2019年春七年级数学下册第4章因式分解4.1因式分解0

4.3 用乘法公式分解因式第1课时用平方差公式分解因式知识点1平方差公式分解因式把乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来，得a2－b2＝(a＋b)(a－b)．两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．我们可以运用这个公式对某些多项式进行分解因式，这种方法叫运用平方差公式法．1．把下列多项式分解因式：(1)x2－36；(2)36－25y2；(3)(x＋p)2－(x＋q)2.一提公因式与平方差公式综合运用把下列各式分解因式：(1)18a2－8b2；(2)a5－81ab4.[归纳总结] (1)用平方差公式分解因式的条件：①二次(能写成平方的形式)；②异号．(2)对于多项式中的两部分不是很明显的平方形式，应先变形为平方形式，再运用公式进行因式分解，以免出现16a2－9b2＝(16a＋9b)·(16a－9b)的错误．(3)还要注意不要出现分解后又乘开的现象．(4)因式分解应遵循：一提二公式．同时因式分解需彻底．二尝试用平方差公式进行简便运算教材作业题第3题变式题用简便方法计算：(1)3142－2142；(2)3.14×752－3.14×252.探究三平方差公式分解因式的应用教材补充题如图4－3－1所示，在半径为R的大圆内部挖去四个半径为r的小圆．(1)用含R，r的式子表示剩余部分的面积S；(2)当R＝35 cm，r＝12.5 cm时，应用分解因式的知识计算剩余部分的面积(结果保留π)．图4－3－1[反思] 判断下列分解因式的过程是否正确，若不正确，请改正．①4a2－1＝(4a－1)(4a＋1)；②(x－y)2－4x2＝x2－2xy＋y2－4x2＝－3x2－2xy＋y2.1．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是( )A．－m4－n4B．－16x2＋y2C．1.21－a2D．9a2－64b22．将整式9－x2分解因式的结果是( )A．(3－x)2B．(3＋x)(3－x)C．(9－x)2D．(9＋x)(9－x)3．将多项式x3－xy2分解因式，结果正确的是( )A．x(x2－y2) B．x(x－y)2C．x(x＋y)2D．x(x＋y)(x－y)4．已知－(2a－b)(2a＋b)是下列一个多项式分解因式的结果，则这个多项式是( )A．4a2－b2B．4a2＋b2C．－4a2－b2D．－4a2＋b25．观察下面4个分解因式的过程：(1)(x－3)2－y2＝x2－6x＋9－y2；(2)a2－4b2＝(a＋4b)(a－4b)；(3)4x6－1＝(2x3＋1)(2x3－1)；(4)m4n2－9＝(m2n＋3)(m2n－3)；(5)－a2－b2＝(－a＋b)(－a－b)．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个6．某同学粗心大意，在分解因式时，把等式x4－■＝(x2＋4)(x＋2)(x－▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是( )A．8，1 B．16，2C．24，3 D．64，8二、填空题7．xx·嘉兴、舟山分解因式：a2－9＝__________．8．xx·长沙分解因式：x2y－4y＝________．9．xx·荆门分解因式：(m＋1)(m－9)＋8m＝________．10．xx·株洲因式分解：x2(x－2)－16(x－2)＝____________________．11．已知58－1能被20～30之间的两个整数整除，则这两个整数是________．三、解答题12．分解因式：(1)a3－16a；(2)16(a＋b)2－9(a－b)2；(3)m4(m－2)＋16(2－m)．13.用简便方法计算：(1)6.42－3.62；(2)1.42×16－2.22×4.14．设n是整数，用因式分解的方法说明：(2n＋1)2－25能被4整除．n(m>2n)的小正方形．(1)用含m，n的式子表示剩余部分的面积S；(2)当m＝13.2厘米，n＝3.4厘米时，利用分解因式计算剩余部分的面积．图4－3－2详解详析【预习效果检测】1．解：(1)x2－36＝x2－62＝(x＋6)(x－6)．(2)36－25y2＝62－(5y)2＝(6＋5y)(6－5y)．(3)(x＋p)2－(x＋q)2＝[(x＋p)＋(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)]＝(2x＋p＋q)(p－q)．【重难互动探究】例1[解析] 分解因式时，要先观察多项式，有公因式的要先提取公因式再考虑是否符合公式．解：(1)18a2－8b2＝2(9a2－4b2)＝2(3a＋2b)(3a－2b)．(2)a5－81ab4＝a(a4－81b4)＝a(a2＋9b2)(a2－9b2)＝a(a2＋9b2)(a＋3b)(a－3b)．例2解：(1)原式＝(314＋214)×(314－214)＝52800.(2)原式＝3.14×(752－252)＝3.14×(75＋25)×(75－25)＝15700.例3[解析] 剩余部分的面积为大圆面积减去四个小圆的面积．解：(1)剩余部分的面积为S＝πR2－4πr2＝π(R2－4r2)＝π(R＋2r)(R－2r)．(2)当R＝35 cm，r＝12.5 cm时，S＝π(R＋2r)(R－2r)＝π(35＋2×12.5)×(35－2×12.5)＝π·60×10＝600π(cm2)．【课堂总结反思】[反思] 两个均不正确．改正：①4a2－1＝(2a)2－12＝(2a－1)(2a＋1)．②(x－y)2－4x2＝(x－y)2－(2x)2＝(x－y－2x)·(x－y＋2x)＝－(x＋y)(3x－y)．【作业高效训练】[课堂达标]1．A 2.B3．[解析] D x3－xy2＝x(x2－y2)＝x(x＋y)(x－y)．4．D 5.B 6.B7．[答案] (a＋3)(a－3)8．[答案] y(x＋2)(x－2)9．[答案] (m－3)(m＋3)10．[答案] (x－2)(x－4)(x＋4)11．[答案] 26，24[解析] 58－1＝(54＋1)(52＋1)(52－1)，因为52＋1＝26，52－1＝24，所以这两个数是26，24. 12．解：(1)原式＝a(a＋4)(a－4)．(2)原式＝(7a＋b)(a＋7b)．(3)原式＝m4(m－2)－16(m－2)＝(m－2)(m4－16)＝(m－2)(m2＋4)(m2－4)＝(m－2)(m2＋4)(m＋2)(m－2)＝(m－2)2(m＋2)(m2＋4)．13．[解析] 利用平方差公式简化计算过程．解：(1)6.42－3.62＝(6.4＋3.6)(6.4－3.6)＝10×2.8＝28.(2)1.42×16－2.22×4＝(1.4×4)2－(2.2×2)2＝5.62－4.42＝(5.6＋4.4)(5.6－4.4)＝10×1.2＝12.14．解：原式＝(2n＋1)2－52＝(2n＋1＋5)(2n＋1－5)＝(2n＋6)(2n－4)＝4(n＋3)(n－2)，即(2n＋1)2－25能被4整除．[数学活动][解析] 剩余部分的面积为大正方形的面积减去四个小正方形的面积．解：(1)S＝m2－4n2＝(m＋2n)(m－2n)．(2)当m＝13.2厘米，n＝3.4厘米时，S＝(m＋2n)(m－2n)＝(13.2＋3.4×2)(13.2－3.4×2)＝20×6.4＝128(厘米2)．所以剩余部分的面积为128平方厘米．。

2019-2020年七年级数学下册第4章因式分解4.3用乘法公式分解因式第1课时校本作业A本新版浙教版课堂笔记两个数的平方差，等于这两个数的与这两个数的的积. 即a2-b2=（a+b）（a-b）.分层训练A组基础训练1. 下列各式能用平方差公式分解因式的是（）A. 2x2+y2B. -x2+y2C. -x2-y2D. x3+（-y）22. 把多项式-4n2+m2分解因式，其结果正确的是（）A. （m+2n）（m-2n）B. （m+2n）2C. （m-2n）2D. （2n+m）（2n-m）3. 下列因式分解中，正确的有（）①4x2-1=（4x+1）（4x-1）②m2-n2=（m+n）（m-n）③-16+9x2=（4+3x）（-4+3x）④a2+（-b）2=（a+b）（a-b）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④4. 在一个边长为12.75cm的正方形内挖去一个边长为7.25cm的正方形，则剩下部分的面积是（）A． 11cm2 B． 20cm2 C． 110cm2 D． 200cm25. （金华中考）把代数式2x2-18分解因式，结果正确的是（）A. 2（x2-9）B. 2（x-3）2C. 2（x+3）（x-3）D. 2（x+9）（x-9）6. 下列各式不是多项式x3-x的因式的是（）A. xB. 3x-1C. x-1D. x+17．小敏是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：乡、爱、我、家、游、美，现将（x2－y2）a2－（x2－y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A. 我爱美B. 家乡游C. 爱我家乡D. 美我家乡8．小华在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，且能利用平方差公式分解因式，他抄到作业本上的式子是x□-4y2（□表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（）A． 2种 B． 3种 C． 4种 D． 5种9. 填空：（1）36x2y2-49a2=（）2-（）2；（2）-4n2+m2=（）2-（）2；（3）m4- =（m2+5）（m2- ）.10．（杭州中考）若整式x2+ky2（k为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k 的值可以是（写出一个即可）.11．已知x+y=2，则x2-y2+4y= ．12. 分解因式：9x2（a-b）+y2（b-a）= .13. 把下列各式分解因式：（1）1-16x2；（2）-n2+0.81m2；（3）x2-64y2；（4）（a+b）2-4；（5）4m2-（m+n）2.（6）a4-b4；（7）x3y2-x3；（8）25（m+n）2-81（m-n）2.14. 用简便方法计算：（1）552-452；（2）99×100；（3）已知a+2b=5，a-2b=3，求5a2-20b2的值.B组自主提高15. 两个偶数的平方差，一定是（）A. 2B. 4C. 8D. 4的倍数16. 如图，某筑路工程队需要一种空心混凝土管道，它的规格是：内径d=120cm，外径D=150cm，长L=200cm. 利用分解因式计算：浇筑一节这样的管道需要多少立方米的混凝土（π取3.14，结果精确到0.1m3）.17. 阅读题：我们在计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）时，发现直接运算很麻烦，如果在算式前乘以（2-1）即1，原式的值不变，而且还使整个算式能运用平方差公式计算，解答过程如下：原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（24-1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=…=264-1.你能用上述方法算出下列式子的值吗？请试试看.（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）.C组综合运用18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．（1）36和xx这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为．参考答案4.3 用乘法公式分解因式（第1课时）【课堂笔记】和差【分层训练】1—6. BABCC 6. B7. C 【点拨】原式＝（x2－y2）（a2－b2）＝（x＋y）（x－y）（a＋b）（a－b）．∵x＋y，x －y，a＋b，a－b四个代数式分别对应我、爱、家、乡，∴结果呈现的密码信息可能是“爱我家乡”．8. D9. （1）6xy 7a （2）m 2n （3）25 510. 答案不唯一，如-1，-4等11. 412. （a-b）（3x+y）（3x-y）13. （1）（1+4x）（1-4x）（2）（0.9m+n）（0.9m-n）（3）（x+8y）（x-8y）（4）（a+b+2）（a+b-2）（5）（3m+n）（m-n）（6）（a-b）（a+b）（a2+b2）（7）x3（y+1）（y-1）（8）4（7m-2n）（7n-2m）14. （1）1000 （2）9999 （3）7515. D16. 所需混凝土为[π（）2-π（）2]L=πL（-）（+）≈3.14×200（75-60）（75+60）=1271700（cm3）=1.2717（m3）≈1.3（m3）. 所以浇筑一节这样的管道需要1.3立方米的混凝土. 【点拨】混凝土的立方数即为图中阴影部分的体积，亦即大圆柱体与小圆柱体的体积差. 17. 原式=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=…=×（332-1）=.18. （1）36是“和谐数”，xx不是“和谐数”．理由如下：36=102-82，xx=1008×2；（2）∵两个连续偶数为2k+2和2k（k为自然数），∵（2k+2）2-（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2-2k）=（4k+2）×2=4（2k+1），∵4（2k+1）能被4整除，∴“和谐数”一定是4的倍数；（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和，S=（22-02）+（42-22）+（62-42）+…+（502-482）=502=2500. 故答案：2500．2019-2020年七年级数学下册第4章因式分解4.3用乘法公式分解因式第2课时校本作业B本新版浙教版课堂笔记两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的倍，等于这两数和（或者差）的平方. 即a2+2ab+b2=（a+b）2； a2-2ab+b2=（a-b）2.注意：一般地，利用公式a2-b2=（a-b）（a+b），或a2±2ab+b2=（a±b）2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法. 公式中的a，b可以是数，也可以是整式.分层训练A组基础训练1. 下列各式是完全平方式的是（）A. x2-x+1B. 4x2+4xy+1C. x2+xy+y2D. x2-4xz+z22. （长春中考）把多项式x2-6x+9分解因式，结果正确的是（）A．（x-3）2 B．（x-9）2C．（x+3）（x-3） D. （x+9）（x-9）3. 若等式x2-x+k=（x-）2成立，则k的值是（）A. B. - C. D. ±4. 把代数式ax2-4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A. a（x-2）2B. a（x+2）2C. a（x-4）2D. a（x+2）（x-2）5. 如果A（5a+2b）=25a2+20ab+4b2，则A等于（）A. 5a+2bB. 5a-2bC. 5a+2ab+2bD. a2-2b26. 已知正方形的面积是（16-8x+x2）cm2（x>4），则正方形的周长是（）A．（4-x）cm B．（x-4）cm C．（16-4x）cm D．（4x-16）cm7. 下列多项式中，①x2+2xy+4y2；②a2-2a+3；③x2-xy+y2；④m2-（-n）2可以进行因式分解的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 分解因式，若5a2+ma+=5（a-）2，则m的值是（）A. -2B. 2C.D. -9. 在括号内填入适当的数或单项式.（1）9a2-（）+b2=（ -b）2；（2）x4+4x2+（）=（）2；（3）p2-3p+（）=（p- ）2；（4）（a-b）2-2（a-b）+1=（ -1）2.10. 多项式a3c-4a2bc+4ab2c因式分解的结果是 .11. 若x=156，y=144，则多项式x2+xy+y2= .12．填空：（1）分解因式：x2－4x＋4＝．（2）4x2＋9y2＝（）2.（3）若4x2＋mx＋25是一个完全平方式，则实数m＝．（4）分解因式：x3＋2x2＋x＝．（5）分解因式：a2－2ab＋b2－1= ．13. 多项式9x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个多项式的完全平方，那么加上的单项式可以是（填上一个你认为正确的即可）.14. 把下列各式分解因式：（1）x2+8x+16；（2）-4x2+12xy-9y2；（3）m2+mn+n2；（4）a3+2a2+a；（5）（a+b）2-18（a+b）+81；（6）（x2+2x）2+2（x2+2x）+1.15. 利用因式分解计算下列各式：（1）872+87×26+132；（2）xx2-4034×xx+xx2.B组自主提高16．把下列各式分解因式：（1）3x2－12xy＋12y2；（2）a2－ab＋b2；（3）－2x3＋24x2－72x；（4）9（p－q）2－6p＋6q＋1；（5）（x2－7）2－4（x2－7）＋4.17. （1）已知b-a=-3，ab=-2，求-a3b+a2b2-ab3的值. （2）已知x2+y2-2x+6y+10=0，求x+y的值.C组综合运用18.问题背景：对于形如x2-120x+3600这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成（x-60）2，对于二次三项式x2-120x+3456，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将x2-120x加上一项602，使它与x2-120x的和成为一个完全平方式，再减去602，整个式子的值不变，于是有：x2-120x+3456=x2-2×60x+602-602+3456=（x-60）2-144=（x-60）2-122=（x-60+12）（x-60-12）=（x-48）（x-72）.问题解决：（1）请你按照上面的方法分解因式：x2-140x+4756；（2）已知一个长方形的面积为a2+8ab+12b2，长为a+2b，求这个长方形的宽．参考答案4.3 用乘法公式分解因式（第2课时）【课堂笔记】2【分层训练】1—5. CACAA 6—8. DBA9. （1）6ab 3a （2）4 x2+2 （3）（4）a-b10. ac（a-2b）211. 4500012. （1）（x－2）2（2）±12xy 2x±3y （3）±20（4）x（x＋1）2 （5）（a－b＋1）（a－b－1）13. 6x或-6x或x414. （1）（x+4）2（2）-（2x-3y）2 （3）（m+n）2（4）a（a+1）2（5）（a+b-9）2（6）（x+1）415. （1）10000 （2）116. （1）原式＝3（x2－4xy＋4y2）＝3（x－2y）2（2）原式＝a2－2·a·b＋（b）2＝（a－b）2（3）原式＝－2x（x2－12x＋36）＝－2x（x－6）2（4）原式＝9（p－q）2－6（p－q）＋1＝[3（p－q）－1]2＝（3p－3q－1）2（5）原式＝（x2－7－2）2＝（x2－9）2＝[（x＋3）（x－3）]2＝（x＋3）2（x－3）217. （1）-a3b+a2b2-ab3=-ab（a2-2ab+b2）=-ab（a-b）2=9（2）由题意，得（x2-2x+1）+（y2+6y+9）=0，（x-1）2+（y+3）2=0. ∵（x-1）2与（y+3）2的值都是非负数，∴（x-1）2=0且（y+3）2=0，∴x=1，y=-3，∴x+y=-2.18. （1）x2-140x+4756=x2-2×70x+702-702+4756=（x-70）2-144=（x-70）2-122=（x-70+12）（x-70-12）=（x-58）（x-82）（2）∵a2+8ab+12b2=a2+2×a×4b+（4b）2-（4b）2+12b2=（a+4b）2-4b2=（a+4b+2b）（a+4b-2b）=（a+2b）（a+6b），∴长为a+2b时这个长方形的宽为a+6b.。

七年级下册因式分解公式
我们要对一个多项式进行因式分解，因式分解是一种将多项式化为几个整式的积的形式。

在七年级下册中，我们主要学习了几种因式分解的方法，包括提公因式法、公式法等。

首先，我们要理解什么是因式分解。

因式分解就是将一个多项式化为几个整式的积的形式。

例如：x^2 - 2x + 1 可以因式分解为 (x - 1)^2。

接下来，我们来看看七年级下册中主要学习的因式分解公式有哪些。

1. 平方差公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。

2. 完全平方公式：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 和 a^2 - 2ab + b^2 =
(a - b)^2。

3. 提公因式法：如果多项式的每一项都有一个公共的因子，那么我们可以把这个公共因子提取出来，使得剩下的部分更容易进行因式分解。

现在，我们可以使用这些公式来因式分解一些多项式了。

例如，我们可以将多项式 x^2 - 2x + 1 因式分解为 (x - 1)^2。

再比如，我们可以将多项式 4x^2 - 4x 因式分解为 4x(x - 1)。

通过因式分解，我们可以更好地理解和简化多项式，从而更好地解决数学问题。

七年级下册因式分解公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：七年级下册因式分解公式因式分解是数学中的一个基础概念，也是代数中的重要内容之一。

在七年级下册的学习中，因式分解也成为了我们学习的一部分。

因式分解是指把一个多项式按照其因式进行乘法分解，从而简化表达式，使计算更加方便。

掌握因式分解的方法和技巧，对于解题起到事半功倍的效果。

在本文中，我们将主要讨论七年级下册中常见的因式分解公式。

一、提取公因式把4a+8b的因式分解公式中，4a和8b都能被4整除，所以提取出4，得到4(a+2b)。

二、因式分解的基本原理在因式分解中，我们经常会用到几个基本的公式，这些公式是因式分解的基石。

下面是七年级下册常见的因式分解公式：1. 二次三项式的因式分解公式：二次三项式就是指有三项的二次多项式，常见的形式是ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别是系数。

当二次三项式的系数a不为1时，通常我们采用求解二次方程的方法来因式分解，公式为(mx + n)(px + q)。

把4x^2 + 12x + 8的公式因式分解为(2x + 2)(2x + 4)。

完全平方式是指一个多项式可以写成两个平方式之和的形式，常见的形式是a^2 + 2ab + b^2，其中a、b为变量。

3. 因式分解的常见技巧：除了以上基本原理，我们在因式分解中还需要掌握一些常见的技巧，以便更快、更准确地进行计算。

（1）合并同类项：在因式分解中，我们经常需要合并同类项，即把相同变量的项合并在一起。

把2x + 3x的合并同类项为5x。

（2）利用减法求和差：有时候，我们可以通过利用减法求差来进行因式分解。

把x^2 - 9的因式分解为(x+3)(x-3)。

在七年级下册的学习中，因式分解是一个非常重要的内容，不仅仅是代数中的一部分，也是思维训练的一部分。

掌握因式分解的方法和技巧，不仅可以解决各种数学问题，还可以提升我们的数学思维能力。

希望通过本文的介绍，大家能更好地掌握七年级下册因式分解的相关知识，取得更好的学习成绩。

第4章因式分解4．2提取公因式法知识点1多项式的公因式一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式．1．多项式－6m3n－3m2n2＋12m2n3的公因式为()A．3mn B．－3m2nC．3mn2D．－3m2n2知识点2提取公因式法分解因式如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解．这种分解因式的方法，叫做提取公因式法．[注意]当多项式的某项恰为公因式时，提公因式后，另一个因式中不要漏掉“＋1”或“－1”．2．把下列各式分解因式：(1)x2－5x；(2)2x2y2－4y3z；(3)－5a2＋25a；(4)14x2y－21xy2＋7xy.知识点3添括号法则括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都变号．3．添括号：1－2a＝＋(________)；－a2＋2ab－b2＝－(____________)．一用提取公因式法处理较复杂的因式分解题2变式题分解因式：(1)x2(y－2)－x(2－y)；(2)2(a－3)2－a＋3.[归纳总结]提取公因式法分解因式的关键是确定多项式中各项的公因式，尤其需要注意的是公因式可以是数，也可以是单项式和多项式．二提取公因式法的简单应用523－521能被120整除吗？[反思]分解因式：－6ab2＋9a2b－3b.解：－6ab2＋9a2b－3b＝－(6ab2－9a2b＋3b)①＝－(3b·2a b－3b·3a2＋3b)②＝－3b(2ab－3a2)．③(1)找错：从第________步开始出现错误；(2)纠错：一、选择题1．2015·武汉把a2－2a分解因式，正确的是()A．a(a－2) B．a(a＋2)C．a(a2－2) D．a(2－a)2．在把多项式5xy 2－25x 2y 提取公因式时，被提取的公因式为() A ．5 B ．5x C ．5xy D ．25xy3．下列多项式中，能用提取公因式法进行因式分解的是() A ．x 2－y B ．x 2＋2x C ．x 2＋y 2D ．x 2－xy ＋y 24．下列各式用提公因式因式分解正确的是() A ．a 2b ＋7ab －b ＝b(a 2＋7a)B ．3x 2y －3xy ＋6y ＝3y(x 2－x ＋2)C ．4x 4－2x 3y ＝x 3(4x －2y)D ．－2a 2＋4ab －6ac ＝－2a(a －2b －3c)5．若m －n ＝－1，则(m －n)2－2m ＋2n 的值是() A ．3 B ．2 C ．1 D ．－16.()－82018＋(－8)2017能被下列数整除的是()A ．3B ．5C ．7D ．9二、填空题7．2016·丽水分解因式：am －3a ＝____________． 8．在括号前面添上“＋”或“－”号或在括号内填空． (1)－a ＋b ＝________(a －b)；(2)－m 2－2m ＋5＝－(______________)；(3)(x －y)3＝________(y －x)3.9．因式分解：m(x －y)＋n(x －y)＝________．10．已知x ＋y ＝6，xy ＝－3，则x 2y ＋xy 2＝________．11．计算22016＋(－2)2017的结果为________．12．已知(2x －21)(3x －7)－(3x －7)(x －13)可分解因式为(3x ＋a)(x ＋b)，其中a ，b 均为整数，则a ＋3b ＝____________．三、解答题13．用提取公因式法将下列各式分解因式：(1)6xyz －3xz 2；(2)x 4y －x 3z ；(3)x(m －x)(m －y)－m(x －m)(y －m)．14.边长分别为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，求a2b＋ab2的值．15.已知2x＋y＝6，x－3y＝1，求7y(x－3y)2－2(3y－x)3的值．16．试说明：对于任意自然数n，2n＋4－2n都能被5整除．17．如图4－2－1，长方形的长为a，宽为b，试说明：长方形中带有阴影的三角形的面积之和等于该长方形面积的一半．图4－2－118．三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断三角形ABC的形状，并说明理由．阅读下列因式分解的过程，解答下列问题：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3.(1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次．(2)若分解1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2017，则需要应用上述方法________次，结果是________．(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整数)．详解详析【预习效果检测】1．[解析] B 因为首项系数为负，各项系数的最大公约数是3，字母m的最低次幂是2，字母n的最低次幂是1，所以公因式是－3m2n.2．[解析]在用提取公因式法分解因式时，关键是确定公因式，然后用多项式除以这个公因式，所得的商即为另一个因式．解：(1)x2－5x＝x(x－5)．(2)2x2y2－4y3z＝2y2(x2－2yz)．(3)－5a2＋25a＝－5a(a－5)．(4)14x2y－21xy2＋7xy＝7xy(2x－3y＋1)．3．1－2aa2－2ab＋b2【重难互动探究】例1[解析] (1)显然只需将2－y变形后，即可提取公因式x(y－2)．(2)首先把2(a－3)2－a＋3变为2(a－3)2－(a－3)，再将a－3看成整体提取公因式即可．解：(1)原式＝x2(y－2)＋x(y－2)＝x(y－2)(x＋1)．(2)原式＝2(a－3)2－(a－3)＝(a－3)(2a－7)．例2解：∵原式＝520×(53－5)＝520×120，∴523－521能被120整除．【课堂总结反思】[反思] (1)③(2)－6ab2＋9a2b－3b＝－(6ab2－9a2b＋3b)＝－(3b·2a b－3b·3a2＋3b)＝－3b(2ab－3a2＋1)．【作业高效训练】[课堂达标]1．A2.C3.B4．[解析] BA选项括号内的多项式的项数漏掉了一项．C选项括号内的多项式中仍有公因式．D选项提取负号后括号里有一项没有改变符号．5．A6．[解析] C原式＝82018－82017＝82017×(8－1)＝82017×7.故能被7整除．7．[答案] a(m－3)8．[答案] (1)－(2)m2＋2m－5(3)－9．[答案] (x－y)(m＋n)10．[答案]－1811．[答案]－22016[解析] 22016＋(－2)2017＝22016－2×22016＝22016×(1－2)＝－22016.12．[答案]－3113．[解析] (1)(2)题直接提取公因式分解因式即可，(3)题要进行适当地变形后再运用提取公因式法分解因式．解：(1)6xyz －3xz 2＝3xz(2y －z)．(2)x 4y －x 3z ＝x 3(xy －z)．(3)x(m －x)(m －y)－m(x －m)(y －m) ＝x(m －x)(m －y)－m(m －x)(m －y)＝(m －x)(m －y)(x －m)＝－(m －x)2(m －y)．14．[解析]先可得ab 和a ＋b 的值，然后将a 2b ＋ab 2分解因式即可得到答案． 解：由题意得ab ＝10，a ＋b ＝7，所以a 2b ＋ab 2＝ab(a ＋b)＝10×7＝70.15．[解析]先提取公因式分解因式，然后代入求值．解：原式＝7y(x －3y)2＋2(x －3y)3＝(x －3y)2[7y ＋2(x －3y)]＝(x －3y)2(2x ＋y) ＝12×6 ＝6.16．解：∵2n ＋4－2n ＝2n (24－1)＝2n ×15＝2n×3×5， ∴2n ＋4－2n一定能被5整除．17．解：S 阴影＝12a 1b ＋12a 2b ＋12a 3b ＋12a 4b＝12b(a 1＋a 2＋a 3＋a 4) ＝12ab ＝12S 长方形． 即长方形中带有阴影的三角形的面积之和等于该长方形面积的一半． 18．解：三角形ABC 是等腰三角形．理由：∵a ＋2ab ＝c ＋2bc ， ∴(a －c)＋2b(a －c)＝0，∴(a －c)(1＋2b)＝0. 故a ＝c 或1＋2b ＝0，显然b ≠－12，故a ＝c.∴三角形ABC 为等腰三角形． [数学活动]解：(1)上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．(2)需应用上述方法2017次，结果是(1＋x)2018.(3)原式＝(1＋x)[1＋x ＋x(x ＋1)＋x(x ＋1)2＋…＋x(x ＋1)n －1]＝(1＋x)2[1＋x ＋x(x ＋1)＋x(x ＋1)2＋…＋x(x ＋1)n －2]＝(1＋x)3[1＋x ＋x(x ＋1)＋x(x ＋1)2＋…＋x(x ＋1)n －3] ＝ …＝(1＋x)n(1＋x)＝(1＋x)n ＋1.。

复习：因式分解的常用方法【知识点归纳】因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7. 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。

即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、拆项（添项）等方法；【精讲精练】方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)方法二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 --------- a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3--------- a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形方法三、分组分解法.（1）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（2）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22 例4、分解因式：2222c b ab a -+-练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---方法四、十字相乘法.（1）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式———))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

4.3 用乘法公式分解因式第2课时用完全平方公式分解因式知识点1完全平方公式分解因式由完全平方公式可得：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.即两数的平方和，加上(或者减去)这两数的积的2倍，等于这两数和(或者差)的平方．1．把下列各式分解因式：(1)a2－8a＋16；(2)4x2＋4x＋1.一综合运用乘法公式分解因式3变式题把下列各式分解因式：(1)x3－2x2＋x；(2)9m2＋24mn＋16n2；(3)16a4－8a2＋1；(4)(x2－4x＋4)－4(x－2)＋4.[总结归纳]运用完全平方公式分解因式前，应注意：(1)观察是否有公因式可提取；(2)首项系数为负时，需先提取“－”号；(3)用完全平方公式前需将该多项式化为“a2±2ab＋b2”的形式；(4)分解因式时，要观察所得的结果能否继续分解；(5)注意与提取公因式法和平方差公式的综合使用．二完全平方公式的简单应用x(x－1)－(x2－y)＝－3，求x2＋y2－2xy的值．[归纳总结]有些计算题可利用因式分解的方法来进行计算，以简化运算过程.[反思]判断下面分解因式的过程是否正确，若不正确，请改正．a3b－2a2b＋ab＝ab(a2－2a＋1)．一、选择题1．下列各式中能用完全平方公式进行分解因式的是()A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1C．x2－1 D．x2－6x＋92．若25n 2－np ＋36是一个完全平方式，则p 的值为() A ．±30 B ．±60 C ．30 D ．603．分解因式(x －1)2－2(x －1)＋1的结果是() A ．(x －1)(x －2) B ．x 2 C ．(x ＋1)2D ．(x －2)24．2016·聊城把8a 3－8a 2＋2a 分解因式，结果正确的是() A ．2a(4a 2－4a ＋1) B ．8a 2(a －1) C ．2a(2a －1)2D ．2a(2a ＋1)25．多项式(x 2＋y 2)(x 2＋y 2－8)＋16分解因式正确的是() A ．(x 2＋y 2－4)2B ．(x －y)4C ．(x 2－y 2－4)2D ．(x 2＋y 2＋4)2 二、填空题6．分解因式：a 2－6a ＋9＝________．7．分解因式：ab 4－4ab 3＋4ab 2＝______________．8．[2015·威海] 分解因式：－2x 2y ＋12xy －18y ＝______________．9．已知a 2＋2ab ＋b 2＝0，则代数式a(a ＋4b)－(a ＋2b)(a －2b)的值为________．10．利用1个a×a 的正方形，1个b×b 的正方形和2个a×b 的长方形可拼成一个大正方形(如图4－3－3所示)，从而可得到因式分解的公式：____________．图4－3－311．当s ＝t ＋12时，代数式s 2－2st ＋t 2的值为________．三、解答题12．给出三个多项式：12x 2＋x －1，12x 2＋3x ＋1，12x 2－x ，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果分解因式．13．把下列各式分解因式：(1)x 2－6x ＋9；(2)－36m 2－60mn －25n 2；(3)(x －y)2－10(x －y)＋25；(4)(x 2＋4)2－16x 2；(5)(x 2－2x)2＋2(x 2－2x)＋1.14．利用因式分解计算下列各题：(1)962＋96×8＋16；(2)9.92＋1.98＋0.01.15．已知x ＝156，y ＝144，求代数式12x 2＋xy ＋12y 2的值．16．已知a －2b ＝12，ab ＝2，求－a 4b 2＋4a 3b 3－4a 2b 4的值．17．若|x －2|＋x 2－xy ＋14y 2＝0，求x ，y 的值．1．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且a ＋b ＋c ＝ab ＋bc ＋ac ，请你分析△ABC 三边之间的关系．2．[阅读理解题]先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．分解因式：x 4＋4.解：x 4＋4 ＝x 4＋4x 2＋4－4x 2＝(x 2＋2)2－4x 2＝(x 2＋2x ＋2)(x 2－2x ＋2)．以上解法中，在x 4＋4的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使原式的值保持不变，必须减去同样的一项．按照这个思路，试把多项式x 4＋x 2y 2＋y 4分解因式．详解详析【预习效果检测】1．[解析] (1)中的多项式可写成a2－2·a·4＋42，(2)中的多项式可以写成(2x)2＋2×2x·1＋12，再利用公式分解因式．解：(1)a2－8a＋16＝a2－2·a·4＋42＝(a－4)2.(2)4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2.【重难互动探究】例1解：(1)x3－2x2＋x＝x(x2－2x＋1)＝x(x－1)2.(2)9m2＋24mn＋16n2＝(3m＋4n)2.(3)16a4－8a2＋1＝(4a2)2－2×4a2×1＋12＝(4a2－1)2＝(2a＋1)2(2a－1)2.(4)(x2－4x＋4)－4(x－2)＋4＝(x－2)2－4(x－2)＋4＝(x－2－2)2＝(x－4)2.例2解：∵x(x－1)－(x2－y)＝－3，∴x2－x－x2＋y＝－3，即x－y＝3，∴x2＋y2－2xy＝(x－y)2＝9.【课堂总结反思】[反思] 不正确．改正：a3b－2a2b＋ab＝ab(a2－2a＋1)＝ab(a－1)2.【作业高效训练】[课堂达标]1．D2．[解析] B因为25n2－np＋36是一个完全平方式，25n2－np＋36＝(5n)2－np＋(±6)2，所以－np ＝2×5n·(±6)，即p＝60或p＝－60.3．D4.C5．[解析] A原式＝(x2＋y2)2－8(x2＋y2)＋16＝(x2＋y2－4)2.6．[答案] (a－3)27．[答案] ab2(b－2)28．[答案]－2y(x－3)2[解析]本题考查了因式分解的有关知识，可以先提取公因式－2y，再运用完全平方公式进行因式分解，－2x2y＋12xy－18y＝－2y(x－3)2.9．[答案] 010．[答案] a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b)2[解析]根据拼得的正方形面积，可得(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2，即a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b)2. 11．[答案] 14[解析] s 2－2st ＋t 2＝(s －t)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.12．解：12x 2＋x －1＋12x 2＋3x ＋1＝x 2＋4x ＝x ()x ＋4；12x 2＋x －1＋12x 2－x ＝x 2－1＝()x ＋1()x －1； 12x 2＋3x ＋1＋12x 2－x ＝x 2＋2x ＋1＝()x ＋12. 13．[解析]运用公式法分解因式，不能直接使用公式的要适当加以变形，并且分解因式要分解到每个因式都不能再分解为止．解：(1)x 2－6x ＋9＝(x －3)2.(2)－36m 2－60mn －25n 2＝－(36m 2＋60mn ＋25n 2)＝－(6m ＋5n)2.(3)(x －y)2－10(x －y)＋25＝(x －y －5)2.(4)(x 2＋4)2－16x 2＝(x 2＋4＋4x)(x 2＋4－4x)＝(x ＋2)2(x －2)2.(5)原式＝(x 2－2x ＋1)2＝[(x －1)2]2＝(x －1)4.14．解：(1)962＋96×8＋16＝962＋2×96×4＋42＝(96＋4)2＝1002＝10000.(2)9.92＋1.98＋0.01＝9.92＋2×9.9×0.1＋0.12＝(9.9＋0.1)2＝102＝100.15．解：12x 2＋xy ＋12y 2＝12(x 2＋2xy ＋y 2) ＝12(x ＋y)2. 当x ＝156，y ＝144时， 原式＝12×(156＋144)2＝45000.[点评]本题应先把x 2的系数12提出来，使其他各项的系数均为整数．16．解：－a 4b 2＋4a 3b 3－4a 2b 4＝－a 2b 2(a 2－4ab ＋4b 2)＝－a 2b 2(a －2b)2. 而a －2b ＝12，ab ＝2，所以－a 4b 2＋4a 3b 3－4a 2b 4＝－a 2b 2(a －2b)2＝－4×14＝－1.17．解：因为|x －2|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12y 2＝0， 所以x －2＝0且x －12y ＝0，所以x ＝2，y ＝4. [数学活动]1．解：因为a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac ，所以2a 2＋2b 2＋2c 2＝2ab ＋2bc ＋2ac ，则2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ＝0， a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＋a 2－2ac ＋c 2＝0，即(a －b)2＋(b －c)2＋(a －c)2＝0.因为(a －b)2≥0，(b －c)2≥0，(a －c)2≥0，所以(a －b)2＝0，(b －c)2＝0，(a －c)2＝0. 因为a ，b ，c 都是正数， 所以a ＝b ＝c ，所以△ABC 的三条边相等．2．[解析]把原式中的第二项的系数1变为(2－1)，化简后三项结合构成完全平方式，剩下的一项写成平方的形式，然后再利用平方差公式即可分解因式．解：x 4＋x 2y 2＋y 4＝x 4＋2x 2y 2＋y 4－x 2y 2＝(x 2＋y 2)2－x 2y 2＝(x 2＋y 2＋xy)(x 2＋y 2－xy)．。

因式分解概述定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。

因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。

学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。

分解因式与整式乘法互为逆变形。

因式分解的方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式⑵公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

4.1　因式分解　第4章　因式分解　第4章 因式分解4.1　因式分解学知识筑方法勤反思学知识知识点一 因式分解一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫分解因式．D1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )A．6a2b＝3a·2abB．(x＋2)(x－2)＝x2－4C．2x2－4x－1＝2x(x－2)－1D．2ab－2ac＝2a(b－c)[解析] 在A项中，等式左边不是多项式，不是因式分解．在B项中，它是整式的乘法．在C项中，等式的右边不是乘积的形式，也不属于因式分解．只有D 项符合要求．故选D.知识点二 因式分解与整式乘法的关系[解析] 在因为因式分解与整式乘法是互逆变形，所以可以用整式的乘法来检验因式分解是否正确．解：(1)因为(ab＋2)(ab－2)＝a2b2－4≠－a2b2＋4，所以因式分解－a2b2＋4＝(ab＋2)(ab－2)不正确．(2)因为3(y－1)2＝3y2－6y＋3≠9y2－6y＋9，所以因式分解9y2－6y＋9＝3(y－1)2不正确．筑方法类型一 因式分解的概念D【归纳总结】正确认识因式分解(1)因式分解的对象必须是一个多项式．(2)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式．一般有两种形式：①单项式×多项式；②多项式×多项式．(3)因式分解是一个恒等变形．类型二 因式分解的简单应用例2 教材补充例题已知x2＋mx－6可以分解为(x－2)(x＋3)，求m的值．[解析] 因为因式分解与整式乘法是互逆变形，所以可以把(x－2)(x＋3)变为多项式的形式，利用相等关系求解．解：因为(x－2)(x＋3)＝x2＋x－6，所以x2＋mx－6＝x2＋x－6，所以m＝1.【归纳总结】因式分解与整式乘法是互逆变形，可以用整式的乘法算出结果，再利用对应系数相等，求出未知系数的值．类型三 利用因式分解进行简便运算例3 教材补充例题用简便方法计算：(1)492＋49； (2)(8 )2－(3 )2.1212解：(1)492＋49＝49×(49＋1)＝49×50＝2450.(2)(8 )2－(3 )2＝(8 ＋3 )(8 －3 )＝12×5＝60.121212121212小结勤反思因式分解因式分解的简单应用因式分解的概念与整式乘法的区别反思已知多项式－9x3＋12x2－6x因式分解后，只能写成两个因式乘积的形式，其中一个因式是－3x，请你确定这个多项式因式分解后的另一个因式．解： (－9x3＋12x2－6x)÷(－3x)＝3x2－4x＋2，故这个多项式因式分解后的另一个因式是3x2－4x＋2.。