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平行线的判定和性质1.如图，已知：AB∥CD，∠B=∠D，求证：BC∥AD ．2．如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE．3．如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，求证：BE∥CF．4．已知：如图所示，C，P，D三点在同一条直线上，∠BAP+∠APD=180°，∠E=∠F，求证：∠1=∠2．5．如图，已知AC∥ED，EB平分∠AED，∠1=∠2，求证：AE∥BD．6．如图，已知∠C=∠D，DB∥EC．AC与DF平行吗？试说明你的理由．7．已知：如图，∠1=∠2，∠A=∠F，则∠C与∠D 相等吗？试说明理由．8．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE∥DF．9．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E 在BC上，EF⊥AB，垂足为F ．（1）CD与EF平行吗？为什么？（2）如果∠1=∠2，DG∥BC吗？为什么？10．如图，已知∠1=∠A，∠2=∠B，那么MN与EF平行吗？如果平行，请说明理由．11．已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2．求证：AB∥GF．12．已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD 于点G．求证：AB∥CD．13．已知：如图，∠A=∠F，∠C=∠D．求证：BD∥CE．14．如图，AD⊥BC于点D，∠1=2，∠CDG=∠B，请你判断EF与BC的位置关系，并加以证明，要求写出每步证明的理由．15、如图，已知AB∥CD，分别探究下面四个图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，请从你所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性。
结论：（1）________________（2）_______________（3）________________（4）_______________选择结论：____________，说明理由。
[ 一 ] 、平行线的性质一、填空1．如图 1，已知∠ 1 = 100 °， AB ∥CD ，则∠ 2 =，∠3 =，∠4 =．2．如图 2，直线 AB 、 CD 被 EF 所截，若∠ 1 = ∠2，则∠ AEF +∠CFE =．2C1E 5 FE 1AAE E B4B4AD13232CD1 2CFDFBDABC图 1图 2图 3图 43．如图 3 所示（ 1）若 EF ∥AC ，则∠ A +∠= 180°，∠ F + ∠= 180°（）．（2）若∠ 2 =∠ ，则 AE ∥BF ．（ 3）若∠ A +∠= 180 °，则 AE ∥BF ．4．如图 4，AB ∥CD ，∠ 2 = 2 ∠1，则∠ 2 =．5．如图 5，AB ∥CD ，EG ⊥AB 于 G ，∠ 1 = 50 °，则∠ E =．EE Al 1DCAHBABD 2EFFGBC1 F DC D1l 21C ABG图 5图 6图 7图6．如图 6，直线 l 1∥l，AB ⊥l 于 O ， BC 与 l 2 交于 E ，∠1 = 43 °，则∠ 2 =．217．如图 7，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠ CAB 互余的角有 ． 8．如图 8，AB ∥EF ∥C D ，EG ∥BD ，则图中与∠1 相等的角（不包含∠ 1）共有个．二、解答以下各题9．已知：如图， BC ∥DE ． BE 均分 ∠ABC ，．求证： ∠1=∠210、如图：已知，AB ∥ ON ∠BOA= ∠BAO ，求证： OP 均分∠MON 。
11、已知，如图 B 、D 、A 在向来线上， DE ∥BC， BC 是∠ABE 的均分线，求证：∠D= ∠E．12、如图，已知AB ∥CD，试说明：．∠AEC= ∠A+ ∠C． 13、如图，已知，DB ∥EC． AC∥ DF ，那么∠C=∠D 吗？试说明你的原因．14．如图， DE∥BC，∠ D∶∠ DBC = 2∶1，∠ 1 = ∠2，求∠ DEB的度数．D E21B C图 1011．如图，已知AB∥CD，试再添上一个条件，使∠ 1 = ∠2建立．（要求给出两个以上答案，并选择此中一个加以证明）A 1 BEF2C D图 11]12．如图 12，∠ ABD和∠ BDC的均分线交于E，BE交 CD于点 F，∠ 1 + ∠2 = 90 °．求证：（ 1）AB∥CD；（2）∠ 2 +∠3 = 90°．BA123C F D[ 二 ] 、平行线的判断一、填空1．如图１，若若+D21A B图１A= 3，则∥；= 180 °，则∥．E 15a23 4 31bC图２若2= E，则∥；c dAa2514 23 b B 3 C图３图４2．若 a⊥c，b⊥c，则 a b ．3．如图２，写出一个能判断直线l ∥l的条件：1 24．在四边形 ABCD中，∠ A +∠B = 180 °，则5．如图３，若∠ 1 + ∠2 = 180 °，则∥。
平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线. （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线. （4）同位角相等，两直线平行. （5）内错角相等，两直线平行.（6）同旁内角互补，两直线平行.3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等. （2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一：余角、补角、对顶角与三线八角例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）A．直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是（）A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图，∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二：平行线的判定例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有 ( )A ．9对B ．16对 C.18对 D ．以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101，若要能使AB ∥ED ，∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ，若a ∥b ，a ⊥c ，b ⊥d ，则c 、d 的位置关系为（ ） A.互相垂直 B ．互相平行 C.相交 D ．没有确定关系专题三：平行线的性质1、如图，110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行，则BOC ∠= . 2、如图，AB //CD ，BC //DE ，则∠B+∠D = .3、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=，则∠AOC 的度数是 .4、 如图，175,2120,375∠=∠=∠=，则4∠= .13 425、如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ，ED 平分BEF ∠，若172∠=，则2∠= .【例题讲解】例1：如图，已知：AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证：AD ∥EF 。
平行线的判定定理和性质定理一、填空1．如图１，若∠A=∠3，则 ∥ ； 若∠2=∠E ，则 ∥ ； 若∠ +∠ = 180°，则 ∥ ．2．若a ⊥c ，b ⊥c ，则a b ．3．如图２，写出一个能判定直线l 1∥l 2的条件： ．4．在四边形ABCD 中，∠A +∠B = 180°，则 ∥ （ ）．5．如图３，若∠1 +∠2 = 180°，则 ∥ 。
6．如图４，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中， 同位角有 ； 内错角有 ；同旁内角有 ．7．如图５，填空并在括号中填理由：（1）由∠ABD =∠CDB 得 ∥ （ ）；（2）由∠CAD =∠ACB 得 ∥ （ ）；（3）由∠CBA +∠BAD = 180°得 ∥ （ ）8．如图６，尽可能多地写出直线l 1∥l 2的条件： ．9．如图７，尽可能地写出能判定AB ∥CD 的条件来： ．10．如图８，推理填空：（1）∵∠A =∠ （已知）， ∴AC ∥ED （ ）；（2）∵∠2 =∠ （已知）， ∴AC ∥ED （ ）； （3）∵∠A +∠ = 180°（已知）， ∴AB ∥FD （ ）； （4）∵∠2 +∠ = 180°（已知），∴AC ∥ED （ ）； 二、解答下列各题11．如图９，∠D =∠A ，∠B =∠FCB ，求证：ED ∥CF ．A CB 4 1 2 3 5 图４ a b c d 1 2 3 图３ A BC ED 1 2 3 图１ 图２ 4 3 2 1 5 a b 1 2 3 AF CD B E图８ E B AF D C 图９ A D C B O 图５ 图６ 5 1 2 4 3 l 1 l 2 图７ 5 4 3 2 1 A D C B12．如图10，∠1∶∠2∶∠3 = 2∶3∶4， ∠AFE = 60°，∠BDE =120°，写出图中平行的直线，并说明理由．13．如图11，直线AB 、CD 被EF 所截，∠1 =∠2，∠CNF =∠BME 。
一、填空1、如图１，若∠A=∠3，则 ∥ ；若∠2=∠E ，则 ∥ ；若∠ +∠ = 180°，则 ∥ 。
2、在四边形ABCD 中，∠A +∠B = 180°，则 ∥ （ ）。
3、如图2，若∠1 +∠2 = 180°，则 ∥ 。
4、如图3，推理填空：（1）∵∠A =∠ （已知），∴AC∥ED（ ）； （2）∵∠2 =∠ （已知），∴AC∥ED（ ）； （3）∵∠A +∠ = 180°（已知）， ∴AB∥FD（ ）； （4）∵∠2 +∠ = 180°（已知）， ∴AC∥ED（ ）； 二、解答下列各题5、如图4，∠D =∠A，∠B =∠FCB，求证：ED∥CF。
6、如图5，∠1∶∠2∶∠3 = 2∶3∶4， ∠AFE = 60°，∠BDE =120°，写出图中平行的直线，并说明理由。
7、如图6，直线AB 、CD 被EF 所截，∠1 =∠2，∠CNF =∠BME。
求证：⑴、AB∥CD。
⑵、MP∥NQ。
a bc d 1 23 图2AB CED12 3 图１1 2 3 AF CDB E图3E BAFD C图41 32 A E CD BF 图5F2A B CDQE1 P MN 图6一、填空1、如图1，已知∠1 = 100°，AB∥CD，则∠2 = ，∠3 = ，∠4 = 。
2、如图2，直线AB 、CD 被EF 所截，若∠1 =∠2，则∠AEF +∠CFE = 。
3、如图3所示：⑴、若EF∥AC，则∠A +∠ = 180°，∠F + ∠ = 180°（ ）。
⑵、若∠2 =∠ ，则AE∥BF。
⑶、若∠A +∠ = 180°，则AE∥BF。
4、如图4，AB∥CD，∠2 = 2∠1，则∠2 = 。
5、如图5，AB∥CD，EG⊥AB 于G ，∠1 = 50°，则∠E = 。
6、如图6，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB 互余的角有 。
七年级数学科备课设计
一、巩固旧知，激趣导入：
⑴平行线的定义：
⑵平行线的传递性：
⑶平行线的判定公理：
：
：
⑹平行线的判定推论：
⑴根据平行线的定义：
⑵平行线的性质公理：
：
：
⑸平行线间的距离．
二、感受定义，达成目标：
___ __
___ __
1) (图2) (图3) （图4）
∠2，∴_____∥_____，根据__ _____．
B=_____，根据___ _____．
∥CD，那么________=•_______；•若∠1=•∠2，
．如右图所示，潜望镜中的两个镜子是互相平行放置的，光线经过
，请你解释为什么开始进入潜望镜的光
，用一吸管吸吮易拉罐内的饮料时，吸管与易拉罐上部夹角
上有一点
恰好与OB平
（图1）（图2）
3，已知∠1+°，∠3=∠B，试判断∠的大小关
系，并对结论进行说理．
．如图，直线DE经过点DAB的度
数；⑵求∠EAC的度数；⑶求∠的度数；⑷通过这道题你能说明为什么
A
D E。
北京四中编稿：史卫红审稿：张杨责编：姚一民之马矢奏春创作平行线的判定和性质（综合篇）一、重点和难点：重点：平行线的判定性质.难点：①平行线的性质与平行线的判定的区分②掌握推理论证的格式.二、例题：这部份内容所涉及的题目主要是从已知图形中识别出对顶角、同位角、内错角或同旁内角.解答这类题目的前提是熟练地掌握这些角的概念, 关键是掌控住这些角的基本图形特征, 有时还需添加需要的辅助线, 用以突出基本图形的特征.上述类型题目年夜致可分为两年夜类.一类题目是判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题.其方法是“由线定角”, 即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补.另一类题目主要是“由角定线”, 也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行, 解此类题目必需要掌握好平行线的判定方法.例1．如图, 已知直线a,b,c被直线d所截, 若∠1=∠2, ∠2+∠3=180°, 求证：∠1=∠7分析：运用综合法, 证明此题的思路是由已知角的关系推证出两直线平行, 然后再由两直线平行解决其它角的关系.∠1与∠7是直线a和c被d所截得的同位角.须证a//c.法（一）证明：∵d是直线（已知）∴∠1+∠4=180°（平角界说）∵∠2+∠3=180°, ∠1=∠2（已知）∴∠3=∠4（等角的补角相等）∴a//c（同位角相等, 两直线平行）∴∠1=∠7（两直线平行, 同位角相等）法（二）证明：∵∠2+∠3=180°, ∠1=∠2（已知）∴∠1+∠3=180°（等量代换）∵∠5=∠1, ∠6=∠3（对顶角相等）∴∠5+∠6=180°（等量代换）∴a//c （同旁内角互补, 两直线平行）∴∠1=∠7（两直线平行, 同位角相等）.例2．已知如图, ∠1+∠2=180°, ∠A=∠C, AD平分∠BDF, 求证：BC平分∠DBE.分析：只要求得∠EBC=∠CBD, 由∠1+∠2=180°推出∠1=∠BDC, 从而推出AE//FC, 从而推出∠C=∠EBC而∠C=∠A于是可得∠A=∠EBC.因此又可得AD//BC, 最后再运用平行线性质和已知条件即可推出∠EBC=∠DBC.证明：∵∠2+∠BDC=180° （平角界说）又∵∠2+∠1=180°（已知）∴∠BDC=∠1（同角的补角相等）∴AE//FC（同位角相等两直线平行）∴∠EBC=∠C（两直线平行内错角相等）又∵∠A=∠C（已知）∴∠EBC=∠A（等量代换）∴AD//BC（同位角相等, 两直线平行）∴∠ADB=∠CBD（两直线平行, 内错角相等）∠ADF=∠C（两直线平行, 同位角相等）又∵DA平分∠BDF（已知）∴∠ADB=∠ADF（角平分线界说）∴∠EBC=∠DBC（等量代换）∴BC平分∠DBE（角平分线界说）说明：这道题反复应用平行线的判定和性质, 这是以后在证题过程中经常使用的方法, 见到“平行”应想到有关的角相等,见到有关的角相等, 就应想到能否判断直线间的平行关系.把平行线的判定与性质紧密地结合在一起也就是使直线平行和角相等联系在一起, 这样解题能驾轻就熟, 灵活自如.三、小结：证明角相等的基本方法1、第一章、第二章中已学过的关于两个角相等的命题：（1）同角（或等角）的余角相等；（2）同角（或等角）的补角相等；（3）对顶角相等；（4）两直线平行, 同位角相等；内错角相等；同旁内角互补.以上四个命题是我们目前论证两个角相等的武器, 可是何时用这些武器, 用什么武器, 怎样使用, 这是遇到的一个具体问题,需要认真进行分析.首先必需分析, 在题设中给出了哪些条件, 与其相关的图形是什么！其次再分析一下要证明的两个角在图形的具体位置, 与已知条件有什么关联, 怎样运用一次推理或几个一次推理的组合而来完成题设到结论的过渡.例3, 如图∠1=∠2=∠C, 求证∠B=∠C.分析：题设中给出三个相等的角, 其中∠2和∠C是直线DE和BC被AC所截构成的同位角, 由∠2=∠C则DE//BC.再看题中要证明的结论是∠B=∠C, 由于∠C=∠1, 所以只要证明∠1=∠B, 而∠1与∠B是两条平行直线DE, BC被直线AB所截构成的同位角,∠1=∠B是很显然的, 这样我们就理顺了从已知到求证的途径：证明：∵∠2=∠C（已知）, ∴DE//BC（同位角相等, 两直线平行）,∴∠1=∠B（两直线平行, 同位角相等）,又∵∠1=∠C（已知）,∴∠B=∠C（等量代换）.例4、已知如图, AB//CD, AD//BC, 求证：∠A=∠C, ∠B=∠D.分析：要证明∠A=∠C, ∠B=∠D, 从这四个角在图中的位置来看, 每一组既不构成同位角, 也不是内错角或同旁内角, 由此不成能利用题设中的平行关系, 经过一次推理获得结论, 仍然如同例10一样通过等角进行转化, 从题设条件动身, 由AB//CD,且AB与CD被直线BC所截, 构成了一对同旁内角, ∠B、∠C, 因此∠B+∠C=180o, 同时∠B又是另一对平行线AD、BC被直线AB所截, 构成的一对同旁内角∠B、∠A, ∠B+∠A=180o, 通过∠B的中介, 就可以证明得∠A=∠C.同理, 也可获得∠B=∠D, 整个思路为：证明：AD//BC（已知）, ∴∠A+∠B=180o（两直线平行, 同旁内角互补）,∵AB//CD（已知）,∴∠B+∠C=180o（两直线平行, 同旁内角互补）,∴∠A=∠C（同角的补角相等）,同理可证∠B=∠D.例5、已知如图, AD⊥BC于D, EG⊥BC于G, ∠E=∠3, 求证：∠1=∠2.分析：要证明∠1=∠2, 而从图中所示的∠1和∠2的位置来看, 根据题设或学过的界说、公理、定理无法直接证明这两个角相等, 因我们可将视野再拓广一下, 寻找一下∠1、∠2与周边各角的关系, 我们看到直线AD与GE被直线AE所截, 形成同位角∠1、∠E；被AB所截, 形成内错角∠2、∠3；而题设明确告诉我们∠3=∠E, 于是目标集中到证明AD//GE, 根据题设中AD⊥BC, EG ⊥BC, 我们很容易办到这一点, 总结一下思路, 就可以获得以下推理法式：证明：∵ AD ⊥BC于D（已知）,∴∠ADC=90o（垂直界说）,∵EG⊥BC于G（已知）,∴∠EGD=90o（垂直界说）,∴∠ADC=∠EGD（等量代换）,∴EG//AD（同位角相等, 两直线平行）,∴∠1=∠E（两直线平行同位角相等）,∠2=∠3（两直线平行内错角相等）,又∵∠E=∠3（已知）,∴∠1=∠2（等量代换）.四、两条直线位置关系的论证.两条直线位置关系的论证包括：证明两条直线平行, 证明两条直线垂直, 证明三点在同一直线上.1、学过证明两条直线平行的方法有两年夜类（一）利用角；（1）同位角相等, 两条直线平行；（2）内错角相等, 两条直线平行；（3）同旁内角互补, 两条直线平行.（二）利用直线间位置关系：（1）平行于同一条直线的两条直线平行；*（2）垂直于同一条直线的两条直线平行.例6、如图, 已知BE//CF, ∠1=∠2, 求证：AB//CD.分析：要证明AB//CD, 由图中角的位置可看出AB与CD被BC 所截得一对内错角∠ABC和∠DCB, 只要证明这对内错角相等, 而图中的直线位置关系显示, ∠ABC=∠1+∠EBC, ∠BCD=∠2+∠FCB, 条件中又已知∠1=∠2, 于是只要证明∠EBC=∠BCF. 证明：∵BE//CF（已知）,∴∠EBC=∠FCB（两直线平行, 内错角相等）∵∠1=∠2（已知）,∴∠1+∠EBC=∠2+FCB（等量加等量其和相等）,即∠ABC=∠BCD（等式性质）,∴AB//CD（内错角相等, 两直线平行）.例7、如图CD⊥AB, EF⊥AB, ∠1=∠2, 求证：DG//BC.分析：要证明DG//BC, 只需证明∠1=∠DCB, 由于∠1=∠2, 只需证明∠2=∠DCB, ∠2与∠DCB又是同位角, 只需证明CD//EF.根据题设CD⊥AB, EF⊥AB, CD//EF, 很容易证得, 这样整个推理过程分成三个条理.（1）（平行线的判定）（2）CD//EF∠2=∠DCB（平行线的性质）（3）∠1=∠DCB DG//BC（平行线判定）在这三个推理的环节中, 平行线的判定和性质交替使用, 条理分明.证明：∵CD⊥AB于D（已知）,∴∠CDB=90o（垂直界说）,∵EF⊥AB于F（已知）,∴∠EFB=90o（垂直界说）,∴∠CDB=∠EFB（等量代换）,∴CD//EF（同位角相等, 两直线平行）,∴∠2=∠DCB（两直线平行, 同位角相等）又∵∠1=∠2（已知）,∴∠1=∠DCB（等量代换）,∴DG//BC（内错角相等, 两直线平行）.说明：从以上几例我们可以发现, 证明两条直线平行, 必需紧扣两直线平行的条件, 往往归结于求证有关两个角相等, 根据图形找出两直线的同位角、内错角或同旁内角, 设法证明这一组同位角或内错角相等, 或同旁内角互补.而证明两角相等, 又经常归于证明两直线平行.因此, 交替使用平行线的判定方法和平行线的性质就成为证明两直线平行的经常使用思路.2、已经学过的证明两直线垂直的方法有如下二个：（1）两直线垂直的界说（2）一条直线和两条平行线中的一条垂直, 这条直线也和另一条垂直.（即证明两条直线的夹角即是90o而获得.）例8、如图, 已知EF⊥AB, ∠3=∠B, ∠1=∠2, 求证：CD⊥AB.分析：这是一个与例14同样结构的图形, 但证明的目标却是两条直线垂直.证明CD⊥AB, 根据“一条直线垂直于两条平行线中的一条, 必垂直于另一条.”又由于已知条件EF⊥AB, 只要证明EF//CD, 要证EF//CD, 结合图形, 只要证明∠2=∠DCB, 因为∠1=∠2, 只需证明∠DCB=∠1, 而∠DCB与∠1是一对内错角, 因而根据平行线的性质, 就需证明DG//BC, 要证明DG//BC根据平行线的判定方法只需证明∠3=∠B, 而这正是题设给出的条件, 整个推理过程经过以下几个条理：∠3=∠B DG//BC∠DCB=∠2（1）平行线判定（2）平行线性质CD⊥AB（3）平行线判定性质（4）垂直界说证明：∵∠3=∠B（已知）,∴DG//BC（同位角相等, 两直线平行）∴∠1=∠DCB（两直线平行, 内错角相等）,∵∠1=∠2（已知）,∴∠DCB=∠2（等量代换）,∴DC//EF（同位角相等, 两直线平行）,有括号部份的五步也可以用以下证法：接DC//EF（同位角相等, 两直线平行）,又∵EF⊥AB（已知）,∴CD⊥AB（一条直线和两条平行线中的一条垂直, 这条直线也和另一条垂直.）3、已经学过的证明三点共线的方法在前面的几讲中已分析过, 若证明E、O、F三点共线, 通常采纳∠EOF=180o, 利用平角的界说完成三点共线证明.此方法不再举例.五、一题多解.例9、已知如图, ∠BED=∠B+∠D.求证：AB//CD.法（一）分析：要证明AB//CD, 从题设中条件和图形动身考虑, 图形中既不存在“三线八角”, 又不存在与AB、CD同时平行的第三条直线或与AB、CD同时垂直的直线, 这样就无法利用平行线公理的推理或平行线的判定方法来证明两条直线平行.能不能为此缔造条件呢？如果我们能够在图中添置一条直线, 使这条直线和AB、CD中的一条平行, 那么我们就有可能证明它也平行于另一条, 从而获得AB//CD.根据平行公理, 经过直线外一点, 有且只有一条直线与这条直线平行, 所以这样的直线是存在的.接下来的问题是：过哪一点作这条平行线, 考虑题设中的已知条件, 三个角的关系围绕着E点展开的, 因而选择E点作AB的平行线是较为理想的位置.证明：过点E作EF//AB, ∴∠B=∠1（两直线平行, 内错角相等）,∵∠BED=∠1+∠2（全量即是部份之和）,∴∠2=∠BED-∠1（等式性质）,又∵∠BED=∠B+∠D（已知）,∴∠D=∠BED-∠B（等式性质）∴∠2=∠D（等量代换）∴EF//CD（内错角相等, 两直线平行）,∵EF//AB（作图）,∴AB//CD（平行于同一直线的两直线平行）.说明：在光凭题设条件无法直接证得结论时, 在图中添置新的线, 以构成一个条件充沛的图形, 从而得出所求证的结论, 像这样添置的线叫做辅助线, 在画图时, 辅助线用虚线画出.法（二）分析：如果在E点的另一侧添置AB的平行线（如图）, 同样可以凭此证得结论, 可是由于所取的角的位置分歧,推理的依据过程也有所分歧.证明：过点E作EF//AB（如图）, ∴∠B+∠1=180o（两直线平行, 同旁内角互补）,∵∠1+∠2+∠BED=360o（周角界说）,∠BED=∠B+∠D（已知）,∴∠B+∠D+∠1+∠2=360o（等量代换）,∴∠D+∠2=360o-（∠B+∠1）（等式性质）=360o-180o（等量代换）=180o∴EF//CD（同旁内角互补, 两直线平行）,∵EF//AB（作图）,∴AB//CD（平行于同一直线的两条直线平行）.注意：在添置辅助线EF时, 只能过E点作直线EF平行于直线AB、CD中的一条, 而不能同时平行于AB和CD.从另一个方面考虑这个命题, 仍然是这个图形如果我们交换题设和结论部份：即已知AB//CD, 能否获得∠BED=∠B+∠D的结论, 仍然像例16法（一）那样添置AB的平行线EF, 可获得∠B=∠BEF, 又由于AB//CD, 则EF//CD.于是又有∠D=∠DEF, 很显然∠B+∠D=∠BEF+∠DEF=∠BED.可知, 交换原命题的题设和结论部份, 仍然获得一个真命题.北京四中水池中的水浮莲有一种水生植物水浮莲, 生长速度很快, 每昼夜能长一个新的水浮莲.就是说, 一昼夜能一变二, 两昼夜后, 就成4棵, 这样一天一天地增多.有一个小的水池, 放进1棵水浮莲, 20天后,就长满了整个水池.如果开始时放进2棵水浮莲, 几天可以长满水池？是10天吗？想一想, 你会得出正确谜底的！谜底：19天．因为水浮莲的繁殖速度是经过一天, 就一变二, 放进1棵, 第二天就酿成了2棵.现在第一天放进2棵, 就相当于放1棵经过一昼夜繁殖后水池中的棵数.经过19天后, 池溏也同样满了.放进1棵到水池, 其生长状况是：1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …, 放进2棵后的生长状况是2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …, 从比力可以看出, 放进2棵, 只相当于提早了一天.北京四中平行线的性质考点扫描:会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算．名师精讲:平行线的性质是指在两条直线平行的前提条件下, 能够获得的与图形有关的位置及数量关系．平行线的性质有：（1）平行线永远不相交（界说）；（2）两直线平行, 同位角相等（性质公理）；（3）两直线平行, 内错角相等（性质定理1）；（4）两直线平行, 同旁内角互补（性质定理2）．平行线的判定和平行线的性质不能混淆, 应分清定理（或公理）的条件结论：（1）判定定理说的是满足了什么条件（性质）的两条直线是互相平行的．（2）性质定理说的是如果两条直线平行, 它具有什么性质．由此可见, 判定定理与性质定理是因果关系颠倒的两类定理（称为“互逆”定理）．中考典例:1．（北京海淀区）已知：如图, AB∥CD, CE平分∠ACD, ∠A＝110°, 则∠ECD的度数即是（）A、110°B、70°C、55°D、35°考点：平行线的性质, 角平分线评析：因为∠A与∠ACD是同旁内角, 又AB∥CD, 由平行线的性质：两直线平行, 同旁内角互补, 可知∠A+∠ACD=180°．当∠A＝110°时, ∠ACD=70°．又CE平分∠ACD, 所以∠ACE=∠ECD=∠ACD=35°, 故应选D．2．（福建福州）如图, 已知：l1//l2, ∠1=100°, 则∠2=．考点：平行线的性质评析：∠1与∠3是同位角, 根据“两直线平行, 同位角相等”的性质：可知∠1=∠3=100°．又∠2与∠3是邻补角, 所以∠2=180°–100°=80°真题专练:1．（山西省）如图, 直线a、b被直线c所截, 且a//b, 若∠1=118°, 则∠2的度数为_________．⑴2．（龙岩市）如图AB∥CD, 若∠ACD=69°, 则∠CAB=__________3．（苏州市）如图AB∥CD, 直线EF分别交AB、CD于点E、F, ED平分∠BEF, 若∠1=72°, 则∠2=_______（3）4．（仙桃市）如图直线L1∥L2、L3分别与L1, L2相交,则∠1与∠2的关系为（）（4）A、∠1=∠2B、∠1+∠2=180°C、∠1+∠2=90°D、∠1+∠2=360°5．（镇江市）如图l1∥l2, ∠α是∠β的2倍, 则∠α即是（）A：60° B：90° C：120° D：150°6．（临沂市）如图AB∥CD, 那么∠1+∠2+∠3=（）A、180°B、360°C、540°D、720°7．（呼和浩特市）如图DE∥BC, EF∥AB, 图中与∠BFE互补的角共有（）A、3个B、2个C、5个D、4个谜底：1、62°2、111°3、54°4、B5、C6、B （提示：过E作EF∥AB（或连结AC）利用平行线间的同旁内角互补可知∠1+∠AEF=180°∠3+∠CEF=180°∴∠1+∠2+∠3=360°；7、D （提示：图中∠1、∠2、∠3、∠4都与∠BFE互补）．。
直线平行的条件和性质1．三线八角两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。
如图，直线a ，b 被直线所截（1）∠1与∠5在截线的同侧，同在被截直线a ，b 的上方，叫做（位置相同）（2）∠5与∠3在截线的两旁（交错），在被截直线a ，b 之间（内），叫做（位置在内且交错）（3）∠5与∠4在截线的同侧，在被截直线a ，b 之间（内），叫做。
（4）三线八角也可以成模型中看出。
同位角是“F ”型；内错角是“Z ”型；同旁内角是“U ”型。
2.平行线的性质（1）两直线平行， 相等； （2）两直线平行， 相等； （3）两直线平行， 互补。
3.平行线的判定（1） 相等，两直线平行； （2） 相等，两直线平行； （3） 互补，两直线平行。
l l ll a bl1、了解同位角、内错角、同旁内角的概念，会找同位角、内错角、同旁内角2、会用同位角、内错角、同旁内角之间的数量关系来说明两直线平行3、能理解并区分平行线的性质和平行线的条件4、熟练地运用平行线的判定和性质正确的进行分析推理和计算5、综合应用判定、性质进行推理证明题型一：平行线的性质与判定的综合例1. 已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC与G，∠E＝∠3，试问：AD是∠BAC的平分线吗？若是，请说明理由。
解：是，理由如下：∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知）∴∠4＝∠5＝90°（）∴AD∥EG（）∴∠1＝∠E（）∠2＝∠3（）∵∠E＝∠3（已知）∴＝（）∴AD是∠BAC的平分线（）练习1. 如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°，试说明：∠GDC＝∠B．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由．解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）∴∠ADB＝∠EFB＝90°，∴EF∥AD（），∴+∠2＝180°（）．又∵∠2+∠3＝180°（已知），∴∠1＝∠3（），∴AB∥（），∴∠GDC＝∠B（）．例2. 如图，已知CF⊥AB于F，ED⊥AB于D，∠1=∠2，试说明：FG//BC．练习1. 如图，△ABC中，点E在边BA上，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别是D. F，∠1=∠2.(1)DG与BA平行吗?为什么?(2)若∠B=51∘,∠C=54∘，求∠CGD的度数。
