最新北师大版2018-2019学年必修2高中数学《空间直角坐标系中点的坐标》同步练习-精编试题

3．1空间直角坐标系的建立3．2空间直角坐标系中点的坐标学习目标 1.了解空间直角坐标系的建系方式.2.掌握空间中任意一点的表示方法.3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标．知识点空间直角坐标系思考1在数轴上，一个实数就能确定一个点的位置．在平面直角坐标系中，需要一对有序实数才能确定一个点的位置．为了确定空间中任意一点的位置，需要几个实数？思考2空间直角坐标系需要几个坐标轴，它们之间什么关系？梳理(1)空间直角坐标系①建系方法：过空间任意一点O作三条两两互相______的轴、有________的长度单位．②建系原则：伸出右手，让四指与大拇指________，并使四指先指向________正方向，然后让四指沿握拳方向旋转________指向________正方向，此时大拇指的指向即为________正向．③构成要素：________叫作原点，________轴统称为坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为________平面、________平面和________平面．(2)空间直角坐标系中点的坐标在空间直角坐标系中，空间一点P的坐标可用三元有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组________叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作________，其中x叫作点P的________，y叫作点P的________，z叫作点P的________．特别提醒：(1)在空间直角坐标系中，空间任一点P与有序实数组(x，y，z)之间是一种一一对应关系．(2)对于空间点关于坐标轴和坐标平面对称的问题，要记住“关于谁对称谁不变”的原则．类型一确定空间中点的坐标例1已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为52，侧棱长为13，建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标．引申探究1．若本例中的正四棱锥建立如图所示的空间直角坐标系，试写出各顶点的坐标．1题图2题图2．若本例中的条件变为“正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10”，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．反思与感悟(1)建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上．②充分利用几何图形的对称性．(2)求某点M的坐标的方法作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点坐标(x，y，z)．(3)坐标平面上的点的坐标特征xOy平面上的点的竖坐标为0，即(x，y,0)．yOz平面上的点的横坐标为0，即(0，y，z)．xOz平面上的点的纵坐标为0，即(x,0，z)．(4)坐标轴上的点的坐标特征x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x,0,0)．y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y,0)．z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z)．跟踪训练1建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标．类型二已知点的坐标确定点的位置例2在空间直角坐标系中作出点P(5,4,6)．反思与感悟已知点P的坐标确定其位置的方法(1)利用平移点的方法，将原点按坐标轴方向三次平移得点P.(2)构造适合条件的长方体，通过和原点相对的顶点确定点P的位置．(3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点P.跟踪训练2点(2,0,3)在空间直角坐标系中的()A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．yOz平面上类型三空间中点的对称问题命题角度1关于点和线的对称问题例3(1)在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于点M(2，－1，－4)对称的点P3的坐标是()A．(0,0,0) B．(2，－1，－4)C．(6，－3，－12) D．(－2,3,12)(2)已知点A(－3,1，－4)，则点A关于x轴的对称点的坐标为()A．(－3，－1,4) B．(－3，－1，－4)C．(3,1,4) D．(3，－1，－4)反思与感悟(1)利用线段中点的坐标公式可解决关于点的对称问题．(2)解决关于线对称问题的关键是关于“谁”对称，“谁”不变，如本例(2)中点A关于x轴对称，则对称点的横坐标不变，纵、竖坐标都变为其相反数．跟踪训练3在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2,3，－4)两点的位置关于________对称．命题角度2关于平面对称例4在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是()A．(－1,3，－5) B．(1，－3,5)C．(1,3,5) D．(－1，－3,5)反思与感悟本题易错点是把关于平面对称与关于线对称搞混，破解此类题关键是关于“谁”对称，“谁”不变，如本题，点P关于平面xOy对称，则对称点的横、纵坐标不变，竖坐标变为其相反数．跟踪训练4点(1，a，b)关于平面xOy及x轴的对称点的坐标分别是(1,2，c)和(d，－2，－3)，则a，b，c，d的值分别是________．1．点Q(0,0,2 017)的位置是()A．在x轴上B．在y轴上C．在z轴上D．在平面xOy上2．点(2，－1,5)与点(2，－1，－5)()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于xOy平面对称D．关于z轴对称3．点A(－1，3，2)在xOz平面的投影点的坐标为()A．(－1，－3，2) B．(－1,0,2)C．(1，3，－2) D．(0，3，0)4．如图所示，点P′在x轴的正半轴上，且|OP′|＝2，点P在xOz平面内，且垂直于x轴，|PP′|＝1，则点P的坐标是________．5．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；(2)求点N的坐标．1．空间中确定点M的坐标的三种方法(1)过点M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的横坐标和纵坐标，再由射线M1M 的指向和线段MM1的长度确定竖坐标．(2)构造以OM 为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M 的位置，可以确定点M 的坐标．(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M 在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M 的坐标． 2．求空间对称点的规律方法(1)空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．答案精析问题导学 知识点 思考1 三个．思考2 空间直角坐标系需要三个坐标轴，它们之间两两相互垂直． 梳理 (1)①垂直 相同 ②垂直 x 轴 90° y 轴 z 轴 ③点O x ，y ，z xOyyOz xOz (2)(x ，y ，z ) P (x ，y ，z ) 横坐标 纵坐标 竖坐标 题型探究例1 解 因为|PO |＝|PB |2－|OB |2＝169－25＝12， 所以各顶点的坐标分别为P (0,0,12)， A ⎝⎛⎭⎫522，－522，0，B⎝⎛⎭⎫522，522，0，C ⎝⎛⎭⎫－522，522，0， D ⎝⎛⎭⎫－522，－522，0.引申探究1．解 各顶点的坐标分别为P (0,0,12)，A (5,0,0)，B (0,5,0)，C (－5,0,0)，D (0，－5,0)． 2．解 因为正四棱锥P －ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，所以正四棱锥的高为223，以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC ，AB 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A (2，－2,0)，B (2,2,0)，C (－2,2,0)，D (－2，－2,0)，P (0,0,223)．跟踪训练1解以BC的中点为原点，BC所在的直线为y轴，以射线OA所在的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，如图．由题意知，AO＝32×2＝3，从而可知各顶点的坐标分别为A(3，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(3，0,3)，B1(0,1,3)，C1(0，－1,3)．例2解方法一第一步：从原点出发沿x轴正方向移动5个单位．第二步：沿与y轴平行的方向向右移动4个单位．第三步：沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P.方法二以O为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴，y轴，z轴的正半轴上，且棱长分别为5,4,6，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P.跟踪训练2C[∵点(2,0,3)的纵坐标为0，∴此点是x O z平面上的点，故选C.]例3(1)C(2)A[(1)根据题意知，M为线段PP3的中点，设P3(x，y，z)，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，∴P3(6，－3，－12)．故选C.(2)∵在空间直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，又点A(－3,1，－4)，∴点A关于x轴对称的点的坐标是(－3，－1,4)．故选A.]跟踪训练3y轴例4C[∵两点关于平面xOy对称，则横坐标相同，纵坐标相同，竖坐标互为相反数，∴点P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是(1,3,5)．故选C.]跟踪训练42,3，－3,1当堂训练1．C 2.C 3.B 4．(2,0,1)5．解 (1)显然A (0,0,0)，由于点B 在x 轴的正半轴上且|AB |＝4， 所以B (4,0,0)．同理可得D (0,3,0)，A 1(0,0,5)．由于点C 在坐标平面xOy 内，BC ⊥AB ，CD ⊥AD ， 则点C (4,3,0)．同理可得B 1(4,0,5)，D 1(0,3,5)，与点C 的坐标相比， 点C 1的坐标中只有z 坐标与点C 不同， |CC 1|＝|AA 1|＝5，则点C 1(4,3,5)．(2)由(1)知C (4,3,0)，C 1(4,3,5)，则C 1C 的中点为(4＋42，3＋32，0＋52)，即N (4,3，52)．。

《空间直角坐标系中点的坐标》教学设计教材分析:本节内容在学习了空间直角坐标系的建立基础上，进一步研究空间直角坐标系中的中点问题，在研究空间直角坐标系时，类比平面直角坐标系学习研究.教学目标：【知识与能力目标】1.能在空间直角坐标系中求出点的坐标；2.进一步总结点关于特殊点、线、面对称的点特征.【过程与方法】1.结合具体问题引入，诱导学生自主探究；2.类比学习，循序渐进.【情感态度与价值观】1.通过实际问题的引入和解决，让学生体会数学的实践性和应用性，感受数学刻画生活的 作用，进而拓展自己的思维空间；2.通过用类比的数学思想方法探究新知识，使学生感受新旧知识的联系，并加深领会研究事物从低维到高维的方法与过程；3.通过对空间坐标系的接触学习，进一步培养学生的空间想象能力.【教学重点】空间直角坐标系相关概念的理解；空间中点的坐标表示.【教学难点】右手直角坐标系的理解，空间中点与坐标的一一对应.课前准备：课件、学案教学过程：一、课题引入：我们先来回忆一下，平面直角坐标系中的相关问题.问题1：在平面直角坐标系中，()11,A x y 、()22,B x y ,则AB 中点坐标？问题2：()11,A x y 关于x 、y 轴、原点的对称点分别是什么？二、新课探究：1.空间直角坐标系中点的坐标的求法空间中两点()111,,A x y z 、()222,,B x y z ，则AB 中点坐标为121212+,,222x x y y z z ++⎛⎫⎪⎝⎭. 2.空间直角坐标系中对称点的坐标特殊点的坐标：原点()0,0,0；,,x y z 轴上的点的坐标分别为()()(),0,0,0,,0,0,0,x y z ；坐标平面,,xOy yOz xOz 上的点的坐标分别为()()(),,0,0,,,,0,x y y z x z .在空间直角坐标系中，点(),,P x y z ，则有点P 关于原点的对称点是()1,,P x y z ---；点P 关于横轴(x 轴)的对称点是()2,,P x y z --；点P 关于纵轴(y 轴)的对称点是()3,,P x y z --；点P 关于竖轴(z 轴)的对称点是()4,,P x y z --；点P 关于坐标平面xOy 的对称点是()5,,P x y z -；点P 关于坐标平面yOz 的对称点是()6,,P x y z -；点P 关于坐标平面xOz 的对称点是()7,,P x y z -.三、知识应用： 题型一 空间直角坐标系中的中点坐标求法例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，棱长为1，建立空间直角坐标系，求点E 、F 的坐标解.解：法一：如图，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，点E 在xOy 面上的投影为B （1，0，0），∵点E 竖坐标为12，∴11,0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭. F 在xO y 面上的投影为BD 的中点G ，竖坐标为1，∴11,,122F⎛⎫ ⎪⎝⎭.法二：如解法一所建立空间直角坐标系，∵B1（1，0，1），D1（0，1，1），B（1，0，0）E为BB1的中点，F为B1D1的中点，∴E的坐标为1100101,,1,0,2222+++⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，F的坐标为10011111,,,,1 22222+++⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【设计意图】本题主要考查空间中点的坐标的确定，关键是建立坐标系找到各个坐标分量.由于正方体的棱AB，AD，AA1互相垂直，可以以它们所在直线为坐标轴建系.点的各个坐标分量就是这个点在各个坐标轴上的投影在相应坐标轴上的坐标.题型二对称问题例2.（1）在空间直角坐标系中，点P（－2，1，4）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（－2，1，－4）B．（－2，－1，－4）C．（2，－1，4）D．（2，1，－4）（2）在空间直角坐标系中，点P（－2，1，4）关于xOy平面对称的点的坐标是（）A．（－2，1，－4）B．（－2，－l，－4）C．（2，－1，4）D．（2，1，－4）【答案】（1）B（2）A教学反思：本节课充分发挥了学生的主观能动性，引导学生主动思考，亲自动手，激发了学生对新知的兴趣，培养了学生的问题解决能力与数学探究能力，类比平面直角坐标系的学习空间直角坐标系，推理相似的公式.。

北师大版高中数学必修二全册同步习题含解析目录第1章立体几何初步 1.1.1习题第1章立体几何初步 1.1.2习题第1章立体几何初步 1.2习题第1章立体几何初步 1.3.1习题第1章立体几何初步 1.3.2习题第1章立体几何初步 1.4.1习题第1章立体几何初步 1.4.2习题第1章立体几何初步 1.5.1.1习题第1章立体几何初步 1.5.1.2习题第1章立体几何初步 1.5.2习题第1章立体几何初步 1.6.1.1习题第1章立体几何初步 1.6.1.2习题第1章立体几何初步 1.6.2习题第1章立体几何初步 1.7.1习题第1章立体几何初步 1.7.2习题第1章立体几何初步 1.7.3习题第1章立体几何初步习题课习题第1章立体几何初步检测习题第2章解析几何初步 2.1.1习题第2章解析几何初步 2.1.2.1习题第2章解析几何初步 2.1.2.2习题第2章解析几何初步 2.1.3习题第2章解析几何初步 2.1.4习题第2章解析几何初步 2.1.5.1习题第2章解析几何初步 2.1.5.2习题第2章解析几何初步 2.2.1习题第2章解析几何初步 2.2.2习题第2章解析几何初步 2.2.3.1习题第2章解析几何初步 2.2.3.2习题第2章解析几何初步 2.3.1-2.3.2习题第2章解析几何初步 2.3.3习题第2章解析几何初步检测习题模块综合检测习题北师大版2018-2019学年高中数学必修2习题01第一章立体几何初步§1简单几何体1.1简单旋转体1.下列说法正确的是()A.圆锥的母线长等于底面圆直径B.圆柱的母线与轴垂直C.圆台的母线与轴平行D.球的直径必过球心答案:D2.下面左边的几何体是由选项中的哪个图形旋转得到的()解析:选项B中的图形旋转后为两个共底面的圆锥;选项C中的图形旋转后为一个圆柱与一个圆锥的组合体;选项D中的图形旋转后为两个圆锥与一个圆柱的组合体.答案:A3.用一个平面去截一个几何体,得到的截面一定是圆面,则这个几何体是()A.圆锥B.圆柱C.球D.圆台答案:C4.AB为圆柱下底面内任一不过圆心的弦,过AB和上底面圆心作圆柱的一截面,则这个截面是()A.三角形B.矩形C.梯形D.以上都不对解析:如图所示,由于圆柱的上下底面相互平行,故过AB和上底面圆心作圆柱的一截面与上底面的交线CD 必过上底面圆心,且CD∥AB,在圆柱的侧面上,连接A,C(或B,D)两点的线是曲线,不可能是直线.故这个截面是有两条边平行、另两边是曲线的曲边四边形.故选D.答案:D5.以钝角三角形的较短边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得的几何体是()A.两个圆锥拼接而成的组合体B.一个圆台C.一个圆锥D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥解析:如图所示.旋转一周后其他两边形成的几何体为在圆锥AO的底部挖去一个同底的圆锥BO.答案:D6.点O1为圆锥高上靠近顶点的一个三等分点,过O1与底面平行的截面面积是底面面积的()A.13B.23C.14D.19解析:如图所示,由题意知SO1∶SO=1∶3,∴O1B∶OA=1∶3,∴S☉O1∶S☉O=1∶9,故选D.答案:D7.下列说法中错误的是.①过圆锥顶点的截面是等腰三角形;②过圆台上底面中心的截面是等腰梯形;③圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个.答案:②8.若过轴的截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r,则其轴截面的面积为.解析:由圆锥的结构特征,可知若过轴的截面为直角三角形,则为等腰直角三角形,其斜边上的高为r,所以S=12×2r2=r2.答案:r29.已知圆锥的母线与旋转轴所成的角为30°,母线的长为2,则其底面面积为.解析:如图所示,过圆锥的旋转轴作截面ABC,设圆锥的底面半径为r,底面圆心为O.∵△ABC为等腰三角形,∴△ABO为直角三角形.又∠BAO=30°,∴BO=r=1AB=2.∴底面圆O的面积为S=πr2=π2.答案:π10.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面的半径比是1∶4,母线长是10 cm,求这个圆锥的母线长.分析:处理有关旋转体的问题时,一般要作出其过轴的截面,在这个截面图形中去寻找各元素之间的关系.解:设圆锥的母线长为y cm,圆台上、下底面的半径分别为x cm,4x cm.作圆锥过轴的截面如图所示.在Rt△SOA中,O'A'∥OA,则SA'SA =O'A'OA,即y-10y =x4x,解得y=403.故圆锥的母线长为40cm.11.圆锥的底面半径为r,母线长是底面半径的3倍,在底面圆周上有一点A,求一个动点P自点A出发在侧面上绕一周回到点A的最短路程.解:沿圆锥的母线SA将侧面展开,如图所示.则线段AA1就是所求的最短路程.∵弧A1A的长为2πr,SA=3r,设弧A1A所对的圆心角为α,∴απ·3r=2πr,∴α=120°.∴AA1=SA·cos30°×2=3r×3×2=33r,即所求最短路程是33r.1.2简单多面体1.关于棱柱,下列说法正确的是()A.只有两个面平行B.所有的棱都相等C.所有的面都是平行四边形D.两底面平行,侧棱也互相平行解析:正方体可以有六个面平行,故选项A错误;长方体并不是所有的棱都相等,故选项B错误;三棱柱的底面是三角形,故选项C错误;由棱柱的概念知,两底面平行,侧棱也互相平行,故选项D正确.答案:D2.一个正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是()A.正三棱锥B.正四棱锥C.正五棱锥D.正六棱锥解析:由于正六边形的中心到顶点的距离与边长都相等,故正六棱锥的侧棱长必大于底面边长.答案:D3.棱台不一定具有的性质是()A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点解析:由棱台的定义可知,棱台是用平行于棱锥底面的平面去截棱锥而得到的,所以A,B,D选项都成立,只有选项C不一定成立.答案:C4.下列图形中,不是三棱柱的展开图的是()解析:根据三棱柱的结构特征知,A,B,D中的展开图都可还原为三棱柱,但是C中展开图还原后的几何体没有下底面,故不是三棱柱的展开图.答案:C5.下列说法正确的个数为()①存在斜四棱柱,其底面为正方形;②存在棱锥,其所有面均为直角三角形;③任意的圆锥都存在两条母线互相垂直;④矩形绕任意一条直线旋转都可以形成圆柱.A.1B.2C.3D.4解析:①存在斜四棱柱,其底面为正方形,正确.②正确.如图所示.③不正确,圆锥轴截面的顶角小于90°时就不存在.④不正确,矩形绕其对角线所在直线旋转,不能围成圆柱.故答案为B.答案:B6.用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥,截得的棱台上、下底面的面积之比为1∶4,截去的棱锥的高是3 cm,则棱台的高是()A.12 cmB.9 cmC.6 cmD.3 cm解析:棱台的上、下底面的面积之比为1∶4,则截去的棱锥的高与原棱锥的高的比为1∶2,棱台的高是3cm.答案:D7.有下列四个结论:①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥;②底面是正多边形的棱锥是正棱锥;③三棱锥的所有面可能都是直角三角形;④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形.其中正确的有(填正确结论的序号).答案:③④8.如图所示,将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是.解析:如图所示,假设以AB边固定进行倾斜,则几何体BB2C2C-AA2D2D一定为棱柱.答案:棱柱9.在侧棱长为23的正三棱锥P−ABC中,∠APB=40°,E,F分别是PB,PC上的点,过点A,E,F作截面AEF,则△AEF周长的最小值是.解析:将正三棱锥的三个侧面展开,如图所示.则当E,F为AA1与PB,PC的交点时,△AEF的周长最小,最小值为2AP·cos30°=2×23×3=6.答案:610.把右图中的三棱台ABC-A1B1C1分成三个三棱锥.解:如图所示,分别连接A1B,A1C,BC1,则将三棱台分成了三个三棱锥,即三棱锥A-A1BC,B1-A1BC1,C-A1BC1.(本题答案不唯一)11.试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干,连接后构成以下空间几何体,并且用适当的符号表示出来.(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥.(2)四个面都是等边三角形的三棱锥.(3)三棱柱.解:(1)如图所示,三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一).(2)如图所示,三棱锥B1-ACD1(答案不唯一).(3)如图所示,三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一).★12.如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上的一点,且由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线的长为设这条最短路线与CC1的交点为N.求:(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长;(2)求PC和NC的长.解:(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,其对角线长为92+42=97.(2)如图所示,将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上,则点P旋转到点P1的位置,连接MP1交CC1于点N,则MP1的长等于由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线的长.设PC=x,则P1C=x.在Rt△MAP1中,由勾股定理,得(3+x)2+22=29,解得x=2,所以PC=P1C=2,又NCMA =P1CP1A=25,所以NC=45.§2直观图1.关于用斜二测画法所得的直观图,以下说法正确的是()A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形解析:根据斜二测画法的规则知,正方形的直观图为平行四边形.答案:B2.水平放置的△ABC,有一条边在水平线上,它的斜二测直观图是正三角形A'B'C',则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形解析:根据斜二测画法的规则,可知△ABC中有一个角是钝角,所以△ABC是钝角三角形.答案:C3.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是()答案:C4.对于一条边在x轴上的三角形,采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积是原三角形面积的()A.2倍B.2C.2D.1解析:由于平行于y轴的线段其平行性不变,长度变为原来的一半,又直观图中∠x'O'y'=45°,设原三角形的面积为S,其直观图的面积为S',则S'=1×2S=2S.答案:B5.一个水平放置的三角形的直观图是等腰直角三角形A'B'O',如图所示,若O'B'=1,那么原△ABO的面积是()A.12B.22C.2D.22解析:由斜二测画法,可知原三角形为直角三角形,且∠AOB=90°,OB=1,OA=2O'A'=22,∴S△AOB=12×1×22= 2.故选C.答案:C6.已知△A'B'C'为水平放置的△ABC的直观图,如图所示,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是()A.ABB.ADC.BCD.AC解析:由斜二测画法,可知原图形为直角三角形.AC为斜边,D为BC的中点,故AC>AD,故最长线段为AC.答案:D7.一个平面图形的斜二测直观图是腰长为2的等腰直角三角形,如图,则其平面图形的面积为.答案:48.已知正三角形ABC的边长为a,则水平放置的△ABC的直观图△A'B'C'的面积为.解析:图①、图②分别为实际图形和直观图.由图可知A'B'=AB=a,O'C'=1OC=3a,在图②中作C'D'⊥A'B'于点D',则C'D'=2O′C′=6a.所以S△A'B'C'=12A′B′·C'D'=12×a×68a=616a2.答案:616a29.在等腰梯形ABCD中,上底边CD=1,AD=CB=2,下底边AB=3,按平行于上、下底边取x轴,则直观图A′B′C′D′的面积为.解析:等腰梯形ABCD的高为1,且直观图A'B'C'D'仍为梯形,其高为1sin45°=2,故面积为1×(1+3)×2= 2.答案:2210.画出如图所示放置的直角三角形的直观图.解:画法:(1)画x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°(如图②所示);(2)在原图中作BD⊥x轴,垂足为D(如图①所示);(3)在x'轴上截取O'A'=OA,O'D'=OD,在y'轴上截取O'C'=12OC,过D'作B'D'∥y'轴,使D'B'=1BD;(4)连线成图(擦去辅助线)(如图③所示).11.用斜二测画法得到一水平放置的Rt△ABC,AC=1,∠ABC=30°,如图所示,试求原三角形的面积.解:如图所示,作AD⊥BC于点D,令x'轴与y'轴的交点为E,则DE=AD,在Rt△ABC中,由∠ABC=30°,AC=1,可知BC=2,AB= 3.由AD⊥BC,AD=DE,可知AD=32,AE=62,由斜二测画法可知,原三角形A'B'C'中,B'C'=BC=2,A'E'=2AE=6,且A'E'⊥B'C',所以S△A'B'C'=1B′C′·A'E'=1×2×6= 6.★12.画水平放置的圆锥的直观图.分析用斜二测画法画水平放置的圆锥的直观图,由于圆锥底面可以看作是水平放置的,因此,只需先画轴,再画底面和高即可.解:(1)画轴,如图所示,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°;(2)画圆锥的底面,画出底面圆的直观图,与x轴交于A,B两点;(3)画圆锥的顶点,在Oz上截取点P,使得PO等于圆锥的高;(4)连线成图,连接P A,PB,并加以整理(擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),得圆锥的直观图.§3三视图3.1简单组合体的三视图1.用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图所示的几何体,则它的俯视图是()解析:截去的平面在俯视图中看不到,故用虚线,因此选B.答案:B2.下列各几何体的三视图中,有且仅有两个视图相同的是()A.①②B.①③C.①④D.②④解析:①中正方体的三视图均相同;②中圆锥的主视图和左视图相同;③中三棱台的三视图各不相同;④中正四棱锥的主视图和左视图相同.答案:D3.某几何体的主视图和左视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是()解析:D选项的主视图为,故不可能是D选项.答案:D4.如图所示,若△A'B'C'为正三角形,与底面不平行,且CC'>BB'>AA',则多面体的主视图为()解析:因为△A'B'C'为正三角形,面A'B'BA向前,所以主视图不可能是A,B,C三个选项,只能是D.答案:D5.“牟台方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图所示,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其主视图和左视图完全相同时,它的俯视图可能是()答案:B6.如图所示,画出四面体AB1CD1三视图中的主视图,若以面AA1D1D为投影面,则得到的主视图为()解析:显然AB1,AC,B1D1,CD1分别投影得到主视图的外轮廓,B1C为可见实线,AD1为不可见虚线.故A正确.答案:A★7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,若用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为()设过点A,E,C1的截面与棱DD1相交于点F,且F是棱DD1的中点,该正方体截去上半部分后,剩余几何体如图所示,则它的左视图应选C.答案:C8.如图所示,图①②③是图④表示的几何体的三视图,其中图①是,图②是,图③是(填写视图名称).解析:由三视图可知,①为主视图,②为左视图,③为俯视图.答案:主视图左视图俯视图9.如图(a)所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为正方体的中心,则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是图(b)中的(把可能的序号都填上).图(a)图(b)解析:要考虑△P AC在该正方体各个面上的射影,在上、下两个面上的射影是①,在前后左右四个面上的射影是④.答案:①④10.(1)画出如图①所示组合体的三视图;(2)图②所示的是一个零件的直观图,试画出这个几何体的三视图.图①图②解(1)该组合体是由一个四棱柱和一个圆锥拼接而成,其三视图如图所示.(2)作出三视图如图所示.★11.如图是根据某一种型号的滚筒洗衣机抽象出来的几何体,数据如图所示(单位:cm).试画出它的三视图.解这个几何体是由一个长方体挖去一个圆柱体构成的,三视图如图所示.3.2由三视图还原成实物图1.若一个几何体的主视图和左视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆,则这个几何体可能是()A.圆柱B.圆台C.圆锥D.棱台答案:B2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体是()A.棱台B.棱柱C.棱锥D.以上均不对解析:由相似比,可知几何体的侧棱相交于一点.答案:A3.如图所示是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图,则该四棱锥的直观图是下列各图中的()解析:由俯视图排除B,C选项;由主视图、左视图可排除A选项,故选D.答案:D4.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体是()A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台解析:因为主视图和左视图为三角形,可知几何体为锥体.又俯视图为四边形,所以该几何体为四棱锥,故选B.答案:B5.如图所示,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱解析:由题知,该几何体的三视图为一个三角形,两个四边形,经分析可知该几何体为三棱柱,故选B.答案:B6.一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于()A.1B.2C.3D.4解析:由三视图画出直观图如图所示,判断这个几何体是底面边长为6,8,10的直角三角形,高为12的躺下的直=2,这就是做成的最大球的半径.三棱柱,直角三角形的内切圆的半径为r=6+8-102答案:B7.把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起,连接AC,得到三棱锥C-ABD,其主视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示),其左视图的面积为.解析:如图所示,根据两个视图可以推知折起后∠CEA=90°,其侧视图是一个两直角边长为1的等腰直角三.角形,所以左视图的面积为12答案:18.用n个体积为1的正方体搭成一个几何体,其主视图、左视图都是如图所示的图形,则n的最大值与最小值之差是.解析:由主视图、左视图可知,正方体个数最少时,底层有3个小正方体,上面有2个,共5个;个数最多时,底层有9个小正方体,上面有2个,共11个.故n的最大值与最小值之差是6.答案:69.下图是一个几何体的三视图,想象该几何体的几何结构特征,画出该几何体的形状.解由于俯视图中有一个圆和一个四边形,则该几何体是由旋转体和多面体构成的组合体,结合左视图和主视图,可知该几何体是由上面一个圆柱、下面一个四棱柱拼接成的组合体.该几何体的形状如图所示.★10.已知几何体的三视图如图所示,用斜二测画法画出它的直观图.解由三视图可知其几何体是底面边长为2,高为3的正六棱锥,其直观图如图所示.§4空间图形的基本关系与公理第1课时平面性质1.两个平面重合的条件是()A.有四个公共点B.有无数个公共点C.有一条公共直线D.有两条相交公共直线解析:由两条相交直线确定一个平面知D选项正确.答案:D2.与“直线l上两点A,B在平面α内”含义不同的是()A.l⫋αB.直线l在平面α内C.直线l上只有这两个点在平面α内D.直线l上所有的点都在平面α内答案:C3.有下列说法:①梯形的四个顶点在同一平面内;②三条平行直线必共面;③有三个公共点的两个平面必重合.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:梯形是一个平面图形,所以其四个顶点在同一个平面内,故①正确;两条平行直线确定1个平面,三条平行直线确定1个或3个平面,故②错误;三个公共点可以同在两个相交平面的交线上,故③错误.答案:B4.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是()①P∈a,P∈α⇒a⫋α;②a∩b=P,b⫋β⇒a⫋β;③a∥b,a⫋α,P∈b,P∈α⇒b⫋α;④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.A.①②B.②③C.①④D.③④答案:D5.三棱台ABC-A'B'C'的一条侧棱AA'所在直线与平面BCC'B'之间的关系是()A.相交B.平行C.直线在平面内D.平行或直线在平面内解析:棱台就是棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥得到的,所以延长棱台各侧棱可以恢复成棱锥的形状,由此可知三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.答案:A6.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,且C∉l,则平面ABC与平面β的交线是()A.直线ACB.直线BCC.直线ABD.直线CD解析:由题意知,平面ABC与平面β有公共点C,根据公理3,这两平面必定相交,有且只有一条经过C的交线,由于两点确定一条直线,所以只要再找到两平面的另一个公共点即可.显然点D在直线AB上,从而它在平面ABC内,而点D又在直线l上,所以它又在平面β内,所以点D也是平面ABC与平面β的公共点.因此平面ABC 与平面β的交线是直线CD.答案:D7.已知点P在平面α外,点A,B,C在平面α内且不共线,A',B',C'分别在P A,PB,PC上,若A'B',B'C',A'C'与平面α分别交于D,E,F三点,则D,E,F三点()A.成钝角三角形B.成锐角三角形C.成直角三角形D.在一条直线上解析:本题考查三点关系,根据两平面公共点在其交线上,知D,E,F三点共线,故选D.答案:D8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么,正方体的过P,Q,R的截面图形是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形解析:如图所示,作GR∥PQ交C1D1于G,延长QP与CB延长线交于M,连接MR交BB1于E,连接PE.同理延长PQ交CD延长线于点N,连接NG交DD1于F,连接QF.所以截面PQFGRE为六边形.故选D.答案:D9.四条线段首尾相接得到一个四边形,当且仅当它的两条对角线时,能得到一个平面图形.解析:由公理1,2知当两条对角线相交时为平面图形,当两条对角线不共面时为空间四边形.答案:相交10.一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面的位置关系是.解析:当三点在另一个平面同侧时,这两个平面平行,当三点不在另一个平面同侧时,这两个平面相交.答案:平行或相交11.过已知直线a外的一点P,与直线a上的四个点A,B,C,D分别画四条直线,求证:这四条直线在同一平面内.证明:如图所示,因为点P在直线a外,所以过直线a及点P可作一平面α,因为A,B,C,D均在a上,所以A,B,C,D均在α内,所以直线P A,PB,PC,PD上各有两个点在α内,由公理2可知,直线P A,PB,PC,PD均在平面α内,故这四条直线在同一平面内.12.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体下底面相交于直线l.试画出直线l的位置,并说明理由.解:如图所示,连接DM并延长,交D1A1的延长线于点P',连接NP',则直线NP'即为所求直线l.理由如下: 如图所示,连接DN,∵P'=DM∩D1A1,且DM⫋平面DMN,D1A1⫋平面A1B1C1D1,∴P'∈平面DMN∩平面A1B1C1D1.又N∈平面DMN∩平面A1B1C1D1,∴由公理3知,直线NP'为平面DMN与平面A1B1C1D1的交线.第2课时 异面直线所成的角1.若直线a ∥b ,b ∩c=A ,则直线a 与c 的位置关系是( ) A.异面 B.相交 C.平行 D.异面或相交答案:D2.在三棱锥A-BCD 中,E ,F ,G 分别是AB ,AC ,BD 的中点,如果AD 与BC 所成的角是60°,那么∠FEG 为( ) A .60° B .30°C .120°D .60°或120° 解析:异面直线AD 与BC 所成的角可能等于∠FEG ,也可能等于∠FEG 的补角.答案:D3.若空间中四条两两不同的直线l 1,l 2,l 3,l 4满足l 1⊥l 2,l 2∥l 3,l 3⊥l 4,则下列结论一定正确的是( ) A .l 1⊥l 4 B .l 1∥l 4C .l 1与l 4既不垂直也不平行D .l 1与l 4的位置关系不确定解析:因为l 2∥l 3,所以l 1⊥l 3,l 3⊥l 4.实质上就是l 1与l 4同垂直于一条直线,所以l 1⊥l 4,l 1∥l 4,l 1与l 4既不垂直也不平行都有可能成立,故l 1与l 4的位置关系不确定. 答案:D4.如图,在某个正方体的表面展开图中,l 1,l 2是两条面对角线,则在正方体中,l 1与l 2( ) A.互相平行 B.异面且互相垂直 C.异面且夹角为60° D.相交且夹角为60°解析:将表面展开图还原成正方体如图所示,则B ,C 两点重合.故l 1与l 2相交,连接AD ,△ABD 为正三角形,所以l 1与l 2的夹角为60°. 答案:D5.在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,若点E ,F 分别在AB ,AC 上,且AE=13AB ,AF=13AC ,则下列说法正确的是( ) A.EF ⊥BB 1 B.EF ∥A 1B 1 C.EF ∥B 1C 1D.EF ∥AA 1解析:∵AE=1AB ,AF=1AC ,∴EF ∥BC.又ABC-A1B1C1为棱柱,∴BC∥B1C1.∴EF∥B1C1.答案:C6.下列说法正确的是()A.空间中没有交点的两条直线是平行直线B.一条直线和两条平行直线中的一条相交,则它和另一条也相交C.空间四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥cD.分别在两个平面内的直线是平行直线解析:A,B选项中,两直线可能异面,D选项中两直线可能相交,也可能异面.答案:C7.如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有对.解析:将图形还原成正方体,观察有AB与CD,AB与GH,EF与GH共3对异面直线.答案:38.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD中点,则异面直线CD1,EF所成的角的大小为.答案:90°9.如图所示,在四棱锥C-ABED中,底面ABED是梯形.若AB∥DE,DE=2AB,且F是CD的中点,P是CE的中点,则AF与BP的位置关系是.解析:连接PF,∵P,F分别是CE,CD的中点,∴PF∥ED,且PF=1ED.2又AB∥ED,且DE=2AB,∴AB∥PF,且AB=PF,即四边形ABPF是平行四边形,∴BP∥AF.答案:平行10.如图所示,在三棱锥P-ABC中,D,E是PC上不重合的两点,F,H分别是P A,PB上的点,且与点P不重合.求证:EF和DH是异面直线.证明∵P A∩PC=P,∴P A,PC确定一个平面α.∵E∈PC,F∈P A,∴E∈α,F∈α,∴EF⫋α.∵D∈PC,∴D∈α,且D∉EF.又PB∩α=P,H∈PB,且点H与点P不重合,∴H∉α,DH∩α=D,且DH与EF不相交,于是直线EF和DH是异面直线.★11.如图所示,在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分别是另外两条对边AD,BC上的点,且AE=BF=1,EF=5,求AB和CD所成的角的大小.解如图所示,过点E作EO∥AB,交BD于点O,连接OF,所以AEED =BOOD,所以BOOD=BFFC,所以OF∥CD.所以∠EOF或其补角是AB和CD所成的角.在△EOF中,OE=2AB=2,OF=1CD=1,又EF=5,所以EF2=OE2+OF2,所以∠EOF=90°.即异面直线AB和CD所成的角为90°.★12.在梯形ABCD中(如图①所示),AB∥CD,E,F分别为BC和AD的中点,将平面CDFE沿EF翻折起来,使CD到C'D'的位置,G,H分别为AD'和BC'的中点,得到如图②所示的立体图形.求证:四边形EFGH为平行四边形.。

§3空间直角坐标系3.2 空间直角坐标系中点的坐标问题导学1．确定空间中任一点的坐标活动与探究1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为4，E是A1C1的中点，且|BF|＝3|FB1|.建立空间直角坐标系并求E，F的坐标．迁移与应用1．在空间直角坐标系中，过点P(2,3,7)且与y轴垂直的平面与y轴的交点坐标为______，点P在xOy平面上的投影坐标为______，在yOz平面上的投影坐标是______．2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AD|＝3，|AB|＝4，|AA1|＝2，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出D1，C，A1，B1四点的坐标．1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；(2)充分利用几何图形的对称性．2．对于正方体或长方体，一般取相邻的三条棱为x，y，z轴建立空间直角坐标系．确定某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面的投影点，确定其两个坐标，再确定第三个坐标．2．求空间对称点的坐标活动与探究2在空间直角坐标系中，有点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P 关于xOy 平面的对称点的坐标；(3)求点P 关于点M (2，－1，－4)的对称点的坐标．活动与探究3已知点A (－4,2,3)关于坐标原点的对称点为A 1，A 1关于xOz 平面的对称点为A 2，A 2关于z 轴的对称点为A 3，求线段AA 3的中点M 的坐标．迁移与应用1．点(3，－2,1)关于yOz 平面的对称点是________，关于x 轴的对称点是________，关于z 轴的对称点是________．2．已知A (－1,2,7)，B (－3，－10，－9)，则线段AB 的中点M 关于原点对称的点的坐标是________．关于坐标平面、坐标轴及原点对称的点有以下特点：(1)P (x ，y ，z )――----------→关于xOy 平面对称P 1(x ，y ，－z )，P (x ，y ，z )――----------→关于yOz 平面对称P 2(－x ，y ，z )，P (x ，y ，z )――----------→关于xOz 平面对称P 3(x ，－y ，z )；(2)P (x ，y ，z )――----------→关于x 轴对称P 4(x ，－y ，－z )，P (x ，y ， z )―------―→关于y 轴对称P 5(－x ，y ，－z )，P (x ，y ，z )―--------―→关于z 轴对称P 6(－x ，－y ，z )；(3)P (x ，y ，z )――--------→关于原点对称P 7(－x ，－y ，－z )．求对称点问题可以用“关于谁对称谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆．当堂检测1．点P (3,0，－1)在空间直角坐标系中的位置是在( )．A ．y 轴上B ．xOy 平面上C ．xOz 平面上D ．yOz 平面上2．空间直角坐标系中，下列各点中位于yOz 平面上的是( )．A ．(3,2,1)B ．(2,0,0)C ．(5,0,2)D ．(0，－1，－3)3．在空间直角坐标系中，P (2,3,4)，Q (－2，－3，－4)两点的位置关系是( )．A ．关于x 轴对称B ．关于yOz 平面对称C ．关于原点对称D ．以上都不对4．点A 在y 轴的正半轴上，且|OA |＝2，则点A 的坐标为__________；若AA ′⊥y 轴，且在yOz 平面上，|AA ′|＝2，则A ′点的坐标为__________．5．已知棱长为1的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，建立如图所示的不同空间直角坐标系．试分别写出正方体各顶点的坐标．答案：课前预习导学预习导引1．(1)右手螺旋法则①右大拇指②x轴握拳90°③大拇指(2)原点坐标轴坐标轴xOy yOz xOz预习交流1提示：(1)空间直角坐标系建立的流程图平面直角坐标系↓通过原点O，再增加一条与xOy平面垂直的z轴↓空间直角坐标系(2)将空间直角坐标系画在纸上时，①x轴与y轴成135°(或45°)，x轴与z轴成135°(或45°)．②y轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长度相等，x轴上的单位长度则等于y轴单位长度的12.2．三(x，y，z)x y z一一对应预习交流2提示：已知点P(x，y，z)，可以先确定点P′(x，y,0)在xOy平面上的位置．|P′P|＝|z|，如果z＝0，则点P即点P′；如果z＞0，则点P与z轴的正半轴在xOy平面的同侧；如果z＜0，则点P与z轴的负半轴在xOy平面的同侧．预习交流3提示：在空间直角坐标系中，x，y，z轴上的点的坐标分别是(x,0,0)，(0，y,0)，(0,0，z)；xOy平面，yOz平面，xOz平面上的点的坐标分别是(x，y,0)，(0，y，z)，(x,0，z)．课堂合作探究问题导学活动与探究1思路分析：根据正方体的特点，建立适当的空间直角坐标系，然后对特殊点，可直接写出坐标；对于非特殊点，首先找出所求点在xOy平面上的投影点，然后再确定该点的z坐标，从而确定该点的坐标．解：如图所示，以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系．E点在xOy平面上的投影为AC的中点H(2,2,0)，又|EH|＝4，∴E点的z坐标为4.因此E点的坐标为(2,2,4)．F点在平面xOy上的投影为B(4,4,0)，∵|BB1|＝4，|BF|＝3|FB1|，∴|BF|＝3，即点F的z 坐标为3.∴点F的坐标为(4,4,3)．迁移与应用1．(0,3,0)(2,3,0)(0,3,7)2．解：D1(0,0,2)，C(0,4,0)，A1(3,0,2)，B1(3,4,2)．活动与探究2 思路分析：类比平面直角坐标系中点的对称问题，根据对称点的变化规律即可求解．解：(1)由于点P 关于x 轴对称后，它的x 坐标不变，y 坐标，z 坐标变为原来的相反数，所以对称点为P 1(－2，－1，－4)．(2)由于点P 关于xOy 平面对称后，它的x 坐标，y 坐标不变，z 坐标变为原来的相反数，所以对称点为P 2(－2，1，－4)．(3)设对称点为P 3(x ，y ，z )，则点M 为线段PP 3的中点，由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6，y ＝2×(－1)－1＝－3，z ＝2×(－4)－4＝－12，所以P 3(6，－3，－12)．活动与探究3 解：∵点A (－4,2,3)关于坐标原点的对称点A 1的坐标为(4，－2，－3)，点A 1(4，－2，－3)关于xOz 平面的对称点A 2的坐标为(4,2，－3)，点A 2(4,2，－3)关于z 轴的对称点A 3的坐标为(－4，－2，－3)，∴AA 3中点M 的坐标为(－4,0,0)．迁移与应用 1．(－3，－2,1) (3,2，－1) (－3,2,1)2．(2,4,1) 解析：线段AB 的中点M 的坐标是(－2，－4，－1)，∴M 关于原点对称的点的坐标为(2,4,1)．当堂检测1．C 2．D 3．C4．(0,2,0) (0,2,2)或(0,2，－2)5．解：(1)因为D ′是原点，A ′，C ′分别在x 轴，y 轴的正半轴上，D 在z 轴的负半轴上，且正方体的棱长为1，所以A ′(1,0,0)，C ′(0,1,0)，D (0,0，－1)，D ′(0,0,0)，B ′(1,1,0)，A (1,0，－1)，C (0,1，－1)，B (1,1，－1)．(2)因为正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为1，从而|OA |＝|OB |＝|OC |＝|OD |＝22.又A ，B ，C ，D 都在坐标轴上，所以点A ⎝⎛⎭⎫22，0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，22，0，C ⎝⎛⎭⎫－22，0，0，D ⎝⎛⎭⎫0，－22，0.又点A ′，B ′，C ′，D ′的z 坐标都为1，从而A ′⎝⎛⎭⎫22，0，1，B ′⎝⎛⎭⎫0，22，1，C ′⎝⎛⎭⎫－22，0，1，D ′⎝⎛⎭⎫0，－22，1.。

§3空间直角坐标系3．1空间直角坐标系的建立3．2空间直角坐标系中点的坐标学习目标核心素养1.了解空间直角坐标系的建立方法及有关概念.2.会在空间直角坐标系中用三元有序数组刻画点的位置．(重点、难点)1.通过空间直角坐标系的建立方法及有关概念培养数学抽象素养.2.通过在空间直角坐标系中用三元有序数组，刻画点的位置提升直观想象素养.1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系建立的流程图：平面直角坐标系↓通过原点O，再增加一条与xOy平面垂直的z轴↓空间直角坐标系(2)空间直角坐标系的建系原则——右手螺旋法则：①伸出右手，让四指与大拇指垂直；②四指先指向x轴正方向；③让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向；④大拇指的指向即为z轴正方向．(3)有关名称：如图所示，①O叫作原点；②x，y，z轴统称为坐标轴；③由坐标轴确定的平面叫作坐标平面，由x，y轴确定的平面记作xOy平面，由y，z轴确定的平面记作yOz平面，由x，z轴确定的平面记作xOz平面．2．空间直角坐标系中点的坐标(1)空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用一个三元有序数组来刻画．(2)空间任意一点P的坐标记为(x，y，z)，第一个是x轴坐标，第二个是y轴坐标，第三个是z轴坐标．(3)空间直角坐标系中，点一一对应三元有序数组．(4)对于空间中点P坐标的确定方法是：过点P分别向坐标轴作垂面，构造一个以O，P为顶点的长方体，如果长方体在三条坐标轴上的顶点P1，P2，P3的坐标分别为(x,0,0)，(0，y,0)，(0,0，z)，则点P的坐标为(x，y，z)．思考：画空间直角坐标系时，任意两坐标轴的夹角是否都画成90°呢？提示：不是，空间直角坐标系中，任意两坐标轴的夹角都是90°，但在画直观图时通常画为∠xOy＝135°，∠xOz＝135°.1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的()A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．第一象限内C[点(2,0,3)的y轴坐标为0，所以该点在xOz平面上．]2．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是()A.a2＋b2B．|a|C．|b| D．|c|D[点P(a，b，c)到坐标平面的距离应为|c|.]3．在空间直角坐标系中，自点P(－4，－2,3)引x轴的垂线，则垂足的坐标为________．(－4,0,0)[∵点P(－4，－2,3)，∴自点P引x轴的垂线，垂足坐标为(－4,0,0)．]求空间点的坐标【例1】 如图，棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 的中点，F 是BB 1的中点，G 是AB 1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E ，F ，G 三点的坐标．[思路探究] 取D 为空间坐标系的原点，过D 点的三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，按定义确定E ，F ，G 坐标．[解] 如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，E 点在平面xDy 中，且|EA |＝12.∴E 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0. ∵B 点和B 1点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)，故F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12. 同理可得G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，12.1．空间中点的位置和点的坐标是相对的，建立空间直角坐标系，要力争尽可能简捷地将点的坐标表示出来．因此，要确定各点到xDy 面、yDz 面、xDz 面的距离，同时中点坐标公式在空间直角坐标系中仍然适用．2．设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则P 1P 2中点P (x ，y ，z )坐标满足x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，z ＝z 1＋z 22.[跟进训练]1．(1)点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，26，－13所在的位置是( ) A ．x 轴上B ．xOz 平面上C ．xOy 平面内D ．yOz 平面内(2)正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为1，且|BP |＝13|BD ′|，建立如图所示的空间直角坐标系，则P 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13 (1)D (2)D [(1)∵M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，26，－13，x ＝0， ∴点M 在平面yOz 内．(2)如图所示，过P 分别作平面xOy 和z 轴的垂线，垂足分别为E ，H ，过E 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为F ，G ，由于|BP |＝13|BD ′|，所以|DH |＝13|DD ′|＝13，|DF |＝23|DA |＝23，|DG |＝23|DG |＝23，所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13，故选D.] 已知点的坐标确定点的位置[解] 法一：先确定点M ′(2，－6,0)在xOy 平面上的位置，因为点M 的竖坐标为4，则|MM ′|＝4，且点M 和z 轴的正半轴在xOy 平面的同侧，这样就可确定点M 的位置了(如图所示)．法二：以O 为一个顶点，构造三条棱长分别为2,6,4的长方体，使此长方体在点O 处的三条棱分别在x 轴正半轴、y 轴负半轴、z 轴正半轴上，则长方体中与顶点O 相对的顶点即为所求的点(图略)．由点的坐标确定点位置的方法(1)先确定点(x 0，y 0,0)在xOy 平面上的位置，再由竖坐标确定点(x 0，y 0，z 0)在空间直角坐标系中的位置；(2)以原点O 为一个顶点，构造棱长分别为|x 0|，|y 0|，|z 0|的长方体(三条棱的位置要与x 0，y 0，z 0的符号一致)，则长方体中与O 相对的顶点即为所求的点．[跟进训练]2．在空间直角坐标系中，作出点P (5,4,6)．[解] 第一步从原点出发沿x 轴正方向移动5个单位，第二步沿与y 轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z 轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P .求空间某对称点的坐标1．平面中，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的中点坐标是什么？类比平面中两点的中点坐标，空间中两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)的中点坐标是什么？提示：平面上两点P 1，P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22；空间中两点P 1，P 2中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22. 2．在空间直角坐标系中，关于一个平面对称的点有什么特点？关于一条坐标轴对称的点有什么特点？提示：关于哪个平面的对称点在这个平面上的坐标不变，另外的坐标变成原来的相反数．关于一条坐标轴的对称点这个坐标不变，另两个坐标变为原来的相反数．3．在空间直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标有什么特点？提示：三个坐标分别互为相反数．【例3】求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标．[思路探究]解答本题可先作出点A的坐标，然后借助于图形，分析其对称点的情况．[解]如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使|AM|＝|CM|，则A与C关于坐标平面xOy对称点C(1,2,1)．过A作AN⊥x轴于N，并延长到点B，使|AN|＝|NB|，则A与B关于x轴对称且B(1，－2,1)，∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy 对称的点的坐标为(1,2,1)；A(1,2，－1)关于x轴对称的点的坐标为(1，－2,1).[跟进训练]3．写出点P(－2,1,4)关于y轴，z轴，yOz面，xOz面的对称点的坐标．[解](1)点P关于y轴的对称点坐标为P1(2,1，－4)，(2)点P关于z轴的对称点坐标为P2(2，－1,4)，(3)点P关于面yOz的对称点为P3(2,1,4)，(4)点P关于面xOz对称的点为P4(－2，－1,4)．1．空间直角坐标系的作图要求(1)将空间直角坐标系Oxyz画在纸上时，x轴与y轴，x轴与z轴均画成135°，而z轴垂直于y轴．(2)y轴和z轴的单位长度相同，x轴的单位长度为y轴(或z轴)单位长度的一半．(3)每两条坐标轴确定的平面两两垂直．2．空间直角坐标系中点与有序实数组(x，y，z)的关系在空间直角坐标系中，空间任意一点A与有序实数组(x，y，z)之间是一种一一对应关系．(1)过点A作三个平面分别垂直于x轴，y轴，z轴，它们与x轴，y轴，z轴分别交于P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次是x，y，z，这样对于空间任意一点A，就定义了一个有序数组(x，y，z)．(2)反之，对任意一个有序数组(x，y，z)，按照上述作图的相反顺序，在坐标轴上分别作出点P，Q，R，使它们在x轴，y轴，z轴上的坐标分别是x，y，z，再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面，这三个平面的交点即为所求的点A.1．思考辨析(1)给定空间直角坐标系，空间任意一点与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系．()(2)点P(1,0,2)在空间直角坐标系中的xOy坐标平面上．()(3)空间直角坐标系中，y轴上的点的坐标为(0，y,0)．()(4)在不同的空间直角坐标系中，同一点的坐标可能不同．()[解析](2)×，∵点P(1,0,2)的纵坐标为0，∴点P(1,0,2)应在坐标平面xOz上．[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．在空间直角坐标系中，点M(－2,1,0)关于原点的对称点M′的坐标是() A．(2，－1,0)B．(－2，－1,0)C．(2,1,0) D．(0，－2,1)A[很明显点M和M′的中点是原点，所以点M′的坐标是(2，－1,0)．] 3．在空间直角坐标系中，已知点A(－1,2，－3)，则点A在yOz平面内射影的点的坐标是________．(0,2，－3)[由空间直角坐标系中点的坐标的确定可知，点A在yOz平面内的射影的点的坐标是(0,2，－3)．]4．如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1上且C1E＝3EC.试建立适当的坐标系，写出点B，C，E，A1的坐标．[解]以点D为坐标原点，射线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．依题意知，B(2，2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)．。

§3 空间直角坐标系3．1 空间直角坐标系的建立3．2 空间直角坐标系中点的坐标【课时目标】1．了解空间直角坐标系的建系方式．2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标．1．如图所示，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以单位正方体为载体，以O为原点，分别以射线OA、OC、OD′的方向为正方向，以线段OA、OC、OD′的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这时我们说建立了一个______________________，其中点O叫作______________，x轴、y轴、z轴叫作__________，通过每两个坐标轴的平面叫作____________，分别称为__________________________，通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即__________指向x轴的正方向，__________指向y轴的正方向，________指向z轴的正方向．2．空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的____________，y叫做点M的____________，z叫做点M的__________．一、选择题1．在空间直角坐标系中，点A(1,2，－3)关于x轴的对称点为( )A．(1，－2，－3)B．(1，－2,3)C．(1,2,3)D．(－1,2，－3)2．设y∈R，则点P(1，y,2)的集合为( )A．垂直于xOz平面的一条直线B．平行于xOz平面的一条直线C．垂直于y轴的一个平面D．平行于y轴的一个平面3．结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体)．其中实圆•代表钠原子，空间圆代表氯原子．建立空间直角坐标系Oxyz后，图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1B ．(0,0,1) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，12 4．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)关于yOz 平面的对称点的坐标为( ) A ．(－3,4,5)B ．(－3，－4,5) C ．(3，－4，－5)D ．(－3,4，－5)5．在空间直角坐标系中，P (2,3,4)、Q (－2，－3，－4)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称B ．关于yOz 平面对称 C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对6．点P (a ，b ，c )到坐标平面xOy 的距离是( )A ．a 2＋b 2B ．|a |C ．|b |D ．|c |二、填空题7．在空间直角坐标系中，下列说法中：①在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )；②在yOz 平面上的点的坐标一定可写成(0，b ，c )；③在z 轴上的点的坐标可记作(0,0，c )；④在xOz 平面上的点的坐标是(a,0，c )．其中正确说法的序号是________．8．在空间直角坐标系中，点P 的坐标为(1，2，3)，过点P 作yOz 平面的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标是______．9．连接平面上两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的线段P 1P 2的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，那么，已知空间中两点P 1(x 1，y 1，z 1)、P 2(x 2，y 2，z 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为________________．三、解答题10．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E 、F 、G 是DD 1、BD 、BB 1的中点，且正方体棱长为1．请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及E 、F 、G 的坐标．11．如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1的对称中心在坐标原点O，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．能力提升12．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2．试建立适当的空间直角坐标系，求出A、B、C、D、P、E的坐标．13．如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8．BC 是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A、B、C、D、E、F的坐标．1．点坐标的确定实质是过此点作三条坐标轴的垂面，一个垂面与x轴交点的横坐标为该点的横坐标，一个垂面与y轴交点的纵坐标为该点的纵坐标，另一个垂面与z轴交点的竖坐标为该点的竖坐标．2．明确空间直角坐标系中的对称关系，可简记作：“关于谁对称，谁不变，其余均相反；关于原点对称，均相反”．①点(x，y，z)关于xOy面，yOz面，xOz面，x轴，y轴，z轴，原点的对称点依次为(x，y，－z)，(－x，y，z)，(x，－y，z)，(x，－y，－z)，(－x，y，－z)，(－x，－y，z)，(－x，－y，－z)．②点(x，y，z)在xOy面，yOz面，xOz面，x轴，y轴，z轴上的投影点坐标依次为(x，y,0)，(0，y，z)，(x,0，z)，(x,0,0)，(0，y,0)，(0,0，z)．§3 空间直角坐标系3．1 空间直角坐标系的建立3．2 空间直角坐标系中点的坐标答案知识梳理1．空间直角坐标系Oxyz坐标原点坐标轴坐标平面xOy平面、yOz平面、zOx平面右手拇指食指中指2．横坐标 纵坐标 竖坐标 作业设计1．B [两点关于x 轴对称，坐标关系：横坐标相同，纵竖坐标相反．] 2．A 3．A4．A [两点关于平面yOz 对称，坐标关系：横坐标相反，纵竖坐标相同．] 5．C [三坐标均相反时，两点关于原点对称．] 6．D7．②③④ 8．(0，2，3) 9．⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22 10．解如图所示，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12． 11．解 由于已经建立了空间直角坐标系，由图可直接求出各点的坐标：B (－2,3，－1)，C (2,3，－1)，D (2，－3，－1)，A 1(－2，－3,1)，B 1(－2,3,1)，C 1(2,3,1)，D 1(2，－3,1)．12．解 如图所示，以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AP 所在直线为z 轴，过点A 与xAz 平面垂直的直线为y 轴，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (32，32，0)，D (12，32，0)，P (0,0,2)，E (1，32，0)．13．解 因为AD 与两圆所在的平面均垂直，OE ∥AD ，所以OE 与两圆所在的平面也都垂直． 又因为AB ＝AC ＝6，BC 是圆O 的直径，所以△BAC 为等腰直角三角形且AF ⊥BC ， BC ＝62．以O 为原点，OB 、OF 、OE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则原点O 及A 、B 、C 、D 、E 、F 各个点的坐标分别为O (0,0,0)、A (0，－32，0)、B (32，0,0)、C (－32，0,0)、D (0，－32，8)、E (0,0,8)、F (0,32，0)．。