余弦定理知识点+经典题(有答案)

课时功课2 余弦定理 【2 】时光：45分钟 满分：100分教室练习1．在△ABC 中,已知a ＝5,b ＝4,∠C ＝120°.则c 为( ) A.41B.61 C.41或61D.21 【答案】B【解析】c ＝a2＋b2－2abcosC ＝52＋42－2×5×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝61. 2．△ABC 的内角A.B.C 的对边分离为a,b,c,若a,b,c 知足b2＝ac,且c ＝2a,则cosB ＝( ) A.14B.34 C.24D.23【答案】B【解析】由b2＝ac,又c ＝2a,由余弦定理 cosB ＝a2＋c2－b22ac ＝a2＋4a2－a ×2a 2a ·2a ＝34. 3．在△ABC 中,三个角A.B.C 的对边边长分离为a ＝3.b ＝4.c ＝6,则bccosA ＋cacosB ＋abcosC ＝________. 【答案】612【解析】bccosA ＋cacosB ＋abcosC ＝bc ·b2＋c2－a22bc ＋ca ·c2＋a2－b22ac ＋ab ·a2＋b2－c22ab＝12(b2＋c2－a2)＋12(c2＋a2－b2)＋12(a2＋b2－c2)＝12(a2＋b2＋c2)＝612. 4．在△ABC 中：(1)a ＝1,b ＝1,∠C ＝120°,求c;(2)a ＝3,b ＝4,c ＝37,求最大角; (3)a:b:c ＝1:3:2,求∠ A.∠ B.∠C. 【剖析】 (1)直接运用余弦定理即可; (2)在三角形中,大边对大角; (3)可设三边为x,3x,2x.【解析】(1)由余弦定理,得c2＝a2＋b2－2abcosC ＝12＋12－2×1×1×(－12)＝3,∴c ＝ 3. (2)显然∠C 最大,∴cosC ＝a2＋b2－c22ab ＝32＋42－372×3×4＝－12.∴∠C ＝120°. (3)因为a:b:c ＝1:3:2,可设a ＝x,b ＝3x,c ＝2x(x>0)． 由余弦定理,得cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝3x2＋4x2－x22·3x ·2x ＝32, ∴∠A ＝30°.同理cosB ＝12,cosC ＝0.∴∠B ＝60°,∠C ＝90°. 【纪律办法】1．本题为余弦定理的最根本运用,应在此基本上闇练地控制余弦定理的构造特点． 2．对于第(3)小题,依据已知前提,设出三边长,由余弦定理求出∠A,进而求出其余两角,别的也可斟酌用正弦定理求∠B,但要留意评论辩论解的情形．课后功课一.选择题(每小题5分,共40分) 1．△ABC 中,下列结论：①a2>b2＋c2,则△ABC 为钝角三角形; ②a2＝b2＋c2＋bc,则∠A 为60°; ③a2＋b2>c2,则△ABC 为锐角三角形; ④若∠A:∠B:∠C ＝1:2:3,则a:b:c ＝1:2:3, 个中准确的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4 【答案】A【解析】①cosA ＝b2＋c2－a22bc <0, ∴∠A 为钝角,准确; ②cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝－12, ∴∠A ＝120°,错误; ③cosC ＝a2＋b2－c22ab>0, ∴∠C 为锐角,但∠A 或∠B 不必定为锐角,错误; ④∠A ＝30°,∠B ＝60°,∠C ＝90°, a:b:c ＝1:3:2,错误．故选A.2．△ABC 的三内角A.B.C 所对边长分离为a.b.c,设向量p ＝(a ＋c,b),q ＝(b －a,c －a)．若p ∥q,则∠C 的大小为( ) A.π6B.π3 C.π2D.23π 【答案】B【解析】∵p ＝(a ＋c,b),q ＝(b －a,c －a)且p ∥q, ∴(a ＋c)(c －a)－b(b －a)＝0即a2＋b2－c2＝ab,∴cosC ＝a2＋b2－c22ab ＝ab 2ab ＝12. ∴∠C ＝π3. 3．△ABC 中,角A,B,C 的对边分离为a,b,c,∠A ＝π3,a ＝7,b ＝1,则c 等于( ) A ．22B ．3 C.3＋1 D ．23 【答案】B【解析】由余弦定理得,a2＝b2＋c2－2bccosA,所以(7)2＝1＋c2－2×1×c ×cos π3, 即c2－c －6＝0,解得c ＝3或c ＝－2(舍)．故选B.4．在不等边三角形ABC 中,a 为最大边,且a2<b2＋c2,则∠A 的取值规模是( ) A ．(π2,π) B ．(π4,π2) C ．(π3,π2) D ．(0,π2) 【答案】C【解析】因为a 为最大边,所以∠A 为最大角,即∠A>∠B,∠A>∠C,故2∠A>∠B ＋∠ C.又因为∠B ＋∠C ＝π－∠A,所以2∠A>π－∠A,即∠A>π3.因为a2<b2＋c2,所以cosA ＝b2＋c2－a22bc >0,所以0<∠A<π2.综上,π3<∠A<π2. 5．在△ABC 中,已知a ＝4,b ＝6,∠C ＝120°,则sinA 的值为( ) A.5719B.217 C.338D ．－5719【答案】A【解析】由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab ·cosC ＝42＋62－2×4×6(－12)＝76, ∴c ＝76.由正弦定理得a sinA ＝c sinC ,即4sinA ＝76sin120°, ∴sinA ＝4sin120°76＝5719. 6．△ABC 中,a.b.c 分离为∠ A.∠B.∠C 的对边,且2b ＝a ＋c,∠B ＝30°,△ABC 的面积为32,那么b 等于( ) A.1＋32B ．1＋3 C.2＋32D ．2＋3 【答案】B【解析】∵2b ＝a ＋c,又因为∠B ＝30°, ∴S △ABC ＝12acsinB ＝12acsin30°＝32,解得ac ＝6, 由余弦定理：b2＝a2＋c2－2accosB＝(a ＋c)2－2ac －2ac ·cos30°＝4b2－12－63, 即b2＝4＋23,由b>0解得b ＝1＋ 3.7．在△ABC 中,若acosA ＋bcosB ＝ccosC,则这个三角形必定是() A ．锐角三角形或钝角三角形 B ．以a 或b 为斜边的直角三角形 C ．以c 为斜边的直角三角形 D ．等边三角形 【答案】B【解析】由余弦定理acosA ＋bcosB ＝ccosC 可变为a ·b2＋c2－a22bc ＋b ·a2＋c2－b22ac＝c ·a2＋b2－c22ab, a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＝c2(a2＋b2－c2) a2b2＋a2c2－a4＋b2a2＋b2c2－b4＝c2a2＋c2b2－c4 2a2b2－a4－b4＋c4＝0, (c2－a2＋b2)(c2＋a2－b2)＝0, ∴c2＋b2＝a2或a2＋c2＝b2, ∴以a 或b 为斜边的直角三角形．8．若△ABC 的周长等于20,面积是103,∠A ＝60°,则BC 边的长是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】C【解析】依题意及面积公式S ＝12bcsinA, 得103＝12bc ×sin60°,即bc ＝40.又周长为20,故a ＋b ＋c ＝20,b ＋c ＝20－a.由余弦定理,得a2＝b2＋c2－2bccosA ＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc ＝(b ＋c)2－3bc,故a2＝(20－a)2－120,解得a ＝7. 二.填空题(每小题10分,共20分)9．在△ABC 中,三边长AB ＝7,BC ＝5,AC ＝6,则AB →·BC →的值为________． 【答案】－19【解析】由余弦定理可求得cosB ＝1935,∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B)＝－|AB →|·|BC→|·cosB ＝－19.10．已知等腰三角形的底边长为a,腰长为2a,则腰上的中线长为________． 【答案】62a【解析】如图,AB ＝AC ＝2a,BC ＝a,BD 为腰AC 的中线,过A 作AE ⊥BC 于E,在△AEC 中,cosC ＝EC AC ＝14,在△BCD 中,由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC ·CD ·cosC,即BD2＝a2＋a2－2×a ×a ×14＝32a2,∴BD ＝62a. 三.解答题(每小题20分,共40分．解答应写出必要的文字解释.证实进程或演算步骤) 11．在△ABC 中,已知b2sin2C ＋c2sin2B ＝2bccosB ·cosC,试断定三角形的外形． 【剖析】 解决本题,可分离运用正弦定理或余弦定理,把问题转化成角或边的关系求解． 【解析】办法一：由正弦定理a sinA ＝b sinB ＝csinC＝2R,R 为△ABC 外接圆的半径,将原式化为8R2sin2Bsin2C ＝8R2sinBsinCcosBcosC. ∵sinBsinC ≠0,sinBsinC ＝cosBcosC,即cos(B ＋C)＝0,∴∠B ＋∠C ＝90°,∠A ＝90°,故△ABC 为直角三角形． 办法二：将已知等式变为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosBcosC. 由余弦定理可得：b2＋c2－b2·(a2＋b2－c22ab )2－c2(a2＋c2－b22ac)2＝2bc ·a2＋b2－c22ab ·a2＋c2－b22ac. 即b2＋c2＝[a2＋b2－c2＋a2＋c2－b2]24a2也即b2＋c2＝a2,故△ABC 为直角三角形．【纪律办法】 在运用正弦定理实行边角转化时,等式双方a,b,c 及角的正弦值的次数必须雷同,不然不能互相转化．12．(2013·全国新课标Ⅰ,理)如图,在△ABC 中,∠ABC ＝90°,AB ＝3,BC ＝1,P 为△ABC 内一点,∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12,求PA; (2)若∠APB ＝150°,求tan ∠PBA.【解析】(1)由已知得,∠PBC ＝60°,∴∠PBA ＝30°,在△PBA 中,由余弦定理得PA2＝3＋14－2×3×12cos30°＝74,∴PA ＝72. (2)设∠PBA ＝α,由已知得,PB ＝sin α, 在△PBA 中,由正弦定理得3sin150°＝sin αsin 30°－α,化简得,3cos α＝4sin α,∴tan α＝34,∴tan ∠PBA ＝34.。

高二数学余弦定理试题答案及解析1.在中，若，则的形状是 ( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A．【解析】由，结合正弦定理可得，，由余弦定理可得，所以．所以是钝角三角形．【考点】余弦定理的应用；三角形的形状判断．2.在中,角、、的对边分别为、、,且,.（1）求的值；（2) 设函数,求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，可知，又，代入余弦定理即可求的值；（2）由(1)得，，由两角和的正弦即可.（1）因为，所以，又，所以(2)由(1)得，所以.【考点】余弦定理，两角和的正弦3.在中,角所对的边分别为,已知,,,求.【答案】【解析】该题为在中求余弦,而三角形中求边或是求角一般都使用正弦定理以及余弦定理解决；本题中，已知两边以及一角，所以使用余弦定理求第三边 ,再根据三边，利用余弦定理求.试题解析：由余弦定理得：，∴，.【考点】余弦定理.4.在中，，则（）．A．B．C．D．【解析】，因为，所以。

【考点】余弦定理。

5.如图，正三棱锥S—ABC中，∠BSC=40°，SB=2，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（）A．2B．3C．D．【答案】C【解析】沿将棱锥剪开另一点用表示，则。

质点的最短路线为线段，在中，，所以。

故C正确。

【考点】1余弦定理；2转化思想。

6.已知、、为的三内角，且其对边分别为、、，若．（1）求；（2）若，求的面积．【答案】(1) (2)【解析】(1)利用两角和与差的余弦公式,得出,从而得出得值,进一步得出的值.(2) 先利用余弦定理求出的值,然后利用三角形面积公式得出的面积.试题解析：(1)2分又6分(2)由余弦定理得 9分即:11分14分【考点】余弦定理及三角形面积公式.7.边长为的三角形的最大角与最小角的和是（）A．B．C．D．【解析】设中间角为, 则【考点】解斜三角形，余弦定理.8.的内角的对边分别为．若成等比数列，且，则( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】因为成比数列，所以有，且，由余弦定理推论，故正确答案是C.【考点】1.余弦定理；2.等比数列.9.△ABC中B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为。

高二数学余弦定理试题答案及解析1.在中，若，则的形状是 ( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A．【解析】由，结合正弦定理可得，，由余弦定理可得，所以．所以是钝角三角形．【考点】余弦定理的应用；三角形的形状判断．2.在中，分别是角所对的边，且满足．(1) 求的大小；(2) 设向量，求的最小值．【答案】(1) ；（2）．【解析】（1）利用余弦定理可求得的值，从而求得；（2）利用向量的坐标运算可求得，从而可求得的最小值．(1)∵，∴．又∵，∴．（2），∵，∴．∴当时，取得最小值为．【考点】1、余弦定理；2、平面向量的坐标运算；3、二次函数的值域．3.已知中的对边分别为若且，则( )A．2B．4＋C．4—D．【答案】A【解析】解三角形问题，已知两边一角，求第三边，可用余弦定理.因为，，所以【考点】余弦定理4.如图，正三棱锥S—ABC中，∠BSC=40°，SB=2，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（）A．2B．3C．D．【答案】C【解析】沿将棱锥剪开另一点用表示，则。

质点的最短路线为线段，在中，，所以。

故C正确。

【考点】1余弦定理；2转化思想。

5.如图所示，已知两座灯塔A、Ｂ与海洋观测站Ｃ的距离都等于，灯塔A在观测站Ｃ的北偏东，灯塔Ｂ在观测站Ｃ的南偏东,则灯塔A与灯塔Ｂ的距离为（）A． B． C．Ｄ．【答案】C【解析】如图可知，根据余弦定理可得，故选C.【考点】1.余弦定理的应用；2.解斜三角形.6.若2x，2x+1，3x+3是钝角三角形的三边，则实数x的取值范围是 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】当三边能构成三角形时。

所以最长边为，若三角形为钝角三角形则边长为的边所对的角的余弦值小于0即，整理得，解得或。

所以B正确。

【考点】1三角形两边之和大于第三遍；2余弦定理。

7.中，在边上，且，，，，则的长等于．【答案】【解析】在中，,.在中,由余弦定理:=.【考点】1余弦定理；2、勾股定理；三角形内角和定理.8.△ABC中, ∠A，∠B，∠C所对的边分别为a, b, c.若,∠C=, 则边 c 的值等于（）A．5B．13C．D．【答案】C【解析】利用余弦定理可得:故选C【考点】解三角形,余弦定理的应用.9.椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，的小大为．【答案】1200.【解析】因为=3，，=4.又因为.所以在三角形中..故填1200.本题是椭圆的定义与解三角形知识的应用.【考点】1.椭圆的定义.2.余弦定理用于解三角形.10.在△中，三边、、所对的角分别为、、，若，则角的大小为．【答案】【解析】利用余弦定理变形得到.又因为所以所以【考点】余弦定理11.在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则的值为( )A．79B．69C．5D．-5【答案】D【解析】本题容易误将看作是向量与的夹角．由余弦定理知,根据向量数量积的定义知．【考点】余弦定理和向量的数量积12.在中，下列关系式不一定成立的是（）。

高二数学余弦定理试题答案及解析1.△ABC的内角的对边分别为，若成等比数列，且，则（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】∵，，成等比数列，∴，又∵，∴，∴.【考点】余弦定理的变式.2.在中，，则（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】，因为，所以。

【考点】余弦定理。

3.若2x，2x+1，3x+3是钝角三角形的三边，则实数x的取值范围是 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】当三边能构成三角形时。

所以最长边为，若三角形为钝角三角形则边长为的边所对的角的余弦值小于0即，整理得，解得或。

所以B正确。

【考点】1三角形两边之和大于第三遍；2余弦定理。

4.中，在边上，且，，，，则的长等于．【答案】【解析】在中，,.在中,由余弦定理:=.【考点】1余弦定理；2、勾股定理；三角形内角和定理.5.在锐角三角形中，边、是方程的两根，角、满足，求角的度数，边的长度及的面积.【答案】，，【解析】由以及为锐角三角形，可以求出角，根据一元二次方程根与系数之间的关系可得到，，再由余弦定理可以求出，最后用三角形面积公式求出的面积.试题解析:由，得,为锐角三角形，,,又是方程的两根，，，，..【考点】解三角形，余弦定理，三角形面积公式6.在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则的值为( )A．79B．69C．5D．-5【答案】D【解析】本题容易误将看作是向量与的夹角．由余弦定理知,根据向量数量积的定义知．【考点】余弦定理和向量的数量积7.某人向东方向走了x千米，然后向右转，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是。

【答案】4【解析】根据题意画出相应的图形，由邻补角定义求出∠ABC的度数，利用余弦定理列出关系式，将AB，BC及cos∠ABC的值代入得到关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值。

解：根据题意画出相应的图形，如图所示：在△ABC中，AB=x千米，BC=3千米，AC=千米，∠ABC=180°-120°=60°，由余弦定理得： =，即（x-4）（x+1）=0，解得：x=4或x=-1（舍去），则x的值为4千米．故答案为：4千米【考点】余弦定理点评：此题考查了余弦定理，利用了数形结合的思想，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．8.△ABC中B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为。

正弦定理与余弦定理【知识概述】在△ABC 中，a , b, c 分别为内角A, B, C 的对边，R 为△ABC 外接圆半径. 1. 正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === 定理变式：A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=R a A 2sin =，R b B 2sin =，Rc C 2sin = ,sin sin ,sin sin ,sin sin C b B c A c C a A b B a ===C B A c b a sin :sin :sin ::=2.余弦定理：C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2,cos 2,cos 2222222222-+=-+=-+=定理变式：,2cos ,2cos ,2cos 222222222abc b a C ac b c a B bc a c b A -+=-+=-+=3.射影定理：,cos cos ,cos cos ,cos cos A c C a c A c C a b B c C b a +=+=+=4.面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆【学前诊断】1．[难度] 易在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．[难度] 易在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或3．[难度] 易在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 且ba b a c -=-222，∠C = .【经典例题】例1．在△ABC 中，若 ,则△A =45°，a = 2,c ，则△B =_______, b =___________.例2．已知△ ABC 满足条件cos cos ,a A b B =判断△ ABC 的形状.例3． 在△ABC 中，△A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且满足 cos3.25A AB AC =⋅= （1）求△ ABC 的面积；（2）若b + c =6，求a 的值．例4．在△ABC 中，a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++ （1）求A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值.例5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是 a ，b ，c ，已知 c =2，C =π3．（1）若△ABC a ，b ； （2）若sin 2sin B A =，求△ABC 的面积．【本课总结】一、合理选择使用定理解三角形需要利用边角关系，正弦定理和余弦定理是刻画三角形边角关系的重要定理，如何恰当的选择公式则是解题的关键，一般来说，如果题目中含有边的一次式或角的正弦，可考虑选择正弦定理，如果题目中含有边的二次式或角的余弦，可考虑选择余弦定理.二、确定三角形的形状常用归一法 在解三角形的题目中，条件中往往会同时涉及边和角，解题策略则是选择合适的公式把已知条件转化成只含有边或角的关系式.三、解三角形主要涉及的问题解三角形主要处理的是三角形中各边的长度、角的大小以及三角形面积等问题，在三角形中有六个基本元素，三条边、三个角，通常是给出三个独立条件，可求出其它的元素，如果是特殊三角形，如直角三角形，则给出两个条件就可以了.如，若已知两边a,b 和角A,则解的情况如下：（1）当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解. （2）当A 为锐角时，如果a≥b ，那么只有一解；如果a<b ，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若>sin a b A ，则有两解； （2）若sin a b A =，则只有一解； （3）若sin a b A <，则无解.【活学活用】1．[难度] 易在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，A =60°，a =3，b =1，则c 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3－1 D. 32. [难度] 易△ABC 中，若a =2b cos C ，则△ABC 的形状一定为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形3. [难度] 中在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若满足c a )13(-=，tan 2tan B a cC c-=，求A 、B 、C 的大小.。

余弦定理知识点总结（精华）与试题答案详解1、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．2、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=．3、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =o； ②若222a b c +>，则90C <o；③若222a b c +<，则90C >o．例题：1 在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ；解析：（1）∵2222cos =+-b a c ac B=222+-⋅COS 045=2121)+-=8∴=b 求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：∵cos 2221,22+-=b c a A bc ∴60.=A解法二：∵sin0sin sin45,=a A B b2.4 1.43.8,+=21.8 3.6,⨯=∴a ＜c ，即00＜A ＜090,∴060.=A2 若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC（A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由sin :sin :sin 5:11:13A B C=及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=c ，所以角C 为钝角3 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=2a ，则A.a ＞bB.a ＜bC. a ＝bD.a 与b 的大小关系不能确定4 △ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若223a b bc -=，sin 23C B =，则A= （A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）0150 【答案】A【解析】由由正弦定理得23232c b c b R =⇒=， 所以cosA=2222+c -a 32b bc c bc -+==323322bc bcbc -+=，所以A=300余弦定理练习题余弦定理练习题答案。

高一数学余弦定理试题答案及解析1.在△ABC中，设AD为BC边上的高，且AD = BC，b，c分别表示角B，C所对的边长，则的取值范围是____________．【答案】.【解析】因为BC边上的高AD=BC=a，所以，则，又，所以，其中有tanA=2，又由基本不等式有所以的取值范围.【考点】三角形的面积公式，辅助角公式，余弦定理，基本不等式，正弦函数的定义域与值域.2.已知ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于是的重心，,.代入得由于不共线，【考点】平面向量共线定理和余弦定理的应用.3.△中，若，则△的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形【答案】B【解析】由，结合余弦定理得，即有，此题也可运用正弦定理化边为角，从角来判定三角形的形状，可能不及运用余弦定理简便【考点】余弦定理和三角形形状的判定.4.在中，已知，则 .【答案】【解析】由得，由余弦定理，所以，即，在中，,那么.【考点】1.余弦定理；2.特殊角的三角函数值.5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知向量，，．(1)求角C的大小； (2)若，求角A的值．【答案】（1）；（2）【解析】解题思路：（1)利用平面向量的垂直的判定得出三角形的三边的关系式，在利用余弦定理求角；（2）利用三角形的三角关系进行消元，使其变为关于角A的式子，再恒等变形求角的正弦值，结合角的范围求角．规律总结：对于以平面向量为载体考查三角函数问题，要正确利用平面向量知识化为三角函数关系式，再利用三角函数的有关公式进行变形．注意点：利用三角函数值求角时，一定要结合角所在的范围求角．试题解析：(1) 由整理得即又又因为，所以(2) 因为，所以故由即，所以．即．因为故所以【考点】1．平面向量垂直的判定；2余弦定理；3．三角恒等变换．6.某货轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军护卫舰在A处获悉后，测得该货轮在北偏东45º方向距离为10海里的C处，并测得货轮正沿北偏东105º的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢.我海军护卫舰立即以每小时21海里的速度前去营救；则护卫舰靠近货轮所需的时间是小时.【答案】.【解析】由题意可画出如下示意图，假设经过小时处护卫舰靠近了货轮，则可得，，，∴在，由余弦定理可得：.【考点】余弦定理的运用.7.在△ABC中，，则A等于（）．A．60°B．120°C．30°D．150°【答案】B【解析】根据余弦定理:,根据,可得,所以在三角形中．【考点】余弦定理．8.已知的三条边的边长分别为4米、5米、6米，将三边都截掉米后，剩余的部分组成一个钝角三角形，则的取值范围是（）A．05B．15C．13D．14【答案】C【解析】新三角形的三边分别为，其中边长为的边对的角最大记为角，所以角为钝角。

题型一：余弦定理的基本运用1. 在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若4,6,3b c A π===，则a =_______.2. 在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若3,2a b c ===，则B =_______.3. 在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若2,3a b C π==，则a bc+=_______.4. 在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若,233A a b π==，则cb=_____.5. 在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若222b ac >+，则ABC ∆是______ 三角形.（填“锐角”、“直角”或“钝角”）6. 在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，a 为最大边，若222a b c <+，则角A 的取值范围为________.7. 在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若2a =，则cos cos b C c B +=_____.8. 在ABC ∆中，若2cos a b C =，则ABC ∆的形状为_______.9. 在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若()()3a b c b c a bc +++-=，则A =________.10. 在ABC∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若222222sin 2sin sin C a c b A C a b c +-=-+-，则B =________.11. 在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若2,3a cb B π+==，则ABC∆的形状为_______.12. 在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若25,4a b ab +==，且()2cos 1A B +=，则c =_______.13. 已知锐角三角形的三边长为1,3,a ，则实数a 的取值范围为______.14. 在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若7,8,9a b c ===，则AC 边上的中线长为______.15.已知ABC ∆中，30,4,oB AC AB k ∠===，若k 的取值使三角形唯一确定，则k 的可取范围为_______.题型二：正、余弦定理的综合运用1. 在ABC ∆中，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C =_______.2. 在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若sin 3sin ,,26A CB b π===，则ABC ∆的面积等于_______.3. 如图，在ABC ∆中，4B π=，D 是边BC 上一点，5,7,3AD AC CD ===，则AB =______.4. 已知ABC ∆的面积是30，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若12cos ,113A b c =-=，则a =_______.5. 在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若22a b -=，sin C B =，则A =________.6. 已知ABC ∆的周长是20，面积为3A π=，则边长BC =_______.7. 在锐角三角形ABC 中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，6cos b aC a b+=，则tan tan tan tan C CA B+=________.8.在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，cos cos 2cos a C c A b B +=. （1）求角B 的大小；（2）若2a c b +==，求ABC ∆的面积.9.在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知4cos ,55A b c ==. （1）求sin C 的值； （2）求()sin 2A C +的值； （3）若ABC ∆的面积3sin sin 2S B C =，求a 的值.10.在锐角ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，向量()(1,cos ,sin ,m B n B ==，且m n ⊥.（1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆的面积为7b =，求此三角形的周长.答案题型一：余弦定理的基本运用1. 2.23π 5.钝角 6.,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭7.28.等腰 9.3π 10.3π11.正三角形 12.4 13.( 14.7 15.(]{}0,48题型二：正、余弦定理的综合运用1.14-3.24.55.2π6.77.48.（1）3π；（2）2 9.（1）10；（2）10；（3）510.（1）3π；（2）20。

1.1.2余弦定理一、选择题1.在ABC ∆中，边a =5，c =3，4tan3B =，则边b =（ ）A.2B.C.4D. 2.在ABC ∆中，若222b c a bc +=+，则A=（ ） A. 030 B. 045 C. 060 D. 0120 3.在ABC ∆中，060B =，2b ac =，则ABC ∆的形状是（ ）A.等边三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形4.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且A=2B ，则sin 3sin BB 等于（） A. c aB. c bC. a cD. b c5.在ABC ∆中，已知7a =，b =c =，则最小角为（ ）A. 015 B. 030 C. 045 D. 060 6. ABC ∆为钝角三角形，3,4,,a b c x C ===为钝角，则x 的取值范围是（ ）A. 57x <<B. 5x <C. 15x <<D. 17x <<7 ABC ∆的三个内角A 、B 、C 的对边分别为,,,a b c 设向量(,)p a c b =+ ，(,)q a c b a =-- ，若p q ⊥ ，则角C 大小为（ ） A.6π B. 4π C. 3π D. 2π 8.在ABC ∆中，若sin 2sin cos 0A B C -=，则ABC ∆必定是（ ）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形二、填空题9.在ABC∆中，2a =，则co s c o s b C c B ∙+∙等于＿＿＿＿＿＿＿.10.在不等边三角形中，若222a b c >+，则角A 的取值范围是＿＿＿＿＿。

11.在ABC ∆中，sin :sin :sin 4:5A B C =，则角A=＿＿＿＿＿。

12.在ABC ∆中，a =6b =，030A =，则c 等于＿＿＿＿＿三、解答题13.已知ABC ∆中，边AB=3，AC=5且A=060，求s i nB的值。

高三数学余弦定理试题答案及解析1.在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．已知a＋c＝2b，sinB＝sinC，则cosA＝．【答案】【解析】因为sinB＝sinC，由正弦定理得：，由余弦定理得：【考点】正余弦定理2.已知的三个内角所对的边分别为．若△的面积，则的值是。

【答案】4【解析】得得。

【考点】三角形面积公式、余弦定理、商数关系．3.某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为km，那么x的值为()A．B．2C．2或D．3【答案】C【解析】根据余弦定理可得：()2＝x2＋32－2×3x×cos(180°－150°)，即x2－3x＋6＝0．∴x＝2或．4.如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是()A．5(＋) km B．5(－) kmC．10(－) km D．10(＋) km【答案】C【解析】由题意，知∠BAC＝60°－30°＝30°，∠ABC＝30°＋45°＝75°，∠ACB＝180°－75°－30°＝75°，∴AC＝AB＝40×＝20(km)．由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC ＝202＋202－2×20×20×cos30°＝800－400＝400(2－)，∴BC＝＝＝10 (－1)＝10(－)(km)．5.在中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．（1）求角的大小；（2）求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据余弦定理的推论，代入到条件中可得，所以有，进一步根据角B的范围求出B 的大小；（2）由（1）知：所以把化成只含角一个变量的三角函数，利用三角函数的最值求解.解：（1）由余弦定理可得：，即由得 5分（2）由得， 6分． 9分∵，∴， 10分∴， 11分∴的取值范围为． 12分【考点】1、余弦绽理及其推论；2、两角各与差的三角函数公式；3、三角函数的最值问题.6.（13分）（2011•天津）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（I）利用三角形中的等边对等角得到三角形三边的关系；利用三角形的余弦定理求出角A的余弦．（II）利用三角函数的平方关系求出角A的正弦，利用二倍角公式求出角2A的正弦，余弦；利用两个角的和的余弦公式求出的值．解：（I）由B=C，可得所以cosA==（II）因为所以=点评：本题考查三角形的余弦定理、考查三角函数的平方关系、考查两角和的余弦公式．7.在中，角A，B，C的对边分别为若，则角B的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得.故选.【考点】余弦定理的应用.8.（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．【答案】（1）（2）【解析】（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，则S=bcsinA=．△ABC9.在△ABC中，BC=，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧）．当变化时，线段CD长的最大值为．【答案】3【解析】设，，则在三角形BCD中，由余弦定理可知，在三角形ABC中，由余弦定理可知，可得，所以，令，则，当时等号成立．【考点】解三角形10.在△中，角、、所对的边长分别为、、，且．（1）若，，求的值；（2）若，求的取值范围．【答案】(1)或；（2）．【解析】(1)已知两边，要求第三边，最好能求出已知两边的夹角，然后用余弦定理可求得，而由已知条件可得，从而可知，即，问题得解；（2）这是三角函数的一般性问题，解决它的一般方法是把函数化为的形式，然后利用正弦函数的知识解决问题，，首先用二倍角公式，降幂公式把二次式化为一次式，再利用两角和的正弦公式把两个三角函数化为一个三角函数，，接下来我们只要把作为一个整体，求出它的范围，就可借助于正弦函数求出的取值范围了．试题解析：（1）在△中，．所以．，所以． 3分由余弦定理，得．解得或． 6分（2）. 9分由（1）得，所以，，则. ∴.∴.∴的取值范围是. 12分【考点】（1）余弦定理；（2）二倍角公式与降幂公式，三角函数的取值范围11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝，a＝5，△ABC的面积为10.(1)求b，c的值；(2)求cos的值．【答案】（1）c＝7（2）＝absinC，即10＝b·5sin，解得b＝8. 【解析】(1)由已知，C＝，a＝5，因为S△ABC由余弦定理可得：c2＝25＋64－80cos＝49,所以c＝7.(2)由(1)有cosB＝，由于B是三角形的内角，易知sinB＝，所以cos＝cosBcos＋sinBsin＝.12.在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.向量m＝(1，cosB)，n＝(sinB，－)，且m⊥n.(1)求角B的大小；(2)若△ABC面积为10，b＝7，求此三角形周长．【答案】（1）（2）20【解析】(1)m·n＝sinB－cosB，∵m⊥n，∴m·n＝0，∴sinB－cosB＝0.∵△ABC为锐角三角形，∴cosB≠0，∴tanB＝.∵0<B<，∴B＝.＝acsinB＝ac，由题设ac＝10，得ac＝40.由72＝a2＋c2－2accosB，得(2)∵S△ABC49＝a2＋c2－ac，∴(a＋c)2＝(a2＋c2－ac)＋3ac＝49＋120＝169.∴a＋c＝13，∴三角形周长是20.13.在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A＝________．【答案】60°【解析】由余弦定理，得cosA＝，∵0＜A＜π，∴A＝60°14.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是________三角形．【答案】等腰【解析】因为a＝2bcosC，所以由余弦定理得a＝2b·，整理得b2＝c2，故此三角形一定是等腰三角形．15.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,3b=20acosA,则sinA∶sinB∶sinC为()A．4∶3∶2B．5∶6∶7C．5∶4∶3D．6∶5∶4【答案】D【解析】因为a,b,c为连续的三个正整数,且A>B>C,可得a=c+2,b=c+1;①又因为3b=20acosA,由余弦定理可知cosA=,则3b=20a·,②联立①②,化简可得7c2-13c-60=0,解得c=4或c=-(舍去),则a=6,b=5.又由正弦定理可得,sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=6∶5∶4.故应选D.16.在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,B=,且sinA∶sinC=3∶1,则b∶c的值为.【答案】【解析】sinA∶sinC=a∶c=3∶1,∴a=3c.由余弦定理cos==,∴=,7c2=b2,∴=7,∴=.17.在△ABC中,AC=,BC=2,∠B=60°,则△ABC的面积等于.【答案】【解析】设角A、B、C的对边分别为a、b、c,由余弦定理,cosB==,即=,∴c2-2c-3=0,∴c=3或c=-1(舍).∴S=acsinB=.△ABC18.在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若m=（sin2,1）,n="(-2,cos" 2A+1),且m⊥n.(1)求角A的度数;(2)当a=2,且△ABC的面积S=时,求边c的值和△ABC的面积.【答案】(1) π (2)C=B【解析】解:(1)由于m⊥n,所以m·n=-2sin2+cos 2A+1=1-2cos2+2cos2A-1=2cos2A-cosA-1=(2cosA+1)(cosA-1)=0.所以cosA=-或1(舍去),即角A的度数为π.(2)由S=及余弦定理得tanC=,∴C==B.又由正弦定理=得c=2,所以△ABC的面积S=acsinB=.19.在中，、、分别是角A、B、C所对的边，，则的面积S=______．【答案】【解析】由角A的余弦定理得,因为,所以三角形ABC为直角三角形,则,故填.【考点】余弦定理勾股定理面积＝2，则b等20.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC于()A．5B．25C．D．5【答案】A【解析】∵S＝ac sin B＝2，∴×1×c×sin 45°＝2.∴c＝4.∴b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－2×1×4×cos 45°.∴b2＝25，b＝5.21.△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C＋c sin B.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．【答案】（1）B＝（2）＋1【解析】(1)由已知及正弦定理，得sin A＝sin B cos C＋sin C sin B，①又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C．②由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.又B∈(0，π)，所以B＝.(2)△ABC的面积S＝ac sin B＝ac.由已知及余弦定理，得4＝a2＋c2－2ac cos.又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为＋1.22.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2－cos 2A＝.(1)求角A的度数；(2)若a＝，b＋c＝3，求△ABC的面积．【答案】（1）A＝60°.（2）【解析】(1)∵B＋C＝π－A，即＝，由4sin2－cos 2A＝，得4cos2－cos 2A＝，即2(1＋cos A)－(2cos2A－1)＝，整理得4cos2A－4cos A＋1＝0，即(2cos A－1)2＝0.∴cos A＝，又0°＜A＜180°，∴A＝60°.(2)由A＝60°，根据余弦定理cos A＝，得＝.∴b2＋c2－bc＝3，①又b＋c＝3，②∴b2＋c2＋2bc＝9. ③①－③得bc＝2. ④解②④得或∴S＝×1×2×sin 60°＝.△ABC23.如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．若双曲线以A，B为焦点，且过C，D两点，则当梯形ABCD的周长最大时，双曲线的实轴长为( )A．＋1B．2＋2C．－1D．2－2【答案】D【解析】分别过点作的垂线，垂足分别为，连结,设,则＝,等腰梯形的周长,令则，所以，，所以，当即， ,此时， ,因为为双曲线的焦点，点在双曲线上，所以实轴长.故选D.【考点】1、双曲线的定义；2、余弦定理；3、二次函数的最值问题.24.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∴，由余弦定理得，，所以.【考点】1、诱导公式；2、余弦定理.25.已知三角形的一边长为4，所对角为60°，则另两边长之积的最大值等于 .【答案】16【解析】设三角形的边长为其中,则，即，所以，即，当且仅当时取等号，所以两边长之积的最大值等于16.【考点】余弦定理的应用，基本不等式.26.在⊿ABC中,三边所对的角分别为A,B,C,若,则角C为（）A．30°B．45°C．150°D．135°【答案】B【解析】由余弦定理得，，又，∴.【考点】余弦定理.27.在△的内角、、的对边分别为、、，若，，，则 .【答案】【解析】由余弦定理可知.【考点】余弦定理.28.在中,设内角的对边分别为,向量,向量,若(1)求角的大小；(2)若,且，求的面积.【答案】（1）；（2）16【解析】（1）先计算的坐标，由得关于的方程，再利用辅助角公式化为，则，然后根据，得范围，从而求值，进而确定；（2）在中，，确定，另外两边的关系确定，所以利用余弦定理列方程求，再利用求面积.试题解析：（1）又因为，故，∴；（2）由余弦定理得，即，解得，∴，∴.【考点】1、向量的模；2、向量运算的坐标表示；3、余弦定理.29.在中，，，，则的面积为()．A．B．C．D．【答案】D.【解析】因为为三角形的内角，所以，所以三角形的面积，选D.【考点】三角形面积公式.30.在中，角所对的边分别为满足，,,则的取值范围是 .【答案】【解析】由得，得为钝角，故，由正弦定理可知：，，所以.【考点】正余弦定理，辅助角公式.31.已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若，则角C的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）【答案】【解析】，故．【考点】考查余弦定理及运算，属容易题。

高三数学余弦定理试题答案及解析1.某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为km，那么x的值为()A．B．2C．2或D．3【答案】C【解析】根据余弦定理可得：()2＝x2＋32－2×3x×cos(180°－150°)，即x2－3x＋6＝0．∴x＝2或．2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a2－c2＝2b，且sinB＝4cosAsinC，则b的值为()A．4B．8C．6D．10【答案】A【解析】由余弦定理，得a2－c2＝b2－2bccosA．∵a2－c2＝2b，b≠0，∴b2－2bccosA＝2b，即b＝2ccosA＋2．由正弦定理及sinB＝4cosAsinC，得2cosA＝＝．∴b＝＋2，即b＝4．3.在中，，，，若点满足，且，则＝．【答案】【解析】由题意点在直线上，，则，即，所以点在延长线上，由，得，因此，在中由余弦定理得，再由余弦定理得.【考点】共线向量定理，向量的数量积，余弦定理.4.（12分）（2011•陕西）叙述并证明余弦定理．【答案】见解析【解析】先利用数学语言准确叙述出余弦定理的内容，并画出图形，写出已知与求证，然后开始证明．方法一：采用向量法证明，由a的平方等于的平方，利用向量的三角形法则，由﹣表示出，然后利用平面向量的数量积的运算法则化简后，即可得到a2=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC；方法二：采用坐标法证明，方法是以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，表示出点C和点B的坐标，利用两点间的距离公式表示出|BC|的平方，化简后即可得到a2=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍；或在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2=b2+c2﹣2bccosA，b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．证法一：如图，====b2﹣2bccosA+c2即a2=b2+c2﹣2bccosA同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC；证法二：已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C（bcosA，bsinA），B（c，0），∴a2=|BC|2=（bcosA﹣c）2+（bsinA）2=b2cos2A﹣2bccosA+c2+b2sin2A=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=a2+c2﹣2accosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．点评：此题考查学生会利用向量法和坐标法证明余弦定理，以及对命题形式出现的证明题，要写出已知求证再进行证明，是一道基础题．5.已知为双曲线的左右焦点，点在上，，则( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，，，即，，又，所以．【考点】双曲线的定义与性质，余弦定理．6.(2013·重庆高考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2=b2+c2+ab.(1)求A.(2)设a=,S为△ABC的面积,求S+3cosBcosC的最大值,并指出此时B的值.【答案】（1）（2）B==时,S+3cosBcosC取最大值3【解析】(1)由余弦定理得cosA===-.又因0<A<π,所以A=.(2)由(1)得sinA=,又由正弦定理及a=得S=bcsinA=··asinC=3sinBsinC,因此,S+3cosBcosC=3(sinBsinC+cosBcosC)=3cos(B-C).所以,当B=C,即B==时,S+3cosBcosC取最大值3.7.（2013•浙江）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．【答案】（1）（2）【解析】（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，则S=bcsinA=．△ABC8.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东，与观测站A距离海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北的C处，且，已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为海里／小时___________．【答案】【解析】由已知，所以，，由余弦定理得，,故（海里），该货船的船速为海里/小时．【考点】三角函数同角公式，两角和与差的三角函数，余弦定理的应用．9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，．（1）求的值；（2）求函数的值域．【答案】（1）,（2）．【解析】（1）向量数量积就是边与角的关系，这也是向量与三角形的结合点. 因为，所以．由余弦定理得，因为，所以．（2）研究三角函数性质，先将其化为基本三角函数，即，然后求其定义域，这是本题关键，因为，所以，所以．因为，所以．最后根据基本三角函数性质，求其值域. 由于，所以，所以的值域为．【解】（1）因为，所以． 3分由余弦定理得，因为，所以． 6分（2）因为，所以， 8分所以．因为，所以． 10分因为， 12分由于，所以，所以的值域为． 14分【考点】两角和与差的三角函数、解三角形、向量的数量积10.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，，，则此人能（）A．不能作出这样的三角形B．作出一个锐角三角形C．作出一个直角三角形D．作出一个钝角三角形【答案】D【解析】设三角形的面积为S，其三边长分别是a,b,c,其相应边上的高分别为，，，则S= a×，即a=26S；同理可得另两边长b=22S,c=10S．由余弦定理得cosA＝==<0，即A为钝角．所以能作出一个钝角三角形．11.已知、、为正实数，．（1）当、、为的三边长，且、、所对的角分别为、、．若，且．求的长；（2）若．试证明长为、、的线段能构成三角形，而且边的对角为．【答案】（1）2；（2）见解析.【解析】(1)本题属于解三角形问题，它是“已知两边及一边所对的角，求第三边”的问题，解决这个问题可以有两种方法，一种是先用正弦定理求出已知两边所对的角中未知的一角，从而可求得第三角，然后用余弦定理求出第三边，也可以直接用余弦定理列出待求边的方程，通过解方程求出第三边；（2）首先要证明长为、、的线段能构成三角形，即证，即证，而这个不等式通过已知条件，再利用易得，其次再由余弦定理很快可得．试题解析：（1）解：由（3分）（5分）（2）证：由，可得（6分）所以也就是（9分）因此长为的线段能构成三角形，不妨记为。

高三数学余弦定理试题答案及解析1.在中，内角所对的边分别是.已知，，则的值为 .【答案】.【解析】∵，由正弦定理可知，，又∵，∴，∴.【考点】正余弦定理解三角形.2.在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若则的面积（）A．3B．C．D．【答案】C【解析】因为所以由余弦定理得：，即，因此的面积为选C.【考点】余弦定理3.在中，，，，则； .【答案】2,【解析】由余弦定理得：==4，故；因为=，所以=.【考点】本小题主要考查解三角形的知识，考查正余弦定理，三角函数的基本关系式等基础知识，属中低档题.4.设的内角所对边的长分别是，且，的面积为，求与的值.【答案】，或.【解析】根据三角形面积公式可以求出，利用可以解出，对进行分类讨论，通过余弦定理即可求出的值.由三角形面积公式，得，故.∵，∴.当时，由余弦定理得，，所以；当时，由余弦定理得，，所以.【考点】1.三角形面积公式；2.余弦定理.5.已知为双曲线的左右焦点，点在上，，则( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，，，即，，又，所以．【考点】双曲线的定义与性质，余弦定理．6.在中，,,，则边上的高等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，在△ABC中，由余弦定理知，即，，即，又，设BC边上的高等于，由三角形面积公式，知，解得.故选【考点】余弦定理；三角形面积公式.7.在△ABC中，BC=，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧）．当变化时，线段CD长的最大值为．【答案】3【解析】设，，则在三角形BCD中，由余弦定理可知，在三角形ABC中，由余弦定理可知，可得，所以，令，则，当时等号成立．【考点】解三角形8.△各角的对应边分别为，满足，则角的范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由得：，化简得：，同除以得，，即，所以，故选．【考点】余弦定理.9.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则△ABC是( )A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】由得，，所以，所以,即三角形为钝角三角形，故选A.10.已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a，b，c，若3a2+2ab+3b2－3c2=0，则sinC 的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵3a2+2ab+3b2－3c2=0，∴a2+b2－c2=ab由余弦定理知cosC==－又sin2C+cos2C=1∴sinC=11.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若C＝120°，c＝a，则( ) A．a>bB．a<bC．a＝bD．a与b的大小关系不能确定【答案】A【解析】方法一：由余弦定理得2a2＝a2＋b2－2abcos120°，∴b2＋ab－a2＝0，即()2＋－1＝0＝<1，故b<a．方法二：由余弦定理得2a2＝a2＋b2－2abcos120°，∴b2＋ab－a2＝0，即b2＝a2－ab＝a(a－b)>0，∴a>b．12.在中，角所对的边的长度分别为，且，则 .【答案】【解析】由余弦定理知，所以，，．【考点】余弦定理．13.在中，角A，B，C所对边分别为a,b,c，且，面积，则等于( ) A．B．5C．D．25【答案】B【解析】∵，∴，由余弦定理得，∴，故选B.【考点】余弦定理的应用14.已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB，即a·＝b·，其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)解：由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S＝absinC＝×4×sin＝.15.江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.【答案】10(m)【解析】如图，A为炮台，M、N为两条船的位置，∠AMO＝45°，∠ANO＝60°，OM＝AOtan45°＝30，ON＝AOtan30°＝×30＝10，由余弦定理，得MN＝＝10(m)．16.设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，则角C＝________．【答案】【解析】根据正弦定理，3sinA＝5sinB可化为3a＝5b，又b＋c＝2a，解得b＝，c＝.令a＝5t(t>0)，则b＝3t，c＝7t，在△ABC中，由余弦定理得cosC＝＝＝－，所以C＝17.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．【解析】∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos∠BAD，∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3∴BD＝18.在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC的形状是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A【解析】【思路点拨】利用正弦定理转化为边的关系,而后利用余弦定理判断.解:由sin2A+sin2B<sin2C得a2+b2<c2,即a2+b2-c2<0.又∵cosC=,故cosC<0.又∵0<C<π,故<C<π,所以△ABC是钝角三角形.【方法技巧】三角形形状判断技巧三角形形状的判断问题是解三角形部分的一个重要题型,也是高考的热点问题,因而正确快速地判断是解题的关键.其基本技巧就是利用正、余弦定理快速实现边角互化,常规是边化角,再利用三角恒等变换公式结合三角形中角的关系正确判断三角形的形状.19.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，则角A，B，C中最大角的余弦值为________．【答案】-【解析】根据三角形的性质：大边对大角，由此可知角A最大，由余弦定理得cos A＝＝－20.已知a、b、c是△ABC的三边，且B＝120°，则a2＋ac＋c2－b2＝________.【解析】利用余弦定理，再变形即得答案．＝2，则b等21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC于________．【答案】5【解析】∵S＝ac sin B＝2，∴×1×c×sin 45°＝2.∴c＝4.∴b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－2×1×4×cos 45°.∴b2＝25，b＝522.如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BDC＝120°.BD＝CD＝10米．并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________.【解析】在△BCD中，由余弦定理可得BC＝10，在直角△ABC中，AB＝BC tan 60°＝30.23.已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则的最大值为________．【答案】2【解析】由三角形的面积公式得c2＝ab sin C⇒＝sin C，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C⇒＝＋2cos C＝sin C＋2cos C，所以＝2sin C＋2cos C＝2sin，最大值是224.在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为()．A．B．C．D．－【答案】C【解析】∵cos C＝＝，又a2＋b2≥2ab，∴2ab≤2c2，则cos C≥，即cos C的最小值为.25.△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C＋c sin B.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．【答案】（1）B＝（2）＋1【解析】(1)由已知及正弦定理，得sin A＝sin B cos C＋sin C sin B，①又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C．②由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.又B∈(0，π)，所以B＝.(2)△ABC的面积S＝ac sin B＝ac.由已知及余弦定理，得4＝a2＋c2－2ac cos.又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为＋1.26.已知三角形内角A,B,C的对边分别为且满足，则_________.【答案】【解析】因为，所以可得.又因为在三角形中，由余弦定理可得.所以.又因为.所以.故填.本小题的关键是余弦定理的应用.【考点】1.余弦定理.2.三角函数方程的解法.27.在△中，已知，，且的面积为，则边长为．【答案】7【解析】由即得，再由余弦定理可得，所以.【考点】三角形面积公式和余弦定理.28.已知三角形的一边长为4，所对角为60°，则另两边长之积的最大值等于 .【答案】16【解析】设三角形的边长为其中,则，即，所以，即，当且仅当时取等号，所以两边长之积的最大值等于16.【考点】余弦定理的应用，基本不等式.29.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？【答案】乙船每小时航行海里．【解析】连接，依题意可知，求得的值，推断出是等边三角形，进而求得，在中，利用余弦定理，可得，从而可求出的值，最终可求得乙船的速度．试题解析：如图，连结，由已知，，，又，是等边三角形，，由已知，，，在中，由余弦定理，．．因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．【考点】应用余弦定理解三角形．30.四棱锥P—ABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为 .【答案】【解析】∵正方形ABCD中，CD∥AB，∴∠PAB或其补角就是异面直线CD与PA所成的角，△PAB中，PA=PB=，AB=2，∴cos∠PAB=.【考点】1.余弦定理的应用；2.异面直线及其所成的角31.在中，，是的中点，若，在线段上运动，则下面结论正确的是____________.①是直角三角形；②的最小值为；③的最大值为；④存在使得【答案】①②④【解析】在中，，解得，因为,故，如图所示建立平面直角坐标系,则，设点（），所以=，故当时，最小值为，当时，最大值为12，由三点共线，故（）得，所以，令，故正确结论为①②④.【考点】1、余弦定理；2、二次函数的值域；3、平面向量基本定理.32.在中，，，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，所以，由余弦定理可得，故，选C.【考点】1.向量的数量积；2.余弦定理；3.基本不等式33.△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若，则b= .【答案】3【解析】由余弦定理，所以，，又所以，，故答案为3.【考点】余弦定理的应用34.若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足,且=60°,则的值为（）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】由得：，故由余弦定理知：，解得，故选C.【考点】余弦定理的应用35.在中，若，，，则 .【答案】【解析】设，由余弦定理得，即，整理得，由于，解得，即.【考点】余弦定理36.在中，分别是的对边，若，则的大小为 .【答案】＋1【解析】由，得，即，∵，∴，又∵，∴在中，由余弦定理得，解得.【考点】1.余弦定理；2.倍角公式.37.已知的三个内角、、的对边分别为、、，且．(Ⅰ) 求的值；(Ⅱ)若，求周长的最大值．【答案】（1）（2）6【解析】解：（Ⅰ）∵b2+c2=a2+bc，∴a2=b2+c2-bc，结合余弦定理知cos A=，∴A=，∴2sin B cos C-sin(B-C)= sin B cos C+cos B sin C=sin(B+C)=sin A= 6分(Ⅱ)由a=2，结合正弦定理，得b+c=sin B+sin C=sin B+sin(-B)=sin B+2cos B=4sin(B+)，可知周长的最大值为6 ． 12分【考点】三角函数的性质，解三角形点评：主要是考查了余弦定理和正弦定理的运用，属于基础题。

正余弦定理1.定理内容：（1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即（2）余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。

即：（3）面积定理：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆=== 2.利用正余弦定理解三角形：（1）已知一边和两角：（2）已知两边和其中一边的对角：（3）已知两边和它们所夹的角：（4）已知三边：正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 62．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3233．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12 C ．2 D.146．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3D.34或328．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 29．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.10．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C＝________.15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2，求A 、B 及b 、c .19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a－b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．2 6C ．3 6D ．4 62．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( )A. 3B. 2C. 5 D ．23．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( )A ．60°B ．45°C ．120°D ．150°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC→的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－48．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．2 9．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.14．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC→的值为________．15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C＝________.16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6.2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝4 6.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选 C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°.4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12 C ．2 D.14解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin B sin A ，sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2.7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3D.34或32解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ，∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积．8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2C. 3D. 2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C ，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2. 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.解析：由正弦定理得：a sin A ＝c sin C ，所以sin A ＝a ·sin C c ＝12.又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6.答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32. 答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43，∴a ＋c ＝8 3.答案：8 312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ，所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ，化简，整理，得sin(B －C )＝0.∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°，∴－180°＜B －C ＜180°，∴B －C ＝0°，B ＝C .答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，C=30°则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183， ∴c ＝6.答案：12 614．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C＝________. 解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2，又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin C sin A －2sin B ＋sin C＝2R ＝2. 答案：215．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43，解得b ＝2 3.答案：2 3 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2，∴c <b sin C ，∴此三角形无解．答案：017．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？ 解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A ＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6.由sin B sin C ＝cos 2A 2，得sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]，即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)，A ＝π－(B ＋C )＝2π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得b ＝c ＝a sin B sin A ＝23×1232＝2. 故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2.19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a－b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010，∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010.又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4.(2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22.由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b . ∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1.∴a ＝2，c ＝ 5.20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ， ∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°.又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C .当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝b sin B ，∴b ＝215.当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)．故边b 的长为215.余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．2 6C ．3 6D ．4 6解析：选A.由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝ 42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( )A. 3B. 2C. 5 D ．2解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30°＝2，∴c ＝ 2.3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( )A ．60°B ．45°C ．120°D ．150°解析：选D.cos ∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32，∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos B sin B .显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对解析：选C.a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c ＝c .6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2.设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2，∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中，|AB→|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC→的值为( ) A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析：选A.S △ABC ＝3＝12|AB →|·|AC →|·sin A＝12×4×1×sin A ，∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝4×1×12＝2.8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( ) A. 3 B ．2 3C.3或2 3 D ．2解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ，∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.9．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.在△ABD 中， AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝ 1＋4－2×1×2×12＝ 3.答案： 310．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)，∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°.∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61. 答案：21或6112．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝k 2＋4k 2－3k 22×2k ×4k＝1116， 同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14，∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ＝43，即12·b ·32·223＝43，∴b ＝2 3.答案：2 314．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC→的值为________．解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝49＋25－362×7×5＝1935，∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC→|·cos(π－B ) ＝7×5×(－1935)＝－19.答案：－1915．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________.解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2 ＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°.答案：45°16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，则⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋k －2－k ＋2＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4， ∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78.答案：7817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12.又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12)＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab＝(23)2－2＝10，∴AB ＝10.18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．解：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝AC ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC＝12， 所以C ＝60°.19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ，得AB ＝sin C sin A BC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255， 于是sin A ＝1－cos 2A ＝55.从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35.所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin C sin B ＝c b .由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b .又根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，因此△ABC 为等边三角形．。

1．在ΔABC 中，∠A=450, a=2，b=2，则∠B=（ ）A ．300B ．300或1500C ．600D ．600或12002．在ABC ∆中acosA=bcosB,则ABC ∆是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形3．在ABC ∆中，已知a=52，c=10，∠A ＝30o ，则∠B 等于（ ）A.105oB. 60oC. 15oD.105o 或15o4．在ABC ∆中，a(sinB －sinC)+b(sinC －sinA)+c(sinA －sinB)的值是（ ） A.12 B.0 C.1 D.π5. 在ABC ∆中下列等式总成立的是（ ）A. a cosC=c cosAB. bsinC=c sinAC. absinC=bc sinBD. asinC=c sinA6. 在ΔABC 中，∠A=450,∠B=600,a=2,则b=( )A ．6B ．26C ．36D ．467．在ABC ∆中，=+A Rb B R a cos 2cos 2 （ ） A 、B A sin sin +B 、)sin(B A +C 、)sin(B A -D 、)cos(B A -8．在三角形ABC 中，A 为锐角，2lg sin lg 1lglg -==+A c b ，则三角形ABC 是 （ ）A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、直角三角形D 、等腰直角三角形9．在中ABC ∆，AB=,75C 45A 3︒=∠︒=∠，，则BC 的长度是 。

10．在ΔABC 中，a=8, ∠B=1050, ∠C=150,则此三角形的最大边的长为 。

11．在ΔABC 中，acosB=bcosA, 则该三角形是 三角形。

12．（江苏）在△ABC 中，已知BC ＝12，∠A ＝60°，∠B ＝45°，则AC ＝ 。

13．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )，若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝________.三、解答题:14．在ΔABC 中，已知 A a cos =B b cos =Cc cos ； 求证：这个三角形为等边三角形。

余弦定理练习题及答案1.已知三角形ABC的边长a=21，b=5，c=4，求角A的大小。

解析：根据余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，代入数值计算可得cosA=-61/40，因为-1≤cosA≤1，所以三角形ABC不存在角A，即无解。

2.已知三角形ABC的边长a=3，b=4，c=6，求XXX的值。

解析：根据余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)，代入所求式计算可得答案为-11/2.3.已知三角形ABC的边长a=3，b=4，c=6，求边C的长度。

解析：根据余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)，代入数值计算可得cosC=-1/2，因为0°≤C≤180°，所以C的大小为120°。

再根据正弦定理，c/sinC=a/sinA，代入已知数据可得c=2√3.4.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为多少？解析：设等腰三角形的底边长为x，则周长为5x，由等腰三角形的性质可知，其两个等角为(180°-顶角)/2，所以顶角的大小为2(180°-顶角)/2=180°-顶角。

根据余弦定理，cos顶角=[(5x/2)^2+x^2-(5x/2)^2]/(2x^2)=3/4.5.已知三角形ABC的边长a=1，b=7，角B=60°，求边C 的长度。

解析：根据正弦定理，c/sinC=a/sinA，又因为A+B+C=180°，所以角A=180°-60°-arcs in(1/7)≈86.6°。

代入已知数据计算可得c≈7.5.6.已知三角形ABC的边长a=2，b=2，角A=45°，解此三角形。

解析：根据余弦定理，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=0，即角B为直角。

正、余弦定理复习题(一)选择题1.已知△ABC的三边a，b，c成等比数列，它们的对角分别是A，B，C，则sinA·sinC等于( B ).A.cos2BB.1－cos2BC.1＋cos2BD.1＋sin2B2.若三角形三边长之比如下：①3︰5︰7；②10︰24︰26；③21︰25︰28，其中锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的顺序依次是( B )A.①②③B.③②①C.③①②D.②③①.3.某人向正东方向走了x km后，向左转1500，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好3km，那么x的值为( C )A.3B.2 3C.3或23D.3.(二) 填空题4.在△ABC中，bc＝30，S△ABC＝1523，则A＝___600或1200_______.5.在△ABC中，已知角A，B，C成等差数列，且边a＝2，c＝4，则△ABC的面积等于6.在△ABC中，已知a＝5，c＝23，∠B＝1500，则边长b＝7.若三角形三边分别为a，b，a2＋b2＋ab，则三角形的最大角为______1200______. 8.在△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，则∠C＝_____ .(一)选择题9.在△ABC中，“sinA＞sinB”是“A＞B”的( B )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.不充分不必要条件.10.在△ABC中，有acosA2＝bcosB2＝ccosC2，则△ABC的形状是( B )A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形. 提示：由已知及正弦定理可得sinA2＝sinB2＝sinC2，从而可得A＝B＝C.11.0＜a＜3是使a，a＋1，a＋2为钝角三角形的三边的( B )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件.(二)填空题12.在△ABC中，已知a＝x cm，b＝2cm，B＝450，满足条件的三角形有两解，则x的取值范围是解法1：由正弦定理，得：x＝22sinA，又因三角形有两解，知A≠900且A＞450. 所以，2＜22sinA＜2 2. 即x的取值范围是(2，22). 解法2：∵有两解，在三角形A’BC中，∠CA’B＞∠A’BC ∴x＞2又由图知，CE＜2，∠ABC＝450，∴x＝BC＜CE/sin450＝2CE＜2 2 x的取值范围是2D13. 在△ABC 中，三个角满足2A ＝B ＋C ，且最大边与最小边分别是方程3x 2－27x ＋32＝0的两个根，则a ＝___7 . 14. 从地平面上共线的三点A 、B 、C 测得某建筑物的仰角分别为300，450，600，且AB＝BC＝60m ，则此建筑物的高为解：如图所示： 设DE ＝3x m ，由已知可得： AE ＝3x ，BE ＝3x ，CE ＝x ，设∠CBE ＝α，则在△ABE 中，由余弦定理，得：9x 2＝3x 2＋3600＋1203x cosα ①在△BCE 中，由余弦定理，得： x 2＝3x 2＋3600－1203x cosα ② \①＋②，得： 10x 2＝6x 2＋7200 解之，得：x ＝30 2∴ DE ＝3x ＝30 6(三) 解答题15. 在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsinB ＝－lg 2，且B 为锐角，度判断△ABC 的形状.解：∵ lgsinB ＝－lg 2， ∴ sinB ＝22又∵ B 是锐角，∴ B ＝450 由lg a －lg c ＝－lg 2，得a c ＝22， 由正弦定理，得：sinA sinC ＝22，∴ 2sin(1350－C)＝2sinC ，∴ 2[sin1350cosC －cos1350sinC]＝2sinC ， ∴ cosC ＝0 ∴ C ＝900， ∴ △ABC 是等腰直角三角形.16. 在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝2，B ＝450，求角A ，B 及边C.解：由正弦定理:：sinA ＝a sinB b ＝2sin4502＝32∵ B ＝450＜900且b ＜a∴ A 有两解A ＝600或1200.①当A ＝600时，C ＝1800－(A ＋B)＝750c ＝b sinC sinB ＝2sin750sin450＝6＋22； ②当A ＝1200时，C ＝1800－(A ＋B)＝150 c ＝b sinC sinB ＝2sin150sin450＝6－22.17. 已知关于x 的方程x 2－(b cosA)x ＋a cosB ＝0的两根之和等于两根之积，试判断△ABC形状.解：由题意，得：b cosA ＝a cosB∴ 2RsinBcosA ＝2RsinAcosB∴ sinAcosB －sinBcosA ＝0 ∴sin(A －B)＝0∵ A －B ∈(－π，π)∴ A －B ＝0 ∴ A ＝B ∴ △ABC 为等腰三角形.18. 在△ABC 中，求证：a ＝b cosC ＋c cosB ，b＝a cosC ＋ccosA ，c ＝a cosB ＋b cosA.提示：方法1：运用正弦定理，方法2：运用余弦定理19. 已知△ABC 中，面积S ＝3，a ＝23，b ＝2，求角A ，B 的正弦值..解：∵ S ＝ 3 ∴ 3＝12×23×2sinC ∴ sinC ＝12， ∴ C ＝300或1500 ①若C ＝300，由余弦定理，得：西 ACB北东 南 c 2＝a 2＋b 2－2ab cosC ＝4∴ c ＝2，b ＝c ，得∠B ＝300，∠A ＝1200∴ sinA ＝32，sinB ＝12②若C ＝1500，由余弦定理，得：c ＝27 再由正弦定理，得sinA ＝2114，sinB ＝71420. 为了测量某一电视塔的高度，同学们采用了如图所示的两种测量方法，请依据所给条件，分别求出塔高. 解：(1)如图1，在△ABP 中，∠APB ＝β－α，∴ PB sinα＝ABsin(β－α)∴ PB ＝a sinαsin(β－α)∴ 在直角△POB 中，PO ＝PB ·sinβ＝a sinα sin(β－α)·sinβ＝a sinαsinβsin(β－α)(2)如图2.，设PO ＝x ，∵ △APO ，△BPO 都是直角三角形，∴ AO ＝x cotα，BO ＝x cotβ在△AOB 中，由余弦定理，得AB 2＝AO 2＋BO 2－2·AO ·BO ·cosθ即 b 2 ＝(x cot α)2＋(x cotβ)2－2x costα·x cotβ·cosθ ∴ x ＝bcot 2α＋cot 2β－2cotα·cotβ·cosθ21. 在气象台A 正西方向300km 的P 处有一台风中心，它以40km/h 的速度向东北方向移动，距台风中心250km 以内的地方都要受到影响，试问：从现在起，大约多长时间后，气象台A 所在地会遭受台风影响，将持续多长时间？. 解：设t 小时后台风中心由P 点移至B 点，则PB ＝40t ，又PA ＝300，∠BPA ＝450，在△APB 中，由余弦定理，得AB 2＝3002＋1600t 2－120002t ，由AB 2≤2502，得： 3002＋1600t 2－120002t ≤2502解之，得：152－57 4≤t ≤152＋574 即1.99≤t ≤8.618.61－1.99＝6.62 (小时)，即约6小时37分 答：大约经过2小时后，气象台受到台风影响，要持续约6小时37分.22. 甲船在A 处观察到乙船在它的北偏东600方向的B 处，两船相距a 海里，乙船向正北方向行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，问甲船应取什么方向前进才能尽快追上乙船？相遇时乙船已行驶了多少海里？ 解：如图，设两船在C处相遇，并设∠CAB＝θ，乙船行驶距离x 海里. 则AC ＝3x 海里.由正弦定理，得：sin θ＝BCsin1200AC ＝12，∴ θ＝300.从而BC ＝AB ·sin θsin ∠ACB＝AB ·sin300sin300＝a （海里）.答：甲船应取北偏东300-方向前进才能尽快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a 海里.23. 沿着一条小路前进，从A 点到B 点，方位角是150，距离是750m ，从B 点到C 点，方位角是1050，距离是2503m ，从C 点到D 点，方位角是1350，距离是500m ，求A 到D 的方位角和距离.解：如图所示，连结β α B PO图1A aB b A αOβ P 图2 θ ADCBE G FAC，在△ABC中，∵∠EAB＝150，∴∠ABF＝1650，又∵∠FBC＝1050∴∠ABC＝900即AB⊥BC又∵AB＝750，BC＝250 3 ∴AB＝3BC∴∠BAC＝300，∠ACB＝600，AC＝500 3在△ACD中，∵∠FBC＝1050，∴∠BCG＝750又∵∠GCD＝1350，∴∠ACD＝3600－(600＋750＋1350)＝900∴AC⊥CD又∵CD＝500 ∴AC＝3CD∴∠CAD＝300，AD＝1000 (m).∴∠EAD＝150＋300＋300＝750故，A到D的方位角是750，距离是1000m.24.给出下列三个命题：①若tanAtanB＞1，则△ABC是钝角三角形；②若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1，则△ABC为正三角形；③若AB＝a，AC＝b，a·b＝－2，则△ABC是钝角三角形，其中正确命题的个数是( C )A.0B.1C.2D.3提示：①∵tanAtanB＞1＞0，∴tanA与tanB 同号，从而必有tanA＞0，tanB＞0，∴A，B 为锐角又由tanAtanB＞1得tsnA＞tsn(900－B)，得A＞900－B，∴A＋B＞900，∴C为锐角，∴△ABC为锐角三角形；②由于cos(A －B)，cos(B－C)，sin(C－A)∈[－1，1]，∴只有cos(A－B)＝cos(B－C)＝sin(C－A)＝1，∴A－B＝B－C)＝C－A)＝0，∴A＝B＝C ∴△ABC是正三角形；③由于a·b＝－2＜0，即·＜0，∴||·||·cos<，>＜0，∴cos<，>＜0，∴，AC＞900，即∠A＞900，∴△ABC是钝角三角形.25.在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且A＜B＜C，B＝600，(1＋cos2A)(1＋2cos2C)＝3－12，试比较a＋2b与2c的大小，并说明你的结论. 解：∵(1＋cos2A)(1＋2cos2C)＝4cos2Acos2C＝3－12，且△ABC是锐角三角形，∴cosAcosC＝3－14∵B＝600，A＋C＝1200∴sinA·sinC＝－cos(A＋C)＋cosAcosC＝－cos1200＋3－14＝3＋14∴cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝32又∵A＜B＜C，∴C－A＝300又∵A＋C＝1200，A＝450，C＝750由正弦定理，得：a＋2b＝2RsinA＋2·2sinB ＝2Rsin450＋2·2sin600＝(2＋6)R.又∵2c＝4RsinC＝4Rsin750＝(2＋6)R∴a＋2b＝2c。