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正交试验设计(多指标)

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什么是正交试验(详解)

什么是正交试验(详解)

什么是正交试验设计正交试验设计(Orthogonal experimental design)是研究多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点，正交试验设计是分析因式设计的主要方法。

是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。

日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合列成表格，称为正交表。

例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行3^3 = 27种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。

若按L9(3)正交表安排实验，只需作9次，按L18(3)正交表进行18次实验，显然大大减少了工作量。

因而正交实验设计在很多领域的研究中已经得到广泛应用。

正交表是一整套规则的设计表格，用L为正交表的代号，n为试验的次数，t为水平数，c为列数，也就是可能安排最多的因素个数。

例如L9(3^4)它表示需作9次实验，最多可观察4个因素，每个因素均为3水平。

一个正交表中也可以各列的水平数不相等，我们称它为混合型正交表，如L8(4×2)，此表的5列中，有1列为4水平，4列为2水平。

编辑本段正交试验设计表正交试验设计表[1]正交试验因素水平表正交试验设计方案及试验结果极差分析表(或指标与因素关系图) 方差分析表(简单分析时可无)正交表的性质(1)每一列中，不同的数字出现的次数相等。

例如在两水平正交表中，任何一列都有数码“1”与“2”，且任何一列中它们出现的次数是相等的；如在三水平正交表中，任何一列都有“1”、“2”、“3”，且在任一列的出现数均相等。

(2)任意两列中数字的排列方式齐全而且均衡。

例如在两水平正交表中，任何两列(同一横行内)有序对子共有4种：(1，1)、(1，2)、(2，1)、(2，2)。

每种对数出现次数相等。

在三水平情况下，任何两列(同一横行内)有序对共有9种，1.1、1.2、1.3、2.1、2.2、2.3、3.1、3.2、3.3，且每对出现数也均相等。

正交试验设计及结果分析

正交试验设计及结果分析
对于多因素试验，正交试验设计是简单常用的一种试 验设计方法，其设计基本程序如图所示。正交试验设计的 基本程序包括试验方案设计及试验结果分析两部分。
2.1 试验方案设计 （1） 明确试验目的，确定试验指标
试验设计前必须明确试验目的，即本次试验要解决什么 问题。试验目的确定后，对试验结果如何衡量，即需要确 定出试验指标。试验指标可为定量指标，也可为定性指标。
3
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1.3.2.3 综合可比性 （1）任一列的各水平出现的次数相等； （2）任两列间所有水平组合出现次数相等，使得任一因素
各水平的试验条件相同。这就保证了在每列因素各水平的效 果中，最大限度地排除了其他因素的干扰。从而可以综合比 较该因素不同水平对试验指标的影响情况。
根据以上特性，我们用正交表安排的试验，具有均衡分 散和整齐可比的特点。
3
上一张 下一张 主 页
在这9个水平组合中，A因素各水平下包括了B、C因素 的3个水平，虽然搭配方式不同，但B、C皆处于同等地位， 当比较A因素不同水平时，B因素不同水平的效应相互抵 消，C因素不同水平的效应也相互抵消。所以A因素3个水 平间具有综合可比性。同样，B、C因素3个水平间亦具有 综合可比性。
3
上一张 下一张 主 页 退 出
如对于上述3因素3水平试验，若不考虑交互作用，可
利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就
能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找 出最佳的生产条件。
1.2 正交试验设计的基本原理
3
上一张 下一张 主 页
正交设计就是从选优区全面试验点（水平组合）中挑3ຫໍສະໝຸດ 上一张 下一张 主 页 退 出
1 正交试验设计的概念及原理

正交试验设计及其结果的直观分析(单指标 双指标)

正交试验设计及其结果的直观分析(单指标 双指标)
1. 综合平衡法 2. 综合评分法
综合平衡法
综合平衡法是，先对每个指标分别进行单指标的直观分析，得到 每个指标的影响因素主次顺序和最佳水平组合，然后根据理论知 识和实际经验，对各指标的分析结果进行综合比较和分析，得出 较优方案。
例 在用乙醇溶液提取葛根中有效成分的试验中，为了提高葛根 中有效成分的提取率，对提取工艺进行优化试验，需要考察三向 指标：提取物得率（为提取物质量与葛根质量之比）、提取物中 葛根总黄酮含量、总黄酮中葛根素含量，三个指标都是越大越好， 根据前期探索性试验，决定选取3个相对重要的因素：乙醇浓度、 液固比（乙醇溶液与葛根质量之比）和提取剂回流次数进行正交 试验，它们各有3个水平，具体数据如表6-9所示，不考虑因素间 的交互作用，是进行分析，找出较好的提取工艺条件。
综合评分法
综合评分法是根据各个指标的重要程度，对得出的实验结果进行分 析，给每一个实验评出一个分数，作为这个实验的总指标，然后根 据这个总指标（分数），利用单指标试验结果的直观分析法作进一 步的分析，确定较好的实验方案，显然，这个方法的关键是如何评 分，下面介绍几种评分方法：
1.对每好实验结果的各个指标统一权衡，综合评价，直接给出每一号 试验结果的综合分数（依靠试验者或专家的理论知识和实践经验）
度
隶属度
1
1 1 1 1 2.96 65.70
1.00
1
1.00
2
1 2 2 2 2.18 40.36
0
0
0
3
1 3 3 3 2.45 54.31
0.35
0.55 0.47
4
2 1 2 3 2.70 41,09
0.67
0.03 0.29
5
2 2 3 1 2.49 56.29

正交实验设计

正交实验设计

空列
提取物得率％ K1
7.13
7.20
7.53
K2
7.73
7.53
7.33
K3
7.40
7.53
7.40
极差 R 1.8
1.0
0.6
因素主—次 C-A-B
优方案 C3A2B2 或 C3A2B3
葛根总黄酮含 量％
K1
K2 K3
极差 R
6.20 6.73 7.43 3.7
6.43
6.67
6.90
6.73
7.03
L8（27）
L16（45)
L18（61×36） L16（44×23） L18（61×36） L16（44×23）
L8（41×24）的设计由L8（27）的改造而成
并列法
将相同位级的正交表改造成位级数不同的正交表
把给定的正交表中的任意两列,按一定的规则变为一列, 使其字码改变为不等.
11 12 21 22
1
1 （130） 1
1（3）
2
1 （130） 2
2（2）
3
1 （130） 3
3（4）
4
2 （120） 1
2（2）
5
2 （120） 2
3（4）
6
2 （120） 3
1（3）
7
3 （110） 1
3（4）
8
3 （110） 2
1（3）
9
3 （110） 3
2（2）
1（甲）
0.56
2（乙）
0.74
3（丙）
0.57
例: 在用乙醇溶液提取葛根中有效成分的试验中，为了提高葛根中有效成分的 提取率，对提取工艺进行优化试验，需要考察三项指标: : 提取物得率（为提 取物质量与葛根质量之比）、提取物中葛根总黄酮含量、总黄酮中葛根素含量， 三个指标都是越大越好，根据前期探索性试验，决定选取3个相对重要的因素: 乙醇浓度、液固比（乙醇溶液与葛根质量之比）和提取剂回流次数进行正交试 验，它们各有3个水平，具体数据见因素水平表，不考虑因素间的交互作用，试 进行分析，找出较好的提取工艺条件。

正交试验法(含案例)

正交试验法(含案例)

正交试验设计法一、定义：正交试验设计法就是利用正交表来合理安排多因素试验的一种方法。

二、常用术语1、指标：指标就是试验要考察的效果。

常用X、Y、Z……来表示。

▼定量指标：能够用数量来表示的试验指标，如重量、尺寸、温度。

▼定性指标：不能用数量来表示的试验指标，如颜色、味道、外观。

●定性指标量化：可用打分法、分等法。

2、因素：因素是指对试验指标可能产生影响的原因。

因素是在试验中应当加以考察的重点内容。

一般用大写字母A、B、C……来表示。

3、水平（位级）：位级是指因素在试验中所处的状态或条件。

常用阿拉伯数字1、2、3……来表示。

如: A1、A2、A3、B1、B2、B3。

三、正交表 (已设计好的标准化表格，是进行正试验法的基本工具)1、日本型正交表：由日本质量管理专家田口玄一博士创立。

该正交试验设计法，除需试验的因素外，还要研究分析因素与因素之间的交互作用，一起上列，对试验结果的分析用方差分析等方法，过程较复杂。

2、中国型正交表是由以我国张千里教授为首的中国专家所创立。

它不考虑因素之间的交互作用，而将其交互作用融于试验之中，对试验结果的分析采用极差分析法，简单的用“看一看”与“算一算”相结合的分析、简单、易行、同样能得到满意的结论，是一种实用的试验方法，很适合现场应用。

四、正交表的特点：1、均衡分散性：每一列中各种字码出现的次数相同，保证试验条件均衡地分散在配合完全的位级组合之中，因而代表性强，容易出现好条件。

2、整齐可比性：任意两列中全部有序数字对出现次数都是相同的。

保证了在各个位级的效果之中，最大限度地排除了其他因素的干扰，能最有效地进行比较，作出展望。

五、用中国型正交表安排试验的步骤　1、明确试验目的　2、确定考察指标　3、挑因素、选位级，制定因素位级表 ①挑因素的原则： ▼分析影响指标的各种因素，排除： 不可控因素 对指标影响不大的因素 已掌握得好的因素（让其固定在适当位置上） ▼选对指标可能影响大，又无把握的因素。

正交实验设计及结果分析

正交实验设计及结果分析

正交试验设计对于单因素或两因素试验，因其因素少，试验的设计、实施与分析都比较简单。

但在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。

正交试验设计就是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。

1 正交试验设计的概念及原理1.1 正交试验设计的基本概念正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法。

它是由试验因素的全部水平组合中，挑选部分有代表性的水平组合进行试验的，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优的水平组合。

例如：设计一个三因素、3水平的试验A因素，设A1、A2、A33个水平；B因素，设B1、B2、B33个水平；C因素，设C1、C2、C3 3个水平，各因素的水平之间全部可能组合有27种。

全面试验：可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。

但全面试验包含的水平组合数较多（图示的27个节点），工作量大，在有些情况下无法完成。

若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交表来设计安排试验。

全面试验法示意图三因素、三水平全面试验方案正交试验设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。

正因为正交试验是用部分试验来代替全面试验的，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。

虽然正交试验设计有上述不足，但它能通过部分试验找到最优水平组合，因而很受实际工作者青睐。

如对于上述3因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。

1.2 正交试验设计的基本原理正交设计就是从选优区全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。

上图中标有试验号的九个“(·)”，就是利用正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点。

测试用例设计方法--正交试验法详解

测试用例设计方法--正交试验法详解正交试验法介绍正交试验法是研究多因素、多水平的一种试验法，它是利用正交表来对试验进行设计，通过少数的试验替代全面试验，根据正交表的正交性从全面试验中挑选适量的、有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，整齐可比”的特点。

正交表是一种特制的表格，一般用L n (m k)表示，L 代表是正交表，n 代表试验次数或正交表的行数，k 代表最多可安排影响指标因素的个数或正交表的列数，m 表示每个因素水平数，且有n=k*(m-1)+1。

正交表的特点正交表具有以下两个特点。

正交表必须满足这两个特点，有一条不满足，就不是正交表。

每列中不同数字出现的次数相等。

这一特点表明每个因素的每个水平与其它因素的每个水平参与试验的几率是完全相同的，从而保证了在各个水平中最大限度地排除了其它因素水平的干扰，能有效地比较试验结果并找出最优的试验条件。

在任意2列其横向组成的数字对中，每种数字对出现的次数相等。

这个特点保证了试验点均匀地分散在因素与水平的完全组合之中，因此具有很强的代表性。

使用正交试验法的原因对于单因素或两因素试验，因其因素少，试验的设计、实施与分析都比较简单。

但在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，试验的规模很大，由于时间和成本的限制我们不可能进行全面试验，但是具体挑其中的哪些测试用例进行测试我们心里拿不准，总担心不做不挑选的那些测试用例会遗漏一些严重缺陷。

为了有效的、合理地减少测试的工时与费用，我们利用正交试验法来设计测试用例。

正交试验法就是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率的试验设计方法。

我们用测试实例来进行说明使用正交试验法设计测试用例的好处。

测试需求：某所大学通信系共2个班级，刚考完某一门课程，想通过“性别”、“班级”和“成绩”这三个查询条件对通信系这门课程的成绩分布，男女比例或班级比例进行人员查询： 根据“性别”=“男，女”进行查询 根据“班级”=“1班，2班”查询 根据“成绩”=“及格，不及格”查询按照传统设计——全部测试分析上述测试需求，有3个被测元素，被测元素我们称为因素，每个因素有两个取值，我们称之为水平值，所以全部测试用例个数是2*2*2=8，参见下表利用正交表设计测试用例，我们得到的测试用例个数是n=3*(2-1)+1=4，对于三因素两水平的刚好有L4(23)的正交表可以套用，于是用正交表试验法得出4个测试用例如下：根据实际需要可以在用正交试验法设计用例的基础上补充一些测试用例。

正交试验设计(内容详尽)


示。
存在期望值时：
n
S 2 ( xi )2 i 1
不存在期望值时：
n
S 2 ( xi x)2 i 1
自由度指的是关系式中独立数据的个数，通常用 f 表示。
例如，在计算偏差平方和的过程中，若表达式中使用
的是期望值 ，则 f n；若表达式中使用的是平均值 x ，
n
则因为存在约束条件 ( xi x) 0 而使独立数据的个数少 i 1
其他：
★ 标示因素
★ 区组因素
★ 信号因素
★ 误差因素
正交试验设计
⑷ 因素的水平 试验中因素变化的状态和条件称为因素的水平或位数，
简称水平。水平用数字（1，2，3…）表示。 试验中设计过程中水平的选取原则是：
◆ 宜选用三水平，以有利于实验结果的分析； ◆ 水平通常取等间隔，特殊情况下取对数间隔； ◆ 水平应该具体。水平应该是可控的，其变化对试验指 标有影响。
◆ 确定出各因素对试验指标的影响规律，得知哪些因素的 影响是主要的、哪些因素的影响是次要的、哪些因素之间 存在相互影响； ◆ 选出各因素的一个水平组合来确定最佳生产条件。
正交试验设计的基础是正交表。
7.1.3 基本概念
■ 过程或系统
人、机器、实验条件等资源的组合。
正交试验设计
可控因素
x1 x2
xp
通常用 表示，即
存在期望值时：

V
1 n
n i 1
( xi

)2
不存在期望值时：
V
1 n1
n i 1
( xi

x)2
正交试验设计
7.2.2 样本及其分布
■ 总体、个体与样本 总体（population）：被研究对象的全体。 个体（individual）：组成总体的每个单元。

第4讲2 正交试验设计(多指标)


1 2
3 1 2 3
2 3
1 3 1 2
7.0 8.0
18.5 9.0 8.0 13.4
1.1 1.6
15.1 1.1 4.6 20.2
3 2
0 3 2 1
K1
27.0
33.5 30.4 9.0
27.5
20.5 42.9 9.2
38.0
24.9 28.0 12.7
抗 压 强 度
极
K2 K3 k1
k2

先对每个指标分别进行单指标的直观分析 对各指标的分析结果进行综合比较和分析，得出较优方案
例 某厂生产一种化工产品，需要检验 两个指标：核酸纯度和回收率，这两 个指标都是越高越好。有影响的因素 有4个，各有3个水平，具体情况如表。 试通过试验找出较好的方案，使产品 的核酸纯度和回收率都有提高。
4 5
6 7 8 9
2 2
2 3 3 3
1 2
3 1 2 3
2 3
1 3 1 2
7.0 8.0
18.5 9.0 8.0 13.4
1.1 1.6
15.1 1.1 4.6 20.2
3 2
0 3 2 1
K1
11
5 6 3.7
9
8 5 3.0
5
8 9 1.7
裂 纹 度
极
K2 K3 k1
k2
k3 差
1.7
2.0 2.0
第4讲（2） 正交试验设计
4.2 多指标正交试验设计及其结果的直观分析
在实际问题中，需要考虑的指标往往不止 一个，有时是两个、三个，甚至更多，这 都是多指标的问题。解决多指标试验问题 可采用两种方法：综合平衡法和综合评分 法。

实验优化设计 第5章 正交实验设计

3
表5-1是L9 (34) 正交表。该表有四个纵列，九个横行，表示此表最多可安 排四个因素，每个因素可取三个水平，共需做九次实验。
表5-2是L8 (41×24)不等水平正交表。该表共有五个纵列、八个横行，表 示最多可安排五个因素，其中有一个因素可取四个水平，其余四个因素均取 二个水平，共需做八次实验。
综合评分 色
1
10
7
8
10
35
2
8
10
6
7
31
3
7
9
9
9
34
4
9
8
10
9
36
先把每个考核指标中优秀者定为10分，其余非优秀者同它比较打分。 由于这四大指标的重要程度大致相同，因此它们的权重系数是一样的，干 脆都定为1.0，最后将每一号实验的各指标得分加权求和，写在综合评分栏中。 从表5-6的综合评分栏中看出，第4号实验得36分，是四个实验中的最高得 分。因此，确定第4号实验是直接观察的优秀方案。
表5-1 L9(34)正交表
实验号
列号
1
2
3
4
1
1
1
3
2
2
2
1
1
1
3
3
1
2
3
4
1
2
2
1
5
2
2
3
3
6
3
2
1
2
7
1
3
1
3
8
2
3
2
2
9
3
3
3
1
表5-2 L8(4124)正交表
列号 实验号
12345
1
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例 为了提高某产品质量，要对生产该 产品的原料进行配方试验。要检验3 项指标：抗压强度、落下强度和裂纹 度，前两个指标越大越好，第三个指 标越小越好。根据以往的经验，配方 中有3个重要因素：水份、粒度和碱 度。它们各有3个水平，具体数据如 表所示。试进行试验分析，找出最好 的配方方案。
因素 水平
三水平正交表： L9 34 , L27 313 , L15 37 等;
四水平正交表： L16 45 等;
五水平正交表： L25 56 等;
混合水平正交表： L18 237 等;
注：Ln( r m )
n rk , k 2,3
m n 1 r 1
R=max｛K1 ,K2 ,K3｝－min｛K1 ,K2 ,K3｝， 或 R=max｛k1 ,k2 ,k3｝－min｛k1 ,k2 ,k3｝
R越大，因素越重要 若空列R较大，可能原因： 漏掉某重要因素 因素之间可能存在不可忽略的交互作用
（6）优方案的确定
优方案：在所做的试验范围内，各因素较优的水平组合 若指标越大越好 ，应选取使指标大的水平 若指标越小越好，应选取使指标小的水平 还应考虑：降低消耗、提高效率等
称为完全正交表， 可考察因子间的交互作用
用这类正交表安排试验的话，可以考察因子间的交互作用， 每张正交表都附有一张交互作用列表；由于L4( 23 ) ，L9( 34 ) L16( 45 ) ，L25( 56 ) 中任意两列的交互作用是其它各列，所以 就不再给出交互作用列表了。
如L18( 37 ) ，L12( 211 )等，一般不能考察因子间的交互作用， 但是在某些场合也常被使用。
6.2.2 多指标正交试验设计及其结果的直观分析
在实际问题中，需要考虑的指标往往不止 一个，有时是两个、三个，甚至更多，这 都是多指标的问题。解决多指标试验问题 可采用两种方法：综合平衡法和综合评分 法。
1) 综合平衡法
综合平衡法是：先分别考察每个 因素对各指标的影响，然后进行分析 比较，确定出最好的水平，从而得出 最好的试验方案。
6.1.1 正交表(orthogonal table)
（1）等水平正交表： 各因素水平数相等的正交表（也称其为m水平的正交表） ①记号 ：Ln( r m ) L——正交表代号 n——正交表横行数（试验次数） r——因素水平数 m——正交表纵列数(最多能安排的因数个数)
二水平正交表： L4 23 , L8 27 , L16 215 , L12 211 等;
第6讲（2） 正交试验设计
6.1 概述
适合多因素试验 全面试验 ： 每个因素的每个水平都相互搭配进行试验
例：3因素4水平的全面试验次数≥43=64次 正交试验设计(orthogonal design) ： 利用正交表科学地安排与分析多因素试验的方法
例：3因素4水平的正交试验次数：16
（7）进行验证试验，作进一步的分析
优方案往往不包含在正交实验方案中，应验证 优方案是在给定的因素和水平的条件下得到的，若不限定
给定的水平，有可能得到更好的试验方案 对所选的因素和水平进行适当的调整，以找到新的更优方
案 趋势图
正交试验设计的基本步骤：
(1) 明确试验目的，确定评价指标 (2) 挑选因素(包括交互作用)，确定水平 (3) 选正交表，进行表头设计 (4) 明确试验方案，进行试验，得到结果 (5) 对试验结果进行统计分析 (6) 进行验证试验，作进一步分析
现的次数是相同的，但不同的两列间所组成的水平搭配种 类及出现次数是不完全相同
6.1.2 正交试验设计的优点
能均匀地挑选出代表性强的少数试验方案 由少数试验结果，可以推出较优的方案 可以得到试验结果之外的更多信息
6.2 正交试验设计结果的直观分析法
6.2.1 单指标正交试验设计及其结果的直观分析 例：
机排列） 空白列（确试验方案
（4）按规定的方案做试验，得出试验结果
注意 ： 按照规定的方案完成每一号试验 试验次序可随机决定 试验条件要严格控制
（5）计算极差，确定因素的主次顺序
三个符号： Ki：表示任一列上水平号为 i 时，所对应的试验结果之和。 ki ：ki= Ki/s，其中s为任一列上各水平出现的次数 R（极差）：在任一列上
1 2 3
A水份 % 8
9
7
B粒度 % 4
6
8
C碱度 1.1 1.3 1.5
返回
列号 1
试验号
A
2 3 抗压强度
BC
Kg/个
落下强度 0.5m/次
1
1
1
1
11.5
1.1
2
1
2
2
4.5
3.6
3
1
3
3
11.0
4.6
4
2
1
2
7.0
1.1
5
2
2
3
8.0
1.6
6
2
3
1
18.5
15.1
7
3
1
3
9.0
1.1
8
3
2
1
8.0
4.6
9
3
3
2
13.4
20.2
K1 27.0 27.5 38.0
K2
抗 K3 压 k1 强 k2 度 k3
33.5 20.5 24.9 30.4 42.9 28.0 9.0 9.2 12.7 11.2 6.8 8.3 10.1 14.3 9.3
极 差 2.2 7.5 4.4
②等水平正交表特点
表中任一列，不同的数字出现的次数相同 表中任意两列，各种同行数字对（或称水平搭配）出现的
次数相同 两性质合称为“正交性” ：使试验点在试验范围内排列
整齐、规律，也使试验点在试验范围内散布均匀
（2）混合水平正交表 各因素的水平数不完全相同的正交表
混合水平正交表性质： （1）表中任一列，不同数字出现次数相同 （2）每两列，同行两个数字组成的各种不同的水平搭配出
单指标：乳化能力 因素水平：3因素3水平（假定因素间无交互作用）
（1）选正交表
要求： 因素数≤正交表列数 因素水平数与正交表对应的水平数一致 选较小的表
选L9(34)
（2）表头设计
将试验因素安排到所选正交表相应的列中 因不考虑因素间的交互作用，一个因素占有一列（可以随