1-2极限概念-1
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高等数学1-2极限的概念、无穷小与无穷大(上)
A3 , A4 , An ,
S
极限的概念
二、数列 及其极限
1.数列的概念 整标函数： 定义域为全体正整数的函数 y f (n) 称为整标函数。 f (1) x1 , f (2) x2 , f (3) x3 , 数列： 按照自然数的顺序排列的一列数 x1 , x2 , xn , 简记为{ xn }, 其中xn称为数列 { xn }的通项 或者一般项.
1 1 1 1 1 (1). , , , , n ,; 2 4 8 16 2
(1)n1 1 (2)1, 0, 1, 0,, ; 2
(3) 1, 2, 3,n,
1 1 1 1 1 解：(1). x1 , x2 , x3 ,, xn n ,. { xn } { n } 2 4 8 2 2
y y 1 x
1
y x2 1
o
x
解
观察可知:
x0
lim f ( x ) lim (1 x ) 1
x0
左极限
x 0
lim f ( x ) lim ( x 2 1) 1
x 0
x 0 x 0
右极限
因为 lim f ( x ) lim f ( x ) 1
极限的概念
3.2. 唯一性
性质2 每个收敛的数列只有一个极限.
3.3. 保号性
x n A, 且 A 0 ( A 0), 则N 0, 性质3 如果 lim n
当n N , 有xn 0 ( xn 0).
推论 如果数列 xn 从某项起有 xn 0 ( xn 0),
xn f (n)
13
n1 （n 1,2,3， ） 例如 (1) 、x n n 3 4 n1 ,} { xn } {2, , ,, 2 3 n
1-2复变函数的极限解析
称为z0的 邻域，记作U (z0 , )
复 变 函 数 与
由 0 |z z0 | ( 0) 所
确定的平面点集，称为
• z0
积
分 变
z0的去心 邻域，
换
记为U o(z0 , ).
内点: 对任意z0属于点集E，若存在Ｕ(z0 ,δ)，
哈
使该邻域内的所有点都属于E，则称z0
立点所构成.
二、简单曲线（或Jardan曲线)
平面上一条连续曲线可表示为：
哈
尔 滨 工 程 大
x x(t)
y
y(t )
( t ),
学 其中x(t)、y(t)是连续的实变函数。
复 变 函
若x '(t)、y'(t) C[a, b]且[x '(t)]2 [ y'(t)]2 0
尔
滨 工
其边界为点集 ：{z | | z a | r}
程
大
学 例2 点集 z r1 z z0 r2是一有界区域,
复
变 函 数
其边界由两个圆周 z z0 r1, z z0 r2构成.
与
积
分 变
如果在圆环内去掉若干个点,它仍是区域,
换 但边界有变化,是两个圆周及其若干个孤
尔
滨
工 程
z( ) z( )的简单曲线，称为简单闭曲线,
大 学
或约当闭曲线.
复
变
函
数
与
积
分 变
z( ) z( )
换
简单闭曲线
z( ) z( )
不是简单闭曲线
约当定理（简单闭曲线的性质）
任一条简单闭曲线C：z=z(t)， t∈[a，b]，
1-2 数列的极限
x1 x2x3 x4x5
xn
A
M
注: 如果xnxn1 nN 就称数列{xn}是单调增加的 如果xnxn1 nN 就称数列{xn}是单调减少的 单调增加和单调减少数列统称为单调数列
15
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铃
பைடு நூலகம்
例8 已知 x0 = 1, xn1 = 3 3 2 xn . 证明 lim xn 存在.
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n
9
例2 计算 lim 4n 1 . n 2n 1
4n 1 1 = lim (2 ) 解1 lim n 2n 1 n 2n 1 1 = lim 2 lim n n 2n 1 = 20 = 2 1 1 4 lim (4 ) 4n 1 40 n n n = lim = 解2 lim = =2 1 1 n 2n 1 n 2 lim (2 ) 2 0 n n n
8
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铃
三、极限的四则运算法则
极限的四则运算法则 设有数列{xn}和{yn} 如果 那么
n
n
lim xn = A lim yn = B
n
(1) lim (xn yn ) = A B ; (2) lim (xn yn ) = A B ;
xn A = (3)当 yn 0 (n=1 2 )且 B0 时 lim n yn B
数列的极限
一、数列极限的定义
二、收敛数列的性质 三、极限的四则运算法则 四、极限存在准则
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一、数列极限的定义
xn
A
M
注: 如果xnxn1 nN 就称数列{xn}是单调增加的 如果xnxn1 nN 就称数列{xn}是单调减少的 单调增加和单调减少数列统称为单调数列
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பைடு நூலகம்
例8 已知 x0 = 1, xn1 = 3 3 2 xn . 证明 lim xn 存在.
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n
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例2 计算 lim 4n 1 . n 2n 1
4n 1 1 = lim (2 ) 解1 lim n 2n 1 n 2n 1 1 = lim 2 lim n n 2n 1 = 20 = 2 1 1 4 lim (4 ) 4n 1 40 n n n = lim = 解2 lim = =2 1 1 n 2n 1 n 2 lim (2 ) 2 0 n n n
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三、极限的四则运算法则
极限的四则运算法则 设有数列{xn}和{yn} 如果 那么
n
n
lim xn = A lim yn = B
n
(1) lim (xn yn ) = A B ; (2) lim (xn yn ) = A B ;
xn A = (3)当 yn 0 (n=1 2 )且 B0 时 lim n yn B
数列的极限
一、数列极限的定义
二、收敛数列的性质 三、极限的四则运算法则 四、极限存在准则
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一、数列极限的定义
高等数学1-2数列的极限
定理2 如果数列收敛,那么数列一定有界. 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散.
3、保号性
定理3 收敛数列的保号性
P29
4、其他
定理4 收敛数列与其子数列间的关系 P30
三、小结
基本概念：数列极限的定义 N定义
收敛数列的性质：唯一性,有界性,保号性
S
2、数列的定义
例如 2,4,8,,2n ,;
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,;
1,1,1,,(1)n1 ,;
2, 1 , 4 ,, n (1)n1 ,;
23
n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
3、数列极限的定义
在给出定义以前, 先观察数列{1 (1)n1}当 n 时的变化趋势.
第二节 数列的极限
一、 数列极限的定义 二、 收敛数列的性质
一、数列极限的定义
1、由割圆术引入： ——刘徽(公元3世纪)
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣”
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An ,
P30 EX1
二、收敛数列的性质
1.唯一性
定理1 如果数列收敛,那么它的极限唯一。 P28
2、有界性
定义: 对数列 xn, 若存在正数 M , 使得一切自 然数 n, 恒有 xn M 成立, 则称数列 xn有界,
否则, 称为无界.
例如, 数列
n
xn
n
; 1
有界
数列 xn 2n. 无界
微积分中的极限方法1-2数列极限的定义
微积分中的极限方法1-2数列 极限的定义
目
CONTENCT
录
• 数列极限的定义 • 极限的运算性质 • 极限存在准则 • 数列极限的应用
01
数列极限的定义
定义与性质
定义
数列的极限是指当项数趋于无穷时，数列的项趋于某一固定值。即对于任意小 的正数$epsilon$，存在一个正整数$N$，当$n>N$时，数列的项$a_n$与固 定值$lim a_n$的距离小于$epsilon$。
级数与无穷级数
级数
级数是微积分中研究无穷序列的数学工具。 通过数列极限的定义，我们可以更好地理解 级数的收敛性和发散性，从而更好地研究无 穷序列的性质。
无穷级数
无穷级数是包含无穷多个项的级数，它可以 用来研究函数的性质和行为。通过数列极限 的定义，我们可以更好地理解无穷级数的概 念和性质，从而更好地应用无穷级数解决实
$n$和$n+1$，都有$|a_{n+1}-a_n|<varepsilon$，那么这个数列就是收敛的。
致密性定理
总结词
致密性定理指出，如果一个数列的任意 子序列都收敛于同一个极限，则该数列 本身也收敛于该极限。
VS
详细描述
致密性定理是极限存在的一个重要的准则 。它表明，如果一个数列的任意子序列都 收敛于同一个极限，那么这个数列本身也 必定收敛于这个极限。这个定理在证明极 限定理和解决极限问题时非常有用。
04
数列极限的应用
无穷小量与连续性
无穷小量
在微积分中，无穷小量指的是一个接近于零 但不等于零的量。在数列极限的定义中，无 穷小量用来描述当项数趋于无穷大时，数列 项的变化趋势。
连续性
连续性是微积分中的一个基本概念，它描述 了一个函数在某一点或某一区间内不间断的 特征。通过数列极限的定义，我们可以更好 地理解函数在某一点处的连续性，即当自变 量趋于这一点时，函数值的变化趋势。
目
CONTENCT
录
• 数列极限的定义 • 极限的运算性质 • 极限存在准则 • 数列极限的应用
01
数列极限的定义
定义与性质
定义
数列的极限是指当项数趋于无穷时，数列的项趋于某一固定值。即对于任意小 的正数$epsilon$，存在一个正整数$N$，当$n>N$时，数列的项$a_n$与固 定值$lim a_n$的距离小于$epsilon$。
级数与无穷级数
级数
级数是微积分中研究无穷序列的数学工具。 通过数列极限的定义，我们可以更好地理解 级数的收敛性和发散性，从而更好地研究无 穷序列的性质。
无穷级数
无穷级数是包含无穷多个项的级数，它可以 用来研究函数的性质和行为。通过数列极限 的定义，我们可以更好地理解无穷级数的概 念和性质，从而更好地应用无穷级数解决实
$n$和$n+1$，都有$|a_{n+1}-a_n|<varepsilon$，那么这个数列就是收敛的。
致密性定理
总结词
致密性定理指出，如果一个数列的任意 子序列都收敛于同一个极限，则该数列 本身也收敛于该极限。
VS
详细描述
致密性定理是极限存在的一个重要的准则 。它表明，如果一个数列的任意子序列都 收敛于同一个极限，那么这个数列本身也 必定收敛于这个极限。这个定理在证明极 限定理和解决极限问题时非常有用。
04
数列极限的应用
无穷小量与连续性
无穷小量
在微积分中，无穷小量指的是一个接近于零 但不等于零的量。在数列极限的定义中，无 穷小量用来描述当项数趋于无穷大时，数列 项的变化趋势。
连续性
连续性是微积分中的一个基本概念，它描述 了一个函数在某一点或某一区间内不间断的 特征。通过数列极限的定义，我们可以更好 地理解函数在某一点处的连续性，即当自变 量趋于这一点时，函数值的变化趋势。
高等数学(第五版)1-2 数列的极限
2.数列极限的定义
由上例可知我们需要研 究当n不断增大时， 数列xn的变化趋势.
极限的直观定义 1)： n无限增大时，如果 n ( 当 x 无限接近于某个常数 ，称a是数列x n的极限. a
记作 lim xn a 或 xn a ( n )
n
( 1)n1 1 ( 1)n 例. (1) xn 1 ; (2) xn 2n ; (3) xn . n 2
实现的.
2. 反映 xn与a的距离， 可以任意小 说明 xn与a的距离想要多小就可多 . 小
3. N反映在n无限增大的过程中 n增大到 , 什么程度就能使xn与a的距离小于 .
简单的说, lim xn a 指的是xn与a的距离想要
n
多小就可多小，只要 足够大。 n
即不管 取得多么小，当 足够大时, xn a . n
例如
2,4,8,,2 n ,;
1,1,1,, (1)
n1
{2 n }
,;
{(1)
n 1
}
数列的几何解释：
1.数列对应着数轴上一个点列 . 可看作一 动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3
x1
x 2 x4
xn
2.数列也可看作定义在正整数集合上的函数 . 即 xn f (n), n N y x1 x3
怎样说明？
1 1 1 比如要使 xn 1 , 即 , 只要 n 10, 10 n 10 1 即数列第10项之后的所有项与 的距离小于 . 1 10 1 要使 xn 1 , 只要 n 100, 100
1 要使 x n 1 , 只要 n 1000 , 1000
一般的，对于任意给定 的正数 . 1 要使 xn 1 ， 只要 n , 这样就说明了xn与1 的距离想要多小就可多 小，
§1-2极限的概念数列的极限
f (0 0) lim f ( x ) lim ( x 1) 1
x 0 x 0
由定理1.2.3
f (0 0) f (0 0)
，所以
1 A e
.
4． x→∞时，函数 f (x) 的极限
定义1.2.6 设函数f(x)在 |x|>a 时有定义（a为某个正
实数)，如果当自变量的绝对值 |x| 无限增大时，相应
( 0) ,称为
x0
的去心邻域.
定义1.2.3
设函数y =f (x)在x0的某一去心邻域
ˆ 0 , ) N(x
内有定义，当自变量x(x≠x0)无限接近于 x0 时，相应的 函数值无限接近于常数A，则称x→x0时, A为函数f(x)的
的极限. 记作
x x0
lim f ( x ) A
或
un un1
则称数列{un}为单调递增数列； 类似地， 如果从第二项起，每一项比前一项小，即
un un1
则称数列{un}为单调递减数列；
单调增加的数列和单调减少的数列，统称为单调数列。
有界数列
如果存在一个正常数
M，使数列
{un }
的每一项 un ，都有
un M
则称数列{un}为有界数列．否则称为无界数列。 如果数列含有无穷多项，则成为无穷数列。 如果数列含有有限项则称为有穷数列。 下面将讨论无穷数列的极限
2． 数列的极限
例12 当 n→∞时,观察下列数列的变化趋势： 1）对于数列
un n 3 n , , ,..., ,... 2 3 4 n 1
un
当n →∞时，显然数列的一般项无限接近常数1。 1 1 1 1 1 u （2）对于数列 n , 2 , 3 ,..., n ,... ，即 2n 2 2 2 2 当n →∞时，显然数列的一般项un。无限接近常数0。
高等数学(第四版) 上、下册(同济大学 天津大学等编) 电子教案-1_2 极限的概念-电子课件
2n 2 2n 1
成立.
发散数列 1n 也可能有界， 1 n 1 ；
无界数列 (1)n 2n 一定发散；
有界数列
1 2
1
(1)n
不
一
定
收
敛
，
1 2
1
(1)n
1，但当
n
为奇数时，
1 2
1
(1)
n
0 ；当
n
为偶数时，
1 2
1
(1)n
1.
综上可知：收敛数列必有界.数列有界是数列收敛的
2x 1 7 ，即 m f (x) M .此处 f x 2x 1 在x 3 处有定义，且当 x 3时， f x 的极限值恰好是f 2 .
例 8 由表达式
y
f
(x)
1
x, 0, x
x 0
0
1
的确定的函数，如图 1-26 所示.
O
1
x
图21-526
当 x 0时， f (x) 1 x，则lim f (x) lim(1 x) 1.
x2 x2
求 lim f (x), lim f (x),并由此判断lim f (x) 是否存在.
x2
x2
x2
解 lim f (x) lim (2x 1) 5, lim f (x) lim (x2 1) 5，
x2
x2
x2
x2
即 f (2 ) f (2 ) 5, 由函数 f (x) 在x 2 处极限存在的充要
自变 x x0的变化过程中，函数值 f (x)无限接近于 A，就
称 A 是函数 f (x)当
x
x0
时
极
限
.
记
1-2数列极限-1
因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xna|能小于事 先给定的任意小的正数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 则当n无限增大时, xn无限接近 于常数a.
定义 简称 N 定义
若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列
的极限为 a , 记作
lim
n
xn
a
或 xn a (n )
” 是指：
当n N 时, 所有的点 xn 都落在 (a , a )内,
只有有限个(至多只有 N 个)落在其外.
例1. 已知
证明数列 的极限为1.
证:
xn 1
n (1)n 1 n
0 , 欲使
即
只要
n
1
因此 , 取 N [ 1 ] , 则当 n N 时, 就有
n (1)n 1
n
注意：数列极限 的定义未给出求
故
lim
n
xn
lim n (1)n n n
1
极限的方法.
例2. 证明 lim qn 0,其中 q 1. n
证: 0, 若q 0, 则 lim qn lim 0 0;
( 1)
n
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近 于常数a, 则数列{xn}收敛a.
分析 当n无限增大时, xn无限接近于a .
当n无限增大时, |xna|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xna|可以任意小,要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xna|能小于事先给定的任意 小的正数.
1 2n
,
{
1 2n
定义 简称 N 定义
若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列
的极限为 a , 记作
lim
n
xn
a
或 xn a (n )
” 是指：
当n N 时, 所有的点 xn 都落在 (a , a )内,
只有有限个(至多只有 N 个)落在其外.
例1. 已知
证明数列 的极限为1.
证:
xn 1
n (1)n 1 n
0 , 欲使
即
只要
n
1
因此 , 取 N [ 1 ] , 则当 n N 时, 就有
n (1)n 1
n
注意：数列极限 的定义未给出求
故
lim
n
xn
lim n (1)n n n
1
极限的方法.
例2. 证明 lim qn 0,其中 q 1. n
证: 0, 若q 0, 则 lim qn lim 0 0;
( 1)
n
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近 于常数a, 则数列{xn}收敛a.
分析 当n无限增大时, xn无限接近于a .
当n无限增大时, |xna|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xna|可以任意小,要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xna|能小于事先给定的任意 小的正数.
1 2n
,
{
1 2n
1-2极限的概念
1 1 任给 0, 要 x n 1 , 只要 , 或n , n 1 所以, 取N [ ], 则当n N时, n ( 1) n 1 n ( 1) n1 1. 就有 1 即 lim n n n
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0,寻找N,但不必要求最小的N. 例2 设xn C (C为常数), 证明 lim xn C .
那末常数 A 就叫函数 f ( x ) 当x 时的极限,记作
lim f ( x ) A 或
x
f ( x ) A(当x )
" X " 定义
lim f ( x ) A
x
0, X 0, 使当 x X时, 恒有 f ( x ) A .
左极限存在,
1 lim f ( x ) lim x sin 0, x 0 x 0 x
右极限存在,
lim f ( x ) lim f ( x)
x 0 x 0
lim f ( x ) 不存在.
x 0
练 习 题
一、填空题:
1、当 x 2 时，y x 2 4，问当 取 ___时， 只要 0 x 2 ，必有 y 4 0.001 .
S
2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1 第一天截下的杖长为X 1 ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和 为 X2 2 ; 2 2
1 1 1 第n天截下的杖长总和为X n 2 n ; 2 2 2 1 Xn 1 n 1 2
定义:按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
给定 0, 只要 n N ( [1])时, 有 x n 1 成立.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0,寻找N,但不必要求最小的N. 例2 设xn C (C为常数), 证明 lim xn C .
那末常数 A 就叫函数 f ( x ) 当x 时的极限,记作
lim f ( x ) A 或
x
f ( x ) A(当x )
" X " 定义
lim f ( x ) A
x
0, X 0, 使当 x X时, 恒有 f ( x ) A .
左极限存在,
1 lim f ( x ) lim x sin 0, x 0 x 0 x
右极限存在,
lim f ( x ) lim f ( x)
x 0 x 0
lim f ( x ) 不存在.
x 0
练 习 题
一、填空题:
1、当 x 2 时，y x 2 4，问当 取 ___时， 只要 0 x 2 ，必有 y 4 0.001 .
S
2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1 第一天截下的杖长为X 1 ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和 为 X2 2 ; 2 2
1 1 1 第n天截下的杖长总和为X n 2 n ; 2 2 2 1 Xn 1 n 1 2
定义:按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
给定 0, 只要 n N ( [1])时, 有 x n 1 成立.
1-2极限概念-1
A
A
A
o
x0 x0 x0
x
利用定义证明函数当x x0时的极限
用定义证函数极限存在时,关键是对于任意给定的
0,寻找满足条件的正数 δ ,如果找到了这样的 δ ,
那么就证明了δ的存在性,也就证明了极限的存在.
例1 用定义证明lim C C xx0
证： f (x) A C C 0
ε 0,有 f (x) A 0 ε,
δ取任意正数, 当0 x x0 δ时
都有 f (x) C
lim C C. x x0
例4
用定义证明lim xx0
x
x0
.
证：0,要使 f (x) A ε, 即 x x0 ε
即任给正数ε，当n充分大时，有yn 0 成立.
检验：对于数列{1 } 只要n 1 即可. n
,任 给 正 数ε，要 使
yn
0
1 n
则
对
于
ε
数 列{
1 n
},
随
着n的
无
限
增
大
，xn
无
限
接
近
于0.
称0是数列{ 1 }当n趋于无穷时的极限.
n
定义1 设数列 { yn }, A是一常数，如果对于任意给定
是发散的.
ε N定义
lim
n
yn
A
0,正整数N ,使n N时,恒有 yn A .
其中 : 每一个或任给的; : 存在.
lim xn a的几何解释是
n
a 2
第二章数列极限1-2
| xn || xn a a | | xn a | | a | 1 | a | .
li m xn a .
n
例7
证法一
求证 lim a 1. (a 0)
n n
当a=1时，显然成立。
设a 1,
1 n
0, 欲使a 1 ,
1 n
1 1 ln( 1) 只要a 1, 即 ln a ln( 1), 即 , n n ln a
大（n > 某个N），总可以使| xn-a| < 。
于是有下面数列极限的定义（用“ —N”
语言表达）
2、精确定义
定义 如果对于任意给定的正数
(不论它多么小),
总存在正数 N , 使得对于 n>N 时的一切 xn, 不等式
xn a 都成立,那末就称数列{xn}有极限（为 a）,
xn
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
1 1 1 1 , , , , n ,; 2 2 4 8
直观感觉这个数列越来越接近0。
二、数列极限的定义
1、直观描述
对 {xn}: x1 , x2 , x3 , …, xn , …
若随着 n 的无限增大(记作 n )， 有xn无限接近某个定数 a， (允许某些xn甚 至全部 xn等于a)， 则称 {xn} 有极限(为a)或收敛(于 a)，记作:
A3 1 2
,
6 ? 2
n 1
An
=圆内接正62n-1边形面积
.
显然n越大, An越接近于S.
1 2 2 R sin 2 6 2 n 1
2 因此, 需要考虑当n时, AA 的变化趋势 . n n R
li m xn a .
n
例7
证法一
求证 lim a 1. (a 0)
n n
当a=1时，显然成立。
设a 1,
1 n
0, 欲使a 1 ,
1 n
1 1 ln( 1) 只要a 1, 即 ln a ln( 1), 即 , n n ln a
大（n > 某个N），总可以使| xn-a| < 。
于是有下面数列极限的定义（用“ —N”
语言表达）
2、精确定义
定义 如果对于任意给定的正数
(不论它多么小),
总存在正数 N , 使得对于 n>N 时的一切 xn, 不等式
xn a 都成立,那末就称数列{xn}有极限（为 a）,
xn
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
1 1 1 1 , , , , n ,; 2 2 4 8
直观感觉这个数列越来越接近0。
二、数列极限的定义
1、直观描述
对 {xn}: x1 , x2 , x3 , …, xn , …
若随着 n 的无限增大(记作 n )， 有xn无限接近某个定数 a， (允许某些xn甚 至全部 xn等于a)， 则称 {xn} 有极限(为a)或收敛(于 a)，记作:
A3 1 2
,
6 ? 2
n 1
An
=圆内接正62n-1边形面积
.
显然n越大, An越接近于S.
1 2 2 R sin 2 6 2 n 1
2 因此, 需要考虑当n时, AA 的变化趋势 . n n R
1-2 数列的极限
(n N )
几何解释 :
(
a xN1
xN2
)
a
即 xn (a , )
(n N )
3
例如,
1 , 2 , 3 , , n , 2 3 4 n1
xn
n n
1
1
第一章第二节
(n ) 收
敛
xn
n
(1)n1 n
1
(n )
2 , 4 , 8 , , 2n , xn 2n (n ) 发
是发散的.
证: 用反证法.
假设数列 xn 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
取
1 2
,则存在 N , 使当 n > N
时,有
a
1 2
xn
a
1 2
但因 xn交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
长度为
1
的开区间(
a
1 2
,
a
1 2
) 内,
因此该数列发散
.
9
2. 收敛数列一定有界.
21
思考与练习
第一章第二节
1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋于∞的子数列;
方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.
2.
已知x1
1,
xn1
1
2xn
(n
1, 2,,)求 lim
n
xn
时, 下述作法是否正确? 说明理由.
设 lim xn a ,由递推式两边取极限得
n
a 1 2a
a0,
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任一子数列也收敛．且极限相同．
证
设数列 ynk 是数列yn 的任一子数列．
n
lim yn A,
0,N 0,使 n N 时,恒有 yn A .
取 K N,
则当 k K 时, nk nK nN N .
ynk A .
如果不存在这样的常数A, 就说数列没有极限,称数列 是发散的.
ε N定义
lim yn A
n
0 , 正整数 N , 使n N时, 恒有 yn A .
; : 存 在. 其中 : 每一个或任给的
xn a的几何解释是 lim n
a
x2 x1 x N 1
定义2.设函数 f ( x)当 x 大于某一正数时有定义,若
0 , X 0 ,当 x X 时, 有 f ( x) A , 则称
常数A 为函数 f ( x)当x 时的极限,记作
x
lim f ( x) A 或 f ( x) A (当x )
这样的一列数 称为一个数列，数列中的每一个数称为数列的项，
{ yn }. yn称为数列的一般项（通 项） . 数列可简记为
一些数列的例子
例如
1 1 1 1 1, , , , , , 2 3 4 n
1 { } n
{2 n }
1 { n} 2
2,4,8,, 2n ,;
1 1 1 1 , , ,, n ,; 2 4 8 2
1,1, 1,,(1)
n 1
,;
n 1
{( 1) }
n ( 1) { n
n 1
n 1
1 4 n ( 1) 2, , , , 2 3 n
,;
}
1 对于数列 { } ,随着n的增大, yn有什么样的变化 问： n 1 1 1 1 1 趋势?
1,
2
,
3
,
4
,
5
, ,
n
0,K1 N ,使 当k K 1 时,有 y2k 1 A , K 2 N ,使 当k K 2时,有 y2k A ε.
取 K max{ K1, K 2 },
则当k K 时, 有 y2k 1 A ε, y2k A ε
2
a
x N 2 x3
a
x
任取 0,只有有限个 (至多只有 N个) 落在(a , a )外.
利用定义证明数列极限
用定义证明数列极限时, 关键是对于任意给定的 0, 去证满足条件的正整数 N 的存在性，如果找到了这样 那么也就证明了数列极 的 N ,也就证明了 N 的存在性， 限的存在. 1 0. 例1 利用定义证明 lim n n
取N 2K ,则当n N时有 yn A ε.
lim yn A.
k
证毕．
二、函数的极限
1.自变量趋于无穷大时函数的极限
( x 无限增大 )时 , 对应的函数值 f ( x ) 如果 x趋于无穷大 无限接近于某个确定的数 A , 就称A是函数 f ( x)当 x 趋于无穷大时的极限. x 、 x 自变量趋向无穷大的三种情况 : x 、
lim ynk A.
k
证毕．
定理 (收敛子数列与数列间的关系）对于数列 { yn }, 若 y2k 1 A(k ), y2k A(k ),
证 明： yn A(n ). 证 lim y2 k 1 A, lim y2 设数列 { yn }, A是一常数， 的正数ε (不论它多么小), 总存在正整数 N , 使得对于 n N 时的一切 yn , yn A 都成立, 那么就称常
数 A是数列 { yn } 的极限, 或者称数列 { yn } 收敛于A,
记为
n
lim yn A, 或 yn A (n ).
,
随着 n 的增大， yn 0 越来越小， 且当 n 无限增大时， yn 0 可以任意小!
则对于数列{ }, 随着n的无限增大，xn 无限接近于0. n 1 称0是数列{ }当n趋于无穷时的极限. n
即任给正数 ε， 当n充分大时，有yn 0 成立. 1 1 检验： 对于数列{ } ,任给正数ε， 要使 yn 0 n n 1 只要 n 即可. ε 1
n个
例2 设yn C (C为常数), 证明 lim yn C . n 证 任给 0 , 对于一切自然数n ,
yn C C C 0 成立,
所以, lim yn C .
n
说明:常数列的极限等于同一常数. 2. 数列极限与子列极限的关系
yn中任意抽取无限多项并 定义：在数列 保持
微积分 绪论
• 数学是什么？
• 微积分与中学数学的主要区别
• 数学的感觉
几点注意
课前预习 听什么
注意力
课上学习 记什么
课后复习 练什么
上课
下课
时间
第一章
第二节
极限的概念
一、数列的极限
二、函数的极限
一、数列的极限
1. 数列极限的定义
定义在正整数集上的某一函数，按照自变量的增大，
将其对应的函数值排成一列，
yn 的子数列（或子列）． 的一个数列称为原数列
这样得到 yn中的先后次序， 这些项在原数列
y1 , y2 , yn1 , yn , { yn } yn1 , yn2 , yn , , yn , { yn } 3 k k
(显然nk k )
定理1(收敛数列与其子数列间的关系）收敛数列的
" X " 定义
lim f ( x ) A
1 1 证 yn 0 0 n n 1 1 任给 0(取 1), 要使 yn 0 , 只要 , 即n ,
1 所以, 取N [ ], 则当n N时,
1 就有 0 n
1 即 lim 0. n n
n
习题 利用定义证明 lim0 . 999 9 1. n
证
设数列 ynk 是数列yn 的任一子数列．
n
lim yn A,
0,N 0,使 n N 时,恒有 yn A .
取 K N,
则当 k K 时, nk nK nN N .
ynk A .
如果不存在这样的常数A, 就说数列没有极限,称数列 是发散的.
ε N定义
lim yn A
n
0 , 正整数 N , 使n N时, 恒有 yn A .
; : 存 在. 其中 : 每一个或任给的
xn a的几何解释是 lim n
a
x2 x1 x N 1
定义2.设函数 f ( x)当 x 大于某一正数时有定义,若
0 , X 0 ,当 x X 时, 有 f ( x) A , 则称
常数A 为函数 f ( x)当x 时的极限,记作
x
lim f ( x) A 或 f ( x) A (当x )
这样的一列数 称为一个数列，数列中的每一个数称为数列的项，
{ yn }. yn称为数列的一般项（通 项） . 数列可简记为
一些数列的例子
例如
1 1 1 1 1, , , , , , 2 3 4 n
1 { } n
{2 n }
1 { n} 2
2,4,8,, 2n ,;
1 1 1 1 , , ,, n ,; 2 4 8 2
1,1, 1,,(1)
n 1
,;
n 1
{( 1) }
n ( 1) { n
n 1
n 1
1 4 n ( 1) 2, , , , 2 3 n
,;
}
1 对于数列 { } ,随着n的增大, yn有什么样的变化 问： n 1 1 1 1 1 趋势?
1,
2
,
3
,
4
,
5
, ,
n
0,K1 N ,使 当k K 1 时,有 y2k 1 A , K 2 N ,使 当k K 2时,有 y2k A ε.
取 K max{ K1, K 2 },
则当k K 时, 有 y2k 1 A ε, y2k A ε
2
a
x N 2 x3
a
x
任取 0,只有有限个 (至多只有 N个) 落在(a , a )外.
利用定义证明数列极限
用定义证明数列极限时, 关键是对于任意给定的 0, 去证满足条件的正整数 N 的存在性，如果找到了这样 那么也就证明了数列极 的 N ,也就证明了 N 的存在性， 限的存在. 1 0. 例1 利用定义证明 lim n n
取N 2K ,则当n N时有 yn A ε.
lim yn A.
k
证毕．
二、函数的极限
1.自变量趋于无穷大时函数的极限
( x 无限增大 )时 , 对应的函数值 f ( x ) 如果 x趋于无穷大 无限接近于某个确定的数 A , 就称A是函数 f ( x)当 x 趋于无穷大时的极限. x 、 x 自变量趋向无穷大的三种情况 : x 、
lim ynk A.
k
证毕．
定理 (收敛子数列与数列间的关系）对于数列 { yn }, 若 y2k 1 A(k ), y2k A(k ),
证 明： yn A(n ). 证 lim y2 k 1 A, lim y2 设数列 { yn }, A是一常数， 的正数ε (不论它多么小), 总存在正整数 N , 使得对于 n N 时的一切 yn , yn A 都成立, 那么就称常
数 A是数列 { yn } 的极限, 或者称数列 { yn } 收敛于A,
记为
n
lim yn A, 或 yn A (n ).
,
随着 n 的增大， yn 0 越来越小， 且当 n 无限增大时， yn 0 可以任意小!
则对于数列{ }, 随着n的无限增大，xn 无限接近于0. n 1 称0是数列{ }当n趋于无穷时的极限. n
即任给正数 ε， 当n充分大时，有yn 0 成立. 1 1 检验： 对于数列{ } ,任给正数ε， 要使 yn 0 n n 1 只要 n 即可. ε 1
n个
例2 设yn C (C为常数), 证明 lim yn C . n 证 任给 0 , 对于一切自然数n ,
yn C C C 0 成立,
所以, lim yn C .
n
说明:常数列的极限等于同一常数. 2. 数列极限与子列极限的关系
yn中任意抽取无限多项并 定义：在数列 保持
微积分 绪论
• 数学是什么？
• 微积分与中学数学的主要区别
• 数学的感觉
几点注意
课前预习 听什么
注意力
课上学习 记什么
课后复习 练什么
上课
下课
时间
第一章
第二节
极限的概念
一、数列的极限
二、函数的极限
一、数列的极限
1. 数列极限的定义
定义在正整数集上的某一函数，按照自变量的增大，
将其对应的函数值排成一列，
yn 的子数列（或子列）． 的一个数列称为原数列
这样得到 yn中的先后次序， 这些项在原数列
y1 , y2 , yn1 , yn , { yn } yn1 , yn2 , yn , , yn , { yn } 3 k k
(显然nk k )
定理1(收敛数列与其子数列间的关系）收敛数列的
" X " 定义
lim f ( x ) A
1 1 证 yn 0 0 n n 1 1 任给 0(取 1), 要使 yn 0 , 只要 , 即n ,
1 所以, 取N [ ], 则当n N时,
1 就有 0 n
1 即 lim 0. n n
n
习题 利用定义证明 lim0 . 999 9 1. n