高三一轮专题复习学案之椭圆_人教版

§9.5 椭 圆考纲展示1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 2．了解圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想． 考点1 椭圆的定义 第1步 回顾基础 一、自读自填 椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数： (1)若________，则集合P 为椭圆； (2)若________，则集合P 为线段； (3)若________，则集合P 为空集． 二、连接教材教材习题改编：知甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|P A |＋|PB |＝2a (a >0且a 为常数)；乙：P 点的轨迹是椭圆．则甲是乙的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”) 三、易错问题椭圆的定义：关键在于理解．(1)动点P 到两定点M (0，－2)，N (0,2)的距离之和为4，则点P 的轨迹是________． (2)已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 24＋y 212＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________． 第2步 自主练透典题1 (1)过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．22(2)已知椭圆x 28＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是( )A ．8B ．2 2C ．10D ．42(3)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆 点石成金1.利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a ＞|F 1F 2|这一条件．2.P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，椭圆中焦点三角形的5个常用结论 (1)|PF 1|＋|PF 2|＝2a .(2)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ(θ＝∠F 1PF 2)． (3)当P 为短轴端点时，θ最大．(4)S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin θ ＝sin θ1＋cos θ·b 2＝b 2tan θ2＝c ·|y 0|.当y 0＝±b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2有最大值为bc . (5)焦点三角形的周长为2(a ＋c )． 考点2 椭圆的方程 第1步 回顾基础 一、自读自填(1)已知方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围为________．(2)椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，焦距为4，则椭圆的标准方程为________． 三、易错问题椭圆的标准方程：关注焦点的位置．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于________．第2步 师生共研典题2 (1)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A (3,0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为________．(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆标准方程为________．(3)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．点石成金 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式.第3步 跟踪训练1.一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( ) A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 28＋y 24＝1 2．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)；(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5,3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点； (3)经过两点⎝⎛⎭⎫－32，52，()3，5. 考点3 椭圆的几何性质 第1步 回顾基础 一、自读自填椭圆的标准方程和几何性质______≤x ≤______，______≤x ≤______，(1)椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为________．(2)已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________． 三、通性通法1.焦点三角形问题：定义法．若椭圆x 24＋y 23＝1上的点P 与椭圆两焦点F 1，F 2的连线互相垂直，则△F 1PF 2的面积为________．2.直线与椭圆的位置关系：代数法． 直线y ＝x ＋k 与椭圆x 2＋y 24＝1只有一个公共点，则k ＝________. 第2步 师生共研典题3 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67(2)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，若线段PF 1的中点在y 轴上，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为( ) A.33 B.36 C.13 D.16题点发散1 典题3(2)条件变为“若∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35”，则椭圆的离心率为________．题点发散2 典题3(2)条件变为“P 到两焦点的距离之比为2∶1”，试求椭圆的离心率的取值范围．题点发散3 典题3(2)条件中方程变为“x 2＋2y 2＝2”，P 是该椭圆上的一个动点．求|PF 1→＋PF 2→|的最小值．点石成金 应用椭圆几何性质的两个技巧与一种方法 1．两个技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系． 2．一种方法求椭圆的离心率的方法(1)直接求出a ，c ，从而求解e ，通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值．(2)构造a ，c 的齐次式，解出e ，由已知条件得出a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解．(3)通过特殊值或特殊位置，求出离心率. 第3步 跟踪训练1.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为 F 1，F 2，过F 2 作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________． 2．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________． 考点4 直线与椭圆的位置关系 第1步 多角探明考情聚焦 直线与椭圆的综合问题是高考命题的一个热点问题，主要以解答题的形式出现，考查椭圆的定义、几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生分析问题、解决问题的能力． 主要有以下几个命题角度： 角度一由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质典题4 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N . (1)若直线MN 的斜率为34，求椭圆C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b 的值．点石成金 解决此类问题的关键是依据条件寻找关于a ，b ，c 的关系式，解方程即可求得椭圆方程或椭圆的几何性质． 角度二由直线与椭圆的位置关系研究直线的性质典题5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，短轴的下、上两个端点分别为 B 1，B 2，且FB 1→·FB 2→＝a . (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (km ＜0)与椭圆C 交于M ，N 两点，AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，AB ∥l ，且|AB |2|MN |＝4，问是否存在直线l ，使得OM →·ON →＝2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．点石成金1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题用“点差法”解决，往往会更简单．2．设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率). 第2步 课堂归纳 方法技巧1.求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出椭圆的标准方程． 2．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种： (1)求得a ，c 的值，直接代入公式e ＝ca求得；(2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b 2＝a 2－c 2，消去b ，转化成关于e 的方程(或不等式)求解．易错防范1.在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．2.注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．——★参考答案★——考点1椭圆的定义第1步回顾基础一、自读自填椭圆焦点焦距(1)a >c (2)a ＝c (3)a <c 二、连接教材 『答案』必要不充分『解析』∵乙⇒甲，甲⇒/ 乙， ∴甲是乙的必要不充分条件. 三、易错问题 (1)『答案』线段『解析』因为|PM |＋|PN |＝|MN |＝4，所以点P 的轨迹是一条线段． (2)『答案』83『解析』由椭圆定义知，△ABC 的周长等于椭圆长轴长的2倍， 所以△ABC 的周长是43×2＝8 3. 第2步 自主练透 典题1 (1)『答案』B『解析』因为椭圆的方程为4x 2＋y 2＝1，所以a ＝1.根据椭圆的定义知，△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝4. (2)『答案』A『解析』 由椭圆的定义得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝42， ∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝8(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时等号成立)．(3)『答案』A『解析』 由折叠过程可知，点M 与点F 关于直线CD 对称，故|PM |＝|PF |，所以|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝r .由椭圆的定义可知，点P 的轨迹为椭圆． 考点2 椭圆的方程 第1步 回顾基础 二、连接教材(1)『答案』(－3,1)∪(1,5)『解析』方程表示椭圆的条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧5－m >0，m ＋3>0，5－m ≠m ＋3，解得m ∈(－3,1)∪(1,5)． (2)『答案』y 28＋x 24＝1『解析』设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由已知得a ＝2b ，c ＝2，所以c 2＝a 2－b 2＝b 2＝4，得b 2＝4，则a 2＝8， 所以椭圆的标准方程为y 28＋x 24＝1.三、易错问题 『答案』4或8『解析』由 ⎩⎪⎨⎪⎧10－m >0，m －2>0， 得2<m <10.由题意知(10－m )－(m －2)＝4或(m －2)－(10－m )＝4，解得m ＝4或m ＝8. 第2步 师生共研典题2 (1)『答案』x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1『解析』解法一：若椭圆的焦点在x 轴上， 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3×2b ，9a 2＋0b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.所以椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3×2b ，0a 2＋9b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，b ＝3.所以椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.解法二：设椭圆的方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，则由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ 9m ＝1，2m ＝3×2n 或⎩⎪⎨⎪⎧9m ＝1，2n ＝3×2m .解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝9，n ＝1 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝9，n ＝81. 所以椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)『答案』y 220＋x 24＝1 『解析』解法一：椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4. 由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1. 解法二：设所求椭圆方程为y 225－k ＋x 29－k＝1(k <9)， 将点(3，－5)的坐标代入可得(－5)225－k ＋(3)29－k＝1， 解得k ＝5或k ＝21(舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1. (3)『答案』x 2＋3y 22＝1 『解析』设点A 在点B 上方，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，故⎩⎪⎨⎪⎧ －2c ＝3(x 0＋c )，－b 2＝3y 0， 即⎩⎨⎧ x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25(1－b 2)9＋19b 2＝1， 解得b 2＝23，故椭圆的方程为x 2＋3y 22＝1. 第3步 跟踪训练1.『答案』A『解析』设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)． 由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b2＝1. 又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c a ＝12， 又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12，得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆的方程为x 28＋y 26＝1. 2．解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝t 1或y 24＋x 23＝t 2(t 1，t 2＞0)， ∵椭圆过点(2，－3)，∴t 1＝224＋(－3)23＝2或t 2＝(－3)24＋223＝2512. 故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1. (2)由于焦点的位置不确定，∴设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)， 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，(2c )2＝52－32 解得a ＝4，c ＝2，∴b 2＝12.故椭圆的方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. (3)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n ＞0，m ≠n )，由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫－322m ＋⎝⎛⎭⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110. ∴椭圆的方程为y 210＋x 26＝1. 考点3 椭圆的几何性质第1步 回顾基础一、自读自填『答案』－a a －b b －b b －a a坐标轴 (0,0) (－a,0) (a,0) (0，－b ) (0，b ) (0，－a ) (0，a ) (－b,0) (b,0) 2a 2b 2c (0,1) a 2－b 2二、链接教材(1)『答案』22『解析』由x 216＋y 28＝1可得a 2＝16，b 2＝8， ∴c 2＝a 2－b 2＝8，∴e 2＝c 2a 2＝12，∴e ＝22. (2)『答案』 ⎝⎛⎭⎫152，1或 ⎝⎛⎭⎫152，－1 『解析』设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)， 由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1， 把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152， 又x ＞0，所以x ＝152， 所以点P 的坐标为 ⎝⎛⎭⎫152，1或 ⎝⎛⎭⎫152，－1. 三、通性通法1. 『答案』3『解析』设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n .椭圆的长轴长为2a ＝4，焦距为2c ＝2，因为PF 1⊥PF 2，所以m ＋n ＝4且m 2＋n 2＝4，解得mn ＝6，所以△F 1PF 2的面积为12mn ＝3. 2．『答案』－5或5『解析』将y ＝x ＋k 代入x 2＋y 24＝1中， 消去y ，得5x 2＋2kx ＋k 2－4＝0.因为直线与椭圆只有一个公共点，所以Δ＝(2k )2－4×5(k 2－4)＝0，解得k ＝－5或 5.第2步 师生共研典题3 (1)『答案』B『解析』如图，设|AF |＝x ，则cos ∠ABF ＝82＋102－x 22×8×10＝45， 解得x ＝6，所以∠AFB ＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知，|AF 1|＝8，∠F AF 1＝∠F AB ＋∠FBA ＝90°，△F AF 1是直角三角形，所以|F 1F |＝10，故2a ＝8＋6＝14,2c ＝10，所以c a ＝57. (2)『答案』A『解析』如图，设PF 1的中点为M ，连接PF 2.因为O 为F 1F 2的中点，所以OM 为△PF 1F 2的中位线．所以OM ∥PF 2，所以∠PF 2F 1＝∠MOF 1＝90°.因为∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2|PF 2|.由勾股定理，得|F 1F 2|＝|PF 1|2－|PF 2|2＝3|PF 2|，由椭圆定义，得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3|PF 2|，即a ＝3|PF 2|2，2c ＝|F 1F 2|＝3|PF 2|， 即c ＝3|PF 2|2， 则e ＝c a ＝3|PF 2|2·23|PF 2|＝33. 题点发散1 『答案』57 『解析』∵cos α＝55⇒sin α＝255. sin(α＋β)＝35⇒cos(α＋β)＝－45.∴sin β＝sin 『(α＋β)－α』＝11525. 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2. 由正弦定理，得r 111525＝r 2255＝2c 35， ∴r 1＋r 221525＝2c 35⇒e ＝c a ＝57. 题点发散2 解：设P 到两个焦点的距离分别是2k ，k ，根据椭圆定义可知3k ＝2a ，又结合椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c ，即k ≤2c ，∴2a ≤6c ，即e ≥13. 又0＜e ＜1，∴13≤e ＜1. 故椭圆的离心率的取值范围为⎣⎡⎭⎫13，1.题点发散3 解：将方程变形为x 22＋y 2＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设P (x 0，y 0)， 则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)，PF 2→＝(1－x 0，－y 0)， ∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|的最小值为2.第3步 跟踪训练1.『答案』33 『解析』由题意知，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x ＝c ，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a . 因为AB 平行于y 轴，且|F 1O |＝|OF 2|，所以|F 1D |＝|DB |，即D 为线段F 1B 的中点，所以点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－b 22a ， 又AD ⊥F 1B ，所以k AD ·kF 1B ＝－1，即b 2a －⎝⎛⎭⎫－b 22a c －0×－b 2a －0c －(－c )＝－1， 整理得3b 2＝2ac ， 所以3(a 2－c 2)＝2ac ，又e ＝c a，0<e <1， 所以3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． 2．『答案』22『解析』设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且A ，B 在椭圆上，⎩⎨⎧ x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，则有x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b 2＝0， ∴(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0， 由题意知x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，y 1－y 2x 1－x 2＝－12， ∴2a 2＋－12×2b2＝0， ∴a 2＝2b 2，∴e ＝22. 考点4 直线与椭圆的位置关系典题4 解：1)根据a 2－b 2＝c 2及题设知，M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，所以b 2a 2c ＝34，得2b 2＝3ac . 将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ， 解得c a ＝12或c a＝－2(舍去)． 故椭圆C 的离心率为12. (2)设直线MN 与y 轴的交点为D ，由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |，得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－32c ，y 1＝－1. 代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.② 将①及a 2－b 2＝c 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.典题5 解：(1)由题意可知，抛物线的焦点为(3，0)， ∴F (3，0)，FB 1→＝(－3，－b )，FB 2→＝(－3，b )， FB 1→·FB 2→＝3－b 2＝a ，又b 2＝a 2－3，解得a ＝2，b ＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得 (4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，∴Δ＝16(4k 2－m 2＋1)＞0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1， 则|MN |＝1＋k 2·Δ4k 2＋1 ＝41＋k 2·4k 2－m 2＋14k 2＋1， 令m ＝0，可得|AB |＝41＋k 24k 2＋1.∴|AB |2|MN |＝41＋k 24k 2－m 2＋1＝4， 化简得 m ＝－3k 或 m ＝3k (舍去)， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2『x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋3』＝(1＋k 2)x 1x 2－3k 2(x 1＋x 2)＋3k 2＝1＋k 24m 2－44k 2＋1－24k 44k 2＋1＋3k 2 ＝11k 2－44k 2＋1＝2， 解得 k ＝±2，故直线的方程为 y ＝2x －6或y ＝－2x ＋ 6.。

【例1】 已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为8，焦点到相应的长轴顶点的距离为1，则椭圆的标准方程为（ ）A ．221259x y +=B ．221259y x +=C ．22179y x +=D ．22179x y +=【例3】 设定点12(03)(03)F F -，，，，动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段【例4】 已知椭圆的中心在原点，离心率12e =，且它的一个焦点与抛物线24y x =-的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ）A ．22143x y +=B ．22186x y +=C ．2212x y +=D ．2214x y +=【例5】 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）A ．必在圆222x y +=内B ．必在圆222x y +=上C ．必在圆222x y +=外D ．以上三种情形都有可能【例6】 已知22212x y m m+=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．2m >或1m <-B ．2m >-典例分析板块一.椭圆的方程C ．12m -<<D ．2m >或21m -<<-【例7】 经过点(30)P -，，(02)Q -，的椭圆的标准方程是 ；【例8】 已知焦点坐标为(40)-，，(40)，，且6a =的椭圆方程是___________；【例9】 巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x ，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 ．【例10】 已知椭圆的中心在原点，长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是____________．【例11】 若椭圆2212x y m+=的离心率为12，则m = ．【例12】 若椭圆满足条件2a =，1e 2=，则椭圆的标准方程为【例13】 已知椭圆的焦点在x 轴上，中心在原点，长轴与短轴之和为20，焦距为圆的标准方程为____________．【例14】 若椭圆22189x y k +=+的离心率为1e 2=，则k 的值等于 ．【例15】 求下列圆锥曲线的焦距与顶点坐标：①221128x y += ②221812x y +=【例16】 求椭圆2211625x y +=的焦距、顶点坐标【例17】 求焦点的坐标分别为(03)-，和(03)，，且过点16(3)5P ，的椭圆的方程．【例18】 已知椭圆的中心在原点，且经过点(30)P ，，3a b =，求椭圆的标准方程．【例19】 若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦1，求椭圆的方程．【例20】 已知常数0a >，向量(0)(10)c a i ==，，，．经过原点O 以c i λ+ 为方向向量的直线与经过定点(0)A a ，以2i c λ-为方向向量的直线相交于点P ，其中λ∈R ．试问：是否存在两个定点E F ，，使得||||PE PF +为定值．若存在，求出E F ，的坐标；若不存在，说明理由．【例21】 离心率为45的椭圆()222210x y C a b a b+=>>∶上有一点M 到椭圆两焦点的距离和为10，以椭圆C 的右焦点()0F c ，为圆心，短轴长为直径的圆有切线PT （T 为切点），且点P 满足PT PB =（B 为椭圆C 的上顶点）． ⑴求椭圆的方程；⑵求点P 所在的直线方程l ．【例22】 已知椭圆221(0)x y m n m n+=>>上一点(68)P ，，1F 、2F 为椭圆的两个焦点，且12PF PF ⊥，求椭圆的方程．【例23】 设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 作垂直于AF 的直线交椭圆C 于另外一点P ，交x 轴正半轴于点Q ，且85AP PQ =⑴求椭圆C 的离心率；⑵若过A 、Q 、F 三点的圆恰好与直线l ：50x -=相切，求椭圆C 的方程．【例24】 已知12F F ，是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点(1)P 在椭圆上，线段2PF 与y 轴的交点M 满足20PM F M +=．⑴求椭圆C 的方程．⑵椭圆C 上任一动点00()M x y ，关于直线2y x =的对称点为111()M x y ，，求1134x y -的取值范围．【例25】 过椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>上一点P 引圆O ：222x y b +=的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点 ⑴设00()P x y ，，且000x y ≠，求直线AB 的方程；⑵若椭圆C 的短轴长为8，且222225||||16a b OM ON +=，求此椭圆的方程；⑶试问椭圆C 上是否存在满足0PA PB ⋅=的点P ，说明理由．【例26】 已知A B C ，，均在椭圆222:1(1)x M y a a+=>上，直线AB 、AC 分别过椭圆的左右焦点1F 、2F ，当120AC F F ⋅= 时，有21219AF AF AF ⋅= ．⑴求椭圆M 的方程；⑵设P 是椭圆M 上的任一点，EF 为圆22:(2)1N x y +-=的任一条直径，求PE PF ⋅的最大值．【例27】 设椭圆22221x y a b+= (0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率e =， M 、N 是直线l ：2a x c=上的两个动点，且120F M F N ⋅= ．（1）若12||||F M F N ==a 、b 的值．（2） 证明：当||MN取最小值时，12F M F N + 与12F F 共线．。

学案51 椭 圆导学目标： 1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质．自主梳理1．椭圆的概念在平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫________．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数： (1)若________，则集合P 为椭圆； (2)若________，则集合P 为线段； (3)若________，则集合P 为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质自我检测1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．122．(2011²揭阳调研)“m >n >0”是方程“mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫3π4，πB.⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π44．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍5．(2011²开封模拟)椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k 等于( ) A ．－1 B ．1 C. 5 D ．－ 5探究点一 椭圆的定义及应用例1 (教材改编)一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．变式迁移1 求过点A (2,0)且与圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．探究点二 求椭圆的标准方程例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)；(2)经过两点A (0,2)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3.变式迁移2 (1)已知椭圆过(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)、P 2(－3，－2)，求椭圆的标准方程．探究点三 椭圆的几何性质例3 (2011²安阳模拟)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．变式迁移3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M (在x 轴上方)向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，AB ∥OM .(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上任意一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围．方程思想的应用例 (12分)(2011²北京朝阳区模拟)已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M (1，32)，过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，满足PA →²PB →＝PM →2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答题模板】解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2.解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.[4分](2)若存在直线l 满足条件，由题意可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x －2＋1，得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.[6分]因为直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ， 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4²(3＋4k 2)²(16k 2－16k －8)>0.整理得32(6k ＋3)>0，解得k >－12.[7分]又x 1＋x 2＝8k 2k －13＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k2， 且PA →²PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝54，即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝54.[9分]所以[16k 2－16k －83＋4k 2－2³8k 2k －13＋4k 2＋4](1＋k 2)＝4＋4k 23＋4k 2＝54，解得k ＝±12.[11分]所以k ＝12.于是存在直线l 满足条件，其方程为y ＝12x .[12分]【突破思维障碍】直线与椭圆的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他综合问题．反映在代数上，就是直线与椭圆方程联立的方程组有无实数解及实数解的个数的问题，它体现了方程思想的应用，当直线与椭圆相交时，要注意判别式大于零这一隐含条件，它可以用来检验所求参数的值是否有意义，也可通过该不等式来求参数的范围．对直线与椭圆的位置关系的考查往往结合平面向量进行求解，与向量相结合的题目，大都与共线、垂直和夹角有关，若能转化为向量的坐标运算往往更容易实现解题功能，所以在复习过程中要格外重视．n >0且m ≠n )，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为Ax 2＋By 2＝1 (A >0，B >0且A ≠B )，这种形式在解题中更简便．2．椭圆的几何性质分为两类：一是与坐标轴无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；另一类是与坐标系有关的性质，如：顶点坐标，焦点坐标等．第一类性质是常数，不因坐标系的变化而变化，第二类性质是随坐标系变化而相应改变． 3．直线与椭圆的位置关系问题．它是高考的热点，通常涉及椭圆的性质、最值的求法和直线的基础知识、线段的中点、弦长、垂直问题等，分析此类问题时，要充分利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011²温州模拟)若△ABC 的两个顶点坐标分别为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1 (y ≠0) B.y 225＋x 29＝1 (y ≠0) C.x 216＋y 29＝1 (y ≠0)D.y 216＋x 29＝1 (y ≠0) 2．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．83．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是( )A.32B.22C.2－1D. 2 4．(2011²天门期末)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 5．椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8 D.32二、填空题(每小题4分，共12分)6．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为______________．7．(2011²唐山调研)椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________；∠F 1PF 2的大小为________．8.如图，已知点P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a2＋y 2b2＝1 (a >b >0)上一点，若PF 1⊥PF 2，tan∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率是______．三、解答题(共38分)9．(12分)已知方向向量为v ＝(1，3)的直线l 过点(0，－23)和椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，且椭圆的离心率为63. (1)求椭圆C 的方程；(2)若已知点D (3,0)，点M ，N 是椭圆C 上不重合的两点，且DM →＝λDN →，求实数λ的取值范围．10．(12分)(2011²烟台模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．11．(14分)(2010²福建)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程．(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．学案51 椭 圆自主梳理1．椭圆 焦点 焦距 (1)a>c (2)a ＝c (3)a<c 自我检测1．C 2.C 3.D 4.A 5.B 课堂活动区例1 解 如图所示，设动圆的圆心为C ，半径为r.则由圆相切的性质知，|CO 1|＝1＋r ，|CO 2|＝9－r ， ∴|CO 1|＋|CO 2|＝10， 而|O 1O 2|＝6，∴点C 的轨迹是以O 1、O 2为焦点的椭圆，其中2a ＝10,2c ＝6，b ＝4. ∴动圆圆心的轨迹方程为 x 225＋y216＝1. 变式迁移1 解 将圆的方程化为标准形式为：(x ＋2)2＋y 2＝62，圆心B(－2,0)，r ＝6. 设动圆圆心M 的坐标为(x ，y)， 动圆与已知圆的切点为C.则|BC|－|MC|＝|BM|， 而|BC|＝6，∴|BM|＋|CM|＝6. 又|CM|＝|AM|，∴|BM|＋|AM|＝6>|AB|＝4.∴点M 的轨迹是以点B(－2,0)、A(2,0)为焦点、线段AB 中点(0,0)为中心的椭圆． a ＝3，c ＝2，b ＝ 5.∴所求轨迹方程为x 29＋y25＝1.例2 解题导引 确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件(即确定焦点的位置)和两个定形条件(即确定a ，b 的大小)．当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)或y 2a 2＋x 2b2＝1 (a>b>0)，或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1 (m>0，n>0，且m≠n)．解 (1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y2b2＝1 (a>b>0)．∵椭圆过点A(3,0)，∴9a2＝1，∴a＝3，又2a ＝3²2b，∴b＝1，∴方程为x 29＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x2b2＝1 (a>b>0)．∵椭圆过点A(3,0)，∴9b2＝1，∴b＝3，又2a ＝3²2b，∴a＝9，∴方程为y 281＋x29＝1.综上可知椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)设经过两点A(0,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3的椭圆标准方程为mx 2＋ny 2＝1，将A ，B 坐标代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 4n ＝114m ＋3n ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝14，∴所求椭圆方程为x 2＋y24＝1.变式迁移2 解 (1)当椭圆的焦点在x 轴上时，∵a＝3，c a ＝63，∴c＝6，从而b2＝a 2－c 2＝9－6＝3，∴椭圆的标准方程为x 29＋y23＝1.当椭圆的焦点在y 轴上时，∵b＝3，c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27.∴椭圆的标准方程为x 29＋y227＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或x 29＋y227＝1.(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1 (m>0，n>0且m≠n)． ∵椭圆经过P 1、P 2点，∴P 1、P 2点坐标适合椭圆方程， 则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ② ①②两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y23＝1.例3 解题导引 (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a 、c 的关系．(2)对△F 1PF 2的处理方法⎩⎪⎨⎪⎧定义式的平方余弦定理面积公式⇔⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|2＝2a 2，4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ，S △＝12|PF 1||PF 2|sin θ.(1)解 设椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1 (a>b>0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n.在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°.∵m＋n ＝2a ，∴m 2＋n 2＝(m ＋n)2－2mn ＝4a 2－2mn.∴4c 2＝4a 2－3mn ，即3mn ＝4a 2－4c 2.又mn≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)，∴4a 2－4c 2≤3a 2.∴c 2a 2≥14，即e≥12.∴e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. (2)证明 由(1)知mn ＝43b 2，∴S △PF1F2＝12mn sin 60°＝33b 2，即△PF 1F 2的面积只与短轴长有关．变式迁移3 解 (1)∵F 1(－c,0)，则x M ＝－c ，y M ＝b2a，∴k OM ＝－b 2ac .∵k AB ＝－ba ，OM∥AB，∴－b 2ac ＝－b a ，∴b＝c ，故e ＝c a ＝22.(2)设|F 1Q|＝r 1，|F 2Q|＝r 2，∠F 1QF 2＝θ， ∴r 1＋r 2＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，cos θ＝r 21＋r 22－4c 22r 1r 2＝r 1＋r 22－2r 1r 2－4c22r 1r 2＝a 2r 1r 2－1≥a 2r 1＋r 222－1＝0， 当且仅当r 1＝r 2时，cos θ＝0，∴θ∈[0，π2]．课后练习区1．A 2.D 3.C 4.B 5.B6.x 236＋y 29＝17.2 120°8.53 9．解 (1)∵直线l 的方向向量为v ＝(1，3)， ∴直线l 的斜率为k ＝ 3. 又∵直线l 过点(0，－23)， ∴直线l 的方程为y ＋23＝3x .∵a >b ，∴椭圆的焦点为直线l 与x 轴的交点．∴c ＝2.又∵e ＝c a ＝63，∴a ＝ 6.∴b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆方程为x 26＋y 22＝1.(6分)(2)若直线MN ⊥y 轴，则M 、N 是椭圆的左、右顶点，λ＝3＋63－6或λ＝3－63＋6，即λ＝5＋26或5－2 6.若MN 与y 轴不垂直，设直线MN 的方程为x ＝my ＋3(m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，x ＝my ＋3得(m2＋3)y 2＋6my ＋3＝0.设M 、N 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－6mm 2＋3，①y 1y 2＝3m 2＋3，②Δ＝36m 2－12(m 2＋3)＝24m 2－36>0，∴m 2>32.∵DM →＝(x 1－3，y 1)，DN →＝(x 2－3，y 2)，DM →＝λDN →，显然λ>0，且λ≠1， ∴(x 1－3，y 1)＝λ(x 2－3，y 2)．∴y 1＝λy 2.代入①②，得λ＋1λ＝12m 2m 2＋3－2＝10－36m 2＋3.∵m 2>32，得2<λ＋1λ<10，即⎩⎪⎨⎪⎧λ2－2λ＋1>0，λ2－10λ＋1<0，解得5－26<λ<5＋26且λ≠1.综上所述，λ的取值范围是5－26≤λ≤5＋26， 且λ≠1.(12分)10．解 方法一 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 代入椭圆方程并作差得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22， 代入上式可得b ＝2a .(4分)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1x ＋y －1＝0，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0，∴x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b，再由|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4²b －1a ＋b ＝4，(8分) 将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23.∴所求椭圆的方程是x 23＋2y23＝1.(12分)方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.(2分)11 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AB |＝k 2＋1x 1－x 22＝2²4b 2－4a ＋bb －1a ＋b 2.∵|AB |＝22，∴a ＋b －ab a ＋b ＝1.①(6分) 设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝a a ＋b， ∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22.(9分) 代入①，得a ＝13，b ＝23. ∴椭圆方程为x 23＋2y 23＝1.(12分) 11．解 方法一 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12， 故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(5分) (2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t . 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.(7分) 因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4³3³(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3.(9分)另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，得|t |94＋1＝4，解得t ＝±213.(12分) 由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．(14分)方法二 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 且有⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋9b2＝1，a 2－b 2＝4.解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)． 从而a 2＝16.(3分)所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(5分) (2)同方法一．。

高三一轮复习——椭圆教学设计考情分析：根据我个人对这几年高考试题的分析，这几年对圆锥曲线的考查形式为：〔1〕2021年小题——5椭圆9双曲线；大题——抛物线〔2〕2021年小题——11双曲线；大题——椭圆〔3〕2021年小题——11椭圆；大题——抛物线小题：双> 椭> 抛小结大题：椭≈抛>双学习目标：1、掌握椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单的几何性质。

2、理解数形结合的思想。

〔一〕体验[知识梳理]1．椭圆的概念在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数大于|F1F2|的点的轨迹叫做_____．这两个定点叫做椭圆的_____，两焦点间的距离叫做椭圆的_____．集合A．2 B．3 C．4 D．9解析：1、由得错误!，解得30，∴m＝〔四〕椭圆的几何性质质疑如何求椭圆的离心率？例22021·江西卷设椭圆C：错误!＋错误!＝1a>b>0的左右焦点为F1，F2，过F2作轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与轴相交于点D，假设AD⊥F1B，那么椭圆C的离心率等于________．解析：法一：不妨设A在轴上方，由于AB过F2且垂直于轴，因此可得A错误!，B错误!，由OD∥F2B，O为F1F2的中点可得D错误!，所以错误!错误!错误!错误!错误!错误!2c4a2c2ac1F1F，直线：3－4＝0交椭圆E于A，B两点．假设|AF|＋|BF|＝4，点M到直线的距离不小于错误!，那么椭圆E的离心率的取值范围是B．错误!错误!D．错误!解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a＝2|AF|＋|BF|＝8，所以a＝＝错误!≥错误!，所以1≤b错误!错误!错误!错误!错误!b>0的左右焦点为F1，F2，：错误!＋错误!＝1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，上任一点，且|错误!错误!2c3c错误!的离心率e的取值范围是B．错误!错误!D．错误!板书设计。

第五讲椭圆知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数（大于|F1F 2｜)__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__,两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．注:若集合P＝｛M｜｜MF1｜＋|MF2｜＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：（1）若a＞c，则集合P为__椭圆__；(2）若a＝c，则集合P为__线段F1F2__;（3）若a＜c，则集合P为__空集__．知识点二椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点错误!错误!错误!错误!1．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值．2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦｜AB｜＝错误!，称为通径．3．若过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a．4．e＝错误!．5．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大,椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大．6．AB为椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的弦，A(x1，y1),B（x2,y2）,弦中点M(x0，y0),则（1）弦长l＝错误!|x1－x2｜＝错误!|y1－y2｜；（2）直线AB的斜率k AB＝－错误!．7．若M、N为椭圆错误!＋错误!＝1长轴端点，P是椭圆上不与M、N重合的点,则K PM·K PN＝－错误!．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×"）（1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×）(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆．(×)（3)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0,m≠n）表示的曲线是椭圆．(√）(4）错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)与错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)的焦距相同．(√)题组二走进教材2．(必修2P42T4）椭圆x210－m＋错误!＝1的焦距为4，则m等于(C）A．4 B．8C．4或8 D．12［解析］当焦点在x轴上时,10－m＞m－2＞0,10－m－(m－2)＝4,∴m＝4．当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－（10－m）＝4，∴m＝8．∴m＝4或8．3．(必修2P68A组T3）过点A（3，－2）且与椭圆错误!＋错误!＝1有相同焦点的椭圆的方程为(A)A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1题组三走向高考4．(2018·课标全国Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点，P是C 上的一点，若PF1⊥PF2,且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(D）A．1－错误!B．2－错误!C．错误!D．错误!－1［解析］设|PF2｜＝x，则｜PF1｜＝3x，｜F1F2｜＝2x，故2a＝｜PF1|＋|PF2｜＝(1＋错误!）x，2c＝|F1F2｜＝2x，于是离心率e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!－1．5．（2019·课标Ⅰ，10）已知椭圆C的焦点为F1（－1，0)，F2(1,0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2｜F2B|，｜AB|＝|BF1｜,则C的方程为（B)A．x22＋y2＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1［解析]设｜F2B|＝x（x＞0），则｜AF2|＝2x，｜AB|＝3x，｜BF1｜＝3x,|AF1｜＝4a－(｜AB｜＋|BF1｜)＝4a－6x,由椭圆的定义知｜BF1|＋｜BF2|＝2a＝4x，所以|AF1｜＝2x．在△BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2＝|BF2|2＋|F1F2｜2－2|F2B|·|F1F2|cos∠BF2F1，即9x2＝x2＋22－4x·cos∠BF2F1,①在△AF1F2中，由余弦定理可得|AF1|2＝|AF2|2＋｜F1F2|2－2｜AF2｜·｜F1F2|cos∠AF2F1，即4x2＝4x2＋22＋8x·cos∠BF2F1，②由①②得x＝错误!，所以2a＝4x＝2错误!，a＝错误!,所以b2＝a2－c2＝2．所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝1．故选B．考点突破·互动探究考点一椭圆的定义及应用——自主练透例1 (1）(2021·泉州模拟)已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果M是线段F1P的中点，那么动点M的轨迹是（B)A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线（2）已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1）是一定点．则|PA|＋｜PF｜的最大值和最小值分别为__6＋错误!，6－错误!__．(3)已知F1，F2是椭圆C：错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°．若△PF1F2的面积为3错误!，则b＝__3__．［解析]（1）如图所示，由题知｜PF1｜＋｜PF2|＝2a，设椭圆方程：错误!＋错误!＝1(其中a＞b＞0）．连接MO，由三角形的中位线可得:｜F1M|＋｜MO|＝a（a＞|F1O｜），则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆．(2）如下图所示，设椭圆右焦点为F1，则｜PF|＋|PF1｜＝6．∴|PA|＋|PF|＝｜PA｜－|PF1|＋6．由椭圆方程x29＋y25＝1知c＝错误!＝2，∴F1（2，0),∴|AF1｜＝错误!．利用－｜AF1|≤|PA|－｜PF1｜≤|AF1|(当P、A、F1共线时等号成立)．∴｜PA|＋|PF｜≤6＋错误!，|PA|＋｜PF|≥6－错误!．故|PA|＋｜PF｜的最大值为6＋2，最小值为6－错误!．（3）｜PF1|＋｜PF2｜＝2a,又∠F1PF2＝60°,所以｜PF1|2＋｜PF2|2－2｜PF1||PF2｜cos 60°＝|F1F2|2，即(｜PF1|＋|PF2|）2－3|PF1｜|PF2｜＝4c2，所以3｜PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，所以｜PF1||PF2｜＝错误!b2，又因为S△PF1F2＝错误!｜PF1|｜PF2|sin 60°＝错误!×错误!b2×错误!＝错误!b2＝3错误!，所以b＝3．故填3．［引申］本例(2）中，若将“A(1,1）”改为“A(2，2)”，则｜PF｜－|PA|的最大值为__4__，|PF｜＋|PA|的最大值为__8__．［解析]设椭圆的右焦点为F1，则∵｜PF1｜＋|PA|≥|AF1|＝2（P在线段AF1上时取等号），∴｜PF|－|PA|＝6－（｜PF1|＋｜PA｜）≤4,∵|PA|－|PF1|≤｜AF1|＝2，(当P在AF1延长线上时取等号),∴｜PF|＋｜PA｜＝6＋｜PA｜－|PF1|≤8．名师点拨(1)椭圆定义的应用范围:①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．②解决与焦点有关的距离问题．(2)焦点三角形的应用：椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1｜｜PF2｜；通过整体代入可求其面积等．〔变式训练1〕（1)(2021·大庆模拟)已知点M（3，0)，椭圆错误!＋y2＝1与直线y＝k（x＋错误!）交于点A、B,则△ABM的周长为__8__．（2）(2019·课标Ⅲ,15）设F1，F2为椭圆C：错误!＋错误!＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为__(3，错误!)__．（3）(2021·河北衡水调研)设F1、F2分别是椭圆错误!＋错误!＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6，4),则｜PM|－｜PF1|的最小值为__－5__．［解析]（1)直线y＝k（x＋错误!）过定点N(－错误!，0)．而M、N恰为椭圆错误!＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8．（2）因为F1,F2分别是椭圆C的左，右焦点，由M点在第一象限，△MF1F2是等腰三角形，知｜F1M｜＝｜F1F2|,又由椭圆方程错误!＋错误!＝1，知｜F1F2|＝8，｜F1M｜＋｜F2M｜＝2×6＝12，所以|F1M｜＝|F1F2|＝8，所以｜F2M|＝4．设M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则错误!解得x0＝3，y0＝错误!,即M(3，错误!)．（3)由题意可知F2(3，0)，由椭圆定义可知|PF1|＝2a－|PF2|．∴｜PM｜－|PF1｜＝|PM｜－(2a－|PF2|)＝｜PM|＋|PF2｜－2a≥｜MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又｜MF2|＝错误!＝5,2a＝10,∴｜PM|－|PF2|≥5－10＝－5，即|PM｜－|PF1|的最小值为－5．考点二椭圆的标准方程——师生共研例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：（1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0）；(2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为错误!；（3）经过点P(－2错误!,1)，Q（错误!，－2）两点;（4）与椭圆错误!＋错误!＝1有相同离心率，且经过点(2，－错误!)．［解析］（1）若焦点在x轴上，设方程为错误!＋错误!＝1（a ＞b＞0)．∵椭圆过点A（3，0），∴错误!＝1,∴a＝3．∵2a＝3×2b,∴b＝1．∴方程为错误!＋y2＝1．若焦点在y轴上，设方程为错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)．∵椭圆过点A（3，0），∴9b2＝1,∴b＝3．又2a＝3×2b，∴a＝9．∴方程为错误!＋错误!＝1．综上所述,椭圆方程为错误!＋y2＝1或错误!＋错误!＝1．(2)由已知，有错误!解得错误!从而b2＝a2－c2＝9．∴所求椭圆方程为x212＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1．（3）设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n)，∵点P(－2错误!，1），Q(错误!，－2）在椭圆上，∴错误!解得m＝错误!，n＝错误!．故椭圆方程为错误!＋错误!＝1．（4）若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为错误!＋错误!＝t（t＞0)，将点（2,－错误!）代入,得t＝错误!＋错误!＝2．故所求方程为错误!＋错误!＝1．若焦点在y轴上，设方程为错误!＋错误!＝λ(λ＞0）代入点（2，－3），得λ＝错误!，∴所求方程为错误!＋错误!＝1．综上可知椭圆方程为x28＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1．名师点拨(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a＞|F1F2|这一条件．(2)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤:①作判断：根据条件判断焦点的位置;②设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠0)；③找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；④求解,得方程．（3）椭圆的标准方程的两个应用①方程错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)与错误!＋错误!＝λ（λ＞0)有相同的离心率．②与椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）共焦点的椭圆系方程为错误!＋错误!＝1（a＞b＞0，k＋b2＞0），恰当运用椭圆系方程,可使运算简便．〔变式训练2〕(1)“2＜m＜6”是“方程错误!＋错误!＝1表示椭圆”的(B）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（2)(2021·广东深圳二模)已知椭圆C：x2a2＋错误!＝1(a＞0)的右焦点为F,O为坐标原点，C上有且只有一个点P满足｜OF|＝|FP|，则C的方程为（D)A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1[解析](1）错误!＋错误!＝1表示椭圆⇔错误!⇔2＜m＜6且m≠4，∴“2＜m＜6”是方程“错误!＋错误!＝1表示椭圆”的必要不充分条件,故选B．(2)根据对称性知P在x轴上，|OF｜＝|FP|，故a＝2c,a2＝3＋c2，解得a＝2，c＝1,故椭圆方程为：错误!＋错误!＝1．故选：D．考点三,椭圆的几何性质-—师生共研例3 （1)(2017·全国）椭圆C的焦点为F1(－1,0），F2(1，0）,点P在C上，F2P＝2，∠F1F2P＝错误!，则C的长轴长为(D）A．2 B．2错误!C．2＋错误!D．2＋2错误!(2)（2021·河北省衡水中学调研）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的错误!，则该椭圆的离心率为(B）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!（3)(2021·广东省期末联考)设F1，F2分别是椭圆错误!＋错误!＝1(a ＞b＞0）的左、右焦点,若在直线x＝错误!上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（D)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析](1）椭圆C的焦点为F1(－1，0),F2（1,0），则c＝1，∵｜PF2|＝2，∴|PF1｜＝2a－|PF2|＝2a－2，由余弦定理可得|PF1｜2＝｜F1F2｜2＋|PF2｜2－2|F1F2|·|PF2｜·cos 错误!，即(2a－2)2＝4＋4－2×2×2×错误!，解得a＝1＋错误!，a＝1－错误!（舍去），∴2a＝2＋2错误!，故选D．（2）不妨设直线l:错误!＋错误!＝1,即bx＋cy－bc＝0⇒椭圆中心到l的距离错误!＝错误!⇒e＝错误!＝错误!，故选B．(3)如图F2H⊥PF1，∴|F1F2|＝|PF2|，由题意可知错误!－c≤2c,∴e2＝错误!≥错误!，即e≥错误!，又0＜e＜1,∴错误!≤e＜1．故选D．名师点拨椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率,常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程,然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．椭圆离心率的范围问题一般借助几何量的取值范围求解，遇直线与椭圆位置关系通常由直线与椭圆方程联立所得方程判别式Δ的符号求解．求椭圆离心率的取值范围的方法方法解读适合题型几何法利用椭圆的几何性质，如|x|≤a，｜y|≤b，0＜e＜1,建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立题设条件有明显的几何关系〔变式训练3〕(1）（2017·全国卷Ⅲ）已知椭圆C：x2a2＋错误!＝1（a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1,A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx －ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(A）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(2）（2021·内蒙古呼和浩特市质检)已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，点P是椭圆上的动点，若∠A1PA2的最大可以取到120°，则椭圆C的离心率为（D）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(3）已知F1，F2是椭圆x2a2＋错误!＝1(a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是__错误!__．[解析](1）由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0，0),半径为a．又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝错误!＝a，解得a＝错误!b,∴ba＝错误!，∴e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!．故选A．（2）当P为短轴端点时∠A1PA2最大,由题意可知错误!＝tan 60°＝错误!，∴错误!＝错误!,∴e＝错误!＝错误!，故选D．(3)由题意可知当P为椭圆短轴端点时∠OPF1＝∠OPF2≥45°，即c≥b,∴c2≥a2－c2，∴错误!≥错误!，即e≥错误!，又0＜e＜1,∴错误!≤e＜1．考点四,直线与椭圆—-多维探究角度1直线与椭圆的位置关系例4 若直线y＝kx＋1与椭圆x25＋错误!＝1总有公共点，则m的取值范围是(D)A．m＞1 B．m＞0C．0＜m＜5且m≠1D．m≥1且m≠5［解析]解法一：由于直线y＝kx＋1恒过点（0，1)，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则0＜错误!≤1且m≠5，故m≥1且m≠5．故选D．解法二：由错误!消去y整理得（5k2＋m)x2＋10kx＋5（1－m)＝0．由题意知Δ＝100k2－20（1－m)（5k2＋m）≥0对一切k∈R 恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，∴错误!，即m≥1,又m≠5，∴m≥1且m≠5．故选D．角度2中点弦问题例5 （1）(2021·湖北省宜昌市调研）过点P（3，1）且倾斜角为错误!的直线与椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)相交于A,B两点，若AP→＝错误!，则该椭圆的离心率为（C）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!(2)已知椭圆错误!＋y2＝1,点P错误!，则以P为中点的椭圆的弦所在直线的方程为__2x＋4y－3＝0__．[解析］（1)由题意可知P为AB的中点,且k AB＝－1，设A （x1，y1)，B（x2,y2)，则错误!＋错误!＝1,错误!＋错误!＝1，两式相减得错误!＝－错误!，∴k AB＝错误!＝－错误!＝－错误!＝－1，即错误!＝错误!，∴e ＝错误!＝错误!,故选C ．(2)设弦的两端点为A (x 1，y 1),B (x 2，y 2),中点为M （x 0,y 0），则有错误!＋y 错误!＝1，错误!＋y 错误!＝1．两式作差，得错误!＋（y 2－y 1）（y 2＋y 1）＝0．∵x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，错误!＝k AB ,代入后求得k AB ＝－错误!＝－错误!，∴其方程为y －错误!＝－错误!错误!,即2x ＋4y －3＝0．角度3 弦长问题例6 已知椭圆E ：x 2a 2＋错误!＝1(a ＞b ＞0）经过点P 错误!，椭圆E 的一个焦点为(3，0）．（1）求椭圆E 的方程；（2)若直线l 过点M （0，错误!)且与椭圆E 交于A ，B 两点，求｜AB |的最大值．[解析] （1)依题意，设椭圆E 的左、右焦点分别为F 1（－错误!，0),F 2(3，0)．由椭圆E 经过点P 错误!，得|PF 1｜＋|PF 2｜＝4＝2a ，∴a ＝2,c ＝错误!，∴b 2＝a 2－c 2＝1．∴椭圆E 的方程为错误!＋y 2＝1．（2）当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A(x1，y1），B(x2,y2）．由错误!得(1＋4k2)x2＋8错误!kx＋4＝0．由Δ＞0得(8错误!k）2－4（1＋4k2)×4＞0，∴4k2＞1．由x1＋x2＝－错误!,x1x2＝错误!得|AB|＝错误!·错误!＝2错误!．设t＝11＋4k2，则0＜t＜错误!，∴|AB|＝2错误!＝2错误!≤错误!，当且仅当t＝错误!时等号成立．当直线l的斜率不存在时,|AB｜＝2＜错误!．综上,｜AB|的最大值为错误!．名师点拨直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略（1）直线与椭圆位置关系的判断方法①联立方程，借助一元二次方程的判别式Δ来判断；②借助几何性质来判断．（2)求椭圆方程或有关几何性质．可依据条件寻找满足条件的关于a,b，c的等式,解方程即可求得椭圆方程或椭圆有关几何性质．(3)关于弦长问题．一般是利用根与系数的关系、弦长公式求解．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1），B（x2，y2),则｜AB|＝错误!＝错误!（其中k为直线斜率）．提醒:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．（4)对于中点弦或弦的中点问题，一般利用点差法求解．若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A（x1，y1)，B（x2，y2)，代入曲线方程,通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2,x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和斜率的关系．注意答题时不要忽视对判别式的讨论．〔变式训练4〕(1)(角度1)直线y＝kx＋k＋1与椭圆错误!＋错误!＝1的位置关系是__相交__．（2）（角度2）(2021·广东珠海期末）已知椭圆错误!＋错误!＝1(a ＞b＞0）的右焦点为F，离心率错误!,过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若AB中点为(1,1），则直线l的斜率为（D）A．2 B．－2C．错误!D．－错误!(3）(角度3)斜率为1的直线l与椭圆错误!＋y2＝1相交于A，B 两点，则|AB|的最大值为(C)A．2 B．错误!C．错误!D．错误![解析］(1)由于直线y＝kx＋k＋1＝k（x＋1)＋1过定点（－1,1），而（－1，1）在椭圆内，故直线与椭圆必相交．(2）因为错误!＝错误!,∴4c2＝2a2，∴4（a2－b2)＝2a2，∴a2＝2b2,设A（x1，y1)，B(x2，y2），且x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，错误!,相减得b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，所以2b2(x1－x2)＋2a2（y1－y2)＝0，所以2b2＋4b2错误!＝0，所以1＋2k＝0，∴k＝－错误!，选D．(3）设A,B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2）,直线l的方程为y＝x＋t，由错误!消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0,则x1＋x2＝－错误!t，x1x2＝错误!．∴|AB｜＝错误!｜x1－x2|＝1＋k2·错误!＝2·错误!＝错误!·错误!,当t＝0时，|AB｜max＝错误!．故选C．名师讲坛·素养提升利用换元法求解与椭圆相关的最值问题例7如图,焦点在x轴上的椭圆错误!＋错误!＝1的离心率e＝错误!，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点,则错误!·错误!的最大值为__4__．[解析］e2＝错误!＝1－错误!＝1－错误!＝错误!，∴b2＝3,∴椭圆方程为x24＋错误!＝1,且F（－1,0）,A(2，0),设P（2sin θ，错误!cos θ)，则错误!·错误!＝（－1－2sin θ，－错误!cos θ）·（2－2sin θ，－错误!cos θ）＝sin2θ－2sin θ＋1＝（sin θ－1）2≤4．当且仅当sin θ＝－1时取等号，故错误!·错误!的最大值为4．另解：设P（x，y），由上述解法知错误!·错误!＝（－1－x，－y）·（2－x，－y）＝x2＋y2－x－2＝错误!（x－2）2（－2≤x≤2)，显然当x ＝－2时,错误!·错误!最大且最大值为4．名师点拨遇椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)上的点到定点或定直线距离相关的最值问题，一般用三角换元法求解,即令x＝a sin θ,y＝b cos θ，将其化为三角最值问题．〔变式训练5〕椭圆错误!＋错误!＝1上的点到直线x＋2y－错误!＝0的最大距离是（D)A．3 B．11C．2错误!D．错误!［解析]设椭圆错误!＋错误!＝1上的点P(4cos θ,2sin θ)，则点P 到直线x＋2y－2＝0的距离为d＝错误!＝错误!，∴d max＝错误!＝错误!．。

高三数学第一轮复习讲义（50）椭 圆一．复习目标：熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及参数方程．二．知识要点：1．椭圆的定义（1）第一定义： ．（2）第二定义： ．2．标准方程： ．3．几何性质： ．4．参数方程 ．三．课前预习：1．设一动点P 到直线3x =的距离与它到点(1,0)A 的距离之比为3，则动点P 的轨迹方程是 （ ）()A 22132x y += ()B 22132x y -= ()C 22(1)132x y ++= ()D 22123x y += 2．曲线192522=+y x 与曲线)9(192522<=-+-k k y k x()A 有相等的长、短轴 ()B ()C 有相等的离心率 ()D 3．已知椭圆的长轴长是短轴长的3方程是 ．4．底面直径为12cm 的圆柱被与底面成30该椭圆的长轴长 ，短轴长 5．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为35针方向旋转2π后，所得新椭圆的一条准线方程是 ；新椭圆方程是 ．四．例题分析：例1．设,A B 是两个定点，且||2AB =，动点M 到A 点的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，求动点P 的轨迹方程．例2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，P 为椭圆上除长轴端点外的任一点，12,F F 为椭圆的两个焦点，（1）若α=∠21F PF ，β=∠21F PF ，求证：离心率2cos 2cos βαβα-+=e ； （2）若θ221=∠PF F ，求证：21PF F ∆的面积为2tan b θ⋅．例3．设椭圆2211x y m +=+的两个焦点是12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，且椭圆上存在点P ，使得直线1PF 与直线2PF 垂直．（1）求实数m 的取值范围；（2）设l 是相应于焦点2F 的准线，直线2PF 与l 相交于点Q，若22||2||QF PF =-2PF 的方程． 五．课后作业： 班级 学号 姓名1．P 是椭圆14522=+y x 上的一点，1F 和2F 是焦点，若1230F PF ∠=，则12F PF ∆的面积等于 （ ）()A 3316 ()B )32(4- ()C )32(16+ ()D 16 2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为 F ，(,0),(0,)A a B b -为椭圆的两个顶点，若F 到AB，则椭圆的离心率为 （ ）()A ()B ()C 12 ()D 453． 椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x ，关于直线0x y +=对称，则椭圆C 的方程是___________________．4．到两定点12(3,0),(9,0)F F 的距离和等于10的点的轨迹方程是 ．5．已知椭圆19822=++y a x 的离心率21=e ，则a 的值等于 ． 6．如图，PMN ∆中，1tan 2PMN ∠=,tan 2PNM ∠=-,PMN ∆面积为1，建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点，经过点P 的椭圆方程．7．AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中不平行于对称轴的一条弦，M 是AB 的中点， O 是椭圆的中心，求证：OM AB k k ⋅为定值．8．已知椭圆13422=+y x ，能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ，使它到左准线的距离为它到两焦点12,F F 距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由．M NP经典语录1、最疼的疼是原谅，最黑的黑是背叛。

椭圆复习课学案复习要求：1、掌握椭圆的定义、几何性质、标准方程及简单性质。

2、了解圆锥曲线的简单应用。

一、基础自主回扣： Ⅰ、椭圆的定义：平面内与两个定点F 1,F 2的 等于常数（ ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点的距离叫椭圆的 。

思考：当2a = |F 1F 2|时动点的轨迹是什么图形？当2a 〈 |F 1F 2|时呢？Ⅱ、椭圆的标准方程和几何性质：标准方程 )0(12222>>=+b a by a x )0(12222>>=+b a bx a y图 形性 质 范围≤≤x≤≤y≤≤x≤≤y对称性对称轴： 对称中心： 顶 点 A 1 A 2B 1 B 2A 1 A 2B 1 B 2轴长轴A 1A 1的长为 短轴B 1B 2的长为 焦距 |F 1F 2|= 离心率(∈=ace ）cb a ,,的关系=2c思考：椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度又怎样的关系？二、基础自测： 1、到两定点（2，1），（－2，－2）的距离之和为定值5的点的轨迹是 ( ) A ． 椭圆 Ｂ．双曲线 Ｃ．直线 Ｄ．线段2、椭圆221916x y +=的离心率是（ ） A ．45B ．35C ．74D ．733、椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ）A ．14 B ．12C ．2D ．4 4、方程221616x ky k +=的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 .5、已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为23，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 。

三、典例分析（一）椭圆的定义及标准方程例1、求满足下列条件的椭圆的标准方程 (1)长轴长是短轴长的3倍且过点A(3,0)(2)经过两点)2,0(A 和）3,21(B(3)焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过P 62,3(-) (4)焦距是12，离心率是43，焦点在y 轴上（二）椭圆的几何性质例2、(1).若)0,(c F 是椭圆12222=+by a x 的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 的距离等于2mM +的点的坐标是 ( )A ． (c , ±a b 2) B ．(0, ±b )C ． (－c , ±ab 2) D ．不存在(2)已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF ∆是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A 、32 B 、22C 、21-D 、2 例3 设椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 过点（0,4），离心率为53。

§9.5 椭圆最新考纲掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.基础诊断知识梳理1.椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做.这两定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若，则集合P为椭圆；(2)若，则集合P为线段；(3)若，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质－a≤x≤a－b≤x≤b1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.()(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.()(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.()(5)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相同.( ) 2.已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝( )A.2B.3C.4D.93.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点.若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 24＝1 4.直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( ) A.13B.12C.23D.345.已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________.6.若直线l 与直线x ＋y －1＝0垂直，其纵轴截距b ＝－3，椭圆C 的两个焦点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且与直线l 相切，则直线l 的方程为________，椭圆C 的标准方程为________. 考点突破考点一 椭圆的定义及其应用例1 (1)如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆(2)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝33，则b ＝________.规律方法 (1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等. (2)椭圆的定义式必须满足2a ＞|F 1F 2|.训练1 (1)已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是( ) A. 2B.2C.2 2D.3(2)与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________.考点二 椭圆的标准方程例2 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝⎛⎭⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________.(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆标准方程为________.规律方法 求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a ，b 的方程组，如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，求出m ，n 的值即可.训练2 (1)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 28＋y 26＝1 C.x 22＋y 2＝1D.x 24＋y 2＝1 (2)已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为________. 考点三 椭圆的几何性质例3 (1)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A.13B.12C.23D.34(2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1D.⎣⎡⎭⎫34，1规律方法 (1)求椭圆离心率的方法①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解.②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解.(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系.训练3 (1)已知椭圆：x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________.(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞c ＞0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT |的最小值不小于32(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围是________. 考点四 直线与椭圆的位置关系例4 设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.规律方法 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2](k 为直线斜率). 提醒 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.训练4 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，e ＝12，其中F 是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C 交于点A ，B ，线段AB 的中点横坐标为14，且AF →＝λFB →(其中λ>1).(1)求椭圆C的标准方程；(2)求实数λ的值.课堂总结思想方法1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)易错防范1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小.2.在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系.——★参考答案★——基础诊断知识梳理1.椭圆焦点焦距(1) a＞c(2) a ＝c (3) a ＜c2. 2a 2b 2c (0，1) a 2－b 2 诊断自测1. 『答案』(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√『解析』(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F 1F 2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F 1F 2|时，其轨迹为线段F 1F 2，常数小于|F 1F 2|时，不存在这样的图形. (2)因为e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2，所以e 越大，则b a越小，椭圆就越扁. 2. 『答案』B『解析』依题意有25－m 2＝16，∵m >0，∴m ＝3.选B. 3. 『答案』A『解析』由椭圆的定义可知△AF 1B 的周长为4a ，所以4a ＝43，故a ＝3，又由e ＝c a ＝33，得c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，则C 的方程为x 23＋y 22＝1，故选A.4. 『答案』B『解析』不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c ，0)，则直线l 的方程为x c ＋yb ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0. 由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12，故选B.5. 『答案』⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1『解析』设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1，0)，F 2(1，0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x ＞0，所以x ＝152，∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1.6. 『答案』y ＝x －3 x 22＋y 2＝1『解析』因为直线l 与直线x ＋y －1＝0垂直，其纵轴截距b ＝－3，所以直线l 的方程为y ＝x － 3.设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，与直线l 的方程联立，消去y 得(a 2＋b 2)x 2－23a 2x ＋3a 2－a 2b 2＝0，则Δ＝(－23a 2)2－4(a 2＋b 2)(3a 2－a 2b 2)＝0，化简得a 2＋b 2＝3 ①，又因为椭圆的两个焦点的坐标为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以a 2－b 2＝1 ②，联立①②解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.考点突破考点一 椭圆的定义及其应用 例1 『答案』(1)A (2)3 『解析』(1)连接QA . 由已知得|QA |＝|QP |.所以|QO |＋|QA |＝|QO |＋|QP |＝|OP |＝r .又因为点A 在圆内，所以|OA |＜|OP |，根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆.故选A. (2)由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 又∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝|F 1F 2|2， 所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|＝4c 2， 所以3|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以|PF 1||PF 2|＝43b 2，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12×43b 2×32＝33b 2＝33，所以b ＝3.训练1 『答案』(1)A (2)x 225＋y 216＝1『解析』 (1)由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝2，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以|PF 1|＝3，|PF 2|＝1.又|F 1F 2|＝2c ＝22，所以有|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，即△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 为直角，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||PF 2|＝12×22×1＝ 2.(2)设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )，则有|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝9－r . 所以|PC 1|＋|PC 2|＝10＞|C 1C 2|，即P 在以C 1(－3，0)，C 2(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆上， 得点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.考点二 椭圆的标准方程例2 『答案』(1)y 210＋x 26＝1 (2)y 220＋x 24＝1『解析』 (1)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n ).由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫－322m ＋⎝⎛⎭⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110.∴椭圆方程为y 210＋x 26＝1.(2)法一 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝（3－0）2＋（－5＋4）2＋（3－0）2＋（－5－4）2， 解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.法二 设所求椭圆方程为y 225－k ＋x 29－k＝1(k <9)，将点(3，－5)的坐标代入可得（－5）225－k ＋（3）29－k ＝1，解得k ＝5(k ＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.训练2 『答案』(1)A (2)x 24＋y 23＝1『解析』(1)依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1，故选A.(2)依题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0).过点F 2(1，0)且垂直于x 轴的直线被曲线C 截得弦长|AB |＝3， ∴点A ⎝⎛⎭⎫1，32必在椭圆上， ∴1a 2＋94b2＝1.① 又由c ＝1，得1＋b 2＝a 2.② 由①②联立，得b 2＝3，a 2＝4. 故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.考点三 椭圆的几何性质 例3 『答案』(1)A (2)A『解析』(1)设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎫0，ama －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫0，am2（a －c ），又B ，D ，M 三点共线，所以m 2（a －c ）＝m a ＋c，所以a ＝3c ，所以e ＝13.(2)设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形.∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b <2.离心率e ＝ca＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32. 训练3 『答案』(1)3 (2)⎣⎡⎭⎫35，22『解析』(1)由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8， 所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短， 则2b 2a ＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3. (2)因为|PT |＝|PF 2|2－（b －c ）2(b ＞c )，而|PF 2|的最小值为a －c ，所以|PT |的最小值为（a －c ）2－（b －c ）2. 依题意，有（a －c ）2－（b －c ）2≥32(a －c )，所以(a －c )2≥4(b －c )2，所以a －c ≥2(b －c )，所以a ＋c ≥2b ，所以(a ＋c )2≥4(a 2－c 2)，所以5c 2＋2ac －3a 2≥0，所以5e 2＋2e －3≥0.① 又b ＞c ，所以b 2＞c 2，所以a 2－c 2＞c 2，所以2e 2＜1.② 联立①②，得35≤e ＜22.考点四 直线与椭圆的位置关系例4 (1)证明：因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ， 故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |， 故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4， 所以|EA |＋|EB |＝4.由题设得A (－1，0)，B (1，0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：x 24＋y 23＝1(y ≠0).(2)解：当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）4k 2＋3.过点B (1，0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积 S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12，83).当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，故四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为『12，83).训练4 解：(1)由条件可知，c ＝1，a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)由AF →＝λFB →，可知A ，B ，F 三点共线，设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2). 若直线AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝1，不符合题意. 当AB 所在直线l 的斜率k 存在时，设方程为y ＝k (x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.①由①的判别式Δ＝64k 4－4(4k 2＋3)(4k 2－12)＝144(k 2＋1)>0. ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3＝12，∴k 2＝14. 将k 2＝14代入方程①，得4x 2－2x －11＝0，高三数学一轮复习11 解得x ＝1±354. 又AF →＝(1－x 1，－y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，AF →＝λFB →， λ＝1－x 1x 2－1，又λ＞1， ∴λ＝3＋52.。

第五讲椭圆知识梳理·双基自测知识梳理知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数(大于|F1F2|)__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：(1)若a＞c，则集合P为__椭圆__；(2)若a＝c，则集合P为__线段F1F2__；(3)若a＜c，则集合P为__空集__．知识点二椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形性质X围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为__2a__；归纳拓展1．a ＋c 与a －c 分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值． 2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB |＝2b 2a，称为通径．3．若过焦点F 1的弦为AB ，则△ABF 2的周长为4a ． 4．e ＝1－b 2a 2．5．椭圆的焦点在x 轴上⇔标准方程中x 2项的分母较大，椭圆的焦点在y 轴上⇔标准方程中y 2项的分母较大．6．AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则(1)弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|；(2)直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0．7．若M 、N 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1长轴端点，P 是椭圆上不与M 、N 重合的点，则K PM ·K PN＝－b 2a 2．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × ) (2)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( × )(3)方程mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( √ ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距相同．( √ )题组二 走进教材 2．(必修2P 42T4)椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( C )A ．4B ．8C ．4或8D ．12[解析]当焦点在x 轴上时，10－m ＞m －2＞0， 10－m －(m －2)＝4，∴m ＝4．当焦点在y 轴上时，m －2＞10－m ＞0，m －2－(10－m )＝4，∴m ＝8． ∴m ＝4或8．3．(必修2P 68A 组T3)过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程为( A )A ．x 215＋y 210＝1B ．x 225＋y 220＝1C ．x 210＋y 215＝1D ．x 220＋y 215＝1 题组三 走向高考4．(2018·课标全国Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( D )A ．1－32B ．2－3C ．3－12D ．3－1[解析]设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝3x ，|F 1F 2|＝2x ，故2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(1＋3)x,2c ＝|F 1F 2|＝2x ，于是离心率e ＝c a ＝2c2a＝2x 1＋3x＝3－1．5．(2019·课标Ⅰ，10)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( B )A ．x 22＋y 2＝1B ．x 23＋y 22＝1C ．x 24＋y 23＝1D ．x 25＋y 24＝1[解析]设|F 2B |＝x (x ＞0)， 则|AF 2|＝2x ，|AB |＝3x ，|BF 1|＝3x ，|AF 1|＝4a －(|AB |＋|BF 1|)＝4a －6x ， 由椭圆的定义知|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝4x ， 所以|AF 1|＝2x ．在△BF 1F 2中，由余弦定理得|BF 1|2＝|BF 2|2＋|F 1F 2|2－2|F 2B |·|F 1F 2|cos ∠BF 2F 1，即9x 2＝x 2＋22－4x ·cos ∠BF 2F 1，①在△AF 1F 2中，由余弦定理可得|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2－2|AF 2|·|F 1F 2|cos ∠AF 2F 1，即4x 2＝ 4x 2＋22＋8x ·cos ∠BF 2F 1，②由①②得x ＝32，所以2a ＝4x ＝23，a ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝2．所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1．故选B ．考点突破·互动探究考点一 椭圆的定义及应用——自主练透例1 (1)(2021·某某模拟)已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果M 是线段F 1P 的中点，那么动点M 的轨迹是( B )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线(2)已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点．则|PA |＋|PF |的最大值和最小值分别为__6＋2，6－2__．(3)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且∠F 1PF 2＝60°．若△PF 1F 2的面积为33，则b ＝__3__．[解析](1)如图所示，由题知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，设椭圆方程：x 2a2＋y 2b 2＝1(其中a ＞b ＞0)．连接MO ，由三角形的中位线可得：|F 1M |＋|MO |＝a (a ＞|F 1O |)，则M 的轨迹为以F 1、O 为焦点的椭圆．(2)如下图所示，设椭圆右焦点为F 1，则|PF |＋|PF 1|＝6．∴|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF 1|＋6． 由椭圆方程x 29＋y 25＝1知c ＝9－5＝2，∴F 1(2,0)，∴|AF 1|＝2．利用－|AF 1|≤|PA |－|PF 1|≤|AF 1|(当P 、A 、F 1共线时等号成立)． ∴|PA |＋|PF |≤6＋2，|PA |＋|PF |≥6－2．故|PA |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－2．(3)|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，又∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝|F 1F 2|2， 即(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|＝4c 2， 所以3|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以|PF 1||PF 2|＝43b 2，又因为S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12×43b 2×32＝33b 2＝33，所以b ＝3．故填3．[引申]本例(2)中，若将“A (1,1)”改为“A (2,2)”，则|PF |－|PA |的最大值为__4__，|PF |＋|PA |的最大值为__8__．[解析]设椭圆的右焦点为F 1，则∵|PF 1|＋|PA |≥|AF 1|＝2(P 在线段AF 1上时取等号)，∴|PF |－|PA |＝6－(|PF 1|＋|PA |)≤4，∵|PA |－|PF 1|≤|AF 1|＝2，(当P 在AF 1延长线上时取等号)，∴|PF |＋|PA |＝6＋|PA |－|PF 1|≤8．名师点拨(1)椭圆定义的应用X 围：①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．②解决与焦点有关的距离问题． (2)焦点三角形的应用：椭圆上一点P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1||PF 2|；通过整体代入可求其面积等．〔变式训练1〕(1)(2021·某某模拟)已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为__8__．(2)(2019·课标Ⅲ，15)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为__(3，15)__．(3)(2021·某某某某调研)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |－|PF 1|的最小值为__－5__．[解析](1)直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)．而M 、N 恰为椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4×2＝8．(2)因为F 1，F 2分别是椭圆C 的左，右焦点，由M 点在第一象限，△MF 1F 2是等腰三角形，知|F 1M |＝|F 1F 2|，又由椭圆方程x 236＋y 220＝1，知|F 1F 2|＝8，|F 1M |＋|F 2M |＝2×6＝12，所以|F 1M |＝|F 1F 2|＝8，所以|F 2M |＝4． 设M (x 0，y 0) (x 0＞0，y 0＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋42＋y 20＝64，x 0－42＋y 20＝16，解得x 0＝3，y 0＝15，即M (3，15)．(3)由题意可知F 2(3,0)，由椭圆定义可知|PF 1|＝2a －|PF 2|．∴|PM |－|PF 1|＝|PM |－(2a －|PF 2|)＝|PM |＋|PF 2|－2a ≥|MF 2|－2a ， 当且仅当M ，P ，F 2三点共线时取得等号， 又|MF 2|＝6－32＋4－02＝5,2a ＝10，∴|PM |－|PF 2|≥5－10＝－5，即|PM |－|PF 1|的最小值为－5． 考点二 椭圆的标准方程——师生共研例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3；(3)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)两点；(4)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率，且经过点(2，－3)．[解析](1)若焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵椭圆过点A (3,0)，∴9a2＝1，∴a ＝3．∵2a ＝3×2b ， ∴b ＝1．∴方程为x 29＋y 2＝1．若焦点在y 轴上，设方程为y 2a2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵椭圆过点A (3,0)，∴9b 2＝1，∴b ＝3．又2a ＝3×2b ，∴a ＝9．∴方程为y 281＋x 29＝1．综上所述，椭圆方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1．(2)由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ，a －c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝a 2－c 2＝9．∴所求椭圆方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1．(3)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )， ∵点P (－23，1)，Q (3，－2)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧12m ＋n ＝1，3m ＋4n ＝1，解得m ＝115，n ＝15．故椭圆方程为x 215＋y 25＝1．(4)若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为x 24＋y 23＝t (t ＞0)，将点(2，－3)代入，得t ＝224＋－323＝2．故所求方程为x 28＋y 26＝1．若焦点在y 轴上，设方程为y 24＋x 23＝λ(λ＞0)代入点(2，－3)，得λ＝2512，∴所求方程为y 2253＋x 2254＝1．综上可知椭圆方程为x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1．名师点拨(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a ＞|F 1F 2|这一条件．(2)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤： ①作判断：根据条件判断焦点的位置；②设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠0)；③找关系：根据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组； ④求解，得方程．(3)椭圆的标准方程的两个应用 ①方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与x 2a 2＋y 2b 2＝λ(λ＞0)有相同的离心率．②与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)共焦点的椭圆系方程为x 2a 2＋k＋y 2b 2＋k＝1(a ＞b ＞0，k ＋b 2＞0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．〔变式训练2〕(1)“2＜m ＜6”是“方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2021·某某某某二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1(a ＞0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，C上有且只有一个点P 满足|OF |＝|FP |，则C 的方程为( D )A ．x 212＋y 23＝1B ．x 28＋y 23＝1C ．x 26＋y 23＝1D ．x 24＋y 23＝1[解析](1)x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆⇔⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞06－m ＞0m －2≠6－m⇔2＜m ＜6且m ≠4，∴“2＜m ＜6”是方程“x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆”的必要不充分条件，故选B ．(2)根据对称性知P 在x 轴上，|OF |＝|FP |， 故a ＝2c ，a 2＝3＋c 2，解得a ＝2，c ＝1， 故椭圆方程为：x 24＋y 23＝1．故选：D ．考点三,椭圆的几何性质——师生共研例3 (1)(2017·全国)椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，点P 在C 上，F 2P ＝2，∠F 1F 2P ＝2π3，则C 的长轴长为( D )A ．2B ．2 3C ．2＋3D ．2＋23(2)(2021·某某省某某中学调研)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( B )A ．13B ．12C ．23D ．34(3)(2021·某某省期末联考)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值X 围是( D )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，22B ．⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，33 C ．⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫22，1D ．⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫33，1 [解析](1)椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则c ＝1， ∵|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝2a －2， 由余弦定理可得|PF 1|2＝|F 1F 2|2＋|PF 2|2－2|F 1F 2|·|PF 2|·cos2π3， 即(2a －2)2＝4＋4－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 解得a ＝1＋3，a ＝1－3(舍去)，∴2a ＝2＋23，故选D ．(2)不妨设直线l ：x c ＋y b＝1，即bx ＋cy －bc ＝0⇒椭圆中心到l 的距离|－bc |b 2＋c2＝2b 4⇒e ＝c a ＝12，故选B ．(3)如图F 2H ⊥PF 1，∴|F 1F 2|＝|PF 2|，由题意可知a 2c－c ≤2c ，∴e 2＝c 2a 2≥13，即e ≥33，又0＜e ＜1，∴33≤e ＜1．故选D ．名师点拨椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值；二是由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．椭圆离心率的X 围问题一般借助几何量的取值X 围求解，遇直线与椭圆位置关系通常由直线与椭圆方程联立所得方程判别式Δ的符号求解．求椭圆离心率的取值X 围的方法〔变式训练3〕(1)(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( A )A ．63B ．33C ．23D ．13(2)(2021·某某呼和浩特市质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 是椭圆上的动点，若∠A 1PA 2的最大可以取到120°，则椭圆C 的离心率为( D )A ．12B ．22C ．32D ．63(3)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率的取值X 围是__⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫22，1__．[解析](1)由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a ． 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，解得a ＝3b ，∴b a＝13，∴e ＝c a＝a 2－b 2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132＝63．故选A ． (2)当P 为短轴端点时∠A 1PA 2最大，由题意可知a b＝tan 60°＝3，∴b 2a 2＝13，∴e ＝1－b 2a 2＝63，故选D ．(3)由题意可知当P 为椭圆短轴端点时∠OPF 1＝∠OPF 2≥45°，即c ≥b ， ∴c 2≥a 2－c 2，∴c 2a 2≥12，即e ≥22， 又0＜e ＜1，∴22≤e ＜1．考点四,直线与椭圆——多维探究 角度1 直线与椭圆的位置关系例4 若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值X 围是( D )A ．m ＞1B ．m ＞0C ．0＜m ＜5且m ≠1D ．m ≥1且m ≠5[解析]解法一：由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0,1)， 所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上， 则0＜1m≤1且m ≠5，故m ≥1且m ≠5．故选D ．解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，mx 2＋5y 2－5m ＝0，消去y 整理得(5k 2＋m )x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0．由题意知Δ＝100k 2－20(1－m )(5k 2＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立， 即5mk 2＋m 2－m ≥0对一切k ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞01－m ≤0，即m ≥1， 又m ≠5，∴m ≥1且m ≠5．故选D ． 角度2 中点弦问题例5 (1)(2021·某某省某某市调研)过点P (3,1)且倾斜角为3π4的直线与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若AP →＝PB →，则该椭圆的离心率为( C )A ．12B ．22C ．63D ．33(2)已知椭圆x 22＋y 2＝1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则以P 为中点的椭圆的弦所在直线的方程为__2x ＋4y －3＝0__．[解析](1)由题意可知P 为AB 的中点，且k AB ＝－1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a2＋y 22b 2＝1，两式相减得x 1－x 2x 1＋x 2a 2＝－y 1－y 2y 1＋y 2b 2，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－3b 2a 2＝－1，即b 2a 2＝13，∴e ＝1－b 2a 2＝63，故选C ．(2)设弦的两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点为M (x 0，y 0)，则有x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1．两式作差，得x 2－x 1x 2＋x 12＋(y 2－y 1)(y 2＋y 1)＝0．∵x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 2－y 1x 2－x 1＝k AB ，代入后求得k AB ＝－x 02y 0＝－12，∴其方程为y －12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋4y －3＝0．角度3 弦长问题例6 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫－3，12，椭圆E 的一个焦点为(3，0)．(1)求椭圆E 的方程； (2)若直线l 过点M (0，2)且与椭圆E 交于A ，B 两点，求|AB |的最大值．[解析](1)依题意，设椭圆E 的左、右焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)．由椭圆E 经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫－3，12，得|PF 1|＋|PF 2|＝4＝2a ，∴a ＝2，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝1．∴椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2＋82kx ＋4＝0．由Δ＞0得(82k )2－4(1＋4k 2)×4＞0，∴4k 2＞1． 由x 1＋x 2＝－82k1＋4k 2，x 1x 2＝41＋4k 2得|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2－6⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋4k 22＋11＋4k 2＋1． 设t ＝11＋4k 2，则0＜t ＜12，∴|AB |＝2－6t 2＋t ＋1＝2－6⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1122＋2524≤566，当且仅当t ＝112时等号成立．当直线l 的斜率不存在时，|AB |＝2＜566．综上，|AB |的最大值为566．名师点拨直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略 (1)直线与椭圆位置关系的判断方法①联立方程，借助一元二次方程的判别式Δ来判断；②借助几何性质来判断．(2)求椭圆方程或有关几何性质．可依据条件寻找满足条件的关于a ，b ，c 的等式，解方程即可求得椭圆方程或椭圆有关几何性质．(3)关于弦长问题．一般是利用根与系数的关系、弦长公式求解．设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[y 1＋y 22－4y1y 2](其中k 为直线斜率)．提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．(4)对于中点弦或弦的中点问题，一般利用点差法求解．若直线l 与圆锥曲线C 有两个交点A ，B ，一般地，首先设出A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x 1＋x 2，y 1＋y 2，x 1－x 2，y 1－y 2，从而建立中点坐标和斜率的关系．注意答题时不要忽视对判别式的讨论．〔变式训练4〕(1)(角度1)直线y ＝kx ＋k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是__相交__．(2)(角度2)(2021·某某某某期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，离心率22，过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为( D )A ．2B ．－2C ．12D ．－12(3)(角度3)斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( C )A ．2B ．455C ．4105D ．8105[解析](1)由于直线y ＝kx ＋k ＋1＝k (x ＋1)＋1过定点(－1,1)，而(－1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．(2)因为ca ＝22，∴4c 2＝2a 2，∴4(a 2－b 2)＝2a 2，∴a 2＝2b 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 21＋a 2y 21＝a 2b 2b 2x 22＋a 2y 22＝a 2b 2，相减得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，所以2b 2(x 1－x 2)＋2a 2(y 1－y 2)＝0，所以2b 2＋4b 2y 1－y 2x 1－x 2＝0，所以1＋2k ＝0，∴k ＝－12，选D ．(3)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4t 2－15．∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4t 2－15＝425·5－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105．故选C ．名师讲坛·素养提升利用换元法求解与椭圆相关的最值问题例7如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为__4__．[解析]e 2＝c 2a2＝1－b 2a 2＝1－b 24＝14，∴b 2＝3， ∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1，且F (－1,0)，A (2,0)，设P (2sin θ，3cos θ)，则PF →·PA →＝(－1－2sin θ，－3cos θ)·(2－2sin θ，－3cos θ)＝sin 2θ－2sin θ＋1＝(sin θ－1)2≤4．当且仅当sin θ＝－1时取等号， 故PF →·PA →的最大值为4．另解：设P (x ，y )，由上述解法知PF →·PA →＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2＋y 2－x －2＝14(x －2)2(－2≤x ≤2)，显然当x ＝－2时，PF →·PA →最大且最大值为4．名师点拨 遇椭圆x 2a2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的点到定点或定直线距离相关的最值问题，一般用三角换元法求解，即令x ＝a sin θ，y ＝b cos θ，将其化为三角最值问题．〔变式训练5〕椭圆x 216＋y 24＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( D )A ．3B ．11C ．22D ．10[解析]设椭圆x 216＋y 24＝1上的点P (4cos θ，2sin θ)，则点P 到直线x ＋2y －2＝0的距离为d ＝|4cos θ＋4sin θ－2|5＝|42sin θ＋π4－2|5，∴d max ＝|－42－2|5＝10．高考- 21 - / 21。

9.5椭圆必备知识预案自诊知识梳理1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.已知集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.(1)若a c,则点M的轨迹为椭圆;(2)若a c,则点M的轨迹为线段;(3)若a c,则点M不存在.2.椭圆的标准方程及性质(1)过椭圆x2a2+y2b2=1上一点M(x0,y0)的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.(2)若点P(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1外,过点P作椭圆的两条切线,切点为P1,P2,则切点弦P1P2所在的直线方程是x0xa2+y0yb2=1.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.()(3)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.()(4)椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)与椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦距相同.()(5)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).()2.设F1,F2分别是椭圆x 225+y216=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则点P与椭圆左焦点间的距离为()A.4B.3C.2D.53.(2020江西南昌三中期末)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为√33,过F2的直线l交C于A,B两点,若△AF1B的周长为4√3,则椭圆C的方程为()A.x 23+y22=1 B.x23+y2=1C.x 212+y28=1 D.x212+y24=14.“0<m<2”是“方程x 2m +y22-m=1表示椭圆”的条件(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”).5.(2020天津河北区线上测试,12)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32,焦距为2√3,则椭圆的方程为.关键能力学案突破考点椭圆的定义及应用【例1】(1)已知F1,F2分别是椭圆E:x 225+y29=1的左、右焦点,P为椭圆E上一点,直线l为∠F1PF2的外角平分线,过点F2作l的垂线,交F1P的延长线于点M,则|F1M|=()A.10B.8C.6D.4(2)(2020山东东营联考)设F1,F2是椭圆x 24+y2b2=1(0<b<2)的左、右焦点,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|AF2|+|BF2|最大值为5,则椭圆的离心率为()A.12B.√22C.√5-12D.√32?解题心得常利用椭圆的定义求解的问题:(1)求解问题的结论中含有椭圆上动点到焦点的距离;(2)求解问题的条件中含有椭圆上动点到焦点的距离.对点训练1(1)过椭圆x 225+y216=1的中心任作一直线交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,则△PFQ的周长的最小值为()A.12B.14C.16D.18(2)已知点P(x,y)在椭圆x 236+y2100=1上,F1,F2是椭圆的两个焦点,若△PF1F2的面积为18,则∠F1PF2的余弦值为.考点椭圆的标准方程及应用【例2】(1)(2020福建福州三模,理10)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2,右顶点为A.过原点与x轴不重合的直线交椭圆C于M,N两点,线段AM的中点为B,若直线BN经过椭圆C的右焦点,则椭圆C的方程为()A.x 24+y23=1 B.x26+y25=1C.x 29+y28=1 D.x236+y232=1(2)椭圆的离心率为√22,F为椭圆的一个焦点,若椭圆上存在一点与F关于直线y=x+4对称,则椭圆的方程为.(3)已知方程x 2|m|-1+y22-m=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围?利用该方法应注意些什么?解题心得1.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后根据条件建立关于a,b的方程组.2.若椭圆的焦点位置不确定,则要分焦点在x轴上或在y轴上两种情况求解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)的形式,避免讨论.3.椭圆的标准方程的两个应用:(1)椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)与椭圆x2a2+y2b2=λ(a>b>0,λ>0)有相同的离心率.(2)与椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为x2a2+k+y2b2+k=1(a>b>0,b2+k>0).恰当运用椭圆系方程,可使运算简便.4.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤.(1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能;(2)设方程:根据上述判断设椭圆标准方程为x 2a2 +y2 b2=1(a>b>0)或y2a2+x2b2=1(a>b>0);(3)找关系:根据已知条件,建立关于a,b的方程组;(4)得方程:解方程组求出a,b,即可得到椭圆的标准方程.对点训练2(1)(2020山东聊城调研)过点(3,2)且与椭圆3x2+8y2=24有相同焦点的椭圆方程为()A.x 25+y210=1 B.x210+y215=1C.x 215+y210=1 D.x225+y210=1(2)如图,中心在坐标原点,焦点分别在x轴和y轴上的椭圆C1,C2都过点A(0,-√2),且椭圆C1,C2的离心率相等,以椭圆C1,C2的四个焦点为顶点的四边形面积为2√2,则椭圆C1的标准方程为.(3)(2020湖南郴州二模)已知椭圆E的中心为原点,焦点在x轴上,椭圆上一点到焦点的最小距离为2√2-2,离心率为√2,则椭圆E的方程为.考点椭圆的几何性质及应用【例3】(1)(2020安徽合肥一中等六校检测)已知椭圆C :x 22+y 2b2=1(a>b>0)的右焦点为F ,短轴的一个端点为P ,直线l :4x-3y=0与椭圆相交于A ,B 两点.若|AF|+|BF|=6,点P 到直线l 的距离不小于65,则椭圆离心率的取值范围为( )A.(0,95] B.(0,√32] C.(0,√53] D.(13,√32] (2)设F 1,F 2是椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=2a 上一点,△F 2PF 1是底边为PF 1的等腰三角形,且直线PF 1的斜率为13,则椭圆E 的离心率为( )A.1013B.58C.35D.23(3)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,且|F 1F 2|=2c ,若椭圆上存在点M使得在△MF 1F 2中,sin∠MF 1F 2a =sin∠MF 2F 1c,则该椭圆离心率的取值范围为( )A.(0,√2-1)B.(√22,1)C.(0,√22)D.(√2-1,1)?解题心得求离心率常见的方法有三种:①求出a ,c ,代入公式e=ca ;②由a 与b 的关系求离心率,利用变形公式e=√c 2a 2=√a 2-b 2a 2=√1-b 2a2求解;③只需要根据一个条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合b 2=c 2-a 2转化为a ,c 的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).对点训练3(1)(2020河南洛阳一模)已知椭圆x 211-m +y 2m -3=1的长轴在y 轴上,且焦距为4,则m 等于( )A.5B.6C.9D.10 (2)设F 是椭圆E :x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的右焦点,A 是椭圆E 的左顶点,P 为直线x=3a 2上一点,△APF 是底角为30°的等腰三角形,则椭圆E 的离心率为( )A.34 B.23C.12D.13(3)设椭圆x 22+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆上运动,|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为m ,PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为n ,且m ≥2n ,则该椭圆的离心率的取值范围为 .考点直线与椭圆的综合问题(多考向探究)考向1 与弦长有关的问题【例4】已知椭圆M :x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为√63,焦距为2√2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ,B.(1)求椭圆M 的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值;(3)设点P (-2,0),直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ,若点C ,D 和点Q (-74,14)共线,求k 的值.?如何设直线的方程能减少计算量?解题心得与椭圆中点弦有关的问题应用椭圆中点弦的斜率公式k AB ·k OM =-b 2a 2,即k AB =-b 2xa 2y 0比较方便快捷,其中点M 的坐标为(x 0,y 0).解决此类问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”.这两种方法的前提都是必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点.对点训练4(2020山东菏泽一模,21)已知椭圆C :x 22+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,以M (-a ,b ),N (a ,b ),F 2和F 1为顶点的梯形的高为√3,面积为3√3.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设A,B为椭圆C上的任意两点,若直线AB与圆O:x2+y2=12相切,求△AOB面积的取值范围.考向2中点弦、弦中点问题【例5】已知椭圆x 22+y2=1.(1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程;(2)求过点P12,12且被点P平分的弦所在直线的方程.思考如何快捷求解弦中点、中点弦的问题?点差法应用于何种题型?解题心得直线方程的设法,根据题意,如果需要讨论斜率不存在的情况,则设直线方程为x=ty+m,避免讨论;若所研究的直线的斜率存在,则可设直线方程为y=kx+b的形式,若平行于坐标轴的直线都包含,则不要忘记斜率不存在的情况的讨论.对点训练5(2020山西太原五中3月摸底)若过椭圆x 216+y24=1内一点P(3,1)的弦被该点平分,则该弦所在的直线方程为()A.3x+4y-13=0B.3x-4y-5=0C.4x+3y-15=0D.4x-3y-9=0 考向3直线与椭圆的综合【例6】(2020北京,20)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(-2,-1),且a=2b.(1)求椭圆C的方程;(2)过点B(-4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=-4于点P,Q,求|PB||BQ|的值.?什么是设而不求思想?解题心得求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想,即根据题意,列出有关的方程,利用代数的方法求解.为减少计算量,在代数运算中,经常运用设而不求的方法,即把题目中涉及的点的坐标利用未知量设出来,但不需求出这些未知量,只需联立方程,判别式Δ>0,然后根据韦达定理列出x1+x2,x1x2的关系式,利用弦长公式|AB|=√k2+1|x1-x2|=√k2+1√(x1+x2)2-4x1x2=√1+1k2|y1-y2|=√1+1k2√(y1+y2)2-4y1y2=√k2+1√Δ|a|,选好公式能减少计算量.对点训练6(2020北京西城一模)设椭圆E:x 2+y2=1,直线l1经过点M(m,0),直线l2经过点N(n,0),直线l1∥直线l2,且直线l1,l2分别与椭圆E相交于A,B两点和C,D两点.(1)若M,N分别为椭圆E的左、右焦点,且直线l1⊥x轴,求四边形ABCD的面积;(2)若直线l2的斜率存在且不为0,四边形ABCD为平行四边形,求证:m+n=0;(3)在(2)的条件下,判断四边形ABCD能否为矩形,说明理由.9.5椭圆必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)>(2)=(3)<考点自诊1.(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√2.A 由题意知,OM 是△PF 1F 2的中位线,所以|OM|=1|PF 2|,所以|PF 2|=6,所以|PF 1|=2a-|PF 2|=10-6=4.3.A 因为△AF 1B 的周长为4√3,且△AF 1B 的周长=|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=2a+2a=4a ,所以4a=4√3,则a=√3,又因为c a=√33,解得c=1,所以b=√a 2-c 2=√2,故椭圆C 的方程为x 23+y 22=1. 4.必要不充分方程x 2m+y 22-m =1表示椭圆,即{m >0,2-m>0,m ≠2-m ,解得0<m<2,且m ≠1,所以“0<m<2”是“方程x 2m +y 22-m=1表示椭圆”的必要不充分条件.5.x 24+y 2=1 由题意,椭圆的焦距2c=2√3,所以c=√3,又离心率e=ca =√32,所以a=2,所以b=√a 2-c 2=1,所以椭圆C的方程为x 24+y 2=1.关键能力·学案突破例1(1)A (2)A (1)(1)如图,由直线l 为∠F 1PF 2的外角平分线,l ⊥F 2M ,可得|PM|=|PF 2|.而在椭圆E :x 225+y 29=1中,a=5,2a=|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PM|=|F 1M|=10.故选A.(2)因为x 24+y 2b 2=1,则a=2,由0<b<2可知,焦点在x 轴上.因为过点F 1的直线l 交椭圆于A ,B 两点,则|BF 2|+|AF 2|+|BF 1|+|AF 1|=2a+2a=4a=8, 所以|BF 2|+|AF 2|=8-|AB|, 当AB 垂直于x轴时|AB|最小,|BF 2|+|AF 2|值最大,此时|AB|=2b 2a ,又a=2,所以5=8-b 2,解得b=√3,则椭圆的离心率e=c a=√1-b 2a 2=12.对点训练1(1)D (2)35 (1)由椭圆的对称性可知,P ,Q 两点关于原点对称.设F'为椭圆另一焦点,则四边形PFQF'为平行四边形,由椭圆定义可知|PF|+|PF'|+|QF|+|QF'|=4a=20.又|PF|=|QF'|,|QF|=|PF'|,∴|PF|+|QF|=10.又PQ 为椭圆内过原点的弦,∴|PQ|min =2b=8,∴△PFQ 的周长的最小值为10+8=18.故选D .(2)椭圆x 2+y 2=1的两个焦点为F 1(0,-8),F 2(0,8),由椭圆的定义知|PF 1|+|PF 2|=20,两边平方得|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1||PF 2|=202,由余弦定理得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|·cos ∠F 1PF 2=|F 1F 2|2=162,两式相减得2|PF 1||PF 2|(1+cos ∠F 1PF 2)=144.又S △PF 1F 2=12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2=18,所以1+cos ∠F 1PF 2=2sin ∠F 1PF 2.解得cos ∠F 1PF 2=35.例2(1)C (2)x 218+y 29=1或y 218+x 29=1 (3)m<-1或1<m<32 (1)(方法1)设M (x 0,y 0),则N (-x 0,-y 0),因为A (a ,0)且线段AM 的中点为B ,所以B (a+x 02,y 02), 由B ,F ,N 三点共线,得F N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,依题意,F (1,0),故FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x 0-1,-y 0),FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a+x02-1,y 02),即-(x 0+1)y02+(a+x 02-1)y 0=0,又y 0≠0,解得a=3,所以b 2=32-12=8,所以椭圆C 的标准方程为x 29+y 28=1.故选C.(方法2)设M (x 0,y 0),则N (-x 0,-y 0),依题意,A (a ,0),因为AO 和NB 是△AMN 的中线,所以F (1,0)为△AMN 的重心,故x 0-x 0+a3=1,解得a=3,所以b 2=32-12=8,所以椭圆C 的标准方程为x 29+y 28=1.故选C.(2)由题意知ca=√22,得a 2=2b 2=2c 2.当焦点在x 轴上时,设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),在椭圆上任取一点P (x 0,y 0),取焦点F (-c ,0),则PF 的中点M 为(x 0-c 2,y 02),根据条件可得y 02=x 0-c2+4,k PF =y 0x 0+c=-1,联立两式解得x 0=-4,y 0=4-c ,代入椭圆方程解得a=3√2,b=3.由此可得椭圆的方程为x 218+y 29=1,同理,当焦点在y 轴上时,椭圆的方程为y 218+x 2=1. (3)由x 2|m |-1+y 22-m =1表示焦点在y 轴上的椭圆,得2-m>|m|-1>0,解得m<-1或1<m<32. 对点训练2(1)C (2)x 24+y 22=1 (3)x 28+y 24=1(1)椭圆3x 2+8y 2=24化为x 28+y 23=1,它的焦点为(±√5,0),可得c=√5,设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),可得9a 2+4b2=1,又a 2-b 2=5,所以a=√15,b=√10,故所求的椭圆方程为x 2+y 2=1. (2)由题意可设椭圆C 1:x 2a 2+y 22=1,C 2:y 22+x 2b 2=1(a>√2,0<b<√2),由a 2-2a 2=2-b 22,得ab=2,由2√a 2-2·√2-b 2=2√2,可得(a 2-2)(2-b 2)=2,解得a=2,b=1,即椭圆C 1的标准方程为x 24+y 22=1.(3)因为椭圆上一点到焦点的最小距离为a-c ,所以a-c=2√2-2,因为离心率e=√22,所以c a=√22,解得a=2√2,c=2,则b 2=a 2-c 2=4, 所以椭圆E的方程为x 28+y 24=1.例3(1)C (2)A (3)D (1)设椭圆的左焦点为F',P 为短轴的上端点,连接AF',BF',如下图所示:由椭圆的对称性可知,A ,B 关于原点对称,则|OA|=|OB|, 又|OF'|=|OF|,∴四边形AFBF'为平行四边形,∴AF=BF', 又|AF|+|BF|=|BF|+|BF'|=2a=6,∴a=3, ∵点P (0,b )到直线l 距离d=|-3b |5≥65,∴b ≥2,∴22=√9-c 2≥2,即0<c ≤√5,∴e=ca ∈(0,√53].故选C.(2)由题意,因为△F 2PF 1是底边为PF 1的等腰三角形,所以|PF 2|=|F 2F 1|. 因为P 为直线x=2a 上一点,直线PF 1的斜率为13,△PDF 2是直角三角形,所以|PD|2+|DF 2|2=|PF 2|2,即(2a+c 3)2+(2a-c )2=4c 2,可得13e 2+16e-20=0,解得e=1013或e=-2(舍去). 故选A.(3)由正弦定理,可得|MF 1|sin∠MF2F 1=|MF 2|sin∠MF1F 2,结合题意可得|MF 1|c=|MF 2|a ,所以|MF 1|c=|MF 2|a=|MF 1|+|MF 2|a+c.根据椭圆的定义可得|MF 1|+|MF 2|=2a ,所以|MF 1|=2F c a+c ,|MF 2|=2a 2a+c ,易知|MF 2|>|MF 1|.因为M 为椭圆上一点,所以a-c<|MF 2|<a+c ,即a-c<2a 2a+c <a+c ,整理得c 2+2ac-a 2>0,所以e 2+2e-1>0,解得√2-1<e<1.故选D. 对点训练3(1)C (2)B (3)12,1 (1)由椭圆x 211-m +y 2m -3=1的长轴在y 轴上,且焦距为4,可得√m -3-11+m =2,解得m=9.故选C .(2)如图,设直线x=3a与x 轴的交点为C ,由△APF 是底角为30°的等腰三角形和椭圆性质可知PF=AF=a+c ,FC=OC-OF=3a2-c ,由题意可知∠PFC=60°,所以cos ∠PFC=FCPF =3a 2-ca+c=12,解得e=c a=23.故选B.(3)∵|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a ,∴|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a-|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |(a-c ≤|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤a+c ).∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |(2a-|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)=-|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2a|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=-(|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-a )2+a 2.∵a-c ≤|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤a+c ,∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=-(|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-a )2+a 2∈[b 2,a 2].∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值m=a 2. 设P (x ,y ),则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-c-x ,-y )·(c-x ,-y )=x 2+y 2-c 2=x 2+b 2a 2(a 2-x 2)-c 2=1-b 2a2x 2+b 2-c 2, ∵x ∈[-a ,a ],∴x 2∈[0,a 2],PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为n=b 2-c 2.由m ≥2n ,得a 2≥2(b 2-c 2)=2(a 2-2c 2),∴a 2≤4c 2,解得e=ca ∈12,1.例4解(1)由题意,得2c=2√2,所以c=√2.又e=c a=√63,所以a=√3,所以b 2=a 2-c 2=1,所以椭圆M的方程为x 23+y 2=1.(2)设直线AB 的方程为y=x+m.由{y =x +m ,x 23+y 2=1消去y ,得4x 2+6mx+3m 2-3=0,则Δ=36m 2-4×4(3m 2-3)=48-12m 2>0,即m 2<4.设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-3m 2,x 1x 2=3m 2-34,所以|AB|=√1+k 2|x 1-x 2|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√6×√4-m 22,易得当m 2=0时,|AB|max =√6,故|AB|的最大值为√6.(3)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),则x 12+3y 12=3,x 22+3y 22=3.又P (-2,0),所以可设k 1=k PA =y1x 1+2,直线PA 的方程为y=k 1(x+2).由{y =k 1(x +2),x 23+y 2=1消去y ,得(1+3k 12)x 2+12k 12x+12k 12-3=0,则x 1+x 3=-12k 121+3k 12,即x 3=-12k 121+3k 12-x 1.又k 1=y 1x1+2,代入上式可得x 3=-7x 1-124x 1+7,所以y 3=y 14x 1+7, 所以点C (-7x 1-124x 1+7,y14x 1+7).同理可得点D (-7x 2-124x 2+7,y 24x2+7). 故QC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 3+74,y 3-14),QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 4+74,y 4-14).因为Q ,C ,D 三点共线,所以(x 3+74)(y 4-14)-x 4+74(y 3-14)=0.将点C ,D 的坐标代入化简可得y 1-y2x 1-x 2=1,即k=1.对点训练4解(1)由题意,得b=√3,且2a+2c2·√3=3√3,所以a+c=3.又a 2-c 2=3,解得a=2,c=1. 所以椭圆C的方程为x 24+y 23=1.(2)如图,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).当圆O 的切线l 的斜率存在时,设l 的方程为:y=kx+m. 切点为H ,连接OH ,则OH ⊥AB.联立{y =kx +m ,x 24+y 23=1,整理得(3+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-12=0.所以x 1+x 2=-8k F 4k 2+3,x 1x 2=4m 2-124k 2+3.又直线l 与圆O :x 2+y 2=127相切, 所以OH=|m |√k +1=√127.所以m2=12(1+k 2)7.又|AB|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+k 2·√64k 2m 2-4(4m 2-12)(4k 2+3)(4k 2+3)2=√1+k 2·√48(3+4k 2-m 2)(4k 2+3)2=√37√(1+k 2)(9+16k 2)(4k 2+3)2 =√3√71+k 216k 4+24k 2+9. ①若k ≠0时, |AB|=√3√71+116k 2+24+9k2.因为16k 2+24+9k2≥2√16×9+24=48,当且仅当k=±√32时,等号成立.所以|AB|≤√3√7×√1+148=√3√7×4√3=√7,易知|AB|>√3√7,即√3√7<AB ≤√7. ②当k=0时,|AB|=√3√7. 所以√3√7≤|AB|≤√7. 又|OH|=√37,所以S △AOB =12|AB|·|OH|=√327|AB|∈[127,√3].当圆O 的切线斜率不存在时,则AB 的方程为x=√127,或x=-√127.此时A ,B 的坐标分别为√127,√127,√127,-√127或-√127,√127,-√127,-√127. 此时S △AOB =127.综上,△AOB 面积的取值范围为[127,√3].例5解设弦的两端点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),中点为M (x 0,y 0),则有x 122+y 12=1,x 222+y 22=1,两式作差,得(x 2-x 1)(x 2+x 1)2+(y 2-y 1)(y 2+y 1)=0, 因为x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0,y 2-y 1x 2-x 1=k AB ,所以k AB =-x02y 0. ①(1)设弦中点为M (x ,y ),由①式,2=-x2y ,所以x+4y=0.故所求的轨迹方程为x+4y=0-43<x<43.(2)由①式及题意可知,弦所在的直线的斜率k=-x2y 0=-12,所以其方程为y-12=-12x-12,即2x+4y-3=0.对点训练5A 设弦的两端点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P 为AB 中点.A ,B在椭圆上,则x 1216+y 124=1,x 2216+y 224=1,两式相减,得x 12-x 2216+y 12-y 224=0,又因为x 1+x 2=6,y 1+y 2=2,可得y 1-y 2x 1-x 2=-34,则k=-34,直线AB 过点P (3,1),所以该弦所在的直线方程为y-1=-34(x-3),整理得3x+4y-13=0.故选A . 例6解(1)由题意可得{4a 2+1b2=1,a =2b ,解得{a 2=8,b 2=2,故椭圆C 的方程为x 28+y 22=1.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线MN 的方程为y=k (x+4),与椭圆方程x 28+y 22=1联立,可得x 2+4k 2(x+4)2=8,即(4k 2+1)x 2+32k 2x+(64k 2-8)=0,则x 1+x 2=-32k 24k 2+1,x 1x 2=64k 2-84k 2+1.直线MA 的方程为y+1=y 1+1x 1+2(x+2),令x=-4,可得y P =-2×y 1+1x 1+2-1=-2×k (x 1+4)+1x 1+2−x 1+2x 1+2=-(2k+1)(x 1+4)x 1+2,同理可得y Q =-(2k+1)(x 2+4)x 2+2.很明显y P y Q <0,且|PB ||BQ |=|yP y Q|,注意到y P +y Q =-(2k+1)x 1+4x 1+2+x 2+4x 2+2=-(2k+1)×(x 1+4)(x 2+2)+(x 2+4)(x 1+2)(x 1+2)(x 2+2),而(x 1+4)(x 2+2)+(x 2+4)(x 1+2)=2[x 1x 2+3(x 1+x 2)+8]=264k 2-84k 2+1+3×(-32k 24k 2+1)+8=2×(64k 2-8)+3×(-32k 2)+8(4k 2+1)4k 2+1=0,故y P +y Q =0,y P =-y Q .从而|PB ||BQ |=|yP y Q|=1.对点训练6(1)解由题意可得M (-1,0),N (1,0),令x=-1,得y=±√22,所以|AB|=√2,因为|BC|=|MN|=2,且四边形ABCD 是矩形,所以四边形ABCD 的面积为S=|AB|·|BC|=2√2.(2)证明设l 1为y=k (x-m ),则{x 22+y 2=1,y =k (x -m ),故(2k 2+1)x 2-4k 2mx+2m 2k 2-2=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 故{x 1+x 2=4k 2m2k 2+1,x 1x 2=2k 2m 2-22k 2+1,|AB|=√1+k 2|x 1-x 2| =√1+k 2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+k 2√16k 2-8k 2m 2+82k 2+1,同理可得|CD|=√1+k 2√16k 2-8k 2n 2+82k 2+1,因为四边形ABCD 为平行四边形,所以|AB|=|CD|,故2√16k 2-8k 2m 2+82k 2+1=√1+k 2√16k 2-8k 2n 2+82k 2+1,即m 2=n 2,又m ≠n ,所以m+n=0.(3)解设AB 中点为P (a ,b ),则x 122+y 12=1,x 222+y 22=1,两式相减,得(x 1+x 2)(x 1-x 2)2+(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0,即a+2kb=0,同理可得CD 的中点Q (c ,d ),满足c+2kd=0,故k PQ =d -bc -a =d -b-2kd+2kb =-12k ≠-1k ,故四边形ABCD 不能为矩形.数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象,得到数学研究对象的素养.主要包括:从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并用数学语言予以表征.数学抽象主要表现为:获得数学概念和规则,提出数学命题和模型,形成数学方法与思想,认识数学结构与体系.在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用弦中点的斜率公式:一、问题的提出在研究直线与椭圆相交形成的弦中点的有关问题时,往往需要求出弦的斜率.如果已知直线l 与椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)相交于A 、B 两点,线段AB 的中点为M (x 0,y 0),请抽象出弦AB 的斜率公式并以结论的形式表达出来,然后给出结论的证明.结论:若M (x 0,y 0)是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点,则有k AB =-b 2x0a 2y 0.A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则有k AB =y 1-y2x 1-x 2,{x 12a 2+y 12b 2=1,x 22a 2+y 22b2=1,两式相减,得x 12-x 22a 2+y 12-y 22b2=0,整理得y 12-y 22x 12-x 22=-b2a2,即(y 1+y 2)(y 1-y 2)(x 12)(x 1-x 2)=-b 22(x 1≠-x 2).因为M (x 0,y 0)是弦AB 的中点,所以k OM =y 0=2y 0=y 1+y 212,所以k AB ·k OM =-b 2a 2即k AB =-b 2x0a 2y 0.当x 1=-x 2时,AB 平行于x 轴,此时x 0=0,k AB =0,k AB =-b 2x0a 2y 0也成立,综上,k AB =-b 2x0a 2y 0.二、定理的应用应用一 求椭圆的基本元素 【例1】已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),点F 为左焦点,点P 为下顶点,平行于FP 的直线l 交椭圆于A ,B 两点,且AB 的中点为M (1,1),则椭圆的离心率为( )A.√22B.12C.14D.√32A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∵AB 的中点为M (1,12),∴x 1+x 2=2,y 1+y 2=1,又A ,B 在椭圆上,∴x 12a 2+y 12b2=1,x 22a 2+y 22b 2=1.两式相减,得y 1-y 2x 1-x 2·y 1+y 2x 1+x 2=-b 2a 2,∵k AB =y 1-y 2x 1-x 2=k FP =-b c ,∴bc =2b2a 2,∴a 2=2bc.∴a 4=4(a 2-c 2)c 2,∴c 2a 2=12,∴c a=√22.故选A..中点弦斜率公式适用于有关椭圆的弦的中点问题.2.利用中点弦的斜率公式求离心率,就是根据中点弦斜率与椭圆方程中的a ,b ,c 之间的关系,利用椭圆的有关性质构造齐次方程,抽象转化为解关于a ,b ,c 的方程.应用二 求中点弦所在直线方程【例2】过椭圆x 216+y 24=1内一点M (2,1)画一条弦,使弦被点M 平分,则这条弦所在的直线A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (2,1)为AB 的中点,所以x 1+x 2=4,y 1+y 2=2,又A ,B 两点在椭圆上,则x 12+4y 12=16,x 22+4y 22=16,两式相减,得(x 12−x 22)+4(y 12−y 22)=0,所以y 1-y 2x 1-x 2=-x 1+x 24(y 1+y 2)=-12,即k AB =-12.故所求直线方程为x+2y-4=0. (方法2)设所求直线方程为y-1=k (x-2),代入椭圆方程并整理得,(4k 2+1)x 2-8(2k 2-k )x+4(2k-1)2-16=0.又设直线与椭圆的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1,x 2是方程的两个根,于是 x 1+x 2=8(2k 2-k )4k 2+1,又M 为AB的中点,所以x 1+x22=4(2k 2-k )4k 2+1=2,解得k=-12,故所求直线方程为x+2y-4=0.(方法3)设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ,y ),由于弦的中点为M (2,1),则另一个交点为B (4-x ,2-y ),因为A ,B 两点在椭圆上,所以{x 2+4y 2=16,(4-x )2+4(2-y )2=16,两式相减得x+2y-4=0,由于过A ,B 的直线只有一条,故所求直线方程为x+2y-4=0.,一般先利用椭圆中点弦斜率公式求得中点弦的斜率,再根据点斜式求得中点弦所在的直线方程.应用三 求曲线轨迹方程【例3】过椭圆x 2+y 2=1上一点P (-8,0)作直线交椭圆于Q 点,则PQ 中点的轨迹方程为 .+y 29=1(x ≠-8)方法1)设弦PQ 中点为M (x ,y ),弦端点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则有{9x 12+16y 12=576,9x 22+16y 22=576,两式相减得9(x 12−x 22)+16(y 12−y 22)=0,又因为x 1+x 2=2x ,y 1+y 2=2y ,所以9×2x (x 1-x 2)+16×2y (y 1-y 2)=0,所以y 1-y 2x 1-x 2=-9x 16y ,而k PQ =y -0x -(-8),故-9x16y=yx+8.化简可得9x 2+72x+16y 2=0(x ≠-8).所以PQ 中点M的轨迹方程为(x+4)216+y 29=1(x ≠-8).(方法2)设弦中点M (x ,y ),Q (x 1,y 1),由x=x 1-82,y=y12可得x 1=2x+8,y 1=2y ,又因为Q 在椭圆上,所以x 1264+y 1236=1,即4(x+4)264+4y 236=1,所以PQ 中点M的轨迹方程为(x+4)216+y 29=1(x ≠-8).,一般利用椭圆中点弦斜率公式求得弦的斜率,再根据已知点与弦中点连线的斜率与已知直线的斜率相等求得轨迹方程,注意弦中点对方程的限制.应用四 求参数的范围【例4】已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),A ,B是椭圆上的两点,线段AB 的垂直平分线l 与x轴交于点P (x 0,0),求证:-a 2-b2a<x 0<a 2-b 2a.AB 的中点为M (x 1,y 1),由题设可知AB 与x 轴不垂直,∴y 1≠0.由椭圆的中点弦斜率公式,得k AB =-b 2a 2·x 1y 1,∴k l =a 2y 1b 2x 1.∴直线l 的方程为y-y 1=a 2y 1b 2x 1(x-x 1).把(x 0,0)代入得x 1=a 2a 2-b2x 0.∵|x 1|<a ,∴-a<a 2a 2-b2x 0<a ,即-a 2-b2a<x 0<a 2-b 2a.,写出弦所在直线的方程,并用弦中点的横坐标的范围抽象出不等式来求解参数范围.技巧一 巧用平面几何性质【例1】已知椭圆C :x 24+y 23=1的右焦点为F ,P 为椭圆C 上一动点,定点A (2,4),则|PA|-|PF|的最小值为 . 解析设椭圆C 的左焦点为F',则|PF|+|PF'|=4,所以|PF|=4-|PF'|,所以|PA|-|PF|=|PA|+|PF'|-4.如图,易知当点P 在线段AF'上时,|PA|+|PF'|取最小值|AF'|=√(2+1)2+(4-0)2=5.所以|PA|-|PF|的最小值为1.解题心得解决此类问题要熟练掌握平面几何的性质,利用数形结合,找到解题的关键.技巧二 设而不求,整体代换【例2】已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交椭圆E 于A ,B两点.若AB 的中点坐标为M (1,-1),则椭圆E 的标准方程为( )A.x 245+y 236=1B.x 236+y 227=1 C.x 227+y 218=1 D.x 218+y 29=1A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=2,y 1+y 2=-2,x 12a 2+y 12b 2=1,x 22a 2+y 22b2=1,两式相减得(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1-y 2)b2=0, 所以k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2)=b2a 2. 又k AB =0+13-1=12,所以b 2a 2=12.又a 2-b 2=c 2=9,所以b 2=9,a 2=18. 所以椭圆E 的标准方程为x 218+y 29=1.解题心得本题设出A ,B 两点的坐标,却不求出A ,B 两点的坐标,巧妙地表达出直线AB 的斜率,通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系,从而快速解决问题.技巧三 巧用“根与系数的关系”,化繁为简【例3】已知椭圆x 24+y 2=1的左顶点为A ,过点A 作两条互相垂直的弦AM ,AN 交椭圆于M ,N 两点.(1)当直线AM 的斜率为1时,求点M 的坐标;(2)当直线AM 的斜率变化时,直线MN 是否过x 轴上的一个定点?若过定点,请给出证明,并求出该定点;若不过定点,请说明理由.当直线AM 的斜率为1时,直线AM 的方程为y=x+2,代入椭圆方程并化简得5x 2+16x+12=0,解得x 1=-2,x 2=-65.所以点M (-65,45).(2)由题意可知直线AM ,AN 的斜率存在,且不为0.设直线AM 的斜率为k (k ≠0),直线AM 的方程为y=k (x+2),直线AN 的方程为y=-1k (x+2).由{y =k (x +2),x 24+y 2=1,化简得(1+4k 2)x 2+16k 2x+16k 2-4=0, 则x A +x M =-16k21+4k2.又x A =-2, 所以x M =-x A -16k21+4k2=2-16k21+4k2=2-8k21+4k2.同理,可得x N =2k 2-8k 2+4.当x M =x N 时,2-8k21+4k2=2k 2-8k 2+4,解得k=±1.此时直线MN 的方程为x=-65,直线MN 过x 轴上的点(-65,0). 当x M ≠x N 时,k ≠±1,因为点M (2-8k21+4k 2,4k1+4k 2),N2k 2-8k 2+4,-4kk 2+4,所以k MN =4k1+4k 2+4k k 2+42-8k 21+4k 2-2k 2-8k 2+4=5k4-4k2,所以直线MN 的方程为y-4k1+4k2=5k4-4k2x-2-8k21+4k2.令y=0,得x=-65.所以直线MN 过x 轴上的点(-65,0). 综上所述,直线MN 过x 轴上的定点(-65,0).解题心得在圆锥曲线问题中,常设出直线与圆锥曲线的两个交点坐标,联立直线方程与圆锥曲线方程,消元得到一元二次方程,利用根与系数的关系,得到两个交点横坐标或纵坐标的关系.这是解决圆锥曲线问题的常用方法.通过设而不求,大大降低了运算量,体现了整体思想.技巧四 巧妙“换元”减少运算量【例4】如图,已知椭圆C 的离心率为√32,A ,B ,F 分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点,且S △ABF =1-√32.(1)求椭圆C 的方程;(2)已知直线l :y=kx+m 与圆O :x 2+y 2=1相切,若直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点,求△OMN 面积的最大值.由已知得椭圆C 的焦点在x 轴上,设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),则点A (a ,0),B (0,b ),F (c ,0),c=√a 2-b 2.由已知得e 2=c 2a 2=a 2-b 2a 2=34,所以a 2=4b 2,即a=2b ,则c=√3b.又S △ABF =12|AF||OB|=12(a-c )b=1-√32,所以12(2b-√3b )b=1-√32,解得b=1.所以a=2,c=√3.所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)圆O 的圆心坐标为(0,0),半径r=1,由直线l :y=kx+m 与圆O :x 2+y 2=1相切,得|m |√1+k=1,故m 2=1+k 2.由{x 24+y 2=1,y =kx +m消去y ,得(1+4k 2)x 2+8kmx+4(m 2-1)=0.由题意可知k ≠0,所以Δ=16(4k 2-m 2+1)=48k 2>0. 设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=-8km4k 2+1,x 1x 2=4m 2-44k 2+1,所以|x 1-x 2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√(-8km 4k 2+1)2-4×4m 2-44k 2+1=√16(4k 2-m 2+1)(4k 2+1)2=√48k 2(4k 2+1)2,所以|x 1-x 2|=4√3|k |4k 2+1.所以|MN|=√1+k 2|x1-x 2|=√1+k 2·4√3|k |4k 2+1=4√3k 2(k 2+1)4k 2+1.所以△OMN 的面积S=12|MN|×1=2√3k 2(k 2+1)4k 2+1. 令t=4k 2+1,则t>1,k 2=t -14,所以S=2√3×t -14(t -14+1)t 2=√32√(t -1)(t+3)t 2=√32√t 2+2t -3t2=√32√-3t 2+2t +1=32√-(1t -13)2+49.当t=3,即4k 2+1=3,即k=±√22时,S 取得最大值,最大值为32×√49=1.解题心得圆锥曲线中的最值问题往往转化为函数的最值问题,可先根据已知条件建立目标函数,再求出函数的最值.在求函数的最值时,有时会利用换元,起到消除根号、降次等目的.。

第5讲椭圆最新考纲 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知识梳理1.椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质－a≤x≤a－b≤x≤b诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( ) (2)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆.( ) (3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.( )(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆.( ) (5)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相同.( )解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F 1F 2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F 1F 2|时，其轨迹为线段F 1F 2，常数小于|F 1F 2|时，不存在这样的图形. (2)因为e ＝ca ＝a 2－b 2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以e 越大，则b a 越小，椭圆就越扁. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2.(2015·广东卷)已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝( ) A.2B.3C.4D.9解析 依题意有25－m 2＝16，∵m >0，∴m ＝3.选B. 答案 B3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点.若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 24＝1 解析 由椭圆的定义可知△AF 1B 的周长为4a ，所以4a ＝43，故a ＝3，又由e ＝c a ＝33，得c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，则C 的方程为x 23＋y 22＝1，故选A.答案 A4.(2016·全国Ⅰ卷)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( ) A.13B.12C.23D.34解析 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c ，0)，则直线l的方程为x c ＋y b ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e＝12，故选B.答案 B5.(选修2－2P49A6改编)已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________.解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1，0)，F 2(1，0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x ＞0，所以x ＝152， ∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1考点一 椭圆的定义及其应用『例1』 (1)如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是( ) A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆(2)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝33，则b ＝________.解析(1)连接QA.由已知得|QA|＝|QP|.所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A 为焦点，r为长轴长的椭圆.故选A.(2)由题意得|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝|F1F2|2，所以(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，所以|PF1||PF2|＝43b2，所以S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin 60°＝12×43b2×32＝33b2＝33，所以b＝3.答案(1)A(2)3规律方法(1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等.(2)椭圆的定义式必须满足2a＞|F1F2|.『训练1』(1)已知椭圆x24＋y22＝1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是()A. 2B.2C.2 2D.3(2)(2017·保定一模)与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________.解析 (1)由椭圆的方程可知a ＝2，c ＝2，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以|PF 1|＝3，|PF 2|＝1.又|F 1F 2|＝2c ＝22，所以有|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，即△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 为直角，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||PF 2|＝12×22×1＝ 2. (2)设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )， 则有|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝9－r . 所以|PC 1|＋|PC 2|＝10＞|C 1C 2|，即P 在以C 1(－3，0)，C 2(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆上， 得点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1. 答案 (1)A (2)x 225＋y 216＝1考点二 椭圆的标准方程『例2』 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________.(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆标准方程为________.解析 (1)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n ).由⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110.∴椭圆方程为y 210＋x 26＝1.(2)法一 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c ＝4. 由椭圆的定义知，2a ＝（3－0）2＋（－5＋4）2＋（3－0）2＋（－5－4）2，解得a ＝2 5. 由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.法二 设所求椭圆方程为y 225－k ＋x 29－k ＝1(k <9)，将点(3，－5)的坐标代入可得（－5）225－k ＋（3）29－k ＝1，解得k ＝5(k ＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.答案 (1)y 210＋x 26＝1 (2)y 220＋x 24＝1规律方法 求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a ，b 的方程组，如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，求出m ，n 的值即可. 『训练2』 (1)(2017·湖南省东部六校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 28＋y 26＝1 C.x 22＋y 2＝1D.x 24＋y 2＝1(2)已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为________.解析 (1)依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1，故选A. (2)依题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).过点F 2(1，0)且垂直于x 轴的直线被曲线C 截得弦长|AB |＝3， ∴点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32必在椭圆上，∴1a 2＋94b 2＝1.①又由c ＝1，得1＋b 2＝a 2.② 由①②联立，得b 2＝3，a 2＝4. 故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.答案 (1)A (2)x 24＋y 23＝1考点三 椭圆的几何性质『例3』 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A.13B.12C.23D.34(2)(2015·福建卷)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤0，32B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 解析 (1)设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ， 则D ⎝⎛⎭⎪⎫0，am 2（a －c ），又B ，D ，M 三点共线，所以m 2（a －c ）＝m a ＋c，所以a ＝3c ，所以e ＝13.(2)设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形.∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b <2. 离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32. 答案 (1)A (2)A规律方法 (1)求椭圆离心率的方法①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解.②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解.(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系.『训练3』 (1)(2017·德阳模拟)已知椭圆：x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________.(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞c ＞0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT |的最小值不小于32(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围是________.解析 (1)由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b 2a ＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3. (2)因为|PT |＝|PF 2|2－（b －c ）2(b ＞c )，而|PF 2|的最小值为a －c ，所以|PT |的最小值为（a －c ）2－（b －c ）2.依题意，有（a －c ）2－（b －c ）2≥32(a －c )，所以(a －c )2≥4(b －c )2，所以a －c ≥2(b－c )，所以a ＋c ≥2b ，所以(a ＋c )2≥4(a 2－c 2)，所以5c 2＋2ac －3a 2≥0，所以5e 2＋2e －3≥0.①又b ＞c ，所以b 2＞c 2，所以a 2－c 2＞c 2，所以2e 2＜1.② 联立①②，得35≤e ＜22.答案 (1)3 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫35，22 考点四 直线与椭圆的位置关系『例4』 (2016·全国Ⅰ卷)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. (1)证明 因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |， 故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4， 所以|EA |＋|EB |＝4.由题设得A (－1，0)，B (1，0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：x 24＋y 23＝1(y ≠0).(2)解 当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）4k 2＋3.过点B (1，0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1， 所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积 S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12，83). 当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，故四边形MPNQ 的面积为12.综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为『12，83).规律方法 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. (2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2](k 为直线斜率). 提醒 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.『训练4』 (2017·沈阳质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，e ＝12，其中F 是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，线段AB 的中点横坐标为14，且AF →＝λFB →(其中λ>1). (1)求椭圆C 的标准方程；(2)求实数λ的值.解 (1)由条件可知，c ＝1，a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)由AF →＝λFB →，可知A ，B ，F 三点共线，设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2). 若直线AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝1，不符合题意.当AB 所在直线l 的斜率k 存在时，设方程为y ＝k (x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1消去y 得 (3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.①由①的判别式Δ＝64k 4－4(4k 2＋3)(4k 2－12)＝144(k 2＋1)>0.∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3＝12，∴k 2＝14. 将k 2＝14代入方程①，得4x 2－2x －11＝0，解得x ＝1±354.又AF →＝(1－x 1，－y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，AF →＝λFB →， λ＝1－x 1x 2－1，又λ＞1，∴λ＝3＋52.『思想方法』1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n ＞0且m≠n)『易错防范』1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小.2.在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系.。

【例1】 设()P x y ，是椭圆2244x y +=上的一个动点，定点(10)M ，，则2||PM 的最大值是（ ）A ．23Ｂ．1 C ．3 D ．9【例2】 点M 是椭圆2212516x y +=上一点，它到其中一个焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 表示原点，则||ON =（ ）A ．32B ．2C ．4D ．8【例3】 已知P 为椭圆221259x y +=上动点，F 为椭圆的右焦点，点A 的坐标为(31)，，则||||PF PA +的最小值为（ ）A ．102+B ．102-C ．1052+D ．1052-【例4】 已知椭圆方程为221499x y +=中，12F F ，分别为它的两个焦点，则下列说法正确的有（ ）①焦点在x 轴上，其坐标为(70)±，；②若椭圆上有一点P 到1F 的距离为10，则P 到2F 的距离为4； ③焦点在y 轴上，其坐标为(0210)±，； ④49a =，9b =，40c =．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【例5】 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是（ ） A ．4a B ．()2a c -C ．()2a c +D ．以上答案均有可能【例6】 设椭圆222211x y m m +=-(1)m >上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 到椭圆的中心的距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5典例分析板块三.椭圆的几何性质【例7】 P 为椭圆2212516x y +=上一点，,M N 分别是圆()2234x y ++=和()2231x y -+=上的点，则PM PN +的取值范围是（ ）A ． []7,13B ．[]10,15C ． []10,13D ． []7,15【例8】 过原点O 作两条相互垂直的直线分别与椭圆P ：2212x y +=交于A 、C 与B 、D ，则四边形ABCD 面积的最小值为（ ）A ．83B ．2C ．2D ．43【例9】 椭圆2212516x y +=的焦点为1F ，2F ，过2F 垂直于x 轴的直线交椭圆于一点P ，那么1PF 的值是_________．【例10】 求过椭圆22142x y +=的一个焦点1F 的弦AB 与另一个焦点2F 围成的三角形2ABF ∆的周长是 ．【例11】 已知1F 、2F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若2212F A F B +=，则AB =________．【例12】 设椭圆2212516x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1()2OM OP OF =+，则OM = ．【例13】 已知P 是椭圆2244x y +=上一点，则P 到点(10)M ，的最大值为 ____．【例14】 已知(32)A ，，(40)F -，，P 是椭圆221259x y +=上一点，则PA PF +的最大值为________．【例15】 如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567P P P P P P P ，，，，，，七个点，F 是椭圆的左焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= ． P 7P 6P 5P 4P 3P 2P 1xB AF【例16】 设F 是椭圆22176x y +=的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点(12321)i P i =，，，，，使12321FP FP FP FP ，，，，，组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为 ．【例17】 椭圆221925x y +=上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，则当m 取最大值时，点P 的坐标是___________．【例18】 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>F A ，分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个端点，则ABF ∠等于________．【例19】 椭圆22192x y +=的焦点为12F F ，，点P 在椭圆上．若14PF =，则2PF = ；12F PF ∠的大小为 ．【例20】 椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是_______．【例21】 椭圆223721x y +=上有一点P 到两个焦点的连线互相垂直，则P 点的坐标是．【例22】 设M 是椭圆22143x y +=上的动点，1A 和2A 分别是椭圆的左、右顶点，则12MA MA ⋅的最小值等于 ．【例23】 点P 为椭圆22154x y +=在第一象限内的一点，以点P 以及焦点1F ，2F 为顶点的三角形的面积为1，则点P 的坐标是______．【例24】 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，1260F PF ∠=°，椭圆的短半轴长为b 12PF F △的面积为______．【例25】 已知1F 、2F 是椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥．若12PF F ∆的面积为9，则b = ．【例26】 设12F F ，为椭圆22143x y +=左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P Q ，两点，当四边形12PFQF 面积最大时，12PFPF ⋅的值等于______．【例28】 设AB 是过椭圆22221(1)x y a b a b+=>>中心的弦，椭圆的左焦点为1(0)F c -，，则1F AB ∆的面积的最大值为_________．【例29】 解10．【例30】 在椭圆221259x y +=上求一点，使它到两焦点的距离之积为16．【例31】 设P 为椭圆2221x y a+=(1)a >短轴上的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求PQ的最大值．【例32】 设12F F ，为椭圆22194x y +=的两个焦点，P 在椭圆上，已知12P F F ，，是一个直角三角形的三个顶点，且12||||PF PF >，求12||||PF PF 的值．【例33】 已知A 、分别是椭圆22221x y a b +=的左右两个焦点，O为坐标原点，点1,2P ⎛- ⎝⎭在椭圆上，线段PB 与y 轴的交点M 为线段PB 的中点． ⑴求椭圆的标准方程；⑵点C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于ABC ∆，求sin sin sin A BC+的值．【例34】 如图，点A 、B 分别是椭圆2213620x y +=长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA PF ⊥． ⑴求点P 的坐标；⑵设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求点M 的坐标．⑶求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．【例35】 已知点P 在圆C ：22(4)1x y +-=上移动，Q 点在椭圆2214x y +=上移动，求PQ的最大值．【例36】 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 和2F，离心率e =，点2F 到直线l ：2a x c=c 为椭圆的半焦距，⑴求a b 、的值；⑵设M 、N 是l 上的两个动点，满足120F M F N ⋅=，证明：当MN 取最小值时，21220F F F M F N ++=．。

直线与椭圆的综合应用直线0=++C By Ax 与椭圆12222=+by a x 联立得：0)(2)(2222222222=-+++B b C a ACx a x B b A a 所以我们有，结论一：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+22222222212222221)(2B b A a B b C a x x B b A a AC a x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+22222222212222221)(2B b A a A a C b y y B b A a BC b y y 22222212212B b A a AB b a y x y x +=+ 结论二：22222222222))((2||B b A a C B b A a B A ab AB +-++= 结论三：0022222>-+⇒>∆C B b A a焦距为2.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)已知直线x-y+m=0与椭圆C 交于不同两点A,B,且线段AB 的中点M 不在圆椭圆的右顶点C,证明这样的直线l 恒过定点,并求出该点坐标.8.已知椭圆C 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,F 1、F 2分别为其左、右焦点,P 在椭圆上任意一点,且P F P F 21⋅的最大值为1,最小值为-2.(1)求椭圆C 的方程;(2)设A 为椭圆C 的右顶点,直线l 是与椭圆交于M 、N 两点的任意一条直线,若AN AM ⊥,证明直线l 过定点.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)若直线l:y=kx+m 与椭圆C 相交于A,B 两点(A,B 不是左右顶点),椭圆的右顶点为D,且满足0=⋅DB DA ,试判断直线l 是否过定点,若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.课后习题1.已知椭圆的焦点在x 轴上，短轴长为4，离心率为5. （1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 过该椭圆的左焦点，交椭圆于M 、N 两点，且MN =l 的方程.2.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B 两点,O 为坐标原点,求△OAB 的面积.3.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为√22,直线y=k(x-1)与椭圆C 交于不同的两点M,N.(1)求椭圆C 的方程. (2)当△AMN 的面积为√103时,求k 的值.4.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点P(2,1),且离心率e=√32. (1)求椭圆C 的方程. (2)直线l 的斜率为12,直线l 与椭圆C 交于A,B 两点.求△PAB 面积的最大值.6．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点为F 1(0，－22)，F 2(0,22)，且离心率e ＝223. (1)求椭圆的方程；(2)直线l (与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点A 、B ，且线段AB 中点的横坐标为－12，求直线l 斜率的取值范围．7.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√22,其中左焦点为F(-2,0).(1)求椭圆C 的方程.(2)若直线y=x+m 与椭圆C 交于不同的两点A,B,且线段AB 的中点M 在圆x 2+y 2=1上,求m 的值.8.设椭圆C ：+=1(a>b>0)过点(0，4)，离心率为. (1)求C 的方程. (2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C 所截线段的中点坐标.9.已知点P 坐标为（4，2），椭圆方程为193622=+y x ，问：是否存在过点P 的直线，使得直线与椭圆相交的交点的中点恰为P 点？10.设椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过M(2,√2),N(√6,1)两点,O 为坐标原点.(1)求椭圆E 的方程.(2)若直线y=kx+4(k>0)与圆x 2+y 2=83相切,并且与椭圆E 相交于A,B 两点,求证:OA →⊥OB →.x 2y 2√3截得的线段长为4√33. (1)求椭圆的方程.(2)设A,B 分别为椭圆的左、右顶点,过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C,D 两点.若AC →·DB →+AD →·CB →=8,求k 的值.。