初二数学图形的平移与旋转知识点总结

第十五章图形的平移与旋转一、平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

一个图形经过平移后得到一个新图形，这个新图形与原图形是互相重合的，互相重合的点称为，互相重合的角称为，互相重合的线段称为。

注意：1.平移有两个要素：（1）沿某一方向移动；（2）移动一定的距离；2.平移的方向就是原图上的点指向它的对应点的方向；图像上每点都沿同一方向移动距离，这个距离是指对应点之间的长度；3.平移前后两图形是全等的。

平移的特征：平移不改变图形和，只改变了图形的位置；经过平移，对应点所连的线段（或 )且相等；对应线段（或）且相等，对应角。

二、1、旋转：在平面内，将一个图形绕一个沿某个方向转动一定，这样的图形运动称为旋转。

这个定点称为，转动的角称为。

任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是 .注意：1.旋转中心在旋转过程中保持不动；2.图形的旋转是由，和所决定的；3.作平移图与旋转图。

（确定关键点，将关键点沿一定的方向移动相同的距离，连接关键点）旋转的特征：图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大小的；对应点到旋转中心的距离；对应线段，对应角；图形的形状与大小都没有发生变化。

图形的变换包括、和旋转，这三种图形变换的共同点是：只改变图的，不改变图形的和。

2、旋转对称图形：在平面内，一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身，这样的图形称为旋转对称图形。

3、中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转角度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

这个点叫做对称中心。

中心对称图形是旋转角度为°的特殊旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形。

4、成中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180º，如果它能够和另一个图形重合，就称这两个图形成中心对称。

这个点叫做对称中心；这两个图形中的对应点，叫做关于中心的。

在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过，并且被对称中心。

第三讲：图形的平移与旋转【知识精讲】知识点1 平移、旋转和轴对称的区别和联系（1）区别。

①三者概念的区别：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转；在平面内，将一个图形沿着某条直线折叠。

如果它能够与另一个图形重合，则这两个图形成轴对称。

②三者运动方式不同：平移是将图形沿某个方向移动一定的距离。

旋转是将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度；轴对称是将图形沿着某一条直线折叠。

③对应线段、对应角之间的关系不同：平移变换前后图形的对应线段平行（或共线）且相等；对应点所连的线段平行且相等；对应角的两边分别平行且对应角的方向一致。

轴对称的对应线段或延长线相交，交点在对称轴上：对应点的连线被对称轴垂直平分。

旋转变换前后图形的任意一对对应点与旋转中心的距离相等、与旋转中心的连线所成的角是旋转角。

④三者作图所需的条件不同：平移要有平移的方向和平移的距离，旋转要有旋转中心、旋转方向和旋转角：轴对称要有对称轴。

（2）联系。

①它们都在平面内进行图形变换②它们都只改变图形的位置不改变图形的形状和大小，因此变换前后的两个图形全等。

③都要借助尺规作图及全等三角形的知识作图。

知识点2 组合图案的形成（1）确定图案中的“基本图案”。

（2）发现该图案各组成部分之间的内在联系。

（3）探索该图案的形成过程：运用平移、旋转、轴对称分析各个组成部分如何通过“基本图案”演变成“形”的。

要用运动的观点、整体的思想分析“组合图案”的形成过程。

运动的观点就是要求我们不能静止地挖掘“基本图案”与“组合图案”的内在联系，头脑中应想象、再现图案形成的过程，做到心中有数，特别是有的图案含有不同的“基本图案”其形成的方式也多种多样，可以通过平移、旋转、轴对称变换中的一种或两种变换方式来实现，也可以通过同一种变换方式的重复使用来实现。

整体的思想包括整体的构思和“基本图案”的组合。

图形的变换一、平移1.定义：把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。

2.性质：（1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动。

（2）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。

二、轴对称1.定义：把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。

2.性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。

（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。

3.判定：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

三、旋转1.定义：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2.性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等。

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

四、中心对称1.定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

2.性质：（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都过对称中心，并且被对称中心平分。

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

3.判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

五、坐标系中对称点的特征1.两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）2.关于x轴对称的点的特征两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）3.两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）一、选择题1．在图形的平移中，下列说法中错误的是（）A．图形上任意点移动的方向相同；B．图形上任意点移动的距离相同C．图形上可能存在不动点；D．图形上任意对应点的连线长相等2．如图所示图形中，是由一个矩形沿顺时针方向旋转90°后所形成的图形的是（）A．（1）（4）B．（2）（3）C．（1）（2）D．（2）（4）第4题图3.在旋转过程中，确定一个三角形旋转的位置所需的条件是（）①三角形原来的位置；②旋转中心；③三角形的形状；④旋转角．A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④4.如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列图形中可由△OBC平移得到的是（）A.△COD B．△OAB C．△OAF D．△OEF5.下列说法正确的是（）A．分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形；B．两个位似图形的面积比等于位似比；C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比；D．位似图形的周长之比等于位似比的平方6.下面选项中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A.等边三角形B．等腰梯形C．五角星D．菱形7.下列图形中对称轴的条数多于两条的是（）A．等腰三角形B．矩形C．菱形D．等边三角形8.在如图所示的四个图案中既包含图形的旋转，又有图形的轴对称设计的是（）9.钟表上2时15分，时针与分针的夹角是（）A．30°B．45°C．22．5°D．15°二、填空题10.一个正三角形至少绕其中心旋转________度，就能与本身重合，一个正六边形至少绕其中心旋转________度，就能与其自身重合．11.如图，可以看作是由一个三角形通过_______次旋转得到的，每次分别旋转了__________．12.如图，在梯形ABCD中，将AB平移至DE处，则四边形ABED是_______四边形．13.已知等边△ABC，以点A为旋转中心，将△ABC旋转60°，这时得到的图形应是一个_______，且它的最大内角是______度．14.如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形的周长为30cm，则较大图形周长为________．15.将如左图所示，放置的一个Rt△ABC（∠C=90°）绕斜边AB旋转一周，所得到的几何体的主视图是右图所示四个图形中的_______（只填序号）．16.如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形纸，小明把矩形的一个角沿折痕翻折上去，使AB边和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他的判定方法是_______第16题图第17题图17.如图，有一腰长为5cm，底边长为4cm的等腰三角形纸片，•沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有_______个不同的四边形．三、解答题18.如图，平移图中的平行四边形ABCD使点A移动至E点，作出平移后的图形．19.如图，作出Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°、180°、270°后的图案，看看得到的图案是什么？20.如图，P是正方形内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若BP=3，求PP′．21.如图所示，四边形ABCD是正方形，E点在边DE上，F点在线段CB•的延长线上，且∠EAF=90°．（1）试证明：△ADE≌△ABF．（2）△ADE可以通过平移、翻转、旋转中的哪种方法到△ABF的位置．（3）指出线段AE与AF之间的关系．22.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，E为BC边上的点，将直角梯形ABCD沿对角线BD 折叠，使△ABD与△EBD重合（如图中的阴影部分）．若∠A=120°，•AB=4cm，求梯形ABCD的高CD．23.如图，正方形ABCD内一点P，使得PA：PB：PC=1：2：3，请利用旋转知识，•证明∠APB=135°．（提示：将△ABP绕点B顺时针旋转90°至△BCP′，连结PP′）。

初中数学知识归纳旋转平移与对称的性质初中数学知识归纳—旋转、平移与对称的性质学习数学是培养学生逻辑思维和解决问题的能力的重要途径之一。

在初中数学中，旋转、平移和对称是三个基本的几何变换，它们具有广泛的应用价值。

本文将对旋转、平移和对称的性质进行归纳总结，以帮助初中生更好地理解和运用这些知识。

一、旋转的性质旋转是指物体绕着某个轴心或点旋转一定角度后，其位置和形状发生改变。

旋转变换可以分为顺时针和逆时针两种方式。

下面我们来总结旋转的一些性质：1. 旋转不改变物体的大小和形状，只改变其位置和方向。

2. 旋转有叠加效应，即多次旋转等价于一次旋转，旋转次数的奇偶性决定了旋转后物体是否“回到原位”。

3. 绕一个中心点旋转180°，相当于进行一次对称变换。

4. 绕一个中心点旋转360°，相当于保持不变。

5. 旋转操作可以用角度、弧度制或单位圆来描述。

二、平移的性质平移是指物体在平面上沿着某个方向保持形状和大小不变地移动一定的距离。

平移变换的重要性在于可以帮助我们描述物体在坐标平面上的位置变化。

以下是平移的一些性质：1. 平移保持物体的大小、形状和方向不变，只改变其位置。

2. 不同的平移方式可以组合，得到新的平移操作。

3. 平移操作可以使用向量来表示，向量的模表示平移的距离，方向表示平移的方向。

4. 在平面上，任何平行线上的两个点经过平移后，仍然保持平行。

5. 平移的逆操作是将物体向相反的方向移动相同的距离。

三、对称的性质对称是指物体按照某条直线或某个点的位置关系呈现镜像对称。

对称变换在初中数学中被广泛应用于图形的构造和性质的证明。

以下是对称的一些性质：1. 镜面对称：物体按照一条直线呈现镜像对称，此直线称为对称轴。

对称轴把物体分成两个部分，其中一个部分关于对称轴对称复制得到另一个部分。

2. 点对称：物体按照一个点呈现镜像对称，此点称为对称中心。

对称中心把物体分成两个部分，其中一个部分关于对称中心对称复制得到另一个部分。

图形的平移和旋转【图形的平移】(1)平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．注意:①平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换．②图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据．③图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．（2）平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．注意：①要正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征．②“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．（3）简单的平移作图平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形原来的位置；②平移的方向；③平移的距离．例1．如图，△ABC 绕C 点旋转后，顶点A 的对应点为点D ，试确定顶点B•对应点的位置，以及旋转后的三角形．分析：绕C 点旋转，A 点的对应点是D 点，那么旋转角就是∠ACD ，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB ′=ACD ，•又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB ′，就可确定B ′的位置，如图所示． 解：（1）连结CD（2）以CB 为一边作∠BCE ，使得∠BCE=∠ACD （3）在射线CE 上截取CB ′=CB 则B ′即为所求的B 的对应点． （4）连结DB ′则△DB ′C 就是△ABC 绕C 点旋转后的图形．例2．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，且DE=14，△ABF 是△ADE 的旋转图形． （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）AF 的长度是多少？（4）如果连结EF ，那么△AEF 是怎样的三角形？分析：由△ABF 是△ADE 的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF•的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE 的长度，由勾股定理很容易得到．•△ABF 与△ADE 是完全重合的，所以它是直角三角形． 解：（1）旋转中心是A 点． （2）∵△ABF 是由△ADE 旋转而成的 ∴B 是D 的对应点 ∴∠DAB=90°就是旋转角 （3）∵AD=1，DE=14∴=4∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点∴AF=4（4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且AF=AE ∴△EAF是等腰直角三角形．【图形的旋转】（1）旋转的概念：图形绕着某一点（固定）转动的过程，称为旋转，这一固定点叫做旋转中心。

第三章图形的平移与旋转复习要点专点一：图形的平移1．平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

平移是由移动的方向和距离决定的。

2.平移的性质：（1）平移不改变图形的形状和大小：即平移前后的线段相等，平移前后的三角形或多边形全等。

（2）平移后的图形与原来图形的对应线段平行且相等，对应角相等。

（3）平移后两图形的对应点所连的线段平行且相等。

专点二：图形的旋转1.旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿着某个方向（顺时针或逆时针）旋转一定的角度，这样的图形运动成为旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。

2.旋转的性质：（1）旋转不改变图形的形状和大小：即旋转前后的图形是一组全等形。

（2）旋转后的图形与原来的图形的对应线段相等，对应角相等。

（3）经过旋转，图形上的每一点都绕着旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度。

（4）任意一对对应点与旋转中心的距离相等。

考点三、中心对称1、定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

2、性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。

考点四、坐标系中对称点的特征1、关于原点对称的点的特征：两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）2、关于x轴对称的点的特征：两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）3、关于y轴对称的点的特征：两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）专点五：利用轴对称、旋转和平移作图1.平移作图的一般步骤：（1）确定平移的方向和距离；（2）确定构成图形的关键点（线段两个端点，三角形三个顶点，n边形n 个顶点）；（3）按照平移的方向和距离平移各个关键点；（4）顺次连接各个关键点的对应点，所得的图形就是平移后的图形。

初二图形运动知识点归纳总结图形运动是初中数学中的一个重要概念，它涉及到了图形的平移、旋转和翻折等方面。

正确理解和掌握图形运动的知识点对于解决相关题目和扩展思维能力都有很大的帮助。

本文将对初二图形运动的知识点进行归纳总结。

一、平移平移是指在平面内，保持图形形状和大小不变的情况下，将图形的每一个点沿着平行于某一方向的直线移动相等的距离。

下面是一些关于平移的知识点：1. 平移规则：平移时，所有点在相同的方向上移动相同的距离，移动后的图形与原图形具有相同的形状和大小。

2. 平移的性质：平移是保持图形的相对位置不变的运动。

3. 平移的表示方法：平移可以用向量表示，平移向量的大小和方向决定了平移的方式。

二、旋转旋转是指在平面上，保持图形形状不变的情况下，按照某一点为中心，将图形围绕该点旋转一定的角度。

下面是一些关于旋转的知识点：1. 旋转规则：旋转时，每一个点都按照相同的角度和方向旋转，旋转后的图形与原图形具有相同的形状和大小。

2. 旋转的性质：旋转是保持图形的大小不变，但改变了图形的方向和位置。

3. 旋转的表示方法：旋转可以用角度表示，将图形按照逆时针方向旋转。

三、翻折翻折是指在平面上，保持图形某些特定线段上的点不动，其余的点沿着折叠线折叠到另一侧，从而使得折叠后的图形与原图形完全重合。

下面是一些关于翻折的知识点：1. 翻折规则：翻折时，折叠线两侧的对应点位置相同，翻折后的图形与原图形完全重合。

2. 翻折的性质：翻折可以改变图形的位置和方向，但保持图形的大小和形状不变。

3. 翻折的种类：常见的翻折方式有水平翻折、垂直翻折和对称翻折等。

四、图形运动的应用图形运动的知识点不仅仅在数学中有应用，它还可以应用于其他领域。

下面列举一些图形运动的应用场景：1. 几何问题的解决：图形运动可以应用于解决几何问题中的平面图形位置变化问题，帮助我们更好地理解和解决这些问题。

2. 计算机图形学：在计算机图形学中，图形运动的概念被广泛应用于图形的变换、动画设计等领域。

初中数学图形的平移与旋转知识点归纳在初中数学中，图形的平移和旋转是涉及到几何图形的基本操作。

通过平移和旋转，我们可以改变图形的位置和朝向，从而建立几何图形之间的联系和性质。

本文将对初中数学中与图形的平移和旋转相关的知识点进行归纳和总结。

一、图形的平移平移是指将一个图形沿着指定的方向和距离移动，而不改变该图形的大小、形状和方向。

图形的平移可以通过向左、向右、向上或向下平移来完成。

以下是与图形的平移相关的知识点：1. 平移向量：平移向量表示平移的方向和距离，可以用箭头表示。

平移向量的长度表示平移的距离，箭头的方向表示平移的方向。

2. 平行平移：平行平移是指图形沿着平行于给定方向的线段移动。

在平行平移过程中，图形的各个点保持相对位置不变。

3. 坐标平移：坐标平移是指根据给定的平移向量，将图形上每个点的坐标分别增加或减少相应的数值。

例如，对于二维平面上的点A(x, y)，进行平移向量为(3, 4)的平移，那么新的点A'(x+3, y+4)就是平移后的坐标。

二、图形的旋转旋转是指将一个图形按照一定的角度围绕某个固定点旋转，使得图形绕着该点旋转后，图形上的各个点的位置发生相应的变化。

以下是与图形的旋转相关的知识点：1. 旋转中心：旋转中心是围绕其进行旋转的点，也称为旋转的原点。

2. 旋转角度：旋转角度是指旋转的角度大小，可以是正数、负数或零。

正数表示顺时针旋转，负数表示逆时针旋转。

3. 旋转方向：旋转方向可以根据旋转角度的正负来确定，正数表示顺时针旋转，负数表示逆时针旋转。

4. 中心旋转：中心旋转是指图形围绕一个给定的点旋转。

在中心旋转中，图形上的各个点以旋转中心为中心点，按照给定的旋转角度进行旋转。

5. 角度旋转：角度旋转是指图形围绕一个给定的角度进行旋转。

在角度旋转中，旋转中心通常是坐标原点，图形上的各个点按给定的旋转角度进行旋转。

三、图形的平移与旋转的性质和应用图形的平移和旋转不仅是数学中的重要概念，也在实际生活中广泛应用。

平移和旋转知识点总结一、平移的基本概念平移是指物体沿着某一方向按照一定距离进行移动的操作。

在平面上，平移是指将图形在水平方向和垂直方向上进行平移，将图形中的每一个点沿着相同的距离进行移动。

在三维空间中，平移是指将物体在三个坐标轴方向上进行移动，即沿着 x 轴、y 轴和 z 轴进行平移。

在进行平移变换时，可以使用矩阵的乘法来进行描述。

对于二维坐标系中的点 (x, y)，如果要将其进行平移变换，可以使用以下的矩阵表示：```1 0 tx0 1 ty0 0 1```其中 tx 和 ty 分别表示在 x 方向和 y 方向上的平移距离。

对于三维空间中的点 (x, y, z)，平移变换可以使用以下的矩阵表示：```1 0 0 tx0 1 0 ty0 0 1 tz0 0 0 1```其中 tx、ty 和 tz 分别表示在 x 轴、y 轴和 z 轴方向上的平移距离。

二、平移的性质1. 平移变换具有可加性，即两个或多个平移变换的效果可以合并为一个平移变换。

设 T1 和 T2 分别表示两个平移变换，对于任意的点 P，有 T2(T1(P)) = T3(P)，其中 T3 为合并后的平移变换。

2. 平移变换的逆变换也是一个平移变换。

即如果对一个点进行一次平移变换 T，再对其进行逆变换 T^-1，则得到的结果还是一个平移变换，并且可以合并为一个恒等变换。

即 T^-1(T(P)) = P。

3. 平移变换不改变点之间的相互位置关系。

对于图形中的任意两点 A 和 B，它们之间的距离和方向在进行平移变换后不会发生改变，只是位置发生了移动。

三、平移的应用1. 平移变换在计算机图形学中有着广泛的应用。

在计算机图形学中，平移变换可以用来实现图形在屏幕上的移动、拖拽等操作。

在图形处理软件中，也可以使用平移变换来进行图形的平移操作。

2. 在工程和建筑设计中，平移变换可以用来描述物体在平面或空间中的移动和位置调整。

例如在建筑设计中，可以使用平移变换来进行建筑结构的调整和优化。

一、知识回顾 1.平移的概念 2.平移的性质 二、新知要点1.平移图形的规律，作图的顺序；2.平行线的作法及对应点的连结；3.平移三要素：原图形位置，平移方向，平移距离。

例1：观察理解平移后的图形。

例2： 把图中的三角形ABC （可记为△ABC ）向右平移8个格子，画出所得的△'''C B A 。

度量△ABC 与△'''C B A 的边，角的大小，你发现什么呢？解：（1）、经过平移的图形与原来的图形的对应线段 ，对应角 ，图形的形状和大小都 。

（2）、平移的对应点所连线段 。

（3）、其中BC 与B ′C ′的关系是 （位置关系和数量关系）。

线段AB 与A ′B ′的关系是 （位置关系和数量关系）。

若AC=5，则A ′C ′= ，若∠BAC=60°，则∠B ′A ′C ′= 。

若△ABC 周长为30，则△A ′B ′C ′周长为 。

BCA若△ABC面积为S，则△A′B′C′面积为。

例3：画出平移后的图形。

通过操作我们发现：1．在方格纸上平移图形时，把一个图形向某个方向平移几格，不是指原图形和平移后得到的新图形两个图形之间的空格有几格，而是指原图形的每个顶点都向这一方向平移了几格。

2．在方格纸上平移图形时，可以把这个图形的各个顶点按指定的方向平移到新位置，先分别描出各点，再把各点按原来的顺序连接起来，成为按要求平移后得到的新图形。

3．用平移的方式画一排或一列图形时，可以在第一个图形的底部或左右画一条横线或竖线，以这条横线或竖线为基准，画出的图形就是平移得到的。

4．平移图形或物体时，可以一次平移，也可以两次平移，物体的方向都不会改变。

例4：如图，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D，请作出平移后的三角形。

分析：因为A与D是对应点，而平移的对应点的连线段平行且相等所以平移方向——射线AD，平移距离——线段AD的长，作法：1.分别过点B、C沿AD方向作线段BE、CF，使它们与AD平行且相等2.顺次连结D、E、F则△DEF即为所求。

初中数学知识点总结：图形的平移与旋转知识点总结
一、平移变换：
1.概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。

2.性质：(1)平移前后图形全等;
(2)对应点连线平行或在同一直线上且相等。

3.平移的作图步骤和方法：
(1)分清题目要求，确定平移的方向和平移的距离;(2)分析所作的图形，找出构成图形的关健点;(3)沿一定的方向，按一定的距离平移各个关健点;(4)连接所作的各个关键点，并标上相应的字母;(5)写出结论。

二、旋转变换：
1.概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。

说明：(1)图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度所决定的;(2)旋转过程中旋转中心始终保持不动.(3)旋转过程中旋转的方向是相同的.(4)旋转过程静止时，图形上一个点的旋转角度是一样的.⑤旋转不改变图形的大小和形状.
2.性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等;
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
(3)旋转前、后的图形全等.
3.旋转作图的步骤和方法：(1)确定旋转中心及旋转方向、旋转角;(2)找出图形的关键点;(3)将图形的关键点和旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角度数，得到这些关键点的对应点;(4)按原图形顺次连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形.
说明：在旋转作图时，一对对应点与旋转中心的夹角即为旋转角.
常见考法
(1)把平移旋转结合起来证明三角形全等;(2)利用平移变换与旋转变换的性质,设计一些题目。

误区提醒
(1)弄反了坐标平移的上加下减，左减右加的规律;(2)平移与旋转的性质没有掌握。

旋转和平移知识点总结一、旋转1.1 定义在数学中，旋转是指以某一点为中心，按一定的角度和方向将图形绕该点旋转的过程。

常见的旋转包括顺时针旋转和逆时针旋转，以及以原点为中心的旋转和以其他点为中心的旋转。

1.2 性质（1）旋转是等距变换，旋转前后图形的每个点到中心的距离保持不变。

（2）旋转是保角变换，旋转前后图形上的两个点和中心组成的角度保持不变。

（3）根据旋转的不同角度和方向，可以将图形旋转成不同的位置和姿态。

1.3 公式以原点为中心的逆时针旋转公式：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ以任意点（a，b）为中心的逆时针旋转公式：x' = (x-a) * cosθ - (y-b) * sinθ + ay' = (x-a) * sinθ + (y-b) * cosθ + b1.4 实际应用旋转在计算机图形学、几何建模、航空航天、地理信息系统等领域都有广泛的应用。

例如，在计算机图形学中，旋转可以用来实现图形的变换和动画效果；在航空航天领域，旋转可以用来控制飞机和卫星的姿态；在地理信息系统中，旋转可以用来实现地图的旋转和放大缩小等功能。

二、平移2.1 定义平移是指保持图形大小、形状和方向不变的情况下，将图形沿着某一方向移动一定的距离的过程。

平移可以分为水平平移和垂直平移，分别是在x轴和y轴方向上进行平移。

2.2 性质（1）平移是等距变换，平移前后图形上的任意两点之间的距离保持不变。

（2）平移不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置。

2.3 公式水平平移公式：x' = x + ay' = y垂直平移公式：x' = xy' = y + b2.4 实际应用平移在地图导航、工程设计、计算机图形学等领域都有广泛的应用。

例如，地图软件中的平移功能可以让用户在地图上任意移动视角；在工程设计中，平移可以用来调整建筑物或设备的位置；在计算机图形学中，平移可以用来实现图形的移动和拼接。

第三章图像的平移与旋转第一节图形的平移1.在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。

2.一个图形经过平移后得到一个新的图形，这个图形能与原图形相互重合，只是位置发生了变化。

我们把能够相互重合的点称为对应点，能够相互重合的角称为对应角，能够相互重合的线段称为对应线段。

3.平移的条件：确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要一一对应的点的位置或平移的方向和距离，平移的方向为原图上的点指向它的对应点的方向，这一对对应点连接的线段的长是平移的距离。

注：（1）图形的平移有两个基本的条件：方向（任意方向）；距离（2）平移改变了图形的位置，但不改变图形的形状和大小。

4.平移的性质：（1）平移后的图形与原图形对应点所连线段平行或在一条直线上且相等；（2）平移后的图形与原图形对应线段平行（或在一条直线上）且相等；（3）平移后的图形与原图形对应角相等。

5.平移作图常见形式及作法：第二节图形的旋转1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。

这个定点被称为旋转中心，转动的角称为旋转角。

旋转不改变图形的形状和大小。

注：旋转是在平面内，而不是在空间内；旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定可以通过旋转得到；旋转的角度一般小于360度。

2.旋转的三要素：图形的旋转由旋转中心、旋转的角度和旋转的方向所决定。

3.旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。

4.简单的旋转作图：旋转、平移、轴对称的异同：（1）三者的相同点：都是在平面内的图形变换不涉及立体图形的变换；三中变换都是只改变图形的位置，不改变形状和大小，其对应边相等，对应角相等。

（2）不同点：旋转、平移及轴对称的运动方式不同，旋转的运动方式是将一个图形旋转一定角度；而平移的运动方式则是将一个图形沿一条直线对折；旋转、平移及轴对称的对应线段、对应角之间的关系不同。

图形的平移与旋转一、考点、热点回顾1、平移的定义与规律关键：平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向．（1）平移的规律：经过平移，对应线段、对应角分别相等，•对应点所连的线段平行且相等（或共线且相等）．（2）简单作图：平移的作图主要关注要点：1．方向，2．距离．整个平移的作图，就象把整个图案的每个特征点放在一套平行的轨道上滑动一样，每个特征点滑过的距离是一样的．2．旋转的定义与规律关键：旋转不改变图形的大小和形状，但改变图形的方向．（1）旋转的规律：经过旋转，图形上的每一点，都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．（2）简单的旋转作图：旋转作图关键有两点：①旋转方向，②旋转角度．主要分四步：边、转、截、连．旋转就象把每个特征点与旋转中心用线连住的风筝，每个点转的角度是相同的，每个点与旋转中心的距离是不会改变的，即对应点与旋转中心距离相等．3、中心对称图形：把一个平面图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

这一点称为对称中心点。

4、图形翻折：将一个平面图形沿某直线翻折，则翻折图形与原图形关于该直线对称二、典型例题1、下面扑克中是中心对称的是（）A B C D2、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A、等边三角形和等腰直角三角形B、平行四边形和菱形C、正五边形正六边形D、矩形和正方形3、如图,所给的图案由ΔABC绕点O顺时针旋转( )A. 450、900、1350B. 900、1350、1800C.450、900、1350、1800D.450、1800、22504、将如图1所示的Rt△ABC绕直角边BC旋转一周，所得几何体的左视图是（）5和CEFG的边长分别为m、n，那么∆AEG的面积的值（）A．与m、n的大小都有关B．与m、n的大小都无关C．只与m的大小有关D．只与n的大小有关6、如图，线段AB=CD，AB与CD相交于点O，且060AOC∠=，CE由AB平移所得，则AC+BD 与AB的大小关系是：（）A、AC BD AB+<B、AC BD AB+=C、AC BD AB+≥D、无法确定(第5题) （第6题）（第7题）（第8题）7、如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转030到正方形///AB C D，则图中阴影部分面积为（）A、1B C、1D、128、如图，点P是等边三角形ABC内部一点，::5:6:7APB BPC CPA∠∠∠=，则以P A、PB、PC 为边的三角形的三内角之比为（）A、2：3：4B、3：4：5C、4：5：6D、不能确定9、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，E为BC边上的点，将直角梯形ABCD沿对角线BD折叠，使△ABD与△EBD重合（如图中的阴影部分）．若∠A=120°，•AB=4cm，CE=2cm ,求梯形ABCD 的高CD．10、操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝900，将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况．研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图②加以证明．（2）三角板绕点P旋转，△PBE能否为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．11、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结P A、PB、PC，•以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若P A：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．提升练习1、如图，P为正方形ABCD内一点，P A=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数．D2、已知：正方形ABCD 中，∠MAN =45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC （或它们的延长线）于点M ，N ．当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时（如图1），易证BM +DN =MN ．（1）当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时（如图2），线段BM ，DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM ，DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？并说明理由．3、M BC N 图3 AD B CNM图2 A D B C N M 图1 A D三、课后练习1、△ABC平移到△DEF的位置，（即点A与点D，点B与点E，点C与点F，是对应点）有下列说法：①AB=DE;②AD=BE;③BE=CF;④BC=EF其中说法正确个数有……( )A.1个B.2个C.3个D.4个2、（2003，河南）把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形A′B′C′D•′的位置，它们的重叠部分（如图1中的阴影部分）的面积是正方形ABCD•面积的一半，•若，则正方形移动的距离是AA′是_______．（1）（2）（3）3．（2004，南宁）如图2是两张全等的图案，它们完全重合在叠放在一起按住下面的图案不动，将上面图案绕点O顺时针旋转，至少旋转_______度角后，•两张图案构成的图形是中心对称图形．4、如图，两个全等的正六边形ABCDEF、PQRSTU，其中点P位于正六边形ABCDEF的中心，如果它们的面积均为1，则阴影部分的面积是__________。

初中数学知识归纳平移旋转对称平移、旋转和对称是初中数学中常见的几何变换，它们在解决几何问题和实际应用中起着重要的作用。

本文将对平移、旋转和对称进行归纳总结。

1. 平移：平移是指将图形沿着直线方向上的某个距离移动。

在平移过程中，图形的形状和大小保持不变，只是位置发生变化。

平移可以表示为向量形式，其中平移向量表示了图形沿着横坐标和纵坐标方向上的移动距离。

平移的性质：（1）平移不改变图形的大小和形状。

（2）平移保持图形的所有内角大小和相对位置不变。

（3）平移是可逆的，即可以通过相反方向的平移将图形还原到原来的位置。

2. 旋转：旋转是指将图形绕一个点或一个轴进行转动，旋转的中心点称为旋转中心。

旋转可以是顺时针或逆时针方向，旋转的角度可以为正数或负数。

旋转的性质：（1）旋转不改变图形的大小。

（2）旋转保持图形的所有内角大小和相对位置不变。

（3）旋转是可逆的，即可以通过逆向旋转将图形还原到原来的位置。

3. 对称：对称是指图形相对于某个轴、点或中心呈现镜像关系。

对称分为对称轴对称和中心对称两种类型。

对称的性质：（1）轴对称：图形相对于对称轴对称，对称轴上的任意一点与其相对称点距离对称轴的距离相等。

（2）中心对称：图形相对于中心对称，中心对称点是图形的中心，对称图形的任意一点与其相对称点之间的距离相等。

4. 平移、旋转和对称的应用：（1）平移：平移常用于几何问题的解决和图形的构造，如将一个图形精确移动到另一个位置。

（2）旋转：旋转常用于解决图形的排列、对称和判断两个图形是否相似等问题。

（3）对称：对称广泛应用于图案的设计、建筑设计等领域，通过对称可以使图案更具美感和平衡感。

在初中数学学习中，平移、旋转和对称是重要的数学概念和技巧。

通过学习和掌握这些几何变换的性质和应用，可以提高图形思维能力，解决几何问题，并在日常生活中运用数学的知识。

因此，初中数学学习中的平移、旋转和对称对培养学生的几何直观和创造力起着重要的作用。

图形的平移与旋转【知识点梳理】一、平移定义和规律1．平移的定义：在平面，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．注意：〔1〕平移不改变图形的形状和大小〔也不会改变图形的方向，但改变图形的位置〕；〔2〕图形平移的要素：平移方向、平移距离．2．平移的规律〔性质〕：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等、对应角相等．注意：平移后，原图形与平移后的图形全等．3．简单的平移作图平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动．平移作图要注意：①方向；②距离．二、旋转的定义和规律1．旋转的定义：在平面，将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角．关键：〔1〕旋转不改变图形的形状和大小〔但会改变图形的方向，也改变图形的位置〕；〔2〕图形旋转的要素：旋转中心、旋转方向、旋转角．2．旋转的规律〔性质〕：经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿一样方向转动了一样的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．〔旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等．)注意：旋转后，原图形与旋转后的图形全等．3．简单的旋转作图：旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动．旋转作图要注意：①旋转方向；②旋转角度．【典题例题】【例1】、在以下实例中，不属于平移过程的有〔〕①时针运行的过程；②火箭升空的过程；③地球自转的过程；④飞机从起跑到离开地面的过程。

A、1个B、2个C、3个D、4个【例2】、如下图的每个图形中的两个三角形是经过平移得到的是〔〕【例3】、以下图形经过平移后恰好可以与原图形组合成一个长方形的是〔 〕A 、三角形B 、正方形C 、梯形D 、都有可能【例4】、在图形平移的过程中，以下说法中错误的选项是〔 〕A 、图形上任意点移动的方向一样B 、图形上任意点移动的距离一样C 、图形上可能存在不动的点D 、图形上任意两点连线的长度不变【例5】、有关图形旋转的说法中错误的选项是〔 〕A 、图形上每一点到旋转中心的距离相等B 、图形上每一点移动的角度一样C 、图形上可能存在不动点D 、图形上任意两点连线的长度与旋转其对应两点连线的长度相等。

平移旋转知识点总结一、平移的基本概念1、平移的定义平移是指图形沿着一条直线方向移动，移动的距离和方向保持一致。

在平移过程中，图形的大小和形状都不发生变化，只是位置发生了改变。

可以将平移看作是图形的每个点都按照同一个方向和距离进行移动，从而得到了一个新的位置。

2、平移的表示平移可以用向量来表示，假设有一个向量V(u,v)，其中u和v表示平移的水平和垂直方向上的距离。

对于一个点P(x,y)，通过向量表示的平移操作可以表示为P'=(x+u, y+v)。

这表示点P经过向量V的平移操作后得到了新的点P'(x+u, y+v)。

3、平移的性质平移具有以下几个重要的性质：（1）平移是保形变换，即平移前后的图形形状相同；（2）平移不改变图形的大小；（3）平移不改变图形的角度；（4）平移保持了图形内的任意两点间的距离关系。

二、旋转的基本概念1、旋转的定义旋转是指图形以一个固定的点为中心，按照一定的角度转动。

在旋转过程中，图形的大小和形状都不发生变化，只是方向发生了改变。

可以将旋转看作是图形的每个点都按照同一个中心和角度进行转动，从而得到了一个新的方向。

2、旋转的表示旋转可以用矩阵来表示，假设有一个点P(x,y)，以原点为中心，顺时针旋转角度为θ的旋转操作可以表示为P'=(x*cosθ-y*sinθ, x*sinθ+y*cosθ)。

这表示点P经过矩阵表示的旋转操作后得到了新的点P'(x',y')。

3、旋转的性质旋转具有以下几个重要的性质：（1）旋转是保形变换，旋转前后的图形形状相同；（2）旋转不改变图形的大小；（3）旋转保持了图形内的任意两点间的距禿；（4）旋转不改变图形的中心；（5）对任意两个点A和B，它们的连线在旋转前后的夹角不变。

三、平移和旋转的混合变换在实际问题中，往往需要对图形进行平移和旋转的组合变换。

对于平移和旋转的组合变换，其实际操作可以分为两步：首先进行平移，然后进行旋转。