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椭圆性质的运用(公开课)

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椭圆的简单几何性质公开课获奖课件百校联赛一等奖课件

椭圆的简单几何性质公开课获奖课件百校联赛一等奖课件

a=6 b=4.
∵焦点在x轴上，∴椭圆方程为 x2 +=y12.
36 16
3.(2023·唐山高二检测)已知△ABC旳顶点B、C在椭圆 x2
3
+y2=1上，顶点A是椭圆旳一种焦点，且椭圆旳另外一种焦点
在BC边上，则△ABC旳周长是( )
（A）2 3
（B）6
（C）4 3
【解析】选C.由 x+2 y2=1,得a= 3,
例题讲解
课堂练习
一、选择题（每题4分，共16分）
1.（2023·厦门模拟）椭圆 x2 + y2 =1旳离心率是( )
49
（A） 5
（B） 5
（C） 13
（D） 13
由 x2 +=y21，得
49
a=3,b=2,
∴c= a2 -b2 = 9-4= 5. ∴e= c = 5 .
二、填空题（每题4分，共8分）
5.若椭圆旳焦点在y轴上，长轴长为4，离心率e= 3 , 则其原
2
则方程为____________.
【解析】依题意得a=2,e=c = 3∴, c= 3,
a2
∴b2=a2-c2=1,
∴椭圆旳原则方程为 y+2 x2=1.
答案：y
2
+x2=1
4
4
P41 练习
作 业 教材Ｐ36 2
a3
2.焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为 4 5, 则椭圆 旳方程为( )
（A） x2 + y2 =1
36 16
（B） x2 + y2 =1
16 36
（C） x2 + y2 =1
64
（D） y2 + x2 =1

2《 椭圆的几何性质》精品课件 公开课一等奖课件

2《 椭圆的几何性质》精品课件 公开课一等奖课件

• 过程与方法目标 • （1）复习与引入过程 • 引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质 或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对 椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质 的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的 培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念 能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆 的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容 易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念； ④通过P48的思考问题，探究椭圆的扁平程度 量椭圆的离心率．〖板书〗§2．1．2椭圆的 简单几何性质．
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
c e a
a2=b2+c2
同前
例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400,
它的长轴长是：
焦距是：
10 。短轴长是：
。
6
3 离心率等于： 5
8
。
。
焦点坐标是： (3, 0) 外切矩形的面积等于：
2 2 x y 轴上，所以，椭圆的标准方程为 1 9 4 c 3 ． e 2a 20 ， （2）由已知， a 5
c 6 ，∴ b2 102 62 64 ∴ a 10 ，
2 2
，
2 2 y x x y ． 1 1 或 所以椭圆的标准方程为 100 64 100 64
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 b a
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称
|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 同前 同前

椭圆的几何性质优秀课件公开课

椭圆的几何性质优秀课件公开课
切线斜率与法线斜率互为相反数的倒数。
3
切线、法线与椭圆关系
切线、法线都与椭圆在切点处有且仅有一个公共 点。
应用举例：求解相关问题
求给定点的切线方程
给定椭圆上一点，求该点的切线方程。
求给定斜率的切线方程
给定椭圆的方程和切线的斜率，求切线的 方程。
求椭圆与直线的交点
利用切线、法线解决最值问题
给定椭圆和直线的方程，求它们的交点坐 标。
加空间的变化和美感。
椭圆在物理学中的应用
天体运动轨道
椭圆是描述天体运动轨道的重要几何形状之一， 如行星绕太阳的轨道就是椭圆形的。
光学性质
椭圆的光学性质也被广泛应用于物理学中，如椭 圆形的透镜、反射镜等。
电磁学
在电磁学中，椭圆也被用于描述电场和磁场的分 布。
椭圆在工程学中的应用
机械工程
01
椭圆在机械工程中应用广泛，如椭圆形的齿轮、轴承等机械零
工程学
在工程学中，椭圆也经常被用来描述一些物体的形状或运动轨迹。例如，一些机械零件的 截面形状就是椭圆形的；在航空航天领域，飞行器的轨道也可能是椭圆形的。
数学及其他领域
在数学领域，椭圆作为一种重要的几何图形，经常被用来研究一些数学问题。此外，在物 理学、经济学等其他领域，椭圆也有着广泛的应用。
02
从椭圆外一点向椭圆引切线，切线长 相等。这个定理在解决与椭圆切线有 关的问题时非常有用。
03
椭圆上点与焦点关系
点到两焦点距离之和为定值
椭圆上任意一点到两 个焦点的距离之和等 于椭圆的长轴长。
通过该性质，可以推 导出椭圆的其他几何 性质。
这是椭圆定义的基础 ，也是椭圆最基本的 几何性质之一。
点到两焦点距离差与长轴关系

椭圆及其标准方程课件(公开课)

椭圆及其标准方程课件(公开课)

椭圆的参数方程是描述椭圆形状 和大小的一种数学表达方式，它 通过引入参数变量来表达椭圆上
的点。
参数方程通常采用极坐标或直角 坐标系中的参数方程形式，以便
更好地描述椭圆的几何特性。
参数方程在解决与椭圆相关的数 学问题时非常有用，因为它能够 直观地表达椭圆的形状和大小。
参数方程与普通方程的转换
参数方程和普通方程是描述椭圆的不 同方式，它们之间可以进行相互转换 。
普通方程转换为参数方程则需要引入 参数变量，将其表达为参数方程的形 式。
参数方程转换为普通方程需要消去参 数变量，将其转化为标准的椭圆方程 形式。
参数方程的应用
01
在几何学中，参数方程 被广泛应用于描述和分 析椭圆的形状和性质。
02
在物理学中，参数方程 可以用于描述物体的运 动轨迹，例如行星的运 动轨迹等。
03
在工程学中，参数方程 可以用于设计各种机械 零件和机构，例如轴承 、齿轮等。
04
在经济学中，参数方程 可以用于描述市场供需 关系和价格变动等。
05
椭圆的扩展知识
椭圆的扩展定义
椭圆是平面内与两个定点$F_1$和$F_2$的距离之和等于常 数且大于$F_1$和$F_2$之间距离的点的轨迹。
扩展定义中的两个定点称为椭圆的焦点，而常数等于 $F_1$和$F_2$之间的距离时，轨迹为线段。
光学仪器
椭球面镜是许多光学仪器 的重要元件，如显微镜和 望远镜。
02
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程推导
椭圆的标准方程推导基于平面几何和 代数知识，通过设定椭圆上的点满足 的条件，经过一系列的推导和简化， 最终得到标准方程。
推导过程中涉及了椭圆的定义、性质 和参数设定等，有助于深入理解椭圆 的几何特征和代数表达。

椭圆的简单几何性质及应用课件

椭圆的简单几何性质及应用课件

所以 k 的取值范围为－∞，椭－圆2的2∪简单 2几2，何＋性∞.
质及应用
解答
跟踪训练
y
解：设与l平行的直线m：4x-5y+k=0
与椭圆相切，
4x-5y＋k＝0， 由
9x2＋25y2＝225，
O
x
得25x2＋8kx＋k2-225＝0，
令Δ＝64k2－4×25(k2-225)=0，
解得：k=25或k=-25，
11．设
F1，F2
分别是椭圆
E ：x 2＋ y2＝1(0＜ b＜1)的左 、右焦 点，过点 b2
F1
的直线交椭圆
E
于 A，B 两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆 E 的方程为________________.
椭圆的简单几何性 质及应用
本课结束
椭圆的简单几何性 质及应用
椭圆的简单几何性质及应用
16
∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
椭圆的简单几何性质及应用
17
另解1：
设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵P为弦AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2， 又∵A、B在椭圆上，∴x12＋4y12＝16，x22＋4y22＝16.
两式相减，得(x12－x22)＋4(y12－y22)＝0， 即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
显然当k=25时，m与l的距离最小，
椭圆的简单几何性质及应用
9
知识点三 弦长公式
如何求圆的弦长？
几何性质 y
O
x
如何求椭圆的弦长？
y
y=kx+m
A(x1, y1)
y=kx+m，

椭圆的简单几何性质课件培训讲解

椭圆的简单几何性质课件培训讲解

03
CHAPTER
椭圆的面积与周长
椭圆的面积
1 2
椭圆面积
椭圆的面积可以通过其长半轴和短半轴的长度计 算得出，公式为$S = pi ab$，其中$a$是长半轴 长度，$b$是短半轴长度。
面积计算
在已知椭圆的长半轴和短半轴长度的情况下，可 以直接代入公式计算出椭圆的面积。
3
面积与长、短半轴关系
椭圆的面积与其长半轴和短半轴的长度密切相关， 当长半轴和短半轴长度发生变化时，椭圆的面积 也会相应地发生变化。
转换的意义
在实际应用中，经常需要在直角坐标系和极坐标系之间进行转换。例如，在物理学、工程学和天文学等领域中， 许多问题可以通过极坐标或直角坐标方便地描述和解决。因此，掌握这两种坐标之间的转换方法对于解决实际问 题非常重要。
06
CHAPTER
椭圆的几何性质在生活中的 应用
地球轨道的椭圆性质
总结词
地球的轨道是椭圆形的，这是天文学和地理学中一个重要的 知识点。
椭圆的简单几何性质课件培训 讲解
目录
CONTENTS
• 椭圆的定义与性质 • 椭圆的焦点与离心率 • 椭圆的面积与周长 • 椭圆的切线与切点性质 • 椭圆的对称性与极坐标表示 • 椭圆的几何性质在生活中的应用
01
CHAPTER
椭圆的定义与性质
椭圆的定义
椭圆是平面内与两个定点F1、 F2的距离之和等于常数（大于
工程设计中的椭圆应用
总结词
在工程设计中，椭圆也有着广泛的应用。
详细描述
例如桥梁、建筑和机械零件的设计中，经常需要使用到椭圆的几何性质。特别是 在结构稳定性和力学分析方面，椭圆的几何性质发挥了重要的作用。
THANKS

椭圆的认识公开课教案

椭圆的认识公开课教案

椭圆的认识公开课教案简介本节公开课的主题是椭圆。

通过本课，学生将研究椭圆的定义、性质和应用。

我们将使用图像、实例和问题解决来帮助学生加深对椭圆的理解。

目标- 理解椭圆的定义和基本性质- 掌握椭圆的标准形式方程- 学会应用椭圆的概念解决问题教学安排第一部分：椭圆的定义及性质（10分钟）- 引入椭圆的概念和定义- 解释椭圆与圆的关系和区别- 讲解椭圆的离心率和焦点第二部分：椭圆的标准形式方程（15分钟）- 导出椭圆的标准形式方程- 演示如何将一个椭圆方程转化为标准形式- 给出例子，让学生尝试将给定方程转化为标准形式第三部分：椭圆的性质及应用（20分钟）- 介绍椭圆的一些重要性质，如长轴、短轴、焦点等- 示范如何使用椭圆的性质解决实际问题- 提供练题，让学生巩固椭圆的性质和应用第四部分：小组讨论与呈现（15分钟）- 将学生分为小组，让他们在小组内讨论和解决椭圆相关问题- 每个小组选择一个代表，向全班呈现他们的解决思路和结果- 教师评价和点评各组答案，提供指导和反馈第五部分：扩展活动（15分钟）- 引导学生思考椭圆在现实生活中的应用- 鼓励学生提出问题和进行进一步研究- 提供相关资源和参考资料，供学生深入研究椭圆总结通过本节公开课，学生将对椭圆有更深入的认识。

他们将掌握椭圆的定义、性质和应用，并能够运用这些知识解决问题。

教师将通过图像、实例和问题解决的方式引导学生研究，帮助他们建立对椭圆的直观理解和数学抽象能力。

同时，教师将鼓励学生进行进一步的探究和应用，促进学生的研究兴趣和能力发展。

以上是本节公开课的教案内容，请根据实际情况进行调整和安排。

椭圆几何性质的应用课件

椭圆几何性质的应用课件
椭圆几何性质的应用PPT 课件
本课件旨在介绍椭圆的基本性质以及其在实际应用中的重要性和广泛应用领 域。探索椭圆的奥秘，发现椭圆的美丽与实用。
椭圆的定义与性质
定义
椭圆是平面上到两个固定点 F1和F2的距离之和等于常数 2a的点的轨迹。
焦点和准线
椭圆有两个焦点，焦点间的 距离为2c。准线是通过焦点 垂直于长轴的线。
离心率
椭圆的离心率定义为e=c/a， 表示椭圆的长轴和短轴之间 的偏离程度。
椭圆与圆的关系
以焦点为圆心的圆
以椭圆的一个焦点为圆心，以椭圆的短轴的一半为 半径的圆的方程为x^2+y^2=c^2-a^2。
以中心为圆心的圆
以椭圆的中心为圆心，以椭圆的长轴的一半为半径 的圆的方程为x^2+y^2=a^2。
2 含义和性质
椭圆的参数方程描述了椭圆上所有点的位置 关系，方便在计算和建模中的应用和表达。
椭圆的应用场景
体育领域
椭圆应用于设计体育场馆椭圆形 跑道，提供最佳的比赛体验和观 众视野。
天文学研究
行星的椭圆轨道运动是天文学研 究中的核心内容，有助于预测和 解释天体运动。
建筑设计
椭圆形结构被广泛应用于建筑设 计中，提供美观的外观和结构稳 定性。
椭圆的标准方程
1 推导
椭圆的标准方程推导为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a为长轴的一半，b为短轴的一半。
2 含义和性质
椭圆的标准方程描述了椭圆上所有点的特征性质，并提供了对椭圆形状和尺寸的清晰理 解。
椭圆的参数方程
1 推导
椭圆的参数方程推导为x = a * cos(t)，y = b * sin(t)，其中t为参数，0 ≤ t ≤ 2π。

椭圆几何性质优质课市公开课一等奖省优质课获奖课件

椭圆几何性质优质课市公开课一等奖省优质课获奖课件
开始新课
第2页
一、椭圆范围
由
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
1和
y2 b2
1
即 x a和 y b
y
说明：椭圆位于矩形之
中。
o
x
第3页
二、椭圆对称性
在
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
之中，把---换成---，方程不
y
变，说明：
椭圆关于---轴对称； 椭圆关于---轴对称；
o
x
椭圆关于---点对称；
1(a
b
0)
|x|≤ a,|y|≤ b
|x|≤ b,|y|≤ a
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。
（ a ,0 ）,(0, b)
( c,0)
（ b ,0 ）,(0, a)
(0, c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a2=b2+c2
e c
a
第13页
小结：基本元素
{1}基本量：a、b、c、e、p（共五个量）
故，坐标轴是椭圆对称轴， 中心：椭圆对称中心叫
原点是椭圆对称中心
做椭圆中心
第4页
三、椭圆顶点
在 x 2 y 2 1(a b 0) a2 b2
中，令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴交点？
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴交点？
*顶点：椭圆与它对称轴四 个交点，叫做椭圆顶点。
y B1(0,b)
o
x
1）e 越靠近 1，c 就越靠近 a，从而 b就越小（？），椭 圆就越扁（？）
2）e 越靠近 0，c 就越靠近 0，从而 b就越大（？），椭 圆就越圆（？）

3.1.2椭圆几何性质的应用第2课时课件新教材人教A版选择性必修第一册

3.1.2椭圆几何性质的应用第2课时课件新教材人教A版选择性必修第一册

t;0)的位置关系的判断方法：由
2
＝ + ，
ቐ2
2
+
消去y得到一个关于x的一元二次方程，然后由该方程
2
＝1，
2

的解的个数（根的判别式的大小）判断直线与椭圆的位置关系．
位置关系
解的个数
Δ的大小
相交
相切
2
__
1
__
>
Δ__0
＝
Δ__0
相离
0
__
<
Δ__0
问题式预习
第2课时 椭圆几何性质的应用
直线l交椭圆于A，B两点，则弦长|AB|＝________．
16 5
9
2
解析：由题易知椭圆的标准方程为
5
+
2
＝1，＝
4
5，b＝
2，c＝1.
根据椭圆的对称性，不妨设焦点F为左焦点，则直线l的方程为y＝x
＋1.
＝ + 1，
2＋10x－15＝0.
联立ቊ 2
消去y，得9x
4 + 5 2 ＝20，
任务型课堂
课后素养评价
[微训练]
2
1．直线x＋2y＝m与椭圆 ＋y2＝1只有一个交点，则m的值为(
4
A．2 2
B．± 2
C．±2 2
+ 2＝，
C
解析：由ቐ 2
4
+ 2 ＝1，
消去y，并整理得2x2－2mx＋m2－4＝0.
由Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得m2＝8.
所以m＝±2 2.
5
任务型课堂
课后素养评价
2
+ ＝1总有公共

椭圆性质公开课课件

椭圆性质公开课课件

x 2 y 2 + = 1 一层练习： 一层练习： 16 9 2 2
1.椭圆 椭圆 为 8
9 x + 16 y = 144的长轴长
、 短轴的长为 6
e = 7 4
、
离心率为
F1 ( −
、 焦点坐标为 、顶点的坐标 。
7 , 0 ), F 2 (
7 ,0 )
为 A(−4,0), A′(4,0); B(0,−3), B′(0,3)
二层练习： 二层练习：
2.求经过点 （－8，0）、B（0，4） 求经过点A（ 求经过点 ， ） （ ， ） 的椭圆的标准方程． 的椭圆的标准方程．
3 3.求长轴的长等于 ，离心率等于 求长轴的长等于10， 求长轴的长等于 5 的椭圆的标准方程． 的椭圆的标准方程．
3.求经过点 （－8，0）、B（0，4）的 求经过点A（ ， ） 求经过点 （ ， ） 椭圆的标准方程． 椭圆的标准方程． 解法一：由椭圆性质知： 解法一：由椭圆性质知：A（－8，0）、
椭圆的简单几何性质
高二（13）班 刘世锦
曲线 定义 标准方程 图 形
椭
圆
的距离的和等于常数（大于| 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点 的轨迹
x2 y2 + 2 = 1( a > b > 0 ) 2 a b
y2 x2 + 2 = 1( a > b > 0 ) 2 a b
4、椭圆性质的应用 、
的左焦点作倾斜角为60° 例8：过椭圆 x 2 + 2 y 2 = 4 的左焦点作倾斜角为 °的弦 ： AB，求AB弦长。 弦长。 ， 弦长
x2 y2 + = 1，过点 （2，1）作一弦，使 过点P（ ， ）作一弦， 例8：已知椭圆 ：已知椭圆 16 4

椭圆标准方程及性质的应用 课件

椭圆标准方程及性质的应用 课件

代入椭圆方程并整理，得 (4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)、B(x2，y2)， 则 x1、x2 是方程的两个根， 于是 x1＋x2＝842kk22＋－1k. 又 M 为 AB 的中点， ∴x1＋2 x2＝442kk22＋－1k＝2， 解之得 k＝－12. 故所求直线的方程为 x＋2y－4＝0.
法二 设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)、B(x2，y2)． 又 M(2,1)为 AB 的中点， ∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又 A、B 两点在椭圆上， 则 x12＋4y12＝16，x22＋4y22＝16.
两式相减得(x21－x22)＋4(y12－y22)＝0. 于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∴xy11－－yx22＝－4xy11＋＋xy22＝－12， 即 kAB＝－12. 又直线 AB 过 M(2,1)点， 故所求直线的方程为 x＋2y－4＝0.
直线与椭圆的位置关系的判断 对不同的实数值 m，讨论直线 y＝x＋m 与椭圆x42 ＋y2＝1 的位置关系． 【思路探究】 联立两个方程 ―→ 消去y得到关于 x的二次方程 ―→ 求Δ ―→ 讨论Δ得结论
【自主解答】 联立方程组得：
y＝x＋m
①
x42＋y2＝1
②
将①代入②得：x42＋(x＋m)2＝1
【思路探究】 设点A，B坐标 → 代入椭圆方程 → 点差法求kAB → 求直线AB方程 → 求弦AB长
【自主解答】 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 A，B 两点在椭圆上得xx2122＋＋22yy2122＝＝44，， 两式相减得
(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)(y1＋y2)＝0 ① 显然 x1≠x2，故由①得：kAB＝xy11－－yx22＝－2xy11＋＋xy22. 因为点 P(－1,1)是 AB 的中点，所以有： x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2， ② 把②代入①得：kAB＝12，
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高二数学公开课教案：椭圆性质的运用曾木顺三维目标1、知识与能力(1)通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．（2）思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．（3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．（4）创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径． 2、过程与方法理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的简单几何性质解决实际问题； 3、情感、态度与价值观目标通过知识的运用及问题的解决，培养学生学习数学的兴趣。

4.教学重、难点：（1）教学重点：椭圆的方程及其几何性质的运用 （2）教学难点：灵活运用椭圆的几何性质5.本节所用的数学思想方法：数形结合的思想方法，化归思想方法。

教学过程：（一）复习引入：椭圆的简单几何性质如下标准方程)0(12222>>=+b a b y a x )0(12222>>=+b a b x a y 图形范围 -a ≤x ≤a,-b ≤y ≤b-b ≤x ≤b, -a ≤y ≤a对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称顶点坐标（±a ,0）(0,±b )(±b ,0),(0,±a )（二）进行新课例1：已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为23，点A ，B 分别是椭圆C 的长轴、短轴的端点，点O 到直线AB 的距离为556。

（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点E （3，0），设点P 、Q 是椭圆C 上的两个动点，满足EP ⊥EQ ，求⋅的取值范围。

【分析】本题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及计算能力。

解：(1)由离心率23==a c e ，得 2112=-=e a b ∴ b a 2= ① ∵原点O 到直线AB 的距离为556∴55622=+ba ab ② ，将①代入②，得92=b ，∴362=a 则椭圆C 的标准方程为193622=+y x （2）∵ EQ EP ⊥ ∴ 0=⋅ ∴ 2)(=-⋅=⋅设),(y x P ，则193622=+y x ，即4922x y -= ∴6)4(434996)3(222222+-=-++-=+-==⋅x x x x y x EP QP EP ∵ 66≤≤-x ， ∴ 816)4(4362≤+-≤x则QP EP ⋅的取值范围为[]816，　。

巩固练习 1.若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则FP OP •的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．6D ．8例2.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M 向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，向量与OM 是共线向量。

（1）求椭圆的离心率e ；（2）设Q 是椭圆上任意一点， F 1、F 2分别是左、右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围；（3）设焦点三角形21F QF 中,21θ=∠QF F 则2tan221θb S QF F =∆。

解：（1）∵a b y c x c F M M 21,),0,(=-=-则，∴acb k OM 2-=。

∵OM a b k AB 与,-=是共线向量，∴ab ac b -=-2，∴b=c,故22=e 。

（2）设1122121212,,,2,2,FQ r F Q r F QF r r a F F c θ==∠=∴+==22222221212122121212124()24cos 11022()2r r c r r r r c a a r r r r r r r r θ+-+--===-≥-=+当且仅当21r r =时，cos θ=0，∴θ]2,0[π∈。

(3)θcos 2)2(2122212212QF QF QF QF F F c -+==)cos 1(2)(21221θ+-+=QF QF QF QF θθθcos 12)cos 1(244)cos 1(24)(222222121+=+-=+-+=∴b c a c QF QF QF QF 2tan sin cos 1sin ||||21222121θθθθb b QF QF S QF F =+==∆巩固练习 2. P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，F 1 F 2是焦点，若∠F 1PF 2=600,则∆ F 1PF 2的面积是___________________巩固练习 3. 已知F 1、F 2分别是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点, P 是椭圆上的一点, ,90021=∠PF F 求椭圆的离心率的最小值。

巩固练习 4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC △的顶点(40)A -，和(40)C ，，顶点B 在椭圆221259x y +=上，则sin sin sin A CB+= (三)小结：1.注意椭圆简单几何性质在问题中作为隐含条件的运用2. 注意椭圆定义及数学思想方法的运用 （四）作业1.已知点P （4，4），圆C ：22()5(3)x m y m -+=<与椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>有一个公共点A （3，1），F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切．（Ⅰ）求m 的值与椭圆E 的方程；（Ⅱ）设Q 为椭圆E 上的一个动点， 求AP AQ ⋅的取值范围．解．（Ⅰ）点A 代入圆C 方程，得2(3)15m -+=．∵m ＜3，∴m ＝1． 圆C ：22(1)5x y -+=．设直线PF 1的斜率为k ，则PF 1：(4)4y k x =-+，即440kx y k --+=． ∵直线PF 1与圆C=111,22k k ==或． 当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去．当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4， ∴c ＝4．F 1（－4，0），F 2（4，0）．2a ＝AF 1＋AF 2＝=a =a 2＝18，b 2＝2． 椭圆E 的方程为：221182x y +=．（Ⅱ）(1,3)AP =，设Q （x ，y ），(3,1)AQ x y =--，(3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-．∵221182x y +=，即22(3)18x y +=， 而22(3)2|||3|x y x y +⋅≥，∴－18≤6xy ≤18．则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[0，36]．3x y +的取值范围是[－6，6]．∴36AP AQ x y ⋅=+-的取值范围是[－12，0]．2. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=＞＞上的两点Q P 、在x 轴上的射影分别为椭圆的左、右焦点，且Q P 、两点的连线的斜率为2。

（1）求椭圆的离心率e 的大小；（2）设点M （0，3）在椭圆内部，若椭圆C 上的点到点M的最远距离不大于C 的短轴长的取值范围。

解（1）设点00()()P c y Q c y --，，，，其中00y ＞， ∵ 点P 在椭圆上，∴ 220221y c a b +=，∴422002b b y y a a==±，∴22()()b b P c Q c a a--，，，，∴22222PQ b b a k c ac ===，22)a c ac -=2)e e -=，解得e =2e =. （2）由（1）知，a c b ==，，故椭圆方程为222212x y b b+=∵点M （0，3）在椭圆内部，∴ 3b ＞.设()N x y ，为椭圆上任意一点，则22222(3)(3)218MN x y y b =+-=-+++ 其中b y b -≤≤.∵3b ＞，∴3b --＜，∴当3y =-时，2MN 的最大值为2218b +.依题意:250MN MN ≤∴≤, ∴221850b +≤. ∴ 04b ≤＜， 又3b ＞，∴34b ≤＜，即628b ≤＜ ∴椭圆的短轴长的取值范围是(]68，.（五）备选习题1.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y=kx+m 与椭圆C 相交于A,B 两点（A,B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解：（I ）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得：3a c +=，1a c -=，2a ∴=，1c =，2223b a c ∴=-= ∴椭圆的标准方程为22143x y += （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-⋅=⎪+⎩，即，则， 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+，因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(20)D ，，1AD BD k k ∴=-，即1212122y yx x •=---， 1212122()40y y x x x x ∴+-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k--∴+++=+++，227164m mk k ∴++= 解得：12m k =-，227k m =-，且均满足22340k m +->， 当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点(20)，，与已知矛盾； 当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，2. 如图，A 为椭圆12222=+by a x (0)a b >>上的一个动点，弦AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2．当AC 垂直于x 轴 时，恰好|AF 1|:|AF 2=3:1（I ）求该椭圆的离心率；（II ）设B F AF 111λ=，C F AF 222λ=，试判断λ1+λ2是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．解：（I ）当A C 垂直于x 轴时，12:3:1AF AF =，由122AF AF a +=，得132a AF =，22a AF = 在Rt△12AF F 中，21AF =222(2)AF c +解得 e=2． （II ）由e =22，则221222=-=-=e a c a a b ，c b =． 焦点坐标为12(0)(0)F b F b -，，，，则椭圆方程为122222=+by b x ， 化简有22222b y x =+．设00()A x y ，，1122()()B x y C x y ，，，， ①若直线AC 的斜率存在，则直线AC 方程为)(00b x bx y y --=代入椭圆方程有0)(2)23(20200202=--+-y b y b x by y bx b ．由韦达定理得：022022023bx b y b y y --=，∴0202223bx b y b y --=所以bx b y y CF AF 02022223-=-==λ，同理可得b x b b x b 0012323+=---=λ 故λ1+λ2=66=bb．②若直线AC x ⊥轴，b x =0，12=λ，5231=+=bbb λ ∴λ1+λ2＝6．综上所述：λ1+λ2是定值6．。