《利用“边角边”判定三角形全等》同步练习题

教学内容全等三角形的判定教学目标掌握全等三角形的判定方法重点全等三角形的判定探索三角形全等的条件（5种）1边角边（重点）两边及其夹角分别分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边角边”或“SAS”.注：必须是两边及其夹角，不能是两边和其中一边的对角.原因：如图：在A ABC和A ABD中，/ A= / A,AB=AB,BC=BD,显然这两个三角形不全等.A例 1 如图，AC=AD, / CAB= / DAB,求证：A ACB义A ADB.AD例 2 如图，在四边形 ABCD 中，AD〃BC, / ABC= /DCB, AB=DC, AE=DF 求证:BF=CE.例3.(1)如图①，根据“SAS"，如果BD=CE, =,那么即可判定4BDC24CEB； (2)如图②，已知BC=EC, NBCE二ACD,要使4ABC2△口£&则应添加的一个条件为例4. 如图，已知AD=AE,N1=N2, BD=CE,则有4ABD2，理由是△ABE义，理由是.例5.如图，在4ABC和4DEF中，如果AB=DE, BC=EF,只要找出N=N 或〃，就可得到4ABC2△DEF.A D例6.如图，已知AB〃DE, AB=DE, BF=CE,求证：4ABC24口£艮例 7.如图，点B 在线段AD 上，BC〃DE, AB=ED, BC=DB. 求证：NA二NE 例8.如图，点E, F 在BC 上，BE=CF, AB=DC, NB=NC.求证: NA=ND.2.角边角两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）例1.如图，在4ABC中，点D是BC的中点，作射线AD,线段AD及其延长线上分别取点E, F，连接CE，BF.添加一个条件，使得4BDF24CDE,你添加的条件是:.（不添加辅助线）例2. 如图，已知人口平分/8人&且N ABD=N ACD,则由“AAS”可直接判定△^A.B例 3.如图，在 RtA ABC 中，N ACB=90°, BC=2cm, CD^AB,在AC 上取一点E,使EC二BC, 过点E作EF^AC交CD的延长线于点F,若EF=5cm,那么AE=cm.例4.如图，AD〃BC,N ABC的角平分线BP与/8人口的角平分线AP相交于点P,作PE L AB于点E.若PE=2,则两平行线AD与BC间的距离为.例 5.如图，已知EC=AC, ZBCE=ZDCA, NA=NE.求证：BC=DC.例6.如图，在4ABC中，D是BC边上的点（不与B, C重合），F, E分别是AD及其延长线上的点，CF〃BE.请你添加一个条件，使4BDE24CDF （不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明.（1）你添加的条件是：；（2）证明：例7.如图，A在DE上，F在AB上，且BC=DC,N1=N2=N3,则DE的长等于（）A. DCB. BCC. ABD. AE+AC【基础训练】1 .如图，已知 AB = DC,NABC=NDCB,则有4ABC2，理由是；且有2 .如图，已知AD=AE,N1 = N2, BD = CE,则有4ABD2，理由是；△ ABF /，理由是.3 .如图，在4ABC 和ABAD 中，因为 AB = BA,NABC=NBAD, =，根 据“SAS”可以得到4ABC2ABAD.4 .如图，要用“SAS”证4ABC2AADE,若AB=AD, AC=AE,则还需条件（ ）.5 .如图，OA=OB, OC = OD,NO=50°,N D = 35°,则NAEC 等于（ ）.A. 60°B. 50°C. 45°D. 30°A.NB = ND C.N1 = N2 BNC=NED.N3 = N4（第4皿（第56.如图，如果AE=CF, AD〃BC, AD = CB,那么^ADF和ACBE全等吗？请说明理由.律f题）7.如图，已知AD与BC相交于点O,NCAB = NDBA, AC = BD.求证: (1)NC=ND；(2)AAOC^ABOD.C第T题）8.如图，AACD和4BCE都是等腰直角三角形，NACD=NBCE=90°, AE交DC于F, BD分别交CE、AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由.（第8题）9.如图，在4ABC 中，AB=AC, AD 平分/BAC.求证：NDBC=NDCB.（第KJ题）10.如图，4ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE,使点E、A在直线DC的同侧，连接AE.求证：AE〃BC.（第门题）角角边两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，可以简写成“角角边”或“AAS”. 例1、如图，在4ABC中，N ABC=45°, H是高AD和高BE的交点，试说明BH=AC.例 2、如图，N ACB=90°, AC二BC, BE±CE, AD±CE 于 D, AD=2.5cm, DE=1.7cm. 求BE的长.例3、如图，在4ABC中,AC±BC, CE±AB于E, AF平分/CAB交CE于点F,过F作FD〃 BC交AB于点D.求证：AC=AD.例 3.如图，AD 平分/BAC, DEXAB 于 E, DFXAC 于 F,且 DB二DC,求证：EB=FC例4.如图，在4ABC中，D是BC的中点，DELAB, DFXAC,垂足分别是E, F, BE=CF. 求证：AD 是4ABC的角平分线.例5.如图，在4ABC中，AB二CB,N ABC=90°, D为AB延长线上的一点，点E在BC 边上，连接 AE, DE, DC, AE二CD.求证：NBAE二NBCD.例6.如图，D是BC上一点，DEL AB, DF±AC, E, F分别为垂足，且AE=AF.(1)AAED与4AFD全等吗？为什么？(2)AD平分/BAC吗？为什么？例 7.如图，已知 ACLBC, BDLAD, BC 与 AD 交于 O, AC=BD.试说明：ZOAB=ZOBA.例8.如图，NACB 和/ADB都是直角，BC二BD, E是AB上任意一点.求证：CE=DE.例 9.如图，已知RtAABC^RtAADE,ZABC=Z ADE=90°, BC 与 DE 相交于点 F, CD, EB.连接(1)图中还有几对全等三角形，请你一一列举；(2)求证：CF=EF.例10.如图，在四边形ABCD中，AC 平分/BAD,并且CB=CD.求/ABC+NADC的度数.例11. (1)如图①，A, E, F, C四点在一条直线上，AE二CF,过点E, F分别作DELAC, 8尸，八0连接BD交AC于点G,若AB二CD,试说明FG=EG.(2)若将4DCE沿AC方向移动变为如图②的图形，(1)中其他条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由.B BD D①. ②课后练习:1.如图，点C在线段AB的延长线上，AD = AE, BD = BE, CD = CE,则图中共有对全等三角形，它们是2.如图，若AB = CD, AC=BD,则可用“SSS”证 23.如图，已知 AB = DC, BE=CF,若要利用“SSS”得到4ABE2△DCF,还需增加的一个条件是.i第3题）（第-I题）4.如图所示是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若想固定其形状不变，需要加钉一根木条，可钉在（）.A. AE 上B. EF 上C. CF 上D. AC 上5.如图，已知E、C两点在线段BF上，BE=CF, AB=DE, AC=DF.求证：AABC2A DEF.& E C F（第三⑦6.如图，在4ABC和4DCB中，AC与BD相交于点O, AB=DC, AC=BD.(1)求证：4ABC 2ADCB；(2)AOBC的形状是.(直接写出结论，不需证明)＜第6题)7、如图，在口ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，AC 与EF相交于点O.(1)过点B作AC的平行线BG,延长EF交BG于点H；(2)在(1)的图中，找出一个与4BFH全等的三角形，并证明你的结论.8、如图，已知BD±AB, DC,AC,垂足分别为点B、C, CD=BD, AD 平分/BAC吗，为什么？9.如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DELAG于E, BF#DE,交 AG于F.那NAF与BF+EF相等吗？请说明理由.B G C10.如图，BD、CE分别是4ABC的边AC和边AB上的高，如果BD = CE,试证明AB = AC.11.如图，在RtAABC和RtABAD中，AB为斜边，AC=BD, BC、AD相交于点E (1)请说明AE=BE 的理由；(2)若N AEC=45°, AC = 1,求 CE 的长.12.如图，在4ABC中，D是BC的中点，DELAB, DFLAC,垂足分别是点E、F, BE= CF.(1)图中有几对全等的三角形？请一一列出；(2)选择一对你认为全等的三角形进行证明.4练习21.如图，已知NB = NDEF, AB=DE,要证明△ ABC2△DEF.（1）若以“ASA”为依据，还缺条件；（2）若以“AAS”为依据，还缺条件£（第1期】《第2题）2.如图，已知AD平分/BAC,且NABD=NACD,则由“AAS”可直接判定△2 △.3.如图，已知AB=AC,要根据“ASA”得到以BE2AACD,应增加一个条件是 _______________（第3 （第4（第54.如图，点P是/AOB的平分线OC上的一点，PD±OA, PE LOB,垂足分别为点D、E, 则图中有对全等三角形，它们分别是.5.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）.A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去6.如图，已知AC平分/8八口，/1 = /2, AB与AD相等吗？请说明理由.C£第67.如图，点B、E、F、C在同一直线上，已知NA=ND, 需要补充的一个条件是.（写出一个即可）NB = NC,要使4ABF 2ADCE,8.如图，在4ABC中，N ABC=45°, H是高AD和高BE的交点，试说明BH=AC.A9.如图，已知点A、D、B、E在同一条直线上，且AD=BE,NA=NFDE,则AABC2A DEF.请你判断上面这个判断是否正确，如果正确，请给出说明；如果不正确，请添加一个适当条件使它成为正确的判断，并加以说明.10.已知：如图，AB=AE,N1 = N2,NB = NE.求证：BC=ED.21。

1.5三角形全等的判定第1课时“边边边”知识点1.三角形全等的判定(SSS)1．如图1所示，如果AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，则下列结论正确的是(A)图1A．△ABC≌△A′B′C′B．△ABC≌△C′A′B′C．△ABC≌△B′C′A′D．这两个三角形不全等2．下列三角形中，与图2中△ABC全等的是__③__．3．如图3所示，AD＝BC，AC＝BD，用三角形全等的判定“SSS”可证明__△ADC__≌__△BCD__或__△ABD__≌__△BAC__．图3知识点2.三角形的稳定性4．[2018春·泉港区期末]如图4，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是(C)图4A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．三角形具有稳定性D．两直线平行，内错角相等知识点3.三角形全等的判定与性质的综合5．在△ABC和△A1B1C1中，AB＝A1B1，BC＝B1C1，AC＝A1C1，且∠A＝110°，∠B＝40°，则∠C1＝(C)A．110°B．40°C．30°D．20°6．如图5所示，在△ABC和△DBC中，已知AB＝DB，AC＝DC，则下列结论中错误的是(D)图5A．△ABC≌△DBCB．∠A＝∠DC．BC是∠ACD的平分线D．∠A＝∠BCD7．如图6，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，连结AC，求证：∠ACD ＝∠CAB.图6证明：在△ADC 与△CBA 中，⎩⎨⎧CD ＝AB ，AD ＝CB ，AC ＝CA ，∴△ADC ≌△CBA (SSS )，∴∠ACD ＝∠CAB .8．雨伞的截面如图7所示，伞骨AB ＝AC ，支撑杆OE ＝OF ，AE ＝13AB ，AF ＝13AC ，当O 沿AD 滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭的过程中，∠BAD 与∠CAD 有何关系？请说明理由．图7解：∠BAD ＝∠CAD .理由：∵AB ＝AC ，AE ＝13AB ，AF ＝13AC ，∴AE ＝AF .在△AOE 和AOF 中，⎩⎨⎧AO ＝AO ，AE ＝AF ，OE ＝OF ，∴△AOE ≌△AOF (SSS )，∴∠EAO ＝∠F AO ，即∠BAD ＝∠CAD . 知识点4.尺规作角平分线9．[2018春·历城区期末]如图8，作∠AOB 的角平分线的作图过程如下，作法：图8(1)在OA和OB上，分别截取OD，OE，使OD＝OE；(2)分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C；(3)作射线OC，OC就是∠AOB的平分线．用三角形全等判定法则解释其作图原理，最为恰当的是__SSS__．【易错点】证明两个三角形全等时，对于有公共部分的角或线段，错把不是对应的边或角当成三角形的对应边或对应角．10．如图9，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，∠2＝110°，∠BAE＝60°，下列结论错误的是(C)图9A．△ABE≌△ACDB．△ABD≌△ACEC．∠ACE＝30°D．∠1＝70°第2课时“边角边”与线段的垂直平分线的性质知识点1.三角形全等的判定(SAS)1．如图1中全等的三角形是(D)①②③④图1A．①和②B．②和③C．②和④D．①和③2．如图2所示，在△ABD和△ACE中，AB＝AC，AD＝AE，要证△ABD≌△ACE，需补充的条件是(C)A．∠B＝∠C B．∠D＝∠EC．∠DAE＝∠BAC D．∠CAD＝∠DAC图2 图33．如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，若连结AC，BD相交于点O，则图中全等三角形共有(C)A．1对B．2对C．3对D．4对4．已知：如图4，OA＝OB，OC平分∠AOB，求证：△AOC≌△BOC.图4证明：∵OC 平分∠AOB ， ∴∠AOC ＝∠BOC . 在△AOC 和△BOC 中，⎩⎨⎧OA ＝OB ，∠AOC ＝∠BOC ，OC ＝OC ，∴△AOC ≌△BOC (SAS )．知识点2.利用“SAS ”判定三角形全等证明线段或角相等5．如图5，在△ABC 和△ABD 中，AC 与BD 相交于点E ，AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA ，求证：AC ＝BD .图5证明：在△ADB 和△BCA 中，⎩⎨⎧AD ＝BC ，∠DAB ＝∠CBA ，AB ＝BA ，∴△ADB ≌△BCA (SAS )，∴AC ＝BD .6．如图6，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，点M ，N 分别在AB ，AC 边上，AM ＝2MB ，AN ＝2NC .求证：DM ＝DN .图6证明：∵AM ＝2MB ，∴AM ＝23AB ，同理，AN ＝23AC ， 又∵AB ＝AC ，∴AM ＝AN . ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠MAD ＝∠NAD .在△AMD 和△AND 中，⎩⎨⎧AM ＝AN ，∠MAD ＝∠NAD ，AD ＝AD ，∴△AMD ≌△AND ，∴DM ＝DN .知识点3.利用“SAS ”判定三角形全等来解决实际问题7．如图7所示，有一块三角形镜子，小明不小心将它打破成Ⅰ，Ⅱ两块，现需配成同样大小的一块．为了方便起见，需带上__Ⅰ__块，其理由是__两边及其夹角分别相等的两个三角形全等__．图7知识点4.线段的垂直平分线的性质8．[2017秋·浉河区期末]如图8，DE 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC ＝8，AB ＝10，则△EBC 的周长是( C ) A ．13B ．16C ．18D ．20【解析】 ∵DE 是△ABC 中AC 边的垂直平分线，∴EA ＝EC ，∴△EBC 的周长＝BC ＋BE ＋EC ＝BC ＋BE ＋EA ＝BC ＋BA ＝18.图8 图99．如图9，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC 于D，若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为(C)A．5 cm B．10 cmC．15 cm D．17.5 cm【解析】∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35 cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴BC＋AD＋CD＝35 cm，∵AC＝AD＋DC＝20 cm，∴BC＝35－20＝15 cm.【易错点】“SSA”不能判定两个三角形全等．10．下列条件能够判断△ABC与△A′B′C全等的是(D)A．∠A＝∠A′B．AB＝A′B′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′C．AB＝A′B′，AC＝A′C′D．AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′【解析】A．已知条件为一组对应角相等，不符合全等三角形的判定定理，无法证明两个三角形全等，故此选项错误；B．已知条件为边边角，不符合全等三角形的判定定理，无法证明两个三角形全等，故此选项错误；C．已知条件为两条边对应相等，不符合全等三角形的判定定理，无法证明两个三角形全等，故此选项错误；D．由边角边定理可证两个三角形全等，故此选项正确．第3课时“角边角”知识点三角形全等的判定(ASA)1．如图1，已知△ABC三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中和△ABC全等的图形是(B)图1A．甲B．乙C．甲和乙都是D．都不是2．如图2所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是__ASA__．图23．如图3，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC＝AD.图3证明：∵∠3＝∠4，∴∠ABC＝∠ABD.在△ABC和△ABD中，⎩⎨⎧∠1＝∠2，AB ＝AB ，∠ABC ＝∠ABD ，∴△ABC ≌△ABD (ASA )，∴AC ＝AD .4．[2018秋·延庆区期中]如图4，AB ＝AC ，点D ，E 分别在AB ，AC 上，CD ，BE 交于点F ，且∠B ＝∠C .求证：△ABE ≌△ACD .图4证明：在△ABE 与△ACD 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠A ，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，∴△ABE ≌△ACD (ASA )．5．[2018秋·金坛区期中]如图5，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ，∠1＝∠2.求证：△ABC ≌△ADE .图5证明：∵∠1＝∠2，∴∠DAC ＋∠1＝∠2＋∠DAC ， ∴∠BAC ＝∠DAE ，在△ABC 和△ADE 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠D ，AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，∴△ABC ≌△ADE (ASA )．【易错点】错用判定三角形全等的判定方法．6．已知：如图6，∠AOD ＝∠BOC ，∠A ＝∠C ，O 是AC 的中点．求证：△AOB ≌△COD .图6证明：∵∠AOD ＝∠BOC ，∴∠AOD ＋∠DOB ＝∠BOC ＋∠BOD ， 即∠AOB ＝∠COD ，∵O 是AC 的中点，∴AO ＝CO ，在△AOB 与△COD 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠C ，AO ＝CO ，∠AOB ＝∠COD ，∴△AOB ≌△COD .第4课时 “角角边”与角平分线的性质知识点1.三角形全等的判定(AAS )1．如图1，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠C ＝∠D .求证：△ABC ≌△AED .图1证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠EAC ＝∠2＋∠EAC ，即∠BAC ＝∠EAD . 又∵∠C ＝∠D ，AB ＝AE ，∴△ABC ≌△AED (AAS )．2．如图2，已知：在△AFD 和△CEB 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，AE ＝CF ，∠B ＝∠D ，AD ∥BC .求证：AD ＝BC .图2证明：∵AE ＝CF ，∴AF ＝CE . ∵AD ∥BC ，∴∠A ＝∠C . 在△AFD 和△CEB 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D ，AF ＝CE ，∴△AFD ≌△CEB (AAS )，∴AD ＝BC . 知识点2.三角形全等判定方法的选用3．如图3，已知∠ABC ＝∠BAD ，添加下列条件还不能判定△ABC ≌△BAD 的是( A )A ．AC ＝BDB ．∠CAB ＝∠DBAC ．∠C ＝∠DD ．BC ＝AD图3图44．如图4所示，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，D 为BC 边的中点，过点D 分别向AB ，AC 作垂线段，则能够说明△BDE ≌△CDF 的理由是( D ) A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS知识点3.角平分线的性质5．如图5，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于点D ，PD ＝6，则点P 到边OB 的距离为( A )图5A ．6B ．5C ．4D ．36．[2019·辽阳模拟]如图6，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC 于点E ，AB ＝7，DE ＝4，则S △ABD ＝( C ) A ．28 B ．21 C ．14D ．7图6第6题答图【解析】 如答图，作DH ⊥BA 于H .∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC ，DH ⊥AB ， ∴DH ＝DE ＝4，∴S △ABD ＝12×7×4＝14，故选C.7．如图7，已知BD 为∠ABC 的平分线，AB ＝BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，PN ⊥CD 于N ，求证：PM ＝PN .图7证明：∵BD 为∠ABC 的平分线， ∴∠ABD ＝∠CBD ， 在△ABD 和△CBD 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABD ＝∠CBD ，BD ＝BD ，∴△ABD ≌△CBD (SAS )，∴∠ADB ＝∠CDB ， ∵点P 在BD 上，且PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，∴PM ＝PN .【易错点】对于全等三角形开放性问题，常常不能正确选用判定方法． 8. 如图8，在△ABC 和△DEF 中，∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC ≌△DEF ，这个条件是( D )图8A ．∠A ＝∠DB ．BC ＝EF C ．∠ACB ＝∠FD ．AC ＝DF【解析】 ∵∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，∴添加∠A ＝∠D ，利用ASA 可得△ABC ≌△DEF ；∴添加BC＝EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；∴添加∠ACB＝∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；添加AC＝DF不能证明△ABC≌△DEF，故选D.。

2021年三角形全等的判定（2）边角边一．选择题（共2小题）1．如图，已知AB＝AE，AC＝AD，再需要哪两个角对应相等，就可以应用SAS判定△ABC≌△AED．（）A．∠A＝∠A B．∠C＝∠D C．∠B＝∠E D．∠BAC＝∠EAD 2．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．下列结论不正确的是（）A．∠BAD＝∠CAE B．△ABD≌△ACE C．AB＝BC D．BD＝CE二．解答题（共4小题）3．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，MB＝NC．求证：DM＝DN．4．如图所示，AD是△ABC的中线，在AD及其延长线上截取DE＝DF，连接CE、BF，试判断△BDF与△CDE全等吗？BF与CE有何位置关系？并说明原因．5．已知，如图△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：AM＜12(AB+AC)．6．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD、AG．（1）求证：AD＝AG；（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．2021年三角形全等的判定（2）边角边参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图，已知AB ＝AE ，AC ＝AD ，再需要哪两个角对应相等，就可以应用SAS 判定△ABC≌△AED ．（ ）A ．∠A ＝∠AB ．∠C ＝∠D C ．∠B ＝∠E D ．∠BAC ＝∠EAD【分析】观察图形，找着已知条件在图形上的位置，然后结合全等的判定方法可得．【解答】解：有AB ＝AE ，AC ＝AD ，必须加它们的夹角，所以是∠BAC ＝∠EAD ，D 是正确的；A 、B 、C 都不能应用SAS 判定△ABC ≌△AED ．故选：D ．【点评】若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，要结合图形做题，由位置定方法．2．如图，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ．下列结论不正确的是（ ）A ．∠BAD ＝∠CAEB ．△ABD ≌△ACEC ．AB ＝BCD ．BD ＝CE【分析】先证明△BAD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质，一一判断即可．【解答】证明：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，故A 正确，在△BAD 和△ACE 中，{BA =CA ∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△BAD ≌△CAE ，故B 正确，∴BD ＝EC ，故D 正确，∴C 错误，故选：C ．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题．二．解答题（共4小题）3．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，点M ，N 分别在AB ，AC 边上，MB ＝NC ．求证：DM ＝DN ．【分析】根据等式的性质得出AM ＝AN ，根据SAS 证明△AMD 和△AND 全等，利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：∵AB ＝AC ，MB ＝NC ，∴AB ﹣MB ＝AC ﹣NC ，即AM ＝AN ，又∵AD 平分∠BAC ，∴∠MAD ＝∠NAD ，在△AMD 和△AND 中，{AM =AN ∠MAD =∠NAD AD =AD，∴△AMD ≌△AND （SAS ），∴DM ＝DN ．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．4．如图所示，AD 是△ABC 的中线，在AD 及其延长线上截取DE ＝DF ，连接CE 、BF ，试判断△BDF 与△CDE 全等吗？BF 与CE 有何位置关系？并说明原因．【分析】结论：①△BDF ≌△CDE ②BF ∥CE ，①根据两边和夹角对应相等的两个三角形全等即可判断；②根据内错角相等两直线平行即可判断．【解答】解：结论：①△BDF ≌△CDE ②BF ∥CE ．理由：①∵AD 是△ABC 中线，∴BD ＝DC ，在△BDF 和△CDE 中，{BD =CD ∠BDF =∠EDC DF =DE，∴△BDF ≌△CDE ．②∴△BDF ≌△CDE ，∴∠F ＝∠CED ，∴BF ∥CE ．【点评】本题考查全等三角形的判断和性质、两直线平行的判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型．5．已知，如图△ABC 中，AM 是BC 边上的中线，求证：AM ＜12(AB +AC)．【分析】可延长AM到D，使MD＝AM，连CD，则△ABM≌△DCM得AB＝CD，进而在△ACD中利用三角形三边关系，证之．【解答】证明：延长AM到D，使MD＝AM，连CD，∵AM是BC边上的中线，∴BM＝CM，又AM＝DM，∠AMB＝∠CMD，∴△ABM≌△DCM，∴AB＝CD，在△ACD中，则AD＜AC+CD，即2AM＜AC+AB，AM＜12（AB+AC）．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，应熟练掌握．6．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD、AG．（1）求证：AD＝AG；（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．【分析】（1）由BE垂直于AC，CF垂直于AB，利用垂直的定义得∠HFB＝∠HEC，由得对顶角相等得∠BHF ＝∠CHE ，所以∠ABD ＝∠ACG ．再由AB ＝CG ，BD ＝AC ，利用SAS 可得出三角形ABD 与三角形ACG 全等，由全等三角形的对应边相等可得出AD ＝AG ，（2）利用全等得出∠ADB ＝∠GAC ，再利用三角形的外角和定理得到∠ADB ＝∠AED +∠DAE ，又∠GAC ＝∠GAD +∠DAE ，利用等量代换可得出∠AED ＝∠GAD ＝90°，即AG 与AD 垂直．【解答】（1）证明：∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，∴∠HFB ＝∠HEC ＝90°，又∵∠BHF ＝∠CHE ，∴∠ABD ＝∠ACG ，在△ABD 和△GCA 中{AB =CG ∠ABD =∠ACG BD =CA，∴△ABD ≌△GCA （SAS ），∴AD ＝GA （全等三角形的对应边相等）；（2）位置关系是AD ⊥GA ，理由：∵△ABD ≌△GCA ，∴∠ADB ＝∠GAC ，又∵∠ADB ＝∠AED +∠DAE ，∠GAC ＝∠GAD +∠DAE ，∴∠AED ＝∠GAD ＝90°，∴AD ⊥GA ．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．。

8年级数学人教版上册同步练习全等三角形三角形全等的判定（含答案解析）12.1全等三角形12.2三角形全等的判定专题一三角形全等的判定1．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB 的平分线DF交BC于点F．求证：△ABE≌△CDF．2．如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE. 请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF (不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．（1）你添加的条件是：__________；（2）证明：3．如图，△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，BD=BE，要使△ADB≌△CEB，还需添加一个条件．（1）给出下列四个条件：①AD=CE；②AE=CD；③∠BAC=∠BCA；④∠ADB=∠CEB；请你从中选出一个能使△ADB≌△CEB的条件，并给出证明；（2）在（1）中所给出的条件中，能使△ADB≌△CEB的还有哪些？直接在题后横线上写出满足题意的条件序号．__________________．专题二全等三角形的判定与性质4．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）A6B．4 C．23D．55．【2013·襄阳】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N.求证：AM＝AN.NMEDB CA6．【2012·泸州】如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E﹨A在直线DC的同侧，连接AE．求证：AE∥BC．专题三全等三角形在实际生活中的应用7．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（）A．60°B．90°C．120°D．150°8．有一座小山，现要在小山A﹨B的两端开一条隧道，施工队要知道A﹨B两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A﹨B两端的距离，你能说说其中的道理吗？9．已知如图，要测量水池的宽AB，可过点A作直线AC⊥AB，再由点C观测，在BA延长线上找一点B′，使∠ACB′=∠ACB，这时只要量出AB′的长，就知道AB的长，对吗？为什么？状元笔记【知识要点】1．全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．3．三角形全等的判定方法(1)三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)．(2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)．(3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)．(4)两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)．4．直角三角形全等的判定方法斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边﹨直角边”或“HL”)．【温馨提示】1．两个三角形全等的条件中必须有一条边分别相等，只有角分别相等不能证明两个三角形全等．2．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．3．“HL”定理指的是斜边和一条直角边分别相等，而不是斜边和直角分别相等．【方法技巧】1．应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角，其规律主要有以下几点：（1）以对应顶点为顶点的角是对应角；（2）对应顶点所对应的边是对应边；（3）公共边（角）是对应边（角）；（4）对顶角是对应角；（5）最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）．全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定，如若△ABC≌△DEF，说明A与D，B与E，C与F是对应点，则∠ABC与∠DEF是对应角，边AC与边DF 是对应边．2．判定两个三角形全等的解题思路：SAS SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩找夹角——已知两边找另一边——边为角的对边——找任一角——找夹角的另一边——已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角——找边的对角——找夹边——已知两角找任一边——参考答案:1．证明：平行四边形ABCD 中，AB=CD ，∠A=∠C ，AB ∥CD ， ∴∠ABD=∠CDB ．∵∠ABE=21∠ABD ，∠CDF=21∠CDB ，∴∠ABE=∠CDF ．在△ABE 与△CDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CDF ABE CDAB C A ∴△ABE ≌△CDF ． 2．解：（1）DC BD =(或点D 是线段BC 的中点)，ED FD =，BE CF =中任选一个即可﹒ （2）以DC BD =为例进行证明： ∵CF ∥BE ，∴∠FCD ﹦∠EBD ．又∵DC BD =，∠FDC =∠EDB ， ∴△BDE ≌△CDF ． 3．解：（1）添加条件②，③，④中任一个即可，以添加②为例说明． 证明：∵AE=CD ，BE=BD ， ∴AB=CB ．又∠ABD=∠CBE ，BE=BD ， ∴△ADB ≌△CEB ． （2）③④．4．B 解析：∵∠ABC =45°，AD ⊥BC ，∴AD =BD ，∠ADC =∠BDH ， ∠AHE =∠BHD =∠C ．∴△ADC ≌△BDH ．∴BH =AC =4．故选B ． 5．证明：如图所示，M∵△AEB由△ADC旋转而得，∴△AEB≌△ADC.∴∠3＝∠1，∠6＝∠C．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠2＝∠1，∠7＝∠C.∴∠3＝∠2，∠6＝∠7．∵∠4＝∠5，∴∠ABM＝∠ABN．又∵AB＝AB，∴△AMB≌△ANB．∴AM＝AN．6．证明：∵△ABC和△EDC是等边三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°．∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE．在△DBC和△EAC中，BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC，∴△DBC≌△EAC（SAS）．∴∠DBC＝∠EAC．又∵∠DBC＝∠ACB＝60°，∴∠ACB＝∠EAC．∴AE∥BC．7．B 解析：∵滑梯﹨墙﹨地面正好构成直角三角形，又∵BC=EF，AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF．∴∠ABC=∠DEF，∵∠DEF+∠DFE=90°，∴∠ABC+∠DFE=90°．故选B．8．解：在△ABC和△CED中，AC=CD，∠ACB=∠ECD，EC=BC，∴△ABC≌△CED．∴AB=ED．即量出DE的长，就是A﹨B两端的距离．9．解：对．理由：∵AC ⊥AB,∴∠CAB=∠CAB′=90°. 在△ABC 和△AB′C 中，ACB ACB AC AC CAB CAB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠′，，∠∠′， ∴△ABC ≌△AB′C （ASA ）． ∴AB′=AB ．。

3.4《三角形全等的判定定理》同步练习AB = AC , EB = EC ,则由“ SSS”可以判定(A.C. ABDE^ACDEB.△ ABE 竺△ACED.以上答案都不对答案：F , ABEDC = AB , AE = CF f找出图中的一对全等三角形，并说明你的理由.答案：答案不惟一.如厶ADC竺△CB4・理由：根擔“SSS”li卩妙=CB , DC = BA f AC = CA.第4题.如图，AABC是等边三角形，若在它边上的一点与这边所对角的顶点的连线恰好将AABC分成两个全等三角形，则这样的点共有（）A . 1个B. 3个C. 6个D. 9个答案：B第2题.如图，ZBC中,ZCAF = Z __________ .AB = AC f AE = CF t BE = AF f则ZE = Z第1题.如图，心眈中,第3题.如图，AD = BC,B C答案：B第5题.如图，己知ZA = ZD, AB = CD.求证：△ABO今△DCO.答案：在△ABO和△DCO中ZA = ZD（己知）< ZAOB = ZDOC（对顶角相等）AB = DC｛已知）••.△ABO ^ADCO(AAS).第6 题.如图，点D E 分别在AB, AC上，RAD = AE f ZBDC = ZCEB . 求证：BD = CE ・答案：ZADC + ZBDC = 180 , ZBEC + ZAEB = 180 ,又ZBDC = ZCEB .・.ZADC = ZAEB乙4 =厶4（公共角）在厶ADC和中彳AD = AE（已知）ZADC = ZAEB（己证）.-.AA£>C AAEB(ASA) z. AB = ACAB-AD = AC-AE f即3D = CE.第7题.已知AE交BC ,垂足为D, Zl = Z2 = Z3, AB = AD. 求证：(1) ZADC = ZABE；(2) DC = BE •r答案：(1) ZADC = Z4 + Z2, ZABE = Z4 + Z3X Z2 = Z3 /• ZADC = ZABE(2)在△/IOC 和中ZADC = ZABE (已证)，AD = AB (己知)，Zl = Z2 (已知)•••△ADC ^AABE(ASA)/. DC = BE.第8题•如图，已知'ABC为等边三角形，QR丄AB,垂足为/?, P0丄AC,垂足为Q,RP 丄BC,垂足为P,且AR = BP = CQ.求证：△RP0为等边三角形.P答案：AABC是等边三角形• /.ZA = ZB = ZC = 60 ,又QR 丄AB, PQ 丄AC, RP ± BC :. ZARQ = ZBPR = ZCQP = 90 又AR = BP = CQ,根据ASA 证厶AQR 竺HBRP 竺HCPQ得PQ = PR = QP . ARPQ为等边三角形.第9 题.如图，已知点A, C 在EF 上，AD = BC, AD// BC , DE// BF . 求证：DE = BF .答案：由AD// BC 得= 根据等角的补角相等得ZEAD = ZFCB,又由 DE// BF 得 ZE = ZF,又 AD = BC,根据 AAS 证厶 ADE^^CBF 得 DE = BF ・第1()题.如图，在厶ABC 和厶DEF 中, △ABC 竺ADEF ,还需的条件是(A.ZA = ZD B.ZB = ZE C.ZC = ZF D. 以上三个均可以答案：B第11题.若按给定的三个条件画一个三角形，图形惟一，则所给条件不可能是(A.两边一夹角B.两角一夹边C.三边D.三角答案：D第12题.如图，己知43丄BD,垂足为B , ED 丄BD ,垂足为D, AB = CD, BC =则 A ACE = _________答案：90第 13 题.如图，已知 AB = AC , AD = AE f ZBAC = ZDAE . 求证：BD = CE ・答案：先证/BAD = ZCAE ,再根据SAS 证厶ABD 竺△ ACE ,得BD = CE .判定第14题.下列各命题屮，真命题是（）A.如果两个三角形面积不相等，那么这两个三角形不可能全等B.如果两个三角形不全等，那么这两个三角形面积一定不相等C.如果△ MNP 竺/\EFG,那么△MNP 与AFFG 的面积的和等于△MNP与△E'F'G'面积的和D . 如果HMNP 竺HEFG ,, 那么△M/VP+ZXMNP 竺厶EFG 仏EFG'答案：A第15 题.如图，已知AF = BE, ZA = ZB , AC = BD . 求证：ZF = ZE.答案：先证：AD = BC，再根据SAS证厶ADF竺“BCE ,得ZF = ZE.第16题.如图，点P是ZAOB的平分线上的一点，作PD丄OA,垂足为Q, PE丄0B 垂足为E, DE交OC于点F .（1）你能找到儿对全等三角形？请说明理由；（2）你能确定图中共有几个直角吗？请说明理由.答案：（1）有三对全等三角形.rtl“AAS ”可知△ ODP^/XOEP,又rfi“SAS ”可知:/\ODF^/\OEF , HPDF3HPEF（2）共有八个直角，由（1）中的△ ODF竺△ OE1可知：ZOFD = ZOFE ,而ZOFD + Z（9FE = 180 ,因此OF丄ED.这样以F为顶点有四个直角，另有已知的四个直角，共计八个直角.第17题.如图，已知= AB = CD, 0是BQ中点，过O作直线交BA的延长线于E,交DC的延长线于F.求证：OE = OF .答案：在△ABD和△CDB中，AB = CD（己知）< AD = CB（已知）BD = QB（公共边）.•.AABD^ACZ）B（SSS）ZABD = ZCDB（全等三角形对应角相等）O 是3D 中点，:.BO = DOZABO = ZCDO（已证）于是在ABOE和△DOF中』BO = DO（已证）ZBOE =乙DOF（对顶角相等）■..△BOE <△£>"（ ASA）・•. OE = OF（全等三角形对应边相等）•第18 题.如图，已知AB = CD, AE = DF , CE = BF . 求证：AF = DE .答案：BF= CE. .BF+EF= CE+ EF:.BE= CF又AB = CD , AE = DF ,根据“SSS ” 证△A3E竺△DCF ・ z. ZB = ZC,又AB=CD, BF = CE ,根据SAS证A ABF ^/\DCE :. AF = DE .第19题.对于下列各组条件，不能判定厶ABC^/\A!B,C,的一组是（）A.ZA = ZA Z , ZB = A& , AB =B.ZA = , AB = A,B,t AC = A f CC.ZA = ZA f, = BC = B'CD.AB = A,B\ AC = A f C , BC = BC 答案：C第20题•如图，把两根钢条AA, 的屮点0连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（工人把这种工具叫卡钳）只要量出A'B'的长度，就可以知道工件的内径是否符合标准，你能说出工人这样测量的道理吗？答案：此工具是根据三角形全等制作而成的.由0是A4', BB'的屮点，可得AO = A f O, BO = BV，又由于ZAOB与ZA'OF是对顶角，可知ZAOB = ZA f OB f,于是根据“ SAS ” 有厶AOB^/\A f OB\从而A f B f = AB ,只要量il! A f B f的长度，就可以知道工作的内径AB是否符合标准.第70题.如图，己知E是等边△ABC内一点，EA=EB, F是厶ABC外的一个点, BF= BC , ZFBE = ZCBE.求证：ZF = ZACE .答案：先根据SAS证明Z\B CE竺MFE .・.EC = EF , BC = BF ,又AABC是等边三角形A G E A E ,又E G E , EA = EB ,根据SSS 证△AEC竺△3EF /. ZF = A ACE .第21题.如图，已知在△人3（?和厶A,B,C r中，AM与A'M'分别是BC, BC上的中线, AB = ^B', AC = A f C f t AM =A f M r.求证：△ABC 竺△A'B'C'.答案：延长AM到N使AN = 2 AM ,延长A'AT至N'使AN =2AM ,连接BN , BN 先证△ACA^A NB»,得BN= 4(, ZN = ZCAN同理可证BN = AC , WCA'N'. 利用SSS 证HABN^HN . ZBAN =/B'AN , ZN — :. ZBAC = ZB f A f C f根据SAS 证厶ABC 今△AB'C'・第22题.如图，已知在△ ABC中，AB = AC , Zl = Z2 . 求证：AD丄BC , BD = DC.答案：在△人3£）和厶ACD屮,AB = AC（已知）Zl = Z2（已知）AD = 4D（公共边）.\AABD今△ACZXSAS)..•.BD = CD, Z3 = Z4.又Z3 + Z4 = 180 ,即2Z3 = 180 , .\Z3 = 90 , :.AD丄3C .第23题.如图，平面内有一个△ ABC, 0为平面内的一点，延长AO到使OTTO , 延长B0 到使08'=00 ,延长C0 到C',使0C'=09 ,得到△ A'B'C', △A'B'C' 与AABC是否全等？这两个三角形的对应边是否平行？为什么？答案：'NBCQ'ABC , AB// A r B r f第24题.如图，在厶ABC中，ZC = 90 , D, E分别为AG AB±的点，且AD = BD ,AE = BC , DE = DC . 求证：DE丄AB.DB C答案：在和△BDC 中，AE = BC （已知）< AD = B D （己知）ED 二 CD （己知）.\A/ir ）E^A5Z ）C （SSS ）/. ZC = ZAED （全等三角形对应角相等）ZC = 90 （已知）/. ZAED = 90.・.DE 丄AB （垂直定义）第25题.如图，AB = AC f 要使△ABE9AACD,应添加的条件是 _____________ ,（添加一个 条件即可）答案：答案不惟一，如ZB = ZC 等.第26题•如图，四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD,垂足为点0. （1） 图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来;（2） 任选（1）中的一对全等三角形加以证明.(2)证明AABC 竺△ ADC. 证明：TAC 垂直平分BD,:.AB = AD, CB = CD .又 V AC = AC f :. A ABC A ADC.答案：解：（1）图屮有三对全等三角形: A COB A COD , /\AOB^/\AOD , A ABC A ADC .DD第27题.在厶ABC和△ DEF中，已知ZC = ZD, ZB = ZE ,要判定这两个三角形全笫28题.小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架，已知AB = CQ, AD = CB,你认为 小明的风筝两脚大小相同吗（即ZB, ZD 相等吗）？请说明理由.答案：相等.可以连接AC,由SSS 可知△ ABC ^ACDA ZB = ZD.第29题.小民用五根木条钉成了如图所示的两个三角形，且AB =AC f BD = CD,若 C. 45 W QV 90答案：D第30题.已知：AABC 的三边分别为a, b, c, △48C'的三边分别为/ c',且W tz 2 + a f2 + Z?2 + b ,2 + c 2 + c ,2 = 2ab r + 2bc r + 2ca f ,则厶ABC 与厶A£C （） A. —定全等B .不一定全等C . 一定不全等D .无法确定答案：A 第31题.如图，已知Z1 = Z2, Z3 = Z4. 求证：BE =CD.答案：Z3 = Z4, /. AD = AE fXZ1 + Z3 = Z2 + Z4即 ZADC = ZAEB ,等，还需要条件（A. AB = ED 答案：C) B. AB = FD C. AC=FD D. ZA = ZF△ABD 为锐角三角形, 则△ACD 中的最大角a 的取范禺是)又ZA = ZA根据ASA 证“ABE竺△ACD , BE — CD .第32题.你见过形如图所示的风筝吗？开始制作时，AB = CD, AC=DB，后来为了加固，又过点0加了一根竹棒EF ,分别交AB, CD于点E, F ,且ZAOE = ZDOF ,你认为OE, OF相等吗？请说明理由.答案：相等.可以连接BC,首先由“SSS”可知：5ABC竺/XDCB,因此ZA = ZD , 同理可得ZB = ZC,又由“ ASA ”可知△ ABO竺/XDCO,因此AO = DO.最后可由“ASA ”得△ AOE^/\DOF ,所以OE = OF ,第33题.如图，AD BC相交于点0, OA = OD, OB = OC . 求证：竺△DOC.答案：在△人08和厶DOC中，OA = OD（己知）< ZAOB = ZDOC（对顶角相等）OB = OC（已知）/.AAOB 竺△DOC（SAS）.第34 题.如图，已Zl = Z2 , ZABC = ZDCB , AC = DB . 求证：ZBC空'DCB・答案：：ZABC = ADCB , Z1 = Z2, /. ZDBC = ZACB f B|J ZACB = ZDBC , 又ZABC =ZDCB , AC = DB, BC = CB , /.AABC^ADCB .第35 题.在4'B'C 中，①= ② BC=B r C；③ AC=A f C f；④ZA = ZA Z；⑤ZB = ZB f则下列条件中不能保证厶ABC^AA,B,C,的是( ) A.①②③ B.①②⑤ C.②④⑤ D.①③⑤答案：D第36题.在厶ABC和厶中，己知ZA = Z^ , AB = A]B r在下列说法中，错误的是( )A.如果增加条件AC = 4G，那么△ 4BC竺△AQC (SAS)B.如果增加条件BC = BQ ,那么△(SAS)C.如果增加条件ZB = ZB1,那么△ ABC^A^^.C, (ASA )D.如果增加条件zc = zc,,那么△ 4BC今(AAS)答案：B第37题.如图，AB = AC, BE与CF交于点0, EC与FB相等吗？为什么？答案：不一定.EC与FB可能相等，也可能不相等.直观地解释：E, F在AC, AB上的位置不定，因此BF与EC的关系也不定.逻辑地解释：与CE所在的两个三角形，无法确定其是否全等，因此与CE的关系不一定.第38题.如图，AB // DC, AB = DC, AC^BD相交于点O,你能找出两对全等的三角形吗？你能说明其中的道理吗?答案：事实上有四对全等的三角形./\AOB^/\COD；/\AOD 竺ACOBAABC ^/\CDA；/\ADB^/\CBD. 理由分别是：ZCAB = ZACD△AO3昌△COD的理由：“角边角”，B|J\AB = CDZABD = ZCDBAO = CO（由△AOB 9 △COD所得）的理由."边角边”，HP ZAOD = ACOBDO = BO（由△AOB 9 △COD所得）AB = CD△ABC竺△CD4的理由："边角边”.即ABAC = ZDCAAC = CAAB = CDAADB ^/XCBD的理由：“边角边E|J J ZABD = ZCDBBD = DB第39题.已知：如图，D是'NBC的边AB k一点，AB// FC, DF交AC于点E,DE = FE .求证:AE = CE.答案：证明：•.* AB// FC f:.ZA D E= Z C,又•/ ZAED = ZCEF , DE = FE ,:.△ AED今△ CEF .・・・AE = CE・第40题.如图，给出五个等量关系：①= ②AC= BD、③CE= DE、④ZD = ZC > ⑤上DAB = ZCBA.请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的命题（只需写汕一种情况）, 并加以证明.已知:求证:证明:答案：情况一：已知：AD = BC, AC = BD求证：CE = DE（或ZD = ZC 或上DAB = ZCBA ）证明：在D和△B4C中V AD = BC, AC=BDAB = BA:.△ ABD 9 △BAC:.上CAB = ZDBA ・・・ AE = BE:.AC-AE=BD-BE即CE=ED.情况二：已知：ZD = ZC, ZDAB = ZCBA求证：AD = BC（或AC = BD或CE = DE ）证明：在△ABD和厶BAC屮ZD = ZC, ZDAB = /CBAV A B= A:.△ ABD 9 △BAC・・・A D= B・第41题.如图，人3两点分别位于池塘两端，小明和同伴用下而的方法测量AB间的距离: 先在地上取一个可以直接到达4点和B点的点C,连接AC并延长到D,使CD = AC, 连接BC并延长到E,使CE = BC,连接DE ,那么量11] DE的长，就是A, B的距离，小明和同伴的测量方法对不对？为什么？答案：小明和同伴的测量方法是正确的.由于在△ ABC和ADEC屮，AC=DC（测得）, ZACB = ZDCE（对顶角相等），BC = EC（测得），于是△ ABC ^/XDEC（SAS）,因而可得AB = DE ,所以量出DE的长，就是4, B两点I'可的距离.第42题.如图，要测量河两岸相对的两点4, B的距离，可以在的垂线BF上取两点C, D,使（D农，再定出BF的垂线DE,使A.C £在一条直线上，这时测得的DE 的长就是的长，为什么？E答案：由A3丄BF , DE丄BF ,可得ZABC = ZEDC = 90 ,又由于直线与AE交于点C,可知ZACB = ZECD（对顶角相等），再加上条件CD = BC ,根据“ ASA ”有△ABC竺&DC ,从而AB = ED ,即测得DE的长就是人3两点间的距离.第43题.如图A, B两个建筑分别位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B出发沿河岸画一条射线BF,在BF上截取BC = CD,过Q作DE// AB f使E, C, A在同一条直线上，则DE的长就是A, B之间的距离.请你说明道理.你还能想出其他方法吗？ZB = ZEDC答案：(1) \BC = DC—△ABC 竺5EDC AB = DE.ZBCA = ZDCE从B出发沿河岸作射线BF ,且使BF丄A上，在BF上截取BC= C匸,过D作DE丄BF,使E, C, A在一条直线上，则DE的长就是A, B之间的距离.道理同上.第44题.如图，已知ZB = ZD = 90 , AB = AD.如求证：BC = DC・/答案：因为AB = AD, AC = AC ,根据“ HL ” 证RtAAd^RtAA^#CD = BC •第45题.如图，己知AD AF分别是两个钝角厶ABC和△ABE的高，如果AD = AF tAC=AE.求证：BC = BE.（2）新方法：如图:E答案：根据“HL” 证RtAADC^ RA AF f :,CD = EF ,再根据“ HL ” 证RtAABZ^ RA ABi f :.BD = BF , BD — CD = BF — EF ,即BC = BE .第46题.使两个直角三角形全等的条件是（）A.—个锐角对应相等B.两个锐角对应相等C. 一条边对应相等D.两条直角边对应相等答案：D第47题.如图，有一正方形窗架，盖房时为了稳定，在上面钉了两个等长的木条GF与GE, E, F分别是AD, BC的中点，G是的中点吗？答案：G是的中点.第48题.如图，已知4, F, E, B四点共线，AC丄CE, BD丄DF , AE = BF ,AC = BD.求证：ZCF空\BDE .答案：证明：AC丄CE, BD丄DF（己知）:.ZACE = ZBDF = 90（垂直的定义）在RtAACE 和Rt/XBDF中，AE = BF（B 知）= （己知）・•・ RtAACE 今 &△BDF（HL）A ZA = ZB （全等三角形的对应角相等）AE = BF（己知）AE-EF = BF-EF（等式性质）即AF = BEAF = BE（已证）在△ ACF 和△BDE 中,JzA = ZB（已证）AC = BD（已矢口）/.AACF ^ABDE（SAS）.第49题.判定两个直角三角形全等的方法有A.两条直角边对应相等B.斜边和一锐角对应相等C.斜边和-•条直角边对应相等C.两个面枳相等其中不正确的为( )答案：D第50题.将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如下右图的形式，使点B, F , C , D在同一条直线上.(1)求证：AB丄ED；(2)若PB = BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明.• •BD 答案：（1）证明：fl!题意得ZA + ZB = 90 , ZA = ZD.:.ZD + ZB = 90 • ••• AB DE.(2)若PB = BC ,则有RtA ABC RtA DBP .VZB = zB A =, EL B P ,・•・ RtA/lBC^RtA DBP .说明：图中与此条件有关的全等三角形还有如下几对：RtA APN竺RtA DCN、RtA DEF竺RtA DBP、RtA EPM 9 RtA BFM . 从中任选一对给岀证明，只要正确的都对.。

三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)本文讲述了全等三角形的判定方法，重点是边角边和角边角。

边角边指两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，可以简写成“SAS”。

需要注意的是，必须是两边及其夹角，不能是两边和其中一边的对角。

例如，在图中的△ABC和△ABD中，虽然有一个角和两边相等，但是这两个三角形不全等。

但是在例1中，如果AC=AD，且∠CAB=∠DAB，则可以证明△ACB≌△ADB。

在例2中，如果AD∥BC，且∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF，则可以证明BF=CE。

角边角是指两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“ASA”。

例如，在例2中，如果AD平分∠BAC，且∠ABD=∠ACD，则可以直接判定△ABD≌△ACD。

在例3中，如果在Rt△ABC中，BC=2cm，CD⊥AB，且EC=BC，EF=5cm，则可以求出AE的长度。

除了边角边和角边角外，还有三种判定全等三角形的条件。

在例5中，如果在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，且有一个角相等，则可以证明△ABC≌△DEF。

在例6中，如果AB∥DE，AB=DE，BF=CE，则可以证明△ABC≌△DEF。

在例7和例8中，分别是通过角平分线和垂线的判定方法来证明两个三角形全等。

总之，掌握全等三角形的判定方法对于解决几何问题非常重要。

1.如图所示，在三角形ABC中，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB。

根据角角边相等可知，∠ACB=∠DCB。

又因为AB=DC，所以BC=AC。

因此，根据SSS（边边边）相等可知，△ABC≌△DCB。

同时，∠ACB=∠DCB，AC=BC=DC。

2.如图所示，在三角形ABD和ABF中，已知AD=AE，∠1=∠2，BD=CE。

根据角角边相等可知，∠ABD=∠BCE。

又因为AD=CE，所以BD=BE。

因此，根据SAS（边角边）相等可知，△ABD≌△BCE。

同时，∠ABD=∠BCE，AD=CE=BE。

《12.2 三角形全等的判定课时2》基础练易错诊断（打“√”或“×”）1.两边和任一角分别相等的两个三角形全等.（）2.有两边及其一边的对角分别相等的两个三角形全等.（）3.在△ABC和△DEF中，若AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC≌△DEF.（）对点达标知识点一用“SAS”证明三角形全等1.（2021·昆明质检）如图，AB平分∠DAC，要用SAS条件确定△ABC≌△ABD，还需要有条件（）A.DB=CBB.AB=ABC.AD=ACD.∠D=∠C2.根据如图所给信息，可得x的长是（）A.16B.18C.20D.16或183.（2021·宿州质检）如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加一个条件是（）A.∠A=∠CB.∠D=∠BC.AD∥BCD.DF∥BE4.（2020·柳州中考）如图，已知OC平分∠MON，点A，B分别在射线OM，ON上，且OA=OB.求证：△AOC≌△BOC.5.（2020·兰州中考）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是AC和AB的中点求证：BD=CE.知识点二“SAS”的实际应用6.（2021·武汉期中）如图，将两根钢条AA'，BB的中点O连在一起，使AA'，BB'可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则A'B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA'B′的理由是.7.如图，一块三角形玻璃碎成了Ⅰ，Ⅱ两块，现需购买同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上第块玻璃碎片.8.（2021·济南期中）如图，AD，BC表示两根长度相同的木条，若O是AD，BC的中点，经测量AB=9cm，则容器的内径CD为cm.参考答案易错诊断1.×2.×3.√对点达标1.C2.C3.B4.答案：见解析解析：∵OC平分∠MON，∴∠AOC=∠BOC，在△AOC和△BOC中，OA OBAOC BOC OC OC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△AOC≌△BOC（SAS）.5. 答案：见解析解析：∵AB=AC，D，E分别为AC，AB的中点，∴AD=AE，在△ABD和△ACE中，AB ACA A AD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE.6.SAS7.I8.9。

北师大新版七年级下学期《4.5 利用三角形全等测距离》同步练习卷一．选择题（共1小题）1．某人不小心将一块正五边形玻璃打碎成四块，现要到玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）A．带①去B．带①②去C．带①②③去D．①②③④都带去二．填空题（共6小题）2．如图，黄芳不小心把一块三角形的玻璃摔成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带第块去配．3．如图所示，要测量池塘AB宽度，在池塘外选取一点P，连接AP，BP并各自延长，使PC＝P A，PD＝PB，连接CD，测得CD长为10m，则池塘宽AB为m．4．有一座锥形小山，如图，要测量锥形小山两端A、B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE ＝CB，连接DE，量出DE的长为50m，则锥形小山两端A、B的距离为m．5．如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，在河岸BM上截取BC＝CD，作DE⊥BD 交AC的延长线于点E，垂足为点D，测得ED＝3，CD＝4，则A、B两点间的距离等于．6．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，只要量出CD的长，就能求出工件内槽的宽，依据是．7．如图，要测量河岸相对两点A，B的距离，可以从AB的垂线BF上取两点C，D．使BC ＝CD，过D作DE⊥BF，且A，C，E三点在一直线上．若测得DE＝30米，则AB＝米．三．解答题（共6小题）8．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．9．生活中处处有数学．（1）如图（1）所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB将其固定，这里所运用的数学原理是；（2）如图（2）所示，在新修的小区中，有一条“Z”字形绿色长廊ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段绿色长廊上各修一小凉亭E，M，F，且BE＝CF，点M是BC 的中点，在凉亭M与F之间有一池塘，不能直接到达，要想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度，这样做合适吗？请说明理由．10．课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两堆砖块之间，如图所示．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）已知DE＝35cm，请你帮小明求出砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）．11．如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚是35cm，点B与点O的垂直距离AB长是20cm，在点O处作一直线平行于地面，在直线上截取OC＝35cm，过C作OC的垂线，在垂线上截取CD＝20cm，连接OD，然后，沿着D0的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出．这是什么道理？12．如图，公园有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在E、M、F处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，请问三个小石凳是否在一条直线上？说出你推断的理由．13．小红家有一个小口瓶（如图所示），她很想知道它的内径是多少？但是尺子不能伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有办法了．她拿来了两根长度相同的细木条，并且把两根长木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动，这样只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，你知道这是为什么吗？请说明理由．（木条的厚度不计）北师大新版七年级下学期《4.5 利用三角形全等测距离》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．某人不小心将一块正五边形玻璃打碎成四块，现要到玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）A．带①去B．带①②去C．带①②③去D．①②③④都带去【分析】类似全等三角形的判定，只要带去的玻璃能够测量正五边形的内角的度数与正五边形的边长就可以，然后对各块玻璃进行分析即可得解．【解答】解：带①去，能够测量出此正五边形的内角的度数，以及边长，所以可以配一块完全一样的玻璃，带②③去，只能够测量出正五边形的内角的度数，不能够量出边长的长度，所以不可以配一块完全一样的玻璃；带④去，既不能测量出正五边形的内角的度数，也不能够量出边长的长度，所以不可以配一块完全一样的玻璃．所以最省事的方法是带①去．故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的应用拓广，根据正五边形的定义每个角都相等，每条边都相等，所以只要知道一个角、一条边即可作出能够完全重合的正五边形．二．填空题（共6小题）2．如图，黄芳不小心把一块三角形的玻璃摔成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带第2块去配．【分析】显然第2中有完整的三个条件，用ASA易证现要的三角形与原三角形全等．【解答】解：因为第2块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第2块．故答案为：2．【点评】本题考查了全等三角形的应用（有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等）；学会把实际问题转化为数学问题解答是关键．3．如图所示，要测量池塘AB宽度，在池塘外选取一点P，连接AP，BP并各自延长，使PC＝P A，PD＝PB，连接CD，测得CD长为10m，则池塘宽AB为10m．【分析】这种设计方案利用了“边角边”判断两个三角形全等，利用对应边相等，得AB ＝CD．方案的操作性强，需要测量的线段和角度在陆地一侧即可实施．【解答】解：在△APB和△DPC中，∴△APB≌△DPC（SAS）；∴AB＝CD＝10米（全等三角形的对应边相等）．答：池塘两端的距离是10米．故答案为：10【点评】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．4．有一座锥形小山，如图，要测量锥形小山两端A、B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE ＝CB，连接DE，量出DE的长为50m，则锥形小山两端A、B的距离为50m．【分析】利用“SAS”证明△ABC≌△EDC，然后根据全等三角形的性质得AB＝DE＝50m．【解答】解：在△ABC和△EDC中，∴△ABC≌△EDC（SAS），∴AB＝DE＝50．答：锥形小山两端A、B的距离为50m．故答案是：50．【点评】本题考查了全等三角形的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．5．如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，在河岸BM上截取BC＝CD，作DE⊥BD 交AC的延长线于点E，垂足为点D，测得ED＝3，CD＝4，则A、B两点间的距离等于3．【分析】利用“角边角”证明△ABC和△EDC全等，根据全等三角形对应边相等可得AB ＝DE．【解答】解：在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB＝DE＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟练掌握全等三角形的判定方法并确定出全等三角形是解题的关键．6．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，只要量出CD的长，就能求出工件内槽的宽，依据是根据SAS证明△AOB≌△COD．【分析】本题让我们了解测量两点之间的距离，只要符合全等三角形全等的条件之一SAS，只需要测量易测量的边CD上．测量方案的操作性强．【解答】解：连接AB，CD，如图，∵点O分别是AC、BD的中点，∴OA＝OC，OB＝OD．在△AOB和△COD中，OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角相等），OB＝OD，∴△AOB≌△COD（SAS）．∴CD＝AB．答：需要测量CD的长度，即为工件内槽宽AB．其依据是根据SAS证明△AOB≌△COD；故答案为：根据SAS证明△AOB≌△COD【点评】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等．7．如图，要测量河岸相对两点A，B的距离，可以从AB的垂线BF上取两点C，D．使BC ＝CD，过D作DE⊥BF，且A，C，E三点在一直线上．若测得DE＝30米，则AB＝30米．【分析】已知等边及垂直，在直角三角形中，可考虑ASA证明三角形全等，从而推出线段相等．由“角边角”可说明△ABC≌△EDC，所以DE＝BA．【解答】解：∵DE⊥BF，AB⊥BF，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB＝DE＝30．故答案为：30．【点评】本题主要考查了全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．三．解答题（共6小题）8．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．【分析】（1）先证明∠ABC＝∠DEF，再根据ASA即可证明．（2）根据全等三角形的性质即可解答．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC与△DEF中∴△ABC≌△DEF；（2）∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BF+FC＝EC+FC，∴BF＝EC，∵BE＝10m，BF＝3m，∴FC＝10﹣3﹣3＝4m．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型．9．生活中处处有数学．（1）如图（1）所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB将其固定，这里所运用的数学原理是三角形具有稳定性；（2）如图（2）所示，在新修的小区中，有一条“Z”字形绿色长廊ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段绿色长廊上各修一小凉亭E，M，F，且BE＝CF，点M是BC 的中点，在凉亭M与F之间有一池塘，不能直接到达，要想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度，这样做合适吗？请说明理由．【分析】（1）利用三角形的稳定性进而得出答案；（2）利用全等三角形的判定与性质进而填空得出即可．【解答】解：（1）如图1所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是：三角形的稳定性．故答案为：三角形具有稳定性；（2）合适，理由如下：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，∵点M是BC的中点，∴MB＝MC，在△MEB与△MCF中，∴△MEB≌△MFC（SAS），∴ME＝MF，∴想知道M与F之间的距离，只需要测出线段ME的长度．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及线段的性质和三角形稳定性等知识，熟练掌握相关性质是解题关键．10．课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两堆砖块之间，如图所示．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）已知DE＝35cm，请你帮小明求出砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）．【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可．（2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答．【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由题意得：∵一块墙砖的厚度为a，∴AD＝4a，BE＝3a，由（1）得：△ADC≌△CEB，∴DC＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，∴DC+CE＝BE+AD＝7a＝35，∴a＝5，答：砌墙砖块的厚度a为5cm．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．11．如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚是35cm，点B与点O的垂直距离AB长是20cm，在点O处作一直线平行于地面，在直线上截取OC＝35cm，过C作OC的垂线，在垂线上截取CD＝20cm，连接OD，然后，沿着D0的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出．这是什么道理？【分析】通过证明△AOB≌△COD，得出AB＝CD，即可可作出说明．【解答】解：∵在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（ASA），∴AB＝CD＝20cm，即钻头正好从点B处打出．【点评】本题考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是证明△AOB≌△COD，注意掌握全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等．12．如图，公园有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在E、M、F处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，请问三个小石凳是否在一条直线上？说出你推断的理由．【分析】首先连接EM、MF，再证明△BEM≌△CFM可得∠BME＝∠FMC，再根据∠BME+∠EMC＝180°，可得∠FMC+∠EMC＝180，进而得到三个小石凳在一条直线上．【解答】解：连接EM、MF，∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，又∵M为BC中点，∴BM＝MC．∴在△BEM和△CFM中，∴△BEM≌△CFM（SAS），∴∠BME＝∠FMC，∵∠BME+∠EMC＝180°，∴∠FMC+∠EMC＝180°，∴三个小石凳在一条直线上．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，证明△BEM≌△CFM，证明出∠FMC+∠EMC＝180°是解决问题的关键．13．小红家有一个小口瓶（如图所示），她很想知道它的内径是多少？但是尺子不能伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有办法了．她拿来了两根长度相同的细木条，并且把两根长木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动，这样只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，你知道这是为什么吗？请说明理由．（木条的厚度不计）【分析】连接AB、CD，由条件可以证明△AOB≌△DOC，从而可以得出AB＝CD，故只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径．【解答】解：连接AB、CD，∵O为AD、BC的中点，∴AO＝DO，BO＝CO．在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC．∴AB＝CD．∴只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径．【点评】本题是一道关于全等三角形的运用试题，考查了全等三角形的判定与性质的运用，在解答时将生活中的实际问题转化为数学问题是解答的关键．。

专题1.4 边角边判定三角形全等-重难点题型【苏科版】【题型1 边角边判定三角形全等的条件】【例1】（2021春•锦江区校级期中）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能用SAS判定△ABC≌△DEC，能添加的一组条件是（）A．∠B＝∠E，BC＝EC B．∠B＝∠E，AC＝DCC．∠A＝∠D，BC＝EC D．BC＝EC，AC＝DC【变式1-1】（2020秋•喀什地区期末）如图，已知∠ABC＝∠DCB，能直接用SAS证明△ABC≌△DCB的条件是（）A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝DB【变式1-2】（2020秋•通州区期中）根据下列条件能画出唯一△ABC的是（）A．AB＝1，BC＝2，CA＝3B．AB＝7，BC＝5，∠A＝30°C．∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°D．AC＝3.5，BC＝4.8，∠C＝70°【变式1-3】（2020•奎文区一模）如图，点D、E分别在线段AB、AC上，且AD＝AE，若由SAS判定△ABE≌△ACD，则需要添加的一个条件是．【题型2 边角边判定三角形全等（求角的度数）】【例2】（2020秋•宽城区期末）如图，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC上一点，AD＝AE，BE、CD相交于点M．若∠BAC＝70°，∠C＝30°，则∠BMD的大小为（）A．50°B．65°C．70°D．80°【变式2-1】（2020秋•乐亭县期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，AB＝CB，AF＝CD，AE＝CF，则∠EFD＝（）A．50°B．60°C．70°D．80°【变式2-2】（2020秋•长垣市月考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，E、D、F分别是AB、BC、AC上的点，且BE＝CD，BD＝CF，若∠A＝104°，则∠EDF的度数为（）A．24°B．32°C．38°D．52°【变式2-3】（2021春•沙坪坝区校级月考）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB＝CF，BE＝AC．（1）求证：AE＝AF；（2）求∠EAF的度数．【题型3 边角边判定三角形全等（求线段的长度）】【例3】（2020秋•越秀区校级月考）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠ADB，AB＝5，CD＝6，则AC的长为（）A．3B．9C．11D．15【变式3-1】（2020春•南岗区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，D、E分别在CA、BA的延长线上，连接BD、CE，且∠D+∠E＝180°，若BD＝6，则CE的长为（）A．6B．5C．3D．4.5【变式3-2】（2020秋•洪山区期末）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC 于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（）A．8B．7C．6D．5【变式3-3】（2020秋•广州校级月考）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD是△ABC的中线，则AD 的取值范围是（）A．3＜AD＜13B．1.5＜AD＜6.5C．2.5＜AD＜7.5D．10＜AD＜16【题型4 边角边判定三角形全等（实际应用）】【例4】（2020秋•浑源县期中）如图，A，B两点分别位于一个假山的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，首先在地面上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝AC，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度为8m，则AB间的距离为8m．【变式4-1】（2020秋•西湖区校级期中）如图1、2，小明为了测出塑料瓶直壁厚度，由于不便测出塑料瓶的内径，小明动手制作一个简单的工具（如图2，AC＝BD，O为AC、BD的中点）解决了测瓶的内径问题，测得瓶的外径为a、图2中的DC长为b，瓶直壁厚度x＝（用含a，b的代数式表示）．【变式4-2】（2020秋•温岭市期中）某中学计划为新生配备如图1所示的折叠凳，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为35cm，由以上信息能求出CB的长度吗？如果能，请求出CB的长度；如果不能，请说明理由．【变式4-3】（2020春•郏县期末）如图所示，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，请你利用三角形全等的相关知识带他设计一种方案测量出A、B间的距离，写出具体的方案，并解释其中的道理．【题型5 边角边判定三角形全等（证明题）】【例5】（2020春•沙坪坝区校级期中）如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，过B点作BD⊥AC于D，E在CD上，且DE＝AB，过点D作DF∥BC，使得DF＝BD，连接EF．求证：（1）∠ABD＝∠C；（2）DF⊥EF．【变式5-1】（2020秋•陆川县期中）如图，AD是△ABC的角平分线，且AB＞AC，E为AD上任意一点，求证：AB﹣AC＞EB﹣EC．【变式5-2】（2020秋•合江县月考）已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．（1）如图1，点E在BC上，求证：BC＝BD+BE；（2）如图2，点E在CB的延长线上，求证：BC＝BD﹣BE．【变式5-3】（2020秋•温岭市期中）（1）如图1，已知在△ABC中，AD为中线，求证AB+AC＞2AD．（2）如图2，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．求证：BE+CF＞EF．【题型6 边角边判定三角形全等（探究题）】【例6】（2020秋•怀宁县期末）如图，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想线段CD与BE 之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想．【变式6-1】（2020秋•唐山期中）如图，在△ABC中，AD，CE分别是BC、AB边上的高，AD与CE交于点F，连接BF，延长AD到点G，使得AG＝BC，连接BG，若CF＝AB．（1）求证：△ABG≌△CFB；（2）在完成（1）的证明后，爱思考的琪琪想：BF与BG之间有怎样的数量关系呢？它们之间又有怎样的位置关系？请你帮琪琪解答这一问题，并说明理由．【变式6-2】（2021春•佛山月考）在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，那么∠DCE＝度；（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，写出此时α与β之间的数量关系并证明．【变式6-3】（2020秋•集贤县期中）如图1，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由．。