三角函数与构图

中考专题复习----锐角三角函数一、三角函数与构图： 1．已知tan ∠A=23，则sin ∠A=______，cos ∠A=______.（用两种方法）小结：已知任一锐角的三角函数，可以求另两三角函数值． 2．如图，若AB=AC ，tan ∠B=2，则tan ∠A=_____，1cos2A ∠=______．小结：①面积法、勾股定理；②已知等腰三角形任一一个角（锐角）的三角函数值，就能求出其它三角函数值以及顶角半角的三角函数值． 3．①请求出tan15º，tan22.5º，sin18º． ②已知tan2α=2，则tan α=______．小结：半角模型的构图及黄金分割． 4．若tan α=12，tan β=13，（α、β为锐角）则 tan （αβ+）=_______， tan （αβ-）=_______．小结：45º角的分割与正切函数（可以利用网格构图），CB A45°AC30°ABCEDCBAβαD CB A βα三角函数的和差；5．已知tanα=12，求tan2α，1tan2α小结：角度的倍分问题解题途径．[当堂练习]如图，若sin∠，tan∠CAD=13，求tan∠DAB的值．二、圆与三角函数：1．如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，BC为⊙O的直径，PB=1，PC=4，求tan∠C．2．如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于E点，54CEDE=，弧AC=弧BC，求tan∠B．DC BACB3．如图，已知⊙O 中，弦AB=AC ，CD 为直径，CD 交AB 于E 点，3=7DE CE ，求sin ∠A ．4．如图，AB 为⊙O 的直径，AB=6，CA 、CD 为⊙O 的切线，CA=4，求tan ∠B ．小结：线段比转化为弦与半径之比，构造‘A 型’或‘X 型’平截．【当堂练习】1．如图，PA 切⊙O 于A 点，PC 为其一条过圆心的割线交⊙O 于B 、C 两点，PA=4，PC=8，则tan ∠C=______． 2．如图，点A 为⊙O 上一点，PC 为其一条过圆心的割线交⊙O 于B 、C 两点，且PA=6，PB=4，BC=5，则tan ∠C=______．3．如图，PA 切⊙O 于A 点，PC 为其一条过圆心的割线交⊙O 于B 、C 两点，CB=6，PA=4，则tan ∠C=______．4．如图，已知⊙O 中，PCD 、PAB 为⊙O 的两条割线，AB 为⊙O 的直径，PA=AO ，PC=CD ，求tan ∠COA ．小结：已知一圆，其切线与过圆心的直线相交组成的三角形，可求其三角函数值．BCP[课堂检测]如图，AB 是⊙O 的直径，延长AB 至P ，使得PB=OB ，BD ⊥弦BC ，垂足为B ，交PC 于点D ，设∠PCB=α，∠POC=β，则tan ∠α·tan 2β=______.A.12 B. 13C.2D.作业：1．如图，已知DP ⊥AP ，DC ⊥PC ，PC=PA ，若tan ∠D=43,求tan ∠B ．2．已知二次函数y=x 2-4x+3与x 轴和y 轴分别交于点B 和点C ，点D 在BC 上，点P 二次函数y=x 2-4x+3的图像上，且DP ⊥BC ，且DP=2CD ，点P 的坐标为 ；3． 如图，⊙O 中，∠DBC=60º，AB 为直径，CD 、AB 交于E 点，DE=2CE ，求cos ∠ABD.A4．如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB =90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连接CE ，求sin ∠ACE 的值.5．如图中，AB 是圆的直径，CD 是平行于AB 的弦，且AC 和BD 相交于E ，∠AED =α，△CDE和△ABE 的面积之比是（ ） A.cosα B.sinα C.cos²α D.sin²α E.1-sinα6．tan67°30'的值是（ ）A. 1B.21-D.127． 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sin A =513，tan B =2，AB =29cm ，则S △ABC = .8．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB =AC ，点P 是AB 的中点，连接P A 、PB 、PC . （1）如图①，若∠BPC =60°，求证：AC . （2）如图②，若24sin 25BPC ∠=，求tan PAB ∠的值.9．如图，P A 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E 交P A 、PB 于C 、D ，若⊙O 的半径为r ，△PCD 的周长等于3r ，则tan ∠APB 的值是（ ）A. B.125C.D.BE D C AP C BAO10．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（3，0），点B 为y 轴正半轴上一点，点C 是第一象限内一点，且2AC =，设tan ∠BOC =m ，则m 的取值范围是 .11．如图，已知E 是矩形ABCD 的AD 边上一点，点G 与点C 关于直线BE 对称，CG 与BE 交于点F ，DE =EF . （1）求证：BE =BC ； （2）若12AB AE =，求tan ∠G 的值.12．如图，P A 为⊙O 的切线，A 为切点.过A 作OP 的垂线AB ，垂足为点C ，交⊙O 于点B ，延长BO与⊙O交于点D ，与P A 的延长线交于点E . （1）求证：PB 为⊙O 的切线； （2）若tan ∠ABE =12，求sin E 的值.13．已知F 为⊙O 内接正方形ABCD 边BC 的中点，AF 交⊙O 于E ，则tan ∠EBC＝ ．FE G DC B AD ECAO BP14．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE=1，长为2的线段MN在AC上运动，当四边形BMNE的周长最小时，则tan∠MBC=_______.15．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC＝2．设tan∠BOC＝m，则m的取值范围是__________．16．如图，等边△ABC的边长为8，D、E两点分别从顶点B、C出发沿BC、CA以1个单位，2个单位的速度向C、A运动，DE的垂直平分线交BC于F点，某一时刻tan∠CDE=23,则此时线段AF的长度为______.17．如图，⊙O的半径为R，BP、BC为的两条弦，CE⊥BP于E．若BC＝R362，则tan∠P 的值为（）A．22B．22C．2D．2418．如图，CD为△ABC的中线，且CD⊥AC，O为BC边上一点，以O为圆心，OC长为半径作⊙O．若⊙O与AB恰好相切于点D，则tanB＝（）A．31B．42C．83D．21FEDBAABCDMN19．如图，AC 是⊙O 的直径，OE ⊥AC 交弦AB 于E ．若BC ＝4，S △AOE ＝5，则sin ∠BOE 的值为（ ）A ．53B ．54 C ．43 D ．21 20．如图，P A 、PB 与⊙O 相切于A 、B 两点，C 为优弧AB 上一点．若tan ∠ACB ＝2，则sin ∠APB 的值为（ ）A ．53B ．54C ．125D ．5521．如图，点D 为定线段AB 上一动点，以BD 为直径作半圆O ，过A 作半圆O 的切线，切点为C ，连CD ，当(AC －AD )取最大值时，tan ∠ACD ＝（ ）A ．31B ．21 C ．22 D ．3322.如图，在△ABC 中，AB=AC=10，点D 是边BC 上一动点（不与点B 、C 重合），∠ADE=∠B=α，DE 交AC 于E 点，且cos α=45，则线段CE 的最大值为_______.课后收获：人不光是靠他生来就拥有一切，而是靠他从学习中所得到的一切来造就自己．-----歌德ABCDE。

初等函数的图形幂函数的图形指数函数的图形各三角函数值在各象限的符号sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα三角函数的性质反三角函数的图形反三角函数的性质三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tanAtanB -1tanBtanA +tan(A-B) =tanAtanB 1tanBtanA +-cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B) =cotAcotB 1cotAcotB -+倍角公式tan2A =Atan 12tanA2- Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a)sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=AA cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=AA cos 1sin + 和差化积sina+sinb=2sin2b a +cos 2ba - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2ba -cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2ba -cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2ba -tana+tanb=ba b a cos cos )sin(+积化和差sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)]sin(-a) = -sina cos(-a) = cosasin(2π-a) = cosacos(2π-a) = sinasin(2π+a) = cosacos(2π+a) = -sinasin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosatgA=tanA =aacos sin万能公式sina=2)2(tan 12tan2aa + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1aa+- tana=2)2(tan 12tan2aa -a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=a b ] a•sin(a)-b•cos(a) =)b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2a )2其他非重点三角函数 csc(a) =asin 1 sec(a) =a cos 1 双曲函数 sinh(a)=2e -e -aa cosh(a)=2e e -aa + tg h(a)=)cosh()sinh(a a 公式一设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）= sinαcos （2kπ＋α）= cosαtan （2kπ＋α）= tanαcot （2kπ＋α）= cotα设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π+α）= cosα cos （2π+α）= -sinα tan （2π+α）= -cotα cot （2π+α）= -tanα sin （2π-α）= cosα cos （2π-α）= sinα tan （2π-α）= cotα cot （2π-α）= tanα sin （23π+α）= -cosα cos （23π+α）= sinα tan （23π+α）= -cotα cot （23π+α）= -tanα sin （23π-α）= -cosα cos （23π-α）= -sinα tan （23π-α）= cotα cot （23π-α）= tanα (以上k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin )cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A三角函数公式证明（全部）公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角正切定理[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r >0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h。

锐角三角函数中的构图模型学习目标：1.能运用锐角三角函数知识构建常见模型，解决有关实际问题。

2.进一步体会数形结合、转化、方程建模的数学思想。

考点精讲一、定义：如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，∠A为ΔABC中的一锐角，∠A的正弦：sinA=∠A的余弦：cosA=∠A的正切：tanA=二、特殊角的三角函数值三、锐角三角函数的实际应用1．仰角、俯角：如图②，图中仰角是俯角是2．坡度（坡比）、坡角：如图③，坡角为，坡度(坡比)i==3．方向角：如图④，A点位于0点的方向，B点位于O点的方向，C点位于0点的方向图②图③图④满分技法：在实际测量中，为了减少计算结果与实际结果之间的误差，有以下举措：①测量项目的数值应该是多次测量，取平均值；②使用高精确度的测量仪器；③测量前对仪器进行校正示意图α30o45o60o sinαcosαtanα例：某数学活动小组想测量教学楼右侧平台DF处的孔子雕像的高度（孔子雕像后面是池塘无法直接测量）他们把“测量孔子雕像的高度”作为一项课题活动，并制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.为了减小测量误差，小组在测量仰角以及两点间的距离时.都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表：请你帮助该兴趣小组根据上表中的测量数据，求孔子雕a B测量项目第一次α37.3°β59.5°一、模型分析若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键.等量关系：CD为公共边，AD+BD=AB例：如图，这是工人在施工时经常用的“人字梯”。

按规定，“人字梯”的上部夹角的安全范围是35o≤∠AOB≤45°，且铰链必须牢固，并应有可靠的拉撑措施在人字梯的A，B处和C，D处（AB//CD）各需系上一根高强度的软钢丝以确保用梯安全.现测得OA=OB=2米，在A，B，C，D处固定用去的钢丝忽略不计，则所需钢丝的长度a应该在范围。

常用三角函数图像大全三角函数是数学中常见的函数类型之一，包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。

它们在数学和物理等领域有着广泛的应用，其图像在坐标系中展现出独特的特征。

本文将对常用三角函数的图像进行详细的介绍和展示。

正弦函数（sin）正弦函数是最基本的三角函数之一，通常用sin来表示。

它的图像是一条周期为$2\\pi$的曲线，其周期性体现在坐标系中呈现出一种波浪状的形态。

正弦函数的最大值为1，最小值为-1，且在$x=k\\pi$处达到最值，其中k为整数。

正弦函数的图像示例如下：markdown math y = \sin(x) ```余弦函数（cos）余弦函数是与正弦函数密切相关的三角函数，通常用cos 来表示。

余弦函数的图像也是一条周期为$2\\pi$的曲线，但与正弦函数的图像相比，余弦函数的波峰与波谷的位置相反。

余弦函数的最大值为1，最小值为-1，且在$x=(2k+1)\\frac{\\pi}{2}$处达到最值，其中k为整数。

余弦函数的图像示例如下：markdown math y = \cos(x) ```正切函数（tan）正切函数是另一个常用的三角函数，通常用tan来表示。

正切函数的图像在$x=k\\pi$处有无穷大的间断点，同时在$x=(k+\\frac{1}{2})\\pi$处有间断的点。

正切函数的图像是一个周期为$\\pi$的振荡函数，其变化范围为整个实数轴。

正切函数的图像示例如下：markdown math y = \tan(x) ```总结通过以上介绍，我们对常用的三角函数的图像有了更清晰的认识。

正弦函数、余弦函数和正切函数在数学中的重要性不言而喻，它们的图像特征和性质对于理解和解决各种数学问题至关重要。

希望本文对读者有所启发，更深入地了解和应用三角函数相关知识。

三角函数公式及图像
三角函数，又称正弦函数，是一类重要的数学函数，主要用于描述角度之间的关系。

它的公式为：sin θ = y/rcos θ =
x/rtan θ = y/x其中，θ为任意角度，r为角θ的弧长，x和y分
别为角θ在极坐标系中的横坐标和纵坐标。

三角函数的图像是极坐标系中的曲线，如下图所示：图1 三角函数的图像三角函数的应用非常广泛，它可以用来描述各种物理运动的角度。

比如，在电子学中，三角函数可以用来描述电流和电压之间的关系；在机械学中，它可以用来描述物体的运动轨迹；在声学中，它可以用来描述声音的调制和调音，等等。

三角函数也可以用来解决复杂的数学问题，例如：求解多边形的面积、求解椭圆的长短轴、求解圆的面积等。

此外，三角函数还可以用来求解三角形的面积，只要知道三角形的三边长即可求出面积。

除此之外，三角函数还在计算机科学和信号处理等领域有着广泛的应用。

它可以用来描述数字信号的变化趋势，也可以用来做各类图形的绘制和变换，以及处理图像和声音等。

总之，三角函数是一类重要的数学函数，它在物理学、机械学、声学、计算机科学和信号处理等领域的应用都非常广泛，为我们解决复杂的科学问题提供了巨大的帮助。