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Differential（微分）的名词1. 引言微分（differential）是一种基本的数学概念，它在数学分析、物理学和工程学等领域中都扮演着重要的角色。
微分的概念最早由数学家和物理学家牛顿和莱布尼茨提出，通过对函数的变化率进行研究，微分使我们能够更好地理解和描述自然现象中的变化。
本文将深入讨论微分的概念、性质和应用，并探讨微分在数学和实际问题中的重要性。
2. 微分的概念与定义微分是一种用来描述函数变化率的数学工具。
当我们研究一个函数在某一点上的变化时，微分允许我们通过求取函数在该点的导数来获得更多的信息。
2.1 导数的定义函数在某一点的导数（derivative）描述了函数在该点的变化率。
对于函数f(x)，其在点x处的导数可以通过以下公式定义：f′(x)=limℎ→0f(x+ℎ)−f(x)ℎ这个公式表示了当自变量的增量h趋近于0时，函数在该点的变化率。
导数可以看作函数曲线在某一点上的切线斜率。
2.2 微分的定义微分是导数的近似值。
通过使用导数的定义，我们可以将函数在某一点x处微分为以下形式：df(x)=f′(x)⋅dx其中，dx表示自变量的增量，df(x)表示函数在点x的微小增量。
微分的概念可以让我们更好地研究函数的变化，特别是在一些计算问题中。
3. 微分的性质与应用微分在数学和实际问题中都有着广泛的应用。
它的一些性质和应用将在本节中进行讨论。
3.1 微分的基本性质微分具有一些基本的性质，如线性性、乘积法则和链式法则等。
这些性质使得微分成为解决复杂问题的强有力的工具。
3.1.1 线性性微分具有线性性质，即对于任意常数a和b以及两个可微函数f(x)和g(x)，有如下等式成立：d(af(x)+bg(x))=a⋅df(x)+b⋅dg(x)这个性质允许我们在进行微分计算时，对函数进行线性组合，从而简化计算过程。
3.1.2 乘积法则乘积法则是微分中的重要性质，用于计算两个函数的乘积的导数。
对于可微函数f(x)和g(x)，有如下等式成立：d(f(x)⋅g(x))=f′(x)⋅g(x)⋅dx+f(x)⋅g′(x)⋅dx乘积法则使得我们能够更方便地计算复杂函数的导数。
莱布尼茨公式的推导过程与思想莱布尼茨公式，又称为莱布尼茨-Leibniz公式，是微积分中常用的一个公式，用于计算多项式函数的n阶导数。
它的推导过程和背后的思想对于理解微积分的原理和方法具有重要意义。
本文将对莱布尼茨公式的推导过程和思想进行详细阐述。
一、问题的提出考虑一个多项式函数f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + anxn，我们希望计算出它的n阶导数f⁽ⁿ⁾(x)。
二、推导过程为了推导莱布尼茨公式，我们首先引入一个新的函数，即多项式函数f(x)乘以x的幂函数，记作g(x) = xf(x)。
接着，我们对g(x)进行求导，得到g'(x)。
g'(x) = (xf(x))'= f(x) + x(f(x))'= f(x) + xf'(x)现在我们来考虑g'(x)的n阶导数g⁽ⁿ⁾(x)。
g⁽ⁿ⁾(x) = (g'(x))⁽ⁿ⁾= (f(x) + xf'(x))⁽ⁿ⁾根据二项式定理，我们可以展开上式。
(g⁽ⁿ⁾(x)) = (f(x) + xf'(x))⁽ⁿ⁾= C⁽ⁿ⁾₀(f(x))⁽ⁿ⁾ + C⁽ⁿ⁾₁(f(x))⁽ⁿ⁻¹⁾(xf'(x))¹ + ... + C⁽ⁿ⁾⁽ⁿ⁾(xf'(x))⁽ⁿ⁾其中C⁽ⁿ⁾ₖ表示组合数。
我们注意到，在上式右侧的展开式中，只有当j + (n-k)= n时，才会有f(x)⁽ⁿ⁾的乘积项。
我们将乘积项的系数提取出来，得到莱布尼茨公式的推导结果。
(g⁽ⁿ⁾(x)) = C⁽ⁿ⁾₀(f(x))⁽ⁿ⁾ + C⁽ⁿ⁾₁(f(x))⁽ⁿ⁻¹⁾(xf'(x))¹ + ... +C⁽ⁿ⁾⁽ⁿ⁾(xf'(x))⁽ⁿ⁾= C⁽ⁿ⁾₀f(x)⁽ⁿ⁾ + C⁽ⁿ⁾₁f(x)⁽ⁿ⁻¹⁾(xf'(x))¹ + ... + C⁽ⁿ⁾⁽ⁿ⁾f(x)¹(xf'(x))⁽ⁿ⁾= C⁽ⁿ⁾₀f(x)⁽ⁿ⁾ + C⁽ⁿ⁾₁f(x)⁽ⁿ⁻¹⁾x + ... + C⁽ⁿ⁾⁽ⁿ⁾f(x)¹(xf'(x))⁽ⁿ⁾由于我们最终的目标是计算出f⁽ⁿ⁾(x)，我们可以对上式进行简化。
《微分几何》课程教学大纲一、课程信息课程名称：微分几何Differentia1Geometry课程代码：06S1022B课程类别：专业选修课适用专业：数学与应用数学专业（师范类）课程学时：45学时（理论35,实践10）课程学分：2.5学分修读学期：第6学期先修课程：数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程二、课程目标微分几何是数学与应用数学专业的选修课程，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。
古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间一一流形。
微分几何与拓扑学等其它数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。
本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。
本课程旨在介绍微分几何的基本思想方法和理论，让学生了解它的研究对象、研究方法和技巧，了解一些重要概念及其几何意义，经典理论及其模型，掌握重要几何量的计算，通过重要例题的演示，让学生学会综合利用数学分析、解析几何、微分方程等的基本知识解决微分几何问题，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，培养学生分析三维欧氏空间的曲线和曲面的局部性态的能力以及对微分几何这门学科的兴趣。
（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：1.了解现代几何学的发展背景，熟悉微分几何研究的基本方法和技巧，理解从欧式空间到一般几何对象的基本思想，对中学的几何课程有更好的理解，具有一定的批判精神及创新能力，具有分析问题和解决问题的能力。
【支撑毕业要求3、4、7]2.掌握向量函数的相关概念和计算；掌握一般曲线的参数表示及切线、法平面、密切平面等概念；掌握曲线的曲率、挠率及伏雷内公式；理解曲线的局部结构及空间曲线论的基本定理；了解一般螺线的概念;综合运用微积分、解析几何的知识解决微分几何的问题，具备一定的计算能力。
【支撑毕业要求3、4]3.掌握曲面的参数表示及相关概念；掌握曲面的第一基本形式及其应用，理解等距变换及曲面的内蕴性质；掌握曲面的第二基本形式及各种曲率的概念和计算；理解直纹面、可展曲面的概念；了解曲面论的基本定理；理解曲面上的测地线及其性质，了解高斯-波涅公式及其应用。
推导微分方程的高阶线性微分方程与常系数齐次线性微分方程的解法微分方程（Differential Equation）是描述自然界中变化规律的重要数学工具。
在微分方程的研究中，高阶线性微分方程与常系数齐次线性微分方程是常见且具有重要意义的两个类型。
本文将介绍这两种微分方程的解法，并进行推导。
一、高阶线性微分方程高阶线性微分方程（High-order Linear Differential Equation）是指方程中包含高于一阶的导数的线性微分方程。
一般形式可以表示为：\[ a_n(x)y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = 0 \]其中，$y^{(n)}(x)$表示导数的$n$次导数，$a_n(x), a_{n-1}(x),\cdots, a_1(x), a_0(x)$为已知的函数。
解法如下：1. 设方程的$n$个线性无关的特解为$y_1(x), y_2(x), \cdots, y_n(x)$2. 利用特解组合构造齐次线性微分方程的解\[ y(x) = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x) + \cdots + C_n y_n(x) \]其中，$C_1, C_2, \cdots,C_n$为常数。
3. 求解常数$C_1, C_2, \cdots, C_n$的值，得到齐次线性微分方程的通解。
二、常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程（Homogeneous Linear Differential Equation with Constant Coefficients）是指系数为常数的齐次线性微分方程。
一般形式可以表示为：\[ a_ny^{(n)}(x) + a_{n-1}y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_1y'(x) + a_0y(x) =0 \]其中，$a_n, a_{n-1}, \cdots, a_1, a_0$为已知的常数。
微积分推导过程微积分是数学中的一个重要分支，其应用范围包括物理、化学、工程等许多领域。
在微积分中，推导就是一个非常关键的过程，推导可以帮助我们理解概念，进一步探索问题的本质，并推导出相应的公式和结论。
下面我们就以推导过程为例，来介绍一下微积分中的一些基本概念和应用。
一、导数的定义和性质在微积分中，导数是一种非常重要的概念。
在推导中，我们常常需要使用导数的定义和性质来进行计算。
1. 导数的定义导数的定义是指，函数在某一点处的导数，是函数在该点处的切线斜率。
即：$$f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$这个定义中，$\Delta x$表示函数的自变量的增量，$f(x+\Delta x)$和$f(x)$分别表示函数在$x$点和$x+\Delta x$点的函数值。
导数具有一些重要的性质。
这些性质可以帮助我们推导和计算导数。
首先，如果函数$f(x)$在$x$处可导，则$f(x)$在$x$的左右两侧的导数相等。
二、常见函数的导数公式在推导过程中，我们需要掌握一些常见函数的导数公式。
这些公式可以帮助我们快速求出函数的导数。
1. 常数函数：如果$y=c$，其中$c$为常数，则$y'=0$。
4. 对数函数：如果$y=\log_ax$，其中$a>0$且$a\neq1$，则$y'=\frac{1}{x\lna}$。
5. 三角函数：如果$y=\sin x$，则$y'=\cos x$；如果$y=\cos x$，则$y'=-\sin x$；如果$y=\tan x$，则$y'=\sec^2x$。
三、基本微积分定理微积分中的基本定理包括微分定理和积分定理。
这些定理为微积分的计算提供了基础。
1. 微分定理微分定理是微积分的一个基本概念。
它是指，如果函数$f(x)$在$[a,b]$上可导，则在$[a,b]$上的$f(x)$的微分为：$$\int_a^bf'(x)dx=f(b)-f(a)$$这个定理提供了计算函数$f(x)$值得方法。
微分几何（Differentialgeometry）名词解释：Christoffelsymbols《数学人Mathmann》译者：方建勇/浙江大学数学系98级毕业生Christoffel符号在数学和物理学中，Christoffel符号是描述度量连接的数组数组。
[1]公制连接是与表面或具有度量的其他歧管的仿射连接的专业化，允许在该表面上测量距离。
在微分几何中，可以定义仿射连接，而不需要引用度量，并且还有许多其他概念：并行传输，协方差导数，测地线等也不需要度量的概念[2] [3]然而，当一个度量可用时，这些概念可以直接与歧管本身的“形状”相关联;该形状由切向空间如何通过度量张量附接到余切空间来确定。
[4]抽象地，可以说歧管具有相关联的（正交正交）框架束，每个“框架”是坐标框架的可能选择。
不变度量意味着帧束的结构组是正交组SO（m，n）。
因此，这种歧管必然是（假）黎曼流形。
[5] [6] Christoffel符号提供了（歧视）黎曼几何在歧管上的坐标方面的具体表示。
然后可以用Christoffel符号表示其他概念，例如并行传输，测地线等。
通常，对于给定的度量张量，存在无限数量的度量连接;然而，有一个独特的连接，Levi-Civita连接，没有任何扭曲。
通过在扭转消失的坐标系（称为完整坐标）中工作，物理学和广义相对论几乎与Levi-Civita连接工作非常普遍。
在基础n维流形的每个点处，对于围绕该点的任何局部坐标系，Christoffel符号表示为i，j，k = 1,2，…，n的Γijk。
该n×n×n数组的每个条目是实数。
在歧管上的线性坐标变换下，Christoffel符号像张量的分量变换，但在一般坐标变换（diffeomorphisms）下，它们不会变换。
Christoffel符号的大部分代数属性遵循与仿射连接的关系;结构组是正交组SO（m，n）（或广义相对论的洛伦兹组SO（3,1））的事实只有一点。
Sec. 3.7 Differentials 微分1 :微分(differential)的幾何量化與代數推導增量(in creme n ):函數y f (x)，當x 分量由x-,變動到X 2時，x 對應x 的此一增量 x , y 的增量為 y y 2如圖示3例 1~2： Let y f (x) X . Find x and幾何說明：現賦予dy 、dx 幾何上的意義，讓來不尼茲符號取 有兩數相除的意思。
dx如上圖所示(注意微分與增量的關係 )x 2 x 1稱為x 的一增量。
y 1 f(X 2) f(X 1) f(X 1 x) f(X 1) a) When x changes fron2 to2.01. b) Whe n x chan ges fron2 to 1.98. 解:a) 2.01 2 0.01(新的減舊的)x) f(X 1) f(2.01) f(2) (2.01)3 23 0.1206.1b) 1.98x) 0.02(新的減舊的) f(X 1)f(1.98) f(2) (1.98)3 23 0.237608定義：函數 y f(x)，x 的微分 (differential)為 dx x y 的微分(differentia l)為 dy f (x) dx 。
(dy 隨x 與dx 變動)a)x的增量為x AB PR, y的增量為y f(x x) f(X) CD RQb）如圖過點P的切線斜率m f（X）变；dx PR若令dx X PR ,則dy可取為如圖示的線段長RS；c) f dy 即RS RQd）用切線逼近曲線例（補充）：Finddy if a y x33x J x23x .解:adx n 3xdx 3x2dy 3x2 3 dxdx2x 32(73x例（補充）:Find d x3 3x 1x 3x解:d x33x 1 d X2 3x 3x22x3 dx3 dx3x22x 3dy2x2、近似ApproximationS :（看圖也有相同結論）f (x) limx f(x0 X) f(x) f(x X)f(x)Xf(x x) f(x) (即f dy 或RS RQ) f(x x) f(x) (即BQ BR RS)例題3：Let ya)b)c)d)f(x) X3.Fi nd the differe ntialdyUse dy to app roximateUse dy to app roximateof y.Whe n x cha ngesfron2to2.01.Whe n x changes fron2to1.98.Compare the results of part (b) with those of Exampled) part b)近似值dy 0.12與例2的真正值例 4： Use differential to approximate^'26.5 .解:f (25 (1.5)) f (25) f (25) (1.5)42 —1.5 5 0.15 5.15 #2J 25解:C(v) 1 警VC C (v) v C (55)⑶4500 1 IF 3 1.46 元 #100)增加到 $105,000 (x 105)時，銷售量的改變量是多少。
微分方程式 (Differential Equations)微分方程式微分方程式: 方程式或等式中含有自變數之未知函數及其導函數或微分者稱之函數(因變數)y = f (x ); x :自變數 ⇒ 一般式或通式()0,=y x Fwhere ()()x f y y x F -=,函數的微分(differential) dy : 代表函數y 隨著自變數x 之變化―∆x ,而變化之∆y 的線性主部dx dxdy dy =()()dx x y x dy '=函數的導函數(derivative)()()xx y x x y x y dx dy y x x ∆-∆+=∆∆=='→∆→∆00lim lim※ 一個函數的自變量的增量∆x 趨近某一極限時，其因變量的增量∆y 與自變量的增量∆x 之商的極限※ 函數y 對自變數x 之瞬間變化率(instantaneous rate of change); 函數y 的無窮小的變化量dy (微分) 相對自變數x 的無窮小的變化量dx (微分)()()x y x x y y -∆+≡∆ ⇒()()εε+∆'=+=∆x x y x dy ydx x =∆⇒ ()ε+'=∆dx x y y()()⎩⎨⎧P.D.E. Equations, al Differenti Partial O.D.E. Equations, al Differenti Ordinary 偏微分方程式常微分方程式微分方程式常微分方程式（ordinary differential equation ，簡稱ODE ）是只含有一個自變數的函數及它們的一個或多個導函數的微分方程式偏微分方程式指含有兩個或兩個以上自變數的函數及及其偏導數的方程式定義 一n 階常微分方程式通式如 ()()0,,,,='''n y y y y x F ()()0,,,='⇒='y y x F y x f ywhere ()()y x f y y y x F ,,,-'='()()()()()()()0,,,=-+'+''='''⇒=+'+''x f y x b y x a y y y y x F x f y x b y x a y()()()()()一階一次常微分方程式三階二次常微分方程式二階一次常微分方程式一階一次常微分方程式01413cos 62215252223322=-+=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+'+''=+dy y dx xe e t x dt x d dt x d x y y y y xy dxdy xt()0115522=-+⇒=-+y xe dx dy dy y dx xe xx 階(order): 微分方程式中出現之最高微分數稱為此微分方程式之階數次(degree): 微分方程式化成有理整式後，最高階微分相之最高幕次，稱為此微分方程式之次數線性常微分方程式 (linear ordinary differential equation): 微分方程式中自變數的函數(因變數) 及其導數的幕次均為一次方且無相互乘積項非線性常微分方程式 (nonlinear ordinary differential equation): 不屬於常線性微分方程式者均屬之()()()()()非線性常微分方程式非線性常微分方程式線性常微分方程式非線性常微分方程式01413cos 62215252223322=-+=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+'+''=+dy y dx xee t x dt x d dt x d x y y y y xy dxdy x t常微分方程式可表為下列通式者稱為線性常微分方程式()()()()()()()x R y x a y x a y x a y x a n n n n =+'+++--0111 1. ()n y y y y ,,,'''均為一次方且無乘積項 2. 無y 與其導數的非線性函數存在,()y e y y ,,sin3. ()()()()()x R x a x a x a x a n n ,,,,,011 -只為自變數的函數或常數齊次微分方程式 (homogeneous differential equation): R (x ) = 0 非齊次微分方程式 (inhomogeneous differential equation): R (x ) ≠ 0()()分方程式二階一次非線性齊次微式一次線性齊次微分方程三階0cos 0cos sin 32222332=++=+-y dxdydx y d y t dt y d t dt y d t微分方程式的解定義 一n 階微分方程式在區間(a , b )的解為在區間(a , b )滿足該微分方程式之一n 次可微分函數定義 一n 階微分方程式()()0,,,,,='''n y y y y x F 在某區間I 的解，為定義在區間I 並滿足該()()()()()()I x x x x x x F n ∈∀=''',0,,,,,φφφφ 之一n 次可微分函數()x φ證明函數()12-=x x φ為微分方程式22+=y dxdyx在區間∞<<∞-x 之解()()⎩⎨⎧'→='→-=y xx y x x 212φφ 02222=--⇒+=y dxdyxy dxdyx ()()02222212222222=-+-=---=--x x x x x y dxdyx∴()12-=x x φ為微分方程式22+=y dxdyx在區間∞<<∞-x 之解證明函數()x x x x y ln 22/12/1-=為微分方程式042=+''y y x 在區間()∞,0之解()x x x x x x x x x x x x y ln 21ln 21ln 212122/12/12/12/112/12/12/1--------=--=⎪⎭⎫⎝⎛+-='()2/32/312/12/321ln 41ln 2121------=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=''x x x x x x x x y()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=''-='-=---2/32/32/12/12/121ln 41ln 21ln 2x x x x y x xx y x x x x yln 22ln ln 221ln 41442/12/12/12/12/12/12/32/322=-+-=-+⎪⎭⎫⎝⎛-=+''--x x x x x x xx x x x x x y y x ∴ 函數()x x x x y ln 22/12/1-=為微分方程式042=+''y y x 在區間()∞,0之解證明函數()x x y ln =為微分方程式022=+dx dydxy d x 在區間()∞,0之解, 但在區間()∞∞-,則不為其解()x x y ln =的定義域為()∞,00111111222222=+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==x x xx x dx dy dx y d x x dxyd x dx dy∴ 函數()x x y ln =為微分方程式022=+dx dydxy d x 在區間()∞,0之解 ∵對數函數在區間()0,∞-無定義⇒函數()x x y ln =不為微分方程式022=+dx dydxy d x 在區間()∞∞-,之解顯函數解: 一n 階微分方程式其解可表為下列形式者,稱之()0,,,,,210==n c c c c x f y隱函數解: 一n 階微分方程式其解需表為下列形式者,稱之()()0,0,,,,,,,210=⇔=y x c c c c y x F n φ一般而言, 線性常微分方程式所得到的解,大多可表為顯函數解. 非線性常微分方程式所得到的解,大多為隱函數解. 證明函數0ln 2=--x y xy 為微分方程式122--=xy y xy dx dy 之隱函數解將0ln 2=--x y xy 對x 隱微分⇒ ()()0210ln 2=--+⇒=--x dxdyy dx dy xy dxdx y xy dx d ∴y x dxdyy xy y x dx dy y x -=-⇒-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2121⇒ ()12122--=--=xy y xy xy y x y dx dy ∴ 函數0ln 2=--x y xy 為微分方程式122--=xy y xy dx dy 之隱函數解通解(general solution): 包含n 個任意常數的n 階常微分方程式的解.一般而言, n 階常微分方程式的解所包含任意常數的數目等於該微分方程式的階數. 特解(particular solution): 解中之常數均為定值或將初始條件或邊界條件帶入通解,決定任意常數的值,所得的解稱之.奇異解(singular solution): 不能由通解初始條件或邊界條件得到,但仍能滿足原微分方程式的解稱之.一階微分方程式之通解()()0 ,==x,y,c F c x f y 或c 為任意常數+ (初始)條件(initial condition) : ()00y x y = ⇒ 特解,c 為定值x 0,y 0為已知值一階微分方程式之圖形特解為積分曲線(integral curve),通解則稱積分曲線族,因c 為任意常數,可得無限個積分曲線 微分方程式y x dxdy-=在區間()∞∞-,具有一通解x e c x y -+-=01,試就 0.2,0.1,5.0,0,100000====-=c c c c c 決定其特解,並會出其積分曲線xx x x e x y c e x y c e x y c x y c e x y c ----+-=⇒=+-=⇒=+-=⇒=-=⇒=--=⇒-=210.210.15.015.0101100000證明ct t t y +=ln 為微分方程式t ty y t 12=-'在區間()∞,0之通解()c t c t y ct t t y ++=++='⇒+=1ln 1ln ln012=--'⇒=-'t y y t t t y y t()()0ln ln ln 1ln =---++=-+-++=--'t ct t t ct t t t t ct t t c t t t y y t∴ct t t y +=ln 為微分方程式t ty y t 12=-'在區間()∞,0之通解試證明微分方程式()12+-=x y dx dy 具有下列之解: ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=x y c x x y :1:0奇異解通解()200011111c x c x dx d dx dy c x x y ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⇒+-= ()()01122=---⇒+-=x y dx dy x y dxdy∴01c x x y +-=為微分方程式()12+-=x y dx dy 的通解x y =無法由通解01c x x y +-=得到, ∴為微分方程式之奇異解 若c 1與c 2為任意常數,試證x c x c y 2cos 2sin 21+=為微分方程式0422=+y dxyd的解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=⇒+=x c x c dxyd x c x c dxdyxc x c y 2cos 42sin 42sin 22cos 22cos 2sin 21222121()()02cos 2sin 42cos 42sin 44212122=++--=+x c x c x c x c y dx yd∴函數x c x c y 2cos 2sin 21+=為微分方程式0422=+y dxyd 之解求函數4- 1,22x y x y c cx y =+=+=及與微分方程式02=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dy x dx dy 之關係 (1) c dxdyc cx y =⇒+=2()0222=+-+=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛cx c cx c y dx dy x dx dy⎩⎨⎧+=為任意常數滿足原微分方程式c c cx y 2 ⇒ 2c cx y +=為通解 (2) 11=⇒+=dxdyx y ()0112=+-+=-+⎪⎭⎫⎝⎛x x y dx dy x dx dy⎩⎨⎧=+=11c x y 滿足原微分方程式⇒ 1+=x y 為特解 (3) 242xdx dy x y -=⇒-=0424422222222=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x x x x y dx dy x dx dy⎪⎩⎪⎨⎧-=無法由通解中得到不含任意常數滿足原微分方程式,42x y ⇒ 42x y -=為奇異解。
一、引言微分方程是描述自然现象中变化规律的数学工具，广泛应用于物理、工程、生物学等领域。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类，常微分方程是指未知函数的各阶导数只依赖于自变量的微分方程，偏微分方程则是指未知函数的各阶偏导数之间存在某种关系的微分方程。
二、常微分方程例子1. 一阶线性常微分方程：求解$\frac{dy}{dx}+py=q$考虑一阶线性常微分方程$\frac{dy}{dx}+py=q$，其中p和q为常数。
我们可以利用积分因子的方法来解这个微分方程。
将微分方程化为标准形式$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$，然后求出积分因子$\mu(x)=e^{\int{p(x)}dx}$，最后用积分因子乘以微分方程两边并对等式两边积分，即可得到微分方程的解。
2. 二阶常微分方程：求解$y''+py'+qy=f(x)$考虑二阶常微分方程$y''+py'+qy=f(x)$，其中p、q和f(x)为已知函数。
我们可以利用常系数线性齐次微分方程的通解和特解的方法来求解这个微分方程。
求出对应齐次线性微分方程$y''+py'+qy=0$的通解$y_c(x)$，然后再求出非齐次线性微分方程$y''+py'+qy=f(x)$的一个特解$y_p(x)$，最终得出原方程的通解$y(x)=y_c(x)+y_p(x)$。
三、偏微分方程例子1. 热传导方程：求解$\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$热传导方程描述了物体内部温度分布随时间变化的规律。
它是一个偏微分方程，可以利用分离变量法、变换变量法等方法来求解。
通过适当的变量分离和边界条件处理，可以得到热传导方程的解析解或数值解，进而研究物体内部的温度分布和传热规律。
2. 波动方程：求解$\frac{\partial^2 u}{\partialt^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$波动方程描述了波在空间中传播的规律，也是一个重要的偏微分方程。
Sec. 3.7 Differentials 微分
1 :微分(differential)的幾何量化與代數推導
增量(in creme n ):函數y f (x),當x 分量由％變動到x 2時，x x 2 x 1稱為x 的一增量 對應x 的此一增量
x ， y 的增量為 y
y 2 y 1 f (x 2) f (x 1) f(% x) f (x 1)
如圖示
幾何說明：現賦予dy 、dx 幾何上的意義，讓來不尼茲符號
说有兩數相除的意思。
如上圖所示(注意微分與增量的關係 )
3
例 1~2： Let y f (x) x . Find x and y :
a) When x cha nges fron2 to2.01.
b) Whe n x chan ges fron2
to 1.98.
解：
a)
x
2.01 2
0.01(新的減舊的)
y
f(X i
x)
f(X 1)
f(2.01)
f(2)
(2.01)3 23
0.1206.1
b)
x
1.98 2
0.02(新的減舊的)
y
f(X i
x)
f(xj
f (1.98)
f(2)
(1.98)3
23
0.237608
定義： 函數 y f(x),
x 的微分 (differentia )為 dx x
(dy 隨x 與dx 變動)
y 的微分 (differentia )為 dy f (x) dx
a )x 的增量為 x AB PR , y 的增量為 y f(x x) f (x) CD RQ
b ）如圖過點P 的切線斜率 m f （x ） dy RS
dx PR
若令dx x PR ，則dy 可取為如圖示的線段長 RS ；
c ）
f dy 即 RS RQ
d ） 用切線逼近曲線
例(補充)：Find dy if a y
x 3 3x 1 b y .. x 2 3x
解：
a 矽 —3x
1 3x 2
3
2
dy 3x 3 dx
dx dx
例（補
充）： d x 3 3x 1
Find -
d x 2 3x
解:
d x 3 3x 1 3x 2 3 dx 3x 2 3 #
d x 2 3x 2x 3 dx 2x 3
2、近似ApproximatenS :（看圖也有相同結論）
f (x)
f (x
lim
x) f(x) f(x x) f(x)
x 0
x
x
f(x
x) f(x) f (x) x ••- -(1) (即 f dy 或 RS RQ )
f(x
x) f(x)
f (x)
x ••• -(2)
(即 BQ BR RS )
例題 3： Let y f (x) x 3.
a) Find the differential dy of y .
b) Use dy to approximate y When x changes fron2to2.01. c) Use dy to approximate y When x changes fron2to 1.98.
d) Compare the results of part (b) with those of Example
b dy d , x 2 3x dx dx
2x_3_
2、x 2
3x
dy
上丄dx #
2、、x 2 3x
d) part b)近似值dy 0.12與例2的真正值 y
例 4： Use differential to approximate 26.5 . 解：
取函數y f (x)
x ， f (x)
1 2“x 。
當x 分量由x 25變動到x x 26.5 時，x 1.5 ；
f(x x) f (x) f (x) x .26.5 f (25 (1.5)) f (25) f (25) (1.5)
5 0.15
5.15
#
例5:某一型的卡車行駛500英哩，若以時速每小時 V 英哩，其營運成本為 c (v) 125 V 坐°°元。
V
求時速從每小時 55英哩增加到每小時 58英哩時營運成本的近似改變量是多少。
解：
4500 C (v) 1
—。
v
當v 分量由v 55變動到v v 58時，v 3 ；
4500
C C (v) v C (55) (3)
1 厂 3
1.46 元 #
55
例6： Cannon 精密儀器公司花費 x 千元的廣告時，其銷售量S(x) 0.002x 3 0.6x 2
x 500 (0 x 以微分估計廣告費從 $100,000 (x 100)增加到$105,000 (x 105)時，銷售量的改變量是多少。
解: a) y f(x) x 3 2
dy f (x)dx 3x dx
b)
dx x 2.01 2 0.01 , x 2 dy 3(22) (0.01) 0.12 c) dx x 1.98 2
0.02 , x 2
dy 3(22) ( 0.02) 0.24
0.1206.1兩者很接近
200)。
例7： 一環（ring ）的內半徑r 而外半徑 R ，與內半徑r 相比較，R r 是一微小量
以微分(differential)估計 i 十此環的面積。
解：
設半徑x 的圓面積函數y f (x)
x 2， f (x)
2
x ， x R r
利用f df
環的面積=（外半徑
R 的圓面積）減
（內半徑
r 的
1
圓面積） f(R)
f(r) f(r
x) f( :r) f (r) (R r) 2 r (R r) #
例8： 一半徑為0.5英吋的球形容器（ball-bearing ）,最大測量誤差為
0.0002英吋
則半徑的相對誤差（relative error ）是 d £ —0.0002
° 0004
r 0.5
一、
dr
且其百分誤差（percentage error 是 一 100%
0.04%。
r
隨堂練習（例9）：測量一立方體（cube ）的邊長，最大百分誤差 2%。
以微分估計計算體積時的最大百分誤差。
解：
It
l
0.02，故
-J\ /
3x 2
dx
dx 立方體體積相對誤差
d
3
3 V
x
x
計算體積時的最大百分誤差為
3 dx
0.06 6%
1 V 丨
x
邊長x 公分的立方體體積 V （x ）
X 3，已知邊長相對誤差。
