇函数；②当0,0>=c b 时，方程0)(=x f 只有一个实数根； ③)(x f y =的图像关于点()c ,0对称； ④方程0)(=x f 至多只有两个实数根. 上述命题中，所有正确命题的序号是_______. 【难度】★★ 【答案】①②③二、函数的单调性掌握函数单调性的判断和证明，会求简单的复合函数的单调性，讨论单调函数与不等式的关系，以及利用函数的单调性求函数的最大值、最小值问题，同时也要注意复合函数单调性的判断“同增异减，内外兼顾”.【例4】函数22log (1)y x =-的单调递减区间是 ．【难度】★ 【答案】)1,(-∞【例5】已知⎩⎨⎧≥<--=)1(log )1()3()(x xx a x a x f a 是),(+∞-∞上的增函数，那么a 的取值范围是 ． 【难度】★★【答案】⎪⎭⎫⎢⎣⎡323，【例6】函数()1sin sin 2+-=x x x f []()π20，∈x 的单调递增区间为 ． 【难度】★★【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡26ππ，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡2365ππ，【例7】已知在关于x 的不等式()()()10136log 4log 2<<->-a a x x a a 的解集中，有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】1312139<≤a【巩固训练】1．设R a ∈，则“1a =-”是“()()2f x ax x =-在()0,+∞上单调递增”的（ ） A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件【难度】★★ 【答案】C2．已知函数()()()()⎩⎨⎧>+-≤=0430x a x a x a x f x ，满足()()[]()02121<--x x x f x f 对定义域中任意的1x 、2x 成立，则实数a 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛410，3．函数()1log 2log 221221+-=x x x f 的单调递减区间为 ．【难度】★★【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛220，4．问题“求方程345x x x +=的解”有如下的思路：方程345x x x +=可变为34()()155x x +=，考察函数34()()()55x x f x =+可知，(2)1f =，且函数()f x 在R 上单调递减，∴原方程有唯一解2x =.仿照此解法可得到不等式：632(23)(23)x x x x -+>+-的解是 ．【难度】★★★ 【答案】1x <-或3x >三、函数的奇偶性对函数奇偶性的判断和证明主要利用定义或者一些特殊函数的奇偶性的复合来进行求解．【例8】设R a ∈，22()()21x x a a f x x R ⋅+-=∈+，若函数)(x f 是奇函数，则a 的值为 ． 【难度】★ 【答案】1【例9】若定义在R 上的函数)(x f ，)(x g 均为奇函数，设1)()()(++=x bg x af x F ，若10)2(=-F ，则)2(F 的值为 ． 【难度】★★ 【答案】8-【例10】定义在R 上的奇函数()()2+=x f x f ，且当()01，-∈x 时，()212-=x x f ，则()=18log 2f ．【难度】★★ 【答案】187-【例11】若定义在R 上的函数()x f 满足对任意1x 、R x ∈2都有()()()12121++=+x f x f x x f ，则下列说法一定正确的是（）A 、()x f 为奇函数B 、()x f 为偶函数C 、()1+x f 为奇函数D 、()1+x f 为偶函数【难度】★★ 【答案】C【巩固训练】1．设)(x f 是定义在R 上的函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，当)(x f 为奇函数时，函数)(x f 的解析式是 ； 当)(x f 为偶函数时，函数)(x f 的解析式是 ．【难度】★【答案】()⎩⎨⎧<--≥-=020222x x x x x x x f ，，，()⎩⎨⎧<+≥-=020222x x x x x x x f ，，．2．93()2f x ax bx cx =+++，若(1)1f -=，则(1)f = ． 【难度】★★ 【答案】33．已知函数()⎩⎨⎧>+≤+=022x bx ax x x x x f ，，为奇函数，则=+b a ．【难度】★★ 【答案】04．设函数()x f 和()x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 （）A 、()()x g x f +为偶函数B 、()()x g x f -为奇函数C 、()()x g x f +为偶函数D 、()()x g x f -为奇函数【难度】★★ 【答案】A四、函数的周期性对函数周期性的判断和证明常利用一些公式模型来套用，或是利用赋值法恒等化简，找到()()x f T x f =+即可，也可以利用特殊函数来进行简化计算．【例12】已知奇函数)(x f 满足条件)()3(x f x f =+，当)1,0(∈x 时，13)(-=xx f ，则)36(log 31f ＝_____． 【难度】★ 【答案】13【例13】定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧>---≤-=0),2()1(0),1(log )(2x x f x f x x x f ，则)2014(f 的值为____．【难度】★★ 【答案】1【例14】设函数)(x f y =是定义在R 上以1为周期的函数，若函数x x f x g 2)()(-=在区间]3,2[上的值域为]6,2[-，则)(x g 在区间]12,12[-上的值域为（ ）A ．]6,2[-B ．]28,24[-C ．]32,22[-D ．]34,20[-【难度】★★★ 【答案】D【巩固训练】1．)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f 关于21=x 对称，则=+++)100()1()0(f f f Λ_____． 【难度】★★ 【答案】02．已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x Z ∈，都有()()()11f x f x f x =-++．若()()12,13f f -==，则()()20122012f f +-=______．【难度】★★★ 【答案】5-3．设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 ．【难度】★★★ 【答案】[15,11]-五、函数性质与图像综合应用对函数性质和图象的综合运用，可以利用函数与方程的方法、数形结合的方法、转化与划归的方法等来进行解决．【例15】已知()f x 是单调减函数，若将方程()f x x =与1()()f x f x -=的解分别称为函数()f x 的不动点与稳定点．则“x 是()f x 的不动点”是“x 是()f x 的稳定点”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【难度】★★ 【答案】B【例16】已知集合M 是满足下列两个条件的函数)(x f 的全体：①)(x f 在定义域上是单调函数；②在)(x f 的定义域内存在闭区间],[b a ，使)(x f 在],[b a 上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2b a ．若函数m x x g +-=1)(，M x g ∈)(，则实数m 的取值范围是_________．【难度】★★ 【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0【例17】定义域是一切实数的函数()x f y =，其图像是连续不断的，且存在常数λ(R λ∈)使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—伴随函数”．有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ—伴随函数”；②“12—伴随函数”至少有一个零点；③2()f x x =是一个“λ—伴随函数”；其中正确结论的个数是（ ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．0个；【难度】★★★ 【答案】A【巩固训练】1．若偶函数()y f x =()x ∈R 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，则函数()()lg g x f x x =-的零点个数为_____个．【难度】★★ 【答案】102．若()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意的实数0x ≥，总有正常数T ，使得()()f x T f x T +=+成立，则称()f x 具有“性质p ”，已知函数()g x 具有“性质p ”，且在[]0,T 上，()2g x x =；若当[],4x T T ∈-时，函数()y g x kx =-恰有8个零点，则实数k =__________．【难度】★★★ 【答案】436-3．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x =，当0x >时，()()()11f x f x f +=+，若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有11个不同的公共点，则实数k的取值范围为____________． 【难度】★★★【答案】（264-，436-）【例1】设函数()()R x xxx f ∈+-=1，[]()b a b a M <=,，集合(){}M x x f y y N ∈==,，则使N M =成立的实数对()b a ,有 个．【难度】★★ 【答案】0【解析】函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+=>++-=+-=0,1110,00,1111x x x x x x x x f ，如图，从图形可以看出，函数单调递减，所以()()⎩⎨⎧==ab f ba f ，解得0==b a ，与b a <矛盾，故只有0个．【易错点】画出图象可以很容易判断函数的单调性，从而借助方程思想和数形结合思想，在函数值域一定的条件下去研究定义域就会变得简单了．【变式训练】1．设函数()()R x x xx f ∈+=12，区间[]b a M ,=（其中b a <），集合(){}M x x f y y N ∈==,，易错题型则使N M =成立的实数对()b a ,共有 对． 【难度】★★ 【答案】3【例2】若函数()()()a bx a x x f 2++=（常数a 、R b ∈）是偶函数，且它的值域为(]4，∞-，则该函数的解析式()=x f ． 【难度】★ 【答案】422+-x【解析】函数可化为()()2222a x ab a bx x f +++=，由偶函数知02=+ab a ，又因为值域为(4，∞-，所以0<b ，422=a ，解得2±=a ，2-=b ，所以()422+-=x x f ．【易错点】函数的奇偶性需要判断两点，一是定义域的对称性，而是()x f 解析式与()x f -的关系．【变式训练】1．若函数()()θ+=x x f 3sin 2，[]a a x 3,52π-∈为奇函数，其中()πθ2,0∈，则=-θa ． 【难度】★ 【答案】0【例3】设函数()⎩⎨⎧∉∈=Q x Qx x D ，，01，则下列结论错误的是（ ）A 、()x D 的值域为{}10，B 、()x D 是偶函数C 、()xD 不是周期函数 D 、()x D 不是单调函数【难度】★★ 【答案】C【解析】任取非零有理数T ，若x 为有理数，则T x +也为有理数；若当x 为无理数时，T x +也为无理数，故有()()x D T x D =+，则()x D 是周期函数，同理可证明()x D 为偶函数． 【易错点】分段函数的周期性和奇偶性按照定义证明即可．【变式训练】1．给出定义：若2121+≤<-m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}m x =．在此基础上给出下列关于函数(){}x x x f -=的四个命题：①函数()x f y =的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡210，；②函数()x f y =的图象关于直线()Z k kx ∈=2对称；③函数()x f y =是周期函数，最小正周期为1；④函数()x f y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2121，上是增函数．其中正确的命题的序号是 ． 【难度】★★ 【答案】①②③【例4】设函数()()1sin 122+++=x xx x f 的最大值为M ，最小值为m ，则=+m M ．【难度】★★ 【答案】2【解析】原函数可化为()()1sin 211sin 211sin 122222+++=++++=+++=x x x x x x x x x x x f ，令()1sin 22++=x xx x g ，则()x g 为奇函数且()()x g x f +=1，则()()M x g x f =+=max max 1，()()m x g x f =+=min min 1，因为()x g 为奇函数，所以()()0min max =+x g x g ，故2=+m M ．【易错点】奇函数的图象关于原点对称，其最大值和最小值肯定也关于原点对称，即互为相反数．【变式训练】1．函数()x x x f sin tan +=，项数为27项的等差数列{}n a ，22ππ<<-n a ，公差0≠d ，若()()()02721=+++a f a f a f Λ，则()=14a f ．【难度】★★ 【答案】0【例5】设()x f 是定义在R 上的周期为2的函数，当[)1,1-∈x 时，()⎩⎨⎧<≤<≤-+-=1001242x x x x x f ，，，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛23f ． 【难度】★★ 【答案】1【解析】由题意可知()1221421223232=+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f【易错点】根据函数的周期性将待求函数值的自变量转化为分段函数中定义域范围内求解是关键．【变式训练】1．定义在R 上的函数()x f 满足()()()()⎩⎨⎧>---≤-=02101log 2x x f x f x x x f ，，，则()2015f 的值为 ．【难度】★★ 【答案】1【例6】已知函数()x f 对任意实数x 、y ，均满足()()()[]222y f x f y x f +=+，且()01≠f ，则()=2016f ．【难度】★★ 【答案】1008【解析】令1=y ，则()()()[]2121f x f x f +=+，即()()()[]2121f x f x f =-+，令0=x ，1=y ，得()()()[]21201f f f +=，令0==y x ，得()00=f ．所以()211=f ，则()()211=-+x f x f ，累加可得()10082016=f ．【易错点】抽象函数的常见解题方法是利用赋值法、换元法、具体化法来解决．【变式训练】1．已知()x f 为R 上的增函数，且对任意R x ∈，都有()[]43=-xx f f ，则()=2f ．【难度】★★ 【答案】10【例7】已知函数()x f 是定义在()∞+，0上的增函数，且()()y f x f y x f -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛，()12=f ，则不等式()231≤⎪⎭⎫⎝⎛--x f x f 的解集为 ． 【难度】★★【答案】(]43，【解析】由题意得()()x f y f y x f =+⎪⎪⎭⎫⎝⎛，令4=x ，2=y 则有()()()422f f f =+，即()24=f ，所以原不等式变为()[]()43f x x f ≤-，再结合函数的定义域、单调性可得()⎪⎩⎪⎨⎧>->≤-03043x x x x ，解得43≤<x ．【易错点】抽象函数不等式的解题问题都是利用题中的恒等式进行赋值合并再利用单调性求解．【变式训练】1．已知()x f 是定义在()∞+，0上的增函数，且()()()y f x f y x f =+，()31=f ，则不等式()()2732≤-x f x f 的解集是 ．【难度】★★ 【答案】(]23，【例8】已知函数()()()⎩⎨⎧>≤≤=1log 10sin 2014x x x x x f π，若a 、b 、c 互不相等，且()()()c f b f a f ==，则c b a ++的取值范围是 ． 【难度】★★【答案】()20152，【解析】由()()()m c f b f a f ===，不妨设c b a <<，由正弦函数图象的对称性，可得()m a ,与()m b ,关于直线21=x 对称，因此1=+b a ．当直线1==m y 时，由1log 2014=x 得2014=x ，可得20141<<c ，所以20152<++<c b a ．【易错点】利用函数图象的对称性找到等高线函数值对应的横坐标的取值范围．【变式训练】1．已知()⎩⎨⎧>≤--=0,lg 0,22x x x x x x f ，若关于x 的方程()a x f =有四个实根1x 、2x 、3x 、4x ，则这四根之和4321x x x x +++的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛10810，【例9】已知关于x 的方程()()0368lg 20lg 2=---+a x x x 有唯一解，则实数a 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】⎪⎭⎫⎢⎣⎡--216163， 【解析】方程可转化为()()368lg 20lg 2--=+a x x x ，从而得368202--=+a x x x 且方程两边都是正数，正面讨论比较麻烦，可以将方程左右两边看成二次函数x x y 202+=及一次函数368--=a x ，则只需要考虑这两个函数图象在x 轴上恒有唯一交点即可．【易错点】利用方程和的结构等价转化为图象交点问题．【变式训练】1．设函数()x x a x f 42--+=，()134+=x x g ，已知[]0,4-∈x 时恒有()()x g x f ≤，则a 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】5-≤a。

1 / 26高一数学寒假班（教师版）化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。

等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法转化有等价转化与不等价转化。

等价转化后的新问题与原问题实质是一样的。

不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。

应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化。

常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化。

1、相等与不等关系【例1】已知b a ,都是实数，且11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 【难度】★★【答案】Θ,2)1(1222b a b a -+≤-2)1(1222a b a b -+≤-，∴11122≤-+-a b b a 。

当且仅当21b a -=且21a b -=时取等号，即11122=-+-a b b a 。

所以122=+b a 。

知识梳理例题解析转化与化归思想2 / 26【解析】利用均值不等式先得到一个不等关系，再结合已知中的相等关系寻求a 与b 之间的关系【例2】将直线1l ：()20:0nx y n l x ny n n N x y *+-=+-=∈、与轴、轴围成封闭区域的面积为n S ，则lim n n S →∞等于【难度】★★ 【答案】1【解析】()12:0:0l nx y n l x ny n n N *+-=+-=∈、．两边同时除以n ，得()1211:10:10l x y l x y n N n n*+-=+-=∈、 当n →+∞时，121010l x l y →-=→-=；lim n n S →∞即由=1=1,x y x y ，，轴轴组成的边长为1的正方形．因此，lim =1n n S →∞【例3】已知x 、y 、z 是非负数，且30=++z y x ，503=-+z y x ，又z y x m 245++=，则m 的取值范围是 . 【难度】★★【答案】130120≤≤m【例4】设*∈N n ,n a 表示关于x 的不等式12)45(log log 144-≥-⨯+-n x x n 的正整数解的个数，则数列{}n a 的通项公式n a = .3 / 26【难度】★★ 【答案】1431+⨯-n【巩固训练】1．已知x 、y 、z 是非负整数，且10x y z ++=，2330x y z ++=，则53x y z ++的取值范围是 . 【难度】★★ 【答案】302．设双曲线的右焦点为，点、、…、是其右上方一段（，）上的点，线段的长度为，（）．若数列成等差数列且公差，则最大取值为 ． 【难度】★★ 【答案】142、化陌生为熟悉【例5】阅读下列问题的解法：实数y x ,满足545422=+-y xy x ，设22y x S +=，求m inm ax11S S +的值．1422=-y x F 1P 2P n P 522≤≤x 0≥y F P k k a n k ,,3,2,1Λ={}n a )55,51(∈d n4 / 26解：设⎪⎩⎪⎨⎧==ααsin cos S y S x 代入545422=+-y xy x ，化简后得5cos sin 54=-ααS S ，解得α2sin 5810-=S ；∵ 12sin 1≤≤-α，∴ 132sin 583≤-≤a ，∴3102sin 58101310≤-≤α，∴ 581016101310311min max ==+=+S S ． 试用上述解题方法解下列问题：设R y x ∈,且x y x 62322=+，求22y x +的取值范围是_________。

第七节 抛物线1.抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线: (１）在平面内;（２）动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； （3)定点不在定直线上.２.抛物线的标准方程和几何性质[1．抛物线２x ２＋y ＝０的准线方程为_______＿.解析：∵抛物线的标准方程为x 2=－错误!y ，∴２p =错误!未定义书签。

, ∴ p2=错误!，故准线方程为ｙ=错误!．ﻬ答案:y =错误!未定义书签。

２.若抛物线y ＝4ｘ2上的一点M 到焦点的距离为１，则点M 的纵坐标是＿__＿____． 解析:M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y=-错误!,设M(x，y)，则y＋错误!未定义书签。

＝1,所以y=错误!未定义书签。

答案:错误!未定义书签。

3.若抛物线y２＝２px上一点P(2，y0）到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为＿_＿_＿_＿_．解析：由题意知，抛物线的准线为x=－p２.因为点P（2，y0)到其准线的距离为4,所以错误!=４，所以p=４。

所以抛物线的标准方程为y2=8ｘ。

答案：ｙ2＝８ｘ１．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视,只有p>0才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离,否则无几何意义．［小题纠偏］1．平面内到点(１,1)与到直线x+２y-3=０的距离相等的点的轨迹是＿＿＿__＿__．答案:一条直线２．抛物线8ｘ2+y＝0的焦点坐标为__＿_＿___．解析：由８x2＋y=0，得x2＝-＼ｆ(１，8）ｙ.所以２p＝错误!,ｐ=错误!未定义书签。

,所以焦点为错误!未定义书签。

答案：错误!错误!未定义书签。

错误![典例引领］1．(20１９·徐州调研）在平面直角坐标系xＯy中,抛物线y2=１6ｘ上横坐标为1的点到其焦点的距离为____＿__＿．解析:抛物线y2=1６x中,p=８，∴准线方程为ｘ＝－4,∵抛物线y２＝16x上横坐标为1的点到其焦点的距离即为到其准线的距离,∴d=1－（－４)=5。

2020上海高考数学基础知识回顾：第六讲 立体几何一、空间点、直线、平面的位置关系★（1）点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉ 点与直线的关系：点A 的直线l 上，记作：A ∈l ； 点A 在直线l 外，记作A ∉l ； 直线与平面的关系：直线l 在平面α内，记作l ⊂α；直线l 不在平面α内，记作l ⊄α。

★（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

（即直线在平面内，或者平面经过直线）★（3）公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理2的作用：①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。

③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。

★（4）公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。

公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据 ★（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行★（6）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。

二、空间中的平行问题★（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。

线线平行⇒线面平行线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

线面平行⇒线线平行★（2）平面与平面平行的判定及其性质①两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行→面面平行）；如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行（线线平行→面面平行）；垂直于同一条直线的两个平面平行②两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行（面面平行→线面平行）；如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面面平行→线线平行）。

上海高考解析几何知识点解析几何作为数学的一个重要分支，是高考数学中的一个重要知识点。

在上海高考中，解析几何的占比虽然不是很高，但对于很多考生来说，掌握解析几何的知识点是提高分数的关键。

下面将对上海高考解析几何的知识点进行详细解析。

一、平面直角坐标系与向量在解析几何中，平面直角坐标系是一个基本概念。

它由两条垂直的数轴x轴和y轴组成，通过原点(0,0)确定。

在平面直角坐标系中，点的坐标表示了其位置。

对于向量，它是解析几何中的另一个核心概念。

在平面直角坐标系中，向量可以用一个有序实数组表示。

向量的加、减、数乘等运算都是按照坐标进行的。

二、直线与曲线的方程在解析几何中，直线和曲线的方程是重要的知识点。

对于直线，可以用一般式、截距式等形式表示。

其中，一般式方程为Ax+By+C=0，A、B、C为实数，A和B不同时为0。

对于曲线，常见的有圆、椭圆、抛物线和双曲线等。

它们的方程可以通过变换和平移得到。

掌握这些方程的特点和性质，有助于解题和理解几何形状。

三、直线与曲线的位置关系直线与曲线的位置关系是解析几何中的基础问题之一。

它可以通过直线与曲线的解方程组得到。

具体根据方程组的解可以判断直线与曲线的交点数、位置等。

在解析几何中，我们还可以通过判别式来判断直线与圆的位置关系。

根据判别式的正负值，可以分别得到直线与圆的相离、相切、相交等情况。

四、直线与曲线的性质和定理在解析几何中，直线与曲线有一些重要的性质和定理。

比如，直线与圆的位置关系可以用切线的斜率来表示。

当直线与圆相切时，切点的斜率等于直线的斜率；当直线与圆相交时，直线的斜率不等于切点的斜率。

对于椭圆、抛物线和双曲线等曲线，还有一些特殊的性质和定理。

比如，椭圆的离心率小于1，抛物线的离心率等于1，双曲线的离心率大于1。

这些定理对于题目的解答和几何图形的分析有着重要的作用。

五、平面几何图形的建立和分析在解析几何中，平面几何图形的建立和分析是一个重要的环节。

通过将实际问题转化为几何图形，可以更好地理解和解决问题。

2020届上海高考数学基础知识回顾辅导讲义第八讲 向量一、向量的概念：★（1）向量的概念：既有大小又有方向的量．向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以任意平移） ★（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； ★（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量； ★（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量；★（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a //b ，规定零向量和任何向量平行；★（6）位置向量：起点为原点的向量．二、向量的几何运算：1、向量的基本运算： ★（1）向量的加法运算：三角形法则和平行四边形法则； ★（2）向量的减法运算：三角形法则；（减数指向被减数）★（3）实数与向量的乘积：实数λ与非零向量a 的积是一个向量，记作a ⋅λ． ①0λ>，a λr g 与a r 方向相同，长度为a λrg ； ②0λ<，a λr g 与a r 方向相反，长度为a λrg ；③0λ=，0a λ=r r g． 2、向量的数量积：★（1）向量的夹角：对于两个非零向量a r 和b r ，如果以O 为原点，作,OA a OB b ==u u u r r u u u r r，那么射线OA u u u r 与OB uuu r 的夹角θ叫做a r 和b r的夹角，θ的取值范围是[]0,π；★（2）向量的投影：b 在a 上的投影为||cos b θr，θ为向量a 和b 的夹角；★（3）向量的数量积公式：a b r r g＝cos a b θr r；（22a a =r r ） 基础知识★★（4）a b ⋅r r 的几何意义：a b ⋅r r 等于其中一个向量a r 的模a r与另一个向量b r 在向量a r 的方向上的投影cos b θr的乘积．★3、向量的夹角公式：cos a ba bθ⋅=r r r r ．4、向量的平行与垂直： ★（1）向量的平行：//a b a b λ⇔=r r r r；★（2）向量的垂直：0a b a b ⊥⇔=r r r rg ．★★5、平面向量分解定理：如果1e u r 和2e u u r是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a r，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+r u r u u r ．6、三点共线：★（1）平面上有A B C 、、三点，若()AB BC R λλ=∈u u u r u u u r，则A B C 、、三点共线；★★（2）设 OA OB u u u r u u u r、不平行，点P 在AB 上⇔存在实数λμ，使得OP OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r1()R λμλμ+=∈且，． 三、向量的坐标表示与运算：1、向量的坐标表示： ★（1）i ：x 轴正方向单位向量，j ：y 轴正方向单位向量；★（2）向量的坐标表示：平面直角坐标系中，以i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=r r r，称(),x y 为向量a 的坐标；★（3）()()11222121,,,(,)A x y B x y AB x x y y ⇒=--u u u r．2、向量的模： ★（1）()221111,a x y a x y =⇒=+r r★（2）已知()11,a x y =r，则a r 的单位向量0a a a=ru u r r ．3、向量的坐标运算：★（1）()()()11221212,,,,a x y b x y a b x x y y ==⇒±=±±r r r r；POBA★（2）()()1111,,,a x y R a x y λλλλ=∈⇒=r r；★（3）()()11221212,,,a x y b x y a b x x y y ==⇒=+r r r rg ．4、向量的平行与垂直： ★（1）向量的平行：()()11221221,,,,//a x y b x y a b x y x y ==⇔=r r r r；★（2）向量的垂直：()()11221212,,,,0a x y b x y a b x x y y ==⊥⇔+=r r r r．5、定比分点：★★（1）定比分点公式：已知11(,)A x y 、22(,)B x y 是直线上任一点，且(,1)AP PB R λλλ=∈≠-u u u r u u u r ，令),(y x P ，则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x ；★（2）中点公式：若点),(y x P 为11(,)A x y 、22(,)B x y 两点中点，则1212212x x x y y y λ+⎧=⎪⎪=⇒⎨+⎪=⎪⎩；★★（3）重心公式：若点(),G x y 为ABC ∆重心，且11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y ，则12312333x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩．一、向量的概念与运算（加法、减法、数乘）【例1】在下列命题中：（1）若a b =r r，则a b =r r ；（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相u u u r u u u r u u u r u u u r；（5）若,a b b c ==r r r r ，则a c =r r ；（6）若//,//a b b c r r r r ，则//a c r r．其中正确的是_______．【难度】★ 【答案】（4）（5）【例2】已知()5,4-=a ，()4,2-=b ，则b a -2=_____． 题型与方法【答案】26【例3】已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )A ．⎝⎛⎭⎫35，－45B ．⎝⎛⎭⎫45，－35C ．⎝⎛⎭⎫－35，45D ．⎝⎛⎭⎫－45，35 【难度】★【答案】A【例4】已知),1(x a =，)2,4(=b ，若b a ⊥，则实数=x _______． 【难度】★ 【答案】-2【例5】如图：在梯形ABCD 中，//AD BC 且12AD BC =，AC 与BD 相交于O ，设AB a =u u u r r ，DC b =u u u r r ，用,a b r r表示BO uuu r ，则BO uuu r = ．【难度】★★ 【答案】b a 3234+-【例6】在直角坐标系内12(4,3),(2,6)P P --，点P 在直线12P P 上，且122PP PP =u u u r u u u r，求出P 的坐标． 【难度】★★ 【答案】(8,15)P -【巩固训练】1．判断下列命题是否正确，并说明理由． ①若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a>b ；②若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； ③对于任意|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，则a ＝b ；④向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反．【难度】★【答案】①不正确；②不正确；③正确；④不正确．2．设x ∈R ，向量)2,1(),1,(-==x ，且⊥ ，则=+||________．103．已知向量()(),4,,1,2k b k k a =+=ρρ若b a ρρ//，则实数k 的值是 ．【难度】★★ 【答案】310==k k 或4．已知(3,1),(4,2)A B ---，P 是直线AB 上一点，若23AP AB =u u u r u u u r，求点P 的坐标．【难度】★★ 【答案】155(,)22P --5．有以下命题成立：设点,P Q 是线段AB 的三等分点，则有OP OQ OA OB +=+u u u r u u u r u u u r u u u r．将此命题推广，设点12345,,,,A A A A A 是线段AB 的六等分点，则()12345OA OA OA OA OA OA OB ++++=+u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r ．【难度】★★★ 【答案】526．已知点P Q 、是ABC ∆所在平面上的两个定点，且满足0,PA PC +=u u u r u u u r r 2QA QB QC BC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r,若||=||PQ BC λu u u r u u u r，则正实数λ= ．【难度】★★★ 【答案】21二、向量的数量积向量数量积运算的基本方法：1、向量的分解；2、坐标法；3、向量数量积的几何意义．【例7】已知向量()()3,4,0,1a b =-=-r r，则向量在向量的方向上的投影是 ．【难度】★★ 【答案】4【例8】平面向量a r 与b r 的夹角为60︒，1a =r ，(3,0)b =r，则2a b +=r r ．19【方法】22a a =r r【例9】在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EM ⋅ 的最大值为___________． 【难度】★★ 【答案】23 【方法】向量的分解；坐标法【例10】已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，6,7,8,AC BC AB ===则=⋅BC AO ． 【难度】★★★ 【答案】14-【方法】向量数量积的几何意义【巩固训练】1．在平行四边形ABCD 中，若2,1,60AB AD BAD ==∠=ou u u r u u u r ，则AB BD ⋅=u u u r u u u r ___________．【难度】★★ 【答案】3-2．已知向量a r 与向量b r ，2a =u u r ，3b =u u r ，a r 、b r的夹角为60︒，当12,02m n ≤≤≤≤时，ma nb +r r的最大值为 ．【难度】★★ 【答案】2193．在Rt ABC ∆中，3==AC AB ，,M N 是斜边BC 上的两个三等分点，则AM AN ⋅u u u u r u u u r的值为 ．【难度】★★ 【答案】4【方法】向量的分解；坐标法4．如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO u u u r ·BC u u u r的值是__________．【难度】★★ 【答案】8【方法】向量数量积的几何意义三、向量的应用（一）三点共线的应用； （二）三角形“四心”： 1．⇔=++0GC GB GA G 是ABC ∆的重心．2．()(0)||||AC AB AP AB AC λλ=+≠⇔u u u r u u u r u u u r uu u r u u u r P 经过ABC ∆的内心． 3．OC OB OA ==⇔O 为ABC ∆的外心．4．⇔⋅=⋅=⋅HA HC HC HB HB HA H 为ABC ∆的垂心．【例11】已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r ，则xy x y+的值为 .【难度】★★ 【答案】31 【方法】三点共线【例12】设12,e e u r u u r 是平面内两个不共线的向量，12(1)AB a e e =-+u u u r u r u u r ，122AC be e =-u u u r u r u u r，0,0a b >>.若,,A B C 三点共线，则12a b+的最小值是 ． 【难度】★★ 【答案】4【方法】平面向量分解定理，三点共线【例13】已知同一平面上的向量PA uu r ，PB uu r ，AQ uuur ，BQ uu u r 满足如下条件：①||||2PA PB AB +==uu r uu r uu u r ；②0||||AB AQ BQ AB AQ ⎛⎫+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭uu u r uuu ruu ur uu u r uuu r ；③||||AB AQ AB AQ +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则||PQ uu u r 的最大值与最小值之差是 ． 【难度】★★【答案】2【方法】三角形“四心”【巩固训练】1．如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =u u u r u u u u r ，AC nAN =u u u r u u u r，则m n +的值为．【难度】★★ 【答案】2【解析】取特殊位置，设M 与B 重合，N 与C 重合，则1m n ==，所以2m n +=．【方法】三点共线2．已知点O 是ABC ∆的重心，内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，且23203a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r ，则角C 的大小是 ．【难度】★★ 【答案】3π 【方法】三角形重心零向量、向量的夹角【例1】已知点A ()31，，()14-，B ，则与AB 共线的单位向量为 【难度】★【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛-5453，和⎪⎭⎫ ⎝⎛-5453， 【解析】与向量a 同向的单位向量为aa易错题型BAONM【易错点】①长度为1个单位的向量叫单位向量；②与向量a 同向的单位向量为aa 。

沪教版高中数学解析几何基本概念教案2023【导言】解析几何是高中数学的重要组成部分，也是数学学习的一大难点。

解析几何的基本概念是理解和掌握解析几何的基石。

为了帮助学生更好地掌握解析几何的基本概念，本教案结合沪教版教材，设计了一系列的教学活动和学习任务，旨在帮助学生深入理解解析几何的基本概念，并能够熟练应用于实际问题中。

【学习目标】1. 理解解析几何的基本概念，如点、线、面、平行、垂直等。

2. 能够运用解析几何的基本概念解决实际问题。

3. 提高学生的逻辑思维和空间想象能力。

【教学重点】1. 点、线、面的概念及其性质。

2. 平行、垂直关系的判定方法。

3. 运用解析几何的基本概念解决实际问题。

【教学难点】1. 运用解析几何的基本概念解决复杂问题。

2. 培养学生的空间想象能力。

【教学准备】1. 教师准备：沪教版高中数学教材课本、课件、板书等。

2. 学生准备：笔、纸、直尺、计算器等。

【教学过程】一、引入（约5分钟）教师通过问题引入解析几何的基本概念，如下：问题1：我们如何判断两条直线是否平行？问题2：如何判断两条直线是否垂直？二、概念讲解（约15分钟）1. 点、线、面的概念及其性质。

教师通过示意图和实例，讲解点、线、面的定义和性质，并引导学生思考和讨论。

2. 平行、垂直关系的判定方法。

教师结合具体实例，介绍平行线和垂直线的判定方法，并与学生进行实际操作演练，帮助学生掌握判定方法。

三、练习与讨论（约20分钟）1. 完成课本上的练习题。

学生在教师的指导下，完成课本上相关的练习题，加深对概念的理解和应用。

2. 学生小组讨论与展示。

学生分成小组进行讨论，提出一个与解析几何基本概念相关的问题，并进行展示。

其他小组进行评议和讨论。

四、拓展应用（约15分钟）1. 解决实际问题。

教师出示一些与解析几何基本概念相关的实际问题，学生运用所学知识解决问题，并进行讨论和总结。

2. 模拟考试。

教师组织学生进行一次解析几何基本概念的模拟考试，检验学生的掌握情况，并提供及时的反馈和指导。