第七章 第3讲 圆的方程[配套课件]

考点 2 与圆有关的最值问题 例 2：已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0.求：
y (1)x的最大值和最小值；
(2)y－x 的最小值；
(3)x2＋y2 的最大值和最小值. 解：(1)方法一，如图 D39，方程 x2＋y2－4x＋1＝0，即 (x－2)2＋y2＝3，表示以点(2,0)为圆心，以
y 则xmax＝tan
60° ＝
y 3，xmin＝tan
120° ＝－ 3.
(2)设 y－x＝b，则 y＝x＋b，当且仅当直线 y＝x＋b 与圆切 于第四象限时，纵轴截距 b 取得最小值. |2－0＋b| 由点到直线的距离公式，得 ＝ 3， 2 即 b＝－2± 6. 故(y－x)min＝－2－ 6.
2.若点 P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9 的弦 MN 的中点，则弦 MN
所在直线的方程为( D ) A.2x＋y－3＝0 C.x＋2y－3＝0 B.x－2y＋1＝0 D.2x－y－1＝0
3.若直线 y＝x＋b 平分圆 x2＋y2－8x＋2y＋8＝0 的周长，则 b＝( D ) A.3 C.－3 B.5 D.－5
方法二，从数的角度，选用一般式.
设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
D E 则圆心坐标为－ 2 ，－ 2 .
2 2 5 ＋ 2 ＋5D＋2E＋F＝0， 32＋22＋3D＋2E＋F＝0， ∴ D E － －－ －3＝0. 2 × 2 2
即圆心 P(4,5).
∴半径 r＝|PA|＝ 10.
∴圆的方程是(x－4)2＋(y－5)2＝10. (2)设点 A 关于直线 x＋2y＝0 的对称点为 A′， ∵AA′为圆的弦，∴A 与 A′的对称轴 x＋2y＝0 过圆心.
设圆心 P(－2a，a)，半径为 R， 则 R＝|PA|＝ －2a－22＋a－32. |－2a－a＋1| 又弦长 2 2＝2 R －d ，d＝ ， 2
1.圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.确定 一个圆最基本的要素是圆心和半径. 2.圆的标准方程 (a，b，半径 ) (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)表示圆心为______ 为 r 的圆的标准方程. (2)特别地，以原点为圆心，半径为 r(r＞0)的圆的标准方程 x2＋y2＝r2 为__________________.
4 5 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x－y＝0 的距离为 5 ，则圆 C
(x－2)2＋y2＝9 的方程为________________.
|2a| 5 解析： 设 C(a,0)， a>0， 则 ＝ 5 ⇒a＝2， r＝ 22＋ 52 5 ＝3，故圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝9.
2 2 2 2 3 a － 1 3 a － 1 2 2 ∴R2＝2＋ ，即 4( a ＋ 1) ＋ ( a － 3) ＝2＋ . 2 2
∴a＝－7，或 a＝－3. 当 a＝－7 时，R＝ 244；当 a＝－3 时，R＝ 52. ∴所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52 或(x－14)2＋(y＋ 7)2＝244.
答案：[－5 2，1]
【互动探究】
4.(2015 年新课标Ⅱ)已知三点 A(1,0)， B(0， 3)， C(2， 3)， 则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( 5 A.3 C. 3 2 5 21 B. 3 4 D.3 )
4.(2017 年广东广州一模)若一个圆的圆心是抛物线 x2＝4y 的焦点，且该圆与直线 y ＝x＋3 相切，则该圆的标准方程是 x2＋(y－1)2 ＝2 ________________.
解析：抛物线的焦点为(0,1)，故圆心为(0,1).圆的半径为
|0－1＋3| r＝ ＝ 2.故圆的方程为 x2＋(y－1)2＝2. 2
2012 年新课标第 20 题考查直线、圆 与抛物线的综合应用； 2013 年新课标Ⅰ第 21 题考查直线、 1.掌握确定圆的 圆、椭圆的综合应用； 几何要素. 2014 年大纲第 16 题考查切线的性质 2.掌握圆的标准 及三角函数的运算、新课标Ⅰ第 20 方程与一般方 题考查求圆的方程、新课标Ⅱ第 12 程. 题考查直线与圆的位置关系及数形 3.初步了解用代 结合； 数方法处理几 2015 年新课标Ⅰ第 14 题、北京第 2 何问题的思想 题考查圆的标准方程； 2017 年新课标Ⅲ第 20 题(2)考查求圆 的方程
3.圆的一般方程
方程 x ＋y ＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F .故有： 4 (1)当 D ＋E －4F＞0
2 2
2
2
D 2 E 2 可变形为x＋ 2 ＋y＋ 2 ＝
D E 时，方程表示以－ 2 ，－ 2 为圆心，
D2＋E2－4F 以 为半径的圆； 2 (2)当 D ＋E －4F＝0
考点 3 圆的综合应用 例 3：(1)(2014 年大纲)直线 l1 和 l2 是圆 x2＋y2＝2 的两条切 线，若 l1 与 l2 的交点为(1,3)，则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于 ________.
|OB| 2 解析：如图 731，sin∠OPB＝|OP|＝ ＝ 10
5 2 5 1 5 ，cos∠OPB＝ 5 ，tan∠OPB＝2，所以 1 2×2 4 tan∠APB＝tan 2∠OPB＝ 12＝3. 1－2 4 答案： 3
解：(1)方法一，从数的角度，选用标准式.
设圆心 P(x0，y0)，则由|PA |＝|PB|，得 (x0－5)2＋(y0－2)2＝(x0－3)2＋(y0－2)2.
又
x0＝4， 2x0－y0－3＝0，两方程联立，得 y0＝5.
∴|PA|＝ 10.
∴圆的标准方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10.
D＝－8， 解得E＝－10， F＝31.
∴圆的方程是 x2＋y2－8x－10y＋31＝0.
方法三，从形的角度. 线段 AB 为圆的弦，由平面几何知识知，圆心 P 应在线段 AB 的垂直平分线 x＝4 上，
2x－y－3＝0， 则由 x＝4， x＝4， 得 y＝5，
(3)x2＋y2 是圆上点与原点距离的平方，如图 D34，OC 与圆 交于点 B，其延长线交圆于点 C′，
则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋ 3)2＝7＋4 (x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－ 3)2＝7－4 3.
3，
【规律方法】方程 x2＋y2－4x＋1＝0 表示以点(2,0)为圆心，
(3)∵圆 C 与 x 轴交于两点 A(－1, 0)，B(3, 0)， ∴由垂径定理，得圆心在 x＝1 这条直线上. 设圆心坐标为 C (1, b)，圆半径为 r，
则 C 到切线 x－2y＋2＝0 的距离等于 r＝|CA|.
|1－2b＋2| ∴ ＝ 22＋b2.即 b2＋12b＋11＝0. 5
解得 b＝－1 或 b＝－11. ∴圆 C 的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5或 (x－1)2＋(y＋11)2 ＝125.
第3讲
圆的方程
考纲要求
考点分布
考情风向标 本节内容具有承前启后的作 用，既与前面的直线相联系， 也为后面学习圆锥曲线做准 备.高考中对此部分内容的考 查主要呈现以下几个特点： 一是重基础知识和基本技 能，主要考查了直线、圆的 方程，直线与圆的位置关系， 圆与圆的位置关系；二是重 在知识的交汇处命题，把解 析几何初步与集合、向量、 函数等知识结合命题，注重 考查学生综合运用知识解决 问题的能力
2x－y＋5＝0， 由 2 2 x ＋y ＝50 x＝－5， 可得 y＝－5， x＝1， 或 y＝7.
由 2x－y＋5≤0 表示直线 2x－y＋5＝0 以及直线上方的区 域， 结合限制条件－5 2≤x≤5 2， 可得点 P 横坐标的取值范围是[－5 2，1].
2 2
D E 时，方程表示一个点－ 2 ，－ 2 ；
(3)当 D2＋E2－4F＜0 时，方程不表示任何图形.
4.点 M(x0，y0)与圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的位置关系 点 M 在圆内⇔x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0；
点 M 在圆上⇔x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0；
> 点 M 在圆外⇔x＋y＋Dx0＋Ey0＋F_______0.
考点 1 求圆的方程
例 1：(1)求经过点 A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线 2x－y－3＝ 0 上的圆的方程；
(2)设圆上的点 A(2,3)关于直线 x＋2y＝0 的对称点仍在这个
圆上，且圆与直线 x－y＋1＝0 相交的弦长为 2 2 ，求圆的方 程； (3)(2017 年广东茂名一模)已知直线 x－2y＋2＝0 与圆 C 相 切，圆 C 与 x 轴交于两点 A(－1,0)，B(3,0)，求圆 C 的方程.
3为半径的圆.
图 D39
y 设x＝k，即 y＝kx，当圆心(2,0)到 y＝kx 的距离为半径时直 线与圆相切，斜率取得最大值或最小值. |2k－0| 由 2 ＝ 3，得 k2＝3，解得 k＝± 3. k ＋1
y ∴xmax＝ y 3，xmin＝－
3.
方法二，由平面几何知识，有 OC＝2，|PC|＝ 3，∠POC ＝60° ，直线 OP 的倾斜角为 60° ，直线 OP′的倾斜角为 120° ，
图 7-3-1
(2)(2017 年江苏) 在平面直角坐标系 xOy 中，A(－12,0) ， →· → ≤20，则点 P 的 B(0,6)，点 P 在圆 O：x2＋y2＝50 上，若PA PB 横坐标的取值范围是__________. →· → ≤20，易得 2x－y＋5≤0， 解析：设 P(x，y)，由PA PB
1.(2015 年北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2